第四章 正弦稳态相量分析(2)
课件-第4章 正弦稳态电路分析--例题
第4章 正弦稳态电路分析--例题√【例4.1】已知两个同频正弦电流分别为()A 3314cos 2101π+=t i ，()A 65314cos 2222π-=t i 。
求（1）21i i +；（2）dt di 1；（3）⎰dt i 2。
【解】 （1）设()i t I i i i ψω+=+=cos 221，其相量为i I I ψ∠=∙（待求），可得：()()()()A54.170314cos 224.14A54.17014.24A 34.205.14 A1105.19A j8.665 A15022A 601021︒-=︒-∠=--=--++=︒-∠+︒∠=+=∙∙t i j j I I I（2）求dtdi 1可直接用时域形式求解，也可以用相量求解()()︒+︒+=︒+⨯-=9060314cos 23140 60314sin 3142101t t dt di用相量形式求解，设dt di 1的相量为K K ψ∠，则有 )9060(31406010314K 1K ︒+︒∠=︒∠⨯==∠∙j I j ωψ两者结果相同。
（3）⎰dt i 2的相量为︒∠=︒∠︒-∠=∙12007.0903********ωj I【例4.2】 图4-9所示电路中的仪表为交流电流表，其仪表所指示的读数为电流的有效值，其中电流表A 1的读数为5 A ，电流表A 2的读数为20 A ，电流表A 3的读数为25 A 。
求电流表A 和A 4的读数。
图4-9 例4.2图【解】 图中各交流电流表的读数就是仪表所在支路的电流相量的模（有效值）。
显然，如果选择并联支路的电压相量为参考相量，即令V 0︒∠=∙S S U U ，根据元件的VCR 就能很方便地确定这些并联支路中电流的相量。
它们分别为：A 25 ,A 20 ,A 05321j I j I I =-=︒∠= 根据KCL ，有：()A095A 5A 457.07A 55324321︒∠==+=︒∠=+=++=j I I I j I I I I 所求电流表的读数为：表A ：7.07 A ；表A 4：5 A【例4.3】 RLC 串联电路如图4-12所示，其中R ＝15Ω，L ＝12mH ，C ＝5μF ，端电压u ＝1002cos （5000t ）V 。
电路分析基础第4章 相量法(2h)
Im
U 2
U
U 1
41.9
60 30
Re
U
Im
U 2
首
U 1
60 尾
41.9
相 接
30
Re
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第4章 正弦稳态电路分析
4.3 基尔霍夫定律的相量形式和基本
元件伏安关系的相量形式
一. 电阻 i(t)
+
uR(t) R -
•
I
+
•
UR
R
-
相量模型
已知 i(t) 2I cos(wt y i )
设 i(t)=Imcos(w t+ )
I
1 T
T 0
I
2 m
cos2
(
wt
Ψ
) dt
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
cos2 ( wt Ψ ) 1 cos2(wt Ψ )
2
I 0.707Im Im 2I
i(t) Im cos(wt Ψ ) 2I cos(wt Ψ )
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u2 (t) 4 2cos(314t 60o ) V
U1 630o V U 2 460o V
U U1 U 2 630 460 5.19 j3 2 j3.46
7.19 j6.46 9.6441.9o V
u(t) u1(t) u2 (t) 9.64 2cos(314 t 41.9o ) V
dt
C 相量形式：
•
U Uy u
•
IC
wCUy u
π 2
1 相量关系：
正弦稳态交流电路相量的研究（单相交流电路实验）[详细讲解]
![正弦稳态交流电路相量的研究（单相交流电路实验）[详细讲解]](https://img.taocdn.com/s3/m/c427b8dbdb38376baf1ffc4ffe4733687e21fc0e.png)
正弦稳态交流电路相量的研究（单相交流电路实验）一、实验目的1.研究正弦稳态交流电路中电压、电流相量之间的关系2.掌握日光灯线路的接线。
3.理解改善电路功率因数的意义并掌握其方法。
二、原理说明1.在单相正弦交流电路中,用交流电流表则得各支中的电流值,用交流电压表测得回路各元件两端的电压值,它们之间的关系满足相量形式的基尔霍夫定律,即i =∑0 和U =∑2.如图13-1 所示的RC 串联电路,在正弦稳态信号 U 的激励下,R U 与 U C 保持有90°的相位差,即当阻值Ｒ改变时, U R 的相量轨迹是一个半圆, U 、 U C 与 U R三者形成一个直角形的电压三角形。
