对数与对数函数练习题及答案
高考数学专题《对数与对数函数》习题含答案解析
专题3.6 对数与对数函数1．（2021·安徽高三其他模拟（理））函数()ln ||f x x x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再由0x >时的单调性排除一个选项，得正确选项．【详解】易知()ln ||f x x x =+是非奇非偶函数，所以排除选项A ，C ；当x >0时，()f x 单调递増､所以排除选项B.故选：D ．2．（2021·江西南昌市·高三三模（文））若函数()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩．则()0f f ⎡⎤=⎣⎦（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()0f f ⎡⎤⎣⎦的值.练基础()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩，则()0021f ==，因此，()()301log 10f f f ===⎡⎤⎣⎦.故选：A.3．（2021·浙江高三其他模拟）已知a 为正实数，则“1a >”是“32212log log a a ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】利用充分、必要条件的定义，即可推出“1a >”与“32212log log a a ->”的充分、必要关系.【详解】因为32212log log a a ->等价于3222log log a a >，由a 为正实数且1a >，故有32a a >，所以3222log log a a >成立；由a 为正实数，3222log log a a >且函数2log y x =是增函数，有32a a >，故()210aa ->，所以1a >成立.故选：C ．4．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．5．（2021·江苏南通市·高三三模）已知1331311log 5,,log 26a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．c a b>>【答案】D 【解析】由于1331log g 66lo c ==，再借助函数3log y x =的单调性与中间值1比较即可.【详解】1331log g 66lo c ==，因为函数3log y x =在()0,∞上单调递增，所以333131log 31log 5log 6log 6a c =<=<<=，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10312112b <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，所以c a b >>故选：D6．（2021·辽宁高三月考）某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度h 与其采摘后时间t （小时）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（ ）（已知lg 20.3≈，结果取整数）A ．42小时B ．53小时C ．56小时D ．67小时【答案】D 【解析】利用指数的运算得出1202a =，再利用对数的运算即可求解.【详解】由题意可得200010m a =⋅，①400020m a =⋅，②②÷①可得202a =，解得1202a =，所以0050t m a =⋅，③ ③÷①可得205t a -=，所以202025t -=，即20lg 2lg 51lg 20.720t -==-=，解得67t ≈（小时）.故选：D7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知2log 3a =，34b =，22log 31c =+，则下列结论正确的是（ ）A ．a c <B ．2ab =C ．1abc a =+D ．22bc b =+【答案】BCD 【解析】先判断1a >，即可判断A ； 利用222log 3b a==判断B ；利用B 的结论判断C ；利用C 的结论判断D.【详解】因为2log 31a =>，所以22log 3112c a a c a =+=+<⇒<，即A 不正确；因为33222log 42log 2log 3b a====，所以2ab =，即B 正确；由2ab =可知，21abc c a ==+，C 正确；由1abc a =+可知，2ab c ab b =+，则22bc b =+，即D 正确．故选：BCD.8．【多选题】（2021·山东日照市·高三一模）已知113log 0x x +=，222log 0xx +=，则（ ）A ．2101x x <<<B ．1201x x <<<C ．2112lg lg 0x x x x -<D ．2112lg lg 0x x x x ->【答案】BC 【解析】根据对数函数的性质可判断AB 正误，由不等式的基本性质可判断CD 正误.【详解】由131log 0x x =->可得101x <<，同理可得201x <<，因为(0,1)x ∈时，恒有23log log x x<所以122231log log 0x x x x -=-<，即12x x <，故A 错误B 正确；因为1201x x <<<，所以12lg lg 0x x <<，即210lg lg x x <-<-，由不等式性质可得1221lg lg x x x x -<-，即2112lg lg 0x x x x -<，故C 正确D 错误.故选：BC9．（2021·浙江高三期末）已知2log 3a =，则4a =________．【答案】9【解析】把2log 3a =代入4a 可得答案.【详解】因为2log 3a =，所以222log 3log 34429a ===.故答案为：9.10．（2021·河南高三月考（理））若41log 32a =，则39a a +=___________；【答案】6【解析】首先利用换底公式表示3log 2a =，再代入39a a +求值.【详解】由条件得331log 4log 22a ==，所以3333log 2log 2log 2log 4393933246a a +=+=+=+=.故答案为：61．（2021·浙江高三专题练习）如图，直线x t =与函数()3log f x x =和()3log 1g x x =-的图象分别交于点A ，B ，若函数()y f x =的图象上存在一点C ，使得ABC V 为等边三角形，则t 的值为（ ）ABCD．3+【答案】C 【解析】由题意得()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =，根据等边三角形的性质求得C点的横坐标x t =-，结合A ，B两点的纵坐标和中点坐标公式列方程t =，解方程即可求得t 的值.【详解】由題意()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =.设()3,log C x x ，因为ABC V 是等边三角形，所以点C 到直线AB所以t x -=，x t =-根据中点坐标公式可得练提升33333log log 11log log log 22t t t t ⎛+-==-= ⎝，所以t -=，解得t =故选：C2．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数()()14,12ln 1,1xx f x x x ⎧⎛⎫-≤-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+>-⎩，若()0f f x <⎡⎤⎣⎦，则x 的取值范围为（ ）A ．()2,0-B ．21,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．212,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()212,11,0e ⎛⎫--⋃-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】先由()0f f x <⎡⎤⎣⎦可得出()20f x -<<，然后再分1x ≤-、1x >-两种情况解不等式()20f x -<<，即可得解.【详解】若()1f x ≤-，则()()1402f x f f x ⎛⎫=-<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得()2f x >-，此时，()21f x -<≤-；若()1f x >-，则()()ln 10f f x f x =+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可得()011f x <+<，解得()10f x -<<.综上，()20f x -<<.若1x ≤-，由()20f x -<<可得12402x ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得1242x⎛⎫<< ⎪⎝⎭，解得21x -<<-，此时21x -<<-；若1x >-，由()20f x -<<可得()2ln 10x -<+<，可得2111x e <+<，解得2110x e -<<，此时，2110x e -<<.综上，满足()0f f x <⎡⎤⎣⎦的x 的取值范围为()212,11,0e ⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭.故选：D.3．（2021·全国高三三模）已知函数()xxf x e e-=+，若()()4561log ,log 6,log 45a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】B 【解析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据对数函数的性质，结合基本不等式、比较法进行判断即可.【详解】因为()()xx f x ee f x --=+=，所以()f x 为偶函数，()21x xxxe x ee f e --=='-，当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，当0x <时，()0f x '<，函数单调递减，()()()()444561log log 5log 5,log 6,log 45a f f f b f c f ⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭，因为lg4lg6+>故2222lg4lg6lg 24lg25lg4lg6(lg5)242+⎛⎫⎛⎫⋅<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭245lg5lg6lg 5lg4lg6log 5log 60lg4lg5lg4lg5-⋅-=-=>⋅所以456log 5log 61log 40>>>>，则.a b c >>故选：B.4．【多选题】（2021·辽宁高三月考）若1a b >>，则（ ）A ．log 3log 3a b <B ．33a b <C ．11log ()log 21ab ab a b+≥-D ．11+11a b <+【答案】ACD 【解析】由已知，A 选项，借助对数换底公式及对数函数单调性可判断；B 选项，利用幂函数单调性可判断；C 选项，利用对数函数单调性可判断；D 选项，利用反比例函数单调性可判断.【详解】对于A 选项：3log y x =在(0,+∞)上单调递增，1a b >>，则333311log log 0log log a b a b>>⇒<，即log 3log 3a b <，A 正确；对于B 选项：函数y =x 3在R 上递增，则33a b >，B 错误；对于C 选项：1a b >>，则ab >1，a +b >2，11log ()log log ()1ab ab ab a ba b a b ab++==+-log 21ab >-，有11log (log 21ab ab a b+≥-成立，即C 正确；对于D 选项：1112a b a b >>⇒+>+>，而函数1y x =在(0,+∞)上递减，则有11+11a b <+，即D 正确.故选：ACD5．【多选题】（2021·全国高三专题练习（理））已知0a b >>，且4ab =，则（ ）A ．21a b ->B ．22log log 1a b ->C ．228a b +>D ．22log log 1a b ⋅<【答案】ACD 【解析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.【详解】因为0a b >>，且4ab =，对A ，0a b ->，所以0221a b ->=，故A 正确；对B ，取83,32a b ==，所以2222216log log log log log 219a ab b -==<=，故B 错误；对C，22a b ≥+，当且仅当a b =取等号，又因为4a b +≥=，当且仅当a b =取等号，所以228a b ≥≥=+，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故C 正确；对D ，当10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 1a b ⋅<；当1a b >>，22log 0,log 0a b >>，所以()()2222222log log log log log 144a b ab a b +⋅≤==，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故D 正确.故选：ACD.6．【多选题】（2021·湖南高三二模）若正实数a ，b 满足a b >且ln ln 0a b ⋅>，下列不等式恒成立的是（ ）A ．log 2log 2a b >B ．ln ln a a b b ⋅>⋅C ．122ab a b ++>D ．log 0a b >【答案】CD 【解析】由已知不等式，求出,a b 之间的关系，结合选项一一判断即可．【详解】由ln ln 0a b ⋅>有01b a <<< 或1a b >> ，对于选项A ，当01b a <<<或1a b >>都有log 2log 2a b < ，选项A 错误；对于选项B ，比如当11,24a b == 时，有211111111ln ln 2ln ln 44424222⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故ln ln a a b b ⋅>⋅不成立，选项B 错误；对于C ，因为()()1110ab a b a b +--=-->，所以1ab a b +>+ ，则122ab a b ++> ，选项C 正确；对于选项D ，因为ln ln 0a b ⋅>，所以ln log 0ln a bb a=>，选项D 正确，故选：CD ．