第八章强度分析与计算

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材料力学：第八章-应力应变状态分析

斜截面: // z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t －使微体沿顺时针旋转为正方位角 a －以 x 轴为始边、逆时针旋转为正
斜截面应力公式推导设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态

车辆结构强度设计与分析

2、弹簧刚度误差引起的垂向斜对称载荷
3、垂向斜对称载荷的实际算法
七、制动时的载荷
第四节车辆强度分析
一、车辆按有限元法计算时应考虑的主要问题（一）合理的确定计算模型（二）正确选用或编制合适的结构分析软件（三）计算结果的处理
二、计算实例
三、车辆上常用材料及许用应力
轨道车辆零部件强度设计
UIC 510—5/2003《整体车轮技术条件》 EN 13979—l/2003《铁路应用轮对和转向架车轮技术验收程序》第一部分：锻制和轧制车轮
2、车轮强度分析载荷工况
根据UIC 510-5：2003（整体车轮技术）标准进行车轮设计，对于安装到动轴上的车轮，考虑车轮通过直线、曲线和道岔时的载荷。
横向力 Fy1=0 Fy2=0.7Q Fy3=0.42Q
除了上述UIC 510-5规定的垂向和横向载荷外，还应考虑下表所示的载荷条件。
切向载荷(粘着系数＝0.33)
27.5 kN
最大速度情况下(200公里/小时)转速车轴与车轮压装的最大过盈量踏面上热处理偏差而产生的应力
1310 rpm 0.30 mm
（2）在正常维修和保养条件下，具有足够的运用耐久性。
（3）在偶然事件（如脱轨、撞击等）发生时，能保持必需的整体结构稳定性。
工作适用性、使用耐久性、事故安全性。
轨道车辆结构强度问题反映在以下几个方面：
（1）结构静力破坏。如零部件破坏，碰撞破坏。
（2）疲劳失效。耐久性差造成的。（3）结构动态特性设计不良引起的共振。轻
则导致动力性能恶化，重则引起结构因剧烈振动而遭损伤甚至毁坏。（4）难以预测的意外事故引起的结构失效。
四种分析类型：静强度（刚度）分析；疲劳强度分析；模态分析；耐撞击安全防护设计与分析。

强度设计

解：
max
N max 2.5 10 3 162 MPa < [ ] A 2 6 14 10 4
满足强度条件。
8.3.2 圆轴扭转时的强度条件
扭转失效与扭转极限应力
轴的强度条件： max
轴的合理截面
T [ ] Wp
例4：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆 0.8 轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?

二、其它材料的拉伸实验对于在拉伸过程 0.2
中没有明显屈服阶段
的材料，通常规定以
产生0.2％的塑性应变
所对应的应力作为屈
服极限，并称为名义
屈服极限，用σ0.2来
表示
O 0.2%

Ⅲ. 材料压缩时的力学性质
一般金属材料的压缩试件都做成圆柱形状
h 15 . ～ 3.0 d
低碳钢压缩时的σ-ε曲线
夹头
夹头
液压式万能试验机
活塞
油管
活动试台
底座
低碳钢——含碳量在0.3%以下的碳素钢。 (I)低碳钢Q235(A3钢)试件的拉伸图：
（P— L) 曲线——拉伸图
P
D
B A
C
E
O
l
P

P A
l
l
l
）曲线（Ⅱ）低碳钢 Q 235 的应力—应变图（

B A
D
C
E
O

1. 弹性阶段 OAB：这一阶段可分为：斜直线OA和微弯曲
解：设实心
16
3

铸铁压缩时的σ-ε曲线
b压

压缩
O

比较塑性材料与脆性材料的机械性质有以下区别：

第八章组合变形时的强度计算

Iy
IY
由 mz 产生的正应力
s"' MZ .y Fyp y
IZ
IZ
假设C 点在第一象限内,根据杆件的变形可知, s ',s '',s ''' 均为拉应
力，由叠加原理，即得 C点处的正应力为：
σ σ' σ'' σ'''
任意横截面 n-n上的 C点的正应力为
c
σ F F zP z F yP y
与y轴的夹角θ为：
tgθ z0 Mz Iy Iy tgφ y0 My Iz Iz
公式中角度是横截面上合成弯矩 M 的矢量与 y 轴的夹角 . 横截面上合成弯矩 M 为：
M
M
2 y
M
2 z
tgθ Iy tgφ Iz
讨论：
（1）一般情况下，截面的 IzIy ,故中性轴与合成弯矩 M 所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。导致挠曲线与外力（合成弯矩）所在面不共面,此为斜弯曲的变பைடு நூலகம்特征。
s s ' s '' My z - Mz y
Iy
Iz
式中，Iy和Iz分别为横截面对于两对称轴y和z的惯性矩； M y和Mz分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向相一致。在具体计算中，
也可以先不考虑弯矩M y、Mz和坐标y、z的正负号，以它们的绝对值代入，然后根据梁在P1和P2分别作用下的变形情况，来判断上式右边两项的正负号。
FN A
Mz Wz
158 MPa
s
所以强度是安全
【例8-4】矩形截面柱如图所示。P1的作用线与杆轴线重合， P2作用在 y 轴上。已知， P1= P2=80kN，b=24cm , h=30cm。如要使柱的m—m截面只出现压应力，求P2的偏心距e。