Ｒ值改变时,可改变φ角的大小,从而达到移相的目的。
图 13-13.日光灯线路如图13-2 所示,图中Ａ是日光灯管,Ｌ是镇流器,Ｓ是启辉器,Ｃ是补偿电容器,用以改善电路的功率因数（cos φ值）。
图 13-2有关日光灯的工作原理请自行翻阅有关资料。
三、实验设备四、实验内容(1)用两只15W /220V的白炽灯泡和4.7µf/450V电容器组成加图13-1所示的实验电路,经指导老师检查后，接通市电220V电源，将自藕调压器输出调至220V。
记录U、U R、U C 值,验证电压三角形关系。
(2)日光灯线路接线与测量图13-3按图13-3组成线路,经指导教师检查后按下闭合按钮开关,调节自耦调压器的输出,使其输出电压缓慢增大,直到日光灯刚启辉点亮为止,记下三表的指示值。
然后将电压调至220Ｖ,,,等值,验证电压、电流相量关系。
测量功率Ｐ,电流Ｉ,电压U UUL A(3)并联电路——电路功率因数的改善按图13-4组成实验线路图13-4经指导老师检查后,按下绿色按钮开关调节自耦调压器的输出调至220V,记录功率表,电压表读数,通过一只电流表和三个电流取样插座分别测得三条支路的电流,改变电容值,进行三次重复测量。
五、实验注意事项1.本实验用交流市电220V，务必注意用电和人身安全。
电路相量法和正弦稳态电路的分析
故
图 (c):以 电 感 与 电 容 的 并 联 电 压 为 参 考 相 量
I2.82A 8
U C 3 0 1 A 3 0 0 V I I C I L j - 2 j = - j A , U U R U C 4 0 j + 3 0 = 5 0 5 3 . 1 V
6.2 正弦量的相量表示法
2、正弦量的相量表示
i(t) Im c(o t si)2 Ic ( to s i)
Re
2
Ie
j(t
i
)
Re
2
Ie
ji
e
jt
Re
2
I
e
jt
Re I m
e
jt
其中：
UjLI jXLI
感抗： XL L 有效值： U LI 相位： u i 90
U j
u
I
i
I
j L
t
U
O
1
i O
电压超前于电流 90°
u
6.3 正弦稳态电路的相量模型
例题 电路中已标明电压表和电流表的读数，试求电压 u 和电流 i 的有效值。
60V
6.3 正弦稳态电路的相量模型
例题 已L=知3如H，图所C示=5电路1中0-3Fi S 。 试0 . 求2 c 电o （ s 压 ut R 、4 u5 L） A 和,u C 1 0 r 。a d / s , R 2 0 ,
R
根据
iS +
uR –
C
第四章正弦稳态电路分析
30
0
+1
Chapter 4
4-3 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
i4
KCL: 时域内有: i 0
i1 i2
i3
例如: i4 i1 i2 i3 设各电路为同频率正弦量。则
Re 2I4e jt Re 2I1e jt Re 2I2e jt Re 2I3e jt Re 2 I1 I2 I3 e jt
u
Chapter 4
三. 相位差 在同一频率正弦激励下,线性电路的响应均为同频率正
弦量。
讨论同频率正弦量的相位差
设: u Um cost u i Im cost i
由相位差的定义：正弦量的相位之差。可得
t u t i u i
即:同频率正弦量相位差等于它们的初相之差。
Chapter 4
二. 相量图
已知正弦量可写出其相量,并能画出相量图。
例如: i 10 cos 314t 300 ， u 5cos 314t 600 V
I 10
26
U
5 600 V 2
或
Im
10
6
U m
560 0V
作相量图：相量的模为相量的长度,
+j U
幅角为初相。
60 I
注:在相量图上可做同频率正弦量 的加减（乘除）运算。
1 2 Im
即 Im 2I
或 I Im 2
同理可得 U m 2U
U Um 2
注:工程上所说交流电压,电流值大多为有效值,电气铭牌
额定值指有效值。交流电表读数也是有效值。
Chapter 4 4-2 正弦量的相量表示
一、复习复数知识 1. 复数的表示的形式: ①代数形式 A=a+jb
正弦稳态的相量分析
图 10-23
这个公式称为n个阻抗串联时的分压公式。当两个阻
抗串联时的分压公式为
读者可以看出以上几个公式与n个电阻串联时得到的
公式相类似。
例10-11 已知图10-24(a)所示电路的u(t)=10 2 cos2t V, R=2, L=2H, C=0.25F。试用相量方法计算电路
中的i(t), uR(t), uL(t),uC(t)。
§10-5 正弦稳态的相量分析
在前两节中，已经推导出反映两类约束关系 的KCL、KVL和二端元件VCR的相量形式，它们
是用相量法分析正弦稳态电路的基本依据。本节
先介绍相量法分析正弦稳态电路的基本方法和主
要步骤，然后再用相量法分析阻抗串并联电路。
一、相量法分析正弦稳态的主要步骤
