平面向量中最值、范围问题(含解析)高三数学备考冲刺

问题7平面向量中最值、范围问题
一、考情分析
平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二、经验分享
1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.
3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展 1．.
2．
四、题型分析
(一) 平面向量数量积的范围问题
已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即
a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定
义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),
则a·b＝x1x2＋y1y2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．
【例1】【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则的最小值是_______．
【答案】
【分析】
由题意，以点A为原点，建立的平面直角坐标系，设点，其中，则向量
求得，再由，整理得，利用基本不等式，即可求解.
【解析】由题意，以点A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设点，其中，则向量，
所以
又由，则，
整理得，
又由，
设，整理得，解得，
所以，所以的最小值为.
【点评】与几何图形有关的平面向量的数量积的运算及应用，常通过建立空间直角坐标系，利用向量的数
量积的坐标运算求解
【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______． 【答案】
【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以,从而02b <≤,所以
,又
,即,解得,故
.
(二) 平面向量模的取值范围问题 设(,)a x y =,则
,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是
有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．
【例2】已知向量,,a b c 满足a 与b 的夹角为
4
π
,
,则c a -的
最大值为 .
【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设
；
以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系, ∵
a 与
b 的夹角为
4
π
,
则A （4,0）,B （2,2）,设C （x,y ） ∵
,
∴x 2+y 2-6x-2y+9=0,
即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,
c a -表示点A,C 的距离即圆上的点与点A （4,0）的距离；
∵圆心到B 的距离为,
∴c a -的最大值为
12+．
【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．
【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,
OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量
,且
,则OC 的最大值为__________．
【答案】
3
2
【解析】
因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,,
,如图,取AB 中点D ,则
,
12
OD =
, ,由
可得
, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆
心, 1为半径的圆上, ∴当O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为32
. (三) 平面向量夹角的取值范围问题
设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则
．
【例3】已知向量→OA 与→
OB 的夹角为θ,
0t 在时取得最
小值,当01
05
t <<
时,夹角θ的取值范围为________________. 【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ ,转化为求二次函数的最
小值问题,当时,取最小值,由已知条件01
05
t <<
,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解． 【解析】由题意知,
,
,所以
,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,
.由
题意可得,
,求得
,所以
3
22
πθπ
<
<. 【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．
【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数在R 上存在极值,
则a 和b 夹角的取值范围为
【答案】,3ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】
,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以,即
,即1cos 2θ<
,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
． （四）平面向量系数的取值范围问题
平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．
【例4】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是 ． 【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得3
10
<
λ,再除去a 与b 共线同向的情形．
【解析】由于a 与b 的夹角为锐角,0>⋅∴b a ,且a 与b 不共线同向,由
,解得
310<
λ,当向量a 与b 共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是3
10
<λ且56-≠λ．
【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>． 【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ∆中,.
（1）求AB BC ⋅的值；
（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且,其中,x y R ∈.求xy 的
取值范围.
【解析】（1）.
（2）建立如图所示的平面直角坐标,则.
设,由,
得.所以.
所
以.
.
因为,
所以,当26
2
π
π
θ-=
时,即3
π
θ=
时, xy 的最大值为1； 当
或
即0θ=或23
π
θ=
时, xy 的最小值为0.
五、迁移运用
1．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】在平面四边形中，，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），
因为DA＝DB，可设D（，m），
因为，AB＝1，由数量积的几何意义知在方向的投影为3，
∴可设C（3，n），
又所以，，即
，
＝＝，
当且仅当，即n＝1，m＝时，取等号，
故答案为.
2．【江苏省无锡市2019届高三上学期期末】已知点 P 在圆 M： (x-a)2 +(y－a+2)2＝1 上， A，B 为圆 C：x2 +(y-4)2＝4 上两动点，且 AB ＝2, 则的最小值是____．
【答案】
【解析】取AB的中点D，因为AB ＝2，R＝2，CD＝＝1，
所以，＝.
C（0,4），M（a，a－2）
当C、D、P、M在一条直线上时，｜PD｜最小，此时，
｜PD｜＝｜CM｜－｜CD｜－｜PM｜＝
所以，＝≥19－12，当a＝3时取到最小值19－12.
故答案为：.
3．【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】在平面直角坐标系中，已知点为圆上的两动点，且若圆上存在点使得则正数的取值范围为________.
【答案】
【解析】设BD的中点为D,所以所以点D在以原点为圆心，以1为半径的圆上，
所以点D的轨迹方程为，
因为，所以
设
所以所以m表示动点到点（1,1）的距离，
由于点在圆上运动，
所以
，
所以正数m 的取值范围为.
