2章习题答案

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第2章逻辑门电路-习题答案

第2章逻辑门电路2.1 题图2.1(a)画出了几种两输入端的门电路，试对应题图2.1(b)中的A、B波形画出各门的输出F1～F6的波形。

题图2.1解:2.2 求题图2.2所示电路的输出逻辑函数F1、F2。

题图2.2解:2.3 题图2.3中的电路均为TTL门电路，试写出各电路输出Y1～Y8状态。

题图2.3解: Y1=0, Y2=0, Y3=Hi-Z, Y4=0, Y5=0, Y6=0, Y7=0, Y8=0.2.4 题图2.4中各门电路为CMOS电路，试求各电路输出端Y1、Y2和Y的值。

题图2.4解: Y1=1, Y2=0, Y3=0.2.5 6个门电路及A、B波形如题图2.5所示，试写出F1～F6的逻辑函数，并对应A、B波形画出F1～F6的波形。

题图2.5解：2.6 电路及输入波形分别如题图2.6(a)和2.6(b)所示，试对应A、B、C、x1、x2、x3波形画出F端波形。

题图2.6解：2.7 TTL与非门的扇出系数N是多少？它由拉电流负载个数决定还是由灌电流负载决定？解: N≤8 N由灌电流负载个数决定.2.8 题图2.8表示三态门用于总线传输的示意图，图中三个三态门的输出接到数据传输总线，D1D2、D3D4、…、D m D n为三态门的输入端，EN1、EN2、EN n分别为各三态门的片选输入端。

试问：EN信号应如何控制，以便输入数据D1D2、D3D4、…、D m D n顺序地通过数据总线传输（画出EN1～EN n 的对应波形）。

题图2.8解：用下表表示数据传输情况2.9 某工厂生产的双互补对称反相器（4007）引出端如题图2.9所示，试分别连接成：（1）反相器；（2）三输入与非门；（3）三输入或非门。

题图2.9解： (1) 反向器(2)与非门 (3)或非门2.10 按下列函数画出NMOS 电路图。

123()()()F AB CD E H G F A B CD AB CD F A B=+++=+++=⊕解：(1)(2) (3)2.11 将两个OC门如题图2.11连接，试写出各种组合下的输出电压u o及逻辑表达式。

第二章习题(带答案)

第二章判断题F 1 CPU中的控制器用于对数据进行各种算术运算和逻辑运算。

（判断）T 2 CPU主要由运算器、控制器和寄存器组三部分组成。

（判断）F 3 PCI总线常用于连接高速外部设备的I/O控制器，它包含有128位的数据线。

（判断）T 4 PC机采用I/O总线结构有很多优点，例如，简化了系统设计、便于系统的扩充升级。

（判断）T 5 PC机常用的输入设备为键盘、鼠标，常用的输出设备有显示器、打印机。

（判断）F 6 PC机的常用外围设备，如显示器、硬盘等，都通过PCI总线插槽连接到主板上。

（判断）F 7 PC机可以连接多种I/O设备，不同的I/O设备往往需要使用不同的I/O接口，而同一种I/O接口只能连接同一种设备。

（判断）F 8 PC机中常用外围设备的I/O控制器都必须做成适配卡插在主板上的PCI总线插槽中。

（判断）T 9 PC机中所有部件和设备都以主板为基础进行安装和互相连接，主板的稳定性影响着整个计算机系统的稳定性。

（判断）F 10 当前正被CPU执行的程序必须全部保存在高速缓冲存储器（Cache）中。

（判断）T 11 高速缓存（Cache）可以看作主存的延伸，与主存统一编址，接受CPU的访问，但其速度要比主存高得多。

（判断）T 12 光学鼠标具有速度快，准确性和灵敏度高，不需要专用衬垫，在普通平面上皆可操作等优点，是目前流行的一种鼠标器。

（判断）T 13 计算机系统中I/O设备的种类多，性能相差很大，与计算机主机的连接方法也各不相同。

（判断）F 14 键盘中的F1~F12控制键的功能是固定不变的。

（判断）F 15 随着计算机的不断发展，市场上的CPU类型也在不断变化，但它们必须采用相同的芯片组。

（判断）F 16 系统维护过程中，为了适应软硬件环境的变更而对应用程序所做的适当修改称为完善性维护。

（判断）适应性维护F 17 由于计算机通常采用“向下兼容方式”来开发新的处理器，所以，Pentium和Core 系列的CPU都使用相同的芯片组。

第二章习题及答案

思考与练习1．名词解释SNA 国内生产总值名义变量实际变量净出口间接税国内生产净值国民收入个人可支配收入绿色GDP2．试述六大经济总量包括哪些项目？各个经济量之间有何关系？4．国民收入核算方法有哪几种？5．简述两部门经济、三部门经济以及四部门经济具体如何循环的？6．在统计中，社会保险税增加对GDP、GNP、NNP、NI、PI和PDI这六个经济总量中那个总量有影响？为什么？7．如果甲乙两国并成一个国家，对GDP总和会有什么影响(假定两国产出不变)？8．储蓄-投资恒等式为什么不意味着计划的储蓄恒等于计划的投资？9．经济国民经济核算时要遵循社么样的平衡原则。

10．以中国国民经济核算体系为例介绍SNA的基本内容。

11．试用收入法说明GDP的构成。

11．如何理解产出等于收入，产出等于支出两个等式？12．假定国内生产总值是10000亿美元，个人可支配收入是8200亿美元，政府预算赤字是400亿美元，消费是7600亿美元，贸易赤字是200亿美元。

计算储蓄、投资、政府支出。

13．假定某国各项经济指标如下：消费支出：3000亿；总投资：2000亿；政府支出：900亿；进口：300亿；出口：150亿；工资：4200亿；间接税未知；利息：200亿，租金：250亿；利润：400亿；折旧：100亿；非企业收入：400亿‘根据所给资料进行：（1）用支出法计算该国国内生产总值；（2）该国间接税为多少？（3）该国国内生产净值为多少？14．假定某经济社会有A、B、C三个厂商，A厂商年产出5000美元，卖给B、C和消费者。

其中B买A的产出200美元，C买2000美元，其余2800美元卖给消费者。

B年产出500美元，直接卖给消费者，C年产出6000美元，其中3000美元由A买，其余由消费者买。

（1）假定投入在生产中用光，计算价值增加；（2）计算GDP为多少；（3）如果只有C有500美元折旧，计算国民收入。

1．名词解释(1)SNA: 即国民账户体系。

第二章习题解题过程和参考答案

第二章习题解题过程和参考答案第二章习题解题过程和参考答案2-1 试建立题2-1图所示各系统的微分方程 [其中外力)(t f ，位移)(t x 和电压)(t u r为输入量；位移)(t y 和电压)(t u c为输出量；k （弹性系数），μ（阻尼系数），R （电阻），C （电容）和m （质量）均为常数]。

解：2-1(a) 取质量m 为受力对象，如图，取向下为力和位移的正方向。

作用在质量块m 上的力有外力f(t)，重力mg ，这两个力向下，为正。

有弹簧恢复力[]0)(y t y k +和阻尼力()dy t dtμ，这两个力向上，为负。

其中，0y 为0)(=t f 、物体处于静平衡位置时弹簧的预伸长量。

根据牛顿第二定理F ma ∑=，有[]22()()()()dy t d y t f t mg k y t y m dt dtμ+-+-= 其中：0ky mg =代入上式得22)()()()(dt t y d mdt t dy t ky t f =--μ整理成标准式：22()()()()d y t dy t m ky t f t dt dtμ++=μμ()f t[()k y t +()dy t dt或也可写成：22()()1()()d y t dy t k y t f t dt m dt m mμ++=它是一个二阶线性定常微分方程。

2-1(b) 如图，取A 点为辅助质点，设该点位移为()Ax t ，方向如图。

再取B 点也为辅助质点，则该点位移即为输出量()y t ，方向如图A 点力平衡方程：1()()[()()][]AAdx t dy t k x t x t dt dtμ-=- ① B 点力平衡方程：2()()()[]Adx t dy t k y t dt dtμ=- ②由①和②:12[()()]()A k x t x t k y t -= 得：21()()()Akx t x t y t k=-二边微分：21()()()Adx t k dx t dy t dt dt k dt=-③将③代入②：221()()()()[]k dx t dy t dy t k y t dt k dt dtμ=--整理成标准式：1221()()()k k k dy t dx t y t k dt dtμ++=或也可写成：()A t AB1211212()()()()k k k dy t dx t y t dt k k k k dtμ+=++它是一个一阶线性定常微分方程。

第二章习题及答案

电工学第二章习题一、填空题1．两个均为40F μ的电容串联后总电容为 80 F μ，它们并联后的总电容为 20 F μ。

2. 表征正弦交流电振荡幅度的量是它的最大值；表征正弦交流电随时间变化快慢程度的量是角频率ω ；表征正弦交流电起始位置时的量称为它的初相。

三者称为正弦量的三要素。

3. 电阻元件上任一瞬间的电压电流关系可表示为 u = iR ；电感元件上任一瞬间的电压电流关系可以表示为dtdiLu =L ；电容元件上任一瞬间的电压电流关系可以表示为dtduCi =C 。

由上述三个关系式可得，电阻元件为即时元件；电感和电容元件为动态元件。

4. 在RLC 串联电路中，已知电流为5A ，电阻为30Ω，感抗为40Ω，容抗为80Ω，那么电路的阻抗为 50Ω ，该电路为容性电路。

电路中吸收的有功功率为 750W ，吸收的无功功率又为 1000var 。

二、选择题1. 某正弦电压有效值为380V ，频率为50Hz ，计时始数值等于380V ，其瞬时值表达式为（ B ） A 、t u 314sin 380=V ；B 、)45314sin(537︒+=t u V ；C 、)90314sin(380︒+=t u V 。

2. 一个电热器，接在10V 的直流电源上，产生的功率为P 。

把它改接在正弦交流电源上，使其产生的功率为P/2，则正弦交流电源电压的最大值为（ D ） "A 、；B 、5V ；C 、14V ；D 、10V 。

3. 提高供电电路的功率因数，下列说法正确的是（ D ）A 、减少了用电设备中无用的无功功率；B 、减少了用电设备的有功功率，提高了电源设备的容量；C 、可以节省电能；D 、可提高电源设备的利用率并减小输电线路中的功率损耗。

4. 已知)90314sin(101︒+=t i A ，︒+=30628sin(102t i ）A ，则（ C ）A 、i1超前i260°；B 、i1滞后i260°；C 、相位差无法判断。

