《添等边三角形——构造全等与弥补角度差》
等边三角形构造全等模型
等边三角形构造全等模型说到等边三角形，大家肯定会想到那种每一边都一样长，三个角也都相等的神奇图形。
其实它的名字就已经给它贴上了“完美”的标签，简直是几何界的“网红”！今天我们不聊什么数学定理，也不谈复杂的公式，咱们来聊聊如何用等边三角形构造出一模一样的模型——就像是玩积木一样，简单又有趣。
嘿，听起来是不是挺酷的？首先呢，咱们得先认识一下这个“等边三角形”。
看，等边三角形就像一只小小的正三角形，边长一样，角度也一样，一切都是那么对称。
那么问题来了，怎么才能把这样一个完美的小家伙复制出来，做成一模一样的全等模型呢？哎呀，别急，方法可多着呢。
你可以通过直接测量、标记，或者直接用工具画出几个等边三角形，然后拼接在一起。
这跟咱们小时候玩拼图差不多——只要找准对的位置，轻轻一放，就能完美合并。
好了，我们从第一步开始。
要做等边三角形，最简单的办法就是先画一条线。
别小看这条线哦，它可是等边三角形的基础。
有了它，才能继续进行。
画好线后，你可以用直角三角板或者量角器来标出三个相等的角，别忘了，每个角都是60度，跟六十年代的岁月一样，整整齐齐！好啦，角度都标好后，就可以用尺子把三个边的长度一一量出，连接起来，嘿，咱们的第一个等边三角形就完成啦！接下来就是最有趣的部分了，复制！把这个等边三角形变成全等的模型，说白了就是把它一个个做出来，保证每个三角形都长得一模一样，拼接在一起。
你可以用纸、木板，甚至塑料片做这三角形，只要有材料，咱们就能拼成个大“三角形家族”。
对了，要是做得够精细，还能拼成好几层，形成一个立体的模型，简直就是在玩几何积木！你是不是在想，哦，这个不就是机械复制吗？不不不，等边三角形的魅力不止这些。
每个三角形的背后，都有着几何学的智慧。
每一个角、每一条边，都是经过深思熟虑的设计，注定要保持完美的对称性。
所以，当你一个接一个地做出全等三角形的时候，仿佛是给大自然的规律做了一个小小的致敬。
想想看，咱们从古至今，所有的建筑和工程，几乎都离不开这种几何上的智慧。
12.2 三角形全等的判定(第一课时SSS)(解析版)
八年级数学上分层优化堂堂清十二章 三角形12.2三角形全等的判定第一课时（解析版）学习目标：1.经历实验探究的过程，直观发现三边相等的两个三角形全等。
会用直规作图法作“一条线段等于已知线段，一个角等于已知角”，提高动手操作能力。
知道这样作图的理由。
2.能利用“SSS ”进行有关的计算或证明。
发展逻辑推理能力、计算能力和空间观念。
老师对你说：知识点1 全等三角形的判定1：边边边（SSS ）文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.图形： 符号：在ABC D 与'''A B C D 中，()'''''''''=ìï=\D @D íï=îAB A B AC A C ABC A B C SSS BC B C 证明的书写步骤：①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.知识点2 用尺规作一个角等于已知角已知：∠AOB ．求作： ∠A ′O ′B ′=∠AOB ．作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C 、D；C'B'A'C BA（2）画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；（3）以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D ′；（4）过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB ．知识点3 运用边边边定理证明和计算运用“SSS ”证明两个三角形全等主要是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等外，还有一些相等边隐含在题设或图形中。
八年级数学上册第12章全等三角形专题强化三巧添辅助线构造全等三角形课件新版新人教版20180823219
强化角度 7 作延长线和垂线 7．如图所示，在 Rt△ABC 中 ，∠ACB＝90° ，AC＝BC，∠ABC＝45° ，点 D 为 BC 的中点，CE⊥AD 于点 E，其∠ADC＝∠BDF.