7．【多选题】（2021·山东临沂市·高三二模）若5log 2a =，1ln 22b =，1ln 55c =，则（ ）A ．a b >B ．b c>C ．c a>D ．2a b>【答案】AB 【解析】对四个选项一一验证：对于A ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于B ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于C ：利用不等式的传递性比较大小；对于D ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；【详解】对于A ：522221111ln o 21l g 2,log 522log log a b e e ====⨯=，又25e >，且2log y x =为增函数，所以222l l g 5og o e <，所以22251l og 1l og e <，即a b >.故A 正确；对于B：1ln 22b ==，1ln 55c ==因为101052232,525,ln y x =====为增函数，所以b c >；故B 正确；对于C ：因为a b >，b c >，所以a c >，故C 错误；对于D ：因为1ln 22b =，所以212ln 2log b e ==，而521log 2,log 5a ==又5e <，所以22log log 5e <，所以2211log log 5e >，所以2b a >，故D 错误.故选：AB.8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，当(0,1)x ∈时，函数()3x f x =，则13(log 19)f =__________．【答案】2719-【解析】由()(1)f x f x =-+得函数的周期为2，然后利用周期和()(1)f x f x =-+对13(log 19)f 化简可得13(log 19)f 33927(log 1)(log 1919f f =-+=-，从而可求得结果【详解】解：由题意，函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，化简可得()(2)f x f x =+，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，又由(0,1)x ∈时，函数()3x f x =，且()(1)f x f x =-+，则133339(log 19)(log 19)(log 192)(log 19f f f f =-=-+=327log 193392727(log 1)(log 3191919f f =-+=-=-=-．故答案为：2719-．9．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为___________.【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】根据分段函数的定义，分段讨论即可求解.【详解】解：()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，()10131x x f x +≤⎧∴>⇔⎨>⎩或130log 1x x >⎧⎪⎨>⎪⎩，解得10-<≤x 或103x <<，即113x -<<，∴不等式()1f x >的解集为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江丽水市·高三期末）已知()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<，则a 的取值范围是__________.【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】通过作差将()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<转化为(1)log (1)log 0++-<a a a a ，利用换底公式计算可得[][](1)lg(1)lg lg(1)lg log (1)log lg lg(1)++-+++-=+a a a a a a a a a a ，分别判断每个因式的正负，最终转化为211()124+->a 成立，结合二次函数图像，即可求得a 的取值范围.【详解】∵(1)lg(1)lg log (1)log lg lg(1)a a a aa a a a +++-=-+22lg (1)lg lg (1)a aalg a +-=+[][]lg(1)lg lg(1)lg lg lg(1)a a a a a a +-++=+而当01a <<时，lg 0a <，g(0)l 1a +>，1lg(1)lg lglg10a a a a++-=>=211lg(1)lg lg (1)lg (24a a a a a ⎡⎤++=+=+-⎢⎥⎣⎦，所以()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<即为211lg ()024⎡⎤+->⎢⎥⎣⎦a ，由于lg u 单调递增，所以211(124+->a .211()24u a =+-的图象如图，当1u =时，0a =，1a <<时，12u <<，lg 0u >，可得()()log 1log 10a a a a a +-+<.故答案为：⎫⎪⎪⎭1.（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a-=（ ）练真题A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B 【解析】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=，故选：B.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.3．（2020·天津高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a<<D ．c a b<<【答案】D 【解析】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.4.（2019年高考全国Ⅲ卷理）设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，则A ．（log 3）＞（）＞（）B ．（log 3）＞（）＞（）C ．（）＞（）＞（log 3）D ．（）＞（）＞（log 3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，．，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C ．5.（2020·全国高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（ ）()f x ()0,+∞f 14f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 14()f x R 331(log (log 4)4f f ∴=223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>> ()f x 23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A 【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t t f t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.6.（2019·天津高考真题（文））已知a =log 27，b =log 38，c =0.30.2，则a ,b ,c 的大小关系为（ ）A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b【答案】A 【解析】c =0.30.2<0.30=1；log 27>log 24=2；1<log 38<log 39=2.故c <b <a .故选A.。
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数（其中且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 .【答案】2【解析】由y＝log（x＋3）－1经过的定点为（－2，－1）a于是－2m－n＋4＝0，得2m＋n＝4，且mn＞0，于是m＞0，n＞0所以＝2当且仅当m＝1，n＝2时等号成立，即的最小值为2.【考点】函数图象过定点，基本不等式(2x－1)的定义域为________________.2.函数f(x)＝log2【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质3.计算的结果是（）A．B．2C．D．3【答案】B【解析】，选B【考点】对数基本运算.4.若的最小值是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，且，所以又，所以，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立.故选D.【考点】1、对数的运算；2、基本不等式.5.若，则＝．【答案】【解析】∵，，∴.【考点】分段函数的函数值、三角函数值的计算、对数式的计算.6.设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a【答案】B【解析】∵1<e<3，则1<<e<e2<10.∴0<lg e<1.则lg＝lg e<lg e，即c<a.又0<lg e<1，∴(lg e)2<lg e，即b<a.同时c－b＝lg e－(lg e)2＝lg e(1－2 lg e)＝lg e·lg>0.∴c>b.故应选B.7.函数y＝(x2－6x＋17)的值域是________．【答案】(－∞，－3]【解析】令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，y＝为减函数，所以有≤＝－3.8.已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．【解析】解：当a>1时，f(x)＝logax在上单调递增，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有解得a≥3.∴此时a的取值范围是a≥3.当0<a<1时，f(x)＝logax在上单调递减，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有，解得0<a≤.∴此时，a的取值范围是0<a≤.综上可知，a的取值范围是∪[3，＋∞)．9.（5分）（2011•重庆）设a=，b=，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】B【解析】可先由对数的运算法则，将a和c化为同底的对数，利用对数函数的单调性比较大小；再比较b和c的大小，用对数的换底公式化为同底的对数找关系，结合排除法选出答案即可．解：由对数的运算法则，a=log32＞c；排除A和C．因为b=log23﹣1，c=log34﹣1=，因为（log23）2＞2，所以log23＞，所以b＞c，排除D故选B．点评：本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算法则和对数的换底公式，考查运算能力．10.函数的值域为 .【答案】【解析】由得 ,所以函数的定义域是：设点=所以，,所以答案填：【考点】1、对数函数的性质；2、数形结合的思想.11.函数的定义域是A．[1，2]B．C．D．【答案】C【解析】根据函数定义域的要求得：.【考点】（1）函数的定义域；（1）对数函数的性质.12.对任意实数a,b定义运算如下，则函数的值域为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，对任意实数a,b定义运算如下，所以，==，故，选B.【考点】分段函数，对数函数的性质，新定义.13.已知函数f(x)＝log2x－2log2(x＋c)，其中c>0，若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c的取值范围是________．【答案】c≥【解析】由题意，在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以c≥14. 若函数f(x)＝log 2|ax －1|(a ＞0)，当x≠时，有f(x)＝f(1－x)，则a ＝________． 【答案】2【解析】由f(x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于x ＝对称， 而f(x)＝log 2＋log 2|a|，从而＝，所以a ＝2.15. 已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值． 【答案】8【解析】由题意得x A ＝m，x B ＝2m ，x C ＝，x D ＝，所以a ＝|x A －x C |＝，b ＝|x B －x D |＝，即＝＝·2m ＝2＋m.因为＋m ＝ (2m ＋1)＋－≥2－＝，当且仅当 (2m ＋1)＝，即m ＝时取等号．所以，的最小值为＝8.16. 设则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a ＜c ＜b B ．b ＜a ＜c C ．a ＜b ＜c D ．b ＜c ＜a【答案】B 【解析】因为所以显然，所以的值最大.故排除A,D 选项.又因为，所以.即.综上.故选B.本小题关键是进行对数的运算.【考点】1.对数的运算.2.数的大小比较的方法.17. 函数y=log a (x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 . 【答案】(2,2)【解析】∵log a 1=0,∴x-1=1,即x=2,此时y=2,因此函数恒过定点(2,2).18. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝f，则a ，b ，c 的大小关系是________．