顶级牛人老师说数三学习,亲身体会了从0基础到130分 - 数学

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顶级牛人老师说数三学习，亲身体会了从0基础到130分


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是一个亲戚给介绍的超级牛人，很年轻，本人亲身体会了再他得帮助下数三从几乎0基础考了130多分，英语从30多分考了52分，后来关系熟了，让他写些关于考研的，他一直推辞说不好写，总说，这方面如果总结的太多就太抽象了和空洞了没什么用，如果太具体了又因人而异了，直到最近他才说写了一些，让我看看怎么样，再给改改，我看了看就直接给发了，大家看看对自己是不是有帮助，有帮助了谢他别谢我
。觉得不错，就给多支持，或许也还能帮到别的人。

专职从事数三的考研辅导已经有几年了，这几年的生活很有趣也很无聊，有趣的是生活有了自由支配的时间和金钱，无聊的是生活似乎就只剩下了讲课，赚钱和花钱了。偶尔也会关注下一些网上发的考研数学的秘籍和制胜攻略，还有一些考生的高分经验，也一直想写一些自己关于考研数学的想法，可惜自己最大的特点是懒，特别是生活中，连想都懒的想，而且写文章水平又低，经常前言不搭后语，有人说这是思维跳跃性强，我选择相信这个。
还是回到重点上来说下数三，由于热门类的经济管理类专业的研究生入学考试都需要参加数学三的考试，而且竞争极其激烈，使得考生们对占分数比重大的数三的成绩都定的不低，考取名校的目标更是定在了130分以上。但是有很多准备参加数学三考试的考生，认为自己的基础不是很好，其中一部分人可能是在大学只是简单的学了点微积分，工作后有几年都没有再接触过数学了，另一部分人则是大学里没有怎么学数学，总之都是对自己的数学缺乏信心，希望能找到个明确具体的关于数学学习的方法，使得自己付出努力后能获得比较满意的成绩，复习起来心里也能有底。这几年的数三小班和后来几个一对一学生的辅导经历，让我有机会更近距离的观察和了解了各种思考方式不同的学生，也让我对这门课程的复习有了更深的体会和理解。这篇文章，也是主要针对那些对考研数三缺乏信心或者考试成绩比较低又不知道该如何提升的考生。首先我对这部分考生从考前学习准备，到考试，和考试结束后可能发生的一系列状况做了个简单描述，请同学们看完后和自己的状况比较下，看是不是有符合的，
一、考生们在复习过程中可能会存在以下的疑问

1、 关于学习资料该如何选择。

2、 选定学习资料后的学习计划该如何制定。

3、

复习的有效，即如何才能达到高分经验者所描述的学习状况（即基础知识概念原理很扎实，会综合运用这些知识，甚至能够自己总结考试的出题点）

4、 模拟题要不要做，要怎么做。

5、 要不要上数学辅导班。

考生们在复习过程和参加考试时可能会发生如下的状况，
在买到资料后，（一般都是书本，和历年真题，还有就是其它的考研辅导资料），考生们信心百倍，做好了不成功就成仁的准备开始投入到复习中，复习方式也不外乎就是两种，第一种、开始直接去做真题，或者一些辅导书，发现绝大部分题都不会做，甚至没有一点思路，受打击很大，但还是有吃苦耐劳的考生发扬一遍不懂就看十遍，还看不懂就看解答的精神，依然痛苦并坚持着看题做题，复习变成了大量的做题，会看完一遍再一遍，最后变成为了做题而做题，通常在坚持的看了几遍以后感觉到自己总算是有些进步了，在看到一些熟悉的题型的时候自己是能够完成一部分了，可心里有点不踏实的就是做题似乎就是凭感觉，做完对不对自己也不知道。第二种、先开始看书，花大量的时间思考了几乎所有的概念和做了大量课后习题后，感觉题和概念都比较熟悉了，相信这时候同学应该是建立起一些自信了，那么现在可以开始自信满满的去做真题和辅导书，非常抱歉，这时候你依旧发现题目还是很有难度的，原因主要为以下
其一、研究生入学考试对题目的要求远比课后题要求高，命题者设计的陷阱和障碍还有技巧变化也要大些，毕竟这是选拔性考试。
其二、考试重点要求的关键性的概念你还没有很深入的理解透彻。
但是考生如果此时复习时间依旧还很够，那么如果能在真题和辅导资料坚持几遍后，并且在做题的时候能善于观察和总结一些题目的思路，和不断的更深入的理解那些重点的概念，相信会有不错收获的，再做些模拟题是可以上考场了，考试成绩也是可以有个很不错的预期的。但可惜的是，这整个过程从开始看书本做习题到后来反复做辅导资料和真题要求的时间比较长，持续投入学习时间也很多，对学生的毅力和耐性是不小的考验，实际情况通常是很多学生在大量的时间投入课本后，等到真题和一些辅导资料的时候时间已经不多了，不能通过有效的实际练习将掌握的知识原理真正运用到考试题目中，又或者做题再受到一些打击后，复习思路就会混乱，就干脆放弃了课本原本掌握的那些概念和思路，而开始全力的单纯投入到那些辅导资料的学习，不断重复的做题，但是却不和之前书本所掌握的知识概念相联系，不思考各种题目