(一) 画出电路的相量模型 根据电路时域模型画出电路相量模型的方法是 1. 将时域模型中各正弦电压电流，用相应的相量表示， 并标明在电路图上。对于已知的正弦电压和电流，按照下 式计算出相应的电压电流相量。
下关系
图 10-25
以上计算结果表明n个导纳并联组成的单口网络，等 效于一个导纳，其等效导纳值等于各并联导纳之和，即
图 10-25
得到n个导纳并联的电压相量与纳中的电流相量与端口电流相量的关系为
图 10-25
这个公式称为n个导纳并联时的分流公式。常用的两
个阻抗并联时的分流公式为
相同，根据相量形式的基尔霍夫电压定律和欧姆定律得到
以下关系
图 10-23
图 10-23
以上计算结果表明n个阻抗串联组成的单口网络，就 端口特性来说，等效于一个阻抗，其等效阻抗值等于各串 联阻抗之和，即
图 10-23
n个阻抗串联的电流相量与其端口电压相量的关系为
第 4 节 正弦稳态电路的相量分析
第 4 节正弦稳态电路的相量分析相量分析法相量分析法是针对正弦量激励下、且电路已进入稳态时的动态电路的分析。
因为电路在正弦量的激励下，各处的响应都是同频率的正弦量，因此，将电路的激励和响应都用相量来表示，把电阻、电感、电容元件用复数阻抗或复数导纳表示，将电路定律用相量形式表示，把时域电路转换成相量电路之后，描述动态电路的方程就由时域中的微分方程转换为频域中的复数代数方程，求解复数代数方程，求得各响应的相量，然后再将这些响应的相量转换成时域的正弦函数表达式。
相量分析法的步骤正弦量用相量表示，电阻、电感、电容元件用阻抗或导纳表示，画出相量电路；2 、相量电路中，用电阻电路的分析方法求解各响应的相量；3 、将求得的响应相量转换成时域的正弦函数表达式。
例 7.4-1 电路如图 7.4-1 （ a ）所示，已知，求 uS ， iL 和 ic 。
解：电流 iR 的相量为感抗容抗所以，得到相量电路如图 7.4-1 （ b ）所示。
图 7.4-1 （ b ）中，有则由 KCL 得由 KVL 得将相量再转换成正弦函数表达式，得例 7.4-2 电路如图 7.4-2 所示，已知，，电压源的角频率，求电流 i1 和 i2 。
解：用节点电压法求解，设节点 a 、 b 的节点电压分别是和，列写节点电压方程，节点 a ：节点 b ：代入参数并整理，得则，所以，因此，，例 7.4-3 电路如图 7.4-3 所示，已知电压源，求电流。
解：这是一个含有受控源的单回路电路，用相量法分析时，也可将受控源当独立源处理。
由 KVL 得，代入参数，得则一、有功功率无源二端网络 N 中含有线性电阻、电容、电感、受控源等元件，阻抗为。
其端电压和端电流分别为。
二端网络 N 吸收的瞬时功率为平均功率（ average power ）是指在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，用 P 表示，即有功功率在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，称为平均功率，又称有功功率（ active power ），单位为瓦（ W ）。
正弦稳态电路的相量分析法
i + vR − + vL −
İ + VR1 − + VL −
+
R1
v
−Hale Waihona Puke (a)L iC + iR2
+
R1
C vC R2 V
−
−
(b)
jωL İC + İR2
1 jωC
VC
R2
−
(c)
图5.14 例5.6图
İ İC
İR2
V VL VR1
VC=VR2
2006-1-1
！
3
正弦稳态电路的相量分析法(3)
解 根据电路图画出其相应的相量模型如图5.14(b)所示。感抗和容抗分别为
进而得到电容和电阻上的电流
IC
VC jX C
89.4 26.6 j100
0.89463.4(A)
IR
VR R
89.4 26.6 50
1.79 26.6(A)
各电流、电压的相量关系如图5.14(c)所示。
2006-1-1
！
5
正弦稳态电路的相量分析法(5)
当然，电压 和 也V可C 以V利R 用分压公式求得。下面应用PSpice对该 题进行仿真。电路如图5.14(d)所示，这里使用电压源VSIN元件， 其参数设置如下：偏置值VOFF=0，幅值VAMPL=141.4，频率 FREQ=159.15，其他为默认值。采用瞬态仿真，参数为：采样步 长Print Step=1ms，终了时间Final Time=40ms。因篇幅有限，且 使结果清晰，只显示电压源v和电容电压vC的波形，如图5.14(e)所 示。两个电压的相邻幅值的时间差为Δt = 14.6 − 14.137 = 0.463(ms)，则相位差为φ = Δt∙ω = 0.463(rad) = 26.53°，且电压 源v超前电容电压vC，这与前面结果是吻合的。将幅值转换为有效 值后，与计算结果也是相同的。
正弦稳态的相量分析2
例1 图电路中，已知
