高中数学竞赛专题讲座课件：平面几何
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三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线． 几何不等式． 几何极值问题． 几何中的变换：对称、平移、旋转． 圆的幂和根轴． 面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．
（一）、平面几何的几个重要的定理 1、梅涅劳斯定理及其逆定理
若一条直线截△ABC 的三条边 AB、BC、CA （或他们的延长线），所得交点分别为 P、Q、R，
AC AD
且BAC EAD ABC和AED相似
BC ED AD BC AC ED AC AD
AB CD AD BC AC (BE ED)
AB CD AD BC ≥ AC BD
且等号当且仅当 E 在 BD 上时成立,即当且仅当四
例题：如图所示，已知△ABC 的高 AD、BE 交于 H，△ABC、△ABH 的外接圆分别为⊙O 和⊙O1， 求证：⊙O 与⊙O1 的半径相等. 分析:过 A 作⊙O 和⊙O1 的直径 AP、AQ， 连接 PB、QB，则∠ABP=∠ABQ=90º. 故 P、B、Q 三点共线. 因 H 是△ABC 的垂心， 故 D、C、E、H 四点共圆， ∠AHE=∠C.而∠AHE=∠Q，∠C=∠P， 故∠P=∠Q，AP=AQ. 因此⊙O 与⊙O1 的半径相等。 说明：由本题结论，可得垂心的另一个性质： 若 H 是△ABC 的垂心，则⊿ABH、⊿BCH、⊿CAH 的外接圆的半径都 等于⊿ABC 的外接圆的半径.
数学竞赛 专题讲座
平面几何来自百度文库步
一．平面几何主要知识点
平面几何是培养严密推理能力的很好数学分支，且因其证 法多种多样：除了几何证法外，还有三角函数法、解析法、复 数法、向量法等许多证法，这方面的问题受到各种竞赛的青睐， 现在每一届的联赛的第二试都有一道几何题.
平面几何的知识竞赛要求：三角形的边角不等关系;面积 及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性 质; 四个重要定理;几个重要的极值：到三角形三顶点距离之 和最小的点--费马点,到三角形三顶点距离的平方和最小的点 --重心,三角形内到三边距离之积最大的点-----重心;简单的 等周问题。
3.等积变换
一个图形经过变形,但面积保持不变,这种变形称为
等积变换.
例题：如图,在四边形 ABCD 中, △ABD,△BCD,△ABC 的 面 积 比 是 3:4:1, 点 M , N 分 别 在 AC,CD 上 , 满 足 AM : AC CN : CD,并且 B, M , N 共线,求证: M 与 N 分 别是 AC 和 CD的中点.
内心: 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆
圆心.△ABC 的内心一般用字母 I 表示，它具有如下性质：
(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.
(2)∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，则 D 与顶点 B、C、
内心 I 等距(即 D 为△BCI 的外心).
AC1 AP cosPAB BC1 PB cosPBA
由上面的三个式子相乘 且 PAC PBC,PAB PCB,PCA PBA 180
可得 BA1 CB1 AC1 ＝1 ， CA1 AB1 BC1
平面几何的几个重要的定理
托勒密定理：
圆内接四边形中，两 条对角线的乘积(两对角线所包矩 形的面积)等于两组 对边乘积之和(一组对边所包矩形的面
提示：设 AM CN r 0 AC CD
利用面积得图中的一些线段比. 对△DEC 运用梅涅劳斯定理可得 关于 r 的方程,解方程即可.
二、平面几何的常用方法：
三．书籍推荐
（1）《奥赛经典--奥林匹克数学中的几何问题》 沈文选，张垚， 冷岗松编著 湖南师范大学出版社
这本书中高中竞赛平面几何需要的定理介绍的非常全面，且里面 的例题比较经典，能帮助我们很好的对知识点进行理解,适合高中 几何初学者了解平面几何知识，后面例题有困难的话可以留到对 几何知识基本掌握了再练习。
(3)∠BIC=90º+ 1 ∠A，∠CIA=90º + 1 ∠B，∠AIB=90º+ 1 ∠C.
2
2
2
例题：如图所示，在△ABC 中，AB=AC，有一个圆内切于 △ABC 的外接圆，且与 AB、AC 分别相切于 P、Q，求证：
线段 PQ 的中点 O 是△ABC 的内心.
