高中物理竞赛辅导讲义 静力学
高中物理竞赛辅导讲义静力学
高中物理竞赛辅导讲义静力学高中物理竞赛辅导讲义第1篇静力学【知识梳理】一、力和力矩1．力与力系（1）力：物体间的的相互作用（2）力系：作用在物体上的一群力①共点力系②平行力系③力偶2．重力和重心（1）重力：地球对物体的引力（物体各部分所受引力的合力）（2）重心：重力的等效作用点（在地面附近重心与质心重合）3．力矩（1）力的作用线：力的方向所在的直线（2）力臂：转动轴到力的作用线的距离（3）力矩①大小：力矩=力×力臂，M =FL②方向：右手螺旋法则确定。
右手握住转动轴，四指指向转动方向，母指指向就是力矩的方向。
③矢量表达形式：M r F =? （矢量的叉乘），||||||sin M r F θ=? 。
4．力偶矩（1）力偶：一对大小相等、方向相反但不共线的力。
（2）力偶臂：两力作用线间的距离。
（3）力偶矩：力和力偶臂的乘积。
二、物体平衡条件1．共点力系作用下物体平衡条件：合外力为零。
（1）直角坐标下的分量表示ΣF ix = 0，ΣF iy = 0，ΣF iz = 0（2）矢量表示各个力矢量首尾相接必形成封闭折线。
（3）三力平衡特性①三力必共面、共点；②三个力矢量构成封闭三角形。
2．有固定转动轴物体的平衡条件：3．一般物体的平衡条件：（1）合外力为零。
（2）合力矩为零。
4．摩擦角及其应用（1）摩擦力①滑动摩擦力：f k = μk N（μk－动摩擦因数）②静摩擦力：f s ≤μs N（μs－静摩擦因数）③滑动摩擦力方向：与相对运动方向相反（2）摩擦角：正压力与正压力和摩擦力的合力之间夹角。
①滑动摩擦角：tanθk=μ②最大静摩擦角：tanθsm=μ③静摩擦角：θs≤θsm（3）自锁现象三、平衡的种类1．稳定平衡：当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使之回到平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡。
2．不稳定平衡：当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使它的偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定平衡。
3．随遇平衡：当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它能在新的位置上再次平衡，这样的平衡叫随遇平衡。
物理竞赛讲义_静力学第二讲力平衡(一)答案
第二讲 力平衡（一）精选例题【例1】 如图所示一个均匀的质量为1m 的球挂在天花板上，从同一点挂一个重物质量为2m 。
问所成角度。
O 【解析】相对于点的总力矩为0.)m g (l +R )sin =m 12g R -(l +R sin θθ⎡⎤⎣⎦∴()1212sin []+R m (m +)m R l θ-=该题如果用变力分析去解题，对悬挂2m 的绳对大球的支持力的方向比较困难，而用力矩去解题，显得尤为简单【例2】 如图，重为G 木块用绳子悬挂在两个轻杆支架的交点P ，现给木块一个水平方向的F F 12N 、N 、T 作用力，缓慢增大并且系统保持平衡，求作用力的变化趋势。
N 【解析】可以采用图解法，分别考虑木块以及P 点的受力平衡，将二者的受力三角形画在同一个图中，利用几何相似三角形的方法可以得到三个力的变化趋势。
最后可得，不变，2N 1和T 增加。
【例3】 如图，一个半径为R 非均匀质量光滑的圆球，其重心不在球心O 处，先将它置于A 30︒B A B 30︒C O 水平地面上，平衡时球面上的点和地面接触；再将它置于倾角为的粗糙斜面上，平衡时球面上的点与斜面接触，已知到的圆心角也为，试求球体的重心到球心的距离.【解析】B BC A OA 放在斜面上，球受重力支持力和摩擦力，三力共点必过点的重心在过B 于平面垂直的直线上。