第二章课后习题答案

第二章课后习题答案第二章牛顿定律2-1如图(a)所示,质量为m的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为()(A)ginθ(B)gcoθ(C)gtanθ(D)gcotθ分析与解当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力FＴ(其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a,如图(b)所示,由其可解得合外力为mgcotθ,故选(D)．求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征．2-2用水平力FN把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当FN逐渐增大时,物体所受的静摩擦力Ff的大小()(A)不为零,但保持不变(B)随FN成正比地增大(C)开始随FN增大,达到某一最大值后,就保持不变(D)无法确定分析与解与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μFN范围内取值．当FN增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态．由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A)．2-3一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率()μgR(B)必须等于μgR(C)不得大于μgR(D)还应由汽车的质量m决定(A)不得小于分析与解由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μFN．由此可算得汽车转弯的最大速率应为v＝μRg．因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑．应选(C)．2-4一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中,则()(A)它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变(B)它受到的轨道的作用力的大小不断增加(C)它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心(D)它受到的合外力大小不变,其速率不断增加分析与解由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关．重力的切向分量(mgcoθ)使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动的向心力(又称法向力)将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程v2FNmginθm可判断,随θ角的不断增大过程,轨道支持力FN也将不R断增大,由此可见应选(B)．2-5图(a)示系统置于以a＝1/4g的加速度上升的升降机内,A、B两物体质量相同均为m,A所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力,则绳中张力为()(A)58mg(B)12mg(C)mg(D)2mg分析与解本题可考虑对A、B两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解．此时A、B两物体受力情况如图(b)所示,图中a′为A、B两物体相对电梯的加速度,ma′为惯性力．对A、B两物体应用牛顿第二定律,可解得FＴ＝5/8mg．故选(A)．讨论对于习题2-5这种类型的物理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力．如以地面为惯性参考系求解,则两物体的加速度aA和aB均应对地而言,本题中aA和aB的大小与方向均不相同．其中aA应斜向上．对aA、aB、a和a′之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁．有兴趣的读者不妨自己尝试一下．2-6图示一斜面,倾角为α,底边AB长为l＝2.1m,质量为m的物体从题2-6图斜面顶端由静止开始向下滑动,斜面的摩擦因数为μ＝0.14．试问,当α为何值时,物体在斜面上下滑的时间最短？其数值为多少？解取沿斜面为坐标轴O某,原点O位于斜面顶点,则由牛顿第二定律有mginαmgμcoαma(1)又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有l11at2ginαμcoαt2coα22则t2l(2)gcoαinαμcoα为使下滑的时间最短,可令dt0,由式(2)有dαinαinαμcoαcoαcoαμinα0则可得tan2α1o,49μ此时t2l0.99gcoαinαμcoα2-7工地上有一吊车,将甲、乙两块混凝土预制板吊起送至高空．甲块质量为m1＝2.00某102kg,乙块质量为m2＝1.00某102kg．设吊车、框架和钢丝绳的质量不计．试求下述两种情况下,钢丝绳所受的张力以及乙块对甲块的作用力：(1)两物块以10.0m·ｓ-2的加速度上升；(2)两物块以1.0m·ｓ-2的加速度上升．从本题的结果,你能体会到起吊重物时必须缓慢加速的道理吗？解按题意,可分别取吊车(含甲、乙)和乙作为隔离体,画示力图,并取竖直向上为Oy轴正方向(如图所示)．当框架以加速度a上升时,有FＴ-(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a(1)FN2-m2g＝m2a(2)解上述方程,得FＴ＝(m1＋m2)(g＋a)(3)FN2＝m2(g＋a)(4)(1)当整个装置以加速度a＝10m·ｓ-2上升时,由式(3)可得绳所受张力的值为FＴ＝5.94某103N乙对甲的作用力为F′N2＝-FN2＝-m2(g＋a)＝-1.98某103N(2)当整个装置以加速度a＝1m·ｓ-2上升时,得绳张力的值为FＴ＝3.24某103N此时,乙对甲的作用力则为F′N2＝-1.08某103N由上述计算可见,在起吊相同重量的物体时,由于起吊加速度不同,绳中所受张力也不同,加速度大,绳中张力也大．因此,起吊重物时必须缓慢加速,以确保起吊过程的安全．2-8如图(a)所示,已知两物体A、B的质量均为m＝3.0kg物体A以加速度a＝1.0m·ｓ-2运动,求物体B与桌面间的摩擦力．(滑轮与连接绳的质量不计)分析该题为连接体问题,同样可用隔离体法求解．分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件的,即必须在绳的质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立．同时也要注意到张力方向是不同的．解分别对物体和滑轮作受力分析［图(b)］．由牛顿定律分别对物体A、B及滑轮列动力学方程,有mAg-FＴ＝mAa(1)F′Ｔ1-Fｆ＝mBa′(2)F′Ｔ-2FＴ1＝0(3)考虑到mA＝mB＝m,FＴ＝F′Ｔ,FＴ1＝F′Ｔ1,a′＝2a,可联立解得物体与桌面的摩擦力Ffmgm4ma7.2N2讨论动力学问题的一般解题步骤可分为：(1)分析题意,确定研究对象,分析受力,选定坐标；(2)根据物理的定理和定律列出原始方程组；(3)解方程组,得出文字结果；(4)核对量纲,再代入数据,计算出结果来．2-9质量为m′的长平板A以速度v′在光滑平面上作直线运动,现将质量为m的木块B轻轻平稳地放在长平板上,板与木块之间的动摩擦因数为μ,求木块在长平板上滑行多远才能与板取得共同速度？分析当木块B平稳地轻轻放至运动着的平板A上时,木块的初速度可视为零,由于它与平板之间速度的差异而存在滑动摩擦力,该力将改变它们的运动状态．根据牛顿定律可得到它们各自相对地面的加速度．换以平板为参考系来分析,此时,木块以初速度-v′(与平板运动速率大小相等、方向相反)作匀减速运动,其加速度为相对加速度,按运动学公式即可解得．该题也可应用第三章所讲述的系统的动能定理来解．将平板与木块作为系统,该系统的动能由平板原有的动能变为木块和平板一起运动的动能,而它们的共同速度可根据动量定理求得．又因为系统内只有摩擦力作功,根据系统的动能定理,摩擦力的功应等于系统动能的增量．木块相对平板移动的距离即可求出．解1以地面为参考系,在摩擦力Fｆ＝μmg的作用下,根据牛顿定律分别对木块、平板列出动力学方程Fｆ＝μmg＝ma1F′ｆ＝-Fｆ＝m′a2a1和a2分别是木块和木板相对地面参考系的加速度．若以木板为参考系,木块相对平板的加速度a＝a1＋a2,木块相对平板以初速度-v′作匀减速运动直至最终停止．由运动学规律有-v′2＝2a由上述各式可得木块相对于平板所移动的距离为mv22μgmm解2以木块和平板为系统,它们之间一对摩擦力作的总功为W＝Fｆ(＋l)-Fｆl＝μmg式中l为平板相对地面移动的距离．由于系统在水平方向上不受外力,当木块放至平板上时,根据动量守恒定律,有m′v′＝(m′＋m)v″由系统的动能定理,有μmg由上述各式可得11mv2mmv222mv22μgmm2-10如图(a)所示,在一只半径为R的半球形碗内,有一粒质量为m的小钢球,当小球以角速度ω在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时,它距碗底有多高？分析维持钢球在水平面内作匀角速度转动时,必须使钢球受到一与向心加速度相对应的力(向心力),而该力是由碗内壁对球的支持力FN的分力来提供的,由于支持力FN始终垂直于碗内壁,所以支持力的大小和方向是随ω而变的．取图示O某y坐标,列出动力学方程,即可求解钢球距碗底的高度．解取钢球为隔离体,其受力分析如图(b)所示．在图示坐标中列动力学方程FNinθmanmRω2inθ(1)Rh(3)且有coθR由上述各式可解得钢球距碗底的高度为hR可见,h随ω的变化而变化．gω22-11火车转弯时需要较大的向心力,如果两条铁轨都在同一水平面内(内轨、外轨等高),这个向心力只能由外轨提供,也就是说外轨会受到车轮对它很大的向外侧压力,这是很危险的．因此,对应于火车的速率及转弯处的曲率半径,必须使外轨适当地高出内轨,称为外轨超高．现有一质量为m的火车,以速率v沿半径为R的圆弧轨道转弯,已知路面倾角为θ,试求：(1)在此条件下,火车速率v0为多大时,才能使车轮对铁轨内外轨的侧压力均为零？(2)如果火车的速率v≠v0,则车轮对铁轨的侧压力为多少？分析如题所述,外轨超高的目的欲使火车转弯的所需向心力仅由轨道支持力的水平分量FNinθ提供(式中θ角为路面倾角)．从而不会对内外轨产生挤压．与其对应的是火车转弯时必须以规定的速率v0行驶．当火车行驶速率v≠v0时,则会产生两种情况：如图所示,如v＞v0时,外轨将会对车轮产生斜向内的侧压力F1,以补偿原向心力的不足,如v＜v0时,则内轨对车轮产生斜向外的侧压力F2,以抵消多余的向心力,无论哪种情况火车都将对外轨或内轨产生挤压．由此可知,铁路部门为什么会在每个铁轨的转弯处规定时速,从而确保行车安全．解(1)以火车为研究对象,建立如图所示坐标系．据分析,由牛顿定律有v2FNinθm(1)解(1)(2)两式可得火车转弯时规定速率为v0gRtanθ(2)当v＞v0时,根据分析有v2FNinθF1coθm(3)RFNcoθF1inθmg0(4)解(3)(4)两式,可得外轨侧压力为v2F1mcoθginθR当v＜v0时,根据分析有v2FNinθF2coθm(5)RFNcoθF2inθmg0(6)解(5)(6)两式,可得内轨侧压力为v2F2mginθcoθR2-12一杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁．设演员和摩托车的总质量为m,圆筒半径为R,演员骑摩托车在直壁上以速率v作匀速圆周螺旋运动,每绕一周上升距离为h,如图所示．求壁对演员和摩托车的作用力．分析杂技演员(连同摩托车)的运动可以看成一个水平面内的匀速率圆周运动和一个竖直向上匀速直线运动的叠加．其旋转一周所形成的旋线轨迹展开后,相当于如图(b)所示的斜面．把演员的运动速度分解为图示的v1和v2两个分量,显然v1是竖直向上作匀速直线运动的分速度,而v2则是绕圆筒壁作水平圆周运动的分速度,其中向心力由筒壁对演员的支持力FN的水平分量FN2提供,而竖直分量FN1则与重力相平衡．如图(c)所示,其中φ角为摩托车与筒壁所夹角．