高中物理竞赛辅导讲义：原子物理

原 子 物 理自1897年发现电子并确认电子是原子的组成粒子以后，物理学的中心问题就是探索原子内部的奥秘，经过众多科学家的努力，逐步弄清了原子结构及其运动变化的规律并建立了描述分子、原子等微观系统运动规律的理论体系——量子力学。

本章简单介绍一些关于原子和原子核的基本知识。

§1.1 原子1．1．1、原子的核式结构1897年，汤姆生通过对阴极射线的分析研究发现了电子，由此认识到原子也应该具有内部结构，而不是不可分的。

1909年，卢瑟福和他的同事以α粒子轰击重金属箔，即α粒子的散射实验，发现绝大多数α粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进，但有少数发生偏转，并且有极少数偏转角超过了90°，有的甚至被弹回，偏转几乎达到180°。

1911年，卢瑟福为解释上述实验结果而提出了原子的核式结构学说，这个学说的内容是：在原子的中心有一个很小的核，叫原子核，原子的全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子核里，带负电的电子在核外的空间里软核旋转，根据α粒子散射的实验数据可估计出原子核的大小应在10-14nm 以下。

1、1．2、氢原子的玻尔理论 1、核式结论模型的局限性通过实验建立起来的卢瑟福原子模型无疑是正确的，但它与经典论发生了严重的分歧。

电子与核运动会产生与轨道旋转频率相同的电磁辐射，运动不停，辐射不止，原子能量单调减少，轨道半径缩短，旋转频率加快。

由此可得两点结论：①电子最终将落入核内，这表明原子是一个不稳定的系统； ②电子落入核内辐射频率连续变化的电磁波。

原子是一个不稳定的系统显然与事实不符，实验所得原子光谱又为波长不连续分布的离散光谱。

如此尖锐的矛盾，揭示着原子的运动不服从经典理论所表述的规律。

为解释原子的稳定性和原子光谱的离经叛道的离散性，玻尔于1913年以氢原子为研究对象提出了他的原子理论，虽然这是一个过渡性的理论，但为建立近代量子理论迈出了意义重大的一步。

2、玻尔理论的内容：一、原子只能处于一条列不连续的能量状态中，在这些状态中原子是稳定的，电子虽做加速运动，但并不向外辐射能量，这些状态叫定态。

二、原子从一种定态（设能量为E 2）跃迁到另一种定态（设能量为E 1）时，它辐射或吸收一定频率的光子，光子的能量由这种定态的能量差决定，即γh =E 2-E 1三、氢原子中电子轨道量子优化条件：氢原子中，电子运动轨道的圆半径r 和运动初速率v 需满足下述关系：π2hnrmv =，n=1、2……其中m 为电子质量，h 为普朗克常量，这一条件表明，电子绕核的轨道半径是不连续的，或者说轨道是量子化的，每一可取的轨道对应一个能级。

定态假设意味着原子是稳定的系统，跃迁假设解释了原子光谱的离散性，最后由氢原子中电子轨道量子化条件，可导出氢原子能级和氢原子的光谱结构。

氢原子的轨道能量即原子能量，为 r e kmv E 2221-= 因圆运动而有222r e k r v m = 由此可得r e kE 22-= 根据轨道量子化条件可得：mr hnv π2=，n=1，2……因22mv e k r =，便有2222224h n r m m ke r π⋅= 得量子化轨道半径为：22224kme h n r n π=，n=1，2……式中已将r 改记为r n 对应的量子化能量可表述为：224222h n e mk E n π-=，n=1，2……n=1对应基态，基态轨道半径为22214kme h r π=计算可得： m r 1111029.5-⨯==0.529Ar 1也称为氢原子的玻尔半径基态能量为 242212h e mk E π-=计算可得： E 1=6.13-eV 。

对激发态，有：2112,n E E r n r n n ==，n=1，2…n 越大，r n 越大，E n 也越大，电子离核无穷远时，对应0=∞E ，因此氢原子的电离能为：eV E E E E 6.1311=-=-=∞电离电子从高能态E n 跃迁到低能态E m 辐射光子的能量为：m n E E hv -=光子频率为)11(221m n h E h E E v m n -=-=，m n >因此氢原子光谱中离散的谱线波长可表述为：1111)1(22--⋅==m n E hc r c λ，m n >试求氢原子中的电子从第n 轨道迁跃到n-1第轨道时辐射的光波频率，进而证明当n 很大时这一频率近似等于电子在第n 轨道上的转动频率。

辐射的光波频率即为辐射的光子频率γ，应有)(11--=n n E E hν将224222h n e mk E n π-= 代入可得223422223422)1(1221)1(12--⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅=n n n h me k n n h me k ππν 当n 很大时，这一频率近似为 334224h n me k πν=电子在第n 轨道上的转动频率为：222n nn n n n r m r mv r U f ⋅⋅==ππ将π2hn r mv n n ⋅= 代入得 νπ==334224h n me k f n因此，n 很大时电子从n 第轨道跃迁到第n-1轨道所辐射的光波频率，近似等于电子在第n 轨道上的转动频率，这与经典理论所得结要一致，据此，玻尔认为，经典辐射是量子辐射在∞→n 时的极限情形。