即，又放在水平面上点落地，则此时球受重力和支持力，则球重心必在连线上，则重心位置在C 点.CO==【例6】有一长l重为W的均匀杆AB，A顶端竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙间的摩擦系数μB CθμθP A P WPB PA x 为，端用一强度足够而不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁点，木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为（如图），求杆能保持平衡时与应满足的条件。
杆保持平衡时，杆上有一点存在，若与点间挂一重物，则足够大可以破坏平衡了，而在间任一点悬挂任意重物均不能破坏平衡。
求距离. 【解析】受力分析coT Nsθ=力平衡siT f W Wnθ+=+A力矩平衡：以为支点，θ=Wsin2lTl W+x∴f=W+W-N tan≤Nθμ2W xtanθ=+N W∴0002l2lW Wx xW+W Wtanlμθ-+()≤(+W)∴00()2l2W W)≤(+WtanlW Wx xμθ+-①0W=ntaμθ≥当不挂生物,此即为不挂重物平衡的条件，可得②W0(1)2tan(+1)-W Wμxμθl tanθ-+≤W取穷大，则上式仍成立.∴μθl tan(1)+-1tanxl tanθθμ+≥0⇒x≥wr G【例7】有一个半径为a，高为4a，重为的两端开口的薄壁圆筒，现将筒竖放在光滑的水平面上，之后将半径为，重为的两个完全相同的光滑圆球放入筒内而呈叠放状态，如图，当<r 2<a 2a 时，试求使圆筒不翻倒的条件.【解析】方法一：先看一个直角三角形O 对进行受力分析∴cos sin T =G cot θθ=N T θ=N G ⇒22212-a r ar -a r N =G ar -a sin θG =G =再对筒受力分析A N A 考虑以为支点，考虑翻倒则地面给筒的支持力的作用点移到点.则不翻倒条件。
高中物理竞赛高二竞赛班全套物理讲义(答案解析)高二竞赛班第5讲 静力学续-静不定-教师版
约束比自由度多的时候就会出现静不定的问题。
这种问题没有唯一解。
当你判定一个体系是静不定的时候，就意味着你一定少弄了一些什么东西。
可以通过解除约束的方式处理静定。
要么是把刚性的假设去掉，弄出形变，要么是打滑开始打滑。
第4讲预计要讲1.5次，这次题量少一些，供调整。
例题精讲【例1】 一个方桌，四根脚一样长。
桌子边长为l ，以桌面中心为原点，平行于一条边作为x 轴，在（x , y ）位置放一个质量为m 的物体，求各个脚上的受力。
将四根腿可以视为劲度系数一样的很硬的弹簧。
四点共面表示为x1-x4=x2-x3结果发现在正方形各边中点连成的小正方形中间区域内，各支持力大于0而在此外，对角点支持力=0，需要重新计算。
【例2】 一个摩擦系数为11μ=的墙面，铰接了一个摩擦系数为233μ=的木板，夹了一个圆柱，开始角度为15度，木板慢慢转到60度，求圆柱转过角度略 本讲导学第5讲静力续-静不定xyO2N 1N 3N 4NC【例3】 如图一个高为h 三角板连着两个圆形金属套，套在半径为r 的圆柱上，摩擦系数为μ，为了保持平衡，需要在距离x 的地方挂一个重物P 。
问x 的取值范围。
【例4】 如图，杆AB 放在圆筒内，A 点处摩擦足够大，杆的C 点靠在筒的边缘。
A 、C 两点位于通过圆筒轴的竖直平面内，杆与水平方向夹角为α，现使杆沿筒边移到'C 点，'C OC ϕ∠=，问摩擦系数至少为多少，才能使杆能在'C 位置保持平衡。
本要的要点在于分析摩擦力方向。
怎样理解“即将滑动”P2r h x【例5】 29届复赛模拟题第6套第4题Andy Riley 画了《找死的兔子》，该书中的人们精通各种物理原理，从而帮助兔子成功自杀。
巨石的质量为5110kg ⨯，巨石下有10根圆木，人们拉着巨石缓缓移动。
圆木的质量可以忽略，所有地方均不滑动。
由于压力巨大，圆木被压扁了0.2%，圆木滚动之后被压扁的地方又恢复了原状。
高中物理竞赛《静力学》课件
式中，
M
M
M
Ox Oy Oz
(F) (F ) (F)
yFz zFx xFy
zFy xFz yFx
分别表示力 F 对过 O 的 x, y, z 轴之矩，用于描述力对刚 体绕这些轴转动的效应
3、力矩的平面问题
如果点O、P 和力 F 都在一个平面内，比如 xy 平面，则：
r x yT ,
M
M
d
F
F
F
d F
(a)
(b)
M
F
M
