第八章 强度分析与计算

8M max 8 1 [q1 ] 2kN m 2 l 4 （2）横放时，y轴是中性轴
1 Wy b 2 h 4.17 10 4 mm3 6
M max =Wy [σ] = 4.17 × 4 × =5 × 5 = 0.5kN m 10 12 10
[ q2 ] 8M max 8 0.5 1kN m l2 4
c,max c
目录
梁的正应力强度条件
对梁的某一截面：
max
Mymax M Iz WZ
对全梁（等截面）：
max
M max ymax M max Iz Wz
max
M max Wz
例8-8
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分 为0.5m，梁上承受均布荷载，q=30kN/m，试选择 工字钢型号。已知工字钢抗弯强度［σ］=215MPa。
拉伸强度
FP FN 23.5 103 28.3MPa (b d ) A (100 17) 10
挤压强度
bs
FP 23.5 103 138MPa bs d 17 10
剪切强度（对于铆钉）
FP Fs 2 FP 2 23.5 103 22 2 A d d 3.14 172 4
Fbs bs Abs
判断剪切面和挤压面应注意的是：
剪切面是构件的两部分有发 生相互错动趋势的平面
挤压面是构件相互压紧部分 的表面
例8-4 图示钢板铆接件，已知钢板拉伸许用应力［σ］＝98MPa， 挤压许用应力［σbs］＝ 196MPa ，钢板厚度δ＝10mm，宽度b ＝100mm，铆钉直径d＝17mm，铆钉许用切应力［τ］ ＝ 137MPa，挤压许用应力［σbs］ ＝314MPa。若铆接件承受的载 荷FP＝23.5kN。试校核钢板与铆钉的强度。
σ max M max 32 × 6 10 = = =135MPa <[σ] Wz 237 × 3 10
（3）切应力强度校核（ K3点）
τ max Qmax 100 × 3 10 = = = 83.1MPa <[ τ] Iz 17.2 × ×7 10 d * SZ
（4）主应力强度校核（K2点）
在危险截面上，腹板与翼缘交界处的正应力和切应力都很大 故有必要对该处的K2点进行主应力强度校核。 My 32 × 6 ×88.6 10 σ= = =119.5MPa 4 Iz 2370 × 10
第八章 强度分析与计算
第一节 容许应力与强度理论 第二节 轴向拉压杆的强度计算 第三节 连接杆的强度计算 第四节 梁的正应力和切应力强度计算
第一节 容许应力与强度理论
一：容许应力与安全系数
材料丧失工作能力称为失效，材料失效时的应力称为 极限应力，记为 σs 。 材
料 构件在何在作用下产生的应力称为工作应力。 丧 最大工作应力所在的截面称为危险截面。 失 工 σ0 作 容许应力 n 能 σ 力 称 为
（3）比较竖放与横放时的容许荷载 竖放时的容许荷载 [q1 ] = 2kN / m 横放时的容许荷载
[q2 ] =1kN / m
[q1 ] 2 2 [ q2 ] 1
二、梁的切应力强度条件
最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该处的 切应力为零，即正应力危险点处于单轴应力状态；
* FS S Z IZb
σ AB N CD 30 103 100MPa(拉 ) [σ] -6 A1 300 10
第三节 连接件的强度计算
F Fs
Fs F
剪切：位于两力间的截面发生相对错动
受力特点：作用在构件两侧面上的外力 的合力大小相等、方向相反、作用线相 距很近。 τ＝Fs／A
在计算中，要正确确定有几个剪切面，以及 每个剪切面上的剪力。
取梁的容许荷载
[ P] =55.8kN
第五节
梁的主应力强度计算
在一般情况下，梁的危险点是在M最大的横截面上、 下边缘处，这些点的正应力强度条件对梁的强度起主 导作用。必要时，对最大剪力所在截面的中性轴处作 切应力强度校核。
某些梁在弯矩和剪力同时比较大的截面上，在正应力 σ和切应力 τ又同时比较大的点处还需做主应力强度校 核。
例8-11一用
No20a工字钢制成的梁如图所示，已知材料的容许应力[σ] =150MPa [ τ] =95MPa 试对该梁进行全面的强度校核
解 （1）画 Q,M图，确定危险截面
Qmax =100kN
查表得
M max 32kN m
I z 2370cm 4 Wz 237cm3
Iz =17.2cm * SZ （2）正应力强度校核（K1 点）
* QS Z 100 × 3 × 100 × .4 ×94.3） 10 （ 11 τ= = = 64.8MPa 4 Izd 2370 × ×7 10
破坏条件
1 b
1
强度条件
该理论与均质的脆性材料的实验结果吻合较好.
第二强度理论（最大伸长线应变理论）
当材料的最大伸长线应变ε1达到材料单向 受拉破坏时的线应变εb=σb/E时，材料将要发生断 裂破坏。
破坏条件
1 b
1 ( 2 3 )
1 r4 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2