运用牛顿定律即可求得筒壁支持力的大小和方向解设杂技演员连同摩托车整体为研究对象,据(b)(c)两图应有FN1mg0(1)FN2v2m(2)Rv2vcoθv2πR2πR2h2(3)22FNFN1FN2(4)以式(3)代入式(2),得FN2m4π2R2v24π2Rmv222(5)2222R4πRh4πRh将式(1)和式(5)代入式(4),可求出圆筒壁对杂技演员的作用力(即支承力)大小为22FNFN1FN224π2Rv22mg4π2R2h2与壁的夹角φ为FN24π2Rv2arctanarctan222FN14πRhg讨论表演飞车走壁时,演员必须控制好运动速度,行车路线以及摩托车的方位,以确保三者之间满足解题用到的各个力学规律．2-13一质点沿某轴运动,其受力如图所示,设t＝0时,v0＝5m·ｓ-1,某0＝2m,质点质量m＝1kg,试求该质点7ｓ末的速度和位置坐标．分析首先应由题图求得两个时间段的F(t)函数,进而求得相应的加速度函数,运用积分方法求解题目所问,积分时应注意积分上下限的取值应与两时间段相应的时刻相对应．解由题图得0t52t,Ft5t7355t,由牛顿定律可得两时间段质点的加速度分别为a2t,0t5a355t,5t7对0＜t＜5ｓ时间段,由adv得dtvtv00dvadt积分后得v5t再由v2d某得dtd某vdt某00某t积分后得某25tt将t＝5ｓ代入,得v5＝30m·ｓ-1和某5＝68.7m对5ｓ＜t＜7ｓ时间段,用同样方法有133dvv0vt5a2dt得v35t2.5t82.5t再由得某＝17.5t2-0.83t3-82.5t＋147.87将t＝7ｓ代入分别得v7＝40m·ｓ-1和某7＝142m2-14一质量为10kg的质点在力F的作用下沿某轴作直线运动,已知F ＝120t＋40,式中F的单位为N,t的单位的ｓ．在t＝0时,质点位于某＝5.0m处,其速度v0＝6.0m·ｓ-1．求质点在任意时刻的速度和位置．分析这是在变力作用下的动力学问题．由于力是时间的函数,而加速度a＝dv/dt,这时,动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程,解此微分方程可得质点的速度v(t)；由速度的定义v＝d某/dt,用积分的方法可求出质点的位置．解因加速度a＝dv/dt,在直线运动中,根据牛顿运动定律有2某某5d某vdt5t120t40mdvdt依据质点运动的初始条件,即t0＝0时v0＝6.0m·ｓ-1,运用分离变量法对上式积分,得vv0dv12.0t4.0dt0tv＝6.0+4.0t+6.0t2又因v＝d某/dt,并由质点运动的初始条件：t0＝0时某0＝5.0m,对上式分离变量后积分,有d某6.04.0t6.0tdt某t2某00某＝5.0+6.0t+2.0t2+2.0t32-15轻型飞机连同驾驶员总质量为1.0某103kg．飞机以55.0m·ｓ-1的速率在水平跑道上着陆后,驾驶员开始制动,若阻力与时间成正比,比例系数α＝5.0某102N·ｓ-1,空气对飞机升力不计,求：(1)10ｓ后飞机的速率；(2)飞机着陆后10ｓ内滑行的距离．分析飞机连同驾驶员在水平跑道上运动可视为质点作直线运动．其水平方向所受制动力F为变力,且是时间的函数．在求速率和距离时,可根据动力学方程和运动学规律,采用分离变量法求解．解以地面飞机滑行方向为坐标正方向,由牛顿运动定律及初始条件,有dvαtdtvtαtdvv00mdtα2t得vv02mFmam因此,飞机着陆10ｓ后的速率为v＝30m·ｓ-1又tα2d某vdt某0002mt某故飞机着陆后10ｓ内所滑行的距离某某0v0tα3t467m6m2-16质量为m的跳水运动员,从10.0m高台上由静止跳下落入水中．高台距水面距离为h．把跳水运动员视为质点,并略去空气阻力．运动员入水后垂直下沉,水对其阻力为bv2,其中b为一常量．若以水面上一点为坐标原点O,竖直向下为Oy轴,求：(1)运动员在水中的速率v与y的函数关系；(2)如b/m＝0.40m-1,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0的1/10？(假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等)分析该题可以分为两个过程,入水前是自由落体运动,入水后,物体受重力P、浮力F和水的阻力Fｆ的作用,其合力是一变力,因此,物体作变加速运动．虽然物体的受力分析比较简单,但是,由于变力是速度的函数(在有些问题中变力是时间、位置的函数),对这类问题列出动力学方程并不复杂,但要从它计算出物体运动的位置和速度就比较困难了．通常需要采用积分的方法去解所列出的微分方程．这也成了解题过程中的难点．在解方程的过程中,特别需要注意到积分变量的统一和初始条件的确定．解(1)运动员入水前可视为自由落体运动,故入水时的速度为v02gh运动员入水后,由牛顿定律得P-Fｆ-F＝ma由题意P＝F、Fｆ＝bv2,而a＝dv/dt＝v(dv/dy),代入上式后得-bv2＝mv(dv/dy)考虑到初始条件y0＝0时,v0t2gh,对上式积分,有vdvmdy0v0vbvv0eby/m2gheby/m(2)将已知条件b/m＝0.4m-1,v＝0.1v0代入上式,则得ymvln5.76mbv0某2-17直升飞机的螺旋桨由两个对称的叶片组成．每一叶片的质量m＝136kg,长l＝3.66m．求当它的转速n＝320r/min 时,两个叶片根部的张力．(设叶片是宽度一定、厚度均匀的薄片)分析螺旋桨旋转时,叶片上各点的加速度不同,在其各部分两侧的张力也不同；由于叶片的质量是连续分布的,在求叶片根部的张力时,可选取叶片上一小段,分析其受力,列出动力学方程,然后采用积分的方法求解．解设叶片根部为原点O,沿叶片背离原点O的方向为正向,距原点O为r处的长为dr一小段叶片,其两侧对它的拉力分别为FＴ(r)与FＴ(r＋dr)．叶片转动时,该小段叶片作圆周运动,由牛顿定律有dFTFTrFTrdr由于r＝l时外侧FＴ＝0,所以有m2ωrdrltFTrdFTlrmω2rdrlmω2222πmn222FTrlrlr2ll上式中取r＝0,即得叶片根部的张力FＴ0＝-2.79某105N负号表示张力方向与坐标方向相反．2-18一质量为m的小球最初位于如图(a)所示的A点,然后沿半径为r 的光滑圆轨道ADCB下滑．试求小球到达点C时的角速度和对圆轨道的作用力．分析该题可由牛顿第二定律求解．在取自然坐标的情况下,沿圆弧方向的加速度就是切向加速度aｔ,与其相对应的外力Fｔ是重力的切向分量mginα,而与法向加速度an相对应的外力是支持力FN和重力的法向分量mgcoα．由此,可分别列出切向和法向的动力学方程Fｔ＝mdv/dt和Fn＝man．由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的,因此,需应用积分求解,为使运算简便,可转换积分变量．倡该题也能应用以小球、圆弧与地球为系统的机械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比较简便．但它不能直接给出小球与圆弧表面之间的作用力．解小球在运动过程中受到重力P和圆轨道对它的支持力FN．取图(b)所示的自然坐标系,由牛顿定律得Ftmginαmdv(1)dtmv2FnFNmgcoαm(2)R由vdrdαrdα,得dt,代入式(1),并根据小球从点A运动到点Cdtdtv的始末条件,进行积分,有vv0vdvα90orginαdα得v则小球在点C的角速度为2rgcoαωv2gcoα/rrmv2mgcoα3mgcoα由式(2)得FNmr由此可得小球对圆轨道的作用力为FN3mgcoαFN负号表示F′N与en反向．2-19光滑的水平桌面上放置一半径为R的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦因数为μ,开始时物体的速率为v0,求：(1)t时刻物体的速率；(2)当物体速率从v0减少到12v0时,物体所经历的时间及经过的路程．解(1)设物体质量为m,取图中所示的自然坐标,按牛顿定律,有mv2FNmanRFfmatdvdt由分析中可知,摩擦力的大小Fｆ＝μFN,由上述各式可得v2dvμRdt取初始条件t＝0时v＝v0,并对上式进行积分,有t0dtRvdvμv0v2vRv0Rv0μt(2)当物体的速率从v0减少到1/2v0时,由上式可得所需的时间为t物体在这段时间内所经过的路程Rμv0vdt0tt0Rv0dtRv0μtRln2μ2-20质量为45.0kg的物体,由地面以初速60.0m·ｓ-1竖直向上发射,物体受到空气的阻力为Fr＝kv,且k＝0.03N/(m·ｓ-1)．(1)求物体发射到最大高度所需的时间．(2)最大高度为多少？分析物体在发射过程中,同时受到重力和空气阻力的作用,其合力是速率v的一次函数,动力学方程是速率的一阶微分方程,求解时,只需采用分离变量的数学方法即可．但是,在求解高度时,则必须将时间变量通过速度定义式转换为位置变量后求解,并注意到物体上升至最大高度时,速率应为零．解(1)物体在空中受重力mg和空气阻力Fr＝kv作用而减速．由牛顿定律得mgkvmdv(1)dt某2-25如图(a)所示,电梯相对地面以加速度a竖直向上运动．电梯中有一滑轮固定在电梯顶部,滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为m1和m2的物体A和B．设滑轮的质量和滑轮与绳索间的摩擦均略去不计．已知m1＞m2,如以加速运动的电梯为参考系,求物体相对地面的加速度和绳的张力．分析如以加速运动的电梯为参考系,则为非惯性系．在非惯性系中应用牛顿定律时必须引入惯性力．在通常受力分析的基础上,加以惯性力后,即可列出牛顿运动方程来．解取如图(b)所示的坐标,以电梯为参考系,分别对物体A、B作受力分析,其中F1＝m1a,F2＝m2a分别为作用在物体A、B上的惯性力．设ar为物体相对电梯的加速度,根据牛顿定律有m1gm1aFT1m1ar(1)m2gm2aFT2m2ar(2)FT2FT2(3)由上述各式可得arm1m2gam1m22m1m2gam1m2FT2FT2由相对加速度的矢量关系,可得物体A、B对地面的加速度值为a1aram1m2g2m2am1m22m1am1m2gm1m2a2araa2的方向向上,a1的方向由ar和a的大小决定．当ar＜a,即m1g-m2g-2m2a＞0时,a1的方向向下；反之,a1的方向向上．某2-26如图(a)所示,在光滑水平面上,放一质量为m′的三棱柱A,它的斜面的倾角为α．现把一质量为m的滑块B放在三棱柱的光滑斜面上．试求：(1)三棱柱相对于地面的加速度；(2)滑块相对于地面的加速度；(3)滑块与三棱柱之间的正压力．分析这类问题可应用牛顿定律并采用隔离体法求解．在解题的过程中必须注意：(1)参考系的选择．由于牛顿定律只适用于惯性系,可选择地面为参考系(惯性系)．因地面和斜面都是光滑的,当滑块在斜面上下滑时,三棱柱受到滑块对它的作用,也将沿地面作加速度为aA的运动,这时,滑块沿斜面的加速度aBA,不再是它相对于地面的加速度aB了．必须注意到它们之间应满足相对加速度的矢量关系,即aB＝aA＋aBA．若以斜面为参考系(非惯性系),用它求解这类含有相对运动的力学问题是较为方便的．但在非惯性系中,若仍要应用牛顿定律,则必须增添一惯性力F,且有F＝maA．(2)坐标系的选择．常取平面直角坐标,并使其中一坐标轴方向与运动方向一致,这样,可使解题简化．(3)在分析滑块与三棱柱之间的正压力时,要考虑运动状态的影响,切勿简单地把它视为滑块重力在垂直于斜面方向的分力mgcoα,事实上只有当aA＝0时,正压力才等于mgcoα．解1取地面为参考系,以滑块B和三棱柱A为研究对象,分别作示力图,如图(b)所示．B受重力P1、A施加的支持力FN1；A受重力P2、B施加的压力FN1′、地面支持力FN2．A的运动方向为O某轴的正向,Oy轴的正向垂直地面向上．设aA为A对地的加速度,aB为B对的地加速度．由牛顿定律得FN1inαmaA(1)FN1inαmaB某(2)FN1coαmgmaBy(3)FN1FN1(4)设B相对A的加速度为aBA,则由题意aB、aBA、aA三者的矢量关系如图(c)所示．据此可得aB某aAaBAcoα(5)aByaBAinα(6)解上述方程组可得三棱柱对地面的加速度为aAmginαcoα2mminαmginαcoαmmin2α滑块相对地面的加速度aB在某、y轴上的分量分别为aB某aBymmgin2αmmin2α则滑块相对地面的加速度aB的大小为aBaa2B某2Bym22mmm2in2αginαmmin2α其方向与y轴负向的夹角为amcotαθarctanB某arctanaBymmA与B之间的正压力FN1mmgcoα2mminα解2若以A为参考系,O某轴沿斜面方向［图(d)］．在非惯性系中运用牛顿定律,则滑块B的动力学方程分别为mginαmaAcoαmaBA(1)mgcoαFN1maAinα0(2)又因FN1inαmaA0(3)FN1FN1(4)由以上各式可解得aAaBAmginαcoαmmin2αmmginαmmin2α由aB、aBA、aA三者的矢量关系可得m22mmm2in2αaBginαmmin2α以aA代入式(3)可得FN1mmgcoαmmin2α。

