二中期中试卷
2023-2024学年河北省石家庄二中教育集团高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省石家庄二中教育集团高一（上）期中数学试卷一、单选题。
（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，1，2，3），B ={x|2x−2≤1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{3}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2}D ．{﹣1，1，2，3}2．已知函数y ＝f （x ）的定义域为[0，3]，则函数y ＝f （x 2﹣1）的定义域为（ ） A ．[0，3]B ．[﹣1，8]C ．[1，2]D ．[﹣2，﹣1]∪[1，2]3．“a ＞5”是“函数f （x ）＝（a ﹣2）x 2﹣2x 在（2，+∞）上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f （x ）＝ax 5+bx 3+1（a ，b ∈R ）．若f （2）＝5，则f （﹣2）＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．﹣35．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且函数f （x +2）是偶函数，则（ ） A ．4a ﹣b ＝0B ．4a +b ＝0C ．a ﹣b ＝0D ．a +b ＝06．已知函数f （x ）={x 2−2ax +4，x ≤1a x ，x ＞1是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1≤a ≤53D ．2≤a ＜37．已知函数f （x ）是定义在[1﹣2m ，m +1]上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0，m +1]，当x 1≠x 2时，[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＜0，则不等式f （1﹣x ）≤f （x ）的解集是（ ） A ．[﹣3，12]B ．[﹣2，3]C ．[﹣2，12]D ．（﹣∞，12]8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且函数f （x ）在定义域内单调递增，若f （x 2+x ﹣3）+f （m ﹣mx ）＞0对所有的x ∈（2，3）均成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−∞，92]B ．（﹣∞，3]C ．（﹣∞，4]D ．（﹣∞，3）二、多选题。
2023-2024学年山东省青岛二中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛二中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，2）C．{0，1}D．{0，1，2}2．已知命题p：∃m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0有解，则￢p为（）A．∀m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0无解B．∀m≤0，方程mx2+x﹣2m＝0有解C．∃m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0无解D．∃m≤0，方程mx2+x﹣2m＝0有解3．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{1，2，3}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A．B．C．D．4．在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx幂函数y=x ba（x＞0）图象的关系可能为（）A．B．C．D．5．若函数f（2x+1）的定义域为[−32，−1]，则y=f(1x)x+1的定义域为（）A．(−1，−23]B．[−1，−23]C．[−1，−12]D．(−1，−12]6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砥智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若b ＞a ＞0，m ＜0，则b−m a−m＞baC ．若a ＞b ，1a＞1b，则ab ＞0D ．若a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，则ab ＞ac7．已知定义在R 上的函数f （x ）在[﹣2，+∞）上单调递增，且f （x ﹣2）是偶函数，则满足f （2x ）＜f （x +2）的x 的取值范围为（ ） A ．(23，2) B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣2，2）D ．(−∞，23)∪(2，+∞)8．山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆．在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试．若f （x ）是定义在R 上的奇函数，对于任意给定的不等正实数x 1，x 2，不等式[f(x 1)]20232025−[f(x 2)]20232025x 1811−x 2811＜0恒成立，且f （﹣4）＝0，设g （x ）＝[f(x−2)x+2]1925为“立冬函数”，则满足“立冬函数”g （x ）≥0的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2）∪[6，+∞） B ．（﹣2，0）∪（2，6] C ．（﹣∞，﹣2]∪[0，2]D ．[2，6]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列各组函数中，不能表示同一函数的是（ ） A ．f(x)=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−1B ．f （x ）＝x 2，g(x)=√x 63C ．f(x)=x 2−1x−1，g （x ）＝x ﹣1D ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)210．对任意两个实数a ，b ，定义min {a ，b }={a ，a ≤bb ，a ＞b ，若f （x ）＝2﹣x 2，g （x ）＝|x |，下列关于函数F（x ）＝min {f （x ），g （x ）}的说法正确的是（ ） A ．函数F （x ）是偶函数B ．方程F （x ）＝0有三个解C ．函数F （x ）在区间[﹣1，1]上单调递增D ．函数F （x ）有4个单调区间 11．关于函数f(x)=√4x 2−x 4|x−2|−2性质描述，正确的是（ ）A ．f （x ）的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]B ．f （x ）的值域为[﹣1，1]C ．f （x +1）+1的图象关于（﹣1，1）对称D ．f （x ）在定义域上是增函数12．已知a ≥0，b ＞0，则下列结论正确的是（ ） A ．若a +b ＝ab ，a +4b 的最小值为9 B ．若a +b ＝1，2a +2b +1的最小值为4 C ．若a +b ＝ab ，1a 2+2b2的最小值为23D ．若a +b ＝1，2a a+b 2+ba 2+b 的最大值为2√33+1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设函数f(x)={2x −1，x ≥01x，x ＜0，若f(a)=−14，则实数a ＝ ．14．设集合A ＝{x |x +m ≥0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，全集U ＝R ，且（∁U A ）∩B ≠∅，则实数m 的取值范围为 ．15．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合B ={x|x 2−5x−32−x ＜1，x ∈N ∗}，则A ∩B 的非空子集个数为 ．16．已知x ＞4，y ≥4，且x +4y ﹣xy ＝0，若不等式x ﹣y +6≤a ≤x +y ﹣1恒成立，则a 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x+3x−1≤0}，B ＝{x |x 2﹣mx ﹣2m 2≤0，m ＞0}．（1）当m ＝2时，求A ∩B 和∁R B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件，这样的实数m 是否存在？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．18．（12分）设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）． （1）证明f （x ）是奇函数；（2）关于x 的不等式f （x 2）﹣2f （x ）＜f （ax ）﹣2f （a ）的解集中恰有3个正整数，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知a ∈R ，f （x ）＝ax 2+2x ﹣3．（1）关于x 的方程f （x ）＝0有两个正根，求实数a 的取值范围； （2）解不等式f （x ）＞0．20．（12分）新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本p （x ）万元，当产量不足40万箱时，p （x ）＝x 2+100x ；当产量不小于40万箱时，p(x)=161x +4900x−1100，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（销售利润＝销售总价﹣固定成本﹣生产成本）（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 21．（12分）已知幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m2−32m+12是其定义域上的增函数．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若函数g(x)=x +a ⋅√f(x)3，x ∈[1，9]，是否存在实数a 使得g （x ）的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 22．（12分）已知函数f(x)=ax+b1+x 2为定义在R 上的奇函数． （1）求实数b 的值；（2）当a ＞0时，用单调性定义判断函数f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性；（3）当a ＝1时，设g （x ）＝mx 2﹣2x +2﹣m ，若对任意的x 1∈[1，3]，总存在x 2∈[0，1]，使得f(x 1)+12=g(x 2)成立，求m 的取值范围．2023-2024学年山东省青岛二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，2）C．{0，1}D．{0，1，2}解：集合A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：D．2．已知命题p：∃m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0有解，则￢p为（）A．∀m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0无解B．∀m≤0，方程mx2+x﹣2m＝0有解C．∃m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0无解D．∃m≤0，方程mx2+x﹣2m＝0有解解：因为特称命题的否定是全称命题，所以￢p为：∀m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0无解．故选：A．3．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{1，2，3}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A．B．C．D．解：A项，集合M中的元素2对应1和3，不符合唯一对应，不是函数；B项，集合M中的元素3在集合N中没有元素与其对应，不是函数；C项，应为从集合N到集合M的函数，不符；D项，符合函数概念，是函数．故选：D．4．在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx幂函数y=x ba（x＞0）图象的关系可能为（）A．B．C．D．解：根据题意，依次分析选项：对于A，二次函数y＝ax2+bx开口向上，则a＞0，其对称轴为x=−b2a＞0，幂函数y=x ba中，ba＜0，为减函数，符合题意，对于B，二次函数y＝ax2+bx开口向下，则a＜0，其对称轴为x=−b2a＞0，幂函数y=x ba中，ba＜0，为减函数，不符合题意，对于C，二次函数y＝ax2+bx开口向上，则a＞0，其对称轴为x=−b2a=−1，幂函数y=x ba中，ba=2，为增函数，且其增加越来越快，不符合题意，对于D，二次函数y＝ax2+bx开口向下，则a＜0，其对称轴为x=−b2a＞−12，幂函数y=x ba中，0＜ba＜1，为增函数，且其增加越来越慢，不符合题意，故选：A．5．若函数f（2x+1）的定义域为[−32，−1]，则y=f(1x)x+1的定义域为（）A．(−1，−23]B．[−1，−23]C．[−1，−12]D．(−1，−12]解：−32≤x≤−1，则﹣2≤x≤﹣1，则y=f(1x)√x+1，则{−2≤1x≤−1x+1＞0，解得﹣1＜x≤−12．故选：D．6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砥智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若b＞a＞0，m＜0，则b−ma−m＞baC ．若a ＞b ，1a ＞1b，则ab ＞0 D ．若a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，则ab ＞ac解：当c ＝0时，A 显然错误；若b ＞a ＞0，m ＜0，则b ﹣a ＞0，m （b ﹣a ）＜0，a ﹣m ＞0， 则b−m a−m−b a =(b−a)m a(a−m)＜0，即b−ma−m＜ba，B 错误；若a ＞b ，1a ＞1b ，则1a−1b=b−a ba＞0，所以ab ＜0，C 错误；若a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，则a ＞0，c ＜0，b 无法确定正负， 故ac ＞bc ，D 正确． 故选：D ．7．已知定义在R 上的函数f （x ）在[﹣2，+∞）上单调递增，且f （x ﹣2）是偶函数，则满足f （2x ）＜f （x +2）的x 的取值范围为（ ） A ．(23，2) B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣2，2）D ．(−∞，23)∪(2，+∞)解：因为f （x ﹣2）是偶函数， 故f （x ）的图象关于x ＝﹣2对称，因为定义在R 上的函数f （x ）在[﹣2，+∞）上单调递增， 所以f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递减， 由f （2x ）＜f （x +2）可得|2x +2|＜|x +2+2|， 解得﹣2＜x ＜2． 故选：C ．8．山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆．在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试．若f （x ）是定义在R 上的奇函数，对于任意给定的不等正实数x 1，x 2，不等式[f(x 1)]20232025−[f(x 2)]20232025x 1811−x 2811＜0恒成立，且f （﹣4）＝0，设g （x ）＝[f(x−2)x+2]1925为“立冬函数”，则满足“立冬函数”g （x ）≥0的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2）∪[6，+∞） B ．（﹣2，0）∪（2，6] C ．（﹣∞，﹣2]∪[0，2]D ．[2，6]解：对于任意给定的不等正实数x 1，x 2，不等式[f(x 1)]20232025−[f(x 2)]20232025x 1811−x 2811＜0恒成立，可得0＜x 1＜x 2，可得f （x 1）＞f （x 2），即f （x ）在（0，+∞）递减，由f （x ）为奇函数，可得f （0）＝0，f （x ）在（﹣∞，0）递减，由f （﹣4）＝﹣f （4）＝0， 可得当﹣4＜x ＜0，或x ＞4时，f （x ）＜0；当x ＜﹣4，或0＜x ＜4时，f （x ）＞0． 由g （x ）＝[f(x−2)x+2]1925≥0，即为f(x−2)x+2≥0， 等价为{x +2＞0f(x −2)≥0，或{x +2＜0f(x −2)≤0，即有{x ＞−2x −2≤−4，或0≤x −2≤4，或{x +2＜0x −2≥4，或−4≤x −2≤0，解得2≤x ≤6，或x ∈∅，综上可得，所求x 的取值范围是[2，6]． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列各组函数中，不能表示同一函数的是（ ） A ．f(x)=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−1B ．f （x ）＝x 2，g(x)=√x 63C ．f(x)=x 2−1x−1，g （x ）＝x ﹣1 D ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f （x ）的定义域为{x |x ＞1}，g （x ）的定义域为{x |x ＞1或x ＜﹣1}，两个函数不是同一个函数；对于B ，f （x ）＝x 2，g （x ）=√x 63=x 2，两个函数定义域都是R ，解析式相同，是同一个函数；对于C ，f （x ）的定义域为{x |x ≠1}，g （x ）的定义域为R ，两个函数不是同一个函数； 对于D ，f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为[0，+∞），两个函数不是同一个函数． 故选：ACD ．10．对任意两个实数a ，b ，定义min {a ，b }={a ，a ≤b b ，a ＞b ，若f （x ）＝2﹣x 2，g （x ）＝|x |，下列关于函数F（x ）＝min {f （x ），g （x ）}的说法正确的是（ ） A ．函数F （x ）是偶函数B ．方程F （x ）＝0有三个解C ．函数F （x ）在区间[﹣1，1]上单调递增D ．函数F （x ）有4个单调区间解：令|x |﹣（2﹣x 2）＝x 2+|x |﹣2＝（|x |+2）（|x |﹣1）＜0， 解得﹣1＜x ＜1，所以当﹣1＜x ＜1时，|x |＜2﹣x 2；当x ≤﹣1或x ≥1时，|x |≥2﹣x 2；所以F （x ）＝min {f （x ），g （x ）}={2−x 2，x ≤−1−x ，−1＜x ≤0x ，0＜x ＜12−x 2，x ≥1，作出函数y ＝F （x ）的图象，如图所示：对于A ，由图象可得关于y 轴对称，所以F （x ）为偶函数，故正确；对于B ，因为y ＝F （x ）的图象与x 轴有3个交点，所以方程F （x ）＝0有三个解，故正确； 对于C ，由图象可知函数F （x ）在[﹣1，1]上不单调递增，故错误；对于D ，由图象可知函数F （x ）在（﹣∞，﹣1]和[0，1]上单调递增，在（﹣1，0）和（1，+∞）上单调递减，所以函数F （x ）有4个单调区间，故正确． 故选：ABD ． 11．关于函数f(x)=√4x 2−x 4|x−2|−2性质描述，正确的是（ ）A ．f （x ）的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]B ．f （x ）的值域为[﹣1，1]C ．f （x +1）+1的图象关于（﹣1，1）对称D ．f （x ）在定义域上是增函数解：由题意得4x 2﹣x 4≥0，解得﹣2≤x ≤2， 又|x ﹣2|﹣2≠0，则x ≠0且x ≠4， 故﹣2≤x ≤2且x ≠0，A 正确； 此时f(x)=√4x 2−x 4|x−2|−2=√4x 2−x 4x，当0＜x ≤2时，f （x ）=√4x 2−x 4x=√4−x 2∈[0，2），B 显然错误；因为f （x ）=√4x 2−x 4x，所以f （﹣x ）=−√4x 2−x 4x=−f （x ），即f （x ）为奇函数，图象关于（0，0）对称，所以f （x +1）+1的图象关于（﹣1，1）对称，C 正确； f （x ）=√4−x 2在[0，2）上单调递减，D 显然错误． 故选：AC ．12．已知a ≥0，b ＞0，则下列结论正确的是（ ） A ．若a +b ＝ab ，a +4b 的最小值为9 B ．若a +b ＝1，2a +2b +1的最小值为4 C ．若a +b ＝ab ，1a 2+2b2的最小值为23D ．若a +b ＝1，2a a+b 2+b a 2+b 的最大值为2√33+1 解：对于A ，由a +b ＝ab ，得1a+1b=1，所以a +4b ＝（a +4b ）(1a +1b )=5+4ba +ab ≥5+2√4b a ⋅ab =9，当且仅当4a b=ba，即b ＝2a 时等号成立，故A 正确；对于B ，由2a +2b+1≥2√2a+b+1=2√22=4，当且仅当a ＝b +1＝1时等号成立，这与题设矛盾，故B 错误；对于C ，由a +b ＝ab ，可得1a+1b=1，1a 2+2b 2=(1−1b )2+2b 2=3b 2−2b+1，根据0＜1b＜1，可知当1b=13时，即a =32，b =3时，3b 2−2b+1的最小值为3×(13)2−2×13+1=23，故C 正确； 对于D ，2a a+b 2+b a 2+b=2a(a+b)a(a+b)+b 2+b(a+b)a 2+b(a+b)=2a 2+3ab+b 2a 2+ab+b 2=1+a 2+2ab a 2+ab+b 2=1+1+2⋅b a1+b a +(b a)2， 设b a=t ，则2aa+b 2+b a 2+b=1+1+2t 1+t+t 2， 而1+2t 1+t+t 2=1+2t14(1+2t)2+34≤2√14×34(1+2t)=2√33，当且仅当t =√3−12，即b =√3−12a 时，取等号． 所以当b =√3−12a 时，2aa+b 2+b a 2+b取得最大值2√33+1，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设函数f(x)={2x −1，x ≥01x，x ＜0，若f(a)=−14，则实数a ＝ ﹣4或38．解：函数f(x)={2x −1，x ≥01x，x ＜0，当a ＜0时，1a=−14，解得a ＝﹣4，当a ≥0时，2a ﹣1=−14，解得a =38， 综上所述，实数a 的值为﹣4或38．故答案为：﹣4或38．14．设集合A ＝{x |x +m ≥0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，全集U ＝R ，且（∁U A ）∩B ≠∅，则实数m 的取值范围为 （﹣∞，1） ．解：集合A ＝{x |x +m ≥0}＝{x |x ≥﹣m }，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，全集U ＝R ， ∴∁U A ＝{x |x ＜﹣m }，∵（∁U A ）∩B ≠∅，∴﹣m ＞﹣1，解得m ＜1， ∴实数m 的取值范围为（﹣∞，1）． 故答案为：（﹣∞，1）．15．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合B ={x|x 2−5x−32−x ＜1，x ∈N ∗}，则A ∩B 的非空子集个数为 31 ．解：依题意，根据“自恋数”的定义可得，所有的一位正整数都是自恋数， 即A ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， 由不等式x 2−5x−32−x＜1可得，(x+1)(x−5)x−2＞0，即（x +1）（x ﹣5）（x ﹣2）＞0， 解得﹣1＜x ＜2或x ＞5，∴B ＝{x |﹣1＜x ＜2或x ＞5，x ∈N *}， ∴A ∩B ＝{1，6，7，8，9}，∴A ∩B 的非空子集个数为25﹣1＝31．故答案为：31．16．已知x ＞4，y ≥4，且x +4y ﹣xy ＝0，若不等式x ﹣y +6≤a ≤x +y ﹣1恒成立，则a 的取值范围为 [223，253] ．解：因为x ＞4，y ≥4，且x +4y ﹣xy ＝0， 所以y =xx−4=1+4x−4， 又因为y ≥4，即1+4x−4≥4，解得4＜x ≤163， 所以x ﹣y +6＝x ﹣（1+4x−4）+6＝x −4x−4+5＝（x ﹣4）−4x−4+9， 令t ＝x ﹣4，则0＜t ≤43，易知y ＝t −4t +9在t ∈（0，+∞）上单调递增，所以当t =43时，y ＝t −4t +9取最大值，且最大值为：43+6=223；x +y ﹣1＝x +1+4x−4−1＝x +4x−4=（x ﹣4）+4x−4+4， 令m ＝x ﹣4，则0＜m ≤43， 由对勾函数的性质可知y ＝m +4m +4在（0，43]上单调递减， 所以当m =43时，y ＝m +4m +4取最小值，且最小值为：43+7=253； 又因为不等式x ﹣y +6≤a ≤x +y ﹣1恒成立， 所以223≤a ≤253．即a 的取值范围为[223，253]．故答案为：[223，253]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x+3x−1≤0}，B ＝{x |x 2﹣mx ﹣2m 2≤0，m ＞0}．（1）当m ＝2时，求A ∩B 和∁R B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件，这样的实数m 是否存在？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 解：（1）由x+3x−1≤0 得﹣3≤x ＜1，故集合A ＝{x |﹣3≤x ＜1}，把m ＝2代入B 得（x +2）（x ﹣4）≤0，解得﹣2≤x ≤4，故集合B ＝{x |﹣2≤x ≤4}， 故A ∩B ＝{x |﹣2≤x ＜1}，∁R B ＝{x |x ＜﹣2或x ＞4}；（2）解（x +m ）（x ﹣2m ）≤0，且m ＞0，则集合B ＝{x |﹣m ≤x ≤2m }， 因为x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件， 所以集合A 是集合B 的真子集， 则{−m ≤−32m ≥1，解得m ≥3， 故实数m 的取值范围是{m |m ≥3}．18．（12分）设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）． （1）证明f （x ）是奇函数；（2）关于x 的不等式f （x 2）﹣2f （x ）＜f （ax ）﹣2f （a ）的解集中恰有3个正整数，求实数a 的取值范围．解：（1）证明：∵对于任意x ，y ∈R 都有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）， 令x ＝y ＝0，则 f （0+0）＝f （0）+f （0），∴f （0）＝0； 再令y ＝﹣x ，则 f （x ）+f （﹣x ）＝f （x ﹣x ）＝f （0）＝0， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），∴函数f （x ） 是奇函数． （2）令y ＝x ，则 f （2x ）＝2f （x ），∴不等式 f （x 2）﹣2f （x ）＜f （ax ）﹣2f （a ） 可化为 f （x 2）+f （2a ）＜f （2x ）+f （ax ）， 即 f （x 2+2a ）＜f （2x +ax ），又函数f （x ）在R 上是增函数， ∴x 2﹣（a +2）x +2a ＜0，即（x ﹣2）（x ﹣a ）＜0 又该不等式的解集中恰有3个正整数，∴5＜a ≤6， 故实数a 的取值范围为（5，6]．19．（12分）已知a ∈R ，f （x ）＝ax 2+2x ﹣3．（1）关于x 的方程f （x ）＝0有两个正根，求实数a 的取值范围； （2）解不等式f （x ）＞0．解：（1）∵方程f （x ）＝0有两个正根，a ≠0， 设两个正根为x 1，x 2，则{Δ≥0x 1+x 2＞0x 1⋅x 2＞0，即{ 4+12a ≥0−2a ＞0−3a ＞0，解得−13≤a ＜0，即实数a 的取值范围是[−13，0）；（2）当a ＝0时，不等式可化为2x ﹣3＞0，x ＞32； 当a ≠0时，设方程ax 2+2x ﹣3＝0的两根为x 1，x 2， 则Δ＝4+12a ，x 1=−1−√1+3a a ，x 2=−1+√1+3aa， 若a ＞0，则Δ＞0，x 1＜x 2，∴x ＜x 1或x ＞x 2， 若a ＜0，（i ）当Δ＞0，即−13＜a ＜0时，x 1＞x 2，所以x 2＜x ＜x 1， （ⅱ）当△≤0，即a ≤−13时，不等式无解． 综上所述，当a ≤−13时，不等式解集为∅； 当−13＜a ＜0时，不等式解集为{x |x 2=−1+√1+3a a ＜x ＜−1−√1+3aa}； 当a ＝0时，不等式解集为{x|x ＞32}； 当a ＞0时，不等式解集为{x|x ＜−1−√1+3a a 或x ＞−1+√1+3aa }． 20．（12分）新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本p （x ）万元，当产量不足40万箱时，p （x ）＝x 2+100x ；当产量不小于40万箱时，p(x)=161x +4900x−1100，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（销售利润＝销售总价﹣固定成本﹣生产成本）（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 解：（1）生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本p （x ）万元， 当产量不足40万箱时，p （x ）＝x 2+100x ； 当产量不小于40万箱时，p(x)=161x +4900x−1100， 当0＜x ＜40时，y ＝160x ﹣（x 2+100x ）﹣400＝﹣x 2+60x ﹣400； 当x ≥40时，y =160x −(161x +4900x −1100)−400=700−(x +4900x)． 所以，y ={−x 2+60x −400，0＜x ＜40700−(x +4900x )，x ≥40． （2）当0＜x ＜40时，y ＝﹣x 2+60x ﹣400＝﹣（x ﹣30）2+500， 当 x ＝30时，y 取得最大值，最大值为500万元；当x ≥40时，y =700−(x +4900x )≤700−2√x ⋅4900x=560， 当且仅当 x =4900x时，即x ＝70时，y 取得最大值，最大值为560万元． 综上，当产量为70万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为560万元． 21．（12分）已知幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m2−32m+12是其定义域上的增函数．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若函数g(x)=x +a ⋅√f(x)3，x ∈[1，9]，是否存在实数a 使得g （x ）的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可知，m 2﹣3m +3＝1，解得m ＝2或m ＝1， 当m ＝2时，f(x)=x 32，在（0，+∞）为增函数，符合题意， 当m ＝1时，f(x)=1x，在（0，+∞）为减函数，不符合题意，舍去， 所以f(x)=x 32；（2）g(x)=x +a √f(x)3=x +a √x ， 令t =√x ，因为x ∈[1，9]，所以t ∈[1，3]，令k （t ）＝t 2+at t ∈[1，3]，对称轴为t =−a2，①当−a 2≤1，即a ≥﹣2时，函数k （t ）在[1，3]为增函数， k （t ）min ＝k （1）＝1+a ＝0，解得a ＝﹣1． ②当1＜−a 2＜3，即﹣6＜a ＜﹣2时， k(t)min=k(−a 2)=−a 24=0，解得a ＝0，不符合题意，舍去．③当−a2≥3，即a ≤﹣6时，函数k （t ）在[1，3]为减函数， k （t ）min ＝k （3）＝9+3a ＝0， 解得a ＝﹣3，不符合题意，舍去．综上所述：存在a ＝﹣1使得g （x ）的最小值为0． 22．（12分）已知函数f(x)=ax+b1+x 2为定义在R 上的奇函数． （1）求实数b 的值；（2）当a ＞0时，用单调性定义判断函数f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性；（3）当a＝1时，设g（x）＝mx2﹣2x+2﹣m，若对任意的x1∈[1，3]，总存在x2∈[0，1]，使得f(x1)+12= g(x2)成立，求m的取值范围．解：（1）因为函数f(x)=ax+b1+x2为定义在R上的奇函数，所以f（0）＝b＝0．经检验成立，所以b＝0；（2）由（1）可得f(x)=ax1+x2，下面证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．证明：任取x2＞x1＞1，则有f（x1）﹣f（x2）=ax11+x12−ax21+x22=ax1(1+x22)−ax2(1+x12)(1+x12)(1+x22)=a(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)，再根据x2＞x1＞1，可得1+x12＞0，1+x22＞0，x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＜0，又a＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；（3）若对任意的x1∈[1，3]，总存在x2∈[0，1]，使得f(x1)+12=g(x2)成立，则函数y=f(x)+12在[1，3]上的值域为函数g（x）在[0，1]上的值域的子集，因为函数f（x）在[1，3]上单调递减，则当x∈[1，3]时，f(x)max=f(1)=12，f(x)min=f(3)=310，所以记函数y=f(x)+12在区间[1，3]内的值域为A=[45，1]．①当m＝0时，g（x）＝﹣2x+2在[0，1]上单调递减，则g（x）max＝g（0）＝2，g（x）min＝g（1）＝0，得g（x）在区间[0，1]内的值域为B＝[0，1]，因为A⊆B，所以对任意的x1∈[1，3]，总存在x2∈[0，1]，使得f(x1)+12=g(x2)成立；②当m＜0时，g（x）为开口向下的二次函数，对称轴x=1m＜0，∴g（x）在[0，1]上单调递减，g（x）max＝g（0）＝2﹣m＞2，g（x）min＝g（1）＝0，∴g（x）在区间[0，1]内的值域为B＝[0，2﹣m]，因为A⊆B，所以2﹣m≥1，所以m≤1，所以m＜0；③当m＞0时，g（x）为开口向上的二次函数，对称轴x=1m＞0，令mx2﹣2x+2﹣m＝0，则有[mx+（m﹣2）]（x﹣1）＝0，解得x1＝1，x2=−m−2m，（i ）当0＜m ≤1时，1m≥1，g （x ）在[0，1]上单调递减，且2﹣m ∈[1，2），则g （x ）max ＝g （0）＝2﹣m ，g （x ）min ＝g （1）＝0，得g （x ）在区间[0，1]内的值域为B ＝[0，2﹣m ]，因为A ⊆B ，所以对任意的x 1∈[1，3]，总存在x 2∈[0，1]，使得 f(x 1)+12=g(x 2)成立； （ⅱ）当1＜m ≤2时，12≤1m＜1，g （x ）在[0，1m ] 上单调递减，在 [1m ，1] 上单调递增，则g （x ）max ＝g （0）＝2﹣m ，g(x)min =g(1m)=−1m+2−m ，得g （x ）在区间[0，1]内的值域为B =[−1m +2−m ，2−m]， 所以−1m +2﹣m ≤45且2﹣m ≥1，该不等式组无解； （iii ）当m ＞2时，0＜1m ＜12，g （x ）在[0，1m ] 上单调递减，在[1m ，1] 上单调递增， 则g （x ）max ＝g （1）＝0，g(x)min =g(1m)=−1m+2−m ， 得g （x ）在区间[0，1]内的值域为B =[−1m +2−m ，0]，不符合题意． 综上，实数m 的取值范围为（﹣∞，1]．。
山东省青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，则（ ）A. B. C. D.2. 若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D.3. 下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（ ）A. 若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于1B. 经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线C. 在经验回归方程中，若解释变量增加1个单位，则预测值平均减少0.5个单位D. 若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好4. 已知，则下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则5. 7名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排2名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）A. 210种B. 420种C. 1260种D. 630种6. 已知一组样本数据的方差为9，且，则样本数据的方差为（ ）A. 9.2B. 8.2C. 9.8D. 97. 若不等式的解集为，则不等式解集为（ ）A B. ..{1,2,3,4,5},{1,3,5},{1,2,5}U T S ===()U S T = ð{2}{1,2}{2,4}{1,2,4}x |1|x a +<04x <<a 1a ≤-5a >1a <-5a ≥r ˆ20.5yx =-x ˆy 2R ,,R a b c ∈a b >ac bc>0a b >>0.40.4a b -->a b >1122a cb c++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0,0a b c >>>b b c a a c+>+125,,,x x x 1324x x x x +=+123451,1,1,1,x x x x x -+-+20ax bx c ++≥[]1,30ax ccx b+≥+(]4,3,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭(]4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭C. D. 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A ，则（ ）A. 若，则取最大值时B. 当时，取得最小值C. 当时，随着的增大而减小 D. 当的，随着的增大而减小二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A. 各二项式系数的和为64 B. 常数项是第3项C. 有理项有3项D. 各项系数的绝对值的和为72910. 已知位于第一象限的点在曲线上，则（ ）A. B. C. D.11. 二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表：…-1012……22…且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（ ）A. B. C. 关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间D. 和在该二次函数的图象上，则当实数时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 函数定义域是______．13. 已知集合，，若中恰有一个整数，的43,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦43,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭n ,~(,)X X B n p N*,01n p ∈<<10,0.8n p ==()P X k =9k =12p =()D X 112p <<()P A n 102p <<()P A n 61x ⎛- ⎝(,)a b 111x y+=(1)(1)1a b --=-228a b +≥23a b +≥+221223a b +≥2,(,y ax bx c a b c =++0)a ≠x y x ym n32x =0y <0abc >1009mn >x 20ax bx c ++=12-()112,P t y +()222,P t y -12t <12y y >()ln(21)f x x =+-{}2|60M x x x =+->{}2|230,0N x x ax a =-+≤>M N ⋂则的最小值为_________.14. 已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射升空，并于北京时间2024年4月26日3时32分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个自主交会对接过程历时约6.5小时!奔赴星辰大海，中国人探索浪漫宇宙脚步驰而不息，逐梦太空的科学探索也不断向前。
2023-2024学年广东省广州二中八年级(上)期中语文试卷
2023-2024学年广东省广州二中八年级（上）期中语文试卷第一部分积累与运用（共24分）1．（2分）下列词语中加点字每组读音都不相同的一项是（）A．要塞．/闭塞．呜咽．/咽．喉差．使/差．错遗嘱．/高瞻远瞩．B．屏．息/屏．障畸．形/崎．岖教诲．/后悔．恶．心/深恶．痛疾C．俨．然/严．肃劳碌．/俸禄．狼藉．/书籍．翘．首/翘．尾巴D．地壳．/蛋壳．荒谬．/杀戮．辍．学/点缀．肖．像/惟妙惟肖．2．（2分）下列各项字形完全正确的一项是（）A．馈退咆哮业已完成一丝不苟B．愚钝吹嘘粗制滥造震聋发聩C．篡改崎岖摧枯拉朽诚皇诚恐D．佃农国殇殚精竭虑眼花缭乱3．（2分）下列句子中加点的成语使用不恰当的一项是（）A．当敌人冲进大厅的时候，只见他正襟危坐．．．．，那处变不惊、视死如归的气节真让人敬佩！B．星期天和爸爸妈妈逛了一整天越秀公园，回家后我已筋疲力尽．．．．，实在不想再做任何事了。
C．电影《坚如磐石》预告片中的部分片段，对抑扬顿挫．．．．的故事情节进行了更为细致的描述。
D．研究现状要深入实地进行考察，分析问题要入木三分．．．．，只有这样才能在工作上取得实效。
4．（2分）下列句子中没有语病的一项是（）A．为了提高本台节目的文化特色，编导组邀请了文艺界重量级专家参与节目的策划制作。
B．郑人买履的故事之所以流传至今，是因为自古以来，犯教条主义错误的一直大有人在。
C．拙政园的“远香堂”是观莲的首选胜地，其名字体现了莲花“香远益清，亭亭净植”。
D．有关部门对殴打环卫工人，甚至无理取闹、随便辱骂环卫工人的人进行了严肃处理。
5．（8分）请结合语境，按照括号中的提示补全对话。
小元在国庆假期来到了永庆坊一带体验各种非遗文化，走到一个名为“西关打铜工艺”的摊位前驻足观望。
【摊位介绍】西关打铜工艺是广东第五批非物质文化遗产之一。
这门在西关（广州荔湾旧称）流传的传统手工技艺，有着悠久的历史。
西关打铜工艺匠人把原铜材料通过铸造与打制两种方法来制作所需要的铜器具。