第八章圆管构件的强度与稳定计算

第八章圆管构件的强度与稳定计算圆管构件的强度与稳定计算是在工程设计中非常重要的一部分内容。

圆管构件在实际应用中经常承受着各种外力作用，因此需要对其进行强度和稳定性的计算以确保其安全可靠的工作。

首先，我们来看圆管构件的强度计算。

圆管构件一般由材料强度较高的金属制造，因此我们主要关注构件的承受力是否超过所需的设计力。

圆管构件的强度计算主要包括以下几个方面。

1.弯曲强度计算：圆管构件在弯曲荷载作用下，会产生弯曲应力。

根据弹性力学理论，我们可以通过弯曲应力与材料的弯曲模量来计算出构件的弯曲强度。

一般来说，为了确保构件的安全性，我们会采用强度裕度来进行设计。

2.压缩强度计算：圆管构件在受到压缩荷载作用下，会产生压缩应力。

通过应力分析和工程经验，可以计算出圆管构件的压缩强度。

同样地，为了确保构件的安全性，我们会采用一定的强度裕度来进行设计。

3.拉伸强度计算：圆管构件在受到拉伸荷载作用下，会产生拉伸应力。

通过拉伸应力与材料的抗拉强度相比较，可以计算出圆管构件的拉伸强度。

同样地，为了确保构件的安全性，我们会采用一定的强度裕度进行设计。

4.剪切强度计算：圆管构件在受到剪切荷载作用下，会产生剪切应力。

通过剪切应力与材料的剪切强度相比较，可以计算出圆管构件的剪切强度。

同样地，为了确保构件的安全性，我们会采用一定的强度裕度进行设计。

以上是对于圆管构件强度计算的主要内容，但需要注意的是，实际工程中还需要考虑到一些特殊情况，如轴向荷载、温度变化等因素对构件强度的影响。

除了强度计算，稳定性也是圆管构件设计中需要关注的问题。

稳定性计算主要是针对构件在长期荷载作用下的承载能力，确保构件不会发生屈曲、失稳等问题。

在稳定性计算中，常用的方法有弯扭屈曲分析法、限制长度法等。

综上所述，圆管构件的强度与稳定计算是工程设计中的重要内容，通过对圆管构件进行强度和稳定性的计算，可以确保其在使用过程中的安全可靠性。

在实际设计中，需要综合考虑材料的强度特性、荷载情况、结构形式等因素，并采用一定的强度裕度来进行设计。

第八章轴向拉压杆的强度计算

x截面上的轴力为
表明该杆的轴力是截面位置x 的连续函数，
称为轴力方程。该轴力方程表明FN是关于截面位置x的一次函数，轴力图如图所示。
时，时，沿杆长的分布规律如图（c）所示；并可得
横截面上的正应力沿杆长呈线性分布。
时，时，
2、斜截面上的应力
在下一节拉伸与压缩试验中会看到，铸铁试件压缩时，其断面并非横截面，而是斜截面。这说明仅计算拉压杆横截面上的应力是不够的，为了全面分析解决杆件的强度问题，还需研究斜截面上的应力。
在曲线中d点之前试件沿长度方向其变形基本上是均匀的但当超过d点之后试件的某一局部范围内变形急剧增加横截面面积显著减小形成图示的颈该现象称为由于颈部横截面面积急剧减小使试件变形增加所需的拉力在下降所以按原始面积算出的应力按原始面积算出的应力fa称为名义称为名义应力应力也随之下降如图中dg段直到g点试件断其实此阶段的真实应力即颈部横截面上的应力随变形增加仍是增大的如图中的虚线dg所示
应力是内力的集度，内力或应力均产生在杆件内部，是看不到的。
应力与变形有关，所以研究应力还得从观察变形出发。
试验现象（矩形截面试件）：周线：平移，形状不变，保持平行；纵向线：伸长，保持平行，与周线正交。
拉（压）杆横截面上的内力是轴力，其方向垂直于横截面，因此，与轴力相应的只可能是垂直于截面的正应力，即拉（压）杆横截面上只有正应力，没有切应力。
0.33
胡克定律只适用于在杆长为l长度内F 、FN、E、A均为常值的情况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况。若杆件的轴力FN及抗拉（压）刚度EA沿杆长分段为常数，则
式中FNi、(EA) i和li为杆件第i段的轴力、抗拉（压）刚度和长度。若杆件的轴力和抗拉（压）刚度沿杆长为连续变化时，则

