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2020年江苏省高考数学试卷 试题详解

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2020年江苏省高考数学试卷 试题+答案详解

2020年江苏省高考数学试卷 试题+答案详解
24.在三棱锥 A—BCD 中，已知 CB=CD= 5 ,BD=2，O 为 BD 的中点，AO⊥平面 BCD，AO=2，
E 为 AC 的中点． （1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；
1
（2）若点 F 在 BC 上，满足 BF= BC，
4
设二面角 F—DE—C 的大小为θ，求 sinθ的值．
25.甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任 取一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个 黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn． （1）求 p1·q1 和 p2·q2； （2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) ．
a1
d 2
q 2
1
aq120
，∴
d
q
4
.
b1 1 q
1
b1 1
12【答案】 4 5
【解析】∵
5x2
y2
y4
1，∴
y
0
且
x2
1 y4 5y2
∴
x2
y2
1 y4 5y2
y2
1 5y2
+
4y2 5
2
1 4y2 4 ， 5y2 5 5
当且仅当
1 5y2
4y2 5
，即
x2
3 , y2 10
等差数列 an 的前 n 项和公式为 Pn
na1
nn 1
d 2
d n2 2
a1
d 2
n
，
等比数列bn 的前
n

2020年江苏省高考数学试卷 试题详解

2020年江苏省高考数学试卷 试题详解

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学 Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =_____. 【答案】{}0,2【解析】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =，∴{}0,2AB =. 2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.【答案】3【解析】∵复数()()12z i i =+-,∴2223z i i i i =-+-=+∴复数的实部为3.故答案为3.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.【答案】2【解析】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19 【解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个. 点数和为5的基本事件有()1,4,()4,1,()2,3,()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 5.如图是一个算法流程图,若输出y 的值为2-,则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()222105x y a a-=>的一条渐近线方程为5y x =，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32 【解析】∵双曲线22215x y a -=，∴5b =. 由于双曲线的一条渐近线方程为52y x =，即522b a a =⇒=， ∴22453c a b =+=+=，∴双曲线的离心率为32c a =. 7.已知()y f x =是奇函数，当0x ≥时()23 f x x =,则()8f -的值是____.【答案】4-【解析】23(8)84f ==,∵()f x 为奇函数，∴(8)(8)4f f -=-=-.8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin2α的值是____. 【答案】13【解析】∵22221sin ()(cos sin )(1sin 2)42παααα+=+=+， ∴12(1sin 2)23α+=,∴1sin 23α=. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π【解析】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯,圆柱体积为21()222ππ⋅= ∴所求几何体体积为1232π.10.将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x π=- 【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 令2()122x k k Z πππ-=+∈,得7()242k x k Z ππ=+∈。

2020年江苏省高考数学试卷(文科)-含详细解析

2020年江苏省高考数学试卷(文科)-含详细解析

2020年江苏省高考数学试卷（文科）副标题题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={0,2，3}，则A∩B=______．2.已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是______．3.已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是______．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______．5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为−2，则输入x的值是______．6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是______．7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x23，则f(−8)的值是______．8.已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是______．9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是______cm3．10. 将函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是______．11. 设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，则d +q 的值是______． 12. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R)，则x 2+y 2的最小值是______．13. 在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数)，则CD 的长度是______．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P(√32,0)，A 、B 是圆C ：x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是______． 二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证：EF//平面AB 1C 1；(2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =3，c =√2，B =45°．(1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos∠ADC =−45，求tan∠DAC 的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离ℎ1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式ℎ1=140a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离ℎ2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式ℎ2=−1800b3+6b.已知点B到OO′的距离为40米．(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价32k(万元)(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．(1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19. 已知关于x 的函数y =f(x)，y =g(x)与ℎ(x)=kx +b(k,b ∈R)在区间D 上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．(1)若f(x)=x 2+2x ，g(x)=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x)的表达式； (2)若f(x)=x 2−x +1，g(x)=klnx ，ℎ(x)=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f(x)=x 4−2x 2，g(x)=4x 2−8，ℎ(x)=4(t 3−t)x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7．20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k =λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列．(1)若等差数列{a n }是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】{0,2}【解析】解：集合B ={0,2，3}，A ={−1,0，1，2}， 则A ∩B ={0,2}， 故答案为：{0,2}．运用集合的交集运算，可得所求集合．本题考查集合的交集运算，考查运算能力，属于基础题． 2.【答案】3【解析】解：复数z =(1+i)(2−i)=3+i ， 所以复数z =(1+i)(2−i)的实部是：3． 故答案为：3．利用复数的乘法的运算法则，化简求解即可．本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用，是基本知识的考查． 3.【答案】2【解析】解：一组数据4，2a ，3−a ，5，6的平均数为4， 则4+2a +(3−a)+5+6=4×5， 解得a =2． 故答案为：2．运用平均数的定义，解方程可得a 的值．本题考查平均数的定义的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】19【解析】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6×6=36种，而点数和为5的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种， 则点数和为5的概率为P =436=19． 故答案为：19．分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值． 本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题． 5.【答案】−3【解析】解：由题意可得程序框图表达式为分段函数y ={2x ,x >0x +1,x ≤0，若输出y 值为−2时，由于2x >0， 所以解x +1=−2， 即x =−3，故答案为：−3，由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用程序框图表达式为分段函数计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】32【解析】解：双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，可得√5a=√52，所以a=2，所以双曲线的离心率为：e=ca =√4+52=32，故答案为：32．利用双曲线的渐近线方程，求出a，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.【答案】−4【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求函数值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，由已知可得f(8)，进而得到f(−8)．【解答】解：y=f(x)是奇函数，可得f(−x)=−f(x)，当x≥0时，f(x)=x23，可得f(8)=823=4，则f(−8)=−f(8)=−4，故答案为：−4．8.【答案】13【解析】解：因为sin2(π4+α)=23，则sin2(π4+α)=1−cos(π2+2α)2=1+sin2α2=23，解得sin2α=13，故答案为：13根据二倍角公式即可求出．本题考查了二倍角公式，属于基础题．9.【答案】12√3−π2【解析】【分析】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．【解答】解：六棱柱的体积为：6×12×2×2×sin60°×2=12√3，圆柱的体积为：π×(0.5)2×2=π2，所以此六角螺帽毛坯的体积是：(12√3−π2)cm3，故答案为：12√3−π2．10.【答案】x =−5π24【解析】【分析】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．利用三角函数的平移可得新函数g(x)=f(x −π6)，求g(x)的所有对称轴x =7π24+kπ2，k ∈Z ，从而可判断平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程， 【解答】解：因为函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度可得 g(x)=f(x −π6)=3sin(2x −π3+π4)=3sin(2x −π12)，则y =g(x)的对称轴为2x −π12=π2+kπ，k ∈Z ， 即x =7π24+kπ2，k ∈Z ，当k =0时，x =7π24，当k =−1时，x =−5π24，所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是x =−5π24， 故答案为：x =−5π24．11.【答案】4【解析】解：因为{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，因为{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1， 所以{a n }的通项公式a n =a 1+(n −1)d ，所以其前n 项和：n[a 1+a 1+(n−1)d]2=d2n 2+(a 1−d 2)n ，{b n }中，当公比q =1时，其前n 项和S n =nb 1，所以{a n +b n }的前n 项和S n =d2n 2+(a 1−d2)n +nb 1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，显然没有出现2n ，所以q ≠1， 则{b n }的前n 项和为：b 1(q n −1)q−1=b 1q n q−1+b 1q−1，所以S n =d2n 2+(a 1−d2)n +b 1q n q−1−b1q−1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由两边对应项相等可得：{d2=1a 1−d 2=−1q =2b 1q−1=1解得：d =2，a 1=0，q =2，b 1=1，所以d +q =4， 故答案为：4．由{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；求出等差数列的前n 项和的表达式；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1，讨论当q 为1和不为1时的前n 项和的表达式，由题意可得q ≠1，由对应项的系数相等可得d ，q 的值，进而求出d +q 的值．本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n 项和求通项的性质，属于中档题．12.【答案】45【解析】解：方法一、由5x 2y 2+y 4=1，可得x 2=1−y 45y 2，由x 2≥0，可得y 2∈(0,1]， 则x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=1+4y 45y 2=15(4y 2+1y 2)≥15⋅2√4y 2⋅1y 2=45，当且仅当y 2=12，x 2=310， 可得x 2+y 2的最小值为45； 方法二、4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤(5x 2+y 2+4y 22)2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2，即y 2=12，x 2=310时取得等号， 可得x 2+y 2的最小值为45． 故答案为：45．方法一、由已知求得x 2，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值； 方法二、由4=(5x 2+y 2)⋅4y 2，运用基本不等式，计算可得所求最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题．13.【答案】0或185【解析】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(0,3)，由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(32−m)(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m −3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m(4,0)+(2m −3)(0,3)=(−8m,6m −9)．由AP =9，得64m 2+(6m −9)2=81，解得m =2725或m =0．当m =0时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−9)，此时C 与D 重合，|CD|=0； 当m =2725时，直线PA 的方程为y =9−6m 8mx ，直线BC 的方程为x4+y3=1，联立两直线方程可得x =83m ，y =3−2m ． 即D(7225,2125)，∴|CD|=√(7225)2+(2125−3)2=185．∴CD 的长度是0或185． 故答案为：0或185．以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，求得B 与C 的坐标，再把PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标用m 表示．由AP =9列式求得m 值，然后分类求得D 的坐标，则CD 的长度可求．本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题．14.【答案】10√5【解析】解：圆C ：x 2+(y −12)2=36的圆心C(0,12)，半径为6，如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，因为PA =PB ，CA =CB =R =6，所以PC ⊥AB ，EF 为垂径，要使面积S △PAB 最大，则P ，D 位于C 的两侧，并设CD =x ，可得PC =√14+34=1，故PD =1+x ，AB =2BD =2√36−x 2，可令x =6cosθ，S △PAB =12|AB|⋅|PD|=(1+x)√36−x 2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2，设函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2， f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos 2θ+cosθ−6)，由f′(θ)=6(12cos 2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23(cosθ=−34<0舍去)， 显然，当0≤cosθ<23，f′(θ)<0，f(θ)递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)递增，结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos 2θ=√53，故f(θ)max =6×√53+36×√53×23=10√5，则△PAB 面积的最大值为10√5． 故答案为：10√5．求得圆的圆心C 和半径，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，运用垂径定理和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算可得所求最大值．本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题．15.【答案】证明：(1)E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点． 所以EF//AB 1，因为EF ⊄平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1， 所以EF//平面AB 1C 1；(2)因为B 1C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABB 1， 所以B 1C ⊥AB ，又因为AB ⊥AC ，AC ∩B 1C =C ，AC ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊂平面AB 1C ， 所以AB ⊥平面AB 1C ， 因为AB ⊂平面ABB 1，所以平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【解析】(1)证明EF//AB 1，然后利用直线与平面平行的判断定理证明EF//平面AB 1C 1；(2)证明B 1C ⊥AB ，结合AB ⊥AC ，证明AB ⊥平面AB 1C ，然后证明平面AB 1C ⊥平面ABB 1． 本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．16.【答案】解：(1)因为a =3，c =√2，B =45°.，由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得csinC =bsinB ，所以sinC =cb ⋅sin45°=√2√5⋅√22=√55， 所以sinC =√55；(2)因为cos∠ADC =−45，所以sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得cosC =√1−sin 2C =2√55， 所以在三角形ADC 中，sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)=sin∠ADCcos∠C +cos∠ADCsin∠C =2√525，因为∠DAC ∈(0,π2)，所以cos∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525，所以tan∠DAC =sin∠DAC cos∠DAC =211．【解析】(1)由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sin C 的值；(2)三角形的内角和为180°，cos∠ADC =−45，可得∠ADC 为钝角，可得∠DAC 与∠ADC +∠C 互为补角，所以sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)展开可得sin∠DAC 及cos∠DAC ，进而求出tan∠DAC 的值．本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)ℎ2=−1800b 3+6b ，点B 到OO′的距离为40米，可令b =40， 可得ℎ2=−1800×403+6×40=160， 即为|O′O|=160，由题意可设ℎ1=160， 由140a 2=160，解得a =80， 则|AB|=80+40=120米； (2)可设O′E =x ，则CO′=80−x ，由{0<x <400<80−x <80，可得0<x <40，总造价为y =32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x −1800x 3)] =k800(x 3−30x 2+160×800)， y′=k 800(3x 2−60x)=3k 800x(x −20)，由k >0，当0<x <20时，y′<0，函数y 递减；当20<x <40时，y′>0，函数y 递增，所以当x =20时，y 取得最小值，即总造价最低．答：(1)桥|AB|长为120米；(2)O′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低．【解析】(1)由题意可令b =40，求得ℎ2，即O′O 的长，再令ℎ1=|OO′|，求得a ，可得|AB|=a +b ；(2)可设O′E =x ，则CO′=80−x ，0<x <40，求得总造价y =32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x −1800x 3)]，化简整理，应用导数，求得单调区间，可得最小值． 本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由椭圆的标准方程可知，a 2=4，b 2=3，c 2=a 2−b 2=1， 所以△AF 1F 2的周长=2a +2c =6．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t)，椭圆的右准线为：x =a 2c =4，所以直线AP 与右准线的交点为Q(4,32⋅4−t1−t )，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0)⋅(t −4,0−32⋅4−t1−t )=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4，当t =2时，(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−4．(3)若S 2=3S 1，设O 到直线AB 距离d 1，M 到直线AB 距离d 2，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1，即d 2=3d 1，A(1,32)，F 1(−1,0)，可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35，d 2=95，由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点， 设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95， 所以9+16=95，即m =−6或12， 当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2)，联立{y =34(x −2)x 24+y 23=1，可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2y N =0或{x M =−27y M =−127， 所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4)，联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1，可得214x 2+18x +24=0，△=9×(36−56)<0，所以无解，综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【解析】(1)由椭圆标准方程可知a ，b ，c 的值，根据椭圆的定义可得△AF 1F 2的周长=2a +2c ，代入计算即可．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，进而由点斜式写出直线AP 方程，再结合椭圆的右准线为：x =4，得点Q 为(4,32⋅4−t1−t )，再由向量数量积计算最小值即可．(3)在计算△OAB 与△MAB 的面积时，AB 可以最为同底，所以若S 2=3S 1，则O 到直线AB 距离d 1与M 到直线AB 距离d 2，之间的关系为d 2=3d 1，根据点到直线距离公式可得d 1=35，d 2=95，所以题意可以转化为M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95，根据两平行直线距离公式可得，m =−6或12，然后在分两种情况算出M 点的坐标即可．本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)由f(x)=g(x)得x =0，又f′(x)=2x +2，g′(x)=−2x +2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x ， 经检验：ℎ(x)=2x ，符合任意， (2)ℎ(x)−g(x)=k(x −1−lnx)， 设φ(x)=x −1−lnx ，设φ′(x)=1−1x =x−1x，在(1,+∞)上，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，在(0,1)上，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，所以φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0，令p(x)=f(x)−ℎ(x)所以p(x)=x2−x+1−(kx−k)=x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得，当x=k+1≤0时，即k≤−1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，k≥−1，所以k=−1，当k+1>0时，即k>−1时，△≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，解得−1<k≤3，综上，k∈[0,3]．423所以函数y=f(x)的图象在x=x0处的切线为：y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x03)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图象在x=t(0<|t|≤√2)处的切线．由函数y=f(x)的图象可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2]，又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0，，设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1，x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t2−8)=√t6−5t4+3t2+8，t2=λ，则λ∈[1,2]，由图象可知，n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√7，即n−m≤√7．【解析】(1)由f(x)=g(x)得x=0，求导可得f′(0)=g′(0)=2，能推出函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，进而可得ℎ(x)=2x，再进行检验即可．(2)由题可知ℎ(x)−g(x)=k(x−1−lnx)，设φ(x)=x−1−lnx，求导分析单调性可得，φ(x)≥φ(1)=0，那么要使的ℎ(x)−g(x)≥0，则k≥0；令p(x)=f(x)−ℎ(x)为二次函数，则要使得p(x)≥0，分两种情况，当x=k+1≤0时，当k+1>0时进行讨论，进而得出答案．(3)因为f(x)=x4−2x2，求导，分析f(x)单调性及图象得函数y=f(x)的图象在x=x0处的切线为：y=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可推出直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图象在x=t(0<|t|≤√2)处的切线．进而f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立；在分析g(x)−ℎ(x)=0，设4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0，两根为x1，x2，由韦达定理可得x1+ x2，x1x2，所以n−m=|x1−x2|=√t6−5t4+3t2+8，再求最值即可得出结论．本题考查恒成立问题，参数的取值范围，导数的综合应用，解题过程中注意数形结合思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)k=1时，a n+1=S n+1−S n=λa n+1，由n为任意正整数，且a1=1，a n≠0，可得λ=1；(2)√S n+1−√S n =√33√a n+1，则a n+1=S n+1−S n =(√S n+1−√S n )⋅(√S n+1+√S n )=√33⋅√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√S n+1+√S n =√3⋅√a n+1，即√S n+1=23√3a n+1，S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 从而S n+1=4S n ，又S 1=a 1=1，可得S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2， 综上可得a n ={1,n =13⋅4n−2,n ≥2，n ∈N ∗；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n )， 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0，令p n =(S n+1S n)13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0，可得p n =1，则S n+1=S n ， 即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }，λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0， ①t ≤1时，p n2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }； ②1<t <3时，△=(1−t)2−4<0，p n2+(1−t)p n +1=0无解， 则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }；③t =3时，(p n −1)3=0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }.④t >3时，即0<λ<1时，△=(1−t)2−4>0，p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β， 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0，则0<α<1<β，则对任意n ∈N ∗，S n+1Sn=1或S n+1S n=α3或S n+1S n=β3，此时S n =1，S n ={1,n =1β3,n ≥2，S n={1,n =1,2β3,n ≥3均符合条件． 对应a n ={1,n =10,n ≥2，a n ={1,n =1β3−1,n =20,n ≥3，a n ={1,n =1β3−1,n =30,n =2,n ≥4， 则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0，综上可得0<λ<1．【解析】(1)由“λ−1”数列可得k =1，结合数列的递推式，以及等差数列的定义，可得λ的值；(2)运用“√33−2”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通项公式；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，则Sn+113−S n 13=λa n+113，由两边立方，结合数列的递推式，以及t 的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在λ，并可得取值范围．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，是一道难题．。