2023-2024学年湖南省长沙二中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖南省长沙二中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |1＜x ＜5}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |2＜x ＜5}B ．{x |1＜x ＜5}C ．{x |2＜x ＜6}D ．{x |1＜x ＜6}2．已知复数z 满足（1+i ）z ＝3+5i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．√173．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）：7，6，9，7，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ） A ．7B ．8C ．8.5D ．94．过点（4，0）的直线l 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0相切，则直线l 的方程为（ ） A ．3x +4y ﹣12＝0或y ＝0 B ．3x +4y ﹣12＝0或x ＝4C ．4x +3y ﹣12＝0或y ＝0D ．4x +3y ﹣12＝0或x ＝45．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P ﹣ABCD 是阳马，P A ⊥平面ABCD ，且PM →=2MC →，若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则BM →=（ ）A ．13a →+23b →−13c → B ．23a →+23b →−12c →C ．−13a →+23b →−12c →D ．−13a →+23b →+13c →6．已知圆锥的侧面积是16π，其侧面展开图是顶角为π2的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A ．2√15π3B ．4√15π3C ．8√15π3D ．16√15π37．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√34的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．238．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33]B ．[13，12]C ．[√34，√33]D ．[14，13]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知函数f(x)=sin(2x +2π3)，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的图象关于直线x =7π12对称 C ．f(x +π3)是偶函数D ．f （x ）的单调递减区间为[kπ−π12，kπ+5π12](k ∈Z)10．已知三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0能构成三角形，则实数m 的取值可能为（ ） A ．2B ．−43C ．−23D ．4311．如图，两条异面直线a ，b 所成的角为60°，在直线a ，b 上分别取点A ，O 和点C ，B ，使AO ⊥OC ，OC ⊥CB ．已知AO ＝4，CB ＝3，AB ＝7，则线段OC 的长为（ ）A ．6B ．8C ．2√3D ．√312．已知双曲线C ：x 28−y 24=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 是C 上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A ．C 的渐近线方程为y =±√22xB ．若直线y ＝kx 与双曲线C 有交点，则|k|≥√22C ．点P 到C 的两条渐近线的距离之积为83D ．当点P 与A ，B 两点不重合时，直线P A ，PB 的斜率之积为2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点A （1，2），B （3，4），则线段AB 的垂直平分线的方程是 ． 14．已知cos(π4−α)=√210，α∈(π2，π)，则cos α＝ ．15．如图，棱长为1的正方体A 1A 2A 3A 4﹣A 5A 6A 7A 8的八个顶点分别为A 1，A 2，⋯，A 8，记正方体12条棱的中点分别为A 9，A 10，⋯，A 20，6个面的中心为A 21，A 22，⋯，A 26，正方体的中心为A 27．记m j =A 1A →7⋅A 1A →j ，j ∈{1，2，…，27}，其中A 1A 7是正方体的体对角线．则m 1+m 2+…+m 27＝ ．16．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为C 上任意一点，N 为圆E ：（x ﹣5）2+（y﹣4）2＝1上任意一点，则|MN |﹣|MF 1|的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）为配合创建全国文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为．经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设为“重点路口”．（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的中位数；（2）现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的概率．18．（12分）已知函数F(x)=log a (1−x 2)(a ＞0，且a ≠1）． （1）判断函数F （x ）的奇偶性，并说明理由； （2）若F(m +1)＞F(12−2m)，求m 的取值范围．19．（12分）已知圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2+a ）x +（1+a ）y +a ＝0． （1）求证：直线l 恒过定点；（2）直线l 被圆C 截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a 的值以及最短弦长． 20．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且3acosC +√3csinA =3b ． （1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 周长的取值范围．21．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2，AB ＝1．点D ，E ，F 分别在棱AA 1，BB 1，CC 1上，A 1D =CF =23，BE ＝1．M 为AC 中点，连接BM ． （1）证明：BM ∥平面DEF ；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣DF ﹣E 为30°时，求EP 的长．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点A （2，0），且右焦点为F （√3，0）．（1）求C 的标准方程；（2）过点（1，0）且斜率不为0的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线x ＝4分别交直线AM ，AN 于点 E ，F ，以EF 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．2023-2024学年湖南省长沙二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |1＜x ＜5}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |2＜x ＜5}B ．{x |1＜x ＜5}C ．{x |2＜x ＜6}D ．{x |1＜x ＜6}解：因为M ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣6）＜0}＝{x |2＜x ＜6}，N ＝{x |1＜x ＜5}， 所以M ∩N ＝{x |2＜x ＜5}． 故选：A ．2．已知复数z 满足（1+i ）z ＝3+5i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．√17解：复数z =3+5i1+i =(3+5i)(1−i)(1+i)(1−i)=8+2i2=4+i ，有|z|=√17． 故选：D ．3．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）：7，6，9，7，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ） A ．7B ．8C ．8.5D ．9解：将10次射击成绩按照从小到大顺序排序为：4，5，6，7，7，7，8，9，9，10， 因为10×70%＝7，所以第70百分位数为8+92=8.5，故选：C ．4．过点（4，0）的直线l 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0相切，则直线l 的方程为（ ） A ．3x +4y ﹣12＝0或y ＝0 B ．3x +4y ﹣12＝0或x ＝4C ．4x +3y ﹣12＝0或y ＝0D ．4x +3y ﹣12＝0或x ＝4解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0化为标准方程为（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝4，得圆心（2，4），半径为2， 当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝4，此时直线l 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0相切，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4），即kx ﹣y ﹣4k ＝0， 圆心（2，4）到直线l 的距离为d =√k +1=√k +1，由相切得d ＝r ＝2， 所以√k 2+1=2，平方化简得k =−34，求得直线方程为3x +4y ﹣12＝0，综上，直线l 的方程为3x +4y ﹣12＝0或x ＝4． 故选：B ．5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P ﹣ABCD 是阳马，P A ⊥平面ABCD ，且PM →=2MC →，若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则BM →=（ ）A ．13a →+23b →−13c → B ．23a →+23b →−12c →C ．−13a →+23b →−12c →D ．−13a →+23b →+13c →解：PM →=2MC →，则PM →=23PC →， 若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则BM →=BP →+PM →=BP →+23PC →=AP →−AB →+23(AC →−AP →)=13AP →+23AC →−AB → =13AP →+23(AB →+AD →)−AB →=13AP →−13AB →+23AD → =−13a →+23b →+13c →．故选：D ．6．已知圆锥的侧面积是16π，其侧面展开图是顶角为π2的扇形，则该圆锥的体积为（ ）A ．2√15π3B ．4√15π3C ．8√15π3D ．16√15π3解：设圆锥母线长为a ，底面半径为r ，侧面积是16π，则π•r •a ＝16π，有ar ＝16， 侧面展开图顶角为π2=2πr a，有a ＝4r ，解得r ＝2，a ＝8，则圆锥的高ℎ=√a 2−r 2=√82−22=2√15， 故V =13Sℎ=13πr 2ℎ=13⋅π⋅22⋅2√15=8√15π3． 故选：C ．7．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√34的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23解：由题意可知：A （﹣a ，0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 直线AP 的方程为：y =√34（x +a ），由∠F 1F 2P ＝120°，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，则P （2c ，√3c ）， 代入直线AP ：√3c =√34（2c +a ），整理得：a ＝2c ， ∴离心率e =ca =12． 故选：C ．8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33]B ．[13，12]C ．[√34，√33]D ．[14，13]解：设正方体棱长为1，A 1PA 1C 1=λ（0≤λ≤1）．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为坐标轴建立空间直角坐标系， 则O （12，12，0），P （1﹣λ，λ，1），∴OP →=（12−λ，λ−12，1），∵易证DB 1⊥平面A 1BC 1，∴DB 1→=（1，1，1）是平面A 1BC 1的一个法向量． ∴sin θ＝|cos ＜OP →，DB 1→＞|=1√3√2(λ−12)2+1，当λ=12时sin θ取得最大值√33，当λ＝0或1时，sin θ取得最小值√23． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知函数f(x)=sin(2x +2π3)，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的图象关于直线x =7π12对称 C ．f(x +π3)是偶函数D ．f （x ）的单调递减区间为[kπ−π12，kπ+5π12](k ∈Z)解：对于A ，由三角函数的性质，可得f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，所以A 正确； 对于B ，当x =7π12时，可得f(7π12)=sin(2×7π12+2π3)=sin 11π6≠±1， 所以f （x ）的图象不关于直线x =7π12对称，所以B 错误； 对于C ，由f(x +π3)=sin[2(x +π3)+2π3]=sin(2x +4π3)，此时函数f(x +π3)为非奇非偶函数，所以C 错误； 对于D ，令π2+2kπ≤2x +2π3≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ，即函数的递减区间为[kπ−π12，kπ+5π12]，k ∈Z ，所以D 正确． 故选：AD ．10．已知三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0能构成三角形，则实数m 的取值可能为（ ） A ．2B ．−43C ．−23D ．43解：因为三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0能构成三角形， 所以直线mx ﹣y ﹣1＝0与2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0都不平行， 且直线mx ﹣y ﹣1＝0不过2x ﹣3y +1＝0与4x +3y +5＝0的交点，直线mx ﹣y ﹣1＝0与2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0都不平行时，m ≠23，且m ≠−43， 联立{2x −3y +1=04x +3y +5=0，解得{x =−1y =−13， 即直线2x ﹣3y +1＝0与4x +3y +5＝0的交点坐标为(−1，−13)， 代入直线mx ﹣y ﹣1＝0中，得m =−23，结合题意可知m ≠−23， 对照各个选项，可知实数m 的取值可以为2或43，故选：AD ．11．如图，两条异面直线a ，b 所成的角为60°，在直线a ，b 上分别取点A ，O 和点C ，B ，使AO ⊥OC ，OC ⊥CB ．已知AO ＝4，CB ＝3，AB ＝7，则线段OC 的长为（ ）A ．6B ．8C ．2√3D ．√3解：因为AB →=AO →+OC →+CB →，平方得AB →2=(AO →+OC →+CB →)2=AO →2+OC →2+CB →2+2AO →⋅OC →+2OC →⋅CB →+2CB →⋅AO →． 因为a ，b 所成的角为60°，所以〈CB →，AO →〉=60°或〈CB →，AO →〉=120°．当〈CB →，AO →〉=60°时，AO →⊥OC →，OC →⊥CB →， 代入数据可得：72=42+OC →2+32+2×4×3×12， 所以OC →2=12，所以|OC →|=2√3；当〈CB →，AO →〉=120°时，AO →⊥OC →，OC →⊥CB →， 代入数据可得：72=42+OC →2+32−2×4×3×12， 所以OC →2=36，所以|OC →|=6．综上所述，|OC →|=2√3或|OC →|=6，即OC 的长为6或2√3． 故选：AC ．12．已知双曲线C ：x 28−y 24=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 是C 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）A ．C 的渐近线方程为y =±√22xB ．若直线y ＝kx 与双曲线C 有交点，则|k|≥√22C ．点P 到C 的两条渐近线的距离之积为83D ．当点P 与A ，B 两点不重合时，直线P A ，PB 的斜率之积为2 解：双曲线C ：x 28−y 24=1，则a =2√2，b =2， 对于A ，C 的渐近线方程为y =±b a x =±√22x ，A 正确； 对于B ，由双曲线的渐近线方程为y =±√22x 可知， 若直线y ＝kx 与双曲线C 有交点，则|k|＜√22，B 错误； 对于C ，设点P （x ，y ），则x 28−y 24=1⇒x 2−2y 2=8，点P 到C 的两条渐近线的距离之积为√2y|√12+(√2)2√2y|√12+(√2)2=|x 2−2y 2|3=83，C 正确；对于D ，易得A(−2√2，0)，B(2√2，0)，设P （x ，y ），则y 2=4(x 28−1)(x ≠±2√2)， 所以直线P A ，PB 的斜率之积为x+2√2×x−2√2=y 2x 2−8=4(x 28−1)x 2−8=12，D 错误．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点A （1，2），B （3，4），则线段AB 的垂直平分线的方程是 x +y ﹣5＝0 ． 解：因为A （1，2），B （3，4），所以线段AB 的中点为（2，3），垂直平分线的斜率k =1−k AB =−1，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ﹣3＝﹣（x ﹣2），即x +y ﹣5＝0． 故答案为：x +y ﹣5＝0．14．已知cos(π4−α)=√210，α∈(π2，π)，则cos α＝ −35 ． 解：因为cos(π4−α)=√210，又α∈(π2，π)， 所以π4−α∈(−3π4，−π4)，所以sin(π4−α)=−√1−cos(π4−α)2=√1−150=−7√210， cosα=cos[π4−(π4−α)]=cos π4cos(π4−α)+sin π4sin(π4−α) =√22×√210+√22×(−7√210)=−35． 故答案为：−35．15．如图，棱长为1的正方体A 1A 2A 3A 4﹣A 5A 6A 7A 8的八个顶点分别为A 1，A 2，⋯，A 8，记正方体12条棱的中点分别为A 9，A 10，⋯，A 20，6个面的中心为A 21，A 22，⋯，A 26，正方体的中心为A 27．记m j =A 1A →7⋅A 1A →j ，j ∈{1，2，…，27}，其中A 1A 7是正方体的体对角线．则m 1+m 2+…+m 27＝812．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（0，0，0），A 2（1，0，0），A 3（1，1，0），A 4（0，1，0），A 5（0，0，1），A 6（1，0，1），A 7（1，1，1），A 8（0，1，1）， 设向量A 1A j →=(x ，y ，z)，而A 1A 7→=(1，1，1)， 故m j =A 1A j →⋅A 1A 7→=x +y +z ，故m 1+m 2+…+m 27表示各点的坐标和的和，现各点的横坐标之和为X ，纵坐标之和为Y ，竖坐标之和为Z ， 根据对称性可得X =Y =Z =1×9+12×9+0×9=272， 故m 1+m 2+⋯+m 27=3×272=812， 故答案为：812．16．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为C 上任意一点，N 为圆E ：（x ﹣5）2+（y﹣4）2＝1上任意一点，则|MN |﹣|MF 1|的最小值为 4√2−5 ． 解：如图，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：（x ﹣5）2+（y ﹣4）2＝1上任意一点， 则|MF 1|+|MF 2|＝4，|MN |≥|ME |﹣1（当且仅当M 、N 、E 共线时取等号）， ∴|MN |﹣|MF 1|＝|MN |﹣（4﹣|MF 2|）＝|MN |+|MF 2|﹣4≥|ME |+|MF 2|﹣5≥|EF 2|﹣5， ∵F 2（1，0），E （5，4），则|EF 2|=√(5−1)2+(4−0)2=4√2， ∴|MN |﹣|MF 1|的最小值为：4√2−5． 故答案为：4√2−5．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）为配合创建全国文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为．经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设为“重点路口”．（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的中位数；（2）现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的概率．解：（1）由频率分布直方图可知，该中位数为30+0.10.4×(40−30)=32.5；（2）由频率分布直方图可知，违章车次在（30，40]的路口有10×0.04×10＝4个，设为a，b，c，d，违章车次在（40，50]的路口有10×0.02×10＝2个，A，B，现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，共有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15个，其中抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的事件为：aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，共8个，故抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的概率为：815．18．（12分）已知函数F(x)=log a(1−x2)(a＞0，且a≠1）．（1）判断函数F（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若F(m+1)＞F(12−2m)，求m的取值范围．解：（1）F（x）为偶函数，理由如下：由1﹣x2＞0得﹣1＜x＜1，即函数F（x）的定义域为（﹣1，1），可知F（x）的定义域关于原点中心对称．又F(−x)=log a(1−x2)=F(x)，故F（x）为偶函数；（2）因为F（x）为偶函数，所以不等式F(m+1)＞F(12−2m)即F(|m+1|)＞F(|12−2m|)，由复合函数的单调性可知，当a＞1时，y＝log a t在（0，+∞）上单调递增，而t＝1﹣x2在（0，1）上单调递减，故F（x）在（0，1）内单调递减，则F（x）在（﹣1，0）内单调递增；当0＜a ＜1时，y ＝log a t 在（0，+∞）上单调递减，而t ＝1﹣x 2在（0，1）上单调递减，故F （x ）在（0，1）内单调递增，则F （x ）在（﹣1，0）内单调递减；（i ）当a ＞1时，由已知有{−1＜m +1＜1−1＜12−2m ＜1|m +1|＜|12−2m|，解得−14＜m ＜−16；（ii ）当0＜a ＜1时，由已知有{ −1＜m +1＜1−1＜12−2m ＜1|m +1|＞|12−2m|，解得−16＜m ＜0，故当a ＞1时，m 的取值范围为(−14，−16)；当0＜a ＜1时，m 的取值范围为(−16，0)． 19．（12分）已知圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2+a ）x +（1+a ）y +a ＝0． （1）求证：直线l 恒过定点；（2）直线l 被圆C 截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a 的值以及最短弦长． 解：（1）直线l ：（2+a ）x +（1+a ）y +a ＝0，即a （x +y +1）+（2x +y ）＝0， 联立{x +y +1=02x +y =0，解得{x =1y =−2，所以不论a 取何值，直线l 必过定点P （1，﹣2）；（2）由C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝25，知圆心C （﹣1，2），半径为5．当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长， 当直线l ⊥CP 时，直线被圆截得的弦长最短． 直线l 的斜率为k =−2+a1+a ，k CP =−2−21−(−1)=−2， 有−2+a1+a ⋅(−2)=−1，解得a =−53． 此时直线l 的方程是x ﹣2y ﹣5＝0．圆心C（﹣1，2）到直线x﹣2y﹣5＝0的距离为d=|−1−4−5|5=2√5，所以最短弦长是2√r2−d2=2√25−20=2√5．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且3acosC+√3csinA=3b．（1）求A；（2）若a＝2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围．解：（1）由已知和正弦定理得3sinAcosC+√3sinCsinA=3sinB，又sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A，∴√3sinCsinA=3sinCcosA，又sin C≠0，∴√3sinA=3cosA，有tanA=√3，又A∈（0，π），∴A=π3；（2）∵a＝2，且A=π3，∴由正弦定理有bsinB =csinC=2sinπ3=4√33，从而b=4√33sinB，c=4√33sinC，∵sinC=sin(A+B)=sin(π3+B)，∴b+c=4√33[sinB+sin(π3+B)]=4√33(32sinB+√32cosB)=4sin(B+π6)，又△ABC为锐角三角形，有B∈(0，π2)，且A+B=π3+B∈(π2，π)，∴B∈(π6，π2)，∴B+π6∈(π3，2π3)，有sin(B+π6)∈(√32，1]，故b+c∈(2√3，4]，从而△ABC周长的取值范围为(2+2√3，6]．21．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，AB＝1．点D，E，F分别在棱AA1，BB1，CC1上，A1D=CF=23，BE＝1．M为AC中点，连接BM．（1）证明：BM∥平面DEF；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣DF ﹣E 为30°时，求EP 的长．（1）证明：取DF 中点N ，连接EN ，MN ， 又M 为AC 中点，所以MN 为梯形ADFC 的中位线， 所以MN ∥AD ，MN =AD+CF2=1， 又BE ∥AD ，故MN ∥BE ，且MN ＝BE ， 故四边形BMNE 为平行四边形，则BM ∥NE ， 因为NE ⊂平面DEF ，BM ⊄平面DEF ， 故BM ∥平面DEF ；（2）解：以M 为坐标原点，BM 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，MN 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系M ﹣xyz ，如图所示：则D(0，−12，43)，E(√32，0，1)，F(0，12，23)，设P(√32，0，a)， 可得DE →=(√32，12，−13)，DF →=(0，1，−23)，DP →=(√32，12，a −43)， 设平面DEF的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，则n 1→⊥DE →，n 1→⊥DF →，则有{n 1→⋅DE →=0n 1→⋅DF →=0，即{√32x 1+12y 1−13z 1=0y 1−23z 1=0， 取z 1＝3，则y 1＝2，x 1＝0，得n 1→=(0，2，3)， 设平面PDF的法向量为n 2→=(x 2，y 2，z 2)，由n 2→⊥DP →，n 2→⊥DF →，则有{n 2→⋅DP →=0n 2→⋅DF →=0，即{√32x 2+12y 2+(a −43)z 2=0y 2−23z 2=0， 取z 2＝3，则y 2＝2，x 2=2√3−2√3a ，得n 2→=(2√3−2√3a ，2，3)，由二面角P ﹣DF ﹣E 为30°，得|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√32， 即√13⋅√12a 2−24a+25=√32，解得a =1±√136， 故|EP|=√136．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点A （2，0），且右焦点为F （√3，0）．（1）求C 的标准方程；（2）过点（1，0）且斜率不为0的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线x ＝4分别交直线AM ，AN 于点 E ，F ，以EF 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 解：（1）由题意知，a ＝2，c =√3， 所以b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣3＝1， 所以C 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）设直线l 的方程为x ＝ty +1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =ty +1x 24+y 2=1，得（t 2+4）y 2+2ty ﹣3＝0， 所以y 1+y 2=−2t t 2+4，y 1y 2=−3t 2+4， 因为A （2，0），所以直线AM 的方程为y =y1x 1−2（x ﹣2），令x ＝4，则y E =2y 1x 1−2，即E （4，2y 1x 1−2），同理可得，F （4，2y 2x 2−2），由对称性知，若定点存在，则定点在x 轴上，设为P （x 0，0），则PE →⋅PF →=0， 所以（4﹣x 0，2y 1x 1−2）•（4﹣x 0，2y 2x 2−2）＝0，即（4﹣x 0）2+2y 1x 1−2•2y 2x 2−2=0， 因为（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝（ty 1﹣1）（ty 2﹣1）＝t 2y 1y 2﹣t （y 1+y 2）+1＝t 2•（−3t 2+4）﹣t （−2t t 2+4）+1=4t 2+4， 所以（4﹣x 0）2+4⋅(−3t 2+4)4t 2+4=0，即（4﹣x 0）2＝3，所以x0＝4±√3，故以EF为直径的圆过定点，定点坐标为（4−√3，0）或（4+√3，0）．。
辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试语文试卷(含答案)
沈阳二中2023-2024学年度下学期期中考试高一（26届）语文试题说明：1.考试时长：150分钟满分：150分2.考生务必将答案答在答题卡相应位置上，在试卷上作答无效。
第I卷（71分）一、现代文阅读（36分）(一）现代文阅读I(本题共5小题，18分）阅读下面的文字，完成1-5题。
材料一：《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院，是国宝级文物。
在这幅近12米的长卷中，王希孟主要运用了石青、石绿两种矿物质颜料，以细腻的工笔勾勒出连绵起伏的群山、烟波浩渺的江海、点缀其间的村舍、江中独钓的渔翁和挺拔秀丽的松竹。
以《千里江山图》为创作蓝本的舞蹈诗剧《只此青绿》以一场视听盛宴掀起了文化自信的国潮热，引发了一轮对“青绿腰”的模仿热，影响力覆盖全民。
《只此青绿》打破了赏画的平面视角，用多维的舞蹈语言和舞台空间让《千里江山图》这幅画“活”了起来。
青绿女子刚柔并济，舞姿翩跹，曼妙的“青绿腰”将古典式的奇幻美学呈现得淋漓尽致，使观众获得了私享画作的沉浸感。
这独特的沉浸式“赏画”方式重塑了当代观众对传统中国画的审美体验，这“复活的艺术品”成为了连接古今的时空穿梭机，让观众穿越时空与画家王希孟对话，走进王希孟的心路历程，走进北宋工匠艺人们的生活。
这种赏画经验的革新，让源远流长的传统文化焕发了新的生命力。
一直以来，守正与创新都是古典题材舞蹈创作者们的共识。
“守正”体现在尊重历史文化传统上。
五千多年的中华文明，为新的文化创造提供了丰沛源泉。
而“创新”则是在表现形式、叙事手法、舞蹈技巧等舞蹈要素的“文化性”上进行的想象和开发。
《只此青绿》为优秀传统文化的创新性表达做出了一次成功探索。
思考大众对“青绿腰”动作的模仿热现象，我们不难发现这其实是一种大众对传统文化表达喜爱和认同的质朴方式。
他们通过对“险峰”动作形态的模仿，再现了自己心中对于“气韵山河”的想象和价值认同。
单从舞蹈动作层面来看，“青绿腰”并不属于舞蹈中的典型技巧动作，但它却能够成为一种符号，带着传统文化的印记进入大众的认知。
2024-2025学年广西南宁二中七年级(上)期中语文试卷
2024-2025学年广西南宁二中七年级（上）期中语文试卷一、积累。
（21分）1．（11分）大美中国，壮美广西。
让我们一起来感受壮美广西的魅力吧！（一）水果天堂ㅤㅤ广西，这片位于中国南部的神奇土地，水果种类繁多，犹如一座A（五彩斑斓无休无止）的宝库。
春天，万物蓬勃生长，草莓、杨桃、青枣等果实挂满枝头，让人垂涎欲滴；夏天，气温升高，阳光和雨水充沛，荔枝、龙眼、芒果等热带水果竞相成熟，甜蜜可口；秋天，草木虽然凋零，柚子、柿子、猕猴桃等果实却喜获丰收，果香四溢，让人口齿生津；冬天，荒凉中依旧贮蓄着希望，柑橘类水果闪亮登场，令人感到欣喜，回味无穷。
（二）美景宜人ㅤㅤ五月初，走在德保县境内的鉴河河边，你会发现波光lín lín的水面上绽放着许多美丽的小花。
花瓣洁白无瑕、晶莹剔透，包裹着鸩黄色的花蕊，在荡漾的水波中显得格外婀娜多姿。
再次看到这些娇媚的小花在水中盛开，真是让人B（喜出望外茫然无措）。
水清则花盛，水污则花败，这种花的名字为海菜花，是因为其对水质要求苛刻的原因，被视为“水质风向标”。
超美的海菜花再现鉴河，是德保县河水保护治理的丰硕成果，也是当地促进人居住环境持续向好的有力例证。
田园风光、古镇村落、绿色生态，居住于绿水青山间的人们C（鸦雀无声自得其乐）。
（三）绿城南宁ㅤㅤ广西首府南宁，有一个轻灵的别名——“中国绿城”。
南宁是绿色的天堂，倘若徜徉于大街小巷，满城的惬意，明媚在眼眸，荡漾在心湖。
凤岭木菠萝的暗绿，西乡塘小叶榕的苍绿，江南扁桃的青绿，南湖水的澄绿，构成了多层次的南宁绿。
大自然赋予了这座城市独特的生机和活力，而人文景观则展示了南宁的历史与文化底蕴。
同时，南宁也是一个快速崛起的城市。
那些高耸入云的建筑，仿佛在述说着南宁的崛起传奇，更是城市经济繁荣和发展的象征。
高楼大厦与自然风光、人文景观相得益彰，共同构成了南宁丰富多彩的面貌。
置身绿城南宁的美景之中，真可谓：“_____，高楼林立谱新章。
2023-2024学年广东省广州二中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州二中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选对得5分，选错得0分 1．直线√3x +y ﹣2＝0的倾斜角为（ ） A ．30°B ．150°C ．120°D ．60°2．（多选）从装有大小和形状完全相同的3个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不互为对立的是（ ） A ．至少有1个红球与都是红球B ．恰有1个红球与恰有2个红球C ．至少有1个红球与至少有1个白球D ．至多有1个红球与恰有2个红球3．已知点A （2，1），点B 在直线x ﹣y +3＝0上，则|AB |的最小值为（ ） A ．√5B ．√26C ．2√2D ．44．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，若记OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OG →=（ ）A ．14a →+14b →+14c → B ．14a →+14b →+34c → C ．34a →+14b →+14c →D ．14a →−14b →+34c →5．“m ＝1”是“直线x +（1+m ）y ﹣2＝0与直线mx +2y +4＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件6．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过P 作⊙M 的切线P A 、PB ，切点为A 、B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x +y +1＝0B ．2x ﹣y +1＝0C ．2x +y +3＝0D ．2x ﹣y +3＝07．若方程x +b =3−√4x −x 2有两个不等的实根，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(1−2√2，1+2√2) B ．(1−2√2，−1] C ．[−1，1+2√2)D ．(1−2√2，3]8．平面OAB ⊥平面α，OA ⊂α，OA =√3，AB ＝2，∠OAB =5π6，平面α内一点P 满足P A ⊥PB ，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．√55D ．√1010二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，错选得0分.9．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过点（1，0） B ．D ＝﹣4，E ＝﹣2C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√3D ．当k ＝1时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称10．已知空间四点O （0，0，0），A （4，3，0），B （﹣3，0，4），C （5，6，4），则下列说法正确的是（ ） A ．OA →⋅OB →=12B ．cos〈OA →，OB →〉=−1225 C ．点O 到直线BC 的距离为√5D ．O ，A ，B ，C 四点共面11．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比=√5−12）．在顶角为∠BAC 的黄金△ABC 中，D 为BC 边上的中点，则（ ）A ．cos342°=ADACB ．AD CD=cos27°+sin27°cos27°−sin27°C ．AB →在AC →上的投影向量为2√5+18AC →D ．cos ∠BAC 是方程4x 3+2x 2﹣3x ＝1的一个实根12．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）A ．表面积为3m 2的球体B ．体积为0.3m 3的正四面体C ．体积为0.4m 3的圆柱体D ．底面直径为1.2m ，高为0.8m 的圆锥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.其中16题第一空2分，第二空3分. 13．两条平行直线3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0间的距离是 ．14．已知线段AB 的端点B 的坐标为（4，2），端点A 在圆x 2+y 2＝4上运动，线段AB 的中点M 的轨迹方程是 ．15．已知直线l ：2x ﹣y +1＝0，它关于直线l 1：x ﹣y +1＝0对称的直线方程为 ．16．在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BE →=2EC →，点P 在正方体的表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，当P 在CC 1上时，|AP →|= ；满足条件的所有点P 构成的平面图形的周长为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f(x)=4sinxcos(x −π3)−√3． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在[−π2，π2]上的单调减区间．18．（12分）以“庆丰收，促和美”为主题的2023年中国农民丰收节主场活动在安徽芜湖举办，志愿者的服务工作是丰收节成功举办的重要保障，芜湖市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为58和28，第三组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和140，据此估计这次面试成绩在[55，75）所有人的方差．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，0），直线l ：y ＝2x ﹣4，设⊙C 的半径为1，圆心C 在直线l上．（1）若圆心C也在直线y＝x﹣1上，过点A作⊙C的切线，求切线的方程；（2）若⊙C上存在点M，使得|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．20．（12分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为√2的球面上，且P A＝PB＝PC＝AC＝BC，AC⊥BC，N为AB的中点．（1）证明：PN⊥平面ABC；（2）若M是线段PC上的点，且平面MAB与平面P AB的夹角为45°，求AM与平面PBC所成角的正弦值．21．（12分）在△ABC中，AB＝2，D为AB中点，CD=√2．（1）若BC=√2，求AC的长；（2）若∠BAC＝2∠BCD，求AC的长．22．（12分）已知点A，B关于原点O对称，点A在直线x+y＝0上，|AB|＝2，⊙C过点A，B且与直线x+1＝0相切，设圆心C的横坐标为a．（1）求⊙C的半径；（2）若a＜2，已知点P（0，1），点M，N在⊙C上，直线MN不经过点P，且直线PM，PN的斜率之和为﹣1，PD⊥MN，D是垂足，问：是否存在一定点Q，使得|DQ|为定值．2023-2024学年广东省广州二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选对得5分，选错得0分1．直线√3x+y﹣2＝0的倾斜角为（）A．30°B．150°C．120°D．60°解：设倾斜角为α，直线√3x+y﹣2＝0的斜率为−√3，则tanα=−√3，∵0≤α＜180°，∴α＝120°，故选：C．2．从装有大小和形状完全相同的3个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不互为对立的是（）A．