d/F
F
(c)
d
F
(d)
4、力偶系
刚体上作用多对力偶，构成力偶系，有矢量和
n
M Mi i 1
在参考基上展开，为：
n
n
n
M x M ix , M y M iy , M z M iz
i 1
i 1
i 1
第二章
力系的简化
提出问题
如果一个刚体上承受的力比较多， 多于3个，并且不是一个汇交力系， 这种情况下如何解决这个刚体的平 衡问题？如何研究这些力之间的关 系？再复杂些，比如还有力偶等等， 又如何处理？
F3
F2
公理四 作用与反作用定理
两个物体间相互作用的力，总是大小相等、方 向相反，同时分别作用在两个物体上。
§1－3 约束及约束反力
3-1 约束
3-1-1 约束与约束反力的概念
我们研究物体的运动时，可能遇到两种情况：
• 物体在空间的运动是不受限制的 • 物体在空间的运动受到某些限制
显然，气球作为一个自由物体运动，其运动形式无限多—— 自由物体。 绿色圆柱体在圆槽内的运动受到限制——非自由物体。 我们把那些对非自由物体的产生限制的其周围物体称为约束
高中物理竞赛(静力学)
第一讲：力、物体的平衡补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。
一、力学中常见的三种力1.重力、重心 重心的定义：ΛΛΛΛ++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。
问题：半径R =30cm 的均匀圆板上挖出一个半径r =15cm 的内切圆板，如图a 所示，求剩下部分的重心。
2.弹力、弹簧的弹力（F =kx ,或F =-kx ）（1）两弹簧串联总伸长x ，F =？由x 1+x 2=x ,k 1x 1=k 2x 2，得2112k k x k x +=,所以kx k k x k k x k F =+===212122. （2）并联时F =(k 1+k 2)x .(3)把劲度系数为k 的弹簧均分为10段，每段劲度系数k '=?(10k )1. 一个重为G 的小环，套在竖直放置的半径为R 的光滑大圆上。
一个劲度系数为k ，自然长度为L （L <2R ）的轻质弹簧,其上端固定在大圆环最高点,下端与小环相接,不考虑一切摩擦,小环静止时弹簧与竖直方向的夹角为:. （答案：GkR kL 22cos 1--） 3.摩擦力（1）摩擦力的方向：①静摩擦力的方向：跟运动状态与外力有关。
②滑动摩擦力的方向：跟相对运动方向相反。
2. 如图所示,在倾角θ=300的粗糙斜面上放一物体,物体的重力为G ,现用与斜面底边平行的水平作用力F (F =G /2)推物体,物体恰好在斜面上作匀速直线运动,则物体与斜面的动摩擦因数为 . （答案：36）（2）摩擦角:f 和N 的合力叫全反力，全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角（f 达到最大）叫摩擦角，摩擦角ϕ=tan -1f /N =tan -1μ。
摩擦角与摩擦力无关，对一定的接触面，ϕ是一定的。
水平地面上有一质量为m 的物体,受斜向上的拉力F 作用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦因数为μ,则为使拉力F 最小,F 与水平地面间的夹角多大?F 的最小值为多少?二、物体的平衡1.三力平衡特点 (1)任意两个的合力与第三个力是一对平衡力(2)三力汇交原理：互不平行的三个力处于平衡，这三个力的作用线必交于一点。
高一物理竞赛讲义-静力学
竞赛辅导讲义第二部分：静力学第一课时：复习高考（理科综合要求）知识点一、考点内容1．力是物体间的相互作用，是物体发生形变和物体运动状态变化的原因。
2．重力是物体在地球表面附近所受到的地球对它的引力，重心。
3．形变与弹力，胡克定律。
4．静摩擦，最大静摩擦力。
5．滑动摩擦，滑动摩擦定律。
6．力是矢量，力的合成与分解。
7．平衡，共点力作用下物体的平衡。