2020年江苏高考数学试题解析

2020年江苏高考数学试题解析

绝密★启用前2020年一般高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式： （1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高 （3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

一、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 那么_______,=⋂B A 答案：{}1－，2解析：考察简单的集合运算，容易题。

二、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________答案：+∞1（－）2解析：考察函数性质，容易题。

3、设复数i 知足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），那么z 的实部是_________ 答案：1解析：简单考察复数的运算和概念，容易题。

4、依照如下图的伪代码，当输入b a ,别离为2，3时，最后输出的m 的值是________答案：3解析：考察算法的选择结构和伪代码，是容易题。

五、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，那么其中一个数是另一个的两倍的概率是______★此卷上交考点保存★ 姓名___________________ 准考证号___________________9第题图答案：13解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。

六、某教师从礼拜一到礼拜五收到信件数别离是10，6，8，5，6，那么该组数据的方差___2=s 答案：165解析：考察方差的计算，能够先把这组数都减去6再求方差，165，容易题。

7、已知,2)4tan(=+πx 那么xx2tan tan 的值为__________答案：49解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。

22tan()11tan tan 1tan 44tan tan(),2tan 443tan 229tan()141tan x x x x x x x x x xππππ+-+-===++（－）＝＝＝－八、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，那么线段PQ长的最小值是________ 答案：4解析：考察函数与方程，两点间距离公式和大体不等式，中档题。

2020年江苏省高考数学试卷(含答案详解)

2020年江苏省高考数学试卷(含答案详解)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+- （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知(0)2P ，A ，B 是圆C ：221(362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤．20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

精品解析：2020年江苏省高考数学试卷(原卷版)

精品解析：2020年江苏省高考数学试卷(原卷版)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =−=，则A B =_____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+−的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a −的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2−，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=52x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=−+−∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+−（m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)2P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +−=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=−，求tan DAC ∠的值． 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =−+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低? 18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标． 19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=−+=∞−∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =−+==−=+∞，，，，求k 的取值范围； （3）若()422242() 2() (48 () 4 3 0)2 2f x x x g x x h x t t x t t t =−=−=−−+<，，≤，[] , 2,2D m n =⊆−⎡⎣，求证：7n m −≤20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++−=成立，则称此数列为“λ–k ”数列． （1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是32”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A −在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B −． （1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M −．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =5,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值． 25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2； （2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示) ．。

2020年高考数学试题-江苏卷(参考答案)

2020年高考数学试题-江苏卷(参考答案)
x
所以 u(x)min u(1) 0 .则 x 1 ln x 恒成立， 所以当且仅当 k 0 时， f (x) g(x) 恒成立． 另一方面， f (x) h(x) 恒成立，即 x2 x 1 kx k 恒成立， 也即 x2 (1 k)x 1 +k 0 恒成立． 因为 k 0 ，对称轴为 x 1 k 0 ，
（2）在
△ADC
中，因为
cos ADC 4 5
，所以
ADC
为钝角，而
ADC C CAD 180 ， 所 以 C 为 锐 角 . 故 cos C 1 sin 2 C 2 5 , 则 5
tan C sin C 1 . 因 为 cos ADC 4 ， 所 以 sin ADC 1 cos2 ADC 3 ，
（2）因为 B1C 平面 ABC ， AB 平面 ABC ，所以 B1C AB 。又 AB AC ，B1C 平
面 AB1C1 ， AC 平面 AB1C ， B1C AC C ，所以 AB 平面 AB1C 。又因为 AB 平
面 ABB1 ，所以平面 AB1C 平面 ABB1 。
16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等 基础知识，考查运算求解能力。满分 14 分。
Sn1 1 3
Sn
3
Sn1 1 ． Sn
令
Sn1 Sn
bn ，则 bn
1
3 3
bn2
1 ，即 (bn
1)2
1 3
(bn2
1)(bn
1) ．
解得 bn 2 ，即
Sn1 Sn
2
，也即
Sn1 Sn
4，
所以数列{Sn} 是公比为4的等比数列．
因为
S1

