一元二次方程的根教学设计

合集下载

九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关》教案、教学设计

6.课后作业，分层辅导
根据学生的个体差异，布置不同难度的课后作业，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，针对学生在课堂上的表现，进行有针对性的辅导，解决他们在学习过程中遇到的问题。
7.教学评价，持续改进
通过课堂提问、作业批改、测验等方式，了解学生的学习效果，对教学方法和策略进行调整，以提高教学质量。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的求解方法有初步的了解。在此基础上，他们对一元二次方程的根与系数之间的关系有一定的探究欲望，但可能对根的判别式和韦达定理的理解还不够深入。因此，在教学过程中，教师应充分调动学生的积极性，引导他们通过观察、思考、总结，逐步理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
1.培养学生对待数学问题的认真态度，严谨治学，克服困难，勇于探索。
2.培养学生用数学的眼光观察世界，认识世界，增强学生的数学应用意识。
3.培养学生的创新精神，激发学生的学习兴趣，使学生在学习过程中体验成功，树立自信心。
在教学过程中，要注意关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，为学生的终身发展奠定基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课堂的开始，我将通过一个贴近学生生活的实际问题来导入新课：“同学们，假设我们班要举行一次篮球比赛，已知比赛场地上有两个篮筐，分别距离地面一定高度。现在我们需要计算出篮球从地面抛起，到达篮筐高度时的速度。这个问题可以通过一元二次方程来求解，那么如何找到这个方程的根呢？”这个问题既能够引起学生的兴趣，又能让学生感受到数学与生活的紧密联系。
此外，学生在解决实际问题时可能会遇到一定的困难，需要教师耐心指导，帮助学生建立数学模型，提高学生的数学应用能力。同时，学生的个体差异较大，教师应关注每个学生的学习进度，针对性地进行教学辅导，使他们在原有基础上得到提高。

一元二次方程的根与系数的关系优秀教学设计(教案)

一元二次方程的根与系数的关系教学时间课题课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1．熟练掌握一元二次方程的根与系数关系。

2．灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题。

3．提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。

过程方法学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明。

情感态度培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神。

教学重点一元二次方程的根与系数关系。

教学难点对根与系数关系的理解和推导。

【教学过程】教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？二、探究新知1．课本思考。

分析：将（x- x1）（x-x²）=0化为一般形式x²-( x1+x²)x+ x1x²=0与x²+px+ q=0对比，易知p=-( x1+x²)，q= x1 x²。

即二次项系数是1的一元二次方程如果有实教师出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题学生通过去括号、合并得到一般形式的创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲通过思考问题，让学生知道二次项系数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积。

2．跟踪练习。

求下列方程的两根x1、x²。

的和与积。

x²+3x+2=0； x²+2x-3=0； x²-6x+5=0； x²-6x-15=03．方程2x²-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4．一般的一元二次方程a x²+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x²和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。

《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计

《一元二次方程的根与系数关系》教学设计教材分析:本课是在学生已经学习了一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究，通过本课的学习，使学生进一步了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系．教学目标：【知识与能力目标】1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.【过程与方法】经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.教学重难点：【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用.【教学难点】探索一元二次方程根与系数的关系.课前准备：多媒体教学过程：问题1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）一元二次方程有实数根的条件是什么？（3）当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的情况如何？（4）一元二次方程的求根公式是什么？[师生活动]教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点．[答]（1）一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)；（2）当△≥0时，一元二次方程有两个实数根；（3）当△＞0时，一元二次方程有两个不等实根；当△=0时，一元二次方程有两个相等实根；当△＜0时，一元二次方程没有实根；（4）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为a acbbx24 2-±-=（△≥0）.【设计意图】通过对一元二次方程相关知识的复习巩固旧知识，并为新知识的学习做铺垫。

问题2：请完成下面的表格观察、思考表格中方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？你有什么发现？【设计意图】学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程。