的规律和题目所考查的知识点，只是希望从重复的做题中找到一些技巧，这就又回到了第一种复习方式。
经过这样的复习，去参加考试。通常考下来后会有这几种不同的感觉，
1感觉好的人是今天题目都挺熟，做的挺顺利，2感觉差的人则是题目有些陌生，做题不怎么顺，3还有没感觉的人，这很正常的没感觉就是没感觉，题反正是做了，至于对不对自己也不知道，就是凭的感觉去做。不管是什么感觉，结果都差不多，那就是能考好的人并不多。还有一部分比较惨的人则上了考场是备受打击，选择填空还能来几笔，大题就是连片空白，心理素质差点的，如果再遇上前几道题目变化大点的能两眼一黑，今年就这样了，明年再来过吧，这其实还不算最惨的。最惨的是还有考生郁闷之极的发现数学经过自己又复习了一年后居然成功的降低了二三十分，就算我这一年没有太努力也不能得到这个结果吧，好不容易别的课程努力上来了，还指着数学加分呢，这倒好，明年该怎么努力呢。未来是美好的，现实是很残酷的，失败不可怕，这种没有前进方向和希望的失败的确能把人击倒。

那么数学三的复习该是怎么样的才能更有效呢，网上有很多过往高分考生的经验，相信同学们也都是看过了，个人认为这些其实比那些所谓的名师们的攻略要有实际应用的多，我大概总结了些个人认为实用性比较好的全部转到我的博客里有时间同学们可以去看下。这些高分经验给考生的共同的读后感觉就是数三想考高分首先要非常的勤奋，其次，还是要非常的勤奋，投入的时间必须非常的多，他们也都共同明确的指明了基础知识和概念的重要性，考生必须掌握基础的概念、定理和原理，掌握这些概念和相关知识的联系，并学会综合运用。还有考生提到了掌握命题者的出题思路，即面对一道题的时候能知道这道题的考点和易错点，如果能到这个境界就比较高了，因为对命题者思路的理解，其实也就是考试的捷径，命题者事先设计好的题目思路，是不允许考生理解上有偏差的，想找更有效的方法和捷径的也只有这条路了。
相信复习前看过这些高分经验的同学不少，也有很多考生按照这个复习方式学习了，甚至有同学投入了更多的时间，但效果依然不好，这就有些淡化这些高分经验的实际效用了，那么为什么会出现这种状况？我就在他们的一些经验的基础上来说下自己对数三学习的看法，其实很多考生对自己高分的经验总结的非常精彩，我再做些补充，对于一些不够具体或者考生疑惑的地方再加以说明，希望能帮到更多的人。绝对没有其他意思，术业有