高等教育出版社简明材料力学第二版第八章应力状态分析和强度理论分析

1 150 MPa, 2 75 MPa,
3 0
2018/10/12 15
8-2 二向和三向应力状态的实例
火车车轮与钢轨的接触点也是三向应力状态
A
滚珠轴承
2 A
3
1
2018/10/12
16
第八章
应力状态分析和强度理论
§8-1 应力状态的概述单向拉伸时斜截面上的应力 §8-2 二向和三向应力状态的实例 §8-3 二向应力状态分析 §8-4 二向应力状态的应力圆 §8-5 三向应力状态简介 §8-6 广义胡克定律 §8-7 复杂应力状态下的应变能密度 §8-8 强度理论概述 §8-9 四种常用强度理论
则斜截面面积为： A Aα = cos α F F cosα F pα cos σ cosα Aα A A
σ σα = pα cosα =σ cos α τ α = pα sin α = σ sin α cos α = sin 2α 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
10
第八章
应力状态分析和强度理论
§8-1 应力状态的概述单向拉伸时斜截面上的应力 §8-2 二向和三向应力状态的实例 §8-3 二向应力状态分析 §8-4 二向应力状态的应力圆 §8-5 三向应力状态简介 §8-6 广义胡克定律 §8-7 复杂应力状态下的应变能密度 §8-8 强度理论概述 §8-9 四种常用强度理论
8-3 二向应力状态分析
考虑到切应力互等定理：τxy=τyx

xy
x y

yx

x y
x y

材料力学第八章

D2 E2 O2
某实际应力状态：与包络线相切，1>3， 3 1 有正负。 E3O3 O1O3 D3O3 D1O1 OO1 OO3 E2O2 O1O2 D2O2 D1O1 OO1 OO2 1 3 [ c ] [ t ] D3O3 D2O2 D1O1 2 2 2 1 3 [ c ] [ t ] OO3 OO2 OO1 2 2 2
最大拉应力1，与应力状态无关； 1．断裂原因： 2．强度准则： 1 u / nb 1 [ ] 断裂判据： 1 u 1 b 3．u由单向拉伸断裂条件确定： u b nb [ ] 4．应用情况：符合脆性材料的多向拉断试验，或压应力不超过拉应力情况，如铸铁单向拉伸和扭转；不能用于无拉应力的应力状态。
1．屈服原因：形状改变比能uf，与应力状态无关；
2．强度准则：
1 uf ufu / ns ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 [ ] 2
屈服判据：
1 uf ufu ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 s 2
4．应用情况：符合表面润滑石料的轴压破坏，某些脆性材料压应力很大时的双向拉压状态。
§8-2
断裂准则
一、最大切应力理论(第三强度理论，Tresca准则) 不论材料处于何种应力状态，引起材料屈服的原因是最大切应力max达到共同极限值s。
1．屈服原因：最大切应力max，与应力状态无关； 2．强度准则： max s / ns 1 3 [ ]
[t]、[c]：许可拉、压应力； [ t ] 1 3 [ t ] 如[t]=[c]，退化为最大切 [ c ] 应力准则。

(英汉双语)工程力学第八章强度理论

§8–2
四个强度理论及其相当应力
一、最大拉应力（第一强度）理论：
认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到
单向拉伸的强度极限时，构件就断了。 1、破坏判据： 1 b ; ( 1 0) 2、强度准则： 1 ; ( 1 0) 3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。
7
二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。
三、材料的破坏形式：⑴ 屈服； ⑵ 断裂。
1、伽利略播下了第一强度理论的种子；
2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的
萌芽； 3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论； 4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximum distortion energy theory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。
Mohr thought the maximum shearing
stress is the main cause of failure of materials ,but the friction force in the sliding
section is not neglected. (Law of Mohr
§8-4
Applications of strength theories
3
第八章强度理论
§8–1 强度理论的概念
§8–2 四个强度理论及其相当应力 §8–3 莫尔强度理论及其相当应力
§8-4
强度理论的应用4§8 Nhomakorabea１ CONCEPTS OF STRENGTH THEORIES 1、Opening words：

材料力学笔记(第八章)