二、知识结构⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎩⎨⎧→→→⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→的灵活使用方法：整体法和隔离法产生条件、摩擦力、弹力、重力顺序原则受力分析实效原则图解法（几何法）力的分解式法图解法（几何法）、公力的合成力的等效性使物体产生形变物体产生加速度）改变物体运动状态（使力的效果效果各异作用力与反作用力效果相同平衡力支持力等回复力、浮力、压力、动力、阻力：向心力、效果子力、电场力、磁场力不接触的力：重力、分产生条件、大小、方向力接触的力：弹力、摩擦性质力的种类物体受力物体同时定是施力物体施力物体同时定是受力相互性受力物体施力物体物体间作用物质性力的属性—物体间的相互作用—力的定义力.......321 三、复习思路复习是将分散学习的知识进行归纳、整理，使他们系统化、条理化，从而能提纲挈领掌握本单元的知识，并把本单元的重点知识和形成的能力进一步巩固和提高。
这一课时是以力的概念和平行四边形定则为核心展开的，研究了三种不同的力及力的合成、分解的基本法则；为获得上述知识，同学们应按照知识脉络认真复习教材，对一些主要概念、定则、定律有个正确的认识；而平衡状态是物体所处的最简单的状态，在高考中 容易与热学、电场、磁场等内容综合起来考查，还要注意平衡条件与生物、化学、人体骨骼、医学等方面的综合。
高中物理竞赛讲座1(静力学word)
csg 竞赛.静力学.9 / 27
题：（2 届决赛）均匀直棒放在半圆形的碗内，棒的两端和碗心 O 的连线夹角为 2α， 摩擦因数为μ=tanβ，求棒和水平方向最大倾斜角
tan 1 [tan( ) tan( )] 2
析：三力平衡必共点
解：利用摩擦角。
过 O`点做 AB 的垂线 o`D
tan CD CB DB AC DB AD CD DB
o'D o'D
o'D
o'D
AD CD DB tan( ) tan tan( ) o'D o'D o'D
得 tan 1 [tan( ) tan( )] 2
x 2R
同理 y 2 R
解 4、虚功原理
取 1/2 圆环，将圆环设为匀质软铁链放在光滑 1/4 球面上，设质心在θ处。要使其
静止，需在顶端施加一水平力 F
csg 竞赛.静力学.3 / 27
在 F 作用下，将铁链水平向左缓慢拉Δx
Fx gxR g R r x cos 450 2R
析：摩擦角、全反力
csg 竞赛.静力学.5 / 27
题：质量为 m 的物体放在摩擦因数为 µ 的水平面上，对物体施加外力 F 斜向下和水 平方向成θ。求使物体静止的 F 的范围
析：滑不滑，自锁 解1、滑不滑 解2、摩擦角
题：一物体质量为m，置于倾角为 的斜面上，物体与斜面间的滑动摩擦系数为 k ,
答案： k G 4k1k2 x k1 k2
解：设悬挂上重物 G 后滑轮的位置比未悬挂重物 G 时的位置下降了 x ，而弹簧 k1
和 k2 分别伸长了 x1 和 x2
高二物理竞赛课件-静力学
刚 质量 m0 mi dm
质心可以 在刚体之
体 质心
r0 miri
mi rdmdm外 固； 结总 于是 刚
体。
x0xd,y m 0yd,zm 0zd.m dm dm dm
例：半圆形均匀薄板的质心。
对称性
x0=0, yy00==4?R/3
y
R2 y2
dm 2 R2 y2dy yd m 2y R2y2dy
代2 入 G r 3 2 / a m 3 1 r 1G m 2 3 r 2 m / c /3 m 3G 1 / m c 3 r 1 G m 2 / a 3 G 2 m / c 3 r 2m
两项不共线，所以系数分别为零，
G2m /a3G2m /c30
2G2m /a3G3m /c3G1m /c30
y方向， Tco,sTcos
NTsinTsin0 TcosTcos0
N2Tsin
yT
B
O Nx
A T
F
T
T
F=2T
例：皮带绕过轮，其与轮相接触的一段在轮心所张角 度为。皮带与轮之间的静摩擦力系数为。试求轮两 方皮带中张力T1和T0之间的数量关系。
(T dT ) cos d T cos d N 0,
ab
b
如果 <a/b， tg 时先滑动，继续增大到a/b 时
翻到。
• 旋转系统等效静力学问题
• IPhO20-2