一元二次方程的根与系数的关系教学设计

一元二次方程的根与系数的关系一、目标认知学习目标1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；2．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求简单的关于根的对称式的值；3．能够利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个数是否是方程的根；4．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求出以两个已知数为根的一元二次方程．重点对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，以及在各类问题中的运用．难点一元二次方程的根与系数的关系的运用．二、知识要点梳理一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根是x1，x2，那么.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.三、规律方法指导一元二次方程根与系数的关系的用法：①不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的根；②已知方程的一个根，求另一个根及未知系数；③不解方程，求已知一元二次方程的根的对称式的值；④已知方程的两根，求这个一元二次方程；⑤已知两个数的和与积，求这两数；⑥已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值；⑦讨论方程根的性质四、经典例题透析1.已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值.1.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值.思路点拨：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值.解：法一：把x=2代入原方程，得22-6×2+m2-2m+5=0即m2-2m-3=0解得m1=3，m2=-1当m1=3，m2=-1时，原方程都化为x2-6x+8=0∴x1=2，x2=4∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1.法二：设方程的另一个根为x.则2.判别一元二次方程两根的符号.2.不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号情况.思路点拨：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△，但△只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察x1·x2或x1+x2的正负情况.解：∵△=32-4×2×(-7)=65＞0∴方程有两个不相等的实数根，设方程的两个根为x1，x2，∵∴原方程有两个异号的实数根.总结升华：判别根的符号，需要“根的判别式”，“根与系数的关系”结合起来进行确定.另外本题中x1·x2＜0，可判定根为一正一负，若x1·x2＞0，仍需考虑x1+x2的正负，从而判别是两个正根还是两个负根.举一反三：【变式1】当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数.思路点拨：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于零，根的判别式大于等于零.解：设方程的二根为x1，x2，且x1＞0，x2＞0，则有由△=[-2(m+1)]2-4m(m-1)≥0，解得：∵m≠0，∴m＞0或m＜0，∴上面不等式组化为：由⑴得m＞1；⑵不等式组无解.∴m＞1∴当m＞1时，方程的两个根都是正数.总结升华：当二次项系数含有字母时，不要忘记a≠0的条件.【变式2】k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.思路点拨：两根“互为相反数”、“互为倒数”，“有一根为零，另一根不为零”等是对两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数，则x1=-x2，即x1+x2=0;互为倒数，则x1=，即x1·x2=1，但要注意考察判别式△≥0.解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=x1x2=（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，即x1+x2=，∴k=0，当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=16＞0∴当k=0时，方程两根互为相反数.（2）要使方程两根互为倒数，必须两根的积是1，即x1x2==1，解得k=4当k=4时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=-144＜0∴k为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根.（3）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，即x1x2==0，解得k=又当k=时，x1+x2=，当k=时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=＞0，∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零.总结升华：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，△=b2-4ac不得小于零.3.根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值.3.关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围.解：设方程两根分别为x1，x2，x1+x2=3，x1·x2=k+1∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2(k+1)＜5∴k＞1①又∵△=(-3)2-4(k+1)≥0∴k≤②由①②得：1＜k≤.总结升华：应用根的判别式，已知条件，构造不等式，用不等式组的思想，确定字母的取值范围.举一反三：【变式1】已知：方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值.思路点拨：本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m的方程，就可求得m的值.解：∵方程有两个实数根，∴△=[2(m-2)]2-4×1×(m2+4)≥0解这个不等式，得m≤0设方程两根为x1，x2，∴x1+x2=-2(m-2)x1·x2=m2+4∵x12+x22-x1x2=21∴(x1+x2)2-3x1x2=21∴[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21整理得：m2-16m-17=0解得：m1=17，m2=-1又∵m≤0，∴m=-1.总结升华：1.求出m1=17，m2=-1后，还要注意隐含条件m≤0，舍去不合题意的m=17.【变式2】设与是方程x2-7mx+4m2=0的两个实数根，且(-1)(-1)=3，求m的值．思路点拨：利用一元二次方程的根与系数的关系把等式(-1)(-1)=3转化为关于m的方程．解：由于与是方程x2-7mx+4m2=0的两个根，根据根与系数的关系，有所以，有(-1)(-1)=-()+1=4m2-7m+1=3．所以，得方程4m2-7m-2=0．解这个方程，或m=2．经检验，或m=2都能使判别式Δ=(7m)2-4×(4m2)=33m2＞0，所以，m=2都符合题意．总结升华：如果所求m的值使方程没有实数根，就是错误的结果，所以检验的步骤是十分必要的．讨论方程的实数根的问题，只有在判别式的值是非负数时才有意义，在解决问题时应注意这个重要的条件．4．求简单的关于根的对称式的值．在关于一元二次方程的根x1与x2的式子中，如果交换这两个字母的位置后式子不变(我们常把这种式子叫做对称式)，就可以通过恒等变形，转化为用x1+x2与x1x2表达的式子，从而可以利用根与系数的关系解决．如+，，(1+x1)(1+x2)都是对称式，它们可以变形为用x1+x2与x1x2表达的式子，如(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2，+=(x1+x2)2-2x1x2，……等等．4.如果与是方程2x2+4x+1=0的两个实数根，求的值．思路点拨：注意到交换与的位置时，代数式不变，所以代数式是关于与的对称式.解：∵Δ=b2-4ac=8＞0，∴方程有实根．∵∴举一反三：【变式1】已知与是方程3x2-x-2=0的两个实数根，求代数式的值．思路点拨：中的与的位置互换时，式子的形式不变，所以它们都是对称式，可以转化为含有与的式子，利用根与系数的关系简化计算．解：由于＞0，＜0，所以Δ＞0，方程一定有实根．于是==．