材料力学（土）笔记第八章组合变形及连接部分的计算1．概述工程实际中，构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形若几种变形所对应的应力（变形）属于同一数量级，则构件的变形成为组合变形对于组合变形下的构件，在线弹性、小变形条件下，可按构件的原始形状和尺寸进行计算可先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的外力系分别计算构件在每一种基本变形下的内力、应力或变形利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算若构件的组合变形超过了线弹性范围，或虽在线弹性范围内但变形较大则不能按其初始形状或尺寸进行计算，不能用叠加原理工程实际中，经常需要将构件相互连接铆钉、螺栓、键等起连接作用的部件，统称为连接件连接件（或构件连接处）的变形往往比较复杂，而其本身尺寸都比较小在工程设计中，通常按照连接的破坏可能性采用既能反映受力的基本特征，又能简化计算的假设，计算其名义应力然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，来进行强度计算这种简化计算的方法，称为工程实用计算法2．两相互垂直平面内的弯曲对于横截面具有对称轴的梁当横向外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲这是，梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线碰到双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时承受横向外力的作用情况这时梁分别在水平纵对称面（Oxz 平面）和铅垂纵对称面（Oxy 平面）内发生对称弯曲在梁的任意横截面m-m 上，由1F 和2F 引起的弯矩值依次为1y M F x = 和 2()z M F x a =-梁的任一横截面m-m 上任一点(,)C y z 处与弯矩y M 和z M 相应的正应力分别为'yyM z I σ= 和 ''z z M y I σ=- 由叠加原理，在1F 和2F 同时作用下，截面m-m 上C 点处的正应力为 '''y z y z M M z y I I σσσ=+=-式中y I 和z I 分别为横截面对于两对称轴y 和z 的惯性矩y M 和z M 分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩且其力矩矢量分别与y 轴和z 轴的正向相一致在具体计算中，也可先不考虑弯矩和坐标的正负号，以其绝对值代入然后根据梁在荷载分别作用下的变形情况，判断由其引起该点处正应力的正负号为确定横截面上最大正应力点的位置，需求截面上中性轴的位置由于中性轴上各点处的正应力均为零，令0y 、0z 代表中性轴上任一点的坐标则由上式可得中性轴方程000yz yzM M z y I I -=由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线其与y 轴的夹角为θ，且tan tan y y z I I z M y M I I θϕ==⨯= 对于圆形、正方形等y z ，有由于梁各横截面上的合成弯矩M 所在平面的方位一般不相同所以，虽然每一截面的挠度都发生在该截面的合成弯矩所在平面内梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直平面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩计算确定中性轴位置后，作平行于中性轴的两条直线，分别与横截面周边相切于两点该两点即分别为横截面上拉应力和压应力为最大的点对于工程中常用的矩形、工字型等截面梁其横截面都有都有两个互相垂直的对称轴，且截面的周边具有棱角故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处于是，可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，无需定出中性轴在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的最大正应力之后由于危险点处于单轴应力状态，可按正应力强度条件计算横截面上的切应力，对于一般实体截面梁，其数值较小，可不必考虑3．拉伸（压缩）与弯曲3.1 横向力与轴向力共同作用等直杆受横向力和轴向力共同作用时，杆将发生弯曲与拉伸（压缩）组合变形对于弯曲刚度EI 较大的杆，由于横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小因此，由轴向力在相应挠度上引起的弯矩可略去不计可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力按叠加原理求其代数和，即得在组合变形下，杆横截面上的正应力max ,max N t t b F M A Wσσσ=+=+ 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件对于弯曲刚度EI 较小的杆件，在压缩和弯曲组合变形下轴向压力引起的附加弯矩较大，且其转向与横向力引起的弯矩相同因此不能按杆的原始形状来计算，叠加原理也不再适用3.2 偏心拉伸（压缩）作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起偏心拉伸或偏心压缩横截面具有两对称轴的等直杆承受矩截面形心为e （称为偏心距）的偏心拉力F 为例先将作用在杆端截面上A 点处的拉力F 向截面形心1O 点简化得到轴向拉力F 和力偶矩Fe ，将力偶矩分解为ey M 和ez Msin ey F M Fe Fz α==cos ez F M Fe Fy α==式中，坐标轴y 、z 为截面的两个对称轴F y 、F z 为偏心拉力F 作用点（A 点）的坐标于是的得到一个包含轴向拉力和两个在纵对称面内的力偶的静力等效力系此力系将分别使杆发生轴向拉伸和在两相互垂直的纵对称面内的纯弯曲当杆的弯曲刚度较大时，同样可按叠加原理求解在上述力系作用下任一横截面n-n 上的任一点(,)C y z 处相应于轴力N F F =和两个弯矩的正应力，由叠加原理，的C 点处的正应力F F y zFz z Fy y F A I I σ⨯⨯=++ 利用惯性矩与惯性半径间的关系 2y yI A i =⨯，2z z I A i =⨯ 式子可改写为22(1)FF y zz z y y F A i i σ=++ 上式是一个平面方程，表明正应力在横截面上按线性规律变化应力平面与横截面相交的直线（沿该直线0σ=）就是中性轴令0y 、0z 代表中性轴上任一点的坐标，代入即得中性轴方程002210F F y z z y z y i i ++= 在偏心拉伸（压缩）情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线为定出中性轴的位置，可利用其在y 、z 两轴上的截距y a 和z a在上式中，令00z =，相应的0y 即为截距y a ，而令00y =，相应的0z 即为截距z a 由此求得2z y F i a y =-，2y z Fi a z =- A 在第一象限内，F y 、F z 都为正值，则y a 、z a 均为负值即中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切两切点即为横街面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点将危险点的坐标代入公式即可求得最大拉应力和最大压应力对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处，并可根据杆件的变形来确定最大拉应力,max t σ和最大压应力,max c σ，其值为,max ,max t F F c yz Fz Fy F A W W σσ⎫⎪=±±⎬⎪⎭ 式子对箱型、工字形等具有棱角的截面都适用当外力的偏心距（F y 、F z ）较小时，中性轴可能不与横截面相交即横截面就可能不出现与轴力异号的应力由于危险点仍处于单轴应力状态，可按正应力的强度条件进行计算3.3 截面核心如前所述，当偏心轴向力F 的偏心距较小时，杆横截面上就可能不出现异号应力因此当偏心压力F 的偏心距较小时，杆的横截面上可能不出现拉应力外力作用点离形心越近，中性轴距形心就越远当外力作用点位于截面形心附近的一个区域内时，就可以保证中性轴不与横截面相交，这个区域就称为截面核心当外力作用在截面核心的边界上时相对应的中性轴正好与截面的周边相切，利用这一关系就可确定截面核心的边界为确定任意形状截面的截面核心边界，可将与截面周边相切的任一直线视作中性轴在y 和z 形心主惯性轴上的截距分别为1y a 和1z a可确定与该中性轴对应的外力作用点1按上述方法求得与其对应的截面核心边界上的点2、3、…的坐标连接这些点所得到的一条封闭曲线，即为所求截面核心的边界该边界曲线所包围的带阴影线的区域，即为截面核心圆截面对于圆心O 时极对称的，因此，截面核心的边界对于圆心也是极对称的为一圆心为O 的圆作一条与圆截面周边相切于A 点的直线，将其视为中性轴取OA 为y 轴，于是，该中性轴在y 和z 形心主惯性轴上的截距为1/2y a d =， 1z a =∞圆截面的222/16y z i i d ==，将其代入公式即得与其对应的截面核心边界上点1的坐标2211/16/28z y y i d d a d ρ=-=-=-，2110y z z i a ρ=-= 从而可知，截面核心边界是一个以O 为圆心，/8d 为半径的圆对于边长为b h ⨯的矩形截面，两对称轴y 和z 为截面的形心主惯性轴将与AB 向切的直线①视作中性轴，其在y 和z 轴上的截距分别为，矩形截面2212yb i =，2212z h i = 将上式代入，即得中性轴①对应的截面核心边界点上点1的坐标为2211/12/26z y y i h h a h ρ=-=-=-, 2110y z z i a ρ=-= 同理，分别将与矩形边界相切的直线②、③、④视作中性轴可得对应的截面核心边界上点2、3、4的坐标从而得到了截面核心边界上的4个点当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其相邻边时将得到一系列通过边界点B 但斜率不同的中性轴而B 点的坐标(,)B B y z 是一系列中性轴共有的将其代入中性轴方程，经改写后得2222110F F B B B B F F y z y z z y z y z y z y i i i i ++=++= 上式中，B y 、B z 为常数因此该式就可看作时表示外力作用点坐标(,)F F y z 间关系的直线方程即当中性轴绕B 点旋转时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条连接点1、2的直线将1、2、3、4四点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心边界截面核心为位于截面中央的菱形对于具有棱角的截面，均可按照上述方法确定其截面核心对于周边有凹进部分的截面（例如槽型或T 字型截面等）在确定截面核心边界时，应该注意不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性轴，因为这种直线显然约横截面相交4．