2020年高考真题：数学(江苏卷)【含答案及解析】

2020年高考真题：数学(江苏卷)【含答案及解析】

2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（江苏卷）数学Ⅰ柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =I _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x=，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4p a + =23，则sin 2a 的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(243x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-ÎN ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=Î，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==°，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-u u u r u u u r u u u r （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知0)2P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC Ð=-，求tan DAC Ð的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO ¢为铅垂线(O ¢在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO ¢的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO ¢的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO ¢的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO ¢的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E ¢为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ×uu u r uu u r的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+ÎR 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ³³．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=¥-¥+，，，，求h (x )的表达式；（2）若21ln ,()()()(0)x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+¥，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2()(48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =Íéë，求证：n m -£．20.已知数列{}*()În a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a l ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b éù=êú-ëûM 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A r 在直线:cos 2l r q =上，点2π(,6B r 在圆:4sinC r q =上（其中0r ³，02q p £<）．（1）求1r ，2r 的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ÎR ，解不等式2|1|||4x x ++£．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．答案及解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =I _____.【答案】{}0,2【解析】【分析】根据集合的交集即可计算.【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2A B =I 故答案为：{}0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.【答案】3【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.【详解】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i=-+-=+∴复数的实部为3.故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.【答案】2【解析】【分析】根据平均数的公式进行求解即可．【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.【答案】19【解析】【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．【详解】根据题意可得基本事件数总为6636´=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==.故答案为：19.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】【分析】根据指数函数的性质，判断出1y x =+，由此求得x 的值.【详解】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-.故答案为：3-【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.【答案】32【解析】【分析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =Þ=，所以3c ===，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x=，则f (-8)的值是____.【答案】4-【解析】【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知2sin ()4p a + =23，则sin 2a 的值是____.【答案】13【解析】【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】221sin ()sin )(1sin 2)4222p a a a a +=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233a a \+=\=故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】2p -【解析】【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为2624´´´圆柱体积为21()222p p ×=所求几何体体积为2p-故答案为：2p-【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.10.将函数y =πsin(243x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x p =-【解析】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】3sin[2()]3sin(26412y x x p p p =-+=-72()()122242k x k k Z x k Z p p p p p -=+Î\=+Î当1k =-时524x p =-故答案为：524x p =-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-ÎN ，则d +q 的值是_______．【答案】4【解析】【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ¹.等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -æö=+=+-ç÷èø，等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b b Q q q q q-==-+---，依题意n n n S P Q =+，即22111212211n n b b d d n n n a n q q q æö-+-=+--+ç÷--èø，通过对比系数可知111212211d d a q b qì=ïïï-=-ïíï=ïï=-ï-îÞ112021d a q b =ìï=ïí=ïï=î，故4d q +=.故答案为：4【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.12.已知22451(,)x y y x y R +=Î，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】【分析】根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y -+=+=，利用基本不等式即可求解.【详解】∵22451x y y +=∴0y ¹且42215y x y -=∴2245x y +==，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号.∴22xy +的最小值为45.故答案为：45.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用³或£时等号能否同时成立）.13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==°，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-u u u r u u u r u u u r （m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】【分析】根据题设条件可设()0PA PD l l =>u u u r u u u r ，结合32PA mPB m PC æö=+-ç÷èøu u u ru u u r u u u r 与,,B D C 三点共线，可求得l ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD l l =>u u u r u u u r ，∵32PA mPB m PC æö=+-ç÷èøu u u r u u u r u u u r ，∴32PD mPB m PC l æö=+-ç÷èøu u u r u u u r u u u r ，即32m m PD PB PC l læö-ç÷èø=+u u u r u u u r u u u r ，若0m ¹且32m ¹，则,,B D C 三点共线，∴321m m l læö-ç÷èø+=，即32l =，∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC Ð=°，∴5BC =，设CD x =，CDA q Ð=，则5BD x =-，BDA p q Ð=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD q +-==×，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x p q --+--==×-，∵()cos cos 0q p q +-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时，32PA PC =u u u ru u ur ，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB =u u u r u u u r ，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD l l =>u u u r u u u r．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知0)2P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】根据条件得PC AB ^,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值.【详解】PA PB PC AB=\^Q设圆心C 到直线AB 距离为d ，则||1AB PC ==所以11)2PAB S d £×+=V 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d ¢=-+£<\=+--+=\=（负值舍去）当04d £<时，0y ¢>；当46d £<时，0y ¢£，因此当4d =时，y 取最大值，即PAB S V 取最大值为故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C .（2）通过证明AB ^平面1AB C ，来证得平面1AB C ^平面1ABB .【详解】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF Ì/平面11AB C ,1AB Ì平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C .（2）由于1B C ^平面ABC ，AB Ì平面ABC ，所以1B C AB ^.由于1,AB AC AC B C C ^Ç=，所以AB ^平面1AB C ,由于AB Ì平面1ABB ，所以平面1AB C ^平面1ABB .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC Ð=-，求tan DAC Ð的值．【答案】（1）sin 5C =；（2）2tan 11DAC Ð=.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）根据cos ADC Ð的值，求得sin ADC Ð的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ÐÐ的值，进而求得tan DAC Ð的值.【详解】（1）由余弦定理得2222cos 922352b ac ac B =+-=+-´=，所以b =.由正弦定理得sin sin sin sin 5c b c B C C B b =Þ==.（2）由于4cos 5ADC Ð=-，,2ADC p p æöÐÎç÷èø，所以3sin 5ADC Ð==.由于,2ADC p p æöÐÎç÷èø，所以0,2C p æöÎç÷èø，所以cos 5C ==所以()sin sin DAC DAC p Ð=-Ð()sin ADC C =Ð+Ðsin cos cos sin ADC C ADC C =Ð×+Ð×34555525æö=´+-´=ç÷èø.由于0,2DAC p æöÐÎç÷èø，所以cos 25DAC Ð==.所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ÐÐ==Ð.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO ¢为铅垂线(O ¢在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO ¢的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO ¢的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO ¢的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO ¢的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E ¢为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?【答案】（1）120米（2）20O E ¢=米【解析】【分析】（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.【详解】（1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ¢¢=-´+´\=||||||8040120AB O A O B ¢¢\=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O ¢=´=，设||O E x ¢=，32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<<3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x ¢\=+-\=-=\=(0舍去)当020x <<时，()0f x ¢<；当2040x <<时，()0f x ¢>，因此当20x =时，()f x 取最小值，答：当20O E ¢=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ×uu u r uu u r的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77æö--ç÷èø.【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得124AF AF +=，从而可求出12AF F △的周长；（2）设()0,0P x ，根据点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ^，求出31,2A æöç÷èø，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d ，由点O 到直线AB 的距离与213S S =，可推出95d =，根据点到直线的距离公式，以及()11,M x y 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.【详解】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F 由椭圆定义可得：124AF AF +=.∴12AF F △的周长为426+=（2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ¹.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ^∴31,2A æöç÷èø∵准线方程为4x =∴()4,QQ y ∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ×=×--=-=--³-u u u r u u u r ，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ×uu u r uu u r的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A æöç÷èø，()11,0F -∴直线1AF 的方程为()314y x =+∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S =∴2113133252S S AB AB d ==´´´=×∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =ìí=î，1127127x y ì=-ïïíï=-ïî.∴()2,0M 或212,77æö--ç÷èø.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213S S =推出95d =是解答本题的关键.19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+ÎR 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ³³．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=¥-¥+，，，，求h (x )的表达式；（2）若21ln ,()()()(0)x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+¥，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2()(48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =Íéë，求证：n m -£．【答案】（1）()2h x x =；（2）[]0,3k Î；（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）求得()f x 与()g x 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得()h x 的表达式.（2）先由()()0h x g x -³，求得k 的一个取值范围，再由()()0f x h x -³，求得k 的另一个取值范围，从而求得k 的取值范围.（3）先由()()f x h x ³，求得t 的取值范围，由方程()()0g x h x -=的两个根，求得n m -的表达式，利用导数证得不等式成立.【详解】（1）由题设有2222x x kx b x x -+£+£+对任意的x ÎR 恒成立.令0x =，则00b ££，所以0b =.因此22kx x x £+即()220x k x +-³对任意的x ÎR 恒成立，所以()220k D =-£，因此2k =.故()2h x x =.（2）令()()()()()1ln 0F x h x g x k x x x =-=-->，()01F =.又()1x F x k x-¢=×.若k 0<，则()F x 在()0,1上递增，在()1,+?上递减，则()()10F x F £=，即()()0h x g x -£，不符合题意.当0k =时，()()()()()0,F x h x g x h x g x =-==，符合题意.当0k >时，()F x 在()0,1上递减，在()1,+?上递增，则()()10F x F ³=，即()()0h x g x -³，符合题意.综上所述，0k ³.由()()()21f x h x x x kx k -=-+--()()2110x k x k =-+++³当102k x +=<，即1k <-时，()211y x k x k =-+++在()0,+?为增函数，因为()()0010f h k -=+<，故存在()00,x Î+¥，使()()0f x h x -<，不符合题意.当102k x +==，即1k =-时，()()20f x h x x -=³，符合题意.当102k x +=>，即1k >-时，则需()()21410k k D =+-+£，解得13k -<£.综上所述，k 的取值范围是[]0,3k Î.（3）因为()423422243248x x t t x t t x -³--+³-对任意[,][x m n ÎÌ恒成立，()423422432x x t t x t t -³--+对任意[,][x m n ÎÌ恒成立，等价于()222()2320x t xtx t -++-³对任意[,][x m n ÎÌ恒成立.故222320x tx t ++-³对任意[,][x m n ÎÌ恒成立令22()232M x x tx t =++-，当201t <<，2880,11t t D =-+>-<-<，此时1n m t -£+<+<，当212t ££，2880t D =-+£，但()234248432x t t x t t -³--+对任意的[,][x m n ÎÌ恒成立.等价于()()()2322443420x t t x t t --++-£对任意的[,][x m n ÎÌ恒成立.()()()2322443420x t t x t t --++-=的两根为12,x x ，则4231212328,4t t x x t t x x --+=-×=，所以12=n m x x --==.令[]2,1,2t l l =Î，则n m -=.构造函数()[]()325381,2P l l l l l =-++Î，()()()23103331P l l l l l ¢=-+=--，所以[]1,2l Î时，()0P l ¢<，()P l 递减，()()max 17P P l ==.所以()max n m -=n m -£.【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20.已知数列{}*()În a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a l ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，【答案】（1）1（2）21,134,2n n n a n -=ì=í׳î（3）01l <<【解析】【分析】（1）根据定义得+11n n n S S a l +-=，再根据和项与通项关系化简得11n n a a l ++=，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得111222+1+1()3n n n n S S S S -=-，根据平方差公式化简得+1=4n n S S ，求得n S ，即得n a ；（3）根据定义得111333+11n n n SS a l +-=，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果【详解】（1）+111111101n n n n n n S S a a a a a l l l ++++-=\==\º\=/Q （2）11221100n n n n n a S S SS ++>\>\->Q111222+1+1()3n nn n S S S S -=-Q 1111112222222+1+1+11()()()3n n n n n n S S S S S S \-=-+1111111222222+1+1+1+11()=2=443n n nn n n n n n n S S S S S S S S S -\-=+\\\=111S a ==Q ，14n n S -=1224434,2n n n n a n ---\=-=׳21,134,2n n n a n -=ì\=í׳î（3）假设存在三个不同的数列{}n a 为"3"l -数列.111113333333+11+1+1()()n n n n n n n S S a S S S S l l +-=\-=-1133+1n n S S \=或11221123333333+1+1+1()()n n n n n n S S S S S S l -=+++1n n S S \=或22113333333+1+1(1)(1)(2)0n n n n SS S S l l l -+-++=∵对于给定的l ，存在三个不同的数列{}n a 为"3"l -数列，且0n a ³1,10,2n n a n =ì\=í³î或()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S S S l l l l -+-++=¹有两个不等的正根.()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S S S l l l l -+-++=¹可转化为()2133333+1+12133(1)(2)(1)01n n nnS S S S l l l l -++-+=¹，不妨设()1310n n S x x S +æö=>ç÷èø，则()3233(1)(2)(1)01x x l l l l -+++-=¹有两个不等正根，设()()3233(1)(2)(1)01f x x x l l l l =-+++-=¹.①当1l <时，32323(2)4(1)004l l l D =+-->Þ<<，即01l <<，此时()3010f l =-<，33(2)02(1)x l l +=->-对，满足题意.②当1l >时，32323(2)4(1)004l l l D =+-->Þ<<，即1l <<()3010f l =->，33(2)02(1)x l l +=-<-对，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，01l <<【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b éù=êú-ëûM 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】（1）22a b =ìí=î；（2）121551255M -éù-êú=êúêúêúëû.【解析】【分析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数,a b 的值；（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.【详解】（1）∵平面上点()2,1A -在矩阵 11a M b éù=êú-ëû对应的变换作用下得到点()3,4B -∴ 1 2 31 14a b éùéùéù=êúêúêú---ëûëûëû∴21324a b -=ìí--=-î，解得22a b =ìí=î（2）设1m n Mc d -éù=êúëû，则12 2 1 0=2 20 1m c n d MM m c n d -++éùéù=êúêú-+-+ëûëû∴21202021m c n d m c n d +=ìï+=ïí-+=ïï-+=î，解得25151525m n c d ì=ïïï=-ïíï=ïïï=î∴121551255M -éù-êú=êúêúêúëû【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A r 在直线:cos 2l r q =上，点2π(,6B r 在圆:4sinC r q =上（其中0r ³，02q p £<）．（1）求1r ，2r 的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【答案】（1）1242r r ==，（2）)4p【解析】【分析】(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【详解】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43pr r =\=Q ，因为点B 为直线6p q =上，故其直角坐标方程为3y x =，又4sin r q =对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +-=，由22340y x x y y ì=ïíï+-=î解得00x y ==ìíî或1x y ì=ïí=ïî对应的点为())0,0,，故对应的极径为20r =或22r =.（2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21r q r q q q q ==\=\=Q ，5[0,2),,44p p q p q Î\=Q ，当4pq =时r =当54p q =时0r =-<，舍；即所求交点坐标为当4p 【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ÎR ，解不等式2|1|||4x x ++£．【答案】22,3éù-êúëû【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-ìí---£îQ 或10224x x x -££ìí+-£î或0224x x x >ìí++£î21x \-£<-或10x -≤≤或203x <£所以解集为22,3éù-êúëû【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．【答案】（1）15（2）13【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD==\^Q 以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -\(1,0,2),(1,1,1)cos ,15AB DE AB DE \=-=\<>==-uu u r uu u r uu u r uuu r 从而直线AB 与DE所成角的余弦值为15（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =u r11200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ì+=×=ìï=\íí++=×=ïîîu v u u u vu uu v u v uu u vQ 令112,1(2,1,1)y x z n =\=-=\=-u r设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =u u r 11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ìì+=×=ïï=+=+=\íí×=ïîï++=îu u v u u u v u uu v u u u v u u u v u u u v uu u v u uv u u u v Q 令111272,5(2,7,5)y x z n =-\==\=-u ur12cos ,n n \<>==u r u u r因此sin 13q ==【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．【答案】（1）112212716,,332727p q p q ====；；（2）()111222+33n n n n p q p q --+=+【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求n n p q ，，即得递推关系，构造等比数列求得2n n p q +，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1）11131232,333333p q ´´====´´，211131211227++3333333927p p q ´´=´´=´´=´´，211231122222516+0+3333333927q p q ´´+´=´´+=´´=´´（2）1111131212++333339n n n n n p p q p q ----´´=´´=´´，111112*********+(1)+33333393n n n n n n q p q p q q -----´´+´´=´´+--´=-´´´，因此112122+333n n n n p q p q --+=+，从而11111212(2+),21(2+1)333n n n n n n n n p q p q p q p q ----+=+\+-=-，即1111121(2+1),2133n n n n n n p q p q p q -+-=-\+=+.又n X 的分布列为nX 012P1n np q --n q np 故1()213n n n nE X p q =+=+.【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.。

2020年江苏高考数学试题及答案

2020年江苏高考数学试题及答案
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 (万元)(k>0).问 为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?
18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．
知 是虚数单位，则复数 的实部是_____.
3.已知一组数据 的平均数为4，则 的值是_____.
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.
5.如图是一个算法流程图，若输出 的值为 ，则输入 的值是_____.
6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 ﹣ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y= x，则该双曲线的离心率是____.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行， 为铅垂线( 在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 (米)与D到 的距离a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 (米)与F到 的距离b(米)之间满足关系式 .已知点B到 的距离为40米.

