高二年级期末考试数学试题
西城区2023-2024学年第二学期期末高二数学试题及答案
北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第1页（共5页）北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学2024.7本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在等差数列{}n a 中，13a =，35a =，则10a =（A ）8（B ）10（C ）12（D ）14（2）设函数()sin f x x =的导函数为()g x ，则()g x 为（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数（3）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（A ）110（B ）310（C ）15（D ）35（4）在等比数列{}n a 中，若11a =，44a =，则23a a =（A ）4（B ）6（C ）2（D ）6±（5）投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X ，则方差()D X =（A ）518（B ）13（C ）53（D ）536北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第2页（共5页）（6）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =-，1053231S S =，则6a =（A ）132-（B ）164-（C ）132（D ）164（7）设函数()ln f x x =的导函数为()f x '，则（A ）(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<-（B ）(3)(3)(2)(2)f f f f ''<-<（C ）(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<-（D ）(2)(3)(2)(3)f f f f ''<-<（8）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如果()e x f x ax =-在区间(1,0)-上是单调函数，那么实数a 的取值范围为（A ）1(,][1,)e -∞+∞ （B ）1[,1]e（C ）1(,]e-∞（D ）[1,)+∞（10）在数列{}n a 中，12a =，若存在常数(0)c c ≠，使得对于任意的正整数,m n 等式m n m n a a ca +=+成立，则（A ）符合条件的数列{}n a 有无数个（B ）存在符合条件的递减数列{}n a （C ）存在符合条件的等比数列{}n a （D ）存在正整数N ，当n N >时，2024n a >北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第3页（共5页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
江苏省2024届高二上数学期末统考试题含解析
江苏省2024届高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，半焦距为c ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，若12PF F △的面积为22c ，则该双曲线的离心率为（）A.3B.2D.2．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A x 和B x ，标准差分别为A S 和B S ，则（）A .A B A B x x S S >>B.,A B A Bx x S S <>C.A B A Bx x S S ><D.,A B A Bx x S S <<3．变量x ，y 满足约束条件10,1,1,x y y x -+⎧⎪⎨⎪-⎩则65z x y =+的最小值为()A.6- B.8-C.1- D.54．函数()210x y x x+=>的值域为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞C.[2,)+∞ D.(2,)+∞5．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若3721a a =，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（）A.30B.35C.40D.456．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A.120B.84C.56D.287．设x ∈R ，则x <3是0<x <3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8．某一电子集成块有三个元件a ，b ，c 并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）A.1231 B.48125C.1625 D.161259．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-= ，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，点P 的坐标为（）A.114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,,144⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.()2,2,810．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1B.2C.3D.411．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b +＞ B.1a b -＞C.22a b ＞ D.33a b ＞12．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO ，2OO ，3OO ，4OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，16α≈o ，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A.0B.1C.2D.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023-2024学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．椭圆y 22+x 2=1的焦点坐标为（ ） A ．（﹣1，0），（1，0）B ．（0，﹣1），（0，1）C ．（−√3，0），（√3，0）D ．(0，−√3)，(0，√3) 2．抛物线y 2＝x 的准线方程是（ ）A ．x =−12B ．x =−14C ．y =−12D ．y =−143．直线3x +√3y +1=0的倾斜角为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°4．已知点P 与A （0，2），B （﹣1，0）共线，则点P 的坐标可以为（ ）A ．（1，﹣1）B ．（1，4）C ．(−12，−1)D ．（﹣2，1） 5．已知P 为椭圆C ：x 24+y 2b 2=1上的动点，A （﹣1，0），B （1，0），且|P A |+|PB |＝4，则b 2＝（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，则“CB ⊥BB 1”是“CB ⊥AB “的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点P （﹣2，3，1）到x 轴的距离为（ ）A ．2B ．3C ．√5D ．√10 8．已知双曲线C ：x 2−y 2b 2=1的左右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F ，以A 1F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点P ，Q ．若线段PF 的垂直平分线过A 2，则b 2的数值为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．910．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且∠A ＝60°，E ，F 分别为棱AB ，DC 中点．将△BCF 和△ADE 分别沿BF ，DE 折叠，若满足AC ∥平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（ ）A ．[√3，2√3）B ．[√3，2√3]C ．[2，2√3)D ．[2，2√3]二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2023-2024学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．43．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．46．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：x 2m−1+y 2=m ，则下列说法正确的有（ ）A ．若m ＞1，则C 是椭圆B ．若m ＞2，则C 是椭圆C ．若m ＜0，则C 是双曲线D ．若m ＜1，则C 是双曲线10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝pa n +q （p ，q ∈R ，n ∈N *），设{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的有（ ）A ．若p ＝﹣1，q ＝3，则a 10＝2B ．若p ＝﹣1，q ＝3，则S 10＝30C ．若p ＝2，q ＝1，则a 10＝1024D ．若p ＝2，q ＝1，则S 10＝203611．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程 ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 ．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 ． 16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：由于直线l ：x +√3y +1＝0的斜率为−√33，故它的倾斜角为5π6，故选：D ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．4解：设双曲线C 的右焦点为F '， 由双曲线的对称性可知，|BF |＝|AF '|，所以由双曲线的定义知|AF |﹣|BF |＝|AF |﹣|AF '|＝2a ＝4． 故选：D ．3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：由共面向量的充要条件可得：对于A 选项，b →=12（b →+c →）+12（b →−c →），所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面；对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面； 对于D 选项，a →+b →+c →=(a →+b →)+c →，所以三个向量共面； 故选：C ．4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：根据题意，{a n }是等比数列，设其公比为q ，若a 2a 4＝a 3，则有a 32=a 3，又由a 3＞0，则a 3＝1，又由a 4a 5＝8，则（a 3q ）（a 3q 2）＝q 3＝8，解可得q ＝2，所以a 1=a 3q 2=14． 故选：A ．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：直线l ：mx +y ﹣m ＝0过定点A （1，0），圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0化为圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，可知圆的圆心M （2，1），半径R ＝2， 因为点A （1，0）在圆M 内，如图， 由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时， 弦长最短为2√R 2−|MA|2=2√4−2=2√2． 故选：C ．6．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）解：对于A ，P 0P →=（2，0，﹣2），n →⋅P 0P →=1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A 在平面α内； 对于B ，P 0P →=（﹣3，3，1），n →⋅P 0P →=1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B 不在平面α内； 对于C ，P 0P →=（﹣4，2，2），n →⋅P 0P →=1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C 在平面α内； 对于D ，P 0P →=（1，﹣6，5），n →⋅P 0P →=1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D 在平面α内． 故选：B ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：根据题意，可知点A （﹣1，0）位于圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9的内部， 所以圆P 与圆C 内切，且圆P 在圆C 的内部，作出圆C 过切点Q 的半径CQ ，则根据两圆内切的关系，得到点P 在CQ 上， 因为QC ＝PQ +PC ＝3，且P A ＝PQ ，所以P A +PC ＝3，根据AP +PC ＝3＞AC ＝2，可知点P 轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆．故选：B ．8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35解：不妨设R 1＝3，R 2＝5，CD ＝m ，则AB ＝3m ，MB ＝R 2﹣AB ＝5﹣3m ，OM ＝R 1﹣MB ＝3m ﹣2， 所以MD ＝R 2＝OM +OC +CD ＝3m ﹣2+R 1+m ＝4m +1＝5⇒m ＝1，所以a ﹣c ＝OC ＝R 1＝3①，2a ＝AC ＝MA +OM +OC ＝R 2+3m ﹣2+R 1＝9②，联立①②解得a=92，c=32，所以椭圆离心率e=ca=13．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x2m−1+y2=m，则下列说法正确的有（）A．若m＞1，则C是椭圆B．若m＞2，则C是椭圆C．若m＜0，则C是双曲线D．若m＜1，则C是双曲线解：当m＞1时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，若m＝2，曲线为圆，故A错误；当m＞2时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，曲线为椭圆，故B正确；当m＜0时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，此时m（m﹣1）＞0，m＜0，曲线为双曲线，故C正确；当m＜1时，若m＝0，曲线C：x2m−1+y2=m化为y2﹣x2＝0，即y＝±x，曲线为两条直线，故D错误．故选：BC．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝pa n+q（p，q∈R，n∈N*），设{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的有（）A．若p＝﹣1，q＝3，则a10＝2B．若p＝﹣1，q＝3，则S10＝30C．若p＝2，q＝1，则a10＝1024D．若p＝2，q＝1，则S10＝2036解：对于选项AB，若p＝﹣1，q＝3，则a n+1+a n＝3，a n+2+a n+1＝3，两式相减可得a n+2＝a n，∴{a n}为周期2的周期数列，a1＝1，a2＝2，则a10＝a2＝2，故A正确；S10＝5（a1+a2）＝5×3＝15，故B错误；对于CD，若p＝2，q＝1，则a n+1＝2a n+1，可得a n+1+1＝2（a n+1），∵a1+1＝2，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，则a n=2n−1，∴a10=210−1=1023，故C错误；S10=2(1−210)1−2−10=2036，故D正确．故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°， E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，对于A ，由题意知△A 1AB ≌△A 1AD ，∴A 1D ＝A 1B ， 设AC ∩BD ＝O ，O 为BD 中点，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1， ∵A 1E ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1E ⊥BD ，故A 正确；对于B ，∵A 1E →=−23AA 1→+AB →+AD →，∴A 1E →⋅AA 1→=(−23AA 1→+AB →+AD →)⋅AA 1→−23AA 1→2+AB →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→=−23+12+12=13≠0，∴A 1E →与AA 1→不垂直，即A 1E →与BB 1→不垂直，∴A 1E 与平面BDD 1B 1不垂直，故B 错误； 对于C ，BD 1→=BA →+AA 1→+A 1D 1→=−AB →+AA 1→+AD →， ∴|BD 1→|2=|−AB →+AA 1→+AD →|2=(AB →)2+(AA 1→)2+(AD →)2−2AB →⋅AA 1→−2AB →⋅AD →+2AA →1⋅AD →=3−2×12−2×12+2×12=2⇒BD 1=√2，故C 正确对于D ，由A 知BD ⊥平面A 1ACC 1，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角即为直线BD 1与BD 所成角的余角， BD →=AD →−AB →，∵|BD →|=1，BD →⋅BD 1→=(AD →−AB →)⋅(−AB →+AA →1+AD →)=1 ∴|cos〈BD →，BD 1→〉|=|BD →⋅BD 1→|BD →|⋅|BD 1→||=11×√2=√22，∴直线BD 1与BD 所成角为π4，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4，故D 正确．故选：ACD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切 B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F （12，0），p ＝1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=4y 1y 2=−4，得：y 1y 2=−1=−p 2，故直线AB 过焦点F ，点T 和点F 重合，选项D 正确； 由抛物线的性质得|AF |＝x 1+12，|BF |＝x 2+12，|AB |＝x 1+x 2+1，线段AB 的中点M 到准线的距离为|AF|+|BF|2=x 1+x 2+12=|AB|2，所以以AB 为直径的圆与C 的准线相切，选项A 正确； |AB |≥2p ＝2，故选项B 正确； 设直线AB 的倾斜角为θ，则S △AOB =p 22sinθ=12sinθ≥12，选项C 错误． （或当AB 为通径时，S △AOB =p 22=12＜34，故选项C 错误）． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程： x 24+y 2=1（答案不唯一） ．解：根据题意，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点，如图：假设A 、C 在x 轴上，B 、D 在y 轴上，∠BCD ＝60°， 由菱形的性质，∠BCA ＝30°，又由菱形ABCD 的边长为2，则OB ＝1，则BC ＝2，OC =√3， 即b ＝1，c =√3，则a 2＝b 2+c 2＝4， 故该椭圆的一个方程为x 24+y 2=1．故答案为：x 24+y 2=1（答案不唯一）．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 √5 ．解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0），由抛物线的定义知d ＝|PF |，所以d ﹣|P A |＝|PF |﹣|P A |≤|AF |=√(2−1)2+(2−0)2=√5， 当点P 位于射线F A 与抛物线交点时，取最大值√5．答案为：√5．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 π3．解：作出示意图形，如下图所示，向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，结合O 1A ∥O 2C ，得∠BO 2C ＝60°， 所以△BO 2C 为等边三角形，设点A 在圆O 2所在平面内的射影为D ，连接AD 、BD ， 则AD 与O 1O 2平行且相等，且D 为O 2C 中点，∠BAD （或其补角）就是异面直线AB 与直线O 1O 2所成角， Rt △BCD 中，BD =√42−22=2√3， 在Rt △ADB 中，AD ＝O 1O 2＝2，得tan ∠BAD =BD AD =√3，所以∠BAD =π3， 即直线AB 与直线O 1O 2所成角为π3．故答案为：π3．16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 59 ． 解：a n ＝[log 2（2n +1）]，可得a 2k−1=[log 2（2k +1）]＝k ，a 2k =[log 2(2k+1+1)]=k +1， 故2k ﹣1≤n ＜2k 时，a n ＝k ，共2k ﹣2k ﹣1＝2k﹣1项，其和为k •2k ﹣1＝（k ﹣1）•2k ﹣（k ﹣2）•2k ﹣1，S 2k −1=0⋅21−(−1)⋅20+1⋅22−0⋅21+⋅⋅⋅+(k −1)⋅2k −(k −2)⋅2k−1=(k −1)⋅2k +1， 则S 63＝（6﹣1）×26+1＝321＞300，又32≤n ≤63时，a n ＝6，故S 60＝303，S 59＝297， 因此，所求正整数n 的最大值为59． 