专攻而已。
一、先说复习资料的选择，书本、大纲和历年真题是必备的，其实有一本辅导书是非常出色的，可惜数三数四合并后，就不再出了，我一直有志于借鉴这本书的方式编写一本自己的教材，可惜还差一些，关于其他的资料大家推荐的都一样主要是全书和指南，我就不多说了，不过既然说的都是基础差的考生我还是偏向全书些。
二、如何来安排这些资料的复习计划，书本当然是要最先看的。这部分关于对书本和大纲的使用我认为有同学总结的非常不错，就是对照大纲去学习课本，对大纲重点要求的概念和相关的例题多花些时间思考，不是重点的不要太费时间，有个印象是可以了，课后习题选做少部分即可，然后重要的是在做辅导资料习题或者真题的时候，把书本作为工具书来查，不够理解的概念和知识点，再看书本来做到更深的理解和加深记忆，这些将会是重点，需要重复的做，和不断的思考，至于具体在历年真题和辅导资料的学习安排，这些帖子里都有总结很不错的，请同学按照自己的时间去做合适的安排。
在这里我想对为何要采取这种学习方法做一些解释，原因有以下几点，首先因为书本上的习题有一部分是基础题是让你对相关的知识有些基础性的了解，还有一部分偏难的题，它的出题思路很可能和考研的区别很大，另外还有一些概念和知识点，考研的要求可能很低但是书本上却有很多篇章。举个例子，不定积分这部分课后习题是很多的，而且有很多是难度很高的，但其实不定积分只是个导数的逆运算是为后面的定积分服务的，历年的考研对积分的技巧难度都不会要求很高的，而且都很固定。另外即便是一些重点的概念和原理如果你没有遇到相应的问题你是很难想到该从哪方面去加深理解得。所以如果一开始就对书本所有的知识概念和习题无目的的投入太多时间，会有些低效。

三、如何才能真正达到有效的复习，这里是我要重点说的，也是很多考生在复习前后最大的疑问，为什么自己在投入了巨大的时间和付出了很多的努力却得不到回报，到底复习到何种程度才算自己复习的不错了，到何种的状况才能确定自己可以得到理想的分数，为什么那些高分经验描述的复习状况自己总有似是非是的感觉，关于他们所说的基础知识扎实，能掌握和综合运用概念和原理到底是怎样的一个程度，有人对此做过些具体性的描绘，我再来谈些自己的看法
每个人的学习其实都是给自己充当了翻译者，需要将书上艰深晦涩的语言和一些公式转成自己能理解的语言，举个例子，提到极限你会想到极限是什么，是会

用自己的想法和语言去感受它，比如你可以把它想成就是“无限接近而不相等”，尽管或许有时这个想法甚至不能用语言表达，却是属于自己能理解和体会到它真实的含义，而绝不仅仅只是会背书上的那个文字和公式，如果能自己去这样理解那些概念和原理了，那么他们就是属于你的知识了，基础知识也就扎实了，那么现在再来看这些属于自己和熟悉的知识的时候自然就能够相互联系，综合使用了，也能够发现和总结一些规律和方法。

上面说了这么多，相信还是有很多考生会很疑惑，为什么自己复习的时候，投入的时间并不少却达不到这种学习状态，这也就是问题的最关键所在了，在我接触考研辅导之前的时候，对于数学也只是个人兴趣，上学时所学的数学知识都喜欢自己思考和总结，总觉得老师讲的不好，我一直以为对于数三之类的考试，只要是个正常人复习个两三个月考100到125分是很容易的，即使之前没有怎么学过数学，因为这个考试技巧变化比较小，真题的重复出题率很高而且命题思路特别固定，甚至每个大题的出题范围和题目类型都固定了，现在已经很少有一门科目的命题者如此仁慈了。但直到遇到一个女孩，我才知道那个以为是不正确的。也是因为她改变了我的生活轨迹，她考了两次数三，居然最高才95分，而且第二次比第一次还要低，两年内在数学复习上投入了大量的时间，做了不少复习资料，也上了名师的辅导班，她的资料上的注释和笔记之精细令我极其惊叹，历年真题更是做过好多遍，可就是这样的付出，却出现这样的结果，她告诉我，每次面对考试，线代是最有把握的，概率也还可以勉强做，就是高数特别的痛苦，选择填空还好，大题经常是只能做一两道，她为此很痛苦，并归结为数学心理障碍问题，我也很不理解，我认为像这样付出的人，不考140分以上，很明显就是喜欢上考研这项工作了。但是经过我和她深入的沟通后，在了解她的思维方式和学习方式后才明白了原因。人的思考方式是有很大的区别，简单来说有些人擅长于对一些事物的思考和总结，理解能力强或者是悟性高，他们能在很短的时间内就能对所学过的概念和原理进行理解和加工并可以进行运用，而有些人即使花费很多的时间却收获甚少，他们很可能更擅长于长篇的记忆和背诵。我所教过的学生中特别发现后者的比例中女生似乎比例要高一些，这可能也和男女的思维方式不同有很大的关系。她的思维方式也就是属于了后种，学习方式就是和我之前描述过的那种类似，为了做题而做题，大量的做题虽然也能有点收获，但却很难把对知识的理

