并行计算习题答案
并行计算期末试题及答案
并行计算期末试题及答案1. 基础概念部分并行计算是一种计算模式，它使用多个处理单元同时执行计算操作，以加快计算速度。
在现代计算机系统中，我们常常使用多核处理器、图形处理器（GPU）或者分布式系统来实现并行计算。
1.1 并行计算的优势并行计算具有以下几个优势：加速计算速度：通过同时执行多个计算任务，可以极大地提高计算效率。
解决大规模问题：并行计算可以处理大规模和复杂的问题，提供更精确的结果。
降低能耗：通过合理利用处理器资源，可以降低计算任务的能耗。
应用广泛：并行计算可以应用于各个领域，如科学计算、大数据分析、机器学习等。
1.2 并行计算的分类并行计算按照任务之间的关系可以分为两类：数据并行：将数据划分为多个子集，同时在不同的处理器上进行计算，然后将计算结果汇总。
常见的应用包括矩阵运算、图像处理等。
任务并行：将任务划分为多个子任务，每个子任务由一个独立的处理器执行，最后将各个子任务的结果合并。
常见的应用包括并行搜索算法、并行排序等。
2. 并行计算的算法设计2.1 并行算法设计要点在设计并行算法时，需要考虑以下几个要点：任务划分：将计算任务划分为多个子任务，确保各个子任务之间的计算工作均衡，并保持任务之间的独立性。
任务调度：合理安排各个处理器上的任务执行顺序和时间，最大程度地减少通信开销和等待时间。
数据通信：处理器之间需要进行数据交换和通信，应选择合适的通信方式，并考虑通信延迟和带宽等因素。
数据同步：在多个处理器之间，可能需要进行数据同步操作，确保各个处理器之间的数据一致性。
2.2 并行算法实例：并行矩阵乘法并行矩阵乘法是一个常见的数据并行算法，可以有效地利用多核处理器加速大规模矩阵运算。
具体算法如下：步骤1：将输入矩阵划分为若干个小矩阵，每个小矩阵分配给一个处理器。
步骤2：每个处理器计算相应小矩阵的部分结果。
步骤3：将各个处理器计算得到的部分结果进行求和，得到最终的矩阵乘积结果。
3. 并行计算的应用举例3.1 科学计算在科学计算领域，有大量的计算任务需要处理大规模的数据和复杂的数学模型。
中国海洋大学研究生并行计算参考答案-复习
中国海洋⼤学研究⽣并⾏计算参考答案-复习⼀、名词术语翻译1）SIMD ：Single Instruction Multiple Data, 单指令多数据流。
2）MIMD ：Multiple Instruction Multiple Data, 多指令多数据流。
3）SIMT ：Single Instruction Multiple Threads, 单指令多线程。
4）SPMD ：Single Program Multiple Data, 单程序多数据流。
5）MPMD ：Multiple Program Multiple Data, 多程序多数据流。
6）PVP ：Parallel Vector Processor, 并⾏向量处理机。
7）SMP ：Symmetric Multiprocessor, 对称多处理机。
8）MPP ：Massively Parallel Processor, ⼤规模并⾏处理机。
9）DSM ：Distributed Shared Memory, 分布式共享存储。
10）COW ：Cluster of Workstation, ⼯作站机群。
11）UMA ：Uniform Memory Access, 均匀存储访问模型。
12）NUMA ：Nonuniform Memory Access, ⾮均匀存储访问模型。
13）COMA ：Cache-Only Memory Access, 全⾼速缓存访问模型。
14）NORMA ：No-Remote Memory Access, ⾮远程存储访问模型。
15）CC-NUMA ：Coherent-Cache Nonuniform Memory Access, ⾼速缓存⼀致性⾮均匀存储访问模型。
16）CUDA ：Compute Unified Device Architecture, 统⼀计算架构。
17）GPU ：Graphics Process Unit, 图形处理器。
并行计算-习题及答案-第12章 并行程序设计基础
第十二章 并行程序设计基础习题例题：1、假定有n 个进程P(0)，P(1)，…，P(n -1)，数组元素][i a 开始时被分配给进程P(i )。
试写出求归约和]1[]1[]0[-+++n a a a 的代码段，并以8=n 示例之。
2、假定某公司在银行中有三个账户X 、Y 和Z ，它们可以由公司的任何雇员随意访问。
雇员们对银行的存、取和转帐等事务处理的代码段可描述如下：/*从账户X 支取￥100元*/atomic {if (balance[X] > 100) balance[X] = balance[X]-100； }/*从账户Y 存入￥100元*/atomic {balance[Y] = balance[Y]-100；}/*从账户X 中转￥100元到帐号Z*/atomic {if (balance[X] > 100){balance[X] = balance[X]-100；balance[Z] = balance[Z]+100；} }其中，atomic {}为子原子操作。
试解释为什么雇员们在任何时候（同时）支、取、转帐时，这些事务操作总是安全有效的。
3、考虑如下使用lock 和unlock 的并行代码：parfor (i = 0；i < n ；i++){noncritical sectionlock(S)；critical sectionunlock(S)；}假定非临界区操作取T ncs时间，临界区操作取T cs时间，加锁取t lock时间，而去锁时间可忽略。
则相应的串行程序需n( T ncs + T cs )时间。
试问：①总的并行执行时间是多少？②使用n个处理器时加速多大？③你能忽略开销吗？4、计算两整数数组之内积的串行代码如下：Sum = 0；for(i = 0；i < N；i++)Sum = Sum + A[i]*B[i]；试用①相并行；②分治并行；③流水线并行；④主-从行并行；⑤工作池并行等五种并行编程风范，写出如上计算内积的并行代码段。
并行计算-习题及答案-例题习题讲解
例题习题讲解例1 SIMD-SM上求最大值算法Beginfor k=m-1 to 0 dofor j=2k to 2k+1-1 par-doA[j]=max{A[2j], A[2j+1]}end forend forend时间分析t(n)=m×O(1)=O(logn)p(n)=n/2c(n)=O(nlogn) 非成本最优例2 令n=2k(k>=0)，求n个数和的并行算法算法运行时间：t(n)=O(logn)总运算量: W(n)=W(1)(n)+W(2)(n)+W(3)(n)=n+∑n/2h+1=O(n)由Brent定理知: t(n)=O(n/p+logn)例3 设A为矩阵，有如下串行程序段：f o r i=1t o n d of o r j=1t o n d oa[3i,2j]=a[3i-2,2j-1]e n df o re n df o r其相关方向向量为，可知行和列间同时存在数据相关。