故答案为：59．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程． 解：（1）根据B （2，0），D （0，1），可得BD 的中点为E(1，12)．由A （﹣1，﹣1）、B （2，0），得k AB =0+12+1=13， 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，得k CD =k AB =13，而直线l ⊥CD ，可知直线l 的斜率为−113=−3，所以直线l 的方程为y −12=−3(x −1)，整理得6x +2y ﹣7＝0． （2）设C （m ，n ），根据A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）， 可得BC →=(m −2，n)，AD →=(1，2)，结合BC →=AD →，得{m −2=1n =2，，m ＝3，n ＝2，即C （3，2），根据k BD =1−00−2=−12，k BC =2−03−2=2，得k BD •k BC ＝﹣1，即BC ⊥BD ， 所以点C 到BD 的距离为BC =√(3−2)2+(2−0)2=√5，因此，以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）因为4S n ＝（2n +1）a n +1． 令n ＝1得a 1＝1， 因为4S n ＝（2n +1）a n +1，所以4S n ﹣1＝（2n ﹣1）a n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得4a n ＝（2n +1）a n ﹣（2n ﹣1）a n ﹣1（n ≥2），即（2n ﹣3）a n ＝（2n ﹣1）a n ﹣1． 所以a n a n−1=2n−12n−3（n ≥2）， 所以a 2a 1⋅a 3a 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n a n−1=31⋅53⋅⋅⋅2n−12n−3，即a na 1=2n −1， 所以当n ≥2时，a n ＝2n ﹣1， 又a 1＝1，所以a n ＝2n ﹣1． （2）由（1）可得b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n =12[(11−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．解：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵∠BAC ＝90°，∴AB ，AC ，AA 1两两垂直， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB ＝AC ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0）， 设AA 1＝a （a ＞0），则A 1（0，0，a ），B 1（2，0，a ），C 1（0，2，a ）， 设AF ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），则E （2﹣λ，0，0），F （0，λ，0）， ∴B 1F →=(−2，λ，−a)，C 1E →=(2−λ，−2，−a)，∵B 1F ⊥C 1E ，∴B 1F →⋅C 1E →=0，即2λ﹣4﹣2λ+a 2＝0，解得：a ＝2， 即该直三棱柱的高为2；（2）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，有AA 1⊥平面AEF ， 又∠BAC ＝90°，由（1）知AA 1＝2，AE ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），∴V A 1−AEF =13S △AEF ⋅AA 1=13λ⋅(2−λ)≤13，当且仅当λ＝1时取“＝”，即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大， 此时E （1，0，0），F （0，1，0），A 1（0，0，2）， ∴A 1E →=(1，0，−2)，A 1F →=(0，1，−2)，设平面A 1EF 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)， 则{A 1E →⋅n 1→=0A 1F →⋅m 1→=0，即{x −2z =0y −2z =0，取z ＝1，则n 1→=(2，2，1)， 又平面ACC 1A 1的一个法向量为n 2→=(1，0，0)，所以|cos〈n 1→，n 2→〉|=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=23×1=23， 因为平面A 1EF 与平面ACC 1A 1的夹角θ为锐角，所以cosθ=23．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．解：（1）由题意2c =4√3，所以c =2√3=√a 2−b 2，又因为a ＝2b ，所以a ＝4，b ＝2， 所以C 的标准方程为x 216+y 24=1．（2）设直线l ：y =12x +m （m ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3）．将y =12x +m 代入C ：x 216+y 24=1中，化简整理得x 2+2mx +2m 2﹣8＝0，于是有{Δ=32−4m 2＞0，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−8，所以|AB|=√1+(12)2|x 1−x 2|=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√(−2m)2−4(2m 2−8)=√5√8−m 2， 因为点O 关于l 的对称点为P ，所以{y 3−0x 3−0=−2，y 3+02=12⋅x 3+02+m ，解得{x 3=−45my 3=85m，即P(−45m ，85m)， 因为P 在C 上，所以(−45m)216+(85m)24=1，解得m 2=2517． 又因为点O 到直线l 的距离d =|m|√1+(12)=2√5， 所以由对称性得S 四边形OAPB =2S △OAB =|AB|⋅d =√5√8−m 2⋅√5=2|m|√8−m 2=25√17×√8−2517=1017√111．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．解：（1）将n ＝2，3代入a n +1＝a n +1+cos n π，得a 2＝1，a 3＝3， 令n ＝2k ，2k ﹣1，得a 2k +1＝a 2k +2，a 2k ＝a 2k ﹣1，所以a 2k +1＝a 2k ﹣1+2，又a 1＝1，从而a 2k ﹣1＝1+2（k ﹣1）＝2k ﹣1， 所以a 2k ＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，从而a n ={n ，n 为奇数，n −1，n 为偶数.；（2）：由b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，又b 2＝2，b 2k +2＝3b 2k ， 所以{b 2k }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以b 2k =2⋅3k−1，所以b n ={n ，n =2k −1(k ∈N ∗)，2⋅3n2−1，n =2k(k ∈N ∗)， 因为S 2m ＝2S 2m ﹣1，所以b 2m ＝S 2m ﹣1．因为S 2m ﹣1＝b 1+b 2+•+b 2m ﹣1＝（b 1+b 3+•+b 2m ﹣1）+（b 2+b 4+•+b 2m ﹣2） =m(1+2m−1)2+2(3m−1−1)3−1=3m−1+m 2−1，所以2•3m ﹣1＝3m ﹣1+m 2﹣1，即3m ﹣1＝m 2﹣1当m ＝1时，3m ﹣1＝m 2﹣1无解；当m ＞1时，因为(m+1)2−13m−m 2−13m−1=−2m 2+2m+33m＜0，所以当且仅当m ＝2时，m 2−13m−1取最大值1，即3m ﹣1＝m 2﹣1的解为m ＝2．综上所述，满足题意的m 的值为2．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．解：（1）因为F （2，0），所以a 2+（a 2+2）＝4，所以a 2＝1， 所以圆O 的半径r ＝1，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k （x ﹣2）（k ≠0），当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d ＝r ，即√1+k 2=1，解得k =±√33，由{y =k(x −2)，x 2−y 23=0，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2＝0，即2x 2+x ﹣1＝0，解得x D ＝﹣1，x E =12， 所以|DE|=√1+k 2|x D −x E |=√3．（2）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{y =k(x −2)，x 2−y 23=1，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2+3＝0， 此时k ≠0，Δ＞0，x 1x 2=4k 2+3k 2−3＜0，解得0＜k 2＜3，且{x 1+x 2=4k 2k 2−3=4+12k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3=4+15k 2−3，所以x 1x 2=54(x 1+x 2)−1， 因为A 1（﹣1，0），A 2（1，0），所以A 1Q ：y =y 2x 2+1(x +1)，A 2P ：y =y1x 1−1(x −1)，联立A 1Q ，A 2P 方程，消去y 得x+1x−1=(x 2+1)y 1(x 1−1)y 2=k(x 2+1)(x 1−2)k(x 1−1)(x 2−2)=x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2．所以x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2=54(x 1+x 2)−1+x 1−2x 2−254(x 1+x 2)−1−x 2−2x 1+2=94x 1−34x 2−3−34x 1+14x 2+1=−3，即x+1x−1=−3，所以x =12．将x=12代入A2P方程，得y=−y12(x1−1)，即S(12，−y12(x1−1))．因为x1＜﹣1，所以(−y12(x1−1))2=3(x12−1)4(x1−1)2=3(x1+1)4(x1−1)=34[1+2x1−1]∈(0，34)，所以(12)2+(−y12(x1−1))2＜1，即直线A1Q，A2P的交点S在圆O内．。
2024北京海淀高二(下)期末数学
2024北京海淀高二（下）期末数 学本试卷共6页，共两部分。
19道题，共100分。
考试时长90分钟。
试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 5(1)x −的展开式中，所有二项式的系数和为A.0B.52C. 1D.622. 已知函数sin (),cos xf x x=则(0)f '的值为A.0B.1C.1−D.π3. 若等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =−，则公比q =A.12B.12−C.2D.2−4. 下列函数中，在区间[]1,0−上的平均变化率最大的时A.2y x = B.3y x = C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 2x y =5. 将分别写有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为A.9B.12C.18D. 246. 小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次的2分，没投中得0分，总得分为X ，则A.() 2.4E X =B. () 4.8E X =C. ()0.48D X =D. ()0.96D X =7. 已知一批产品中，A 项指标合格的比例为80%，B 项指标合格的比例为90%，A 、B 两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A 项指标合格，则该产品的B 项指标也合格的概率是A.37B.23 C .34D .568. 已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若10a <、则“n S 有最大值”是“公差0d <”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9. 设函数()()ln 1sin f x x a x =−+.若()()0f x f ≤在()1,1−上恒成立，则 A.0a = B.1a ≥C.01a <≤D.1a =10. 在经济学中，将产品销量为x 件时的总收益称为收益函数，记为()R x ，相应地把()R x '称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数()1000R x x '=− (注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论: ①当销量为1000件时，总收益最大;②若销量为800件时，总收益为T ，则当销量增加400件时，总收益仍为T ; ③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500. 其中正确结论的个数为 A.0 B.1C.2D.3第二部分（非选择题 共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2023-2024学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．直线3x﹣4y+1＝0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）A．12B．1C．2D．33．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（4，﹣2，8）到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于（）A．14B．12C．2D．44．在(2x+1x)3的展开式中，x的系数为（）A．3B．6C．9D．12 5．正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（）A．√63B．√36C．√24D．√336．已知直线a，b和平面α，其中a⊄α，b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设A，B为双曲线E：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，M为双曲线E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是（）A．y＝x B．y＝2x C．y=√2x D．y=√3x8．在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A．12种B．24种C．32种D．36种9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内（含边界）的一个动点．且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为（）A．5B．2√5C．4√2D．√1310．在直角坐标系xOy 内，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1，若直线l ：x +y +m ＝0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[−√2，√2]B ．[−4−√2，−4+√2]C ．[−2−√2，−2+√2]D ．[−2+√2，2+√2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．过点A （2，﹣3）且与直线x +y +3＝0平行的直线方程为 ． 12．在（2x +1）4的展开式中，所有项的系数和等于 ．（用数字作答）13．两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于 ．14．若方程x 2m+2+y 24−m =1表示的曲线为双曲线，则实数m 的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱BB 1的中点，F 为棱CC 1（含端点）上的一个动点．给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得B 1F ∥平面A 1ED ； ②不存在符合条件的点F ，使得BF ⊥DE ； ③异面直线A 1D 与EC 1所成角的余弦值为√55； ④三棱锥F ﹣A 1DE 的体积的取值范围是[23，2]．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BC＝3，AB＝AA1＝4．（1）证明：直线AB1⊥平面A1BC；（2）求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值．18．（15分）已知⊙C经过点A（1，3）和B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．（1）求⊙C的方程；（2）设动直线l与⊙C相切于点M，点N（8，0）．若点P在直线l上，且|PM|＝|PN|，求动点P的轨迹方程．19．（15分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为(√5，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12．设圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．（1）求椭圆C的离心率；（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面P AB，AB∥DC，E为棱PB的中点，平面DCE与棱P A相交于点F，且P A＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB＝BD；条件②：P A⊥BC．（1）求证：AB∥EF；（2）求点P到平面DCEF的距离；（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值．21．（15分）设椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
2023-2024学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系O−xyz 中，点(1,1,2)到坐标原点O 的距离为( )A.2B.3C.6D.112.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为( )A. 4 B. 5C. 9D. 203.椭圆x 29+y 24=1的长轴长是( )A. 2B. 3C. 4D. 64.已知在10件产品中有2件次品，现从这10件产品中任取3件，用X 表示取得次品的件数，则P(X =1)=( )A. C 12C 310B. C 12C 28C 310C. C 23C 18C 310D. C 12C 13C 3105.圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x−3)2+y 2=9的位置关系是( )A. 外切B. 内含C. 相交D. 外离6.已知m =(1,2,4)，n =(2,1,x)分别为直线a ，b 的一个方向向量，且a ⊥b ，则x =( )A. 1B. −1C. 2D. −27.设小明乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4.汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.7，0.9，则小明正点到达目的地的概率为( )A. 0.78B. 0.82C. 0.87D. 0.498.已知点P(3,4)，A ，B 是圆C ：x 2+y 2=4上的两个动点，且满足|AB|=2，M 为线段AB 的中点，则|PM|的最大值为( )A. 5−3B. 5+3C. 3D. 7二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某服装公司对1−5月份的服装销量进行了统计，结果如下： 月份编号x12345销量y(万件)5096142185227若y 与x 线性相关，其线性回归方程为y =bx +7.1，则下列说法正确的是( )A. 线性回归方程必过(3,140)B. b=44.3C. 相关系数r<0D. 6月份的服装销量一定为272.9万件10.某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X～N(3.5,0.25)，则下列结论正确的是( )A. 该正态分布的均值为3.5B. P(X>3.5)=12C. P(4<X≤4.5)≥12D. P(X>4.5)=P(X≤3)11.已知双曲线M：x24−y29=1，则下列说法正确的是( )A. M的离心率e=132B. M的渐近线方程为3x±2y=0C. M的焦距为6D. M的焦点到渐近线的距离为312.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点，则下列选项正确的是( )A. 直线FC1与直线AE平行B. 直线FC1与底面ABCD所成的角为30°C. 直线FC1与直线AE的距离为2305D. 直线FC1到平面AB1E的距离为23三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题(解析版)