扭转与弯曲一般的传动轴通常发生扭转与弯曲组合变形讨论杆件发生扭转与弯曲组合变形时的强度计算直径为d 的等直圆杆AB ，A 端固定，B 端具有与AB 成直角的刚臂，并受铅垂力F 作用，将F 简化为一作用于杆端截面形心的横向力F 和一作用于杆端的力偶矩e M Fa = 杆AB 将发生弯曲与扭转组合变形分别作杆的弯矩图和扭矩图，可见杆的危险截面为固定端截面，内力分量分别为M Fl =， e T M Fa ==由弯曲和扭转的应力变化规律可知危险截面上的最大弯曲正应力σ发生在铅垂直径的上、下两端点对于许用拉应力，压应力相等的塑性材料来说，该两点的危险程度相同研究任一点，围绕该点分别用横截面、径向纵截面和切向纵截面截取单元体该点应力状态如图所示，可见该点处于平面应力状态，其三个主应力为132σσσ⎫=⎬⎭ 20σ= 对于塑性材料制成的杆件，选用第三或第四强度理论来建立强度条件用第三、第四强度理论，将上述各应力代入向相应的应力表达式求得相当应力后，即可根据材料的许用应力[]σ来建立强度条件，对杆进行强度计算其中弯曲正应力/M W σ=，扭转切应力/p T W τ=，对于圆截面杆2p W W =截面周边各点处弯曲正应力的数值和正负号都将随着轴的转动而交替变化这种应力称为交变应力，交变应力下工作的构件另有相应的计算准则5．连接件的实用计算法5.1 剪切的实用计算设两块钢板用螺栓连接后承受拉力F螺栓在两侧面上分别收到大小相等、反向相反、作用线相距很近的两组分布力系的作用螺栓在这样的作用下，将沿两侧外力之间，并与外力作用线平行的截面m-m 发生相对错动称为剪切面应用截面法，可得剪切面上的内力，即剪力s F在剪切实用计算中，假设剪切面上各点处的切应力相等于是剪切面上的名义切应力为S sF A τ=式中s A 为剪切面面积，s F 为剪切面上的剪力通过试验得到剪切破坏时材料的极限切应力u τ，除以安全因数，得许用应力[]τ 剪切强度表示为[]S sF A ττ=≤ 名义切应力并不反映剪切面上切应力的精确理论值只是剪切平面上的平均切应力但对于低碳钢等塑性材料材料制成的连接件，变形较大而临近破坏时剪切面上的切应力将逐渐趋于均匀而且满足剪切强度条件式，不至于发生剪切破坏，从而满足工程需要对于大多数的连接件来说，剪切变形及剪切强度时主要的5.2 挤压的实用计算螺栓连接中，在螺栓与钢板相互接触的侧面上，将发生彼此间的局部承压现象，称为挤压在接触面上的压力，称为挤压力，并记为bs F挤压力可根据被连接件所受的外力，由静力平衡条件求得当挤压力过大时，可能引起螺栓压扁或钢板在孔缘压皱，从而导致连接松动失效在挤压实用计算中，假设名义挤压应力的计算式为bs bs bsF A σ= 式中，bs F 为接触面上的挤压力；bs A 为计算挤压面面积当接触面为圆柱面时，计算挤压面面积bs A 取为实际接触面在直径平面上的投影面积理论表明，这类圆柱状连接件与钢板孔壁间接触面上的理论挤压应力沿圆柱的变化情况如图计算所得的名义挤压应力与接触面中点处的最大理论挤压应力值相近当连接件与被连接构件的接触面为平面时，计算挤压面面积即为实际接触面的面积通过试验，按名义挤压应力公式得到的材料的极限挤压应力，除以安全因数确定许用挤压应力[]bs σ，则挤压强度条件可表达为[]bs bs bs bsF A σσ=≤ 注意，挤压应力是在连接件和被连接件之间相互作用的当两者材料不同时，应校核其中许用挤压应力较低的材料的挤压强度6．铆钉连接的计算铆钉连接在建筑结构中被广泛采用铆接的方式主要有搭接、单盖板对接和双盖板对接三种搭接和单盖板对接中的铆钉具有一个剪切面（称为单剪）双盖板对接中的铆钉具有两个剪切面（称为双剪）6.1 铆钉组承受横向荷载在搭接和单盖板对接中，由铆钉的受力可见铆钉（或钢板）显然将发生弯曲在铆钉组连接中，在弹性变形阶段两端铆钉的受力与中间铆钉的受力并不完全相同为简化计算，并考虑到连接在破坏前将发生塑性变形，在铆钉计算中假设①不论铆接的方式如如何，均不考虑弯曲的影响②若外力的作用线通过铆钉组横截面的形心，且同一组内各铆钉的材料与直径均相同，则每个铆钉的受力相等按照上述假设，即可得每个铆钉的受力1F 为1F F n= 式中，n 为铆钉组中的铆钉数求得每个铆钉的受力1F 后，即可分别校核其剪切强度和挤压强度被连接件由于铆钉孔的削弱，其拉伸强度应以最弱截面（轴力较大，截面积较小）为依据不考虑集中应力的影响对于销钉或螺栓连接，其分析计算方法与铆钉连接相同6.2 铆钉组承受扭转荷载承受扭转荷载的铆钉组，由于被连接件（钢板）的转动趋势每一铆钉的受力将不再相同令铆钉组横截面形心为O 点假设钢板的变形不计，可视为刚体于是，每一铆钉的平均切应变与该铆钉截面中心至O 点的距离成正比，其方向垂直于该点与O 点的连线由合力矩定理，每一铆钉上的力对O 点力矩的代数和等于钢板所受的扭转力偶矩e M ，即 e i i M Fe Fa ==∑式中，i F 为铆钉i 所受的力；i a 为该铆钉截面中心至铆钉组截面形心的距离对于承受偏心横向荷载的铆钉组可将偏心荷载F 向铆钉组截面形心O 简化得到一个通过O 点的荷载F 和一个绕O 点旋转的扭转力偶矩e M Fe =若同一铆钉组中每一铆钉的材料和直径均相同则可分别计算由力F 引起的力'i F 和由转矩e M 引起的力''i F铆钉i 的受力为'i F 和''i F 的矢量和求得铆钉i 的受力i F 后，可分别校核受力最大的铆钉的剪切强度和挤压强度。