在此我们可以试用行划分、列划分和方块划分.在行划分的情况下令m=┌n/p┐,例1的串行程序段可以转化为如下的并行程序段：f o r k=1t o P P a r-d of o r i1=1t o m d of o r j=1t o n d oa[3(k-1)m+3i1,2j]=a[3(k-1)m+3i1-2,2j-1]e n df o re n df o re n df o r例4 设A为一个n阶方阵，有如下串行程序段：f o r i=1t o n d of o r j=1t o n d oa[i,j]=a[i-1,j]e n df o re n df o r分析矩阵A的元素下标i和j，则i和j的相关方向向量为，各列之间数据无任何相关关系。
因此对矩阵A可按列划分。
串行程序段可转化为如下并行程序段：f o r k=1t o P P a r-d of o r j1=1t o m d of o r i=1t o n d oa[i,(k-1)m+j1]=a[i-1,(k-1)m+j1] e n d f o re n df o re n df o r例5注：本例无链路竞争和死锁现象例6 E立方选路0110(S)1101(D)1011(R)例7 DNS乘法示例C00=1×(-5)+2×7=9C01=1×(-6)+2×8=10C10=3×(-5)+4×7=13C11=3×(-6)+4×8=14例8 上三角方程组的回代解法并行化(1)SISD上的回代算法Begin(1)for i=n downto 1 do(1.1)x i=b i/a ii(1.2)for j=1 to i-1 dob j=b j-a ji x ia ji=0endforendforEnd(2)SIMD-CREW上的并行回代算法- 划分: p个处理器行循环带状划分- 算法Beginfor i=n downto 1 dox i=b i/a iifor all P j, where 1≤j≤p do for k=j to i-1 step p do b k=b k-a ki x ia ki=0endforendforendforEnd // p(n)=n, t(n)=n例9 n=8的BF网络表示P r,i与上层P r-1,i, P r-1,j相连, 这里j与i仅在第r位不同例10 一个在MPI中创建新通信域的例子M P I_C o m m M y W o r l d,S p l i t W o r l d;i n t m y_r a n k,g r o u p_s i z e,C o l o r,K e y;M P I_I n i t(&a r g c,&a r g v);M P I_C o m m_d u p(M P I_C O M M_W O R L D,&M y W o r l d);M P I_C o m m_r a n k(M y W o r l d,&m y_r a n k);M P I_C o m m_s i z e(M y W o r l d,&g r o u p_s i z e);C o l o r=m y_r a n k%3;K e y=m y_r a n k/3;M P I_C o m m_s p l i t(M y W o r l d,C o l o r,K e y,&S p l i t W o r l d);例11 考虑如下程序段：L1:f o r I=1t o50d o...S:X(2*I)=......T:...=...X(3*I+1)......e n df o r这里：f1(I)=2*I；g1(J)=3*J+1。
并行计算题目答案汇总
！第１题（1）什么是并行计算（2）它的优点有哪些（3）可以通过哪些结构完成并行计算1．并行计算就是在并行计算或分布式计算机等高性能计算系统上所做的超级计算。
（P3）2．计算极大地增强了人们从事科学研究的能力，大大地加速了把科技转化为生产力的过程，深刻地改变着人类认识世界和改造世界的方法和途径。
计算科学的理论和方法，作为新的研究手段和新的设计与创造技术的理论基础，正推动着当代科学与技术向纵深发展。
（P4）3．单指令多数据流SIMD、对称多处理机SMP、大规模并行处理机MPP、工作站机群COW、分布共享存储DSM多处理机。
（P22）第2题什么是网络计算它的特点它与分布式计算、集群计算的关系（P104）网络计算：在工作站机群COW环境下进行的计算称为网络计算。
特点：网络计算结合了客户机/服务器结构的健壮性、Internet面向全球的简易通用的数据访问方式和分布式对象的灵活性，提供了统一的跨平台开发环境，基于开放的和事实上的标准，把应用和数据的复杂性从桌面转移到智能化的网络和基于网络的服务器，给用户提供了对应用和信息的通用、快速的访问方式。
与分布式计算、集群计算的关系：，分布式计算是一门计算机科学，它研究如何把一个需要非常巨大的计算能力才能解决的问题分成许多小的部分，然后把这些部分分配给许多计算机进行处理，最后把这些计算结果综合起来得到最终的结果。
集群计算是使用多个计算机，如典型的个人计算机或UNIX工作站；多个存储设备；冗余互联，来组成一个对用户来说单一的高可用性的系统。
因此，网络计算与分布式计算和集群计算都是属于计算密集型，数据密集型和网络密集型应用。
第3题表征并行系统的性能指标有哪些并行系统的加速比如何定义它能否完全确定系统的性能为什么a.表征并行系统的性能指标主要有：CPU和存储器的基本性能指标，通信开销以及系统机器的成本、价格与性价比，还有系统加速比和系统可扩放性（p88页）；其中CPU和存储器的基本性能指标包括：工作负载，并行执行时间，存储器的层次结构和存储器的带宽。
分布与并行计算思考题答案整理.docx
分布式系统笫一章分布式系统概述1・一个有256个CPU的多计算机系统被组织成16X16的网格。
在最坏的情况尺-•条消息的传输延迟为多少？(以跳为单位) 假定路由是最优的.那么最长的优化(理想)路径是从网格的一・角到相对的•角，即沿着对角线的路径。
这个路径的长度是3()跳。
如果在单行或单列上的终端处理器是互联起來的，那么路径长度变成15^2・考虑一256个CPU的超立方休.在最坏的情况下，一个消息延迟是多少？(以跳为单位)对于256个CPU的超立方体，每个节点有一个二进制地址.范围从OOOOOO(M)到11111111•从一个机器到另一个的一•跳，耍改变二进制地址中的一位,因此地址从00000000变到00000001就是一跳,从00000001到0(X)00011又是另外一跳。
因此总共需耍八跳。
3・一个冬计算机系统有4096个50-MIPS的CPU,通过omega网络连接到内存。
