结构力学第七章 力法

35
2. 方程求解 q B
C
X1=1
1
E1I1 l
ql 8
A
MP图 A
2
1
B
E2I2 l
C
M 1图
E1I1 l
1 2 1 2 1 1P l ql E1I1 3 8 2 ql 3 ql 3 24 E1I1 24 E2 I 2 k
B
C
E2I2 l
X2=1
2P 0
A
1
若只满足平衡条件，超静定结构的内力和支座反 力可以有无穷多组解答。
2
如下图超静定梁，若只满足平衡条件，支 座B的竖向反力可以是任意值。
q
A EI , l
B 3 ql 8
3
二、超静定次数
超静定次数 n = 结构多余约束数目。
为了确定超静定次数，通常使用的方法是拆除 多余约束，使原结构变成静定结构，则n等于拆 除的多余约束数。 规则：
A FQAB
l
1 2 ql B 15
FQBA
17 FQBA ql 30
33
M
C
0
1 ql 2 ql 2 1 FQBC ( ) ql l 15 60 12
1 2 ql 15
1 2 ql 60
B FQBC
l
C FQCB
1 FQCB ql 12
很容易求得CD杆剪力为:
1 FQCD FQDC ql 60
13
2) 求未知力X1
5FP l 3 3EI X 1 1P / 11 3 48EI l 5 FP () 16
3) 作内力图
3 FPl 16
M MX1 M P
A
11 FP 16
B
5 FPl 32
5 FP 16
M图
FQ图
14
二、多次超静定结构的力法计算
下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和 未知力X分别作用下的位移图。
26
l B
C
B 1 1
X2=1
C
M 1图
X1=1
M 2图
基本体系II
A 基本体系II 1
1 A l
1C (1 b) b
2C
1 b ( b ) l l
27
§7-3 力法举例
一、连续梁
q
A
EI
l
B EI l
EI C l
D
原结构 ΔφB=0 ΔφC=0 用力法解连续梁时，其基本体系是将杆在中间 支座处变为铰，如下图所示。 q X X
第七章 力
§7-2 力法基本原理
法
§7-1 超静定结构的组成和超静定次数
§7-3 力法举例 §7-4 力法简化计算 §7-5 温度变化及有弹簧支座结构的计算 §7-6 超静定结构的位移计算及力法计算校核
1
§7-1 超静定结构的组成 和超静定次数
一、超静定结构的组成
超静定结构有如下特征： 1) 从几何构造分析的观点来看，超静定结构是 有多余约束的几何不变体系。 2) 若只考虑静力平衡条件，超静定结构的内力 和支座反力不能够由平衡方程唯一确定，还要 补充位移条件。
1 2 X2 ql ( 60
)
3. 作内力图 1) 根据下式求各截面M值，然后画M图。
M M1 X1 M 2 X 2 M P
32
ql 15
A C B D M图
2
ql 2 60
5.5ql 2 60
2) 根据M图求各杆剪力并画FQ图。
q
M
B
0
1 ql 2 ql 2 13 FQAB ( ) ql l 2 15 30
方程各系数示于上页图中。讨论方程和系 数的物理意义。
2. 方程求解
图的一个特征是：弯矩图局部化。
M 1图、 M 2 图及MP图见下页图示。上述弯矩
30
q
A
ql 8
2
D
B
X1=1
C
MP图
A
B
D
C
M 1图 M 2图
A
1
B
C
X2=1
D
2l 22 3EI
1 2 1 2 2l 11 l 1 EI 2 3 3EI 1 1 1 l 12 21 1 l EI 2 3 6 EI 1 2 1 2 1 ql 3 1P l ql EI 3 8 2 24EI
q q
C FP A
D
C
D
ΔBH=0
ΔBV=0 θB=0 原结构 B
FP
A 基本体系
X3
B
X2
X1
15
q
C FP A
C D
D
Δ3P B Δ 2P Δ1P
A
δ31 δ21
B
X1=1
δ11
C D
C
D
δ32
A
X2=1
B δ12
δ22
A
δ33 δ23
X3=1
B δ13
16
力法方程为
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P BH 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 P BV 0 31 X1 32 X 2 33 X 3 3P B 0
2）方程的物理意义：基本结构在荷载FP和未知 量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支 座竖向位移； 3）系数的物理意义：
11 ——基本结构在X1=1作用下沿X1方向的位移； 1P ——基本结构在FP作用下沿X1方向的位移。
12
3. 力法计算 1) 求系数及自由项
FP l 2
FP
A
B l
X2
C
X1
B
C
ΔCH=0 θ
A a
b
ΔCV=0
X2
X1
ΔAH=-a A
b
θA= θ
基本体系I
基本体系II
11 X1 12 X 2 1C a
21 X1 22 X 2 2C
2） 建立力法方程
11 X1 12 X 2 1C 0
21 X1 22 X 2 2C 0
B
3EI 2 l
在基本体系II中，若X1为逆时针方向，如下图 示，则力法方程成为：
A
X1=1
B
11 X1
22
小结：
1）当超静定结构有支座位移时，所取的基本体 系上可能保留有支座移动，也可能没有支座移 动。应当尽量取无支座移动的基本体系。 2）当基本体系有支座移动时，自由项按下式求 解： 1C FRK CK
6
c)
X3
X1
X2
原结构
n=3
d)
X2
X1
X1
X2
n=2
原结构
7
e)
原结构
X1
X2
n=1 f)
原结构
不要把原结构拆成几何 可变体系。此外，要把超 静定结构的多余约束全部 拆除。
n=3
X1
X3
X2
8
§7-2 力法基本原理
解超静定结构，除应满足平衡条件外，还必 须满足位移协调条件。
一、一次超静定结构的力法计算
2）力法基本方程 位移条件 BV 0 力法方程 11 X1 1C 0
A
11 X1
20
3）求系数和自由项 A l
FR1 l
B
X1=1
A 1
X1=1
B
M图
M图
1 1 2 l3 11 l l l EI 2 3 3EI
