结构力学力法

15.4 0.1925 19.3% 80
令梁内正、负弯矩 值相等可得：
如何求 A ？
梁受力有利
FN 44.9
A 1.7 10 m
3
2
533.3 5 49.98 ql 当 A , X1 10.67 4
FN 50
FN (kN )
梁的受力与两跨 连续梁相同。 （同例3中 k ）
问题：如何建立如下基本结构的典型方程？
X3
X1
基本体系2
X3
X1
X2
基本体系3
X2
X3
X1
基本体系2
X2
i
i
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 b 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 a X X X 31 1 32 2 33 3 3
或写作矩阵方程
δ X P
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图 M i , M P (4) 求基本结构的位移系数
ij
图乘来求
(5) 求基本结构的广义荷载位移
iP
注意： 用图乘法求 ij 和 iP 时应注意图乘条件 (6) 解方程求未知力 X i
M M1 X1 M 2 X 2 M 3 X 3
支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关 吗？ 这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？ M k Mds M k Mds k k FRi ci EI EI
h l 11 22 EI 3 EI l 12 6 EI 3 2 2h hl 33 3 EI EI 2 h hl 13 23 2 EI 2 EI
力法
超静定结构
以力作为基本未知量，在自动满 足平衡条件的基础上进行分析，根 据变形协调，解决超静定问题，这 种分析方法称为力法。
几何不变
1.静定结构：
只靠平衡条件可解的
几何不变无 多余联系
内力 反力
2.超静定结构：
不能只靠平衡条件可解的
多余未知力 针对结构的几何不变性来说，不必要的联系
超静定结构的次数的确定：
1 11 1P 1 0
变形协调条件 力法典型方程
1 1 0
11 1P
或
δ11X1 1P 0
荷载弯矩图
单位弯矩图
自 乘
系数求法
互乘
ij — 位移系数
ΔiP — 广义荷载位移
系数和未知力等于多少？
X1
叠加作弯矩图 由叠加原理求得
M M1X1 MP
K FP （×Fpa）
2
Ky
1 a2 1 3 3FP a 3 FP a ( ) EI 1 8 2 88 1408EI 1
（9）对计算结果进行校核 对结构上的任一部分，其 力的平衡条件均能满足。 如： M C 0
FP
（×Fpa）
问题：使结构上的任一部分都处于平 衡 的解答是否就是问题的正确解？
例 3. 求解图示刚架由 EI 常 于支座移动所产生的 数 内力。 解：取图示基本结构 力法典型方程为： 方程的物理意义是否明确？
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 X X X a 31 1 32 2 33 3 3
FP ab2 可 代 X1 2 得入 l 并 2 X FP a b 求 2 l2 解
FPab l FPa2b l2
FPab2 l2
例 2. 求解图示加劲梁。 横梁 I 1 104 m4 解：取基本体系如图(b) 典型方程：
11 X 1 1 P 0
由此可解得基本未知力，从 而解决受力变形分析问题
根据结构组成分析，正确判断多于约束个 数——超静定次数。 解除多余约束，转化为静定的基本结构。 多余约束代以多余未知力——基本未知力。 分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法典型方程。 从典型方程解得基本未知力，由叠加原理 获得结构内力。超静定结构分析通过转化为 静定结构获得了解决。
M 1 , M P , FN 1 , FNP 如图示：
FN1 1 FNP 0
FN
55
FNP
10.67 12.2 11 , EI EA 533.3 1 P EI
FN 44.9
FN (kN )
当 A 1 10 3 m 2 , X 1 44.9 kN 内力 M M 1 X 1 M P , FN FN1 X 1 FN P 有无下部链杆时梁内 最大弯矩之比：
基 本 体 系
单位和荷载弯矩图 M i , M P 为：
M 3 0 , FQ 3 0 由于 FN1 FN 2 FNP 0
所以
13 31 23 32 3 P 0
FP
M P图
FP ab l
又由于 2 2 M3 ds FN 3 ds 33 EI EA 2 FQ 3ds l k 0 GA EA 于是有
结论：对计算结果除需进行力的校核外， 还必需进行位移的校核。
FP
（×Fpa）
Ax
1 a2 2 3 1 1 3 2a 2 FP a [ FP a EI1 2 3 88 2EI1 2 88 3 1 15 a 1 FP a a 2 FP a a ] 0 2 88 3 2 4 2
i
1
FBy 为任意值，均平衡。
因此必须设法补充方程
一次超静定 使改变后的结构与原结构 保持相同的变形位移条件