把=与=-代入，得====总结升华：这是一个无理数系数的一元二次方程，如果分别求出根与的值，计算过程将冗长而烦琐，利用根与系数的关系就可以有效地达到简化计算过程的目的，读者如果用求根后代入的方法演算一遍，将会有深刻的体会．5．利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个已知数是否方程的根，能够求出以两个已知数为根的一元二次方程．事实上，我们有这样的定理：如果两个实数x1与x2使得x1+x2=-p，且x1x2=q，那么x1与x2是方程x2+px+q=0的两个根．证明如下：由于x1+x2=-p，x1x2=q，那么方程x2+px+q=0可以化为x2-(x1+x2)x+x1x2=0，x2-x1x-x2x+x1x2=0，x(x-x1)-x2(x-x1)=0，(x-x1)(x-x2)=0，∴x=x1或x=x2．这就是说，x1和x2是方程x2+px+q=0的两个根．5.判断下列方程后面括号内的两个数是不是方程的根：(1)x2-8x-20=0，(10，-2)；(2)6y2+19y+10=0，；(3)a2-2a+3=0，(+，-+)．解：(1) ∵10+(-2)=+8=-(-8)，10×(-2)=-20，∴10与-2是方程x2-8x-20=0的两个根；(2) ∵，，∴-与-是方程6y2+19y+10=0的两个根；(3) 虽然有(+)(-+)=+3，但是(+)+(-+)=+2≠-(-2)；所以+与-+不是方程a2+2a-3=0的根．6.(1)作一个以-与为根的一元二次方程；(2)作一个方程，使它的两个根分别是方程2x2+5x-8=0的两个根的倒数．思路点拨：作一元二次方程，只需利用根与系数的关系求出方程各项的系数．解：(1) 由于-+=-2+=-，-·=-=-4，所以所求方程是x2+x-4=0．(2) 设x1与x2是方程2x2+5x-8=0的两个根，所以，有x1+x2=，x1x2=-4．所以，．于是所求方程是x2-x-=0．也就是8x2-5x-2=0．数学史话历史上的一元二次方程含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式为ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中：求出一个数，使它与它的倒数之和等于一个已知数，即求出这样的x1与x2，使x1x2＝1，x1＋x2＝b，从这两个条件得出关于x的一元二次方程x2－bx＋1＝0．他们先求出，再求出，然后得出解答＋及－．由此说明巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式，只是当时他们没有接受负数，所以负根是略而不提的．埃及的《纸草文书》中也涉及到最简单的二次方程如ax2＝b．希腊的丢翻图（246－330）只承认二次方程的一个正根，即使两根都是正的他也只取一个．印度的婆罗摩及多公元628年写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2＋px－q ＝0的一个求根式x＝，阿尔·花拉子模的《代数学》中（讨论方程的根法，解出了一次、二次方程，但保留了六种不同的形式，如ax2＝bx，ax2＝c，ax2＋c＝bx，ax2＋bx＝c，ax2＝bx＋c等，且让a、b、c总是正数．在把二次方程分成不同形式这一点上是照丢番图那样做的），给出了一元二次方程的几种特殊解法，并第一次给出了一元二次方程的一般解法．他承认方程有两个根，还允许有无理根存在，只是还未认识虚根．复数根的运用是十六世纪意大利的数学家们从解一元二次方程中开始的．法国数学家韦达（1540－1603）已经知道一元二次方程在复数范围内一定有解，并且发现了根与系数的关系．我国对一元二次方程的研究历史悠久，我国在公元前4、5世纪时也掌握了一元二次方程的求根公式．《九章算术》中“勾股”第二十题就是通过相当于求方程x2＋34x－71000＝0的正根而解决的．《张邱建算经》中，包含了一个用文字写出的相当于x2＋cx＝c2－36的方程．数学家韦达法国数学家韦达（FrancisVieta1540－1603）在数学研究方面有杰出的贡献和深远的影响，他常常在工作之余致力于数学研究．当韦达被奇异的数学吸引住时，就会一连数日闭门不出，进行思考与研究．当时，他和好几位数学家都研究并发现了方程的根与系数的关系．因为韦达的论文发表得较早，影响也大，因此后人习惯上把一元n次（n为正整数）方程的根与系数的关系定理称为韦达定理，教科书中，一元二次方程的根与系数的关系是韦达定理的特例．韦达在数学研究中另一重大的贡献是第一个有意识地使用字母来表示已知数、未知数及乘方，改进了数学的符号．数学能够成为如今这样有力的工具，与它使用了像“＋”、“－”及“x2”等符号语言是分不开的．这些符号，使数学具有简洁的表达，也使方程和代数恒等式有了简洁、清楚的形式．如方程x2－3x＝0，就比书写“一个数的平方与这个数的3倍的差等于0”要简便得多．不难想象，如果不使用数学符号，数学发展将会多么缓慢．这些数学符号的使用使人便于思考．通过符号的演算和推导，我们能够十分容易地证明某些数学关系式、某些规律是成立的．例如，一元二次方程的实根的判别式定理、一元二次方程的根与系数的关系定理，都是通过数学表示式进行推导的．因此，人们称韦达是数学符号的改革家．学习成果测评基础达标一、选择题1. 如果一元二次方程的两个根为，那么与的值分别为( )A. 3，2B.C.D.2. 如果方程的两个实数根分别为，那么的值是( )A. 3B.C.D.3. 如果是方程的两个根，那么的值等于( )A. B. 3 C. D.4.以2，-3为根的一元二次方程是( )A.x2+x+6=0B.x2+x-6=0C.x2-x+6=0D.x2-x-6=0二、填空题1. 如果是方程的两个根，那么____________.2. 已知一元二次方程的两根分别为，那么的值是_________.3.已知一元二次方程的两根为2+和2-，则这个方程为_______．三、解答题1.设x1与x2是方程x2+4x-6=0的两个根，不解这个方程，求下列各式的值：(1)；(2)+x1x2+；(3)(x1-2)(x2-2)．2.(1)已知方程x2+mx+21=0的两个根的平方和是58，求m的值；(2)已知方程x2+2x+m=0的两个根的差的平方是16，求m的值；(3)已知方程x2+3x+m=0的两个根的差是5，求m的值；(4)已知方程x2+3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，求m的值．3.判断下列方程后面括号中的两个数是不是这个方程的根：(1)x2+x-12=0，(+4，-3)；(2)2y2+9y+4=0，；(3)z2-(2+)z+6=0，(，)．4.分别求作以下列各对数为根的一个一元二次方程：(1)-5，+7；(2)，+；(3)，-；(4)+，-．能力提升一、选择题1.以3，-1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是( )A.3x2-2x+3=0B.3x2+2x-3=0C.3x2-6x-9=0D.3x2+6x-9=02.下列方程中，两实数根之和等于2的方程是( )A. B.C. D.3.已知关于x的方程有两个相等的正实数根，则k的值是( )A. B. C. 2或 D.二、填空题1. 已知3x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则x1+x2=______，x1x2=______，•+=•_______，•x12+x22=_______，x1-x2=________．2. 已知一元二次方程3x2-kx-1=•0•的一根为3,则该方程的另一根为_____，•k=_______．3. 若方程的两根的倒数和是，则____________.三、解答题1.已知关于x的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数k 的值.2.已知一元二次方程.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)设是方程的两个实数根，且满足，求m的值.3.已知关于x的一元二次方程.(1)求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根；(2)设是方程的两个实数根，若，求a的值答案与解析基础达标一、选择题1.B2.D3.B4.B二、填空题1. 72. 193. x2-4x+1=0∵2++2-=4，(2+)(2-)=1∴这个方程为：x2-4x+1=0.三、解答题1.(1)；(2)22；(3)6．解：(1)(2)(3)(x1-2)(x2-2)2.(1)m=10或m=-10；(2)m=-3；(3)m=-4；提示：；(4)m=2．3.(1)不是；(2)是；(3)是．4.(1)x2-2x-35=0；(2)6x2+x-15=0；(3)x2-=0；(4)x2-2x-1=0．能力提升一、选择题1.C2.D3.A二、填空题1. ，-，-2，，±x1+x2=，x1x2=-，+==-2x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=+=∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+=∴x1-x2=±.2. -，∴x2=-，k=.3. .三、解答题1. .(注意k=5时，，舍)2. 略解：(1)解得：(2)由③得符合题意.3.（1）而∴对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根. （2）设。

