高三第一次模拟考试文科数学试卷
2023—2024学年四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学(文科)模拟试题(含答案)
D．若 c 0 ，则 ac bc
5．已知 5a
10b
，则
b a
（
）
A．
1 2
B．2
C． log510
D．1 lg2
6．已知 tan 2 ，则 sin2 （ ）
A．- 3 5
B． 4 5
C． 3 10
D． 7 10
7．若等比数列an首项 a1 2, a4 8 2 ，则数列an的前 n 项和为（ ）
件的 的积属于区间（ ）
A． 1, 4
B．4, 7
C． 7,13
D．13,
二､填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框
图，若输入的 a，b 分别为 21，14，则输出的 a=
.
14．已知点
M
1,1, N
2,
m
，若向量
MN
与
a
m, 2 的方向相反，则
r a
．
15．已知函数
f
x
ex ex 2, x
x2 2x, x
0
0 ，则
f
x
的值域为
．
16．已知函数 f x, g x 的定义域为 R ，且 f x f x 6, f 2 x g x 4 ，若 g x 1 为奇
3．已知平面向量
a
与
b
的夹角为
45
,
a
b
2
，且
a
2 ，则
a
b
·
a
b
（
）
A． 2 2
B．-2
C．2
D． 2 2
宁夏六盘山高级中学2023届高三年级第一次模拟考试丨文数试卷含答案
宁夏六盘山高级中学2023届高三年级第一次模拟考试文科数学试卷命题教师：一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合{}{}1,0,1,2,032|2--=<--∈=B x x Z x A ,则A B = （）A ．{}1,2--B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}0,1,2--D ．{}1,02．若()()2i 1i z =+-，则z z +等于（）A ．2B ．6C ．2-D ．6-3．已知函数()f x 是奇函数，且当0x ≥时，()f x x =，则()4f -=（）A ．－4B ．－2C ．2D ．44．在ABC ∆中，AB c = ，AC b = ，若点M 满足2MC BM =uuu r uuu r ，则AM =（）A ．2133b c- B ．1233b c+C ．5233c b-D ．2133b c+5．已知命题p ：1x ∀<，3log 0x>；命题q ：0x ∃∈R ，0202x x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q∨B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∨⌝D ．p q∧6．已知25sin 2cos24θθ+=，则sin 2θ=（）A ．1516-B ．1516C ．34-D ．347．已知A 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为6，到y 轴的距离为3，O 为坐标原点，则OA =（）A ．B ．6C ．D ．98．已知l 是曲线2ln =+y x k x 在1x =处的切线，若点()0,1-到l 的距离为1，则实数k =（）A ．54-B ．45-C ．1D ．1-9．圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC ）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC ）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为a ，则表高为（）（注：sin15︒=A．(2aB．34a C．14a D．34a 10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为1AA ，11C D 的中点，过,,D M N 三点的平面与直线11A B 交于点P ，则线段1PB 的长为（）A ．14B ．34C ．12D ．不确定11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，直线l 过双曲线C 的右焦点且斜率为a b -，直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N 两点（N 点在x 轴下方），且2ON OM =，则C 的离心率为（）A ．2B．C．D．312．已知函数()2e ln 2xx f x x =+-的极值点为1x ，函数()ln 2x h x x =的最大值为2x ，则（）A ．21x x >B ．21x x ≥C ．12x x >D ．12x x ≥二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.13．若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值为__________．14．2022年11月30日，神州十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神州十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．若执行下次任务的3名航天员有一人已经确定，现需要在另外2名女性航天员和2名男性航天员中随机选出2名，则选出的2名航天员中既有男性又有女性的概率为__________．15．圆心在直线0=+y x 上，且过点()()0,4,2,0-的圆的标准方程为__________．16．如图，矩形ABCD 中，22AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻折至1A DE △的位置．若M 为线段1AC 的中点，在ADE V 翻折过程中（1A ∉平面ABCD ），给出以下结论：①存在1A DE △，使1DE A C ⊥；②三棱锥1B A CE -；③直线//MB 平面1A DE ．则其中正确结论的序号为_________．（填写所有正确结论的序号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ．若()17252,4a S a a ==+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设22n an n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．18．（12分）网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP 买菜等进入了我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻．于是公安部推出国家级反诈防骗“王炸”系统——“国家反诈中心APP”，这是一款能有效预防诈骗、快速举报诈骗内容的软件，用户通过学习里面的防诈骗知识可以有效避免各种网络诈骗的发生，减少不必要的财产损失，某省自“国家反诈中心APP”推出后，持续采取多措并举的推广方式，积极推动全省“国家反诈中心APP”安装注册工作．经统计，省反诈中心发现全省网络诈骗举报件数y （件）与推广时间有关，并记录了经推广x 个月后举报件数的数据：推广月数（个）1234567y （件）891888351220200138112（1）现用by a x=+作为回归方程模型，利用表中数据，求出该回归方程．（2）分析该省一直加大力度推广下去有可能将网络诈骗举报件数降至接近于零吗？参考数据（其中i i1=t x ）：7i ii=1∑t yt7i22i=17tt -⨯∑15860.370.55参考公式：对于一组数据()()()()112233,,,,,,,n n x y x y x y x y ，其回归直线ˆˆy bxa =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：iii=11i2i=ˆ-=-∑∑nnx ynx y bxnx ，ˆˆay bx =-．19.（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠= ，12AA AB =，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点.（1）求证：平面1B MC ⊥平面1B MN ；（2）若2AB =，求点N 到平面1B MC 的距离.20.（12分）已知函数()ln 2,f x x ax a =-∈R .（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.21.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，上顶点为1B ，若△112F B F 为等边三角形，且点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为12A A ，，不过坐标原点的直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点（异于椭圆E 的顶点），直线12AA BA 、与y 轴的交点分别为M 、N ，若||3||ON OM =，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1,cos x y α⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数，2k παπ≠+），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点()2,0P ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11PA PB-的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()21f x x a x =++-．（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若0a >，0b >时，对任意[]1,2x ∈使得不等式()21f x x b >-+恒成立，证明：2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．宁夏六盘山高级中学2023届高三年级第一次模拟考试文科数学试卷答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．题号123456789101112答案B B C B A A C A D B D C二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.．133．14231522++-=16②③．(3)(3)10x y19【详解】（1）证明：CM AB ⊥，1CM AA ⊥1AB AA A= 所以CM ⊥平面1B MN ，因为CM ⊂平面1B MC ，所以平面1B MC ⊥平面1B MN ........6分（2）由()0f x =，可得ln 2xa x =，则直线y a =与函数()ln 2x g x x=的图象有两个交点，函数()ln 2x g x x=的定义域为()0,∞+，()21ln 2xg x x -'=，由()0g x '=，可得e x =，列表如下：所以，函数()g x 的极大值为()1e 2eg =，且当1x >时，()0g x >，当x →+∞时，和函数ln y x =相比，一次函数呈爆炸性增长，所以()0f x →，且()0f x '<，()0f x '→，又()10f =，根据以上信息，作出其图象如下：当102e a <<时，直线y a =与函数()ln 2x g x x=的图象有两个交点，。
高三文科数学模拟试题含答案
高三文科数学模拟试题含答案高三文科数学模拟试题本试卷共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3+ i的虚部是（）。
A。
2.B。
-1.C。
2i。
D。
-i2.已知集合A={-3,-2,0,1,2}，集合B={x|x+2<0}，则A∩(CRB) =（）。
A。
{-3,-2,0}。
B。
{0,1,2}。
C。
{-2,0,1,2}。
D。
{-3,-2,0,1,2}3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若2a-b与a+3b共线，则x=（）。
A。
2.B。
11/22.C。
-1.D。
-24.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）。
A。
4π/3.B。
π。
C。
3π/2.D。
2π5.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移π/6个单位，得到函数g(x)的图像，则它的一个对称中心是（）。
A。
(π/6,0)。
B。
(π/3,0)。
C。
(π/2,0)。
D。
(π,0)6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）。
开始是否输出结束A。
-10.B。
-3.C。
4.D。
57.已知圆C:x^2+2x+y^2=1的一条斜率为1的切线l1，若与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）。
A。
x-y+1=0.B。
x-y-1=0.C。
x+y-1=0.D。
x+y+1=08.在等差数列{an}中，an>0，且a1+a2+⋯+a10=30，则a5⋅a6的最大值是（）。
A。
4.B。
6.C。
9.D。
369.已知变量x,y满足约束条件2x-y≤2，x-y+1≥0，设z=x^2+y^2，则z的最小值是（）。
A。
1.B。
2.C。
11.D。
3210.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2，当x<0时，f(x)=1-|x-3|，则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（）。
陕西省2025届高三数学第一次模拟联考试卷文含解析
陕西省2025届高三第一次模拟联考文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，干脆运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和精确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.2.复数i（1+2i）的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解．【详解】由题意,依据复数的运算可得，所以复数的模为，故选D.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题。
3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简洁的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】依据三视图画出几何体的直观图，推断几何体的形态以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中推断几何体的形态与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算实力，属于基础题。
江西省南昌市第十中学2022-2023学年高三下学期第一次模拟数学(文科)试题
南昌十中2022－2023学年下学期高三一模模拟 数学试题（文科）命题人： 审题人：说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。
考试用时120分钟，注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。
1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS 号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，请将答题纸交回。
第I 卷(选择题)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合∣==M x y y {(,)1}，集合∣==N x y x {(,)0}，则⋂=M N （ ）A. {0,1}B. {(0,1)}C. {(1,0)}D. {(0,1),(1,0)}2. 若复数=+−z 2i 12i i 3)(，则=z （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 总体由编号为01，02，⋯，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 51253211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 67322635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950A. 3B. 19C. 38D. 204．如右图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]上的大致图象，则该函数是( )A. +=−+x y x x 1323B. +=−x y x x 123 C. +=x y x 12cos 2 D. +=x y x 12sin 2 5．抛物线=−C y x :122的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点−A (5,2)，则+PA PF 的最小值为（ ）A. 8B. 6C. 5D. 96．2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F 运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d x )(（单位：dB ）与声强x （单位：W/m 2）满足=−d x x 1010lg 12)(.若人交谈时的声强级约为50dB ，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为（ ）A. 130dBB. 140dBC. 150dBD. 160dB7. 若⎝⎭ ⎪+=−⎛⎫θ43tan 5π=（ ） A. 3 B. 34 C. 2 D. 48. 一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为（ ）A. 12B. 8C. 6D. 49.在区间[−3,3]上随机取一个数a ，则关于x 的方程x 2=−a −3x 至少有一个正根的概率为( ) A. 18 B. 16 C. 13 D. 1210. 已知是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A. B. 12 C.D. 11. 如图，曲线C 为函数y =sinx (0≤x ≤5π2)的图象，甲粒子沿曲线C 从A 点向目的地B 点运动，乙粒子沿曲线C 从B 点向目的地A 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(m,n)，乙粒子的坐标为(u,v)，若记n −v =f(m)，则下列说法中正确的是( )A. f(m)在区间(π2,π)上是增函数B. f(m)恰有2个零点C. f(m)的最小值为−2D. f(m)的图象关于点(5π6,0)中心对称 12. 已知函数()f x ，()g x ，()g x '的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数.若()g x 为偶函数，且()()1f x g x +'=，()()41f x g x '−−= .则以下四个命题：①()20220g '=；②()g x 关于直线2x =对称；③()202212022==∑k f k ；④()202312023==∑k f k 中一定成立的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线12:l y x =，则过圆222410x y x y ++−+=的圆心且与直线1l 垂直的直线2l 的方程为________.14. 若,x y 满足约束条件34x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则2z x y =−的取值范围为___________．15. 将函数()π4cos 2f x x =和直线()1g x x =−的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若(P ，则12...n PA PA PA +++=____________.16. 在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，G 为正方体棱上一动点．下列说法中所有正确的序号是 ①G 在AB 上运动时，存在某个位置，使得MG 与A 1D 所成角为60°；②G 在AB 上运动时，MG 与CC 1所成角的最大正弦值为√53；③G 在AA 1上运动且AG =13GA 1时，过G ，M ，N 三点的平面截正方体所得多边形的周长为8√5+2√2； ④G 在CC 1上运动时(G 不与C 1重合)，若点G ，M ，N ，C 1在同一球面上，则该球表面积最大值为24π． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =32n 2−12n ． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列b n =[lga n ]，[x ]表示不超过x 的最大整数，求{b n }的前1000项和T 1000．18. 在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD =1，AE =AC =2，F 为DE 的中点，且点G 满足4EB EG =．（1）证明：GF //平面ABC ；（2）当多面体ABCDE 的体积最大值．19. 某加工工厂加工产品A ，现根据市场调研收集到需加工量X （单位：千件）与加工单价Y （单位：元/件）的四根据表中数据，得到Y 关于X 的线性回归方程为20.6Y bX =+，其中11.4m b −=． （1）若某公司产品A 需加工量为1.1万件，估计该公司需要给该加工工厂多少加工费；（2）通过计算线性相关系数，判断Y 与X 是否高度线性相关．参考公式：()()ni ix x y y r −−=∑ ，0.9r >时，两个相关变量之间高度线性相关．20. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点、E 所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21. 设函数()()22f x alnx x a x =+−+，其中.a R ∈ (Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >−.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]）22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0πϕ≤≤），2C的参数方程为1252x t y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求1C 的普通方程并指出它的轨迹；（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM ：π4θ=与曲线1C 的交点为O ，P ，与2C 的交点为Q ，求线段PQ 的长.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()121f x x x =−−+的最大值为k .（1）求k 的值；（2）若,,R a b c ∈，2222a c b k ++=，求()b a c +的最大值.。
四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题
