中学数学解题研究试卷及答案
2025届绵阳市南山中学高三数学上学期10月考试卷及答案解析
绵阳南山中学校高2022级10月月考数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 已知集合{}2340A x x x =--£，{}22B x x =-<<，则A B Ç=Rð（）A. {}12x x -<< B. {}12x x -££ C. {}24x x << D. {}24x x ££【答案】D 【解析】【分析】求出集合A ，利用补集和交集的定义可求得集合A B ÇR ð.【详解】因为{}{}234014A x x x x x =--£=-££，{}22B x x =-<<，则{2B x x =£-R ð或}2x ³，故{}24A B x x Ç=££R ð.故选：D.2. 下列函数是偶函数的是（ ）A. ())lnf x x= B. ()1ln 1x f x x x +=-C. ()tan f x x = D. ()121x f x =-【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断各选项即可.【详解】对于A ，函数定义域为R ，())ln x f x =--，所以()()))lnlnln10f x f x x x +-=++-==，则()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数；对于B ，函数定义域为()(),11,-¥-È+¥，()()111ln ln ln 111x x x f x x x x f x x x x -+-+-=-=-==--+-，所以函数()f x 为偶函数；对于C ，正切函数()tan f x x =为奇函数；对于D ，函数定义域为()(),00,-¥+¥U ，()()122112xx xf x f x --==¹--，所以()f x 不为偶函数.故选：B.3. 由一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L 得到经验回归方程ˆˆˆy bx a =+，那么下列说法正确的是（）A. 若相关系数r 越小，则两组变量的相关性越弱B. 若ˆb越大，则两组变量的相关性越强C. 经验回归方程ˆˆˆy bx a =+至少经过样本数据()()()1122,,,,,,...n n x y x y x y 中的一个D. 在经验回归方程ˆˆˆy bx a =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，相应的观测值y 约增加ˆb个单位【答案】D 【解析】【分析】根据相关系数的含义可判断AB ；根据回归直线的含义可判断CD ；【详解】对于A ，若相关系数r 越小，则两组变量的相关性越弱，A 错误；对于B ，若r 越大，则两组变量的相关性越强，ˆb是回归直线的斜率，它不反应两变量的相关性强弱，B 错误；对于C ，经验回归方程ˆˆˆy bx a =+不一定经过样本数据()()()1122,,,,,,...n n x y x y x y 中的一个，C 错误；对于D ，在经验回归方程ˆˆˆy bx a =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，若ˆ0b>，相应的观测值y 约增加ˆb 个单位；若ˆ0b <，相应的观测值y 约增加ˆb -个单位；故当解释变量x 每增加1个单位时，相应的观测值y 约增加ˆb个单位，正确，故选：D4. 在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且cos cos a B b A b +=，则ABC V 一定是（ ）A. 等腰三角形 B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 直角三角形【答案】A 【解析】【分析】由题意根据正弦定理及和差公式可得sin()sin A B B +=，由πA B C ++=及诱导公式可得sin sin C B =，结合,B C 为三角形的内角可得B C =，即可得结果.【详解】cos cos a B b A b +=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A B +=，则sin()sin A B B +=，又πA B C ++=，可得sin sin C B =，,B C Q 为三角形的内角，B C \=，所以ABC V 一定是等腰三角形.故选：A .5. 函数()()()cos 0,0f x A x A w j j =+>>的图象如下，则其解析式可能是（）A. ()2π2cos 23f x x æö=-ç÷èø B. ()π2cos 23f x x æö=-ç÷èøC. ()π2cos 23f x x æö=+ç÷èøD. ()2π2cos 23f x x æö=+ç÷èø【答案】A 【解析】【分析】结合图象可知()π01,26f f æö=--=-ç÷èø，由此可判断BCD 不可能，结合函数周期说明A 中图象可能正确，即可得答案.【详解】结合题意以及各选项可知A 可为2，结合图象可知()π01,26f f æö=--=-ç÷èø，则对于B ，()π02cos 13f æö=-=ç÷èø，由此可判断B 中解析式不可能；对于C ，()π02cos13f ==，由此可判断C 中解析式不可能；对于D ，c ππ632π2os 13f --æöæö=+=ç÷ç÷èøèø，由此可判断D 中解析式不可能；对于 A ，由于π12ππ,,034646T w w >\´>\<<，即w 可取2；由2cos 1j =-，则2π2π,Z 3k k j =±+Î，由于0j >，可取4πj =3，此时()4π4π2π2cos 22cos 22π2cos 2333f x x x x æöæöæö=+=+-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø，A 可能，故选：A6. 研究发现一种鸟类迁徙的飞行速度v （单位：m/s ）与其耗氧量Q 之间的关系式为：113log 10Q v a b =+（其中,a b 是实数），据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m /s .大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为v （单位：m/s ），耗氧量单位数为2Q ，统计发现：2v 与23log 100Q 成正比.当21m/s v =时，2900Q =.若这种鸟类与鲑鱼的速度1v 与2v 相同时，则1Q 与2Q 的关系是（ ）A. 2219Q Q = B. 2129Q Q = C. 2213Q Q = D. 2123Q Q =【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出,a b ，可得1131log 10Q v =-+，设223log 100Q v k =，由题意得12k =，2231log 2100Q v =，由12v v =得131log 10Q -+231log 2100Q =，根据对数的运算性质即可求解.【详解】由题意得3330log 01090log 110a b a b ì+=ïïíï+=ïî，解得11a b =-ìí=î，1131log 10Q v \=-+，设223log 100Q v k =，由题意得3900log 1100k =，解得12k =，2231log 2100Q v \=，又12v v =，131log 10Q \-+231log 2100Q =，则13331log log log 310Q +=，即133log log 30Q =130Q \=，即2129Q Q =.故选：B .7. 已知()()1122,,,x y x y 是函数2log y x =图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（ ）①1212222y y x x ++<；②1212222y y x x ++>；③122122log 2y y x x +<-+；④122122log 2y y x x +>-+.A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④【答案】B 【解析】【分析】求出已知两点的中点坐标及函数2log y x =的图象上纵坐标为122y y +的点，结合函数图象建立不等式，即可得解.【详解】如图所示，设()()1122,,A x y B x y ，，AB 的中点为点N 在函数2log y x =的图象上，且//MN x 轴，则121222,2y y y y N +æö+ç÷èø，由图知点N 在M 的左侧，即1212222y y x x ++>，故①错误，②正确；则121212222log log 222y y x x y y +++>=，即122122log 2y y x x +->+，即122122log 2y y xx +<-+，故③正确，④错误.故选：B.8. 设函数()()2(1)1,cos 2f x a x g x x ax =+-=+，当()1,1x Î-时，曲线()y f x =与()y g x =交点个数的情况有（ ）种.A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】设()()()h x f x g x =-，由()0h x =，得到方程21cos a x ax -=+解的个数，进而转化为21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上的交点个数，结合余弦函数的图象，以及二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()()2(1)1,cos 2f x a x g x x ax =+-=+，设()()()2cos 1,(1,1)h x f x g x ax x a x =-=-+-Î-，可得()()22()cos()1cos 1h x a x x a ax x a h x -=---+-=-+-=，所以函数ℎ(x )为偶函数，图象关于y 轴对称，令()0h x =，可得2cos 10ax x a -+-=，即21cos a x ax -=+，则()0h x =解的个数，即为21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上的交点个数，如图所示：当0a =时，1y =-，此时1y =-与cos y x =的图象在(1,1)-上没有公共点；当11a ->时，即2a >时，21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上有没有公共点；当11a -=时，即2a =时，21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上有1个公共点；当21cos1a ->且11a -<时，即cos1122a +<<时，21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上有2个公共点；当21cos1a -£且0a >时，即cos1102a +<£时，21y ax a =+-与cos y x =图象在(1,1)-上有没有公共点；当0a <时，此时21y ax a =+-对应的抛物线开口向下，且11a -<-，此时21y ax a =+-与cos y x =图象在(1,1)-上有没有公共点，综上可得，曲线y =f (x )与y =g (x )交点个数的情况有3种.的的故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 下列叙述正确的是（ ）A. 若等差数列{}n a 的公差0d >，则数列{}n a 为递增数列B. 若等比数列{}n b 的公比1q >，则数列{}n b 为递增数列C. 若2b ac =，则a 、b 、c 成等比数列D. 若21n S -是等比数列{}n c 的前21n -项和，则210n S -=无解【答案】AD 【解析】【分析】对于A ：根据等差数列的定义以及递增数列的定义分析判断；对于BC ：举反例说明即可；对于D ：分1q =和1q ¹两种情况，结合等比数列求和公式分析判断.【详解】对于A ：因为10n n a a d +-=>，可知数列{a n }为递增数列，故A 正确；对于B ：例如11,20a q =-=>，则22a =-，即21a a <，可知数列{a n }不为递增数列，故B 错误；对于C ：例如0a b c ===，满足2b ac =，但a 、b 、c 不成等比数列，故C 错误；对于D ：设等比数列{}n c 公比为q ，且10a ¹，若1q =，则()211210n S n a -=-¹；若1q ¹，则()21121101n n a q S q---=¹-；综上所述：210n S -=无解，故D正确；故选：AD.