用配方法推导一元二次方程的求根公式--教学设计

《用配方法推导一元二次方程的求根公式》教学设计一.教学内容的分析 1.教材的地位和作用一元二次方程的求根公式是一元二次方程中的重要内容，是在学习了一次方程、方程组，分式方程以及一元二次方程有关概念的基础之上学习的.求根公式的推导是引出根的判别式、进一步讨论一元二次方程的实数根的存在性的前提，同时也为推导根与系数的关系以及今后学习二次函数等有关内容奠定基础.2.对教学内容的认识用配方法推导一元二次方程的求根公式是本节课的教学内容.由于公式的推导均为字母间的运算，为了让学生能够亲自参与推演求根公式的过程，设计了三个活动，逐步由数字系数的一元二次方程过渡到含三个字母系数的一元二次方程，学生经历从特殊到一般的研究过程.一元二次方程的解法---公式法，安排3课时.本节课是第一课时:用配方法推导一元二次方程的求根公式.根据以上分析，确定本节课的教学重点是：用配方法推导一元二次方程的求根公式.3.学生学情分析我校是通州区一所普通中学，所授班级是学校音乐特长班，大部分学生个性活泼、开朗, 学习数学的积极性较高，兴趣较为浓厚，但数学基础一般.在上本节课之前，我对本校九年级两个班共计72位同学做了一次调查，用配方法解方程：结果仅有3位同学推导过程完全正确，正确率仅约为4.17%。

我对其中的错误进行了简单分析：同时，设置了这样两个问题：在推导一元二次方程的求根公式时，你觉得有20(0).ax bx c a ++=≠哪些困难？有很多学生提到“字母太多”、“运算量大”等困难；在运用公式法解一元二次方程时，你有哪些困惑？有些学生认为公式的结构复杂，不便于记忆，主要靠死记硬背，套公式解一元二次方程，而不知公式从何而来.基于以上分析和调查，我认为虽然课标中并未对用配方法推导一元二次方程的求根公式提出具体要求，但推导过程本身的价值在于通过让学生亲历公式的推演，帮助学生理解一元二次方程的根是由系数a 、b 、c 决定的.由于公式的推导过程均为字母间的运算，对学生来说困难较大，因此本节课的难点是：一元二次方程求根公式的推导过程. 二.教学目标的确定结合教材内容和学生的实际情况，我从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三方面确定本节课的教学目标：1.理解配方法，能用配方法推导一元二次方程求根公式.2.经历探索一元二次方程求根公式的过程，初步了解从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律.3.逐步培养学生的探究意识和创新精神，渗透探索数学问题的一般方法. 三、教学过程设计与实施为了达到教学目标,我把教学过程设计为以下五个阶段:具体教学过程如下：3）用配方法解方程 222221+1111+22111方程两边同时除以 a x x a x x a a a a x ≠∴⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+=-+12212x a a x a +=±=-±220040可判断a a a a ⎝⎭≠∴≠∴∴>24=2只有当b b x a -+。

