二次函数典型例题及练习题

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二次函数

专题一：二次函数的图象与性质

考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标

例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5

y x

=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．

（1）求m 、c 的值；

（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.

考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系

例2 已知2

y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限

考点3.二次函数的平移

例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一

1.对于抛物线y=13-x 2+

103x 163

-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4

D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）

3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移 2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.

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4.小明从图2所示的二次函数2

y ax bx c =++的图象中，观察得出了

下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；

⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号） 5.函数Y=X 2

+2X-3(-2≦X ≦2)的最大值和最小值分别是_______. 6．已知二次函数y=-x 2

+bx-8的最大值为8，则b 的值为_______. 7、已知函数y=

2

1x 2

-x-12，当函数y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是_______ 专题二：二次函数表达式的确定

考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式

例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙

的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2

）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．

考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式

1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；

2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）

2+k （a ≠0）；

3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.

例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标. 专项练习二

1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）

图2

2- 1- 0

1

2 y x

1

3

x = A

B

C

D

图1

菜园

墙

A.y=2a （x-1）

B.y=2a （1-x ）

C.y=a （1-x 2）

D.y=a （1-x ）2 专题三：二次函数与一元二次方程的关系

考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围

一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.

例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）

Ａ．6 6.17x <<

Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<

Ｄ．6.19 6.20x <<

考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.

二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.

例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0

的解为________.

练习：已知抛物线y=

12x 2+x-52

． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．

考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况

例3 在平面直角坐标系中，抛物线2

1y x =-与

x 轴的交点的个数是（ ） A.3

B.2

C.1

D.0

专项练习三

1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k

的取值范围是________. 2.已知二次函数2

2y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次

方程2

20x x m -++=的解为 ．

图2

图1