概率论与数理统计第五讲

(1998MBA试题)5人以摸彩方式决定谁得1 张电影票. 今设Ai表示第i人摸到(i=1,2,3,4,5), 则下列结果中有1个不正确, 它是( )
1 ( A) P( A3 | A1 A2 ) 3 1 (C ) P( A1 A2 ) 4 3 ( E ) P( A1 A2 ) 5
1 ( B) P( A1 A2 ) 5 1 ( D) P( A5 ) 5
(1998MBA试题) 甲乙两选手进行乒乓球单打 比赛, 甲发球成功后, 乙回球失误的概率为0.3, 若乙回球成功, 甲回球失误的概率为0.4, 若甲 回球成功, 乙再回球时失误的概率为0.5, 试计 算这几个回合中, 乙输掉一分的概率. 解 设Ai为甲在第i回合发(回)球成功的事件, Bi 为乙在第i回合回球成功的事件(i=1,2), A为 两个回合中乙输掉一分的事件, 则
概率论与数理统计
第五讲
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上一次作业的问题 主要是许多人仍然没有按照标准格式解题. 问题是没有假设事件或者假设事件的概率, 正式解题的时候必须先作假设, 即按下面两种 格式之一: 假设事件A为…, 或者写成假设概率P(A)为… 的概率. 有的自己发明符号, 如P(1)=…等, 甚至还有 P=…这样的写法.
例4 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签(不放 回), 甲先, 乙次, 丙最后, 求甲抽到难签, 甲,乙 都抽到难签, 甲没抽到难签而乙抽到难签以及 甲,乙,丙都抽到难签的概率. 解 设事件A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签
m 4 P ( A) n 10 4 3 12 P ( AB) P ( A) P ( B | A) 10 9 90 6 4 24 P( A B) P( A ) P( B | A ) 10 9 90 P ( ABC ) P ( A) P ( B | A) P (C | AB) 4 3 2 24 10 9 8 720
条件概率与乘法法则
先看1.3中的例1 100个产品中有60个一等品, 30个二等品, 10个 废品. 规定一,二等品都是合格品. 试验: 从100个产品中任抽一个 假设: A,B为抽到的为一,二等品, C为抽到的是 合格品, 则C=A+B 则一等品率为P(A)=60/100, 二等品率为 P(B)=30/100. 合格率为P(C)=90/100 如果改变试验为: 从合格品中任抽一件, 则合 格品中的一等品率为P(A|C)=60/90.
定义1.3 在事件B已经发生的条件下, 事件A发生的概 率, 称为事件A在给定B下的条件概率, 简称 为A对B的条件概率, 记作P(A|B). 相应地, 把 P(A)称为无条件概率. 这里, 只研究作为条 件的事件B具有正概率即P(B)>0的情况.
对于条件概率,有控制论和信息论的两种观点 控制论的观点又分两种, 一种是通过控制来改 变试验条件, 从而改变某事件的概率. 例如上例中将试验改变为从合格品中任抽一 件, 则一等品率发生的概率即发生改变. 另一种是在试验结果中将某事件C发生的结 果保留, 将其它的试验结果剔除, 然后再统 计某事件A发生的概率P(A|C) 例如, 将上面的试验重复1000次, 如果合格品 事件出现了900次, 其中在这900次中一等品 出现了600次, 则这时的一等品率为 P(A|C)=600/900=2/3.
n A , m 4A ,
3 10 2 9
m 4A 498 4 则 P( A) n A 10 9 8 10
2 9 3 10
用这种思路可以知道P(B)和P(C)也都是4/10
事件上, 即使这十张难签由10个人抽去, 因为 其中有4张难签, 因此每个人抽到难签的概率 都是4/10, 与他抽的次序无关. 正如十万张彩票如果只有10个特等奖, 则被十 万个人抽去, 无论次序如何, 每个人的中奖 概率都是十万分之十, 即万分之一. 这在概率论中叫抽签原理. 这类问题经常在研究生的入学考试题中出现, 如果知道, 就能够很快回答, 否则就有可能 出错.
P( A) 70% P( B | A) 95%
P( A ) 30% P( B | A ) 80%
P( B | A) 5% P( B | A ) 20%
注: 在解题过程中常见的错误是将条件概 率写成无条件概率!
例2 全年级100名学生中, 有男生(以事件A表 示)80人, 女生20人, 来自北京的(以事件B表 示)有20人, 其中男生12人,女生8人,免修英语 的(用事件C表示)40人中有32名男生,8名女生, 则有P(A)=80/100=0.8 P(B)=20/100=0.2 P(B|A)=12/80=0.15 P(A|B)=12/20=0.6 P(AB)=12/100=0.12 P(C)=40/100=0.4 P(C | A) 32 / 80 P( A | B ) 12 / 80 0.15 P( AC ) 32 / 100 0.32 P( AB) P( AB) 可以看出P( B | A) , P( A | B) P( A) P( B)
条件概率意味着样本空间的压缩 或者可以认为是基本事件的减少而导致的试 验. 以事件B为条件的条件概率, 意味着在试 验中将B提升为必然事件.

