2017河南中考数学第22题类比探索题

2017中考第22题类比探索题专题（一）

例1.（1）问题发现

如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE

填空：（1）∠AEB

的度数为

；（2）线段BE 之间的数量关系是 。

（2）拓展探究

如图2，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE 。请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由。

（3）解决问题

如图3，在正方形ABCD 中，CD=2。若点P 满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A 到BP 的距离。

例2.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，

∠B =∠E =30°. （1）操作发现

如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是_________；

②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是_________________. （2）猜想论证

当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC

中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想.

（3）拓展探究

已知∠ABC =60°，点D 是其角平分线上一点，BD =CD =4，DE //AB 交BC 于点E （如图4）.

A (D )

B (E )

C

图1

A

C

B

D

E 图2

M 图3

A

B C

D

N E D

B A

图4

专题训练

1.等腰△PAB中, ∠PAB=900,点C是AB上一点(与A、B不重合),连接PC,将线段PC绕点C顺时针旋转900,

得到线段DC,连接P D、BD.探究∠PBD的度数,以及线段AB及B D、BC的数量关系.

⑴尝试探究：如图点C在线段AB上,可通过证明△PAC∽△PBD,得出结论：∠PBD= ；AB= (不需要证明)

⑵类比探索：点C在直线AB上,且在点B右侧,还能得出与⑴相同的结论吗?请写出你得出的结论并证明;

⑶拓展迁移: 点C在直线AB上,且在点A左侧,请补充完成图形,并直接写出得到的结论.

2.如图①,正方形AEFG的边长为1,正方形ABCD的边长为3,且点F在AD上.

⑴求△DBF的面积;

⑵把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450,得到图②,求图②中的△DBF的面积;

⑶把正方形AEFG绕点A旋转一周,在旋转过程中, △DBF存在最大值与最小值,请直接写出最大

值,最小值

3.【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．

【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论

∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．

【拓展延伸】（3）在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

4.某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：DP=DQ；

（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；

（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积．

5.已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；

（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；

（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

（第25题图）

图3

图2

图1

F

E

P

C

B

D

A

F

E

P

D

C

B

A

F

E

P

D

C

B

A

6.有一副直角三角板，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF 中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副

直角三角板按如图1所示位置摆放，点B 与点F 重合，直角边BA 与FD 在同一条直线上．现固定三角板ABC ，将三角板DEF 沿射线BA 方向平行移动，当点F 运动到点A 时停止运动．

（1）如图2，当三角板DEF 运动到点D 到点A 重合时，设EF 与BC 交于点M ，则∠EMC= 度； （2）如图3，当三角板DEF 运动过程中，当EF 经过点C 时，求FC 的长；

（3）在三角板DEF 运动过程中，设BF=x ，两块三角板重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式，并求出对应的x 取值范围．

7.已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ． （1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证

CD

AD

CF DE =

； （2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得CD

AD

CF DE =

成立？并证明你的结论；

（3）如图③，若BA =BC =6，DA =DC =8，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出CF

DE

的值．

8.如图，矩形ABCD 中，∠ACB =o

30，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC ,BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，三角板的两直角边分别于边AB ,BC 所在的直线交于E ,F . (1)当PE ⊥AB ,PF ⊥BC 时，如图1，则

PE

PF

的值为 . (2)现将三角板绕点P 逆时针旋转α（o

o

060α<<）角，如图2，求

PE

PF

的值； (3)在（2）的基础上继续旋转，当o

o

6090α<<，且使AP :PC =1：2时，如图3，PE

PF

的值是否变化？证明你的结论.

E F G

A

B

C

D

第24题图①

第24题图②

A

B

C

D

F G

E

第24题图③

A

B

C

D

F G

E