高一下册数学圆的方程知识点

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高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点

<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。

高一数学必修二《圆与方程》知识点整理

高一数学必修二《圆与方程》知识点整理一、标准方程()()222x a y b r -+-=1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2 ②利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点 ()2220x y r r +=≠ 过原点 ()()()2222220x a y b a bab -+-=++≠圆心在x 轴上 ()()2220x a y rr -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b rr +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b bb +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b bb -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切 ()()()2220x a y b a a b -+-==≠二、一般方程()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则22220004040A B A B C C D E AF D E F A A A ⎧⎪=≠=≠⎧⎪⎪⎪=⇔=⎨⎨⎪⎪+->⎩⎛⎫⎛⎫⎪+-⋅> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材122P 例r 4 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外 2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）（1）相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔> （2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔= （3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切（1）知识要点 ①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->]第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程.答案：3410x y -+=和1x = ii ）点在圆上1）若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2）若点()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=上，则切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，22222AP CP r AP CP r =-⇒=-求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC AP AC rk k ⎧=⎨⋅=-⎩3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理．．．．及勾股定理——常用弦长公式：()()222121212114l kx k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,6 4.直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题1.若圆()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____. 答案：3（注意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去）变式：已知点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.2.圆()()22131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.3.圆()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________.4.已知直线l ：y x b =+与圆C ：221x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫⎪⎝⎭？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由.六、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程 1.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：（1）5yx -的最大值和最小值；——看作斜率（2）y x -的最小值；——截距（线性规划）（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方2.已知AOB ∆中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ∆内切圆上一点，求以PA ，PB ，PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可！3.设(),P x y 为圆()2211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是____________. 答案：21c ≥（数形结合和参数方程两种方法均可！）七、圆的参数方程()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数 ()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数八、相关应用1.若直线240mx ny +-=（m ，n R ∈），始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则m n ⋅的取值范围是______________.2.已知圆C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.提示：12120x x y y +=或弦长公式2121d k x =+-. 答案：10x y -+=或40x y --=3.已知圆C ：()()22341x y -+-=，点()0,1A ，()0,1B ，设P 点是圆C 上的动点，22d PA PB =+，求d 的最值及对应的P 点坐标.4.已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=（m R ∈）（1）证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点；（2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线y x k =-+与曲线21x y =--k 的取值范围.6.已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数m ，使OP OQ ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d 为圆心距）（1）12d r r >+⇔外离（2）12d r r =+⇔外切（3）1212r r d r r -<<+⇔相交（4）12d r r =-⇔内切（5）12d r r <-⇔内含 2.两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 补充说明：若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题（1）过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）说明：1）上述圆系不包括2C ；2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：222OP AP OA +=（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动↓ ↓动点主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例1.如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式.例2.已知圆O ：229x y +=，点()3,0A ，B 、C 是圆O 上的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且3BAC π∠=，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程.法1：3BAC π∠=，BC ∴为定长且等于33设(),G x y ，则33333A B C B C A B C B C x x x x x x y y y y y y ++++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩取BC 的中点为33,24E x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，333,42E y ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦ 222OE CE OC +=，2294E E x y ∴+=（1）2222B C E B C E B C E B C Ex x x x x x y y y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=+⎩⎪=⎪⎩，3233322323E E E E x x x x y y yy +-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩故由（1）得：()2222333933110,,,122422x y x y x y ⎛⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎫+=⇒-+=∈∈- ⎥ ⎪ ⎪⎪⎢ ⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦法2：（参数法）设()3cos ,3sin B θθ，由223BOC BAC π∠=∠=，则 223cos ,3sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设(),G x y ，则()()233cos 3cos 231cos cos 133323sin 3sin 23sin sin 2333A B C A B C x x x x y y y y πθθπθθπθθπθθ⎧⎛⎫+++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭⎪===+++ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭===++⎪ ⎪⎝⎭⎩4,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()()22112-+得：()2233110,,,122x y x y ⎛⎤⎡⎫-+=∈∈- ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消．参．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围. （4）求轨迹方程常用到得知识①重心(),G x y ，33A B C A B C x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩②中点(),P x y ，121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩③内角平分线定理：BD AB CDAC=④定比分点公式：AMMB λ=，则1AB M x x x λλ+=+，1A B M y y y λλ+=+ ⑤韦达定理.。