高二年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 计算012456C C C ++=（ ）A. 20B. 21C. 35D. 36【答案】B 【解析】【分析】利用组合数计算公式计算可得结果.【详解】由组合数计算公式可得01245665C C C 152112×++=++=×. 故选：B2. 已知样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，则131x +，231x +，…，31n x +的平均数为（ ） A. 6 B. 7C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据平均数的性质即可得12,,,n x x x …的平均数为2，则可得到新的一组数据的平均数. 【详解】由题意，样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，设12,,,n x x x …的平均数为x ， 即215+=x ，解得2x =，根据平均数性质知131x +，231x +，…，31n x +的平均数为317x +=. 故选：B3. 下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（ ） 得分 7 8 9 10 11 13 14 频数 4246242A. 13.5B. 10.5C. 12D. 13【答案】D 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为00248019.2×=，24个班级的得分按照从小到大排序， 可得80百分位数是第20个数为13. 故选：D4. 已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若a b ∥，b α⊂，则//a α B. 若//a α，b α⊂，则//a b C. //αγ，//βγ，则//αβ D. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题. 【详解】若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，则A 错； 若//a α，b α⊂，则//a b 或a 与b 异面，则B 错；//αγ，//βγ，由平行的传递性可知，//αβ，则C 对；若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或相交.，D 错， 故选：C.5. 已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定,,,M A B C 四点共面的是（ ）的.A. OM OA OB OC =++B. 3OM OA OB BC =−−C. 1123OM OA OB OC =++D. 32OM OA OB BC =−−【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论.【详解】由空间向量基本定理可知，若,,,M A B C 四点共面，则需满足存在实数,,x y z 使得OM xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=， 显然选项A ，C 不成立；对于选项B ，由3OM OA OB BC =−−可得()33OM OA OB OC OB OA OC =−−−=− ，不合题意，即B 错误；对于D ，化简32OM OA OB BC =−−可得()323OM OA OB OC OB OA OB OC =−−−=−− ，满足()()3111+−+−=，可得D 正确； 故选：D6. 已知随机事件A ，B ，3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =，则(|)P A B =（ ） A.15B.16 C.320D.110【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得()P AB ，再由条件概率公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =， 则()()131(|)31010P B A P A P AB ×=×==， 则()()1110(|)152P AB P A BP B ===. 故选：A7. 已知9290129(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则682424682222a a a a +++的值为（ ）A. 255B. 256C. 511D. 512【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令0x =求出0=1a ，分别令12x =、12x =−，再两式相加可得8202825622a a a +++=，再减去0a 即可. 【详解】令0x =，得0=1a ， 令12x =，得93891202389251222222a a a a a a ++++++== ， 令12x =−，得38912023********a a a a a a −+−++−= ， 两式相加得82028251222a a a+++=， 得8202825622a a a +++= ， 则682424682552222a a a a +++=. 故选：A.8. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%，乙车间占35%，丙车间占45%．已知这3个车间的次品率依次为5%，4%，2%，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次 ） A.331000B.1033C.1433D.311【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即可求解. 【详解】记事件A 表示甲车间生产的产品， 记事件B 表示乙车间生产的产品， 记事件C 表示丙车间生产的产品， 记事件D 表示抽取到次品，则()()()0.2,0.35,0.45P A P B P C ===, ()()()0.05,0.04,0.02P D A P D B P D C ===，取到次品的概率为()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.20.050.350.040.450.020.033=×+×+×=，若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：()()()()()()0.350.040.014140.0330.03333P B P D B P BD P B D P D P D ×=====.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列选项中叙述正确有（ ）A. 在施肥量不过量的情况下，施肥量与粮食产量之间具有正相关关系B. 在公式1xy=中，变量y 与x 之间不具有相关关系C. 相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度D. 某小区所有家庭年收入x （万元）与年支出y （万元）具有相关关系，其线性回归方程为ˆˆ0.8ybx =+．若20x =，16y =，则ˆ0.76b =． 【答案】ACD 【解析】【分析】AB 的正误，根据相关系数的性质可判断C 的正误，根据回归方程的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ，在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高， 故两者之间具有正相关关系，故A 正确.对于B ，变量y 与x 之间函数关系，不是相关关系，故B 错误. 对于C ，因为210.80.6r r =>=，故相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度，故C 正确.对于D ，因为回归直线过(),x y ，故ˆ16200.8b=×+，故ˆ0.76b =，故D 正确. 故选：ACD.10. 已知点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ，(1,4,0)C ，平面α经过线段AB 的中点D ，且与直线AB 垂直，下列选项中叙述正确的有（ ） A. 线段AB 的长为36的是B. 点(1,2,1)P −在平面α内C. 线段AB 的中点D 的坐标为(0,4,1)−D. 直线CD 与平面α【答案】BCD 【解析】【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段AB 的长，判断A ；由AB ⊥平面α，垂足为点D ，PD AB ⊥，即可判断B ；由中点坐标公式可得点D 的坐标，判断C ；设直线CD 与平面α所成的角为β，sin cos ,AB CD AB CD AB CDβ⋅==，通过坐标运算可得，判断D.【详解】因为点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ， 所以6AB =,故A 错误；设D 点的坐标为(),,x y z ，因为D 为线段AB 的中点，所以2235310,4,1222x y z −++−+======−， 则D 的坐标为(0,4,1)−，故C 正确；因为点(1,2,1)P −，则()1,2,0PD =− ，又()4,2,4AB =，则()()1,2,04,2,40PD AB ⋅=−⋅=，所以PD AB ⊥，即PD AB ⊥， 又AB ⊥平面α，垂足为点D ，即D ∈平面α，所以PD ⊂平面α，故B 正确；由(1,4,0)C ，(0,4,1)D −，得()1,0,1CD =−−，设直线CD 与平面α所成的角为β，则sin cos ,ABβ= ，故D 正确.故选：BCD.11. 甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为()E X 、()E Y ，方差为()D X 、()D Y ，则下列结论正确的是（ ）A. ()()5E X E Y +=B. ()()E X E Y <C. ()()D X D Y <D. ()()D X D Y =【答案】ABD 【解析】【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，利用期望值和方差性质可得A ，D 正确，C 错误；易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，写出对应的概率并得出分布列，可得() 2.4E X =，()()5 2.6E Y E X =−=，可得B 正确.【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为,X Y ， 不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，对于A ，由期望值性质可得()()()55E X E Y E Y =−=−，即()()5E X E Y +=，所以A 正确； 对于B ，易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4； 当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得()()22222255C C 105C C 100P X P Y ====×=， 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得()()1111223232222555C C C C C 12314C C C 10025P X P Y ====+×==；当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得()()1111222223233322222222555555C C C C C C C C 422123C C C C C C 10050P X P Y ====×+×+×==； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得()()21111232323322225555C C C C C C 36932C C C C 10025P X P Y ====×+×==；当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得()()22332255C C 941C C 100P X P Y ====×=，随机变量X 的分布列为所以期望值()132******** 2.4100255025100E X =×+×+×+×+×=， 可得()()5 2.6E Y E X =−=，即()()E X E Y <，可得B 正确； 对于C ，D ，由方差性质可得()()()()()251D Y D X D X D X =−=−=，即可得()()D X D Y =，所以C 错误，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足5X Y +=，利用期望值和方差性质可判断出AD 选项，再求出随机变量X 的分布列可得结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量X 服从正态分布()295,N σ，若(80)0.3P X <=，则(95110)P X ≤<=______． 【答案】0.2##15【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可. 【详解】因为随机变量X 服从正态分布()295,N σ，(80)0.3P X <=， 所以(95110)(8095)0.5(80)0.2P X P X P X ≤<=<<=−<=, 故答案为：0.213. 如图，用四种不同颜色给图中的,,,,A B C D E 五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种．【答案】72 【解析】【分析】由图形可知点E 比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点E 开始涂色计算可得结果.【详解】根据题意按照,,,,A B C D E 的顺序分5步进行涂色，第一步，点E 的涂色有14C 种，第二步，点A 的颜色与E 不同，其涂色有13C 种， 第三步，点B 的颜色与,A E 都不同，其涂色有12C 种，第四步，对点C 涂色，当,A C 同色时，点C 有1种选择；当,A C 不同色时，点C 有1种选择； 第五步，对点D 涂色，当,A C 同色时，点D 有2种选择；当,A C 不同色时，点D 有1种选择；根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有()111432C C C 121172×+×=种. 故答案为：7214. 如图，已知三棱锥−P ABC 的底面是边长为2的等边三角形，60APB ∠=°，D 为AB 中点，PA CD ⊥，则三棱锥−P ABC 的外接球表面积为______．【答案】20π3##20π3【解析】【分析】设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接OE ， ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ，可证四边形OGDE 为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积.【详解】因为ABC 为等边三角形，D 为AB 中点，故CD AB ⊥， 而PA CD ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB . 设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接,OE BE ， 设ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ， 则OE ⊥平面PAB ，OG CD ⊥故//OE CD ，故,,,O G D E 共面，而DE ⊂平面PAB ， 故CD DE ⊥，故四边形OGDE 为矩形.又12sinABBEAPB=×∠13OE DG CD===，故外接球半径为OB=，故外接球的表面积为1520π4π93×=，故答案为：20π3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15.在()*23,Nnx n n≥∈的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）证明展开式中不存在常数项；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）证明见解析；（2）7128x，4672x，280x，214x.【解析】【分析】（1）根据题意可求得7n=，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；（2）由二项展开式的通项令x的指数为整数即可解得合适的k值，求出所有的有理项.【小问1详解】易知第2，3，4项的二项式系数依次为123C,C,Cn n n，可得132C+C2Cn n n=，即()()()121262n n n n nn−−−+=×，整理得()()270n n−−=，解得7n=或2n=（舍）；所以二项式为72x，假设第1k+项为常数项，其中Nk∈，即可得()1777277C 22C kk k kkk k x x −−−−=为常数项，所以1702k k −−=， 解得14N 3k =∉，不合题意； 即假设不成立，所以展开式中不存在常数项； 【小问2详解】由（1）可知，二项展开式的通项()1777277C22C kk k kk k k x x−−−−=可得， 其中的有理项需满足17Z 2k k −−∈，即37Z 2k −∈，且7k ≤；当30,77Z 2k k =−=∈，此时有理项为707772C 128x x =； 当32,74Z 2k k =−=∈，此时有理项为524472C 672x x =； 当34,71Z 2k k =−=∈，此时有理项为3472C 280x x =； 当36,72Z 2k k =−=−∈，此时有理项为16272142C x x−=； 综上可知，展开式中所有的有理项为7128x ，4672x ，280x ，214x . 16. 某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到A ，B 两个班级招募新社员． （1）求到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；（2）设到A ，B 两班招募新社员的男生人数分别为a ，b ，记X a b =−，求X 的分布列和方差． 【答案】（1）35（2）85【解析】【分析】（1）由古典概型的概率求解122436C C 3C 5P ==； （2）由题意，X 的可能取值为2,0,2−，算出对应概率()2P X =−，()0P X =，()2P X =，即可列出X 的分布列，再求出()E X ，进而由公式求出方差．【小问1详解】到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为122436C C 3C 5P ==. 【小问2详解】由题意，X 的可能取值为2,0,2−，则()032436C C 12C 5P X =−==，()122436C C 30C 5P X ===，()212436C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为则()1312020555E X =−×+×+×=， 所以()()()()22213182000205555D X =−−×+−×+−×=. 17. 如图，正三棱柱111ABC A B C 中，D 为AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）当1AA AB的值为多少时，1AB ⊥平面1ACD ?请给出证明． 【答案】（1）证明见答案. （2 【解析】【分析】（1）连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ，能证出1//BC DO ，则能证出1BC ∥平面1ACD.（2）先把1AB ⊥平面1ACD 当做条件，得出11AB A D ⊥，得出1AA AB的值，过程要正面分析. 【小问1详解】连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ， 因为O 是1AC 的中点，D 为AB 的中点， 所以DO 是1ABC 的中位线，即1//BC DO ,1BC ⊄平面1ACD ，DO ⊂平面1ACD ， 所以1BC ∥平面1ACD . 【小问2详解】1AA AB =时，1AB ⊥平面1ACD ，证明如下：因为1AA AB =，11tan A AB ∴∠，111tan AA DA B AD ∠= 1111A AB DA B ∴∠=∠，1112DA B AA D π∠+∠= ，1112A AB AA D π∴∠+∠=，即11AB A D ⊥.因为三棱柱111ABC A B C 为正三棱柱，ABC ∴ 为正三角形，且1AA ⊥平面ABC ，1,CD AB CD AA ∴⊥⊥，1AB AA A ∩=，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，CD 平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1AB CD ⊥，1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1ACD ， 1AB ∴⊥平面1ACD .1AA AB∴18. 会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下：年龄段满意度合计满意不满意 不高于40岁 50 20 70 高于40岁 25 5 30 合计7525100（1）问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关；（2）用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++（其中n a b c d =+++）．参考数据：()20P x χ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010x2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. （2）分布列见解析；94. 【解析】【分析】（1）首先根据列联表中的数据结合公式计算2χ值，然后对照表格得到结论；（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为34，且33,4X B∼，根据二项分布公式即可求解． 【小问1详解】 由列联表可知：2217100(5052520)100.587255 2.072730630χ××−×<××==≈， 所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. 【小问2详解】由表格可知，对服务满意人的概率为34，且33,4X B∼， 则0,1,2,3X =，可得：()303110C 464P X ===，()2133191C 4464P X === ， ()22331272C 4464P X ===，()3333273C 464P X === ， 故X 的分布列如图：可得()39344EX =×=. 19. 如图，在三棱台ABC DEF −中，2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B −−的大小为θ．（1）求证：AC BN ⊥； （2）若π2θ=，求三棱台ABC DEF −的体积； （3）若A 到平面BCFE cos θ的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）78（3）3cos 5θ=−的【解析】【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BMN ，可证明结论； （2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；（3）建立空间坐标系，求出平面BCFE 的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出cos θ的值. 【小问1详解】取AC 的中点为M ，连接,NM BM ；如下图所示：易知平面//ABC 平面DEF ，且平面ABC ∩平面DACF AC =，平面DEF ∩平面DACF DF =； 所以//AC DF ，又因为1AD FC ==， 可得四边形DACF 为等腰梯形，且,M N 分别为,AC DF 的中点，所以MN AC ⊥， 因为2AB BC AC ===，所以BM AC ⊥， 易知BM MN M = ，且,BM MN ⊂平面BMN ， 所以AC ⊥平面BMN ，又BN ⊂平面BMN ，所以AC BN ⊥； 【小问2详解】由二面角定义可得，二面角D AC B −−的平面角即为BMN ∠， 当π2θ=时，即π2BMN ∠=，因此可得MN ⊥平面ABC ，可知MN 即为三棱台的高，由1,2ADDF FC AC ====可得MN =；易知三棱台的上、下底面面积分别为DEFABC S S =因此三棱台ABC DEF −的体积为1738V =【小问3详解】由（1）知，BM AC ⊥，MN AC ⊥，二面角D AC B −−的平面角即为()0,πBMN θ∠=∈； 以M 为坐标原点，分别以,MA MB 所在直线为,x y 轴，过点M 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：可得()()()()1,0,0,1,0,0,,,0,0,0A C B N M θθ −，易知11,0,022NF MC==−，可得12F θθ − ；则()1,cos 2CBCF θθ =设平面BCFE 的一个法向量为(),,n x y z =，所以01cos sin 02n CB x n CF x y z θθ ⋅==⋅=++=， 令1y =，则1cos sin x z θθ−=，可得1cos sin n θθ−=； 显然()2,0,0AC =− ，由A 到平面BCFE，可得AC n n ⋅==，可得21cos 4sin θθ− =；整理得25cos 2cos 30θθ−−=，解得3cos 5θ=−或cos 1θ=； 又()0,πθ∈，可得3cos 5θ=−.【点睛】方法点睛：求解点到平面距离常用方法：（1）等体积法：通过转换顶点，利用体积相等可得点到面的距离；（2）向量法：求出平面的法向量，并利用点到平面距离的向量求法公式计算可得结果；。