的10. 设函数，若()0f x £，则22a b +的最值情况是（ ）A. 有最大值 B. 无最大值C. 有最小值D. 无最小值【答案】BC 【解析】【分析】根据知()()10f a f b =-=，根据()0f x £可得1a b +=，再根据不等式性质可判断.【详解】根据，可知()()10f a f b =-=,根据()0f x £恒成立，则相同取值情况下(),ln y x a y x b =-+=+为异号或同时等于0，又y x a =-+在R 上递减，()ln y x b =+在(),b -+¥上递增，只需它们的零点重合，得1a b =-，即1a b +=，所以()2222211112222a b b b b æö+=-+=-+³ç÷èø，所以22a b +有最小值，没有最大值.故选：BC11. 定义在R 上的函数()f x 的导函数为()g x ，且满足下列条件:()()()()2220,222f x f x g x g x +--==--，且()11f =.则下列正确的是（ ）A. ()y g x =周期为8B. ()2y g x =图象关于()1,0对称C. ()y f x =关于()1,0-对称D.()20241i f i ==å【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，C 根据已知等式结合对称中心定义得出判断；根据已知等式求导得出()()2g x g x =--，结合已知得出函数周期判断B ；应用导函数与原函数间关系得出f (x )周期，再根据()()150f x f x +++=，计算求解判断D.【详解】对于A,B ，因为()()222g x g x =--，则()()2g x g x =--，则()()11g x g x +=--可知()g x 的图象关于(1,0)中心对称，知(2)g x 的图象关于1(,0)2中心对称，B 错误；因为()()2220f x f x +--=，则()()2f x f x =---，两边求导数可得()()2f x f x ¢¢=--，即得()()2g x g x =--，所以()()22g x g x -=---，即得()()22g x g x +=--+，所以()()4g x g x +=-，()()()84g x g x g x +=-+=，所以函数()g x 的周期为8，A 正确；对于C ，因()()2220f x f x +--=则()()2f x f x =---，所以()()11f x f x --=--+，函数()f x 关于()1,0-对称，C 正确；对于D ，因为()g x 的图象关于(1,0)中心对称，所以f (x )关于x =1对称，所以()()11f x f x -=+,又()()2f x f x =---，所以()()()131f x f x f x +=---=-，可得()()31f x f x --+=+，所以()()()()()84f x f x f x f x +=-+=--=，所以函数f (x )周期为8，因为()()130f x f x ++-+=，所以()()150f x f x +++=，所以()()()()()()()()150,260,370,480f f f f f f f f +=+=+=+=，所以()()()()()()()()()()1234202425312348f f f f f f f f f f éù+++++=+++++ëûL L ()()()()()()()()253152637480f f f f f f f f éù=+++++++=ëû，D 正确.故选：ACD ．【点睛】方法点睛：函数周期性及函数的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.）12. 若数列{}n a 的通项公式是2n a n =，且等比数列{}n b 满足2158b a b a ==，，则n b =_____.【答案】12n -【解析】【分析】设等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意结合等比数列通项公式列式求1,b q ，即可得结果.【详解】由题意可知：21582,16b a b a ====，设等比数列{}n b 的公比为q ，则21451216b b q b b q ==ìí==î，解得112b q =ìí=î，为所以11122n n n b --=´=.故答案为：12n -.13. 设函数()()sin 0f x x w w =>，已知()()121,0f x f x ==，且12x x -的最小值为π2，则w =_____.【答案】1【解析】【分析】确定()()sin 0f x xw w =>的周期为πT w =，结合题意可得1π22T=，即可求得答案.【详解】由题意知()()sin 0f x x w w =>图象可由，()sin 0y x w w >=的图象将x 轴下方部分翻折到x 轴上方得到，故()()sin 0f x xw w =>的周期为πT w =，又()()121,0f x f x ==，则12x x -的最小值为函数周期的二分之一，即1π22T =,即1ππ,122w w ×=\=，故答案为：114. 在如下图的44´的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_____.8273262323376362738665263966【答案】126【解析】【分析】先按列分析，可知十位数是固定的，利用列举法写出所有个位数的可能结果，即可求解.【详解】先按列分析，每列必选出一个数，所选4个数的十位数字分别为0，2，3，6，若选中方格中的4个数之和的最小值，则需要个位数之和最小，每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的个位数字，则所有的可能结果为：(8,3,8,6),(8,3,9,6),(8,7,7,6),(8,7,9,3),(8,6,7,6),(8,6,8,3)，(3,7,8,6),(3,7,9,6),(3,7,2,6),(3,7,9,2),(3,6,2,6),(3,6,8,2)，(6,7,7,6),(6,7,9,3),(6,3,2,6),(6,3,9,2),(6,6,2,3),(6,6,7,2)，(5,7,7,6),(5,7,8,3),(5,3,2,6),(5,3,8,2),(5,7,2,3),(5,7,7,2)，此时最小为532616+++=，所以选中的方格中，5,23,32,66的4个数之和最小，为5233266126+++=.故答案为：126.【点睛】关键点点睛：关解决本题的关键是先确定十位数，再确定个位数，利用列举法写出所有的可能结果.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 2021年8月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程.为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表:喜欢奥数不喜欢奥数总计已选奥数课（A 组）15050200未选奥数课（B 组）90110200总计240160400（1）若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A 组、B 组各抽取多少人？（2）依据小概率值α0.005=的独立性检验，能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？附:()2P c a ³0.10.050.010.0050.001a2.7063.841 6.6357.87910.828参考公式:()()()()22()n ad bc a b c d a c b d c -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）应在A 组抽取20人，应在B 组抽取12人.（2）能认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005【解析】【分析】（1）根据分层抽样列式计算即可；（2）根据表格数据求出2c 的值，然后与临界值比较即可判断.【小问1详解】应在A 组抽取3215020240´=人，应在B 组抽取329012240´=人.【小问2详解】零假设为0H ：选报奥数延时课与喜欢奥数无关联，根据列联表中的数据，经计算可得22400(1501109050)37.57.879200200240160c ´´-´==>´´´，根据小概率值α0.005=的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.16. 阅读一元二次方程韦达定理的推导过程，完成下列问题:设一元二次方程()21200R ax bx c a a b c x x ++=¹Î，，，的两根为，，则212ax bx c a x x x x ++=--（）（），展开得:()221212ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，比较系数得:()1212b a x x c ax x =-+=，，于是1212b c a x x x x a+=-=，.（1）已知一元三次方程()3200R ax bx cx d a a b c d +++=¹Î，，，，的三个根为123x x x ，，，类比于上述推导过程，求123x x x ;（2）已知()32691f x x x x =-++，若存在三个不相等的实数()()()m n t f m f n f t ==，，，使得，求mnt 的取值范围.【答案】（1）123d x x x a=- （2）()04，【解析】【分析】（1）先把式子展开再应用待定系数法即可求值；（2）根据函数求出导函数，根据导数正负得出函数单调性，再画出图像数形结合()y f x =与y s =有三个交点，即可求参数范围.【小问1详解】由题意知()()()32123ax bx cx d a x x x x x x +++=---，展开得:()()3232123122331123ax bx cx d ax a x x x x a x x x x x x x ax x x +++=-+++++-，比较系数得123,d ax x x =-即123d x x x a=-.【小问2详解】令()()()f m f n f t s ===，,,m n t 是()32691f x x x x s =-++=的三个根，即为326910x x x s -++-=的三个不等根，由上知1mnt s =-.()()()23129331f x x x x x =-+=--¢，于是()()()1,3,0,x f x f x <¢Î单调递减，()()()1,0,x f x f x ¢Î-¥>，单调递增，()()()3,,0,x f x f x ¢Î+¥>单调递增，且()()()()031,145f f f f ====，函数()f x 的大致图象如下:为使得()y f x =与y s =有三个交点，则()1,5,s Î故()104.mnt s =-Î，17. 如图所示，直线12,l l 之间的距离为2，直线23,l l 之间的距离为1，且点,,A B C 分别在123,,l l l 上运动，π3CAB Ð=，令CAF a Ð=.（1）判断ABC V 能否为正三角形？若能，求出其边长的值;若不能，请说明理由;（2）求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）ABC V（2）.【解析】【分析】（1）过C 作1CD l ^，过B 作1BE l ^，利用直角三角形边角关系求出,AC AB ，则等边三角形建立方程求解即得.（2）由（1）中信息，利用三角形面积公式，结合三角恒等变换及正弦函数的性质求出最小值.【小问1详解】过C 作1CD l ^，过B 作1BE l ^，垂足分别为,D E ，如图，由CAF a Ð=，π3CAB Ð=，得2π2π0,33BAE a a <<Ð=-，在ACD V 中，3sin AC a =，在ABE V 中，22πsin()3AB a =-，由ABC V 是正三角形，则AC AB =，即322π,3sin()2sin 2πsin 3sin()3a a a a =-=-，整理得cos a a =，又22sin cos 1a a +=，解得sin a =，所以3sin AC a ==【小问2详解】由（1）知，1π1sin 2π23sin sin()3ABC S AB AC a a =×==-V ，21111π1cos sin cos2sin(2)244264a a a a a a +=-+=-+，由2π03a <<，得ππ7π2666a -<-<，则当ππ262a -=，即π3a =21cos sin 2a a a +取最大值34，所以π3a =时，ABC S V43=.18. 