B
B

例1 市场上供应的灯泡中, 甲厂的产品占70%, 乙厂占30%, 甲厂产品的合格率是95%, 乙厂 的合格率是80%, 若用事件A,A分别表示甲乙 两厂的产品, B表示产品为合格品, 试写出有 关事件的概率和条件概率 解 依题意
例如 (1993年考研题,3分) 一批产品有10个正品和2 个次品, 任意抽取两次, 每次抽一个, 抽出后 不放回, 则第二次抽出的是次品的概率为 ____. 因产品总数是12, 次品数是2, 因此答案是2/12. (1997年考研题,3分)袋中有50个乒乓球, 其中 20个是黄球, 30个是白球. 今有两人依次随 机地从袋中各取一球, 取后不放回, 则第2个 人取得黄球的概率是____. 因共有50个乒乓球, 20个黄球, 因此答案是2/5.
因此, 在概率论中把某一事件B在给定另一 事件A(P(A)>0)下的条件概率P(B|A)定义为
P( AB) P( B | A) P( A)
乘法法则 两个事件A,B之交的概率等于其中 任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一 个事件在已知前一个事件发生下的条件概率, 即 P(AB)=P(A)P(B|A) (若P(A)>0) P(AB)=P(B)P(A|B) (若P(B)>0)
P( A1 ) 1, P( B1 | A1 ) 0.3, P( A2 | A1 B1 ) 0.4 P( B2 | A1 B1 A2 ) 0.5 而 A A1 B1 A1 B1 A2 B2
则因
A1 B1与A1 B1 A2 B2互斥, P( A) P( A1 B1 A1 B1 A2 B2 ) P( A1 B1 ) P( A1 B1 A2 B2 ) P( A1 ) P( B1 | A1 ) P( A1 ) P( B1 | A1 ) P( A2 | A1 B1 ) P( B2 | A1 B1 A2 ) 1 0.3 1 0.7 0.6 0.5 0.51
无论是两个事件的乘法公式还是多个事件 的乘法公式都是非常重要的, 需要在解题前 背下来, 它们可以用来解许多概率论的较难 的题 在通常的情况下, 一事件A条件下的对另一事 件B的条件概率P(A|B)通常是好算的, 而两事 件的积的概率P(AB)往往是不好算的. 这是因为条件概率是在条件受控情况下的概 率, 能够在一个较"小"的样本空间中讨论问 题, 相对容易一些.
再回到例1 市场上供应的灯泡中, 甲厂产品(A) 占70%, 乙厂(A)占30%, 甲厂产品合格率是 95%, 乙厂合格率是80%, B表示产品为合格品 解 依题意
P( A) 70%
P( A ) 30%
P( B | A) 95%
P( B | A ) 80%
P( B | A) 5% P( B | A ) 20% 则P( AB) P( A) P( B | A) 0.7 0.95 0.665 P( A B) P( A ) P( B | A ) 0.3 0.8 0.24 P( A B ) P( A ) P( B | A ) 0.3 0.2 0.06
解 摸彩即是做5张彩票, 其中1张写"有", 其 余4张写"无".则P(A3|A1A2)是指在前两个人没 有抽到条件下第3个人抽到的事件, 则第3个 人抽时只有三张彩票, 则抽中的条件概率当 然是1/3. 因此选项(A)正确. 此外, 每个人抽 中的无条件概率显然是1/5, 因此选项(D)正 确. 选项(B)和(E)可由乘法法则求得为 4 1 1 P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) 5 4 5 4 3 3 P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) 5 4 5 因此选项(C)不正确, 答案为(C)
这道题也可以用古典概型的办法来做, 因为 关心的是抽签人的次序问题, 因此共有10个 签, 3个人抽签, 基本事件总数n为10个里面 拿出3个来作排列, 而A表示第一个人抽到难 签, 则有利于A的基本事件数m的计算为: 首 先从4个难签中任取一个放在第一个位置, 而剩下的9个签则排列在剩下的两个位置
而信息论的观点涉及到信息传递 这时候可以设置试验场地和信息中心两个地 方, 在试验场地的试验员将试验的部分或者 全部结果向信息中心的信息员报告.
试验场所
Βιβλιοθήκη Baidu信息中心
拿上一个例来讲 在试验开始前试验员和信息员都知道整个试 验的设计情况, 因此知道合格品率为 P(C)=90/100, 一等品率为P(A)=60. 现在试验员做了一次试验, 但是并没有将全部 试验结果报告给信息员, 只是告诉他"抽到 的是合格品". 则从信息员的角度讲, 他暂时还不知道此产品 是一等品还是二等品, 这个时候他从已经获 得的信息的条件下的一等品率就已经是 P(A|C)=60/90.
相应地, 关于n个事件A1,A2,…,An的乘法公式 为: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)… …P(An|A1A2…An-1) 在证明此式时, 首先将事件A1A2…An分为两个 事件A1和A2…An然后套用乘法公式得 P(A1A2…An)=P(A1) P(A2…An|A1) 然后再将P(A2…An|A1)中的A2…An分为两个事 件A2和A3…An, 这样依此类推就能够得到上 式.
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作业
习题一 第27页 第18,19,20题