为了使一个内存请求能在-•条指令的时间内到达内存并返回结果.转换的速度需要有影快？5O-MIPS=5纳秒.需耍【(4096的对数)=12】层开关.就有这么卷延迟•因为有来回.所以乘以2.转换速度就是5/24=0.208纳秒。
4 •一台试验文件服务器由于错误的原因.3/4的时间正常工作,1/4的时间由于故障停止工作。
为了达到99%的可用性，这一文件服务誥需耍复制多少次？设k是服务器的数则由题意知(l/4)k<0.01・这是最坏的情况.即所有的服务器都出故障的时间至名为1%的时间的情况。
这k = 4。
5 •假设有一个包含m个待编详文件的大源程序。
这个编译工作将在一个拥有！1个处理器的系统上进行.其中：n»m。
希望这种方法的速度嚴好达到单处理器的m倍。
哪些因素导致实际的速度达不到该值？答：可能由于总线容量限制从而引起总线过载，或者交换开关延时。
6・举例说明名核并行计算机的结构和性能计算方法。
(网上找的答案.参考)多核并行计算机的结构多核即在一・个单芯片上而集成两个捷至更多个处理器内核.其中每个内核都有自己的逻辑单元.控制单元.中断处理器、运算单元, -级cache.二级cache共享或独有.其部件的完整性和单核处理器内核相比完全一•致。
并行计算习题答案
对于一颗K 级二叉树（根为0级，叶为k-1级），共有N=2^k-1个节点，当推行至m-元树时（即每一个非叶节点有m 个子节点）时，试写出总节点数N 的表达式。
答：推行至M 元树时，k 级M 元树总结点数N 的表达式为：N=1+m 1+m 2+...+m （k-1）=(1-m k )*1/(1-m);试构造一个N=64的立方环网络，并将其直径和节点度与N=64的超立方比较之，你的结论是什么？答： N=64的立方环网络,为4立方环（将4维超立方每一个极点以4面体替代取得），直径d=9，节点度n=4一个在p 个处置器上运行的并行程序加速比是p-1，依照Amdahl 定律，串行分量为多少? 答： p/(1+f(p-1))=p-1, f=1/(p-1)2假定开始时P i (1《i 《n)存有数据 d i ，所谓累加求和是指用∑=i j i d 1，来代替中的原始值d i ，算法给出了在PRAM 模型上累加求和算法。
Input: di are kept in Pi, whereOutput: replaces di in processor PiBeginfor j=0 to logn-1 dofor i=2j +1 to n par-do(i) di= d i + d i-2j(ii) Pi=diend forend forEnd(1）试用n=8为例子，依照上述算法慢慢计算出累加和。
(2）分析算法的时刻复杂度。
（1） 例:A={1,3,6,8,11,13} p=6;B={2,4,5,7,10,12,14} ,q=7p =3, q =3A={1,3,6*,8,11,13*}B={2,4,5*,7,10 ,12*,14},B ’={2,4,5,6*,7,10 12,13*,14}A11={1,3} , A12={8,11} , A13={} B11={2,4,5} , B12={7,10 12} , B13={14} A11={1,3*} , A12={8,11*} , B11={2,4*,5} , B12={7,10* , 12} ,B11’={2, 3* , 4,5} , B12’={7,10 , 11* , 12} ,A111={1},A112={} A121={8},A122={}B111={2},B112={4,5} B121={7,10 },B122={12}A111={1 *} A121={8 *}B111={2 *} B121={7,10 * }B111’={1 *,2 } B121’={7, 8 *,10 }3354 21 13 33 82 40 72A1111={}, A1112={} A1211={}, A1212={} B1111={}, B1111={} B1211={7}, A1212={}（1）pat = abaababa(m = 8)WIT[1] = 0，WIT[2] = 1，w=1,j=2,s=2-1+1=2 pat[w] = a pat[s]=b WIT[3] = 2，w=1,j=3,s=3-1+1=3 pat[w] = pat[s]=aw=2,j=3,s=3-1+2=4 pat[w] = b pat[s]=a WIT[4] = 4 w=1,j=4,s=4-1+1=4 pat[w] = pat[s]=aw=2,j=4,s=4-1+2=5 pat[w] = pat[s]=bw=3,j=4,s=4-1+3=6 pat[w] = pat[s]=aw=4,j=4,s=4-1+4=7 pat[w] = a pat[s]=b为非周期串（2）pat = abaabaaab(m = 9)WIT[1] = 0，WIT[2] =1 ，w=1,j=2,s=2-1+1=2 pat[w] = a pat[s]=b WIT[3] =2 ，w=1,j=3,s=3-1+1=3 pat[w] = a=pat[s]=aw=2,j=3,s=3-1+2=4 pat[w] = b pat[s]=a WIT[4] =5 w=1,j=4,s=4-1+1=4 pat[w] = pat[s]=aw=2,j=4,s=4-1+2=5 pat[w] =b=pat[s]=bw=3,j=4,s=4-1+3=6 pat[w] =a= pat[s]=aw=4,j=4,s=4-1+4=7 pat[w] = a= pat[s]=aw=5,j=4,s=4-1+5=8 pat[w] = b pat[s]=a WIT[5] =1 w=1,j=5,s=5-1+1=5 pat[w] =a pat[s]=b 非周期串(2)p=6,q=9j=q-p+1=9-6+1=4w=wit[j]=wit[4]=4T(q+w-1)=t(9+4-1)=b<>P(4)=awit[q]= wit[9]=w=4duel=p=6(2)请画出一个16输入的双调归并网络(2)给定序列（1，2，3，4，5，6，7，8 ），请求其前缀和（（1）正向遍历B(0,1)=1, B(0,2)=2 B(0,3)=3 B(0,4)=4 B(0,5)=5 B(0,6)=6 B(0,7)=7 B(0,8)=8B(1,1)=2, B(1,2)=12, B(1,3)=30, B(1,4)=56, B(2,1)=24, B(2,1)=1680, B(3,1)=40320,C(3,1)C(2,1)C(2,2)C(1,1)C(1,2)C(1,3)C(1,4)C(0,1)C(0,2)C(0,3)C(0,4)C(0,5)C(0,6)C(0,7)C(0,8)（2）反向遍历C(0,1)=1, C(0,2)=2 C(0,3)=6 C(0,4)=24 C(0,5)=120 C(0,6)=720 C(0,7)=5040 C(0,8)=40320 说明：求和或乘积都可,那个地址是求乘积。
并行计算习题(全)
第二章 习题例题：
1.