一、单选题二、多选题1. 假设一个蜂巢里只有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了2个伙伴：第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，则到第4天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中全部蜜蜂的只数是（ ）．A ．1B ．3C ．9D ．812. 钝角中，，则（ ）A ．1B．C．D ．03. 设数列满足，，，数列前n 项和为，且（且）.若表示不超过x 的最大整数，，数列的前n项和为，则（ ）A ．2019B ．2020C ．2021D ．20224. 已知平面向量，若与垂直，则（ ）A．B．C．D．5. 已知是边长为3的正三角形，点是的中点，点在边上，且，则（ ）.A．B．C．D．6. 已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C ．2D．7.已知，则=A．B．C．D．8. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别在AB 1、BC 1上，且AM=AB 1，BN=BC 1，则下列结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1// MN ；③MN//平面A 1B 1C 1D 1；④B 1D 1⊥MN ，其中，正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．49.记，其中，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题三、填空题四、解答题C ．若，，且恒成立，则D ．若，则10.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（ ）A．B ．1C．D ．211.已知函数的图象上相邻最低点和最高点的距离为，且在上有最大值，则（ ）A．B ．的取值范围为C．在区间上无零点D ．在区间上单调递减12. 已知m ，n 是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是（ ）A ．若，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则13. 已知函数的图象与的图象关于直线对称，令，则关于函数有下列命题：①的图象关于原点对称；②的图象关于轴对称；③的最大值为；④在区间上单调递增.其中正确命题的序号为___________（写出所有正确命题的序号）.14. 已知集合，则________．15. “南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲乙两人相差10分钟坐上摩天轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值范围是__________.16.已知数列的前n项和为，___________，.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列，当时，，.记数列的前n 项和为，求.在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.①；②；③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17. 已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在第一象限且为抛物线C 上一点，点N （5，0）在点F 右侧，且△MNF 恰为等边三角形．（1）求C 的方程；（2）若直线l ：x ＝ky +m 与C 交于A ，B 两点，∠AOB ＝120°（其中O 为坐标原点），求实数m 的取值范围．18. 已知函数.（1）若，画出函数的图象，并求出的最值；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.19. 若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且．(1)求的解析式；(2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．20. 某校高三年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在的矩形面积为，求：(1)分数在的学生人数；(2)这50名学生成绩的中位数（精确到）；(3)若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率．21. 已知函数，且在处切线垂直于y轴．（1）求m的值；（2）求函数在上的最小值；（3）若恒成立，求满足条件的整数a的最大值．（参考数据，）。
四川省宜宾市2024届高三第一次诊断性测试文科数学试题及答案解析
四川省宜宾市2024届高三第一次诊断性测试文科数学试题及答案解析（考试时间：120分钟全卷满分：150分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.设集合{}{}3325<<-=<<-=x x B x x A ，，则A B ⋂=（）A.{32}x x -<<∣B.{52}xx -<<∣ C.{33}xx -<<∣ D.{53}xx -<<∣2.已知i 为虚数单位，且32i1i z =+，则z =（）A.1i- B.1i-+ C.1i+ D.1i--3.设函数()13+=x x f ，则()=8log 3f （）A.8B.9C.11D.244.从某中学甲、乙两班随机抽取10名同学的数学成绩，所得数据用茎叶图表示如下.由此可估计甲，乙两班同学的数学成绩情况，则下列结论不正确的是（）A.甲班数学成绩的极差比乙班大B.甲班数学成绩的中位数比乙班大C.甲班数学成绩的平均值比乙班小D.甲班数学成绩的方差比乙班小5.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.xy = B.3x y = C.xy 2log = D.xy tan =6.已知点(,)x y 满足不等式组21400x y y x y ⎧⎪⎨⎪≥≥+--+⎩≤，则2z x y =+的最小值为（）A.3- B.1- C.5D.77.某种病毒的反之速度快、存活时间长，a 个这种病毒在t 天后将繁殖到t ae λ个.已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍，且再过m 天后病毒的数量达到原来的16倍，则=m （）A.4B.8C.12D.168.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若11a =，()*12N n S a n n ∈=+，则有（）A.数列{}n a 是等差数列B.数列{}n a 是等比数列C.数列{}n S 是等差数列D.数列{}n S 是等比数列9.函数24()exx xf x -=的图象大致是（）10.将函数()cos()(0)6f x x πωω=+>的图像向左平移2π个单位长度后得到曲线C ，若C 关于原点对称，则ω的最小值是（）A.23B.32 C.53D.11311.漏刻是中国古代科学家发明的一种计时系统，“漏”是指带孔的壶，“刻”是指附有刻度的浮箭.《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器.如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，水从最上层的漏壶孔流出，最终全部均匀流入受水壶.当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0当最上层漏水壶中水全部漏完时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5:2，则当最上层漏水壶水面下降至其高度的三分之一时，浮箭刻度约为（四舍五入精确到个位）（）A.88B.84C.78D.7212.已知函数()x g 的定义域为R ，()11=g 且()()x g x g -=+11，()()13+-=x g x f ，则下列说法正确的个数为（）①(3)(5)g g -=；②(2024)0g =；③(2)(4)4f f +=-；④20241()2024n f n ==∑.A.1B.2C.3D.4二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.已知(2,1)AC = ，(1,)AB t = ，且3AC AB ⋅=，则t =__________.14.若函数()212ln 2f x x ax x =-+-在1x =处的切线平行于x 轴，则a =__________.15.已知ABC ∆的三个内角A,B,C 所对应的边分别是a,b,c,其中A 、C 、B 成等差数列，22=a ，()B A C cos sin =-，则ABC ∆的面积为__________.16.已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*sin |n S a n =∈N ，若{},S a b =，则22a b +=__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且279a a +=，945S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）如图所示，△ABC 是正三角形，AE ⊥平面ABC ，AE CD ∥，2AE AB ==，1CD =，且F 为BE 的中点.（1）求证：DF ∥平面ABC ；（2）求三棱锥ABD F -的体积.19.（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人200名，25周岁以下工人100名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，先采用分层抽样的方法，从中抽取了120名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]90，100,分别加以统计得到如图所示的频率分布直方图：（1）从样本中日平均生产件数不低于90件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下”工人的概率；2⨯列（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请根据已知条件填写2联表，并判断是否有90％的把握认为“生产能手”与“工人所在的年龄组”有关？附：20.（12分）已知函数()1ln +=xxx f .（1）求()x f 的极值；（2）证明：当0>x 时，()xe xf x1-≤.21.（12分）已知抛物线()()200:2(0),4,0E y px p P y y =>>为E 上一点，P 到E 的焦点F 的距离为5.（1）求E 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，A ，B 为抛物线E 上异于P 的两点，且满足PA PB ⊥.（i ）判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.（ii ）求FB F A ⋅的最小值.（二）选做题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）[选修44-：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为(0)y x x =≥，曲线C 的方程为2214x y +=.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求射线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 交于点P ，将射线OP 绕极点按逆时针方向旋转2π交C 于点Q ，求△POQ 的面积.23.（10分）[选修45-：不等式选讲]已知函数()2121f x x x =-++.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且23a b c m ++=，求11a cb c+++的最小值.参考答案一、选择题1.A 解析：利用数轴可得{}23<<-=x x B A .2.B 解析：由题意：()i i i i i i i z +-=+=+=-=1212122.3.D 解析：()24833338log 8log 18log 333=⨯=⨯==+f .4.C解析：A ：甲、乙班数学成绩的极差分别为425193=-，415192=-，故A 正确；B ：甲、乙班数学成绩的中位数分别为7327373=+，5.6927267=+，故B 正确；C ：甲班数学成绩的平均数为：()4.7193828176737363626051101=+++++++++，乙班数学成绩的平均数为：()6.7092838281726763635251101=+++++++++，故C 错误；D ：从茎叶图可以看出，甲班的数学成绩比乙班的数学成绩较为集中，即甲班数学成绩的方差比乙班小，故D 正确.5.B解析：A ：⎩⎨⎧≥<-==0,0,x x x x x y ，在()0，∞-单调递减，[)∞+，0单调递增，且为偶函数，故A 错误；B ：根据幂函数的性质可知，函数3x y =既是奇函数又是偶函数，B 正确；C ：x y 2log =在定义域()∞+，0单调递增，为非奇非偶函数，C 错误；D ：函数x y tan =是奇函数，在区间Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-,2,2ππππ上单调递增，D 错误.6.B解析：作出可行域如图，当目标函数y x z +=2的图象经过点()1,1-A 时，z 有最小值，此时1min -=z .7.C解析：由题可知，24=λe，经过4+m 天，数量变为原来的16倍，即()a ae m 164=+λ，则有()()λλλ164444216e e e m ====+，解得12=m .8.D解析：因()*12Nn S a n n ∈=+①可得，当2≥n 时，12-=n nS a②，①－②得：()n n n n n a S S a a 2211=-=--+，可得31=+nn a a ，因11=a ，在()*12Nn S a n n ∈=+中，取1=n ，可得2212==S a，即3212≠=a a ，∴数列{}n a 的通项公式为⎩⎨⎧≥⋅==-2,321,12n n a n n ，故数列{}n a 既不是等差数列也不是等比数列，选项A ，B 错误；当2≥n 时，11321-+==n n n a S ，又由1=n 时，111==a S ，适合上式，故数列{}n S 是公比为3的等比数列，即选项D 正确，C 错误.9.A解析：令()0>x f ，得4>x 或0<x ；令()0<x f ，得40<<x ，故排除CD，又当+∞→x 时，()042→-=xe xx x f ，故排除B.10.A解析：由题意可知：函数()()06cos >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛02，π对称，则Z k k ∈+=+,262πππωπ，且0322>+=k ω，解得31->k ，即N k k ∈+=，322ω∴当0=k 时，ω取到最小值是32.11.B解析：有题意可知：最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为a a 25，，高为h ，则体积为()()()()h a h a a a a V 2222213252531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，当最上层漏水壶水面下降到高度的三分之一时，设此时浮箭刻度为x ，∵已漏下去的水组成以上下口径为a a 3,5，高为h 32的圆台，体积为()()()()h a h a a a a V 22222199832353531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，可得1001399822x h a ha =ππ，解得84≈x .12.C解析：∵()()x g x g -=+11，∴()()x g x g -=+2，又函数()x g 为定义在R 上的奇函数，∴()0=x g ，()()x g x g -=-，∴()()2+-=x g x g ，∴()()42+-=+x g x g ，∴()()()x g x g x g =+-=+24，即()x g 的周期4=T ，将4-=x 代入()()x g x g -=+11得()()53g g =-，①正确；()()()00050642024==+⨯=g g g ，②正确；∵()()13+-=x g x f ，∴()()()()()()2211111142=+-=+-++=+g g g g f f ，③错误；由()()2+-=x g x g 可得()()002=-=-g g ，()()111-=-=-g g ，∴()()()()01012=++-+-g g g g ，∴()()()2024320243202412024120241+--=+-=∑∑∑===n n n n g n g n f ()()()()[]202420241012506=+++-+-⨯-=g g g g ，④正确.二、填空题13.1解析：32=+=⋅t AB AC ，解得1=t .14.3解析：∵()x ax x x f ln 2212-+-=，∴()xa x x f 2-+-='，则()0211=-+-='a f ，解得3=a .15.33+解析：∵A 、C 、B 成等差数列，∴π==++C B C A 3，即3π=C ，又()()A C B A C +-==-cos cos sin ,∴A A A A cos 21sin 23sin 21cos 23-=-，解得A A cos sin =，则1tan =A ，∵()π,0∈A ，∴4π=A ，∴()4622322212234sin sin sin +=⨯+⨯=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=ππC A B ，又22=a ，∴由正弦定理有A a C c sin sin =，即222223=c ，解得32=c ，∴△ABC 的面积为33462322221sin 21+=+⨯⨯⨯==∆B ac S ABC .16.45（1.25）解析：∵等差数列{}n a 的公差为32π，∴ππ23233+=⨯+=+n n n a a a ，∴()()n n n a a a sin 2sin sin 3=+=+π，∴数列{}n a sin 是周期为3的数列，又{}b a S ,=，故1sin a ，2sin a ，3sin a 中必有两者相等，不妨设()31sin sin ≤<≤=j i a a j i ，则Z k k a a j i ∈+=,2π（舍）或Z k k a a j i ∈+=+,2ππ，而π32=+-j i a a 或π34=+-j i a a ，若π32=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+=,6ππ，Z k k a j ∈+=,65ππ，连续三个中第三数为Z k k a i ∈+=,23ππ或Z k k a i ∈+-=,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .若π34=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+-=,6ππ，Z k k a j ∈+=,67ππ，此时这两个数的中间数Z k k ∈+,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .综上，4541122=+=+b a .三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+++4536996111d a d a d a ，解得⎩⎨⎧==111d a ，∴n a n =.（2）由（1）得nn n b 2⋅=，nn n T 2222121⋅++⨯+⨯= ，132222212+⋅++⨯+⨯=n n n T ，两式相减得：()()()2212121222222211132-⋅-=⋅---=⋅-++++=-+++n n n n nn n n n T ∴()2211+-=+n n n T .18.解：（1）证明：取AB 中点M ，连接MF 、MC ，则MF ∥AE ，且CD AE MF ===121.又∵AE ∥CD ，∴MF ∥CD ，即四边形MFDC 为平行四边形，∴DF ∥MC .又有⊄DF 平面ABC ，⊂MC 平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .（2）∵⊥AE 平面ABC ，⊂AE 平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面ABC ，∵ABC ∆时是正三角形，G 为AB 中点，∴AB CG ⊥，又∵平面ABE ∩平面ABC AB =，⊂CG 平面ABC ，∴⊥CG 平面ABE .∵DF ∥CG ，∴⊥DF 平面ABE ，易知，322=-==BG BC CG DF ,又1122121=⨯⨯=⨯⨯=∆FG AB S ABF ，∴3331=⋅==∆--DF S V V ABF ABF D ABD F .19.解：（1）由题意抽取120人中25周岁以上（含25周岁）有80200100200120=⨯+人，25周岁以下有40100100200120=⨯+人，则25周岁以上（含25周岁）中日平均生产件数不低于90件的有410005.080=⨯⨯人，25周岁以下中日平均生产件数不低于90件的有210005.040=⨯⨯人，则至少抽到一名“25周岁以下”工人的概率为5326121422=+C C C C ；（2）由题意25周岁以上中的“生产能手”有()201002.0005.080=⨯+⨯人，25周岁以下中的“生产能手”有()15100325.0005.040=⨯+⨯人.列联表如下：∴没有90％的把握认为“生产能手”与“工人所在的年龄组”有关.20.解：（1）函数()1ln +=x x x f 的定义域为()∞+，0，()2ln 1x x x f -='，令()0>'x f ，解得e x <<0，令()0<'x f ，解得e x >，∴函数()x f 在()e ,0上单调递增，在()+∞,e 上单调递减，∴()x f 的极大值为()11+=e ef ，无极小值.（2）若证()x e x f x 1-≤，即证x e x x x 11ln -≤+，即证01ln ≤+-+x xe x x ，设()()0,1ln >+-+=x xe x x x h x ，则()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-+='x x e x x e x x x h 11111，令()()0,1>-=x e x x t x ，则()012<--='x e x x t 恒成立，∴()x e xx t -=1在()+∞,0上单调递减，又0221>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛e t ，()011<-=e t ，∴存在唯一⎪⎭⎫⎝⎛∈1,210x ，使得()0001x e x x t -=，∴当()0,0x x ∈时，()0>x t ，则()0>'x h ，函数()x h 单调递增，当()+∞∈,0x x 时，()0<x t ，则()0<'x h ，函数()x h 单调递减，∴()()0111ln 000000max 0=+-+-=+++==x x e x x x x h x h x ，∴()xe xf x 1-≤.21.解：（1）∵()0,4y P 在抛物线E ：()022>=p px y 上，且P 到E 的焦点F 的距离为5，即5=PF ，∴524=+p ，解得2=p .∴E 的标准方程为x y 42=.（2）（i ）由（1）得P 点坐标为()4,4，由题知直线AB 斜率不为0，设直线AB 为b my x +=，联立⎩⎨⎧+==bmy x x y 42，得0442=--b my y ，()()01616424422>+=-⨯⨯--=∆b m b m ，即02>+b m ，设()()2211,,,y x B y x A ，则m y y 421=+，b y y 421-=，4211y x =，4222y x =，∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4,44121y y P A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4,44222y y PB ，PB P A ⊥，∴()()0444444212221=--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅y y y y PB P A ，即()()()()044161616212221=--+--y y y y ，整理得()()[]()()04416442121=--+--y y y y ，∵B A ,为抛物线E 上异于P 的两点，∴()()04421≠--y y ，∴()()0164421=+--y y ，即()03242121=+++y y y y ，∴032164=++-m b ，得84+=m b ，代入b my x +=得84++=m my x ，即()48+=-y m x ，∴直线AB 过定点()48-，.（ii ）由抛物线定义可得：()()111212121+++=++=⋅x x x x x x FB F A ，()1424144162122122122212221+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=y y y y y y y y y y 12422+++=b m b ，又∵84+=m b ，∴()()8172201842484222++=+++++=⋅m m m m m FB F A ，由二次函数性质可知，当59-=m 时，FB F A ⋅取得最小值581.此时5484=+=m b ，05416258116>⨯+⨯=∆，故FB F A ⋅取得最小值581.22.解：（1）将θρcos =x ，θρsin =y 代入()0≥=x x y 得θρθρcos sin =，∴1tan =θ，∴射线l 的极坐标方程为04≥=ρπθ，，将θρcos =x ，θρsin =y 代入1422=+y x 得()()1sin 4cos 22=+θρθρ，∴曲线C 的极坐标方程为θρ22sin 314+=（2）由题可知，可以设⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛43,4,21πρπρQ P ，，则584sin 314221=+=πρ，5843sin 314222=+=πρ，∴510221==ρρ，∴542sin 2121==∆πρρPOQ S .23.解：（1）由题意可得()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤-=21,42121,221,4x x x x x x f ，不等式()3≥x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥-2134x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥2134x x ，解得43-≤x 或43≥x .即不等式()3≥x f 的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，4343 .（2）由（1）可知，函数()x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21，上单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21上单调递增，且22121=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ，即函数()x f 在最小值2=m ，即232=++c b a .()()c b c b c b c c b c b c a +++-=+++--=+++222211322111()()()[]c b c b c b c b +++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=121121，∵()022>+-=+c b c a ，∴10<+<c b .令()1,0,∈+=t c b t ，则()t t t t c b c a +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++12112111()()2231212321121321+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=t t t t t t t t ，当且仅当()t t t t -=-121，即22-=t 时，取等号.即c b c a +++11的最小值为223+.。