2020年江苏省高考数学试卷(理科)-解析版

2020年江苏省高考数学试卷(理科)-解析版

2020年江苏省高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={0,2，3}，则A∩B=______．2.已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是______．3.已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是______．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______．5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为−2，则输入x的值是______．6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是______．7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x23，则f(−8)的值是______．8.已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是______．9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是______cm3．10.将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．11.设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n=n2−n+2n−1(n∈N∗)，则d+q的值是______．12.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是______．13. 在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数)，则CD 的长度是______．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P(√32,0)，A 、B 是圆C ：x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是______． 二、解答题（本大题共11小题，共140.0分）15. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证：EF//平面AB 1C 1；(2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =3，c =√2，B =45°．(1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos∠ADC =−45，求tan∠DAC 的值．17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO′为铅垂线(O′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离ℎ1(米)与D 到OO′的距离a(米)之间满足关系式ℎ1=140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离ℎ2(米)与F 到OO′的距离b(米)之间满足关系式ℎ2=−1800b 3+6b.已知点B 到OO′的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k(万元)，桥墩CD 每米造价32k(万元)(k >0)，问O′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．(1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19. 已知关于x 的函数y =f(x)，y =g(x)与ℎ(x)=kx +b(k,b ∈R)在区间D 上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．(1)若f(x)=x 2+2x ，g(x)=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x)的表达式； (2)若f(x)=x 2−x +1，g(x)=klnx ，ℎ(x)=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f(x)=x 4−2x 2，g(x)=4x 2−8，ℎ(x)=4(t 3−t)x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7．20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k −S n 1k =λa n+11k 成立，则称此数列为“λ−k ”数列．(1)若等差数列{a n }是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．21. 平面上的点A(2,−1)在矩阵M =[a 1−1b]对应的变换作用下得到点B (3,−4)． (1)求实数a ，b 的值；(2)求矩阵M 的逆矩阵M −1．22. 在极坐标系中，已知A(ρ1,π3)在直线l ：ρcosθ=2上，点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上(其中ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求ρ1，ρ2的值；(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．23.设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|<4．24.在三棱锥A−BCD中，已知CB=CD=√5，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC中点．(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；BC，设二面角F−DE−C的大小为θ，求sinθ的(2)若点F在BC上，满足BF=14值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．(1)求p1，q1和p2，q2；(2)求2p n+q n与2p n−1+q n−1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示)．答案和解析1.【答案】{0,2}【解析】解：集合B ={0,2，3}，A ={−1,0，1，2}， 则A ∩B ={0,2}， 故答案为：{0,2}．运用集合的交集运算，可得所求集合．本题考查集合的交集运算，考查运算能力，属于基础题．2.【答案】3【解析】解：复数z =(1+i)(2−i)=3+i ， 所以复数z =(1+i)(2−i)的实部是：3． 故答案为：3．利用复数的乘法的运算法则，化简求解即可．本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用，是基本知识的考查．3.【答案】2【解析】解：一组数据4，2a ，3−a ，5，6的平均数为4， 则4+2a +(3−a)+5+6=4×5， 解得a =2． 故答案为：2．运用平均数的定义，解方程可得a 的值．本题考查平均数的定义的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】19【解析】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6×6=36种，而点数和为5的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种， 则点数和为5的概率为P =436=19． 故答案为：19．分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值． 本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】−3【解析】解：由题意可得程序框图表达式为分段函数y ={2x ,x >0x +1,x ≤0，若输出y 值为−2时，由于2x >0， 所以解x +1=−2， 即x =−3，故答案为：−3．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用程序框图表达式为分段函数计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】32【解析】解：双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，可得√5a=√52，所以a=2，所以双曲线的离心率为：e=ca =√4+52=32，故答案为：32．利用双曲线的渐近线方程，求出a，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.【答案】−4【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求函数值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，由已知可得f(8)，进而得到f(−8)．【解答】解：y=f(x)是奇函数，可得f(−x)=−f(x)，当x≥0时，f(x)=x23，可得f(8)=823=4，则f(−8)=−f(8)=−4，故答案为：−4．8.【答案】13【解析】解：因为sin2(π4+α)=23，则sin2(π4+α)=1−cos(π2+2α)2=1+sin2α2=23，解得sin2α=13，故答案为：13根据二倍角公式即可求出．本题考查了二倍角公式，属于基础题．9.【答案】12√3−π2【解析】【分析】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．【解答】解：六棱柱的体积为：6×12×2×2×sin60°×2=12√3，圆柱的体积为：π×(0.5)2×2=π2，所以此六角螺帽毛坯的体积是：(12√3−π2)cm3，故答案为：12√3−π2．10.【答案】x=−5π24【解析】【分析】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．利用三角函数的平移可得新函数g(x)=f(x−π6)，求g(x)的所有对称轴x=7π24+kπ2，k∈Z，从而可判断平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程，【解答】解：因为函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度可得g(x)=f(x−π6)=3sin(2x−π3+π4)=3sin(2x−π12)，则y=g(x)的对称轴为2x−π12=π2+kπ，k∈Z，即x=7π24+kπ2，k∈Z，当k=0时，x=7π24，当k=−1时，x=−5π24，所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x=−5π24，故答案为：x=−5π24．11.【答案】4【解析】解：因为{a n+b n}的前n项和S n=n2−n+2n−1(n∈N∗)，因为{a n}是公差为d的等差数列，设首项为a1；{b n}是公比为q的等比数列，设首项为b1，所以{a n}的通项公式a n=a1+(n−1)d，所以其前n项和：n[a1+a1+(n−1)d]2=d2n2+(a1−d2)n，{b n }中，当公比q =1时，其前n 项和S n =nb 1，所以{a n +b n }的前n 项和S n =d2n 2+(a 1−d2)n +nb 1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，显然没有出现2n ，所以q ≠1， 则{b n }的前n 项和为：b 1(q n −1)q−1=b 1q n q−1−b 1q−1，所以S n =d2n 2+(a 1−d2)n +b 1q n q−1−b1q−1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由两边对应项相等可得：{d2=1a 1−d 2=−1q =2b 1q−1=1解得：d =2，a 1=0，q =2，b 1=1，所以d +q =4， 故答案为：4．由{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；求出等差数列的前n 项和的表达式；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1，讨论当q 为1和不为1时的前n 项和的表达式，由题意可得q ≠1，由对应项的系数相等可得d ，q 的值，进而求出d +q 的值．本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n 项和求通项的性质，属于中档题．12.【答案】45【解析】解：方法一、由5x 2y 2+y 4=1，可得x 2=1−y 45y 2，由x 2≥0，可得y 2∈(0,1]， 则x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=1+4y 45y 2=15(4y 2+1y 2)≥15⋅2√4y 2⋅1y 2=45，当且仅当y 2=12，x 2=310， 可得x 2+y 2的最小值为45； 方法二、4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤(5x 2+y 2+4y 22)2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2，即y 2=12，x 2=310时取得等号， 可得x 2+y 2的最小值为45． 故答案为：45．方法一、由已知求得x 2，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值； 方法二、由4=(5x 2+y 2)⋅4y 2，运用基本不等式，计算可得所求最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题．13.【答案】0或185【解析】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(0,3)，由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(32−m)(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m −3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m(4,0)+(2m −3)(0,3)=(−8m,6m −9)．由AP =9，得64m 2+(6m −9)2=81，解得m =2725或m =0．当m =0时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−9)，此时C 与D 重合，|CD|=0； 当m =2725时，直线PA 的方程为y =9−6m 8mx ，直线BC 的方程为x4+y3=1，联立两直线方程可得x =83m ，y =3−2m ． 即D(7225,2125)，∴|CD|=√(7225)2+(2125−3)2=185．∴CD 的长度是0或185． 故答案为：0或185．以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，求得B 与C 的坐标，再把PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标用m 表示．由AP =9列式求得m 值，然后分类求得D 的坐标，则CD 的长度可求．本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题．14.【答案】10√5【解析】解：圆C ：x 2+(y −12)2=36的圆心C(0,12)，半径为6，如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，因为PA =PB ，CA =CB =R =6，所以PC ⊥AB ，EF 为垂径，要使面积S △PAB 最大，则P ，D 位于C 的两侧，并设CD =x ，可得PC =√14+34=1，故PD =1+x ，AB =2BD =2√36−x 2， 可令x =6cosθ，S △PAB =12|AB|⋅|PD|=(1+x)√36−x 2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2，设函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2， f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos 2θ+cosθ−6)，由f′(θ)=6(12cos 2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23(cosθ=−34<0舍去)， 显然，当0≤cosθ<23，f′(θ)<0，f(θ)递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)递增，结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos 2θ=√53，故f(θ)max =6×√53+36×√53×23=10√5，则△PAB 面积的最大值为10√5．故答案为：10√5．求得圆的圆心C 和半径，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，运用垂径定理和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算可得所求最大值．本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题．15.【答案】证明：(1)E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点． 所以EF//AB 1，因为EF ⊄平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1， 所以EF//平面AB 1C 1；(2)因为B 1C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABB 1， 所以B 1C ⊥AB ，又因为AB ⊥AC ，AC ∩B 1C =C ，AC ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊂平面AB 1C ， 所以AB ⊥平面AB 1C ， 因为AB ⊂平面ABB 1，所以平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【解析】(1)证明EF//AB 1，然后利用直线与平面平行的判断定理证明EF//平面AB 1C 1；(2)证明B 1C ⊥AB ，结合AB ⊥AC ，证明AB ⊥平面AB 1C ，然后证明平面AB 1C ⊥平面ABB 1． 本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．16.【答案】解：(1)因为a =3，c =√2，B =45°.，由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得csinC =bsinB ，所以sinC =cb ⋅sin45°=√2√5⋅√22=√55，所以sinC =√55；(2)因为cos∠ADC =−45，所以sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得cosC =√1−sin 2C =2√55， 所以在三角形ADC 中，sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)=sin∠ADCcos∠C +cos∠ADCsin∠C =2√525，因为∠DAC ∈(0,π2)，所以cos∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525，所以tan∠DAC =sin∠DAC cos∠DAC =211．【解析】(1)由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sin C 的值；(2)三角形的内角和为180°，cos∠ADC =−45，可得∠ADC 为钝角，可得∠DAC 与∠ADC +∠C 互为补角，所以sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)展开可得sin∠DAC 及cos∠DAC ，进而求出tan∠DAC 的值．本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)ℎ2=−1800b 3+6b ，点B 到OO′的距离为40米，可令b =40， 可得ℎ2=−1800×403+6×40=160， 即为|O′O|=160，由题意可设ℎ1=160， 由140a 2=160，解得a =80， 则|AB|=80+40=120米； (2)可设O′E =x ，则CO′=80−x ，由{0<x <400<80−x <80，可得0<x <40，总造价为y =32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x −1800x 3)] =k800(x 3−30x 2+160×800)，y′=k800(3x 2−60x)=3k800x(x −20)，由k >0，当0<x <20时，y′<0，函数y 递减； 当20<x <40时，y′>0，函数y 递增，所以当x =20时，y 取得最小值，即总造价最低．答：(1)桥|AB|长为120米；(2)O′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低．【解析】(1)由题意可令b =40，求得ℎ2，即O′O 的长，再令ℎ1=|OO′|，求得a ，可得|AB|=a +b ；(2)可设O′E =x ，则CO′=80−x ，0<x <40，求得总造价y =32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x −1800x 3)]，化简整理，应用导数，求得单调区间，可得最小值． 本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由椭圆的标准方程可知，a 2=4，b 2=3，c 2=a 2−b 2=1， 所以△AF 1F 2的周长=2a +2c =6．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t)，椭圆的右准线为：x =a 2c =4，所以直线AP 与右准线的交点为Q(4,32⋅4−t1−t )，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0)⋅(t −4,0−32⋅4−t1−t)=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4，当t =2时，(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−4．(3)若S 2=3S 1，设O 到直线AB 距离d 1，M 到直线AB 距离d 2，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3，即d 2=3d 1，A(1,32)，F 1(−1,0)，可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35，d 2=95，由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点， 设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95， 所以9+16=95，即m =−6或12，当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2)，联立{y =34(x −2)x 24+y 23=1，可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2y N =0或{x M =−27y M =−127， 所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4)，联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1，可得214x 2+18x +24=0，△=9×(36−56)<0，所以无解，综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【解析】(1)由椭圆标准方程可知a ，b ，c 的值，根据椭圆的定义可得△AF 1F 2的周长=2a +2c ，代入计算即可．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，进而由点斜式写出直线AP方程，再结合椭圆的右准线为：x=4，得点Q为(4,32⋅4−t1−t)，再由向量数量积计算最小值即可．(3)在计算△OAB与△MAB的面积时，AB可以最为同底，所以若S2=3S1，则O到直线AB距离d1与M到直线AB距离d2，之间的关系为d2=3d1，根据点到直线距离公式可得d1=35，d2=95，所以题意可以转化为M点应为与直线AB平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB的直线l为3x−4y+m=0，与直线AB的距离为95，根据两平行直线距离公式可得，m=−6或12，然后在分两种情况算出M点的坐标即可．本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)由f(x)=g(x)得x=0，又f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x，符合任意，(2)ℎ(x)−g(x)=k(x−1−lnx)，设φ(x)=x−1−lnx，设φ′(x)=1−1x =x−1x，在(1,+∞)上，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，在(0,1)上，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，所以φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0，令p(x)=f(x)−ℎ(x)所以p(x)=x2−x+1−(kx−k)=x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得，当x=k+12≤0时，即k≤−1时，p(x)在(0,+∞)上单调递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，k≥−1，所以k=−1，当 k+12>0时，即k>−1时，△≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，解得−1<k≤3，综上，k∈[0,3]．42，所以f′(x)=4x31)(x−1)，y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图象在x=t(0<|t|≤√2)处的切线．由函数y=f(x)的图象可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2]，又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0，设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1，x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84，所以|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(t 3−t)2−(3t 4−2t 2−8)=√t 6−5t 4+3t 2+8，t 2=λ，则λ∈[1,2]，由图象可知，n −m =|x 1−x 2|=√λ3−5λ2+3λ+8， 设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)， 所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减， 所以φ(λ)max =φ(1)=7，故(n −m)max =|x 1−x 2|max =√7，即n −m ≤√7．【解析】(1)由f(x)=g(x)得x =0，求导可得f′(0)=g′(0)=2，能推出函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，进而可得ℎ(x)=2x ，再进行检验即可．(2)由题可知ℎ(x)−g(x)=k(x −1−lnx)，设φ(x)=x −1−lnx ，求导分析单调性可得，φ(x)≥φ(1)=0，那么要使的ℎ(x)−g(x)≥0，则k ≥0；令p(x)=f(x)−ℎ(x)为二次函数，则要使得p(x)≥0，分两种情况，当x =k +1≤0时，当k +1>0时进行讨论，进而得出答案． (3)因为f(x)=x 4−2x 2，求导，分析f(x)单调性及图象得函数y =f(x)的图象在x =x 0处的切线为：y =(4x 03−4x 0)x −3x 04+2x 02，可推出直线y =ℎ(x)为函数y =f(x)的图象在x =t(0<|t|≤√2)处的切线．进而f(x)≥ℎ(x)在区间D 上恒成立；在分析g(x)−ℎ(x)=0，设4x 2−4(t 3−t)x +3t 4−2t 2−8=0，两根为x 1，x 2，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，所以n −m =|x 1−x 2|=√t 6−5t 4+3t 2+8，再求最值即可得出结论． 本题考查恒成立问题，参数的取值范围，导数的综合应用，解题过程中注意数形结合思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)k =1时，a n+1=S n+1−S n =λa n+1，由n 为任意正整数，且a 1=1，a n ≠0，可得λ=1； (2)√S n+1−√S n =√33√a n+1，则a n+1=S n+1−S n =(√S n+1−√S n )⋅(√S n+1+√S n )=√33⋅√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√S n+1+√S n =√3⋅√a n+1，即√S n+1=23√3a n+1，S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 从而S n+1=4S n ，又S 1=a 1=1，可得S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2， 综上可得a n ={1,n =13⋅4n−2,n ≥2，n ∈N ∗；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n )， 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0，令p n =(S n+1S n)13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0，可得p n =1，则S n+1=S n ， 即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }，λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }； ②1<t <3时，△=(1−t)2−4<0，p n2+(1−t)p n +1=0无解， 则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }；③t =3时，(p n −1)3=0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }.④t >3时，即0<λ<1时，△=(1−t)2−4>0，p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β， 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0，则0<α<1<β，则对任意n ∈N ∗，S n+1Sn=1或S n+1S n=α3或S n+1S n=β3，此时S n =1，S n ={1,n =1β3,n ≥2，S n={1,n =1,2β3,n ≥3均符合条件． 对应a n ={1,n =10,n ≥2，a n ={1,n =1β3−1,n =20,n ≥3，a n ={1,n =1β3−1,n =30,n =2,n ≥4，则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0，综上可得0<λ<1．【解析】(1)由“λ−1”数列可得k =1，结合数列的递推式，以及等差数列的定义，可得λ的值；(2)运用“√33−2”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通项公式；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，则S n+113−S n 13=λa n+113，由两边立方，结合数列的递推式，以及t 的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在λ，并可得取值范围．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，是一道难题．21.【答案】解：(1)由题意，知[a1−1b ]⋅[2−1]=[2a −1−2−b ]=[3−4]， 则{2a −1=3−2−b =−4，解得a =2，b =2； (2)由(1)知，矩阵M =[21−12]，设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn p q ]，∴M ⋅M −1=[21−12]⋅[mn pq ]=[2m +p 2n +q −m +2p −n +2q ]=[1001]， ∴{2m +p =12n +q =0−m +2p =0−n +2q =1，解得m =25，n =−15，p =15，q =25， ∴M −1=[25−151525]．【解析】(1)由[a 1−1b ]⋅[2−1]=[3−4]，列方程组，求出a 、b 的值； (2)设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn p q ]，利用M ⋅M −1=[1001]，列方程组求出m 、n 、p 和q 的值即可．本题考查了矩阵的变换与计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(1)∵A(ρ1,π3)在直线l ：ρcosθ=2上，∴ρ1cos π3=2，解得ρ1=4． ∵点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上， ∴ρ2=4sin π6，解得ρ2=2．(2)由直线l 与圆C 得，方程组{ρcosθ=2ρ=4sinθ，则sin2θ=1．∵θ∈[0,2π)，∴2θ=π2，∴θ=π4． ∴ρ=4×sin π4=2√2．故公共点的极坐标为(2√2,π4).【解析】(1)直接根据点A 在直线l 上，列方程求出ρ1的值，点B 在圆C 上，列方程求出ρ2的值；(2)联立直线l 与圆C 的方程，然后求出其公共点的极坐标即可． 本题考查的知识要点：极坐标与极坐标方程的关系和根据简单曲线极坐标方程求交点坐标，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.【答案】解：2|x +1|+|x|={3x +2,x >0x +2,−1≤x ≤0−3x −2,x <−1．∵2|x +1|+|x|<4，∴{3x +2<4x >0或{x +2<4−1≤x ≤0或{−3x −2<4x <−1，∴0<x <23或−1<x <0或−2<x <−1，∴−2<x <23， ∴不等式的解集为{x|−2<x <23}.【解析】先将2|x +1|+|x|写为分段函数的形式，然后根据2|x +1|+|x|<4，利用零点分段法解不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础题．24.【答案】解：(1)如图，连接OC ，∵CB =CD ，O 为BD 的中点，∴CO ⊥BD ．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． ∵BD =2，∴OB =OD =1，则OC =√BC 2−OB 2=√5−1=2． ∴B(1,0，0)，A(0,0，2)，C(0,2，0)，D(−1,0，0)， ∵E 是AC 的中点，∴E(0,1，1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)． 设直线AB 与DE 所成角为α， 则cosα=|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4⋅√1+1+1=√1515， 即直线AB 与DE 所成角的余弦值为√1515；(2)∵BF =14BC ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设F(x,y ，z)，则(x −1,y ，z)=(−14，12，0)，∴F(34,12,0)．∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(74,12,0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0)．设平面DEF 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1+z 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =74x 1+12y 1=0，取x 1=−2，得m ⃗⃗⃗ =(−2,7,−5)； 设平面DEC 的一个法向量为n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 由{n ⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2+z 2=0n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+2y 2=0，取x 2=−2，得n⃗ =(−2,1,1)． ∴|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√4+49+25⋅√4+1+1=√1313． ∴sinθ=√1−cos 2θ=√1−113=2√3913．【解析】(1)由题意画出图形，连接OC ，由已知可得CO ⊥BD ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，设直线AB 与DE 所成角为α，由两向量所成角的余弦值，可得直线AB 与DE 所成角的余弦值；(2)由BF =14BC ，得BF ⃗⃗⃗⃗⃗=14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设F(x,y ，z)，由向量等式求得F(34,12,0)，进一步求出平面DEF 的一个法向量与平面DEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得cosθ，再由同角三角函数基本关系式求解sinθ．本题考查利用空间向量求空间角，考查空间想象能力与逻辑思维能力和运算求解能力，是中档题．25.【答案】解：(1)由题意可知：p 1=13，q 1=23，则p 2=13p 1+23×13q 1=727；q 2=23p 1+(23×23+13×13)q 1=1627．(2)由题意可知：p n+1=13p n +23×13q n =13p n +29q n ， q n+1=23p n +(23×23+13×13)q n +23(1−p n −q n )=−19q n +23， 两式相加可得2p n+1+q n+1=23p n +13q n +23=13(2p n +q n )+23， 则：2p n +q n =13(2p n−1+q n−1)+23， 所以，2p n +q n −1=13(2p n−1+q n−1−1)，因为2p 1+q 1−1=13，数列{2p n +q n −1}是首项为13，公比为13的等比数列， 所以2p n +q n −1=(13)n ， 即2p n +q n =(13)n +1，所以E(X n )=2p n +q n +0×(1−p n −q n )=(13)n +1．【解析】(1)利用已知条件求出p 1=13，q 1=23，推出p 2；q 2即可．(2)推出p n+1=13p n +29q n ，q n+1=−19q n +23，得到2p n+1+q n+1=13(2p n +q n )+23，推出2p n +q n −1=13(2p n−1+q n−1−1)，说明数列{2p n +q n −1}是首项为13，公比为13的等比数列，然后求解的通项公式以及期望即可．本题考查数列与概率相结合，期望的求法，数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是难题．。