高一数学必修二 4.1.2 圆的一般方程

知识梳理
12
【做一做2】已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O
是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是
.
答案:x2+y2=1
重难点突破
12
1.圆的标准方程和一般方程的对比剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显. (2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显. (3)相互转化,如图所示.
知识梳理
12
【做一做1-1】圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是 ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
解析:D=-2,E=4,则圆心坐标为 - -2 ,- 4 , 即(1,-2).
22
答案:A
知识梳理
12
【做一做1-2】圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.25
高一数学必修二教学课件
第四章圆与方程
4.1.2 圆的一般方程
学习目标
1.正确理解圆的一般方程及其特点. 2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.
知识梳理
12
1.圆的一般方程 (1)方程:当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一
;当
Hale Waihona Puke D2+E2-4F<0 时,不表示任何图形.

高一数学必修二知识点解析：圆的方程

高一数学必修二知识点解析：圆的方程数学是一门很特别的科目，想要学好数学并不能难，只要掌握重要的知识点就可以得心应手，小编为大家整理了高一数学必修二知识点解析：圆的方程一文，希望能够帮助到各位同学们的复习。

高一数学知识点解析：圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程（1）标准方程，圆心，半径为r；（2）一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当时两圆外离，此时有公切线四条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。

为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。

要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。

高一数学公式和知识点

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高中圆与方程的总结知识点

高中圆与方程的总结知识点一、圆的基本概念1.1. 定义：圆是平面上与一个给定点的距离等于一个常数的点的集合。

1.2. 圆的要素：圆心、半径，圆的圆心记为O，圆的半径记作r。

1.3. 圆的直径：过圆心的两个点之间的线段称为圆的直径，它的长度等于圆的半径的两倍。

1.4. 圆的线段：圆上的一段弧称为圆的线段。

1.5. 圆的弧长：圆的线段的长度。

1.6. 圆的圆周角：圆上的一段的圆弧，其两端点为圆上的两点，则弧所对的圆心角称为圆的圆周角，当圆周角的弧的度数是360度时，这个角也叫圆的周角。

二、圆方程的基本概念2.1. 圆的标准方程：以点(h,k)为圆心,r为半径的圆方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。

2.2. 圆的一般方程：圆的一般方程的一般形式为x²+y²+ax+by+c=0。

三、圆与直线的方程3.1. 圆与坐标轴的交点：圆与x轴的交点（a，0）和与y轴的交点（0，b）。

3.2. 圆与直线的位置关系：圆可能与直线相切、相交或者不相交。

3.3. 圆的切线方程：圆的切线方程要求切点在圆上，与圆的切线垂直于和直径的直线相。

四、圆与圆的方程4.1. 圆的位置关系：两个圆可能相离、外切、内切、相交或者包含。

4.2. 圆的位置关系对应的方程：通过分析圆心之间的距离与半径之间的关系，可以确定两个圆的位置关系。

五、圆的参数化方程5.1. 参数化方程的定义：参数是指由一个或几个变化的量组成的多元函数。

5.2. 圆的参数化方程：圆可以用参数方程表示为：x=r*cos(t)，y=r*sin(t)。

六、解题技巧6.1. 圆方程与圆心、半径的关系：根据圆的标准方程，可以直接读出圆心的坐标和半径的值。

6.2. 圆的切线方程：根据圆的切线要求即切点在圆上，利用斜率的关系求出切线的斜率，然后代入切点的坐标得出切线方程。

6.3. 圆与直线的位置关系：通过解方程组，可以得出圆与直线的交点坐标，从而分析它们的位置关系。

圆的方程的知识点总结

圆的方程的知识点总结一、圆的标准方程圆的标准方程是圆心在原点(0,0)、半径为r的圆的方程。

它可以表示为：x^2 + y^2 = r^2其中，(x,y)是圆上的任意点，r是圆的半径。

这个方程可以用来描述一个圆的几何形状和位置。

当圆心不在原点时，我们可以通过平移坐标系的方式将圆心移到原点，然后再应用标准方程。

这样，任意圆的方程都可以被化简为标准方程的形式。

二、圆的一般方程圆的一般方程是一个更一般的表示方法，它可以描述任意圆的方程，即圆心不一定在原点，半径也不一定为正值。

一般方程的形式如下：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h,k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

通过这个方程，我们可以描述圆的任何位置和大小。

三、圆的参数方程圆的参数方程是用参数形式表示的圆的方程。

一个圆的参数方程可以表示为：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中，t是一个参数，取值范围一般是[0,2π]。