1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你努力的不够多。 2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。 3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力! 4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落， 花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃! 5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。 6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。 7、生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。 8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。 9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。 10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。 11、花开不是为了花落，而是为了开的更加灿烂。 12、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。 13、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。 14、当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。 15、只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。 15、如果没有人为你遮风挡雨，那就学会自己披荆斩棘，面对一切，用倔强的骄傲，活出无人能及的精彩。 16、成功的秘诀在于永不改变既定的目标。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。幸福不会遗漏任何人，迟早有一天它会找到你。 17、一个人只要强烈地坚持不懈地追求，他就能达到目的。你在希望中享受到的乐趣，比将来实际享受的乐趣要大得多。 18、无论是对事还是对人，我们只需要做好自己的本分，不与过多人建立亲密的关系，也不要因为关系亲密便掏心掏肺，切莫交浅言深，应适可而止。 19、大家常说一句话，认真你就输了，可是不认真的话，这辈子你就废了，自己的人生都不认真面对的话，那谁要认真对待你。 20、没有收拾残局的能力，就别放纵善变的情绪。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似 生活对你的亏欠，其实都是祝愿。 10、放手如拔牙。牙被拔掉的那一刻，你会觉得解脱。但舌头总会不由自主地往那个空空的牙洞里舔，一天数次。不痛了不代表你能完全无视，留下的那个空缺永远都在，偶尔甚至会异常挂念。适应是需要时间的，但牙总是要拔，因为太痛，所以终归还是要放手，随它去。 11、这个世界其实很公平，你想要比别人强，你就必须去做别人不想做的事，你想要过更好的生活，你就必须去承受更多的困难，承受别人不能承受的压力。 12、逆境给人宝贵的磨炼机会。只有经得起环境考验的人，才能算是真正的强者。自古以来的伟人，大多是抱着不屈不挠的精神，从逆境中挣扎奋斗过来的。 13、不同的人生，有不同的幸福。去发现你所拥有幸运，少抱怨上苍的不公，把握属于自己的幸福。你，我，我们大家都可以经历幸福的人生。 14、给自己一份坚强，擦干眼泪；给自己一份自信，不卑不亢；给自己一份洒脱，悠然前行。轻轻品，静静藏。为了看阳光，我来到这世上；为了与阳光同行，我笑对忧伤。 15、总不能流血就喊痛，怕黑就开灯，想念就联系，疲惫就放空，被孤立就讨好，脆弱就想家，不要被现在而蒙蔽双眼，终究是要长大，最漆黑的那段路终要自己走完。 16、在路上，我们生命得到了肯定，一路上，我们有失败也有成功，有泪水也有感动，有曲折也有坦途，有机遇也有梦想。一路走来，我们熟悉了陌生的世界，我们熟悉了陌生的面孔，遇人无数，匆匆又匆匆，有些成了我们忘不掉的背影，有些成了我们一生的风景。我笑， 便面如春花，定是能感动人的，任他是谁。 17、努力是一种生活态度，与年龄无关。所以，无论什么时候，千万不可放纵自己，给自己找懒散和拖延的借口，对自己严格一点儿，时间长了，努力便成为一种心理习惯，一种生活方式！ 18、自己想要的东西，要么奋力直追，要么干脆放弃。别总是逢人就喋喋不休的表决心或者哀怨不断，做别人茶余饭后的笑点。 19、即使不能像依米花那样画上完美的感叹号，但我们可以歌咏最感人的诗篇；即使不能阻挡暴风雨的肆虐，但我们可以左右自己的心情；即使无法预料失败的打击，但我们可以把它当作成功的一个个驿站。 20、能力配不上野心，是所有烦扰的根源。这个世界是公平的，你要想得到，就得学会付出和坚持。每个人都是通过自己的努力，去决定生活的样子。
全等三角形中几种常见的辅助线添法
A
C
D
B
E
角平分线上的点向角两边做垂线段
典例:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.