2020年江苏高考数学试卷及答案(含附加题)

2020年江苏高考数学试卷及答案(含附加题)

2020年江苏高考数学试卷及答案（含附加题）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上。

1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}0,2,3B =，则A B = __________。

2.已知i 是虚数单位，则复数()()12z i i =+-的实部是__________。

3.已知一组数据4，2a，3-a，5，6的平均数为4，则a 的值是__________。

4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是。

5.右图是一个算法流程图,若输出y的值为-2,则输入x的值为。

6.在平面直角坐标系xOy中22y =,若双曲线()222105x y a a -=>的一条渐近线方程为52y x =,则该双曲线的离心率是。

7．已知()y f x =是奇函数，当0x >时，23()f x x =，则(8)f -的值是。

8.已知22sin +=43πα（），则sin 2α的值是。

9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是3cm 。

10.将函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，则平移后的图像与y 轴最近的对称轴方程是。

11.设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，已知数列{}+n n a b 的前项和()221n n S n n n N *=-+-∈，则d q +的值是。

12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是。

13.在△ABC 中，4AB =，=3AC ，∠=90BAC °，D 在边AC 上，延长AD P 到，使得=9AP ，若32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（m 为常数），则CD 的长度是。

2020年江苏高考数学试题解析

2020年江苏高考数学试题解析
【解析】∵ 三点共线，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∵ , , ，
∴ ，
设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
故答案为：0或 .
【解析】∵数据 的平均数为4
∴ ，即 .
故答案为：2.
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.
【答案】
【解析】根据题意可得基本事件数总为 个.
点数和为5的基本事件有 ， ， ， 共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为 .
故答案为： .
5.如图是一个算法流程图，若输出 的值为 ，则输入 的值是_____.
故答案为：
7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
先求 ，再根据奇函数求
【解析】 ，因为 为奇函数，所以
故答案为：
8.已知 = ，则 的值是____.
【答案】
直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【解析】
故答案为：
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.
14.在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C： 上的两个动点，满足 ，则△PAB面积的最大值是__________．
【答案】
根据条件得 ,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.