九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案、教学设计

3.组织小组合作活动，让学生在互相交流、讨论的过程中，提高自己的数学表达能力和团队协作能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对一元二次方程根的判别式的好奇心，培养他们主动学习、乐于探究的良好习惯。
2.引导学生认识数学在现实生活中的广泛应用，增强他们学习数学的信心和责任感。
3.培养学生面对问题时的积极态度，使他们学会在困难面前不退缩，勇于挑战，形成正确的价值观。
4.成果展示：每组选派一名代表展示讨论成果，其他组员进行补充。
（四）课堂练习
1.练习题设计：设计不同难度的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生进行即时巩固。
2.练习过程：学生在规定时间内独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
3.反馈与评价：学生互相批改练习题，教师对共性问题进行讲解，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：对本节课的重点知识点进行回顾，如判别式的定义、性质和应用。
2.方法总结：引导学生总结运用判别式判断一元二次方程根的情况的方法。
3.情感态度与价值观：强调数学在现实生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣和责任感。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的方法。
1.采用问题驱动的教学策略，激发学生的学习兴趣，引导他们主动探究一元二次方程根的判别式的规律。
2.通过举例、练习和讨论，帮助学生掌握判别式的应用方法，培养他们分析问题、解决问题的能力。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解一元二次方程的一般形式，理解判别式的定义及其数学意义。

九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计

（二）过程与方法
1.通过引导学生在自主探究、合作交流的过程中发现一元二次方程的根与系数的关系，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
2.利用具体的实例，让学生在实际操作中掌握一元二次方程的根与系数的关系，提高学生的实际操作能力和应用能力。
3.通过对一元二次方程根与系数关系的探究，培养学生数形结合的思想，让学生学会从多角度分析问题，形成严密的逻辑思维。
5.拓展延伸，提高思维：
-通过拓展延伸性问题的设置，引导学生运用一元二次方程根与系数关系解决更复杂的问题，提高学生的思维能力和创新能力。
6.总结反馈，反思提升：
-在课堂结束前，引导学生总结所学内容，进行自我反馈，发现不足，及时改进。
-教师对课堂教学进行反思，了解学生的学习情况，调整教学策略，提高教学质量。
-根据实际问题，列出一元二次方程，并运用根与系数关系求解。
3.拓展题：
-探究一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的根与系数之间的关系，并给出证明。
-通过阅读教材或其他资料，了解一元二次方程根与系数关系在其他数学分支中的应用。
4.实践题：
-调查生活中的一元二次方程问题，例如：物品的定价与折扣、投资收益等，并运用所学知识解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，针对本节课所学的一元二次方程根与系数关系，讨论以下问题：
a.一元二次方程根与系数关系在实际问题中的应用；
b.如何运用根与系数关系解决具体问题；
c.根的判别式和韦达定理在解题过程中的作用。
2.教学方法：
-采用小组合作学习法，促进学生之间的交流与讨论。
四、教学内容与过程
（一）导入新课

八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计

三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的根与系数的关系，求根公式的推导与应用，以及在实际问题中的运用。
2.难点：
-理解判别式的概念及其在一元二次方程根的性质判断中的应用。
-对求根公式的记忆和熟练运用，尤其是公式中各个符号的含义和它们之间的关系。
-将实际问题抽象成一元二次方程模型，运用数学知识解决实际问题。
-借助几何图形或动画，形象地展示求根公式的推导过程。
-通过实际例题，指导学生如何运用求根公式解题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
-一元二次方程的根与系数之间存在哪些关系？
-如何利用判别式判断方程的根的情况？
-求根公式在解题过程中的作用是什么？
2.各小组汇报讨论成果，老师进行点评和补充。
4.教学策略与方法：
-采用差异化教学，针对不同学生的学习风格和能力水平，提供个性化的指导和帮助。
-利用信息技术，如数学软件、在线平台等，为学生提供丰富的学习资源和工具，提高学习效率。
-定期进行学习反馈，通过作业、小测验等形式，及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。
5.情感态度与价值观的培养：
-在教学过程中，注重鼓励学生，增强他们的自信心，培养面对困难的勇气和解决问题的毅力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了一元一次方程的解法及其应用，对于一元二次方程也有初步的认识。在此基础上，学生对于本章节《一元二次方程的根与系数的关系》的学习，既有知识储备上的优势，也存在一定难度。大部分学生能够理解根与系数的关系，但可能在运用求根公式解题时，对公式的记忆和运用上存在困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象成一元二次方程模型。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：