高等工程数学第二章习题及答案

第2章线性代数方程组数值解法研究n 阶线性方程组Ax b =的数值解法.()ij A a =是n n⨯矩阵且非奇异，12(,,,)Tn x x x x = ,12(,,,)Tn b b b b =两类数值方法：(1) 直接法：通过有限次的算术运算，若计算过程中没有舍入误差，可以求出精确解的方法.Ax b Gx d == 等价变换G 通常是对角矩阵、三角矩阵或者是一些结构简单的矩阵的乘积.(2) 迭代法：用某种极限过程去逐次逼近方程组的解的方法.(1)()i i Ax b x Bx k x Bx k +==+−−−−−→=+ 等价变换建立迭代格式，0,1,i =一、向量范数与矩阵范数 1. 向量范数【定义】若对nK 上任一向量x ，对应一个非负实数x ，对任意,nx y R ∈及K α∈，满足如下条件(向量范数三公理) (1) 非负性：0x ≥，且0x =的充要条件是0x =；(2)齐次性：x xαα=；(3)三角不等式：x y x y+≤+.则称x为向量x的范数.常用的向量范数： (1) 1—范数11nii x x ==∑(2) 2—范数12221()ni i x x ==∑(3) ∞—范数1max ii nxx ∞≤≤=(4) 一般的p —范数11()pnpi pi xx ==∑2. 矩阵范数【定义】若n nK ⨯上任一矩阵()ij n n A a ⨯=，对应一个非负实数A ，对任意的,n nA B K ⨯∈和K α∈，满足如下条件(矩阵范数公理)：(1) 非负性：0A ≥，且0A =的充要条件是0A =；(2)齐次性：A Aαα=；(3)三角不等式：A B A B +≤+；(4)乘法不等式：AB A B≤.则称A为矩阵A的范数.矩阵范数与向量范数是相容的：Ax A x≤向量范数产生的从属范数或算子范数：10max maxx x AxA Ax x=≠==常见从属范数：(1) 1—范数111max ||nij j ni A a ≤≤==∑(2) ∞—范数11max ||nij i nj A a ∞≤≤==∑(3) 2—范数2A =谱半径1()max ||H i i n A A ρλ≤≤=，iλ为H A A 的特征值.H A 为A 的共轭转置. 注：矩阵A 的谱半径不超过A 的任一范数，即()A A ρ≤范数等价性定理：,s t x x为n R 上向量的任意两种范数，则存在常数12,0c c >，使得12,ns t s c x x c x x R ≤≤ ∀∈.注：矩阵范数有同样的结论. 【定理2.1】是任一向量范数，向量序列()k x 收敛于向量*x 的充要条件是()*0,k x x k -→ →∞二、 Gauss 消去法 1．顺序Gauss 消去法将方程Ax b =写成如下形式11112211,121122222,11122,1n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩其中记,1,1,2,,.i n i a b i n +==消元过程：第一次消元：设110a ≠，由第2,3,,n 个方程减去第一个方程乘以1111/(2,3,,)i i m a a i n == ，则将方程组中第一个未知数1x消去，得到同解方程11112211,1(1)(1)(1)22222,1(1)(1)(1)22,1n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a a x a x a ++++++=⎧⎪ ++=⎪⎨⎪⎪ ++=⎩其中， (1)11,2,3,,;2,3,,,1ijij i j a a m a i n j n n =-==+ . 1111/i i m a a =，2,3,,i n = .第二次消元：设(1)220a ≠，.由第2,3,,n 个方程减去方程组中的第2个方程乘以(1)(1)2222/(3,4,,)i i m a a i n == ，则将方程组第2个未知数2x 消去，得到同解方程11112213311,1(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)(2)33,1n n n n n n n n n nnn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a x a ++++++++=⎧⎪ +++=⎪⎪ ++=⎨⎪⎪⎪ ++=⎩其中(2)(1)(1)22, 3,4,,; 3,4,,,1ij ij i j a a m a i n j n n =-==+ . (1)(1)2222/i i m a a =，3,4,,i n = .经过1n -次消元后，原方程组变成等价方程组11112213311,1(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(1)(1),1n n n n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a +++--+++++=⎧⎪ +++=⎪⎪ ++=⎨⎪⎪⎪ =⎩其中()(1)(1), 1,2,,k k k ij ij ik ij a a m a i k k n --=-=++ ， 1,2,,,1j k k n n =+++ .(1)(1)/k k ik ik kkm a a --=，1,2,,i k k n =++ ；1,2,,1k n =- .回代过程：(1)(1),1(1)(1)(1),1,,1/[]/,1,2,,2,1.n n n n n m n i i i ii n i j j i j j i x a a x a a x a i n n --+---+=+⎧=⎪⎨=-=--⎪⎩∑计算量：按常规把乘除法的计算次数合在一起作为Gauss 消去法总的计算量，而略去加减法的计算次数. 在消去过程中，对固定的消去次数(1,2,,1)k k n =- ，有：除法(1)(1),,/,1,1,,k k ik i k k k m a a i k k n --= =++ 共计n k -次；乘法(1),,1,2,,;1,2,,,1k ik k j m a i k k n j k k n n - =++ =+++ 共计()(1)n k n k --+次.因此，消去过程总的计算量为1311[()(1)]3n k M n k n k n k n-==--++-≈∑ 回代过程的乘除法计算次数为21()2n n +.与消去法计算量相比可以略去不计.所以， Gauss 消去法总的计算量大约为313n .2. Gauss-Jordan 消去法Gauss-Jordan 消去法是Gauss 消去法的一种变形.此方法的第一次消元过程同Gauss 消去法一样，得到(1)(1)(1)(1)11112213311,1(1)(1)(1)(1)22223322,1(1)(1)(1)(1)32233333,1(1)(1)(1)(1)2233,1,,,,n n n n n n n n n nn nn n n n a x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++⎧++++=⎪ +++=⎪ +++=⎨ +++= ⎪⎪⎪⎪⎩其中，(1)11,2,,,1jj a a j n n ==+ . 第二次消元：设(1)220a ≠，由第1,3,4,,n 个方程减去第2个方程乘以(1)(1)2222/(1,3,4,,)i i m a a i n == ,则得到同解方程组(2)(2)(2)11113311,1(1)(2)(2)(2)22223322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)33,1,,,n n n n n n n n n nnn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a a x a x a +++++ +++= +++= ++= ++= (2),⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩继续类似的过程，在第k 次消元时，设(1)k kk a -，将第i 个方程减去第k 个方程乘以(1)(1)/k k ik ik kk m a a --=，这里1,3,4,1,1,,i k k n =-+ .经过1n -次消元，得到(2)1111,1(1)(2)2222,1(2)(2)33,1,,,n n n n n a x a a x a a x a +++⎧ =⎪ =⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ =⎩其中()(1)(1),1,2,,1,1,,k k k ij ij ik kj a a m a i k k n --=-=-+ ；1,2,,,1; 1,2,,1j n n k n =+=- .此时，求解回代过程为(1)(1),1/,1,2,,n i i i n iix a a i n --+= = 经统计，总的计算量约为312M n ≈次乘除法. 从表面上看Gauss-Jordan 消去法似乎比Gauss 消去法好，但从计算量上看Gauss －Jordan 消去法明显比Gauss消去法的计算量要大，这说明用Gauss-Jordan 消去法解线性方程组并不可取.但用此方法求矩阵的逆却很方便. 3．列选主元Gauss 消去法在介绍Gauss 消去法时，始终假设(1)0k kk a -≠，称(1)k kka -为主元.若(1)0k kka -=，显然消去过程无法进行.实际上，既使(1)0k kka -≠，但(1)k kka -很小时，用它作除数对实际计算结果也是很不利的.称这样的(1)k kka -为小主元.【例2.2】设计算机可保证10位有效数字，用消元法解方程1112120.3100.7,0.9,x x x x -⎧⨯+=⎪⎨ +=⎪⎩【解】经过第一次消元：第2个方程减去第1个方程乘以212111/m a a =得1112(1)(1)222230.3100.7x x a x a -⎧⨯+=⎪⎨ =⎪⎩其中(1)1222222111/0.333333333310a a a a =-=-⨯，(1)123323211113(/)0.233333333310a a a a a =-⋅=-⨯于是解得(1)(1)223221/0.7000000000,0.0000000000,x a a x ⎧==⎪⎨=⎪⎩而真解为120.2,0.7x x = =注：造成结果失真的主要因素是主元素11a太小，而且在消元过程中作了分母，为避免这个情况发生，应在消元之前，作行交换.【定义】若 (1)(1)||max ||k k k r k ik k i na a --≤≤=，则称(1)||k k r k a - 为列主元素. k r 行为主元素行，这时可将第 k r行与第k 行进行交换，使(1)||k k r k a - 位于交换后的等价方程组的 (1)k kk a - 位置，然后再施实消去法，这种方法称为列选主元Gauss 消去法或部分主元Gauss 消去法.【例2.3】应用列选主元Gauss 消去法解上述方程. 【解】因为2111a a >，所以先交换第1行与第2行，得1211120.9,0.3100.7,x x x x -⎧+=⎪⎨⨯+=⎪⎩ 然后再应用Gauss 消去法，得到消元后的方程组为1220.9,0.7.x x x ⎧+=⎨=⎩回代求解，可以得到正确的结果.即120.2,0.7x x = =.三、三角分解法设方程组Ax b =的系数矩阵A 的顺序主子式不为零.即1112121222110,1,2,,.kk k k k kka a a a a a k n a a a ∆=≠=在Gauss 消去法中，第一次消元时，相当于用单位下三角阵211131111010010n m L m m -⎡⎤⎢⎥- ⎢⎥⎢⎥=- ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦ ，左乘方程组Ax b =，得11A x b =，其中11121(1)(1)122211(1)200n n n nn a a a a a A L a a -(1)⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ ，1(1)(1)111,11,1,1(,,,)Tn n n n b L b a a a -+++== .第二次消元时，相当于用单位下三角阵1232210101001n L m m - ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= - ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ - ⎢⎥⎣⎦0 ，左乘方程组11A x b =，得22A x b =其中11121(1)(1)22211(2)(2)221333(2)(2)300000n n n n nn a a a a a A L L A a a a a --⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥== ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ，11(1)(2)(2)2211,12,13,1,1(,,,,).Tn n n n n b L L b a a a a --++++==经过1n -次消元，最后得到等价方程组11n n A x b --=其中11121(1)222111111221(1)n n n n n n nn a a a a a A L L L L A a (1)--------⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦1111(1)(1)112221,12,1,1(,,,)n Tn n n n n n n b L L L L b a a a --------+++==注意到1n A -是一个上三角阵，记111111221n n n U A L L L L A -------==则121()n A L L L U LU -==其中，121n L L L L -= . 不难验证21313212_1111n n nn m L m m m m m ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 1 ⎢⎥⎣⎦是单位下三角阵.于是解线性方程组Ax b =，就转化为解方程 LUx b =，若令Ux y =就得到一个与 Ax b =等价的方程组Ly b Ux y =⎧⎨=⎩【定理2.2】若 A 为 n 阶方阵，且 A 的所有顺序主子式0k ∆≠，1,2,,k n = .则存在唯一的一个单位下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U ，使A LU =.在上述过程中，若不假设A 的顺序主子式都不为零，只假设A 非奇异，那么Gauss 消去法将不可避免要应用两行对换的初等变换.第一次消元，将第1行与第1r 行交换，相当于将方程组Ax b =左乘矩阵11r P ：1111r r P Ax P b=经第一次消元得11111111r r L P Ax L P b--=即系数矩阵为11111r A L P A-=，其中110111r P ⎡⎢ ⎢ 1= 1 0 1 ⎣0 0 ⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦1 列 1r列类似地，经1n -次消元，有121111111,22,11n n n n n r n n r r A L P L P L P A----------= .如果预先知道每一个(1,2,,1)iir P i n =- ，则在消元之前就全部作交换，得 1211,2,1,n n n r n r r A P P P A PA----== ，其中，1211,2,1,n n n r n r r P P P P ----= .即原方程变为PAx Pb =然后再消元，相当于对PA 做三角分解PA LU =由以上讨论，可得结论【定理2.3】若A 非奇异，则一定存在排列矩阵 P ，使得 PA 被分解为一个单位下三角阵和一个上三角1 行1行r阵的乘积，即PA LU =成立.这时，原方程组Ax b = 等价于 PAx Pb =，即等价于求解LUx Pb =令Ux y =则Ly Pb =实际求解时，先解方程组Ly Pb =,再根据 y 求解 Ux y =,即得原方程组Ax b =的解. 这种求解方法称为三角分解法.常用三角分解方法有以下几种. 1．Doolittle 分解方法假设系数矩阵A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的. 记21121110n n l L l l ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ , 11121222n n nn u u u u u U u ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥ 0 ⎣⎦ 于是有1112111121222212222112111110n n n n n n n n nn a a a u u u u u a a a l l l a a a ⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ nn u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥0 ⎣⎦从前面讨论A 的LU 分解过程可看出,L 、U 的元素都是用有关的(1)k ij a -来表示的，而它们的计算较麻烦.现在给出直接从系数矩阵A ，通过比较等式的两边逐步把L 和U 构造出来的方法，而不必利用Gauss 消去法的中间结果(1)k ij a -.计算步骤： (1) 由L 阵的第1行分别乘U 阵的各列，先算出U 阵的第1行元素 11,1,2,,j j u a j n = = .然后，由L 阵的各行分别去乘U 阵的第1列，算出L 阵的第1列元素1111/,2,3,,i i l a a i n = = .(2)现假设已经算出U 阵的前1r -行元素，L 阵的前1r -列元素，下面来算U 阵的第r 行元素，L 阵的第r 列元素.由L 阵的第r 行分别乘U 阵的第j 列(,1,,)j r r n =+ ，得11r ij rk kj rjk a l u u -==+∑所以，得U 阵的第r 行元素11,,1,,r rj rj rk kj k u a l u j r r n-==- =+∑ .再由L 阵的第i 行(1,2,,)i r r n =++ 分别去乘U 阵的第r 列,得11r ir ik kr ir rrk a l u l u -==+∑,所以，得L 阵的第r 列元素11[]/,1,2,,.r ir ir ik kr rr k l a l u u i r r n -==- =++∑取1,2,,r n = 逐步计算，就可完成三角分解A LU =；(3)解与Ax b = 等价的方程组Ly b Ux y =⎧⎨=⎩逐次用向前代入过程先解Ly b = 得1111,2,3,,.i i i ij j j y b y b l y i n -==⎧⎪⎨=- =⎪⎩∑然后再用逐次向后回代过程解Ux y =得1/,()/,1,2,,2,1.n n nn n i i ij j ii j i x y u x y u x u i n n =+=⎧⎪⎨=- =--⎪⎩∑2．Crout 分解方法仍假设系数矩阵A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的.即ˆA L=ˆU .与Doolittle 分解方法的区别在111212122211n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ 1122ˆˆl l ⎡⎤ 0⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 122ˆ1ˆ10n u u ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ 1 ⎣⎦ 比较两边，则可推导出与Doolittle 分解方法类似的公式，不过Crout 分解方法是先算ˆL 的第r 列，然后再算ˆU的第r 行.3．Cholesky 分解方法若 A 为对称正定矩阵，则有 ˆT U L =，即11()()TT T A LDL LD LD LL ===其中L 为下三角阵. 进一步展开为1121111211112122221222221212n n n n n n nn n n nn a a a l l l l a a a l l l l l l l a a a ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ 0 ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0nn l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ 比较两边对应元素，容易得到12121()r rr rr rk k l a l -==-∑ ，11()/r ir ir ik rk rrk l a l l l -==-∑ 1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++Cholesky 分解的优点：不用选主元. 由21rrr rk k a l ==∑ 可以看出||1,2,,.rk l k r ≤=这表明中间量rk l得以控制，因此不会产生由中间量放大使计算不稳定的现象. Cholesky 分解的缺点：需要作开方运算. 