1 1 2 l 11 l 1 EI 2 3 3EI
根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的 物理意义。 主系数：δ11、δ22、δ33恒大于零。 副系数：δij (i≠j)可能大于、等于或小于零。
i
表示位移的方位；j
表示产生位移的原因。
17
由位移互等定理：δij= δji，即δ12= δ21， δ23= δ32，
δ31= δ13。作 M 图及MP图，求出力法方程的系数和 自由项，解方程求出力法未知量，然后根据下式求 内力：
2P 0
31
将系数代入力法方程就得到：
2l l ql 3 X1 X2 0 3EI 6 EI 24 EI l 2l X1 X2 0 6 EI 3EI
1 2 解方程得： X 1 ql ( 15 )
ql 2 4 X1 X 2 0 4 X1 4 X 2 0
M M1 X1 M 2 X 2 M 3 X 3 M P
FQ FQ1 X1 FQ2 X 2 FQ3 X 3 FQP
FN FN1 X1 FN 2 X 2 FN 3 X 3 FNP
18
三、超静定结构支座移动时的力法计算
超静定结构产生支座移动时的力法计算对理解 力法的解题思路很有帮助。与静定结构不同，超 静定结构产生支座移动时，结构不仅产生变形， 而且有内力。下面讨论超静定结构产生支座移动 时力法的解题思路。 A A θ EI l 基本体系I θ B
1C FRK CK l
4）求未知力X1
3EI X 1 1C / 11 l 3 l 3EI 2 ( ) lΒιβλιοθήκη Baidu
3EI X 1 / 11 l 3EI ( ) l
21
5） 作内力图
A
3EI l
B
M图
3EI 2 l
A FQ图
FRK 为基本体系由X=1产生的支座反力； C K 为基本体系的支座位移。
3）当超静定结构有支座移动时，其内力与杆件 的抗弯刚度EI成正比，EI越大，内力越大。
23
例7-2-1 写出图示刚架的力法方程并求出系数ΔiC。 EI l EI l 原结构 C
θ
解: a
A
b
1）取两种基本体系如下图示
24
B
1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束；
2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束；
4
3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当 于去掉三个约束；
4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个 约束。
例： a)
X1
原结构
X2
n=2 n=2
X1
X2
5
b)
X2
原结构
n=2
X1
X2
X1
X2
n=2
X1
n=2
B
基本结构
A
X1
+
A
FP
B
Δ1P
(
A
B
δ11
） 〃X1
X1 1
10
2. 力法方程
力法方程为
11 1P BV 0
BV ——原结构B截面竖向位移
基本体系的位移=原结构的位移 因为 方程可写为
11 11 X1
11 X1 1P 0
11
讨论：
1）力法方程是位移方程；
1. 力法的基本体系和基本未知量 如下图示超静定梁，去掉支座B的链杆，用相 应的未知力X1代替，X1称为力法基本未知量。去 掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法 FP 基本结构。 EI A B l/2 l/2
9
A
EI l/2
FP B l/2 A A
FP B 基本体系
X1
B
原结构（ΔBV=0） Δ11
X1
EI l θ A
X1
B
原结构 EI l B
基本体系II
（受X1及支座转角θ共同 作用）
（只有X1作用，支座转角θ 对杆端A无影响）
19
解：
1）选两种基本体系如下图示 A θ EI l 基本体系I
（受X1及支座转角θ共 同作用）
B
X1
A
θ
X1
EI l 基本体系II
B
（只有X1作用，支座转角θ 对杆端A无影响）
l/2
B
A
MP图
M图
X1 1
1 1 2 l3 11 l l l EI 2 3 3EI
1 1 FP l l 2 1 l 1 p ( l ) EI 2 2 2 3 3 2 5FPl 3 1 FP l 2 5 l EI 8 6 48 EI
M 2图
36
X1=1
1
B
E1I1 l
B C
E1I1 l E2I2 l
C
1
E2I2 l
A
M 1图
X2=1
A
1
M 2图
E1 I1 ( k) E2 I 2
1 1 2 1 1 2 11 1 l 1 l E1 I1 2 3 E2 I 2 2 3 l l l E I E2 I 2 l k 1 11 3E1 I1 3E2 I 2 3 E1I1E2 I 2 3E2 I 2 k
讨论方程及系数的物理意义。
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3） 求自由项 本例主要讨论自由项的求法，其余计算略去。
B
C X1=1
Bl l
C
X2=1
l 1 A
0
M 1图
l 基本体系I
l 0 A
l 1
M 2图
基本体系I
1C (1 a l ) a l
2C (1 b l ) (b l )
1
A
2
B 基本体系
C
D
28
位移方程 ΔφB=0 ——B左右截面相对转角等于零。 ΔφC=0 —— C左右截面相对转角等于零。 q
A
Δ1P
X1=1
B
δ11 B δ12 δ21
C
D
A
C
X2=1
D δ22
A
B
D
29
C
1. 力法方程
11 X1 12 X 2 1P B 0 21 X1 22 X 2 2 P C 0
13ql 30
A
ql 12
B C 17ql 30
ql 60
F 图 Q D
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二、超静定刚架
例7-3-1
B
求图示刚架M图。
q
C
q
X1
E1I1 l
E1 I1 k E2 I 2
X2
B φA=0 ΔφB=0 A 基本体系
C
E2I2 l
A
原结构
1. 力法方程
11 X1 12 X 2 1P B 0 21 X1 22 X 2 2 P A 0