山西省运城市20232024学年高二下学期期末考试数学含答案(可编辑)
运城市２０２３－２０２４学年第二学期期末调研测试高二数学试题２０２４ ７本试题满分１５０分，考试时间１２０分钟。
答案一律写在答题卡上。
注意事项：１ 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
２ 答题时使用０ ５毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
３ 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
４ 保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．１．设全集Ｕ＝Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ│ｙ＝２槡－ｘ｝，Ｂ＝｛ｙ│ｙ＝２ｘ，ｘ∈Ａ｝，则Ａ∩Ｂ＝Ａ．（－∞，２］Ｂ．［２，＋∞）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，４］２．函数ｆ（ｘ）＝│ｘ│（ｘ－１）的单调递减区间是Ａ．（－∞，０）Ｂ．（０，１２）Ｃ．（１２，１）Ｄ．（１，＋∞）３．函数ｙ＝ｓｉｎｘｅｘ＋ｅ－ｘ（ｘ∈［－２，２］）的图象大致为４．已知ｐ：３ｘ＋２＞１，ｑ：－２≤ｘ＜１，则ｐ是ｑ的（ ）条件．Ａ．充分不必要Ｂ．必要不充分Ｃ．充要Ｄ．既不充分也不必要５．已知函数ｆ（ｘ）＝（１３）ｘ，ｘ＞１１ｘ，０＜ｘ＜{１，则ｆ（ｆ（ｌｏｇ槡３２））＝Ａ．１４Ｂ．４Ｃ．１２Ｄ．２６．若（ｘ＋ｍｘ）（ｘ－１ｘ）５的展开式中常数项是２０，则ｍ＝Ａ．－２Ｂ．－３Ｃ．２Ｄ．３７．根据气象灾害风险提示，５月１２日～１４日某市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和地质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至３６处．已知有包括甲乙在内的５个排水施工队前往３个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同一个易涝路口，则不同的安排方法有Ａ．８６Ｂ．１００Ｃ．１１４Ｄ．１３６８．已知函数ｆ（ｘ）＝│ｌｎｘ│，ｘ＞０－ｘ２－４ｘ＋１，ｘ≤{０若关于ｘ的方程［ｆ（ｘ）］２－２ａｆ（ｘ）＋ａ２－１＝０有ｋ（ｋ∈Ｎ）个不等的实根ｘ１，ｘ２，…ｘｋ，且ｘ１＜ｘ２＜…＜ｘｋ，则下列结论正确的是Ａ．当ａ＝０时，ｋ＝４Ｂ．当ｋ＝２时，ａ的取值范围为ａ＜１Ｃ．当ｋ＝８时，ｘ１＋ｘ４＋ｘ６ｘ７＝－３Ｄ．当ｋ＝７时，ａ的取值范围为（１，２）二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．９．已知全集Ｕ＝｛ｘ│ｘ＜１０，ｘ∈Ｎ｝，Ａ Ｕ，Ｂ Ｕ，Ａ∩（瓓ＵＢ）＝｛１，９｝，Ａ∩Ｂ＝｛３｝，（瓓ＵＡ）∩（瓓ＵＢ）＝｛４，６，７｝，则下列选项正确的为Ａ．２∈ＢＢ．Ａ的不同子集的个数为８Ｃ．｛１｝ ＡＤ．６ 瓓Ｕ（Ａ∪Ｂ）１０．已知由样本数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，３，…，１０）组成的一个样本，得到经验回归方程为＾ｙ＝２ｘ－０．４，且ｘ＝２，去除两个样本点（－２，１）和（２，－１）后，得到新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ＋ｂ＾．在余下的８个样本数据和新的经验回归方程中Ａ．相关变量ｘ，ｙ具有正相关关系Ｂ．新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ－３Ｃ．随着自变量ｘ值增加，因变量ｙ值增加速度变小Ｄ．样本（４，８ ９）的残差为０．１１１．已知ｆ（ｘ）是定义在实数集Ｒ上的偶函数，当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１．则下列结论正确的是Ａ．对于ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１Ｂ．ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为减函数Ｃ．ｆ（ｘ）的值域为（－∞，１２］Ｄ．ｆ（０．３０．４）＞ｆ（－０．４０．３）＞ｆ（ｌｏｇ２３７）三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｓｉｎｘ（ａｘ－１）（３ｘ＋２）为奇函数，则实数ａ的值为．１３．一个袋子中有ｎ（ｎ∈Ｎ）个红球和５个白球，每次从袋子中随机摸出２个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为ｐ（ｎ），则ｐ（ｎ）的最大值为．１４．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ＋１）为偶函数，ｆ（－１）＝２，ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ）＝１，则∑６１ｉ＝１ｇ（ｉ）＝．四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．１５．已知集合Ａ＝｛ｘ│ｘ２－５ｘ－６＜０｝，集合Ｂ＝｛ｘ│［ｘ－（１－ａ）］［ｘ－（１＋ａ）］＞０｝，其中ａ＞０．（１）若ａ＝２，求Ａ∩（瓓ＲＢ）；（２）设命题ｐ：ｘ∈Ａ，命题ｑ：ｘ∈Ｂ，若ｐ是瓙ｑ的必要而不充分条件，求实数ａ的取值范围．１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（４ｘ＋ａ·２ｘ＋１６），其中ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝－１０，求函数ｆ（ｘ）的定义域；（２）当ｘ∈［１，＋∞）时，ｆ（ｘ）＞ｘ恒成立，求实数ａ的取值范围．１７．某疾病可分为Ａ，Ｂ两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了１８００名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的１２，男性患Ａ型疾病的人数为男性患者人数的２３，女性患Ａ型疾病的人数是女性患者人数的３４．（１）根据所给信息完成下列２×２列联表：性别疾病类型Ａ型Ｂ型合计男女合计（２）基于（１）中完成的２×２列联表，依据小概率值α＝０．００１的 ２独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关？（３）某团队进行预防Ａ型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排２个周期接种疫苗，每人每个周期接种３次，每次接种费用为９元．该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为２３，如果第一个周期内至少２次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中１人用于接种疫苗的费用为ξ，求Ｅ（ξ）．附： ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄα０．１０００．０５００．０１００．００５０．００１α２．７０６３．８４１６．６３５７．８７９１０．８２８１８．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．２０２２年报考该试点高校的学生的笔试成绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ（μ，σ２）．其中，μ近似为样本平均数，σ２近似为样本方差ｓ２．已知μ的近似值为７６．５，ｓ的近似值为５．５，以样本估计总体．（１）假设有８４．１３５％的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？（２）若笔试成绩高于７６．５分进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取１０人，设其中进入面试学生数为ξ，求随机变量ξ的期望．（３）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为１３、１３、１２、１２．设这４名学生中通过面试的人数为Ｘ，求随机变量Ｘ的分布列和数学期望．参考数据：若Ｘ～Ｎ（μ，σ２），则：Ｐ（μ－σ＜Ｘ≤μ＋σ）≈０．６８２７；Ｐ（μ－２σ＜Ｘ≤μ＋２σ）≈０．９５４５；Ｐ（μ－３σ＜Ｘ≤μ＋３σ）≈０．９９７３．１９．定义一种新的运算“ ”： ｘ，ｙ∈Ｒ，都有ｘ ｙ＝ｌｇ（１０ｘ＋１０ｙ）．（１）对于任意实数ａ，ｂ，ｃ，试判断（ａ ｂ）－ｃ与（ａ－ｃ） （ｂ－ｃ）的大小关系；（２）若关于ｘ的不等式（ｘ－１）２＞［（ａ２ｘ２） （ａ２ｘ２）］－ｌｇ２的解集中的整数恰有２个，求实数ａ的取值范围；（３）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋４－２ｘ＋槡３），ｇ（ｘ）＝（１ ｘ） （－ｘ），若对任意的ｘ１∈Ｒ，总存在ｘ２∈［－３２，＋∞），使得ｇ（ｘ１）＝ｌｇ│３ｍ－２│＋ｆ（ｘ２），求实数ｍ的取值范围．命题人：康杰中学 张阳朋运城中学 吕莹高二数学期末答案一、1-8 C B BA B DCC 二、9.ABC 10．AB 11.ABD 三、12.3213.59 14.63四 、15.（1）15.2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<， …………1分 ){{|[(1)][(1]0}|1x x a B x x a x a =---+<>=-或1}x a >+． ………… 2分若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{}31|≤≤-=x x B C R ， ………… 4分{}31|)(≤<-=∴x x B C A R ………… 6分（2）若的必要而不充分条件是q p ⌝，{}a x a x B C A B C U U +≤≤-=⊆∴11 ， ………… 8分∴01116a a a >⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解得02a <<． ………… 12分 a ∴的取值范围是(0,2)． ………… 13分16.（1）当10a =-时，()()2log 410216xxf x =-⨯+，由4102160x x -⨯+>得()()22028xx-->， ………… 2分故22x <或28x >，得1x <或3x >， ………… 4分 故函数()()2log 410216xxf x =-⨯+的定义域为()(),13,-∞⋃+∞，………… 6分(2)解一：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分22116122 9所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即为()()2116g t t a t =+-⋅+在[)+∞∈,2t 上最小值大于0， ………… 10分函数()()2116g t t a t =+-⋅+的对称轴为12at -=， 当221<-a即3->a 时，函数()g t 在[)+∞,2上单调递增， 此时0218)2(>+=a g ，得9->a ，a <-∴3 ………… 12分 当221≥-a，即3-≤a 时，函数()g t 在对称轴取得最小值， 此时()21112211602g a a a a ⎪⎛⎫=⎝---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+-+ ⎭>⎪⎭⎝，得79a -<<，37-≤<-∴a ………… 14分 故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 解二：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分设2x t =，因[)+∞∈,1x ，故22≥=x t ， ………… 9分 所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即）（21)16(162≥++-=-+->t tt t t t a ………… 11分 令1)16()(++-=t t t g 则”成立时“当且仅当==-≤++-=4,71)16()(t tt t g ………… 14分故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 17. （1）设男性患者人数为m ，则女性患者人数为12m ，由118002m m +=12001200600 2 21200800336004504322⨯列联表如下：疾病类型性别A 型B 型 合计男 800 400 1200 女 450 150 600 合计12505501800………… 5分（2）零假设0H ：所患疾病的类型与性别无关， ………… 6分 根据列联表中的数据，经计算得到()2218008001504504001441200600125055011χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，…… 8分 由于20.00114413.09110.82811χχ=≈>=， ………… 9分 依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关.… 10分 （3）接种疫苗的费用ξ可能的取值为27，54， ………… 11分223322220(27)C ()(1()33327P ξ==-+=， ………… 12分207(54)12727P ξ==-=， ………… 13分则ξ的分布列为ξ27 54P2027 727期望为()2072754342727E ξ=⨯+⨯= .………… 15分 18．解：（1）由()()0.50.841352P X P X μσμσμσ-<≤+>-=+=，………2分76.5 5.576.5 5.571 4（2）由76.5μ=得，()176.52P ξ>=， 即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为12…5分 所以随机变量ξ服从二项分布110,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ………6分 所以()11052E ξ=⨯=． ………8分 （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4． ………9分()220022111011329P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………10分 ()22100122221111111111113323223P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,…11分()22201122221111112111323322P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220222111313236C C ⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………12分 6121311312112131)3(2221212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯==C C C C X p ， ……13分()22222211143236P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………14分 X 0 1 2 3 4()P X19 13 1336 16 136………15分 ∴()11131150123493366363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………17分 19. （1） ,x y ∀∈R ，()lg 1010xyx y ⊕=+∴()()lg 1010a b a b c c ⊕-=+-， ………2分10101010101010 45（2）()()()()222222222222lg 1010lg 210lg 2a x a xa xa x a x a x⊕=+=⨯=+∴原不等式可化为：()2221x a x ->，即()221210a x x --+>， ………6分满足题意，必有210a -<，即1a <-或1a >① ………7分令()()22121h x axx =--+，由于()010h =>，()21h a =-，结合①可得：()10h <， ………8分∴()h x 的一个零点在区间()0,1，另一个零点在区间[)1,2--， ………9分从而⎩⎨⎧>-≤-0)1(0)2(h h ，即⎩⎨⎧>+-⨯--⨯-≤+-⨯--⨯-01)1(2)1(101)2(2)2(12222）（）（a a ② ………10分 由①②可得：223232<≤-≤<-a a 或 ………11分 （3）()(lg 4f x x =+，()()lg 101010xxg x -=++ ………12分设4t x =+3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭r =，[)0,r ∈+∞，则()2132x r =-， ∴()()2221151*********t r r r r r =-+-=-+=-+≥， ………14分∴()lg 2f x ≥，()1()lg 32g x m f x =-+的值域为)lg 32lg 2,A m ⎡=-++∞⎣ ………15分1010101012x x -++≥=，∴()lg12g x ≥()g x 的值域为[)lg12,B =+∞ ………16分根据题意可知：B A ⊆，∴lg 32lg 2lg12m -+≤解之得：4833m -≤≤且23m ≠ ………17分为。
高二数学试卷期末题及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的图像是：A. 一个开口向上的抛物线，顶点在(1, 0)B. 一个开口向下的抛物线，顶点在(1, 0)C. 一个开口向上的抛物线，顶点在(0, 1)D. 一个开口向下的抛物线，顶点在(0, 1)2. 若a, b, c是等差数列，且a + b + c = 12，a + c = 8，则b的值为：A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数是：A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°4. 下列哪个方程的解集是空集：A. x^2 + 1 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 + 2x + 1 = 05. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹是：A. 以(0, 0)为圆心，1为半径的圆B. 以(0, 0)为圆心，2为半径的圆C. x = 0的直线D. y = 0的直线6. 下列函数中，是奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x^47. 若等比数列{an}的首项为2，公比为3，则第5项an是：A. 24B. 27C. 81D. 2438. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点是：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)9. 下列哪个数是等差数列1, 3, 5, ...的第10项：A. 19B. 20C. 21D. 2210. 若log2x + log2(4x) = 3，则x的值是：A. 2B. 4C. 8D. 16二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an = ________。
东北师大附中2024年高二下学期期末考试数学试卷(含答案解析)