改进的Cholesky 分解：改为使用分解T A LDL =即11121121121221222121111n n n n n n n n nn a a a d l l l d a a a l l d a a a ⎡⎤ 1 ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 1 1 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2n l ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ 1⎣⎦其中21ˆl 1ˆn l 2ˆn l ˆnn l 1ˆn u12111()/r r rr rk k k r ir ir ik k rk rk d a l d l a l d l d-=-=⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑，1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++Cholesky 分解方法或平方根法：应用Cholesky 分解可将Ax b =分解为两个三角形方程组T Ly b L x y ⎧= ⎪⎨= ⎪⎩分别可解得111111/,()/.i i i ik k ii k y b l y b l y l i n -=⎧=⎪⎨=-, =2,3,,⎪⎩∑和1/,()/1,.n n nn n i i ki k ii k i x y l x y l x l i n n =+⎧=⎪⎨=-, =--2,,2,1⎪⎩∑改进的Cholesky 分解方法或改进的平方根法：应用改进的Cholesky 分解，将方程组Ax b =分解为下面两个方程组1,,T Ly b L x D y -= ⎧⎨= ⎩同理可解得1111,,2,3,,.i i i ik k k y b y b l y i n ==⎧=⎪⎨=- =⎪⎩∑和1/,/,1,2,,2,1.n n n n i i i ki k k i x y d x y d l x i n n =+⎧=⎪⎨=- =--⎪⎩∑ 4．解三对角方程组的追赶法若()ij n n A a ⨯=满足1||||,1,2,,.nii ij j j ia a i n =≠> =∑则称A 为严格对角占优矩阵.若A 满足1||||,1,2,,.nii ij j j ia a i n =≠≥ =∑且其中至少有一个严格不等式成立，则称A 为弱对角占优矩阵.现在考虑Ax d = 的求解，即11112222211111n n n n n n n n n b c x d a b c x d a b c x d d a b x -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 系数矩阵A 满足条件11||||0,||||||,,0,2,3,, 1.||||0,i i i i i n n b c b a c a c i n b a ⎧>>⎪≥+ ≠=-⎨⎪>>⎩采用Crout 分解方法11112222221111n n n n n n n b c a b c a b c a b βαβγαγα---⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥ 1 ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ 1n β-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥1 ⎢⎥⎢⎥ 1 ⎣⎦其中，,,i i i αβγ为待定系数.比较上式两边可得到111111,;,,2,3,,;,2,3,, 1.i i i i i i i i i b c a b i n c i n ααβγγβααβ-= == =+ == =-进而可导出1111111,2,3,,.,/,,2,3,,./(),2,3,, 1.i i i i i i ii i i i a i n b c b b i n c b i n γαβααββαβ--⎧= =⎪= =⎪⎨=- =⎪⎪=- =-⎩由此可看出，真正需要计算的是(1,2,,1)i n β=- ，而i α可由,i i b a 和1i β-产生.因此，实现了A 的Crout 分解后，求解Ax d =就等价于解方程组Ly dUx y =⎧⎨=⎩从而得到解三对角方程组的追赶法公式： (1) 计算i β的递推公式：1111/,/(),2,3,, 1.i i i i i c b c b i n ββαβ-⎧=⎪⎨=- =-⎪⎩(2) 解方程组Ly d =：11111/()/(),2,3,,.i i i i i i i y d b y d a y b a i n β--⎧=⎪⎨=-- =⎪⎩(3) 解方程组Ux y =：1,1,2,,2,1.n n i i i i x y x y x i n n β+⎧=⎪⎨=- =--⎪⎩追赶法的乘除法次数是66n -次.将计算121n βββ-→→→ 及12n y y y →→→ 的过程称之为“追”的过程，将计算方程组Ax d =的解121n n x x x x -→→→→ 的过程称之为“赶”的过程.四、迭代法将Ax b =改写为一个等价的方程组 x Bx k =+建立迭代公式 (1)(),0,1,2,.i i x Bx k i +=+ =称矩阵B 为迭代矩阵.【定义】如果对固定的矩阵B及向量k，对任意初始猜值向量(0)x ，迭代公式(1)()i i +()i()*lim i i x x →+∞=成立，其中*x 是一确定的向量，它不依赖于(0)x 的选取.则称此迭代公式是收敛的，否则称为发散的.如果迭代收敛，则应有**,x Bx k =+1. 收敛性()()*,0,1,2,i i x x i ε=- =为第i步迭代的误差向量.则有(1)(1)*()*()(),0,1,2,.x x B x x B i εε++=-=-==所以，容易推出()(0),0,1,2,,i i B i εε= =其中，(0)(0)*xxε=-为初始猜值的误差向量.设n nB K ⨯∈，lim 0i i B →+∞=⇔ ()1B ρ<.迭代法收敛基本定理：下面三个命题是等价的 (1) 迭代法(1)()i i x Bx k +=+收敛；(2)()1B ρ<；(3) 至少存在一种矩阵的从属范数⋅，使1B <注：当条件()1B ρ<难以检验时，用1B 或B ∞等容易求出的范数，检验11B <或1B∞<来作为收敛的充分条件较为方便.常用迭代法如下. 2．Jacob 迭代考察线性方程组Ax b =，设A 为非奇异的n 阶方阵，且对角线元素0ii a ≠(1,2,,)i n = .此时，可将矩阵A 写成如下形式A D L U =++,1122(,,,)nn D diag a a a = ，21313212000n n a L a a a a ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 0 ⎢⎥⎣⎦ ,12131232000n n a a a a a U ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= 0 ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ,建立Jacobi 迭代公式(1)1()1(),i i x D L U x D b +--=-++迭代矩阵11()J B D L U I D A --=-+=-J B 的具体元素为112111122122221200n n J n n nn nn a a a a a a B a a a a a a ⎡⎤ - -⎢⎥⎢⎥⎢⎥- - ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- - 0 ⎢⎥⎣⎦ Jacobi 迭代法的分量形式如下1(1)()()111(),j n i i i jj jm m jm m m m j jj xb a x a x a -+==+=--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =3．Gauss-Seidel 迭代容易看出，在Jacobi 迭代法中，每次迭代用的是前一次迭代的全部分量()(1,2,,)i jx j n = .实际上，在计算(1)i j x +时，最新的分量(1)(1)(1)121,,,i i i j x x x +++- 已经算出，但没有被利用.事实上，如果Jacobi 迭代收敛，最新算出的分量一般都比前一次旧的分量更加逼近精确解，因此，若在求(1)i j x+时，利用刚刚计算出的新分量(1)(1)(1)121,,,i i i j x x x+++- ，对Jacobi 迭代加以修改，可得迭代公式1(1)(1)()111(),j ni i i jj jm m jm m m m j jj xb a x a x a -++==+=--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =矩阵形式(1)1()1()(),0,1,2,.i i x D L Ux D L b i +--=-++-+=1()G B D L U -=--+注：（1）两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更快一些.（2）但也有这样的方程组，对Jacobi 迭代法收敛，而对Gauss-Seidel 迭代法却是发散的. 【例2.4】分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下面的方程组121232342,46,4 2.x x x x x x x ⎧- =⎪-+-=⎨⎪-+=⎩初始猜值取0(0,0,0)x =. 【解】 Jacobi 迭代公式为(1)()12(1)()()213(1)()321(2),41(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩迭代计算4次的结果如下 (1)(2)(3)(4)(0.5,1.5,0.5),(0.875,1.75,0.875),(0.938,1.938,0.938),(0.984,1.969,0.984).T T T T x x x x ====Gauss-Seidel 迭代公式为(1)()12(1)(1)()213(1)(1)321(2),41(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++++⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩迭代计算4次的结果如下(1)(2)(3)(4)(0.5,1.625,0.9063),(0.9063,1.9532,0.9883),(0.9883,2.0,0.9985),(0.9985,1.999,0.9998).T T T T x x x x ====从这个例子可以看到，两种迭代法作出的向量序列(){}i x 逐步逼近方程组的精确解*(1,2,1)T x =,而且Gauss-Seidel 迭代法收敛速度较快.一般情况下，当这两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更3．超松弛迭代法为了加快迭代的收敛速度，可将Gauss-Seidel 迭代公式改写成1(1)()(1)()11(),j ni i i i jjj jm m jm m m m jjj xx b a x a x a -++===+--∑∑ 1,2,,;0,1,2,.j n i = =并记1(1)(1)()11(),j ni i i jj jm m jm m m m jjj rb a x a x a -++===--∑∑称 (1)i j r + 为 1i + 步迭代的第 j 个分量的误差向量.当迭代收敛时，显然有所有的误差向量(1)0(),1,2,,.i j r i j n +→→∞=为了获得更快的迭代公式，引入因子R ω∈，对误差向量 (1)i j r + 加以修正，得超松弛迭代法（简称SOR 方法）(1)()(1),0,1,2,.i i i j j j x x r i ω++=+ =即1(1)()(1)()1(),j ni i i i jjj jm mjm m m m jjjxx b a xa x a ω-++===+--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =适当选取因子ω，可望比Gauss-Seidel 迭代法收敛得更快.称ω为松弛因子.特别当1ω=时，SOR 方法就是Gauss-Seidel 迭代法.写成矩阵向量形式(1)1()1()[(1)](),j i x D L D U x D L b ωωωωω+--=+--++0,1,2,.i =迭代矩阵为1()[(1)].B D L D U ωωωω-=+--实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的. 4．迭代收敛其它判别方法：用迭代法收敛基本定理来判断收敛性时，当n 较大时，迭代矩阵的谱半径计算比较困难，因此，人们试图建立直接利用矩阵元素的条件来判别迭代法的收敛定理. （1）若方程组Ax b =中的系数矩阵A 是对称正定阵，则 Gauss-Seidel 迭代法收敛. 对于SOR 方法，当02ω<< 时迭代收敛（2）若A 为严格对角占优阵，则解方程组 Ax b = 的Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法均收敛. 对于SOR 方法，当01ω<< 时迭代收敛.【例2.5】设线性方程组为121221,32,x x x x ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩建立收敛的Jacobi 迭代公式和Gauss －Seidel 迭代公式. 【解】对方程组直接建立迭代公式，其Jacobi 迭代矩阵为0230J B -⎡⎤=⎢⎥- ⎣⎦，显见谱半径()1J B ρ=>，故Jacobi 迭代公式发散.同理Gauss －Seidel 迭代矩阵为0206G B -⎡⎤=⎢⎥ ⎣⎦，谱半径()61G B ρ=>，故Gauss －Seidel 选代公式也发散. 若交换原方程组两个方程的次序，得一等价方程组121232,21,x x x x ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩其系数矩阵显然对角占优，故对这一等价方程组建立的Jacobi 迭代公式，Gauss －Seidel 迭代公式皆收敛. （3）SOR 方法收敛的必要条件是 02ω<<【定理2.5】如果A 是对称正定阵，且02ω<<，则解Ax b =的SOR 方法收敛.注：当(0,2)ω∈ 时，并不是对任意类型的矩阵A ，解线性方程组Ax b =的SOR 方法都是收敛的.当SOR 方法收敛时，通常希望选择一个最佳的值opt ω使SOR 方法的收敛速度最快.然而遗憾的是，目前尚无确定最佳超松弛因子opt ω的一般理论结果.实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的.【例2.6】求解线性方程组Ax b =，其中10.3000900.308980.30009100.4669110.274710.30898A - -- -0.46691 0= - -- 00.274711(5.32088,6.07624,8.80455,2.67600).T b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ - ⎣⎦ =-分别利用Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法，SOR 迭代法求解. 【解】其结果列入下表中，方程组精确解(五位有效数字)为*(8.4877,6.4275, 4.7028,4.0066).T x =-Jacobi 迭代法计算结果i()1i x()2i x ()3i x ()4i x ()2||||i r0 012.3095 1 5.3209 6.0762 －8.8046 2.6760 5.3609 27.97113.5621 －5.2324 1.90143.631820 8.4872 6.4263 －4.7035 4.0041 0.0041 218.48606.4271 －4.7050 4.0063 0.0028Gauss-Seidel 迭代法计算结果i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||i r0 012.3095 1 5.3209 7.6730 －5.2220 2.8855 3.6202 28.51506.1933 －5.1201 3.90040.49098 8.4832 6.4228 －4.7064 4.0043 0.0078 98.48556.4252－4.70554.00550.0038SOR 迭代法计算结果（1.16ω=）i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||i r0 012.3095 1 6.1722 9.1970 －5.2320 3.6492 3.6659 29.69416.1177 －4.8999 4.43351.33136 8.4842 6.4253 －4.7005 4.4047 0.0051 78.48686.4288－4.70314.00650.0016计算结果表明，若求出精确到小数点后两位的近似解，Jacobi 迭代法需要21次，Gauss －Seidel 迭代法需要9次，而SOR 迭代法(选松弛因子 1.16ω=)仅需要7次，起到加速作用.5．误差分析【定理2.6】设 *x 是方程 Ax b = 的惟一解，v ⋅ 是某一种向量范数，若对应的迭代矩阵其范数1v B <，则迭代法(1)(),0,1,2,.i i xBx k i +=+ = 收敛，且产生向量序列(){}i x 满足()*()(1)||||||||||||1||||i i i vv vvB x x x x B --≤--()*(1)(0)||||||||||||1||||i i vv vvB x x x x B -≤--【证明】由迭代收敛基本定理的(3)知，迭代法(1)(),0,1,2,.i i x Bx k i +=+ =收敛到方程的解*x .于是，由迭代公式立即得到(1)*()*(1)()()(1)(),().i i i i i i x x B x x x x B x x ++--=--=-为书写方便把v 范数中v 略去，有估计式(1)*()*||||||||||||,i i x x B x x +-≤⋅-(1)()()(1)||||||||||||.i i i i x x B x x +--≤⋅-再利用向量范数不等式||||||||||||x y x y -≥-于是得第一个不等式()(1)(1)()()*(1)*()*||||||||||||||||||||(1||||)||||,i i i i i i i B x x x x x x x x B x x -++ -≥-≥--- ≥--再反复递推即第二个不等式.注：（1）若事先给出误差精度ε，利用第二个不等式可得到迭代次数的估计(1)(0)(1||||)ln ln ||||||||v v v B i B x x ε⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦ （2）在||||v B 不太接近1的情况下，由第一个不等式，可用()(1)||||i i v x x ε--<作为控制迭代终止的条件，并取 ()i x 作为方程组 Ax b = 的近似解.但是在||||v B 很接近1时，此方法并不可靠.一般可取1,2,v =∞或F .【例2.7】用Jacobi 迭代法解方程组123123123202324,812,231530.x x x x x x x x x ⎧++=⎪++=⎨⎪-+=⎩问Jacobi 迭代是否收敛?若收敛，取(0)(0,0,0)T x =，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于610-?【解】 Jacobi 迭代的分量公式为(1)()()123(1)()()213(1)()()3121(2423)201(12),0,1,2,81(3022),15i i i i i i i i i x x x x x x i x x x +++⎧=--⎪⎪⎪=-- =⎨⎪⎪=-+⎪⎩Jacobi 迭代矩阵J B 为130102011088210155J B ⎡⎤ - -⎢⎥⎢⎥⎢⎥=- -⎢⎥⎢⎥⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦，由5251||||max ,,1208153J B ∞⎧⎫==<⎨⎬⎩⎭知，Jacobi 迭代收敛. 因设(0)(0,0,0)Tx =，用迭代公式计算一次得(1)(1)(1)12363,, 2.52x x x = = =而(1)(0)|||| 2.x x ∞-=于是有6110(1)13ln ln 13.23i -⎡⎤⋅-⎢⎥>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以，要保证各分量误差绝对值小于610-，需要迭代14次.【例2.8】用Gauss －Seidel 迭代法解例2.11中的方程组，问迭代是否收敛?若收敛，取(0)(0,0,0)Tx =，需要迭代多少次，才能保证各分量误差的绝对值小于610-?【解】 Gauss －Seidel 迭代矩阵G B 为102403601()03025524000G B D L U - - ⎡⎤⎢⎥=-+= -⎢⎥⎢⎥ 38 -3⎣⎦显然1||||14G B =<，所以迭代收敛. Gauss －Seidel 迭代分量公式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121(2423),201(12),0,1,2,81(3022),15i i i i i i i i i x x x x x x i x x x ++++++⎧=--⎪⎪⎪=-- =⎨⎪⎪=-+⎪⎩因取(0)(0,0,0)T x =，故迭代一次得(1)(1)(1)1231.2, 1.35, 2.11x x x = = =于是有(1)(0)|||| 2.11x x ∞-=，计算得6110(1)14ln ln 10.2.114i -⎡⎤⋅-⎢⎥>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所在，要保证各分量误差绝对值小于610-，需要迭代11次.。