通过不同的参数取值，我们可以得到圆上的所有点。

参数方程的形式在一些数学和物理问题中有一定的应用价值。

四、圆的性质1.圆的直径和周长圆的直径是通过圆心的任意一条线段，它的长度是圆的半径的两倍。

而圆的周长则是圆周的长度，可以通过以下公式计算：C = 2πr其中，r是圆的半径，C是圆的周长。

2.圆的面积圆的面积是圆内部的所有点的集合，可以利用下面的公式来计算：A = πr^2其中，r是圆的半径，A是圆的面积。

这个公式也可以通过积分的方式来推导。

3.切线对于给定的圆和一点P在圆上，我们可以找到一条直线，它通过点P且与圆相切。

切线的斜率可以通过圆心和点P的连线来确定。

这个性质在解决与圆有关的问题时有很大的帮助。

五、圆的应用圆在日常生活和工程中有着广泛的应用，下面是一些例子：1. 圆的几何构造：利用圆的性质可以进行各种几何构造，例如正多边形的内切圆和外接圆、切线的构造等。

2. 圆的运动学：在物理学中，圆的运动学问题是一个常见的问题，如圆周运动、圆形轨道的运动等。

高一数学圆方程知识点

高一数学圆方程知识点圆方程是高中数学中的一个重要知识点，它在几何图形的研究中有着广泛的应用。

下面，我将为大家详细介绍高一数学圆方程的相关内容。

一、圆的一般方程在平面直角坐标系中，圆可以用一般方程表示，其一般方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。

二、圆的标准方程圆的标准方程是圆的一般方程的简化形式，标准方程为：x² +y² + Dx + Ey + F = 0。

其中，圆心的坐标为(-D/2, -E/2)，半径的平方为R² = (D²+E²)/4-F。

三、与坐标轴平行的圆1. 与x轴平行的圆当圆的圆心位于原点时，圆的方程可以表示为x² + y² = r²。

当圆的圆心不位于原点时，可以用(x-a)² + y² = r²来表示。

2. 与y轴平行的圆当圆的圆心位于原点时，圆的方程可以表示为x² + y² = r²。

当圆的圆心不位于原点时，可以用x² + (y-b)² = r²来表示。

四、圆的切线方程圆的切线是与圆的边缘只有一个交点的直线。

求圆的切线方程的步骤如下：1. 求切点坐标设圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，已知切线的斜率为k。

通过方程联立，求解出切点坐标(x₁, y₁)。

2. 求切线方程根据切线的定义，切线方程可表示为y-y₁ = k(x-x₁)。

五、与直线的位置关系1. 直线与圆相交当直线与圆相交时，有三种可能的情况：相交于两点、相切于一点和不相交。

2. 直线与圆外切当直线与圆外切时，直线到圆心的距离等于圆的半径。

可以通过计算直线到圆心的距离来判断。

3. 直线与圆内切当直线与圆内切时，直线到圆心的距离小于圆的半径。

圆的方程知识点总结

圆的方程知识点总结圆是平面上一组距离等于定值的点构成的集合。

圆的方程是描述圆的位置和形状的数学公式。

在平面直角坐标系中，圆的方程通常以(x,y)表示平面上的点，以(r)表示圆的半径。

圆的方程有多种表示形式，包括标准圆的方程和一般圆的方程。

在本文中，我们将讨论这两种表示形式，并就圆的方程的一些重要知识点进行总结。

一、标准圆的方程在平面直角坐标系中，标准圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

在标准圆的方程中，圆心的坐标是负号，而圆的半径是正号。

例：方程(x - 2)² + (y + 3)² = 4这是一个以(2, -3)为圆心，半径为2的标准圆的方程。

二、一般圆的方程一般圆的方程可以表示为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中D，E和F是常数，而一般圆的方程的系数则表示圆心的坐标和半径。

在一般圆的方程中，圆心的坐标可以通过系数D和E计算：圆心的横坐标(h) = -D/2圆心的纵坐标(k) = -E/2而圆的半径可以通过系数D，E和F计算：r² = h² + k² - F一般圆的方程可以通过圆心的坐标和半径的公式推导出来。