已知函数()2124ln .f x ax x x a =+-ÎR （）（1）若函数()y f x =在()0,¥+上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）“若函数()y f x =在()0,1上只有一个极值点，求实数a 取值的集合”，某同学给出了如下解法:由()2124412440ax x f x ax x x+-=+-==¢在()0,1上只有一个实数根，所以16960a =+=V ，得16a =-，此时()10,12x =Î.所以，实数a 取值的集合为16ìü-íýîþ.上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答;（3）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1232ln 2.f x f x +>+【答案】（1）1,6¥æù--çúèû（2）上述解答不正确，理由见解析，解答见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，分析可知()()00f x x ¢£>恒成立，参变分理结合二次函数最值分析求解；（2）分析可知()22441g x ax x =+-在(0,1)上只有一个变号零点，参变分类结合二次函数分析求解；（3）分析可知g (x )=0在(0,+∞)上有两个不等实根为12,x x ，利用韦达定理整理可得()()12111ln 324f x f x a a æö+=---ç÷èø，令11244t a =->，()18ln h t t t =+-，利用导数分析证明.【小问1详解】因为()212441244ax x f x ax x x=¢+-=+-，由题意可知()()00f x x ¢£>恒成立，则224410ax x +-³，可得221412424a x x x æöæö£-=--ç÷ç÷èøèø，因为21244x æö--³-ç÷èø，当且仅当12x =，即12x =时，等号成立，可得244a £-，解得16a £-，所以实数a 的取值范围为1,6¥æù--çúèû.【小问2详解】上述解答不正确，理由如下：由题意可知：()22441g x ax x =+-在(0,1)上只有一个变号零点，令g (x )=0，整理可得212424a x æö=--ç÷èø，令()11,t x¥=Î+，则()22424a t =--，令()()224,1h t t t =-->，作出其函数图象，由图象可知：243a ³-，解得18a ³-，所以实数a 取值的集合是1,8¥éö-+÷êëø.【小问3详解】因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，可知()224410g x ax x =+-=在(0,+∞)上有两个不等实根为12,x x ，则1212169601061024a x x a x x a =+>ìïï+=->íïï=->îV ，解得106a -<<，可得()()2212111222124ln 124ln f x f x ax x x ax x x +=+-++-()()()()()22212121212121212124ln 1224ln a x x x x x x a x x x x x x x x éù=+++-=+-++-ëû211211112ln 1ln 3612324324a a a a a a a æöæöæö=+---=---ç÷ç÷ç÷èøèøèø，令11244t a =->，则()()1218ln f x f x t t +=+-.令()118ln 4h t t t t æö=+->ç÷èø，则()18180t h t t t -=-=>¢，可知()h t 在1,4¥æö+ç÷èø内单调递增，则()132ln 24h t h æö>=+ç÷èø，所以()()1232ln 2f x f x +>+.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数ℎ(x )；（3）利用导数研究ℎ(x )的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19. 设函数()e xf x =.（1）设()()1g x f x ax =--，讨论()g x 的单调区间；（2）设曲线y =f (x )在点()()(),2,N n f n n n ³Î处的切线与x 轴、y 轴围成的三角形面积为S n ，令2n n S c n =，求2ln i n n c å=；（3）若0x "³，()sin cos 2f ax x x ³-+，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()222ln 1ln22n n n n +----. （3）[1,)+¥【解析】【分析】（1）先求导函数再根据导函数正负得出函数的单调性即可 ；（2）先求出切线方程得出截距，再表示面积结合求出公式定义应用对数运算化简求解；（3）先构造函数()e sin cos 2axh x x x =-+-，再求导函数分1,1a a ³<两种情况讨论计算求参.【小问1详解】()e 1x g x ax =--,则()e x g x a ¢=-.①若0a £，则()()0g x g x ¢>，在(),¥¥-+上单调递增;②若a >0，令()0g x ¢=，解得ln x a=当(),ln x a Î-¥时，()()0g x g x ¢<，单调递减，当()ln ,x a Î+¥时，()()0g x g x ¢>，单调递增.综上，当0a £时，()g x 的单调递增区间为(),¥¥-+;当a >0时，()g x 的单调递减区间为(),ln a -¥，单调递增区间为()ln ,a +¥.【小问2详解】由题意易得曲线y =f (x )在点()(),n f n 处的切线方程为()e e n n y x n -=-.设切线与x 轴、y 轴相交所得的横截距与纵截距分别为,n n a b .则令0y =，解得1n a n =-，令x =0，解得()e1n n b n =--.则所围成的三角形面积为()2111e 22nn n n S a b n ==-则()()22222221e 11e 11ln ln ln ln lne 2ln ln2222n n n n n n n n S n n c c n n n n n n----====++=+-（），，2222211ln 2ln ln22ln ln2i i i i i n n n n n n n n c n n n n ååååå=====--æö=+-=+-ç÷èø()()()()221122ln 1ln22ln 1ln222n n n n n n n n +-+-=+--=---.小问3详解】()sin cos 2f ax x x ³-+即e sin cos 2ax x x ³-+，令()e sin cos 2ax h x x x =-+-，则()e cos sin axh x a x x =-¢-，①当1a ³时，因为0x ³，所以e e ax x ³，()e cos sin xh x x x ³-¢-，令()sin u x x x =-，则()1cos 0u x x =¢-³，则函数()u x 单调递增，且()(0)0u x u ³=，即sin x x ³;由（1）可知当1a =时，()()00g x g ³=，【即()1f x x ³+，所以e 1sin 1x x x ³+³+，则()e cos sin 1cos 0x h x x x x ³-¢³--³，所以函数()h x 在[0,)+¥上单调递增，且()(0)0h x h ³=，即e sin cos 2ax x x ³-+恒成立.②当1a <时，(0)10h a ¢=-<，存在实数00x >，使得0(0,)x x "Î均有()0h x ¢<，则函数()h x 在0(0,)x 上单调递减，且()(0)0h x h <=，不符合题意，所以当1a <时，不符合题意.综上，a 的取值范围为[1,)+¥.【点睛】关键点点睛：解题的关键是当1a <时，得出函数()h x 在0(0,)x 上单调递减，且()(0)0h x h <=，不符合题意，得出矛盾不成立.。
高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案
高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案江苏省兴化市周庄高级中学教育教学研究室江苏省兴化市教育局教研室数学试卷(考试时间为150分钟，满分150分．)本卷由三部分组成；解题研究；试题命制；教学设计．1．解题研究本题满分40分(问题1为必答题，问题2、问题3两题任选一题做答，每题满分20分)．1．1．错因分析学生在学习中，总会产生错误，错误往往是正确认知的前兆，这正是失败乃成功之母，所以教师要珍视学生学习中的错误，并以此为契机，培养学生的批判性思维，发展思维能力．写出学生解决下面问题有可能出现的典型错误，并分析产生错误的根本原因(至少分析两个典型错误)，最后请您给出本题的正确解答．问题1：求函数y＝sin（-3x+π/4）(x∈的单调递减区间．1．2．总结策略教学目的之一是为了让学生掌握思考问题和解决问题的方法，当学生面临一个新的情境下的问题时总要联想，把以往获得的方法再加工迁移到新的问题上，因此有教育家提出了为“迁移而教”的口号，为了实现“迁移”就必须对学习加以总结概括，总结概括得越精当，越有利于“迁移”的产生，从而能够迅速地解决新问题．解下列问题，完成后请您总结解决该类“恒成立”问题的解题策略．问题2：已知c>0，设P：函数y=Cx在R上单调递减；Q：不等式x+∣x-2c∣>1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求C的取值范围。
1．3 探究拓展著名数学家、教育家波利亚说过，解题就像采蘑菇一样，当我们发现一个蘑菇时，它的周围可能有一个蘑菇圈．在解题中，当您解完了一道题，可以借助如，类比，(1)类比推理：根据两种事物在某些方面属性的相似，推想此两种事物在其他一些方面的属性也相似；(2)方法类比：将处理某种事物卓有成效的经验或方法移植到处理与其相似的另一事物上，以及其他一些科学思维策略和数学思想方法，对问题进行探索与拓展，从而解决一类问题，发展思维能力。
完成下面一道题后，根据探索的要求进行探索与拓展。
解题研究三例研出三个性质
１２ 月 １３ 日上午，由山东数学会主办㊁我校承办的第六届全国大学生数学竞赛 （ 山东赛区 ） 暨第五届山东省大
中国数学会主办的全国大学生数学竞赛中连续五年夺得全国竞赛一等奖㊂ 本次颁奖大会在我校的举办充分体现 对该项赛事进行了详细的介绍，院长孟凡伟教授宣读了优秀组织单位㊁指导老师和获奖学生名单㊂ 合影留念㊂
图象过点 Ｐ（ ｘ ０ ，ｔ ０ ） 与 Ｑ（ ｔ ０ ，ｘ ０ ） ． 又因为点 Ｐ 和 Ｑ 关于直 ＝ ｆ （ ｘ） 的图象与直线 ｙ ＝ ｘ 有交点，故方程 ｆ （ ｘ） ＝ ｘ 有实 题 ２㊀ （ ２００８ 年上海交通大学自主招生考试题） 已
令 ｔ ０ ＝ ｆ （ ｘ ０ ） ，于是 ｆ （ ｔ ０ ） ＝ ｘ ０ ． 从而，函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ） 的 同理，若 ａ ＜ ０，则对任意实数 ｘ，ｆ （ ｘ） ＜ ｘ，ｆ （ ｆ （ ｘ） ） ＜ ｆ （ ｘ） ＜ ｘ，ｆ （ ｆ （ ｘ） ） ＝ ｘ 也无实根，如图 ３． 解法 ３㊀ 反证法．
门县人， 中学高级教师， 玉溪市数学学科带头人， 玉溪市劳 模． 在省级及以上数学专业刊物上发表教育教学论文 １３０ 余 篇． 主要从事高中数学教学及其研究．
作者简介 ㊀
武增明， 男，１９６５ 年年生， 云南省玉溪市易
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中学数学解题研究
第二，用某种指定的代数运算（这就是所谓的“叠加”）把一 些特殊情形组合起来，从而获得一般情形的解。
波利亚通过对各种典型问题的细致剖析，提炼出四个常用的解题 模式——可供仿照的楷模．
Ⅰ．双轨迹模式 （1）把问题归结为要确定一个“点”． （2）把条件分成两部分，使得对每一部分，未知点都形成一个 “轨迹”．这两个“轨迹”的交集，就是我们要求的“点”．
波利亚解题过程的四个阶段:
1. 弄清问题——认识、并对问题进行表征的过程 ，
是成功解决问题的一个必要前提
2. 拟订计划——是探索解题思路的发现过程，是关
键环节和核心内容。
3. 实现计划——是思路打通之后具体实施信息资源
的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”
4. 回顾——是最容易被忽视的阶段，波利亚对其作。 为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法 .