【答案】c ＞a ＞b【解析】由f (x )＋xf ′(x )＞0得(xf (x ))′＞0，令g (x )＝xf (x )，则g (x )在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g ＝g (－2)＝g (2)，因为0＜log 43＜1＜40.2＜2，所以c ＞a＞b .19. 在ABC 中，若，则A=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由，整理得，又，选C.【考点】对数及其运算，余弦定理的应用.20.已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)通过求导可得.又因为x=2是极值点.即可求得.（2）通过对对数的定义域可得符合题意的不等式.在上恒成立.所以转化为研究二次函数的最值问题.通过对称轴研究函数的单调性即可得到结论.本题的的关键是对含参的函数的最值的讨论.以二次的形式为背景紧扣对称轴这个知识点.试题解析：（1）因为.因为x=2为f(x)的极值点.所以即.解得.又当时.从而x=2为f(x)的极值点成立. （2）因为f(x)在区间上为增函数.所以.在区间上恒成立. ①当时. 在上恒成立.所以f(x)在上为增函数.故符合题意.②当时.由函数f(x)的定义域可知，必须有时恒成立.故只能.所以在区间上恒成立.令g(x)= .其对称轴为.因为.所以<1.从而g(x) 在上恒成立.只需要g(3) 即可.由g(3)= .解得：.因为.所以.综上所述. 的取值范围为.【考点】1.对数函数的知识点.2.最值问题.3.含参的讨论.21.已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】的两根x1,x2满足0<x1<1<x2,则x1+x2=-m,x1x2=，(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=+m+1<0,即∴-m<n<-3m-2,为平面区域D,∴m<-1,n>1,因为的图像上存在区域D内的点，所以，，因为，所以，所以解得.【考点】1.函数的导数；2.对数的性质.22.设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】∵对于任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-loga （x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（-2，6）上有三个不同的交点，如下图所示：又f（-2）=f（2）=3，则有 loga （2+2）＜3，且loga（6+2）≥3，解得.【考点】1.指数函数与对数函数的图象与性质；2.函数的零点与方程根的关系23.对于以下结论：①.对于是奇函数，则；②.已知：事件是对立事件；：事件是互斥事件；则是的必要但不充分条件；③.若，，则在上的投影为；④.(为自然对数的底)；⑤.函数的图像可以由函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位而来.其中，正确结论的序号为__________________.【答案】③④⑤【解析】对①，不一定有意义，所以不正确；对②，是的充分但不必要条件；所以不正确；对③，易得在上的投影为；所以正确；对④，构造函数，则.由此可得在上单调递减，故成立；所以正确；对⑤，原函数可变为：，所以将函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位可得函数的图像.正确.【考点】1、函数的性质；2、随机事件及二项分布；3、向量的投影；4、充分必要条件.24.设，，，则( )A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c【答案】D【解析】，，，又，，，，所以，所以.【考点】对数与对数运算25.函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】将题中所给的函数画出如下：，根据图像，易知有2个交点.【考点】1.函数的零点；2.函数的图像画法.26.不等式的解集为_____________.【答案】【解析】原不等式等价于，解得.【考点】对数函数的定义与性质27.已知函数f(x)=|lg(x-1)|若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是．【答案】【解析】由得，且，由对数函数的特征得，所以，故.【考点】对数函数性质、基本不等式.28.已知函数．(1) 当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为增函数，并且的最大值为1．如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【解析】(1)首先根据对数函数的底数，得到为减函数，最小值是，再根据对数函数的真数大于0，得到恒成立，在范围内解不等式即可；(2)先看真数部分是减函数，由已知“在区间上为增函数”可得，为减函数，此时得到；根据“的最大值为1”，结合对数函数的真数大于0，可知，解出，再判断它是不是在的范围内，在这个范围内，那么得到的的值满足题目要求，不在这个范围内就说明满足题目要求的是不存在的.试题解析：(1)∵，设，则为减函数，时，t最小值为， 2分当，恒有意义，即时，恒成立．即；4分又，∴ 6分(2)令，则；∵，∴函数为减函数，又∵在区间上为增函数，∴为减函数，∴，8分所以时，最小值为，此时最大值为；9分又的最大值为1，所以， 10分∴，即，所以，故这样的实数a存在． 12分【考点】1.对数函数的定义及定义域；2.对数函数的单调性及其应用；3.对数函数的值域与最值；4.简单复合函数的单调性；5.解不等式29.若函数(其中为常数且)，满足，则的解集是 .【答案】【解析】函数定义域为，由，知函数为单调递减函数，所以.由知，满足：，解得.【考点】1.不等式求解；2.对数的单调性；3.函数的定义域.30.已知函数（为常数，为自然对数的底）（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在上无零点，求的最小值；（3）若对任意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围．【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）的最小值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）将代入函数的解析式，利用导数求出的单调递增区间和递减区间；（2）将函数在上无零点的问题转化为直线与曲线在区间上无交点，利用导数确定函数在区间上的图象，进而求出参数的取值范围，从而确定的最小值；（3）先研究函数在上的单调性，然后再将题干中的条件进行适当转化，利用两个函数的最值或端点值进行分析，列出相应的不等式，从而求出的取值范围.试题解析：（1）时，由得得故的减区间为增区间为 3分（2）因为在上恒成立不可能故要使在上无零点，只要对任意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分（3）当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当变化时，，的变化情况如下时，，任意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满足下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④当时对任意，在上存在两个不同的使成立【考点】1.函数的单调区间；2.函数的零点；3.函数的存在性问题31.设函数,若对任意实数，函数的定义域为，则的取值范围为____________.【答案】【解析】函数的定义域为，则满足，即对任意实数恒成立，只要比的最大值大即可，而的最大值为，即．【考点】函数的定义域恒成立问题，学生的基本运算能力与逻辑推理能力．32.设，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D．【解析】是上的增函数，又．【考点】对数值大小的比较．33.，，，则与的大小关系为（）A．B．C．D．不确定【答案】C【解析】因为，，即，所以，故选C.【考点】对数的运算34.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】要使函数解析式有意义需满足：解得且，即选D.【考点】1.对数函数；2.一元二次不等式.35.若，则（）A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】C【解析】因为所以，而，故，又，而，故，综上，，选C.【考点】对数函数.36.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】一般地，只要涉及3个及以上的数比较大小，应找一中间量来比较，比如0、1.由对数的性质知：，，。
高中数学对数试题及答案
高中数学对数试题及答案一、选择题1. 对数函数y=log_a x的定义域是：A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)2. 如果log_a b = c，那么a的值为：A. b^cB. c^bC. b^(1/c)D. b^c3. 对于任意正数a和b，下列哪个等式是正确的？A. log_a a = 1B. log_a b = log_b aC. log_a b^2 = 2log_a bD. log_a b = log_b a二、填空题4. 根据换底公式，我们可以将log_10 100转换为以e为底的对数，其结果为 _______。
5. 如果log_5 25 = x，那么x的值为 _______。
三、解答题6. 解对数方程：log_3 x + log_3 (x - 1) = 1。
7. 已知log_2 8 = y，求以2为底的对数3的值。
四、证明题8. 证明：对于任意正数a（a≠1），log_a a = 1。
答案一、选择题1. 答案：A. (0, +∞) 对数函数的定义域是正实数。
2. 答案：C. b^(1/c) 根据对数的定义，log_a b = c 意味着 a^c = b。
3. 答案：C. log_a b^2 = 2log_a b 根据对数的幂运算法则。
二、填空题4. 答案：2 因为换底公式 log_a b = log_c b / log_c a，将log_10 100转换为以e为底的对数，即log_e 100 = log_10 100 / log_10 e = 2 / log_10 e = 2。
5. 答案：2 因为25是5的平方，所以log_5 25 = 2。
三、解答题6. 解：由题意得 log_3 x + log_3 (x - 1) = log_3 (x(x - 1)) = 1，根据对数的乘积法则，我们得到 x(x - 1) = 3^1，即 x^2 - x - 3 = 0。
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(e x)＜0的x的取值范围为．【答案】(0，1)【解析】因为由得：，又，所以由f(e x)＜0得：【考点】利用导数解不等式2.函数f(x)＝log2(2x－1)的定义域为________________.【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质3.函数y＝(－x2＋6x)的值域()A．(0,6)B．(－∞，－2]C．[－2,0)D．[－2，＋∞)【答案】D【解析】∵－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，∴0<－x2＋6x≤9，∴y≥9＝－2，故选D.4.设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则()A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 【答案】A【解析】∵a＝log3π>log33＝1，b＝log2<log22＝1，∴a>b，又＝＝(log23)2>1，∴b>c，故a>b>c.5.将函数的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以将其图象向左平移1个单位长度所得函数解析式为.故C正确.【考点】1对数函数的运算；2函数图像的平移.6.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系为________．【答案】a＞b＞c【解析】a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a＞b＞c.7. [2014·湛江模拟]已知函数y＝loga(2－ax)在区间[0,1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．(2，＋∞)【答案】B【解析】由题意可知，a＞0，故内函数y＝2－ax必是减函数，又复合函数是减函数，所以a＞1，同时在[0,1]上2－ax＞0，故2－a＞0，即a＜2，综上可知，a∈(1,2)．8.已知上的增函数，那么的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题设，故选C.【考点】1、分段函数；2、对数函数的性质；3、不等式组的解法.9. 2log510+log50.25=（）A．0B．1C．2D．4【答案】C【解析】∵2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故选C．10.下列区间中，函数f（x）=|lg（2﹣x）|在其上为增函数的是（）A．（﹣∞，1]B．C．D．（1，2）【答案】D【解析】∵f（x）=|lg（2﹣x）|，∴f（x）=根据复合函数的单调性我们易得在区间（﹣∞，1]上单调递减在区间（1，2）上单调递增故选D11.方程的解是．【答案】1【解析】原方程可变为，即，∴，解得或，又，∴．【考点】解对数方程．12.(1)设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差是，则a＝________；(2)若a＝log0.40.3，b＝log54，c＝log20.8，用小于号“<”将a、b、c连结起来________；(3)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________；(4)已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m、n满足m<n且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为________.