第二章课后习题及答案

第二章心理辅导的理论基础一、理论测试题（一）单项选择题1．（）是根据操作性条件反射原理，强调行为的改变是依据行为后果而定的。

A •强化法B •系统脱敏法C.代币法D •来访者中心疗法2•在对学生进行心理辅导时，常使用的“强化法”属于（）。

A •行为改变技术B •认知改变法C.运动改变法D •精神分析法3•在心理辅导的行为演练中，系统脱敏法是由（）首创。

A .皮亚杰B •沃尔帕C艾利斯D •罗杰斯4•心理辅导老师帮李晓明建立焦虑等级，让他想象引起焦虑的情境，然后逐渐减少焦虑等级，直至完全放松，以缓解其考试焦虑，这种方法是（）。

A •强化法B •系统脱敏法C.理性一情绪疗法D •来访者中心疗法5 •行为塑造法是根据（）的操作条件反射研究结果而设计的培育和养成新反应或行为模式的一项行为治疗技术，是操作条件作用法强化原则的有力应用之一。

A .皮亚杰B •斯金纳C.艾利斯D .奥苏贝尔6．（）就是运用代币并编制一套相应的激励系统来对符合要求的目标行为的表现进行肯定和奖励。

A .强化法B .理性一情绪疗法C.代币法D .来访者中心疗法7.李老师通过奖励小红花来表扬学生的行为，这种心理辅导方法属于（）。

A .系统脱敏法B •代币法C.行为塑造法D .来访者中心疗法8.晓红是韩老师班上的学生，她孤僻、羞涩，当她主动与同学交谈或请教老师时，韩老师就给予肯定或激励。

这种心理辅导方法是（）。

A .强化法B •系统脱敏法C.来访者中心法D .理性一情绪疗法9.（）不是行为改变的基本方法。

A .强化法B .代币法C.自我控制法D .演练法10.小伟过分害怕狗，通过让他看狗的照片，谈论狗，远看狗到近看狗、摸狗、抱狗，消除对狗的惧怕反应，这是行为训练的（）。

A .全身松弛训练B .系统脱敏法C.行为塑造法D .肯定性训练11.当一位胆小的学生敢于主动向教师提问时，教师教师耐心解答并给予表扬和鼓励。

的这种做法属于行为改变方法中的（）。

习题答案—第二章

第二章正交曲线坐标系下的张量分析与场论1、用不同于书上的方法求柱坐标系和球坐标系的拉梅系数及两坐标间的转换关系ij β。

解：①柱坐标系k z j i r++=ϕρϕρs i n c o s ，2222222dz H d H d H ds z ++=ϕρϕρ ()()k dz j d d i d d r d+++-=ϕϕρρϕϕϕρρϕcos sin sin cos()()222222222222222222222222222222c o s s i n s i n c o s c o s s i n 2c o s s i n s i n c o s s i n 2c o s c o s s i n s i n c o s dz d d dz d d d d dz d d d d d d d d dz d d d d r d r d ds ++=++++=+++++-=+++-=⋅=ϕρρϕϕρϕϕρρϕρϕϕρϕϕρϕϕρρϕϕϕρϕρϕϕρρϕϕϕρρϕϕϕρρϕ故：1=ρH ，ρϕ=H ，1=z H ②球坐标系k R j R i R r θφθφθc o s s i n s i n c o s s i n ++=，2222222φθφθd H d H dR H ds R ++=()()()kd R dR j d R d R dR id R d R dR r dθθθφφθθφθφθφφθθφθφθsin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -++++-+= ()()()2222222222s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n s i ns i n s i n c o s c o s c o s s i n φθθθθθφφθθφθφθφφθθφθφθd R d R dR d R dR d R d R dR d R d R dR r d r d ds ++=-++++-+=⋅=故：1=R H ，R H =θ，θφsin R H = ③两坐标间的转换关系ij βφr re e θe φPθru re e zu ze r(1)圆柱坐标系（2）球坐标系由球坐标系与直角坐标系的坐标变换矩阵为：sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0r e i e j e k θφθφθφθθφθφθφφ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭注意，圆柱坐标系中的θ和球坐标系的φ相等。

《微观经济学》第2章需求与供给练习题及答案解析

第二章需求与供给一、选择题1.随着公共汽车车票的价格上升，会出现公共汽车车票的( )。

A. 需求量增加；B. 需求量减少；C. 需求增加；D. 需求减少解析：B.本题考察需求量的含义，商品本身价格的变化导致的需求数量的变化被称为需求量的变化。

表示在不同的价格下消费者改变了消费数量。

2.随着公共汽车票的价格大幅下降，会出现私人汽车的( )。

A. 需求量增加；B. 需求量减少；C. 需求增加；D. 需求减少解析：D.本题考察需求的含义，商品本身价格以外的因素发生变化也就是非价格因素的变化导致的需求数量的变化被称为需求的变化。

表示在每一个与以前相同的价格下消费者改变了消费数量。

公共汽车和私人汽车互为替代品，替代品价格下降，被研究对象的需求会跟着下降，消费者在相同的价格下减少了对私人汽车的需求数量。

3.随着汽油价格大幅下降，会出现私人汽车的( )。

A. 需求量增加；B. 需求量减少；C. 需求增加；D. 需求减少解析：C.本题考察需求的含义，商品本身价格以外的因素发生变化也就是非价格因素的变化导致的需求数量的变化被称为需求的变化。

表示在每一个与以前相同的价格下消费者改变了消费数量。

汽油和私人汽车互为互补品，互补品价格下降，被研究对象的需求数量会增加，消费者在相同的价格下增加了对私人汽车的需求数量。

4. 随着养猪专业户的增加，会出现生猪的( )。

A. 需求量增加；B. 需求量减少；C. 需求增加；D. 需求减少解析：A. 本题考察需求量的含义，商品本身价格的变化导致的需求数量的变化被称需求量的变化。

表示在不同的价格下消费者改变了消费数量。

本题供给增加导致生猪价格下降，在较低的价格下消费者增加了生猪的需求数量，是需求量的变化。

5.随着商品房价格上升，商品房的（）A.供给增加；B.供给量增加；C.供给减少；D.供给量减少。

解析：B.本题考察供给量的含义，商品本身价格的变化导致的供给数量的变化被称供给量的变化。

第二章习题答案参考

第二章金属切削机床设计22. 什么是传动组的级比和级比指数？常规变速传动系的各传动组的级比指数有什么规律性？传动组的级比是指主动轴上同一点传往被动轴相邻两传动线的比值，用ϕxi 表示。

