结构力学力法2详解

解：1、由于该结构的反力是静定的， 求出后用反力代替约束。
FP/4 FP/2 FP/4
2、该结构有两根对称轴，因此 把力变换成对称与反对称的。 原结构=对称+反对称
对称结构的计算
FP/4 FP/2 FP/4
对称情况，只是三根柱受轴力，
由于忽略向变形，不会产生弯矩，
因此不用计算。
原
FP/4 FP/2 FP/4
0.5P 0.5P
M P
M P
5
0.5P 0.5P
0.5P 0.5P
M P
11 X1
12 X 2
1P
0
21 X1 22 X 2 2P 0
0.5P
正对称荷载
作用下，对
称轴截面只
产生轴力和
正对称荷载 弯矩。
1、奇数跨对称结构的半边结构
2、偶数跨对称结构的半边结构
M P
33 X 3 3P 0
§10-4 超静定桁架和组合结构
一、超静定桁架
a
2 5 16
P 3
4
EA=c
a
X1 X1
P
1/ 2
1/ 2
1 X1 1
1/ 2
X1 1
1/ 2
N1
（1）基本体系与未知量 X 1 （2）力法方程 11 X 1 1P 0
（3）系数与自由项
11
N12l 1 EA EA
N12l
1 EA
22
FP/2
FP/4
FP/4
MP图
M1图
力法方程： 11 X1 1P 0
后续计算省略。
X1=1
二、广义未知力的利用
用于原体系与基本体系都是对称的，但未知力并非对称或反对称。
Y1 11
X1 1
X1
Y2 X 2 11 22
X1 1 X2 1
X1 X2
22
X2 1
11 X 1 21X1
0.396P a
N
思考：若取上面的基本体系，
力法方程有没有变化?
力法方程： 11X1 1P ?
11 X1
1P
X1 2a EA
21
二、组合结构
X1 1
N1
M P1
X1
X1
X1 1
M1
M P2
11X1 1P 0
11
M12 dx N12l
EI
EA
1P
M1M P dx EI
M1M P1 M P2 dx
EI
M1M P1dx EI
M1M P2 dx EI
X1
1P
11
22
组合结构
例题
A
q kN/m
B
求所示组合结构的内力。
解：a、取基本体系
该结构为一次超静定，切 断CD杆，代之以X1 。
a EI1 A2
L/2
C A1
A3 a
D L/2
原结构
b、列力法方程
A
q kN/m
2a
P
P
2P
P
0
P
NP
1P
N1NPl 1 EA EA
N1NPl
1 EA
Pa 2
32
2
20
（4）解方程
1 (2 2 EA
2)a X1
1 EA
32 2
2
Pa
0
32 2
X1
P 0.854P
P
2 24
（5）内力 N N1X1 NP
X1
X1
0.396P
P
a 0.396P -0.604P
M2
11 X 1 21 X 1
12 X 2 22 X 2
13 X 3 23 X 3
1P 2P
0 0
31 X 1 32 X 2 33 X 3 3P 0
M3
11 X1
12 X 2
1P
0
21 X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0
P
0.5P 0.5P
11 X1
1P
0
22 X 2
2P
0
..........................
nn X n nP 0
一、对称性的利用
对称的含义：1、结构的几何形状和支座情况对某轴对称； 2、杆件截面和材料（E I 、EA）也对称。
I2
I1
I1
4
X1 X1 1
X2 X2 1
X3 1
X3
M1
0.5P 反对称荷载 作用下，对 称轴截面只 产生剪力。
反对称荷载
6
I2
I1
I3
I2 I1
I2
l’ I 2
I1
I3 I3 22
I1
1）正对称荷载作用下
I2
I1
I3
不考虑轴向变形 条件下，可简化 为：
I2 I1
2）反对称荷载作用下
I2
I1
I3 2
I2
I1
I3 2
7
P
P/2
I2
I1
I1 =
P/2 P/2
但由于荷载相对水平轴是反 对称的，因此切开的截面处
X1
X1
只有反对称的内力存在，即 只有剪力。
又由于荷载对于竖向对称
FP /4
FP /2
FP/4
基本体系
轴是对称的，因此两个多余未知力应该大小相等，方向
相反。
综上所述，该结构在所示荷载作用下是1次超静定的。
Байду номын сангаас称结构的计算
FP/4
FP/2
FP/4
X1=1
B
由： 1 0
得： 11 X1 1p 0
EI1 C A1
A2
X1 A3
D
基本体系
组合结构
（3）计算δ11 、Δ1P
A
L/4 B
(a) FN 1、M1图
EI1
C A1
a/2h A
-1 X1=1 A a/2h
D
组合结构
（3）计算δ11 、Δ1P
L/4
A
B
EI1
C A1
a/2h A
-1
X1=1 A
P/2
+
P/2
P/2
X1
MP
X1
M1
8
P I 2I I
P/2 I 2I
P/2 I
P/2 I
没有弯矩
P/2 I 2I
P/2 I
P/2 I I 2次超静定
9 35
对称结构的计算
例：利用对称性计算图示结构。
所有杆长均为L，EI也均相同。
FP
FP
原结构
=
FP/2
=
FP /2
FP/4 FP/2 FP/4
FP/4 FP/2 FP/4 FP/4 FP/2 FP/4
结 构
FP/4 FP/2 FP/4 反对称情况，在荷载作用下，
梁会发生相对错动，因此会产生
弯矩。
FP/4 FP/2
FP/4
该结构有两根对称轴，对于竖 向对称轴，荷载是对称的，对于
水平对称轴荷载是反对称的。
对称结构的计算
反对称情况的基本体系
如图所示。 该结构应是6次超静定的，
FP/4
FP /2
FP/4
a/2h
D
(a) FN 1、M1图
qL2/8
0
0
0
(b) FN P、M P 图
组合结构
（4）解力法方程，求X1
X1
1 p
11
（5）求最后的内力N、M
由迭加法求得
FN FN 1 X1 FN p M M1 X1 M p
LX1/4+qL2/8
aX1/2h
X1 aX1/2h
FN 、M图
§10-5 力法计算的简化
11 X 1
12 X 2
............... 1n X n
1P
0
21X1
22 X 2
............... 2n X n
2P
0
....................................................................
n1X1 n2 X 2 ............... nn X n nP 0