【答案】(1)4(2)c＜b＜a(3)－1＜x＜0(4)，2【解析】解析：(1)∵a>1，∴函数f(x)＝loga x在区间[a，2a]上是增函数，∴loga2a－logaa＝，∴a＝4.(2)由于a>1，0<b<1，c<0，所以c<b<a.(3)由f(－x)＋f(x)＝0，得a＝－1，则由lg<0，得解得－1<x<0.(4)结合函数f(x)＝|log2x|的图象，易知0<m<1，n>1，且mn＝1，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，解得m＝，所以n＝2.13.已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【答案】（1）k＝－.（2）{－3}∪(1，＋∞)．【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.log4＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－x＝log4有且只有一个实根，化简得方程2x＋＝a·2x－a有且只有一个实根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一个正根．①a＝1t＝－，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝或－3.若a＝t＝－2，不合题意，若a ＝－3t＝；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即<0a>1.综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．14.已知实数a、b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中所有不可能成立的关系式为________．(填序号)【答案】③④【解析】条件中的等式Û2a=3bÛa lg2=b lg3．若a≠0，则∈（0，1）．（1）当a ＞0时，有a ＞b ＞0，即关系式①成立，而③不可能成立； （2）当a ＜0时，则b ＜0，b ＞a ，即关系式②成立，而④不可能成立； 若a =0，则b =0，故关系式⑤可能成立．15. 已知m 、n 为正整数，a ＞0且a≠1，且log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a m ＋log a n ，求m 、n 的值．【答案】【解析】左边＝log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a＝log a (m ＋n)，∴已知等式可化为log a (m ＋n)＝log a m ＋log a n ＝log a mn. 比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1. ∵m 、n 为正整数，∴解得16. 若|log a |=log a ,|log b a|=-log b a,则a,b 满足的条件是( ) A ．a>1,b>1 B ．0<a<1,b>1 C ．a>1,0<b<1 D ．0<a<1,0<b<1【答案】B【解析】先利用|m|=m,则m≥0,|m|=-m,则m≤0,将条件进行化简,然后利用对数函数的单调性即可求出a 和b 的范围. ∵|log a |=log a ,∴log a ≥0=log a 1,根据对数函数的单调性可知0<a<1. ∵|log b a|=-log b a,∴log b a≤0=log b 1,但b≠1,所以根据对数函数的单调性可知b>1.17. 已知a>0，且a≠1，log a 3<1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(0，1)∪(3，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．(1，2)∪(3，＋∞)【答案】B【解析】由已知得log a 3<log a a.当a>1时，3<a ，所以a>3；当0<a<1时，3>a ，因此0<a<1.综合选B.18. 已知A=｛x|,x ∈R ｝，B=｛x||x-i|<，i 为虚数单位，x>0｝,则A B=（ ） A ．（0,1） B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C 【解析】，即。
高中数学对数函数经典练习题及答案(优秀4篇)
高中数学对数函数经典练习题及答案（优秀4篇）对数函数练习题篇一一、选择题1、下列函数(1)y= x (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2、A 、B(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图像上的不同的两点，若则( )A.t0 C.t>1 D. t≤13、直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的三角形最多有( )A. 5个B.6个C.7个D.8个4、把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是( )A.11 D.m0的解集是( )A.x>3B.-2-29.一次函数y=ax+1与y=bx-2的图象交于x轴上一点，那么a:b等于( )A. B.C. D.以上答案都不对10、函数y=kx+b，那么当y>1时，x的取值范围是：( )A、x>0B、x>2C、x212、在平面直角坐标系中，线段AB的端点A(-2，4),B(4，2),直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的值不可能是( )A.5B.-5C.-2D.3二、填空题13、如果直线y = -2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____.14、平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，点P在直线y=-x+m上，且AP=OP=4.则m的值是。
15、直线y=kx+2经过点(1,4),则这条直线关于x轴对称的直线解析式为：。
16、已知一条直线经过点A(0，2)、点B(1，0)，将这条直线向左平移与x 轴、y轴分别交与点C、点D.若DB=DC，则直线CD的函数解析式为 .17、点A的坐标为(-2，0)，点B在直线y=x-4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是___________。
18、已知三个一次函数y1=x,y2= x+1,y3=- x+5。
对数函数练习题(含答案)
对数函数练习题(含答案)对数函数一、选择题1.设a=20.3，b=0.32，c=log2 0.3，则a、b、c的大小关系是（）A。
a<b<cB。
b<c<aC。
c<b<aD。
c<a<b2.已知a=log2 0.3，b=20.1，c=0.21.3，则a、b、c的大小关系是（）A。
a<b<cB。
c<a<bC。
a<c<bD。
b<c<a3.式子2lg5+lg12-lg3=（）A。
2B。
1C。
0D。
-24.使式子log(x-1)/(x-1)有意义的x的值是（）A。
x1B。
x>1且x≠2C。
x>1D。
x≠25.函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是（）A。
[-3,1]B。
(-3,1)C。
(-∞,-3]∪[1,+∞)D。
(-∞,-3)∪(1,+∞)6.已知a＞0，且a≠1，函数y=ax2与y=loga(-x)的图像只能是图中的（）A.B.C.D.7.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是（）A。
(-∞,-2)B。
(-∞,1)C。
(1,+∞)D。
(4,+∞)8.函数f(x)=log0.5(-x2+x+2)的单调递增区间为（）A。
(-1,1)B。
(1,2)C。
(-∞,-1)∪[2,+∞)D。
前三个答案都不对二、填空题9.计算：log89×log2732-log1255=__________.10.计算：log43×log1432=__________.11.如图所示的曲线是对数函数y=logax当a取4个不同值时的图像，已知a的值分别为3、4、31、10，则相应于C1、C2、C3、C4的a值依次为__________.12.函数f(x)=loga(x-2)-1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点__________.13.函数y=loga(x+2)+3(a＞0，a≠1)的图像过定点__________.14.若3x/4y=36，则21/x+3/y=__________.15.已知log0.45(x+2)>log0.45(1-x)，则实数x的取值范围是__________.三、解答题16.解不等式：2loga(x-4)>loga(x-2)。
对数函数练习题及答案
对数函数练习题及答案一、选择题：1. 函数y=log_{2}x的定义域是：A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)2. 若log_{3}9=2，则log_{3}3的值为：A. 1B. 2C. 3D. 93. 函数y=log_{10}x的值域是：A. (-∞, 0)B. (-∞, 1]C. (0, +∞)D. R4. 以下哪个等式是正确的？A. log_{a}a=1B. log_{a}1=0C. log_{a}a^2=2D. 所有选项都正确5. 若log_{5}25=b，则b的值为：A. 2B. 5C. 25D. 125二、填空题：1. 函数y=log_{x}e的值域为______。
2. 若log_{2}8=3，则2^{3}=______。
3. 对于函数y=log_{a}x，当a>1时，函数在(0,+∞)上是______的。
4. 根据对数的定义，log_{10}100=______。
5. 若log_{4}16=2，则4^{2}=______。
三、解答题：1. 求函数y=log_{4}x的反函数，并证明其正确性。
2. 已知log_{3}27=3，求log_{9}3。
3. 证明：对于任意正数a>1，log_{a}1=0。
4. 已知log_{2}32=5，求2^{5}的值。
5. 已知函数f(x)=log_{a}x，求f(a)的值，并讨论a的取值范围。
四、应用题：1. 某工厂的产量每年以相同的比率增长，如果第一年的产量是100吨，第二年的产量是121吨，求第三年的产量。
2. 某药物的半衰期是4小时，如果初始剂量是100毫克，4小时后剩余多少？3. 某城市的人口增长率是每年2%，如果当前人口是100万，求5年后的人口。
答案：一、选择题：1. A2. A3. D4. D5. A二、填空题：1. (0, +∞)2. 83. 增4. 25. 16三、解答题：1. 反函数为x=4^y，证明略。
高一数学对数与对数函数试题答案及解析
高一数学对数与对数函数试题答案及解析1.将转化为对数形式，其中错误的是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】将转化为对数式应为，即；由换底公式，得；；故选项A,B,C正确；而选项D：，错误；故选D.【考点】指数式与对数式的互化、换底公式.2.已知则的值等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以因此【考点】对数式化简3.在对数函数中，下列描述正确的是（）①定义域是、值域是R ②图像必过点(1,0).③当时，在上是减函数；当时，在上是增函数.④对数函数既不是奇函数，也不是偶函数.A．①②B．②③C．①②④D．①②③④【答案】D【解析】对数函数的性质可结合函数图像来进行理解.单调性，对称性都可由图可以清楚的感知.【考点】对数函数的性质.4.已知且，函数，，记（1）求函数的定义域及其零点；（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.【答案】（1），0；（2）【解析】（1）均有意义时，才有意义，即两个对数的真数均大于0.解关于x的不等式即可得出的定义域，函数的零点，即，整理得，对数相等时底数相同所以真数相等，得到，基础x即为函数的零点（2）即，，应分和两种情况讨论的单调性在求其值域。
有分析可知在这两种情况下均为单调函数，所以的值域即为。
解关于m的不等式即可求得m。
所以本问的重点就是讨论单调性求其值域。
试题解析：（1）解：（1）（且），解得，所以函数的定义域为 2分令，则（*）方程变为，，即解得， 3分经检验是（*）的增根，所以方程（*）的解为，所以函数的零点为， 4分（2）∵函数在定义域D上是增函数∴①当时，在定义域D上是增函数②当时，函数在定义域D上是减函数 6分问题等价于关于的方程在区间内仅有一解，∴①当时，由（2）知，函数F（x）在上是增函数∴∴只需解得：或∴②当时，由（2）知，函数F（x）在上是减函数∴∴只需解得： 10分综上所述，当时：；当时，或（12分）【考点】对数函数的定义域，函数的零点，复合函数单调性5.式子的值为．【答案】5【解析】根据对数公式，可知，=5+0=5【考点】对数公式6.，则 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由得故选B【考点】对数运算7.已知函数，则函数定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】要使函数有意义需满足条件：，所以原函数的定义域为，答案选.【考点】1.根式有意义的条件以及对数函数有意义的条件；2.对数不等式.8.计算的结果为___________.【答案】1.【解析】由对数恒等式知，根据对数运算法则知，∴.【考点】对数的运算及对数恒等式．9.。
对数与对数函数习题及答案