初中九年级数学人教版《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）教学过程：一、新课导入 1.相关人物韦达,1540年出生于法国的波亚图,他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用,人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.历史上流传着一个有关韦达的趣事:有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王,比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达,韦达当即得出一正数解,回去后很快又得出了另外的22个正数解(他舍弃了另外的22个负数解).消息传开,数学界为之震惊.同时,韦达也回敬了罗门一个问题,罗门一时不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出来.2.解下列方程并完成填空：(1)x 2+3x-4=0; (2)x 2-5x+6=0; (3)2x 2+3x+1=0 一元二次方程两根关系1x2xx 2+3x -4=0 x 2-5x +6=0想一想方程的两根1x 和2x 与系数a,b,c 有什么关系？二、讲授新课一元二次方程两根分别为1x 和2x ，则1x = 2x = 那么，1x +2x = 1x 2x =归纳总结：根与系数的关系一元二次方程两根分别为1x 和2x ，则有1x +2x = 1x 2x =三、当堂检测1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根1x ，x2的和与积：(1)x 2－6x －15＝0 (2) 3x 2＋7x －9＝0；(3) 5x －1＝4x 2.2.已知1x , 2x 是方程2x 2+2kx+k-1=0的两个根，且(1x +1)(2x +1)=4； (1)求k 的值； (2)求(1x -2x )2的值.四、课后小结ax 2 ＋ bx ＋c ＝0 (a ，b ，c 为常数，a≠0) 根与系数的关系（韦达定理）内容如果一元二次方程 ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根分别是x 1、 x 2，那么12cx x a应用222121212()2x x x x x x 22121212()()4x x x x x x 12121211x x x x x x 12b x x aax 2 ＋ bx ＋c ＝0 (a ，b ，c 为常数，五、作业布置课本16页练习、17页第7题。

2.5.2求一元二次方程的近似根(教案)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式和计算器操作这两个重点。对于难点部分，如判别式的应用和近似方法的选择，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程近似根相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的计算器操作实验。这个操作将演示如何使用计算器求解一元二次方程的近似根。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程及其近似根的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，它的近似根是指在一定误差范围内接近真实解的数值解。这些近似根在工程、物理等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算器求解方程x^2 - 3x + 2 = 0的近似根，展示近似方法在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
举例：
-重点1：求解一元二次方程近似根的公式，如ax^2 + bx + c = 0的求根公式；
-重点2：使用计算器进行近似计算的方法，如牛顿迭代法、二分法等；
-重点3：结合实际例题，如求解二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的近似根。
2.教学难点
（1）理解求根公式中各个参数的含义，尤其是判别式的应用；
2.5.2求一元二次方程的近似根（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第二章第五节第二部分“2.5.2求一元二次方程的近似根”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握用求根公式求一元二次方程的Байду номын сангаас似根的方法。
2.学会利用计算器计算一元二次方程的近似根，并比较不同近似方法的精确度。

九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》教案、教学设计

（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对讲授新知部分的内容，进行讨论。讨论主题包括：判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系等。
2.讨论要求：小组成员要积极参与，发表自己的观点，倾听他人的意见，共同探讨问题。每个小组选出一个代表，汇报本组讨论成果。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，及时解答学生的疑问，引导他们深入探讨问题。
（五）总结归纳
1.学生自主总结：让学生回顾本节课所学内容，总结一元二次方程根与系数的关系及其应用，归纳解题方法。
2.教师点评：教师对学生的总结进行点评，强调重点知识点，指出易错点，提醒学生注意。
3.课堂小结：对本节课的教学内容进行梳理，形成知识结构，为学生后续学习奠定基础。
五、作业布置
为了巩固学生对一元二次方程根与系数关系的理解，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
7.关注学生个体差异，针对不同学生的学习需求，给予个性化的指导。对学习困难的学生，要进行耐心辅导，帮助他们克服困难；对优秀生，要适当提高要求，激发他们的潜能。
8.定期组织课堂小结，让学生在总结中回顾所学知识，形成系统的知识结构。同时，鼓励学生提出问题，培养他们的批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
2.作业难度分层，满足不同学生的学习需求；
3.作业形式多样，注重培养学生的实践能力和团队合作精神；
4.教师及时批改作业，给予学生反馈，指导学生改进学习方法。
2.学会运用根与系数的关系解决实际问题，提高数学应用能力；
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略。
（二）教学难点
1.判别式的推导及其与根的关系的理解；
2.在实际问题中，如何构建一元二次方程模型，并运用根与系数的关系进行求解；