工程力学08扭转

结构轻便，应用广泛。
28
等直圆杆在扭转时的应力 ·强度条件
⑤ 确定最大剪应力：由
T Ip
知：当
R d , m ax
2

max
d T 2 Ip
T Ip
T d (令 W I p ) 2 d Wt 2
抗扭截面系数（抗扭截面模量）几何量，单位：mm3或m3。
17
薄壁圆筒的扭转
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这
种应力状态称为纯剪切应力状态。
四、剪切虎克定律：
18
薄壁圆筒的扭转
T=m

T ( 2 A 0t)

( L ) R

剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
19
等直圆杆在扭转时的应力 ·强度条件
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系：
G1G d tg dx dx
d dx
距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率。 dx
22
等直圆杆在扭转时的应力 ·强度条件
34
等直圆杆在扭转时的应力 ·强度条件
[例2]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。 m m 解：①求扭矩及扭矩图 A T B D3 =135 C D2=75 D1=70
N 103 TBC m 2n
150 103 (N m) 2 3.14 15 .4 1.55(kN m)
6
传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图

河海大学材料力学第八章杆类构件静力学设计第二节

s u = sb (脆性材料) s u = ss (塑性材料)
要保证杆件安全而正常地工作，其最大工作应力显然不能超过材料的极限应力。考虑到在实际使用中存在的一些不利因素，如杆件可能承受超过设计值的载荷，实际材料的极限应力可能小于试验结果，计算时所取的计算简图可能不完全符合实际情况，杆件尺寸制造不准确等等，以及还必需给杆件必要的强度储备，因此设计时不能使杆件的最大工作应力等于极限应力，而必须小于极限应力。
3、若材料的[s ] ≠ [s - ] (如铸铁等)，以及中性轴不
是截面的对称轴，则需分别对最大拉应力和最大压应力作强度计算。
4、对于实心截面杆，在一般受力情况下，正应力强度起控制作用，不必校核切应力强度。但对于薄壁截面，如焊接工字型钢梁，以及集中载荷作用在靠近支座处，从而使梁的最大弯矩较小而最大剪力较大等这些情况，则需要校核切应力强度。
z FA=10kN
yb
FB=110kN
8kN•m (+)
(–)
M图 (2)确定危险截面、危险点危险截面：截面B， C
危险点：截面B和C上a、b两点
截面B
16kN•m
sa = 29.4MPa(拉) < [s +] sb = 87.0MPa(压) < [s -]
截面C
sa = 14.7MPa(压) < [s -] sb = 43.5MPa(拉) > [s +]
例：T型截面铸铁梁，Iz=26.1×10 6mm4，y1=48mm，
y2=142mm， [s +] =40MPa，[s -] =110MPa ，试校核该梁的强度。超过[s +] 8.75%，该梁不安全
40kN 200kN/m

第八章弯曲内力、应力及强度计算

例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程

第八章组合变形构件的强度-

1.外力分析
Fx F cos; Fy F sin 2.内力分析
FN Fx F cos FS Fy F sin M z Fy (l x) 上侧受拉
F sin(l x)
m
xm l
z
Fx
x
Fy
F
y
z
FS
FN x
y Mz
§8-2 弯曲与拉伸(或压缩)得组合
一、拉(压)与弯曲组合变形
第八章组合变形构件的强度
第八章组合变形构件得强度
轴向拉(压)
F
内
FN
力
FN F
扭转
m
x
T
T m
F
应
T
力
FN (x)
A
max
(ρ) T ρ Ip
对称弯曲
FS
M
σ
τ FS
M
My
;
FS
S
z
Iz
bI z
§8-1 概述一、组合变形
F2
F1
Me
F1 — 轴向拉伸 F2 — 弯曲变形 Me — 扭转变形
F2
2
F1
1
z
FN F1
A bh
x 3
My Wy
F1 b h b2
2 6
3F1 bh
4
l
l
y
Mz Wz
F1 h b h2
2 6
3F1 bh
1
F1 bh
3F1 bh
3F1 bh
F1 bh
3
2
F1 bh
3F1 bh
3F1 bh
7 F1 bh
4
F1 bh
3F1 bh
3F1 bh

第八章库仑定律场强

221rQ Q k F =229/100.9C m N k ∙⨯=第八章电场§8.1 库仑定律场强一、电荷守恒定律1、电荷守恒定律电荷既不能创造，也不能消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分。

这个结论叫做电荷守恒定律，是物理学中重要的基本定律之一．2、使物体带电（起电）的方法有：摩擦起电、接触起电、感应起电。

3、元电荷：电子和质子带有等量的异种电荷。

电荷量 e = 1.60×10-19 C 。

电荷量e 称为元电荷．e 的数值最早是由美国科学家密立根实验测得的。

二、库仑定律1、库仑定律----法国物理学家库仑，1785年。

内容：真空中两个点电荷之间相互作用力的大小，跟它们的电荷量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上。

电荷间这种相互作用力叫做静电力或库仑力。

2、公式：其中k 叫做静电力常量。

是库仑通过扭秤实验得出的。

3、成立条件①真空中（空气中也近似成立）。

②点电荷。

4、点电荷带电量的点叫做点电荷。

如果带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状和大小对相互作用力的影响可以忽略不计，这样的带电体就可以看作点电荷。

点电荷是理想化的模型。

三、电场1、电场：是指电荷或带电体周围存在的一种特殊物质。

（1）只要有电荷存在，电荷的周围就存在着电场，电荷之间的相互作用是通过电场发生的。

（2）电场的基本性质是它对放入其中的电荷有力的作用，这种力叫做电场力。

电荷放入电场后就具有电势能。

2、电场强度（1）定义：放入电场中某点的电荷所受的电场力F 跟它的电荷量q 的比值，叫做该点的电场强度，简称场强。

用E 表示电场强度，则有E=F/q （适用于任何电场）（2）其中的q 为试探电荷（以前称为检验电荷），是电荷量很小的点电荷（可正可负）。

（3）电场强度的单位是牛顿/库仑(N/C)或伏特/米（V/m)（4）物理意义：单位正电荷在该处受到的电场力（5）电场强度是矢量，规定电场中某点的场强的方向跟正电荷在该点所受的电场力的方向相同。