世大学的会议致词中说过：“每个大学 波利亚(1887.12.13-
生、每个学者、特别是每个教师都应该
1985.9.7)
读这本引人入胜的书”(1952年2月2
日)．
数学解题教学
没有一道题可以解决得十全十美，总存在值 得我们探究的地方。 ——[美]G. 波利亚
我国数学解题研究的代表人物和代表作
戴再平
数学解题方法与数学方法数学解题方法与数学教学数学解题方法与数学思维数学解题方法与数学解题策略数学解题方法与数学思路数学解题方法与数学方法原理数学解题方法与数学学科结构数学解题方法与数学概念数学解题方法与数学操作数学解题方法与一般科学方法数学通用解题方法与实现解题技巧数学基本解题方法与数学通用解法第十五讲数学解题基本方法一公理化与数学结构型方法1分析法2综合法3归纳法4演绎法5类比法6对称方法7构造法8面积法体积法例题
北京市中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷含答案
北京35中2025届10月月考数学（答案在最后）2024.10本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}212,340,ZA x xB x x x x =-≤≤=--<∈，则A B = （）A.{}0,1B.{}11x x -≤<C.{}0,1,2 D.{}12x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】计算{}0,1,2,3B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2340,Z 14,Z 0,1,2,3B x x x x x x x =--<∈=-<<∈=，{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2A B = .故选：C.2.已知223,tan2,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】D 【解析】【分析】确定19a =，0b <，1c >，得到答案.【详解】2139a -==，tan20b =<，22log 3log 21c >==，故c a b >>.故选：D.3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是A.3()f x x = B.()lg ||f x x = C.()f x x=- D.()cos f x x=【答案】C【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在()0,1上的单调性，得到答案.【详解】选项A 中，()3f x x =，是奇函数，但在()0,1上单调递增，不满足要求；选项B 中，()lg f x x =，是偶函数，不满足要求，选项C 中，()f x x =-，是奇函数，在()0,1上单调递减，满足要求；选项D 中，()cos f x x =，是偶函数，不满足要求.故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.4.在621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A.20-B.15- C.15D.30【答案】C 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求常数项.【详解】621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令360r -=，则2r =，故常数项为()2236115T C =-=，故选：C.【点睛】本题考查二项展开中的指定项，注意利用通项公式帮助计算，本题为基础题.5.已知函数||||()x x f x e e -=-，则函数()f x （）A.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由偶函数的定义判断函数()f x 的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数()f x 的单调性.【详解】∵||||()x x f x e e -=-∴||||||||()()x x x x f x e e e e f x -----=-=-=，∴函数||||()x x f x e e -=-为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，1()=x x xxf x e e e e -=--，∵函数x y e =在(0,+∞)上单调递增，函数1x y e=在(0,+∞)上单调递减，∴()e e x x f x -=-在(0,+∞)上单调递增，即函数||||()x x f x e e -=-在(0,+∞)上单调递增.故选：A.6.阅读下段文字：“为无理数，若a b ==ba 为有理数；若则取无理数a =，b =，此时(22ba ====为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A.是有理数B.C.存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数 D.对任意无理数a ，b ，都有b a 为无理数【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.【详解】这段文字中，没有证明AB 错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C 正确；这段文字中只提及存在无理数a ，b ，不涉及对任意无理数a ，b ，都成立的问题，D 错误.故选：C 7.若点5π5πsin,cos 66M ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan2α=（）A.33 B.33-C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数定义得到tan α=.【详解】5π5πsin ,cos 66M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5πcos6tan 5πsin6α==，22tan 23tan21tan 13ααα-===--故选：C.8.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】把函数()f x 拆解为两个函数，画出两个函数的图像，观察可得.【详解】当0a <时，作出ln ,ay x y x==-的图像，可以看出0a <时，函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点，反之也成立，故选C.【点睛】本题主要考查以函数零点为载体的充要条件，零点个数判断一般通过拆分函数，通过两个函数的交点个数来判断零点个数.9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q成正比.当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m /s v =时，其耗氧量的单位数为（）A.1800 B.2700C.7290D.8100【答案】D 【解析】【分析】设3log 100Qv k =，利用当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900求出k 后可计算2m /s v =时鲑鱼耗氧量的单位数.【详解】设3log 100Q v k =，因为1v m /s =时，900Q =，故39001log 2100k k ==，所以12k =，故2m /s v =时，312log 2100Q =即8100Q =.故选：D.【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.10.已知各项均为整数的数列{}n a 满足()*12121,2,3,n n n a a a a a n n --==>+≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（）A.520a >B.10100a <C.151000a >D.202000a <【答案】C 【解析】【分析】依题意根据数列的递推公式可分别判断各选项，再利用各项均为整数即可判断只有C 选项一定正确.【详解】根据题意可知3123a a a >+=，又数列的各项均为整数，所以3a 最小可以取4，即34a ≥；同理可得4236a a a >+≥，所以4a 最小可以取7，即47a ≥；同理53411a a a >+≥，所以5a 最小可以取12，即512a ≥，即520a <可以成立，因此可得A 不一定正确；同理易得645619,20a a a a >+≥≥；756732,33a a a a >+≥≥；867853,54a a a a >+≥≥；978987,88a a a a >+≥≥；108910142,143a a a a >+≥≥，即10100a <不成立，B 错误；又1191011231,232a a a a >+≥≥；12101112375,376a a a a >+≥≥；131********,609a a a a >+≥≥；14121314985,986a a a a >+≥≥，151314151595,1596a a a a >+≥≥，即可得151000a >一定成立，即C 正确；显然若32000a =，则202000a <明显错误，即D 错误.故选：C第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数1ii+的虚部为________.【答案】－1【解析】【详解】试题分析：1ii 1i+=-+，所以其虚部为－1考点：复数的虚部12.函数()f x =的定义域为R ，请写出满足题意的一个实数a 的值______．【答案】1-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的定义域求解即可.【详解】因为()f x =R ，所以20x a -≥在R 上恒成立，即2a x ≤，由于20x ≥在R 上恒成立，故实数a 的取值范围为(],0-∞.故答案为：1-（答案不唯一）.13.已知数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，{}n b 的通项公式为12n b n =-．记数列{}n n a b +的前n 项和为n S ，则4S =____；n S 的最小值为____．【答案】①.1-②.2-【解析】【分析】（1）由题可得1212n n n n a b c n -+==+-，根据等比数列及等差数列的求和公式可得n S ，利用数学归纳法可得3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，进而即得.【详解】由题可知1212n n n a b n -+=+-，所以()()()()()423441712112325271122S +-++-++-++-+-==--=，()()()()1212112112321221122n n n n n n n S n -+--+-++-+++-=-=---= ，令1212n n c n -=+-，则123450,1,1,1,7c c c c c ==-=-==，当4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，下面用数学归纳法证明当4n =时，1221n n ->-成立，假设n k =时，1221k k ->-成立，当1n k =+时，()()()122222121123211k k k k k k -=⋅>-=+-+->+-，即1n k =+时也成立，所以4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，所以3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，由当3n =时，n S 有最小值，最小值为3322132S =--=-.故答案为：1-；2-.14.已知函数()e ,,x x x af x x x a⎧<=⎨-≥⎩，()f x 的零点为__________，若存在实数m 使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.0②.11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用导函数判断函数单调性，利用求解极值的方法画出函数的大致图象，分析运算即可得出结果.【详解】令()e xg x x =，可得()()1e xg x x +'=，由()0g x '=可得1x =-，当(),1x ∞∈--时，()0g x '<，此时()g x 在(),1∞--上单调递减，当()1,x ∞∈-+时，()0g x '>，此时()g x 在()1,∞-+上单调递增，因此()g x 在1x =-处取得极小值，也是最小值，即()()min 11eg x g =-=-，又()00g =，且0x <时，()10eg x -≤<，当0x >时，>0，令()h x x =-，其图象为过原点的一条直线，将()(),g x h x 的大致图象画在同一直角坐标系中如下图所示：当0a <时，如下图，在[),+∞a 上()()f x h x x ==-的零点为0，当0a =时，如下图，在[)0,∞+上()()f x h x x ==-的零点为0当0a >时，如下图，在(),a ∞-上()()e xf xg x x ==的零点为0，综上可知，()f x 的零点为0；当1a ≤-时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点，当11ea -<<时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有三个交点，当1ea ≥时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点；综上可知，若使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：0；11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭15.已知函数()()e 111xf x k x =----，给出下列四个结论：①当0k =时，()f x 恰有2个零点；②存在正数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有2个零点；④对任意()0,k f x <只有一个零点.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】把函数()f x 的零点个数问题，转化为函数e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，作出图象分类讨论可得结论.【详解】令()()e 1110xf x k x =----=，得()e 111xk x -=-+，函数()f x 的零点个数，即为方程()e 111xk x -=-+的根的个数，方程()e 111xk x -=-+根的个数，即为e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，又函数()11y k x =-+是过定点(1,1)A 的直线，作出e 1xy =-的图象如图所示，当0k =直线()11y k x =-+与函数e 1xy =-有一个交点，故()()e 111xf x k x =----有一个零点，故①错误；当()11y k x =-+在第一象限与函数e 1xy =-相切时，函数()()e 111xf x k x =----有一个零点，故②正确；函数()11y k x =-+绕着A 顺时针从1y =转到1x =时，两图象只有一个交点，故0k <时，函数()()e 111xf x k x =----只有一个零点，故③错误，④正确.故答案为：②④.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点.点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-.（1）求cos2α的值；（2）求()sin βα-的值.【答案】（1）725-（2）5665.【解析】【分析】（1）利用三角函数定义可得4sin 5α=，再由二倍角公式计算可得7cos225α=-；（2）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角差的正弦公式计算可得结果.【小问1详解】由题可知，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点；点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-，所以45sin ,cos 513αβ==-.