不共线的三个点P1,P2和P3质量分别为m1,m2和m3， 彼此间仅有万有引力作用。令C代表过质点组（P1， P2，P3）质心并垂直于三角形P1P2P3所在平面的轴， 当系统绕轴C旋转时，为使三角形P1P2P3的形状保持 不变，那么质点间的距离P1P2＝a, P2P3=b, P1P3=c 应满足什么关系？角速度应满足什么条件？即在什么 样的条件下，系统能如刚体一样绕C轴旋转？
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高中物理竞赛辅导讲义
第1篇 静力学
【知识梳理】
一、力和力矩
1．力与力系
（1）力：物体间的的相互作用
（2）力系：作用在物体上的一群力
①共点力系
②平行力系
③力偶
2．重力和重心
（1）重力：地球对物体的引力（物体各部分所受引力的合力）
（2）重心：重力的等效作用点（在地面附近重心与质心重合）
3．力矩
（1）力的作用线：力的方向所在的直线
（2）力臂：转动轴到力的作用线的距离
（3）力矩
①大小：力矩=力×力臂，M =FL
②方向：右手螺旋法则确定。
右手握住转动轴，四指指向转动方向，母指指向就是力矩的方向。
③矢量表达形式：M r F =⨯ （矢量的叉乘），||||||sin M r F θ=⋅ 。
4．力偶矩
（1）力偶：一对大小相等、方向相反但不共线的力。
（2）力偶臂：两力作用线间的距离。
（3）力偶矩：力和力偶臂的乘积。
二、物体平衡条件
1．共点力系作用下物体平衡条件：
合外力为零。
（1）直角坐标下的分量表示
ΣF ix = 0，ΣF iy = 0，ΣF iz = 0
（2）矢量表示
各个力矢量首尾相接必形成封闭折线。
（3）三力平衡特性
①三力必共面、共点；②三个力矢量构成封闭三角形。
2．有固定转动轴物体的平衡条件：
3．一般物体的平衡条件：
（1）合外力为零。
（2）合力矩为零。
4．摩擦角及其应用
（1）摩擦力
①滑动摩擦力：f k = μk N（μk－动摩擦因数）
②静摩擦力：f s ≤μs N（μs－静摩擦因数）
③滑动摩擦力方向：与相对运动方向相反
（2）摩擦角：正压力与正压力和摩擦力的合力之间夹角。
①滑动摩擦角：tanθk=μ
②最大静摩擦角：tanθsm=μ
③静摩擦角：θs≤θsm
（3）自锁现象
三、平衡的种类
1．稳定平衡：
当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使之回到平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡。
2．不稳定平衡：
当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使它的偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定平衡。
3．随遇平衡：
当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它能在新的位置上再次平衡，这样的平衡叫随遇平衡。
【例题选讲】
1．如图所示，两相同的光滑球分别用等长绳子悬于同一点，此两球同时又支撑着一个等重、等大的光滑球而处于平衡状态，求图中α（悬线与竖直线的夹角）与β（球心连线与竖直线的夹角）的关系。
面圆柱体不致分开，则圆弧曲面的半径R最大是多少？（所有摩擦均不计）
R
3．如图所示，质量为m 长为L 的均匀直杆一端A 用铰链与天花板相连，在另一端B 悬挂一质量为M 的重物，并在B 端施加一水平方向的外力使杆与水平方向夹角为θ。
（1）求水平外力的大小。
（2）若改变外力的方向而杆的方向不变，求使杆保持平衡的最小外力。
4．半径为R 、质量为M 的均匀圆球与一质量为m 的重物分别用细绳AB 和ACD 悬于同一点A ，并处于平衡状态，如图所示。
已知悬点A 到球心O 的距离为L ，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AB 与竖直方向的夹角θ。
5．一根细棒AB ，A 端用铰链与天花板相连，B 端用铰链与另一细棒BC 相连。
二棒长度相等，限于在图示的竖直面内运动，且不计铰链处的摩擦。
当在C 端加一个适当的外力（与AB 、BC 在一个平面内）可使二棒静止在图示位置，即二杆相互垂直，且C 端在A 端的正下方。
