电磁波期末考试题集及答案详解

电磁场与电磁波练习

1、 一半径为a 的均匀带电圆环，电荷总量为q ，求圆环轴线上离环中心o 点为z 处的电场

强度E 。

解：(1)如图所示，环上任一点电荷元dq 在P 点产生的场强为2

04R

dq E d πε=

由对

称性可知，整个圆环在P 点产生的场强只有z 分量，即

()

2

32

2

2

04cos z

a

zdq

R

z R

r dq E d E d z +==

=πε

πεθ

积分得到

()()

()

()

2

32

2

2

32

2

02

32

2

2

32

2

42444z

a

qz

a z

a

z dl

z

a

z

dq z

a z

E l

z +=

+=+=

+=

⎰⎰

πε

ππε

λ

λπε

πε

2、 半径为a 的圆面上均匀带电，电荷面密度为δ，试求：(1)轴线上离圆心为z 处的场强，

(2)在保持δ不变的情况下，当0→a 和∞→a 时结果如何？(3)在保持总电荷

δπ2

a q =不变的情况下，当0→a 和∞→a 时结果如何?

解：(1)如图所示，在圆环上任取一半径为r 的圆环，它所带的电荷量为

δ

πdr dq 2=由习题2．1的结果可知该回环在轴线上P 点处的场强为

z

R

dq

o a

z

R

dq

o

()

()

2

32

2

2

32

2

24z

r

rdr

z z

r

zdq

E d +=

+=

εδπε

则整个均匀带电圆面在轴线上P 点出产生的场强为

()

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

+-=

+=

⎰

2

2

00

2

32

2

122z

a z z

r

rdr

z E a

z εδεδ （2）若δ不变，当0→a 时，则0)11(20

=-=

εδ

z E

；

当∞→a ，则0

02)01(2εδ

εδ=

-=z E

(3)若保持δπ2a q =不变，当0→a 时，此带电圆面可视为一点电荷。则

2

04z

q E z πε=

。当∞→a 时，0→δ，则0

=z E

。

3、 有一同轴圆柱导体，其内导体半径为a ，外导体内表面的半径为b ，其间填充介电常数

为ε的介质，现将同轴导体充电，使每米长带电荷λ。试证明储存在每米长同轴导体间

的静电能量为a

b W ln

42

πε

λ

=

。

证：在内外导体间介质中的电场为

)(2b r a r

E <<=

πελ

沿同轴线单位长度的储能为

a b

dr r e dV

E e dV D E W ln 4222

2

212

2

πελππελ

=⎪⎭

⎫

⎝⎛==

∙=⎰

⎰

⎰

4、 在介电常数为ε的无限大约均匀介质中，有一半径为a 的带电q 的导体球，求储存在介

质中的静电能量。

解：导体在空间各点产生的电场为

)

()

0(02

a r r

r q E a r E r w >=

<<=πε

故静电能量为

a q dr r r q

dV

E dV E D W V

V πεππεεε8442

121212

2

2

2

2

=⎪⎭⎫

⎝⎛

=

=∙=⎰⎰

⎰∞

5、 真空中一半径为R 的圆球空间内，分布有体密度为ρ的电荷，ρ为常量。试求静电能

量。

解：应用高斯通量定理，得出电场强度

)

(3)

(32

030

R r r

R

E R r r E r r >=

<=ερερ

故

5

2

2

4

2

05202

2

2

222

0154494922

R

dr r r

R dr r r

dV E W R

R

V

e ρεππερπερεε=

⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡

+

=

=

⎰

⎰⎰⎰⎰

∞

6、一电荷面密度为σ的“无限大”平面，在距离平面a 处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R 的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小。

解：电荷面密度为σ的“无限大”平面，在其周围任意点的场强为：

以图中O 点为圆心，取半径为r →r+dr

的环形面积，其电量为：

它在距离平面为a 的一点处产生的场强为：

则半径为R 的圆面积内的电荷在该点的场强为： 由题意：()

⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛

+-=

+=

⎰2200

2

/322

122R a a

r

a

rdr

a E R

εσεσ 0

2E εσ=

rdr

2dq πσ=(

)

2

/32

20r

a 2ardr dE +εσ=