解和整体联系起来，我在问她极限和导数，级数都是什么的时候，中值定理又是什么的时候，她非常茫然。她只是知道些公式和会做些题，并不清楚这里面涉及的概念和原理都到底是什么，其实中值定理可以这样来理解，它是用来将导函数或积分函数和函数联系起来的，所以如果出现了需要处理函数和导函数或者积分函数的关系的时候，还想不到用中值定理，那就拉出去用卷笔刀卷死。其实考试大纲很明确的要求是理解这些概念和定理，而不是会做什么类型题，所有的命题思路也是围绕着这些基础的知识概念设计的。所以如果只是凭重复做题得来的那些技巧，参加考试只能是看运气了，如果能遇见自己以前做过相近的题型多的，就会心情放松，可能考试结果会不错，相反如果出现前几道题题型自己很陌生的就会很紧张，影响接下来的心情，考试结果自然不好了，所以多复习了一年分数反而下降也就不足为奇了，多出一年的复习的时间也不过是多做了一些题而已。

那么怎么办呢？考试是不会因为这个对任何人降低考分要求的：我把帮她复习的过程大体描述下，供大家参考下，或许会有帮助。
我给她安排的复习计划和学习方法基本和我写给大家的相同，这里说些更具体的。她的线性代数是掌握最好的，概率次之，高数则是最差的这也和许多人相似，对于她的高等数学复习是我投入时间最多的，我首先将课本的一些重点概念和定理让他抄了下来，书上的习题给她划了些让她做了，接着我就把这些重点的概念和原理如极限、导数、和定积分，中值定理等相关知识都解释了给她听（当然必须是用生活中她能理解的语言，这个是最有难度的，因为必须按照她的思维方式去解释），首先要确保她能基本对这些基础概念和原理有些理解了，例如极限也可以理解为是种特殊的函数，导数是特殊的极限，而不定积分和定积分本身是两个完全不同的概念，不定积分只是求导的逆运算，定积分却是个确定的值（再给定积分限后）等，然后我又在这基础之上让她做了些历年真题（主要做中等难度的题，其实这部分题也占了历年真题的绝大部分，偏难的题很少，在她完成之后，我针对她做过的题和对她不理解的概念重新帮助她理解，这时候的她已经建立了很大的信心，因为她发现只要能理解这些基础的概念和原理绝大部分的题都能做了，我接着帮她理清了高等数学课本的知识框架，也就是让她知道我们学的这些概念都是什么后，再知道都是用来干什么的，大体上是这样让她理解的（只是方便她理解的一种方式，不完全是书本知识的思路）高等数学