级比ϕxi 中的指数X i 值称为级比指数，它相当于由上述相邻两传动线与被动轴交点之间相距的格数。

设计时要使主轴转速为连续的等比数列，必须有一个变速组的级比指数为1，此变速组称为基本组。

基本组的级比指数用X 0表示，即X 0 ＝ 1，后面变速组因起变速扩大作用，所以统称为扩大组。

第一扩大组的级比指数X 1一般等于基本组的传动副数P 0，即X 1 ＝ P 0。

第二扩大组的作用是将第一扩大组扩大的变速范围第二次扩大，其级比指数X 2等于基本组的传动副数和第一扩大组传动副数的乘积，即X 2 ＝ P 0×P 1。

如有更多的变速组，则依次类推。

上述设计是传动顺序和扩大顺序相一致的情况，若将基本组和各扩大组采取不同的传动顺序，还有许多方案。

25. 某机床主轴转速n ＝100～1120 r/min ，转速级数z ＝8，电动机转速n 电＝1440 r/min ，试设计该机床主传动系，包括拟定结构式和转速图，画出主传动系图。

解：2.111001120min max ===n n R n ===-712.11Z n R φ 1.41查表可获得8级转速为 100，140，200，280，400，560，800，1120拟定8级转速的结构式：根据级比规律和传动副前多后少、传动线前密后疏的的原则确定4212228⨯⨯=241.141.111max ≤===ϕ主u 符合要求4/182.2/141.133min ≥===--ϕ主u 符合要求最后扩大组的变速范围：8441.1)12(4)1(≤===--i i P x i R ϕ符合要求绘制传动系统图如下：26. 试从ϕ＝1.26，z ＝18级变速机构的各种传动方案中选出其最佳方案，并写出结构式，画出转速图和传动系图。

第2章质点动力学习题答案

2-8. 长为l的轻绳，一端固定，另一端系一质量为m的小长为的轻绳，一端固定，另一端系一质量为的小的轻绳开始运动，球，使小球从悬挂着的位置以水平初速度 v 0 开始运动，求小球沿逆时针转过解：法向方程角度时的角速度和绳子张力。角度时的角速度和绳子张力。 θ
T − mg cos θ = m ω 2 l m v + 2 gl (cos θ − 1) = l
r2
r
2
，求电子从 r1 运动到 r2 ( r1 > r2 )
r1
r r r2 k 1 1 f ⋅dr = − ∫ 2 dr = k − r r r1 r 2 1
2-14. 质量为 m = 2 × 10 −3 kg的子弹，在枪筒中前进时受到的子弹，的合力为 F = 400 − 300m/s，试计算枪筒的长度。，试计算枪筒的长度。解：设枪筒的长度为
其速度是？其速度是？
r 2-3. 一物体质量为一物体质量为10kg，受方向不变的力 F = 30 + 40t ，
的作用，在开始的内此力的冲量大小为？的作用，在开始的2s内，此力的冲量大小为？若物体的方向与力同向，则在2s末物体初速度大小为 10 m ⋅ s ，方向与力同向，则在末物体速度的大小等于？速度的大小等于？
r r 2-2. 一质量为一质量为10kg的物体在力 f = (120t + 40) i 作用的物体在力 r r v0 = 6i m ⋅ s −1 ，则t=3时轴运动，时其速度下，沿x轴运动，t=0时其速度轴运动时
r r r r f (120t + 40)i = = (12t + 4) i 解：a = m 10 r r r t r t r 2 v = ∫ adt = ∫ (12t + 4) i dt =(6t + 4t ) i + v0 0 0 r = ( 6t 2 + 4t + 6) i r r v ( 3) = 72i m ⋅ s −1

第二章习题答案

第二章习题答案2.1.1 质点的运动学方程为j t i t r j i t r ˆ)14(ˆ)32()2(ˆ5ˆ)23()1(-+-=++=求质点的轨迹并用图表示解：（1）⎭⎬⎫=+=523y t x 平行于x 轴的直线：y=5(2)⎭⎬⎫-=-=1432t y t x 消去t 的轨迹方程：0534=-+y x2.1.2 质点的运动学方程为kj e i e r t t ˆ2ˆˆ22++=-。

(1)求质点的轨迹。

（2）求自t = -1 至t = 1质点的位移解：（1）由运动方程得质点轨迹的参数方程为 )3()2()1(222⎪⎩⎪⎨⎧===-z ey e x tt （1）x （2）消去t ，得轨迹方程 ⎩⎨⎧==21z xy（2）自t = -1 至t = 1质点的位移：je e i e e r r r k j e i e r k j e i e r t t ˆ)(ˆ)(ˆ2ˆˆˆ2ˆˆ,1,1222211221221-------+-=-=∆++=++==-= 2.1.3 质点的运动学方程为j t i t r ˆ)32(ˆ42++=。

（1）求质点的轨迹；（2）求自t=0至t=1质点的位移解：由质点的运动方程⎩⎨⎧+==)2(32)1(42t y t x （1）质点的轨迹：消去t 得：2)3(-=y x（2）位移：ji r r r j i r j r t t ˆ2ˆ4ˆ5ˆ4ˆ3101221+=-=∆+====2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为R 1=4100m ，θ1=33.70，0.75s 后测得R 2=4240m ，θ2=29.30，R 1,R 2均在铅直平面内，求飞机瞬时速度的近似值和飞行方向（α角）。

解：取雷达站位置为原点，飞机在两个时刻的位置矢量分别为r 1和r 2，则| r 1|=R 1, | r 2|=R 2，如图所示由余弦定理，在0.75s 时间间隔内飞机的位移的大小为mR R R R r r r r r 4.349)3.297.33cos(42404100242404100)cos(2)cos(200222121222121212221≈-⨯⨯-+=--+=--+=∆θθθθ飞机的瞬时速度的大小：==∆∆≈smt r v 75.04.349465.8m/s飞机的瞬时速度方向：由正弦定理)3.297.33sin(4.349sin 4240)sin(sin 00212-=⇒-∆=γθθγr r100001207.341806.11193.0arcsin 18090,93.04.4sin 4.3494240sin ≈--=∴≈-=∴>∴>≈=γθαγγγr r另解：利用矢量在直角坐标系中的正交分解. 选平面直角坐标系,取雷达站的位置为坐标原点,x 轴沿水平方向,y 轴铅直向上,则在两个时刻飞机的位置矢量分别可表示为ji j i jR i R r ji j i jR i R r ˆ98.2074ˆ57.3697ˆ3.29sin 4240ˆ3.29cos 4240ˆsin ˆcos ˆ86.2274ˆ01.3411ˆ7.33sin 4100ˆ7.33cos 4100ˆsin ˆcos 00222220011111+=⨯+⨯=+=+=⨯+⨯=+=θθθθ 飞机飞行0.75s 后的位移矢量为j i r r r ˆ88.199ˆ56.28612-=-=∆飞机瞬时速度的大小的近似值:s m t rv /8.46575.038.34975.088.19956.28622=≅+=∆∆≈飞机瞬时速度的方向与x 轴的夹角:09.3482.038.34956.286ˆcos =∴==∆⋅∆=ααr i r2.2.2 一圆柱体沿抛物线轨道运动.抛物线的轨道方程为y=x 2/200(长度:mm).第一次观测到圆柱体在x=249mm 处,经过时间2ms 后圆柱体移到x=234mm 处.求圆柱体瞬时速度的近似解：第一次观测时，x=249mm, y=x 2/200=(249)2/200≈310mm ，j i r ˆ310ˆ2491+=2ms 后，x=234mm, y=x 2/200=(234)2/200≈273.78mm ，j i r ˆ78.273ˆ2342+=圆柱体的位移：mm r j i r r r 2.3922.3615ˆ22.36ˆ152212≈+=∆--=-=∆∴ms mm msmm t r v /6.1922.39==∆∆≈速度与x 轴的夹角：5.112383.02.3915ˆcos -≈∴-≈-=∆⋅∆=ααr i r2.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏着17m 。

第2章习题参考答案

R12 (Rab // 8 Rbc //12) //(Rac //10) 4
(b) R12 (10 // 14) //(6 // 12 8) 3.92 5. 对图 x2.5 所示电桥电路，应用 Y 等效变换求：（1）对角线电压 U ；（2）电压 U ab 。
。
A 为 0。因为已经被短路掉，没有电流。
2. 电路如图 x2.2 所示，求电压 U 12 以及电流表 A1 和 A2 的读数。
解：如图 x2.2a 所示： R12 20 // 20 10 ， R13 4 // 6 2.4
i2
30 0.97 A ， i1 i2 0.5 0.48 A 31
解： R12 4 得到 R1
R13 6
R23 10
R2 R12 R23 2 R12 R23 R13
R13 R12 6 R12 R23 R13 5 R23 R13 3 R12 R23 R13
R3
3 2 U 5 3 5 2 5V 5 5
A. U S 40V 的理想电压源 B. I S 4A 的理想电流源 C. U S 0.4V 的理想电压源与 R 10 的电阻相并联的电路 D. U S 40V 的理想电压源与 R 10 的电阻相并联的电路 3.有 3 个电阻相并联，已知 R1 2，R2 3，R3 6 。在 3 个并联电阻的两端外加电流 I S 18A 的电流源，则对应各电阻中的电流值分别为（ A. I R1 3A, I R 2 6A，I R 3 9A C. I R1 6A，I R 2 9A，I R 3 3A B ）。
U ab (
24 6 24) 5 150V 5 5

第二章课后习题与答案

第2章人工智能与知识工程初步1. 设有如下语句，请用相应的谓词公式分别把他们表示出来：s(1)有的人喜欢梅花，有的人喜欢菊花，有的人既喜欢梅花又喜欢菊花。

解：定义谓词dP(x)：x是人L(x,y)：x喜欢y其中，y的个体域是{梅花，菊花}。

将知识用谓词表示为：(∃x )(P(x)→L(x, 梅花)∨L(x, 菊花)∨L(x, 梅花)∧L(x, 菊花))(2)有人每天下午都去打篮球。

解：定义谓词P(x)：x是人B(x)：x打篮球A(y)：y是下午将知识用谓词表示为：a(∃x )(∀y) (A(y)→B(x)∧P(x))(3)新型计算机速度又快，存储容量又大。

解：定义谓词NC(x)：x是新型计算机F(x)：x速度快B(x)：x容量大将知识用谓词表示为：(∀x) (NC(x)→F(x)∧B(x))(4)不是每个计算机系的学生都喜欢在计算机上编程序。

解：定义谓词S(x)：x是计算机系学生L(x, pragramming)：x喜欢编程序U(x,computer)：x使用计算机将知识用谓词表示为：¬(∀x) (S(x)→L(x, pragramming)∧U(x,computer))(5)凡是喜欢编程序的人都喜欢计算机。

解：定义谓词P(x)：x是人L(x, y)：x喜欢y将知识用谓词表示为：(∀x) (P(x)∧L(x,pragramming)→L(x, computer))2请对下列命题分别写出它们的语义网络： (1) 每个学生都有一台计算机。