至少有1个红球与都是红球B．恰有1个红球与恰有2个红球C．至少有1个红球与至少有1个白球D．至多有1个红球与恰有2个红球解：根据题意，依次分析选项：对于A：“至少有1个红球”与“都是红球”这两个事件，都包含有“取出3个红球”的事件，故不是互斥事件，故A错误；对于B：“恰有1个红球”与“恰有2个红球”为互斥事件，除了这两个事件外，任取3个球还包含“恰有0个红球”与“恰有3个红球”两种事件，故“恰有1个红球”与“恰有2个红球”不是对立事件，故B正确；对于C：“至少有1个红球”与“至少有1个白球”都包含由事件“恰有1个红球”与“恰有2个红球”两个事件，故不是互斥事件，故C错误；对于D：“至多有1个红球”与“恰有2个红球”为互斥事件，除了这两个事件外，任取3个球还包含“恰有3个红球”这一事件，故“至多有1个红球”与“恰有2个红球”不是对立事件，故D正确．故选：BD．3．已知点A（2，1），点B在直线x﹣y+3＝0上，则|AB|的最小值为（）A．√5B．√26C．2√2D．4解：|AB|的最小值即为点A到直线x﹣y+3＝0的距离，即√1+1=√2=2√2．故选：C ．4．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，若记OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OG →=（ ）A ．14a →+14b →+14c → B ．14a →+14b →+34c → C ．34a →+14b →+14c →D ．14a →−14b →+34c →解：点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，则OP →=12OA →，PG →=12PQ →，BQ →=12BC →， 故OG →=OP →+PG →=OP →+12PQ →=OP →+12(OQ →−OP →)=12OP →+12OQ →=14OA →+12(OB →+BQ →)=14OA →+12(OB →+12BC →) =14OA →+12OB →+14BC →=14OA →+12OB →+14(OC →−OB →)=14OA →+14OB →+14OC →=14a →+14b →+14c →．故选：A ．5．“m ＝1”是“直线x +（1+m ）y ﹣2＝0与直线mx +2y +4＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件解：直线x +（1+m ）y ﹣2＝0与直线mx +2y +4＝0平行，则1m=1+m 2≠−24，则m ＝1，故“m ＝1”是“直线x +（1+m ）y ﹣2＝0与直线mx +2y +4＝0平行的充要条件， 故选：D ．6．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过P 作⊙M 的切线P A 、PB ，切点为A 、B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x +y +1＝0B ．2x ﹣y +1＝0C ．2x +y +3＝0D ．2x ﹣y +3＝0解：⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0的圆心M （1，1），半径r ＝2．由题意可得∠P AM ＝∠PBM ＝90°，可得四点A ，P ，M ，B 共圆，且以PM 为直径．由PM ⊥AB ，可得四边形P AMB 的面积为12|PM |•|AB |＝2S △P AM ＝|P A |•|AM |，即为|PM |•|AB |＝2|P A |•|AM |＝4|P A |＝4√|PM|2−4， 当|PM |取得最小值时，|PM |•|AB |最小．当PM ⊥l 时，|PM |取得最小值，此时直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1）， 即y =12（x +1），联立直线2x +y +2＝0，解得P （﹣1，0）， 则以PM 为直径的圆的方程为（x +1）（x ﹣1）+（y ﹣1）y ＝0，即x 2+y 2﹣y ﹣1＝0，与圆M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0联立，可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0． 故选：A ．7．若方程x +b =3−√4x −x 2有两个不等的实根，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(1−2√2，1+2√2) B ．(1−2√2，−1] C ．[−1，1+2√2)D ．(1−2√2，3]解：若方程x +b =3−√4x −x 2有两个不等的实根， 则√4x −x 2=−x ﹣b +3有两个不等的实根，y =√4x −x 2，即（x ﹣2）2+y 2＝4（0≤y ≤2），表示以（2，0）为圆心，半径为1的圆的上半部分， y ＝﹣x ﹣b +3表示斜率为﹣1的一组平行线，则半圆y =√4x −x 2与直线y ＝﹣x ﹣b +3有两个不同的交点， 直线与半圆相切时，√2=2，∴b ＝1±2√2，结合图形，直线y ＝﹣x ﹣b +3的纵截距﹣b +3＞0，∴b ＝1﹣2√2， 直线过点（4，0）和点（2，2）时，﹣b +3＝4，b ＝﹣1， 所以当这两个函数图象有两个交点时，根据图象， 4≤﹣b +3＜2√2+2，实数b 的取值范围为（1﹣2√2，﹣1]．故选：B ．8．平面OAB ⊥平面α，OA ⊂α，OA =√3，AB ＝2，∠OAB =5π6，平面α内一点P 满足P A ⊥PB ，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．√55D ．√1010解：如图：过B 作BH 垂直OA 的延长线，垂足为H ，连接PH ，OP ，取AH 的中点为E ，连接PE ，过点P 作PF ⊥OA ，垂足为F ， 因为平面OAB ⊥平面α，且平面OAB ∩平面α＝OA ， BH ⊂平面OAB ，PF ⊂α，所以BH ⊥α，PF ⊥平面OAB ， 所以OP 在平面OAB 上的射影就是直线OA ，故∠AOP 就是直线OP 与平面OAB 所成的角θ，即∠AOP ＝θ， 因为AP ⊂α，所以P A ⊥BH ，又P A ⊥PB ，PB ∩BH ＝B ， PB ⊂平面PBH ，BH ⊂平面PBH ， 所以P A ⊥平面PBH ，PH ⊂平面PBH ，则P A ⊥PH ，所以点P 的轨迹是平面α内以线段AH 为直径的圆（A 点除外），因为OA =√3，AB ＝2，∠AOB =5π6， 所以∠BAH =π6，AH =2cosπ6=√3， 所以PE =12AH =√32，当且仅当PE ⊥OP ， 即OP 是圆E 的切线时，角θ有最大值， 则sin θ的最大值为PEOE=√32√3+√32=13．故选：B ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，错选得0分.9．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过点（1，0） B ．D ＝﹣4，E ＝﹣2C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√3D ．当k ＝1时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称 解：直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，恒过点（1，0），所以A 正确；圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），D ＝﹣4，E ＝﹣2，所以B 正确； 圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0的圆心坐标为（2，1），圆的半径为2． 直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，恒过点（1，0），圆的圆心到定点的距离为：√2， 直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√4−2=2√2≠2√3，所以C 不正确；当k ＝1时，直线方程为：x ﹣y ﹣1＝0，经过圆的圆心，所以圆M 上存在无数对点关于直线l 对称，所以D 正确． 故选：ABD ．10．已知空间四点O （0，0，0），A （4，3，0），B （﹣3，0，4），C （5，6，4），则下列说法正确的是（ ） A ．OA →⋅OB →=12B ．cos〈OA →，OB →〉=−1225C ．点O 到直线BC 的距离为√5D ．O ，A ，B ，C 四点共面解：对于A ，∵OA →=(4，3，0)，OB →=(−3，0，4)， ∴OA →⋅OB →=4×(−3)=−12，故A 错误；对于B ：∵OA →=(4，3，0)，OB →=(−3，0，4)，OA →⋅OB →=−12， ∴cos〈OA →，OB →〉=OA →⋅OB →|OA →|⋅|OB →|=12√4+3×√(−3)+4=−1225，故B 正确；对于C ：∵BO →=(3，0，−4)，BC →=(8，6，0)， ∴cos〈BO →，BC →〉=BO →⋅BC→|BO →|⋅|BC →|=24√3+(−4)×√8+6=1225，∴sin〈BO →，BC →〉=√1−cos 2〈BO →，BC →〉=√48125，∴点O 到直线BC 的距离为|BO →|sin〈BO →，BC →〉=5×√48125=√4815，故C 错误；对于D ：∵OA →=(4，3，0)，BC →=(8，6，0)， ∴BC →=2OA →，∴BC →，OA →是共线向量， ∴O ，A ，B ，C 四点共面，故D 正确． 故选：BD ．11．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比=√5−12）．在顶角为∠BAC 的黄金△ABC 中，D 为BC 边上的中点，则（ ）A ．cos342°=ADACB ．AD CD=cos27°+sin27°cos27°−sin27°C ．AB →在AC →上的投影向量为2√5+18AC →D ．cos ∠BAC 是方程4x 3+2x 2﹣3x ＝1的一个实根解：对A 选项，设∠BAC ＝θ，则θ+2θ+2θ＝180°， ∴θ＝36°，∴∠DAC ＝18°，∴cos ∠DAC =cos18°=cos(360°−18°)=cos342°=ADAC，∴A 正确； 对B 选项，∵AD CD=tan2θ=tan72°， ∴cos27°+sin27°cos27°−sin27°=1+tan27°1−tan27°=tan(27°+45°)=tan72°，∴B 正确；对C 选项，根据题意可知BC =√5−1，∴AB ＝AC ＝2，∴cos ∠BAC =22+22−(√5−1)22×2×2=√5+14， 过B 作BE ⊥AC ，垂足为E ，∴AB →在AC →上的投影向量为AE →=cos∠BAC ⋅AC →=√5+14AC →，∴C 错误；对D 选项，由图可知cos2θ＝cos （π﹣θ﹣2θ）， ∴2cos 2θ﹣1＝﹣cos （θ+2θ）＝﹣cos θcos2θ+sin θsin2θ＝﹣cosθ（2cos2θ﹣1）+2sin2θcosθ，设cosθ＝x，则2x2﹣1＝﹣x（2x2﹣1）+2（1﹣x2）x，整理得4x3+2x2﹣3x＝1，∴D正确．故选：ABD．12．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．表面积为3m2的球体B．体积为0.3m3的正四面体C．体积为0.4m3的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.8m的圆锥解：选项A，设球半径为R，4πR2＝3得R=√34π＜12，A能够放入；选项B，设正四面体棱长为a，如图正四面体ABCD，O是面BCD中心，AO是四面体的高，OD=√33a，AO=√a2−(33)2=√63a，体积为V=13×√34a2×√63a=0.3，所以a3=52=9√25，在边长为1的正方形PQMN中，如下右图，∠NPS＝∠QPR＝15°，R，S分别在边QM，NM上，PS＝PR=1cos15°，QR＝NS＝tan15°，因此MR＝MS＝1﹣tan15°，所以，RS=√2(1−tan15°)=√2(cos15°−sin15°)cos15°=2(√22cos15°−√22sin15°)cos15°=1cos15°=PS，△PES 是等边三角形，易得，RS =46+2=√6−√2，RS 3=(√6−√2)3=12√6−20√2=√2(12√3−20)， 12√3−20−95=√432−(21+45)＜21−(21+45)＜0， 所以RS 3＜a 3，RS ＜a ，因此B 中正四面体可以放入棱长为1的正方体中；选项C ，体积为0.4m 3的圆柱体，只有当底面直径不大于1m ，高也不大小1m 可放入棱长为1的正方体中，当高大于1m ，或底面直径大于1m 时，不能放入，例如当圆柱底面半径为0.1m 时，高为120π＞√3，就不能放入；选项D ，圆锥底面直径为1.2m ，高为0.8m ，如果能放到正方体中， 根据对称性，把圆锥的轴放在正方体的对角线上， 如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，则A 1C =√3，可证明A 1C ⊥平面BDC 1（通过证明BD ⊥平面ACC 1A 得BD ⊥A 1C ，同理得BC 1⊥A 1C ，从而得证）， 因此圆锥的底面在平面BDC 1或与之平行的平面内，△BDC 1是等边三角形，边长为√2，其内切圆半径为13×√32×√2=√66≈0.408＜0.6，因此题中圆锥的底面不可能在平面BDC 1内，也不可能在平面BDC 1与点C 之间， 设平面BDC 1与A 1C 的交点为M （E 是底面正方形中心，A 1C ∩C 1E ＝M ）， 如图，M 是△BDC 1中心，由A 1C ⊥平面BDC 1可得A 1C ⊥C 1E ，cos ∠A 1CA =AC A 1C =CM CE ，因此CM =AC⋅CE A 1C =√2×√223=√33，从而A 1M =2√33≈1.155＞0.8，重新取正六边形HIJKLP ，如图，各顶点是相应棱中点，易证平面HIJ ∥平面BDC 1， 从而也有A 1C ⊥平面HIJ ，而正六边形HIJKLP 的边长为√22， 其内切圆半径为√32×√22=√64≈0.61＞0.6，KJ ∩A 1C 1＝R ，PH ∩AC ＝Q ，RQ ∩A 1C ＝S ，由A 1R ＝CQ =3√24可得S 是A 1C 中点，而A 1S =√32≈0.866＞0.8， 因此题设圆锥可能放到正方体中，D 能放入． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.其中16题第一空2分，第二空3分. 13．两条平行直线3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0间的距离是 1 ． 解：3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0， 则a3=84≠−20−5，解得a ＝6，故ax +8y ﹣20＝0，即3x +4y ﹣10＝0， 所求两平行直线距离的距离为√32+42=1．故答案为：1．14．已知线段AB 的端点B 的坐标为（4，2），端点A 在圆x 2+y 2＝4上运动，线段AB 的中点M 的轨迹方程是 (x −2)2+(y −32)2=1 ．解：设AB 的中点M （x ，y ），A （x 1，y 1），又B （4，3），由中点坐标公式得：{x 1+42=x y 1+32=y ，即{x 1=2x −4y 1=2y −3，∵点A 在圆x 2+y 2＝4上运动，∴x 12+y 12=4，即（2x ﹣4）2+（2y ﹣3）2＝4，整理得：(x −2)2+(y −32)2=1， 线段AB 的中点M 的轨迹为(x −2)2+(y −32)2=1． 故答案为：(x −2)2+(y −32)2=1．15．已知直线l ：2x ﹣y +1＝0，它关于直线l 1：x ﹣y +1＝0对称的直线方程为 x ﹣2y +2＝0 ． 解：设对称的直线方程的点为（x ，y ），对称点为（x 1，y 1）， 直线l 1：x ﹣y +1＝0斜率为1，则有{x+x 12−y+y12+1=02x 1−y 1+1=0y−y 1x−x 1=−1，消去x 1，y 1得x ﹣2y +2＝0，故答案为：x ﹣2y +2＝0．16．在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BE →=2EC →，点P 在正方体的表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，当P 在CC 1上时，|AP →|= 2√22 ；满足条件的所有点P 构成的平面图形的周长为 10√2+4√10 ．解：根据题意，如图所示，取CC 1，CD 上的点分别为N ，M ，连接AM ，MN ，B 1N ，AB 1，使得AB 1∥MN ，所以A ，B 1，N ，M 四点共面，且四边形AB 1NM 为梯形，因为MN ⊥D 1C ，MN ⊥BC ，且D 1C ∩BC ＝C ，D 1C ，BC ⊂平面CD 1E ， 所以MN ⊥平面CD 1E ，又因为D 1E ⊂平面CD 1E ，所以D 1E ⊥MN ， 同理可证：AM ⊥平面DD 1E ，因为D 1E ⊂平面DD 1E ，所以D 1E ⊥AM ， 又因为MN ∩AM ＝M ，且MN ，AM ⊂平面AB 1MN ，所以D 1E ⊥平面AB 1MN ， 因为点P 在正方体的表面上移动，且B 1P ⊥D 1E ， 所以点P 的运动的轨迹为梯形AB 1MN ，由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为6，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，则B 1（6，0，6），D 1（0，6，6），E （6，4，0），N （6，6，m ），可得B 1N →=(0，6，m −6)，D 1E →=(6，−2，−6)，因为B 1P ⊥D 1E ，所以B 1N →⊥D 1E →，所以B 1N →⊥D 1E →=0×6+6×(−2)+(m −6)×(−6)=0，解得m ＝4， 所以|CN |＝2|C 1N |＝4，所以当点P 在CC 1上时，可得|AP|=|AN|=√|AC|2+|CN|2=√(6√2)2+42=2√22， 又因为|MN|=4√2，|AB 1|=6√2，|AM|=|B 1N|=2√10， 所以梯形AB 1NM 为等腰梯形，所以梯形AB 1NM 的周长为l =|AB 1|+|MN|+2|AM|=6√2+4√2+2×2√10=10√2+4√10． 故答案为：2√22；10√2+4√10．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f(x)=4sinxcos(x−π3)−√3．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[−π2，π2]上的单调减区间．解：（1）f(x)=4sinx(12cosx+√32sinx)−√3=2sinxcosx+2√3sin2x−√3 =sin2x+√3(1−cos2x)−√3=2sin(2x−π3 )，f（x）的最小正周期T=2π2=π；（2）∵−π2≤x≤π2，∴−4π3≤2x−π3≤2π3，解−4π3≤2x−π3≤−π2，得−π2≤x≤−π12；解π2≤2x−π3≤2π3，得5π12≤x≤π2，∴f（x）在[−π2，π2]上的单调递减区间为：[−π2，−π12]，[5π12，π2]．18．（12分）以“庆丰收，促和美”为主题的2023年中国农民丰收节主场活动在安徽芜湖举办，志愿者的服务工作是丰收节成功举办的重要保障，芜湖市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为58和28，第三组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和140，据此估计这次面试成绩在[55，75）所有人的方差．解：（1）由频率分布直方图得{10a +0.65=0.7(2a +b +0.065)×10=1，解得{a =0.005b =0.025，所以每组的频率依次为0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，因为0.05+0.25+0.45＝0.75＜0.8，0.05+0.25+0.45+0.2＝0.95＞0.8， 所以第80百分位数在区间[75，85）内，设第80百分位数为x ， 可得0.75+0.02（x ﹣75）＝0.8， 解得x ＝77.5，所以第80百分位数为77.5．（2）设第二组、第三组的平均数与方差分别为x 1，x 2，s 12，s 22， 则x 1=58，x 2=72，s 12=28，s 22=140，可知第二组、第三组的频率之比为0.25：0.45＝5：9， 而成绩在[55，75）的平均数x =5×58+9×7214=67， 成绩在[55，75）的方差s 2=514[s 12+(x 1−x)2]+914[s 22+(x 2−x)2] =514[28+(58−67)2]+914[140+(72−67)2]=145， 故估计面试成绩在[55，75）的方差是145．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，0），直线l ：y ＝2x ﹣4，设⊙C 的半径为1，圆心C 在直线l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x ﹣1上，过点A 作⊙C 的切线，求切线的方程； （2）若⊙C 上存在点M ，使得|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：（1）由题设，知圆心C 是直线y ＝2x ﹣4和y ＝x ﹣1的交点， 联立方程{y =2x −4y =x −1，解得{x =3y =2，即两直线的交点坐标为（3，2），所以点C 的坐标为（3，2），圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝1， 当过点A （3，0）的切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝3，不满足条件；当过点A （3，0）的切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k ＝0，由题意得√k 2+1=1，解得k =±√3，所以切线方程为√3x −y −3√3=0或√3x +y −3√3=0；综上所述：所求切线方程为√3x −y −3√3=0或√3x +y −3√3=0． （2）因为圆心C 在直线y ＝2x ﹣4上，所以设点C 的坐标为（a ，2a ﹣4）， 圆C 的方程为（x ﹣a ）2+[y ﹣2（a ﹣2）]2＝1， 设点M （x ，y ），因为|MA |＝2|MO |， 所以√(x −3)2+y 2=2√x 2+y 2，化简得x 2+y 2+2x ﹣3＝0，即（x +1）2+y 2＝4，所以点M 在以点D （﹣1，0）为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M （x ，y ）在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点，则|2﹣1|≤|CD |≤2+1，即1≤√(a +1)2+(2a −4)2≤3，解得45≤a ≤2，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[45，2]．20．（12分）已知三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点均在半径为√2的球面上，且P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝BC ，AC ⊥BC ，N 为AB 的中点． （1）证明：PN ⊥平面ABC ；（2）若M 是线段PC 上的点，且平面MAB 与平面P AB 的夹角为45°，求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．（1）证明：连结PN ，CN ，因为P A ＝AC ，PB ＝BC ，AB ＝AB ，所以△P AB ≌△CAB ，所以∠APB ＝∠ACB ＝90°， 即△ABP 和△ABC 均为等腰直角三角形， 所以PN ＝CN =√22AC =√22PC ， 所以PN 2+CN 2＝PC 2，即PN ⊥CN ， 因为P A ＝PB ，N 为AB 的中点， 所以PN ⊥AB ，又CN ∩AB ＝N ，CN 、AB ⊂平面ABC ， 所以PN ⊥平面ABC ．（2）解：由（1）知，△ABP 和△ABC 均为等腰直角三角形， 所以NP ＝NA ＝NB ＝NC ，即点N 是球心， 连接MN ，因为P A ＝PB ，AC ＝BC ，PC ＝PC ，所以△ACP ≌△BCP ，所以MA ＝MB ， 因为点N 是AB 的中点，所以MN ⊥AB ，又PN ⊥AB ，所以∠PNM 就是平面MAB 与平面P AB 的夹角，即∠PNM ＝45°， 以N 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，√2，0），B （0，−√2，0），C （√2，0，0），P （0，0，√2），M （√22，0，√22），所以AM →=（√22，−√2，√22），BC →=（√2，√2，0），BP →=（0，√2，√2）， 设平面PBC 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BC →=0n →⋅BP →=0，即{√2x +√2y =0√2y +√2z =0， 令x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝1，所以n →=（1，﹣1，1）， 设AM 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜n →，AM →＞|=|n →⋅AM →||n →|⋅|AM →|=√22×2+√2√12+2+12=2√23，故AM 与平面PBC 所成角的正弦值为2√23． 21．（12分）在△ABC 中，AB ＝2，D 为AB 中点，CD =√2． （1）若BC =√2，求AC 的长； （2）若∠BAC ＝2∠BCD ，求AC 的长．解：（1）在△BDC 中，cos ∠BDC =BD 2+CD 2−BC22BD⋅CD =√24，cos ∠ADC ＝﹣cos ∠BDC ，在△ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2﹣2AD •CD cos ∠ADC ＝4，∴AC ＝2；（2）法一：设AC ＝x ，BC ＝y ， 在△ADC ，△BDC 中，由正弦定理，可得√2sin∠BAC =x sin∠ADC ，1sin∠BCD =y sin∠BDC，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，得sin∠BAC sin∠BCD=√2yx， 在△BDC 中，由余弦定理得cos ∠BCD =y 2+2−12√2y，由∠BAC ＝2∠BCD ，有sin ∠BAC ＝sin2∠BCD ＝2sin ∠BCD cos ∠BCD ，∴√2yx =2•22√2y，整理得2y 2＝x （y 2+1）①，又由cos ∠ADC ＝﹣cos ∠BDC ，22√2=−22√2，整理得x 2+y 2＝6②，联立①②得：x 3﹣2x 2﹣7x +12＝0，即（x ﹣3）（x 2+x ﹣4）＝0 又√2−1＜x ＜√2+1，故x =−1+√172， ∴AC =−1+√172． 法二：如图：构造等腰△ACE ，则∠BCD ＝∠E ， 易知△EBC ∽△CBD ，故EB CB=BC BD，即2+b a=a 1，∴a 2＝1+b ，结合a 2+b 2＝2（CD 2+AD 2）＝6， 可解得b =−1+√172．22．（12分）已知点A ，B 关于原点O 对称，点A 在直线x +y ＝0上，|AB |＝2，⊙C 过点A ，B 且与直线x +1＝0相切，设圆心C 的横坐标为a ． （1）求⊙C 的半径；（2）若a ＜2，已知点P （0，1），点M ，N 在⊙C 上，直线MN 不经过点P ，且直线PM ，PN 的斜率之和为﹣1，PD ⊥MN ，D 是垂足，问：是否存在一定点Q ，使得|DQ |为定值．解：（1）∵⊙C过点A，B，∴C在AB的中垂线上，∵点A在直线x+y＝0上，且点A，B关于原点O对称，∴C在直线x+y＝0上，则点C的坐标为（a，a），∵⊙C与直线x+1＝0相切，∴圆C的半径为|a+1|，连接AC，由已知得|AO|＝1，又CO⊥AO，∴|a+1|2＝（√2a）2+1，解得a＝0或a＝2，∴圆C的半径为r＝1或r＝3；（2）由（1）及a＜2，得a＝0，则圆C的方程为x2+y2＝1，设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN斜率存在时，设直线MN：y＝kx+m（m≠±1），代入圆的方程可得：（1+k2）x2+2kmx+m2﹣1＝0，则Δ＝（2km）2﹣4（1+k2）（m2﹣1）＝4（﹣m2+k2+1）＞0，得﹣m2+k2+1＞0，且x1+x2=−2km1+k2，x1x2=m2−11+k2，而（y1﹣1）x2+（y2﹣1）x1＝（kx1+m﹣1）x2+（kx2+m﹣1）x1＝2kx1x2（m﹣1）（x1+x2）∴k PM+k PN=y1−1x1+y2−1x2=(y1−1)x2+(y2−1)x1x1x2=2k+(m−1)(x1+x2)x1x2＝2k−(m−1)⋅2kmm2−1=2k−2kmm+1，∵直线PM，PN的斜率之和为﹣1，∴2k−2kmm+1=−1，得m＝﹣2k﹣1，代入y＝kx+m，得y＝kx﹣2k﹣1＝k（x﹣2）﹣1，∴直线MN恒过定点T（2，﹣1），当直线MN斜率不存在时，x1＝x2，y2＝﹣y1，∴k PM+k PN=y1−1x1+y2−1x2=−2x1，∴−2x1=−1，∴x1＝2，但﹣1＜x1＜1，且x1≠0，故不合题意，舍去，综上，直线MN恒过定点T（2，﹣1），又PD⊥MN，D是垂足，所以当Q为P，T的中点时，Q（1，0），此时|DQ|=12|PT|=√2为定值．第21页（共21页）。
2023-2024学年广东省广州二中教育集团高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州二中教育集团高一（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数f(x)=(x−1)√3−x的定义域为（ ）A ．（﹣∞，3]B ．（﹣∞，3）C ．（﹣∞，1）∪（1，3]D ．（﹣∞，1）∪（1，3）2．A ＝{x |x+2x−1≤0}，B ＝{x |x （x ﹣1）≤0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |0≤x ＜1}D ．{x |0＜x ≤1}3．若幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，√2），则f （5）的值是（ ） A ．√5B ．√55C ．15D ．254．设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知x ＞0，y ＞0，且2x +y ＝xy ，则x +2y 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．8√2D ．9√26．已知函数f （x ）＝x 3﹣x +7，若f （﹣a ）＝1，则f （a ）＝（ ） A ．﹣1B ．6C ．8D ．137．已知函数f （x ）={−2x ，(−1≤x ≤0)√x ，(0＜x ≤1)，则下列的图象错误的是（ ）A ．y ＝f （x ﹣1）的图象B ．y ＝f （﹣x ）的图象C ．y ＝|f （x ）|的图象D ．y ＝f （|x |）的图象8．已知函数f （x ）＝|x ﹣4|，若存在正实数k ，得方程f(x)=kx有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3.则x 1+x 2+x 3的取值范围是（ ）A．（4，2+2√2）B．（4，6+2√2）C．（6，4+2√2）D．（8，6+2√2）二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（）A．若a＞b，则ac＜bc B．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2D．若a＞0＞b，则|a|＜|b|10．已知f（x）＝x3，g（x）＝x2，则下列说法不正确的是（）A．当x∈（0，+∞）时，恒有f（x）≥g（x）B．f（x）与g（x）的图象仅有一个交点C．当x∈（0，1）时f（x）的图象在g（x）的图象下方D．存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＝g（x0）11．在下列四个命题中，正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”B．若不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+c＝2C．当x＞4时，x+4x−1的最小值是5D．存在a，使得不等式a+1a≤2成立12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名了“高斯函数”．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[﹣3.5]＝﹣4，[1.1]＝1．已知f(x)=12−2x2+2则关于函数g（x）＝[f（x）]的叙述中正确的有（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．g（x）的值域是{﹣1，0}D．g（x）是R上的减函数三、填空题（共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分）13．写出一个同时具有性质①对任意0＜x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）；②f（1）＝1的函数f（x）＝．14．已知函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）＝3x，则f（x）＝．15．若奇函数f（x）在（0，+∞）单调递减，f（1）＝﹣1，则不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1的解集为．16．若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如142+1＝197，1+9+7＝17，则f（14）＝17；记f1（n）＝f（n），f2（n）＝f（f1（n）），…，f k+1（n）＝f（f k（n）），k∈N*，则（1）f2（8）＝；（2）f2023（8）＝．四、解答题（本题共6小题，17题10分，18-22每题12分，共70分。
2023-2024学年浙江省杭州二中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{0}B ．{﹣1，0}C ．{0，1}D ．{﹣1，0，1}2．已知函数f （2x +1）＝x 2+1，则f （3）＝（ ） A ．1B ．2C ．4D ．63．“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （2x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，0）D ．(12，1)5．若函数f （x ）是R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则下列关系成立的是（ ） A ．f （﹣3）＞f （0）＞f （1） B ．f （﹣3）＞f （1）＞f （0） C ．f （1）＞f （0）＞f （﹣3）D ．f （1）＞f （﹣3）＞f （0）6．若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−235，+∞)B ．(−235，1)C ．（1，+∞）D ．(−∞，−235)7．已知m +e m ＝e ，n +5n ＝e ，则下列选项正确的是（ ） A ．0＜m ＜n ＜1B ．0＜n ＜m ＜1C ．1＜m ＜n ＜eD ．1＜n ＜m ＜e8．设函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ，对于任意m ，n ∈D ，若所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知x ，y 是正数，且2x +y ＝1，下列叙述正确的是（ ） A ．2xy 最大值为14B ．4x 2+y 2的最小值为12C ．x （x +y ）最大值为14D ．1x+1y最小值为3+2√210．已知a ＞0，函数f （x ）＝x a ﹣a x （x ＞0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设函数f(x)=10x10x +1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[f(x)−12]的函数值可能是（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．212．著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如√(x −a)2+(y −b)2的代数式，可以转化为平面上点M （x ，y ）与N （a ，b ）的距离加以考虑．结合综上观点，对于函数f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|，下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f （x ）的图象是轴对称图形B ．y ＝f （x ）的值域是[0，4]C ．f （x ）先减小后增大D ．方程f(f(x))=√13−√5有且仅有一个解三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数，则实数m 的值为 ．14．已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则实数a 的取值范围是 ．15．f(x)=log 24x ⋅log 14x 2，x ∈[12，4]的最大值为 ．16．已知函数f （x ）＝x 2+mx +n （m ，n ∈R ），记集合A ＝{x |f （x ）≤0}，B ＝{x |f （f （x ）+2）≤0}，若A ＝B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣ax +a 2﹣19＝0}，B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}． （1）若A ∩B ＝A ∪B ，求实数a 的值；（2）若∅⫋（A ∩B ）且A ∩C ＝∅，求实数a 的值． 18．（12分）计算：（1）(14)−12√(4ab−1)3(0.1)−1⋅(a 3⋅b−3)12；（2）log √39+12lg25+lg2−log 49×log 38+2log 23+ln √e ． 19．（12分）已知函数f(x)=2x −12x ． （1）用定义法证明：f （x ）在R 上单调递增；（2）若对任意x ∈[﹣1，1]，不等式f （3x 2+1）+f （k ﹣x 2）≥0恒成立，求实数k 的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值；（2）若方程f （x ）﹣m ＝0有解，求m 的取值范围．21．（12分）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一．在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR 智能巴士．某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足5≤t ≤20，t ∈N ，经测算，该路无人驾驶公交车载客量p （t ）与发车时间间隔t 满足：p(t)={60−(t −10)2，5≤t ＜1060，10≤t ≤20，其中t ∈N ．（1）求p （5），并说明p （5）的实际意义； （2）若该路公交车每分钟的净收益y =6p(t)+24t−10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．22．（12分）已知函数f(x)=|tx 2−5x+4tx|，其中常数t ＞0．（1）若函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，求t 的取值范围；（2）当t ＝1时，是否存在实数a 和b ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]上单调，且此时f （x ）的取值范围是[ma ，mb ]．若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{0}B ．{﹣1，0}C ．{0，1}D ．{﹣1，0，1}解：A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A ∩B ＝{﹣1，0}． 故选：B ．2．已知函数f （2x +1）＝x 2+1，则f （3）＝（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6解：因为f （2x +1）＝x 2+1， 令t =2x +1，x =t−12，f(t)=(t−12)2+1， 即f(x)=(x−12)2+1，所以f （3）＝2． 故选：B ．3．“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若x 2+y 2＝0，则x ＝0，y ＝0，所以可得xy ＝0， 即由“x 2+y 2＝0”可以推出“xy ＝0”，若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0，得不到x 2+y 2＝0，例如x ＝0，y ＝2， 即由“xy ＝0”推不出“x 2+y 2＝0”，所以“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的充分不必要条件． 故选：A ．4．已知函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （2x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，0）D ．(12，1)解：函数f （x ）的定义域为（0，1），令0＜2x ﹣1＜1，解得12＜x ＜1． 故选：D ．5．若函数f （x ）是R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则下列关系成立的是（ ） A ．f （﹣3）＞f （0）＞f （1） B ．f （﹣3）＞f （1）＞f （0） C ．f （1）＞f （0）＞f （﹣3）D ．f （1）＞f （﹣3）＞f （0）解：根据题意，函数f （x ）为R 上的偶函数，则f （﹣3）＝f （3）， 又由函数在[0，+∞）上是增函数，f （0）＜f （1）＜f （3）， 则有f （﹣3）＞f （1）＞f （0）． 故选：B ．6．若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−235，+∞) B ．(−235，1) C ．（1，+∞） D ．(−∞，−235) 解：令函数f （x ）＝x 2+ax ﹣2，若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上无解， 则{f(1)≤0f(5)≤0，即{a −1≤052+5a −2≤0，解得a ≤−235．所以使得关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解的a 的范围是（−235，+∞）． 故选：A ．7．已知m +e m ＝e ，n +5n ＝e ，则下列选项正确的是（ ） A ．0＜m ＜n ＜1B ．0＜n ＜m ＜1C ．1＜m ＜n ＜eD ．