通过极限这一新的概念解释了一种新的函数变化，因此可以把极限理解成为一种特殊的函数，在对极限的性质特别是连续性进行了解后，紧接引入了特殊的极限：导数，它是描述函数的变化率的极限，也是一种极限，即描述自变量发生微小变化时因变量发生的变化，进而产生了导函数，通过用中值定理将函数和导函数联系起来，不定积分只是求导的逆运算，定积分却是个定值，牛顿莱布尼兹公式发现了定积分和不定积分的内在联系，是微积分的关键，帮助我们解决一些实际应用的问题，至于级数则是对极限思想在数求和的一个应用，所以不需要很深的理解。
她的线性代数和概率相对较好，而且这部分的知识概念和原理比较明确很容易理解，所以我只需要将这部分的课程的知识框架帮她建立，线性代数在通过行列式和矩阵这两种不同的运算方式，定义以后给出了特殊的矩阵向量，利用矩阵这个特殊的式子帮助我们求解线性方程组，所有的各种概念以及定理和相关性质都是为此服务，向量是在将矩阵简化后更加方便我们判断方程组的解，而后边的特征向量和对角矩阵则是帮助我们转化二次型函数的，对于线性代数在最后特别的训练了她的计算能力，其实考试的题目设计思路都很明确，如果题目要求的理解能力高那么它的计算要求就不会高，相反类似与线性代数这部分原理很简单子让题目的计算能力比较高，所以必须重视线性代数和概率类题目的计算。概率这部分我主要帮助她理清了一些需要明确和掌握的概念，由于这部分知识单从书本上来看，知识内容繁杂各种概念公式及多，但其实考试要求却并不高，只是要求了解简单的概率论的思想和计算方法，所以绝大部分知识并不需要很深理解，在我重点帮助她理解了概率论中关于随机变量和分布函数引进的思想后，理解了数字特征期望和均值的意义，而后面部分我就只让她简单明白了考试可能会考的那点内容，像大数定理只是用极限的思想验证了我们概率论的一些思想，至于数理统计只是介绍了一些简单的概念因为之前我们所有的计算都是在给出确定模型下的事件概率的计算，也就是已经知道了分布函数。而这部分则是要求我们通过已知观察到的数据和事件模型来推断它的分布函数，所以了解一下最基本的几个概念如样本均值和样本方差等，和那几个抽样分布的特点就可以了。而参数估计则是对我们所取得的数据进行简单的估算，能作为考试内容的只有矩估计和最大似然估计，题目方法很固定不需要很深的理解和掌握它们。最后我特别让她练习对具体事件的划分和些将事件模型和函

数应用联系起来的题型。（注：以上关于对数学知识部分的介绍，都是为了帮助基础比较差和对数学的理解比较弱的同学来理解的，不完全是书本知识的原思路）

四、关于模拟题
模拟题方面我的认为是必须要投入比较较多的时间去做，至于原因有很多同学都说的很清楚了，网上有些推荐不错的试卷类都可以拿来做，个人认为最低限度也要精做20套，当然如何做和关于做完之后的总结是重点，网上也有其他同学关于模拟题的总结的经验非常的不错，建议大家可以综合参考下，我把模拟题练习分为综合练习和分类练习，综合练习即是指整体按规定时间做完整套卷子，这样
可以让自己各科以及各个知识点的掌握程度有所了解了，然后再将选择，填空及大题分开进行单独的练分析，我强调的重点是分类练习这里，对于选择题重点要把握正确率，和时间的控制，而填空题则重点分析出错的原因，对于大题则要明显分析出自己对于哪类题的把握性很强，和正确率很高，哪类题属于自己薄弱部分，这样以便自己在做题的时候形成自己做题的习惯和顺序，保证自己即使在心理发生变化时也能保证把自己能完成的题都完成。大题还有很重要的一方面，就是同学们做完了一定要和后面的答案做比较，不能只看结果，一定要比较自己写的和答案相比是不是少了一些步骤，和语言文字的描述，这些东西看似微不足道，其实是很重要的，因为数学本身就是逻辑性很严密的，所以数学阅卷老师也是这样的思路，毫不夸张的说如果你写了个分式而没有注明分母不为零，他们习惯性的思维就会注意得到，所以那些你认为不必要的东西是一定会让你丢分的，这也就是为什么很多同学即使对完正确答案后，估分是还会高估不少的。

五、再说下数学辅导班，个人认为数学的培训要求其实是很高的，可能要比英语高，把一个基础很薄弱的同学，培养到考试130分以上很有挑战性，因为虽然同样是研究命题思路，英语如果考生单词上问题不大，和对英语句子理解不是很差就具备了理解命题者思路的能力了。但对于数学培训，数学培训者首先自己需要对数学的概念有非常深的理解，并且能准确的把握考生的思维方式和语言，能保证考生在听课后也具有接近的理解程度，也就是让考生知道是什么了，还需要帮助考生把数学的思维框架搭建起来让考生知道为什么是这样，这个可能是难度最大的，因为这个必须从学生的思维方式来帮助学生搭建而不是老师自己掌握的那种，最后才是去分析真题总结命题者的命题思路和一些固定的解题技巧让考生知道怎么办，但

