第14讲 图的遍历及应用

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25
拓扑排序的方法
从有向图中任选一个入度为0的顶点，并访问 删除该顶点和所有以它为尾的弧
重复上述两步，直至全部顶点均已访问，或当
图中不存在度为0的顶点为止 不存在度为0的顶点: 存在环
弧头顶点的入度减1
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构造拓扑排序的存储结构
AOV网用邻接表存储
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66
图的广度优先搜索(BFS)
BFS：V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
V1
V2
V3
V4 V5 V6 V7
V8
V1
V2
V3
V4 V5 V6 V7
V8
BFS：V1 V2 V3 V4 V6 V7 V8 V5
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77
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V1
V2
V3
V4 V5 V6 V7
V8
0
1
5
4
2
3
7
6
99
连通无向图的生成树
设G=(V，E)是一个连通图 则从图中任一顶点出发，遍历图G时，得到一个 边集T(G)
显然，T(G)与图中所有顶点一起构成图G的 极小连通子图 它是连通图的一棵生成树
由DFS 得到的是深度优先生成树 由BFS得到的为广度优先生成树
V2
V3
V4 V5 V6 V7
V8
V1
V2
V3
V4 V5 V6 V7
V8 广度优先生成树
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非连通图的生成森林
非连通图，每个连通分量中的顶点集和遍历时走
过的边一起构成若干棵生成树
这些连通分量的生成树组成非连通图的生成森林
A
CD
F
G
I J
L
B E H K
M
A
D
LCF
E
V1
V2
V3
V4 V5 V6
V7
V8
V1
V2
V3
V4 V5 V6
V7
V8
DFS：V1 V2 V4 V8 V3 V6 V7 V5 DFS：V1 V3 V7 V6 V2V4 V8 V5
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4
图的深度优先遍历(DFS )
类似树的深度遍历
设初始状态：图中所有顶点都没被访问过
图的广度优先搜索算法
static Queue<Integer> queue=new LinkedList<Integer>();
public static void bfs(Vexnode[] graph,int v,int[] visited){
int w;
System.out.print(“访问顶点”+v+“ ”);
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V1
V2
V3
深度遍历： V1 V2 V4 V8 V5 V3 V6 V7
广度遍历： V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
V4 V5 V6 V7
V1
V8
V1
V2
V3
V1
V2
V3
V4
V6
V4 V5 V6 V7 V8
V7
V8
V5
深度优先生成树
AOV网 顶点表示活动的网 顶点表示活动，弧表示活动间的先后关系 AOV网中不允许有回路，这意味着某项活动以 自己为先决条件
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C4
C5
C2
C1
C3
C7
C12 C8
C9
C10
C6
C11
死锁？
课程代号 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12
问题分析 n个城市间，最多可设置n(n-1)/2条线路 n个城市间建立通信网，只需n-1条线路 如何在可能的线路中选择n-1条边，把所有城 市连起来，且总耗费(各边权值之和)最小
找图中的最小生成树
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PRIM算法
贪心法 旅行推销员(TSP)问题
推销员从其中某一城市出发，走遍n个城市，再回 到出发的城市，求最短的路线
第14讲 图的遍历及应用 －－－－（最小生成树和拓扑排序）
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1
图的遍历
从图中某顶点出发,沿一些边访问图中顶点,使每个 顶点都被访问到，且仅被访问一次,叫做图的遍历
无重复，无遗漏 关键点
图中可能存在回路
图的顶点可能与其它顶点相通,在访问完某顶点后,可能沿 着某些边回到曾经访问过的顶点
在带权无向完全图中，访问每个顶点恰好一次、并且返 回出发点、总权数最小的回路
适合稠密图
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普里姆(Prim)算法最小生成树的过程
28
01
10 14 16
562
25 24 18 12
4 22 3
01
10 14 16
562
25 4
12
3
22
原图
(a)
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visited[v]=1;
queue.clear();
queue.add(v);
while(!queue.isEmpty()){
v=queue.poll();//队头元素v出队列
Arcnode p=graph[v].getFirstArc();
while(p!=null){
w=p.getAdjvex();
while(p!=null) {
V4 V5
if(visited[p.getAdjvex()]==0)//没有访问过
dfs(graph,p.getAdjvex(),visited);
p=p.getNextArc();
V8
}
}
visited
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
0
0
0
0
0
0
0
V3
V6
V7
v8 0
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如此重复，直到所有顶点均被访问过为止 V1
public static void dfs(Vexnode[] graph,int v,int[] visited){
Arcnode p;
System.out.print(“访问顶点”+v+“ ”);
V2
visited[v]=1;//表示被访问
p=graph[v].getFirstArc();
顶点表示课程
有向弧表示先决条件
若课程i是课程j的先决条件
则图中有弧<i,j>
拓扑排序
应怎样学习这些课程，才能顺 把AOV网络中各顶点
利完成学业?