对数和对数函数习题一、选择题1．若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ） （A ）a-2 （B ）3a-(1+a)2 （C ）5a-2 （D ）3a-a 2 2.2log a (M-2N)=log a M+log a N,则NM的值为（ ） （A ）41（B ）4 （C ）1 （D ）4或1 3．已知x 2+y 2=1,x>0,y>0,且log a (1+x)=m,logaya n xlog ,11则=-等于（ ） （A ）m+n （B ）m-n （C ）21(m+n) （D ）21(m-n)4.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（ ） （A ）lg5·lg7 （B ）lg35 （C ）35 （D ）351 5.已知log 7[log 3(log 2x)]=0，那么x 21-等于（ ）（A ）31（B ）321 （C ）221 （D ）331 6．函数y=lg （112-+x）的图像关于（ ） （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线y=x 对称 7．函数y=log 2x-123-x 的定义域是（ ）（A ）（32，1）⋃（1，+∞） （B ）（21，1）⋃（1，+∞） （C ）（32，+∞） （D ）（21，+∞）8．函数y=log 21(x 2-6x+17)的值域是（ ）（A ）R （B ）[8，+∞] （C ）（-∞，-3） （D ）[3，+∞] 9．函数y=log 21(2x 2-3x+1)的递减区间为（ ）（A ）（1，+∞） （B ）（-∞，43］ （C ）（21，+∞） （D ）（-∞，21］ 10．函数y=(21)2x +1+2,(x<0)的反函数为（ ） （A ）y=-)2(1log )2(21>--x x （B ）)2(1log )2(21>--x x（C ）y=-)252(1log )2(21<<--x x （D ）y=-)252(1log )2(21<<--x x11.若log m 9<log n 9<0,那么m,n 满足的条件是（ ）（A ）m>n>1 （B ）n>m>1 （C ）0<n<m<1 （D ）0<m<n<112.log a132<，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，32）⋃（1，+∞） （B ）（32，+∞）（C ）（1,32） （D ）（0，32）⋃（32，+∞）14.下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）（A ）y=log 21(x+1) （B ）y=log 212-x （C ）y=log 2x 1（D ）y=log 21(x 2-4x+5) 15.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（ ）（A ）y=2x x e e -+ （B ）y=lg xx+-11 （C ）y=-x 3 （D ）y=x16.已知函数y=log a (2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，1） （B ）（1，2） （C ）（0，2） （D ）[2，+∞) 17．已知g(x)=log a 1+x (a>0且a ≠1)在（-1，0）上有g(x)>0，则f(x)=a1+x 是（ ）（A ）在（-∞，0）上的增函数 （B ）在（-∞，0）上的减函数 （C ）在（-∞，-1）上的增函数 （D ）在（-∞，-1）上的减函数 18．若0<a<1,b>1,则M=a b ，N=log b a,p=b a 的大小是（ ）（A ）M<N<P （B ）N<M<P （C ）P<M<N （D ）P<N<M 二、填空题1．若log a 2=m,log a 3=n,a 2m+n = 。
高一数学对数与对数函数试题答案及解析
高一数学对数与对数函数试题答案及解析1.若，，则（）．A．B．0C．1D．2【答案】A【解析】令，即；所以.【考点】复合函数求值.2.函数的定义域是（）.A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）【答案】D【解析】要使有意义，则，即，所以定义域为.【考点】函数的定义域.3.函数在区间上恒为正值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解:由题意,且在区间上恒成立.即恒成立,其中当时,,所以在区间单调递增,所以,即适合题意.当时,,与矛盾,不合题意.综上可知:故选B.【考点】1、对数函数的性质；2：二次函数的性质.4.求的值是 .【答案】【解析】【考点】对数运算公式5.已知函数为常数）.（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若，,求函数的值域；（Ⅲ）若函数的图像恒在直线的上方，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）且【解析】（1）对数中真数大于0（2）思路：要先求真数的范围再求对数的范围。
求真数范围时用配方法，求对数范围时用点调性（3）要使函数的图像恒在直线的上方，则有在上恒成立。
把看成整体，令即在上恒成立，转化成单调性求最值问题试题解析：（Ⅰ）所以定义域为（Ⅱ）时令则因为所以，所以即所以函数的值域为（Ⅲ）要使函数的图像恒在直线的上方则有在上恒成立。
令则即在上恒成立的图像的对称轴为且所以在上单调递增，要想恒成立，只需即因为且所以且【考点】（1）对数的定义域（2）对数的单调性（3）恒成立问题6.已知，且，，则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】故选：D.【考点】对数的运算7.已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 .【答案】【解析】因为所以函数在R上是单调减函数，因为，所以根据减函数的定义可得：.故答案为：．【考点】对数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式．8.已知函数,则实数t的取值范围是____.【答案】【解析】令,值域为由题意函数的值域为则是函数值域的子集所以即【考点】对数函数图象与性质的综合应用．9.计算：＝．【答案】【解析】根据题意，由于可以变形为，故可知结论为【考点】指数式的运用点评：主要是考查了指数式的运算法则的运用，属于基础题。
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数的图象大致是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为f(－x)＝f(x)，可知函数图象关于y轴对称，且f(0)＝0，可知选A【考点】对数的性质，函数的图象2.函数f(x)＝log(2x－1)的定义域为________________.2【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质3.已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c 的取值范围为（）A．（）B．（）C．（，12）D．（6，l2）【答案】B【解析】由,可知,,则, ,位于函数的减区间，所以将和代入，得到结果（），故选B.【考点】1.分段函数的图象；2.对勾函数求最值.4.等比数列的各项均为正数，且，则 .【答案】.【解析】由题意知，且数列的各项均为正数，所以，，.【考点】本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算，属于中等偏难题.5.若的最小值是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，且，所以又，所以，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立.故选D.【考点】1、对数的运算；2、基本不等式.6. [2014·济南调研]下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是()A．(－∞，1]B．C．D．[1,2)【答案】D【解析】当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增．7.函数的定义域是．【答案】【解析】只需，∴，所以函数的定义域是.【考点】函数的定义域.8.若，且，则（）A．0B．C．1D．2【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】对数的运算.9.函数的值域为 .【答案】【解析】由得 ,所以函数的定义域是：设点=所以，,所以答案填：【考点】1、对数函数的性质；2、数形结合的思想.10.设且.若对恒成立,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】时显然不成立.当时，结合图象可知：.【考点】对数函数与三角函数.11.定义两个实数间的一种运算“”：，、.对任意实数、、，给出如下结论：；②；③.其中正确的个数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题中的定义，对于命题，左边，右边，左边右边，命题正确；对于命题②，左边，右边左边，命题②正确；对于命题③，左边，右边，左边右边，命题③也正确.故选D.【考点】新定义12.函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，根据的图象，设，∵关于x的方程有有三个不同的实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上．设，①当有一个根为时，，，此时另一根为，符合题意．②当没有根为时，则：，解得，综上可得，m 的取值范围是．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．13. 已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值． 【答案】8【解析】由题意得x A ＝m，x B ＝2m ，x C ＝，x D ＝，所以a ＝|x A －x C |＝，b ＝|x B －x D |＝，即＝＝·2m ＝2＋m.因为＋m ＝ (2m ＋1)＋－≥2－＝，当且仅当 (2m ＋1)＝，即m ＝时取等号．所以，的最小值为＝8.14. 计算：(lg5)2＋lg2×lg50＝________． 【答案】1【解析】原式＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)＝lg5(lg2＋lg5)＋lg2＝1.15. 计算:lg -lg +lg7= .【答案】【解析】原式=lg4+lg2-lg7-lg8+lg7+ lg5=2lg2+(lg2+lg5)-2lg2=.16. 下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B ．C ．D ．[1,2)【答案】D【解析】法一：当2－x>1，即x<1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0<2－x≤1，即1≤x<2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D.法二：f(x)＝|ln(2－x)|的图像如图所示．由图像可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D.17.已知函数，则．【答案】【解析】.【考点】对数函数求值18.在各项均为正数的等比数列中，若，则．【答案】2【解析】因为，所以，所以，因为数列是等比数列，所以【考点】1.对数的运算；2.等比数列的性质。
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.设命题函数的定义域为;命题对一切的实数恒成立,如果命题“”为假命题,求实数的取值范围.【答案】a≤2．【解析】分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为假p，q至少有一个为假命题，故其反面为：p，q都为真命题；先求出p，q都为真命题时实数k的取值范围，再求其在实集上的补集就是所求实数k的取值范围．试题解析：要使函数的定义域为R，则不等式对于一切x∈R恒成立，若a=0，则不等式等价为-x＞0，解得x＜0，不满足恒成立．若a≠0，则满足条件，即，解得，即a＞2，所以p：a＞2．记，∴要使3x-9x＜a对一切的实数x恒成立，则a＞，即q：a＞．要使p且q为假，则p，q至少有一个为假命题．当p，q都为真命题时，满足∴p，q至少有一个为假命题时有a≤2，即实数a的取值范围是a≤2．【考点】复合命题的真假．2.函数y＝(x2－4x＋3)的单调递增区间为()A．(3，＋∞)B．(－∞，1)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝u与u＝x2－4x＋3的复合函数．令u＝x2－4x＋3>0，则x<1或x>3.∴函数y＝(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝u在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．3.函数y＝的定义域为________．【答案】(－2,8]【解析】由题意可知，1－lg(x＋2)≥0，整理得lg(x＋2)≤lg 10，则，解得－2<x≤8，故函数y＝的定义域为(－2,8]．4.函数y＝(x2－6x＋17)的值域是________．【答案】(－∞，－3]【解析】令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，y＝为减函数，所以有≤＝－3.5.（5分）（2011•湖北）里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A为0.001，则此次地震的震级为级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的倍．【答案】6，10000【解析】根据题意中的假设，可得M=lgA﹣lgA=lg1000﹣lg0.001=6；设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgA﹣lgA=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6．设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，∴．故答案耿：6，10000．点评：本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．6.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则 ()A．