A
C
D
过点E作EF⊥BC
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
B
F
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
E
角平分线上点向两边作垂线段Байду номын сангаас
E
F
在AB上取点F使得AF=AD,连接EF
截长补短
目的:构造直角三角形,得到距离相等
适用情况:图中已经存在一个点P和一条线MN
语言描述:过点P作PD⊥MN
注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
角平分线上点向两边作垂线段
1.如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10, BD=6,AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
截长补短法
1.已知在△ABC中 , ∠C=2∠B, ∠1=∠2 求证:AB=AC+CD
A
D
B
C
E
1
2
在AB上取点E使得AE=AC,连接DE
截长
F
在AC的延长线上取点F使得CF=CD,连接DF
补短
A
1
B
C
D
2
3
4
2.如图所示，已知AD∥BC， ∠1=∠2，∠3=∠4， 直线DC经过点E交AD于点D， 交BC于点C。 求证：AD+BC=AB
适用情况:图中已经存在两个点—A和B
语言描述:连结AB
注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
1.如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法
全等三角形问题中常见的辅助线(8种)的作法1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等DCB AED F C BA变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。
构造全等三角形(常见辅助线法)
∴∠4=∠C（等边对等角）
∠A＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C＝180°
（等量代换）
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是 ∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：
证明: 延∠长A+BA∠到CF=，1使80B°F=BC，连结DF。
F
∵ BD是∠ABC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
• (2)判定AB+AC与AF的关系
如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
A
过点D作DE⊥AB于点E
E
B
C
D
角平分线上的点向角两边做垂线段
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是 ∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：
证明: 作∠DAM+⊥∠BCC于=M1，8D0N°⊥BA交BA的延长线于N。
AM+AN+MN+6
B
C
13+6
△ABC中,AB＞AC ，∠A的平分线与
BC的垂直平分线DM相交于D，过D作
DE ⊥AB于E，作DF⊥AC于F。
求证：BE=CF
A
连接DB,DC
EM
C
F
B
D
垂直平分线上点向两端连线段
• 如图，已知三角形ABC中,BC边上的垂直平 分线DE与角BAC的平分线交于点E，EF垂 直AB交AB的延长线于点F，EG垂直AC交 AC于点G。求证：(1)BF=CG
AD+AE+DE
A
BD+CE+DE
BC
B
D
E
C
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”
构造全等三角形常见辅助线法经典实用
A
∵ AD是∠BAC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
12
在△AED和△ACD中
E3
∵ AE=AC（已知） ∠1=∠2（已证）
4
B
D
C
AD=AD（公共边）
∴△AED≌△ACD（S.A.S）
∴∠B=∠4（等边对等角）
∴ ∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等) ∵ ∠3= ∠ B+∠4= 2∠B
•构造全等三角形(常见辅助线法)
如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
连
线
A
C
D
构
连接AC
造
构造全等三角形
全
等
•构造全等三角形(常见辅助线法)
连线 构造全等
如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC， OB=5cm，求OD的长.
连接BD
A
C
构造全等三角形
D
B
•构造全等三角形(常见辅助线法)
BC
B
D
E
C
•构造全等三角形(常见辅助线法)
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”
5.如图, △ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC. 若BC=6cm, △AMN周长为13cm，求△ABC的周长.
A
AB+AC+BC
AM+ BM+AN+NC+6
AM+ MP+AN+NP+6 M P N
1 2
∵ AD=CD（已知），DF=DC（已证）
（平角定义）
3 ∴DF=AD（等量代换）
∴∠A+ ∠C＝180°
怎么依据120°角补形构造等边三角形
一、概述在数学中，三角形是最基本的几何形状之一。
而等边三角形更是具有独特美感和重要性的三角形之一。
如何构造一个等边三角形一直以来都是数学中的一个重要问题。
在本文中，我们将重点讨论如何依据120°角补形构造等边三角形，通过详细的解释和步骤，帮助读者理解这一问题。
二、120°角的性质为了便于理解120°角的性质，我们首先来了解一下120°角。
120°角是一个$6\pi/3$角。
从几何学的角度来说，它是一个锐角，但在三角函数中，120°是一个第二象限的角，sin值为$\sqrt 3/2$，cos值为$-1/2$ 。
在等边三角形中，所有的角都是60°，即π/3，所以在这个问题中，我们需要寻找一种方法，将120°角转化成60°的角，以构造等边三角形。
三、构造步骤下面，我们来介绍依据120°角补形构造等边三角形的具体步骤：1. 画出一个任意正三角形ABC，即三条边相等。
2. 做出正三角形的中点D、E、F，连接D和F。
3. 设AD和DC为r，BD、BE、DC三条边都为r/2。
4. 作BE的垂线，然后延长到F处。
5. 连接AF。
6. 通过以上步骤，我们就得到了一个等边三角形。
四、构造过程的证明上述构造步骤看似简单，但其背后的数学原理和证明却相对复杂。
下面，我们来解释一下构造过程的证明：1. 由于正三角形ABC的三条边相等，所以角ABC=60°，角ACB=60°，角BAC=60°。
2. 通过正三角形的性质可得，AE=BE=CE，即三角形ABE、BEC、AEC都是等边三角形。
3. 因为AE=BE=CE，所以角AEB=60°，角BEC=60°，角AEC=60°。
4. 由于CDFE是平行四边形，所以角DCE=angle CED=120°。
5. 由于AAF是平行又等腰三角形，所以角AFA=60°，角AAF=60°。
八年级数学上册第12章全等三角形专题强化三巧添辅助线构造全等三角形ppt课件新版新人教版
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
强化角度 7 作延长线和垂线 7．如图所示，在 Rt△ABC 中 ，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点 D 为 BC 的中点，CE⊥AD 于点 E，其延长线交 AB 于点 F，连接 DF. 求证：∠ADC＝∠BDF.