1＜n ＜m ＜e解：构造函数f （x ）＝x +e x ，g （x ）＝x +5x ，f （m ）＝m +e m ＝e ，g （n ）＝n +5n ＝e ， 易知函数f （x ），g （x ）为增函数．函数f （x ），g （x ）与函数y ＝e 的图象，如下图所示： 由图可知，0＜n ＜m ．又f （1）＝1+e ＞f （m ），g （1）＝1+5＞g （n ）， 所以m ＜1，n ＜1． 综上，0＜n ＜m ＜1． 故选：B ．8．设函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ，对于任意m ，n ∈D ，若所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣4解：函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ＝{x |ax 2﹣2ax ≥0}＝{x |0≤x ≤2}， 因为对于任意m ，n ∈D ，所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域， 所以正方形的边长为2， 又因为f （0）＝f （2）＝0， 所以函数f （x ）的最大值为2， 即ax （x ﹣2）的最大值为4，所以x ＝1时，f （1）=√a ⋅(−1)=2，解得a ＝﹣4． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知x ，y 是正数，且2x +y ＝1，下列叙述正确的是（ ） A ．2xy 最大值为14B ．4x 2+y 2的最小值为12C ．x （x +y ）最大值为14D ．1x+1y最小值为3+2√2解：因为x ，y 是正数，且2x +y ＝1， 所以2xy ≤(2x+y 2)2=14，当且仅当2x ＝y =12时取等号，A 正确； 4x 2+y 2＝（2x +y ）2﹣4xy ＝1﹣4xy ≥1−12=12，当且仅当2x ＝y =12时取等号，此时4x 2+y 2取得最小值12，B 正确； x （x +y ）≤(x+x+y 2)2=14，当且仅当x ＝x +y ，即y ＝0时取等号，根据题意显然y ＝0不成立，即等号不能取得，x （x +y ）没有最大值，C 错误；1x+1y=2x+y x+2x+y y =3+yx+2xy ≥3+2√2，当且仅当y x =2x y且2x +y ＝1，即x ＝1−√22，y =√2−1时取等号，此时1x+1y取得最小值3+2√2，D 正确．故选：ABD ．10．已知a ＞0，函数f （x ）＝x a ﹣a x （x ＞0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：当0＜a ＜1时，函数y ＝x a 在（0，+∞）上单调递增，函数y ＝a x 在（0，+∞）上单调递减， 因此函数f （x ）＝x a ﹣a x 在（0，+∞）上单调递增，而f （0）＝﹣1，f （a ）＝0，函数图象为曲线，A 可能；当a ＝1时，函数f （x ）＝x ﹣1在（0，+∞）上的图象是不含端点（0，﹣1）的射线，B 可能； 当a ＞1时，取a ＝2，有f （2）＝f （4）＝0，即函数f （x ）＝x 2﹣2x ，x ＞0图象与x 轴有两个公共点， 又x ∈（0，+∞），随着x 的无限增大，函数y ＝a x 呈爆炸式增长，其增长速度比y ＝x a 的大，因此存在正数x 0，当x ＞x 0时，x 02＜a x 0恒成立，即f （x ）＜0，C 可能，D 不可能．故选：ABC ．11．设函数f(x)=10x10x +1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[f(x)−12]的函数值可能是（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．2解：因为0＜10x ，则110x+1＞1，所以函数f(x)=10x10x +1=11+110x的值域是（0，1），则f(x)−12的范围是(−12，12)，于是y =[f(x)−12]的函数值可能是﹣1或0． 故选：AB ．12．著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如√(x −a)2+(y −b)2的代数式，可以转化为平面上点M （x ，y ）与N （a ，b ）的距离加以考虑．结合综上观点，对于函数f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|，下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f （x ）的图象是轴对称图形B ．y ＝f （x ）的值域是[0，4]C ．f （x ）先减小后增大D ．方程f(f(x))=√13−√5有且仅有一个解解：f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|=|√(x +1)2+22−√(x −3)2+22|． 此函数即为x 轴上的点P （x ，0）到A （﹣1，2）与B （3，2）两点距离之差的绝对值， 故其图象关于x ＝1轴对称，A 正确；当x ＝1时，函数最小值为0，当x 趋近于无限大时，函数值无限接近4，其值域为[0，4），故B 错误； 由f （x ）＝||P A |﹣|PB ||，可得当x ∈（1，+∞）时，|P A |﹣|PB |随x 的增大而增大，故当f （x ）在（1，+∞）上为增函数， 由A 可得f （x ）在（﹣∞，1）上为减函数，故C 正确；令t ＝f （x ），当t ＝0或2时，f(t)=√13−√5，当f （x ）＝0时，x ＝1； 当f （x ）＝2时，由图象可知，f （x ）有两个实根，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数，则实数m 的值为 ﹣1或2 ． 解：要使函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数， 则 m 2﹣m ﹣1＝1 解得：m ＝﹣1或2． 故答案为：﹣1或2．14．已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则实数a 的取值范围是 [13，23） ．解：根据题意，已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则有{3a −2＜00＜a ＜1(3a −2)+3a ≥0，解可得13≤a ＜23，即a 的取值范围为[13，23）．故答案为：[13，23）．15．f(x)=log 24x ⋅log 14x2，x ∈[12，4]的最大值为 98．解：当12≤x ≤4时，f （x ）＝log 24x •lo g 14x 2=（2+log 2x ）（−12log 2x +12），令t ＝log 2x ，﹣1≤t ≤2，则原函数可化为g （t ）=−12（2+t ）（t ﹣1）=−12（t 2+t ﹣2）， 根据二次函数的性质可知，当t =−12时，函数取得最大值98．故答案为：98．16．已知函数f （x ）＝x 2+mx +n （m ，n ∈R ），记集合A ＝{x |f （x ）≤0}，B ＝{x |f （f （x ）+2）≤0}，若A ＝B ≠∅，则实数m 的取值范围是 [﹣4，0] ． 解：因为A ＝B ≠∅，所以m 2﹣4n ≥0， 设x 2+mx +n ＝0的两个根为x 1，x 2（设x 1≤x 2），x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝n ，A ＝{x |f （x ）≤0}＝{x |x 1≤x ≤x 2}，由f （f （x ）+2）≤0，得x 1≤f （x ）+2≤x 2，即x 1﹣2≤f （x ）≤x 2﹣2， 由于A ＝B ，则x 2﹣2＝0，且x 1−2≤4n−m 24（二次函数最小值）， x 2﹣2＝0⇒x 2＝2，因此有x 1+2＝﹣m ，2x 1＝n ，所以n ＝﹣2m ﹣4， 代入m 2﹣4n ≥0，得m 2+8m +16≥0，此式恒成立，代入x 1−2≤4n−m 24，得−m −4≤−8m−16−m 24，解得﹣4≤m ≤0， 所以m 的取值范围为[﹣4，0]． 故答案为：[﹣4，0]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣ax +a 2﹣19＝0}，B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}． （1）若A ∩B ＝A ∪B ，求实数a 的值；（2）若∅⫋（A ∩B ）且A ∩C ＝∅，求实数a 的值．解：（1）由题可得B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}＝{2，3}，由A ∩B ＝A ∪B ，得A ＝B ． 从而2，3是方程x 2﹣ax +a 2﹣19＝0的两个根，即{2+3=a 2×3=a 2−19，解得a ＝5．（2）因为B ＝{2，3}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}＝{﹣1，3}． 因为∅⫋（A ∩B ），所以A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，所以2∈A ， 即4﹣2a +a 2﹣19＝0，a 2﹣2a ﹣15＝0，解得a ＝5或a ＝﹣3． 当a ＝5时，A ＝{2，3}，则A ∩C ≠∅，不符合题意；当a ＝﹣3时，A ＝{﹣5，2}，则∅⫋A ∩B ＝{2}且A ∩C ＝∅，故a ＝﹣3符合题意， 综上，实数a 的值为﹣3． 18．（12分）计算：（1）(14)−12√(4ab−1)3(0.1)−1⋅(a 3⋅b−3)12； （2）log √39+12lg25+lg2−log 49×log 38+2log 23+ln √e ． 解：（1）原式=412×432a 32b −3210⋅a 32⋅b −32=2×810×1=85；（2）原式=log 31232+lg 5+lg 2﹣log 23×3log 32+3+lne 12=4+1﹣3+3+12=112．19．（12分）已知函数f(x)=2x −12x ． （1）用定义法证明：f （x ）在R 上单调递增；（2）若对任意x ∈[﹣1，1]，不等式f （3x 2+1）+f （k ﹣x 2）≥0恒成立，求实数k 的取值范围． 证明：（1）设任意两个实数x 1，x 2满足x 1＜x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=2x 1−12x 1−2x 2+12x 2=(2x 1−2x 2)(1+12x 1⋅2x 2)， ∵x 1＜x 2，∴2x 1＜2x 2，1+12x 1⋅2x 2＞0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在R 上为单调递增；解：（2）原不等式化为f （3x 2+1）⩾﹣f （k ﹣x 2）， ∵f （﹣x ）＝2﹣x ﹣2x ＝﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数，∴不等式化为f （3x 2+1）⩾f （x 2﹣k ）， 又f （x ）是增函数，所以3x 2+1⩾x 2﹣k ， ∴问题转化为∀x ∈[﹣1，1]，2x 2+1⩾﹣k 恒成立， ∴k ⩾﹣1，则实数k 的取值范围为[﹣1，+∞）．20．（12分）已知函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值；（2）若方程f （x ）﹣m ＝0有解，求m 的取值范围． 解：（1）由函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． 可知f （x ）＝f （﹣x ）∴log 4（4x +1）+kx ＝log 4（4﹣x +1）﹣kx （（2分）即log 44x+14−x +1=−2kx∴log 44x ＝﹣2kx （4分）∴x ＝﹣2kx 对x ∈R 恒成立．（6分）∴k =−12．（7分）（2）由m =f(x)=log 4(4x +1)−12x ，∴m =log 44x +12x =log 4(2x +12x )．（9分）∵2x +12x ≥2（11分） ∴m ≥12（13分）故要使方程f （x ）﹣m ＝0有解，m 的取值范围：m ≥12．（14分）21．（12分）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一．在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR 智能巴士．某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足5≤t ≤20，t ∈N ，经测算，该路无人驾驶公交车载客量p （t ）与发车时间间隔t 满足：p(t)={60−(t −10)2，5≤t ＜1060，10≤t ≤20，其中t ∈N ．（1）求p （5），并说明p （5）的实际意义；（2）若该路公交车每分钟的净收益y =6p(t)+24t −10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．解：（1）p （5）＝60﹣（5﹣10）2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；（2）∵y =6p(t)+24t−10， ∴当5≤t ＜10时，y =360−6(t−10)2+24t −10=110−(6t +216t)， 任取5≤t 1＜t 2≤6，则y 1−y 2=[110−(6t 1+216t 1)]−[110− (6t 2+216t 2)]=6(t 2−t 1)+216t 2−216t 1=6(t 2−t 1)+ 216(t 1−t 2)t 1t 2=6(t 2−t 1)(t 1t 2−36)t 1t 2，∵5≤t 1＜t 2≤6，∴t 2﹣t 1＞0，25＜t 1t 2＜36，∴y 1﹣y 2＜0，∴函数y =110−(6t +216t )在区间[5，6]上单调递增，同理可证该函数在区间[6，10）上单调递减， ∴当t ＝6时，y 取得最大值38；当10≤t ≤20时，y =6×60+24t −10=384t −10， 该函数在区间[10，20]上单调递减，则当t ＝10时，y 取得最大值28.4，综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．22．（12分）已知函数f(x)=|tx 2−5x+4t x|，其中常数t ＞0． （1）若函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，求t 的取值范围；（2）当t ＝1时，是否存在实数a 和b ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]上单调，且此时f （x ）的取值范围是[ma ，mb ]．若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）根据题意，由f(x)=|tx 2−5x+4t x |，得f(x)=|t(x +4x)−5|， 设ℎ(x)=t(x +4x )，由于t ＞0，则h （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调且h （x ）≥4t ，要使函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，只需4t ﹣5≥0，解可得t ≥54；所以t 的取值范围为[54，+∞）； （2）根据题意，当t ＝1时，f （x ）＝|x 2−5x+4x |＝|x +4x−5|， 其草图如图：易得f （x ）在（0，1）、（1，2）、（2，4）、（4，+∞）均为单调函数．分4种情况处理：①当[a ，b ]⊆（0，1]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递减，则{f(a)=mb f(b)=ma，两式相除整理，得（a ﹣b ）（a +b ﹣5）＝0． ∵a ，b ∈（0，1]，∴上式不成立，即a ，b 无解，m ∈∅；②当[a ，b ]⊆（1，2]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递增，则{f(a)=ma f(b)=mb ，即m =−4a 2+5a −1，在a ∈（1，2]有两个不等实根， 令1a =t ∈[12，1)，则−4a 2+5a −1=φ(t)=−4(t −58)2+916，作φ（t ）在[12，1)的图像可知，12≤m ＜916；③当[a ，b ]⊆（2，4]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递减，则{f(a)=mb f(b)=ma，两式相除整理，得（a ﹣b ）（a +b ﹣5）＝0， ∴a +b =5∴b =5−a ＞a ∴2＜a ＜52，由−a −4a +5=mb ，得m =5−a−4a 5−a =1+4a(a−5)=1+4(a−52)2−254， 则m 关于a 的函数是单调的，而m =5−a−4a 5−a应有两个不同的解，∴此种情况无解； ④当[a ，b ]⊆[4，+∞）时，同（I ）可以解得m ∈∅，综上，m 的取值范围为[12，916)．。
2023-2024学年山东省青岛二中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．y =12x −1B ．y =12x +1C ．y ＝﹣2x +1D ．y ＝﹣2x ﹣12．两条平行直线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离是（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．323．若椭圆x 23+y 24=1的长轴端点与双曲线y 22−x 2m=1的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣2D ．24．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，C 的一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√555．如果直线y =−√33x +m 曲线y =√1−x 2有两个不同的公共点，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[1，2√33）B ．[√33，2√33）C ．（−√33，2√33] D ．（−2√33，2√33） 6．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 且斜率为12的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．x 245+y 236=1 B ．x 236+y 227=1C ．x 227+y 218=1D ．x 218+y 29=17．已知直线l ：y =kx +18与抛物线y ＝2x 2相交于A ，B 两点，若|AF |＝1，则|AB |＝（ ） A ．2 B ．87C ．98D ．328．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△PF 1F 2的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√33C ．√32D ．√63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程C ：x 216+k −y 29−k =1(k ∈R)，则下列说法中正确的有（ ） A ．方程C 可表示圆B ．当k ＞9时，方程C 表示焦点在x 轴上的椭圆C ．当﹣16＜k ＜9时，方程C 表示焦点在x 轴上的双曲线D ．当方程C 表示椭圆或双曲线时，焦距均为1010．已知圆C 1：x 2+y 2＝9与圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16，下列说法正确的是（ ） A ．C 1与C 2的公切线恰有4条B ．C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0 C ．C 1与C 2相交弦的弦长为245D ．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝1211．已知双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，则（ ）A ．若∠F 1PF 2=π3，则△PF 1F 2的面积为2√3B ．直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于M ，N 两点，则|PM |＝|NQ |C ．若P A 1的斜率的范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14] D ．存在直线l 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0，使得弦PQ 的中点坐标为（1，1）12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，与y 轴交于点E ，过点P 作抛物线的切线与准线交于点M ，连接QM ，若PQ →=3QE →，则（ ） A ．k MP •k MQ ＝﹣1 B ．PF →=2FQ →C ．∠MFQ 为钝角D ．S △POQ ：S △PMQ ＝4：9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为 ．14．若直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点），则k 的值为 ． 15．一动圆C 与圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0内切，则动圆C 圆心的轨迹方程为 ． 16．如图，过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，若|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ，则双曲线的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），求： （1）求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的外接圆的标准方程．18．（12分）已知直线x ﹣my ﹣4＝0和圆O ：x 2+y 2＝5，且直线和圆交于A ，B 两点． （1）当m 为何值时，截得的弦长为4； （2）若OA →⋅QB →≤0，求m 的取值范围．19．（12分）已知O 为坐标原点，A （1，0），B （﹣1，0），直线AM ，BM 的斜率之积为4，记动点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）直线l 经过点（0，﹣2），与E 交于P ，Q 两点，线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为2，求|PQ |．20．（12分）已知动圆C 过定点D （2，0），且截y 轴所得弦长为4． （1）求动圆圆心的轨迹T 的方程；（2）过点T （0，1）的直线L 与轨迹T 交于A ，B 两点，若F 为轨迹T 的焦点，且满足k F A +k FB ＝1，求|TA |•|TB |的值．21．（12分）椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点，且过(1，32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线x ＝4上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P ，Q ．（i ）证明：点B 在以PQ 为直径的圆内； （ii ）求四边形APBQ 面积的最大值．22．（12分）已知点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上． （1）双曲线上动点Q 处的切线交C 的两条渐近线于A ，B 两点，其中O 为坐标原点，求证：△AOB 的面积S 是定值；（2）已知点P(12，1)，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足|PM||PN|=|MH||HN|，证明：点H 恒在一条定直线上．2023-2024学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．y =12x −1B ．y =12x +1C ．y ＝﹣2x +1D ．y ＝﹣2x ﹣1解：∵关于x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线的函数表达式是﹣y ＝2x +1，即y ＝﹣2x ﹣1． 故选：D ．2．两条平行直线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离是（ ） A ．0B ．12C ．1D ．32解：3x +4y ﹣5＝0，即6x +8y ﹣10＝0，故这两平行线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离为√62+82=12．故选：B ． 3．若椭圆x 23+y 24=1的长轴端点与双曲线y 22−x 2m=1的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣2D ．2解：椭圆x 23+y 24=1的长轴端点为（0，2），（0，﹣2），所以双曲线的焦点为（0，2），（0，﹣2）， 所以2+m ＝4，所以m ＝2． 故选：D ． 4．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，C 的一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√55解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，可得c =√5a ，所以b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±2x ，一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y ＝2x 的距离为：√1+4=√5，所以|AB |＝2√1−15=4√55． 故选：D ． 5．如果直线y =−√33x +m 曲线y =√1−x 2有两个不同的公共点，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[1，2√33） B ．[√33，2√33）C ．（−√33，2√33]D ．（−2√33，2√33）解：由y =√1−x 2可得：x 2+y 2＝1，（y ≥0），则该曲线为以原点为圆心，以1为半径的x 轴上方的半圆， 直线和曲线的图象如图所示： 当直线与圆相切于点C 1+(−√33)=1，解得m =2√33， 当直线与半圆相交于AB 两点时，把A （1，0）代入直线方程可得：m =√33， 则由数形结合可得直线与曲线有两个不同的交点时，m 的取值范围为：[√33，2√33）， 故选：B ．6．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 且斜率为12的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．x 245+y 236=1 B ．x 236+y 227=1C ．x 227+y 218=1D ．x 218+y 29=1解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则代入椭圆方程，两式相减可得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，∵线段AB 的中点坐标为（1，﹣1），∴y 1−y 2x 1−x 2=b 2a 2，∵直线的斜率为12， ∴b 2a 2=12，∵右焦点为F （3，0）， ∴a 2﹣b 2＝9， ∴a 2＝18，b 2＝9， ∴椭圆方程为：x 218+y 29=1．故选：D ．7．已知直线l ：y =kx +18与抛物线y ＝2x 2相交于A ，B 两点，若|AF |＝1，则|AB |＝（ ） A ．2B ．87C ．98D ．32解：由抛物线y ＝2x 2方程可知p =14， 因为直线过抛物线的焦点F ， 当k ＝0时，直线方程为y =18， 则|AF|=p =14不满足题意， 即k ≠0， 联立{y =kx +18y =2x2，消x 可得：2y 2−(12+k 2)y +132=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=1+2k 24，y 1y 2=164，由抛物线的定义可得：1|AF|+1|BF|=1y 1+18+1y 2+18=y 1+y 2+14y 1y 2+18(y 1+y 2)+164=1+2k 24+1418×1+2k 24+132=8，因为|AF |＝1， 所以|BF|=17，所以|AB|=|AF|+|BF|=1+17=87． 故选：B ．8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△PF 1F 2的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√33C ．√32 D ．√63解：如图，设P （m ，n ）（m ＞0，n ＞0），则G （m 3，n3），因为IG 与x 轴平行，所以I 的纵坐标为n3，即△PF 1F 2的内切圆的半径r =n 3，则S △PF 1F 2=12⋅2c ⋅n =12(2a +2c)⋅n3， 所以3c ＝a +c ， ∴e =c a =12， 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程C ：x 216+k −y 29−k=1(k ∈R)，则下列说法中正确的有（ ）A ．方程C 可表示圆B ．当k ＞9时，方程C 表示焦点在x 轴上的椭圆C ．当﹣16＜k ＜9时，方程C 表示焦点在x 轴上的双曲线D ．当方程C 表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 解：方程C ：x 216+k −y 29−k=1(k ∈R)， 对于A ，当方程C 可表示圆时，16+k ＝k ﹣9＞0，无解，故A 错误； 对于B ，当k ＞9时，x 216+k−y 29−k=x 216+k+y 2k−9=1，16+k ＞k ﹣9，表示焦点在x 轴上的椭圆，故B正确；对于C ，当﹣16＜k ＜9时.x 216+k−y 29−k=1，16+k ＞0，9﹣k ＞0，表示焦点在x 轴上的双曲线，故C 正确；对于D ，当方程C 表示双曲线时，c 2＝16+k +9﹣k ＝25；当方程C 表示椭圆时，c 2＝16+k ﹣（k ﹣9）＝25，所以焦距均为10，故D 正确． 故选：BCD ．10．已知圆C 1：x 2+y 2＝9与圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16，下列说法正确的是（ ） A ．C 1与C 2的公切线恰有4条B ．C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0 C ．C 1与C 2相交弦的弦长为245D ．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝12解：由已知得圆C 1的圆心C 1（0，0），半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2（3，4），半径r 2＝4，|C 1C 2|=√(3−0)2+(4−0)2=5，r 2−r 1＜d ＜r 1+r 2，故两圆相交，所以C 1与C 2的公切线恰有2条，故A 错误； 两圆方程相减可得C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0， 所以C 1到相交弦的距离为95，故相交弦的弦长为2√9−(95)2=245，故B ，C 正确；．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝|C 1C 2|+r 1+r 2＝12，故D 正确． 故选：BCD ．11．已知双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，则（ ）A ．若∠F 1PF 2=π3，则△PF 1F 2的面积为2√3B ．直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于M ，N 两点，则|PM |＝|NQ |C ．若P A 1的斜率的范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14] D ．存在直线l 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0，使得弦PQ 的中点坐标为（1，1）解：双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，在双曲线x 2−y 22=1中，a =1，b =√2，c =√3，A 1(−1，0)，A 2(1，0)，F 1(−√3，0)，F 2(√3，0)． 对于A ，易得△PF 1F 2为双曲线的焦点三角形，所以S △PF 1F 2=b2tan θ2=2√3，故A 正确； 对于B ，不妨设x 2−y 22=λ，当λ＝1时表示双曲线，当λ＝0时表示该双曲线的两条渐近线．设直线l ：y ＝kx +m ，与双曲线方程联立后可得（k 2﹣2）x 2+2kmx +m 2+2λ＝0，应满足k 2﹣2≠0且Δ＞0．由韦达定理可知x 1+x 2=2km 2−k2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2k 2m 2−k2+2m ，都与λ无关．所以线段PQ 的中点与线段MN 的中点重合，不妨设为T ．由|PT |＝|QT |，|NT |＝|MT |可知|PM |＝|QN |，故B 正确； 对于C ，由于P 在双曲线上，A 1，A 2分别为双曲线的左右顶点，由性质可得k PA 1⋅k PA 2=b2a2=2，所以若P A 1的斜率范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14]，C 正确；对于D ，将直线方程与双曲线联立，可得Δ＜0，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，D 错误． 故选：ABC ．12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，与y 轴交于点E ，过点P 作抛物线的切线与准线交于点M ，连接QM ，若PQ →=3QE →，则（ ） A ．k MP •k MQ ＝﹣1 B ．PF →=2FQ →C ．∠MFQ 为钝角D ．S △POQ ：S △PMQ ＝4：9解：由题可知p ＝2， 因为PQ →=3QE →， 所以有|EP |＝4|EQ |，过P ，Q 作y 轴的垂线分别交于P '，Q '， 根据三角形相似可得|PP '|＝4|QQ '|， 即x P ＝4x Q ，又因为x P x Q =p 24=1， 得x P =2，x Q =12，所以P(2，2√2)，Q(12，−√2)， 则直线l ：y =2√2x −2√2．对于A ，由切线方程yy 0＝p （x +x 0）可得，过点P(2，2√2)的切线方程为x −√2y +2=0， 与准线相交于M(−1，√22)，易得k MP •k MQ ＝﹣1， 即A 正确；对于B ，由x P =2，x Q =12可得|PF|=3，|QF|=32， 则PF →=2FQ →， 即B 正确；对于C ，因为FM →=(−2，√22)，FQ →=(−12，−√2)，FM →⋅FQ →=0， 所以∠MFQ 为直角， 即C 错误；对于D ，因为△POQ 与△PMQ 同底， 则面积之比即为高之比，又点O 到PQ 的距离d 1=2√2√8+1=2√23，点M 到PQ 的距离d 2=|−2√2−√22−2√2|√8+1=3√22，所以S △POQS △PMQ=d 1d 2=2√233√22=49，即D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为 y =124． 解：根据题意，抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为x 2=−16y ， 其开口向下，且p =112， 则其准线方程为：y =124；故答案为：y =124． 14．若直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点），则k 的值为 ±1 ．解：因为直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点）， 可得∠OPQ =π4，所以圆心到直线y ＝kx +1的距离为d ＝OP •sin =π4=√22， 又圆心O （0，0）到直线y ＝kx +1的距离d =|0−0+1|√k +1，所以√k 2+12=√22⇒k ＝±1． 故答案为：±1．15．一动圆C 与圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0内切，则动圆C 圆心的轨迹方程为y 225+x 221=1 ．解：圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0的圆心坐标为C 1（0，﹣2），半径为r 1＝1， 圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0的圆心坐标为C 2（0，2），半径为r 2＝9， 设动圆C 的圆心坐标为C （x ，y ），半径为r ， 则|CC 1|＝r +1，|CC 2|＝9﹣r ， 则|CC 1|+|CC 2|＝r +1+9﹣r ＝10，则点C 的轨迹是以（0，﹣2），（0，2）为焦点，长轴长为10的椭圆， 设其方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，则2a ＝10，c ＝2，可得a 2＝25，b 2＝a 2﹣c 2＝25﹣4＝21， 则动圆C 圆心的轨迹方程为y 225+x 221=1．故答案为：y 225+x 221=1． 16．如图，过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，若|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ，则双曲线的离心率为53．解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 2（c ，0）（c ＞0），连接PF 2，OM ．则△PF 2F 中，|FM |＝|MP |，|FO |＝|OF 2|， 则|MO|=12|PF 2|，由直线FT 与圆x 2+y 2＝a 2相切，可得|FT|=√|OF|2−|OT|2=√c 2−a 2=b ． 又双曲线x 2a 2−y 2b 2=1中，|PF |﹣|PF 2|＝2a ，则|MO|−|MT|=12|PF 2|−(12|PF|−|FT|)=12(|PF 2|−|PF|)+|FT|=b −a ， 又|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ， 则2a ﹣c ＝b ﹣a ， 整理得3a ﹣c ＝b ，两边平方整理得5a 2﹣3ac ＝0， 则双曲线的离心率e =ca =53． 故答案为：53．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），求： （1）求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的外接圆的标准方程． 解：（1）A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3）， AC =√[2−(−4)]2+(1−3)2=2√10， AB =√(2−4)2+(1−7)2=2√10， BC =√[4−(−4)]2+(7−3)2=4√5，△ABC 为等腰三角形，可得BC 中点D （0，5），所以ℎ=|AD|=2√5，S △ABC =12ℎ×|BC|=20，故△ABC 的面积为20； （2）A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），则k AB =62=3，k AC =2−6=−13， 因为k AB •k AC ＝﹣1，所以AB ⊥AC ，所以外接圆圆心O 恰好为BC 中点D （0，5），r =√22+42=2√5， 所以三角形外接圆标准方程为x 2+（y ﹣5）2＝20．18．（12分）已知直线x ﹣my ﹣4＝0和圆O ：x 2+y 2＝5，且直线和圆交于A ，B 两点． （1）当m 为何值时，截得的弦长为4； （2）若OA →⋅QB →≤0，求m 的取值范围．解：（1）由圆O ：x 2+y 2＝5，可得圆心O （0，0），半径r =√5， 设直线与圆心距离为d ， 因为|AB |＝4，所以d =√r 2−(|AB|2)2=√5−4=1， 又圆心到直线的距离为d =√1+m 2，所以√1+m 2=1，解得m ＝±√15；（2）因为OA →⋅OB →≤0，所以∠AOB ≥π2，有r ≥√2d ，即√5≥42√1+m 2，解得m ∈(−∞，−3√155]∪[3√155，+∞)， 所以m 的取值范围为（﹣∞，−3√155]∪[3√155，+∞）． 19．（12分）已知O 为坐标原点，A （1，0），B （﹣1，0），直线AM ，BM 的斜率之积为4，记动点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）直线l 经过点（0，﹣2），与E 交于P ，Q 两点，线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为2，求|PQ |．解：（1）不妨设点M 的坐标为（x ，y ）， 因为k AM =y x−1，k BM =yx+1， 所以k AM ⋅k BM=y 2x 2−1=4， 整理得x 2−y 24=1，所以E 的方程为x 2−y 24=1(x ≠±1)；（2）当直线PQ 的斜率不存在时，显然不符合题意；不妨设直线PQ 方程为y ＝kx ﹣2，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立{y =kx −2x 2−y 24=1，消去y 并整理得（4﹣k 2）x 2+4kx ﹣8＝0，此时Δ＝16k 2+32（4﹣k 2）＞0且4﹣k 2≠0， 解得k 2＜8且k 2≠4， 由韦达定理得x 1+x 2=4k k 2−4，x 1x 2=8k 2−4，因为线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为4， 所以x 1+x 2＞0，y 1+y 2=k(x 1+x 2)−4=16k 2−4=8，解得k =√6或k =−√6（舍去）， 所以直线PQ 为y =√6x −2， 此时x 1+x 2=2√6，x 1x 2＝4，则|PQ|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√7⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√14． 20．（12分）已知动圆C 过定点D （2，0），且截y 轴所得弦长为4． （1）求动圆圆心的轨迹T 的方程；（2）过点T （0，1）的直线L 与轨迹T 交于A ，B 两点，若F 为轨迹T 的焦点，且满足k F A +k FB ＝1，求|TA |•|TB |的值．