是很多老师本身可能就对这些概念原理没有很深的理解或者他们所理解的东西无法用让学生理解的语言去表达出来，又或者他们认为学生都懂，多数这类的辅导班通常都会简单梳理下基础的知识点，关键性的概念并不解释清楚，重点反而是去总结某某种固定技巧之类的，直接跳过第一、二步，到第三步了，其实可以这样说那些所谓固定的规律和技巧绝大部分是实际效用并不大的，因为对于那些数学基础非常好的同学来说，这些规律和技巧早已在他们的思考过程中就都有了，他们在做题中会不自然的就思考到用到，而对于那些基础差的同学来说，自己根本对基础知识不懂，这些技巧想用又不是很敢用，整个复习就变成了大量的重复做题，最后成为背题了，看到题似乎都很熟悉，但怎么做出来才是对的就不确定了，这是弄巧成拙了，这样考试是非常危险的，考试中如果有相似的题型，并且很适合用那些技巧的，那么表明危险系数也同样高，因为那些所谓固定的规律和技巧命题者更懂。所以对于辅导班来说是否要上主要看他们的辅导方式是如何的，如果只是注重第三方面的，对于基础不好的同学没有什么多大效果，如果事先基础不错的同学，还是有些帮助的，能够梳理下知识点和整理检查下自己解题的思路。

这里顺便说点题外的，关于如何才是一个出色的老师，相信有很多人会有共同的感觉，上学的时候有很多老师的讲课很不好，共同点就是照本宣科，特别是理科类，本身课程里的数字和公式就比较枯燥，如果老师再如此讲课，相信很少有人能有兴趣再听老师讲课。而那些我们认为很出色的老师的讲课都有一个共同点那就是通俗易懂，繁复抽象的理论和公式，却能用生活中的语言和事例娓娓到来，能让我们如沐春风，真实的感受到知识的美妙。归其原因很简单，这些知识本身是来源于生活，学生也需要生活中可以理解的语言才能理解到。所以要做到一个出色的老师至少具备以下要素，首先对所教课程深刻的理解，其次要有很好的语言表达能力，能把书本的语言用生活中语言准确的表述出来，但还有一点也是最重要的一点，是要有很强的心理分析能力，能准确把握到学生性格和思维方式，从学生的思维方式去思考学生学习过程中遇到的问题，才能真正的帮助学生们用自己的思维方式来达到掌握知识，而且更重要的是能了解学生的心理，在他受打击的时候给予他的鼓励，让他不要对自己丧失信心。所以想要帮助她解决这个问题，最重要的是要理解她的思考方式，
最后，
理解能力弱的考生在准备的时候可以先准备线性代数

，建立信心，然后准备高数的时间要多些，在学习期间对极限，导数等的定义要仔细思考，觉得自己确实不能理解的了，就把这些概念和定理，还有定义式都抄下来，遇到做题不理解的时候，把这些拿来对照相应的概念定理思考，能加深一些理解，一定不要过分的抠一些细节和概念，实在不能理解，就先看后面的，等回头再看可能就很容易的理解了，不能有一次就想完成复习目标的想法，重复的理解才能理解更深，很多人会计划前几个月全看什么科目，后几个月再看什么科目我个人不赞成，无论哪一部分知识都不能追求毕其功于一役，每次看，都会有不同的收获。还有就是多和身边的人一起讨论，相互交流自己的理解。如果身边有数学很出色的人那是更好的，因为年龄相仿，思维会接近很多，他们理解了的东西，会对你的学习帮助很大的。学习的主体不一样，思维方式及语言表达也不一样，所以总结的方法也会不同，所以如果希望使用一些别人总结的方法那么最好找和自己思维接近，目的相同的人总结的方法。这也就是为什么一些名师们总结的方法考生真正能使用的不多，有的方法甚至很偏，名师和考生的思考问题的方式不同，对于大多数考生们在思考中遇到的问题，他们可能认为那些都不应该是问题。所以我认为一些考生的经验和总结会更有实际应用性，也就是因为同学们的思维方式更接近。
我在闲暇之余也研究了考研政治和考研英语，也上了一些名师的辅导班，有很多的收获和感受，考名校的同学有没有发现政治这门考试的成绩时常会成为总分排名的指示标。而英语，我再听过很多老师授课后，其中的一个老师让我获益匪浅，理解了他对命题思路的分析后，我的英语水平在很一般的情况下，用了不超过1个小时的时间，模拟了下历年阅读理解真题，发现每张试卷上错题不超过2个。确实名不虚传，关于这方面的理解会在整理以后，和大家一起分享下。