OA＝OC已知 证明：连接 OE.在△EAO 与△ECO 中，EA＝EC已知
OE＝OE公共边
，∴△EAO≌
△ECO(SSS)，∴∠A＝∠C(全等三角形对应角相等)．
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
∠ BDA＝BDD＝B ∠FBD
，
∠ADB＝∠BDF＝90°
∴△ABD≌△FBD(ASA)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2 ＝∠1＋∠C.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
强化角度 2 翻折法 2．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BE，垂足为 D.求证：∠2＝∠1＋∠C.
证明：延长 AD 交 BC 于点 F.(相当于将 AB 边向下翻折，与 BC 边重合，A 点落在 F 点处，折痕为 BE)∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥ AD ， ∴ ∠ ADB ＝ ∠ BDF ＝ 90°. 在 △ ABD 和 △ FBD 中 ，
GBF. 在 △ BDF 和 △ BGF 中 ， B∠DD＝BFB＝G ∠GBF BF＝BF
构造等边三角形解决角度问题
例 6 在等腰 △AB C 中 , B = C = 40°,延长 AB 至点 D, 使 AD = B C. 求 B CD 的度数.
解法 1:如图 7,以 AB 为边在 △AB C外作 等边 △AB E,联结 CE. 易知
AB =AC, BAC = 100°.
图8
图9
解 法 3: 如 图 9, 以 AD 为 边 作 等 边
即 BD = 2 7. 过点 D
作 DE BC 交 BC
的延长线于点 E.
图3
设 AC = x. 则 CD = x. 在 R t△CD E中 ,
DCE = 180°- ACD -
ACB = 30°.
于是 , D E = 1 CD = 1 x,
2
2
EC = CD co s
DCE
=
3 2
x.
在 R t△AD E中 , B E2 +D E2 =BD2 ,即
3 运用对称性恢复等边三角形
例 5 在 △AB C中 , AB = AC, A = 80°, P是 △AB C 内一点 , 且 PB C = 10°, PCA = 30°. 求 PAC的度数.
4
中等数学
解 :如图 6, 作点 P
关于 AC 的对称点 P′,
联 结 P′A、P′B、P′C、
P ′P.
2
2 + 3x + 2
1 x 2 = (2 2
7) 2.
解得 x = 2 3. 在 R t△AB C中 ,
tan
AB C
= AC BC
=
23 2
=
3.
于是 , AB C = 60°.
注 :成“丫 ”状的三条线段经过作等边三
构造全等三角形(常见辅助线法).ppt
角平分线上点向两边作垂线段
如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180° A PD=PE 求证: PD=PE. 过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB 垂足为点F,点G
O F D G
∟ E
P
C
B
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
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[自读教材· 填要点] 一、铁路，更多的铁路 1．地位
A
3
N 4 D
1 2
B M C
∴ ∠4=∠C（全等三角形的对应来自相等）∵ ∠3+ ∠4＝180°（平角定义）， ∠A＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换）
1 2 3 *
∴△NAD和△MCD是Rt△ 在Rt△NAD和Rt△MCD中 ∵ ND=MD （已证） AD=CD（已知） ∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）
A
过点D作DE⊥AB于点E
E B C
D
角平分线上的点向角两边做垂线段
已知：如图，在四边形ABCD中，BD是 例1 ∠ABC的角平分线，AD=CD，求证： 证明: 作 DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。 ∠A+∠C=180°