解：（1）不妨设动圆圆心O 1（x ，y ），圆O 1截y 轴所得弦为MN ， 此时|O 1D |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ， 此时点H 为MN 的中点， 所以√x 2+22=√(x −2)2+y 2， 整理得y 2＝4x （x ≠0）；当O 1在y 轴上时，动圆O 1过定点D （2，0），且在y 轴上截得弦MN 的长为4， 此时O 1与原点O 重合，即点（0，0）也满足方程y 2＝4x ，所以动圆圆心O 1的轨迹T 的方程为y 2＝4x ； （2）易知直线斜率存在， 不妨设直线l 的方程为y ＝kx +1，联立{y =kx +1y 2=4x ，消去y 并整理得k 2x 2+（2k ﹣4）x +1＝0，此时Δ＝（2k ﹣4）2﹣4k 2＝16﹣16k ＞0， 解得k ＜1，由韦达定理得{x 1+x 2=4−2kk 2x 1x 2=1k 2， 因为F （1，0），此时k FA +k FB =y 1x 1−1+y2x 2−1=y 1(x 2−1)+y 2(x 1−1)(x 1−1)(x 2−1)=(kx 1+1)(x 2−1)+(kx 2+1)(x 1−1)(x 1−1)(x 2−1)=2kx 1x 2+(1−k)(x 1+x 2)−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=2k⋅1k2+(k−1)(2k−4)k2−21k 2−4−2k k2+1=4−4k k 2+2k−3=1，解得k ＝﹣7或k ＝1， 因为k ＜1， 所以k ＝﹣7． 故|TA||TB|=√1+k 2|x 1−0|×√1+k 2|x 2−0|=(1+k 2)|x 1x 2|=1+k 2k2=5049． 21．（12分）椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点，且过(1，32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线x ＝4上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P ，Q ．（i ）证明：点B 在以PQ 为直径的圆内； （ii ）求四边形APBQ 面积的最大值．解：（1）因为椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点， 所以椭圆C 的焦点为（±1，0）， 不妨设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），因为椭圆C 过(1，32)， 所以12a 2+(32)2b 2=1，①又a 2＝b 2+1，②联立①②，解得a 2＝4，b 2＝3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）（i ）证明：易知A （﹣2，0），B （2，0）， 不妨设M （4，t ），t ＞0，P （x p ，y p ），Q （x Q ，y Q ）， 易知直线AM ，BM 斜率均存在，且k AM =t 6，k BM =t 2，则直线AM 的方程为y =t6(x +2)，BM 的方程为y =t2(x −2)， 联立{y =t6(x +2)x 24+y23=1，消去y 并整理得（27+t 2）x 2+4t 2x +4t 2﹣108＝0， 由韦达定理得﹣2x p =4t 2−10827+t 2，解得x p =54−2t 227+t 2， 则y p =t 6(x p +2)=18t27+t， 联立{y =t2(x −2)x 24+y23=1，消去y 并整理得（3+t 2）x 2﹣4t 2x +4t 2﹣12＝0， 由韦达定理得2x Q =4t 2−123+t 2， 解得x Q =2t 2−63+t 2，则y Q =t 2（x Q ﹣2）=−6t3+t 2， 所以BP →=(−4t 227+t 2，18t 27+t 2)，BQ →=(−123+t 2，−6t3+t 2)，则BP →•BQ →=−60t 2(27+t 2)(3+t 2)＜0，所以∠PBQ 为钝角，则点B 在以PQ 为直径的圆内；（ii ）易知S 四边形APBQ =12×|AB |×|y P ﹣y Q |=48t(9+t 2)(9+t 2)+12t 2=489+t 2t +12t9+t2，不妨设λ=9+t 2t ，t ＞0，此时λ=9+t 2t =9t +t ≥2√9t ⋅t =6，当且仅当t ＝3时，等号成立，易知函数y =λ+12λ在[6，+∞）上单调递增， 所以y =λ+12λ≥6+2＝8， 此时S 四边形APBQ =48λ+12λ≤488=6， 由对称性可知，当点M 的坐标为（4，3）或（4，﹣3）时，四边形APBQ 面积最大值，最大值为6． 22．（12分）已知点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上． （1）双曲线上动点Q 处的切线交C 的两条渐近线于A ，B 两点，其中O 为坐标原点，求证：△AOB 的面积S 是定值；（2）已知点P(12，1)，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足|PM||PN|=|MH||HN|，证明：点H 恒在一条定直线上．解：（1）证明：因为点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上，所以4a 2−9a 2+2=1，解得a 2＝1， 则双曲线方程为x 2−y 23=1， 当切线方程的斜率存在时，不妨设过点（x 0，y 0）的切线方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），联立{y −y 0=k(x −x 0)x 2a2−y 2b2=1，消去y 并整理得(1a 2−k 2b 2)x 2+(2k 2x 0b 2−2k 2y 0b 2)x +2kx 0y 0−k 2x 02−y 02−b 2b 2=0， 因为Δ=(2k 2x 0b2−2k 2y 0b 2)2−4(1a 2−k 2b 2)⋅2kx 0y 0−k 2x 02−y 02−b 2b2=0， 即(y 0−kx 0)2=a 2k 2−b 2， 又k =y−y0x−x 0，可得(y 0−y−y 0x−x 0⋅x 0)2=a 2(y−y0x−x 0)2−b 2，所以(xy 0−x 0y)2=a 2(y −y 0)2−b 2(x −x 0)2，对等式两边同除以a 2b 2，得(xy 0−x 0y)2a 2b 2=(y−y 0)2b 2−(x−x 0)2a 2，即x 2y 02−2xy 0x 0y+x 02y 2a 2b 2=y 2−2y 0y+y 02b 2−x 2−2x 0x+x 02a 2，因为x 02a 2−y 02b 2=1，x 2a 2−y 2b 2=1，所以x 2y 02−2xy 0x 0y+x 02y 2a 2b 2=−2−2y 0y b 2+2x 0x a 2，联立{ x 02a 2−y 02b 2=1x 2a 2−y 2b 2=1，两式相乘得x 02x 2a 4−x 02y 2a 2b 2−x 2y 02a 2b 2+y 02y 2b 4=1，所以x 02y 2a 2b 2+x 2y 02a 2b 2=−1+x 02x 2a 4+y 02y 2b 4，可得−1+x 02x 2a 4+y 02y 2b 4+−2xy 0x 0y a 2b 2=−2−2y 0y b2+2x 0x a 2， 即−1+(x 0x a 2−y 0y b 2)2=−2+2(x 0x a 2−y 0yb 2)， 不妨令t =x 0x a 2−y 0y b2， 此时﹣1+t 2＝﹣2+2t ， 即（t ﹣1）2＝0， 解得t ＝1， 所以x 0x a 2−y 0y b 2=1，当切线斜率不存在时，此时切点为（±a ，0），切线方程为x ＝±a ，满足x 0x a 2−y 0y b 2=1，综上，x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)上一点（x 0，y 0）的切线方程为x 0x a 2−y 0y b 2=1，不妨设Q （m ，n ）， 此时x 2−y 23=1过点Q （m ，n ）的切线方程为mx −ny 3=1， 所以mx −ny3=1为x 2−y 23=1过点Q （m ，n ）的切线方程， 易知双曲线的两条渐近线方程为y =±√3x ， 联立{mx −ny3=1y =√3x，解得{x 1=3m−3ny 1=3√33m−√3n ，联立{mx −ny3=1y =−√3x ， 解得{x 2=33m+3ny 2=−3√33m+√3n，所以直线AB 方程为y−y 1x−x 1=y 2−y 1x 2−x 1，即（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）﹣（y 2﹣y 1）（x ﹣x 1）＝0， 此时点O 到直线AB 的距离为121211√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)=1221√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)，又|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)， 则△AOB 的面积S =21221√(x2−x 1)2+(y 2−y 1)√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)=12|x 1y 2−x 2y 1|=123m−3n √33m+3n 3m+3n √33m−3n=12|−18√39m 2−3n 2|=12|−18√39|=√3，为定值；（2）证明：若直线l 斜率不存在，此时直线l 与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件， 所以直线l 斜率存在，不妨设直线l 方程y −1=k(x −12)，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y −1=k(x −12)x 2−y 23=1，消去y 并整理得(3−k 2)x 2+(k 2−2k)x −(14k 2−k +4)=0，易知{Δ＞03−k 2≠0k 2−2kk 2−3＞014k 2−k+4k 2−3＞0，因为14k 2−k +4=14(k −2)2+3＞0恒成立，所以k 2﹣3＞0， 即k 2﹣2k ＞0，解得−2−2√133＜k ＜−3，第21页（共21页）由韦达定理得x 1+x 2=k 2−2k k 2−3，x 1x 2=14k 2−k+4k 2−3， 不妨设H （x H ，y H ）， 因为|PM||PN|=|MH||HN|，所以x 1−12x 2−12=x H −x 1x 2−x H， 即2x 1x 2−(x H +12)(x 1+x 2)+x H =0，由x 1+x 2=k 2−2kk 2−3，x 1x 2=14k 2−k+4k 2−3， 可得x H =8−k 3−2k ， 当x H =8−k 3−2k 时， 解得y H =19−4k 2(3−2k)， 则x H −y H =8−k 3−2k −19−4k 2(3−2k)=−12， 故点H 恒在一条定直线x −y =−12上．。
2023-2024学年浙江省杭州二中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州二中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“m ＝2”是“直线l 1：（m ﹣3）x +my +1＝0与直线l 2：mx +（m ﹣1）y ﹣2＝0互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知事件A ，B 相互独立，P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.4，则P （A +B ）＝（ ） A ．0.88B ．0.9C ．0.7D ．0.723．过点(√2，2)，且与椭圆y 225+x 216=1有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）A ．x 218+y 29=1 B ．y 218+x 29=1C ．x 212+y 23=1D ．y 212+x 23=14．已知A （0，0，2），B （1，0，﹣1），C （1，1，0），O （0，0，0），则点O 到平面ABC 的距离是（ ） A ．√1111B ．2√1111C ．√55D ．2√555．点P （x ，y ）在圆x 2+y 2＝2上运动，则|x ﹣y +3|的取值范围（ ） A ．[0，1]B ．[0，4]C ．[1，5]D ．[1，4]6．如图，在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC →=3EC →，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．3√19010B ．√22C ．3√2D ．√16637．已知A ，B 是圆C ：（x ﹣m ）2+（y ﹣3）2＝3（m ＞0）上两点，且|AB|=2√2．若存在a ∈R ，使得直线l 1：ax ﹣y +4a +1＝0与l 2：x +ay ﹣5a ＝0的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(0，2√2−1]B ．(0，2√2−2]C ．(0，2√2+1]D ．(0，2√2+3]8．已知动点P ，Q 分别在正四面体ABCD 的内切球与外接球的球面上，且PQ →=xAB →+yAC →+zAD →，则x+y+2z的最大值为（）A．1+√66B．2√63C．1+√62D．83二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某学校随机抽取100名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示，据此估计该校本次数学周测的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），下列说法正确的是（）A．众数为60或70B．45%分位数为70C．平均数为73D．中位数为7510．已知点P（0，1）和直线l：2x+y+1＝0，下列说法不正确的是（）A．经过点P的直线都可以用方程y＝kx+1表示B．直线l在y轴上的截距等于1C．点P关于直线l的对称点坐标为(−85，15)D．直线l关于点P对称的直线方程为2x+y+3＝011．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、AA1的中点，G为面对角线B1C 上一个动点，则（）A．三棱锥A1﹣EFG的体积为定值B ．点E 到直线B 1C 的距离为34√2C ．线段B 1C 上存在点G ，使得FG ⊥BDD ．线段B 1C 上不存在点G ，使平面EFG ∥平面BDC 112．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，下列说法正确的是（ ）A ．若点P 为椭圆上一点，则|PF 2|﹣|PF 1|的最大值是2cB ．若点T 的坐标为(12a ，0)，P 是椭圆上一动点，则线段PT 长度的最小值为12aC ．过F 2作垂直于x 轴的直线，交椭圆于A ，B 两点，则AF 2=a −c 2aD ．若椭圆上恰有6个不同的点P ，使得△PF 1F 2为等腰三角形，则椭圆E 的离心率的取值范围是(13，12)∪(12，1) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在两坐标轴上的截距相等，且与圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝2相切的直线有 条．14．已知矩形ABCD ，AB =1，BC =√3，沿对角线AC 将△ABC 折起，若|BD|=√2，则二面角B ﹣AC ﹣D 的余弦值为 ．15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，椭圆上的点M （x M ，y M ），N （x N ，y N ）分别在第一、二象限内，若△OAN 与△OBM 的面积相等，且x M 2+x N 2=4b 2，则C 的离心率为 ．16．某同学回忆一次大型考试中的一道填空题，题目要求判断一条给定直线与给定圆的位置关系，该同学表示，题中所给直线与圆的方程形式分别为l ：y ＝kx +b ，C ：x 2+y 2＝r 2，但他忘记了方程中的三个参数的具体值，只记得k ，b ，r ∈{1，2，3，4}，并且他填写的结果为直线与圆相交．若数组（k ，b ，r ）的每一种赋值的可能性都相等，则该同学该题答对的概率为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a →，b →，c →是空间中的三个单位向量，且a →⊥b →，＜a →，c →＞=＜b →，c →＞=60°．若OM →=2a →+b →−c →，OA →=a →+b →+c →，OB →=a →+2b →+c →． （Ⅰ）求|MB →|；（Ⅱ）求MB →和OA →夹角的余弦值．18．（12分）为调查高一、高二学生心理健康情况，某学校采用分层随机抽样方法从高一、高二学生中分别抽取了60人、40人参加心理健康测试（满分10分）．经初步统计，参加测试的高一学生成绩x i （i ＝1，2，3，⋯，60）的平均分x =8，方差s x 2=2，高二学生成绩y i （i ＝1，2，…，40）的统计表如表：（Ⅰ）计算参加测试的高二学生成绩的平均分y 和方差s y 2； （Ⅱ）估计该学校高一、高二全体学生的平均分z 和方差s z 2．19．（12分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为12，收到0的概率为12；发送1时，收到0的概率为13，收到1的概率为23．（Ⅰ）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；（Ⅱ）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A ：至少收到一个正确信号； ②事件B ：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明． 20．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ﹣12＝0． （Ⅰ）求过点（7，5）且与圆C 相切的直线方程；（Ⅱ）求经过直线x +y ﹣7＝0与圆C 的交点，且面积最小的圆的方程．21．（12分）如图，三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB =AC =√5，B 1C 1=2BC =2√2，AA 1=2√6，点A 在平面A 1B 1C 1上的射影在∠B 1A 1C 1的平分线上． （Ⅰ）求证：AA 1⊥B 1C 1；（Ⅱ）若A 到平面A 1B 1C 1的距离为4，求直线AC 与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值．22．（12分）设圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AD 的平行线交AC 于点E ． （Ⅰ）写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，过A 且与l 平行的直线与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|AD →⋅PQ →|的取值范围．2023-2024学年浙江省杭州二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“m ＝2”是“直线l 1：（m ﹣3）x +my +1＝0与直线l 2：mx +（m ﹣1）y ﹣2＝0互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由题意两条直线垂直时，则m （m ﹣3）+m （m ﹣1）＝0，即2m 2﹣4m ＝0， 解得m ＝0或m ＝2，所以“m ＝2”是“直线l 1：（m ﹣3）x +my +1＝0与直线l 2：mx +（m ﹣1）y ﹣2＝0互相垂直”的充分不必要条件． 故选：A ．2．已知事件A ，B 相互独立，P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.4，则P （A +B ）＝（ ） A ．0.88B ．0.9C ．0.7D ．0.72解：因为事件A ，B 相互独立，所以P （AB ）＝P （A ）•P （B ）＝0.5×0.4＝0.2．所以P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）＝0.5+0.4﹣0.2＝0.7． 故选：C ．3．过点(√2，2)，且与椭圆y 225+x 216=1有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）A ．x 218+y 29=1 B ．y 218+x 29=1C ．x 212+y 23=1D ．y 212+x 23=1解：根据题意可设所求椭圆方程为：y 225−λ+x 216−λ=1，λ≤16，又该椭圆过点(√2，2)， ∴425−λ+216−λ=1，解得λ＝13，∴所求椭圆方程为y 212+x 23=1．故选：D ．4．已知A （0，0，2），B （1，0，﹣1），C （1，1，0），O （0，0，0），则点O 到平面ABC 的距离是（ ）A ．√1111B ．2√1111C ．√55D ．2√55解：由A （0，0，2），B （1，0，﹣1），C （1，1，0），O （0，0，0）， 可得AB →=（1，0，﹣3），AC →=（1，1，﹣2），OA →=（0，0，2）， 设平面ABC 的法向量为n →=（x ，y ，z ），由n →•AB →=n →•AC →=0，即x ﹣3z ＝x +y ﹣2z ＝0，可取n →=（3，﹣1，1），则点O 到平面ABC 的距离是|n →⋅OA →|n →||=29+1+1=2√1111．故选：B ．5．点P （x ，y ）在圆x 2+y 2＝2上运动，则|x ﹣y +3|的取值范围（ ） A ．[0，1] B ．[0，4]C ．[1，5]D ．[1，4]解：|x ﹣y +3|=|x−y+3|√2×√2，√2为（x ，y ）到直线x ﹣y +3＝0的距离， 由题意可得圆心O （0，0）到直线x ﹣y +3＝0的距离d =3√2=32√2， 故=2∈[32√2−√2，32√2+√2]＝[12√2，52√2]，∴|x ﹣y +3|的取值范围为[1，5]． 故选：C ．6．如图，在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC →=3EC →，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．3√19010B ．√22C ．3√2D ．√1663解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ， 设P （m ，n ，0），B 1（3，3，3），B （3，3，0），C （0，3，0），D 1（0，0，3），B 1P →=（m ﹣3，n ﹣3，﹣3），BC →=3EC →，即3EC →=（﹣3，0，0），E （1，3，0），D 1E →=（1，3，﹣3）， 由B 1P ⊥D 1E ，可得B 1P →•D 1E →=m ﹣3+3n ﹣9+9＝0，即m +3n ＝3， 当m ＝0时，n ＝1；当n ＝0时，m ＝3，即0≤n ≤1，|B 1P |=√(m −3)2+(n −3)2+9=√9n 2+n 2−6n +18=√10n 2−6n +18=√10(n −310)2+17110， 由于0≤n ≤1，可得n =310时，|B 1P |取得最小值3√19010； 当n ＝1时，|B 1P |取得最大值√22． 故选：B ．7．已知A ，B 是圆C ：（x ﹣m ）2+（y ﹣3）2＝3（m ＞0）上两点，且|AB|=2√2．若存在a ∈R ，使得直线l 1：ax ﹣y +4a +1＝0与l 2：x +ay ﹣5a ＝0的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(0，2√2−1]B ．(0，2√2−2]C ．(0，2√2+1]D ．(0，2√2+3]解：圆C ：（x ﹣m ）2+（y ﹣3）2＝3（m ＞0），半径r =√3，设M 恰为AB 的中点，直线与圆相交弦长|AB |＝2√r 2−|MC|2=2√2，所以|MC |＝1， ∴M 的轨迹方程是（x ﹣m ）2+（y ﹣3）2＝1．又直线l 1：ax ﹣y +4a +1＝0过定点Q （﹣4，1），直线l 2：x +ay ﹣5a ＝0过定点S （0，5），且l 1⊥l 2， 则点P 是两垂线的交点，所以P 在以QS 为直径的圆上，则圆心（﹣2，3），半径为12|QS |＝2√2，∴P 的轨迹方程是（x +2）2+（y ﹣3）2＝8，由于l 1的斜率存在， 所以点P 的轨迹要除去点（﹣4，5）， 由已知得M 的轨迹与点P 的轨迹有公共点，∴2√2−1≤|MP |≤2√2+1，即2√2−1≤|m +2|≤2√2+1， 又m ＞0，所以2√2−1≤m +2≤2√2+1，解得2√2−3≤m ≤2√2−1， ∴实数m 的取值范围为（0，2√2−1]． 故选：A ．8．已知动点P ，Q 分别在正四面体ABCD 的内切球与外接球的球面上，且PQ →=xAB →+yAC →+zAD →，则x +y +2z 的最大值为（ ） A ．1+√66B ．2√63C ．1+√62D ．83解：由题意，连接AD ，EF ，设交点为M ，则点M 是AD 中点， 设正方体棱长为2，由几何知识得，点A 到面BCM 距离即为AM ， 设内切球半径为r 1，外接球半径为r 2， 三棱锥外接球半径r 2=√22+22+222=√3，而由正三棱锥内切球半径公式 r 1=22√3=√33，取任意一点P ，使得(x +y +2z)⋅AT →=xAB →+yAC →+zAD →=xAB →+yAC →+2zAM →， 则点T 在面BCM 上，∴|(x +y +2z)⋅AT →|=|PQ →|≤r 1+r 2=√3+√33=4√33， 点A 到面BCM 距离为d ＝AM ， 则|AT →|≥d =AM =2√2=√2， x +y +2z =|(x+y+2z)⋅AT →||AT →|≤4√332=2√63． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某学校随机抽取100名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示，据此估计该校本次数学周测的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），下列说法正确的是（ ）A ．众数为60或70B ．45%分位数为70C ．平均数为73D ．中位数为75解：对于选项A ，由频率分布直方图可知：小矩形最高是[60，70]这一小组， 所以众数为60+702=65，故A 错误；对于选项B ，[50，60]这一小组的小矩形面积为0.005×10＝0.05，[60，70]这一小组的小矩形面积为0.04×10＝0.4， 0.05+0.4＝0.45，即45%分位数为70，故B 正确；对于选项C ，平均数为55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10＝73，故C 正确；对于选项D ，[70，80]这一小组的小矩形面积为0.03×10＝0.3，设中位数为y ， 则结合B 选项有0.05+0.4+（y ﹣70）×0.03＝0.5，解得y =2153，故D 错误． 故选：BC ．10．已知点P （0，1）和直线l ：2x +y +1＝0，下列说法不正确的是（ ） A ．经过点P 的直线都可以用方程y ＝kx +1表示B ．直线l 在y 轴上的截距等于1C ．点P 关于直线l 的对称点坐标为(−85，15) D ．直线l 关于点P 对称的直线方程为2x +y +3＝0解：对于A 选项．当直线斜率不存在时不能用方程y ＝kx +1表示，故A 选项错误；对于B 选项．直线l ：2x +y +1＝0，即y ＝﹣2x ﹣1，直线l 在y 轴上的截距等于﹣1，故B 选项错误；对于C 选项．设点P 关于直线l 的对称点坐标为（a ，b ），则{b−1a ⋅(−2)=−12⋅a 2+b+12+1=0，解得{a =−85b =15， 所以点P 关于直线l 的对称点坐标为（−85，15），故C 选项正确；对于D 选项．直线l 关于点P 对称直线方程为2x +y +b ＝0， 由题意，√5=√5，得b ＝﹣3或b ＝1（舍去）．∴直线方程为2x +y ﹣3＝0，故D 选项错误． 故选：ABD ．11．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、AA 1的中点，G 为面对角线B 1C 上一个动点，则（ ）A ．三棱锥A 1﹣EFG 的体积为定值B ．点E 到直线B 1C 的距离为34√2C ．线段B 1C 上存在点G ，使得FG ⊥BDD ．线段B 1C 上不存在点G ，使平面EFG ∥平面BDC 1 解：∵B 1C ∥平面AA 1D 1D ，∴G 到平面A 1EF 的距离相等， 又△A 1EF 的面积为定值，∴V A 1−EFG =V G−A 1EF 为定值，故A 正确；以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则D （0，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0）， C 1（0，2，2），E （ 1，0，2），F （ 2，0，1）， B 1（2，2，2），CB 1→=(2，0，2)，CE →=(1，−2，2)， cos ＜CB 1→，CE →＞=CB 1→⋅CE →|CB 1→||CE →|=2+422×3=√22，则cos ＜CB 1→，CE →＞=√22， 可得点E 到直线B 1C 的距离为|CE →|sin ＜CB 1→，CE →＞=3×√22=3√22，故B 错误；设G （t ，2，t ），0≤t ≤2，则DB →=(2，2，0)，FG →=(t −2，2，t −1)，由BD →⋅FG →=2(t −2)+2×2=0，解得t ＝0，即线段B 1C 上存在点G 与C 重合，使得FG ⊥BD ，故C 正确；DB →=（2，2，0），DC 1→=（0，2，2），EF →=（1，0，﹣1）， 设G （m ，2，m ），（0≤m ≤2），则FG →=（m ﹣2，2，m ﹣1）， 设平面BDC 1的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DB →=2x +2y =0n →⋅DC 1→=2y +2z =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣1，1）， 设平面EFG 的法向量为m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅EF →=a −c =0m →⋅FG →=(m −2)a +2b +(m −1)c =0，取a ＝1，得m →=（1，3−2m 2，1），设n →=km →，即（1，﹣1，1）＝k （1，3−2m 2，1），解得k ＝1，m =52，∵0≤m ≤2，∴不合题意，故线段B 1C 上不存在点G ，使平面EFG ∥平面BDC 1，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，下列说法正确的是（ ）A ．若点P 为椭圆上一点，则|PF 2|﹣|PF 1|的最大值是2cB ．若点T 的坐标为(12a ，0)，P 是椭圆上一动点，则线段PT 长度的最小值为12aC ．过F 2作垂直于x 轴的直线，交椭圆于A ，B 两点，则AF 2=a −c 2aD．若椭圆上恰有6个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，则椭圆E的离心率的取值范围是(13，1 2)∪(12，1)解：对于选项A：易知|PF2|﹣|PF1|≤|F1F2|，P在左顶点时，等号成立，所以|PF2|﹣|PF1|的最大值为2c，故选项A正确；对于选项B：不妨设P（m，n），m∈[﹣a，a]，因为点P在椭圆上，所以m2a2+n2b2=1，|PT|2=(m−12a)2+n2＝m2﹣am+14a2+b2−b2m2a2=c2a2(m−a32c2)2+14a2+b2−a44c2，若b＜c，可得a2＜2c2，0＜a32c2＜a，所以当m=a32c2时，|PT|2取得最小值，最小值为14a2+b2−a44c2，可得线段PT长度的最小值为√14a2+b2−a44c2；若b≥c，可得a2≥2c2，a32c2≥a，所以当m＝a时，|PT|2取得最小值，最小值为14a2，可得线段PT长度的最小值为12a，故选项B错误；对于选项C：当x＝c时，解得y=±b2a，此时|AF2|=b2a=a2−c2a=a−c2a，故选项C正确；对于选项D：不妨设椭圆左右顶点为A，B，上下顶点为C，D，易知上下顶点能够使得△PF1F2为等腰三角形，要让椭圆上恰有6个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，此时以F1为圆心，F1F2为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的P1，P2两点，需满足|F1A|＜|F1Q|，且|F1C|≠|F1P1|，即a﹣c＜2c且a≠2c，解得c a＞13且c a≠12，综上，椭圆E 的离心率的取值范围为(13，12)∪(12，1)，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在两坐标轴上的截距相等，且与圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝2相切的直线有 4 条． 解：根据题意，圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝2的圆心为（3，4），半径r =√2， 由题意可知切线的斜率存在，当截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，即kx ﹣y ＝0， 所以√k 2+1=√2，化简得7k 2﹣24k +14＝0，因为Δ＝（﹣24）2﹣4×7×14＝184＞0，所以方程有两个不相等的根，所以过原点的切线有两条， 当截距不为零时，设切线方程为x +y ﹣a ＝0， 所以√2=√2，解得a ＝5或a ＝9，所以不过原点的切线为x +y ﹣5＝0或x +y ﹣9＝0，有2条，综上，在两坐标轴上的截距相等，且与圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝2相切的直线有4条． 故答案为：4．14．已知矩形ABCD ，AB =1，BC =√3，沿对角线AC 将△ABC 折起，若|BD|=√2，则二面角B ﹣AC ﹣D 的余弦值为13．解：过B 和D 分别作BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，由AB ＝1，BC =√3，则AC ＝2，由等面积法知，12AB ⋅BC =12AC ⋅BE =12AC ⋅DF ，所以BE =DF =√32，则AE =CF =12，所以EF ＝1， 因为BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，所以BE →⋅EF →=0，EF →⋅FD →=0，由二面角的概念知，二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角即为EB →，FD →所成角， 因为BD →=BE →+EF →+FD →，所以BD →2=(BE →+EF →+FD →)2=BE →2+EF →2+FD →2+2BE →⋅EF →+2EF →⋅FD →+2BE →⋅FD →=34+1+34+2BE →⋅FD →=2， 所以BE →⋅FD →=−14，即EB →⋅FD →=14，则cos ＜EB →，FD →＞=EB →⋅FD →|EB →||FD →|=14√32×√32=13，所以二面角B ﹣AC ﹣D 的余弦值为13．故答案为：13．15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，椭圆上的点M （x M ，y M ），N （x N ，y N ）分别在第一、二象限内，若△OAN 与△OBM 的面积相等，且x M 2+x N 2=4b 2，则C 的离心率为√32． 解：由△OAN 与△OBM 的面积相等可得：12a •y N =12b •x M ， ∴x M 2a 2=y N 2b 2，又x M 2+x N 2=4b 2，∴4b 2−x N 2a 2=y N 2b 2，∴4b 2a 2=x N 2a 2+y N 2b 2=1，∴b 2a 2=14，∴a 2＝4b 2＝4（a 2﹣c 2），∴e =ca =√32． 故答案为：√32． 16．某同学回忆一次大型考试中的一道填空题，题目要求判断一条给定直线与给定圆的位置关系，该同学表示，题中所给直线与圆的方程形式分别为l ：y ＝kx +b ，C ：x 2+y 2＝r 2，但他忘记了方程中的三个参数的具体值，只记得k ，b ，r ∈{1，2，3，4}，并且他填写的结果为直线与圆相交．若数组（k ，b ，r ）的每一种赋值的可能性都相等，则该同学该题答对的概率为 78．解：易知数组（k ，b ，r ）有43＝64种结果，若要直线与圆相交，需圆心C （0，0）到直线l 的距离d =b√k +1r ⇒b2r2＜k 2+1，显然b ≤r 时，b 2r+2≤1＜k 2+1恒成立，若b ＞r ，①当b ＝2，r ＝1，此时k ＝1不符题意；②当b ＝3，r ＝1，此时k ＝1，2不符题意，当b ＝3，r ＝2，此时k ＝1不符题意； ③当b ＝4，r ＝1，此时k ＝1，2，3不符题意，当b ＝4，r ＝2，此时k ＝1不符题意， 当b ＝4，r ＝3，k 取何值均成立；综上，共有8种情况不符题意，故答对的概率为P =1−864=78． 故答案为：78．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a →，b →，c →是空间中的三个单位向量，且a →⊥b →，＜a →，c →＞=＜b →，c →＞=60°．若OM →=2a →+b →−c →，OA →=a →+b →+c →，OB →=a →+2b →+c →． （Ⅰ）求|MB →|；（Ⅱ）求MB →和OA →夹角的余弦值．解：（Ⅰ）因为MB →=OB →−OM →=a →+2b →+c →−(2a →+b →−c →)=−a →+b →+2c →， 所以|MB →|=√(−a →+b →+2c →)2=√a →2+b →2+4c →2−2a →⋅b →−4a →⋅c →+4b →⋅c →=√1+1+4−4×1×1×12+4×1×1×12=√6；（Ⅱ）因为|OA →|=√(a →+b →+c →)2=√a →2+b →2+c →2+2a →⋅b →+2a →⋅c →+2b →⋅c →=√1+1+1+2×1×1×12+2×1×1×12=√5，MB →⋅OA →=(−a →+2b →+c →)⋅(a →+b →+c →)=−a →2+2b →2+c →2+a →⋅b →+3b →⋅c →=−1+2+1+12+3×12=4， 所以cos ＜MB →，OA →＞=MB →⋅OA→|MB →|×|OA →|=4√6×√5=2√3015．18．（12分）为调查高一、高二学生心理健康情况，某学校采用分层随机抽样方法从高一、高二学生中分别抽取了60人、40人参加心理健康测试（满分10分）．经初步统计，参加测试的高一学生成绩x i （i ＝1，2，3，⋯，60）的平均分x =8，方差s x 2=2，高二学生成绩y i （i ＝1，2，…，40）的统计表如表：（Ⅰ）计算参加测试的高二学生成绩的平均分y 和方差s y 2； （Ⅱ）估计该学校高一、高二全体学生的平均分z 和方差s z 2．解：（Ⅰ）y =140×(4×1+5×2+6×9+7×15+8×10+9×3)=7， s y 2=140×[（4﹣7）2+2×（5﹣7）2+9×（6﹣7）2+15×（7﹣7）2+10×（8﹣7）2+3×（9﹣7）2]＝1.2； （Ⅱ）z =1100×(60×8+40×7)=7.6，s z 2=1100×[60×2+40×1.2+60×4060+40×(8−7)2]＝1.92．19．（12分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为12，收到0的概率为12；发送1时，收到0的概率为13，收到1的概率为23．（Ⅰ）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；（Ⅱ）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A ：至少收到一个正确信号； ②事件B ：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明．解：（Ⅰ）重复发信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为： （1，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1）， ∵信号的传输相互独立，∴“至少收到两次1”的概率为P =23×23×23+23×13×23+23×23×13+13×23×23=2027． （Ⅱ）事件A 与事件B 不互相独立，证明如下：若依次发送1，1，0，则三次都没改到正确信号的概率为：P =13×13×12=118， ∴至少收到一个正确信号的概率为P （A ）＝1−118=1718； 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能为：（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），根据事件的相互独立性， P （B ）=13×13×12+13×13×12+13×23×12+23×13×12=13，若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：（0，0，0），（0，1，0），（1，0，0），根据事件的相互独立性，P（AB）=13×13×12+13×23×12+23×13×12=518，∵P（A）P（B）≠P（AB），∴事件A与事件B不互相独立．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0．（Ⅰ）求过点（7，5）且与圆C相切的直线方程；（Ⅱ）求经过直线x+y﹣7＝0与圆C的交点，且面积最小的圆的方程．解：（Ⅰ）由圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0，得（x﹣2）2+（y﹣3）2＝25，所以圆心为（2，3），半径为5，当过点（7，5）的直线斜率不存在时，直线方程为x＝7，与圆C相切，符合题意，当过点（7，5）的直线斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣7）+5，即kx﹣y﹣7k+5＝0，根据题意可得√k2=5，即√k2=5，化简整理得20k＝﹣21，解得k=−2120，所以直线方程为21x+20y﹣247＝0，综上所述：切线方程为x＝7或21x+20y﹣247＝0；（Ⅱ）设过经过直线x+y﹣7＝0与圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0的交点的圆的方程为：x2+y2﹣4x﹣6y﹣12+k（x+y﹣7）＝0，即x2+y2+（k﹣4）x+（k﹣6）y﹣12﹣7k＝0，即（x+12k﹣2）2+（y+12k﹣3）2＝（12k﹣2）2+（12k﹣3）2+12+7k=12k2+2k+25，半径r2=12k2+2k+25=12（k+2）2+23，则当k＝﹣2时，半径r2最小为23，此时圆面积最小，此时圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝23．21．（12分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=√5，B1C1=2BC=2√2，AA1=2√6，点A在平面A1B1C1上的射影在∠B1A1C1的平分线上．（Ⅰ）求证：AA1⊥B1C1；（Ⅱ）若A到平面A1B1C1的距离为4，求直线AC与平面AA1B1B所成角的正弦值．（Ⅰ）证明：设点A 在平面A 1B 1C 1上的射影为O ，则点O 在∠B 1A 1C 1的平分线A 1D 上， 所以AO ⊥平面A 1B 1C 1，因为B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AO ⊥B 1C 1， 因为AB ＝AC ，△ABC ∽△A 1B 1C 1，所以A 1B 1＝A 1C 1，所以A 1D ⊥B 1C 1， 又因为AO ∩A 1D ＝O ，AO ⊂平面AA 1O ，A 1O ⊂平面AA 1O ，所以B 1C 1⊥平面AA 1O ，又因为AA 1⊂平面AA 1O ，所以AA 1⊥B 1C 1；（Ⅱ）解：以O 为原点，OD 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为A 到平面A 1B 1C 1的距离为4，所以A （0，0，4），A 1O =√AA 12−AO 2=√(2√6)2−42=2√2，所以A 1（0，﹣2√2，0），因为B 1C 1＝2BC ＝2√2，所以A 1B 1＝A 1C 1＝2AB ＝2√5，所以A 1D =√(2√5)2−(√2)2=3√2，所以OD =√2，所以B 1（√2，√2，0），C 1（−√2，√2，0），所以AC →=12A 1C 1→=（−√22，3√22，0），A 1A →=（0，2√2，4），A 1B 1→=（√2，3√2，0），设平面AA 1B 1B 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅A 1A →=0n →⋅A 1B 1→=0，即{2√2y +4z =0√2x +3√2y =0，令y ＝﹣1，得x ＝3，z =√22，所以n →=（3，﹣1，√22），设直线AC 与平面AA 1B 1B 所成的角为θ，则sin θ＝|cos ＜n →，AC →＞|=|n →⋅AC →||n →||AC →|=|−3√22−3√22+0|√9+1+12×√12+92+0=2√10535．22．（12分）设圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AD 的平行线交AC 于点E ． （Ⅰ）写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，过A 且与l 平行的直线与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|AD →⋅PQ →|的取值范围．解：（Ⅰ）已知圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0的圆心为A ，所以圆A 的标准方程为（x +1）2+y 2＝16，圆心A （﹣1，0），半径r ＝4， 易知|AD |＝|AC |＝r ＝4，EB ∥AC ， 可得∠EBC ＝∠ADC ＝∠ACD ， 所以|EB |＝|ED |，此时|EA |+|EB |＝|EA |+|ED |＝|AD |， 则|EA |+|EB |＝4，不妨设A （﹣1，0），B （1，0）， 因为|AB |＝2＜|EA |+|EB |，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24+y 23=1(y ≠0)；（Ⅱ）不妨设直线CD 的方程为x ＝ty +1， 可得直线PQ 的方程为x ＝ty ﹣1，联立{x =ty +1x 2+y 2+2x −15=0消去x 并整理得（t 2+1）y 2+4ty ﹣12＝0， 此时Δ＝16t 2+48（t 2+1）＝64t 2+48＞0， 解得x =−4t±√64t 2+482(t 2+1)=−2t±2√4t 2+3t 2+1，联立{x =ty −1x 24+y 23=1，消去x 并整理得（3t 2+4）y 2﹣6ty ﹣9＝0，因为点A 在椭圆内，所以该方程一定有两个不相等的实数根， 不妨设P （x 3，y 3），Q （x 4，y 4），第21页（共21页） 由韦达定理得y 3+y 4=6t 3t 2+4，y 3y 4=−93t 2+4， 则(y 3−y 4)2=(y 3+y 4)2−4y 3y 4=(6t 3t 2+4)2−4×(−93t 2+4)=144(t 2+1)(3t 2+4)2，x 4﹣x 3＝ty 4﹣1﹣（ty 3﹣1）＝t （y 4﹣y 3），此时PQ →=(x 4−x 3，y 4−y 3)=（ty 4﹣ty 3，y 4﹣y 3），AD →=(x D +1，y D )， 可得AD →⋅PQ →=(x D +1)(ty 4−ty 3)+y D （y 4﹣y 3）＝（t 2y D +y D +2t ）（y 4﹣y 3）， 因为t 2y D +y D +2t =(t 2+1)⋅−2t±2√4t 2+3t 2+1+2t =±2√4t 2+3，所以|AD →⋅PQ →|=|t 2y D +y D +2t |•|y 4﹣y 3|＝24√(t 2+1)(4t 2+3)(3t 2+4)2，不妨令m ＝3t 2+4，m ≥4，此时|AD →⋅PQ →|=8√m 2−11m+7m 2=8√7m 2−11m +4，不妨令n =1m ，0＜n ≤14，此时|AD →⋅PQ →|=8√7n 2−11n +4，易知函数y ＝7n 2﹣11n +4是开口向上的二次函数，对称轴x =1114，所以函数y ＝7n 2﹣11n +4在（0，14]上单调递减，则当x =14时，函数y ＝7n 2﹣11n +4取得最小值，最小值为2716， 所以y ＝7n 2﹣11n +4∈[2716，4），则8√7n 2−11n +4∈[6√3，16），故|AD →⋅PQ →|的取值范围为[6√3，16）．。