九年级数学上册《一元二次方程求根公式及其应用》教案、教学设计

（二）过程与方法
1.通过对一元二次方程的引入，使学生掌握从实际问题中抽象出一元二次方程的一般方法。
2.通过自主探究、小组合作等方式，引导学生发现一元二次方程求根公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
3.利用求根公式解决实际问题时，引导学生分析问题、建立数学模型，提高学生解决实际问题的能力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程求根公式的推导及其应用。
2.难点：理解求根公式的推导过程，以及如何运用求根公式解决实际问题。
（二）教学设想
1.引入新课：
-通过生活实例，如抛物线运动、面积计算等，引出一元二次方程的实际背景，激发学生的学习兴趣。
-对比一元一次方程，引导学生发现一元二次方程的特点，为新课的学习做好铺垫。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动：利用多媒体展示一个实际问题，如“一个学生从地面上抛出一个球，球的最高点离地面2米，问学生抛球的高度和初速度分别是多少？”
2.提出问题：引导学生思考如何解决这个问题，从而引出一元二次方程的求解。
3.引入新课：通过对比一元一次方程，强调一元二次方程的特点，即未知数的最高次数为2，且方程的根可能有0个、1个或2个。
1.必做题：
-请同学们完成课本第chapter页的练习题，包括直接求解一元二次方程和运用求根公式解决实际问题。
-从练习中挑选两道具有代表性的题目，要求同学们写出完整的解题过程，包括解题思路、步骤和最终答案。
2.选做题：
-针对课堂上的抛物线运动实例，请同学们设计一个类似的实际问题，并运用一元二次方程求根公式进行求解。
1.学生对一元二次方程的概念理解可能不够深入，需要通过实例引入，帮助学生建立直观的认识。

人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计

§21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计教学目标：掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积。

能灵活解决的与有关一元二次方程的根问题。

渗透从特殊到一般的再有一般到特殊数学思想，以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，培养学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力，通过知识的产生过程，让学生感悟数学的思维方式，利用韦达定理不失时机渗透爱国主义精神，激发学生学习数学兴趣，提高学生解决问题能力。

教学重难点：1、理解一元二次方程根和系数的关系特点和应用及推导过程；2、利用一元二次方程根和系数的关系解决有关问题。

学情分析：1、知识掌握方面：本节课是在学习了一元二次方程的求根公式及根的判别式的基础上进行的，学生通过上几节一元二次方程的解法的学习，熟练掌握了一元二次方程的求根公式，有一定的运算能力和探究能力。

2、学生年龄特点：九年级学生具有一定的认知能力，和主动学习能力，适合由特殊到一般的探究方式。

教学过程：活动1（复习旧知）：1、写出一元二次方程的一般式ax 2+bx+c=0 (a ≠0)2、一元二次方程求根公式。

a ac b b x 2422,1-±-=解下列方程并填空：观察、思考两根和、两根积与系数的关系，所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律观察、思考两根和、两根积与系数的关系。

活动2（讨论与探究）:任意的一元二次方程，ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1、x 2 则 x 1+x 2， x 1·x 2与系数a ，b ，c 的关系是什么（引导学生讨论）活动3 (猜想结论（引导学生）)若0(02≠=++a c bx ax ，)042≥-ac b ，两根为x 1,x 2则: x 1+x 2=a b - x 1·x 2= ac 活动4(推导结论)：证明：由求根公式得：a ac b b x 2421-+-=，a ac b b x 2422---=∴a b a ac b b ac b b x x -=----+-=+2442221a c a ac a acb b x x ==---=•222221444)4()(活动5(形成结论):若0(02≠=++a c bx ax ，)042≥-ac b ，两根为x 1、x 2那么x 1+x 2=a b - x 1·x 2= ac 如果方程x 2+px+q=0的两根是X 1 ，X 2，那么：x 1+x 2= -p ， x 1·x 2= q这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理，因为是法国数学家韦达最先发现的。

九年级数学上册《估计一元二次方程的根》教案、教学设计

2.教授求根公式，并强调掌握求根公式的重要性，同时指出求根公式的局限性，引出估计一元二次方程根的方法。
3.介绍估计一元二次方程根的步骤：
a.确定方程的系数a、b、c；
b.计算判别式，判断根的性质；
c.运用估计方法，确定根的范围；
d.根据需要，利用求根公式或其他方法求解具体的根。
（三）学生小组讨论
1.教师给出几个具有实际背景的一元二次方程，要求学生分组讨论，运用估计方法确定根的范围。
4.掌握利用因式分解、配方法求解一元二次方程，并能熟练运用到实际解题中。
（二）过程与方法
1.通过小组讨论、师生互动等方式，引导学生自主探究一元二次方程的根的求解方法，提高学生的合作能力和问题解决能力。
2.通过具体例题的分析与讲解，让学生掌握求解一元二次方程的步骤，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3.引导学生运用估计方法，对一元二次方程的根进行快速判断，提高学生的观察力和直觉思维能力。
3.设计一道综合性的拓展题，要求学生结合本节课所学内容，解决一个稍微复杂的一元二次方程问题。此题目的目的是培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
4.请学生总结估计一元二次方程根的方法和步骤，以书面形式提交。这有助于学生梳理所学知识，形成系统的知识体系。
5.鼓励学生在家中寻找一个与一元二次方程相关的实际问题，尝试将其转化为数学模型，并运用所学方法求解。下节课与同学分享自己的发现和收获。
在本章节的学习中，学生需要运用已学的知识，如一元二次方程的求解方法、判别式的应用等，结合估计方法，提高对一元二次方程根的判断和求解能力。因此，教师应关注学生的个体差异，针对不同水平的学生进行有针对性的指导，使他们在掌握知识的同时，提高解决问题的能力。
同时，九年级的学生正处于青春期，个性鲜明，思维活跃。在教学过程中，教师应关注学生的心理特点，创设有趣、富有挑战性的教学情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂，发挥学生的主观能动性。通过师生互动、生生互动，培养学生的合作精神和团队意识，提高学生的综合素质。