分析：设小圆圆心为 O1 ，⊙ O1 与△ABC 的外接圆切于 D，连 AO1 ， 显然 A O1 ⊥PQ，且△ABC 为等腰三角形， 所以 A O1 过△ABC 的外接圆，D 在 A O1 的延 长线上，从而 O 为△ABC 的顶角∠BAC 的 平分线的点，下面只需证 OB 平分∠ABC. 为此，连接 OB、PD、QD，由对称性易知， OD 平分∠PDQ,而∠APQ=∠PDQ,PQ∥BC， 故∠APQ=∠ABC，∠PDQ=∠ABC，
边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.
平面几何的几个重要的定理
3、塞瓦定理：
设 P、Q、R 分 别 是 ABC的BC、CA、AB 边 上 的 点 , 则
AP、BQ、CR 三线共点的充要条件是:
BP PC
CQ QA
AR RB
1.
A
R M
Q
B
PC
平面几何的几个重要的定理
西姆松定理及其逆定理: 若从△ABC 外接圆上一点作 BC、AB、AC 的垂线，
积与另一组对边所包 矩形的面积之和)．
即：若四边形 ABCD 内接于圆,
则有 AB CD AD BC AC BD.
广义的托勒密定理
在四边形 ABCD 中,
有: ABCD AD BC ≥ AC BD ,
并且当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等号成 立.
广义的托勒密定理:在四边形 ABCD 中,有:
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线
长的计算.
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍.
(3)
SBGC
SCGA
SAGB
1 3
SABC .
外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点).
△ABC 的外心一般用字母 O 表示，它具有如下性质：
几个常用基本知识
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面 积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积 最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周 长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长 最小。
（二）、《高中数学竞赛大纲 》中平面几 何的要求
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密 定理、西姆松定理．
ABCD AD BC ≥ AC BD , 并且当 且仅当 四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.
证明:四边形 ABCD 内取点 E,
使BAE CAD，ABE ACD,ABE和ACD相似
AB BE AB CD AC BE又 AB AE
AC CD
=( 90 －∠1)+( 90 +∠2) =∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP， 又由 PK=PE=PF 知∠K=∠PFK，
∴∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK= 180 ， 从而 E、Q、F、K 四点共圆. 由 PK=PF=PE 知，P 为△EFK 的外心，显然 PQ=PE=PF.于 是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ ABF=90º.由此知 QH⊥AH，即 PQ⊥AB.
由 P、B、D、O 四点共圆得∠PBO=∠PDO= 1 ∠PDQ. 2
所以∠PBO= 1 ∠ABC.于是 O 为△ABC 的内心. 2
说明：本题还可证明 O 到△ABC 的三边距离相等.
垂心: 三角形三条高线所在的直线的交点.△ABC 的垂心一般用字 母 H 表示，它具有如下的性质： (1)顶点与垂心连线必垂直对边，即 AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。 (2)若 H 在△ABC 内，且 AH、BH、CH 分别与对边相交于 D、E、F， 则 A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、 D；A、B、D、E 共六组四点共圆. (3)△ABH 的垂心为 C,△BHC 的垂心为 A,△ACH 的垂心为 B. (4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的 2 倍.
（三）面积法与等积变换
主要知识：
1.面积公式
S△ ABC
1 2 aha
1 2
ab sin C
2R2
sin
Asin B sinC
S△ABC p( p a)( p b)( p c) pr (p 是周长的一半) 2.面积定理
等底等高的三角形的面积相等.
等高(比)的两个三角形的面积之经等于底(高)之比.
三．书籍推荐
（2）《平面几何证明方法全书》 沈文选著 哈尔滨工业大学出版社
这门书详细介绍了平面几何的主要证明方法， 以及一些问题的常用思路，且有相应的例题 帮助理解，适合平面几何的入门，后面做了 一些练习后再看这本书也能对平面几何产生 更深的理解。
则有 AR BP CQ 1. RB PC QA
结论反过来 也成立.
(西姆松定理及其逆定理) 例题：点 P 位于 ABC 的处接圆上, A1、B1、C1 是从点 P 向 BC、CA、AB引的垂线的垂足, 求证:点 A1、B1、C1 共线. 证:易得
BA1 BP cosPBC , CB1 CP cosPCA , CA1 CP cosPCB AB1 AP cosPAC
垂足分别为 D、E、F ，则 D、E、F 三点共线. 反过来也成立.
这条直线叫西姆松线.
（二）三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的 二.与五心有关的性质
三.与三角形的五心有关的几何竞赛题.
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质：
(1)外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC.
(2)∠A= 1 BOC,B 1 AOC,C 1 AOB .
2
2
2
如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心
有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就
可以大显神通了.