（1）不论二棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？试说明理由。
（2）如果AB 棒质量为m 1，BC 棒质量为m 2，求此外力的大小和方向。
（3）此时BC 棒对AB 棒的作用力的大小是多少？
F M θ A
B A B
C A
6．重为G 的物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F 使物体沿水平地面做匀速运动，试求此最小作用力的大小和方向？
7．如图所示，质量为M 的木锲斜面倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m 的木块放在斜面上时正好匀速下滑，如果用沿与斜面成α角的力F 拉着木块匀速上升，要使F 最小，α应为多大？F 最小值为多少？此时水平面对木锲M 的摩擦力多大？
8．有一根长度为L 、重力为G 的匀质杆，B 端压在粗糙的水平地面上。
A 端用一根足够牢的绳斜拉在地上，绳和竖直方向的杆的夹角为θ。
在离B 端aL 的地方，有一个水平力F 。
问：
（1）杆的B 端和地面之间的静摩擦因数至少多大，才能维持杆静止？
（2）如果杆的B 端与地面之间的静摩擦因数为μ0，那么在杆上有一点D ，在AD 之间不论施加多大的水平力F ，都不会破坏杆的平衡。
求D 点的位置。
M m
F α θ A F B aL θ
9．在一个与水平面成α角的粗糙斜面上放着一个物体A ，它系于一个不可伸长的细绳上，绳子的另一端B 通过小孔C 穿出底面，如图所示，开始时A 、C 等高。
当A 开始下滑时，适当地拉动绳端B ，使A 在斜面上缓慢划过一个半圆到达C 。
求A 和斜面之间的动摩擦因数μ。
10．有六个完全相同的刚性长条薄片A i B i （i =1，2，……，6），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重力均可不计。
现将六个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起B i 搭在碗口上，另一端小突起A i 位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示。
若将一质量为m 的质点放在薄片A 6B 6上的一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A 6的距离，求薄片A 6B 6中点所受A 1的压力。
A B C α m B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 A 6 A 5 A 4 A 3 A 2 A 1
11．如图所示，光滑半球壳直径为a ，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒AB 与水平成60°角靠墙静止，求棒长。
12．如图所示，对均匀细杆的一端施力F ，力的方向垂直于杆。
要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起，试求杆与地面间的最小摩擦因数。
F α
O A B
13．质量为M的均匀梯子，一端靠在光滑的竖直墙面上，另一端置于水平地面上。
杆与水平面间的静摩擦系数为μ。
一个质量为m的人沿梯缓慢往上爬，为保证人的安全，梯子应如何放置？
14．如图所示，静止的圆锥体竖直放置，顶角为α。
质量为m且分布均匀的软绳水平地套在圆锥体上，忽略软绳与圆锥体之间的摩擦力。
试求软绳中的张力。
α
m
15．如图所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面置于水平桌面上。
球面上有一条光滑匀质软绳，一端固定于球面顶点A ，另一端恰好与桌面不接触，且单位长度软绳的质量为ρ。
求：（1）软绳A 端所受的水平拉力；（2）软绳所受球面的支持力；（3）软绳重心的位置。
16．直径分别为d 和D 的两个圆柱体，置于同一水平粗糙平面上，如图所示。
在大圆柱上绕以绳子，作用在绳端的水平拉力为F ，设所有接触处的摩擦因数均为μ，试求大圆柱能翻过小圆柱时，μ值必须满足的条件。
O A
B R F。