在大多数应力状态下,脆性材料将发生脆性断裂.因而应选用第 一强度理论;而在大多数应力状态下,塑性材料将发生屈服和剪 断.故应选用第三强度理论或第四强度理论.但材料的破坏形式 不仅取决于材料的力学行为,而且与所处的应力状态,温度和加 载速度有关.实验表明,塑性材料在一定的条件下(低温和三向拉 伸),会表现为脆性断裂.脆性材料在三向受压表现为塑性屈服.
q 30 kN m
A
0 .5 m
B
2m
FB 28.1kN
FA 46.9kN
31.9
查表 N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3
15 3.75
kN
28.1
kNm
13.16
例8-9
一跨度l=2m的木梁，其截面为矩形，宽b=50mm, 高 h=100mm,材料的容许应力 ［σ］=12mpa,试求 : （1）如果截面竖着放，即荷载作用在沿 y轴的纵向对称平面内时， 其容许荷载[q]为多少？ （2）如果截面横着放，其容许荷载[q]为多少？
最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该 处的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切应力状态；
1、梁的跨度小，或在支座附近有较大的集中荷载时， 梁的弯矩较小，而剪力较大。 2、在组合工字型截面的钢梁中，当腹板厚度较小时， 而工字型截面高度较大时，腹板上的切应力值将很大， 正应力值相对较小。 3、木梁由于木材顺纹抗剪能力差，当剪力较大时，可能沿中性 层破坏。故需对木梁进行顺纹方向的切应力强度校核。
解：（1）运用截面法计算出杆件各段的轴力，并作出轴力图如图所示。
b
（2）计算杆件的最大工作应力，并根据式（8-11）校核强度。由于本题杆件为变 截面、变轴力，所以应分段计算。 AB段 BC段 CD段
N AB 60 103 σ AB 2 108 Pa 200MPa(拉) [σ] 6 A1 300 10 N BC 20 103 σ BC 1.43MPa(压) [σ] A2 140 10 6
51.8MPa
第四节 梁的正应力和切应力强度计算 一、弯曲正应力强度条件
σmax
M
max
y max
Iz
σ
1.弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
t ,max t
第二节 轴向拉压杆的强度计算
1. 拉压杆的强度条件
u n

强度计算的三类问题 ：
(1)、强度校核
max
FN max 强度条件 A

(2)、截面设计
FN max A
A
FN max
百度文库
(3)、确定许用荷载
FN max A
（3）试比较矩形截面梁竖放与横放时，梁的承载力。
解 这两种情况下，梁的最大弯矩Mmax都是在梁跨中截面处， 其值为
1 M max ql 2 8
（1）竖放时，Z轴是中性轴
1 Wz bh 2 8.33 10 4 mm3 6
M max Wz [σ] 106 N mm 1kN m
例8-10 图示的简支梁由普通热轧工字钢No20a制成。已知工字
钢材料的容许应力 [σ]=175MPa,l=2000mm试求容许 荷载 [P]
解 对于细长梁，正应力对强度的影响是主要的。所以先按最大正 应力点的强度计算容许荷载，再对最大切应力点进行强度校核。 （1）按最大正应力点的强度计算容许荷载 画梁的剪力图和弯矩图。


强度条件
第三强度理论偏于安全,第四强度理论偏于经济
1 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 2


r
r1 1
r 2 1 ( 2 3 )
r3 1 3
塑性材料
σ σ
σs
ns
脆性材料
σb
nb
工程中各类构件的安全系数均在相关设 计规范中有所规定
强度理论
第一强度理论 第二强度理论 第三强度理论 第四强度理论
第一强度理论（最大拉应力理论）
使材料发生断裂破坏的主要因素是最大主拉 应力σ1，只要σ1达到单向拉伸时材料的强度 极限σb材料将要断裂破坏。
第四强度理论（能量理论）
形状改变比能是引起材料屈服破坏的基本原因。只要复 杂应力状态下材料形状改变比能达到单向受力情况屈服 破坏时相应的极限形状改变比能，材料就会发生屈服破 坏。
破坏条件
d s
1 1 2 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) (2 s ) 6E 6E
最大弯矩为
1 M max Pl 3 由型钢表查得普通热轧工字钢No20a的弯曲截面系数 Wz=237×103 mm3
M max Pl max [ ] WZ 3W
（2）按最大切应力准则校核切应力强度 纯切应力状态最大切应力准则的强度条件为
1 τ max ≤ [σ] 2
* Qmax Smax 2P 2 55.8 103 [σ ] τ max 30.9MPa 78.5MPa * dI Z 3d ( I Z / Smax ) 3 7 172 2
强度条件
该理论只与少数脆性材料的实验结果吻合.
第三强度理论（最大切应力理论）
最大切应力是使材料发生屈服破坏的根本原因．只要 最大切应力τmax达到材料单向受力时的屈服极限σs所对 应的极限切应力τs=σs/2，材料将发生屈服（剪断）破 坏.
破坏条件
max
s s 2
强度条件
1 3
8-1 例
圆截面等直杆沿轴向受力如图示，材料为铸铁， 抗拉许用应力 ＝60Mpa，抗压许用应力 t ＝120MPa，设计横截面直径。 c
20KN
30KN
3
20KN
30KN
20 103 t 2 d1 4
20KN
30 10 c 2 d 2 4
d2
4 30 103
c
17.8mm
30KN
d 2 17.8mm
d1
4 20 103
t
20.6mm
d1 20.6mm
d 21mm
例8-2 一根由 Q235钢制成的圆形截面等直杆，受轴向 拉力 P=20kN的作用，已知直杆的直径为 D=15mm， 材料的容许应力为 [ σ ]=160MPa，试校核杆件的强度。 解：由截面法可知，该杆的轴向力为N=P=20kN（拉），杆的 横截面面积为
πD 2 A 176.7 10 4
6
m2
N 20 10 σ A 176.7 10
3
6
113.2MPa [σ] 160MPa
杆件满足强度要求。
例 8-3一钢制直杆受力如图所示，已知 [ 试校核此杆的强度。
σ]=160MPa,
因为AB段不能满足强度条件， 所以杆件强度不够。