2023-2024学年山东省青岛二中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛二中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“∃x 0＞1，ln （x 0﹣1）≥0”的否定是（ ） A ．∀x ＞1，ln （x ﹣1）＜0 B ．∀x ≤1，ln （x ﹣1）＜0C ．∀x ＞1，ln （x ﹣1）≥0D ．∀x ≤1，ln （x ﹣1）≥02．已知集合A ＝{x ∈N *|1≤x ＜3}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，且A ∩B ＝B ，则实数a 的所有取值集合是（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{0，2}3．若(1+x 14)8的展开式中共有m 个有理项，则m 的值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．底面半径是1的圆锥，侧面积是3π，则圆锥的体积是（ ） A ．2√2πB ．√2πC ．2π3D ．2√2π35．柯西不等式（Cauchy ﹣SchwarzLnequality ）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac +bd ）2，当且仅当ad ＝bc 时即ac =b d时等号成立．根据柯西不等式可以得知函数f(x)=3√4−3x +√3x −2的最大值为（ ） A ．2√5B ．2√3C ．√10D ．√136．设曲线y ＝x 3﹣2x 2+1在x ＝k 处的切线为l ，若l 的倾斜角小于135°，则k 的取值范围是（ ） A ．(−∞，13)∪(1，+∞) B ．(−∞，0)∪(13，1)∪(43，+∞)C ．(−∞，13)∪[43，+∞)D ．(−∞，0]∪(13，1)∪[43，+∞)7．已知角α，β∈（0，π），且sin （α+β）+cos （α﹣β）＝0，sin αsin β﹣3cos αcos β＝0，则tan （α+β）＝（ ） A ．﹣2B ．−12C ．12D ．28．如图，已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，点D 在上底面A 1B 1C 1（包括边界）上运动，则三棱锥D ﹣ABC 外接球表面积的最大值为（ ）A ．81π16B ．6πC ．243π64D ．2√6π二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知函数f(x)=2sinxcosx +cos(2x −π6)，下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的周期是πB ．f （x ）的图象关于点(π12，0)对称C ．f （x ）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ](k ∈Z)D ．要得到g(x)=√3sin2x 的图象，只需把f （x ）的图象向右平移π6的单位10．已知直线l ：x ﹣my +3＝0和圆C ：x 2+y 2﹣6x +5＝0，下列结论成立的是（ ） A ．直线l ：x ﹣my +3＝0过定点（﹣3，0）B ．当直线l 与圆C 相交时，直线l ：x ﹣my +3＝0被圆所截的弦长最大值为4C ．当直线l 与圆C 相切时，则实数m =2√2D ．当实数m 的值为3时，直线l 与圆C 相交，且所得弦长为2√10511．设数列{a n }前n 项和为S n ，满足(a n −1)2=4(100−S n )，n ∈N *且a 1＞0，a 2＞0，则下列选项正确的是（ ） A ．a n ＝﹣2n +21B ．数列{S n n}为等差数列 C ．当n ＝11时S n 有最大值D ．设b n ＝a n a n +1a n +2，则当n ＝8或n ＝10时数列{b n }的前n 项和取最大值 12．点O 是△ABC 的外心，则下列选项正确的是（ ） A ．若AB ＝2，则AB →⋅AO →=2B ．若BD →=λ(BA →|BA →|+BC →|BC →|)且BD →=μBA →+(1−μ)BC →(λ，μ∈R)，则AD →=DC →C ．若2BO →=BA →+BC →，则B 为△ABC 的垂心D ．若∠B =π3，OB →=mOA →+nOC →，则m +n 的取值范围为[﹣2，1） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)=x 3⋅3xa x −1(a ＞0且a ≠1)为偶函数，则a ＝ ．14．1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节．五一劳动节某单位安排甲、乙、丙B 人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一假期期间值班2天，则甲连续值班的概率是 ． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 上，且PF 1⊥F 1F 2，直线PF 2与椭圆C 交于另一点Q ，与y 轴交于点M ，MF 2→=2F 2Q →，则椭圆C 的离心率为 ． 16．若x ＝0是函数f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)的极大值点，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2b sin A +b sin B ＝c sin2B ． （1）求角C ；（2）若点D 在边AB 上，b ＝2，CD ＝1，请在下列三个条件中任选一个，求边长AB ． ①CD 为△ABC 的一条中线； ②CD 为△ABC 的一条角平分线； ③CD 为△ABC 的一条高线．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，2S n ＝（n +1）a n ﹣2． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列b n =2a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和．19．（12分）已知四棱锥Q ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，且AB ⊥QD ，QA ＝QD ＝3． （1）求点B 到平面QCD 的距离； （2）求二面角B ﹣QD ﹣A 的正弦值．20．（12分）一个袋子里有大小相同的黑球和白球共10个，其中白球有a （0＜a ＜10，a ∈N *）个，每次随机摸出1个球，摸出的球再放回．设事件A 为“从袋子中摸出4个球，其中恰有两个球是白球”． （1）当a 取a 0时，事件A 发生的概率最大，求a 0的值；（2）以（1）中确定的a 0作为a 的值，甲有放回地从袋子中摸球，如果摸到黑球则继续摸球，摸到白球则停止摸球，摸球的次数记为X ，求X 的数学期望E （X ）．参考：（1）若P （X ＝k ）＝a k （k ＝1，2，3…），则E （X ）=lim ∑ n k=1ka k ；（2）lim n→∞n ⋅(12)n =0．21．（12分）已知点(1，√2)在抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上，A 、B 为抛物线C 上的两个动点，AB 不垂直于x 轴，F 为焦点，且|AF |+|BF |＝5．（1）求p 的值，并证明AB 的垂直平分线过定点；（2）设（1）中的定点为Q ，求△ABQ 面积是否有最大值，若有，求出其最大值，若没有，请说明理由． 22．（12分）设函数f （x ）＝e x ，g （x ）＝e sin x +e cos x ． （1）求曲线y ＝f （x ）平行于直线y ＝x +3的切线； （2）讨论g （x ）的单调性．2023-2024学年山东省青岛二中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“∃x 0＞1，ln （x 0﹣1）≥0”的否定是（ ） A ．∀x ＞1，ln （x ﹣1）＜0 B ．∀x ≤1，ln （x ﹣1）＜0C ．∀x ＞1，ln （x ﹣1）≥0D ．∀x ≤1，ln （x ﹣1）≥0解：命题“∃x 0＞1，ln （x 0﹣1）≥0”的否定是：∀x ＞1，ln （x ﹣1）＜0． 故选：A ．2．已知集合A ＝{x ∈N *|1≤x ＜3}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，且A ∩B ＝B ，则实数a 的所有取值集合是（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{0，2}解：由题意集合A ＝{1，2}， 因为A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，当B ＝{1}时，a ﹣2＝0，解得a ＝2， 当B ＝{2}时，2a ﹣2＝0，解得a ＝1， 当B ＝{1，2}时，a 无解， 当B ＝∅时，a ＝0，综上，实数a 的取值集合为{0，1，2}． 故选：C ．3．若(1+x 14)8的展开式中共有m 个有理项，则m 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：(1+x 14)8的展开式通项公式为：T r+1=C 8r x 2−14r，r ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，当r ＝0，4，8时，T 1，T 5，T 9为有理项，故m ＝3． 故选：C ．4．底面半径是1的圆锥，侧面积是3π，则圆锥的体积是（ ） A ．2√2πB ．√2πC ．2π3D ．2√2π3解：设圆锥的母线长为l ，高为h ，则π×1×l ＝3π， ∴l ＝3，∴h =√l 2−r 2=√9−1=2√2，∴圆锥的体积为13×π×12×ℎ=2√23π． 故选：D ．5．柯西不等式（Cauchy ﹣SchwarzLnequality ）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac +bd ）2，当且仅当ad ＝bc 时即ac =b d时等号成立．根据柯西不等式可以得知函数f(x)=3√4−3x +√3x −2的最大值为（ ） A ．2√5B ．2√3C ．√10D ．√13解：该函数的定义域为[23，43]，由柯西不等式可得：f(x)=3√4−3x +√3x −2≤√(32+12)(4−3x +3x −2)=2√5， 当且仅当√4−3x=√3x−2时取等号，即当x =1115时取等号．故选：A ．6．设曲线y ＝x 3﹣2x 2+1在x ＝k 处的切线为l ，若l 的倾斜角小于135°，则k 的取值范围是（ ） A ．(−∞，13)∪(1，+∞) B ．(−∞，0)∪(13，1)∪(43，+∞)C ．(−∞，13)∪[43，+∞)D ．(−∞，0]∪(13，1)∪[43，+∞)解：∵y ′＝3x 2﹣4x ，∴l 的斜率为3k 2﹣4k ．∵l 的倾斜角小于135°，∴l 的斜率小于﹣1或不小于0，则3k 2﹣4k ＜﹣1或3k 2﹣4k ≥0，解得k ∈(−∞，0]∪(13，1)∪[43，+∞)． 故选：D ．7．已知角α，β∈（0，π），且sin （α+β）+cos （α﹣β）＝0，sin αsin β﹣3cos αcos β＝0，则tan （α+β）＝（ ） A ．﹣2B ．−12C ．12D ．2解：∵sin （α+β）+cos （α﹣β）＝0， ∴sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β＝0， ∴sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ=−1，∴tanα+tanβ1+tanαtanβ=−1，∵sin αsin β﹣3cos αcos β＝0， ∴sin αsin β＝3cos αcos β， ∴tan αtan β＝3，代入tanα+tanβ1+tanαtanβ=−1，得tan α+tan β＝﹣4， 故tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2．故选：D ．8．如图，已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，点D 在上底面A 1B 1C 1（包括边界）上运动，则三棱锥D ﹣ABC 外接球表面积的最大值为（ ）A ．81π16B ．6πC ．243π64D ．2√6π解：因为△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝1， 所以△ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点O 1，且AO 1=√22，连接O 1与A 1B 1的中点E ，则O 1E ∥AA 1，所以O 1E ⊥平面ABC ， 设球的球心为O ，由球的截面性质可得O 在O 1E 上， 设OO 1＝x ，DE ＝t （0≤t ≤√22），半径为R ，因为OA ＝OD ＝R ，所以√12+x 2=√(2−x)2+t 2，所以t 2＝4x −72，又0≤t ≤√22， 所以78≤x ≤1，因为R 2=12+x 2，所以R 2≤32，所以三棱锥D ﹣ABC 的外接球表面积的最大值为4πR 2＝6π．故选：B ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知函数f(x)=2sinxcosx +cos(2x −π6)，下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的周期是πB ．f （x ）的图象关于点(π12，0)对称C ．f （x ）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ](k ∈Z)D ．要得到g(x)=√3sin2x 的图象，只需把f （x ）的图象向右平移π6的单位解：∵f （x ）＝2sin x cos x +cos （2x ﹣6）=sin2x +cos2xcos π6+sin2xsin π6=32sin2x +√32cos2x =√3sin(2x +π6)， 对于A ：f （x ）的周期T =2π2=π，故A 正确； 对于B ：当x =π12时，f （π12）=√3sin(2×π12+π6)=√3sin π3≠0，∴f （x ）的图象不关于点(π12，0)对称，故B 错误；对于C ：令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ(k ∈Z)，解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ(k ∈Z)，∴f （x ）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ](k ∈Z)，故C 正确；对于D ：g(x)=√3sin2x 的图象向左平移π6个单位后解析式为g(x +π6)=√3sin[2(x +π6)]=√3sin(2x +π3)，故D 错误． 故选：AC ．10．已知直线l ：x ﹣my +3＝0和圆C ：x 2+y 2﹣6x +5＝0，下列结论成立的是（ ） A ．直线l ：x ﹣my +3＝0过定点（﹣3，0）B ．当直线l 与圆C 相交时，直线l ：x ﹣my +3＝0被圆所截的弦长最大值为4C ．当直线l 与圆C 相切时，则实数m =2√2D ．当实数m 的值为3时，直线l 与圆C 相交，且所得弦长为2√105解：直线l ：x ﹣my +3＝0，可得{x +3=0y =0，可知直线恒过（﹣3，0），所以A 正确；圆C ：x 2+y 2﹣6x +5＝0，圆心（3，0），半径为2，（﹣3，0）是圆外的点，直线不表示直线y ＝0， 所以直线l 与圆C 相交时，直线l ：x ﹣my +3＝0被圆所截的弦长没有最大值，所以B 不正确； 直线与圆相切，可得√1+m 2=2，解得m =±2√2，所以C 不正确；实数m 的值为3时，直线l ：x ﹣3y +3＝0，圆的圆心到直线的距离为：√1+9=√102．所以直线与圆C 相交，所以D 正确． 故选：AD ．11．设数列{a n }前n 项和为S n ，满足(a n −1)2=4(100−S n )，n ∈N *且a 1＞0，a 2＞0，则下列选项正确的是（ ） A ．a n ＝﹣2n +21B ．数列{S n n}为等差数列 C ．当n ＝11时S n 有最大值D ．设b n ＝a n a n +1a n +2，则当n ＝8或n ＝10时数列{b n }的前n 项和取最大值 解：A 选项，当n ＝1时，(a 1−1)2=4(100−a 1)， 又a 1＞0，解得a 1＝19，当n ≥2时，(a n −1)2=4(100−S n )①， (a n−1−1)2=4(100−S n−1)②，①﹣②得，(a n −1)2−(a n−1−1)2=4(100−S n )−4(100−S n−1)，即a n 2+2a n −a n−12+2a n−1=0，化为（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1+2）＝0，∵a 1＞0，a 2＞0，∴a n +a n ﹣1＝0不能对任意的n ≥2恒成立， ∴a n ﹣a n ﹣1+2＝0， ∴a n ﹣a n ﹣1＝﹣2，故{a n }为等差数列，公差为﹣2，首项为a 1＝19， ∴通项公式为a n ＝19﹣2（n ﹣1）＝﹣2n +21，A 正确； B 选项，S n =n(a 1+a n )2=n(19+21−2n)2=−n 2+20n ， 故S n n=−n +20，则当n ≥2时，S n n−S n−1n−1=−n +20−(−n +21)=−1，故{Snn }为等差数列，B 正确；C 选项，S n =−n 2+20n =−(n −10)2+100，∴当n ＝10时，S n 取得最大值，C 错误；D 选项，令a n ＞0得1≤n ≤10，令a n ＜0得n ≥11， 则当n ∈[1，8]时，b n ＝a n a n +1a n +2＞0， 当n ＝9时，b 9＜0，当n ＝10时，b 10＞0， 当n ≥11时，b n ＜0，又b 9＝a 9a 10a 11＝3×1×（﹣1）＝﹣3，b 10＝a 10a 11a 12＝1×（﹣1）×（﹣3）＝3， 则当n ＝8或n ＝10时数列{b n }的前n 项和取最大值，D 正确． 故选：ABD ．12．点O 是△ABC 的外心，则下列选项正确的是（ ） A ．若AB ＝2，则AB →⋅AO →=2B ．若BD →=λ(BA →|BA →|+BC →|BC →|)且BD →=μBA →+(1−μ)BC →(λ，μ∈R)，则AD →=DC →C ．若2BO →=BA →+BC →，则B 为△ABC 的垂心D ．若∠B =π3，OB →=mOA →+nOC →，则m +n 的取值范围为[﹣2，1）解：对于A ：因为AB →⋅AO →=|AB →|⋅|AO →|⋅cos∠BAO =|AB →|×12|AB →|=12|AB →|2=2，故A 正确；对于B ：由BD →=μBA →+(1−μ)BC →（λ，μ∈R ）可知，点A ，D ，C 共线， 又BD →=λ(BA →|BA →|+BC→|BC →|) 可知，点D 在∠CBA 的角平分线上，所以BD 为△ABC 的角平分线，AD 与DC 不一定相等，故B 错误；对于C ：若2BO →=BA →+BC →则点O 是AC 的中点，点O 又是△ABC 的外心，所以∠ABC ＝90°，即B 为直角顶点，所以B 为垂心，故C 正确； 对于D ：因为∠B =π3 所以∠AOC =2π3如图，建立平面直角坐标系， 设C （r ，0），A(−12r ，√32r)，B （r cos θ，r sin θ），θ∈(2π3，2π)， 因为OB →=mOA →+nOC →，所以{rcosθ=m ⋅(−12r)+nrrsinθ=m ⋅√32r，得m =2√3，n =cosθ1√3， m +n =cosθ+√3sinθ=2sin(θ+π6)，θ∈(2π3，2π)，θ+π6∈(5π6，13π6)， sin(θ+π6)∈[−1，12)， 则m +n ∈[﹣2，1）．故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)=x 3⋅3xa x −1(a ＞0且a ≠1)为偶函数，则a ＝ 9 ． 解：∵f(x)=x 3⋅3xa x −1(a ＞0且a ≠1)为偶函数，y ＝x 3为奇函数，∴g （x ）=3xa x −1=1(a 3)x −3−x 为奇函数，法1°：y =(a 3)x −3﹣x为奇函数，又y ＝3x ﹣3﹣x为奇函数，∴a3=3，∴a ＝9．法2°：∵y =(a3)x −3﹣x为奇函数，其定义域为R ，∴(a 3)1−13+(a 3)−1−3＝0，整理得a 2﹣10a +9＝0， 解得a ＝9或a ＝1（舍去）． 故答案为：9．14．1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节．五一劳动节某单位安排甲、乙、丙B 人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一假期期间值班2天，则甲连续值班的概率是25．解：由题意知，甲在五一长假期间值班2天，有C 52=10种值班方法，其中甲连续2天值班的情况有4种， 所以甲连续值班的概率P =410=25．故答案为：25．15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 上，且PF 1⊥F 1F 2，直线PF 2与椭圆C 交于另一点Q ，与y 轴交于点M ，MF 2→=2F 2Q →，则椭圆C 的离心率为 √217． 解：如图，因为OM ∥PF 1，所以点M 是PF 2的中点，连接F 1Q ， 由MF 2→=2F 2Q →，得|PF 2|＝4|F 2Q |，设|F 2Q |＝t ，则|PF 2|＝4t ，|PF 1|＝2a ﹣4t ，|QF 1|＝2a ﹣t ，由余弦定理得|QF 1|2=|PF 1|2+|PQ|2−2|PF 1||PQ|cos∠F 1PQ ， （2a ﹣t ）＝2（2a ﹣4t ）2+（5t ）2﹣2（2a ﹣4t ）×5t ×2a−4t4t， 整理得t =514a ，则|F 1F 2|=√(4t)2−(2a −4t)2=√16at −4a 2=2√217a ， e =2c2a =|F 1F 2|2a =√217． 故答案为：√217． 16．若x ＝0是函数f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)的极大值点，则实数a 的取值范围是 (−∞，−12) ． 解：由f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)， 得f ′(x)=x 2+2ax +1−1x+1， 所以f ″(x)=2x +2a +1(x+1)2，因为x ＝0是函数f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)的极大值点， 所以f ′（0）＝1﹣1＝0，且f ''（0）＜0， 所以2a +1＜0，所以a ＜−12． 故答案为：(−∞，−12)．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2b sin A +b sin B ＝c sin2B ． （1）求角C ；（2）若点D 在边AB 上，b ＝2，CD ＝1，请在下列三个条件中任选一个，求边长AB ． ①CD 为△ABC 的一条中线； ②CD 为△ABC 的一条角平分线； ③CD 为△ABC 的一条高线． 解：（1）因为2b sin A +b sin B ＝c sin2B ，所以由正弦定理得：2sin B sin A +sin B sin B ＝2sin C sin B cos B ， 因为B ∈（0，π），所以sin B ≠0，所以2sin A +sin B ＝2sin C cos B ， 因为sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ， 所以2sin B cos C +sin B ＝0，所以cosC =−12， 因为C ∈（0，π），所以C =23π；（2）选择①，因为CD 为△ABC 的一条中线， 所以CD →=12(CA →+CB →)，所以CD →2=14(CA →2+CB →2+2CA →⋅CB →)，即1=14[4+a 2+2×2a ×(−12)]，解得：a ＝2，由余弦定理得：AB =c =√a 2+b 2−2abcosC =√4+4−2×2×2×(−12)=2√3； 选择②，因为CD 为△ABC 的一条角平分线， 所以S △ACD +S △BCD ＝S △ABC ，即12b ⋅CD ×√32+12a ⋅CD ×√32=12ab ×√32， 因为b ＝2，CD ＝1，所以a ＝2，由余弦定理得：AB =c =√a 2+b 2−2abcosC =√4+4−2×2×2×(−12)=2√3； 选择③，因为CD 为△ABC 的一条高线， 所以S △ABC =12absinC =12c ⋅CD ， 因为b ＝2，CD ＝1，所以c =√3a ，由余弦定理有：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，即3a 2=a 2+4−4a ×(−12)， 解得：a ＝2或a ＝﹣1（舍去），所以c =2√3．，即AB =2√3．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，2S n ＝（n +1）a n ﹣2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设数列b n =2a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和． 解：（1）因为当n ≥2时，2S n ＝（n +1）a n ﹣2且a 1＝1， 若n ＝2，则2S 2＝2（1+a 2）＝3a 2﹣2，解得a 2＝4， 若n ≥3，则2S n ﹣1＝na n ﹣1﹣2， 两式相减可得2a n ＝（n +1）a n ﹣na n ﹣1， 整理得a n n=a n−1n−1，即a n n=a n−1n−1=...=a 22=2，可得a n ＝2n ，可知n ＝1不符合上式，n ＝2符合上式， 所以a n ={1，n =12n ，n ≥2．（2）因为b n =2a n a n+1={2，n =112n(n+1)，n ≥2，即b n ={2，n =1⋅12(1n−1n+1)，n ≥2， 当n ＝1时，令数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝2；当n ≥2时，则T n ＝b 1+b 2+...+b n ，＝2+12[(12−13)+(13−14)+...+(1n −1n+1)]=2+12×(12−1n+1)=94−12(n+1)，可知n ＝1符合上式，所以T n =94−12(n+1)． 19．（12分）已知四棱锥Q ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，且AB ⊥QD ，QA ＝QD ＝3． （1）求点B 到平面QCD 的距离； （2）求二面角B ﹣QD ﹣A 的正弦值．解：（1）因为底面ABCD 是正方形，所以AB ⊥AD ， 又因为AB ⊥QD ，AD ∩QD ＝D ，所以AB ⊥平面QAD ， 又因为AB ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面QAD ， 因为平面QAD ∩平面ABCD ＝AD ，QA ＝QD ， 取AD 的中点O ，连接QO ，则QO ⊥AD ，以O 为原点，OD 所在直线为y 轴，OQ 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则B （2，﹣1，0），C （2，1，0），D （0，1，0），Q （0，0，2√2）， BC →=（0，2，0），DC →=（2，0，0），DQ →=（0，﹣1，2√2），设平面QCD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DC →=2x =0n →⋅DQ →=−y +2√2z =0，令z ＝1，则y ＝2√2，x ＝0，所以n →=（0，2√2，1），所以点B 到平面QCD 的距离为d =|BC →⋅n →||n →|=|0+4√2+0|0+8+1=4√23；（2）因为平面ADQ 的一个法向量为DC →=（2，0，0），DB →=（2，﹣2，0），设平面BDQ 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅DB →=2x −2y =0m →⋅DQ →=−y +2√2z =0，令z ＝1，则y ＝2√2，x ＝2√2，所以m →=（2√2，2√2，1）， 设二面角B ﹣QD ﹣A 为θ，则θ∈[0，π]， 计算cos θ=m →⋅DC →|m →||DC →|=4√2+0+08+8+1×2=2√217，sin θ=√1−cos 2θ=√1−817=3√1717， 所以二面角B ﹣QD ﹣A 的正弦值为3√1717． 20．（12分）一个袋子里有大小相同的黑球和白球共10个，其中白球有a （0＜a ＜10，a ∈N *）个，每次随机摸出1个球，摸出的球再放回．设事件A 为“从袋子中摸出4个球，其中恰有两个球是白球”．（1）当a 取a 0时，事件A 发生的概率最大，求a 0的值；（2）以（1）中确定的a 0作为a 的值，甲有放回地从袋子中摸球，如果摸到黑球则继续摸球，摸到白球则停止摸球，摸球的次数记为X ，求X 的数学期望E （X ）．参考：（1）若P （X ＝k ）＝a k （k ＝1，2，3…），则E （X ）=lim n→∞∑ n k=1ka k ；（2）lim n→∞n ⋅(12)n =0．解：（1）每次随机摸出1个球，摸到白球的概率为a10，摸到黑球的概率为1−a10， 所以件A 为“从袋子中摸出4个球，其中恰有两个球是白球“的概率为P （A ）=C 42•（a10）2•（1−a10）2＝6[a10（1−a10）]2，因为a10（1−a10）≤[a 10+(1−a10)2]2=14，当且仅当a10=1−a10=12时，a ＝5，即等号成立，故a 0＝5．（2）由（1）知：每次随机摸出1个球，摸到白球的概率为12， X ＝1，2，3…，P （X ＝k ）＝a k （k ＝1，2，3…）， P （X ＝1）＝a 1=12， P （X ＝2）＝a 2=122， P （X ＝3）＝a 3=123，…， P （X ＝k ）＝a k =12k ，…，所以∑ n i=1ka k =∑ni=1k 2k=12+222+323+...+n2n ，① 12∑ n i=1ka k =122+223+324+...+n−12n +n2n+1，② ①﹣②得：12∑ n i=1ka k =12+122+123+...+12n −n2n+1=12−12n+11−12−n 2n+1=1−2+n2n+1， 所以∑ n i=1ka k ＝2−n+22n ， E （X ）=lim n→∞∑ n i=1ka k =lim n→∞（2−n+22n ）＝2． 21．（12分）已知点(1，√2)在抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上，A 、B 为抛物线C 上的两个动点，AB 不垂直于x 轴，F 为焦点，且|AF |+|BF |＝5．（1）求p 的值，并证明AB 的垂直平分线过定点；（2）设（1）中的定点为Q ，求△ABQ 面积是否有最大值，若有，求出其最大值，若没有，请说明理由． 解：（1）因为点(1，√2)在抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上， 所以2＝2P ，解得P ＝1， 所以抛物线的方程为y 2＝2x ，设直线AB 的方程为y ＝kx +m ，（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由{y =kx +m y 2=2x ，得k 2x 2+2（km ﹣1）x +m 2＝0， Δ＝4（km ﹣1）2﹣4k 2m 2＝4（1﹣2km ）＞0， x 1+x 2=−2(km−1)k2，x 1x 2=m 2k2，因为|AF |+|BF |＝5，所以x 1+x 2+1=−2(km−1)k2+1＝5，km ＝1﹣2k 2，所以m =1k −2k ，① 设AB 的中点为（x 0，y 0）， 所以x 0=x 1+x 22=2，y 0＝kx 0+m ＝2k +m ， 所以AB 的垂直平分线方程为y ﹣2k ﹣m =−1k（x ﹣2），② 联立①②，可得y =−1k（x ﹣3）， 所以AB 的垂直平分线过定点（3，0）． （2）|AB |=√1+k 2•2√1−2kmk 2=√1+k2•2√4k 2−1k 2，点Q 到直线AB 的距离为d ：d =|3k+m|√1+k=|k+1k|√1+k，所以S △ABQ =12|AB |d =12√1+k 2•2√4k 2−1k 2•|k+1k |√1+k 2=(k 2+1)√4k 2−1k 3，S △ABQ 2=(k 2+1)2(4k 2−1)k6=（1+1k2）2（4−1k2）， 令1k 2=t ，则0＜t ＜4，f （t ）＝（t +1）2（4﹣t ），f ′（t ）＝2（t +1）（4﹣t ）﹣（t +1）2＝（t +1）（7﹣3t ）＝0， 解得：t ＝﹣1（舍去），t =73，当0＜t ＜73时，f ′（t ）＞0，当73＜t ＜4时，f ′（t ）＜0，所以f （t ）在（0，73）单调递增，在（73，4）单调递减，所以当t =73时，f （t ）取最大值为（73+1）2×（4−73）=50027，所以△ABQ 面积最大值为10√159．22．（12分）设函数f （x ）＝e x ，g （x ）＝e sin x +e cos x ． （1）求曲线y ＝f （x ）平行于直线y ＝x +3的切线； （2）讨论g （x ）的单调性．解：（1）∵f （x ）＝e x ，f ′（x ）＝e x ， ∴f ′（t ）＝1⇒e t ＝1⇒t ＝0，f （0）＝1，∴曲线y ＝f （x ）平行于直线y ＝x +3的切线方程为y ﹣1＝1•（x ﹣0）即y ＝x +1．（2）∵令p(x)=e x x （x ＜1），则 p ′(x)=e x (x−1)x 2＜0 恒成立，p(x)=e xx 在（﹣∞，0），（0，1）上单调递减．g （x ）＝e sin x +e cos x ，g ′（x ）＝e sin x •cos x ﹣e cos x •sin x ，∴g ′（x ）＞0⇒sinx ⋅cosx(e sinxsinx −e cosxcosx )＞0⇒{sinxcosx ＞0sinx ＜cosx或{sinxcosx ＜0sinx ＜0cosx ＞0⇒2kπ＜x ＜2kπ+π4或2kπ+5π4＜x ＜2kπ+3π2或2kπ+3π2＜x ＜2kπ+2π（k ∈Z ），∴g （x ）在(2kπ，2kπ+π4)(k ∈Z)，(2kπ+5π4，2kπ+2π)(k ∈Z)上单调递增，在(2kπ+π4，2kπ+5π4)（k ∈z ）上单调递减．。