a<c<b B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c 【答案】D【解析】因为log45>1,0<log54<1,0<log53<1，所以(log53)2<log53<log54，所以b<a<c，选D.7.函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2的图象，如图所示：故函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为2，故选C．8.函数的值域为 .【答案】【解析】由得 ,所以函数的定义域是：设点=所以，,所以答案填：【考点】1、对数函数的性质；2、数形结合的思想.9.定义“正对数”：现有四个命题:①若，则;②若，则;③若，则;④若，则．其中的真命题有．(写出所有真命题的编号)【答案】①③④【解析】对于①:当时，有，此时;当时，有，此时;当时，有，此时，而综合知①正确对于②:令，则，而，故不成立，②错误对于③:当时，有，或，或验证知: 成立;当时，有，或，或，验证知:成立;当时，成立，故③正确对于④:分四种情况讨论:当时，不妨令，有此时成立;同理，当或或时，成立，故④正确综合知①③④正确10.如果函数的图像过点，则________.【答案】1【解析】依题意得.所以.【考点】1.函数的知识.2.数列的求和公式.3.极限的运算.11..【答案】2【解析】由对数运算法则得：.【考点】对数运算.12.已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2.(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)求函数f(x)的值域．【答案】（1）(－1，1)（2）f(x)是偶函数（3）(－∞，0]【解析】(1)由得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．(2)由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3)f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2＝lg(1－x2)＋x4－2x2，设t＝1－x2，由x∈(－1，1)，得t∈(0，1]．所以y＝lg(1－x2)＋x4－2x2＝lgt＋(t2－1)，t∈(0，1]，设0<t1<t2≤1，则lgt1<lgt2，<，所以lgt1＋(－1)<lgt2＋(－1)，所以函数y＝lgt＋(t2－1)在t∈(0，1]上为增函数，所以函数f(x)的值域为(－∞，0]．13.设a是实数，讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实数解的个数．【答案】两个【解析】原方程等价于方程组即在同一坐标系下作直线y＝a 与抛物线y＝－x2＋5x－3(1<x<3)的图象，由图可知，当1<a≤3或a＝时，原方程只有一个实数解；当3<a< 时，原方程有两个不同的实数解．14.求下列各式的值．(1)log535＋2－log5－log514；(2)log2×log3×log5.【答案】（1）2（2）－12 【解析】(1)原式＝log 5＋2＝log 553－1＝2.(2)原式＝＝－12.15. 已知m 、n 为正整数，a ＞0且a≠1，且log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a m ＋log a n ，求m 、n 的值．【答案】【解析】左边＝log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a＝log a (m ＋n)，∴已知等式可化为log a (m ＋n)＝log a m ＋log a n ＝log a mn. 比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1. ∵m 、n 为正整数，∴解得16. 若点(a,b)在y=lgx 的图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是( )A ．(,b)B ．(10a,1-b)C ．(,b+1)D ．(a 2,2b)【答案】D【解析】∵点(a,b)在函数y=lgx 的图象上, ∴b=lga,则2b=2lga=lga 2,故点(a 2,2b)也在函数y=lgx 的图象上.17. 已知实数a,b 满足等式2a =3b ,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中可能成立的关系式有( ) A ．①②③ B ．①②⑤ C ．①③⑤ D ．③④⑤【答案】B【解析】设2a =3b =k, 则a=log 2k,b=log 3k.在同一直角坐标系中分别画出函数y=log 2x,y=log 3x 的图象如图所示,由图象知:a<b<0或0<b<a 或a=b.18. 已知函数f(x)=|log 2x|,正实数m,n 满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m 2,n]上的最大值为2,则m,n 的值分别为( )A ．,2B ．,4C ．,D ．,4【答案】A【解析】f(x)=|log2x|=则函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数, 又m<n且f(m)=f(n),则0<m<1,n>1,∴0<m2<m<1,∴f(m2)>f(m)=f(n),即函数f(x)在区间[m2,n]上的最大值为f(m2).由题意知f(m2)=2,即-log2m2=2,∴m=,由f(m)=f(n)得-log2=log2n,∴n=2.19.已知函数，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数，所以，，所以=，选A.【考点】分段函数，对数运算，指数运算.20.已知，不等式成立，则实数a的取值范围是_____________．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，，所以恒成立，须恒成立.所以，故答案为.【考点】绝对值的几何意义，对数函数的性质.21.已知函数.（1）若，当时，求的取值范围；（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数；（3）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）这实质上是解不等式，即，但是要注意对数的真数要为正，，；（2）上奇函数满足，可很快求出，要求在上的反函数，必须求出在上的解析式，当时，，故，当然求反函数还要求出反函数的定义域即原函数的值域；（3）可转化为，这样利用对数函数的性质得，变成了整式不等式，问题转化为不等式在区间上有解，而这个问题通常采用分离参数法，转化为求相应函数的值域或最值．试题解析：（1）原不等式可化为 1分所以，， 1分得 2分（2）因为是奇函数，所以，得 1分当时，2分此时，，所以 2分（3）由题意， 1分即 1分所以不等式在区间上有解，即 3分所以实数的取值范围为 1分【考点】(1)对数不等式；（2）分段函数的反函数；（3）不等式有解问题．22.______________.【答案】【解析】.故填.本题关键是对数的基本运算.同底的对数的加减运算，运算法则是底数不变真数相乘或相除.结合对数的性质及可得结论.【考点】1.对数的性质.2.对数的加减运算.23.已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)通过求导可得.又因为x=2是极值点.即可求得.（2）通过对对数的定义域可得符合题意的不等式.在上恒成立.所以转化为研究二次函数的最值问题.通过对称轴研究函数的单调性即可得到结论.本题的的关键是对含参的函数的最值的讨论.以二次的形式为背景紧扣对称轴这个知识点.试题解析：（1）因为.因为x=2为f(x)的极值点.所以即.解得.又当时.从而x=2为f(x)的极值点成立. （2）因为f(x)在区间上为增函数.所以.在区间上恒成立. ①当时. 在上恒成立.所以f(x)在上为增函数.故符合题意.②当时.由函数f(x)的定义域可知，必须有时恒成立.故只能.所以在区间上恒成立.令g(x)= .其对称轴为.因为.所以<1.从而g(x) 在上恒成立.只需要g(3) 即可.由g(3)= .解得：.因为.所以.综上所述. 的取值范围为.【考点】1.对数函数的知识点.2.最值问题.3.含参的讨论.24.关于的不等式（为实常数）的解集为，则关于的不等式的解集为 .【答案】【解析】，则.由题意得：不等式的解为.所以，不等式即为，.【考点】1、一元二次不等式、指数不等式及对数不等式的解法；2、韦达定理.25.函数的定义域为_____________.【答案】【解析】解得：.【考点】求函数的定义域26.的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】1、对数的性质及求值；2、三角函数的恒等变换及化简求值.27.给出下列命题：①在区间上，函数,,,中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④已知函数则方程有个实数根，其中正确命题的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】①在区间上，，是减函数，，是增函数，错误；②如图在第一象限，底数越大，函数的图像越高，∴，正确；③函数的图像向右平移一个单位，得到的图像，对称中心为（1,0），正确；④或或或，正确.【考点】幂函数，对数函数，指数函数的图像与性质.28.已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，且，.【考点】指数与对数运算29.已知数列满足，且，则的值是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由可以推出，数列是以3为公比的等比数列，故，故.【考点】等比数列性质和对数运算.30.已知函数.（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；（2）用定义证明函数在上是增函数；（3）如果当时，函数的值域是，求与的值.【答案】．解：（1），函数是奇函数.（2）设、算、证、结（3），【解析】思路分析：（1）由，求得计算知函数是奇函数.另证：对任意0，（2）利用“定义”“设、算、证、结”。
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)【答案】Ｄ【解析】首先由得函数的定义域为(－∞，－2) (2，＋∞)；再令，则在（０，＋∞）是减函数，又因为在(－∞，－2)上是减函数；由复合函数的单调性可知：函数的单调递增区间为(－∞，－2)；故选Ｄ．【考点】复合函数的单调性．2.已知函数为奇函数则实数的值为【答案】1【解析】由奇函数得：，，，因为，所以【考点】奇函数3.计算．【答案】2【解析】【考点】对数式的运算.4.已知函数为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，的图象是由的图象向左平移个单位而得到的，其中，再根据单调性易知，故选D.【考点】对数函数的图象和性质.5.设且.若对恒成立,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】时显然不成立.当时，结合图象可知：.【考点】对数函数与三角函数.6.函数的定义域是A．[1，2]B．C．D．【答案】C【解析】根据函数定义域的要求得：.【考点】（1）函数的定义域；（1）对数函数的性质.7. (1)解方程：(2)已知命题命题且命题是的必要条件，求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解对数方程，一般把利用对数的运算法则把对数方程变形为，转化为代数方程，但解题过程中要注意对数函数的定义域，即，；（2）这类问题的解决，首先要把两个命题化简，本题中命题化为：，命题是命题的必要条件，说明由命题成立可推导出命题也成立，若把命题成立时的变量的集合分别记为，从集合角度，即有，由此我们可得出关于的不等关系，从而求出的取值范围. 试题解析：（1）解：由原方程化简得，即：所以，，解得.（2）解：由于命题是的必要条件，所以，所以.【考点】（1）对数方程；（2）充分与必要条件.8.函数f(x)＝ln是________(填“奇”或“偶”)函数．【答案】奇【解析】因为f(－x)＝ln＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．9.已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．【答案】(3，＋∞)【解析】因为f(a)＝f(b)，即|lga|＝|lgb|，所以a＝b(舍去)或b＝，得a＋2b＝a＋.又0<a<b，所以0<a<1<b.令f(a)＝a＋，则f′(a)＝1－＜0，所以f(a)在a∈(0，1)上为减函数，得f(a)>f(1)＝1＋2＝3，即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．10.设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则a、b、c的大小关系是________．【答案】a＞c＞b【解析】本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0，知a>b.又c＝lge，作商比较知c>b，故a>c>b.x|,正实数m、n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2, 11.已知函数f(x)=|log2则m+n等于()A．-1B．C．1D．2【答案】B【解析】由函数f(x)=|log2x|的图象知,当m<n且f(m)=f(n),得mn=1,且0<m<1<n.∴0<m2<m<1<n.∵f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,∴|log2m2|=2,∴m=,n=2,∴m+n=.12.设则a，b，c的大小关系为A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a【答案】B【解析】因为所以显然，所以的值最大.故排除A,D选项.又因为，所以.即.综上.故选B.本小题关键是进行对数的运算.【考点】1.对数的运算.2.数的大小比较的方法.13.