第八章组合变形及连接部分的计算

P2 a
m
z
x
P1
m
x
y
m
z x
My
m
y
P1 在 m—m 面内产生的弯矩为 My = P1 x （使梁在 XZ 平面内弯曲，y 为中性轴）
P2 a
m
z
x
P1
m
x
y
m
MZ z x
My
m
y
P2 在 m—m 面内产生的弯矩为 MZ = P2 (x-a) （使梁在 XY 平面内弯曲，z 为中性轴）
二、梁横截面上的应力分析（任意点 C(y, z) 的正应力）
z
tg Iy tg
Iz
M
y
梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线，故梁的扰曲线方程仍应分别按两垂直面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。
四、强度分析
中性轴
Байду номын сангаас
作平行于中性轴的两直线分别与
D1 z
o
横截面周边相切于 D1 、D2两点
，D1 、D2 两点分别为横截面上
最大拉应力点和最大压应力点。
D2
A 截面： D 截面：
(max
)A
M zA Wz
M W
yA y
(21.5103)q
(max
)D
M zD Wz
M yD Wy
(16.02103)q
梁的危险点在 A 截面棱角处
max
(max )A
M zA Wz
M yA Wy
(21.5103)q
[]
160106
[q] 160103 7.44kN/m 21.5
§8-1 概述
一、组合变形概念 : 构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形。

第八章组合变形构件的强度

偏心距e。
P
εa
P
e e h
【解】1）将P向轴线平移。
M e Pe
P
2）由虎克定律得：
Me
z
εb
b
εa
P
εb
Me
a b
a
E
b
E
1 E
1 E
P A
P A
Me Wz
Me Wz
1 E
1 E
P bh P bh
12Pe b h3
12Pe b h3
P
Ebh( a
2
e
h(
a
b)
6( a b)
A
F
+
σ'
2)当梁上只有P作用时，其弯
P ab
矩图和应力图为：
A
B
C
σ''
正应力：σ M (x) y
Iz
3)F、P同时作用时正应力：
Pab/(a+b)
+
AC
B
σmin σ σmax
F M (x) y
A
Iz
4)整个梁正应力在C截面上下边缘取得极值：
Hale Waihona Puke 5)梁处于单向应力状态，强度条件为：
σ
态，处于二向应力状态。
τ
5)强度计算：
eq3 2 4 2
2 m
ax
4
2max
M ma Wz
x
2
4
Tm W
ax t
2
M max Wz
2
4
T max 2W z
2
1 W
z
M
2 m
ax
T

第八章圆管构件的强度与稳定计算

推导当复杂应力状态下变形能等于单轴受力时的变形能时，
钢材即由弹性转入塑性。
Z
z
zx
zy yz
xz
y
xy yx
x
3 2
1 2
X
o单元体受复杂应力Y
状态下的分量
1
3
单元体受
主应力
钢材单元体上的复杂应力状态
在三向应力作用下，钢材由弹性状态转变为塑性状态的条件，可以用折算应力和钢材在单向应力时的屈服点相比较来判断。
小直径焊管宜采用直缝焊，大直径焊管宜采用螺旋焊
3）圆管构件设计计算方法
由于海上平台的荷载条件和工作环境都比较复杂，设计资料不足，故目前世界各国的平台规范大多采用容许应力设计法
容许应力法：

s
n
式中： σs ——钢材的屈服强度 n— — 强度安全系数
应考虑结构的重要性、荷载情况、材料不均匀性、制造和安装缺陷、计算误差等因素来确定强度安全系数n
3）变形和刚度条件
弹性结构在荷载作用下将产生弹性变形或振动，过大的变形或振动会影响平台的正常工作
受弯构件的刚度用挠度衡量结构振动用自振周期（或频率）衡量
轴向受力构件的刚度用长细比衡量
2 圆管构件的强度计算
2.1 强度破坏准则 2.2 圆管构件的强度计算
2.1 强度破坏准则
强度计算以钢材的屈服点为极限值，按规范确定容许应力导管架的构件主要包括腿柱和支撑，它们都由钢管组成
有侧移的刚架压杆有效长度系数共线图
5）局部屈曲和整体屈曲的相互影响
当需要考虑局部屈曲与整体屈曲的相互影响时，有两种确定容许应力的方法： a）分别求出局部屈曲临界应力和整体屈曲临界应力，取两者小值为容许应力，由此进行稳定性校核。该方法忽略了两种屈曲的相互影响，不安全

第八章 强度分析与计算

材料力学：第八章-应力应变状态分析

车辆结构强度设计与分析

强度设计

第八章组合变形时的强度计算

第八章圆管构件的强度与稳定计算

第八章 轴向拉压杆的强度计算

高等教育出版社简明材料力学第二版 第八章 应力状态分析和强度理论分析

材料力学第八章

(英汉双语)工程力学第八章 强度理论

材料力学笔记(第八章)

工程力学08扭转

河海大学 材料力学 第八章 杆类构件静力学设计第二节

第八章 弯曲内力、应力及强度计算

第八章组合变形构件的强度-

第八章 库仑定律 场强

第八章组合变形及连接部分的计算

第八章组合变形构件的强度

第八章 圆管构件的强度与稳定计算

第八章强度分析与计算

第八章轴向拉压杆的强度计算

高等教育出版社简明材料力学第二版第八章应力状态分析和强度理论分析

(英汉双语)工程力学第八章强度理论

河海大学材料力学第八章杆类构件静力学设计第二节

第八章弯曲内力、应力及强度计算

第八章库仑定律场强

第八章圆管构件的强度与稳定计算