例：方程x² + y² - 4x + 6y + 12 = 0这是一个以(2, -3)为圆心，半径为2的一般圆的方程。

三、圆的一般方程与标准方程的转换在平面直角坐标系中，标准圆的方程可以通过圆的半径和圆心的坐标得到，而一般圆的方程可以通过圆的半径和圆心的坐标得到。

通过圆心的坐标和半径的公式，我们可以将一般圆的方程转换成标准圆的方程。

同样地，我们也可以将标准圆的方程转换成一般圆的方程。

四、圆的方程的性质1. 圆的方程中，系数D和E总是成对出现，即D和E的系数相等。

2. 圆的半径r永远是正数。

人教版高一数学知识点总结3篇

人教版高一数学知识点总结3篇人教版高一数学学问点总结1圆的方程定义：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

直线和圆的位置关系：1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来争辩位置关系.①Δ0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ0,直线和圆相离.方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R 的大小加以比较.①dR,直线和圆相离.2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种状况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种状况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.切线的性质⑴圆心到切线的距离等于圆的半径;⑵过切点的半径垂直于切线;⑶经过圆心,与切线垂直的直线必经过切点;⑷经过切点,与切线垂直的直线必经过圆心;当一条直线满足(1)过圆心;(2)过切点;(3)垂直于切线三共性质中的两个时,第三共性质也满足.切线的判定定理经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线长定理从圆外一点作圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.圆锥曲线性质：一、圆锥曲线的定义1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆.2.双曲线：到两个定点的距离的差的确定值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线.即.3.圆锥曲线的统确定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当01时为双曲线. 人教版高一数学学问点总结21、函数零点的定义(1)对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy 的零点。

高一下册数学圆的方程知识点优选份

高一下册数学圆的方程知识点优选份高一下册数学圆的方程知识点 1圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(__a)^2+(y-b)^2=r^2。

特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。

圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4.故有：(1)、当D^2+E^2-4F0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以(D^2+E^2-4F)/2为半径的圆;(2)、当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点(-D/2，-E/2);(3)、当D^2+E^2-4F0时，方程不表示任何图形。

圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cos,y=b+r*sin, (其中为参数)圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为(__a1)(__a2)+(y-b1)(y-b2)=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0__+b0*y=r^2在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0__+b0*y=r^2圆的方程：1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程（1）标准方程，圆心，半径为r；（2）一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。