1、1．3、氢原子光谱规律 1、巴耳末公式研究原子的结构及其规律的一条重要途径就是对光谱的研究。

19世纪末，许多科学家对原子光谱已经做了大量的实验工作。

第一个发现氢原子线光谱可组成线系的是瑞士的中学教师巴耳末，他于1885年发现氢原子的线光谱在可见光部分的谱线，可归纳为如下的经验公式⎪⎭⎫⎝⎛-=221211n R λ，n=3，4，5，…式中的λ为波长，R 是一个常数，叫做里德伯恒量，实验测得R 的值为1.096776⨯1071-m 。

上面的公式叫做巴耳末公式。

当n=3，4，5，6时，用该式计算出来的四条光谱线的波长跟从实验测得的αH 、βH、γH、δH 四条谱线的波长符合得很好。

氢光谱的这一系列谱线叫做巴耳末系。

2、里德伯公式1896年，瑞典的里德伯把氢原子光谱的所有谱线的波长用一个普遍的经验公式表示出来，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2221111n n R λn=1，2，3…112+=n n ，21+n ，31+n …上式称为里德伯公式。

对每一个1n ，上是可构成一个谱线系：11=n ，22=n ，3，4… 莱曼系（紫外区） 21=n ，32=n ，4，5… 巴耳末系（可见光区） 31=n ，42=n ，5，6… 帕邢系（红外区） 41=n ，52=n ，6，7…布拉开系（远红外区）51=n ，62=n ，7，8…普丰德系（远红外区）以上是氢原子光谱的规律，通过进一步的研究，里德伯等人又证明在其他元素的原子光谱中，光谱线也具有如氢原子光谱相类似的规律性。

这种规律性为原子结构理论的建立提供了条件。

1、1．4、玻尔理论的局限性：玻尔原子理论满意地解释了氢原子和类氢原子的光谱；从理论上算出了里德伯恒量；但是也有一些缺陷。

对于解释具有两个以上电子的比较复杂的原子光谱时却遇到了困难，理论推导出来的结论与实验事实出入很大。

此外，对谱线的强度、宽度也无能为力；也不能说明原子是如何组成分子、构成液体个固体的。

玻尔理论还存在逻辑上的缺点，他把微观粒子看成是遵守经典力学的质点，同时，又给予它们量子化的观念，失败之处在于偶保留了过多的经典物理理论。

到本世纪20年代，薛定谔等物理学家在量子观念的基础上建立了量子力学。

彻底摒弃了轨道概念，而代之以几率和电子云概念。

例题1：设质子的半径为m 1510-，求质子的密度。

如果在宇宙间有一个恒定的密度等于质子的密度。

如不从相对论考虑，假定它表面的“第一宇宙速度”达到光速，试计算它的半径是多少。

它表面上的“重力加速度”等于多少？（1mol 气体的分子数是23106⨯个；光速s m /1038⨯=）；万有引力常数G 取为2211/106kg Nm -⨯。

只取一位数做近似计算。

解:2H 的摩尔质量为2g/mol ，2H 分子的质量为 kg g 262310621062⨯=⨯∴质子的质量近似为 kg 261062⨯ 质子的密度 ρ=()315261034/10625-⨯π=()3194516/102411010641m kg ⨯=⨯⨯⨯-设该星体表面的第一宇宙速度为v ，由万引力定律，得22r mM G r mv =，r GM v =2而 ρπ334r M = ∴ρρπ23434Gr r r G v ==γ2=v Gp()m G v r 4191181031024110621032⨯=⨯⨯⨯⨯==-ρ由于“重力速度”ρρπyG y y G y GM g 4/34/232≈==∴()21219114/103102411061034s m g ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-【注】万有引力恒量一般取=G 6.67211/10kg m N ⋅⨯-例题2：与氢原子相似，可以假设氦的一价正离子（He +）与锂的二价正离子（L++）核外的那一个电子也是绕核作圆周运动。

试估算（1）He +、L ++的第一轨道半径； （2）电离能量、第一激发能量；（3）赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。

解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，原子核可视为不动，其带电量用+Ze 表示，可列出下面的方程组：20224n n n y Ze r mv πε=，①n n n r Ze mv E 022421πε-=，② π2hn r mv n n ⋅=，n=1，2，3，…③ 12En En hv -=，④由此解得n r ，n E ，并可得出λ1的表达式：Z n r Z me n h r n 212220==πε，⑤其中10220110530-⨯⋅==me h r πε米，为氢原子中电子的第度轨道半径，对于He +，Z=2，对于Li++，Z=3．2212222028n Z E n Z h me E n =-=ε，⑥其中-=-=220418h me E ε13.6电子伏特为氢原子的基态能．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22212222122204111181n n R Z n n Z c h me ελ．⑦11=n ，2，3，…，112+=n n 21+n ，31+n ，…R 是里德伯常数。

（1）由半径公式⑤，可得到类氢离子与氢原子的第一轨道半径之比：21==++H H HHe Z Z r r ，31==++++Li H H Li Z Z rr ．（2）由能量公式⑥，可得到类氢离子与氢原子的电离能和第一激发能（即电子从第一轨道激发到第二轨道所需的能量）之比：电离能： 41200221111==--=--++H He HHe Z E Z E EE ，91300221111==--=--++++HLi HLi Z E Z E E E第一激发能：4433112112222212212212211212=--=--=--++E E E E E E E E HH He He ，943427112113232212212212211212=--=--=--++++E E E E E E E E HH Li Li 。