东北师大附中2023—3024学年下学期高（二）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 设集合{}0,1,2,3,5A =，{}2|20B x xx =−>，则A B = （ ） A. {}0,1,2 B. {}0,3,5C. {}3,5D. {}52. 在等差数列{}n a 中，2a ，5a 是方程280x x m −+=的两根，则{}n a 的前6项和为（ ） A. 48B. 24C. 12D. 83. 二次函数()2213y x a x =+−−在[]1,3x ∈−上最大值为1，则实数a 值为（ ） A. 12−B. 13−C 12−或13−D. 1−或13−4. 命题0:(0,)p x ∞∃∈+，使得20010x x λ−+<成立.若p 为假命题，则λ的取值范围是（ ）A. {}2λλ≤ B. {}2λλ≥C. {}22λλ−≤≤D. {2λλ≤−或}2λ≥5. 已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（ ） A.12B. 1C. 2D. 2−6. 已知各项均为正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ，则9S =.的（ ） A. 511B. 61C. 41D. 97. 已知函数(1)y f x =+是定义在R 上偶函数，且2()31)(f x f x ++−=，则（ ）A. ()10f =B. ()20f =C. ()31f =D. ()41f =8. 已知函数()()1e x f x x =+和()()ln g x x x a =+有相同的最小值.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()22121ln 1tx x ++的最大值为（ ）A. e2B. eC. 2e 2D. 2e二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分，有选错的得0分.9. 已知函数()1xxf x a a=−，其中0a >且1a ≠，则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 是奇函数B. 函数()f x 的图象过定点()0,1C. 函数()f x 0=在其定义域上有解D. 当1a >时，函数()f x 在其定义域上为单调递增函数10. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足e()()x xf x f x x′+=，则（ ）A.(π)(e)e πf f >B. 若2e (2)2f =，则2x =为()f x 的极值点C. 若(1)e f =，则1x =为()f x 的极值点D. 若(1)e f <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增11. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若112a =，点()1,n n a a +在函数()21f x x x =−+的图像上，则下列结论正确的是（ ）的A. 数列{}n a 递增B.112n a ≤< C ()1112n n a a +≥+ D. ()12n n S T n <+三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.12. 设等比数列{}n a 的前n 项和是n S .已知3630,120S S ==，则12S =__________. 13. 已知正实数x ，y 满足3x y +=，若2111m m x y+>−+恒成立，则实数m 的取值范围为____________.14. ()1,0e1e ,02x x xx f x x + ≥ = −−<，若()()2g x mf x =−有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是______．四、解答题：本大题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()1e x f x x =+.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间和极值.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212nn S n =−. （1）求数列{}n a 通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前11项和11T . 17. 已知等差数列{}n a 满足124564,27a a a a a +=++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3nnn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. 已知函数()e ,()2ln(1)x f x ax g x x x =−=+−，其中a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）令()()()F x f x g x =−，证明：当()()0,e ,0,a x ∈∈+∞时，()12ln2F x >−..的19. 已知0a >，函数()()2πsin ,2sin ,0,24ax f x ax x g x x==∈. （1）当2a =时，证明：()()f x g x >；（2）若()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围；（3）设集合()*1πcos,21nn n k A a a n k k ===∈ +∑N ，对于正整数m ，集合{}2mB x m x m =<<，记m A B 中元素的个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式.东北师大附中2023—3024学年下学期高（二）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1 设集合{}0,1,2,3,5A =，{}2|20B x xx =−>，则A B = （ ） A. {}0,1,2 B. {}0,3,5C. {}3,5D. {}5【答案】C 【解析】【分析】由不等式220x x −>，解得2x >或0x <，再运用集合的交集即可. 【详解】由不等式220x x −>，解得2x >或0x <，则集合{|2x x >或0}x <， 又{}0,1,2,3,5A =， ∴ {}3,5A B = . 故选：C.2. 在等差数列{}n a 中，2a ，5a 是方程280x x m −+=的两根，则{}n a 的前6项和为（ ） A. 48 B. 24C. 12D. 8【答案】B 【解析】【分析】利用韦达定理确定258a a +=，根据等差数列性质有25168a a a a +=+=，在应用等差数列前n 项和公式即可求解..【详解】因为2a ，5a 是方程280x x m −+=的两根，所以258a a +=， 又因为{}n a 是等差数列，根据等差数列的性质有：25168a a a a +=+=， 设{}n a 的前6项和为6S ，则()166638242a a S +×==×=.故选：B3. 二次函数()2213y x a x =+−−在[]1,3x ∈−上最大值为1，则实数a 值为（ ）A. 12−B. 13−C. 12−或13−D. 1−或13−【答案】D 【解析】【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可.【详解】()2213y x a x =+−−，则图像开口向上，对称轴为直线122ax −=. 当1212a −≤时，即12a ≥−，3x =时有最大值1,即9(21)331a +−×−=，解得13a =−； 当1212a−≥时，即12a ≤−，=1x −时有最大值1,即1(21)(1)31a +−×−−=，得1a =−； 故1a =−或13a =−.故选：D ．4. 命题0:(0,)p x ∞∃∈+，使得20010x x λ−+<成立.若p 为假命题，则λ的取值范围是（ ）A. {}2λλ≤ B. {}2λλ≥C. {}22λλ−≤≤ D. {2λλ≤−或}2λ≥【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得p ¬为真命题，再参变分离求解即可．【详解】由题意，p 为假命题，故p ¬为真命题，故()20,,10x x x λ∀∈+∞−+≥﹐故()10,,x x xλ∀∈+∞≤+，又当()0,x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立， 所以λ的取值范围是{}2|λλ≤ 故选：A ．5. 已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（ ） A.12B. 1C. 2D. 2−【答案】C 【解析】【分析】先解出命题所对应的集合，再将条件之间的关系转化为集合间的关系，即可得解. 【详解】因为x R ∈，条件2:p x x <，条件1:q a x≥， 所以p 对应的集合()0,1A =，q 对应的集合1B x a x=≥， 又p 是q 的充分不必要条件，所以A B ， 当0a =时，集合{}100B xx x x=≥=>，满足题意；当>0a 时，集合110Bx a x x x a=≥=<≤ ，此时需满足11a ≥即01a <≤；当0a <时，集合()11,0,B xa x a ∞∞ =≥=−∪+，满足题意； 所以实数a 的取值范围为(],1−∞. 所以实数a 的取值不可能是2. 故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把命题间的关系转化为集合间的关系及分类求解命题q 对应的集合.6. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ，则9S =（ ） A. 511B. 61C. 41D. 9【答案】B 【解析】【分析】利用对数运算法则可求得12nn n a a +=，即可知数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等比数列，再由分组求和可得结果.【详解】由1lg lg lg 2n n n a a ++=可得1lg lg 2nn n a a +=， 即12nn n a a +=，所以1122n n n a a +++=，两式相除可得22n na a +=； 即356413242a a a a a a a a =⋅==⋅⋅==， 由11a =可得22a =，因此数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，公比为2的等比数列， 偶数项是以22a =为首项，公比为2的等比数列，所以()()91239139248S a a a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()54112212611212×−×−=+=−−.故选：B7. 已知函数(1)y f x =+R 上的偶函数，且2()31)(f x f x ++−=，则（ ）A. ()10f =B. ()20f =C. ()31f =D. ()41f =【答案】D 【解析】【分析】函数(1)y f x =+是定义在R 上的偶函数，可知()f x 对称轴为1x =，又2()31)(f x f x ++−=可推出周期为4，根据函数的对称性和周期性即可判断正误.【详解】解：因为函数(1)y f x =+是定义在R 上的偶函数，所以()f x 关于1x =对称，则(1)(1)f x f x −=+，又2()31)(f x f x ++−=，所以2(1)3)(f f x x +++=，即()()()()()22,422f x f x f x f x f x +=−++=−++=， 函数()f x 的周期为4，取0x =，则()()()()(0)2222201f f f f f ⇒=+===， 所以()()401f f ==，则D 选项正确，B 、C 选项错误；由已知条件不能确定()1f 的值，A 选项错误； 故选：D. 8. 已知函数()()1e x f x x =+和()()ln g x x x a =+有相同的最小值.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()22121ln 1tx x ++的最大值为（ ）A. e2B. eC. 2e 2D. 2e【答案】A 【解析】【分析】首先利用导数求出两个最小值，从而得到1a =，再代入得12ln x x =，化简得()222121ln 1ln 1ttt x x ++=+，最后设新函数()21ln (0)th t t t+=>，利用导数求解其最大值即可. 【详解】依题意，()()2e x f x x ′=+，可知<2x −时，()0f x ′<，此时()f x 单调递减；2x >−时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；则2x =−时，()f x 取得极小值()212ef −=−，也即为最小值； 又()1ln 1,0ea g x x a x −−′=++<<时，()0g x ′<，此时()f x 单调递减；1e a x −−>时，()0g x ′>，此时()f x 单调递增；则1e a x −−=时，()g x 取得极小值()11e ea a g −−−−=−，也即为()g x 最小值.由121e ea −−−=−，解得1a =. 因为()()12(0)f x g x t t ==>，所以()()11221e ln 1(0)xx x x t t +=+=>，可知1211,e x x >−>，且12ln x x =，所以()()2222212221ln 1ln 1ln 1ln 1t t tt x x x x +++==++，令()21ln (0)t h t t t +=>，则()312ln t h t t −−=′，当()120e ,0t h t −<′<>，此时()f x 单调递增； 当()12e ,0t h t −>′<，此时()f x 单调递减；故12e t −=时，()h t 取极大值12ee 2h − = ，也即为最大值.故选：A .【点睛】关键点点点睛：本题的关键是通过导数求出两函数最小值，从而解出1a =，再代入减少变量得()222121ln 1ln 1ttt x x ++=+，最后设新函数，利用导数求出其最大值即可. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分，有选错的得0分.9. 已知函数()1xxf x a a=−，其中0a >且1a ≠，则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 是奇函数B. 函数()f x 的图象过定点()0,1C. 函数()f x 0=在其定义域上有解D. 当1a >时，函数()f x 在其定义域上单调递增函数 【答案】ACD 【解析】【分析】对选项A ，利用奇函数的定义即可判断A 正确，对选项B ，根据()00f =即可判断B 错误，对选项C ，令()0xxf x a a−==−求解即可判断C 正确，对选项D ，根据指数函数单调性即可判断D 正确.【详解】函数()1xx x x f x a a a a − =−=−， 对选项A ，()xxf x a a−=−，定义域为R ，()()xxf x a a f x −−=−=−， 所以函数()f x 是奇函数，故A 正确. 对选项B ，()000f a a ==−，故B 错误.对选项C ，()xxf x a a−=−，定义域为R ，令()0xxf x a a−==−，解得0x =，为故C 正确.对选项D ，当1a >时，101a <<，所以x y a =和1xy a=−在R 上为增函数，所以函数()1xxf x a a=−在R 上为单调递增函数，故D 正确.故选：ACD10. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足e()()x xf x f x x′+=，则（ ）A.(π)(e)e πf f >B. 若2e (2)2f =，则2x =为()f x 的极值点C. 若(1)e f =，则1x =为()f x 的极值点D. 若(1)e f <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增 【答案】ABD 【解析】【分析】令()()g x xf x =且,()0x ∈+∞，结合已知可得()0g x ′>，即可判断A ；将已知条件化为2e ()()x xf x f x x−′=且,()0x ∈+∞，再令()e ()x h x xf x =−并应用导数研究单调性得()(1)e (1)h x h f ≥=−，进而判断B 、C 、D.【详解】令()()g x xf x =且,()0x ∈+∞，则e ()()()0xg x f x xf x x′′=+=>，所以()g x 在(0,)+∞上递增，则(π)(e)π(π)e π((e π)(e))e f g f f g f >>⇒>⇒，A 对； 由题设2e ()()x xf x f x x−′=且,()0x ∈+∞， 令()e ()x h x xf x =−，则1()e ()()e (1)x xh x f x xf x x′′=−−=−， 当01x <<时()0h x ′<，即()h x 递减；当1x >时()0h x ′>，即()h x 递增；所以()(1)e (1)h x h f ≥=−， 若2e (2)2f =，则2(2)e 2(2)0(1)h f h =−=>，所以(1,2)上2()()0h x f x x′=<，()f x 递减；(2,)+∞上2()()0h x f x x ′=>，()f x 递增； 故2x =为()f x 的极值点，B 对；若(1)e f =，则()0h x ≥，即()0f x ′≥，故()f x 在(0,)+∞上递增，故1x =不是()f x 的极值点，C 错； 若(1)e f <，则()0h x >，即()0f x ′>，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，D 对. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：对于B 、C 、D ，由2e ()()x xf x f x x−′=且,()0x ∈+∞，并构造()e ()x h x xf x =−且应用导数研究其单调性和极值为关键.11. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若112a =，点()1,n n a a +在函数()21f x x x =−+的图像上，则下列结论正确的是（ ）A. 数列{}n a 递增B.112n a ≤< C. ()1112n n a a +≥+ D. ()12n n S T n <+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意得到n a ，1n a +的关系式，选项A ，将式子变形，可判断数列{}n a 的增减性；选项B ，利用递推关系式得到1n a −与11n a +−同号，结合112a =即可判断；选项C ，将式子变形，利用B 中的结论即可判断；选项D ，将2n n S T −转化为数列{}22n n a a −的前n 项和，然后结合递推关系式即可求解． 【详解】由题意知211n n n a a a +=−+， 选项A ：所以()2110n n n a a a +−=−≥，故1n n a a +≥，若存在1n n a a +=，则有()2110n n n a a a +−=−=，即存在1n a =，当1n =时，11a =，与112a =矛盾， 当2n ≥时，由211n n n a a a +=−+得2111n n n a a a −−=−+，若1n a =，有2110n n a a −−−=，则10n a −=或11n a −=，若10n a −=与112a =且1n n a a +≥矛盾；若1n a =时有11n a −=，递推可得11a =，与112a =矛盾， 综上，不存在1n n a a +=，所以1n n a a +>，故数列{}n a 递增，故A 正确． 选项B ：数列{}n a 递增，112a =，故12n a ≥，故()2111n n n n n a a a a a +=−−=−，所以1n a −与11n a +−同号， 因11102a −=−<，所以10n a −<，即1n a <． 综上，112n a ≤<，故B 正确． 选项C ：由选项B 知112n a ≤<，所以()()2211212112312102n n n n n n n n n a a a a a a a a a +−−=−+−−=−+=−−≤ ，即()1112n n a a +≤+，故C 错误．选项D ：由题意，2n n S T −可视为数列{}22n n a a −的前n 项和，因为2121n n n n a a a a +−=+−， 所以()()()12231112111n n n n n S T a a a a a a n a a ++−=+−++−+++−=+− ， 又{}n a 递增，所以110n a a +−<，故112n n n S T n a a n +−=+−<，即()12n n S T n <+，故D 正确． 故选：ABD.【点睛】思路点睛：选项中的不等式，要通过已知条件进行构造，如C 选项需要构造121n n a a +−−的形式，并判断121n n a a +−−的符号；D 选项则需构造2n n S T −，比较2n n S T −与n 的大小关系，将2n n S T −转化为数列{}22n n a a −的前n 项和是解题关键.三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.12. 设等比数列{}n a 的前n 项和是n S .已知3630,120S S ==，则12S =__________. 【答案】1200 【解析】【分析】根据等比数列片段和的性质分析求解.【详解】因为n S 是等比数列{}n a 的前n 项和且30S ≠，为可知3S ，63S S −，96S S −，129S S −也成等比数列， 又因为330S =,6120S =，则6333S S S −=， 可得296303270S S −=×=，3129303810S S −=×=，所以96270390S S =+=，1298101200S S =+=. 故答案为：1200.13. 已知正实数x ，y 满足3x y +=，若2111m m x y+>−+恒成立，则实数m 的取值范围为____________.【答案】【解析】【分析】根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式21m m −<，解出即可.【详解】因为0,0x y >>且3x y +=，则()14x y ++= 则()11111111214141y x x y x y x y x y+ +=+++=++ +++1214≥×+= ， 当且仅当11y x x y+=+，即1,2x y ==时，等号成立， 因为不等式2111m m x y +>−+恒成立，则21m m −<m <<， 所以实数m的取值范围为.故答案为：.14. ()1,0e1e ,02x x xx f x x + ≥ = −−<，若()()2g x mf x =−有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是______．