∵ BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵ DN⊥BA，DM⊥BC（已知） ∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义） 在△NBD和△MBD中 ∵ ∠N=∠DMB （已证） ∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边） ∴△NBD≌△MBD（A.A.S） ∴ ND=MD（全等三角形的对应边相等） ∵ DN⊥BA，DM⊥BC（已知）
制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D
三项表述都有错误。 答案：A
构造等边三角形重难点突破 人教版八年级数学上册(含解析)
构造等边三角形重难点突破构等边(一) 作平行类型一作平行线构X型全等1.如图,△ABC 为等边三角形,D 为CB 的延长线上一点,∠ADF=∠DCF=60°.求证:BD=CF.2.如图,在等边△ABC 中,D 是AB 上一点,E 是BC 延长线上一点,且AD=CE,连接DE 交AC 于点F.(1)求证:DF=EF;的值.(2)过点D 作DH⊥AC 于点H,求HFAC类型二作平行线构旋转全等3.如图1,在等边△ABC 中,M 为AB 上一点,N 为CB 的延长线上一点,∠MNB=∠MCB.(1)求证:AM=BN;(2)如图2,E 为MC 的中点,连接AE.求证:AN=2AE.构等边(二) 作等边三角形类型一遇等边构等边1如图,在四边形ABCD 中, ∠ADC=60°,AD=CD,AB=3,BC=5,连接BD,则BD 的长不可能是( )A.3B.5C.7D.9类型二遇60°角构等边2.如图,在△ABC中,D,E 分别为AB,BC上的点, ∠CDE=∠ACB=60°,BD=CD,DE=5,AD=3,,则CD 的长为.C 3.如图,在四边形ABCD 中, AB=AD=CD,AC,BD交于点O, ∠AOB=60°.求证：( OB=OC.参考答案突破24 构等边(一) 作平行1.证明:过点D 作DE∥AC 交AB 的延长线于点E.∵△ABC 为等边三角形,∴AB=BC,∠BAC=∠ABC=60°.∵DE∥AC,∴∠EDB=∠ACB=60°,∠E=∠BAC=60°,∴△DBE 为等边三角形,∴DB=BE=DE,∴AB+BE=BC+DB,即AE=CD.∵∠ADF=∠ABC=∠DCF=60°,∴∠ADB + ∠CDF = ∠ADB +∠DAB,∴∠DAB=∠CDF.∵∠E=∠DCF=60°,∴△ADE≌△DFC,∴CF=DE,∴BD=CF.2.解:(1)过点D 作DG∥BC 交AC 于点G,∴∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB,∠FDG=∠E.∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC,∠B=∠ACB=∠A=60°,∴∠A=∠ADG=∠AGD=60°,∴△ADG是等边三角形，∴DG=AD.∵AD=CE,∴DG=CE.∵∠DFG=∠EFC,∠FDG=∠E,DG=CE,∴△DFG≌△EFC,∴DF=EF;(2)∵△ADG 是等边三角形, AD=DG,DH⊥AC,∴AH=HG=12AG.又∵△DFG≌△EFC,∴GF=FC=12GC,∴HF=HG+GF=12AG+12GC=12AC,∴HFAC =12.3.证明:(1)过点M 作MH∥BC交AC于点H.∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=∠A=60°.∵MH∥BC,∴∠AMH=∠ABC=60°,∠AHM=∠ACB=60°,∴△AMH 为等边三角形,∴∠MHC=∠MBN=120°,∴AM=MH.∵MH∥BC,∴∠HMC=∠MCB.∵∠MCB=∠MNB,∴MN=MC,∠MNB=∠HMC,∴△HMC≌△BNM,∴MH=BN,∴AM=BN;(2)延长AE 至点F,使EF=AE,连接CF.∵E 为MC 的中点,∴ME=EC.∵∠AEM=∠FEC,∴△AEM≌△FEC,∴AM=CF,∠MAE=∠F,∴AM∥CF,∴∠FCA+∠BAC=180°.∵∠BAC=∠ABC=60°,∴∠ACF=∠ABN=120°.∵AM=CF,AM=BN,∴BN=CF.∵AB=AC,∴△ABN≌△ACF,∴AN=AF=2AE.突破25 构等边(二)作等边三角形1. D 解:连接AC,以AB 为边在AB的左侧作等边△ABF，则△ABD≌△AFC(SAS),∴BD=CF,AB=BF=3.∵BC-BF≤CF≤BC+BF,即5-3≤CF≤5+3,∴2≤CF≤8,∴2≤BD≤8.故选 D.2.8 解:延长DE 至点F,使DF=CD,则△DCF 为等边三角形.