uS1 (t) 3 2 cosωt V, uS2 (t) 4 2 sinωt V,ω 2rad/s
试求电流i1(t) ,请采用网孔、节点、叠加、戴维宁方法。
解：先画出电路的相量模型，如(b)所示，其中
US1 30 V, US2 j4V 4 90 V
jL j1, 1 j1
相量形式
U Ue jψ u Uψ u I Ie jψ i Iψ i
2. 根据时域模型中RLC元件的参数，用相应的阻抗(或 导纳)表示，并标明在电路图上。
时域形式
相量形式
电阻
R R 或G
电感
L
j L 或 1
j L
电容
C
1 或 j C
j C
(二) 根据KCL、KVL和元件VCR相量形式，建立复系 数电路方程或写出相应公式，并求解得到电压电流的相量 表达式。
基尔霍夫电流定律 基尔霍夫电压定律 欧姆定律
n Ik 0
k 1
n Uk 0
k 1
U ZI
I YU
(三) 根据所计算得到的电压相量和电流相量，写出相 应的瞬时值表达式。
相量形式
时域形式
正弦电压 U Uejψu Uψu ω u(t) U 2 cos( t ψu ) 正弦电流 I Iejψi Iψi ω i(t) I 2 cos( t ψi )
§10-5 正弦稳态的相量分析
一一、、相相量量法法分分析正析弦正稳弦态稳的主态要的步主骤 要步骤
(一) 画出电路的相量模型
(二) 根据KCL、KVL和元件VCR相量形式，建立复系数 电路方程或写出相应公式，并求解得到电压电流的相量表 达式。
(三) 根据所计算得到的电压相量和电流相量，写出相应 的瞬时值表达式。
电路相量法线性电路正弦稳态分析
电路相量法线性电路正弦稳态分析1.电压与电流的相量表示首先，我们需要将电压和电流用复数形式的相量表示。
假设电压和电流的实部为振幅值，虚部为相位，如U=U_m*cos(ωt+θ)，则它可以表示为复数形式U=U_m*e^(j(ωt+θ))，其中j是单位复数。
同样地，电流也可以用相同的方法表示为I=I_m*e^(j(ωt+φ))。
2.基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律可以用相量法表示为对于任意一个闭合回路，克里希霍夫定律成立，即回路内各个支路电流的相量之和为零。
用数学表达式表示为Σ(I_k*exp(jφ_k))=0，其中I_k和φ_k分别是第k个支路的电流和相位。
3.串联、并联和共模的相量法表示对于串联和并联的电路元件，可以通过相量法进行计算。
对于串联元件，电流相同，电压相加；对于并联元件，电压相同，电流相加。
此外，共模是指回路中存在两个相反方向的电流，通过相量法，可以将其看作一个共模电流流过一个电感电容等效电路。
4.电压和电流的复数表示在相量法中，使用复数形式的电压和电流，可以方便地进行计算。
对于电压U和电流I，它们的相量形式可以表示为U=U_m*e^(jωt)和I=I_m*e^(j(ωt+φ))，其中，U_m和I_m分别为电压和电流的幅值。
5.相量法的求解步骤相量法有以下优点：可以方便地进行复数运算，简化计算步骤；能够清晰地表达电压和电流之间的相位差关系；可以方便地进行电压和电流的幅值和相位的计算。
在进行电路相量法线性电路正弦稳态分析时，我们首先需要将电路中的元件转化为复数形式，然后应用基尔霍夫定律和串、并联的性质进行计算，得到电路的复数形式的电压和电流。
最后，根据计算结果可以得到电压和电流的幅值和相位。
总结起来，电路相量法是一种有效的用于线性电路正弦稳态分析的方法，通过将电压和电流用相量表示，并进行复数运算，可以方便地求解电路中的电压和电流的幅值和相位。
电路相量法在电路分析和设计中具有重要的应用价值。
四章正弦稳态分析
三、C元件： 设 : uC 2U c cos(ωt u)
iC C
iC
uC
则 : ic
C
duc dt
Ic
jωCU c
Ic
i
ωCU u
c
90
U
C
j 1
C
jX C IC
U C
1
jωC
IC
即:
UC
1
ωC
IC
u i 90
+ uC -
IC 1／( jωC)
IC
+ U C —
相量模型和波形
U C
Ψu
U·1 30o
Re[ 2(I1 I2 )e j t ]
I I1 I2
同频率正弦量相加(减)的结果仍为同频 率的正弦量，且对应为相量的加(减)。
例 已知 u1 5cos(t 30)V, u2 10cos(t 60)V
用相量形式求u1+u2 解：U m U1m U 2m 530 1060 14.55 50.1 V(计算器直接算)
diL dt
L
90
U L
U
jωLIL L jX L IL
当UL 一定时，ωL越大，IL 就
越小，XL =ωL 称为感抗,量纲
[ωL]=[V]／ [A]=[Ω] ω 越大 ，
XL 越大，高频信号就越难以
iL uL
iL L
+ uL -
IL jωL + U L —
U L
IL
Ψi
相量模型和波形
通过L； ω=0，即X =0,直流情况下L可等效为短路.