【答案】()(),42e,−∞−+∞ 【解析】【分析】当0x ≥时，求导得到单调区间，根据平移和翻折得到函数图象，变换得到()2f x m=，根据函数图象得到102e m <<或1202m−<<，解得答案. 【详解】当0x ≥时，()exx f x =，()1e x xf x =′−， 当[)0,1x ∈时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增；当[)1,x ∞∈+时，()0f x ′≤，函数()f x 单调递减，且()11ef =， 当0x <时， ()11e 2x f x +=−−，其图象可以由e x y =的图象向左平移一个单位， 再向下平移12个单位，再把x 轴上方的图象翻折到x 轴下方得到， 画出函数图象，如图所示：()()2g x mf x =−，当0m =时，()2g x =−，无零点；当0m ≠时，()()20g x mf x =−=，即()2f x m =， 函数()g x 有两个零点，即函数()f x 与函数2y m=的图象有两个交点，根据图象知：102e m <<或1202m−<<，解得2e m >或4m <− 故实数m 的取值范围是()(),42e,∞∞−−∪+. 故答案为：()(),42e,∞∞−−∪+.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题是解题的关键，数形结合的思想.需要熟练掌握.四、解答题：本大题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()1e x f x x =+.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间和极值.【答案】（1）30e e x y −−=（2）答案见详解 【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）根据导数求单调区间，进而可得极值. 【小问1详解】 因为()()1e x f x x =+，则()()()1e e 2e x x x f x x x =++=+′，可得()12e f =，()13e f ′=，即切点坐标为()1,2e ，斜率3e k =，所以切线方程为()2e3e 1y x −=−，即30e e x y −−=. 【小问2详解】因为函数()f x 的定义域为R ， 由（1）可知：()()2e xf x x +′=，令()0f x ′>，解得2x >−；令()0f x ′<，解得<2x −；所以函数()f x 的单调递减区间为(),2∞−−，单调递增区间为()2,∞−+，且函数()f x 的极小值为()212e f −=−，无极大值. 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212nn S n =−. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前11项和11T . 【答案】（1）213na n =−（2）111−【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系求解即可； （2）利用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】因为212nn S n =−， 当1n =时，1111a S ==−； 当2n ≥时，()()()122111221321n nn n n a S S n n n − ==−−−−=−−−；经检验：111a =−满足213n a n =−，所以213na n =−. 【小问2详解】由（1）得：()()1111112132112213211n n n b a a n n n n +===×− −−−−， 所以11111111111112119979112111111T =−+−++−=−−=−−−−− . 17. 已知等差数列{}n a 满足124564,27a a a a a +=++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3nnn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）21na n =− （2）()1133n n S n +=−⋅+【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列通项公式列式解出1,a d ，即可得到答案； （2）由条件可得()()11233n n n n n b +−⋅−−⋅=，利用裂项相消法运算求解.【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，的则()1214561243427a a a d a a a a d +=+= ++=+= ，解得112a d = = ，所以()12121n a n n =+−=−. 【小问2详解】由（1）可知：()()()121333123nn n n nn n n b n a +=−⋅=−⋅−−⋅=⋅，则()()()()343110313023133331213n n n n n n S n ++=−−+×−+×−×+⋅⋅⋅−⋅−−⋅=−⋅++，所以()1133n n S n +=−⋅+.18. 已知函数()e ,()2ln(1)x f x ax g x x x =−=+−，其中a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）令()()()F x f x g x =−，证明：当()()0,e ,0,a x ∈∈+∞时，()12ln2F x >−.【答案】（1）答案见详解 （2）证明见详解 【解析】【分析】（1）求导，分0a ≤和0a >两种情况，利用导数求原函数的单调性；（2）根据题意利用导数分析原函数单调性和最值可得ff (xx )>e xx −aaxx ≥0，()()12ln 21g x g ≤=−，即可得结果.【小问1详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()e ′=−x f x a ， 若0a ≤，则()e 0x f x a ′=−>对任意x ∈R 恒成立， 可知()f x 在(),∞∞−+内单调递增；若0a >，令()0f x ′>，解得ln x a >；令()0f x ′<，解得ln x a <； 可知()f x 在(),ln a ∞−内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增； 综上所述：若0a ≤，()f x 在(),∞∞−+内单调递增；若0a >，()f x 在(),ln a ∞−内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增. 【小问2详解】若e a =，则()e e xf x x =−，由（1）可知：()f x 在(),1∞−内单调递减，在()1,∞+内单调递增，所以()()10f x f ≥=，即e e 0x x −≥当且仅当1x =时，等号成立， 因为()()0,e ,0,a x ∞∈∈+，则ff (xx )>e xx −aaxx ≥0，即()0f x >；因为()2ln(1)g x x x =+−，则()21111xg x x x −=−=′++， 且0x >，令()0g x ′>，解得01x <<；令()0g x ′<，解得1x >； 可知()f x 在()1,∞+内单调递减，在()0,1内单调递增， 可得()()12ln 21g x g ≤=−，即()12ln 2g x −≥−； 所以FF (xx )=ff (xx )−gg (xx )>1−2ln 2. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形； （2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19. 已知0a >，函数()()2πsin ,2sin ,0,24ax f x ax x g x x==∈. （1）当2a =时，证明：()()f x g x >；（2）若()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围；（3）设集合()*1πcos ,21nn n k A a a n k k ===∈ +∑N ，对于正整数m ，集合{}2m B x m x m =<<，记m A B 中元素的个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式.【答案】（1）证明见详解 （2）(]0,2 （3）m b m =【解析】【分析】（1）令()()()π,0,4F x f x g x x=−∈，求导，利用导数判断函数单调性，求最小值即可证明；（2）对a 的值分类讨论，利用导数判断函数单调性，求最小值，判断能否满足()0F x >； （3）利用（1）中结论，cosπ2kk (kk+1)>1−π2kk (kk+1)，通过放缩并用裂项相消法求()1πcos21nk k k =+∑，有()1π1cos21nk n n k k =−<<+∑，可得m b m =.【小问1详解】令()()()2πsin 2sin,0,24ax F x f x g x ax x x =−=−∈， 若2a =，则()()22sin 2sin 2sin sin F x x x x x x x =−=−， 又因为π04x <<，2sin 0x >． 设()sin h x x x =−，π04x <<， 则ℎ′(xx )=1−cos xx >0，可知()h 在π0,4上单调递增， 可得()()00h x h >=， 即()0F x >，所以()()f x g x >. 【小问2详解】 因为()22sin1cos 22axg x ax ==−， 由（1）可知：()sin cos 1F x ax x ax +−，π04x <<， 原题意等价于()0F x >对任意π0,4x∈恒成立， 则()()sin cos sin Fx a x x x ax −′=+， 当02a <≤时， 注意到π022ax x <≤<，则sin sin2ax x ≤， 可得()()()()sin cos sin2sin 1cos sin cos F x a x x x x a x x x x x ′ ≥+−=−+− ，由（1）得sin 0x x −>，则()0F x ′>，可知()F x 在π0,4上单调递增，则()()00F x F >=，满足题意； 当2a >时，令()()()sin cos sin x F x a x x x ax ϕ==+−′，π04x <<， 则()()()222cos sin cos 2cos cos x a x x x a ax a a ax a ax a ϕ =−−<−=−′， 因为201a <<，可知存在0,2a πθ ∈ ，使得2cos a a θ=， 当(0,)x θ∈时，0,()ax a θ∈，()2220x a a a ϕ < ′−=， 可知()x ϕ在()0,θ上单调递减，则()()00x ϕϕ<=， 即()0F x ′<在()0,θ上恒成立，可知()F x 在()0,θ上单调递减，则()()00F F θ<=，不合题意； 综上所述：a 的取值范围为(]0,2．所以a 的取值范围为(]0,2.【小问3详解】由（1）可知2a =时，cos212sin 12x x x x >−>−，则cos π2kk (kk+1)>1−π2kk (kk+1)=π�1kk −1kk+1�， 1n =时，()1πcos21n kk k ==+∑； 2n =时，()1πcos21n k k k =+∑ 3n ≥时，∑cos nn kk=1π2kk (kk+1)≥√22+√6+√24+nn −2−π2�13−1nn+1�>nn −2+3√2+√6π， √2√6�2−202√12184>0，则√2√6�2>202，即200−>，π411066−>−−=>π16>， 得∑cos nn kk=1π2kk (kk+1)>nn −2+3√2+√64−π6>nn −1，又()1πcos21n k n k k =<+∑， 1n =时，01<<，2n =时，12<<， 所以N n ∗∈时，都有()1π1cos 21n k n n k k =−<<+∑， ()*1πcos ,21n n n k A a a n k k = ==∈ +∑N ，则N n ∗∈时，集合A 在每个区间()1,n n −都有且只有一个元素， 对于正整数m ，集合{}2m B x m x m =<<，记m A B 中元素的个数为m b， 由2m m m −=，所以m b m =.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
2023-2024学年江苏省南通市高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列1,53,52，…的通项公式可能是a n =( )A. n 2+1n +1B. n +1n 2+1C. n 22n−1D. n 2+12n−12.圆(x +1)2+y 2=1和圆(x−2)2+(y−4)2=16的位置关系为( )A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切3.某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为( )A. 12B. 30C. 34D. 604.已知F 是抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点，点A(1,14)在C 上，则|AF|=( )A. 38B. 58C. 54D. 945.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4=6，S 8=18，则S 16=( )A. 48B. 90C. 96D. 1626.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，直线l 经过点T(1,12)与C 交于A ，B 两点.若T 是线段AB 的中点，则l 的方程为( )A. 4x−6y−1=0 B. 3x−2y−1=0 C. 4x +6y−7=0 D. 3x +2y−4=07.已知平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，BD =4，AD 1⋅DC−AB 1⋅BC =5，则cos <AA 1，BD >=( )A. 512B. −512C. 415D. −4158.已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线y = 52b 与C 交于A ，B 两点.若△ABF 的周长为7a ，则C 的离心率为( )A. 43 B. 65 C. 2 105二、多选题：本题共4小题，共20分。
四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期6月期末考试 数学含答案
2024年春期高2022级高二期末考试数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
第I 卷（选择题58分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若直线过点(1,2)-，(3,2+，则此直线的倾斜角为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π2．已知221:202C x y x y ++-+= ，则该圆的圆心坐标和半径分别为A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()1,2-C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,2,2-3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375610,35a a a a +==，则6S =A ．20B ．16C ．14D ．124．已知双曲线C 经过点()0,1C 的标准方程为A ．221x y -=B ．2213y x -=C ．221y x -=D ．2213x y -=5．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为A ．3B ．6C ．10D ．156．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为A ．25B ．45C ．815D ．897．已知点M ，N 是抛物线Γ：()220y px p =>和动圆C ：()()()222130x y r r -+-=>的两个公共点，点F 是Γ的焦点，当MN 是圆C 的直径时，直线MN 的斜率为2，则当r 变化时，r MF +的最小值为A ．3B ．4C ．5D ．68．已知22()log (412)cos f x x x x x =++-，且0.1231(log ),(0.)9),log 43(a f b f c f ===，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．a c b>>二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．已知212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则A ．7n =B ．只有第4项的二项式系数最大C ．各项系数之和为1D ．5x 的系数为56010．下列说法中正确的是附：2χ独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值α0.10.050.01a χ 2.7063.841 6.635A ．已知离散型随机变量14,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()14323D X +=B ．一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158C ．若()()()121,,4312P A P P AB B ===，则事件A 与B 相互独立D ．根据分类变量x 与y 的观测数据，计算得到2 3.154χ=，依据0.05α=的独立性检验可得：变量x 与y 独立，这个结论错误的概率不超过0.0511．将两个各棱长均为1的正三棱锥D ABC -和E ABC -的底面重合，得到如图所示的六面体，则A ．该几何体的表面积为332B ．该几何体的体积为36C ．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D ．直线//AD 平面BCE第二卷非选择题（92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）12．数列{}n a 满足()1432n n a a n -=+≥且10a =，则数列{}n a 的通项公式是．13．过点()1,1-与曲线()()ln 13e 2xf x x =+-+相切的直线方程为．14．已知1F 、2F 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 为该椭圆上一点，且满足1260F PF ∠=︒，若12PF F △的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13分）近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.(1)顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率；(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率16．（15分）已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?17．（15分）已知数列{}n a 的通项公式为n a n =，在n a 与1n a +中插入21n n +-个数，使这21n n ++个数组成一个公差为n d 的等差数列，记数列{}n d 的前n 项和为n S ，(1)求{}n d 的通项公式及n S ；(2)设12nn n na b S -=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T .18．（17分）已知函数2()22ln f x x ax x =-+.(1)当a =()y f x =的单调减区间；(2)若()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，52a ≥，若不等式12()f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围.19．（17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左、右两个顶点分别为A ，B ，直线b y x a =与直线x a =的交点为D ，且△ABD的面积为(1)求C 的方程；(2)设过C 的右焦点F 的直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且122k k =-，直线1l 交C 于M ，N 两点，2l 交C 于G ，H 两点，线段MN ，GH 的中点分别为R ，S ，直线RS 与C 交于P ，Q 两点，记△PQA 与△PQB 的面积分别为1S ，2S ，证明：12S S 为定值.2024年春期高2022级高二期末考试数学试题参考答案1．C 2．A 3．D 4．C 5．B 6．D 7．B 8．D9．AD10．BC11．AC12．141n n a -=-13．210x y ++=14．4515．解：（1）由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果，甲购买一盒猕猴桃的概率319420C 10.20.96C P =-⨯=.................................................................................6分（2）用“√”表示购买，“╳”表示不购买，乙第5周购买有如下可能：第1周第2周第3周第4周第5周√√√√√√╳√√√√√╳√√√╳√╳√√√√╳√................................................................................................................................................................9分故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率:()40.80.20.80.80.80.20.80.20.20.80.80.20.8336P =+⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=....................................13分16．