2022-2023学年陕西省榆林市高三第一次模拟考试数学(文科)试题(PDF版)
绝密★启用前榆林市2022～2023年度第一次模拟考试数学试题(文科)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z＝－i(1＋2i)在复平面内对应的点位于( )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2．已知集合A＝{x|y＝ln(x＋1)}，B＝{x|2x－1＞－5}，则( R A)∩B＝( )(A)(－1，＋∞) (B)(－2，－1) (C)(－2，－1] (D)(－2，＋∞)3．若m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )(A)若m∥α，α∥β，则m∥β(B)若m⊥α，α⊥β，则m∥β(C)若m∥n，n∥α，则m∥α(D)若m⊥α，α∥β，则m⊥β4．已知tan(α＋π4)＝9，则tanα＝( )(A)45(B)－45(C)34(D)－345．已知函数f(x)＝a ln x＋x2的图像在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝( )(A)－2 (B)－1 (C)0 (D)16．为了解市民的生活幸福指数，某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数(满分100分)按照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为( )(A)70 (B)2003(C)1903(D)607．如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑轻盈、极简和雕塑般的气质．若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的一部分，P 为抛物线C 上一点，F 为抛物线C 的焦点，若∠OFP ＝120°，且|OP |＝212，则p ＝( )(A)1(B)2(C)3(D)48．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋(b ＋λa )sin B ＝c sin C ，则λ的取值范围为( )(A)(－2，2)(B)(0，2)(C)[－2，2](D)[0，2]9．在平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，∠BAD ＝60°，CE →＝2ED →，BC →＝2BF →，则AE →•EF →＝( )(A)4(B)329(C)289(D)310．已知四面体ABCD 外接球的球心O 与正三角形ABC 外接圆的圆心重合，若该四面体体积的最大值为23，则该四面体外接球的体积为( )(A)8π(B)32π3(C)16π(D)64π311．已知ω＞0，函数f (x )＝3sin(ωx ＋π3)＋3cos(ωx ＋π3)在(0，2π)上恰有3个极大值点，则ω的取值范围为( )(A)(2312，3512] (B)[2312，3512) (C)(3512，4712] (D)[3512，4712)12．已知a 2＋ln a ＝9b 4＋2ln b ＋1，则下列结论一定成立的是( )(A)a ＜b 2＋1(B)a ＜2b 2＋1(C)a ＞3b(D)a ＜3b 2第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若x ，y 满足约束条件错误!，则z ＝2x ＋y 的最小值为▲．14．自然对数的底数e ，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和π一样是无限不循环小数，e 的近似值约为2.7182818…．若从欧拉数的前4位数字2，7，1，8中任选2个，则至少有1个偶数被选中的概率为▲．15．已知函数f (x )是定义在(－2，2)上的增函数，且f (x )的图象关于点(0，－2)对称，则关于x 的不等式f (x )＋f (x ＋2)＋4＞0的解集为▲．16．已知双曲线C ：x 22－y 22＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝my ＋2(m ＞0)与双曲线C 相交于A ，B 两点，点P (6，0)，以PF 为直径的圆与l 相交于F ，M 两点，若M 为线段AB 的中点，则 |MF |＝▲．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔正式拉开序幕，这是历史上首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛．某市为了解高中生是否关注世界杯足球赛与性别的关系，随机对该市50名高中生进行了问卷调查，得到如下列联表．已知在这50名高中生中随机抽取1人，抽到关注世界杯足球赛的高中生的概率为45．(1)完成上面的2×2列联表；(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关．附：χ2＝n (ad －bc )2，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．18．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3，S n+1＋S n ＝(n ＋1)a n+1． (1)求{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ． 19．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，PA ⊥PD ，且PA ＝PD ＝2，AB ＝2CD ＝2．(1)证明：AD ⊥PB ．(2)求点A 到平面PBC 的距离．20．(12分)已知P (1，0)是椭圆C ：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的一个顶点，圆E ：(x －2)2＋(y －2)2＝4经过C 的一个顶点．(1)求C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与C 相交于M 、N 两点(异于点P )，记直线PM 与直线PN 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1＋k 2＝k 1k 2，求k 的值． 21．(12分)已知函数f (x )＝(x －12x 2)ln x ＋(12k ＋14)x 2－(k ＋1)x ，k ∈R ．(1)若k ＞0，求f (x )的单调区间；(2)若k ∈Z ，且当x ＞1时，f'(x )＜ln x ＋1，求k 的最大值．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，已知点P (1，0)，曲线C 的参数方程为错误!(φ为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin(θ＋π4)－2＝0．(1)求C的普通方程与l的直角坐标方程；(2)若l与C交于A，B两点，求|P A|＋|PB|．23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝|x＋a－2|＋|x＋3|．(1)当a＝0时，求不等式f(x)≥9的解集；(2)若函数f(x)＞2，求a的取值范围．绝密★启用前榆林市2022～2023年度第一次模拟考试文科数学试题逐题解析第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z＝－i(1＋2i)在复平面内对应的点位于( )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【答案】D2．已知集合A＝{x|y＝ln(x＋1)}，B＝{x|2x－1＞－5}，则( R A)∩B＝( )(A)(－1，＋∞) (B)(－2，－1) (C)(－2，－1] (D)(－2，＋∞)【答案】C3．若m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )(A)若m∥α，α∥β，则m∥β(B)若m⊥α，α⊥β，则m∥β(C)若m∥n，n∥α，则m∥α(D)若m⊥α，α∥β，则m⊥β【答案】D4．已知tan(α＋π4)＝9，则tanα＝( )(A)45(B)－45(C)34(D)－34【答案】A5．已知函数f(x)＝a ln x＋x2的图像在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝( )(A)－2 (B)－1 (C)0 (D)1【答案】B6．为了解市民的生活幸福指数,某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数(满分100分)按照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为( )(A)70 (B)2003(C)1903(D)60【答案】C7．如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑轻盈、极简和雕塑般的气质．若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线C ：x 2＝－2py (p ＞0)的一部分，P 为抛物线C 上一点，F 为抛物线C 的焦点，若∠OFP ＝120°，且|OP |＝212，则p ＝( )(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】A8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋(b ＋λa )sin B ＝c sin C ，则λ的取值范围为( )(A)(－2，2)(B)(0，2)(C)[－2，2](D)[0，2]【答案】A9．在平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，∠BAD ＝60°，CE →＝2ED →，BC →＝2BF →，则AE →•EF →＝( )(A)4(B)329(C)289(D)3【答案】B10．已知四面体ABCD 外接球的球心O 与正三角形ABC 外接圆的圆心重合，若该四面体体积的最大值为23，则该四面体外接球的体积为( )(A)8π (B)32π3(C)16π (D)64π3【答案】B11．已知ω＞0，函数f (x )＝3sin(ωx ＋π3)＋3cos(ωx ＋π3)在(0，2π)上恰有3个极大值点，则ω的取值范围为( )(A)(2312，3512] (B)[2312，3512) (C)(3512，4712] (D)[3512，4712)【答案】C12．已知a 2＋ln a ＝9b 4＋2ln b ＋1，则下列结论一定成立的是( )(A)a ＜b 2＋1(B)a ＜2b 2＋1(C)a ＞3b(D)a ＜3b 2【答案】D第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若x ，y 满足约束条件错误!，则z ＝2x ＋y 的最小值为▲． 【答案】－1114．自然对数的底数e ，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和π一样是无限不循环小数，e 的近似值约为2.7182818…．若从欧拉数的前4位数字2，7，1，8中任选2个，则至少有1个偶数被选中的概率为▲． 【答案】5615．已知函数f (x )是定义在(－2，2)上的增函数，且f (x )的图象关于点(0，－2)对称，则关于x 的不等式f (x )＋f (x ＋2)＋4＞0的解集为▲． 【答案】(－1，0)16．已知双曲线C ：x 22－y 22＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝my ＋2(m ＞0)与双曲线C 相交于A ，B 两点，点P (6，0)，以PF 为直径的圆与l 相交于F ，M 两点，若M 为线段AB 的中点，则 |MF |＝▲． 【答案】2(一)必考题：共60分． 17．(12分)第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔正式拉开序幕，这是历史上首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛．某市为了解高中生是否关注世界杯足球赛与性别的关系，随机对该市50名高中生进行了问卷调查，得到如下列联表．已知在这50名高中生中随机抽取1人，抽到关注世界杯足球赛的高中生的概率为45．(1)完成上面的2×2列联表；(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关．附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．【解析】(1)2×2列联表如下：(2)χ2＝50(26×6－14×4)30×20×40×10＝2512＜2.706，故没有90%的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关． 18．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3，S n+1＋S n ＝(n ＋1)a n+1． (1)求{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ． 【解析】(1)因为S n+1＋S n ＝(n ＋1)a n+1，所以S n+2＋S n+1＝(n ＋2)a n+2，两式相减可得：(n ＋2)a n+1＝(n ＋1)a n+2，即：a n+2n ＋2＝a n+1n ＋1，n ∈N ＋，又因为a 1＝3，S 2＋S 1＝2a 2，解得：a 2＝6，故a n n ＝a 22＝3，即：a n ＝3n ，n ≥2，n ＝1时，a 1＝3也成立，故a n ＝3n ； (2)b n ＝1a n a n+1＝19n (n ＋1)＝19(1n －1n ＋1)，故T n ＝19(1－1n ＋1)＝n 9(n ＋1)．19．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，PA ⊥PD ，且PA ＝PD ＝2，AB ＝2CD ＝2．(1)证明：AD⊥PB．(2)求点A到平面PBC的距离．【解析】(1)取AD的中点O，连结OP、OB，因为∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝2，AB＝2，所以AD⊥PO，AD⊥BO，而PO∩BO＝O，PO、BO⊂平面POB，故AD⊥平面POB，AD⊥PB；(2)BC＝3，PB＝PC＝2，S△PBC＝134，设A到平面PBC的距离为h，V A－PBC＝13×S△PBC×h＝V P－ABC＝13×S△ABC×PO，h＝S△ABC×POS△PBC＝41313．20．(12分)已知P(1，0)是椭圆C：x2m2＋y2n2＝1(m＞0，n＞0)的一个顶点，圆E：(x－2)2＋(y－2)2＝4经过C的一个顶点．(1)求C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋1与C相交于M、N两点(异于点P)，记直线PM与直线PN的斜率分别为k1、k2，且k1＋k2＝k1k2，求k的值．【解析】(1)由题意：椭圆C的两个顶点为(1，0)，(0，2)，故C的方程为x2＋y24＝1；(2)解法1：联立错误!可得：(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－错误!，x1x2＝－3k2＋4，因为k1＋k2＝k1k2，所以1k1＋1k2＝x1－1y1＋x2－1y2＝x1－1kx1＋1＋x2－1kx2＋1＝1，即：(k2－2k)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋3＝－3(k2－2k)k2＋4－2k(2k－1)k2＋4＋3＝0，解得：k＝3或k＝－1(舍去)．解法2：以P为坐标原点建立新的坐标系，在新坐标系下椭圆C的方程为：(x＋1)2＋y24＝1，即：4x2＋8x＋y2＝0，直线l的方程为y－kx＝k＋1(k≠－1)，则4(k＋1)x2＋8x(y－kx)＋4(k＋1)y 2＝0，即：4(k ＋1)y 2＋8xy ＋4(1－k )x 2＝0，所以4(k ＋1)(y x )2＋8(y x)＋4(1－k )＝0，因为k 1＋k 2＝k 1k 2，所以4(1－k )＝－8，解得：k ＝3．21．(12分)已知函数f (x )＝(x －12x 2)ln x ＋(12k ＋14)x 2－(k ＋1)x ，k ∈R ． (1)若k ＞0，求f (x )的单调区间；(2)若k ∈Z ，且当x ＞1时，f'(x )＜ln x ＋1，求k 的最大值．【解析】(1)因为f'(x )＝(1－x )(ln x －k )．当0＜x ＜1或x ＞e k 时，f'(x )＜0，当1＜x ＜e k 时，f'(x )＞0，故f (x )的增区间为(1，e k )，减区间为(0，1)和(e k ，＋∞)；(2)f'(x )＝(1－x )(ln x －k )＜ln x ＋1，即：k (x －1)＜x ln x ＋1，因为x ＞1，所以k ＜x ln x ＋1x －1，令φ(x )＝x ln x ＋1x －1，φ'(x )＝－ln x ＋x －2(x －1)2，令r (x )＝－ln x ＋x －2，r'(x )＝x －1x ＞0，所以r (x )在(1，＋∞)上单调递增，因为r (3)＜0，r (4)＞0，故存在唯一的x 0∈(3，4)使得r (x 0)＝－ln x 0＋x 0－2＝0，∴φ(x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，∴φ(x )≥φ(x 0)＝x 0ln x 0＋1x 0－1＝x 0(x 0－2)＋1x 0－1＝x 0－1∈(2，3)，而若k ∈Z ，k ＜x 0－1，故k 的最大值为2．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，已知点P (1，0)，曲线C 的参数方程为错误!(φ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ＋π4)－2＝0．(1)求C 的普通方程与l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |．【解析】(1)因为曲线C 的参数方程为错误!(φ为参数)，所以C 的普通方程为：x 2＋(y －2)2＝4，即：x 2＋y 2－4y ＝0；而直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ＋π4)－2＝0，即：2ρsin θ＋2ρcos θ－2＝0，所以l 的直角坐标方程为：x ＋y －1＝0；(2)直线l 过点P (1，0)，设直线l 的参数方程为错误!(t 为参数)，代入x 2＋y 2－4y ＝0可得：t 2－3t ＋1＝0，所以t 1＋t 2＝3＞0，t 1t 2＝1＞0，故|P A |＋|PB |＝3．23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|x ＋a －2|＋|x ＋3|．(1)当a ＝0时，求不等式f (x )≥9的解集；(2)若函数f (x )＞2，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝0时，f (x )≥9，即：|x －2|＋|x ＋3|≥9．当x≥2时，x－2＋x＋3≥9，解得：x≥4；当－3＜x＜2时，2－x＋x＋3≥9，不成立；当x≤－3时，2－x－x－3≥9，解得：x≤－5；故不等式的解集为(－∞，－5]∪[4，＋∞)；(2)|x＋a－2|＋|x＋3|≥|x＋a－2－(x＋3)|＝|a－5|，x＝－3时，等号成立，而f(x)＞2，所以|a －5|＞2，解得：a＞7或a＜－3，故a的取值范围为(－∞，－3)∪(7，＋∞)．。
四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题(3)
一、单选题二、多选题1. 命题“，函数是偶函数”的否定是（ ）A ．，函数不是偶函数B ．，函数不是偶函数C ．，函数是奇函数D ．，函数是奇函数2. 定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．3. 某圆锥高为1，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）A ．2B．C．D ．14. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则（ ）A ．48B ．63C ．80D ．995.已知平面向量满足，，，则向量与向量的夹角为（ ）A．B．C．D．6. 椭圆的左、右焦点为，，过垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A．B．C．D．7.已知抛物线:与点，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点，若，则（ ）A．B．C．D．8. 已知偶函数满足：对任意的，都有成立，则满足的取值范围是A．B．C．D．9. 已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数，下列结论正确的是（）A ．函数的图象关于直线对称B ．函数的图象关于点对称C ．函数在区间上的减区间为D ．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到10. 利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）.A．B．C．D．四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题(3)四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题(3)三、填空题四、解答题11. 下列说法正确的是（ ）A ．若，则B．若，，且，则的最大值是1C ．若，，则D ．函数的最小值为912. 已知点P 为双曲线上任意一点，为其左、右焦点，O 为坐标原点．过点P 向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M 、N ，则下列所述正确的是（ ）A．为定值B ．O 、P 、M 、N 四点一定共圆C．的最小值为D ．存在点P 满足P 、M 、三点共线时，P 、N 、三点也共线13. 对实数、定义一个运算：，设函数（），若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是__________．14. 如图，正四面体的棱长为3，，，分别是，，上的点，，，，截去三棱锥，同理，分别以，，为顶点，各截去一个棱长为1的小三棱锥，截后所得的多面体的外接球的表面积为_____．15. 图，在梯形，，，，，且，则的值为______.16.在中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，，(1)求角A ；(2)若，求a 的最小值.17.已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数．求和的值．18. 已知函数．(1)求的值;(2)求的最小正周期和单调递增区间．19. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．20. 如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD，，，，点P为棱DF的中点.(1)求证：平面APC；(2)求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；(3)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值.21. 已知函数.(1)若函数的图象与轴存在交点，求的最小值；(2)若函数的图象在点处的切线斜率为，且函数的最大值为，求证：.。
2022-2023学年甘肃省兰州市第五十八中学(兰炼一中)高三上学期第一次模拟考试数学(文科)试卷2