高一数学圆与圆方程知识点

高一数学圆与圆方程知识点圆是初中数学学习中的一个重要的几何图形，而高一数学进一步深入了解和学习圆的性质和方程。

下面将介绍高一数学圆与圆方程的相关知识点。

一、圆的相关概念1. 圆的定义圆是平面上一点到另一点距离等于定值的所有点的集合。

2. 圆的元素圆心：圆心是圆上所有点到公共定值的点，通常用字母O表示。

半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。

直径：直径是通过圆心的两个点之间的距离，等于半径的2倍。

二、圆的方程1. 标准方程圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径长度。

例如：(x-2)²+(y+3)²=9 表示圆心坐标为(2, -3)，半径长度为3的圆。

2. 一般方程圆的一般方程是x²+y²+Ax+By+C=0，其中A,B,C是实数且A²+B²≠0。

要将一般方程转化为标准方程，可以使用配方完成平方的方式。

三、切线和法线1. 切线切线是与圆只有一个交点，并且与圆相切于该点的直线。

切线的斜率等于与圆心连线的斜率的负倒数。

2. 法线法线是与切线垂直的直线，与圆相交于切点。

法线的斜率等于切线的斜率的负倒数。

四、圆与圆的位置关系1. 相交两个圆相交的情况下，有两个交点。

如果两个圆的半径相等，那么交点重合，两个圆是重合的。

如果两个圆的半径不等，那么交点不重合，两个圆是相交的。

2. 相切两个圆外切的情况下，外切点重合，两个圆是相切的。

如果两个圆的半径相等，那么两个圆是内切的。

如果两个圆的半径不等，那么两个圆是外切的。

3. 相离两个圆没有交集，并且没有公共点的情况下，两个圆是相离的。

高一数学圆与圆方程的知识点如上所述，通过了解和掌握这些知识，可以更好地理解和应用圆的性质和方程。

希望本文对你学习圆与圆方程有所帮助。

圆方程的知识点总结

圆方程的知识点总结圆方程的一般形式是(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

这个方程描述了平面上的所有满足给定半径和圆心的点。

在本文中，我们将总结圆方程的知识点，包括圆的标准方程、圆心的坐标、半径的计算、以及圆方程的应用和相关问题。

1. 圆的标准方程圆的标准方程是(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

这个方程描述了平面上的所有满足给定半径和圆心的点。

通过这个方程，我们可以很容易地确定圆的位置和形状。

2. 圆心的坐标圆心的坐标(h, k)可以通过观察图形或给定的条件来确定。

在某些情况下，我们可以直接读取出来；在其他情况下，我们需要进行计算或使用相关的定理来确定圆心的坐标。

3. 半径的计算圆的半径r可以通过观察图形或给定的条件来确定。

在某些情况下，我们可以直接读取出来；在其他情况下，我们需要进行计算或使用相关的定理来确定圆的半径。

4. 圆方程的应用圆方程在几何学和代数学中有着广泛的应用。

在几何学中，我们可以使用圆方程来描述和分析圆形的几何性质，比如圆心的位置、半径的长度、以及与其他几何图形的关系。

在代数学中，我们可以使用圆方程来解决与圆相关的代数问题，比如求解圆与直线或另一个圆的交点、进行坐标变换等。

5. 相关问题与圆方程相关的问题有很多种，包括但不限于：求解给定圆的标准方程；确定给定圆心和半径的圆的方程；利用圆方程分析几何问题；求解圆与其他几何图形的交点；求解圆的参数方程等。

总而言之，圆方程是描述圆形的重要数学工具，在几何学和代数学中有着广泛的应用。

通过掌握圆方程的知识点，我们可以更好地理解和分析与圆相关的问题，掌握解题的方法和技巧，为进一步的学习和研究打下坚实的基础。

高一数学圆的标准方程和一般方程公式

高一数学圆的标准方程和一般方程公式
高一数学圆的标准方程和一般方程公式
：期中考试已经结束了，大家知道自己还有哪些知识不熟了吗?小编也为大家整理了高一数学圆的公式，希望大家喜欢。

圆：体积=4/3(π)(r^3)
面积=(π)(r^2)
周长=2(π)r
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
(一)椭圆周长计算公式
椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。

(二)椭圆面积计算公式
椭圆面积公式：S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高
总结：高一数学圆的公式就为大家介绍完了，高考是重要的考试，大家要好好把握。

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圆的标准方程-高中数学知识点讲解

圆的标准方程1．圆的标准方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r 的圆的方程为：x2+y2＝r2．其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．【解题思路点拨】已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r 的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根据已知条件，列出关于a，b，r 的方程组；（3）求出a，b，r 的值，代入所设方程中即可．另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．【命题方向】可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r 值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r 的值或解得圆的一般方程再进行转化．例 1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y+2）2＝5分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，由圆M 经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，1/ 3故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．例 2：若圆C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x﹣3y＝0 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线 4x﹣3y＝0 相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a 与b 的关系式，又圆与x 轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径 1，由圆心在第一象限可知b 等于圆的半径，确定出b 的值，把b 的值代入求出的a 与b 的关系式中，求出a 的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），由圆与直线 4x﹣3y＝0 相切，可得圆心到直线的距离d =|4푎―3푏|5=r＝1，化简得：|4a﹣3b|＝5①，又圆与x 轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1 或b＝﹣1（舍去），把b＝1 代入①得：4a﹣3＝5 或 4a﹣3＝﹣5，解得a＝2 或a =―12（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．故选：A点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d 等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．例 3：圆x2+y2+2y＝1 的半径为（）A．1 B．2C．2 D．4分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．解答：圆x2+y2+2y＝1 化为标准方程为x2+（y+1）2＝2，2/ 3故半径等于2，故选B．点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．3/ 3。