解:（1）[方法一]：几何法因为1111,//BF AB AB AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，过E 作AB 的平行线分别与AG BC ，交于其中点,M N ，连接11,AM BN ，因为E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，所以N 是BC 的中点，易证1Rt Rt BCF B BN ≅ ，则1CBF BBN ∠=∠．又因为1190BBN BNB ∠+∠=︒，所以1190CBF BNB BF BN ∠+∠=︒⊥，．又因为111111,BF AB BN AB B ⊥= ，所以BF ⊥平面11A MNB ．又因为ED ⊂平面11A MNB ，所以BF DE ⊥．...................................................................................................7分[方法二]【最优解】：向量法因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，1BB ∴⊥底面ABC ，1B B AB ∴⊥11//A B AB ，11BF A B ⊥，BF AB ∴⊥，又1BB BF B ⋂=，AB ∴⊥平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图．()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,B A C ∴()()()1110,0,2,2,0,2,0,2,2B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ≤≤）．因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--，所以()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥．........................................................................7分[方法三]：因为11BF A B ⊥，11//A B AB ，所以BF AB ⊥，故110BF A B ⋅= ，0BF AB ⋅=，所以()11BF ED BF EB BB B D ⋅=⋅++ ()11=BF B D BF EB BB ⋅+⋅+ 1BF EB BF BB =⋅+⋅ 11122BF BA BC BF BB ⎛⎫=--+⋅ ⎪⎝⎭11122BF BA BF BC BF BB =-⋅-⋅+⋅ 112BF BC BF BB =-⋅+⋅111cos cos 2BF BC FBC BF BB FBB =-⋅∠+⋅∠1=2202-⨯⨯，所以BF ED ⊥．.......7分（2）[方法一]【最优解】：向量法设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =，因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．........................................................................................................9分令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，则cos m BA m BA θ⋅=⋅==.......................................................................13分当12a =时，22214a a -+取最小值为272，此时cos θ3=．所以()minsin θ=，此时112B D =．..................................................................................15分[方法二]：几何法如图所示，延长EF 交11AC 的延长线于点S ，联结DS 交11B C 于点T ，则平面DFE 平面11B BCC FT =．作1BH FT ⊥，垂足为H ，因为1DB ⊥平面11BB C C ，联结DH ，则1D H B ∠为平面11BB C C 与平面DFE 所成二面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T s =，过1C 作111//CG AB 交DS 于点G ．由111113C S C G SA A D ==得11(2)3C G t =-．又1111B D BT C G C T=，即12(2)3t s s t =--，所以31t s t =+．................................................................................9分又111B H BT C F FT =，即11B H =，所以1B H =所以DH ===..............................................................13分则11sin B D DHB DH∠===...................................................................14分所以，当12t =时，()1min sin 3DHB ∠=．.....................................................................................................15分[方法三]：投影法如图，联结1,FB FN，DEF 在平面11BB C C 的投影为1BN F ，记面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的平面角为θ，则1cos B NF DEFS S θ= ．设1(02)BD t t =≤≤，在1Rt DB F中，DF ==在Rt ECF中，EF D 作1B N 的平行线交EN 于点Q ．在Rt DEQ △中，DE ==..............................................................................9分在DEF 中，由余弦定理得222cos 2DF EF DE DFE DF EF +-∠=⋅()21)35t t +=+，sin DFE ∠1sin 2DFE S DF EF DFE =⋅∠ =13,2B NF S = ...........................................................................13分1cos B NF DFES S θ==，sin θ=，当12t =，即112B D =，面11BB C C与面DFE .......................15分17．解:（1）因为在n a n =，11n a n +=+之间插入21n n +-项，使这21n n ++个数成公差为n d 的等差数列，所以()()2111n n nd nn +-=++-⇒21111n d n n n n ==-++，..........................................................................................4分所以11111122311n nS n n n =-+-++-++ .......................................................................................................7分（2）易知112n n n -+=，所以012123412222nn n T -+=++++ ，..................................................................................8分123112341222222n n n n n T -+=+++++ ....................................................................................................................10分两式相减得12311111112222222n n n n T -+⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ ........................................................................................13分111122132312212n n nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦=+-=--，...............................................................................................................14分所以1362n n n T -+=-...................................................................................................................................................15分18．解:(1)2222()2(0)x f x x x x x-+'=-=>，..................................................................................2分令()0f x '=得11x，21x =-，由()0f x '<11x <<........................................................4分所以，()f x的单调减区间为)1.......................................................................................................5分(2)()()221x ax f x x-+'=，∵()f x 有两个极值点12,x x ，且12xx <，∴12,x x 是方程210x ax -+=的两正根，则1252x x a +=≥，121=x x ，..............................................................7分不等式()12f x mx ≥恒成立，即()12f x m x ≤恒成立，∴()213211111112222ln 22ln f x x ax x x ax x x x x -+==-+...............................................................................................8分()323112*********ln 22ln x x x x x x x x x x =-++=--+，............................................................................................10分由12x x a +=，121=x x ，得11152x x +≥，∴1102x <≤，.................................................................................12分令()3122ln ,02x x x x x x ϕ=--+<≤，()232ln x x x ϕ'=-+，...............................................................................14分令()232ln h x x x =-+，()()22213620x x h x x x-='-+=>，h (x )在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，............................................15分则有()1312ln 0242h x h ⎛⎫≤=-+< ⎪⎝⎭即()0x ϕ'<，.................................................................................................16分∴()x ϕ在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，∴()19ln228x ϕϕ⎛⎫≥=-- ⎪⎝⎭，故9,ln28m ⎛⎤∈-∞-- ⎥⎝⎦.............................................................................................17分19．解:（112=，所以32b =①...........................................................................2分由b y xa x a⎧=⎪⎨⎪=⎩，知(),D a b 由△ABD的面积为122a b ⨯⨯==ab ②.............................................................................4分由①②解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以C 的标准方程为22143x y +=.........................................................................................5分（2）由题意知()1,0F ，()11:1k l y x =-，()22:1l y k x =-，联立方程()1221,1,43y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()22221114384120k x k x k +-+-=，...................................................................6分设()11,M x y ，()22,N x y ，则211221843k x x k +=+，所以2121214243x x k k +=+，.........................................................7分代入直线1l 的方程121213243y y k k +-=+，所以211221143,4343k k R k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理得222222243,4343k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭........................8分①当直线PQ 的斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，将点R ，S 的坐标代入，得()()21122244330,44330,m n k k n m n k k n ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩......................................................................................10分易知1k ，2k 为方程()244330m n k k n +++=的两个根，则123244n k k m n⋅==-+，得811n m =-，.............................................................................................................12分所以直线88:1111PQ y mx m m x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以直线PQ 过定点8,011E ⎛⎫ ⎪⎝⎭......................................................13分②当直线PQ 的斜率不存在时，由对称性可知12k k =-，..............................................................................14分因为122k k =-不妨设1k =2k =22122212448434311k k k k ==++........................................................15分即直线8:11PQ x =，满足过定点8,011E ⎛⎫⎪⎝⎭.....................................................................................................16分因为PQA △的面积为112P Q S AE y y =-，PQB △的面积为212P Q S BE y y =-，所以1282151187211AE S S BE +===-，为定值.............................................................................................................17分。
2023-2024学年北京市通州区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市通州区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知等差数列{a n }，a 5＝10，a 9＝20，则a 1等于（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．2 D ．52．已知P 为双曲线x 29−y 216=1右支上一点，F 1，F 2为双曲线的左右焦点，|PF 1|﹣|PF 2|等于（ ）A ．8B ．6C ．4D ．33．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，上下顶点为B 1，B 2，若四边形F 1B 1F 2B 2为正方形，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√32C ．√22 D ．124．已知点A （x 0，y 0）在抛物线y 2＝4x 上，且点A 到抛物线准线的距离为3，则y 0等于（ ） A ．1B ．2C ．±2D ．±2√25．已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2√33，则C 的渐近线方程为（ ）A ．y =±√3xB ．y ＝±3xC ．y =±√33xD ．y =±13x6．已知数列{a n }，a 1＝1，a n +1﹣a n ＝2n ，则a 10等于（ ） A ．511B ．1022C ．1023D ．20477．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝10，公差d ＝﹣2，则（ ） A ．S n 有最大值为1214B ．S n 有最大值为814C ．S n 有最大值为30D ．S n 有最小值为308．已知首项为a 1，公比为q 的等比数列{a n }，其前n 项和为S n ，则“a 1＞0，q ＞1”是“S n 单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知双曲线C ：x 23−y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝x +m 与C 交于A ，B 两点，若△F 1AB面积是△F 2AB 面积的2倍，则m 等于（ ） A ．6B ．23C ．−23D ．﹣610．已知数列{a n }的通项公式为a n =1−2nn+1，给出下列四个结论： ①数列{a n }为单调递增数列，且存在常数m ≤﹣2，使得a n ＞m 恒成立；②数列{a n}为单调递减数列，且存在常数m≤﹣2，使得a n＞m恒成立；③数列{a n}为单调递增数列，且存在常数m＜0，使得a n≤m恒成立；④数列{a n}为单调递减数列，且存在常数m＜0，使得a n≤m恒成立．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二下学期6月期末联考试题数学