当代并行计算机系统介绍
请尽可能访问以下有关高性能并行计算的网址： IEEE/CS ParaScope (/parascope/)，world-wide parallel computing sites High Performance Computing Lists (/homes/mcbryan/public_html/bb/2/summary.html) The Language List (http://cuiwww.unige.ch/langlist) enumerate programming languages TOP 500 (/benchmark/top500.html) World's TOP 500 most powerful computing sites (at Netlib，University of Tennessee) Myrinet () DSM bibliography (http://www.cs.ualberta.ca/~rasit/dsmbiblio.html) Berkeley Active Message page (/AM/active_messages.html) The Cray Research system page (/products/systems/) SGI/Cray Origin 2000 (/Products/hardware/servers/index.html) Cray T3E (/products/systems/crayt3e/) PetaFLOPS web site (/hpcc/) NASA HPCC Program (/hpcc/) Cray T3E (/products/systems/crayt3e/) IBM SP (/hardware/largescale/) Intel Paragon (/Services/ Consult/Paragon/paragon.html) Kai Li (/~li/) SP2 at MHPCC (/doc/SP2.general/SP2.general.html) MPI Standard site (/mpi/index.html) MIT Parallel and Distributed Operating Systems Group (/). National Center for Supercomputer Applications at UIUC (NCSA) (/) Cornell Theory Center (CTC) (/ctc.html) Argonne Natl Laboratory，Mathematics & Computer Science Div. (/) Army Research Lab (/) Lawrence Livermore National Laboratory (/comp/comp.html) Los Alamos Natl Laboratory (LANL) Advanced Computing Laboratory (/). Maui High Performance Computing Center (MHPCC) (/mhpcc.html) San Diego Supercomputer Center (/SDSCHome.html) Sandia National Laboratories (/) Massively Parallel Comp. Res. Lab. Parallel Processing in Japan (/papers/ppij.html) Cray Research (/) IBM High-Performance Computing (/) ParaSoft Corporation (/)
分布与并行计算思考题答案整理.docx
分布式系统笫一章分布式系统概述1・一个有256个CPU的多计算机系统被组织成16X16的网格。
在最坏的情况尺-•条消息的传输延迟为多少？(以跳为单位) 假定路由是最优的.那么最长的优化(理想)路径是从网格的一・角到相对的•角，即沿着对角线的路径。
这个路径的长度是3()跳。
如果在单行或单列上的终端处理器是互联起來的，那么路径长度变成15^2・考虑一256个CPU的超立方休.在最坏的情况下，一个消息延迟是多少？(以跳为单位)对于256个CPU的超立方体，每个节点有一个二进制地址.范围从OOOOOO(M)到11111111•从一个机器到另一个的一•跳，耍改变二进制地址中的一位,因此地址从00000000变到00000001就是一跳,从00000001到0(X)00011又是另外一跳。
因此总共需耍八跳。
3・一个冬计算机系统有4096个50-MIPS的CPU,通过omega网络连接到内存。
为了使一个内存请求能在-•条指令的时间内到达内存并返回结果.转换的速度需要有影快？5O-MIPS=5纳秒.需耍【(4096的对数)=12】层开关.就有这么卷延迟•因为有来回.所以乘以2.转换速度就是5/24=0.208纳秒。
4 •一台试验文件服务器由于错误的原因.3/4的时间正常工作,1/4的时间由于故障停止工作。
为了达到99%的可用性，这一文件服务誥需耍复制多少次？设k是服务器的数则由题意知(l/4)k<0.01・这是最坏的情况.即所有的服务器都出故障的时间至名为1%的时间的情况。
这k = 4。
5 •假设有一个包含m个待编详文件的大源程序。
这个编译工作将在一个拥有！1个处理器的系统上进行.其中：n»m。
希望这种方法的速度嚴好达到单处理器的m倍。
哪些因素导致实际的速度达不到该值？答：可能由于总线容量限制从而引起总线过载，或者交换开关延时。
6・举例说明名核并行计算机的结构和性能计算方法。
(网上找的答案.参考)多核并行计算机的结构多核即在一・个单芯片上而集成两个捷至更多个处理器内核.其中每个内核都有自己的逻辑单元.控制单元.中断处理器、运算单元, -级cache.二级cache共享或独有.其部件的完整性和单核处理器内核相比完全一•致。
并行计算-习题及答案-第11章 快速傅里叶变换
第十一章快速傅里叶变换习题例题：1.试计算下属序列的DFT：(a) (13,17,19,23)(b) (2,1,3,7,5,4,0,6)2.试计算下述序列的逆DFT：(a) ( 16, -0.76 + 8.66i , -6+6i, -9.25+2.66i, 0, -9.25-2.66i, -6-6i, -0.76-8.66i )(b) ( 4-i, 2+i, 2+i, -i 4-i, 2+i, 2+i, -i, )3.参照算法11.1,设计一个单处理机上时间为((nlogn)的离散傅氏逆变换算法;并以n = 8为例。
画出其逆变换蝶氏计算流图。
4.Cormen曾给了另一种形式的FFT递归算法：(a) 试分析此算法的执行过程；(b) 它和算法11.2有何区别？(c) 按此算法画出n = 8的FFT蝶氏计算流图。
算法11.7 SISD上Cormen计算FFT算法输入：a0 , a1 , ... , a n-1输出：b0 , b1 ... , b n-1Begi nif n = 1 then return aelse(1) w = e2πi/n(2) z=1(3) a[0] = (a0 , a2 , ... , a n-2)(4) a[1] = (a1 , a3 , ... , a n-1)(5) b[0] = RECURSIVEFFT(a[0])(6) b[1] = RECURSIVEFFT(a[1])(7) for k=0 to n/2 -1 do(i) b k = b[0]k + zb[1]k(ii)k + n/2 = b[0] k - zb[1] k(iii)= z·wendfor(8) return bendifend5.根据算法11.2，逐步计算 n – 8的FFT，并画出其蝶氏计算流图。
6.令 n = 8 = 2k，在蝶式网络上，按照exp(r,i) = j (0≤i≤n-1,0≤r≤k)的计算方法，试计算分布在蝶形网络中的8点FFT的系数矩阵元素w j。
并行计算第四章课后题
比较Amdahl定律，Gustafson定律，Sun-Ni定律三者之间的特点，并说明三
者之间的联系及各自的应用范围。
Amdahl定律主要思想：当我们对系统的某个部分加速时，其对系统整体性能的影响取决于该部分的重要性和加速程度。
定义了串行系统并行优化后的加速比的计算公式和理论上限
加速比定义：加速比（k）= 优化前系统耗时/优化后系统耗时= Told/Tnew
增加CPU处理器数量并不一定能起到有效的作用，提高系统内可并行化的模块比重，合理增加并行化的模块比重，合理增加并行处理器数量，才能以最小的投入，得到最大的加速比。
Amdahl定律揭示的内容:当处理器数目增加，处理器的效率就会降低
在实际应用中，很多情况下不需要在固定工作负载的情况下，使计算程序运行在不同数目的处理器上（除非学术研究）。
增多处理器时，相应的增大问题规模才有实际的意义。
研究在给定的时间内，用不同数目的处理器，能够完成多大的计算量，是并行计算中一个很实际的问题
Gustafson定律：
说明处理器数量，串行比例和加速比之间的关系。
只要有足够的并行化，那么加速比和CPU个数成正比。
Sun-Ni定理中引入了一个函数G(p)表示存储容量受限时工作负载的增加量。
该定律的加速比是由一个受到内存大小限制的问题计算时，是Amdahl和Gustafson定律的推广。
基本思想只要存储空间许可，应该尽量增大问题规模以产生更好或更精确的解，此时执行时间可能略有增加。
并行计算第三章课后题
第三章总结分析PRAM、BSP、LogP三种模型的特点及其差别.1 PRAM 模型PRAM（Parallel Random Access Machine）是一神理想的并行计算模型一台PRAM并行计算机由若干处理机和一个全局的共享存储器构成，各处理机同步地进行工作，都按读存储器、计算、写存储器的步骤循环运行在PRAM模型中，并行计算机彼理想化了，它假定并行处理机进冇的内存存取和计算都是同歩操作，而且忽略了同步的开销.2 BSP摸型BSP（Bulk Synchronous Parallel）模型的目的是建立一种并行计算机的体系结构模型，它既能作为许多高级语言的目标机器，又能被大多数的硬件结构有效的实现。
①克服了PRAM模型的缺点，仍但保留了其简单性。
②它将处理器p和路由器g分开，强调了计算任务和通信任务的分开而路由器仅仅完成点到点的消息传递，不提供组合、复制和广播等功能，这样做既掩盖具体的互连网络拓扑，又简化了通信协议；③采用障碍同步的方式，以硬件实现的全局同步是在可控的粗粒度级，从而提供了执行紧耦合同步式并行算法的有效方式，而程序员并无过分的负担；④如果能够合适的平衡计算和通信，则BSP模型在可编程性方面具有主要的优点，而直接在BSP模型上执行算法；⑤为PRAM模型所设计的算法，都可以采用在每个BSP处理器上模拟一些PRAM处理器的方法来实现。
3 LogP模型LogP模型和PRAM模型不同，它是面向分布存储和消息通信的多计算机并行模型模型的核心是L, o, g, P四个参数它们的含义是：L (Latency)，表示源点和目的点进行通信的延迟时间.0 (overhead)，处理机发送和接收每个消息的时冋开销.g (gap),处理机连续进行消息发送或接收的最小时间间隔.P (Processor〉，处理机的集合，毎个处理机带有局部的存储①LogP模型和PRAM模型不同，它是面向分布存储和消息通信的多计算机充分揭示了分布存储并行机的性能的主要瓶颈。
并行计算习题(全)
2.