By (a) By (b) 0
例1. 求解图示单跨梁 原结构
待解的未知问题
转化
A
B
已掌握受力、变形 基本结构 基本体系
以掌握的问题
未知力的位移
“荷载”的位移
消除两者差别 总位移等于已知位移
(7)根据叠加原理作超静定结构的内力图
M M i X i M P FN FN i X i FN P i i FQ FQ i X i FQP
i
(8) 任取一基本结构，求超静定结构的位移
例如求 K 截面竖向 位移：
K FP
（×Fpa）
Ky
1 a 5 3 1 1 3 15 FP a [ ( FP a FP a ) EI 1 8 6 88 2 EI 1 2 88 88 a 2 FP a 3 3 FP a 3 ] ( ) 2 16 1408EI 1
其中 1 , 2 , 3 为由于支座移动所产生的位移, 即 i FRi ci
单位基本未知力引起的弯矩图和反力
Δ1Δ、Δ2Δ、Δ3Δ等于多少？ b b b b 1 ( ) , 2 ( ) , 3 0 l l l l
最后内力（M图）：
FP
基 本 体 系
解法3： F P
原 FP 结 构
基 本 体 系
FP
原 结 构
a
FP
基 本 体 系
F a FP Pa 2
MP图
M1 图
M2 图
B
FP
单位和荷载弯矩图
由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图
a
M2 图
M1 图
B
FP
FP
F a FP Pa 2
MP图
由单位和荷载 M 图可求得位移系数、建立方程
力法的基本思路
超静定计算简图 解除约束转 化成静定的 基本结构承受荷 载和多余未知力
基本体系受力、变形解法已知
力法的基本思路
用已掌握的方法，分析单个基本未 知力作用下的受力和变形
位移包含基本未知力Xi
同样方法分析 “荷载”下的 受力、变形
为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件
11 12 1P 1 21 22 2 P 2
问题：
能否取基本体系为
FP
( )
小结：力法的解题步骤
(1) 确定结构的超静定次数和基本结构(体系)
一个超静定结构可能有多种形式的基本结构， 不同基本结构带来不同的计算工作量。因此， 要选取工作量较少的基本结构。
可变体系不能作为基本结构
(2) 建立力法典型方程
11 X 1 1n X n 1 P 1 X X nn n nP n n1 1
作单位和荷载弯矩图
FP
FPa
求系数、建立力法方程并求解
X2 5 FP X1 4 F P 0 X 仅与刚 1 6 4 96 11 度相对 X 5 X F 3 F 2 P 1 P 0 X 值有关 2 4 6 16 88
超静定次数 = 基本未知力的个数 = 多余约束数 = 变成基本结构所需解除的约束数 总次数也可由计算自由度得到。
（3 次）
或
(1 次）
(6 次)
(4 次)
力法的基本原理
有一个多于约束 的超静定结构， 有四个反力，只 有三个方程。
只要满足
1 1
FAy FP1 FP2 FBy
1
M A FPi a i 1 FBy l
力法解超静定结构举例
例 1. 求解图示两端固支梁。
FP
解：取简支梁为基本体系
力法典型方程为：
EI
FP
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 31 1 32 2 33 3 3P
例 2. 求解图示结构
解法1:
FP
原 结 构
FP
基 本 体 系 一
基 本 未 知 力
有两个多于约束
解除约束代以未知力
F PP
基本未知力引起的位移 荷载引起的位移 变形协调条件 力法典型方程 1 11 12 1 p 0 11 X 1 12 X 2 1 p 0 或 2 21 22 2 p 0 21 X 1 22 X 2 2 p 0
X3
X1
X2
b a

1 l b 2 a 3
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2P 0
FP
15 4 X 1 FP a, X 2 FP 88 11
（×Fpa）
FP
原 结 构
FP
基 本 体 系
FPa
MP图
M 1图
M2图
FP
单位和荷载弯矩图
15 X 1 FP a , 88 3 X 2 FP a 88
4 FP X 1 11 X 2 3 FP 88
FP
FPa
FP （×Fpa）
由叠加原理求得
M M1 X1 M2 X 2 M P
由于从超静定转化为静定，将什么 约束看成多余约束不是唯一的，因此 力法求解的基本结构也不是唯一的。
解法 2： FP 原 结 构
X3 0
两端固支梁在竖百度文库荷载作用下没有水平反力
11 X 1 12 X 2 1 P 0 典型方程改写为 21 X 1 22 X 2 2 P 0
图乘求得位移系数为 l 2 11 22 12 3 EI FP ab( l b) 1 P 6 EIl FP ab( l a ) 2 P 6 EIl
假如：
FP
原 结 构
FP
基 本 体 系
FP
δ 11 X 1 12 X 2 1 P 0 由 δ 21 X 1 22 X 2 2 P 0
求得：X1 0 , X 2 0 (×)
可证：平衡条件均能满足。 但：
M 图
FPa
Bx 1 P 0 , By 2 P 0