2020年江苏省高考数学试卷及答案详解,

2020年江苏省高考数学试卷及答案详解,

2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1. 已知集合B={0,2,3}，A={−1,0,1,2}，则A∩B=________.2. 已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是________.3. 已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是________.4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________.5. 下图是一个算法流程图，若输出y值为−2，则输入x的值是________.6. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是________.7. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x 23，则f(−8)的值是________.8. 已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是________.9. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正________cm 2.10. 将函数y =3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________.11. 设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列.已知{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，则d +q 的值是________.12. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R )，则x 2+y 2的最小值是________.13. 在△ABC 中，AB =4， AC =3， ∠BAC =90∘，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA →=mPB →+(32−m)PC →(m 为常数），则CD 的长度是________.14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P (√32,0)，A ，B 是圆C:x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是________. 二、解答题15. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证： EF//平面AB 1C 1；(2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1.16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知a=3，c=√2，∠B=45∘.(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−45，求tan∠DAC的值.17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线（O′在AB上）．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离ℎ1（米）与D到OO′的距离a（米）之间满足关系式ℎ1=140a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离ℎ2（米）与F到OO′的距离b（米）之间满足关系式ℎ2=−1800b3+6b．已知点B到OO′的距离为40米．(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF. 且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）. 桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价32k（万元）(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．(1)求△AF1F2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →⋅QP →的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19. 已知关于x 的函数y =f (x ) ，y =g (x )与ℎ(x )=kx +b (k,b ∈R )在区间D 上恒有f (x )≥ℎ(x )≥g (x ).(1)若f (x )=x 2+2x ，g (x )=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x )的表达式；(2)若f (x )=x 2−x +1，g (x )=k ln x ，ℎ(x )=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f (x )=x 4−2x 2，g (x )=4x 2−8，ℎ(x )=4(t 3−t )x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n ]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7.20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k=λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列. (1)若等差数列是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案与试题解析2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1.【答案】{0,2}【考点】交集及其运算【解析】集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B．【解答】解：集合B={0,2,3}，A={−1,0,1,2}，则A∩B={0,2}.故答案为：{0,2}.【点评】此题暂无点评2.【答案】3【考点】复数代数形式的混合运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：z=(1+i)(2−i)=3+i，则实部为3.故答案为：3.【点评】此题暂无点评3.【答案】2【考点】众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】=4，解：由4+2a+(3−a)+5+65可知a=2.故答案为：2.此题暂无点评4.【答案】19【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】解：总事件数为6×6=36，满足条件的事件为(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1)为共4种，则点数和为5的概率为436=19.故答案为：19.【点评】此题暂无点评5.【答案】−3【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知当y=−2时，当x>0时，y=2x=−2，无解；当x<0时，y=x+1=−2，解得：x=−3. 故答案为：−3.【点评】此题暂无点评6.【答案】32【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：由x 2a2−y25=1得渐近线方程为y=±√5ax.∴c2=a2+5=9，∴c=3，∴离心率e=ca =32.故答案为：32. 【点评】此题暂无点评7.【答案】−4【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x 2 3，则f(−8)=−f(8)=−823=−4.故答案为：−4.【点评】此题暂无点评8.【答案】13【考点】二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为sin2(π4+α)=23，由sin2(π4+α)=12[1−cos(π2+2α)]=12(1+sin2α)=23，解得sin2α=13.故答案为：13.9.【答案】12√3−π2【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：记此六角螺帽毛坯的体积为V，正六棱柱的体积为V1，内孔的体积为V2，则V1=6×12×2×2×sin60∘×2=12√3，V2=π×(0.5)2×2=π2，所以V=V1−V2=12√3−π2.故答案为：12√3−π2.【点评】此题暂无点评10.【答案】x=−5π24【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=3sin(2x+π4)，将函数f(x)=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度得：g(x)=f(x−π6)=3sin(2x−π3+π4)=3sin(2x−π12)，则y=g(x)的对称轴为2x−π12=π2+kπ,k∈Z，即x=7π24+kπ2,k∈Z.当k=0时，x=7π24，当k=−1时，x=−5π24，故答案为：x =−5π24. 【点评】 此题暂无点评 11.【答案】 4【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为{a n +b n }的前n 项和为： S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)， 当n =1时，a 1+b 1=1，当n ≥2时，a n +b n =S n −S n−1 =2n −2+2n−1， 所以当n ≥2时，a n =2(n −1)，b n =2n−1，且当n =1时，a 1+b 1=0+1=1成立， 则d =a 2−a 1=2−0=2， q =b 2b 1=21=2，则d +q =4. 故答案为：4. 【点评】 此题暂无点评 12. 【答案】45【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤[(5x 2+y 2)+4y 22]2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2， 即x 2=310，y 2=12时取(x 2+y 2)min =45.【点评】 此题暂无点评 13. 【答案】 185【考点】二倍角的正弦公式 正弦定理 向量的共线定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由向量系数m +(32−m)=32为常数， 结合等和线性质可知|PA →||PD →|=321，故PD =23PA =6，AD =PA −PD =3=AC ，故∠C =∠CDA ，故∠CAD =π−2C . 在△ABC 中，cos C =ACBC =35.在△ADC ，由正弦定理CDsin ∠CAD =ADsin C ， 即CD =sin (π−2C)sin C⋅AD =sin 2C sin C⋅AD =2AD cos C=2×35×3=185.故答案为：185. 【点评】 此题暂无点评 14. 【答案】10√5 【考点】与圆有关的最值问题 利用导数研究函数的最值【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，∵PA=PB，CA=CB=R=6，∴PC⊥AB.∵EF为直径，要使面积S△PAB最大，则P，D位于C点两侧，并设CD=x，计算可知PC=1，故PD=1+x, AB=2BD=2√36−x2，故S△PAB=12AB⋅PD=(1+x)⋅√36−x2.令x=6cosθ，其中θ∈(0, π2)，S△PAB=(1+x)√36−x2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ.记函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，则f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos2θ+cosθ−6).令f′(θ)=6(12cos2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23或cosθ=−34<0(舍去)，显然，当0≤cosθ<23时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增.结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos2θ=√53，故f(θ)max=6×√53+36×√53×23=10√5，即△PAB面积的最大值是10√5.故答案为：10√5.【点评】此题暂无点评二、解答题15.【答案】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF//AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂面ABC，所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC⊂面AB1C，B1C⊂面AB1C，所以AB⊥面AB1C.因为AB⊂面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF//AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂面ABC，所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC⊂面AB1C，B1C⊂面AB1C，所以AB⊥面AB1C.因为AB⊂面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【点评】此题暂无点评16.【答案】解：(1)由余弦定理，得cos B=cos45∘=a2+c2−b22ac=26√2=√22，因此b2=5，即b=√5.由正弦定理csin C =bsin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=−45，所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35，因为∠ADC∈(π2, π)，所以C∈(0, π2)，所以cos C=√1−sin2∠C=2√55，所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) =sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525.因为∠DAC∈(0, π2)，所以cos∠DAC=√1−sin2∠DAC=11√525，故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC =211.【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由余弦定理，得cos B=cos45∘=a2+c2−b22ac=26√2=√22，因此b2=5，即b=√5.由正弦定理csin C =bsin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=−45，所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35，因为∠ADC∈(π2, π)，所以C∈(0, π2)，所以cos C=√1−sin2∠C=2√55，所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) =sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525.因为∠DAC∈(0, π2)，所以cos∠DAC=√1−sin2∠DAC=11√525，故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC =211.【点评】此题暂无点评17.【答案】解：(1)过A，B分别作MN的垂线，垂足为A1，B1，则AA 1=BB 1=−1800×403+6×40=160. 令140a 2=160，得a =80，所以AO ′=80，AB =AO ′+BO ′=80+40=120(米). 故桥AB 的长度为120米.(2)设O ′E =x ，则CO ′=80−x ， 由{0<x <40，0<80−x <80， 解得：0<x <40， 则总造价y =3k 2[160−140(80−x )2]+k [160−(−1800x 3+6x)] =k 800(x 3−30x 2+160×800)(0<x <40)，则y ′=k800(3x 2−60x )=3k800x (x −20).因为k >0，所以令y ′=0，得x =0或20， 所以当0<x <20时， y ′<0，y 单调递减； 当20<x <40时， y ′>0，y 单调递增，所以，当x =20时，y 取最小值155k ，此时造价最低． 答： O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 【考点】利用导数研究函数的最值 函数模型的选择与应用【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)过A ，B 分别作MN 的垂线，垂足为A 1，B 1，则AA 1=BB 1=−1800×403+6×40=160. 令140a 2=160，得a =80，所以AO ′=80，AB =AO ′+BO ′=80+40=120(米). 故桥AB 的长度为120米.(2)设O ′E =x ，则CO ′=80−x ， 由{0<x <40，0<80−x <80， 解得：0<x <40， 则总造价y =3k 2[160−140(80−x )2]+k [160−(−1800x 3+6x)] =k 800(x 3−30x 2+160×800)(0<x <40)，则y ′=k800(3x 2−60x )=3k800x (x −20).因为k >0，所以令y ′=0，得x =0或20， 所以当0<x <20时， y ′<0，y 单调递减； 当20<x <40时， y ′>0，y 单调递增，所以，当x =20时，y 取最小值155k ，此时造价最低． 答： O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 【点评】 此题暂无点评 18.【答案】解：(1)由题意知，△AF 1F 2的周长l =2a +2c =6. (2)由椭圆方程得A (1,32)， 设点P (t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t ).令x =a 2c=4，得y Q =6−32t 1−t，即Q(4,12−3t2−2t)，则QP →=(t −4,12−3t 2t−2)，所以OP →⋅QP →=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 即OF →⋅QP →的最小值为−4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1，M 到直线AB 的距离为d 2. 若S 2=3S 1，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3， 即d 2=3d 1.由题意可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0， 所以d 1=35,d 2=95.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点.设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95，所以√9+16=95，即m =−6或12． 当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2). 联立{y =34(x −2),x 24+y 23=1,可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2,y M =0,或{x M =−27,y M =−127,所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4). 联立{y =34(x +4),x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0，Δ=9×(36−56)<0，所以无解． 综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 椭圆中的平面几何问题 直线与椭圆结合的最值问题【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知，△AF 1F 2的周长l =2a +2c =6. (2)由椭圆方程得A (1,32)，设点P (t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t ).令x =a 2c=4，得y Q =6−32t 1−t，即Q(4,12−3t 2−2t)，则QP →=(t −4,12−3t 2t−2)，所以OP →⋅QP →=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 即OF →⋅QP →的最小值为−4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1，M 到直线AB 的距离为d 2. 若S 2=3S 1，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3， 即d 2=3d 1.由题意可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35,d 2=95.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点. 设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95， 所以√9+16=95，即m =−6或12． 当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2). 联立{y =34(x −2),x 24+y 23=1,可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2,y M =0或{x M =−27,y M=−127,所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4).联立{y =34(x +4),x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0，Δ=9×(36−56)<0，所以无解． 综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127). 【点评】 此题暂无点评 19. 【答案】(1)解：由f(x)=g(x)，得x=0,f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图像为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x符合题意.(2)解：ℎ(x)−g(x)=k(x−1−ln x)，设φ(x)=x−1−ln x，则φ′(x)=1−1x =x−1x，可得φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0.令p(x)=f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k) =x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得当x=k+1≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，所以k=−1；当k+1>0时，Δ≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，(k+1)(k−3)≤0，−1<k≤3.综上，k∈[0,3]．(3)证明：因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图像在x=x0处的切线为y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图像在x=t(0<|t|≤√2)处的切线.又因为由函数y=f x的图像可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2].又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0.设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84，所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t4−8)=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ，则λ∈[1,2]，由图像可知n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√φ(λ)max=√7，即n−m≤√7.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题函数与方程的综合运用利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由f(x)=g(x)，得x=0,f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图像为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x符合题意.(2)解：ℎ(x)−g(x)=k(x−1−ln x)，设φ(x)=x−1−ln x，则φ′(x)=1−1x =x−1x，可得φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0.令p(x)=f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k) =x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得当x=k+1≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，所以k=−1；当k+1>0时，Δ≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，(k+1)(k−3)≤0，−1<k≤3.综上，k∈[0,3]．(3)证明：因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图像在x=x0处的切线为y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图像在x=t(0<|t|≤√2)处的切线.又因为当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2].又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0.设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t，，x1x2=3t4−2t2−84所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t4−8)=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ，则λ∈[1,2]，由图像可知n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√φ(λ)max=√7，即n−m≤√7.【点评】此题暂无点评20.【答案】解：(1)k=1时，a n+1=S n+1−S n=λa n+1，由n为任意正整数，且a1=1，a n≠0，可得λ=1.(2)√S n+1−√S n=√3√a n+1，3a n+1=S n+1−S n=√3√a n+1(√S n+1+√S n)，3因此√S n+1+√S n=√3√a n+1，√3a n+1，即√S n+1=23S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 所以S n+1=4S n .又S 1=a 1=1，S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2.综上，a n ={1，n =1，3⋅4n−2，n ≥2.(n ∈N ∗) (3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n ). 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0， 令p n =(S n+1S n )13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0可得p n =1，则S n+1=S n ，即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }； λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n 2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，Δ=(1−t)2−4<0，p n 2+(1−t)p n +1=0无解，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ③t =3时，(p n −1)3=0， 则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ④t >3即0<λ<1时，Δ=(1−t)2−4>0， p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β. 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0， 则0<α<1<β， 则对任意n ∈N ∗，S n+1S n =1或S n+1S n =α3或S n+1S n =β3，此时S n =1，S n ={1，n =1，α3，n ≥2，S n ={1,n =1,2β3，n ≥3均符合条件， 对应a n ={1,n =1,0,n ≥2，a n ={1,n =1,α3−1,n =2,0,n ≥3，a n ={1,n =1,β3−1,n =3,0,n =2,n ≥4,则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0. 综上，0<λ<1.【考点】数列递推式一元二次方程的根的分布与系数的关系 等比数列的通项公式等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)k =1时，a n+1=S n+1−S n =λa n+1， 由n 为任意正整数，且a 1=1，a n ≠0， 可得λ=1.(2)√S n+1−√S n =√33√a n+1， a n+1=S n+1−S n =√33√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√S n+1+√S n =√3√a n+1， 即√S n+1=23√3a n+1， S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 所以S n+1=4S n .又S 1=a 1=1，S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2.综上，a n ={1，n =1，3⋅4n−2，n ≥2.(n ∈N ∗) (3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n ). 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0， 令p n =(S n+1S n )13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0可得p n =1，则S n+1=S n ，即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }； λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n 2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，Δ=(1−t)2−4<0，p n 2+(1−t)p n +1=0无解，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ③t =3时，(p n −1)3=0， 则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；④t >3即0<λ<1时，Δ=(1−t)2−4>0， p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β. 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0， 则0<α<1<β，则对任意n ∈N ∗，S n+1S n =1或S n+1S n =α3或S n+1S n =β3，此时S n =1，S n ={1，n =1，α3，n ≥2，S n ={1,n =1,2β3，n ≥3均符合条件， 对应a n ={1,n =1,0,n ≥2，a n ={1,n =1,α3−1,n =2,0,n ≥3，a n ={1,n =1,β3−1,n =3,0,n =2,n ≥4,则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0. 综上，0<λ<1.【点评】此题暂无点评。