根据表所给出的数据： ①分别计算 Berkeley Now、Intel Paragon 和 Cray C90 的性能/价格比； ②你能由此得出什么结论吗？ 三种机器求解某应用常微分方程时的运行一览表 机器系统 Cray C90 Intel Paragon Now +Ethernet NOW+ATM+PIO+AM 处理器数 16 256 256(RS6000) 256(RS6000) 计算时 通信时 间 （s） 间（s） 7 12 4 4 4 24 23340 8 I/O 时 总时间 间（s） （s） 16 10 4030 10 27 46 27340 21 价格 （s） 30 10 4 5
第四章 习题例题：
1.
并行算法的设计基础
试证明 Brent 定理：令 W (n)是某并行算法 A 在运行时间 T(n)内所执行的运算数量，则 A 使用 p 台处理器可在 t(n)＝O(W(n)／p+T(n))时间内执行完毕。 假定P i （1≤i≤n）开始时存有数据d i , 所谓累加求和指用 di 。 算法 PRAM-EREW上累加求和算法 输入： P i 中保存有d i , l≤ i ≤ n 输出： P i 中的内容为
第二章 习题例题：
1.
当代并行计算机系统介绍
请尽可能访问以下有关高性能并行计算的网址： IEEE/CS ParaScope (/parascope/)，world-wide parallel computing sites High Performance Computing Lists (/homes/mcbryan/public_html/bb/2/summary.html) The Language List (http://cuiwww.unige.ch/langlist) enumerate programming languages TOP 500 (/benchmark/top500.html) World's TOP 500 most powerful computing sites (at Netlib，University of Tennessee) Myrinet () DSM bibliography (http://www.cs.ualberta.ca/~rasit/dsmbiblio.html) Berkeley Active Message page (/AM/active_messages.html) The Cray Research system page (/products/systems/) SGI/Cray Origin 2000 (/Products/hardware/servers/index.html) Cray T3E (/products/systems/crayt3e/) PetaFLOPS web site (/hpcc/) NASA HPCC Program (/hpcc/) Cray T3E (/products/systems/crayt3e/) IBM SP (/hardware/largescale/) Intel Paragon (/Services/ Consult/Paragon/paragon.html) Kai Li (/~li/) SP2 at MHPCC (/doc/SP2.general/SP2.general.html) MPI Standard site (/mpi/index.html) MIT Parallel and Distributed Operating Systems Group (/). National Center for Supercomputer Applications at UIUC (NCSA) (/) Cornell Theory Center (CTC) (/ctc.html) Argonne Natl Laboratory，Mathematics & Computer Science Div. (/) Army Research Lab (/) Lawrence Livermore National Laboratory (/comp/comp.html) Los Alamos Natl Laboratory (LANL) Advanced Computing Laboratory (/). Maui High Performance Computing Center (MHPCC) (/mhpcc.html) San Diego Supercomputer Center (/SDSCHome.html) Sandia National Laboratories (/) Massively Parallel Comp. Res. Lab. Parallel Processing in Japan (/papers/ppij.html) Cray Research (/) IBM High-Performance Computing (/) ParaSoft Corporation (/)
并行处理算法与实践试卷
并行处理算法与实践试卷（答案见尾页）一、选择题1. 并行处理算法在嵌入式系统中的作用是什么？A. 提高系统响应速度B. 增加系统功耗C. 减少系统延迟D. 降低系统可靠性2. 下列哪种算法是典型的并行处理算法？A. 冒泡排序B. 快速排序C. 二分查找D. 远程过程调用3. 在并行处理系统中，哪种同步机制可以确保所有处理器同时开始执行？A. 信号量B. 互斥锁C. 条件变量D. 邮件传递4. 在并行处理中，通常使用哪种数据结构来存储多个任务的状态？A. 数组B. 链表C. 栈D. 队列5. 以下哪个因素可能限制并行处理系统的性能？A. 硬件资源有限B. 数据传输开销大C. 程序代码复杂度高D. 操作系统性能不足6. 在并行处理算法设计中，为了避免数据竞争和死锁，需要考虑哪些因素？A. 任务的执行顺序B. 资源分配策略C. 通信机制D. 错误检测与恢复7. 在选择并行处理算法时，需要考虑哪些因素？A. 算法的复杂性B. 系统的可用资源C. 问题的规模D. 所需的并行度8. 在并行处理系统中，如何有效地管理共享资源以避免冲突？A. 使用独占锁B. 使用共享锁C. 使用无锁数据结构D. 使用原子操作9. 在并行处理中，哪种算法适合处理大量数据而不会导致性能下降？A. 排序算法（如快速排序）B. 图遍历算法（如深度优先搜索）C. 字符串匹配算法（如KMP算法）D. 递归算法10. 在设计并行处理系统时，为了提高吞吐量，应该关注哪些方面？A. 处理器的数量B. 内存带宽C. I/O设备的速度D. 程序的优化程度11. 并行处理算法主要用于解决什么问题？A. 单一计算密集型任务B. 大量计算密集型任务C. 串行计算任务D. 网络传输任务12. 并行处理的基本原理是什么？A. 将任务分解成多个子任务并行执行B. 将数据分成多个部分分别处理C. 通过增加处理器数量来提高性能D. 利用网络将任务分配给多台计算机处理13. 在并行处理中，哪种算法最适合处理向量运算？A. 分布式排序算法B. 并行矩阵乘法算法C. 串行搜索算法D. 同步通信协议14. 以下哪种并行处理技术通常用于图形处理单元（GPU）？