图中，Ψi >0，[∵(ωt+Ψi )=0，即ωt = -Ψi时，i达正向Im ]；
第四章正弦稳态相量分析(2)PPT课件
(12 9.62 j3.94) / j4
1.15 31.1 (A)
•
•
(6 j15)U 1 2U 2 j180
•
•
(2 j10)U 1 (3 j3)U 2 j120
•
U 1 9.62 j3.94 10.4 22.3 (V)
•
Z U 1 10.4 22.3 9.038.8
已知 is 8cos 2 105 t( A) 求出正弦稳态响应 u，i1，i2，i3 。
解：
Y
Y1
Y2
Y3
1 10
1 6 j8
j1 5
0.16 j0.12 0.236.87 (S)
•
•
U m I m / Y 40 36.87 (V)
•
•
I 1m U m Y1 40 36.9 0.1
u(t)
N
T
瞬时功率 p ui 2U cos t 2I cos t
UI[cos cos2 t ]
恒定分量 正弦分量（2）
1+cos2t
UI cos UI(cos 2t cos sin 2t sin)
0
sin2t
UI cos(1 cos 2t) UI sin sin 2t
•
•
400 I A (350 j500) I B 0
10.2 8 (V)
•
Z U s 100 103
•
IA
10.8 j11.1
450 j463
第6节 正弦稳态功率
一、有功功率和无功功率
1. 瞬时功率
设 u 2U cos t i 2I cos( t )
ip(t()t) UIcos
求从电压源看进去二端电路的阻抗。
4.相量模型
第4章 正弦稳态电路分析
电路的相量模型如图(b)所示。
设R、L串联支路的阻抗为ZrL,R、C并联电路的阻抗 为ZRC,可得
Z rL r jX L 10 j50 Z RC RjX C 50( j50) 35.36 45o 25 j 25 R jX C 50 j50
Z1 ● U1 U Z1 Z 2
(4―54)
●
Z2 ● U2 U Z1 Z 2
●
(4―55)
第4章 正弦稳态电路分析
式中 U 为两个串联阻抗的总电压相量。
当两个导纳Y1和Y2并联时，其等效导纳Y为 Y=Y1+Y2=(G1+G2)+j(B1+B2) 分流公式为
Y1 ● I1 I Y1 Y2 ● ● Y2 ● I2 I Y1 Y2
图4.16 XL和XC的频率特性曲线
第4章 正弦稳态电路分析
我们把阻抗的倒数定义为导纳，记为Y，即 或
1 Y Z
●
(4―47)
●
Y
Im
●
I
●
(4―48)
Um
U
导纳的量纲为西门子(S)。同样将上式中的电流、电
压相量表示成指数型，可得
I Ie I j (i u ) j y Y ● e Y e j u Ue U (4―50) U Y cos y j Y sin y G jB
U s 100 0oV jX L j L j1000 50 103 150 jX C j 1 1 j j50 6 C 1000 20 10
2 sin(10
3t)V。求电路的等效阻抗和各支路的电流，并画出电流
第4章 正弦稳态电路的分析
4.2.1 复数 1.复数的表示方法
（1）复数的代数形式
设F为一个复数，则其代数形式为
F=a+jb a、b是任意实数
实部 虚数单位 虚部
j 1
复数 F 也可以用复平面内的一条有向线段来表示
+j
复数虚部
b
复数F的辐角
0
r
r a2 b2
F
a +1
arctan b
a
复数F的模 复数实部
（2）复数的三角函数形式
三角函数形式，即复数的实部与实部相加减；虚部与虚部相
加减。
例如
F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
则
F1 F2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
复数的加减运算也可以在复平面内用平行四边形法则做图来完成
j
F1+F
2
F1
j F2
F1
F2
0
+1
（a） 复数相加
0
+1
F1-F2
-F2 （b） 复数相减
iL 2IL sin t
则有
uL
L
diL dt
2LIL cost
2LIL sin(t 90)
2U L sin(t 90)
UL LIL X L IL
ULm LILm X L ILm
XL
UL IL
L
这里XL称为电感元件的电抗，简称感抗；单位：欧姆[Ω]。
电感元件电流和电压的相量形式分别为
+j
b
F
a r cos b r sin
r
F r cos jr sin r(cos jsin)
0
a +1
正弦稳态电路分析解读