2023-2024学年天津市塘沽二中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市塘沽二中高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 1．已知全集{|110}U x N x =∈，集合{1A =，3，5，7，9}，集合{1B =，2，3，4，5}，则(UA B =)A ．{1，3，5}B ．{7，9}C ．{6，8，10}D ．{2，4}2．已知x R ∈，则“|3|1x −<”是“260x x −−+<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．4．已知0.72a =，0.71()3b =，213c log =，则( )A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>5．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且122a =，716S S =，则n S 取最大值时n 的值为( ) A ．12B ．12或11C ．11或10D ．106．直线1:310L ax y ++=，2:2(1)10L x a y +++=，若12//L L ，则a 的值为( ) A ．3−B ．2C ．3−或2D ．3或2−7．已知||2a =，||3b =，a 与b 的夹角为135︒，则a 在b 方向上的投影向量为( )A ．3B ．3C D ． 8．已知53a =，32b =，则5log 10(ab −= )A ．1B ．2C ．5D ．49．将函数2()cos f x x x x =+−的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．对于下列四种说法，正确的是( )①函数()g x 的图象关于点(,0)3π成中心对称；②函数()g x 在(,)ππ−上有8个极值点； ③函数()g x 在区间[,]24ππ−−，最小值为； ④函数()g x 在区间(,)44ππ−上单调递增． A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④一、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分， 10．复数133iz i −=+的共轭复数的虚部是 ，||z = ． 11．若8(x +的展开式中4x 的系数为7，则实数a = ．12．已知圆经过(3,0)和(1,2)−，圆心在直线210x y +−=上，则圆的标准方程为 ． 13．已知0a >，0b >，且1ab =，则111a b a b+++的最小值为 ． 14．过点(2,3)P 的直线l 被圆22(1)2x y −+=截得的弦长为2，则直线l 的方程为 ．15．在梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，M ，N 分别为线段DC 和AB 的中点，若AB a =，AD b =，用a ，b 表示MN = ，若MN BC ⊥，则DAB ∠余弦值的最小值为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（15分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，b =2c =，3B π=．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求sin A ；（Ⅲ）求sin(2)B A −的值．17．（15分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S a =−． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 是等差数列，且33b S =，155b S =，求数列{}n b 的通项公式； （3）求11ni n i i b a +−=∑．18．（15分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a B C ． （1）求B ；（2）若3b =，sin C A =，求a ，c ；（3）若b ，求sin(2)3A π−．19．（15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是矩形，22AB AD ==，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点．（1）若1PA =．()i 求证：AE ⊥平面PCD ；()ii 求直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）若平面BCE 与平面CED ，求PA ．20．（15分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==−=−=． （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=−； （3）求(Tex translation failed)．2023-2024学年天津市塘沽二中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 1．已知全集{|110}U x N x =∈，集合{1A =，3，5，7，9}，集合{1B =，2，3，4，5}，则(UA B =)A ．{1，3，5}B ．{7，9}C ．{6，8，10}D ．{2，4}解：{1B =，2，3，4，5}，{|110}U x N x =∈，{6U B ∴=，7，8，9，10}，又{1A =，3，5，7，9}， {7UAB ∴=，9}，故选：B ．2．已知x R ∈，则“|3|1x −<”是“260x x −−+<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：|3|1x −<，131x ∴−<−<，24x ∴<<，260x x −−+<，260x x ∴+−>，2x ∴>或3x <−， (2，4)(−∞，3)(2−⋃，)+∞，|3|1x ∴−<是260x x −−+<的充分不必要条件，故选：A ． 3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．解：函数2sin ()||2xf x x =+是奇函数，排除C 、D ；(0,)x π∈时，()0f x >， 所以函数的图象为：B ；A 错误． 故选：B ．4．已知0.72a =，0.71()3b =，213c log =，则( )A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>解：因为幂函数0.7y x =在(0,)+∞上单调递增，且123>， 所以0.70.712()03>>；又函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以221103log log <=． 故a b c >>． 故选：C ．5．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且122a =，716S S =，则n S 取最大值时n 的值为( ) A ．12B ．12或11C ．11或10D ．10解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由716S S =，得1172116120a d a d +=+，即1110a d +=， 又122a =，所以2d =−，所以222(1)242n a n n =−−=−，令0n a =，可得12n =， 所以数列{}n a 满足：当11n 时，0n a >；当12n =时，0n a =；当13n 时，0n a <， 所以n S 取得最大值时，n 的取值为11或12． 故选：B ．6．直线1:310L ax y ++=，2:2(1)10L x a y +++=，若12//L L ，则a 的值为( ) A ．3−B ．2C ．3−或2D ．3或2−解：直线1:310L ax y ++=的斜率为：3a −，直线12//L L ，所以2:2(1)10L x a y +++=的斜率为：3a−所以231a a −=−+；解得3a =−，2a =（舍去） 故选：A ．7．已知||2a =，||3b =，a 与b 的夹角为135︒，则a 在b 方向上的投影向量为( ) A．BCD．解：a 在b方向上的投影向量为23(22||93||||||a b ba b b a b b ⨯⨯⋅⨯⨯==−，故选：A ．8．已知53a =，32b =，则5log 10(ab −= ) A ．1B ．2C ．5D ．4解：53a =，32b =，5log 3a ∴=，3log 2b =，5553log 10log 10log 3log 2ab −=−⨯255555535log 10log 3log 10log 2log 51log log =−⨯=−==． 故选：A ．9．将函数2()cos f x x x x =+−的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．对于下列四种说法，正确的是( )①函数()g x 的图象关于点(,0)3π成中心对称；②函数()g x 在(,)ππ−上有8个极值点；③函数()g x 在区间[,]24ππ−−，最小值为； ④函数()g x 在区间(,)44ππ−上单调递增． A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④解：函数2()cos 2f x x x x =−1cos 22)2226x x x π+=−=+， 把图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数())6g x x π=+的图象．对于①：当3x π=时，()3g π=，故①错误； 对于②：由于(,)x ππ∈−，故23254(,)666x πππ+∈−， 根据函数的周期，函数()g x 在(,)ππ−上有8个极值点，故②正确； 对于③：由于[,]24x ππ∈−−，所以1154666x πππ−+−，故()2g x ，故③正确；对于④：当(,)44x ππ∈−时，574666x πππ−+，故函数在该区间上不单调，故④错误． 故选：B ．一、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分， 10．复数133iz i−=+的共轭复数的虚部是 1 ，||z = ． 解：由题意22213(13)(3)3933(3)(3)3i i i i i i z i i i i i −−−−−+====−++−−，所以z i =−的共轭复数为z i =， 所以复数133iz i−=+的共轭复数的虚部是1； 复数z i =−的模长为||1z ==． 故答案为：1，1． 11．若8(x +的展开式中4x 的系数为7，则实数a =12．解：由通项公式4883188r r rr rr r T C x a C x −−+==，8(x +的展开式中4x 的系数为7，∴848437r r r a C ⎧−=⎪⎨⎪=⎩，解得312r a =⎧⎪⎨=⎪⎩．故答案为12．12．已知圆经过(3,0)和(1,2)−，圆心在直线210x y +−=上，则圆的标准方程为 22(1)4x y −+= ． 解：根据题意，圆心在直线210x y +−=上，设圆心的坐标为(12,)a a −， 又由要求经过(3,0)和(1,2)−，则有2222(123)(121)(2)a a a a −−+=−−++， 解可得0a =，则有121a −=， 故圆心的坐标为(1,0)，圆的半径2r =，故要求圆的标准方程为：22(1)4x y −+=； 故答案为：22(1)4x y −+=． 13．已知0a >，0b >，且1ab =，则111a b a b +++的最小值为 52 ．解：因为0a >，0b >，且1ab =，则11,b a a b==，所以1111a b a b a b a b++=++++， 又因为22a b ab +=，当且仅当1a b ==时取等号， 令t a b =+，则函数1t t+在[2，)+∞上单调递增，所以当2t =时，1t t +取得最小值为15222+=，此时111a b a b +++取得最小值为52． 故答案为：52． 14．过点(2,3)P 的直线l 被圆22(1)2x y −+=截得的弦长为2，则直线l 的方程为 2x =或4310x y −+= ． 解：过点(2,3)P 的直线l 被圆22(1)2x y −+=截得的弦长为2，则圆心(1,0)到直线l 1=， 当直线l 的斜率为k 时， 直线l 的方程为3(2)y k x −=−，1=，则43k =， 即直线l 的方程为43(2)3y x −=−，即4310x y −+=； 当直线l 的斜率不存在时， 直线l 的方程为2x =满足题意，即直线l 的方程为2x =或4310x y −+=． 故答案为：2x =或4310x y −+=．15．在梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，M ，N 分别为线段DC 和AB 的中点，若AB a =，AD b =，用a ，b 表示MN = 14a b − ，若MN BC ⊥，则DAB ∠余弦值的最小值为 ． 解：如图，//AB CD ，2AB CD =，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，且,AB a AD b ==，∴111111224244MN MD DA AN CD DA AB AB AD AB AB AD a b =++=++=−−+=−=−，111222BC BA AD DC AB AD AB AB AD a b =++=−++=−+=−+，且MN BC ⊥， ∴221113()()04284MN BC a b a b a b a b ⋅=−⋅−+=−−+⋅=，∴221463a b a b ⋅=+， ∴2214||4||2263cos 3||3||||||||6||a ba b a b DAB a a b a b b +⋅∠===+，当且仅当||4||3||6||a b a b =，即||22||a b =时取等号， DAB ∴∠ ． 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（15分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b =2c =，3B π=．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求sin A ；（Ⅲ）求sin(2)B A −的值．解：（Ⅰ）由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+−，所以21284222a a =+−⋅⋅，即22240a a −−=， 解得6a =或4−（舍负）， 所以6a =．（Ⅱ）由正弦定理知，sin sin a bA B =，所以6sin A =， 所以sin A =．（Ⅲ）由余弦定理知，222cos 2b c aA bc +−===，所以213cos 22cos 114A A =−=−，sin 22sin cos A A A ==， 所以131sin(2)sin cos 2cos sin 2()(142B A B A B A −=−−−⨯=． 17．（15分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S a =−． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 是等差数列，且33b S =，155b S =，求数列{}n b 的通项公式； （3）求11ni n i i b a +−=∑．解：（1）当1n =时，11121a S a ==−，即有11a =， 当2n 时，112121n n n n n a S S a a −−=−=−−+， 即为12n n a a −=，可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 则12n n a −=；（2）由（1）可得2121n n n S a =−=−， 设数列{}n b 是公差为d 的等差数列， 由337b S ==，即127b d +=，15531b S ==，即11431b d +=，解得13b =，2d =，则32(1)21n b n n =+−=+；（3）令123325272...(21)2(21)1n n n n T n n −−−=⋅+⋅+⋅++−⋅++⋅， 则1222325272...(21)2(21)2n n n n T n n −−=⋅+⋅+⋅++−⋅++⋅， 上面两式相减可得1232(22...2)(21)1n n n n T n −=⋅++++−+⋅14(12)3221522512n nn n n −−=⋅+−−=⋅−−−．18．（15分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且(2)cos cos a B C ． （1）求B ；（2）若3b =，sin C A =，求a ，c ；（3）若b ，求sin(2)3A π−．解：（1）由题设及正弦边角关系得：(2sin )cos cos A C B B C，2sin cos cos cos )A B C B B C B C A ⇒+=+， 显然sin 0A ≠，则cos B =，又(0,)B π∈，故6B π=；（2）由sin C A ，则c =①，由（1）得：222229cos 22a c b a c B ac ac +−+−===，由①②得：3a =，c =（3）由正弦定理得：sin B A ，则1sinA ===b =，即b a >，则B A >，故A 为锐角，∴cos 4A ===，∴sin 22sin cos 2444A A A ==⨯⨯=，223cos 22cos 12(144A A =−=⨯−=，∴13sin(2)sin 2cos cos 2sin 33324A A A πππ−=−=−=． 19．（15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是矩形，22AB AD ==，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点．（1）若1PA =．()i 求证：AE ⊥平面PCD ；()ii 求直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）若平面BCE 与平面CED 夹角的正弦值为5，求PA ．解：（1）()i 证明：以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系如图， 则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(2C ，1，0)，(0D ，1，0)，(0P ，0，1)，11(0,,)22E ， ∴11(0,,)22AE =，(2,1,1)PC =−， 110022AE PC ⋅=+−=，AE PC ∴⊥， 在PAD ∆中，1PA AD ==，E 为PD 中点，AE PD ∴⊥，PD PC E =，PD ⊂面PCD ，PC ⊂面PCD ，AE ∴⊥平面PCD ；()ii 由()i 得：AE ⊥平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，AE PC ∴⊥， 在PAD ∆中，1PA AD ==，E 为PD 中点，AE PD ∴⊥，PDPC E =，PD ⊂面PCD ，PC ⊂面PCD ，AE ∴⊥平面PCD ， ∴AE 为平面PCD 的一个法向量11(0,,)22AE =， 又11(2,,)22BE =−，设直线BE 与平面PCD 所成角为β， 则11||||1sin |cos |3||||1AE BE BE AE AE BE β+⋅=<⋅>===⋅， ∴直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值为13； （2）设(0)PA a a =>，则(0,1,0)BC =，1(0,,)22a AE =，1(2,,)22a BE =−， 设平面BCE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则012022n BC y a n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=−++=⎪⎩，取(,0,2)2a n =， 设平面CPD 的法向量000(,,)m x y z =，又(2,1,)CP a =−−，(2,0,0)CD BA ==−，则00002020m CP x m CD x y az ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−−+=⎪⎩，取(0,,1)m a =， 设平面BCE 与平面CED 的夹角大小为θ，则2cos |cos,|||||||n m n m n m aθ⋅=〈〉==⋅+因为sin 5θ=，所以2cos 5θ=， 25=， 22(4)(21)0a a ∴−+=解得2a =，即2PA =．20．（15分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==−=−=．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=−；（3）求{}2122212121221[(1)][(1)]nk k k k k k k k k a a b a b −−−+=−−+−−∑．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 1122331a b a b a b ==−=−=，11d q ∴+−=，2121d q +−=，解得2d q ==，12(1)21n a n n ∴=+−=−，12n n b −=．（2）证明：120n n b b +=≠，∴要证明1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=−，即证明111()2n n n n n n n S a b S b S b ++++=⋅−，即证明1112n n n n S a S S ++++=−，即证明11n n n a S S ++=−，由数列的通项公式和前n 项和的关系得：11n n n a S S ++=−， 1111()n n n n n n n S a b S b S b ++++∴+=−．（3）{}2122212121221[(1)][(1)]nk k k k k k k k k a a b a b −−−+=−−+−−∑2221(4143)2[41(41)]224k k k k k k k k −−=−+−⨯++−−⨯=⋅，∴{}2122212121221[(1)][(1)]n k k k k k k k k k a a b a b −−−+=−−+−−∑124nk k k ==⋅∑， 设124n k n k T k ==⋅∑．则2324446424n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，① 2341424446424n n T n +∴=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，② ①−②，得： 234132(44444)24n n n T n +−=++++⋯+−⋅ 124(14)2414n n n +⨯−=−⨯− 1(26)483n n +−⋅−=， 1(62)489n n n T +−⋅+∴=， {}12122212121221(62)48[(1)][(1)]9n n k kk k k k kk k n a a b a b +−−−+=−⋅+∴−−+−−=∑．。
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2023学年第一学期杭州二中高二期中考试数学1. 两条平行直线1l ：注意事项：1．本试卷满分150分，考试用时120分钟.2．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选或不选都给不分.3450x y +−=与2l：6850x y +−=之间的距离是（ ） A. 0 B.12C. 1D.32【答案】B 【解析】【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】345068100x y x y +−=⇒+−=，12， 故选：B2. 已知圆()()()2122292:x m y m m C −+−=−与圆22288340:x y x C y m +−−+−=，则“4m = ”是“圆1C 与圆2C 外切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案. 【详解】根据题意将圆2C 化成标准方程为()()22442x y m −+−=−； 易知20m −>，所以可得圆心()12,2C m m，半径为1r =，圆心()24,4C，半径为2r =可得122C C =−，两半径之和12r r += 若4m=，圆心距12C C =，两半径之和12r r +，此时1212C C r r =+=， 所以圆1C 与圆2C 外切，即充分性成立；若圆1C 与圆2C外切，则2−=4m =或2m =（舍）， 所以必要性成立；即“4m =”是“圆1C 与圆2C 外切”的充分必要条件. 故选：C3. 已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A. 1±B. C. D. 2±【答案】C 【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =，则弦长为||MN =， 则当0k =时，MN 取得最小值为2=，解得m =. 故选：C.4. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y −+=上，则ABP 面积的取值范围是A. []26，B. []48，C. D.【答案】A 【解析】【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点 ()()A 2,0,B 0,2∴−−,则AB = 点P 在圆22x 22y −+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d =故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPS AB d ==∈故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．5. 已知正方形ABCD 的边长为2，点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则2MB MD +的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】建立直角坐标系，取点1(0,)2E ，探讨满足条件||2||M D M E ′′=的点M ′的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答.【详解】依题意，以点C 为原点，直线,CB CD 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(2,0),(0,2)B D ，如图，取点1(0,)2E ，设(,)M x y ′，当||2||M D M E ′′=化简整理得221x y +=，即点M ′的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，而点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，因此||2||MD ME =，显然点B 在圆C ：221x y +=外，则22||2||2(||||)2||MB MD MB ME MB ME BE +=+=+≥，当且仅当M 为线段BE 与圆C 的交点时取等号，而||BE ，所以2MB MD +的最小值为2||BE =故选：D【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点1(0,)2E 并求出满足条件||2||M D M E ′′=的点M ′的轨迹是解题的关键.6. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，O 为坐标原点，过F 且斜率为1的直线交椭圆于A ，B两点（A 在x 轴上方）.A 关于x 轴的对称点为D ，连接DB 并延长交x 轴于点E ，若DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，则椭圆的离心率e 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，得到2EF OF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++−−，与椭圆方程联立，再设直线BD 的方程为：()122221x x c y x cx x x x ++−−=−−，令0y =结合韦达定理，得到点E 的坐标，代入2EF OF OE =⋅求解.【详解】解：如图所示：设,,DOF DEF DOE 分别以OF ，EF ，OE 为底，高为h ，则111,,222DOFDEF DOE S OF h S EF h S OE h === ， 因为DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，所以2DEFDOF DEF S S S =⋅ ，即2EF OF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++−−，联立22221x y a b y x c += =+，消去y 得()2222222220a b x a cx a c a b +++−=， 由韦达定理得：2121222222222,2x x x x a ca c ab a b a b−+=−=++⋅， 直线BD 的方程为：()1222212x x cy x c x x x x ++−−=−−，令0y =得，()12121222E x x c x x x x x c⋅++=++，则()22121212222222222222222222E x x c x x a x c a c a b a c a b a b a b x x c c c a ⋅−⋅++===−++−++−++， 则2EF OF OE =⋅，即为222a a c c c c ⋅−，则()22222c a ac =−，即422430a c a c −+=，即42310e e −+=，解得2e =e =，故选：D7. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF △的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（ ）A.B.23C.D.12【答案】A 【解析】【分析】对23450++= IB IA IF 变形得到2351882IB IF IA +=−，进而得到以22::3:4:5AF BF AB =，结合椭圆定义可求出2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a =，由余弦定理求解,a c 关系式，求出离心率.【详解】因为23450++= IB IA IF ，所以2351882IB IF IA +=−， 如图，在2BF 上取一点M ，使得2:5:3BM MF =，连接IM ，则12IM IA =−，则点I 为AM 上靠近点M 的三等分点，所以22::3:4:5IAF IBF IBA S S S = ， 所以22::3:4:5AF BF AB =设23AF x =，则24,5BF x AB x ==， 由椭圆定义可知：224AF BF AB a ++=，即124x a =，所以3ax =， 所以2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a = 故点A 与上顶点重合， 在2ABF △中，由余弦定理得：222222222222516399cos 52523a a a AB F A F B BAF AB F A a +−+−∠===⋅×，在12AF F △中，2222243cos 25a a c BAF a +−∠==，解得：c a =故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出,,a b c 的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将23450++=IB IA IF 进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形2ABF 三边关系，求出离心率.8. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅的取值范围是（ ）A. 63,925−B. []3,21−C. 63,2125D. []3,27【答案】B 【解析】【分析】由已知及抛物线的定义，可求p ，进而得抛物线的方程，可求A ，B ，F 的坐标，直线AF 的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N 的坐标，求得M 的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设(A ，所以||342pAF =+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，(3,A ，(3,B −，(1,0)F ，所以直线AF 的方程为1)yx =−，设圆心坐标为0(x ，0)，所以2200(1)(3)12x x −=−+，解得05x =，即(5,0)E ，∴圆的方程为22(5)16x y −+=，不妨设0M y >，设直线OM 的方程为y kx =，则0k >，4=，解得43k =， 由2243(5)16y x x y= −+=，解得912,55M， 设(4cos 5,4sin )N θθ+，所以364812cos sin 9(3cos 4sin )9555OM ON θθθθ⋅=++=++ ， 因为[]3cos 4sin5sin()5,5θθθϕ+=+∈−， 所以OM ON ⋅∈[]3,21−． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为22(5)16x y −+=，然后利用直线OM 与圆E 切于点M ，求出M 点的坐标，引入圆的参数方程表示N 点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知直线1l ：230ax y a ++=和直线2l ：()3170x a y a +−+−=，下列说法正确的是（ ） A. 当25a =时，12l l ⊥ B. 当2a =−时，12l l ∥C. 直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()1,1−D. 当1l ，2l 【答案】AD 【解析】【分析】A 选项：把a 的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为1−，直接判断即可； B 选项，把a 的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可； C 选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可；D 选项，由直线平行时，斜率相等，可求得a 得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可.【详解】对于A ，当25a =时，那么直线1l 为262055x y ++=，直线2l 为3237055x y −+−=，此时两直线的斜率分别为115k =−和25k =，所以有121k k ⋅=-，所以12l l ⊥，故A 选项正确；对于B ，当2a =−时，那么直线1l 为30x y −+=，直线2l 为30x y −+=，此时两直线重合，故B 选项错误；对于C ，由直线1l ：230ax y a ++=，整理可得： ()320a x y ++=，故直线1l 过定点()3,0-，直线2l ：()3170x a y a +−+−=，整理可得：()1370a y x y −+−+=，故直线2l 过定点()2,1−，故C 选项错误；对于D ，当1l ，2l 平行时，两直线的斜率相等，即213a a −−=−，解得：3a =或2a =−，当2a =−时，两直线重合，舍去；当3a =时，直线1l 为3290x y ++=，2l 为3240x y ++=，此时两直线的距离d，故D 选项正确. 故选：AD .10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右两焦点分别是12,F F ，其中12||2F F c =.直线()():R l y k x c k =+∈与椭圆交于,A B 两点，则下列说法中正确的有（ ）A. 2ABF △的周长为4aB. 若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C. 若2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若1k =时，则2ABF △【答案】ACD 【解析】【分析】根据椭圆定义可知2ABF △的周长为4a ，可判断A 正确；联立直线和椭圆方程求出点M 的坐标，表示出斜率公式即可得22OMb k k a⋅=−，可得B 正确；由2124AF AF c ⋅= 易知A 点在以()0,0为圆心，半径为的圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，需满足b a ≤≤，可得离心率e ∈，可知C 正确；将1k =代入联立的方程可得2ABF △的面积12S c x x =−，可得D 正确.【详解】由12||2F F c =可知，()()12,0,,0F c F c −；显然直线()():R l y k x c k =+∈过点()1,0F c −，如下图所示：由椭圆定义可知2ABF △的周长为2212214AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++=，所以A 正确； 设()()1122,,,A x y B x y ，中点()0,Mx y ；将直线和椭圆方程联立()22221x y a b y k x c += =+ ，消去y 整理可得()2222222222220b a k x a k cx a k c a b +++−=； 由韦达定理可得22122222a k c x x b a k +=−+，所以221202222x x a k cx b a k+==−+，代入直线方程解得20222b cky b a k =+，即222222222,a k c b ck M b a k b a k − ++； 所以2222222222222200OMb ckb ck b b a k k a kc a k c a k b a k −+==−=−−−+， 可得2222OMk b k a k b k a⋅−==⋅−，所以B 错误；根据B 选项，由2124AF AF c ⋅=可得()()2222111111,4,c x y c x y x c y c −⋅=+−−=−−−， 可得222115x y c +=，即A 点在以()0,0圆上； 又A 点在椭圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，根据对称性可知b a ≤≤，即22256c a c ≤≤，所以可得离心率e ∈，即C 正确；若1k =时，由选项B 可知联立直线和椭圆方程可得()2222222220b axa cx a c ab +++−=； 所以可得22222121222222,a c a c a b x x x x b a b a−+=−=++； 所以12x x −==易知2ABF △面积12112212121122S F F y F F y c y y c x x =+=−==− 即可得2ABF△，故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线与直线的位置关系时，特别是在研究跟焦点三角形有关的问题时，经常将直线和圆锥曲线联立并利用韦达定理求解，注意变量间的相互转化即可.11. 已知斜率为k 的直线交抛物线()220y px p =>于()11,A x y 、()22,B x y 两点，下列说法正确的是（ ） A. 12x x 为定值B. 线段AB 的中点在一条定直线上的的C.11OA OBk k +为定值（OA k 、OB k 分别为直线OA 、OB 的斜率） D. AF BF为定值（F 为抛物线的焦点）【答案】BC 【解析】【分析】分析可知，0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A 选项；求出线段AB 中点的纵坐标，可判断B 选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C 选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D 选项.【详解】若0k =，则直线AB 与抛物线()220y px p =>只有一个交点，不合乎题意，则0k ≠， 设直线AB 的方程为y kx m =+，联立22y kx m y px=+ = 可得()222220k x km p x m +−+=， ()2222224480km p k m p kmp ∆=−−=−>，对于A 选项，2122m x x k =不一定是定值，A 错；对于B 选项，设线段AB 的中点为()00,P x y ，则12022x x p kmx k+−==， 00p km p y kx m m k k−++为定值，故线段AB 的中点在定直线py k =上，B 对；对于C 选项，()121212122222111222OA OB p kmm k x x m x x y y k k k y y p p p k−+++++=+====为定值，C 对；对于D 选项，21222222222p km p p x x AF k p p BF x x −+−+==++不一定为定值，D 错.故选：BC.12. 已知圆22:(2)1M x y +−=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是（ ）A. 四边形PAMB周长的最小值为2 B. ||AB 的最大值为2C. 若(1,0)P ，则三角形PAB 的面积为85D.若Q ，则||CQ 的最大值为94【答案】CD 【解析】【分析】首先设||MP t =，对于选项A ，根据题意，表达四边形PAMB 周长关于t 的函数，由t 的取值范围求函数的最小值可判断A 错误；对于选项B ，根据等面积法，求出||AB 关于t 的函数关系，由t 的取值范围求函数的最大值可判断B 错误；对于选项C ，根据题意，计算PAB 底和高，求出面积判断C 正确；对于选项D ，设动点(,0)P m AB 的方程与直线PM 的方程，二者联立消去m 得到二者交点C 的轨迹是圆，||CQ 的最大值为圆心1O 与Q 距离加半径，可判断D 正确． 【详解】对于选项A ，设||MP t =，则||||BP AP ==则四边形PAMB周长为2+，则当t 最小时周长最小，又t 最小值为2， 所以四边形PABM周长最小为2+，故A 错误；对于选项B ，12||||2MAP PAMBS S MP AB ==△四边形，即1121||22t AB ××=，所以||AB =，因为2t，所以)||AB ∈，故B 错误； 对于选项C ，因为(1,0)P，所以||MP =t =，所以||AB ，1||||2AC AB ==，||2AP =，||PC ，所以三角形PAB 的面积为18||||25AB PC =，故C 正确；的对于选项D ，设(,0)P m ，()11,A x y ,则切线PA 的方程为()()11221x x y y +−−=， 又因为直线PA 过点(,0)P m ，代入可得()()112021x m y +−−=化简得11230mx y −+= 设()22,B x y ,同理可得22230mx y −+=， 因此点,A B 都过直线230mx y −+=，即直线AB 的方程为230mx y −+=， MP 的方程为22y x m=−+， 二者联立得，22230y x mmx y =−+−+=①②， 由①式解出22x m y =−，代入②式并化简得227302x y y +−+=， 配方得2271()416x y +−=，2y ≠， 所以点C 的轨迹是以(70,4)为圆心，14为半径的圆， 设其圆心为1O ，所以||CQ的最大值为1119||2444O Q R ++=+=，故D 正确． 故选：CD.【点睛】本题综合性较强，难度较大，具备运动变化的观点和函数思想是解题的关键，对于AB 选项，设变量||MP t =，用t 分别表达周长函数和距离函数求最值，对于D 选项，设出动点(),0P m ，分别表达直线AB 和MP 的方程，联立消去m ，得到动点C 的轨迹，进一步求解答案.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数0,0a b ><的取值范围是______.【答案】[)2,1−− 【解析】【分析】根据题意，设直线l ：0ax by +=的几何意义为，点(1,到直线l 的距离，即可求出取值范围.【详解】根据题意，设直线l ：0ax by +=，设点(1,A那么点(1,A 到直线l的距离为：d因为0,0a b ><，所以d =l 的斜率0ak b=−>， 当直线l的斜率不存在时，1d ==，所以1d >，当OA l ⊥时，max 2d OA ===，所以12d <≤，即12<≤，=21−≤<−，故答案为：[)2,1−−.14. 形如()0b y ax b x=+≠的函数图象均为双曲线，则双曲线4135y x x =−的一个焦点坐标为______.【答案】或 【解析】【分析】先确定双曲线的渐近线、对称轴方程，确定焦点位置及实半轴a ，最后由渐近线与对称轴夹角正切值确定b ，利用双曲线性质求出焦点. 【详解】由4135−x y =x 知，其两条渐近线分别为403x x =,y =， 所以双曲线4135−x y =x 的两条对称轴为403xx =,y =的夹角平分线， 令43x y =的倾斜角为0,2πθ ∈，则4tan 3θ=，且一条对称轴倾斜角为42πθ+，而22tan42tan 31tan 2θθθ==−，则22tan 3tan 2022θθ+−=，解得tan 22θ=−（舍去），1tan 22θ=， 所以11+tan 1+22tan ==31421tan 122π +=−−θθθ，即一条对称轴为3y x =， 故另一条对称轴为13y x =−，显然13y x =−与4135−x y =x有交点, 即为双曲线的顶点，则双曲线的实半轴长a = 而渐近线0x =与对称轴13y x =−夹角的正切值为3，3b a =，又因为=a，所以33b =a = 由2222641553+=c =a +b =，设焦点为13 − m,m ，则221433 +−=m m ，所以m =, .故答案为：或.15. 在椭圆2213x y +=上有点31,22P ，斜率为1的直线l 与椭圆交于不同的A ，B 两点（且不同于P ），若三角形ABO 的外接圆恰过点P ，则外接圆的圆心坐标为______. 【答案】71,88 −【解析】【分析】根据题意得到():0AB y x b b =+≠，联立直线AB 与椭圆方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，12y y +，12y y ；法一：先利用点斜式求得,OP AB 的中垂线方程，联立两者方程即可求得圆心C ，再由半径相等得到2222AC BC OC +=，利用两点距离公式，代入上述式子得到关于b 的方程，解之即可； 法二：根据题意得到圆的方程，联立直线AB 与圆的方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，进而得到,D E 关于b 的表达式，又由点P 在圆上得到关于b 的方程，解之即可.【详解】依题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线():0AB y x b b =+≠， 联立2213y x bx y =++=，消去y ，得246330x bx b ++−=， 所以1232x x b +=−，()212314b x x −=， 则121212y y x b b b x ++=+=+，()()2121234b y y x b b x =+−=+， .