兰州市第五十八中学（兰炼一中）2022-2023学年度第一次模拟考试数学试卷（文科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U ＝{x ∈Z |0<x <8}，集合M ＝{2，3，5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1，4，7}为( )A ．M ∩(?U N )B ．?U (M ∩N )C ．?U (M ∪N )D ．(?U M )∩N2． 若i 是虚数单位，则复数2＋3i 1＋i的实部与虚部之积为( )A ．－54B ．54C ．54i D ．－54i3． 直线l 1：ax ＋2y －1＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2＝0平行，则a ＝( )A ．－1B ．2C ．－1或2D ．0或14． 已知m ，n 是直线，α是平面，且m ∥α，则下列结论中正确的是( )A ．?n ?α，都有m ∥nB ．?n ?α，使m ⊥nC ．?n ∥m ，都有n ∥αD ．?n ⊥α，使m ∥n 5．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( )A ．－32B ．22C ．12D ．16．关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，x ＋y －4≤0表示的平面区域的面积为( )A ．3B ．52C ．2D ．327． 已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2a 6＝4，且a 4＋2a 7＝52，则S 5＝( )A ．29B ．30C ．31D ．328． 如图所示，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD ＝3DC .若AD →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝( )A ．12 B ．13C ．2D ．239．已知函数f (x )＝2sin(πx ＋1)，若对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．2B ．1C ．4D ．1210.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P-ABCD 中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,从A ,B ,C ,D 四点中任取三点和顶点P 所形成的四面体中,任取两个四面体,则其中一个四面体为鳖臑的概率为( ) A.14B.23C.35D.31011． 已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)右焦点为F 1，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，抛物线y 2＝－16x 的焦点为F ，若△ABF 为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1＋132，＋∞B ．(13，＋∞)C ．(1,3)D ．⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋13212.已知函数f (x )=e x+x 22-ln x 的极值点为x 1,函数h (x )=lnx 2x的最大值为x 2,则( )A.x 1>x 2B.xB 2>x 1C.x 1≥x 2D.xD 2≥x 1第II 卷（非选择题）二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上．）13．已知直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是 ．14． 已知向量a ，b 满足|a |＝5，|a －b |＝6，|a ＋b |＝4，则向量b 在向量a 上的投影为 ． 15.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为 ;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分 16．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝ ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17(12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率． 18(12分)已知边长为2的正方形ABCD 与菱形ABEF 所在平面互相垂直，M 为BC 中点．(1)求证：EM ∥平面ADF ；(2)若∠ABE ＝60°，求四面体M -ACE 的体积．19．(12分)已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列； (2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．20．(12分)椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积． 21(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＞0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22 (10分) 在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =−1+√22x ,x =−2+√22x(t 为参数),以该直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ-ρ=0. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长是多少?[选修4-5：不等式]23.(10分) 已知f (x )=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立,求a 的取值范围.答案及解析1．已知全集U ＝{x ∈Z |0<x <8}，集合M ＝{2，3，5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1，4，7}为( C )A ．M ∩(?U N )B ．?U (M ∩N )C ．?U (M ∪N )D ．(?U M )∩N[解析] 由已知得U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，N ＝{2，6}，M ∩(?U N )＝{2，3，5}∩{1，3，4，5，7}＝{3，5}，M ∩N ＝{2}，?U (M ∩N )＝{1，3，4，5，6，7}，M ∪N ＝{2，3，5，6}，?U (M ∪N )＝{1，4，7}，(?U M )∩N ＝{1，4，6，7}∩{2，6}＝{6}，故选C.2． 若i 是虚数单位，则复数2＋3i1＋i的实部与虚部之积为( B )A ．－54B ．54C ．54i D ．－54i[解析] 因为2＋3i 1＋i ＝（2＋3i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝52＋12i ，所以实部为52，虚部为12，实部与虚部之积为54.故选B .3． 直线l 1：ax ＋2y －1＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2＝0平行，则a ＝( B )A ．－1B ．2C ．－1或2D ．0或1[解析] l 1∥l 2?⎩⎪⎨⎪⎧a ?a －1?－2＝0a 3≠－1，解得a ＝2.故选B.4． 已知m ，n 是直线，α是平面，且m ∥α，则下列结论中正确的是( B )A ．?n ?α，都有m ∥nB ．?n ?α，使m ⊥nC ．?n ∥m ，都有n ∥αD ．?n ⊥α，使m ∥n[解析] 由m ，n 是直线，α是平面，且m ∥α，得：对于A ，?n ?α，则m ，n 平行或异面，故A 不正确；对于B ，?n ?α，使m ⊥n ，故B 正确；对于C ，?n ∥m ，则n ∥α或n ?α，故C 不正确；对于D ，若n ⊥α，因为m ∥α，所以m ⊥n ，故D 不正确，故选B. 5．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( C )A ．－32B ．22C ．12D ．1[解析] 原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin ?30°－25°?＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12.6．关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，x ＋y －4≤0表示的平面区域的面积为( C )A ．3B ．52C ．2D ．32[解析] 平面区域为一个直角三角形ABC ，其中A (3，1)，B (2，0)，C (1，3)，所以面积为12|AB |·|AC |＝12×2×8＝2，故选C . 7.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2a 6＝4，且a 4＋2a 7＝52，则S 5＝( C )A ．29B ．30C ．31D ．32[解析] 本题考查等比数列性质及基本量的运算．∵a 2a 6＝a 24＝4，且a n >0，∴a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.设{a n }的公比为q ，则a 7a 4＝q 3＝18，q ＝12，∴a n ＝a 4⎝⎛⎭⎫12n －4＝25－n ，∴S 5＝16＋8＋4＋2＋1＝31.9． 如图所示，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD ＝3DC .若AD →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝( B )A ．12 B ．13C ．2D ．23[解析] 本题考查向量的线性运算.AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →，所以λ＝14，μ＝34，从而求得λμ＝13，故选B . 9．已知函数f (x )＝2sin(πx ＋1)，若对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．2B ．1C ．4D ．12[解析] 对任意的x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立， 所以f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2， 所以|x 1－x 2|min ＝T2，又f (x )＝2sin(πx ＋1)的周期T ＝2ππ＝2，所以|x 1－x 2|min ＝1，故选B.10《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P-ABCD 中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,从A ,B ,C ,D 四点中任取三点和顶点P 所形成的四面体中,任取两个四面体,则其中一个四面体为鳖臑的概率为( B ) A.14B.23C.35D.310[解析]从A ,B ,C ,D 四点中任取三点和顶点P 所形成的4个四面体为P-ABC ,P-ABD ,P-ACD ,P-BCD ,其中四面体P-ABD ,P-BCD 为鳖臑.在4个四面体中任取2个有6种情况,其中一个四面体为鳖臑的情况有4种,则其中一个四面体为鳖臑的概率P=46=23.故选B .11已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)右焦点为F 1，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，抛物线y 2＝－16x 的焦点为F ，若△ABF 为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( D )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1＋132，＋∞B ．(13，＋∞)C ．(1,3)D ．⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋132[解析] 在双曲线x 24－y 2b 2＝1中，当x ＝c 时，y ＝±b 22，取A ⎝⎛⎭⎫c ，b 22.因为△ABF 是锐角三角形，所以∠AFF 1<π4，则tan ∠AFF 1＝b 224＋c <tan π4＝1，即b 2<8＋2c .因为双曲线x 24－y 2b 2＝1中a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝c 2－4，所以c 2－4<8＋2c ，解得1－13<c <1＋13，所以1－132<c a <1＋132.因为e ＝ca >1，则1<e <1＋132，所以双曲线的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋132.故选D.12.已知函数f (x )=e x +x 22-ln x 的极值点为x 1,函数h (x )=lnx 2x的最大值为x 2,则(A )A.x 1>x 2B.xB 2>x 1C.x 1≥x 2D.xD 2≥x 1 解析 f'(x )=e x +x-1x在(0,+∞)上单调递增,且f'12=e 12−32>0,f'14=e 14−154<0,所以x 1∈14,12,e x 1+x 1-1x 1=0.由h'(x )=1-lnx2x 2,可得h (x )max =h (e)=12e ,即x 2=12e <14.所以x 1>x 2.13．已知直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是 [－1，2) ．[解析] 画出函数图象，如图所示．由图可知，当m ＝－1时，直线y ＝x 与函数图象恰好有3个公共点，当m ＝2时，直线y ＝x 与函数图象只有2个公共点，故m 的取值范围是[－1，2).10． 已知向量a ，b 满足|a |＝5，|a －b |＝6，|a ＋b |＝4，则向量b 在向量a 上的投影为 －1 ．[解析]∵向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4.∴|a－b|2＝25＋b2－2a·b＝36，|a＋b|2＝25＋b2＋2a·b＝16.∴a·b＝－5，|b|＝1，∴向量b在向量a上的投影为|b|·cos a，b＝|b|·a·b|a||b|＝a·b|a|＝－55＝－1.15.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为50;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分[解析]第一分厂应抽取的件数为100×50%=50;该产品的平均使用寿命为1020×0.5+980×0.2+1030×0.3=1015(小时).16．数列{a n}的前n项积为n2，那么当n≥2时，a n＝n2（n－1）2．[解析]设数列{a n}的前n项积为T n，则T n＝n2，当n≥2时，a n＝T nT n－1＝n2（n－1）2.17某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．[解析](1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P＝315＝1 5.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝29.18已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点．(1)求证：EM∥平面ADF；(2)若∠ABE＝60°，求四面体M-ACE的体积．[解析](1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD.∵BC?平面ADF，AD?平面ADF，∴BC∥平面ADF.∵四边形ABEF是菱形，∴BE∥AF.∵BE?平面ADF，AF?平面ADF，∴BE∥平面ADF.∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE＝B，∴平面BCE∥平面ADF.∵EM?平面BCE，∴EM∥平面ADF.(2)取AB 中点P ，连接PE .∵在菱形ABEF 中，∠ABE ＝60°， ∴△AEB 为正三角形，∴EP ⊥AB . ∵AB ＝2，∴EP ＝ 3.∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， ∴EP ⊥平面ABCD ， ∴EP 为四面体E -ACM 的高． ∴V M -ACE ＝V E -ACM ＝13S △ACM ·EP ＝13×12×1×2×3＝33.19．(12分)已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列； (2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．[解析] (1)∵a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ， ∴a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )． 又∵a n >0，∴a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n ＝3，∴数列{a n ＋1＋a n }为等比数列．(2)由(1)得，a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)×3n －1＝2×3n －1 ① ∴a n ＋1＋a n ＋2＝2×3n②②－①得a n ＋2－a n ＝4×3n －1 当n 为奇数时， a 3－a 1＝4×30 a 5－a 3＝4×32a 7－a 5＝4×34……a n －a n －2＝4×3n －3相加得a n －a 1＝4×(30＋32＋34＋…＋3n －3)＝4×30－3n －3×321－32＝3n －1－12， ∴a n ＝12×3n －1. 当n 为偶数时由a n ＋a n ＋1＝2×3n －1得a n ＝2×3n －1－a n ＋1＝2×3n －1－12×3n ＝12×3n －1. 综上所述a n ＝12×3n －1. 20．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．[解析] (1)由题意知，4a ＝8，所以a ＝2，又e ＝12，所以c a ＝12，c ＝1， 所以b 2＝22－1＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝3(x ＋1)，由⎩⎨⎧ y ＝3?x ＋1?，x 24＋y 23＝1，得5x 2＋8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－85，所以y 1＝3，y 2＝－335.所以S △ABF 2＝c ·|y 1－y 2|＝1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋335＝835. 21已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＞0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．[解析] (1)f ′(x )＝1x －a (x ＞0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a ＞0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a ＞0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＝1－ax x ＞0；当x ＞1a 时，f ′(x )＝1－ax x ＜0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ， 单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. 综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ， 单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. (2)①当0＜1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0＜a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1＜1a ＜2，即12＜a ＜1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数． 又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12＜a ＜ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a ＜1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .综上可知，当0＜a ＜ln 2时，函数f (x )的最小值是f (1)＝－a ；当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .22在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =−1+√22x ,x =−2+√22x(t 为参数),以该直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ-ρ=0. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长是多少?[解析]:(1)将{x =−1+√22x ,x =−2+√22x消去参数t ,得直线l 的普通方程为x-y-1=0.∵曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ-ρ=0,即ρ2cos 2θ+4ρcos θ-ρ2=0,∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x.(2)联立{x 2=4x ,x -x -1=0,得x 2-6x+1=0,Δ=36-4=32>0,设直线l 与抛物线C 交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=6,x 1x 2=1,故直线l 被曲线C 截得的弦长为|AB|=√(1+x 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=√(1+1)×(36-4)=8.23.已知f (x )=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立,求a 的取值范围.[解析](1)当a=1时,f (x )=|x+1|-|x-1|,即f (x )={-2,x ≤−1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,则|ax-1|<1的解集为{x|0<x<2x },所以2x≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].。
内蒙古呼和浩特市2024届高三第一次质量监测文科数学试题(含解析)
内蒙古呼和浩特市2024届高三第一次质量监测文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．π4B ．3π44．在ABC 中，内角A ，B ，C π5C =，则B ∠=（ ）A ．π5B ．π155．已知()()()(313f x x x a =+-A ．2-B ．1-二、填空题三、解答题17．某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（满意度最高120分，最低0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低）．去年测评的结果（单位：分）(1)求证：平面BCQ ⊥平面ACQ (2)若Q 为靠近P 的一个三等分点，20．设函数()e xf x ax =-，(1)当1a =时，求函数()f x 在参考答案：故选：D 7．D【分析】根据几何概型的概率公式，由面积之比即可求解【详解】(){}22,4x y x y +≤表示圆心为原点，半径为(){}22,14x y xy ≤+≤表示圆心为原点，半径为所以概率为4ππ34π4-=，故选：D8．A【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可f x=【详解】若函数()2x()2f x a2x=--单调递增目标函数2z x y =-，即2y x z =-表示斜率为画直线0:2l y x =，平移直线0l 到直线1l ，当直线min 2142z =⨯-=-，所以2z x y =-的最小值为2-.故答案为：2-14．2-/0.4-17．(1)甲、乙的平均数都为(2)乙的人民满意度比较好【分析】（1）利用平均数和方差的运算公式进行求解即可；（2）根据方差的性质进行求解即可(1212OA OB x x y y ⋅=+=u u r u u u r由图可知，当1C 与2C 只有一个公共点，直线C 设直线1C 的方程为()2y k x =+，且0k >，即2k k +2由图可得函数()f x 的最小值为（2）令()4f x =，可得x ⎧⎨-⎩。
四川省达州市2023届高三联合测试 一模试题-文科数学试卷(后附参考答案)
