人教版-数学-九年级上册- 24.3.1正多边形和圆 导学案

一、新课导入

1、正多边形是我们早已熟悉的图形，你能列举出我们学过的正多边形吗？

2、什么样的多边形是正多边形？你能画一个正六边形吗？

二、学习目标

1、掌握正多边形的定义。

2、了解正多边形和圆的关系，根据圆进行正多边形的计算。

三、研读课本

认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

研读一、认真阅读课本

要求：知道正多边形的定义；了解我们学过的正多边形。一边阅读一边完成检测一。

检测练习一、

1、各边相等；各角也相等的多边形叫三角形。

2、如果五边形ABCDE满足：∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，AB=BC=CD=DE=EA，那么这个五边形叫正五边形。

3、如果一个n边形的n条边都相等，n个内角都相等，那么这个n边形叫正n边形；

4、完成尝试应用

我们学过的等边三角形、矩形、菱形、正方形是正多边形吗：

(1)等边三角形的三个角都相等，三条边都相等，所以等边三角形是正多边形；

(2)矩形的四条边不相等，所以不是正多边形；

(3)菱形的四个角不相等，所以不是正多边形；

(4)正方形的四个角相等，四条边相等，所以是正多边形.

结论：正多边形需要满足的条件：各边都相等；各角都相等.

研读二、认真阅读课本

要求：思考“探究”中的问题，可以借助圆画一个正多边形；

问题探究：

(1)、利用圆画一个正8边形，

把一个圆分成8条相等的弧,然后顺次连接8条弧的端点,得到一个正8边形.

(2)、把一个圆分成8条相等的弧，则这8条相等的弧所对的弦什么关系？8条弧所对的圆心角什么关系？

根据弧、弦、圆心角的关系可得:

8条弧相等；

则8条弧所对的弦相等；

8条弧所对的圆心角也相等.

结论：如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形

检测练习二、

5、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的中心；正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做正方形ABCD的边心距 .

6、等边三角形的中心是三边的垂直平分线的交点；

7、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n 边形；圆的内接正n边形将圆n等分；这个圆是正n边形的外接圆。

8、我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

外接圆的半径叫做正多边形的半径.

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.

小窍门：各边相等的圆内接多边形是正多边形.

研读三、在一个正n边形中，正多边形的中心角与正多边形的边数之间有什么关系？设正多边形的半径是R，边长为a，边心距是r，则R，a，r之间有什么关系？

(1)正n边形把圆分成了n等份，正n边形的中心角是360

n

︒

；

(2)根据垂径定理可得：

2

2

2

a

r R

⎛⎫

=- ⎪

⎝⎭

.

结论：进行关于正n边形的计算的依据是垂径定理.

注意：正n边形的边、半径、边心距把正n边形分成了2n个全等的直角三角形. 检测练习三、

9、已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求证：五边形ABCDE是正五边形．

证明：如下图所示，连接OA、OB、OC、OD、OE，

则△OAB≌△OBC≌△OCD≌△ODE≌△OEA，

∴∠OAE=∠OEA=∠OED=∠ODE=∠ODC=∠OCD=∠0CB=∠OBC=∠OBA=∠OAB，

∴∠OEA+∠OED=∠ODE+∠ODC=∠OCD+∠0CB=∠OBC+∠OBA=∠OAB+∠OAE，

∴∠AED=∠EDC=∠DCB=∠CBA=∠BAE，

∴五边形ABCD是正五边形.

10、有一个亭子,它的地基半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m 2). 解：如下图所示，

如图由于ABCDEF 是正六边形,所以它的中心角等于16

×360°=60°， ∴△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.

∴亭子地基的周长是4×6＝24m ，

在Rt △OPC 中，OC=4，PC =

12BC=2cm ， ∴OP=224223-=，

∴亭子地基的面积是21

642324341.62

m ⨯⨯⨯=≈.

四、完成跟踪训练(PPT)

五、归纳小结

（一）这节课我们学到了什么？

（二）你认为应该注意什么问题？

六、作业布置：完成课后练习.