20140506 计算机数值方法习题集(学生)

A. A应用幂法B. A应用反幂法C. A-pI应用反幂法D. A-pI应（D）
(A) (B) (C) (D)
已知 ，则 为（D）
(A) 0(B) 1(C)2(D)4
已知 且 ， ； ， 用拉格朗日线性插值求 的近似值，并估计截断误差。
解：
即
余项估计 ，其中
9.已知 ，求 及 的值。（8分）
A、牛顿（Newton）法B、迭代法C、消去法D、二分法
下面程序实现的公式是（D）
for(k=1;k<=n;k++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(j==k) continue;
a[k][j]=a0[k][j]/a0[k][k];
}
A. B.
C. D.
1．试用c程序实现下面公式。
定义a[k][j]为本次计算所得数组a的结果；a0[k][j]为上一次计算所得数组a的结果。
for(k=1;k<=n;k++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(j==k) continue;
a[k][j]=a0[k][j]/a0[k][k];
}
要使 的近似值的相对误差不超过0.1%，应取几位有效数字。
第
若f(x)再[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在[a,b]内至少有一个根。
二分法只能用于求实函数的实根
求解方程 ，若 可以表成 ，则用简单迭代法求根，那么 满足 ，近似根序列 一定收敛。
2．用迭代法求方程 的正根，下面有三种迭代格式：
xi
yi
xi2
xi3
xi4
xiyi
xi2yi
0
-2
0.2
4
-8
16
-0.4
0.8
1
-1
0.8
1
-1
1
-0.8
0.8
2
0
2
0
0
0
0
0
3
1
3
1
1
1
3
3
4
2
4
4
8
16
8
16
∑
0
10
10
0
34
9.8
20.6
（5分）
求解可得：
所以，拟合函数为： （5分）
其
（B）是用某种收敛于所给问题的精确解的极限过程，来逐步逼近的一种计算方法。
（3）有好的计算复杂性，时间复杂性和空间复杂性。
（4）要有数值实验，通过数值试验证明是可行的。
简述计算机中数系的特点。
在计算机数系中,数的个数有限,数系中的每一个数都是有理数；从整体看,数系中的数分布很不均匀；从局部看,阶数相同的数,又以相等的距离,分布在数轴的某一段上；所以计算机数系是由一些残缺不全,分布不均匀的数组成,如果运算超出了计算机数系的范围,则产生溢出
测得平行四边形的底 的值为 ，高 的值为 ，已知 ， ，试求平行四边形的面积 的绝对误差限和相对误差限。
解：因为 ， ， 则
由于 ， ， ， ，于是绝对误差限
简述数值计算方法的特点。
（1）面向计算机，算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算
（2）有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，保证收敛性和数值稳定性，对误差进行分析。
1．用牛顿法求 在 附近的实根，使用小数点后3位进行计算。（7分）
解：令 ，则
由 有 （4分）
； ； ，所以 （3分）
用牛顿法计算 ，精确到2位小数。
解：令 则
， ， ，
所以
第
求解线性方程组的数值方法大致可分为两类直接法和迭代法
使用列主元素消元法代替高斯消元法的目的是为了控制舍入误差。
对矩阵 进行A=LU分解，则L=( ),U=( )。
解：由已知条件可得： ； (4分)
则有 ； (4分)
第
2．求下列超定方程组的最小二乘解（8分）
解：方程组写成矩阵形式为：
（2分）
正规方程为：
（2分）
即： （2分）解得： （2分）
已知下列数据
xi
-2
-1
0
1
2
yi
0.2
0.8
2
3
4
试用二次代数多项式对其进行拟合（进行3位小数的运算）。（10分）
解：
i
用列主元素消元法解下列线性方程组。
解：
6．用完全主元素消元法解下列线性方程组（按三位小数计算）。（10分）
解：
，
求解可得：
用雅可比迭代法求解方程组 时的迭代公式为：(D)
（A） (B)
（C） （D）
用高斯－塞德尔迭代法求解方程组 时的迭代公式为：(B)
（A） (B)
（C） （D）
已知 ，求A的∞范数，1范数，2范数， (A)以及条件数cond2(A)（10分）。
计算机数值方法
习题集
2014/5/6
太原理工大学 计算机科学与技术学院
王峥
第
计算机解决科学计算问题的一般过程，可概括为：实际问题→数学模型→计算方法→程序设计→上机计算
某电压为228.3657V，测量结果为228.3104V，则测量结果的绝对误差为：（-0.0553V）相对误差为（-0.00011）
误差的来源主要包括：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。
浮点数分为尾数和阶数两部分。
用1+x近似表示ex产生的误差是（截断）误差。
将 转换为 进行计算是为了避免两相近数相减。
设 =0.03000为 =0.0300211的近似值，则 的有效数字的位数是___3位______.
十进制数0.003012的规格化的浮点数为0.3012×10－2；二进制数1001.101的规格化的浮点数为0.1001101×24。
① ；② ；③
(1)判定此三种迭代格式在 附近的收敛情况。（9分）
(2)指出此三种迭代格式中，哪一种迭代格式收敛最快，为什么。（3分）
（ ）
解：（1）由 则 ，
当 时， 不收敛；（3分）
（2）由 则 ，
当 时， 收敛；（3分）
（3）由 则 ，
当 时， 收敛；（3分）
（4）因为
所以，此三种迭代格式中，第二种迭代格式收敛最快。（3分）
（2分）； （2分）；
；
；
∴
∴ （2分）；
∴
（2分）
（2分）
已知x＝ ，则 =________， =________. =________.
第
幂法是一种求任意矩阵A的按模最大特征值及其对应特征向量的迭代算法；反幂法是一种求任意矩阵A的按模最小特征值及其对应特征向量的迭代算法。
当给出特征值 的一个近似值p时，可通过（）求对应于 的特征向量。