一诊数学（文）试卷第1页（共4页）达州市普通高中2023届第一次诊断性测试数学试题（文科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|}A x =≤1，{|1}B x x =<，则A B =A ．[0 1)，B ．(0 1)，C ．( 1)-∞，D ．( 1]-∞，2．复数z 满足1=2i z，则z =A ．12-B ．12C ．1i2-D ．1i23．已知向量a ，b ，满足⊥a b ，(12)，a = ，则()-⋅=a b a A ．0B ．2CD ．54．四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一．某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是A ．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B ．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C ．样本中选择物理学科的人数较多D ．样本中男生人数少于女生人数5．“0a b >>”是“e 1a b->”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件一诊数学（文）试卷第2页（共4页）6．《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山．问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？A ．18B ．4716C ．238D ．31167．三棱锥P ABC -的底面ABC 为直角三角形，ABC △的外接圆为圆O ，PQ ⊥底面ABC ，Q 在圆O 上或内部，现将三棱锥的底面ABC 放置在水平面上，则三棱锥P ABC -的俯视图不可能是A．B ．C ．D ．8．将函数1π()sin()23f x x ω=+(0)ω>图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，直线l 与曲线()y g x =仅交于11()A x y ，，22()B x y ，，ππ(())66P g ，三点，π6为1x ，2x 的等差中项，则ω的最小值为A ．8B ．6C ．4D ．29．曲线()()e xf x x m =+()m ∈R 在点(0(0))f ，处的切线平分圆22(2)(2)5x y -+-=，则函数()y f x =的增区间为A ．(,1)-∞-B ．(0 )+∞，C ．(1 )-+∞，D ．(0e)，10.点F 为双曲线22221x y a b-=(0 0)a b >>，的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的平行线交双曲线于点A ，O 为原点，||OA b =，则双曲线的离心率为A B ．C ．D 11.在棱长为2的正方体1111ABCD C D 中，E ，分别为AB ，BC 的中点，则A ．平面1D EF ∥平面11BA C B ．点P 为正方形1111A B C D 内一点，当DP ∥平面1B EF 时，DP 的最小值为2C ．过点1D ，E ，F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+D ．当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为12π12.已知!(1)(2)321n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯ ，规定0!1=，如3!3216=⨯⨯=．定义在R上的函数()y f x =图象关于原点对称，对任意的0x <，都有(()1xf xf x x =-．若12()10099!f =，则(1)f =A ．0B ．1C ．2D ．199!一诊数学（文）试卷第3页（共4页）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.抛物线22(0)y px p =>上的点(4)M a ，到焦点的距离为5，则焦点坐标为．14.从集合{1 2 3 4 5}，，，，中随机取两个不同的数a ，b ，则满足||2a b -=的概率为．15.已知正项数列{}n a 前n 项和n S 满足(1)2n n n a a S m +=+，m ∈R ，且3510a a +=，则m =．16.已知正方形ABCD 边长为2，M ，N 两点分别为边BC ，CD 上动点，45=∠MAN ，则CMN △的周长为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．(12分)党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入的数据如下表：年份20172018201920202021年份代码x12345人均可支配收入y （单位：万元）1.301.401.621.681.80(1)根据上表统计数据，计算y 与x 的相关系数r ，并判断y 与x 是否具有较高的线性相关程度（若0.30||0.75r <≤，则线性相关程度一般，若||0.75r ≥则线性相关程度较高，r 精确到0.01）；(2)市五届人大二次会议政府工作报告提出，2022年农村居民人均可支配收入力争不低于1.98万元，求该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值（用百分比表示）．参考公式和数据：相关系数()()niix x y y r --=∑，51()() 1.28iii x x y y =--=∑，521()0.17ii y y =-≈∑ 1.3≈.18．(12分)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC △的面积tan S A =，BC (1)求a ；(2)求ABC △外接圆面积的最小值．一诊数学（文）试卷第4页（共4页）19．(12分)如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥.E 为AD 延长线上一点，PE ⊥平面ABCD ，2PE AD =，tan 2PDA ∠=-.F 是PB 中点．(1)证明：EF PA ⊥；(2)若22BC AD ==，三棱锥E PDC -的体积为13，求点C 到平面DEF 的距离．20．(12分)已知F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，过点( )P t b ，的直线l 交C 于不同两点A ，B ．当t a =，且l经过原点时，||AB =，||||AF BF +=．(1)求C 的方程；(2)D 为C 的上顶点，当4t =，且直线AD ，BD 的斜率分别为1k ，2k 时，求1211k k +的值．21．(12分)已知函数()ln ()f x x x a a =+∈R ．(1)若()f x 最小值为0，求a 的值；(2)231()1(0)8x g x x x x =--+>，若7ea ≥，()0gb <，证明()f x b >．（二）选考题：共 10分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10 分) 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ρ2−2 ρcos − θ2 ρsin − θ2 =0 ，直线l 的参数方程为2cos ()2sin x t t y t θθ=+⎧⎨=+⎩，为参数．(1)写出曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点，定点(2 2)P ，，求PA PB +的最小值．23．[选修4-5：不等式选讲](10分)设函数12)(-=x x f ．(1)若()()f x f x m >+的解集为{|0}x x <，求实数m 的值；(2)若0a b <<，且()()f a f b =，求411a b +-的最小值．A BC DEFP达州市普通高中2023届第一次诊断性测试文科数学参考答案一、选择题：1.A 2.C3.D4.C5.A6.C7.D 8.C9.C10.D11.B12.C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(1,0)14．31015．1-16．4三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)由表知x 的平均数为1234535x ++++==．522221()(13)(23)(53)10i i x x =∴-=-+-++-=∑．5()()0.98iix x y y r --=∑．75.098.0> ,∴y 与x 具有较高的线性相关程度．(2)设增长率为p ，则1.8(1)p +≥1.98,解得p ≥0.1．∴min 0.110%p ==．该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值为10%．18．解：(1)由A S tan =得AAA bc cos sin sin 21=，∵0πA <<，0sin >A ，∴2cos =A bc ．取BC 中点D ，连接AD ，则1()2AD AB AC =+ ，∴22242AD AB AB AC AC =+⋅+ ，即A bc c b cos 21222++=，∴822=+c b ．∵448cos 2222=-=-+=A bc c b a ，∴2=a ．(2)设ABC △外接圆半径为R ，由正弦定理R A a 2sin =，得AR sin 1=．由（1）知bc A 2cos =22412b c =+≥，当且仅当2==c b 时取“=”．∵0πA <<，∴A <0≤π3，∴0sin 2A <≤，∴A R sin 1=23332=，当sin 2A =，即π3A =时取“=”．∴ABC △外接圆面积最小值为2234π(π33⨯=．19又E AD PE = ，∴AB ⊥平面PAD ．∵PA ⊂平面PAD ，∴PA AB ⊥．取P A 的中点M ，连接EM ，FM ，∵F 为PB的中点，∴FM PA ⊥．∵tan 2PDA ∠=-，∴tan 2PDE ∠=，∴2=DEPE ，∴AD DE PE 22==，∴D 为AE 的中点，∴PE AE =，∴EM PA ⊥．又M FM EM = ，∴PA ⊥平面EFM ．∵EF ⊂平面EFM ，∴EF PA ⊥.(2)解：∵222BC AD DE ===，∴2PE =.∴ BC AE ∥，且 BC AE =，∵AB BC ⊥，∴四边形ABCE 为矩形，∴CE ⊥平面PAE .1111123323E PDC P DEC DEC V V S PE CE --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，∴1=CE .连接M D ，Rt BCE △中51222=+=BE ，Rt PEB △中35222=+=PB .∵F 为PB 中点，∴点F 到平面ABCD 的距离1211==PE h ，Rt PEB △中，2321==PB EF ，111122ECD S =⨯⨯=△.由（1）知FM PAE ⊥面，11=22FM AB =,在Rt FME △中，52DF ==,∴DEF △中，22235()1)222cos 33212DEF +-∠==⨯⨯,3sin DEF ∠=，124DEF S DE EF sin DEF =⨯⨯⨯∠=△.设点C 到平面DEF 的距离为2h ，则121133F EDC C DFE DEC DFE V V S h S h --==⋅=⋅△△,解得5522=h .所以点C 到平面DEF 的距离为552.20．解：(1)由题意，当t a =，且l 经过原点时，l 的方程为by x a=，且点A ，B 关于原点对称．设00( )A x y ，，将b y x a=代入22221x y a b +=，并化简得222a x =，即2202a x =，∴2202b y =．∵||AB =2222004()2()6x y a b +=+=．设C 的另一个焦点为0F ，根据对称性，0||||||||AF BF AF AF +=+=，根据椭圆定义得2a =，∴22a =．∴21b =．所以C 的方程为2212x y +=．(2)由(1)知，点D 坐标为(0 1)，．A B C M E F PD由题意可设l ：(1)4x k y =-+，即4x ky k =+-，将该式代入2212x y +=，并化简得222(2)2(4)8140k y k k y k k ++-+-+=，∴16(47)0k ∆=->．设11()A x y ，，22()B x y ，，则1222(4)2k k y y k -+=-+，21228142k k y y k -+=+．∴12122164()822kx x k y y k k -+=++-=+．∴1212211212121212()1111()1x x x y x y x x k k y y y y y y +-++=+==---++2222212121221212222(814)2(4)1642(4)()()2228142(4)()1122k k k k k kky y k y y x x k k k k k k k y y y y k k -+----+-+-++++=-+--++++++1=-．即12111k k +=-．21．解：(1)由()ln f x x x a =+得0x >，且()ln 1f x x '=+当10e x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1ex >时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以min 11()()()0e ef x f x f a ===-+=极小，∴1e a =．(2)证明：由231()18x g x x x =--+得322231344()144x x g x x x x -+'=-+=（0>x ）．设32()344h x x x =-+，则28()989()9h x x x x x '=-=-，当809x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，当89x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．∴当0x >时，()min 8()()09h x h x h =>≥，即()0g x '>，()g x 在区间(0 )+∞，单调递增．∵(2)0g =，∴若0x >，则当且仅当02x <<时，()0g x <，∵()0g b <，∴2b <．由(1)知，min 11()()e e f x f a ==-．∵7ea ≥，∴min 16()()e e f x f x a =-≥≥．∴6()2ef x b >>≥，即()f x b >．22．解：(1)将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入C 的极坐标方程22cos ρρθ-2sin 20ρθ--=得曲线C 为222220x y x y +---=，即4)1()1(22=-+-y x ．(2)易知点P 在直线l 上，将直线l 的参数方程2cos ()2sin x t t y t θθ=+⎧⎨=+⎩，为参数代入曲线C 方程得4)sin 1()cos 1(22=+++θθt t ，整理得02)cos (sin 22=-++t t θθ．设点A ，B 对应该的参数分别为1t ，2t ，则)cos (sin 221θθ+-=+t t ，0221<-=t t ，由参数t 的几何意义不妨令||||1P A t =,||||2PB t =．∴||||||||||2121t t t t PB P A -=+=+122sin 44)(21221+=-+=θt t t t ．当12sin -=θ，即ππ()4k k θ=-∈Z 时，22|)||(|=+PB P A ．23．(1)解：不等式可化为|1|||22-+>m x x ，∴|1||1|-+>-m x x ，两边同时平方可得222m m mx -<．原不等式解集为{|0}x x <，∴0>m ，即21mx -<．∴021=-m，2=m ．(2)解： )()(b f a f =，∴|1||1|22--=b a ，|1||1|-=-b a ．)1(2)1(||x f x f x -==+，∴)(x f y =关于直线1=x 对称，∴b a <<<10，∴11-=-b a ，即2=+b a ．所以1)1(45)1114(-+-+=-+-+b a a b b a b a ≥9425=+，当且仅当1)1(4-=-b aa b ，即34,32==b a 时取“=”，∴114-+b a 的最小值为9．。
江西省吉安市第三中学2023届高三第一次模拟文科数学试题
一、单选题1. 已知函数在区间的值域为，则（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82. 双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数，在生活中有着广泛的应用，如悬链桥．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论不正确的是（）A．B．C ．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数D ．若点P 在曲线上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则3.已知数列满足，若数列的前项和，对任意不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 已知集合、满足，，若，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 已知函数，，若，不等式恒成立，则正数t 的取值范围是（ ）A．B．C．D．6.平面直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，向量，以下说法正确的是（ ）A．B．C．D．7. 若,则的值为A．B．C．D．8. 已知抛物线E :的准线交y 轴于点M ，过点M 作直线l 交E 于A ，B两点，且，则直线l 的斜率是（ ）A．B．C．D．9.已知，随机变量，的分布列如表所示.123123江西省吉安市第三中学2023届高三第一次模拟文科数学试题二、多选题三、填空题Pc b a 命题：，命题：，则A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假10.设，，，则（ ）A．B．C．D．11. 已知定义在R上的函数在上有且仅有个零点，其图像关于点和直线对称，则下列结论正确的有（ ）A．B．C ．是的一个增区间D．12.如图，在正方体中，点P为线段上的一个动点（不包含端点），则（）A．B ．直线PC 与直线异面C ．存在点P 使得PC与所成的角为60°D ．存在点P 使得PC 与底面ABCD 所成的角为60°13.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ）A ．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点B．若为上的动点，则的最小值为5C ．直线与抛物线相交所得弦长为8D ．抛物线与圆交于两点，则14.双曲线，圆，双曲线与圆有且仅有一个公共点，则取值可以是（ ）A ．2.2B ．2.4C ．2.5D ．2.715. 已知三棱锥的各棱长均为1，且其四个顶点都在球O 的球面上．若过球心О的一个截面如图所示，则该截面中三角形（阴影部分）的面积为______．16. 如图是一容量为的样本的重量频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为_______四、填空题五、解答题六、解答题17.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数的范围是______.18. 若二项式的展开式的各项系数之和为64，则___________，含项的系数为___________.19. 球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A ，B ，C 是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为，，，由这三条劣弧组成的图形称为球面．已知地球半径为R ，北极为点N ，P ，Q 是地球表面上的两点．若P ，Q 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面的面积为__________；若，则球面的面积为__________．20. 已知角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)求值：.21. 已知椭圆C ：（）的离心率为，左顶点A 到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A ），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.22. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若随机变量×服从正态分布N （μ，2），则P （μ-≤X ≤μ+≈0.6827，P （μ-2≤X ≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.158653≈0.004．23. 某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个七、解答题八、解答题九、解答题班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为，求的分布列与数学期望.附：（其中）24. 如图，在几何体中，平面平面，四边形为菱形，且，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.25. 某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏检率时，求临界值和错检率；(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．26. 已知函数.(1)若曲线的一条切线方程为，求的值；(2)若函数在区间上为增函数，求的取值范围；(3)若，无零点，求的取值范围．。
四川省绵阳2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题含解析
绵阳南山高2021级高三（上）一诊模拟考试文科数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，本试卷收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合2{|20}P x x x =-<，{N |1}Q x x =∈≥，则P Q = （）A.{1,2}B.{1}C.{2,3}D.{1,2,3}【答案】B 【解析】【分析】化简集合A ，再根据交集的定义可求得结果.【详解】220x x -<，02x ∴<<，{}02A x x ∴=<<，又{}N 1B x x =∈≥，{}1A B ∴⋂=.故选：B.2.已知向量()()1,,,2a m b m == ，若4a b =，则实数m 等于（）A. B.0C.1D.43【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的计算规则求解.【详解】由题意：41234,3a b m m m m =⨯+⨯==∴= ；故选：D.3.下列函数中，既是奇函数，又在[0,1]上单调递减的是（）A.sin y x =-B.3y x =C.1y x x=+D.||e x y =【答案】A 【解析】【分析】由正弦函数、幂函数、对勾函数性质判断各函数的奇偶性、区间单调性即可.【详解】由sin y x =-定义域为R 且sin()sin x x --=，易知sin y x =-为奇函数，又π[0,1][0,]2⊆，故sin y x =-在[0,1]上递减，A 符合.由3y x =在[0,1]上递增，B 不符合；由1y x x=+定义域为{|0}x x ≠，显然区间[0,1]不满足定义域，C 不符合；由||e x y =定义域为R 且||||e e x x -=，即||e x y =为偶函数，D 不符合；故选：A4.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若25815a a a ++=，则9S =（）A.15B.30C.45D.60【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质求出5a ，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.【详解】由题意得2585315a a a a ++==，所以55a =，所以()199599452a a S a +===.故选：C.5.“0a b <<”是“11a b>”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性定义，结合不等式的推出关系判断题设条件间的关系.【详解】由0a b <<，则11a b>成立，充分性成立；由11a b>，若1,1a b ==-，显然0a b <<不成立，必要性不成立；所以“0a b <<”是“11a b>”的充分不必要条件.故选：A6.已知β是第三象限角，则点()cos ,sin 2Q ββ位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据角所在象限结合二倍角正弦公式即可判断答案.【详解】因为β是第三象限角，故sin 0,cos 0ββ<<，则sin 22sin cos 0βββ=>，故()cos ,sin 2Q ββ在第二象限，故选：B7.执行如图所示的程序框图，若输出的a 的值为17，则输入的最小整数t 的值为（）A.9B.12C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】根据流程框图代数进行计算即可，当进行第四次循环时发现输出的a 值恰好满足题意，然后停止循环求出t 的值.【详解】第一次循环，2213a =⨯-=，3a t =>不成立；第二次循环，2315a =⨯-=，5a t =>不成立；第三次循环，2519a =⨯-=．9a t =>不成立；第四次循环，29117a =⨯-=，17a t =>，成立，所以917t <≤，输入的最小整数t 的值为9．故选：A8.已知命题p ：在ABC 中，若sin sin A B >，则A B >；q ：若0a >，则1(1)(1a a++4≥，则下列命题为真命题的是（）A.p q ∧B.p q∧⌝ C.p q⌝∧ D.p q⌝∧⌝【答案】A 【解析】【分析】根据条件分别判断命题p ，命题q 的真假，然后结合复合命题的真假关系进行判断即可.【详解】命题p ：在ABC 中，若sin sin A B >，由正弦定理得a b >，所以A B >，为真命题，当0a >，对于()111122a a a a ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a =时等号成立，所以命题q ：若0a >，则1(1)(1)a a++4≥，为真命题，所以p q ∧为真命题，p q ∧⌝假命题，p q ⌝∧假命题，p q ⌝∧⌝假命题，故选：A.9.函数y＝2x x e(其中e 为自然对数的底数)的大致图像是()A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】方法一：排除法，根据函数值的特点，排除即可；方法二：根据导数和函数的单调性即可判断.【详解】方法一：排除法：当0x =时，0y =，排除C ，当0x ≠时，0y >恒成立，排除A 、D ，故选B.方法二：222(2)'x x x xx e x e x x y e e⋅-⋅-==，由'0y > ，可得02x <<，令'0y <，可得0x <或2x >，所以函数在(,0),(2,)-∞+∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，所以只有B 符合条件，故选B.【点睛】该题考查的是有关函数图象的识别问题，注意在识别函数图象的过程中，可以从函数的定义域，函数的单调性，函数图象的对称性，函数图象所过的特殊点以及函数值的符号等方面来确定.10.