已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，∀x1≥0，∀x2≥0，若x1≠x2，则＜0.如果f＝，4f()＞3，那么x的取值范围为()A．B．C．∪(2，＋∞)D．∪【答案】B【解析】依题意得，函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，不等式4f()＞3等价于f()>，f(||)＞f，||＜，即－＜＜，由此解得＜x＜2，故选B.14.计算:lg-lg+lg7=.【答案】【解析】原式=lg4+lg2-lg7-lg8+lg7+lg5=2lg2+(lg2+lg5)-2lg2=.15.已知函数.（1）若，当时，求的取值范围；（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数；（3）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）这实质上是解不等式，即，但是要注意对数的真数要为正，，；（2）上奇函数满足，可很快求出，要求在上的反函数，必须求出在上的解析式，当时，，故，当然求反函数还要求出反函数的定义域即原函数的值域；（3）可转化为，这样利用对数函数的性质得，变成了整式不等式，问题转化为不等式在区间上有解，而这个问题通常采用分离参数法，转化为求相应函数的值域或最值．试题解析：（1）原不等式可化为 1分所以，， 1分得 2分（2）因为是奇函数，所以，得 1分当时，2分此时，，所以 2分（3）由题意， 1分即 1分所以不等式在区间上有解，即 3分所以实数的取值范围为 1分【考点】(1)对数不等式；（2）分段函数的反函数；（3）不等式有解问题．16.设，则之间的关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数的图象可知，又由函数的图象可得该函数在上单调增，因为，则，综上所述选A．【考点】1.对数函数;2.幂函数的单调性17.使不等式（其中）成立的的取值范围是．【答案】【解析】即，而，所以，，答案为.【考点】对数函数及其性质18.已知，，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，因为且，所以.【考点】对数的运算.19.设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数的值为．【答案】．【解析】由题意函数的值域为，，则，当即时，，；当即时，，，．【考点】对数函数的值域.20.设，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】对数比较大小21.函数，其中满足且∥，则_________。
2023 届高考数学专项(对数与对数函数)经典好题练习(附答案)
2023 届高考数学专项(对数与对数函数)经典好题练习1.(历年山东烟台模拟,1)已知集合A=x 14≤2x ≤4,B=y y lgx ,x 110,则A ∩B=( )A.[-2,2]B.(1,+∞)C.(-1,2]D.(-∞,-1]∪(2,+∞)2.(历年辽宁大连一中考前模拟,理7)已知a ,b 是非零实数,则“a>b ”是“ln |a|>ln |b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(历年山东济宁二模,6)设a=14log 213,b=120.3,则有( )A.a+b>abB.a+b<abC.a+b=abD.a-b=ab4.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据:lg 3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.10935.(历年山东德州二模,6)已知a>b>0,若log a b+log b a=52,a b =b a ,则a b=( ) A.√2 B.2 C.2√2 D.46.(多选)有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若e =ln x ,则x=e 2;④ln(lg 1)=0.其中正确的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 7.(多选)若函数f (x )=log a (ax-3)在[1,3]上单调递增,则a 的取值可以是( )A.6B.3C.4D.58.(多选)设f (x )=lg 21-x+a 是奇函数,则使f (x )<0的x 的取值可能为( )A.-1B.-13C.0D.-129.log 24+log 42= ,log a b+log b a (a>1,0<b<1)的最大值为 . 10.当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2<log a x 恒成立,则a 的取值范围为 . 11.若函数f (x )=log x ,x 2,-x 2x -2,x 2(a>0,且a ≠1)的值域是(-∞,-1],则实数a 的取值范围是 .12.函数f(x)=log2√xꞏlo g√ 2x的最小值为.13.(历年山东青岛二模,7)已知非零实数a,x,y满足lo g x<lo g y<0,则下列关系式恒成立的是()A.1x2 1 1y2 1B.x+y>yx xyC.1|a| 1x<1|a| 1yD.y x>x y14.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z15.(历年山东模考卷,8)若a>b>c>1,且ac<b2,则()A.log a b>log b c>log c aB.log c b>log b a>log a cC.log c b>log a b>log c aD.log b a>log c b>log a c16.(历年山东菏泽一模,8)已知大于1的三个实数a,b,c满足(lg a)2-2lg a lg b+lg b lg c=0,则a,b,c的大小关系不可能是()A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c17.(历年河北保定一模,理12)设函数f(x)=log0.5x,若常数A满足:对∀x1∈[2,22 020],存在唯一的x2∈[2,22 020],使得f(x1),A,f(x2)成等差数列,则A=()A.-1 010.5B.-1 011C.-2 019.5D.2 020参考答案1.C 由不等式142x ≤4,得-2≤x ≤2,即A={x|-2≤x ≤2}.因为函数y=lg x 单调递增,且x>110,所以y>-1,即B={y|y>-1},则A ∩B=(-1,2].故选C .2.D 由于ln |a|>ln |b|,则|a|>|b|>0.由a>b 推不出ln |a|>ln |b|,比如a=1,b=-2,有a>b ,但ln |a|<ln |b|;反之,由ln |a|>ln |b|推不出a>b ,比如a=-2,b=1,有ln |a|>ln |b|,但a<b.故“a>b ”是“ln |a|>ln |b|”的既不充分也不必要条件.故选D .3.A a=14log 213=log 21314=log 23-14>log 24-14=-12,b=120.3>120.5=√22,∴ab<0,a+b>0,∴a+b>ab ,故选A .4.D设M N =x=33611080,两边取对数,得lg x=lg33611080=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x ≈1093.28,即与MN最接近的是1093.故选D . 5.B ∵log a b+log b a=52,∴log a b+1log a b52,解得log a b=2或log a b=12,若log a b=2,则b=a 2,代入a b =b a 得a=(a 2)a =a 2a , ∴a 2=2a ,又a>0,∴a=2,则b=22=4,不合题意; 若log a b=12,则b=√a ,即a=b 2,代入a b =b a 得(b 2)b =b 2b =,∴2b=b 2,又b>0,∴b=2,则a=b 2=4,∴a b=2.故选B .6.AB 因为lg 10=ln e =1,lg(lg 10)=lg 1=0,lg(ln e)=lg 1=0,所以①②均正确;若e =ln x ,则x=e e ,故③错误;因为lg 1=0,而ln 0没有意义,故④错误.故选AB .7.ACD 由于a>0,且a ≠1,∴u=ax-3为增函数,∴若函数f (x )为增函数,则f (x )=log a u 必为增函数,因此a>1.又y=ax-3在[1,3]上恒为正,∴a-3>0,即a>3,故选ACD . 8.BD 由f (-x )=-f (x ),即lg21 x+a =-lg21-x+a ,21 x +a=21-x+a -1,即2 a ax 1 x1-x2 a -ax,则1-x 2=(2+a )2-a 2x 2恒成立,可得a 2=1,且(a+2)2=1,解得a=-1,∴f (x )=lg 1 x1-x,定义域为(-1,1).由f (x )<0,可得0<1 x1-x<1,∴-1<x<0.故选BD .9.52-2 因为log 24+log 42=log 222+lo g 2=2+1252.由换底公式可得log b a=1log a b,因为a>1,0<b<1,所以log a b<0,log b a<0,所以log a b+log b a=-[(-log a b )+(-log b a )]≤-2,当且仅当log a b=log b a 时,等号成立,故log a b+log b a 的最大值为-2. 10.(1,2] 设f 1(x )=(x-1)2,f 2(x )=log a x ,要使当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2<log a x 恒成立,只需f 1(x )=(x-1)2在(1,2)上的图像在f 2(x )=log a x 的下方即可,如图所示.当0<a<1时,显然不成立.当a>1时,如图,要使在区间(1,2)上, f 1(x )=(x-1)2的图像在f 2(x )=log a x 图像的下方,只需f 1(2)≤f 2(2), 即(2-1)2≤log a 2.即log a 2≥1,则1<a ≤2,即a 的取值范围为(1,2]. 11.12,1 x ≤2时,f (x )=-x 2+2x-2=-(x-1)2-1,f (x )在(-∞,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减,∴f (x )在(-∞,2]上的最大值是f (1)=-1,所以f (x )的值域是(-∞,-1];又当x>2时,log a x ≤-1,故0<a<1,且log a 2≤-1,∴12a<1,故实数a 的取值范围为12,1.12.-14由题得,x>0,∴f (x )=log 2√x lo g √ 2x=12log 2x ꞏlog 24x 2=12log 2x ꞏ(log 24+2log 2x )=log 2x+(log 2x )2=log 2x+122-14-14.当且仅当x=√22时,有f (x )min =-14.13.D 因a 2+1>1,且lo g x<lo g y<0,由对数函数的单调性,得0<x<y<1,令x=14,y=12,将x=14,y=12代入选项,得A,B,C 不成立,D 成立,故选D .14.D 由2x =3y =5z ,同时取自然对数,得x ln 2=y ln 3=z ln 5.由2x 3y2ln33ln2ln9ln8>1,可得2x>3y.再由2x 5z2ln55ln2ln25ln32<1,可得2x<5z.所以3y<2x<5z ,故选D .15.B 因为a>b>c>1,且ac<b 2,令a=16,b=8,c=2,则log c a=4>1>log a b ,故A,C 错误;log c b=3>log b a=43,故D 错误,B 正确.故选B.16.D 令f (x )=x 2-2x lg b+lg b lg c ,则lg a 为f (x )的零点,且该函数图像的对称轴为x=lg b ,故Δ=4lg 2b-4lg b lg c ≥0.因为b>1,c>1.故lg b>0,lg c>0.所以lg b ≥lg c ,即b ≥c.又f (lg b )=lg b lg c-lg 2b=lg b (lg c-lg b ),f (lg c )=lg 2c-lg b lg c=lg c (lg c-lg b ),若b=c ,则f (lg b )=f (lg c )=0.故lg a=lg b=lg c ,即a=b=c.若b>c ,则f (lg b )<0,f (lg c )<0,利用二次函数图像,可得lg a<lg c<lg b ,或lg c<lg b<lg a ,即a<c<b ,或c<b<a.故选D .17.A 因为对∀x 1∈[2,22 020],存在唯一的x 2∈[2,22 020],使得f (x 1),A ,f (x 2)成等差数列,所以2A=f (x 1)+f (x 2),即2A-f (x 1)=f (x 2).因为f (x )=log 0.5x 在[2,22 020]上单调递减,可得f (x )在[2,22 020]的值域为[-2 020,-1],故y=2A-f (x )在(0,+∞)单调递增,可得其在区间[2,22 020]的值域为[2A+1,2A+2 020].由题意可得[2A+1,2A+2 020]⊆[-2 020,-1],即2A+1≥-2 020,且2A+2 020≤-1,解得A ≥-2 0212,且A ≤-2 0212,可得A=-2 0212.故选A .。
带答案对数与对数函数经典例题