解：(2) 高老师从3月到7月给计算机系学生讲《计算机网络》课。

解：(3) 学习班的学员有男、有女、有研究生、有本科生。

解：参例2.14(4) 创新公司在科海大街56号，刘洋是该公司的经理，他32岁、硕士学位。

解：参例2.10(5) 红队与蓝队进行足球比赛，最后以3：2的比分结束。

解：2.19 请把下列命题用一个语义网络表示出来： (1) 树和草都是植物；解：(2) 树和草都有叶和根；解：(3) 水草是草，且生长在水中；解：(4) 果树是树，且会结果；解：(5) 梨树是果树中的一种，它会结梨。

分析化学第二章习题及答案

(2)方程式说明,k值增大也对分离有利,但k值太大会延长分离时间,增加分析成本.
(3)提高柱选择性,可以提高分离度,分离效果越好,因此可以通过选择合适的固定相,增大不同组分的分配系数差异,从而实现分离.
11.对担体和固定液的要求分别是什么?
答:对担体的要求; (1)表面化学惰性,即表面没有吸附性或吸附性很弱,更不能与被测物质起化学反应. (2)多孔性,即表面积大,使固定液与试样的接触面积较大.
(2) 分子扩散项 B/u 由于试样组分被载气带入色谱柱后，是以“塞子”的形式存在于柱的很小一段空间中，在“塞子”的前后 ( 纵向 ) 存在着浓差而形成浓度梯度，因此使运动着的分子产生纵向扩散。而 B=2rDg r 是因载体填充在柱内而引起气体扩散路径弯曲的因数 ( 弯曲因子 ) ， D g 为组分在气相中的扩散系数。分子扩散项与 D g 的大小成正比，而 D g 与组分及载气的性质有关：相对分子质量大的组分，其 D g 小 , 反比于载气密度的平方根或载气相对分子质量的平方根，所以采用相对分子质量较大的载气 ( 如氮气 ) ，可使 B 项降低， D g 随柱温增高而增加，但反比于柱压。弯曲因子 r 为与填充物有关的因素。 (3) 传质项系数 Cu C 包括气相传质阻力系数 C g 和液相传质阻力系数 C 1 两项。所谓气相传质过程是指试样组分从移动到相表面的过程，在这一过程中试样组分将在两相间进行质量交换，即进行浓度分配。这种过程若进行缓慢，表示气相传质阻力大，就引起色谱峰扩张。对于填充柱：液相传质过程是指试样组分从固定相的气液界面移动到液相内部，并发生质量交换，达到分配平衡，然后以返回气液界面的传质过程。这个过程也需要一定时间，在此时间，组分的其它分子仍随载气不断地向柱口运动，这也造成峰形的扩张。液相传质阻力系数 C 1 为：

第二章习题及答案

化工原理练习题五.计算题1. 密度为1200kg.m的盐水，以25m3.h-1的流量流过内径为75mm的无缝钢管。

两液面间的垂直距离为25m，钢管总长为120m，管件、阀门等的局部阻力为钢管阻力的25％。

试求泵的轴功率。

假设：（1）摩擦系数λ＝；（2）泵的效率η＝1.答案*****Z1＋ｕ2/2ｇ＋P1/ρｇ＋He＝Z2＋ｕ2/2ｇ＋P2/ρg+∑H fZ＝0，Z＝25m，ｕ≈0，ｕ≈0，P＝P∴H＝Z＋∑H＝25＋∑H∑H＝（λ×ｌ/d×ｕ/2ｇ）×ｕ＝Ｖ/A＝25/（3600××（ 5））＝1.573m.s∑H＝（×120/×/（2×）×＝7.567m盐水柱H＝25＋＝32.567mN＝Q Hρ/102＝25××120 0/（3600×102）＝N轴＝N/η＝＝2.(16分)如图的输水系统。

已知管内径为d=50mm, 在阀门全开时输送系统的Σ(l+le ) =50m,摩擦系数可取λ=,泵的性能曲线,在流量为6 m3.h-1至15 m3.h-1范围内可用下式描述: H=，此处H为泵的扬程m,Q为泵的流量,问:(1)如要求流量为10 m3.h-1，单位质量的水所需外加功为多少单位重量的水所需外加功为多少此泵能否完成任务 (2)如要求输送量减至8 m3.h-1 (通过关小阀门来达到)，泵的轴功率减少百分之多少(设泵的效率变化忽略不计)答案*****⑴u=10/(3600××)=[]Σhf =λ[Σ(l+le )/d](u2/2)=×(50/2)=P a/ρ+W=Pa/ρ+Z g+Σhf 1 - 2W=Z2g+Σhf 1 - 2 =10×+= []H需要=W/g==[m]而H泵= H泵>H需故泵可用⑵N=H泵Q泵ρg/η ρg/η=常数∴N∝H泵Q泵 N前∝×10H泵后= . 8 =N后∝×8N后/N前=×8/×10)=(N前-N后)/N前=≈%3. 如图3B57离心泵将20℃的水由敞口水池送到一压力为的塔内,管径为φ108×4mm管路全长100m(包括局部阻力的当量长度，管的进、出口当量长度也包括在内)。

第二章课后习题答案

1. 已知某一时期内某商品的需求函数为Q =50-5P ，供给函数为Qs=-10+5p。

（1）求均衡价格Pe和均衡数量Qe，并作出几何图形。

（2）假定供给函数不变，由于消费者收入水平提高，使需求函数变为Qd=60-5P。

求出相应的均衡价格Pe 和均衡数量Qe ，并作出几何图形。

（3）假定需求函数不变，由于生产技术水平提高，使供给函数变为Qs=-5+5p。

求出相应的均衡价格Pe 和均衡数量Qe ，并作出几何图形。

（4）利用（1）（2 ）（3），说明静态分析和比较静态分析的联系和区别。

（5）利用（1）（2 ）（3），说明需求变动和供给变动对均衡价格和均衡数量的影响.解答: (1)将需求函数Qd = 50-5P和供给函数Qs =-10+5P 代入均衡条件Qd = Qs ,有: 50- 5P= -10+5P得: Pe=6以均衡价格Pe =6 代入需求函数Qd =50-5p ,得: Qe=20所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe =6 , Qe=20 (图略)(2)将由于消费者收入提高而产生的需求函数Qd=60-5p 和原供给函数Qs=-10+5P, 代入均衡条件Q d= Qs ,有: 60-5P=-10+5P 得Pe=7以均衡价格Pe=7代入Qd方程，得Qe=25所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe =7 , Qe=25 (图略)(3) 将原需求函数Qd =50-5p和由于技术水平提高而产生的供给函数Q =-5+5p ,代入均衡条件Qd =Qe ,有: 50-5P=-5+5P得Pe= 5.5以均衡价格Pe= 5.5 代入Qd =50-5p ,得22.5所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe=5.5 Qe=22.5(4)所谓静态分析是考察在既定条件下某一经济事物在经济变量的相互作用下所实现的均衡状态及其特征.也可以说,静态分析是在一个经济模型中根据所给的外生变量来求内生变量的一种分析方法.以(1)为例,在图中,均衡点 E 就是一个体现了静态分析特征的点.它是在给定的供求力量的相互作用下所达到的一个均衡点.在此,给定的供求力量分别用给定的供给函数Q=-10+5P 和需求函数Q=50-5P表示，均衡点具有的特征是:均衡价格P=6 且当P =6 时,有Q= Q d= Qe =20 ，同时,均衡数量Qe= 20 ,且当Qe=20 时,有Pd=Ps=Pe=6 ，也可以这样来理解静态分析:在外生变量包括需求函数的参数(50,-5) 以及供给函数中的参数(-10,5)给定的条件下,求出的内生变量分别为P= 6 ，Qe =20依此类推,以上所描素的关于静态分析的基本要点,在(2)及其图和(3)及其图中的每一个单独的均衡点上都得到了体现。

第2章习题答案

了？
答：设备的额定值与实际工作值是两种不同的概念，100A 是发电机的额定电流值，60A
是发电机的实际工作值，实际工作值小于额定值，表明发电机工作在轻载状态。
(5) 根据日常观察，电灯在深夜要比黄昏时亮一些，为什么？
答：深夜时分，大多数家庭都关灯休息，用电量下降，输电线路上的电流减小，输电线
路上的压降减小，加在电灯上的工作电压升高，流过电灯灯丝的电流增大，所以电灯发光强
质进行科学抽象和概括而得到的实体模型。它将实际元器件理想化(或称模型化)。
(2) 标识电压参考方向的方法有哪几种？你最喜欢使用哪一种？为什么？
答：标识电压参考方向的方法有如下三种：用 “ ”、 “ ”极性端表示；用双下标表
示；在电路图上用箭头表示。
我最喜欢在电路图上用箭头表示电压参考方向这一种。原因如下：一是图形表示直观明了；二是如果在心中假设流过电阻的电压和电流的参考方向相同，则在图中可省略不划。
(3) Uab 是否表示 a 端的实际电位高于 b 端的实际电位？
答：不一定，Uab 表示电压方向从 a 点指向 b 点，如果Uab 0 ，则 a 点电位高于 b 点；
否则 a 点电位低于 b 点。 (4) 额定电流为 100A 的发电机，只接 60A 的照明负载，还有电流 40A 的电流流到哪去
的电灯上的电压
U2
302.5 220V=157.1V>110V 302.5 121
，因此 40W 的电灯会烧毁。
4) 在如图 2-36 的电路中，电压和电流之间的关系为( )
(A) U E RI
答案：B
(B) U E RI (C) U E RI
5) 在图 2-37 所示电路中，当电阻 R2 增大时，则电流 I1 ( )

第2章习题(带答案)

1．链表不具有的特点是。

A．可随机访问任一个元素 B. 插入删除不需要移动元素C. 不必事先估计存储空间D. 所需空间与线性表长度成正比2．在一个具有n个结点的单链表中查找值为x的某结点，若查找成功，则平均比较个结点。

A．n B. n/2 C. (n-1)/2 D. (n+1)/23.在单链表中P所指结点之后插入一个元素x的主要操作语句序列是 s=(node *)malloc(sizeof(node));、 s->data=x;、 s->next=p->next、 p->next=s。

4.在单链表中查找第i个元素所花的时间与i成正比。

（√）5．在带头结点的双循环链表中，任一结点的前驱指针均不为空。

（√）6.用链表表示线性表的优点是 ( )。

A. 便于随机存取B. 花费的存储空间比顺序表少C. 便于插入与删除D. 数据元素的物理顺序与逻辑顺序相同7.在双向链表中删除P所指结点的主要操作语句序列是p->prior->next=p->next; 、 p->next->prior=p->prior; 、 free(p); 。

8.下述哪一条是顺序存储结构的优点？（）A．存储密度大 B．插入运算方便 C．删除运算方便 D．可方便地用于各种逻辑结构的存储表示9．若某表最常用的操作是在最后一个结点之后插入一个结点或删除最后一个结点。

则采用（）存储方式最节省运算时间。

A．单链表 B．双链表 C．单循环链表 D．带头结点的双循环链表10. 对任何数据结构链式存储结构一定优于顺序存储结构。

（×）11.对于双向链表,在两个结点之间插入一个新结点需修改的指针共 4 个，单链表为____2___个。

12.以下数据结构中，（）是非线性数据结构A．树 B．字符串 C．队列 D．栈13.若某线性表最常用的操作是存取任一指定序号的元素和在最后进行插入和删除运算，则利用（）存储方式最节省时间。

2章习题答案

第2章 逻辑门电路-习题答案

第二章习题(带答案)

第二章习题及答案

第二章习题解题过程和参考答案

第二章 习题及答案

第二章课后习题答案

高等工程数学第二章习题及答案

第二章课后习题及答案

习题答案—第二章

《微观经济学》第2章需求与供给练习题及答案解析

第二章习题答案参考

第2章 质点动力学 习题答案

第二章习题答案

第2章习题参考答案

第二章课后习题与答案

分析化学第二章习题及答案

第二章习题及答案

第二章课后习题答案

第2章习题答案

第2章习题(带答案)

第2章逻辑门电路-习题答案

第二章习题及答案

第2章质点动力学习题答案