一元二次方程求根公式教学设计

一元二次方程求根公式教学设计【一元二次方程求根公式教学设计】一、引言随着数学的发展，一元二次方程作为基础且重要的数学概念，在我们的日常生活中起着重要的作用。

对于初学者而言，掌握一元二次方程求根公式是解决一元二次方程问题的关键。

本文将围绕一元二次方程的求根公式展开教学设计，帮助学生掌握基本的解题方法。

二、目标通过本次教学，学生将能够：1. 掌握一元二次方程的基本概念和形式；2. 理解一元二次方程求根公式的推导过程；3. 掌握一元二次方程求根公式的应用方法；4. 运用求根公式解决实际问题。

三、教学过程设计1. 导入（约5分钟）通过引用一个与学生生活相关的常见问题，引起学生的兴趣，如：“小明和小红一起去买苹果，花费了30元，小明付了5块钱，小红付了10块钱，那么每个人各自买了多少个苹果？”引导学生思考并将问题转化为数学表达式。

2. 学习一元二次方程的概念（约15分钟）a. 引导学生回顾关于方程的基本概念：方程的定义、方程成立的条件等。

b. 引导学生了解一元二次方程的基本形式，并通过示例帮助学生熟悉一元二次方程的特点。

3. 推导一元二次方程求根公式（约20分钟）a. 基于学生已学的知识，引导学生思考如何解决一元二次方程的根问题。

b. 引导学生通过联想和试错的方法，推导出一元二次方程求根公式。

c. 利用几个简单的示例，帮助学生理解求根公式的原理和应用。

4. 学习求根公式的应用（约20分钟）a. 引导学生运用求根公式解决一元二次方程的具体例题，加深对求根公式的理解。

b. 通过多个实际问题，引导学生将求根公式应用于解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

5. 练习与巩固（约20分钟）a. 提供一定数量的练习题，巩固学生对一元二次方程求根公式的掌握程度。

b. 注重培养学生解题的思考过程和逻辑推理能力。

6. 拓展与应用（约15分钟）提供一些拓展问题，让学生运用所学知识解决更复杂、更有挑战的问题，培养学生的创新思维和问题解决能力。

21_2_5一元二次方程根的判别式教学设计

21.2.5一元二次方程根的判别式教学设计1．知道什么是一元二次方程的根的判别式．2．会用判别式判定根的情况．教学流程安排设计意图以问题引入，复习一元二次方程根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)根的情况：(1)Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0方程有两个相等的实数根；(3)Δ＜0 方程无实数根. 教师板书。

引导学生回顾一元二次方程根的判别式活动2类型二1、关于x 的一元二次方程0122=-+kx x 。

求证：方程有两个不相等的实数根。

2、关于x 的方程04222=---m mx x 求证：方程总有两个不相等的实数根 3、3、关于x 的方程0)3()12(2=-+--a x a x4、求证：方程总有两个不相等的实数根教师提出问题，学生独立完成问题1 教师讲解，再让学生完成问题2在活动中教师应重点注重：1)提醒学生准确找c b a ,,的方法2）注意2)12(-a 的化简，不要与平方差公式搞混。

通过问题使学生进一步熟悉一元二次方程根的判别式在不同类型题中的应用。

类型三教师提出问题，引导0)12(2=++-k x k kx(1)当k 取什么值时,方程有两个不相等的实数根? (2)当k 取什么值时,方程有实数根? (3)若方程没有实数根，请确定K 的取值范围。

2、关于x 的一元二次方程 022)1(2=+++-m mx x m有两个实数根,求m 的取值范围。

3、已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边，若方程a c b x c b ax 2)(22222=++++有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状. 桌交流结果，让学生发现自己思考的漏洞。

在教学中教师应重点注重： 1）2)12(+k 的化简，2）在应用根的判别式时要提醒学生注意0≠a3）在第3题中要注意c b a ,,的取值范围。

活动3 课时训练 1.一元二次方程x 2+2x+4=0的根的情况是（） A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根2.方程x 2-3x+1=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C. 没有实数根D.只有一个实数根3.以下一元二次方程中，有实数根的是（）A 、012=+-x xB 、0322=+-x xC 、012=-+x xD 、042=+x 4.关于x 的方程k 2x 2+(2k-1)x+1=0有实数根，则以下结论准确的是 ( )A.当21=k 时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1C.当k=±1时，方程两根互为倒数D.当41≤k 时，方程有实数根通过练习巩固5.若关于x 的一元二次方程mx 2-2x+1=0有实数根，则m 的取值范围是 ( )A.m ＜1B. m ＜1且m ≠0C.m ≤1D. m ≤1且m ≠0 6.已知关于x 的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k 的取值范围是( ) A.k ≤1 B.k ≥1 C.k<1 D.k>1 7.若关于x 的方程x 2+(2k-1)x+k 2- =0有两个相等的实数根，则k= .8.关于x 的一元二次方程mx 2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根。