求：（1）正弦量的最大值、有效值； （2）角频率、周期、频率； （3）初相角、相位差。
解 ： （1）最大值 Um=220 2 V, Im=10
有效值 U=220V， I=10A
2A
（2）角频率ω=314 rad/s, 频率f=50Hz, 周期T=0.02s
根据有效值的定义有：
I 2 RT 0Ti2 Rdt
正弦电流的有效值为：
I
1 T
0Ti 2 dt
1 T
0T
I
2 m
cos2
(t
i)dt
I m 0.707 I m 2
同理，正弦电压的有效值为：
U Um 0.707Um 2
正弦电动势的有效值为：
E
Em 2
0.707 Em
在正弦量的三要素中，一般用有效值来代替最大值表示正 弦量的大小，在工程上，通常所说的正弦电压、电流的大 小都是指其有效值。
e Em cos(t e )
u U m cos(t u )
i I m cos(t i )
4.1.1 正弦量的三要素
正弦量的特征表现在变化的快慢、大小和初始值三个方面， 它们分别由角频率、幅值和初相来确定，统称为正弦量的 三要素。
以正弦电流为例
i Im cos(t i )
幅值
角频率
初相
的初始值
规定初相角的绝对值不超过
即 ≤≤
如果遇到初相角大于 时，应加 初相角小 于 时，应加 2
规定
2 ，如果遇到
来使初相角符合
4.1.2 正弦量的有效值
有效值用来表示正弦量大小
正弦电流的有效值：
让周期电流i和直流电流I分别通过两 个阻值相等的电阻R，如果在相同的 时间T内，两个电阻消耗的能量相等， 则称该直流电流I的值为周期电流i的 有效值。
正弦稳态交流电路相量的研究
正弦稳态交流电路相量的研究正弦稳态交流电路是电工学中重要的内容，它是指电路中电流、电压等信号都是正弦函数的交流电路。
相比于非稳态交流电路，稳态交流电路的分析更加简单，并且实际应用非常广泛。
本文将对正弦稳态交流电路的相量进行详细研究。
在正弦稳态交流电路分析中，我们经常将电压或电流表示为以下形式：V = Vm * exp(jωt + φ)其中，V表示电压的相量形式，Vm是电压信号的幅值，ω表示角频率，t表示时间，φ表示电压相对于参考电压的相位差，exp(jωt)是一个指数函数。
在相量形式中，我们可以使用复数运算的方法简化电路计算。
例如，如果在电路中有两个电阻R1和R2串联，流过它们的电流分别为I1和I2，那么我们可以使用相量表示为：I=I1+I2其中I是总电流的相量。
此外，相量还可以用来表示电路中的复杂元件，如电感和电容。
对于电感元件，其电流和电压之间的关系为：V=jωL*I其中L表示电感的感值。
这样，我们可以将电感的电压表示为相位比电流大90°的相角函数。
同样，对于电容元件，其电流和电压之间的关系为：I=jωC*V其中C表示电容的电容值。
这样，我们可以将电容的电流表示为相位比电压小90°的相角函数。
利用相量的思想，我们可以将正弦稳态交流电路简化为求解线性方程组的问题。
通过建立和求解这些线性方程组，我们可以求得电路中各元件的电流和电压。
在正弦稳态交流电路中，还有一些重要的定理可以帮助我们更好地理解和分析电路。
例如，欧姆定律在稳态下仍然成立，即电压等于电流乘以电阻。
此外，有理电路定理也适用于正弦稳态交流电路。
有理电路定理表明，只要电路中只包含电阻、电感和电容这些有理元件，那么该电路的响应将始终是正弦函数。
总之，正弦稳态交流电路的相量分析方法非常重要，它帮助我们简化电路分析，并且可以应用于各种电路中，包括线性电路和非线性电路。
通过正确理解和运用相量分析方法，我们可以更好地理解电路中电流和电压之间的关系，以及各元件之间的相互影响。
第 4 节 正弦稳态电路的相量分析
第 4 节正弦稳态电路的相量分析相量分析法相量分析法是针对正弦量激励下、且电路已进入稳态时的动态电路的分析。
因为电路在正弦量的激励下，各处的响应都是同频率的正弦量，因此，将电路的激励和响应都用相量来表示，把电阻、电感、电容元件用复数阻抗或复数导纳表示，将电路定律用相量形式表示，把时域电路转换成相量电路之后，描述动态电路的方程就由时域中的微分方程转换为频域中的复数代数方程，求解复数代数方程，求得各响应的相量，然后再将这些响应的相量转换成时域的正弦函数表达式。
相量分析法的步骤正弦量用相量表示，电阻、电感、电容元件用阻抗或导纳表示，画出相量电路；2 、相量电路中，用电阻电路的分析方法求解各响应的相量；3 、将求得的响应相量转换成时域的正弦函数表达式。
例 7.4-1 电路如图 7.4-1 （ a ）所示，已知，求 uS ， iL 和 ic 。
解：电流 iR 的相量为感抗容抗所以，得到相量电路如图 7.4-1 （ b ）所示。