法一：因为31,22P ，所以10123302OP k −==−，OP 的中点坐标为3,414 ，OP 中垂线的斜率为3−，所以OP 中垂线方程为113:344l y x −=−−，即532y x =−+， 因为AB 的斜率为1，AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++ ，即31,44b b− ，所以AB 中垂线的斜率为1−，则AB 中垂线方程213:44l y b x b−=−+，即12y x b =−−， 联立53212y x y x b=−+ =−− ，解得54354b x b y + = + =− ，则圆心坐标535,44b b C ++ − ， 因为22222AC BC OC AC +==， 所以222222112253515355354424444b b b b b b x y x y +++++++=−+++−++， 整理得()()22221212121253522044b b x x x x y y y y ++ +−+++++=， 因为1232x x b +=−，()212314b x x −=，1212y y b +=，21234b y y −=， 所以()22222112123624x x x x b x x +=+−+=，()2222211212624y b y y y y y −+=+−+=， 则2203563614242532244b b b b b b ++ −++= − + +−× ， 整理得22530b b ++=，解得32b =−，1b =-， 当1b =-时，直线:1AB y x =−，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =−时，()2299361633361633044b b ∆=−−=×−×−>，直线3:2AB y x =−，满足题意，又535,44b b C ++ −，所以此时圆心坐标71,88C − . 法二：因为圆过原点()0,0O ，所以设圆的方程为220x y Dx Ey +++=()220D E +>，联立220y x b x y Dx Ey =++++=，消去y ，得()22220x b D E x b Eb +++++=， 所以1222b D E x x +++=−，2122b Ebx x =+， 又1232x x b +=−，()212314b x x −=，所以3222b D E b ++−=−，()223142b b Eb −+=， 所以1322D b b=+，1322E b b =−， 因为P 点在圆上，所以913104422D E +++=，即530D E ++=，所以13135302222b b b b +++−=，整理得22530b b ++=，解得32b =−，1b =-， 当1b =-时，直线:1AB y x =−，显然直线AB 过P 点，舍去， 当32b =−时，1332722234D =×−+×−=− ，1332122234E =×−−×−= ， 对于方程2246330x bx b ++−=，有()2299361633361633044b b ∆=−−=×−×−>，对于方程()22220x b D E x b Eb +++++=，即29152028x x −+=，有2915Δ42028 =−−××>，满足题意，又因为外接圆的圆心坐标为,22D E −− ，所以圆心为71,88− . 故答案为：71,88 −.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.16. 已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，过M作MN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ，则2324NF AB +的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程得到关于y 的一元二次方程，得到韦达定理式，求出,M N 坐标，利用弦长公式和两点距离公式得到AB 和NF 的表达式，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】显然当直线AB 斜率为0时，不合题意；故设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立抛物线方程有2440y my −−=，则216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =−，则1222My y y m +==，111x my =+，221x my =+， 则()21221224221222M m y y x x m x m ++++====+，则()221,2M m m +，准线方程为=1x −，()1,0F ，则()1,2N m −，()22||41AB y m =−=+，()()()22222||1124441||[4,)NF m m m AB =++−=+=+=∈+∞，所以232||32||||4||4NF AB AB AB +=+==，当且仅当32||||4AB AB =，即()2||41AB m =+=时等号成立，此时m .故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是采取设线法联立抛物线方程得到韦达定理式，再利用中点公式得到,M N 点坐标，最后利用弦长公式和两点距离公式得到相关表达式，最后利用基本不等式即可得到答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知点()1,0A −和点B 关于直线l ：10x y +−=对称． （1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程； （2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线2l 的方程．【答案】（1）30x y +−=（2）0y =或=1x − 【解析】【分析】根据对称先求出B 点坐标（1）过点B 到点A 距离最大的直线与直线AB 垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C 到直线AB 的距离，又点C 在直线l 上，可设出C 点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C ，又直线过点A ，利用两点A 、C 即可求出直线2l 的方程. 【详解】解：设点(),B m n则1102211m nn m −+ +−== + ，解得：12m n = = ，所以点()1,0A −关于直线l ：10x y +−=对称的点的坐标为()1,2B（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，则直线1l 与过点AB 的直线垂直，所以1k =−，则直线1l 为：()21y x −=−−，即30x y +−=. （2）由条件可知：AB =，ABC 的面积为2，则ABC的高为h =又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB. 直线AB 方程为1y x =+，设(),C a b，即1b a =−或3b a =+又1b a =−，解得：10a b == 或12a b =− =则直线2l 为：0y =或=1x −【点睛】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用..方法点睛：（1）设出交点坐标（2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组； （3）解出点坐标.18. 已知圆221:(1)5C x y +−=，圆222:420C x y x y +−+=.（1）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.【答案】（1）（2）22317222x y −++=【解析】【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心1C 到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+−+++−−≠−，求出圆心坐标代入241x y +=中可求出λ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为(),a b ，然后列方程组可求出,a b ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【小问1详解】将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即()()222242240x y x y x y y +−+−+−−=，化简得10x y −−=，所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y −−=的距离为d ，则22215232AB r d =−=−=，解得AB =所以公共弦长为【小问2详解】 解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+−+++−−≠−， 则2242240,1111x y x y λλλλλλ−+−+−=≠−+++； 由圆心21,11λλλ− −++ 在直线241x y +=上，则()414111λλλ−−=++，解得13λ=， 所求圆的方程为22310x y x y +−+−=，即22317222x y −++=. 解法二：由（1）得1y x =−，代入圆222:420C x y x y +−+=， 化简可得22410x x −−=，解得x =；当x =时，y =x =时，y =；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222241a b a b a b −+=++ += ，解得3212a b ==−；所以222317222r =+−−= ； 所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y −++=19. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接P A ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）．（1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）221169x y −= （2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值. 【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab += −=解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y −=． 法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F −，125,28c a MF MF ∴==−=，22294,a b c a ∴===−，∴双曲线E 的标准方程为221169x y −=． 【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+， 联立221169x my t x y =+−= 消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m −++−−≠， 12218916mt y y m −∴+=−，21229144916t y y m −=−，12y y −，AC 的方程为11(4)4y yx x ++，令2x =，得1164p y y x =+， 的BD 的方程为22(4)4y yx x −−，令2x =，得2224p y y x −=−，1221112212623124044y y x y y x y y x x −∴=⇔−++=+− ()()21112231240my t y y my t y y ⇔+−+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+−++= ()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+−++−−=()22249144(24)180916916m t t mt m m −−⇔−±=−−3(8)(0m t t ⇔−±−=(8)30t m ⇔−±=， 解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =−（舍去）， ∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+， 联立22,1,169x my t x y =+ −=，消去x 得()2229161891440m y mty t −++−=， 2121222189144,916916mt t y y y y m m −−∴+==−−， AC 的方程为(4)6nyx =+，BD 的方程为(4)2ny x −−， ,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n ny x y x ∴=+=−−， 两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y −−−=⇔+=+−， 又22111169x y −=，()()211194416x x y ∴+−=． 将()2112344x y x y −−+=代入上式，得()()1212274416x x y y −−−=⇔()()1212274416my t my t y y −+−+−=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++−++−=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mtm t m t m m −−++−+−=−−． 整理得212320t t +=−，解得8t =或4t =（舍去）． ∴CD 方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.20. 已知双曲线22:154x y Γ−=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是直线8:9l y x =−上不同于原点O 的一个动点，斜率为1k 的直线1PF 与双曲线Γ交于A ，B 两点，斜率为2k 的直线2PF 与双曲线Γ交于C ，D 两点．（1）求1211k k +的值；（2）若直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为OA k ，OB k ，,OC k ，OD k ，问是否存在点P ，满足0OA OB OC OD k k k k +++=，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）94−； （2）存在98(,)55P −或98(,)55P −满足题意．【解析】【分析】（1）设出(9,8)P λλ−，然后计算1211k k +即可得；（2）假设存在，设设00(9,8)P x x −，写出直线AB 方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，同理设3344(,),(,)C x y D x y ，直线CD方程代入双曲线方程，应用韦达定理，代入计算OC OD k k +，然后由条件0OA OB OC OD k k k k +++=求得0x 得定点坐标．的【小问1详解】由已知1(3,0)F −，2(3,0)F ，设(9,8)P λλ−，(0)λ≠， ∴1839k λλ=−−，2893k λλ−=−，121139939884k k λλλλ−−−+=+=−−；【小问2详解】 设00(9,8)P x x −，（00x ≠），∴010893x k x −=+，∴直线AB 的方程是008(3)93x yx x −++，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，008(3)93x yx x −++代入双曲线方程得2220203204(69)20(93)x x x x x −++=+， 即222200000(549)480(112527045)0x x x x x x x ++−−++=， 2012200480549x x x x x +=++，20012200112527045549x x x x x x ++=−++， 00121212012012883()33(2)[2]9393OA OB x x y y x x k k x x x x x x x x ++=+=−++=−+++2000200008832(2(2)93932561x x x x x x x =−+=−−++++ 2000220000082(31)16(31)9325612561x x x x x x x x −+−+=⋅=+++++， 同理CD 的方程为008(3)93x yx x −−−，设33(,)C x y ，44(,)D x y ，仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：222200000(549)4801125270450x x x x x x x −++−+−=，234200480549x x x x x +=−−+，20034200112527045549x x x x x x −+−=−+， ∴2303400423403400083()83480[2](2)9393112527045OC ODy x x x x x y k k x x x x x x x x −+−⋅+=+=−=−−−−+ 20000220000083216(31)(2)9325613(2561)x x x x x x x x x −−−=−=−−+−+．由0OA OB OC OD k k k k +++=得00022000016(31)16(31)025613(2561)x x x x x x x −+−−+=++−+， 整理得200(251)0x x −=，∵00x ≠，∴015x =±， ∴存在98(,)55P −或98(,)55P −满足题意．【点睛】方法点睛：是假设定点存在，题中设00(9,8)P x x −，写出直线方程，设出直线与双曲线的交点坐标如1122(,),(,)x y x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，最后利用已知条件求得0x ，若求不出结果说明不存在．本题考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题．21. 抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点，（1）若90,BFD ABD ∠=的面积为p 的值及圆F 的方程（2）若直线y kx b =+与抛物线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，准线l 与y 轴交于点S ，点S 关于直线PQ 的对称点为T ，求||FT 的取值范围.【答案】（1）2p =，圆F 的方程为()2218x y +−=（2）(],4p p 【解析】【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到2A py FA FD +===，结合ABD △面积求出2p =，圆F 的方程为()2218x y +−=；（2）表达出0,2p S −关于直线PQ 的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出2b p =，从而利用两点间距离公式表达出(],2FT p p ==. 【小问1详解】由对称性可知：90,BFD FS BS DS p ∠=°===， 设(),A A A x y，由焦半径可得：2A py FA FD +===，112222ABD A p S BD y p=⋅⋅+=×=解得：2p =圆F 的方程为：()2218x y +−=【小问2详解】由题意得：直线PQ 的斜率一定存在，其中0,2p S−，设0,2p S−关于直线PQ 的对称点为(),T m n ，则12222p n m kp n m k b + =− − =⋅+ ，解得：221212b p m k k b p pn k + =− + +=− + ，联立y kx b =+与22x py =得：2220x pkx pb −−=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122,2x x pk x x pb +==−， 则()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++，则()()22121212121x x y y k x x kb x x b +=++++ ()222221220pb k pk b b pb b −+++=−+=，解得：0b =（此时O 与P 或Q 重合，舍去）或2b p =，所以FT =(],4p p ==， 【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.22. 如图，已知点P 是抛物线24C y x =：上位于第一象限的点，点()20A −，，点,M N 是y 轴上的两个动点(点M 位于x 轴上方)， 满足,PM PN AM AN ⊥⊥，线段PN 分别交x 轴正半轴、抛物线C 于点,D Q ，射线MP 交x 轴正半轴于点E ．（1）若四边形ANPM 为矩形，求点P 的坐标；（2）记,DOP DEQ △△的面积分别为12S S ，，求12S S ⋅的最大值．【答案】（1）(2,P（2）192 【解析】【分析】（1）根据矩形性质，可得对角线互相平分，即AP 的中点在y 轴上，然后点P 在抛物线，即可得(2,P ；（2）联立直线PQ 方程与抛物线C ，根据韦达定理求得,P Q 两点的纵坐标关系，再根据,PM PN AM AN ⊥⊥条件判断MOE △与DON △相似，进而求得,D E 两点的坐标关系，再表示并化简12S S ⋅为关于m 的函数，根据,D E 两点的位置关系，以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点得出关于m 的约束，即可确定12S S ⋅中m 取值范围，最后可得12max ()(4192S S g ⋅=−= 【小问1详解】当四边形ANPM 为矩形时，AP 的中点在y 轴上，则有：2P A x x =−=故(2,P -【小问2详解】设点(,0)D m ，直线PQ 方程：x m ty −=， 显然有0,0m t >≠联立直线PQ 与抛物线C ，得：24x m ty y x −==消去x 得：2440y ty m −−=则有：4P Q y y m ⋅=− 由AM AN ⊥，得：2||||||4OM ON OA ⋅==又由PM PN ⊥，可得：△MOE ∽△DON 则有：||||||||OM OE OD ON = 从而||||||||4OE OD OM ON ⋅=⋅=，即4E D x x ⋅=所以4E x m=，进而有：4||E D DE x x m m =−=− 结合||,4P Q OD m y y m =⋅=−（注：由E D x x >，得4m m >，故有02m <<） 可得：12111(||||)(||||)||||||224P Q P Q S S OD y DE y OD DE y y ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 314()444m m m m m m=⋅⋅−⋅=−+ 又由题意知，存在抛物线上的点P 满足条件，即以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点，且易得圆K 方程：24()()0x m x y m−⋅−+=联立抛物线C 与圆K ，得224()()04x m x y my x−⋅−+= = 消去y 得：24(4)40x m x m−+−+= 由0∆≥，结合02m <<，可解得：04m <≤−令3()4g m m m =−+，求导可知()g m在上单调递增又4−≤ 故有：()g m在(0,4−上单调递增因此，12max ()(4192S S g ⋅=−=【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；在求解相关最值问题时，通常是先建立目标函数，然后应用函数的知识来解决问题；。
2023-2024学年安徽省安庆二中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省安庆二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．“0＜x ＜2”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若x ＞2，则函数y =x +4x−2的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．63．下列结论正确的是（ ） A ．若ac ＞bc ，则a ＞b B ．若a 2＞b 2，则a ＞b C ．若a ＞b ，c ＜0，则ac ＜bcD ．若√a ＜√b ，则a ＞b4．下列各组的两个函数，表示同一个函数的是（ ）A ．y =x 2x 与y ＝xB ．y =x x 2与y =1xC ．y ＝|x |与y ＝xD ．y =(√x)2与y ＝x5．函数f （x ）＝x +|x|x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知不等式ax 2﹣bx ﹣1≥0的解集是[−12，−13]，则不等式x 2﹣bx ﹣a ＜0的解集是（ ） A ．（2，3） B ．（﹣∞，2）∪（3，+∞） C ．（13，12）D ．（﹣∞，13）∪（12，+∞）7．三个数a ＝（﹣0.3）0，b ＝0.32，c ＝20.3的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c8．已知函数f(x)={x 2+x +1，x ≥02x +1，x ＜0．若f （m ）＜f （2﹣m 2），则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
）9．设x ，y 为实数，满足1≤x ≤4，0＜y ≤2，则下列结论正确的是（ ） A ．1＜x +y ≤6B ．1＜x ﹣y ≤2C ．0＜xy ≤8D ．xy ≥210．A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，B ＝{x |mx ﹣1＝0}，且A ∩B ＝B ，则m 可能的取值为（ ） A ．0B ．12C ．−13D ．1311．我们用符号min 表示两个数中较小的数，若x ∈R ，f （x ）＝min {2﹣x 2，x }，则f （x ）（ ） A ．最大值为1 B ．无最大值C ．最小值为﹣1D ．无最小值12．已知函数f(x)={x 3，x ≥0，−x ，x ＜0．若函数g （x ）＝f （x ）﹣|kx 2﹣2x |（k ∈R ）恰有4个零点，则k 的取值可能是（ ） A ．0B ．﹣1C ．3D ．1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若集合A ＝{1，a ，a 2+3}且4∈A ，则实数a 的取值为 ． 14．函数f （x ）＝3﹣a x +1的图像恒过定点 ．15．若函数f （x ）＝ax 2﹣（2a ﹣4）x +1在区间（0，+∞）上单调，则实数a 的取值范围是 ． 16．已知a ＞0，b ＞0，且2a+2+1a+2b=1，则a +b 的最小值是 ．四、解答题（本题共6小题，17题10分，18至22题分别12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知A ＝{x |﹣3≤x ﹣2≤1}，B ＝{x |a ﹣1≤x ≤a +2}（a ∈R ）． （Ⅰ）当a ＝1时，求A ∩B ；（Ⅱ）若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知p ：x 2﹣8x ﹣20≤0，q ：1﹣m 2≤x ≤1+m 2． （1）若p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围； （2）若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求m 的取值范围．19．（12分）设p ：对任意的x ∈R 都有x 2﹣2x ＞a ，q ：存在x 0∈R ，使x 02+2ax 0+2﹣a ＝0，如果命题p ∨q 为真，命题p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．20．（12分）已知函数f(x)=mx 2+23x+n 是奇函数，且f(2)=53． （Ⅰ）求实数m 和n 的值；（Ⅱ）判断函数f （x ）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明． 21．（12分）已知关于x 的不等式ax 2﹣3x +2＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞b }． （1）求a 、b 的值； （2）当m ＞0，n ＞0且满足a m +b n=1时，有2m +n ≥k 2+k +2恒成立，求实数k 的范围．22．（12分）某医药研究所研发一种药物，据监测，如果成人在2h 内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加．停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．每毫升血液中的药物含量y （μg ）与服药后的时间t （h ）之间近似满足如图所示的曲线，其中OA 是线段，曲线段AB 是函数y ＝ka t （t ≥2，a ＞0，k ，a 是常数）的图象，且A （2，8），B （4，2）． （1）写出注射该药后每毫升血液中药物含量y 关于时间t 的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中药物含量不少于1μg 时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？（3）若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次注射后再过1.5h ，该人每毫升血液中药物含量为多少μg （精确到0.1μg ）？2023-2024学年安徽省安庆二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．“0＜x ＜2”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为x 2﹣x ﹣6＜0，所以﹣2＜x ＜3，设集合A ＝{x |0＜x ＜2}，集合B ＝{x |﹣2＜x ＜3}，则A ⫋B ， 则“0＜x ＜2”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的充分不必要条件， 故选：B ．2．若x ＞2，则函数y =x +4x−2的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：∵x ＞2，∴x ﹣2＞0， ∴y =x +4x−2=(x −2)+4x−2+2≥2√(x −2)⋅4x−2+2=6， 当且仅当x −2=4x−2，即x ＝4时取等号， ∴函数y =x +4x−2的最小值为6． 故选：D ．3．下列结论正确的是（ ） A ．若ac ＞bc ，则a ＞b B ．若a 2＞b 2，则a ＞b C ．若a ＞b ，c ＜0，则ac ＜bcD ．若√a ＜√b ，则a ＞b解：对于A ，若ac ＞bc ，当c ＜0时，a ＜b ，故A 错误， 对于B ，令a ＝﹣3，b ＝1，满足a 2＞b 2，但a ＜b ，故B 错误，对于C ，若a ＞b ，c ＜0，则ac ﹣bc ＝c （a ﹣b ）＜0，即ac ＜bc ，故C 正确， 对于D ，若√a ＜√b ，则b ＞a ，故D 错误． 故选：C ．4．下列各组的两个函数，表示同一个函数的是（ ） A ．y =x 2x 与y ＝x B ．y =x x2与y =1xC ．y ＝|x |与y ＝xD ．y =(√x)2与y ＝x解：A .y =x 2x 的定义域为{x |x ≠0}，y ＝x 的定义域为R ，定义域不同，不是同一函数；B .y =x x 2=1x，这两个函数的定义域和对应法则都相同，为同一函数； C ．这两个函数的解析式不同，∴不是同一函数；D .y =(√x)2的定义域为{x |x ≥0}，y ＝x 的定义域为R ，定义域不同，不是同一函数． 故选：B ．5．函数f （x ）＝x +|x|x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：函数f(x)=x +|x|x 是奇函数，排除A ，B ，当x ＝1时，f （1）＝2．排除C ． 故选：D ．6．已知不等式ax 2﹣bx ﹣1≥0的解集是[−12，−13]，则不等式x 2﹣bx ﹣a ＜0的解集是（ ） A ．（2，3） B ．（﹣∞，2）∪（3，+∞） C ．（13，12）D ．（﹣∞，13）∪（12，+∞）解：∵不等式ax 2﹣bx ﹣1≥0的解集是[−12，−13]，∴a ＜0， ∴方程ax 2﹣bx ﹣1＝0的两个根为−12，−13， −−b a =−12−13，−1a =16，∴a ＝﹣6，b ＝5， ∴x 2﹣bx ﹣a ＜0， ∴x 2﹣5x +6＜0， ∴（x ﹣2）（x ﹣3）＜0， ∴不等式的解集为：2＜x ＜3． 故选：A ．7．三个数a ＝（﹣0.3）0，b ＝0.32，c ＝20.3的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解：a ＝（﹣0.3）0＝1， b ＝0.32＝0.09＜1， c ＝20.3＞1， 故b ＜a ＜c ， 故选：D ．8．已知函数f(x)={x 2+x +1，x ≥02x +1，x ＜0．若f （m ）＜f （2﹣m 2），则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）解：当x ≥0时，f （x ）=(x +12)2+34单调递增； 当x ＜0时，f （x ）＝2x +1单调递增；又2×0+1＝1≤02+0+1＝1，所以f （x ）在R 上单调递增，由f （m ）＜f （2﹣m 2），得m ＜2﹣m 2，即m 2+m ﹣2＜0，解得﹣2＜m ＜1， 所以实数m 的取值范围是（﹣2，1）． 故选：C ．二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年北京东城区二中初三(上)期中英语试卷和答案
2023北京二中初三（上）期中英语知识运用。
一、单项选择。
从下面各题所给的A、B、C、D四个选项中，选择可以填入空白处的最佳选项。
1．I have a sister．______name is Lucy．（）A．Her B．His C．Its D．Your2．Teachers' Day is ________ September 10th.（）A．on B．in C．at D．to3．Deng Yaping isn't so clever，_______ she has a very strong will and works hard．（）A．and B．but C．so D．or4．I think Confucius is one of _______ thinkers in China．（）A．great B．greaterC．greatest D．the greatest5．﹣_______ did you borrow the book from the library？﹣Yesterday morning．（）A．Where B．When C．How D．Why6．They will have a trip to the Great Wall if it _______ next Sunday．（）A．doesn't snow B．won't snowC．didn't snow D．isn't snowing7．I _______ my aunt at the airport tomorrow．（）A．meet B．met C．will meet D．have met8．We _______in the same school since three years ago．（）A．are studying B．have studiedC．will study D．study9．﹣Mum，where is Dad？﹣He _______ a newspaper in the bedroom now．（）A．read B．readsC．will read D．is reading10．My classmates _______ as volunteers in the Science Museum last weekend．（）A．work B．workedC．will work D．are working11．﹣What were you doing when we were playing basketball yesterday afternoon？﹣I ______ the classroom．（）A．was cleaning B．have cleanedC．will clean D．clean12．— Can you tell me _________ to London？—Sure.Next month.（）A．when you will travelB．when you travelledC．when will you travelD．when did you travel二、完形填空。
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石家庄二中2014—2015学年第二学期期中考试
高一数学试题
命题人：王呈林 审题人：孟倩虹
（考试时间120分钟 满分150分）
第一部分（选题题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在没小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1、若0a b >>，则下列不等式中总成立的是（ ）
A.11a b b a +>+
B. 11a b a b +>+
C.11b b a a +>
+ D.11
b a b a
->-
2、在正项等比数列{}n a 中，1n n a a +<，286a a ⋅=，465a a +=，则5
7
a a =（ ） A .
56 B . 65 C .23 D .32
3、已知点(,)P x y 在不等式组20
10220x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值
范围是（ ）
A.[]2,1--
B.[]2,1- C .[]1,2- D .[]
1,2
4、一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为
1的等腰直角三角三角形，则这个几何体的体积是
（ ）
A .12
B .1 C.3
2
D .2 5、已知实数列1,,,,2x y z --成等比数列，则xyz =（ ） A ．4- B .4± C.- D.±
6、等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，使得0n a >的最小正整数n 为（ ） A 、7 B 、8 C 、9 D 、10
7、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51513,63S S ==，则20S =（ ） A.90 B. 100 C. 110 D. 120
8、在一个数列中，如果对任意的n N +∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且121,2a a ==，公
正视图 侧视图
1
1 俯视图
俯视图
侧（左）视图
正（主）视图
积为8，则1212a a a ++=（ ）
A 、24
B 、28
C 、32
D 、36 9、已知1,1x y >>，且
11
ln ,,ln 44
x y 成等比数列，则xy 有（ ） A 、最小值e B 、
C 、最大值e
D 、
10、设1m >，当实数满足不等式组21y x
y x x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
时，目标函数z x my =+的最大值等于2，则
m 的值是（ ）
A 、2
B 、3
C 、
32 D 、52
11、设{}n a 是公比为q 的等比数列，令1(1,2,)n n b a n =+=，若数列{}n b 的连续四项在
集合{}53,23,19,37,82--中，则q 等于（ ） A 、43-
B 、3
2- C 、3223--或 D 、34
43
--或 12、
在该几何体的正视图中，
的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最
大值为（ ）
A
、 B
、 C 、4 D
、
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上）
13、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 表面积为 14、若2x >，则1
2
x x +
-的最小值为 15、等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，
10
1221210
S S -=-，则2015S 的值为 16、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足
*130(2,)n n n a S S n n N -+⋅=≥∈，11
3
a =，则n na 的最小值为
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17、（本小题满分10分） 解关于的x 不等式 2
22,ax x ax a R -≥-∈. 18、（本小题满分12分）
设公差为(0)d d ≠等差数列{}n a 与公比为(0)q q >的等比数列{}n b 有如下关系：
111332,,5b a b a b a ====.
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记{}12320,,,,A a a a a =，{}12320,,,,B b b b b =，C A B =，求集合C 中的
各元素之和. 19、（本小题满分12分）
设函数2
()1,f x mx mx m R =--∈.
（1）若存在实数x ，使得()0f x >成立，求m 的取值范围； （2）若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围.
20、（本小题满分12分）
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，南校区某建筑要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C 单位：万元），与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：
()(010)35
k
C x x x =
≤≤+.若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热
层建造费用与20年能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；
（2）隔热层建造多厚时，总费用()f x 最小，并求出最小值. 21、（本小题满分12分）
设{}n a 是各项都为正数的等比数列；{}n b 是等差数列，且11351,13a b a b ==+=，
5321a b +=.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列{}n n S b -的前n 项和n T . 22、（本小题满分12分）
若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-，记12
log n n b a =.
（1）求12,a a 的值；
（2）求数列{}n b 的通项公式； （3）若110n n n c c b c +-==，，求23
11
1n
c c c +++
.。