高中数学第一章常用逻辑用语1.3.1且1.3.2或1.3.3非练习含解析新人教A版选修11

高中数学第一章常用逻辑用语1.3.1且1.3.2或1.3.3非
练习含解析新人教A 版选修11
[学生用书P85(单独成册)])
[A 基础达标]
1．命题“三角形中最多有一个内角是钝角”的否定是( ) A ．三角形中有两个内角是钝角 B ．三角形中有三个内角是钝角 C ．三角形中至少有两个内角是钝角 D ．三角形中没有一个内角是钝角
解析：选C.三角形有三个内角，“最多有一个内角是钝角”的含义是“有0个或1个内角是钝角”，它的否定是“有2个或3个内角是钝角”，即“至少有两个内角是钝角”，选C.
2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π
2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直
线x ＝π
2
对称．下列判断正确的是( )
A ．p 为真
B ．﹁q 为假
C ．p ∧q 为假
D ．p ∨q 为真
解析：选C.由函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π可知命题p 是假命题；由函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称可知命题q 是假命题，所以p ∧q 是假命题，可知应选C.
3．设p ，q 是简单命题，则“‘p 且q ’为假”是“‘p 或q ’为假”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.“p 且q ”为假，即p 和q 中至少有一个为假；“p 或q ”为假，即p 和q 都为假．故“‘p 且q ’为假”是“‘p 或q ’为假”的必要不充分条件．
4．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0.命题q ：若
a∥b ，b ∥c ，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A ．p ∨q
B ．p ∧q
C ．(﹁p )∧(﹁q )
D ．p ∨(﹁q )
解析：选A.取a ＝c ＝(1，0)，b ＝(0，1)，显然a·b ＝0，b·c ＝0，但a·c ＝1≠0，所以p 是假命题．
a ，
b ，
c 是非零向量，由a∥b 知a ＝x b ，由b∥c ，知b ＝y c ，所以a ＝xy c ，所以a∥c ，
所以q 是真命题．
综上，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题． 又因为﹁p 为真命题，﹁q 为假命题， 所以(﹁p )∧(﹁q )，p ∨(﹁q )都是假命题．
5．下列各组命题中，满足“p 或q ”为真，且“非p ”为真的是( ) A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅
B ．p ：在△AB
C 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；q ：函数y ＝sin x 在第一象限是增函数
C ．p ：a ＋b ≥2ab (a ，b ∈R )；q ：不等式|x |>x 的解集为(－∞，0)
D ．p ：圆(x －1)2
＋(y －2)2
＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：过点M (0，1)且与圆(x －1)2
＋(y －2)2
＝1相切的直线有两条
解析：选C.A 中，p ，q 均为假命题，故“p 或q ”为假，排除A ；B 中，由在△ABC 中，cos 2A ＝cos 2B ，得1－2sin 2
A ＝1－2sin 2
B ，即(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝0，所以
A ＝
B ，故p 为真，从而“非p ”为假，排除B ；
C 中，p 为假，从而“非p ”为真，q 为真，从
而“p 或q ”为真；D 中，p 为真，故“非p ”为假，排除D.故选C.
6．已知命题(﹁p )∨(﹁q )是假命题，则下列结论中： ①命题p ∧q 是真命题； ②命题p ∧q 是假命题； ③命题p ∨q 是真命题； ④命题p ∨q 是假命题． 正确的是________(只填序号)．
解析：由(﹁p )∨(﹁q )是假命题，知﹁p 与﹁q 均为假命题，所以p ，q 均为真命题．故p ∧q 是真命题，p ∨q 是真命题．
答案：①③
7．已知命题p ：{2}∈{1，2，3}，q ：{2}⊆{1，2，3}，则下列结论：
①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假．其中所有正确结论的序号是________．
解析：因为p ：{2}∈{1，2，3}，q ：{2}⊆{1，2，3}，所以p 假q 真，故①④⑤⑥正确． 答案：①④⑤⑥
8．已知p ：x 2
－x ≥6，q ：x ∈Z .若“p ∧q ”“﹁q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________．
解析：因为“p ∧q ”为假，“﹁q ”为假，所以q 为真，p 为假．
故⎩⎪⎨⎪⎧x 2
－x ＜6，x ∈Z ，即⎩
⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜3，x ∈Z . 因此，x 的值可以是－1，0，1，2.