图 7.4-1 （ b ）中，有则由 KCL 得由 KVL 得将相量再转换成正弦函数表达式，得例 7.4-2 电路如图 7.4-2 所示，已知，，电压源的角频率，求电流 i1 和 i2 。
解：用节点电压法求解，设节点 a 、 b 的节点电压分别是和，列写节点电压方程，节点 a ：节点 b ：代入参数并整理，得则，所以，因此，，例 7.4-3 电路如图 7.4-3 所示，已知电压源，求电流。
解：这是一个含有受控源的单回路电路，用相量法分析时，也可将受控源当独立源处理。
由 KVL 得，代入参数，得则一、有功功率无源二端网络 N 中含有线性电阻、电容、电感、受控源等元件，阻抗为。
其端电压和端电流分别为。
二端网络 N 吸收的瞬时功率为平均功率（ average power ）是指在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，用 P 表示，即有功功率在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，称为平均功率，又称有功功率（ active power ），单位为瓦（ W ）。
正弦稳态分析-电路分析
第二节 电阻、电感和电容的相量形式的VCR
一、R元件：
设 : iR 2IR cos(ωt i) 则 : uR R iR 2RI R cos(ωt i )
U
R
RI R
u i
即: UR RIR
IR R UR
UR Ψi IR
二、L元件： 设 : iL 2IL cos(ωt i) ,
知：A a jb
则: A a 2 b2 , φ arctg b , A a 2 b2tg 1 b Aφ
a
a
若知：A Aφ
则: a A cos φ, b A sin φ, A A cos φ j A sin φ
（3）复数的四则运算 相等：两复数的实部和虚部分别相等。
则 45 30 15
解：i2 20cos(314t 30 90) 20cos(314t 60)
则 45 (60) 105
或i1
10sin( 314t 45 90) 则 135 30 105
10sin(
例2：(5+j4) ×(6+j3)=18+j39
2ndF CPLX 5 a 4 b × 6 a 3 b =显示“18” b 显示
“39”
例3： 3 j4 5(126.87)
3 +/- a 4 +/- b 2ndF →rθ 显示“5” b 显示“-126.8698…”
例4： 10 ∠-60° =5-j8.66…
同理
t
idt
的相量为:
I
jω
ωI
90
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4 2 j 2 5 26.6 (V)
u(t) 2 10 cos(3t 26.6 )(V)
三. 规范化分析 例 试用节点分析计算 ，
•
Z
U1
•
I
•
2I
并求出从ab端口向右看去的阻抗Z。 解：将受控电流源当作独立
j4
•
Ia
10
源处理，列出节点方程
（自导纳和互导纳）
•
U=
12∠0oV
(1
1
U0读数为100 2伏
解法2: 利用相量图求解
已知： I1=10A、 UAB =100V，
I1
j10
C1 I A A I 2
C2
B
求A、U0的读数。
U0 UC1 U AB
5 j5
U0
设： U AB 100 0 V
I1
•
I1 10A、且超前U AB 90
由已知
条件得：
I2 100
10 52 52
•
U R1 10 j10 (V)
•
I1 1 j (A)
•• •
I I1 I 2 2 j (A)
•
U C1
•
•
U C1 j10 I 10 j20 (V)
•
•
•
U i U C1 U R1 j30 (V)
•
I
j10
C1
•
10
Ui
R1
j10
•
I1
C2 10
R2
•
I2 • U0
相量电压 U 2
10∠0oV
和输入阻抗Z
•
IA
••
400 U x I B
50 •
U2
•
2U x
Z
•
解：受控源视为独立源，列出网孔方程， I A 10.8 j11.1(mA)
•
•
(200 400 j250) I A 400 I B 100
•
I B 1.93 j9.95(mA)
•
•
•
•
U s 6 I 3U x U 1 6 j2
•
Z
U
•
s
j2(Ω)
I
例 用戴维南定理求u(t)的正弦稳态响应。
C1=1/3F
•
2U 1
2 2 cos3t(A) a
b 200 (A) a
R
u1 1
2u1
u(t)
C2=1/3F