高一数学复习考点知识专题讲解9--- 圆的标准方程

高一数学复习考点知识专题讲解圆的标准方程学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系．知识点一圆的标准方程(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.知识点二点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点M在圆外|CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2点M在圆内|CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r21．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(×)2．确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(√)3．圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(×)4．(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(×)一、求圆的标准方程例1 (1)与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．答案 (x ＋5)2＋(y ＋3)2＝25解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y 轴相切， ∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x ＋5)2＋(y ＋3)2＝25.(2)以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的标准方程是__________________．答案 (x －1)2＋(y －2)2＝25 解析 ∵AB 为直径， ∴AB 的中点(1,2)为圆心，12|AB |＝12(5＋3)2＋(5＋1)2＝5为半径， ∴该圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25. 反思感悟直接法求圆的标准方程的策略确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．跟踪训练1 求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；(2)圆心在y 轴上，半径为5，且过点(3，－4)．解 (1)r 2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝8. (2)设圆心为C (0，b )，则(3－0)2＋(－4－b )2＝52， ∴b ＝0或b ＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，又r ＝5，∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝25或x 2＋(y ＋8)2＝25. 二、点与圆的位置关系例2 (1)点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．点P 在圆内 B ．点P 在圆外 C ．点P 在圆上 D ．不确定答案 B解析由(m 2)2＋52＝m 4＋25>24，得点P 在圆外．(2)已知点M (5a ＋1，a )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围为________________．答案 [0,1)解析由题意知⎩⎨⎧a ≥0，(5a ＋1－1)2＋(a )2<26，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，26a <26，解得0≤a <1. 反思感悟判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．跟踪训练2 已知点A (1,2)和圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2，试分别求满足下列条件的实数a 的取值范围：(1)点A 在圆的内部； (2)点A 在圆上； (3)点A 在圆的外部．解 (1)因为点A 在圆的内部，所以(1－a )2＋(2＋a )2<2a 2，且a 不为0，解得a <－2.5.(2)因为点A 在圆上，所以(1－a )2＋(2＋a )2＝2a 2，解得a ＝－2.5.(3)因为点A 在圆的外部，所以(1－a )2＋(2＋a )2>2a 2，且a 不为0，解得a >－2.5且a ≠0.待定系数法与几何法求圆的标准方程典例求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程．解方法一(待定系数法)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 方法二 (几何法)由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)，半径为r ＝42＋(－3)2＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.[素养提升](1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程．(3)像本例，理解运算对象，探究运算思路，求得运算结果．充分体现数学运算的数学核心素养．1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为()A．(－1,5)，3B．(1，－5)， 3C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3答案 B2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9答案 D解析由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.3．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定答案 B4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1答案 A解析方法一(直接法)设圆的圆心为C(0，b)，则(0－1)2＋(b－2)2＝1，∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.方法二(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.5．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为__________．答案a>113或a<－113解析∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1，169a2>1，a2>1169，∴a>113或a＜－1 13.1．知识清单：(1)圆的标准方程．(2)点和圆的位置关系．2．方法归纳：直接法、几何法、待定系数法．3．常见误区：几何法求圆的方程出现漏解情况．1．圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是() A．(x＋3)2＋(y＋1)2＝5C ．(x －3)2＋(y －1)2＝5D ．(x －3)2＋(y －1)2＝25 答案 D2．圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝13的周长是( ) A.13π B ．213π C ．2π D ．23π 答案 B解析由圆的标准方程可知，其半径为13，周长为213π.3．已知点A (3，－2)，B (－5,4)，以线段AB 为直径的圆的标准方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100 答案 B解析由题意得圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝12|AB |＝12(3＋5)2＋(－2－4)2＝5，所以圆的标准方程是(x ＋1)2＋(y －1)2＝25.故选B.4．若点A (a ＋1,3)在圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝m 外，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，5) C ．(0,5) D ．[0,5] 答案 C解析由题意，得(a ＋1－a )2＋(3－1)2>m ，即m <5，又易知m >0，所以0<m <5，故选C.5．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的标准方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52答案 B解析如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r ＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13. 故所求圆的标准方程为 (x －2)2＋(y ＋3)2＝13.6．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________. 答案 ±2解析 ∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上， ∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2， ∴m ＝±2.7．圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝1关于直线x ＋y －3＝0对称的圆的标准方程是________________．答案 (x －4)2＋y 2＝1解析设圆心A (3，－1)关于直线x ＋y －3＝0对称的点B 的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3·(－1)＝－1，a ＋32＋b －12－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，故所求圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1.8．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以点C 为圆心，5为半径的圆的标准方程是________________．解析将直线方程整理为(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0，可知直线恒过点(－1,2)，从而所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.9．已知圆C 过点A (3,1)，B (5,3)，圆心在直线y ＝x 上，求圆C 的标准方程．解设圆心C (a ，a )，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(a －1)2＝r 2，(a －5)2＋(a －3)2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，r ＝2，∴圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4. 10．已知点A (－1,2)和B (3,4)．求： (1)线段AB 的垂直平分线l 的方程； (2)以线段AB 为直径的圆的标准方程．解由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(1,3)． (1)∵A (－1,2)，B (3,4)， ∴直线AB 的斜率k AB ＝4－23－(－1)＝12.∵直线l 垂直于直线AB ， ∴直线l 的斜率k l ＝－1k AB ＝－2，∴直线l 的方程为y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0. (2)∵A (－1,2)，B (3,4)，∴|AB |＝(3＋1)2＋(4－2)2＝20＝25， ∴以线段AB 为直径的圆的半径r ＝12|AB |＝ 5.又圆心为C (1,3)，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.11．已知圆心在x轴上的圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则C的标准方程为()A．(x＋4)2＋y2＝50 B．(x＋4)2＋y2＝25C．(x－4)2＋y2＝50 D．(x－4)2＋y2＝25答案 A解析根据题意，设圆的圆心C的坐标为(m，0)，若圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则有(3－m)2＋1＝(m－1)2＋25，解得m＝－4，即圆心C为(－4,0)，则圆的半径r＝|CA|＝(3＋4)2＋1＝50，则圆C的标准方程为(x＋4)2＋y2＝50，故选A.12．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程为()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0答案 D解析圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0,3)．因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.13．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9答案 B解析由(3＋2λ)x ＋(3λ－2)y ＋5－λ＝0，得(2x ＋3y －1)λ＋(3x －2y ＋5)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －1＝0，3x －2y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即P (－1,1)． ∵圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，∴|PC |＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝5，∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，故选B.14．已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为__________．答案 1＋ 2解析 (x －1)2＋(y －1)2的几何意义是圆上的点P (x ，y )到点(1,1)的距离，因此最大值为2＋1.15．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的标准方程为______________．答案x 2＋(y ＋1)2＝1解析由已知圆(x －1)2＋y 2＝1，设其圆心为C 1，则圆C 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1.设圆心C 1(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点的坐标为(a ，b )，即圆心C 的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧b a －1·(－1)＝－1，－a ＋12＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1. 所以圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.16．已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 1关于直线l 对称的圆C 2的标准方程．解设圆C 2的圆心坐标为(m ，n )．因为直线l 的斜率k ＝－74，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r ＝2，所以，由对称性知⎩⎪⎨⎪⎧ n －1m ＋3＝47，14×－3＋m 2＋8×1＋n 2－31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ＝5.所以圆C 2的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.。