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A 时，放电时间为30h ；当放电电流为50A 时，放电时间为7.5h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.0.82B.1.15C.3.87D.5.5【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得31104λ⎪⎝⎭=⎛⎫，再结合对数式与指数式的互化及对数运算即可求解.【详解】根据题意可得1530507.5C C λλ⎧=⨯⎨=⨯⎩，两式相除可得31104λ⎪⎝⎭=⎛⎫，所以31lg lg 104λ=，可得1lg2lg 220.3014 1.153lg 310.4771lg 10λ--⨯==≈=--⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.11.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A.15[,24B.13[,]24C.1(0,]2D.(0,2]【答案】A 【解析】【详解】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈，∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈，0ω> ，1524ω∴≤≤．故A 正确．考点：三角函数单调性．12.设函数()e x f x x -=-，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，则2a b +的最小值为（）A.12e- B.211e-C.212e -D.212e +【答案】C 【解析】【分析】先设切点写出切线方程，再求2a b +的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.【详解】令()f x 的切点为()000,e xx x --，因为()1e x f x -'=+，所以过切点的切线方程为()()()0000e 1e x xy x x x ----=+-，即()()0001e e 1x xy x x --=+-+，所以()001e e 1xx a b x --⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，所以0002e e 2x x a b x --+=-++，令()e e 2x x g x x --=-++，则()()e e e e 2x x x xg x x x ----'=-+-=-，所以当(),2x ∈-∞时()0g x '<恒成立，此时()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞时()0g x '>恒成立，此时()g x 单调递增，所以()()2min 22e g x g -==-，所以()22min 122e 2e a b -+=-=-，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知π4cos sin 65αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则2πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】45##0.8【解析】【分析】对已知式子利用三角函数恒等变换公式化简变形可得答案.【详解】由π4cos sin 65αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，得ππ4cos cossin sin sin 665ααα+-=，14cos sin 225αα-=，所以2π2π4sincos cos 335αα+=，所以2π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故答案为：4514.等比数列{}n a 中，144a a +=，3612a a +=，则710a a +=___________．【答案】108【解析】【分析】根据等比数列的性质可得23614a a q a a +=+，求得2q ，继而根据471036()a a q a a +=+求得答案.【详解】由题意等比数列{}n a 中，144a a +=，3612a a +=，设等比数列{}n a 的公比为q ，则236141234a a q a a +===+，故471036()912108a a q a a +=+=⨯=，故答案为：10815.如图，在ABC 中，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ()m R ∈，则m 的值为___________．【答案】14【解析】【分析】12AP mAC AB =+改为向量的终点在同一直线上，再利用共线定理的推论即可得到参数m 的方程，解之即可.【详解】因为12AP mAC AB =+ ，2AD DB =即，32AB AD= 所以1324AP mAC AB mAC AD =+=+ ,又,,C P D 三点共线，所以314m +=，解得14m =.故答案为：14.16.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x -=成立，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，有下列命题：①(1)(2)(3)(2019)0f f f f ++++= ；②函数()y f x =图象关于直线5x =-对称；③函数()y f x =在[7,7]-上有5个零点；④函数()y f x =在[5,3]--上为减函数．则以上结论正确的是___________．【答案】①②【解析】【分析】由题意分析()f x 的对称性、单调性、周期性，对结论逐一判断.【详解】根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；由(2)()f x f x -=得()()(11)(11)f x f x --=+-，即(1)(1)f x f x -=+所以1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()()f x f x f x -==--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数，当[]12,0,1x x ∈，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[]0,1上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1,1]-上单调递增；据此分析选项：对于①，(2)()f x f x +=-，则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，()()()()12320195040(1)(2)(3)0f f f f f f f ++++=⨯+++= ，故①正确；对于②，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x =是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，故②正确；对于③，函数()y f x =在[]7,7-上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6，故③错误；对于④，()f x 在区间[1,1]-上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5,3]--上为增函数，故④错误；故答案为：①②．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设{}n a 是公差不为0的等差数列，38a =，1311,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式：（2）设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）31n a n =-（2）364n nS n =+【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，然后根据已知条件列方程可求出1,a d ，从而可求出通项公式，（2）由（1）得13113132n n n b a a n n +==--+，再利用裂项相消法可求得结果.【小问1详解】设{}n a 的公差为d ，因为1311,,a a a 成等比数列，所以23111a a a =⋅又因为38a =，所以()()288288d d =-+，所以230d d -=．因为0d ≠，所以3d =，所以11268a d a +=+=，得12a =，故()23131n a n n =+-=-．【小问2详解】因为()()1331131323132n n n b a a n n n n +===--+-+，所以11111125573132n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ -+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11323264n n n =-=++．18.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+π0,0,||2A ωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到()g x 的图象，求函数()y g x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间．【答案】（1）π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据函数图象求出A =πT =，进而得出ω.根据“五点法”，即可求出ϕ的值；（2）先求出π()23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据已知得出22333x πππ-≤-≤.结合正弦函数的单调性，解ππ2π2233x ≤-≤，即可得出答案.【小问1详解】由图易知A =，5π262π3πT =-=，所以πT =，2π2π2πT ω===．易知π44T =，故函数()f x 的图象经过点π12M ⎛ ⎝，π212ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭．又π2ϕ<，∴π3ϕ=．∴π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由题意，易知πππ()22333g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为02x π≤≤时，所以22333x πππ-≤-≤.解ππ2π2233x ≤-≤可得，5ππ122x ≤≤，此时π()23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，故函数()y g x =的单调递减区间为5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin2B C a A B c ++=．（1）求A ；（2）已知3c =，1b =，边BC 上有一点D 满足3ABD ADC S S = ，求AD ．【答案】（1）π3A =（2）334AD =【分析】（1）根据三角形内角和定理、诱导公式，结合正弦定理、正弦的二倍角公式进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【小问1详解】∵sin()sin2B C a A B c ++=，即sin sin()sin sin 2B C A A B C ++=由正弦定理，有sin sin sin cos 2A A C C =又sin 0C ≠，即有sin cos 2A A =，2sin cos cos 222A A A =，π(0,22A ∈ ，cos 02A ≠，所以1sin 22A =，π26A =，故π3A =．【小问2详解】设BDA α∠=，πADC α∠=-，由（1）知π3A =，在△ABC 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可知21912312BC =+-⨯⨯⨯，∴BC =又3ABD ADC S S = ，可知34BD DC ==，在△ABD 中，2222cos AB BD AD BD AD α=+-⋅⋅，即2639cos 16AD α=+-⋅，在△ACD 中，271cos()16AD πα=+-⋅-，即271cos 162AD AD α=+-⋅，联立解得334AD =.20.已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2）若对[]x 1,2∈-，不等式()2c f x <恒成立，求c 的取值范围.【答案】（1）1,22a b =-=-，单调递增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1c <-或2>c【分析】（1）求出函数导数，由题可得203(1)0f f ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪='⎩'即可求出,a b ；（2）求出()f x 在[1,2]x ∈-的最大值即可建立关系求解.【详解】（1）32()f x x ax bx c =+++ ，∴()232f x x ax b '=++，()f x 在23x =-与1x =时都取得极值，21240393(1)320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=''⎩∴，解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，2()32(32)(1)f x x x x x '∴=--=+-，令()0f x '>可解得23x <-或x 1>；令()0f x '<可解得213x -<<，()f x ∴的单调递增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）[]321()2,1,22f x x x x c x =--+∈-，由（1）可得当23x =-时，22()27f x c =+为极大值，而(2)2f c =+，所以()()max 22f x f c ==+，要使2()f x c <对[1,2]x ∈-恒成立，则22c c >+，解得1c <-或2>c .21.已知函数()1ln f x x a x x=-+，R a ∈．（1）若()f x 在区间()3,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）若0a >，()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【答案】（1）10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得221()0x ax f x x-+'=-≤在()3,+∞上恒成立，转化为1a x x ≤+在()3,+∞上恒成立，构造函数()1h x x x=+，利用导数可求出其最小值，（2）由（1）知：1x ，2x 满足210x ax -+=，121=x x ，不妨设120x x <<，则21x >，则()()12212222ln 21f x f x x a x x x x --=-+--，所以只需证22212ln 0x x x -+<成立，构造函数()12ln g x x x x =-+，利用求出其出其最大值小于零即可.【小问1详解】∵()222111a x ax f x x x x-+'=--+=-，又()f x 在区间()3,+∞上单调递减，∴221()0x ax f x x-+'=-≤在()3,+∞上恒成立，即210x ax -+≥在()3,+∞上恒成立，∴1a x x ≤+在()3,+∞上恒成立；设()1h x x x =+，则()211h x x '=-，当3x >时，()0h x '>，∴()h x 单调递增，∴()()1033h x h >=，∴103a ≤，即实数a 的取值范围是10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】由（1）知：1x ，2x 满足210x ax -+=．∴121=x x ，不妨设120x x <<，则21x >．∴()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=--=-+----，则要证()()12122f x f x a x x -<--，即证2222ln 1x a a x x -<-，即证22212ln x x x <-，也即证22212ln 0x x x -+<成立．设函数()12ln g x x x x =-+，则()()22211210x g x x x x-'=--+=-<，∴()g x 在()0,∞+单调递减，又()10g =．∴当()1,x ∈+∞时，()0g x <，∴22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等式，解（2）问解题的关键是根据题意将问题转化为证22212ln 0x x x -+<成立，构造函数()12ln g x x x x=-+，利用导数求出其最值即可，考查数学转化思想，属于较难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+=.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.【答案】（1）1C ：2213x y +=，2C ：40x y +-=；（2）min PQ =，此时31(,)22P .【解析】【详解】试题分析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα⇒P 到2C 的距离π()sin()2|3d αα==+-⇒当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,22.试题解析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程0(),F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()212f x x x =--+.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()23f x t t ≥-在[]0,1上无解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）[)4,6,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦;（2）3535,22⎛⎛⎫-+-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】【详解】试题分析：（1）将()f x 的表达式以分段函数的形式写出，将原题转化为求不等式组的问题，最后对各个解集求并集得出原不等式的解集；（2）()23f x t t ≥-在[]0,1上无解相当于()2max 3f x t t <-，从而得到关于的一元二次不等式，解得t 的范围.试题解析：（1）由题意得()13,21{31,223,2x x f x x x x x -≥=---≤≤-<-.则原不等式转化为1{233x x ≥-≥或12{2313x x -≤<--≥或2{33x x <--≥.∴原不等式的解集为][4,6,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）由题得()2max 3f x t t <-，由（1）知，()f x 在[]0,1上的最大值为1-，即()2max 13f x t t =-<-，。
高三数学文科模拟考试 (含答案)
高三数学文科模拟考试 (含答案)高三模拟考试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考生作答时，请将答案涂在答题卡上，不要在试题卷和草稿纸上作答。
考试结束后，请将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：请使用2B铅笔在答题卡上涂黑所选答案对应的标号。
第Ⅰ卷共12小题。
1.设集合A={x∈Z|x+1<4}，集合B={2,3,4}，则A∩B的值为A.{2,4}。
B.{2,3}。
C.{3}。
D.空集2.已知x>y，且x+y=2，则下列不等式成立的是A.x1.D.y<-113.已知向量a=(x-1,2)，b=(x,1)，且a∥b，则x的值为A.-1.B.0.C.1.D.24.若___(π/2-θ)=2，则tan2θ的值为A.-3.B.3.C.-3/3.D.3/35.某单位规定，每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费。
某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米。
A.13.B.14.C.15.D.166.已知命题p：“存在实数x使得e^x=1”，命题q：“对于任意实数a和b，如果a-1=b-2，则a-b=-1”，下列命题为真的是A.p。
B.非q。
C.p或q。
D.p且q7.函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当-1≤x≤1时，f(x)=|x|。
若函数y=f(x)的图象与函数y=log_a(x)（a>0且a≠1）的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为A.(4,5)。
B.(4,6)。
C.{5}。
D.{6}8.已知函数f(x)=sin(θx)+3cos(θx)（θ>0），函数y=f(x)的最高点与相邻最低点的距离是17.若将y=f(x)的图象向右平移1个单位得到y=g(x)的图象，则函数y=g(x)图象的一条对称轴方程是A.x=1.B.x=2.C.x=5.D.x=6删除了格式错误的部分，对每段话进行了简单的改写，使其更流畅易懂。
四川省成都市2024届高三上学期一诊模拟考试 数学(文)含答案
成都2023—2024学年度2024届高三（上）一诊模拟试卷数学（文）（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2230A x x x =∈--<Z ，则集合A 的子集个数为（）A.3B.4C.8D.162.已知a 为实数，若复数()()i 12i a +-为纯虚数，则a =（）A.2- B.12-C.12D.23.一组数据共含大小不一的7个数值，其平均数和方差分别为1x 和21s ，若去掉一个最大值和一个最小值，则剩下的数据其平均数和方差分别为2x 和22s ，则一定有（）A.12x x <B.12x x >C.2212s s < D.2212s s >4.与y =有相同定义域的函数是（）A.23y x= B.2y =C.()lg 10x y =D.ln xy e =5.若向量a ，b 满足：1a = ，()a b a +⊥ ，2a b -= ，则b =（）A.2C.106.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（）A.4n ≤B.5n ≤C.6n ≤D.8n ≤7.已知a ，b ，c ∈R ，则“a b ≤”的必要不充分条件可以是（）A.11a b≤ B.ac bc≤ C.22ac bc≤ D.22a b≤8.抛物线C ：22y px =（0p >）的顶点为O ，斜率为1的直线l 过点()2,0p ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，若OAB △的面积为，则该抛物线的准线方程为（）A.1x =-B.2x =-C.2x =-D.x =9.设m ，n 是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）A.若m α⊥，//n β，//αβ，则m n ⊥B.若//n α，n β⊥，则αβ⊥C.若m 、n 是异面直线，m α⊂，//m β，n β⊂，//n α，则//αβ.D.若m n ⊥，m β⊥，则//n β10.已知3παβ-=，tan tan αβ-=()cos αβ+的值为（）A.12B.13C.14-D.16-11.与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线4y x =的法线的纵截距存在，则其最小值为（）A.34 B.1C.1716D.5412.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过F 的直线与圆222x y a +=相切于点Q ，与双曲线的右支交于点P ，若2PQ QF =，则双曲线C 的离心率为（）A.3B.2C.32D.43第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数()()()21f x x x a =+-是偶函数，则a =______.14.若x ，y 满足约束条件320,0,0,x y x y y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值为______.15.半球的表面积与其内最大正方体的表面积之比为______.16.如图，在ABC △所在平面内，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABEF 和正方形BCHG .记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S .已知34S =，且sin sin 4sin sin a A c C a C B +=，则FH =______.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表：一等品二等品合计设备改造前12080200设备改造后15050200合计270130400（1）判断是否有99%的把握，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；（2）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品.