2020年江苏高考数学试题及答案

2020年江苏高考数学试题及答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

学科@网4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：锥体的体积13V Sh=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．已知集合{0,1,2,8}A=，{1,1,6,8}B=-，那么A B=▲ ．2．若复数z满足i12iz⋅=+，其中i是虚数单位，则z的实部为▲ ．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲ ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲ ．5．函数()f x 的定义域为 ▲ ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．7．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x xx π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则((15))f f 的值为▲ ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．[来源学科11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ． 13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）AB ∥平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26，求直线l 的方程．19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x =．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}2．23．904．8 5．[2，+∞） 6．310 7．π6-8．2 9．2 10．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分． 解：（1）因为，，所以． 因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以．4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈又因为，所以， 因此．因为，所以，因此，．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分． 解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）=sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 5cos()αβ+=-225sin()1cos ()αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y ==． 因此，点P 的坐标为． ②因为三角形OAB ，所以1 2AB OP ⋅=AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得 222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点． （2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*） 得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =．令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩，（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）由条件知：．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即对n =1，2，3，4均成立，即11，1d 3，32d 5，73d 9，得． 112(,)n n n a n d b -=-=112|()1|n n d ---≤≤≤≤≤≤≤≤7532d ≤≤因此，d 的取值范围为．（2）由条件知：．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立， 即，即当时，d 满足．因为，则，从而，，对均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对均成立．下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．①当时，， 当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增， 故数列的最大值为． ②设，当x >0时，，所以单调递减，从而<f （0）=1．当时，， 因此，当时，数列单调递减， 故数列的最小值为． 因此，d 的取值范围为．75[,]32111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+2,3,,1n m =+1111211n n q q b d b n n ---≤≤--q ∈112n m q q -<≤≤11201n q b n --≤-1101n q b n ->-2,3,,1n m =+2,3,,1n m =+12{}1n q n ---1{}1n q n --2,3,,1n m =+2n m ≤≤111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---112mq <≤2n mq q ≤≤1() 20n n n n q q q ---+>21n m ≤≤+12{}1n q n ---12{}1n q n ---2m q m-()()21x f x x =-ln 21(0(n )l 22)xf x x '=--<()f x ()f x 2n m ≤≤111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-21n m ≤≤+1{}1n q n --1{}1n q n --mq m11(2)[,]m mb q b q m m-数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作答．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =，求BC 的长． B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值． 23．(本小题满分10分)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． （1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n 的表达式(用n 表示)．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A．[选修4—1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：连结OC．因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC．又因为PC=OC=2，所以OP．又因为OB=2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，所以BC=2．B．[选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A，det()221310=⨯-⨯=≠A，所以A可逆，从而1-A2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（2）设P(x，y)，则233121xy⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311xy-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A，因此，点P的坐标为(3，–1)．C．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：因为曲线C的极坐标方程为=4cosρθ，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l过A（4，0），倾斜角为π6，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=π6．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 D ．[选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ． 因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,,0,1,0,0,1,())()()2,,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以1,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,22),BP AC ==--，故111|||cos ,|||||5BP AC BP AC BP AC ⋅===⋅．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为20．（2）因为Q 为BC 的中点，所以1,0)2Q ，因此33(,0)2AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量， 则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ， 则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n ，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．学科￥网 因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+． 当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --.。

2020年江苏省高考数学试卷及答案详解,

2020年江苏省高考数学试卷及答案详解,

2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1. 已知集合B={0,2,3}，A={−1,0,1,2}，则A∩B=________.2. 已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是________.3. 已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是________.4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________.5. 下图是一个算法流程图，若输出y值为−2，则输入x的值是________.6. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是________.7. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x 23，则f(−8)的值是________.8. 已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是________.9. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正________cm 2.10. 将函数y =3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________.11. 设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列.已知{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，则d +q 的值是________.12. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R )，则x 2+y 2的最小值是________.13. 在△ABC 中，AB =4， AC =3， ∠BAC =90∘，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA →=mPB →+(32−m)PC →(m 为常数），则CD 的长度是________.14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P (√32,0)，A ，B 是圆C:x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是________. 二、解答题15. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证： EF//平面AB 1C 1；(2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1.16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知a=3，c=√2，∠B=45∘.(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−45，求tan∠DAC的值.17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线（O′在AB上）．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离ℎ1（米）与D到OO′的距离a（米）之间满足关系式ℎ1=140a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离ℎ2（米）与F到OO′的距离b（米）之间满足关系式ℎ2=−1800b3+6b．已知点B到OO′的距离为40米．(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF. 且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）. 桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价32k（万元）(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．(1)求△AF1F2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →⋅QP →的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19. 已知关于x 的函数y =f (x ) ，y =g (x )与ℎ(x )=kx +b (k,b ∈R )在区间D 上恒有f (x )≥ℎ(x )≥g (x ).(1)若f (x )=x 2+2x ，g (x )=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x )的表达式；(2)若f (x )=x 2−x +1，g (x )=k ln x ，ℎ(x )=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f (x )=x 4−2x 2，g (x )=4x 2−8，ℎ(x )=4(t 3−t )x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n ]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7.20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k=λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列. (1)若等差数列是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案与试题解析2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1.【答案】{0,2}【考点】交集及其运算【解析】集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B．【解答】解：集合B={0,2,3}，A={−1,0,1,2}，则A∩B={0,2}.故答案为：{0,2}.【点评】此题暂无点评2.【答案】3【考点】复数代数形式的混合运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：z=(1+i)(2−i)=3+i，则实部为3.故答案为：3.【点评】此题暂无点评3.【答案】2【考点】众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】=4，解：由4+2a+(3−a)+5+65可知a=2.故答案为：2.此题暂无点评4.【答案】19【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】解：总事件数为6×6=36，满足条件的事件为(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1)为共4种，则点数和为5的概率为436=19.故答案为：19.【点评】此题暂无点评5.【答案】−3【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知当y=−2时，当x>0时，y=2x=−2，无解；当x<0时，y=x+1=−2，解得：x=−3. 故答案为：−3.【点评】此题暂无点评6.【答案】32【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：由x 2a2−y25=1得渐近线方程为y=±√5ax.∴c2=a2+5=9，∴c=3，∴离心率e=ca =32.故答案为：32. 【点评】此题暂无点评7.【答案】−4【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x 2 3，则f(−8)=−f(8)=−823=−4.故答案为：−4.【点评】此题暂无点评8.【答案】13【考点】二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为sin2(π4+α)=23，由sin2(π4+α)=12[1−cos(π2+2α)]=12(1+sin2α)=23，解得sin2α=13.故答案为：13.9.【答案】12√3−π2【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：记此六角螺帽毛坯的体积为V，正六棱柱的体积为V1，内孔的体积为V2，则V1=6×12×2×2×sin60∘×2=12√3，V2=π×(0.5)2×2=π2，所以V=V1−V2=12√3−π2.故答案为：12√3−π2.【点评】此题暂无点评10.【答案】x=−5π24【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=3sin(2x+π4)，将函数f(x)=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度得：g(x)=f(x−π6)=3sin(2x−π3+π4)=3sin(2x−π12)，则y=g(x)的对称轴为2x−π12=π2+kπ,k∈Z，即x=7π24+kπ2,k∈Z.当k=0时，x=7π24，当k=−1时，x=−5π24，故答案为：x =−5π24. 【点评】 此题暂无点评 11.【答案】 4【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为{a n +b n }的前n 项和为： S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)， 当n =1时，a 1+b 1=1，当n ≥2时，a n +b n =S n −S n−1 =2n −2+2n−1， 所以当n ≥2时，a n =2(n −1)，b n =2n−1，且当n =1时，a 1+b 1=0+1=1成立， 则d =a 2−a 1=2−0=2， q =b 2b 1=21=2，则d +q =4. 故答案为：4. 【点评】 此题暂无点评 12. 【答案】45【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤[(5x 2+y 2)+4y 22]2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2， 即x 2=310，y 2=12时取(x 2+y 2)min =45.【点评】 此题暂无点评 13. 【答案】 185【考点】二倍角的正弦公式 正弦定理 向量的共线定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由向量系数m +(32−m)=32为常数， 结合等和线性质可知|PA →||PD →|=321，故PD =23PA =6，AD =PA −PD =3=AC ，故∠C =∠CDA ，故∠CAD =π−2C . 在△ABC 中，cos C =ACBC =35.在△ADC ，由正弦定理CDsin ∠CAD =ADsin C ， 即CD =sin (π−2C)sin C⋅AD =sin 2C sin C⋅AD =2AD cos C=2×35×3=185.故答案为：185. 【点评】 此题暂无点评 14. 【答案】10√5 【考点】与圆有关的最值问题 利用导数研究函数的最值【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，∵PA=PB，CA=CB=R=6，∴PC⊥AB.∵EF为直径，要使面积S△PAB最大，则P，D位于C点两侧，并设CD=x，计算可知PC=1，故PD=1+x, AB=2BD=2√36−x2，故S△PAB=12AB⋅PD=(1+x)⋅√36−x2.令x=6cosθ，其中θ∈(0, π2)，S△PAB=(1+x)√36−x2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ.记函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，则f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos2θ+cosθ−6).令f′(θ)=6(12cos2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23或cosθ=−34<0(舍去)，显然，当0≤cosθ<23时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增.结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos2θ=√53，故f(θ)max=6×√53+36×√53×23=10√5，即△PAB面积的最大值是10√5.故答案为：10√5.【点评】此题暂无点评二、解答题15.【答案】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF//AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂面ABC，所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC⊂面AB1C，B1C⊂面AB1C，所以AB⊥面AB1C.因为AB⊂面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF//AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂面ABC，所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC⊂面AB1C，B1C⊂面AB1C，所以AB⊥面AB1C.因为AB⊂面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【点评】此题暂无点评16.【答案】解：(1)由余弦定理，得cos B=cos45∘=a2+c2−b22ac=26√2=√22，因此b2=5，即b=√5.由正弦定理csin C =bsin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=−45，所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35，因为∠ADC∈(π2, π)，所以C∈(0, π2)，所以cos C=√1−sin2∠C=2√55，所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) =sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525.因为∠DAC∈(0, π2)，所以cos∠DAC=√1−sin2∠DAC=11√525，故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC =211.【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由余弦定理，得cos B=cos45∘=a2+c2−b22ac=26√2=√22，因此b2=5，即b=√5.由正弦定理csin C =bsin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=−45，所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35，因为∠ADC∈(π2, π)，所以C∈(0, π2)，所以cos C=√1−sin2∠C=2√55，所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) =sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525.因为∠DAC∈(0, π2)，所以cos∠DAC=√1−sin2∠DAC=11√525，故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC =211.【点评】此题暂无点评17.【答案】解：(1)过A，B分别作MN的垂线，垂足为A1，B1，则AA 1=BB 1=−1800×403+6×40=160. 令140a 2=160，得a =80，所以AO ′=80，AB =AO ′+BO ′=80+40=120(米). 故桥AB 的长度为120米.(2)设O ′E =x ，则CO ′=80−x ， 由{0<x <40，0<80−x <80， 解得：0<x <40， 则总造价y =3k 2[160−140(80−x )2]+k [160−(−1800x 3+6x)] =k 800(x 3−30x 2+160×800)(0<x <40)，则y ′=k800(3x 2−60x )=3k800x (x −20).因为k >0，所以令y ′=0，得x =0或20， 所以当0<x <20时， y ′<0，y 单调递减； 当20<x <40时， y ′>0，y 单调递增，所以，当x =20时，y 取最小值155k ，此时造价最低． 答： O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 【考点】利用导数研究函数的最值 函数模型的选择与应用【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)过A ，B 分别作MN 的垂线，垂足为A 1，B 1，则AA 1=BB 1=−1800×403+6×40=160. 令140a 2=160，得a =80，所以AO ′=80，AB =AO ′+BO ′=80+40=120(米). 故桥AB 的长度为120米.(2)设O ′E =x ，则CO ′=80−x ， 由{0<x <40，0<80−x <80， 解得：0<x <40， 则总造价y =3k 2[160−140(80−x )2]+k [160−(−1800x 3+6x)] =k 800(x 3−30x 2+160×800)(0<x <40)，则y ′=k800(3x 2−60x )=3k800x (x −20).因为k >0，所以令y ′=0，得x =0或20， 所以当0<x <20时， y ′<0，y 单调递减； 当20<x <40时， y ′>0，y 单调递增，所以，当x =20时，y 取最小值155k ，此时造价最低． 答： O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 【点评】 此题暂无点评 18.【答案】解：(1)由题意知，△AF 1F 2的周长l =2a +2c =6. (2)由椭圆方程得A (1,32)， 设点P (t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t ).令x =a 2c=4，得y Q =6−32t 1−t，即Q(4,12−3t2−2t)，则QP →=(t −4,12−3t 2t−2)，所以OP →⋅QP →=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 即OF →⋅QP →的最小值为−4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1，M 到直线AB 的距离为d 2. 若S 2=3S 1，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3， 即d 2=3d 1.由题意可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0， 所以d 1=35,d 2=95.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点.设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95，所以√9+16=95，即m =−6或12． 当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2). 联立{y =34(x −2),x 24+y 23=1,可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2,y M =0,或{x M =−27,y M =−127,所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4). 联立{y =34(x +4),x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0，Δ=9×(36−56)<0，所以无解． 综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 椭圆中的平面几何问题 直线与椭圆结合的最值问题【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知，△AF 1F 2的周长l =2a +2c =6. (2)由椭圆方程得A (1,32)，设点P (t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t ).令x =a 2c=4，得y Q =6−32t 1−t，即Q(4,12−3t 2−2t)，则QP →=(t −4,12−3t 2t−2)，所以OP →⋅QP →=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 即OF →⋅QP →的最小值为−4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1，M 到直线AB 的距离为d 2. 若S 2=3S 1，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3， 即d 2=3d 1.由题意可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35,d 2=95.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点. 设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95， 所以√9+16=95，即m =−6或12． 当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2). 联立{y =34(x −2),x 24+y 23=1,可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2,y M =0或{x M =−27,y M=−127,所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4).联立{y =34(x +4),x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0，Δ=9×(36−56)<0，所以无解． 综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127). 【点评】 此题暂无点评 19. 【答案】(1)解：由f(x)=g(x)，得x=0,f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图像为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x符合题意.(2)解：ℎ(x)−g(x)=k(x−1−ln x)，设φ(x)=x−1−ln x，则φ′(x)=1−1x =x−1x，可得φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0.令p(x)=f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k) =x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得当x=k+1≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，所以k=−1；当k+1>0时，Δ≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，(k+1)(k−3)≤0，−1<k≤3.综上，k∈[0,3]．(3)证明：因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图像在x=x0处的切线为y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图像在x=t(0<|t|≤√2)处的切线.又因为由函数y=f x的图像可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2].又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0.设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84，所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t4−8)=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ，则λ∈[1,2]，由图像可知n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√φ(λ)max=√7，即n−m≤√7.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题函数与方程的综合运用利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由f(x)=g(x)，得x=0,f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图像为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x符合题意.(2)解：ℎ(x)−g(x)=k(x−1−ln x)，设φ(x)=x−1−ln x，则φ′(x)=1−1x =x−1x，可得φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0.令p(x)=f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k) =x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得当x=k+1≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，所以k=−1；当k+1>0时，Δ≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，(k+1)(k−3)≤0，−1<k≤3.综上，k∈[0,3]．(3)证明：因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图像在x=x0处的切线为y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图像在x=t(0<|t|≤√2)处的切线.又因为当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2].又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0.设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t，，x1x2=3t4−2t2−84所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t4−8)=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ，则λ∈[1,2]，由图像可知n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√φ(λ)max=√7，即n−m≤√7.【点评】此题暂无点评20.【答案】解：(1)k=1时，a n+1=S n+1−S n=λa n+1，由n为任意正整数，且a1=1，a n≠0，可得λ=1.(2)√S n+1−√S n=√3√a n+1，3a n+1=S n+1−S n=√3√a n+1(√S n+1+√S n)，3因此√S n+1+√S n=√3√a n+1，√3a n+1，即√S n+1=23S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 所以S n+1=4S n .又S 1=a 1=1，S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2.综上，a n ={1，n =1，3⋅4n−2，n ≥2.(n ∈N ∗) (3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n ). 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0， 令p n =(S n+1S n )13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0可得p n =1，则S n+1=S n ，即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }； λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n 2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，Δ=(1−t)2−4<0，p n 2+(1−t)p n +1=0无解，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ③t =3时，(p n −1)3=0， 则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ④t >3即0<λ<1时，Δ=(1−t)2−4>0， p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β. 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0， 则0<α<1<β， 则对任意n ∈N ∗，S n+1S n =1或S n+1S n =α3或S n+1S n =β3，此时S n =1，S n ={1，n =1，α3，n ≥2，S n ={1,n =1,2β3，n ≥3均符合条件， 对应a n ={1,n =1,0,n ≥2，a n ={1,n =1,α3−1,n =2,0,n ≥3，a n ={1,n =1,β3−1,n =3,0,n =2,n ≥4,则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0. 综上，0<λ<1.【考点】数列递推式一元二次方程的根的分布与系数的关系 等比数列的通项公式等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)k =1时，a n+1=S n+1−S n =λa n+1， 由n 为任意正整数，且a 1=1，a n ≠0， 可得λ=1.(2)√S n+1−√S n =√33√a n+1， a n+1=S n+1−S n =√33√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√S n+1+√S n =√3√a n+1， 即√S n+1=23√3a n+1， S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 所以S n+1=4S n .又S 1=a 1=1，S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2.综上，a n ={1，n =1，3⋅4n−2，n ≥2.(n ∈N ∗) (3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n ). 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0， 令p n =(S n+1S n )13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0可得p n =1，则S n+1=S n ，即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }； λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n 2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，Δ=(1−t)2−4<0，p n 2+(1−t)p n +1=0无解，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ③t =3时，(p n −1)3=0， 则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；④t >3即0<λ<1时，Δ=(1−t)2−4>0， p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β. 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0， 则0<α<1<β，则对任意n ∈N ∗，S n+1S n =1或S n+1S n =α3或S n+1S n =β3，此时S n =1，S n ={1，n =1，α3，n ≥2，S n ={1,n =1,2β3，n ≥3均符合条件， 对应a n ={1,n =1,0,n ≥2，a n ={1,n =1,α3−1,n =2,0,n ≥3，a n ={1,n =1,β3−1,n =3,0,n =2,n ≥4,则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0. 综上，0<λ<1.【点评】此题暂无点评。