••
I s U 1 1
j
b
•
•
U oc I sc
c
c
解：求电容C2 两端戴维南等效电路,将电容断开。
•
U0
•
I2
•
U C2
•
U R1
•
I1
•
I
•
Ui
例 下图中已知 I1=10A、UAB =100V，求 A 、U0 的读数。
I1
j10
C1 I A A I 2
C2
B
5 j5
U0
解题方法有两种： 1.利用复数进行相量运算 2.利用相量图求结果
解法1: 利用复数进行相量运算
•
设： U AB
为参考相量
•
•
•
•
•
U 1 R I s 20 (V)
U 0C U 1 j2U 1 2 j4(V)
•
再将bc短路，求 I SC
•
•
•
(1 j) I SC ( j)2U 1 R I S 0
•
I SC
2
j4 ( A)
1 j
•
•
•
U 1 R(I S I SC )
•
•
(1 j) I SC j2(2 I SC ) 2 0
1
•
)U 1
1
•
U
2
1
•
U
•
2I
10 5 j4 10 j4
•
U1
5
b
- j6
•
U2
2
1
•
U1 (
1
1
•
•
)U 2 2 I
10 10 2 j6
•
••
I (U U 1 ) / j4
•
•
(6 j15)U 1 2U 2 j180
•
•
(2 j10)U 1 (3 j3)U 2 j120
•
U 1 9.62 j3.94 10.4 22.3 (V)
•
••
I (U U 1 ) / j4
(12 9.62 j3.94) / j4
1.15 31.1 (A)
•
Z
U1
•
I
10.4 22.3 1.15 31.1
9.038.8 Ω
例
200
j250
-j500
网孔分； (2)按直流电路的分析方法求出相量解； (3)将结果表示为时间函数。
一．简单电路
例 证明图示相移电路的输出电压超前输入电压相位900
Z 10|| (10 j10)
j10 j10
10(10 j10)
6 j2() •
10 (10 j10)
Ui
•
•
10 U 1 10 U 0
第5节 正弦电路的相量分析
条件 线性电路，单一频率正弦激励下的稳态电路。
工具
(1)引入相量形式欧姆定律，将微分积分化为 复代数运算。
(2)由于KCL和KVL相量形式成立，前面直流 电路分析中等效方法，规范化方法及线性 电路的定理可直接应用于相量模型。
(3)相量图作为辅助工具
正弦稳态电路分析的一般步骤
•
Z0
U
•
0C
I SC
2 2
j4 j4
1
j()
1 j
•
2U 1
a
-j
•
U1
1
•
I
b
•
U
c
求Z0的另一种方法，外加电源法
•
令 U1 1
•
I 1
•
•
•
U j(I 2U1) 1 1 j
•
Z
U •
1
j ()
I
b
Zo (1 j)
•
-j
•
U
U oc (2 j4)
c
•
•
U U 0C
j
Z0 j
(2 j4) j 1 j j
2A
I2 落后于 U AB 45°
U C1
UC1=I XC1=100V
I I1 I2
45° I U AB
I2 U 0
uC1落后于 i 90°
由图得：I 10A、U0 100 2V
二．线性电路性质
例 已知正弦稳态电路的工作频率 1000rad / s
求从电压源看进去二端电路的阻抗。
3ux i 6
•
即：U AB 1000V
j10
C1 I
A
A
I1
I 2
C2
B
5 j5
则：I2
100 5
j5
UO
10 j10 10 2 45 A
I1 1090 j10 A
I1=10A UAB =100V
I I1 I2 100 A A读数为 10安
UC1 I（ j10) j100 V
U0 UC1 U AB 100 j100 100 2 45 V
分压公式
•
U1
Z
•
Ui
Z
Z j10
•
6 j2 • Ui
U0
6 j12
•
2
450
•
U
i
Ui
3
•
U0
10
•
U1
2
•
450 U 1
2 450
2
•
450 U i
1
90
0
•
U
i
1
•
jU i
10 j10
2
2
3
3
3
利用相量图分析
设
•
I 2 1(A)
•
U 0 10(V)
•
U C2 j10(V)
12
•
•
I 6
3U x
•
12 I 2
us 250mF
•
8mH ux U s
•
Z
I1
-j 4
•
U1
j8
•
Ux
解：假定
•
I 2 10 (A)
•
•
U x j8 I 2 j8
•
•
U 1 (12 j8) I 2 12 j8
•
•
I 1 U 1/( j4) 2 j3
•• •
I I 1 I 2 1 j3