A. 数据并行性B. 管道并行性C. 计算并行性D. 存储并行性15. 在并行处理系统中，哪种锁机制可以避免死锁？A. 互斥锁B. 读写锁C. 自旋锁D. 时间片轮转16. 并行处理中的数据依赖指的是什么？A. 不同处理器上相同位置的数据需要同时访问B. 同一处理器上不同位置的数据需要同时访问C. 不同处理器上不同位置的数据需要顺序访问D. 同一处理器上相同位置的数据需要顺序访问17. 在并行处理算法设计中，哪种技术可以减少通信开销？A. 数据压缩B. 数据并行性C. 任务划分D. 并行调度18. 以下哪种算法是典型的并行分支结构？A. 顺序算法B. 算术运算C. 循环D. 选择结构19. 在并行处理实践中，如何确定合适的并行级别？A. 根据任务计算复杂度B. 根据处理器数量C. 根据内存大小D. 根据网络带宽20. 并行处理算法的优化目标是什么？A. 提高吞吐量B. 降低延迟C. 减少资源消耗D. 所有以上目标21. 并行处理算法的设计目标是什么？A. 提高单核处理器的效率B. 减少计算时间和提高吞吐量C. 增加内存带宽D. 降低能耗22. 下列哪种算法不适合并行化处理？A. 图像处理B. 数据压缩C. 关系型数据库查询D. 移动设备上的实时应用23. 在并行处理中，通常使用的编程模型有哪些？A. 主从架构B. 客户端-服务器架构C. 分布式架构D. 微服务架构24. 并行处理算法的性能通常受到哪些因素的影响？A. 硬件架构B. 操作系统C. 并行算法本身的设计D. 数据输入25. 下面哪个不是常用的并行处理硬件资源？A. GPUB. CPU核心C. FPGAD. 磁盘存储26. 并行处理算法可以分为几类？A. 数据并行B. 任务并行C. 管道并行D. 消息传递并行27. 在实现并行处理算法时，如何减少数据依赖？A. 使用无锁数据结构B. 优化数据访问模式C. 增加同步机制D. 减少任务数量28. 并行处理算法在哪些领域有广泛应用？A. 云计算B. 大数据分析C. 人工智能D. 物联网29. 以下哪种算法不是常见的并行处理算法？A. 分布式计算B. 并行排序C. 串行计算D. 并行矩阵运算30. 在并行处理中，以下哪种数据结构不适合并行化？A. 数组B. 链表C. 栈D. 队列31. 并行处理算法的设计原则不包括以下哪项？A. 可扩展性B. 可维护性C. 可重用性D. 可预测性32. 在并行处理系统中，以下哪种硬件资源通常不是必需的？A. 多核处理器B. 光纤C. 缓存D. 硬盘33. 并行处理算法的性能通常受限于以下哪个因素？A. 硬件性能B. 软件架构C. 数据量大小D. 算法复杂性34. 以下哪种方法可以提高并行处理算法的效率？A. 减少并行核心数B. 增加并行核心数C. 使用更快的处理器D. 降低数据传输速度35. 在设计并行处理算法时，以下哪个因素不需要考虑？A. 程序的可读性B. 硬件的兼容性C. 任务的并行度D. 时间的同步性36. 以下哪种情况适合使用并行处理算法？A. 计算密集型任务B. 顺序执行的任务C. 小规模数据处理D. 高延迟的系统二、问答题1. 什么是并行处理，并请简述其与传统串行处理的主要区别。
并行计算第五章课后习题
1.并行算法设计主要有哪些方法，各种方法的特点是什么？①串行程序的直接并行化：检查和开拓现有串行算法中固有的并行性，直接将其并行化。
一个显著优点是：算法的稳定性，收敛性等问题在串行算法中已有结论②从问题描述开始设计并行算法：从问题本身的描述出发，从头设计一个全新的并行算法③借用已有的算法求解新问题：借助已有的并行算法求解新问题，方法描述：找出求解问题和某个已解决问题之间的联系；改造或利用已知算法应用到求解问题上。
2.并行算法的设计过程主要分为哪几个阶段，各阶段主要完成什么工作，各阶段之间的有什么关系？设计过程分为四步：任务划分(Partitioning 划分) 、通信分析(Communication 通信) 、任务组合(Agglomeration 组合) 、处理器映射(Mapping 映射)。
各阶段的任务：划分：将计算任务分解成小任务，以尽量开拓并行执行的可能性；通信：确定小任务需要进行的通信，为组合做准备；组合：将一些小任务组合成大任务以减少通信开销；映射：将组合后的任务分配到处理器上，其目标是使总执行时间和通信开销尽量小，使处理器的利用率尽量高3.并行算法设计技术要有哪些？并说明各种技术主要的设计思想划分设计技术、分治设计技术、平衡树设计技术、倍增设计技术、流水线设计技术、破对称技术划分设计技术：划分技术的基本出发点是有效利用空闲处理器、大问题求解需要提高求解速度。
具体划分方法包括均匀划分、平方根划分、对数划分、功能划分等。
分治技术：分治技术是一种问题求解的方法学，其思想是将原来的大问题分解成若干个特性相同的子问题分而治之。
流水线技术：设计思想是将算法流程划分成p个前后衔接的任务片断，每个任务片断的输出作为下一个任务片断的输人;所有任务片断按同样的速率产生出结果。
倍增技术：又称指针跳跃技术，适用于处理以链表或树之类表示的数据结构。
每当递归调用时，要处理的数据之间的距离将逐步加倍，经过k步后就可完成距离为2*的所有数据的计算。
并行计算课后答案
并行计算课后答案第三章互连网络3.1 对于一颗K级二叉树（根为0级，叶为k-1级），共有N=2^k-1个节点，当推广至m-元树时（即每个非叶节点有m个子节点）时，试写出总节点数N 的表达式。
答：推广至M元树时，k级M元树总结点数N的表达式为：N=1+m^1+m^2+...+m^（k-1）=(1-m^k)*1/(1-m);3.2二元胖树如图3.46所示，此时所有非根节点均有2个父节点。
如果将图中的每个椭圆均视为单个节点，并且成对节点间的多条边视为一条边，则他实际上就是一个二叉树。
试问：如果不管椭圆，只把小方块视为节点，则他从叶到根形成什么样的多级互联网络？答：8输入的完全混洗三级互联网络。
3.3 四元胖树如图3.47所示，试问：每个内节点有几个子节点和几个父节点？你知道那个机器使用了此种形式的胖树？答：每个内节点有4个子节点，2个父节点。
CM-5使用了此类胖树结构。
3.4 试构造一个N=64的立方环网络，并将其直径和节点度与N=64的超立方比较之，你的结论是什么？答：A N=64的立方环网络,为4立方环（将4维超立方每个顶点以4面体替代得到），直径d=9，节点度n=4B N=64的超立方网络，为六维超立方（将一个立方体分为8个小立方，以每个小立方作为简单立方体的节点，互联成6维超立方），直径d=6，节点度n=63.5 一个N=2^k个节点的de Bruijin 网络如图3.48。
试问：该网络的直径和对剖宽度是多少？答：N=2^k个节点的de Bruijin网络直径d=k 对剖宽带w=2^(k-1)3.6 一个N=2^n个节点的洗牌交换网络如图3.49所示。
试问：此网络节点度==？网络直径==？网络对剖宽度==？答：N=2^n个节点的洗牌交换网络，网络节点度为=2 ，网络直径=n-1 ，网络对剖宽度=43.7 一个N=（k+1）2^k个节点的蝶形网络如图3.50所示。
