概率论与数理统计学习知识资料要点

知识要点

一 概念：

1 随机事件：用,,A B C 等表示 互不相容： AB =Φ

互逆： AB =Φ且A B ⋃=Ω ，此时，B A = 互逆 ⇒互不相容 ，反之不行

相互独立： ()()P A B P A =或()()()P AB P A P B =

2 随机事件的运算律：

(1) 交换律 ：,A B B A AB BA ⋃=⋃= (2) 结合律 ：()(),()()A B C A B C AB C A BC ⋃⋃=⋃⋃=

(3) 分配律 ：

(),()()()A B C AB AC A BC A B A C ⋃=⋃⋃=⋃⋃

(4 ) De Morgen 律（对偶律）

B A B A =⋃ B A AB ⋃= 推广：

11

n n

i i i i A A ===U I

1

1

n

n

i i i i A A ===I

U

3 随机事件的概率：()P A 有界性 0()1P A ≤≤ 若A B ⊂ 则()()P A P B ≤ 条件概率 ()

()()

P AB P A B P B =

4 随机变量： 用大写,,X Y Z 表示 .

若X 与Y 相互独立的充分必要条件是)()(),(y F x F y x F Y X =

若X 与Y 是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()X Y f x y f x f y = 若X 与Y 是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()X Y p x y p x p y =

若X 与Y 不相关，则cov(,)0X Y = 或 (,)0R X Y = 独立⇒不相关 反之不成立

但当X 与Y 服从正态分布时 ，则相互独立 ⇔不相关

相关系数：1),(≤Y X R 且当且仅当bX a Y +=时1),(=Y X R ，并且

⎩⎨⎧<->=0,10

,1),(b b Y X R

二 两种概率模型

古典概型 ：()M

P A N

=

:M A 所包含的基本事件的个数 ；:N 总的基本事件的个数 伯努利概型 ： n 次独立试验序列中事件A 恰好发生m 次的概率 ()m m n m

n n P m C p q -=

n 次独立试验序列中事件A 发生的次数为1m 到2m 之间的概率

2

1

12()()m n m m P m m m P m =≤≤=

∑

n 次独立试验序列中事件A 至少发生r 次的概率

1

()()1()n

r n n m r

m P m r P m P m -==≥==-∑∑

特别的 ，至少发生一次的概率 (1)1(1)n

P m p ≥=--

三 概率的计算公式：

加法公式：()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+- 若B A ,互不相容 ,则)()()(B P A P B A P +=+ 推论：)()(A P A P -=1 推广：

)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃

若B A ,，C 互不相容，则()()()()P A B C P A P B P C ++=++

乘法公式：)()()(A B P A P AB P =或()()P B P A B = 若,A B 相互独立 ，()()()P AB P A P B =

推广：)()()()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ΛΛΛΛΛΛ 若它们相互独立，则1212()()()()n n P A A A P A P A P A =L L L L

全概率公式：若 A 为随机事件，n B B B ΛΛ21,互不相容的完备事件组，且 0)(>i B P 则 )()()()()()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=ΛΛ 注： 常用,B B 作为互不相容的完备事件组

有诸多原因可以引发某种结果 ，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和 ，这样的概率问题属于全概问题. 用全概率公式解题的程序：

（1） 判断所求解的问题 是否为全概率问题

（2） 若是全概率类型，正确的假设事件A 及i B ，{}i B 要求是互斥的完备事件组 （3） 计算出(),

()i i P B P A B

（4） 代入公式计算结果

四 一维随机变量：

1 分布函数：)()(x X P x F ≤= 性质：（1） 1)(0≤≤x F

（2） 若21x x < ，则)()(21x F x F ≤

（3） 若X 是离散随机变量，则)(x F 是右连续的

若X 是连续随机变量，则)(x F 是连续的 （有时，此性质也可用来确定分布函数中的常数）

（4）1)(lim =+∞

→x F x 即 1)(=+∞F

0)(lim =-∞

→x F x 即 0)(=-∞F （ 此性质常用来确定分布函数中的常数）

利用分布函数计算概率：()()()P a X b F b F a <≤=- 一维离散随机变量：

概率函数：()()1,2i i p x P X x i ===L （分布律）

性质：()0i p x ≥

()1i

i

p x =∑ （此性质常用来确定概率函数中的常数）

已知概率函数求分布函数 ()()()i i i

i

x x

x x

F x P X x p x ≤≤===∑∑

一维连续随机变量： 概率密度()f x