即可得27cos212sin 25αα=-=-.【小问2详解】由于22sin cos 1αα+=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23cos 1sin 5αα=-=，同理由于2π12,π,sin 1cos 213βββ⎛⎫∈=-= ⎪⎝⎭，所以()56sin sin cos cos sin 65βαβαβα-=-=.17.某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对,,A B C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.题目A B C做对的概率451214获得的奖金/元204080规则如下：按照,,A B C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]（1）求甲没有获得奖金的概率；（2）求甲最终获得的奖金X 的分布列及期望；（3）如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）【答案】（1）15（2）分布列见解析，40（元）（3）不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析.【解析】【分析】（1）甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，从而求得对应的概率；（2）易知X 的可能取值为0，20，60，140，再根据题目的对错情况进行分析求解概率与分布列，求出期望值；（3）可以分别求出每种顺序的期望，然后比较得知.【小问1详解】甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，设甲没有获得奖金为事件M ，则()41155P M =-=.【小问2详解】分别用,,A B C 表示做对题目,,A B C 的事件，则,,A B C 相互独立.由题意，X 的可能取值为0,20,60,140.41412(0)()1;(20)()155525P X P A P X P AB ⎛⎫===-====⨯-= ⎪⎝⎭;4134111(60)()1;(140)()52410524101P X P ABC P X P ABC ===⨯⨯-===⨯⎛⎫ ⎪⎝=⎭=⨯.所以甲最终获得的奖金X 的分布列为X02060140P 1525310110()12310206014040551010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.【小问3详解】不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：由（2）知，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望为40元，若按照,,A C B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,20,100,140.141(0)1;(250)1554435P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;41411(100)1;(140)5105421011142P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为110201001403613110550⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B A C 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,60,140.1114(0)1;(400)1212125P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;143141(60)1;(140)254102541011P X P X ==⨯⨯-===⨯⎛⨯ ⎝=⎫⎪⎭.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B C A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,120,140.1111(0)1;(480)122432P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(120)1;(140)24024510141145P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C A B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,100,140.1314(0)1;(800)1414245P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1141(100)1;(140)10452104111452P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为1080100140284101311200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C B A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,120,140.1311(0)1;(880)144214P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(100)1;(140)40425101411425P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为5311108010014026.401048⨯+⨯+⨯+⨯=元，显然按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大.18.已知()2cos sin ,f x ax x x x a =++∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上为增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2y =（2）[)1,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）将()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数转化为sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数()sin cos g x x x x =-并求导得出其单调性，求出最大值可得实数a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()2cos sin f x x x x =+，易知()2sin sin cos cos sin f x x x x x x x x'=-++=-可得()()00,02f f ='=，所以切线方程为2y =.【小问2详解】易知()sin cos f x a x x x=+'-由函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，可得′≥0在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，即sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()()ππsin cos ,sin ,,22g x x x x g x x x x ⎡⎤=-=∈-⎢⎣'⎥⎦法一：令()sin 0g x x x '==，得0x =，()(),g x g x '的变化情况如下：x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭0π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x '+0+()g x所以()g x 为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.法二：当π02x -<<时，sin 0,sin 0x x x <>；当π02x ≤<时，sin 0,sin 0x x x ≥≥.综上，当ππ22x -<<时，()()0,g x g x '≥为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.19.现有一张长为40cm ，宽为30cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为cm x ，高为y cm ，体积为()3cm V .（1）求出x 与y 的关系式；（2）求该铁皮盒体积V 的最大值.【答案】（1）21200,0304x y x x-=<≤；（2）34000cm .【解析】【分析】（1）由题意得到244030x xy +=⨯，化简得到212004x y x -=，并由实际情境得到030x <≤；（2）表达出()()3112004V x x x =-，求导得到其单调性，进而得到最大值.【小问1详解】因为材料利用率为100%，所以244030x xy +=⨯，即212004x y x -=；因为长方形铁皮ABCD 长为40cm ，宽为30cm ，故030x <≤，综上，212004x y x-=，030x <≤；【小问2详解】铁皮盒体积()()222312*********x V x x y x x x x -==⋅=-，()()21120034V x x '=-，令()0V x '=，得20,x =()(),V x V x '的变化情况如下：x ()0,2020()20,30()V x +0-()V x '()V x 在()0,20上为增函数，在()20,30上为减函数，则当20x =时，()V x 取最大值，最大值为()3311200202040040cm ⨯⨯-=.20.已知函数1e ()x f x x-=.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）当211x x >>时，判断21()()f x f x -与2122x x -的大小，并说明理由.【答案】（1）230x y +-=；（2）单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞；（3）212122()()f x x x f x -->，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）利用导数求出函数()f x 的单调区间.（3）构造函数2()(),1g x f x x x=->，利用导数探讨函数单调性即可判断得解.【小问1详解】函数1e ()x f x x -=，求导得12(1)e ()xx f x x---='，则()12f '=-，而(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=.【小问2详解】函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且12(1)e ()x x f x x---='，当1x <-时，()0f x '>，当10x -<<或0x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞.【小问3详解】当211x x >>时，212122()()f x x x f x -->，证明如下：令2()(),1g x f x x x =->，求导得12(1)e 2()x x g x x-'--+=，令1()(1)e 2,1x h x x x -=--+>，求导得1()e 0x h x x -='>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0h x h >=，即()0g x '>，函数()g x 在(1,)+∞上为增函数，当211x x >>时，21()()g x g x >，所以212122()()f x x x f x -->.21.已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a Nn m ∈= ；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m = 则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>；（III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值.【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33.【解析】【分析】（I ）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.（II ）利用差比较法判断出{}n b 的单调性，由此证得结论成立.（III ）利用累加法、放缩法求得关于m a 的不等式，由此求得m 的最大值.【详解】（I ）不存在.理由如下：因为*413579751b N ++++-=∈-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II ）因为*11,11,1n n n n a a b b n m n N m ++--=≤≤-∈-，又因为12m a a a <<< ，所以10n n a a +-<，所以1101n n n n a a b b m ++--=<-，即1n n b b +<，所以12···m b b b >>>成立.（III ）1i j m ∀≤<≤，都有1j i i j a a b b m --=-，因为*i b N ∈，12m b b b >>> ，所以*i j b b N -∈，所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--.因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-.而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-++-≥-+-++- ()21m =-，即()2204911m -≥-，所以()212048m -≤，故46m ≤.由于*20481N m ∈-，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.。
初中数学教师解题比赛试题及答案
青年教师基本功大赛试题一、选择题（10×2=20分,单选或多选）1.现实中传递着大量的数学信息，如反映人民生活水平的“恩格尔系数”、预测天气情况的“降雨概率”、表示空气污染程度的“空气指数”、表示儿童智能状况的“智商”等，这表明数学术语日趋（）（A）人本化（B）生活化（C）科学化（D）社会化2. 导入新课应遵循（）（A）导入新课的方法应能激发学生的学习兴趣、学习动机，造成悬念，达到激发情感，提出疑问的作用（B）要以生动的语言、有趣的问题或已学过的知识，引入新知识、新概念（C）导入时间应掌握得当，安排紧凑（D）要尽快呈现新的教学内容3.下列关于课堂教学的改进，理念正确的是（）（A）把学生看作教育的主体，学习内容和学习方法由学生作主（B）促进学生的自主学习，激发学生的学习动机（C）教学方法的选用改为完全由教学目标来决定（D）尽可能多的提供学生有效参与的机会，让学生自己去发现规律，进而认识规律4．为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（）（A ）7000名学生是总体（B）每个学生是个体（C ）500名学生是所抽取的一个样本（D）样本容量是5005. 一个几何体的三视图如图2所示，则这个几何体是（）主视图左视图俯视图图2 （A）（B）（C）（D）6．如图1，点A(m,n)是一次函数y=2x 的图象上的任意一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，那么三角形ABO 的面积Ｓ关于m 的函数关系的图象大致为（ ）7．有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子。
若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为（ ） (A)21 (B) 31 (C) 61 (D) 918．一次数学课上，老师让大家在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，折出一个菱形。
甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），乙同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE ＝∠DAC ，∠ACF ＝∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是( )（A ）甲 （B ）乙 （C ）甲乙相等 （D ） 无法判断9．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。
初中数学教材教法试题及答案
试题（一）一填空（1）有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，、与是学习数学的重要方式。
（2）《义务教育数学课程标准》的基本理念指出：义务教育阶段的数学课程应突出体现、和，使数学教育面向全体学生，实现：；；。
（3）学生是数学学习的，教师是数学学习的、与。
（4）《标准》中所陈述课程目标的动词分两类。
第一类，知识与技能目标动词，包括、、、、第二类，数学活动水平的过程性目标动词，包括、、。
二、简述《义务教育数学课程标准》（实验）的总体目标。
三、简述：（1）初中数学新课程的教学内容体系。
（2）你如何认识新课程的评价理念?四、何为说课？举例说明说课的基本内容和方法五、写出“多边形外角和”一课的教学设计简案。
（主要写教学目标，重点、难点，课题引入及教学策略）试题（二）一填空（1）数学教学活动必须建立在学生的认知和已有基础上。
教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学的机会，帮助他们在自主探索和的过程中真正理解和掌握数学知识技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
（2）《义务教育数学课程标准》的基本理念指出：义务教育阶段的数学课程应突出体现、和，使数学教育面向全体学生，实现：；；。
（3）评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；应建立评价目标化、评价方法化的评价体系，对学生的数学学习评价要关注学生数学学习的，更要关注他们的。
（4）初中数学新课程的四大学习领域是、、、。
（5）《标准》中陈述课程目标的动词分两类。
第一类，目标动词，第二类，数学活动水平的目标动词。
二、简述《义务教育数学课程标准》（实验）的总体目标。
三、简述：（1）初中数学新课程的教学内容的特点。
（2）选择、确定教学内容的依据与标准。
四、谈谈你对数学新课程所提倡的评价方式与方法的认识。
五、写出“直角坐标系（第一课时）”一课的教学设计简案。
（主要写教学目标，重点、难点，课题引入及教学策略）试题（三）一填空（1）学生的数学学习内容应当是、、的，这些内容有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。
22春[0772]《中学代数研究》西大网络答案
![22春[0772]《中学代数研究》西大网络答案](https://img.taocdn.com/s3/m/06956230492fb4daa58da0116c175f0e7cd119b2.png)
1、高中代数课程的基本主线是（ ）.方程 . 不等式.函数.数列2、用复数的棣莫弗公式，可以推导（ ）.三角函数的n 倍角公式. 一元二次方程的求根公式 .点到直线的距离公式3、不定方程求解的算理依据是（ ）. B. 孙子定理 . 辗转相除法. 单因子构件法 .拉格朗日插值法4、 在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的（ ）. 形式推导 . 直观理解.恒等变换5、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有（ ）. 连续性 . 完备性 .稠密性.可数性6、代数学是研究数学对象的运算的理论和方法的一门学科，根据数学对象的不同表现代数学可分为（）.方程和函数.古典代数和近代代数.数列和算法.抽象代数和近世代7、下列说法，哪个是正确的（）.复数集是一个有序域.复数可以比较大小.复数可以排序8、下列哪个说法是错误的（）.用尺规作图可以三等分角.用尺规作图可以二等分角.用尺规作图可以画直线外一点到该直线的垂直线.用尺规作图可以画出根号5的数9、任意两个有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数具有（）.完备性.稠密性.可数性.连续性10、三角形的余弦定理同（）有内在联系.二维柯西不等式.二维排序不等式 .二维均值不等式11、下列说法，哪一个是错误的（ ）.有理数集是可数的 .实数集是可数的.自然数集是可数的12、两个集合A 和B 的笛卡尔积的子集，被称为（ ）. F. 关系. 对偶. 序偶 .结构13、高中教材“函数”的定义采用的是（ ）. 函数“对应说”；. 函数“变量说”； .函数“关系说”14、用（ ）方法，对任意有限数列都可以给出该数列的通项表达式。
. 拉格朗日插值公式. 数列的母函数.高阶数列的求和递推公式15、不定方程求解的算理依据是（ ）. 孙子定理.单因子构件法.辗转相除法.拉格朗日插值法16、点到直线的距离公式，可以用（）推出.C. 加权平均不等式. D. 柯西不等式.均值不等式.排序不等式17、下列那个定理所体现出来的方法是单因子构件法（）.正弦定理.孙子定理.代数基本定理.韦达定理判断题18、在算法的教学中，应当注意培养学生的数学表达能力。
2025届新疆克拉玛依市高级中学高考数学必刷试卷含解析
2025届新疆克拉玛依市高级中学高考数学必刷试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3-2．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =，则12PF PF +=（ ） A ．4B ．8C ．42D ．473．已知函数()(1)xf x x a e =--，若22log ,a b c ==则（ ）A ．f (a )<f (b ) <f (c )B ．f (b ) <f (c ) <f (a )C ．f (a ) <f (c ) <f (b )D ．f (c ) <f (b ) <f (a )4．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．835．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤7．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-8．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．859．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．10．己知46a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>11．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u = lny ，v =(x -4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．eB ．e 2C ．ln 2D ．2ln 212．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ） A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省湖州市安吉县上墅私立高级中学2024年高三第三次调查研究考试数学试题
浙江省湖州市安吉县上墅私立高级中学2024年高三第三次调查研究考试数学试题 考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．[]0,1 D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ） A ． B ． C ．D ．4．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->>C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>5．若向量(1,5),(2,1)a b ==-，则(2)a a b ⋅+=（ ）A ．30B ．31C ．32D ．336．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i < 7．集合{}2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．31 D ．32 8．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．129．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．1210．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺11．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是10312．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．90二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
初中学生数学解题错误的调查研究数学与统计学院师范(06)颜海燕
初中学生数学解题错误的调查研究数学与统计学院师范（06）颜海燕指导教师汤炳兴初中学生数学解题错误的调查研究摘要初中学生数学解题中存在哪些错误？对望直港中心初中88名学生进行问卷调查，采用描述统计方法对收集的数据按知识性错误、逻辑性错误、策略性错误和心理性错误进行分析，发现错误原因主要是：概念模糊（占30.51％）、思想方法运用不当（占42.24%）、审题不清（占20.33％）、反思回顾不够（占6。
92%）.由此得到启示：加强对概念的理解，重视数学思想方法，提高审题能力,养成解题回顾的好习惯、整理一本错题集。
关键词：数学解题错误解题能力错误分析预防措施目录1．问题的提出 (1)2．有关数学解题错误的研究概述 (2)2。
1初中学生数学解题错误的心理分析 (2)2。
1。
1直觉经验导致的错误 (2)2。
1.2思维定势导致的错误 (2)2.1。
3焦虑情绪导致的错误 (2)2。
1.4联想抑制导致的错误 (2)2.2国内外有关数学解题错误的研究 (2)3．研究方法 (5)3.1研究对象 (5)3。
2问卷设计 (5)3。
3数据收集 (6)4．研究结果与分析 (7)4。
1研究结果 (8)4。
2数据分析 (8)4。
2。
1各年级学生对数学的感兴趣情况 (8)4.2。
2各年级学生搜集错题情况 (9)4.2.3各年级学生对待错题的态度 (10)4。
2。
4有关初中学生做错数学题原因的分析 (10)5．几点思考 (12)5。
1加强对概念的理解 (12)5。
2重视数学思想方法 (12)5.3提高审题能力 (12)5.4养成错题回顾的好习惯 (13)5.5整理一本错题集 (13)参考文献 (16)附录 (17)调查报告正文1．问题的提出数学解题错误是学生在学习过程中存在着的一种自然现象，要想让学生完全避免错误是不可能的,也是没有必要的.从某种意义上讲，错误不过是学生在数学解题中所作的某种尝试,它只能反映出学生在某一阶段的学习水平，而不能代表其最终的实际水平。
江苏省连云港市海州区新海初级中学2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试卷带讲解
B
【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为 的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD= AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
【详解】解：∵ 为 上的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
【点睛】本题考查圆周角定理．熟练掌握：直径所对的圆周角是 ，同弧所对的圆周角相等，是解题的关键．
6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，如图2，已知圆心 在水面上方，且 被水面截得的弦 长为6米， 半径长为4米．若点 为运行轨道的最低点，则点 到弦 所在直线的距离是（ ）
13.二次函数 的部分对应值如下表：
x
…
0
1
3
5
…
y
…
7
0
7
…
则二次函数 在 时， _______．
【分析】根据表格可知， 和 的函数值相等，可以得到抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性，找到表格中与 关于对称轴对称的 对应的函数值，即为所求．
【详解】解：由表格可知， 和 的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为： ，
这个圆锥侧面展开图的面积=π =18π．
故答案为：18π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12.半径为2的圆的内接正三角形的面积是____．
2025届浙江省杭州市余杭中学高三第一次调研测试数学试卷含解析
2025届浙江省杭州市余杭中学高三第一次调研测试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-2．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．4．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A 2B 3C 5D 65．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ） A ．2B 5C 6D 76．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个7．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同8．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ） A ．max372a c+-=B ．max372a c-+=C ．min372a c+-= D ．min372a c-+=9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A ．51-B ．2C ．3D ．510．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．14C ．22D ．2411．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．812．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
中学数学教材教法试题及答案完整版
中学数学教材教法试题及答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】中学数学教材教法试题及答案一、选择题1、下列划分正确的是（ D ）A 有理数包括整数、分数和零B 角分为直角、象限角、对顶角和同位角C 数列分为等比数列、等差数列、无限数列和递减数列D 平行四边形分为对角线互相垂直的平行四边形和对角线不互相垂直的平行四边形2、概念的外延是概念所反映的（ B ）的总和A 本质属性B 本质属性的对象C 对象的本质属性D 属性3、“在同一时间内，从同一个方面，对于同一个思维对象，必须作出明确的肯定或否定”是逻辑思维的（ A ）A 排中律B 同一律C 矛盾律D 充足理由律4、当前中学数学教学改革的三大趋势是（ B ）A 大众数学、实用数学、服务性学科B 大众数学、服务性学科、问题解决C 实用数学、服务性学科、问题解决D 问题解决、大众数学、实用数学5、说课的基本要求包括（ C ）A 科学性、思想性和实践性B 科学性、理论性和严谨性C 科学性、思想性和理论性D 思想性、严谨性和实践性6、下图中A、B的关系是（ A ）A 对立关系B 全异关系C 同一关系D 矛盾关系7、下列哪一项不是确定中学数学教学内容的原则（ D ）A 基础性原则B 可行性原则C 衔接性原则 D实际应用原则8、与“无理数”成交叉关系的是（ C ）A 无理数B 不尽方根 C无限小数 D无限循环小数9、下列命题中，等值式复合命题是（A ）A 四边形为平行四边形，当且仅当它的一组对边平行且相等B 棱形是平行四边形C 若两个角是对顶角，则此两角相等D 三角形两边之和大于第三边10、由教师对所授教材作重点、系统的讲述与分析，学生集中注意力倾听的教学方法是（ B ）Ａ谈话法Ｂ讲解法Ｃ练习法Ｄ引导发现法二、填空（每空１分，共１７分）1、数学有高度的__________、__________、应用的____________等（抽象性精确性广泛性）2、是反证法的逻辑基础。