试问：此网络节点度=？网络直径=？网络对剖宽度=？答：N=（k+1）2^k个节点的蝶形网络，网络节点度=4 ，网络直径=2*k ，网络对剖宽度=2^k3.9 对于如下列举的网络技术，用体系结构描述，速率范围，电缆长度等填充下表中的各项。
并行计算试题及答案
计算机学院研究生《并行计算》课程考试试题（2010级研究生，2011.1）1．（12分）定义图中节点u 和v 之间的距离为从u 到v 最短路径的长度。
已知一个d 维的超立方体，1）指定其中的一个源节点s ，问有多少个节点与s 的距离为i ，其中0≤i ≤d 。
证明你的结论。
2）证明如果在一个超立方体中节点u 与节点v 的距离为i ，则存在i ！条从u 到v 的长度为i 的路径。
1)有id C 个节点与s 的距离为i 。
证明：由超立方体的性质知：一个d 维的超立方体的每个节点都可由d 位二进制来表示，则与某个节点的距离为i 的节点必定在这d 位二进制中有i 位与之不同，那么随机从d 位中选择i 位就有id C 种选择方式，即与s 的距离为i 得节点就有id C 个。
2)证明：由1）所述可知：节点u 与节点v 的距离为i 则分别表示u 、v 节点的二进制位数中有i 位是不同的。
设节点u 表示为：121D .........j j i j i d D D D D D +-+，节点v 表示为：''121D .........j j i j i dD D D D D +-+，则现在就是要求得从121D .........j j i j i d D D D D D +-+变换到''121D .........j j i j i d D D D D D +-+ 的途径有多少种。
那么利用组合理论知识可知共有*(1)*(2)*...*2*1i i i --即!i 中途径。
所以存在i ！条从u 到v 的长度为i 的路径。
2．（18分）6个并行程序的执行时间，用I-VI 表示，在1-8个处理器上执行了测试。
下表表示了各程序达到的加速比。
对其中的每个程序，选出最适合描述其在16个处理器上性能的陈述。
a ） 在16个处理器上的加速比至少比8个处理器上的加速比高出40%。
b ） 由于程序中的串行程序比例很大，在16个处理器上的加速比不会比8个处理器上的加速比高出40%。
并行计算期末考试题及答案
并行计算期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 并行计算中，SMP指的是什么？A. 单处理器多线程B. 单处理器多核心C. 对称多处理器D. 非对称多处理器2. MPI（Message Passing Interface）主要用于什么？A. 数据库管理B. 网络编程C. 并行编程通信D. 操作系统内核3. 在并行计算中，以下哪个不是并行算法的设计原则？A. 可分解性B. 可并行性C. 可扩展性D. 顺序性4. 下列哪个不是并行计算的硬件结构？A. 集群B. 网格C. 多核处理器D. 单核处理器5. 以下哪个算法不是并行算法？A. 快速排序B. 归并排序C. 冒泡排序D. 桶排序二、简答题（每题10分，共30分）1. 解释什么是并行计算，并简述其主要优势。
2. 描述一下并行计算中的负载均衡问题，并举例说明如何解决。
3. 什么是数据并行和任务并行？请简要比较它们的区别。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 假设有一个需要处理的数据集大小为N，使用单核处理器处理需要T时间。
如果使用P个处理器进行并行处理，且处理器之间通信开销可以忽略不计，计算并行处理时间Tp，并讨论P对Tp的影响。
2. 给定一个并行算法，其执行时间由以下公式给出：T(P) = α +β/P，其中α是固定的启动时间，β是与问题规模相关的工作量，P 是处理器的数量。
请推导当P增加时，算法的加速比S(P)如何变化，并讨论在什么情况下算法的效率最高。
答案一、选择题1. C2. C3. D4. D5. C二、简答题1. 并行计算是指同时使用多个处理器或核心来执行计算任务，以提高计算效率和处理速度。
其主要优势包括处理大规模数据集的能力、缩短计算时间以及提高资源利用率。
2. 负载均衡问题是指在并行计算中，如何合理分配任务给各个处理器，以避免某些处理器过载而其他处理器空闲的情况。
解决这个问题的方法包括动态负载分配、任务分割等。
3. 数据并行是指将数据分割成多个小块，然后在多个处理器上同时处理这些数据块。
并行计算的参考题目
并行计算的参考题目1、讨论某一种算法的可扩放性时，一般指什么？88答：讨论某一种算法的可扩放性时，实际上是指该算法针对某一特定机器结构的可扩放性2、使用“Do in Parallel”语句时，表示的是什么含义105答：表示算法的若干步要并行执行3、并行计算机的存储访问类型有哪几种？26答：存储访问类型有：UMA（均匀存储访问）、NUMA（非均匀存储访问）、COMA（全高速缓存存储访问）、CC-NUMA（高速缓存一致性非均匀存储访问）、NORMAl（非远程存储访问）4、什么是同步？它有什么作用？如何实现？107答：同步是在时间上强使各执行进程在某一点必须相互等待。
作用：确保个处理器的正确工作顺序以及对共享可写数据的正确访问（互斥访问）。
实现方法：用软件、硬件和固件的方法实现。
5 在并行加速比的计算中，常用的三种加速比定律分别是哪三种？（P83）答：常用的三种加速比定律分别是：适用于固定计算负载的Amdahl定律，适用于可扩放问题的Gustafson定律和受限于存储器的Sun和Ni定律。
6、试比较Amdahl定律、Gustafson定律、Sun和Ni定律三种加速定律的应用场合。
83 答：Amdahl定律适用于固定计算负载的问题Gustafson定律适用于可扩放性问题Sun和Ni定律适用于受限于存储器的问题。
7.并行算法的基本设计技术有哪些？它们的基本思想是什么？139答：(1)基本技术有：划分设计技术(又分为均匀划分技术、方根划分技术、对数划分技术和功能划分技术)、分治设计技术、平衡树设计技术、倍增设计技术、流水线设计技术等。
(2)基本思想分别如下：a.划分设计技术：(P139) 将一原始问题分成若干部分，然后各部分由相应的处理器同时执行。
b.分治设计技术：(P144)将一个大二复杂的问题分解成若干特性相同的子问题分而治之。
若所得的子问题规模仍嫌过大，可反复使用分治策略，直至很容易求解诸子问题为止。
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2.1 对于一颗K 级二叉树（根为0级，叶为k-1级），共有N=2^k-1个节点，当推广至m-元树时（即每个非叶节点有m 个子节点）时，试写出总节点数N 的表达式。
答：
推广至M 元树时，k 级M 元树总结点数N 的表达式为：
N=1+m 1+m 2+...+m （k-1）=(1-m k )*1/(1-m);
2.4 试构造一个N=64的立方环网络，并将其直径和节点度与N=64的超立方比较之，你的结论是什么？
答： N=64的立方环网络,为4立方环（将4维超立方每个顶点以4面体替代得到），直径
d=9，节点度n=4
4.11 一个在p 个处理器上运行的并行程序加速比是p-1，根据Amdahl 定律，串行分量为多少?