现从这5件产品中任选2件，求选出的这2件全是一等品的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.0500.0100.0010k 3.8416.63510.82818.（12分）在等比数列{}n a 和等差数列{}n b 中，1122a b ==，222a b =，3322a b =+.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令2n n n b c a =，记数列{}n c 的前n 项积为n T ，其中11T c =，证明：916n T ≤.19.（12分）如图，平面四边形ABCD 中，//BC AD ，90ADC ∠=︒，120ABC ︒∠=，E 是AD 上的一点，24AB BC DE a ===（0a >），F 是EC 的中点，以EC 为折痕把EDC △折起，使点D 到达点P 的位置，且PC BF ⊥.（1）证明：平面PEC ⊥平面ABCE ；（2）求点C 到平面PAB 的距离.20.（12分）设函数()()sin sin 1cos cos x a F x x a x a λλ-=-+--，其中0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）若1λ=，讨论()F x 在,2a π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性；（2）若12λ≤，证明：当,2x a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，不等式()()0x a F x -<恒成立.21.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点(),D x y 与定点)3,0F的距离和D 到定直线33x =的距离的比是常数32，设动点D 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）已知定点(),0P t ，20t -<<，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，过点P 作斜率大于0的直线l '与曲线C 交于点G ，H ，其中点G 在x 轴上方，点H 在x 轴下方.曲线C 与x 轴负半轴交于点A ，直线AG ，AH 与直线l 分别交于点M ，N ，若A ，O ，M ，N 四点共圆，求t 的值.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，且()0,απ∈，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点()0,1P 恰为线段AB 的三等分点，求sin α.23.（10分）选修4-5：不等式选讲已知()2f x x m =+（m ∈R ）.（1）当0m =时，求不等式()25f x x +-<的解集；（2）对于任意实数x ，不等式()222x f x m --<成立，求m 的取值范围.参考答案（文科）一、单选题：共12道小题，每题5分.共60分.123456789101112CADDBCCADDAB二、填空题：共4道小题，每题5分，共20分.13.1214.1-15.34π16.三、解答题：共5道大题，共70分.17.（12分）解：（1）∵()22400120501508040010.256 6.63520020027013039K ⨯-⨯===>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关.（2）在取出的5件产品中，3件一等品记为a ，b ，c ，2件二等品记为D ，E ，从这5件产品中任选2件的所有情况为ab ，ac ，aD ，aE ，bc ，bD ，bE ，cD ，cE ，DE ，共10种，其中2件全是一等品的情况为ab ，ac ，bc ，共3种，∴选出的2件全是一等品的概率为310.18.（12分）解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d ，由1122a b ==，有12a =，11b =，又由222a b =，有()221q d =+，有1q d =+，又由3322a b =+，有()222122q d =++，有222q d =+，可得22q q =，得2q =或0q =（舍去），1d =，故2nn a =，n b n =；（2）证明：由（1）知：222n n n n b n c a ==，*n ∈N ，则()222111121222n nn n n n n n n c c +++++--=-=当3n ≥时，10n n c c +-<，即345670c c c c c >>>>>⋅⋅⋅>，而112c =，21c =，398c =，41c =，当4n ≥时，有111n n n T c T ++=<，则112T =，212T =，3916T =，456916T T T =>>>⋅⋅⋅，故916n T ≤.19.（12分）解：（1）由//BC AD ，90ADC ∠=︒，2AB BC DE ==，所以平面四边形ABCD 为直角梯形，设24AB BC DE a ===，因为120ABC ︒∠=.所以在Rt CDE △中，CD =，4EC a =，3tan 3DE ECD CD ∠==，则30ECD ∠=︒，又90ADC BCD ︒∠=∠=，所以60BCE ∠=︒，由4EC BC AB a ===，所以BCE △为等边三角形，又F 是EC 的中点，所以BF EC ⊥，又BF PC ⊥，EC ，PC ⊂平面PEC ，EC PC C = ，则有BF ⊥平面PEC ，而BF ⊂平面ABCE ，故平面PEC ⊥平面ABCE .（2）在Rt PEC △中，122PE DE PF EC a ====，取EF 中点O ，所以PO EF ⊥，由（1）可知平面PEC ⊥平面ABCE ，平面PEC 平面ABCE EC =，所以PO ⊥平面ABCE .过O 作OH AB ⊥于H ，连PH ，则由PO ⊥平面ABCE ，AB ⊂平面ABCE ，所以AB PO ⊥，又AB OH ⊥，PO OH O = ，则AB ⊥平面POH ，又PH ⊂平面POH ，所以AB PH ⊥，在Rt POH △中，PO =，OH BF ==，所以PH =，设C 到平面PAB 的距离为d ，由C PAB P ABC V V --=，即1133PAB BEC S d S OP ⨯⨯=⨯⨯△△，即1111443232a a ⨯⨯=⨯⨯⨯.可得5d a ==.20.（12分）解：（1）由1λ=知，()sin sin cos x aF x a x a -=--，()()()()2cos sin sin x x a x a F x x a '---=--，令()()()cos sin sin G x x x a x a =--+-，由()()sin 0G x x x a '=->，知()G x 在,2a π⎛⎫⎪⎝⎭上单增，有()()0G x G a >=，即()0F x '>，亦知()F x 在,2a π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.（2）由12λ≤知，当,2x a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()()()1cos cos sin sin x a F x x a x a x a λλ-=-+---⎡⎤⎣⎦()()()cos cos cos sin sin a x x x a x a λ=-+---⎡⎤⎣⎦()()()1cos cos cos sin sin 2a x x x a x a ⎡⎤≤-+---⎢⎥⎣⎦，令()()()()1cos cos sin sin 2f x a x x a x a =+---，()()()11cos cos sin 22f x a x x a x =---'，()()1cos 02f x x a x =--'<'，知()f x '在,2a π⎛⎫⎪⎝⎭上单减，有()()0f x f a '<='，亦知()f x 在,2a π⎛⎫⎪⎝⎭上单减，有()()0f x f a <=，即()()0x a F x -<.21.（12分）解：（12=，两边平分并化简得2214x y +=，即曲线C 的方程.（2）设点()11,G x y ，()22,H x y .直线GH ：()y k x t =-（0k >）与椭圆C 的方程2214x y +=联立，消去y 得()()22222148440k x k tx k t +-+-=.由韦达定理：2122814k t x x k +=+，221224414k t x x k-⋅=+.由条件，直线AG 的方程为()1122y y x x =++，直线AH 的方程为()2222yy x x =++，于是可得()1122M y t y x +=+，()2222N y t y x +=+.因为A ，O ，M ，N 四点共圆，由相交弦定理可知()()()2M N y y t t -=-+，化简得()()1212222y y tx x t =+++又()11y k x t =-，()22y k x t =-，代入整理得：()()()2212121212242k x x t x x t t x x x x t -++=++++.将韦达定理代入化简得：()224242t t t t -=++，即23t =-.22.（10分）解：【详解】（1）由曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+，可得222cos 2ρρθ+=，又由cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入可得2222x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为2212y x +=.（2）把直线参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨-+⎩（t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程2212y x +=，整理得()221cos 2sin 10t t αα++⋅-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，得1222sin 1cos t t αα+=-+，12211cos t t α⋅=-+，因为点()0,1P 恰为线段AB 的三等分点，不妨设2AP PB =，则122t t =，所以122t t =-，代入1222sin 1cos t t αα+=-+，12211cos t t α⋅=-+，化简得22sin 9α=，又因为()0,απ∈，所以2sin 3α=.23.（10分）解：（1）当0m =时，不等式225x x +-<可转化为：0225x x x <⎧⎨-+-<⎩或02225x x x ≤≤⎧⎨-+<⎩或2225x x x >⎧⎨+-<⎩整理得：01x x <⎧⎨>-⎩或023x x ≤≤⎧⎨<⎩或273x x >⎧⎪⎨<⎪⎩所以不等式的解集为713x x ⎧⎫-<<⎨⎩⎭.（2）因为2222222x x m x x m m --+≤---=+若()222x f x m --<恒成立.只需来解22m m +<即可。
2023届河南省开封市高三第一次模拟考试文科数学试题【含答案】
开封市2023届高三年级第一次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}13A x x =-<<{}1,0,1,2B =-A B = A.B.C.D.{}2{}1,0-{}0,1,2{}1,0,1,2-2. 设命题，，则是（）:p x ∀∈R e 1xx ≥+p ⌝A. ， B. ，x ∀∈R e 1≤+xx x ∀∈R e 1xx <+C ， D. ，x ∃∈R e 1≤+xx x ∃∈R e 1x x <+3. 若是纯虚数，则实数（ ）4i43i a +-=a A. B. C. D. 2-23-34. 已知中，为边上一点，且，则（ ）ABC D BC 13BD BC =AD =A. B. C. D.1233AC AB+ 2133AC AB+1344AC AB+3144AC AB+5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）D.π36. 如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A. 4B. 27. 已知则x ＋2y 的最大值为（）30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩A. 2B. 3C. 5D. 68. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则满足()f x R [)0,∞+的的取值范围是（ ）()()2f x f x <-x A.B.C. D.(),2-∞-()2,-+∞(),1-∞()1,+∞9. 已知数列的前项和，若，则（ ）{}n a n 2n S n =()*5,p q p q +=∈N p q a a +=A. B. C. D. 7891010. 已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则（1F 2F 22:14x C y +=12MF MF ⋅）A. 有最大值4B. 有最大值3C. 有最小值4D. 有最小值311. 如图，在正方体中，点M ，N 分别是，的中点，则下述1111ABCD A B C D -1A D 1D B 结论中正确的个数为（）①∥平面；②平面平面；MN ABCD 1A ND ⊥1D MB ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．MN 11B D 45︒1D B 1A ND 45︒A. 1B. 2C. 3D. 412. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是（）()e x f x a x=-A.B.C.D.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],1-∞(],e -∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知点、、，则______.()1,0A ()2,2B ()0,3C ⋅=AB AC 14 已知函数，则______.()cos f x x x=-512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭15. 3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印3D得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为______cm ．16. 在数列中，，.记是数列的前项和，{}n a 11a =()()*212nn n a a n ++-=∈N n S {}n a n 则______.20S =三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 同时从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为、、（单位：240160160件），工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取件样品进行检测.7（1）求抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；7（2）设抽取的件商品分别用、、、、、、表示，现从中再随机抽取7A B C D E F G 件做进一步检测.2（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设为事件“抽取的件商品来自不同地区”，求事件发生的概率.M 2M 18. 在中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，已知，ABC cossin 2B Ca b A +=．23a b =（1）求的值；cos B （2）若，求．3a =c 19. 如图，△ABC 是正三角形，在等腰梯形ABEF 中，，AB EF ∥.平面ABC ⊥平面ABEF ，M ，N 分别是AF ，CE 的中点，.12AF EF BE AB ===4CE=（1）证明：平面ABC ；//MN （2）求三棱锥N －ABC 的体积.20. 已知函数，.()2sin f x x ax=-a ∈R （1）若是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；()f x （2）当时，求在上的最小值.1a =()()ln g x f x x =-0,2π⎛⎤⎥⎝⎦21. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D 为旋杆上的一点且在M ，N 两点之间，且3MN =.当滑标M 在滑槽EF 内做往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将2ND DM=笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF1C所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆的方程；1C （2）以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l 与圆相切，且与椭圆交于A ，B 两1C 2C 2C 1C 点，记△OAB 的面积为S ，若，求直线l 的斜率.S =（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线xOy C 222x pt y pt =⎧⎨=⎩t ()2,4上一点的坐标．C （1）将曲线的参数方程化为普通方程；C （2）过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A ，B ，以直线的斜率O C OA 为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．k AB M [选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数．()21f x x a x =++-（1）当时，求的最小值；1a =()f x （2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：0a >0b >[]1,2x ∈()21f x x b >-+．2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭开封市2023届高三年级第一次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}13A x x =-<<{}1,0,1,2B =-A B = A.B.C.D.{}2{}1,0-{}0,1,2{}1,0,1,2-【答案】C 【解析】【分析】根据交集的定义计算即可.【详解】由题知，，{}13A x x =-<<{}1,0,1,2B =-由交集的定义得，，A B = {}0,1,2故选：C.2. 设命题，，则是（）:p x ∀∈R e 1xx ≥+p ⌝A. ， B. ，x ∀∈R e 1≤+xx x ∀∈R e 1xx <+C. ， D. ，x ∃∈R e 1≤+xx x ∃∈R e 1x x <+【答案】D 【解析】【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后再动，原题让我们选择一个全称命题的否定，任意和存在是一对，要注意互相变化，大于等于的否定是小于.【详解】，的否定是，.x ∀∈R e 1xx ≥+x ∃∈R e 1xx <+故选：D3. 若是纯虚数，则实数（ ）4i43i a +-=aA. B. C. D. 2-23-3【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，根据纯虚数的概念可得出关于实数的等式与4i43i a +-a 不等式，即可得解.【详解】为纯虚数，则，解得()()()()4i 43i 4i 412316i 43i 43i 43i 2525a a a a +++-+==+--+41203160a a -=⎧⎨+≠⎩.3a =故选：D.4. 已知中，为边上一点，且，则（ ）ABC D BC 13BD BC =AD =A. B. C. D.1233AC AB+ 2133AC AB+1344AC AB+3144AC AB +【答案】A 【解析】【分析】利用向量的线性运算即可求得.【详解】在中，.ABC BC AC AB=-因为，所以.13BD BC =()1133B AC ABD BC ==- 所以.()112333AD AB BD AB A A C AB C AB=++-==+故选：A5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）D. π3【答案】B 【解析】【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．【详解】设圆锥母线长为，高为，底面半径为，l h 1r =则由得，所以，2π1πl ⨯=2l=h ==所以．2211ππ133V r h ==⨯=故选：B ．6. 如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A. 4B. 2【答案】B 【解析】【分析】由平均数相等求出，再求方差.m 【详解】由可得，80290392180290329189055m ⨯+⨯++++⨯+⨯++++==，即甲同学成绩的方差为8m =()22221211225+++=故选：B7. 已知则x ＋2y 的最大值为（）30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩A 2B. 3C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可．【详解】作出可行域如图：由可得：，2z x y =+122z y x =-+平移直线经过点时，有最大值，12y x=-A z 由解得，3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩(1,2)A ．max 145z =+=故选：C 8. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则满足()f x R [)0,∞+的的取值范围是（ ）()()2f x f x <-x A.B.C. D.(),2-∞-()2,-+∞(),1-∞()1,+∞【答案】D 【解析】【分析】利用的奇偶性、单调性可得，再解不等式可得答案.()f x 2x x-<【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，()f x R ()()f x f x -=又在上单调递减，所以在上单调递增，()f x [)0,∞+(),0∞-若，则，解得.()()2f x f x <-2x x-<1x >故选：D.9. 已知数列的前项和，若，则（ ）{}n a n 2n S n =()*5,p q p q +=∈N p q a a +=A. B. C. D. 78910【答案】B 【解析】【分析】利用与的关系可求得的通项公式，进而可求得的值.n a n S {}n a p q a a +【详解】当时，；1n =21111a S ===当时，.2n ≥()221121n n n a S S n n n -=-=--=-也满足，故对任意的，，11a =21n a n =-N n *∈21n a n =-因此，.()222528p q a a p q +=+-=⨯-=故选：B.10. 已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则（1F 2F 22:14x C y +=12MF MF ⋅）A. 有最大值4B. 有最大值3C. 有最小值4D.有最小值3【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆方程求得，，2a =1b =c =，设，所以，利用对应函数单124MF MF +=1MF t=()21244MF MF t t t t⋅=-=-+调性即可求解．【详解】由椭圆可得，，，所以，，2214x y +=24a =21b =23c =2a =1b =c =因为点在上，所以，M C 1224MF MF a +==设，，即，则1MF t=[],t a c a c ∈-+22t ⎡∈⎣24MF t =-所以，()21244MF MF t t t t⋅=-=-+由对应函数单调性可知，2124MF MF t t⋅=-+当时，有最大值，最大值为2t =2124MF MF t t ⋅=-+4即时，最大值为，122MF MF ==12MF MF ⋅4当时，有最小值，最小值为2t =2124MF MF t t⋅=-+((22421-+=即，时，最小值为，12MF =22MF =+12MF MF ⋅1综上所述：最小值为，最大值为12MF MF ⋅14故选：A ．11. 如图，在正方体中，点M ，N 分别是，的中点，则下述1111ABCD A B C D -1A D 1D B 结论中正确的个数为（）①∥平面；②平面平面；MN ABCD 1A ND ⊥1D MB ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．MN 11B D 45︒1D B 1A ND 45︒A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，2，111(0,0,0),(2,0,2),(2,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,1),(1,1,1)D A B D B M N 由正方体的性质可知：平面，则平面的法向量为，1D D ⊥ABCD ABCD 1(0,0,2)DD =，因为，所以，而平面，(0,1,0)MN =10D D MN ⋅= 1D D MN ⊥ MN ⊄ABCD 因此∥平面，故①对；MN ABCD 设平面的法向量为，，，1A ND (,,)m x y z = (1,1,1)DN =1(2,0,2)DA = 所以有，1100(1,0,1)2200m DN m DN x y z m x z m DA m DA ⎧⎧⊥⋅=++=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩ 同理可求出平面的法向量，1D MB (1,0,1)n =因为，所以，因此平面平面，故②正确；110m n ⋅=-= m n ⊥1A ND ⊥1D MB 因为，，(0,1,0)MN =11(2,2,0)B D =-- 所以，111111cos ,MN B D MN B D MN B D ⋅〈〉===⋅因为异面直线所成的角范围为，所以直线与所成的角为，故③正确；(0,90]MN 11B D 45︒设直线与平面所成的角为，1D B 1A ND θ因为，平面的法向量为，1(2,2,2)D B =- 1A ND (1,0,1)m =-所以，111sin cos ,D B m D B m D B mθ⋅=〈〉===≠⋅所以直线与平面所成的角不是，因此④错误，1D B 1A ND 45︒一共有个结论正确，3故选：C12. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是（）()e x f x a x=-A.B.C.D.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],1-∞(],e -∞【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出关于和的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点.0x a 【详解】题意得若函数为不动点函数，则满足()e x f x a x=-，即，即()0000e xf x a x x -==00e 2x a x =02e x x a =设，()2e xx g x =()()22e 2e 22e e x xxx x xg x --'==令，解得()0g x '=1x =当时，，所以在上为增函数(),1x ∈-∞()0g x '>()g x (),1-∞当时，，所以在上为减函数()1,x ∈+∞()0g x '<()g x ()1,+∞所以()max 2(1)eg x g ==当时，(),0x ∞∈-()0g x <当时，()0,x ∞∈+()0g x >所以的图象为：()g x要想成立，则与有交点，所以，002e x x a =y a =()g x ()max2e a g x ≤=对应区间为2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知点、、，则______.()1,0A ()2,2B ()0,3C ⋅=AB AC 【答案】5【解析】【分析】计算出向量、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得AB AC的值.AB AC ⋅【详解】由题意可得，，因此，.()1,2AB =()1,3AC =-1235AB AC ⋅=-+⨯=故答案为：.514. 已知函数，则______.()cos f x x x=-512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化简，再代入计算可得.【详解】∵函数，()1πcos 2cos 2sin 26f x x x x x x ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭即，()2sin()6f x x π=-∴.5π5πππ()2sin()2sin 121264f =-==.15. 3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印3D得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为______cm．【答案】【解析】【分析】由已知，根据题意，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面x y 直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出之间的关系，由题意底直径为,a b 6cm ，所以双曲线过点，下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点，()3,m 9,92m ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径.【详解】由已知，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，x y 设双曲线方程为，()222210,0x y a b a b -=>>由已知可得，，且，ce a ==222c a b =+所以，所以双曲线方程为，224a b =222214x y a a -=底直径为6cm ，所以双曲线过点，()3,m 下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点，代入双曲线方程得：9,92m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得：，()222222914819414m a a m a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩2m a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以喉部（最细处）的直径为故答案为：16. 在数列中，，.记是数列的前项和，{}n a 11a =()()*212nn n a a n ++-=∈N n S {}n a n 则______.20S =【答案】110【解析】【分析】对为奇数、为偶数两种情况讨论，求出数列前项中奇数项和偶数项n n {}n a 20的和，相加可得出的值.20S【详解】当为奇数时，，所以，数列的奇数项成以为首项，公差为n 22n n a a +-={}n a 1的等差数列，2所以，；132010921011002a a a ⨯⨯+++=⨯+= 当为偶数时，，n 22n n a a ++=所以，.()()()2420246818202510a a a a a a a a a +++=++++++=⨯= 因此，.2010010110S =+=故答案为：.110三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 同时从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为、、（单位：240160160件），工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取件样品进行检测.7（1）求抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；7（2）设抽取的件商品分别用、、、、、、表示，现从中再随机抽取7A B C D E F G 件做进一步检测.2（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设为事件“抽取的件商品来自不同地区”，求事件发生的概率.M 2M 【答案】（1）分别为件、件、件322（2）（i ）答案见解析；（ii ）1621【解析】【分析】（1）利用分层抽样可计算得出所抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数7量；（2）（i ）利用列举法可列举出所有的基本事件；（ii ）列举出事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得的值.M ()P M【小问1详解】解：由已知，从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量之比为，3:2:2由于采用分层抽样的方法从中抽取件商品，7因此应从甲、乙、丙三个不同地区进口的某种商品中分别抽取件、件、3737⨯=2727⨯=件.2727⨯=【小问2详解】解：（i ）从抽取的件商品中随机抽取件商品的所有可能结果为：、、、72AB AC AD 、、、、、、、、、、、、、AE AF AG BC BD BE BF BG CD CE CF CG DE 、、、、；DF DG EF EG FG （ii ）不妨设抽取的件商品中，来自甲地区的是、、，来自乙地区的是、，7A B C D E 来自丙地区的是、，F G 则从抽取的件商品中随机抽取的件商品来自相同地区的所有可能结果为：、72AD 、、、、、、、、、、、、、AE AF AG BD BE BF BG CD CE CF CG DF DG 、，共种，EF EG 16所有的基本事件共种，故.21()1621P M =18. 在中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，已知，ABC cossin 2B Ca b A +=．23a b =（1）求的值；cos B （2）若，求．3a =c 【答案】（1）3cos 4B =（2）52c =【解析】【分析】（1）先由三角形内角和的关系将代换，再由正弦定理将边化角，求得cos2B C+角A ，B 的关系，解出的值；cos B （2）由第一问求得的的值，根据余弦定理公式展开列方程求解即可.cos B c 【小问1详解】因为，A B C π++=所以，222B C Aπ+=-得，cossin 22B C A+=因为，cossin 2B Ca b A +=由正弦定理，可得，sin sinsin sin 2AA B A ⋅=⋅又，所以，sin 0A ≠sinsin 2AB =又因为A ，B 均为三角形内角，所以，即，2AB =2A B =又因为，即，23a b =2sin 3sin A B =即，4sin cos 3sin B B B =又，得；sin 0B ≠3cos 4B =【小问2详解】若，则，3a =2b =由（1）知，3cos 4B =由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即，29502c c -+=()5202c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭所以或，2c =52当时，，则，即为等腰直角三角形，2c =b c =22A B C ==ABC 又因为，此时不满足题意，所以．a ≠52c =19. 如图，△ABC 是正三角形，在等腰梯形ABEF 中，，AB EF ∥.平面ABC ⊥平面ABEF ，M ，N 分别是AF ，CE 的中点，.12AF EF BE AB===4CE =（1）证明：平面ABC ；//MN （2）求三棱锥N －ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）2【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，证明平面平面，原题即CF D DM DN //MND ABC 得证；（2）取AB 的中点O ，连接OC ，OE ，设，由勾股定理即可12AF EF EB AB a ====求出，进而可求解三棱锥N －ABC 的体积.a 【小问1详解】取CF 的中点D ，连接DM ，DN ，∵M ，N 分别是AF ，CE 的中点，∴，，DM AC ∥DN EF ∥又∵平面ABC ，平面ABC ，∴平面ABC .DM ⊄AC ⊂DM ∥又，∴，同理可得， 平面ABC .EF AB ∥DN AB ∥DN ∥∵平面MND ，平面MND ，，DM⊂DN ⊂DM DN D = ∴平面平面ABC .MND ∥∵平面MND ，∴平面ABC .MN ⊂//MN 【小问2详解】取AB 的中点O ，连接OC ，OE .由已知得OA EF 且OA =EF ，∴OAFE 是平行四边形，∴OE AF 且OE =AF ∥∥∵△ABC 是正三角形，∴OC ⊥AB ，∵平面ABC ⊥平面ABEF ，平面平面ABEF ＝AB ，∴OC ⊥平面ABEF ，ABC ⋂又平面ABEF ，∴OC ⊥OE .OE ⊂设，，12AF EF EB AB a ====OC =在Rt △COE 中，由，解得，即.222OC OE CE +=2a =122AF EF EB AB ====由题意∠FAB ＝60°，M 到AB 的距离即为M 到平面ABC的距离sin 60h AM =︒=又平面ABC ，∴.//MN 11142332N ABC M ABC ABC V V S h --==⋅⋅=⨯⨯⨯=△20. 已知函数，.()2sin f x x ax=-a ∈R （1）若是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；()f x（2）当时，求在上的最小值.1a =()()ln g x f x x =-0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】（1）(],2-∞-（2）2ln 22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由已知可得：即可求解.()2cos 0f x x a '=-≥（2）结合导数和隐零点替换即可求解最值.【小问1详解】由已知可得：恒成立，()2cos 0f x x a '=-≥即恒成立，又的最小值为-2，所以，2cos a x ≤2cos y x =2a ≤-则有.(],2a ∈-∞-【小问2详解】当时，，1a =()()ln 2sin ln g x f x x x x x=-=--()0,x ∈+∞所以，()12cos 1g x x x '=--令，在上单调递减，()()h x g x '=()212sin h x x x '=-+0,2π⎛⎤⎥⎝⎦又因为，，26106h ππ⎛⎫⎛⎫'=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12sin112sin 106h π'=-+<-+=所以存在使得，即，从而0,16x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '=02012sin x x =0cos x =则有x()00,x 0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭()h x '正负()g x '递增递减则有最大值为：()g x '，()00000011112cos 11110g x x x x x x '=--=--<-=-<所以，()0g x '<则在上单调递减，所以最小值为.()g x 0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦2ln 222g πππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D 为旋杆上的一点且在M ，N 两点之间，且3MN =.当滑标M 在滑槽EF 内做往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将2ND DM=笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设EF 与GH交于点O ，以EF 1C 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆的方程；1C （2）以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l 与圆相切，且与椭圆交于A ，B 两1C 2C 2C 1C点，记△OAB 的面积为S ，若，求直线l 的斜率.S =【答案】（1）2214x y +=（2）k =k =【解析】【分析】（1）由，，即可得到椭圆的长半轴长和短半轴长，进而可求解.2ND =1DM =（2）分类讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时不满足题意，故设，l :l y kx m =+联立方程，表达出即可求解.S =【小问1详解】由题意可得，，2ND =1DM =所以椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，所以椭圆的方程为：.1C 1C 2214x y +=【小问2详解】若直线l 的斜率不存在，依题意，，带入方程可得，:1lx =±1C AB=此时，所以直线l 的斜率一定存在，设，S =≠:l y kx m =+l 与圆，即，2C 1=221m k =+联立可得，221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222148440k x kmx m +++-=由得，()()222264161410k m k m ∆=-+->0k ≠，，122814kmx x k -+=+()21224114mx x k -=+2AB x =-===，由得，即，解得S =AB ==4251120k k -+=k =k =（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线xOy C 222x pt y pt =⎧⎨=⎩t ()2,4上一点的坐标．C （1）将曲线的参数方程化为普通方程；C （2）过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A ，B ，以直线的斜率O C OA 为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．k AB M 【答案】（1）2x y =（2）221x y =-【解析】【分析】（1）根据曲线的参数方程为（为参数），消去参数求解；C 222x pty pt =⎧⎨=⎩t t （2）设的斜率为，方程为，则的方程为：，分别与抛物线方OA k y kx =OB 1=-y xk 程联立，求得A ，B 的坐标，再利用中点坐标求解.【小问1详解】解：因为曲线的参数方程为（为参数），C 222x pt y pt =⎧⎨=⎩t 消去参数可得：，将点代入可得，t 22x py =()2,412p =所以曲线的普通方程为：；C 2x y =【小问2详解】由已知得：，的斜率存在且不为0，OA OB设的斜率为，方程为，则的方程为：，OA k y kx =OB 1=-y x k 联立方程可得：，2,,y kx x y =⎧⎨=⎩()2,A k k 同理可得：，211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭设，所以(),M x y 2211,211,2x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩所以，22214222x k y k =+-=-所以即为点轨迹的普通方程．221x y =-M [选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数．()21f x x a x =++-（1）当时，求的最小值；1a =()f x （2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：0a >0b >[]1,2x ∈()21f x x b >-+．2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）2； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分段求解的最小值和范围，即可求得结果；()f x （2）转化为，结合二次函数在区间上的最值，利用()21f x x b >-+233a b x x +>-+不等式，即可证明.【小问1详解】当时，，1a =()121f x x x =++-当，，；1x ≤-()31f x x =-+()min ()14f x f =-=当，，；11x -<<()3f x x =-+()()2,4f x ∈当，，；1x ≥()31f x x =-()min ()12f x f ==∴当时，的最小值为2．1a =()f x 【小问2详解】，，当时，0a >0b >12x ≤≤可化为，2211x a x x b ++->-+233a b x x +>-+令，，，∴()233h x x x =-+[]1,2x ∈()()()max 121h x h h ===1a b +>∴，22222111()122222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=++++≥+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时取得等号；a b =又当时，，1a b +>2()122a b a b ++++2>故.2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
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北京市崇文区高三第一次模拟考试文科数学试卷
第一卷（选择题，共40分）
一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知向量a ＝（－5，3），b ＝（2，x ），且a//b ，则x 的值是
A. 6
5
B.
103
C. -65
D. -
103
2. 椭圆x y 2
2
4
1+=的准线方程是 A. x =±
43
3
B. y =±
43
3
C. y =±4
D. x =±4
3. 已知直线m 、n 及平面α、β，则下列命题正确的是 A.
m n //////αβαβ⎫
⎬⎭
⇒ B.
m m n n //////αα⎫
⎬⎭
⇒ C.
m m ⊥⊥⎫
⎬⎭
⇒ααββ//
D.
m n m n ⊥⎫
⎬⎭
⇒⊥αα// 4. 已知集合A x x x =-=-{|()}332，B x x x =-=-{|}33，p x A ：∈，q x B ：∈，则p 是q 的
A. 充分条件，但不是必要条件
B. 必要条件，但不是充要条件
C. 充分必要条件
D. 既不是充分条件，也不是必要条件 5. 方程x ＝sinx 在x ∈-[]ππ，上实根的个数为 A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 已知θ是第二象限角，sin θ=45，则tan()θπ
-4
的值为 A. 7
B. -7
C.
1
7 D. -17
7. 等差数列{}a n 中，已知a a a S n 1281
2
5105=+==，，，则n 为 A. 20
B. 21
C. 210
D. 218
8. 已知函数f x ()是R 上的减函数，A （0，－2）、B （－3，2）是其图象上的
两点，则y f x y =-->|()|()220的图象可能是
A
B
C
D
第二卷（共110分）
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把答案填在题中横线上。
9. 若x y x y ≥≥+≤⎧⎨⎪
⎩
⎪1
26，则目标函数z x y =+2的最小值为_____________
10. 函数f x x x x x R ()cos (sin cos )()=-+∈222取得最大值时，自变量x 的集合是_____________
11. 小明上楼梯每步可以登一级或两级台阶，若小明上有四级台阶的楼梯，则有_____________种不同的走法。
12. 若()127+x 展开式的第三项为168，则x ＝_____________
13. 已知x R ∈，［x ］表示不大于x 的最大整数，如[]π=3，[]-=-121，[]1
2
0=，
则[]-=3_____________；使[]x -=13成立的x 的取值范围是_____________
14. 双曲线
x y 22
916
1-=的左、右焦点为F 1、F 2，则左焦点F 1到渐进线的距离为_____________，若双曲线上一点P 使得∠F PF 12为锐角，则P 点横坐标的取值范
围是_____________。
三. 解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题共12分
已知一次函数f x ax ()=-2
（I ）当a =3时，解不等式|()|f x <4； （II ）当函数g x f x x ()(sin )()
=-≤≤
26
3
π
π
的最大值为4，求实数a 的值。
16. （本小题共14分）
如图，直三棱柱ABC －A’B’C’中，CB ⊥平面ABB’A’，点E 是棱BC 的中点，AB ＝BC ＝AA’
（I ）求证直线CA’//平面AB’E； （II ）求二面角C －A’B’－B 的大小；
（III ）求直线CA’与平面BB’C’C 所成角的大小。
17. （本小题共13分） 已知数列{}a n 满足
a a n n n N n n n -=+-∈>11
1
1()*，，a 12= （I ）求证：数列{}a n 的通项公式为a n n n =+()1 （II ）求数列{
}1
a n
的前n 项和T n ； （III ）是否存在无限集合M ，使得当n M ∈时，总有||T n -<11
10
成立。
若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由。
18. （本小题共13分）
某足球赛事中甲乙两中球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜
利决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队，进入点球大战。
现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都踢一球，假设在点球大战中双方每
名运动员进球概率均为3
4。
求：
（I ）乙队踢进4个球的概率有多大？
（II ）5个点球过后是4：4或5：5平局的概率有多大？ 19. （本小题共14分）
已知f x ax x cx ()=++32是定义在R 上的函数，f x ()在［－1，0］和［4，5］上是减函数，在［0，2］上是增函数。
（I ）求c 的值； （II ）求a 的取值范围；
（III ）在函数f x ()的图象上是否存在一点M （x 0，y 0），使得曲线y f x =()在点M 处的切线的斜率为3，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。
20. （本小题共14分）
过抛物线x px p 220=>()的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点
（I ）证明：∆ABO 是钝角三角形； （II ）求∆ABO 面积的最小值；
（III ）过A 点作抛物线的切线交y 轴于点C ，求线段AC 中点M 的轨迹方程。