2025届四川绵阳市三台中学高三第一次调研测试数学试卷含解析
2025届四川绵阳市三台中学高三第一次调研测试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28 B ．14 C ．7D ．22．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π3．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不修要条件4．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨-⎩，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤B ．{|13}x x <<C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里B ．72里C ．48里D ．24里6．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>>D ．()223310,02x y x y +=>>7．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 8．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤9．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．35B ．45-C ．35D ．4510． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．4511．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A ．2B 5C ．23D ．8312．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新疆师大附中2021-2022学年中考试题猜想数学试卷含解析
2021-2022中考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°，⊙O的半径为6，则AB的长等于（）A．πB．2πC．3πD．4π2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是（）A．r＜5 B．r＞5 C．r＜10 D．5＜r＜103．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列事件中，必然事件是（）A．抛掷一枚硬币，正面朝上B．打开电视，正在播放广告C．体育课上，小刚跑完1000米所用时间为1分钟D．袋中只有4个球，且都是红球，任意摸出一球是红球5．下列事件中，属于不确定事件的是（）A．科学实验，前100次实验都失败了，第101次实验会成功B．投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点C．太阳从西边升起来了D．用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形6．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC 上的点，若∠BOC=40°，则∠D 的度数为（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°8．计算（2017﹣π）0﹣（﹣13）﹣1+3tan30°的结果是（ ） A ．5B ．﹣2C ．2D ．﹣19．如图，矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，点E ，F ，G ，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE=CG ，BF=DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为（ ）A ．55B ．105C ．103D ．15310．1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．已知'''ABCA B C ∆∆且''':1:2ABC A B C S S ∆∆=，则:''AB A B =__________．12．已知a 、b 为两个连续的整数，且28a b <<，则+a b =________．13．瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据9162536,,,5122132，…中，成功地发现了其规律，从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门．请你根据这个规律写出第9个数_____．14．如图，直线m ∥n ，以直线m 上的点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m ，n 于点B 、C ，连接AC 、BC ，若∠1=30°，则∠2=_____．15．函数 2y x =-的定义域是__________．16．函数y=231x x +-中自变量x 的取值范围是_____． 三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）数学兴趣小组为了研究中小学男生身高y （cm ）和年龄x （岁）的关系，从某市官网上得到了该市2017年统计的中小学男生各年龄组的平均身高，见下表：如图已经在直角坐标系中描出了表中数据对应的点，并发现前5个点大致位于直线AB 上，后7个点大致位于直线CD 上． 年龄组x 7891011121314151617男生平均身高y115.2118.3122.2126.5129.6135.6140.4146.1154.8162.9168.2（1）该市男学生的平均身高从 岁开始增加特别迅速． （2）求直线AB 所对应的函数表达式．（3）直接写出直线CD 所对应的函数表达式，假设17岁后该市男生身高增长速度大致符合直线CD 所对应的函数关系，请你预测该市18岁男生年龄组的平均身高大约是多少？18．（8分）如图，在四边形ABCD 中，点E 是对角线BD 上的一点，EA ⊥AB ，EC ⊥BC ，且EA=EC ．求证：AD=CD ．19．（8分）先化简：241133a a a -⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，再从3-、2、3中选择一个合适的数作为a 的值代入求值． 20．（8分）计算：2cos30°+27-33--(12)-221．（8分）如图1所示，点E 在弦AB 所对的优弧上，且为半圆，C 是上的动点，连接CA 、CB ，已知AB ＝4cm ，设B 、C 间的距离为xcm ，点C 到弦AB 所在直线的距离为y 1cm ，A 、C 两点间的距离为y 2cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数y 1、y 2岁自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 1、y 2与x 的几组对应值： x /cm 0 1 2 3 4 5 6 y 1/cm 0 0.78 1.76 2.85 3.98 4.95 4.47 y 2/cm44.695.265.965.944.47（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，y 1），（x ，y 2），并画出函数y 1、y 2的图象；结合函数图象，解决问题： ①连接BE ，则BE 的长约为 cm ．②当以A 、B 、C 为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC 的长度约为 cm ． 22．（10分）计算：﹣2212+|1﹣4sin60°| 23．（12分）解不等式组：3(1)72323x x x x x --<⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来.24．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝（x ﹣h ）2+k 的对称轴是直线x ＝1．若抛物线与x 轴交于原点，求k 的值；当﹣1＜x ＜0时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求k 的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1、B 【解析】根据圆周角得出∠AOB ＝60°，进而利用弧长公式解答即可． 【详解】解：∵∠ACB ＝30°， ∴∠AOB ＝60°， ∴AB 的长＝606180π⨯＝2π， 故选B ． 【点睛】此题考查弧长的计算，关键是根据圆周角得出∠AOB ＝60°． 2、D 【解析】延长CD 交⊙D 于点E ，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴，∵D 是AB 中点，∴CD=115AB=22， ∵G 是△ABC 的重心，∴CG=2CD 3=5，DG=2.5，∴CE=CD+DE=CD+DF=10， ∵⊙C 与⊙D 相交，⊙C 的半径为r ， ∴ 510r <<， 故选D.【点睛】本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG的长是解题的关键.3、B【解析】试题分析：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选B．【考点】中心对称图形．4、D【解析】试题解析：A. 是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；B. 是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；C. 是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；D. 袋中只有4个球，且都是红球，任意摸出一球是红球，是必然事件，符合题意.故选D.点睛：事件分为确定事件和不确定事件.必然事件和不可能事件叫做确定事件.5、A【解析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A、是随机事件，故A符合题意；B、是不可能事件，故B不符合题意；C、是不可能事件，故C不符合题意；D、是必然事件，故D不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6、D【解析】主视图是从几何体的正面看，主视图是三角形的一定是一个锥体，是长方形的一定是柱体，由此分析可得答案．【详解】解：主视图是三角形的一定是一个锥体，只有D是锥体．故选D．【点睛】此题主要考查了几何体的三视图，主要考查同学们的空间想象能力．7、B【解析】根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可解题.【详解】∵∠BOC=40°,∠AOB=180°,∴∠BOC+∠AOB=220°,∴∠D=110°（同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半）,故选B.【点睛】本题考查了圆周角和圆心角的关系,属于简单题,熟悉概念是解题关键.8、A【解析】试题分析：原式=1－(－=1+3+1=5，故选A．9、B【解析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示，∵AE=CG，BE=BE′，∴E′G′=AB=10，∵GG′=AD=5，∴2255''+'=E G GG∴C四边形EFGH5故选B．【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，矩形的性质等，根据题意正确添加辅助线是解题的关键．10、D【解析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】A、不是轴对称图形，故A不符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、是轴对称图形，故D符合题意．故选D.【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、【解析】分析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．详解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴S△ABC：S△A′B′C′=AB2：A′B′2=1：2，∴AB：A′B′=1．点睛：本题的关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方．12、11【解析】根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．【详解】∵a＜b，a、b为两个连续的整数，∴a＝5，b＝6，∴a＋b＝11.故答案为11.【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数是解题的关键.13、121 117．【解析】分子的规律依次是：32，42，52，62，72，82，92…，分母的规律是：规律是：5+7=12 12+9=21 21+11=32 32+13=45…，即分子为（n+2）2，分母为n（n+4）．【详解】解：由题可知规律，第9个数的分子是（9+2）2=121；第五个的分母是：32+13=45；第六个的分母是：45+15=60；第七个的分母是：60+17=77；第八个的分母是：77+19=96；则第九个的分母是：96+21=1．因而第九个数是：121 117．故答案为：121 117．【点睛】主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．14、75°【解析】试题解析：∵直线l1∥l2，∴130.A∠=∠=,AB AC=75.ACB B∴∠=∠=2180175.ACB∴∠=-∠-∠=故答案为75.15、2x≥【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：x-1≥0，解得x的范围．【详解】根据题意得：x-1≥0，解得：x≥1．故答案为：2x≥.【点睛】此题考查二次根式，解题关键在于掌握二次根式有意义的条件.16、x≥﹣32且x≠1．【解析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算．【详解】由题意得，2x+3≥0，x-1≠0，解得，x≥-32且x≠1，故答案为：x≥-32且x≠1．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）11；（2）y ＝3.6x +90；（3）该市18岁男生年龄组的平均身高大约是174cm 左右．【解析】（1）根据统计图仔细观察即可得出结果（2）先设函数表达式，选取两个点带入求值即可（3）先设函数表达式，选取两个点带入求值，把x 18＝带入预测即可.【详解】解：（1）由统计图可得，该市男学生的平均身高从 11 岁开始增加特别迅速，故答案为：11；（2）设直线AB 所对应的函数表达式y kx b ＝，+ ∵图象经过点7115.211129.6（，）、（，），则115.27129.611k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得k 3.6b 90=⎧⎨=⎩． 即直线AB 所对应的函数表达式：y 3.6x 90+＝；（3）设直线CD 所对应的函数表达式为：y mx n +＝，135.612154.815m+n m n =+⎧⎨=⎩，得 6.458.8m n =⎧⎨=⎩， 即直线CD 所对应的函数表达式为：y 6.4x 58.8＝，+ 把x 18＝代入y 6.4x 58.8+＝得y 174＝， 即该市18岁男生年龄组的平均身高大约是174cm 左右．【点睛】此题重点考察学生对统计图和一次函数的应用，熟练掌握一次函数表达式的求法是解题的关键.18、证明见解析【解析】根据垂直的定义和直角三角形的全等判定，再利用全等三角形的性质解答即可．