数学圆的方程知识点总结

数学圆的方程知识点总结一、圆的标准方程。

1. 定义。

- 在平面直角坐标系中，到定点C(a,b)的距离等于定长r的点的轨迹叫做圆，其中定点C(a,b)为圆心，定长r为半径。

2. 方程形式。

- (x - a)^2+(y - b)^2=r^2。

例如，圆心为(2, - 3)，半径为4的圆的方程为(x - 2)^2+(y+3)^2 = 16。

- 圆心在原点(0,0)时，圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。

3. 确定圆的标准方程的要素。

- 要确定圆的标准方程，需要确定圆心坐标(a,b)和半径r。

二、圆的一般方程。

1. 方程形式。

- x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0（D^2+E^2 - 4F>0）。

2. 与标准方程的转化。

- 将圆的标准方程(x - a)^2+(y - b)^2=r^2展开得x^2 - 2ax+a^2+y^2 - 2by +b^2=r^2，即x^2+y^2 - 2ax - 2by+a^2 + b^2 - r^2=0。

- 令D=-2a，E = - 2b，F=a^2 + b^2 - r^2，就得到圆的一般方程。

3. 圆心和半径的确定。

- 对于圆的一般方程x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0，其圆心坐标为(-(D)/(2),-(E)/(2))，半径r=(1)/(2)√(D^2+E^2 - 4F)。

三、点与圆的位置关系。

1. 判断方法。

- 设点P(x_0,y_0)，圆的方程为(x - a)^2+(y - b)^2=r^2。

- 计算点P到圆心C(a,b)的距离d=√((x_0 - a)^2+(y_0 - b)^2)。

- 若d>r，则点P在圆外；若d = r，则点P在圆上；若d，则点P在圆内。

- 对于圆的一般方程x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0，同样先求出圆心(-(D)/(2),-(E)/(2))和半径r=(1)/(2)√(D^2+E^2 - 4F)，再按照上述距离公式判断点与圆的位置关系。