例题：AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q，过 E、 F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB. 分析：延长 EP 到 K，使 PK=PE，连 KF、AE、EF、BF， 直线 PQ 交 AB 于 H.因∠EQF=∠AQB
（一）、平面几何的几个重要的定理 1、梅涅劳斯定理及其逆定理
若一条直线截△ABC 的三条边 AB、BC、CA （或他们的延长线），所得交点分别为 P、Q、R，
AC AD
且BAC EAD ABC和AED相似
BC ED AD BC AC ED AC AD
AB CD AD BC AC (BE ED)
AB CD AD BC ≥ AC BD
且等号当且仅当 E 在 BD 上时成立,即当且仅当四
例题：如图所示，已知△ABC 的高 AD、BE 交于 H，△ABC、△ABH 的外接圆分别为⊙O 和⊙O1， 求证：⊙O 与⊙O1 的半径相等. 分析:过 A 作⊙O 和⊙O1 的直径 AP、AQ， 连接 PB、QB，则∠ABP=∠ABQ=90º. 故 P、B、Q 三点共线. 因 H 是△ABC 的垂心， 故 D、C、E、H 四点共圆， ∠AHE=∠C.而∠AHE=∠Q，∠C=∠P， 故∠P=∠Q，AP=AQ. 因此⊙O 与⊙O1 的半径相等。 说明：由本题结论，可得垂心的另一个性质： 若 H 是△ABC 的垂心，则⊿ABH、⊿BCH、⊿CAH 的外接圆的半径都 等于⊿ABC 的外接圆的半径.
数学竞赛 专题讲座
平面几何来自百度文库步
一．平面几何主要知识点
平面几何是培养严密推理能力的很好数学分支，且因其证 法多种多样：除了几何证法外，还有三角函数法、解析法、复 数法、向量法等许多证法，这方面的问题受到各种竞赛的青睐， 现在每一届的联赛的第二试都有一道几何题.
平面几何的知识竞赛要求：三角形的边角不等关系;面积 及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性 质; 四个重要定理;几个重要的极值：到三角形三顶点距离之 和最小的点--费马点,到三角形三顶点距离的平方和最小的点 --重心,三角形内到三边距离之积最大的点-----重心;简单的 等周问题。
3.等积变换
一个图形经过变形,但面积保持不变,这种变形称为
等积变换.
例题：如图,在四边形 ABCD 中, △ABD,△BCD,△ABC 的 面 积 比 是 3:4:1, 点 M , N 分 别 在 AC,CD 上 , 满 足 AM : AC CN : CD,并且 B, M , N 共线,求证: M 与 N 分 别是 AC 和 CD的中点.
内心: 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆
圆心.△ABC 的内心一般用字母 I 表示，它具有如下性质：
(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.
(2)∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，则 D 与顶点 B、C、
内心 I 等距(即 D 为△BCI 的外心).
AC1 AP cosPAB BC1 PB cosPBA
由上面的三个式子相乘 且 PAC PBC,PAB PCB,PCA PBA 180
可得 BA1 CB1 AC1 ＝1 ， CA1 AB1 BC1
平面几何的几个重要的定理
托勒密定理：
圆内接四边形中，两 条对角线的乘积(两对角线所包矩 形的面积)等于两组 对边乘积之和(一组对边所包矩形的面
提示：设 AM CN r 0 AC CD
利用面积得图中的一些线段比. 对△DEC 运用梅涅劳斯定理可得 关于 r 的方程,解方程即可.
二、平面几何的常用方法：
三．书籍推荐
（1）《奥赛经典--奥林匹克数学中的几何问题》 沈文选，张垚， 冷岗松编著 湖南师范大学出版社
这本书中高中竞赛平面几何需要的定理介绍的非常全面，且里面 的例题比较经典，能帮助我们很好的对知识点进行理解,适合高中 几何初学者了解平面几何知识，后面例题有困难的话可以留到对 几何知识基本掌握了再练习。
(3)∠BIC=90º+ 1 ∠A，∠CIA=90º + 1 ∠B，∠AIB=90º+ 1 ∠C.
2
2
2
例题：如图所示，在△ABC 中，AB=AC，有一个圆内切于 △ABC 的外接圆，且与 AB、AC 分别相切于 P、Q，求证：
线段 PQ 的中点 O 是△ABC 的内心.
分析：设小圆圆心为 O1 ，⊙ O1 与△ABC 的外接圆切于 D，连 AO1 ， 显然 A O1 ⊥PQ，且△ABC 为等腰三角形， 所以 A O1 过△ABC 的外接圆，D 在 A O1 的延 长线上，从而 O 为△ABC 的顶角∠BAC 的 平分线的点，下面只需证 OB 平分∠ABC. 为此，连接 OB、PD、QD，由对称性易知， OD 平分∠PDQ,而∠APQ=∠PDQ,PQ∥BC， 故∠APQ=∠ABC，∠PDQ=∠ABC，
边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.