∵EA ⊥AB ，EC ⊥BC ，∴∠EAB=∠ECB=90°，在Rt △EAB 与Rt △ECB 中{EA EC EB EB==， ∴Rt △EAB ≌Rt △ECB ，∴AB=CB ，∠ABE=∠CBE ，∵BD=BD ，在△ABD 与△CBD 中{AB CBABE CBE BD BD=∠=∠=，∴△ABD ≌△CBD ，∴AD=CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，根据垂直的定义和直角三角形的全等判定是解题的关键．19、-1.【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在3-、2、3中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】241133a a a -⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭()()223133a a a a a +--+=÷-- ()()22332a a a a a +--=⋅-- 2a =+，当3a =-时，原式321=-+=-．故答案为：-1.本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20、537-【解析】根据实数的计算，先把各数化简，再进行合并即可.【详解】原式=3233334 2⨯++--=537-【点睛】此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知特殊三角函数的化简与二次根式的运算.21、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①6；②6或4.1．【解析】（1）由题意得出BC＝3cm时，CD＝2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC＝4，CD、AC随着BC的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，由勾股定理得出BD＝，得出AD＝AB+BD＝4.9367（cm），再由勾股定理求出AC即可；（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1、y2的图象即可；（3）①∵BC＝6时，CD＝AC＝4.1，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径，得出BE＝BC＝6即可；②分两种情况：当∠CAB＝90°时，AC＝CD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC＝6；当∠CBA＝90°时，BC＝AD，由圆的对称性与∠CAB＝90°时对称，AC＝6，由图象可得：BC＝4.1．【详解】（1）由表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值知：BC＝3cm时，CD＝2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC＝4，CD、AC随着BC的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，如图1所示：∵CD⊥AB，∴（cm），∴AD＝AB+BD＝4+0.9367＝4.9367（cm），∴（cm）；补充完整如下表：（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1、y2的图象如图2所示：（3）①∵BC＝6cm时，CD＝AC＝4.1cm，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径，∴BE＝BC＝6cm，故答案为：6；②以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，分两种情况：当∠CAB＝90°时，AC＝CD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC＝6cm；当∠CBA＝90°时，BC＝AD，由圆的对称性与∠CAB＝90°时对称，AC＝6cm，由图象可得：BC＝4.1cm；综上所述：BC的长度约为6cm或4.1cm；故答案为：6或4.1．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了勾股定理、探究试验、函数以及图象、圆的对称性、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，理解探究试验、看懂图象是解题的关键．22、-1【解析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝3 42341 ---＝423231 --＝﹣1．【点睛】此题主要考查了实数运算以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．23、x≥3 5【解析】分析：分别求解两个不等式，然后按照不等式的确定方法求解出不等式组的解集，然后表示在数轴上即可.详解：()3172323x xxx x⎧--<⎪⎨--≤⎪⎩①②，由①得，x＞﹣2；由②得，x≥35，故此不等式组的解集为：x≥35．在数轴上表示为：．点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．24、（1）k＝﹣1；（2）当﹣4＜k＜﹣1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点．【解析】（1）由抛物线的对称轴直线可得h，然后再由抛物线交于原点代入求出k即可；（2）先根据抛物线与x轴有公共点求出k的取值范围，然后再根据抛物线的对称轴及当﹣1＜x＜2时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，进一步求出k的取值范围即可.【详解】解：（1）∵抛物线y＝（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝1，∴h＝1，把原点坐标代入y＝（x﹣1）2+k，得，（2﹣1）2+k＝2，解得k＝﹣1；（2）∵抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴有公共点，∴对于方程（x﹣1）2+k＝2，判别式b2﹣4ac＝﹣4k≥2，∴k≤2．当x＝﹣1时，y＝4+k；当x＝2时，y＝1+k，∵抛物线的对称轴为x＝1，且当﹣1＜x＜2时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，∴4+k＞2且1+k＜2，解得﹣4＜k＜﹣1，综上，当﹣4＜k＜﹣1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点．【点睛】抛物线与一元二次方程的综合是本题的考点，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.。
2025届河北省邢台市第七中学高三第二次联考数学试卷含解析
2025届河北省邢台市第七中学高三第二次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8y x =+，则表中数据m 的值为（ ）变量x 01 2 3 变量y m35.57A ．0.9B ．0.85C ．0.75D ．0.52．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．13．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元4．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29B ．30C ．31D ．325．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n nb a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ） A ．3- B ．13- C ．1D ．36．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >7．执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A ．112-B ．2360C ．1120D ．43608．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈，则λ＋μ的值为（ ）A ．65B ．85C ．2D ．839．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则m β⊥的一个充分条件是（ ） A ．αβ⊥且m α⊂ B ．//m n 且n β⊥C ．αβ⊥且//m αD ．m n ⊥且//n β10．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A 3B ．22C 3D 2311．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1B ．2C 3D 512．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年北京市十一学校晋元中学九年级(下)开学数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市十一学校晋元中学九年级（下）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中卯的俯视图是()A. B.C. D.2.新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段万用科学记数法表示为()A.B.C.D.3.如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb 角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是()A. B. C. D.4.已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是() A. B. C. D.5.将直线向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为()A. B. C. D.6.解方程去分母，两边同乘后的式子为()A. B.C. D.7.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A. B.C.且D.且8.如图1，中，，，点D从点A出发沿折线运动到点B停止，过点D作，垂足为设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为()A.54B.52C.50D.48二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.使代数式有意义的x的取值范围是______.10.分解因式：______.11.若点，，都在同一个反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是m______填“>”“=”或“<”12.如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设.若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______.13.如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径AB，量得CD长度为6cm，则AB等于______14.一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是______.15.“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务.如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知，，，则圆心角所对的弧长约为______结果保留16.如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上.若，，则BE的长是______若，则的值是______.三、解答题：本题共12小题，共68分。
2020年广东省一模不等式选讲问题的解题研究
围的几种常见的做法.
解 法 1 (数 形 结 合) f (x) x 对 于 任 意 的 实 数 x 恒
1
成立, 即 |x − k| + 2 |x + 3| − 2 x 在 R 上恒成立, 也即
|x − k|
2
g(x)
=
x
+
2
−
1 |x 2
+
3|
=
37 x+ ,
22 11
x+ ,
22
x ≤ −3, x > −3.
令 g(x) 0 解得 x −1, 也即当 x −1 时, |x − k| 0
g(x) 恒成立.
当 x > −1 时, |x − k| g(x) 恒成立 ⇔x − k g(x) 或
x − k −g(x) 恒成立.
直观想象、逻辑推理数学核心素养. 在平时教学过程中, 我们
应充分重视一题多解、一题多变、多题归一的教学训练, 注重
数学思想的渗透和在解题中的指导作用, 不断提高学生分析
问题和解决问题的能力, 真正让培育学生核心素养在数学课
堂落地生根.
四、考题链接
1. (广州市 2020 届高三年级阶段训练题第 12 题) 已
1 试题呈现
题目 (2020 年广东省一模第 23 题) 已知函数 f (x) = 1
|x − k| + 2 |x + 3| − 2 (k ∈ R). (1) 当 k = 1 时, 解不等式 f (x) 1; (2) 若 f (x) x 对于任意的实数 x 恒成立, 求实数 k 的
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内蒙古广播电视大学2008—2009年度第二学期期末
《近世代数》试题
一、填空题：（计15分，每空1分）
1、化归方法的三个要素是：、、。
2、数学的研究对象大致可以分成两大类：、。
3、实现数形结合的主要途径有：、、。
4、数学解题的目的、价值有三个方面：、、。
5、构成智力的要素是：和。
6、思维过程分为和。
二、判断题：(计10分，每空2分)
1、“万物皆数”的说法出自柏拉图之口。
（）
2、演绎法推理是一种必然性推理。
（）
3、问题解决的要素有问题表征和解决的程序。
（）
4、决策是策略的选择。
（）
5、追求数学美是数学发现的重要因素。
（）
三、多项选择题：(计15分，每空3分)
1、秦九韶在（）里提出了求高次方程的近似解法。
A、《九章算术》
B、《几何原本》
C、《数书九章》
D、《怎样解题》
2、（）的问世，标志着公里化方法的诞生。
A、《几何学基础》
B、《工具论》
C、《几何原本》
D、《海岛算经》
3、数学问题的特征有（）
A、客观性
B、障碍性
C、趣味性
D、挑战性
4、费马大定理最终由数学家（）证明。
A、法尔廷斯
B、谷山丰
C、弗赖
D、威尔斯5、数学逻辑思维基本形式是（）。
A意识B、判断C、概念D、推理
四、计算题：（计60分，每小题15分）
1、解不等式
√x2-3x-10 ＜8-X
2、已知：m1/2- m-1/2 =3,计算m3/2+m-3/2 / m1/2+m-1/2
3、已知：f(x-2)=5（x-arcsin√2x+3 ,求f(x).
4、解方程lg(x-1)+ lg(x-2)= lg(x+2)
中学数学解题研究试卷答案
1、化归的对象化归的目的化归的方法
2、数量关系空间形式
3、坐标联系审视联系构造联系
4、知识基础性方法技能性观念意识性
5、知识心理能力
6、分析综合
二、判断题：
1、x.
2、√.
3、x.
4、√.5√.
三、多项选择题：
1、C.
2、C.
3、ABC.
4、D.
5、BCD
四、计算题
1、解：x2 -3x-10≧0
8-X≧0
x2 -3x-10﹤(8-X)2
解得 X﹥5 或 X﹤2
X﹤8 X﹥8
X﹤74/13 X﹤74/13
所以 X﹤-2
2、解：由m1/2- m-1/2 =3
得（m1/2+m-1/2）2=m +m -1-2=9
所以 m +m -1=11
又 m3/2+m-3/2 =（m1/2+m-1/2）（m +m -1-1）
所以原式=（m1/2-m-1/2）2= m +m -1-1=10
3、解：因为f(x-2)=5（x-1+2）-arcsin√2(x-2+2)+3
=5（x-2）+10-arcsin√2(x-2)+7 所以f(x)=5x+10-arcsin√2x+7
4、解：lg(x-3x+2)= lg(x+2)
X2-3x+2=x+2
X2-4x=0
解得 x=4 或 x=0(舍去)。