答： p/(1+f(p-1))=p-1, f=1/(p-1)2 5.5假定开始时P i (1《i 《n)存有数据 d i ，所谓累加求和是指用
∑=i j i d 1，来代替中的原始值d i ，算法5.3给出了在PRAM 模型上累加求和算法。
Input: di are kept in Pi, where
Output: replaces di in processor Pi
Begin
for j=0 to logn-1 do
for i=2j +1 to n par-do
(i) di= d i + d i-2j
(ii) Pi=di
end for
end for
End
(1）试用n=8为例子，按照上述算法逐步计算出累加和。
(2）分析算法的时间复杂度。
6.3
7.2（1）
例:A={1,3,6,8,11,13} p=6;B={2,4,5,7,10,12,14} ,q=7
p =3, q =3
A={1,3,6*,8,11,13*}
B={2,4,5*,7,10 ,12*,14},
B ’={2,4,5,6*,7,10 12,13*,14}
A11={1,3} , A12={8,11} , A13={} B11={2,4,5} , B12={7,10 12} , B13={14} A11={1,3*} , A12={8,11*} ,
B11={2,4*,5} , B12={7,10* , 12} ,
B11’={2, 3* , 4,5} , B12’={7,10 , 11* , 12} ,
A111={1},A112={} A121={8},A122={}
B111={2},B112={4,5} B121={7,10 },B122={12}
A111={1 *} A121={8 *}
B111={2 *} B121={7,10 * } 33
54 21 13 33 82 40 72
B111’={1 *,2 } B121’={7, 8 *,10 } A1111={}, A1112={} A1211={}, A1212={}
B1111={}, B1111={} B1211={7}, A1212={}
6.7
（1）pat = abaababa(m = 8)
WIT[1] = 0，
WIT[2] = 1，w=1,j=2,s=2-1+1=2 pat[w] = a pat[s]=b
WIT[3] = 2，w=1,j=3,s=3-1+1=3 pat[w] = pat[s]=a
w=2,j=3,s=3-1+2=4 pat[w] = b pat[s]=a
WIT[4] = 4 w=1,j=4,s=4-1+1=4 pat[w] = pat[s]=a
w=2,j=4,s=4-1+2=5 pat[w] = pat[s]=b
w=3,j=4,s=4-1+3=6 pat[w] = pat[s]=a
w=4,j=4,s=4-1+4=7 pat[w] = a pat[s]=b
为非周期串
（2）pat = abaabaaab(m = 9)
WIT[1] = 0，
WIT[2] =1 ，w=1,j=2,s=2-1+1=2 pat[w] = a pat[s]=b WIT[3] =2 ，w=1,j=3,s=3-1+1=3 pat[w] = a=pat[s]=a
w=2,j=3,s=3-1+2=4 pat[w] = b pat[s]=a
WIT[4] =5 w=1,j=4,s=4-1+1=4 pat[w] = pat[s]=a
w=2,j=4,s=4-1+2=5 pat[w] =b=pat[s]=b
w=3,j=4,s=4-1+3=6 pat[w] =a= pat[s]=a
w=4,j=4,s=4-1+4=7 pat[w] = a= pat[s]=a
w=5,j=4,s=4-1+5=8 pat[w] = b pat[s]=a
WIT[5] =1 w=1,j=5,s=5-1+1=5 pat[w] =a pat[s]=b
非周期串
6.8 (2)
p=6,q=9
j=q-p+1=9-6+1=4
w=wit[j]=wit[4]=4
T(q+w-1)=t(9+4-1)=b<>P(4)=a
wit[q]= wit[9]=w=4
duel=p=6
7.5
(2)请画出一个16输入的双调归并网络
7.6
(2)给定序列（1，2，3，4，5，6，7，8 ），请求其前缀和
B(3,1)
B(2,1)B(2,2)
B(1,1)B(1,2)B(1,3)B(1,4)
B(0,1)B(0,2)B(0,3)B(0,4)B(0,5)B(0,6)B(0,7)B(0,8)
A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)
（（1）正向遍历
B(0,1)=1, B(0,2)=2 B(0,3)=3 B(0,4)=4 B(0,5)=5 B(0,6)=6 B(0,7)=7 B(0,8)=8
B(1,1)=2, B(1,2)=12, B(1,3)=30, B(1,4)=56, B(2,1)=24, B(2,1)=1680, B(3,1)=40320,
C(3,1)
C(2,1)C(2,2)
C(1,1)C(1,2)C(1,3)C(1,4)
C(0,1)C(0,2)C(0,3)C(0,4)C(0,5)C(0,6)C(0,7)C(0,8)
（2）反向遍历
C(0,1)=1, C(0,2)=2 C(0,3)=6 C(0,4)=24 C(0,5)=120 C(0,6)=720 C(0,7)=5040 C(0,8)=40320 说明：求和或乘积均可,这里是求乘积。