平面几何的几个重要的定理
3、塞瓦定理：
设 P、Q、R 分 别 是 ABC的BC、CA、AB 边 上 的 点 , 则
AP、BQ、CR 三线共点的充要条件是:
BP PC
CQ QA
AR RB
1.
A
R M
Q
B
PC
平面几何的几个重要的定理
西姆松定理及其逆定理: 若从△ABC 外接圆上一点作 BC、AB、AC 的垂线，
积与另一组对边所包 矩形的面积之和)．
即：若四边形 ABCD 内接于圆,
则有 AB CD AD BC AC BD.
广义的托勒密定理
在四边形 ABCD 中,
有: ABCD AD BC ≥ AC BD ,
并且当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等号成 立.
广义的托勒密定理:在四边形 ABCD 中,有:
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线
长的计算.
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍.
(3)
SBGC
SCGA
SAGB
1 3
SABC .
外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点).
△ABC 的外心一般用字母 O 表示，它具有如下性质：
几个常用基本知识
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面 积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积 最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周 长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长 最小。
（二）、《高中数学竞赛大纲 》中平面几 何的要求
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密 定理、西姆松定理．
ABCD AD BC ≥ AC BD , 并且当 且仅当 四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.
证明:四边形 ABCD 内取点 E,
使BAE CAD，ABE ACD,ABE和ACD相似
AB BE AB CD AC BE又 AB AE
AC CD
=( 90 －∠1)+( 90 +∠2) =∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP， 又由 PK=PE=PF 知∠K=∠PFK，
∴∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK= 180 ， 从而 E、Q、F、K 四点共圆. 由 PK=PF=PE 知，P 为△EFK 的外心，显然 PQ=PE=PF.于 是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ ABF=90º.由此知 QH⊥AH，即 PQ⊥AB.
由 P、B、D、O 四点共圆得∠PBO=∠PDO= 1 ∠PDQ. 2
所以∠PBO= 1 ∠ABC.于是 O 为△ABC 的内心. 2
说明：本题还可证明 O 到△ABC 的三边距离相等.
垂心: 三角形三条高线所在的直线的交点.△ABC 的垂心一般用字 母 H 表示，它具有如下的性质： (1)顶点与垂心连线必垂直对边，即 AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。 (2)若 H 在△ABC 内，且 AH、BH、CH 分别与对边相交于 D、E、F， 则 A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、 D；A、B、D、E 共六组四点共圆. (3)△ABH 的垂心为 C,△BHC 的垂心为 A,△ACH 的垂心为 B. (4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的 2 倍.
（三）面积法与等积变换
主要知识：
1.面积公式
S△ ABC
1 2 aha
1 2
ab sin C
2R2
sin
Asin B sinC
S△ABC p( p a)( p b)( p c) pr (p 是周长的一半) 2.面积定理
等底等高的三角形的面积相等.
等高(比)的两个三角形的面积之经等于底(高)之比.
三．书籍推荐
（2）《平面几何证明方法全书》 沈文选著 哈尔滨工业大学出版社
这门书详细介绍了平面几何的主要证明方法， 以及一些问题的常用思路，且有相应的例题 帮助理解，适合平面几何的入门，后面做了 一些练习后再看这本书也能对平面几何产生 更深的理解。
则有 AR BP CQ 1. RB PC QA
结论反过来 也成立.
(西姆松定理及其逆定理) 例题：点 P 位于 ABC 的处接圆上, A1、B1、C1 是从点 P 向 BC、CA、AB引的垂线的垂足, 求证:点 A1、B1、C1 共线. 证:易得
BA1 BP cosPBC , CB1 CP cosPCA , CA1 CP cosPCB AB1 AP cosPAC
垂足分别为 D、E、F ，则 D、E、F 三点共线. 反过来也成立.
这条直线叫西姆松线.
（二）三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的 二.与五心有关的性质
三.与三角形的五心有关的几何竞赛题.
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质：
(1)外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC.
(2)∠A= 1 BOC,B 1 AOC,C 1 AOB .
2
2
2
如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心
有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就
可以大显神通了.
例题：AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q，过 E、 F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB. 分析：延长 EP 到 K，使 PK=PE，连 KF、AE、EF、BF， 直线 PQ 交 AB 于 H.因∠EQF=∠AQB