2020年江苏省高考数学试卷（含详细解析）

2020年江苏省高考数学试卷（含详细解析）

保密★启用前2020年江苏省高考数学试卷—.■总分得分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分1.已知集合A=(—l,0,l,2},g=(0,2,3},则AC\B=.2.己知i是虚数单位，则复数Z=(l+i)(2-i)的实部.3.己知一组数据4.2劣3—",5,6的平均数为4,则。

的值是______.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______.5.如图是一个算法流程图.若输出)'的值为-2,则输入.1的值是•6.在平而直角坐标系X。

)，中，若双曲线竺-22=l(a>0)的一条渐近线方程为y=2^/52 x,则该双曲线的离心率是—・7.己知.汽心)是奇函数，当官时，门刁=指，则直罚的值是8.已知sin'U+a)=二.则sin2tz的值是____.439.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.己知螺帽的底面正六边形边长为2cm.高为2cm.内孔半轻为0.5cm.则此六角螺帽右坯的体枳是—cm.10,将函数y=3sin(2wf)的图象向右平移兰个单位长度，则平移后的图象中与y轴最46近的对称轴的方程是—.11.设｛叫｝是公差为，的等差数列，(加J是公比为g的等比数列.已知数列｛”〃+“｝的前〃项和/一〃+2〃一1(〃£FT),则d+q的值是12.已知5亍八寸=1(矽苗),则J2的最小值是________.13.在△ABC中，仙=4AC=3,ZBAC=90°,D在边8C上，延长AO到F,使得AP=9.14.在平而直角坐标系xOy中.己知,0),1△是圆G”+。

-或)・=36上的两个动点，满足PA=PB，则△用8而积的最大值是二、解答题评卷人得分15.在三棱柱ABC-A\B\C｝中，AB1AC.&C1平而ABC,E,F分别是AC,3C的中点......O...........O.....I-.....O.....滨......O............O ※※寒※※即※※田※※s?I※※II※※堞※※I※※群※※点※※军浓※（1）求证：段〃平而/IF i C i：（2）求证：平面AB.CL平而ABB,.16.在△ABC中,角A. B.C的对边分别为〃，b,c,己知”=3.c=JI b=45Q.1）⑴求sinC的值:4（2）在边8C上取一点。

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若
PA
mPB
(
3
m)PC
（m
为常数），则
CD
的长度是________．
2
【答案】 18
5
【解析】∵ A, D, P 三点共线,∴可设 PA PD 0 ,
∵
PA
mPB
3 2
m
PC
，
∴
PD
mPB
3 2
m
PC
，即
PD
m
PB
3 2
m
PC
，
若 m 0 且 m 3 ，则 B, D,C 三点共线，
2.已知 i 是虚数单位，则复数 z (1 i)(2 i) 的实部是_____.
【答案】3
【解析】∵复数 z 1 i2 i ,∴ z 2 i 2i i2 3 i
∴复数的实部为 3.故答案为 3.
3.已知一组数据 4, 2a,3 a,5,6 的平均数为 4，则 a 的值是_____.
【解析】 y 3sin[2(x ) ] 3sin(2x )
64
12
令 2x k (k Z ) ,得 x 7 k (k Z )
12 2
24 2
2020 年高考数学江苏卷 第 2 页,共 12 页
当 k 1时 x 5 ,故答案为 x 5 .
24
24
11.设an 是公差为 d 的等差数列， bn 是公比为 q 的等比数列．已知数列 an bn 的前 n
5 ；（2） tan DAC 2 .
5
11
【解析】（1）由余弦定理得
b2 a2 c2 2ac cos B 9 2 2 3 2 2 5 ，所以 b 5 . 2
由正弦定理得 c b . sin C sin B
∴ sin C c si
ADC
4 5
，
项和 Sn n2 n 2n 1(n N ) ，则 d q 的值是_______．
【答案】 4
【解析】设等差数列an 的公差为 d ,等比数列 bn 的公比为 q ，则根据题意知 q 1.
等差数列 an 的前 n 项和公式为 Pn
na1
nn 1
d 2
d n2 2
a1
d 2
n
，
等比数列bn 的前
∴ EF //AB1 .
2020 年高考数学江苏卷 第 4 页,共 12 页
由于 EF 平面 AB1C1 , AB1 平面 AB1C1 ，所以 EF // 平面 AB1C1 . （2）∵ B1C 平面 ABC ， AB Ì平面 ABC ， ∴ B1C AB .
∵ AB AC, AC B1C C ， ∴ AB 平面 AB1C ,
柱体的体积V Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．
置．上．． 1.已知集合 A {1,0,1, 2}, B {0, 2,3} ，则 A B _____.
【答案】0, 2
【解析】∵ A 1,0,1, 2 , B 0, 2,3 ，∴ A I B 0,2 .
【答案】2 【解析】∵数据 4, 2a,3 a,5,6 的平均数为 4
∴ 4 2a 3 a 5 6 20 ，即 a 2 . 4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是 _____. 【答案】 1
9 【解析】根据题意可得基本事件数总为 6 6 36 个.
MN
的距离
h1
(米)与
D
到
OO
的距离
a(米)之间满足关系式
h1
1 40
a2
；右侧曲线
BO
上任一
2020 年高考数学江苏卷 第 5 页,共 12 页
点
F
到
MN
的距离
h2
(米)与
F
到 OO 的距离
b(米)之间满足关系式
h2
1 800
b3
6b
.已知点
B
到 OO 的距离为 40 米.
（1）求桥 AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 OO 的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为
点数和为 5 的基本事件有 1, 4 , 4,1 , 2,3 , 3,2 共 4 个.
∴出现向上的点数和为 5 的概率为 P 4 1 . 36 9
5.如图是一个算法流程图,若输出 y 的值为 2 ,则输入 x 的值是
_____.
【答案】 3
【解析】由于 2x 0 ，所以 y x 1 2 ，解得 x 3 .
PA
12
,不合题意，舍去.
2
2
14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P( 3 ，0) ， A, B 是圆 C： x2 ( y 1 )2 36 上的两个动
2
2
点，满足 PA PB ，则△PAB 面积的最大值是__________．
【答案】10 5 【解析】∵ PA PB ,∴ PC AB ，
40
800
∴ | OA | 80 ，∴ |AB || OA | | OB | 80 40 120 米
（2）设总造价为 f (x) 万元， | OO | 1 802 160 ，设 | OE | x ， 40
f (x) k(160 1 x3 6x) 3 k[160 1 (80 x)2 ],(0 x 40)
∵ AB Ì平面 ABB1 ，
∴平面 AB1C 平面 ABB1 .
16.在△ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 a 3,c 2, B 45 ．
（1）求 sin C 的值；
（2）在边
BC
上取一点
D，使得
cos
ADC
4 5
，
求 tan DAC 的值．
【答案】（1） sin C
ADC
2
,
，
∴ sin ADC 1 cos2 ADC 3 . 5
∵
ADC
2
,
，∴
C
0,
2
，∴
cos
C
1 sin 2 C 2 5 .
5
∴ sin DAC sin DAC sin ADC C
sin
ADC
cos
C
cos
ADC
sin
C
3 5
2
5 5
4 5
52 5. 5 25
6.在平面直角坐标系
xOy
中，若双曲线
x2 a2
y2 5
1a
0 的一条渐近
2020 年高考数学江苏卷 第 1 页,共 12 页
线方程为 y 5 x ，则该双曲线的离心率是____. 2
【答案】 3 2
【解析】∵双曲线
x2 a2
y2 5
1，∴ b
5.
由于双曲线的一条渐近线方程为 y 5 x ，即 b 5 a 2 ，
【答案】12 3 2
【解析】正六棱柱体积为 6
3 22 2=12 4
3
,圆柱体积为
(
1 2
)2
2
2
∴所求几何体体积为12 3 . 2
10.将函数 y 3sin(2x﹢π ) 的图象向右平移 π 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的
4
6
对称轴的方程是____.
【答案】 x 5 24
800
2
40
∴ f (x) k(160 1 x3 3 x2 ) ,∴ f (x) k( 3 x 2 6 x) 0 ,
800 80
800 80
∴ x 0 (舍去)或 x 20 .
又∵当 0 x 20 时， f (x) 0 ；当 20 x 40 时， f (x) 0 ， ∴当 x = 20 时， f (x) 取最小值，
2
a2
∴c
a2 b2
4
5
3 ，∴双曲线的离心率为
c a
3 2
.
2
7.已知 y f x 是奇函数，当 x 0 时 f x x3 ,则 f 8 的值是____.
【答案】 4
2
【解析】 f (8) 83 4 ,∵ f (x) 为奇函数，∴ f (8) f (8) 4 .
8.已知 sin2 ( ) = 2 ，则 sin 2 的值是____.
【答案】 4 5
【解析】∵
5x2
y2
y4
1，∴
y
0
且
x2
1 y4 5y2
∴
x2
y2
1 y4 5y2
y2
1 5y2
+
4y2 5
2
1 4y2 4 ， 5y2 5 5
当且仅当
1 5y2
4y2 5
，即
x2
3 , y2 10
1 2
时取等号.∴ x2
y2 的最小值为
4 5
.
13.在△ABC 中， AB 4，AC 3，∠BAC=90，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，
4
3
【答案】 1 3
【解析】∵ sin2 ( ) ( 2 cos 2 sin )2 1 (1 sin 2) ，
4
2
2
2
∴ 1 (1 sin 2 ) 2 ,∴ sin 2 1 .
2
3
3
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形
边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.
∴ d 4 （负值舍去）
当 0 d 4 时， y 0 ；当 4 d 6 时， y 0 ，
∴当 d 4 时， y 取最大值，即 SPAB 取最大值为10 5 ，
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