故答案为：
4．【江苏省如皋市2018-2019学年高三数学第一学期教学质量调研】在△ABC 中，D 为AB 的中点，若
，则
的最小值是_______．
【答案】
．
【解析】根据D 为AB 的中点，若，得到，
化简整理得，即
，
根据正弦定理可得，进一步求得
，
所以
，
求导可得当
时，式子取得最大值，代入求得其结果为
，
故答案为.
5．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ∆中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ∆内一点（含边界）,若满足
,则BA BP ⋅的取值范围为________．
【答案】525,
84⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】由余弦定理,得
,因为P 为ABC ∆内一点（含边界）,且满足
,所以30,4
λ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
,则
.
6．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD 的边长2AB =, 1AD =.点P ,
Q 分别在边BC , CD 上,且
,则AP AQ ⋅的最小值为_________.
【答案】424-
【解析】以A 坐标原点,AB,AD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系,设
所以AP AQ ⋅
因为,所以
因为,所以
因此
7．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P 是边长为23的正三角形
ABC 内切圆上的一点,则PA PB ⋅的取值范围为_______.
【答案】[]
3,1-
【解析】以正三角形ABC 的中心为原点,以AB 边上的高为y 轴建立坐标系,则,正三角形ABC 内切圆的方程为2
2
1x y +=,所以可设
,则
,
,故答案为[]
3,1-.
8．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,则AB CD ⋅ 的最大值为________．
【答案】24
【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时
,
即AB CD ⋅
9．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120︒,那么2a xb -（x R ∈）的最小值是__________． 【答案】3 【解析】
∴ 2a xb
-的最小值为3.
10．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB 上的动点, AB 与OC 交于点P ,则·OP BP 的最小值是_____________________． 【答案】1
4
-
【解析】设弦AB 中点为M,则
若,MP BP 同向,则0OP BP ⋅>,若,MP BP 反向,则0OP BP ⋅<,
故OP BP ⋅的最小值在,MP BP 反向时取得,
此时,则：,
当且仅当
时取等号,即OP BP ⋅的最小值是14
-
. 11．已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ⋅的取值范围是 ． 【答案】[9,0]- 【解析】 试题分析：
,而
,所以MA MB ⋅的取值范围是
[9,0]-
12．在ABC ∆中, ,则角A 的最大值为_________.
【答案】
6
π 【解析】
试题分析:由题设可得,即
,也即
,故
,
由
于,
因
此
,故
,所以
,所以6
max π
=
A ,应
填答案
6
π. 13．在平面内,定点,,,A B C D 满足
,动点
,P M 满足
,则BM 的最大值是__________.
【答案】321- 【解析】 试题分析:设,则
.由题设可知
,
且
.建立如图所示的平面直角坐标系,则
,由题意点P 在
以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM 的值最大,其最大值是123-.应填答案321-.
14．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边
BC , CD 上运动（包括端点,且满足
,则AM AN ⋅的取值范围是__________．
【答案】[1,9]
【解析】分别以AB,AD 为x,y 轴建立直角坐标系,则
,设,
因为
,所以33
x
b -=
,则,
故
,所以
,故填[1,9].
15.在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且1
2
BC CD =
,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若,则x 的取值范围是__________．
【答案】()2,0- 【解析】 因为,
因为1
2
BC CD =
,点O 在线段CD 上, 所以()0,2y ∈,
因为
,所以()2,0x ∈-.
16．已知向量(),2a x =-,(),1b y =,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥,则2t x y =+的最小值是___________． 【答案】4
【解析】由a b ⊥,得0=⋅b a ,即
,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以
．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．
17．在ABC ∆中,已知3AB =,3
C π
=,则CA CB ⋅的最大值为 .
【答案】
32
【解析】
,由余弦定理得：
,所以
3
2
CA CB ⋅≤,当且仅当a b =时取等号
18．已知△ABC 中,4AB =,2AC =,（R λ∈）的最小值为23,若P 为边AB 上
任意一点,则PB PC ⋅的最小值是 ． 【答案】94
-
【解析】令()f λ＝
＝216λ＋
24(22)λ-＋
＝
,当cos 0A =时,()f λ＝
,因为2322>,所以2
A π
=
,则建立直角坐标系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则
,
,所以PB PC ⋅＝
(4)x x --＝
2(2)4
x --；当
cos 0
A ≠时
,
()
f λ＝
＋
1cos ]2
A
+≥,解得1cos 2A =
,所以3
A π=,则建立直角坐标
系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则
, ,所以
PB PC ⋅＝
＝2
59()2
4x --
．综上所述,当52x =时,PB PC ⋅取得最小值94
-．。