按照它们之间的先后
关系排列成一个线性
序列的过程
拓扑序列
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拓扑排序的过程
C0
C1
C2
C3
C4
C5
有向无环图
从图中某一顶点v0出发，访问v0，然后访问与v0邻接,但未被访问过的任一顶点v1
接着访问与v1邻接，但未被访问过的任意顶点V2
当达到某顶点时，发现其所有邻接顶点均被访问过，则退回到最近被访问过的前一顶
点
若它还有邻接点未被访问过，从未被访问过的顶点中，任取一顶点,重复这一过程
若所有邻接顶点被访问过，则再回退
为避免重复访问,可设辅助数组visited[]
将其初始化为0 遍历时,如果某顶点 i 被访问,将 visited [i]置 为1 以此防止顶点i被多次访问
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2
图的深度优先搜索(DFS)
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3
图的深度优先搜索(DFS)
DFS:V1 V2 V4 V8 V5 V3 V6 V7
在邻接表的表头结点增加存放顶点入度的域
栈存放入度为零的顶点
v1
0
v2
2
v3
1
v4
2
v5
3
v6
0
4
3
2
5
2
5
5
4
拓扑序列：1 6 4 3 2 5
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27 27
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课程名称 程序设计基础
离散数学 数据结构 汇编语言 算法分析与设计 计算机原理 编译原理 操作系统 高等数学 线性代数 普通物理 数值分析
先修课 无 C1
C1，C2 C1
C3，C4 C11
C3，C5 C3，C6
无 C9 来自百度文库9 C1，C9，C10
22
拓扑排序
问题提出
选修课程问题
算法 时间复杂度为o(n2)，其中n为网中顶点的个数 Prim算法适用于求边稠密的网的最小生成树
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克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程
适合简单图
28
01
01
10 14 16
5 6 25 6 2
25 24
18 12
43
43
22
原图
(a)
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01
10 14 16
562
25
12
43
22
(b)
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最小生成树——克鲁斯卡尔(Kruskal)算法
算法 设连通网N={V，E}， 令最小生成树的初始状态为 有n个顶点，无边的非连通图T=(V，Φ) 图中每一个顶点自成一个连通分量 在E中选择权最小的边 若此边依附的顶点落在T的不同的连通分量上，则将此边加入 到T中 该边的加入将使两个连通分量合成一个连通分量 否则该边的加入必然出现回路，所以舍去此边，选择下一条 代价最小的边 依此类推，直到T 中所有顶点在同一连通分量上
15
最小生成树(Prim)算法
方法 设N=(V，E)是连通网，T=(U，E‘)是正在构造中的生成树 初始时，生成树只有一个结点，没有边
U={u0}，E’={ }，u0是任意选定的顶点， 从初始状态开始重复执行下列的操作
在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)，(u，v)∈E中找一条 代价最小的边(u‘，v’)并入集合E‘，同时V’并入集合U， 直到V=U为止。
C0
C1
C2
C4 C0 C3 C2 C1 C5
C3
C4
C5
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拓扑排序举例
一个AOV网的拓
扑序列不是唯一的
C4 C2 C1 C12
C9 C10
C5
C3
C7
C8 C6
C11
拓扑序列： C1-C2-C3-C4-C5-C7-C9-C10-C11-C6-C12-C8 或： C9-C10-C11-C6-C1-C12-C4-C2-C3-C5-C7-C8
55
图的广度优先搜索(BFS)
类似于树的层次遍历
假设初始状态是图中所有顶点都没被访问过 从图中某一顶点v0出发，访问v0 然后访问v0的全部邻接点w1，w2，...，wt 再从这些被访问的顶点出发，逐次访问它们的邻
接点(已被访问的顶点除外) 依此类推，直到所有顶点都被访问为止
M JB
深度优先生成森林
G
K
I
H
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12 12
最小生成树
问题提出 在n个城市间建立通信网络
顶点—表示城市 权—城市间建立通信线路所需
花费代价
1
7
2
13
7 9
5
5 6
24
17
10 12
3
18
4
希望找到一条路径，使建立该 通信网所需花费的总代价最小
路径上各边权值的和最小
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18
练习题
615
2
1
5
5
4
3 36
5
2
(Prim)算法
1
2
1
4
5
3 3
5
2
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19
克鲁斯卡尔(Kruskal)算法
A 6
B 14 12
D 14
15 F
8
C 17
E 5
6A8
B 14
C
12
D
E
F5
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20
有向无环图有关概念
无环图（DAG） 一个无环（回路）的有向图叫做有向无环图 directed acycline graph
if(visited[w]==0){
System.out.print("访问顶点"+w+" ");
visited[w]=1;
queue.add(w);//顶点w进队列Q
}
p=p.getNextArc();
}
}
}
队列
V1
V2
V3
V4 V5 V6 V7
V8
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88
图的连通性
怎样求图的连通分量？