在AC 上截取CG=CE,连接DG,则△CDG≌△CFE(SAS),∴∠CDG=∠F=60°,DG=EF.设∠ACD=x,∵BD=CD,∴∠B=∠DCB=60°−x,∴∠A=60°+x.∵∠AGD=∠CDG+∠ACD=60°+x,∴∠A=∠AGD,∴DG=AD=3=EF,∴CD=DF=DE+EF=5+3=8.3.证明:延长OA 至点E,使OE=OB,连接BE.∵∠AOB=60°,∴△BOE 为等边三角形,∴∠EBO=60°,BE=OB.∵AB=AD,∴可设∠ABD=∠ADB=α,则∠ABE=60°−α.∵AD=CD,∴∠DCA = ∠DAC = ∠AOB - ∠ADO=60°−α,∴∠ABE=∠DCA.又∵∠E=∠COD=∠AOB=60°,AB=AD=CD,∴△ABE≌△DCO(AAS),∴OC=BE,∴OC=OB.。
全等三角形问题中常见的几种辅助线的作法
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
[8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
构造全等三角形常见辅助线法
倍长中线构造全等三角形
总结词
倍长中线法是一种构造全等三角形的方法，通过延长中线到原来的两倍，利用全 等三角形的性质来证明三角形全等。
详细描述
在证明三角形全等时，可以通过延长一个三角形的中线到原来的两倍，得到一条 新的线段，这条线段等于原来三角形的一条边，再利用全等三角形的性质就可以 证明两个三角形全等。
05
结论与展望
研究结论
1
总结了构造全等三角形常见辅助线法的核心原 理和具体应用。
2
分析了不同类型辅助线法在构造全等三角形中 的应用和优劣。
3
得出了构造全等三角形常见辅助线法的规律性 和一般性原则。
研究不足与展望
01
仍需进一步深入研究不同类型辅助线法的本质和更复杂的应用 场景。
02
对于如何灵活运用多种辅助线法构造全等三角形，还需加强实
两角对应相等，且夹边对应的两个三角形 全等。
AAS（角角边）
两角对应相等，且夹边相等的两个三角形 全等。
03
构造全等三角形常见辅助线法分类
引入中点构造全等三角形
总结词
引入中点法是一种常见的构造全等三角形 的方法，通过连接中点，利用中点性质和 全等三角形的性质来证明三角形全等。
VS
详细描述
在证明三角形全等时，可以通过连接两个 三角形的中点，利用中点性质和全等三角 形的性质来证明两个三角形全等。具体来 说，连接两个中点可以得到一条新的线段 ，这条线段等于原来三角形的一条边，再 利用全等三角形的性质就可以证明两个三 角形全等。
等腰三角形法
通过构造等腰三角形，利用等腰 三角形的性质证明两个角相等。
平行线法
通过构造平行线，利用平行线的性 质证明两个角相等。
全等三角形问题中常见的几种辅助线的作法
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
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添等边三角形解决几何问题
手拉手的全等
等边三角形和等边三角形在一起，能够形成手拉手的全等模型，那么只要能够形成这种图形，我们就要把握！
例1、已知：如图1，直角△ABC ，90CAB ∠=︒，1AC =，60ACB ∠=︒，△ABD 为等边三角形，
（1）CB 与AD 的交点为M ，直接写出BM 的长__________
（2）如图2，△ABD 绕点B 旋转一定的角度，旋转到△A BD ''，E 始终为线段A C '的中点，证明：12AE CD '=； （3）在（2）的条件下，直接写出AE 的最大值；△ABD 绕点B 旋转一周，直接写出E 的运
动的路径长．
A
C B E
D A B C D A B C
E 图1 图2 M
例2、菱形ABCD ，60B ∠=︒，若60EAF ∠=︒，E ，F 分别为边BC ，CD 上的点，求证：△AEF 是等边三角形．
（若改成60AEF ∠=︒）
例3、已知如图，60BAC ∠=︒，AB AC =，30BDC ∠=︒，若4BD =，3CD =，求AD .
B A D E
C F B C A D
弥补角度差
当一道几何题里，出现了两个角度的差为60°，我们可以选择作等边三角形来处理，等边三角形可以带来60°，也可以带来相等的边．
例4、已知等腰三角形ABC ，AB AC =，20A ∠=︒，D 是AB 上一点，AD BC =，求BDC ∠的大小．
例5、如图AB AC CD ==，100BAC ∠=︒，20ACD ∠=︒，求CBD ∠的大小．
B D
C A
D B A
C
例6、已知，如图，AB AC BD
==，92
BAC
∠=︒，28
ABD
∠=︒，求DCB
∠．
B
D
C A。