勾股定理学案

课题：18.1勾股定理（第1课时）＿＿年＿＿月＿＿日 执教： 一、学习目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、重点：勾股定理的内容及证明。

难点：勾股定理的证明。

三、学习准备： 预习课本P22———24页 四、课堂阅读1. 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地 球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

2.让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，那么就有 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

A Bbbb六、课堂练习1．勾股定理的内容是： 。

2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ；⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： 。

3．△ABC 的三边a 、b 、c ，若满足b 2= a 2＋c 2，则 =90°； 若满足b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是 角； 若满足b 2＜c 2＋a 2，则∠B 是 角。

4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

七、课后练习1．已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= 。

（已知a 、b ，求c ） ⑵a= 。

（已知b 、c ，求a ） ⑶b= 。

（已知a 、c ，求b ）2．如下表，表中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b ，c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来。

3．在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=310cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直。

学习反思：1.本节课你有哪些收获？2.你还有哪些疑惑？课后作业：p 28 1、2、题。

A Bb EB课题：18.1勾股定理（第2课时）＿＿年＿＿月＿＿日 执教：一、学习目标1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。

二、重点：勾股定理的简单计算。

难点：勾股定理的灵活运用。

三、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。

学习勾股定理重在应用。

四、例习题分析例1（补充）在Rt △ABC ，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c 。

⑵已知a=1,c=2, 求b 。

⑶已知c=17,b=8, 求a 。

⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。

分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

分析：让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。

⑴求等边△ABC 的高。

⑵求S △ABC 。

五、课堂练习 1．填空题⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。

⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= 。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。

⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。

D B A2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

六、课后练习1．填空题在Rt△ABC，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b= 。

⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。

⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。

⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c= 。

⑹如果b=8，a：c=3：5，则c= 。

2．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

学习反思：1.本节课你有哪些收获？2.你还有哪些疑惑？课后作业：p28 3、4、5题。

AB B课题：18.1勾股定理（第3课时）＿＿年＿＿月＿＿日 执教： 一、学习目标1．会用勾股定理解决简单的实际问题。

2．树立数形结合的思想。

二、重点：勾股定理的应用。

难点：实际问题向数学问题的转化。

三、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。

勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。

四、例习题分析 例1（教材P25页）例2（教材P25页）五、课堂练习1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。

2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。

2题图 3题图 4题图3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。

4．如图，原计划从A 地经C 地到B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？AC B六、课后练习1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 。

3．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住 这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。

3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ， 则RQ= 厘米。

4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E 、F 分别为BD 、CD 中点，试求B 、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度。

（精确到1米）学习反思：1.本节课你有哪些收获？2.你还有哪些疑惑？课后作业：p 286、7、8、9题。

Q AB DE F课题：18.1勾股定理（第4课时）＿＿年＿＿月＿＿日 执教： 一、学习目标1．会用勾股定理解决较综合的问题。

2．树立数形结合的思想。

二、重点：勾股定理的综合应用。

难点：勾股定理的综合应用。

三、课堂引入复习勾股定理的内容。

本节课探究勾股定理的综合应用。

四、例习题分析例1（补充）1．已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3， 求线段AB 的长。

分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。

要求学生能够自己画图，并正确标图。

例2（补充）已知：如图，△ABC 中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。

并指出如何作辅助线？例3（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD 的面积。

小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

例4（教材P26页探究） 分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。

变式训练：在数轴上画出表示22,13--的点。

BC五、课堂练习1．△ABC 中，AB=AC=25cm ，高AD=20cm,则BC= ，S △ABC = 。

2．△ABC 中，若∠A=2∠B=3∠C ，AC=32cm ，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S △ABC = 。

3．△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S △ABC = 。

4．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17， 求S △ABC 。

六、课后练习1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，AB= 。

2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c=13，且a ＜b ，则a= ，b= 。

3．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22，求（1）AB 的长；（2）S △ABC 。