答案：{－1，0，1，2}
9．写出由下列命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”形式的命题，并判断其真假． (1)p ：集合中的元素是确定的，q ：集合中的元素是无序的； (2)p ：梯形有一组对边平行，q ：梯形有一组对边相等． 解：(1)p ∧q ：集合中的元素是确定的且是无序的，真命题．
p ∨q ：集合中的元素是确定的或是无序的，真命题．
﹁p ：集合中的元素不是确定的，假命题．
(2)p ∧q ：梯形有一组对边平行且有一组对边相等，假命题．
p ∨q ：梯形有一组对边平行或有一组对边相等，真命题．
﹁p ：梯形没有一组对边平行，假命题．
10．已知命题p ：1∈{x |x 2
<a }，命题q ：2∈{x |x 2
<a }． (1)若“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围； (2)若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围． 解：若p 为真命题，则1∈{x |x 2
<a }， 故12
<a ，即a >1；
若q 为真命题，则2∈{x |x 2
<a }， 故22
<a ，即a >4.
(1)若“p 或q ”为真命题，则a >1或a >4，即a >1. 故实数a 的取值范围是(1，＋∞)．
(2)若“p 且q ”为真命题，则a >1且a >4，即a >4. 故实数a 的取值范围是(4，＋∞)．
[B 能力提升]
11．已知命题p ：函数y ＝2
|x －1|
的图象关于直线x ＝1对称；q ：函数y ＝x ＋1
x
在(0，＋∞)
上是增函数．由它们组成的新命题“p 且q ”“p 或q ”“﹁p ”中，真命题有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：选B.易知命题p 是真命题，y ＝x ＋1
x
在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，故q
是假命题．因此“p 且q ”假，“p 或q ”真，“﹁p ”假，故选B.
12．已知命题p ：y ＝a x
(a >0，且a ≠1)是增函数；命题q ：对任意的x ∈[2，4]，都有a ≤x 成立，若命题p ∧q 为真命题，则实数a 的取值范围是________．
解析：当p 真时，a >1，当q 真时，a ≤2.又因为p ∧q 为真时，p ，q 都为真， 所以实数a 的取值范围是1<a ≤2. 答案：(1，2]
13．设命题p ：a ∈{y |y ＝－x 2＋2x ＋8，x ∈R }，命题q ：关于x 的方程x 2
＋x －a ＝0有实根．
(1)若p 为真命题，求a 的取值范围；
(2)若“p ∧q ”为假命题，且“p ∨q ”为真命题，求a 的取值范围． 解：(1)由题意得，
y ＝－x 2＋2x ＋8＝－（x －1）2＋9∈[0，3]，故p 为真命题时，a 的取值范围为[0，3]．
(2)当q 为真命题时a 的取值范围为a ≥－1
4，由题意得，p 与q 一真一假，从而
当p 真q 假时有⎩
⎪⎨⎪
⎧0≤a ≤3，a <－1
4，a 无解； 当p 假q 真时有⎩
⎪⎨⎪
⎧a <0或a >3，a ≥－1
4， 所以a >3或－1
4
≤a <0.
所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－14，0∪(3，＋∞)． 14．(选做题)设p ：函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －32x
是R 上的减函数．q ：函数g (x )＝x 2
－4x ＋3在[0，
a ]上的值域为[－1，3]，若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，求a 的取值范围．
解：由0＜a －32＜1得32＜a ＜5
2
.
因为g (x )＝(x －2)2
－1在[0，a ]上的值域为[－1，3]， 所以2≤a ≤4.
因为“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真， 所以p ，q 为一真一假．
若p 真q 假，得32＜a ＜2；若p 假q 真，得5
2
≤a ≤4.
综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤52，4.。