变量替换法 巧解数学三角题

变量替换法 巧解数学三角题

在三角函数问题中，通过引人变量进行替换，把问题转化成对新变量的讨论。这种替换可以架起已知通向未知的桥梁，转化原问题的结构，简化解题过程。替换如果用的巧妙，还可以收到事半功倍的效果。

一、代数替换

通过替换把三角问题转化为代数问题进行讨论，这样可以避开解三角函数式题的麻烦，达到化繁为简、化难为易的目的。

例1求cos36°-cos72°的值。

解：设x=cos36°，y=cos72°，由136cos 272cos 2-︒=︒得122-=x y ， 又︒-=︒-=︒72cos 2118sin 2136cos 22，则221y x -=。 因为))((2)(222y x y x y x y x -+=-=+， 所以x+y ≠0所以2

1=

-y x ，即2

172cos 36cos =

︒-︒。

例2已知a>0，求y=(sinx+a)(cosx+a)的最大值与最小值。

解：2cos sin )cos (sin ))(cos (sin a x x x x a a x a x y +++=++=， 设sinx+cosx=t ，则22≤≤-t 且)1(2

1cos sin 2

-=

t x x ，代入已知式得：)1(2

1)(2

12

2

-+

+=

a a t y 。

（1）若20≤

-=a y ；当2=

t 时，函数取得最大值为

2

122

++

=a a y 。

（2）若2>

a ，则当2-=t 时，函数取得最小值为2

122

+

-

=a a y ，当2=t 时，函数取得最大值为

2

122

++

=a a y 。

二、整体替换

用整体替换解一些三角习题，即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换。 例3已知2

2sin sin =

+y x ，求cosx+cosy 的变化范围。

解：设u=cosx+cosy ，将已知式与待求式两边平方得：

y y x x 2

2

sin

sin sin 2sin

21++=，（1）

y y x x u 2

2

2

cos

cos cos 2cos ++=。（2）

（1）+（2）得：)cos(222

12

y x u -+=+

，即2

3)cos(22

-

=-u y x ，

因为2)cos(22≤-≤-y x ， 所以22

322

≤-

≤-u ，

解得2

14214≤

≤-

u 。

所以2

14cos cos 2

14≤

+≤-y x 。

三、引入参数

通过引入参变量调节命题结构，把问题转化为对参变量的讨论。

例5已知5

1cos sin =+θθ，其中πθ<<0，求tan θ。

解：设t -=

10

1sin θ，t +=

10

1cos θ，则 1)10

1(

)10

1(2

2

=+-t t ，解得：107±

=t 。若10

7=

t ，则05

3sin <-

=θ，不合题意，舍去。

若10

7-=t ，则5

4sin =θ，5

3cos -=θ，故3

4tan -=θ。

例6求函数x

x x x y sin cos 1cos sin ++=

的最大值与最小值。

解：设t s x +=sin ，cosx=s-t ，由1cos

sin

2

2

=+x x ，得2

2

2

1s t

-=

，

因为02≥t ，所以2

2||≤

s 。 于是有2

121)2

1)(21

(22121

2212

2

2-

=++-

=+-=

+-=

s s

s s s

s s

t

s y ，

因为2

222≤

≤-s ，

所以2

1222

12

12

2-

≤

-

≤-

-s 。

所以函数y 的最大值为2

12

2

-

，最小值为2

12

2-

-

。

四、降次换元

如果所求问题的条件或结论中的各项次数较高，可用“代换法”达到降次的目的，这是简化问题的最佳策略。

例7已知1cos cos sin

csc 222

2

=+γββα，求证：γβα2

2

2sin tan

cot =⋅

证明：设a =α2cot ，b =β2

tan ，c =γ2

sin ，则已知条件式化为

1)1(11)111)(1(=-++

+-

+c b

b

a ，化简即得：ab=c 。