经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1．将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2．求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即.类型四、换底公式的运用4．(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x∴，∴；方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)(2)；(3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5．求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三：【变式1】求值：解：另解：设=m (m>0).∴，∴，∴，∴lg2=lgm，∴2=m，即.【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)；(2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).解：(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为a x-k·2x>0，所以()x>k.[1]当k≤0时，定义域为R；[2]当k>0时，(i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；(ii)若0<a<2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；(iii)若a=2，则当0<k<1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4].类型七、函数图象问题7．作出下列函数的图象：(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)log a5.1，log a5.9(a>0且a≠1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4<log28.5；解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5；解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4<log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=log a x在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1<log a5.9 当0<a<1时，y=log a x在(0，+∞)上是减函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1>log a5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=log a5.1，则，令b2=log a5.9，则当a>1时，y=a x在R上是增函数，且5.1<5.9所以，b1<b2，即当0<a<1时，y=a x在R上是减函数，且5.1<5.9所以，b1>b2，即.举一反三：【变式1】（2011 天津理7）已知则（）A．B．C．D．解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得又∵为单调递增函数，∴故选C.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1<x2 则又∵y=log2x在上是增函数即f(x1)<f(x2)∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(log a x)=(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=log a x(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=log a x为增函数，若t1<t2，则0<x1<x2，∴f(t1)-f(t2)=，∵0<x1<x2，a>1，∴f(t1)<f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，当0<a<1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a>1或0<a<1，f(x)在R上总是增函数.10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0<t≤4，∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1<x<3.∴t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性. (1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型十、对数函数性质的综合应用12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是.解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；当a≠0时，有a>1.∴a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1，∴a的取值范围为0≤a≤1.13．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8)) (a>1)，如图.∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕∴S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+<，又函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，∴0<2log2(1+)<2log2，即0<S<2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1<a1<a2<+∞，则：(1+)-(1+)=16()=16·，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴a1+a2+8>0，+8a2>0，+8a1>0，a1-a2<0，∴1<1+<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)∴S=f(a)在(1，+∞)上是减函数.(4)由S>2，即得，解之可得：1<a<4-4.。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)对数与对数函数(精练：基础+重难点)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第11练对数与对数函数（精练）【A组在基础中考查功底】．．．．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案.【详解】依题意ππ),,22y x x⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，cos x为偶函数，则ln(cos)x为偶函数，令1()44g b a b b b=+=+，根据对勾函数的图像与性质易得所以()(1)5g b g >=．故4a b +>故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数要求积的最大值，．．．．【答案】A【分析】先求出定义域，由)x 为偶函数，结合函数在数值的正负，排除BC ，结合函数图象的走势，排除D ，得到正确答案【详解】()22ln x x f x =变形为，定义域为()(,00,∞-U当01a <<时，函数()lg f x x =在函数()πsin2x g x =在[]0,a 上单调递增，所以所以π1sin22a a a M m -==，解得15．（2023·上海·高三专题练习）若实数x 、y 满足lg x m =、110m y -=，则xy =______________．【答案】10【分析】根据指数式与对数式的关系，将lg x m =转化为指数式，再根据指数运算公式求值.【详解】由lg x m =，得10m x =，所以1110101010m m m m xy -+-=⋅==，【B组在综合中考查能力】A ．14B ．15C ．16D ．【答案】D【分析】根据题意可得()10145n-%≤，两边取对数能求出冷轧机至少需要安装轧辊的对数【详解】厚度为10α=mm 的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n 对轧辊后厚度为【C组在创新中考查思维】则函数()y f x =的图象关于直线令()t f x =因为函数()()()2g x f x af x =+由题意可知，4cos 25θ=，所以22tan 3tan 2,1tan 4θθθ==-解得tan 因为θ为锐角，所以tan 3,1θ=由对称性，不妨取直线AD 进行研究，则直线。
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对数与对数函数同步练习
一、选择题：
1、若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ）
A 、2a -
B 、52a -
C 、2
3(1)a a -+ D 、 2
3a a -
2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则
N
M
的值为（ ） A 、4
1
B 、4
C 、1
D 、4或1
3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1
log (1),log ,log 1y a a a x m n x
+==-则等于（ ）
A 、m n +
B 、m n -
C 、()12m n +
D 、()1
2
m n -
4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ，则αβ的值是（ ） A 、lg5lg7B 、lg35C 、35 D 、
35
1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么1
2
x -等于（ ）
A 、1
3 B C D 6、函数2lg 11y x ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称
7、函数(21)log x y -= ）
A 、()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭
B 、()1,11,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
C 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
8、函数212
log (617)y x x =-+的值域是（ ）
A 、R
B 、[)8,+∞
C 、(),3-∞-
D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ） A 、 1 m n >> B 、1n m >> C 、01n m <<<D 、01m n <<<
10、2
log 13
a <，则a 的取值范围是（ ）
A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭
B 、2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11、下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ）
A 、12
log (1)y x =+B 、2log y =
C 、2
1
log y x =D 、2
log (45)y x x =-+ 12、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则1
()x f x a +=是（ ）
A 、在(),0-∞上是增加的
B 、在(),0-∞上是减少的
C 、在(),1-∞-上是增加的
D 、在(),0-∞上是减少的
二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若2log 2,log 3,m n a a m n a +===。
14、函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是。
15、2lg 25lg 2lg 50(lg 2)++=。
16、函数)
()lg
f x x =是（奇、偶）函数。
三、解答题：（本题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17、已知函数1010()1010x x x x
f x ---=+，判断()f x 的奇偶性和单调性。
18、已知函数2
2
2(3)lg 6
x f x x -=-，
(1)求()f x 的定义域； (2)判断()f x 的奇偶性。
19、已知函数232
8()log 1
mx x n
f x x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2，求,m n 的值。
对数与对数函数同步练习参考答案
13、12 14、{}132x x x <<≠且由301011x x x ->⎧⎪
->⎨⎪-≠⎩
解得132x x <<≠且 15、2
16、奇，)(),()1lg(11lg )1lg()(222x f x f x x x
x x x x f R x ∴-=-+-=-+=++=-∈且 为
奇函数。
三、解答题
17、（1）221010101(),1010101x x x x
x x f x x R ----==∈++，221010101
()(),1010101
x x x x x x f x f x x R -----==-=-∈++ ∴()f x 是奇函数
（2）2122101
(),.,(,)101
x x f x x R x x -=∈∈-∞+∞+设，且12x x <，
则12121
212
22221222221011012(1010)
()()0101101(101)(101)
x x x x x x x x f x f x ----=-=<++++，1222(10 10)x x < ∴()f x 为增函数。
18、（1）∵()()222
2233(3)lg lg 633
x x f x x x -+-==---，∴3()lg 3x f x x +=-，又由062
2>-x x 得233x ->， ∴()f x 的定义域为()3,+∞。
（2）∵()f x 的定义域不关于原点对称，∴()f x 为非奇非偶函数。
19、由2
32
8()log 1
mx x n f x x ++=+，得22831y
mx x n
x ++=
+，即()23830y y m x x n --+-= ∵,644(3)(3)0y y x R m n ∈∴∆=---≥，即23()3160 y y m n mn -++-≤
由02y ≤≤，得139y ≤≤，由根与系数的关系得19
1619
m n mn +=+⎧⎨-=⎩，解得5m n ==。