绝密★考试结束前2023学年第二学期浙南名校联盟期末联考高二数学学科试题考生须知：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2320A xx x =++>∣，集合{}02024B x x =≤≤∣，则（ ） A.A B ⋂=∅ B.A B ⋃=R C.A B ⊆ D.B A ⊆2.已知,,,M N P Q 是平面内四个互不相同的点，,a b 为不共线向量，20232025MN a b =+，20242024,NP a b PQ a b =+=-+，则（ ）A.,,M N P 三点共线B.,,M N Q 三点共线C.,,M P Q 三点共线D.,,N P Q 三点共线3.已知复数z =z =（ ）C.2D. 4.若sin18m =，则sin63=（ ）)m B.12m +C.2m D.2m 5.如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点（不同于,A B ）且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为（ ）A.60B.30C.45D.156.已知函数()e 1,0,0x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ）A.(),1∞--B.(],1∞--C.()1,0-D.[)1,0-7.函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>，若()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，且()()ππ02f f f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，则ω的值为（ ）A.23 B.23或2 C.13 D.1或138.正项数列{}n a 中，1n n a ka +=（k 为实数），若2022202320243a a a ++=，则222202220232024a a a ++的取值范围是（ ）A.[)3,9B.[]3,9C.[)3,15D.[]3,15二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,x y ∈R ，且123,124x y ==，则（ ） A.y x > B.1x y +>C.14xy << 10.高二年级安排甲､乙､丙三位同学到,,,,A B C D E 五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ） A.所有可能的方法有53种B.如果社区A 必须有同学选择，则不同的安排方法有61种C.如果同学甲必须选择社区A ，则不同的安排方法有25种D.如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，且()f x 不是常函数，则下列说法中正确的有（ ）A.若2为()f x 的周期，则()f x 为奇函数B.若()f x 为奇函数，则2为()f x 的周期C.若4为()f x 的周期，则()f x 为偶函数D.若()f x 为偶函数，则4为()f x 的周期非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若随机变量()()23,,3,X B p Y N σ~~，若()10.657,(13)P X P Y p ≥=≤<=，则(5)P Y >=__________.13.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，若动点P 在以AB 为直径的半圆上（正方形ABCD 内部，含边界），则PC PD ⋅的取值范围为__________.14.已知函数()3e xf x x a =-，若函数()f x 有三个极值点()123123,,x x x x x x <<，若323x x ≥，则实数a的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2sin sin cos sin cos a b c A C B B C -=. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 周长的最大值. 16.（本题满分15分）已知点30,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点M 在直线AB 上，且满足0,3PA AB AM AB ⋅==.（1）当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设Q 为（1）中的曲线C 上一点，直线l 过点Q 且与曲线C 在点Q 处的切线垂直，l 与曲线C 相交于另一点R ，当0OQ OR ⋅=（O 为坐标原点）时，求直线l 的方程.17.（本题满分15分）如图所示多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面,ABCD CF ⊥平面ABCD ，ADE 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，π2,3AB CF BAD ∠===.（1）求证：EF ∥平面ABCD ；（2）求二面角E AF C --的正弦值.18.（本题满分17分）已知函数()(),xf x ag x ax ==，其中0a >且1a ≠. （1）若e a =，试证明：()(),x f x g x ∀∈≥R 恒成立；（2）若()0,x ∞∈+，求函数()()()ln g x h x f x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的单调区间；（3）请判断2e π与2πe ⋅的大小，并给出证明.（参考数据：20.736,e 2.718,π 3.1416,ln π 1.145e≈≈≈≈）19.（本题满分17分）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行()*n n ∈N 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为n X ，恰有1个黑球的概率为n p ，恰有2个黑球的概率为n q ，恰有0个黑球的概率为n r .（1）求12,p p 的值；（2）根据马尔科夫链的知识知道111n n n n p a p b q c r ---=⋅+⋅+⋅，其中[],,0,1a b c ∈为常数，同时1n n n p q r ++=，请求出n p ；（3）求证：n X 的数学期望()n E X 为定值.2023学年第二学期浙南名校联盟期末联考高二数学学科参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.答案：0.2 13.答案：[]0,16 14.答案：(20,(ln3)⎤⎦四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）因为()2sin sin cossin cos A C B BC -=，即2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+， 可得()2sin cos sin sin A B B C A =+=，又因为()0,πA ∈，则sin 0A ≠，可得1cos 2B =，且 0πB<<，可得π3B =. （2）法一：由正弦定理可得4sin sin sin a b c A B C ====，则4sin ,4sin a A c C ==， 可得24sin 4sin 4sin 4sin π3a b c AC A A ⎛⎫++=+=+-⎪⎝⎭π4sin 2sin 6sin 6A A A A A A ⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，因为20π3A <<，则ππ5π666A <+<， 可得π6A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭ABC 周长的最大值为法二：由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，可得22212()3()32a c a c ac a c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当a c ==解得a c +≤ABC周长的最大值为16.详解：（1）设()0,0A x ，则由射影定理，有2AO BO OP =⋅，故22002332x OB x ==，即2020,3B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由13AB AM =，易得()2002,2M x x -，故M 的轨迹方程为()2102y x x =≠. （2）设2001,,2Q x x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭点处的切线斜率为20012x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，故()200011:2QR l y x x x x =--+.代入拋物线方程，解得200200212,22R x x x x ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭.由0OQ OR ⋅=， 得220000************ x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅--+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得4004,x x ==所以l的方程为22y x =-+或22y x =+. 17.【详解】（1）证明：取AD 中点N ，连接NE NC ､，因为ADE 是正三角形，所以,2sin603EN AD EN ⊥=⋅= 因为平面ADE ⊥平面,ABCD EN ⊂平面ADE ， 平面ADE ⋂平面ABCD AD =所以EN ⊥平面ABCD ，又因为CF ⊥平面ABCD ，所以EN∥CF ，又因为EN CF =，所以四边形ENCF 是平行四边形，所以EF ∥NC ，又因为NC ⊂平面,ABCD EF ⊄平面ABCD ，所以EF∥平面ABCD .（2）连接AC BD ､交于O ，取AF 中点M ，连接OM ，所以OM∥CF ，因为CF ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，因为OA OB ⊂､平面ABCD ，所以,OM OA OM OB ⊥⊥，又因为四边形ABCD 是菱形，所以OA OB ⊥，所以OA OB OM ､､两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()(11,0,1,0,,0,1,0,,0,,22AB C D N E F ⎫---⎪⎪⎝⎭⎝， ()3123,0,3,22AF AE ⎛=-=-- ⎝，设平面AEF 的法向量为(),,m x y z =，23031022AF m x AE m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩， 令()1,1,33,2x m ==，平面AFC 的法向量为()0,1,0n =， 设二面角E AF C --的大小为33,cos 88421m n m nθθθ⋅=====⋅⋅.所以二面角E AF C --. 18.证明：（1）设函数()()()x f x g x ϕ=-，则()e e xx ϕ'=-，当(),1x ∞∈-时()0x ϕ'<，当()1,x ∞∈+时()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()min ()110x f g ϕ=-=， 所以()0x ϕ≥，即()(),x f x g x ∀∈≥R 恒成立. （2）已知()()1ln ln ln ,ln h x x a x a h x a x =+-⋅=-'，从而01ln x a=， 若()0,1a ∈，则()()1ln 0,h x a h x x=->'在()0,∞+单调递增； 若()1,a ∞∈+，当10,ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0h x '>，当1,ln x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时()0h x '<，所以()h x 在10,ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，在1,ln x a ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭单调递减.（3）由（2）可知()ln ln πln πh x x x =+-⋅在10,ln π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因为11320.8730.736ln π 1.1454e≈≈>>≈ 从而由（2）知道()h x 在23,e 4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.所以23e 4h h ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 计算33331ln ln πln πln ln π44444h ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭.比较4ln 3和1ln π4的大小，因为 44256 3.16π381⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以304h ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 由此可知230e 4h h ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即222ln ln πln π0e e e h ⎛⎫=+-⋅< ⎪⎝⎭， 从而2e 222ln ln πln πln πln πe e e ⎛⎫⎛⎫+<⋅⇔⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2e 2ππe >⋅.19.详解：（1）设恰有2个黑球的概率为n q ，则恰有0个黑球的概率为1n n p q --.由题意知1111112211211111113333C C C C C C 52,C C 9C C 9p q +====， 所以()111111112332221121111111111333333C C C C C C C C 491C C C C C C 81p p q p q +=++--=. （2）因为()111111112332221111111111111333333C C C C C C C C 121C C C C C C 93n n n n n n p p q p q p -----+=++--=-+， 所以1313595n n p p -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.又因为1320545p -=-≠，所以35n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以245-为首项，19-为 公比的等比数列.所以11321213,54594595n n n n p p --⎛⎫⎛⎫-=-⨯-=-⨯-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （3）因为11111321111111113333C C C C 21C C C C 93n n n n n q p q p q ----=+=+①，()()1111311211111111113333C C C C 21111C C C C 93n n n n n n n n q p p q p p q p --------=+--=+--②所以①②，得()11121213n n n n q p q p --+-=+-.又因为11210q p +-=，所以210n n q p +-=.所以1nn p q -=.所以n X 的概率分布列为：所以()110112122n n n n n p p E X p p --⎛⎫=⨯--+⨯+⨯= ⎪⎝⎭.所以n X 的数学期望()n E X 为定值1.。
2023-2024学年北京市大兴区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．椭圆x 29+y 24=1的长轴长是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．42．双曲线x 24−y 22=1的渐近线方程是（ ）A ．y ＝±√2xB ．y ＝±√22xC ．y ＝±12xD ．y ＝±2x3．若直线l 的方向向量为（2，1，m ），平面α的法向量为（1，12，2），且l ⊥α，则m ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．两条平行直线x ﹣y ＝0与x ﹣y ﹣1＝0间的距离等于（ ） A ．√22B ．1C ．√2D ．25．过点（1，0）且被圆x 2+（y +2）2＝1截得的弦长最大的直线方程为（ ） A ．2x +y ﹣2＝0B ．2x ﹣y ﹣2＝0C ．x +2y ﹣1＝0D ．x ﹣2y ﹣1＝06．圆C 1：x 2+y 2＝2与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝2的位置关系是（ ） A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切7．采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：907 966 181 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为（ ） A ．310B ．720C ．25D ．9208．若方程x 2m−3+y 24−3m =1表示双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(−∞，43)∪(3，+∞)B ．(43，3)C ．(−∞，−43)∪(3，+∞)D ．(−43，3)9．如图F 1，F 2是双曲线C 1：x 2−y 28=1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限内的公共点，若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是（ ）A ．23B ．45C ．35D ．2510．平面内与定点F 1（﹣a ，0），F 2（a ，0）距离之积等于a 2（a ＞0）的动点的轨迹称为双纽线．曲线C 是当a ＝2√2时的双纽线，P 是曲线C 上的一个动点，则下列结论不正确的是（ ） A ．曲线C 关于原点对称B ．满足|PF 1|＝|PF 2|的点P 有且只有一个C ．|OP |≤4D ．若直线y ＝kx 与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为（﹣1，1） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
河南省鹤壁市高中2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学含答案
鹤壁市高中2023—2024学年（下）期末考试高二数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合2π4π6π2πsin sin sin sin ,Z,02023202320232023k A x x k k ⎧⎫==+++⋅⋅⋅+∈⎨⎬⎩⎭|>，则集合A 的元素个数为（）A.1011B.1012C.2022D.20232.已知实数2log 3a =，2cos36b =，c =,,a b c 的大小关系是（）A.b c a>> B.b a c>> C.a b c>> D.a c b>>3.在四面体ABCD 中，点E 满足DE DC λ=，F 为BE 的中点，且111236AF AB AC AD =++ ，则实数λ=（）A.14B.13C.12D.234.在ABC 中，π3B =，D 是AB的中点，CD =，则2AB BC +的取值范围为（）A.B.(C.(D.(0,5.已知tan()αβ+，tan()αβ-是函数2()64f x x x =-+的零点，则23πcos 224sin 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-（）A.25-B.35-C.710-D.45-6.已知()()()()()()828901289321111x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ ，则8a =（）A.8B.10C.82D.927.已知正方体1111ABCD A B C D -，过点B 且以1DB为法向量的平面为α，则α截该正方体所得截面的形状为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形8.已知a ，b ∈R ，若2a b ≤<，b a a b =，则b 的可能值为（）A.2.5B.3.5C.4.5D.6二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．9.已知正实数,a b 满足221a ab b -+=，则（）A.a b +的最大值为2B.ab 的最小值为1C.22a b +的最大值为2D.22a b +的最小值为110.随机变量X ，Y 分别服从正态分布和二项分布，即()~2,1X N ，14,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则（）A.()122P X ≤=B.()()E X E Y = C.()()D X D Y = D.()112P Y ==11.已知圆()221:31C x y -+=，()2222:0C x y a a +=>，则下列结论正确的有（）A.若圆1C 和圆2C 相交，则24a <<B.若圆1C 和圆2C 外切，则2a =C.当52a =时，圆1C 和圆2C 有且仅有一条公切线D.当3a =时，圆1C 和圆2C 相交弦长为3三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()14f x -，()124x f x -+都为偶函数，则()651k f k ='=∑______．13.在ABC 中，若2225AC BC AB +=，则tan tan tan tan C CA B+=__________．14.直线l 经过点()2,3P -，与圆22:22140C x y x y +++-=相交截得的弦长为，则直线l 的方程为________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，某机械厂积极响应决定进行转型升级．经过市场调研，转型升级后生产的固定成本为300万元，每生产x 万件产品，每件产品需可变成本()p x 万元，当产量不足50万件时，()21160120p x x =+；当产量不小于50万件时，()264001460201p x x x=+-．每件产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完．（1）求利润函数的解析式；（2）求利润函数的最大值．16.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos a C c A b A +=.（1）求角A ；（2）若a =2b =，求边c 及ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，求()sin 2B A -的值.17.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，平面PAB ⊥平面,,1ABCD PA AB PA AB ⊥==，M 为棱PD 的中点．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面ACM 与平面PAB 夹角的正弦值．18.已知双曲线2222;1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点63,2⎛ ⎝⎭，右焦点为(),0F c ，且222,,c a b 成等差数列.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的右支交于,P Q 两点（P 在Q 的上方），PQ 的中点为,M M 在直线:2l x =上的射影为,N O 为坐标原点，设POQ △的面积为S ，直线,PN QN 的斜率分别为12,k k ，试问12k k S-是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.19.已知实数0q ≠，定义数列{}n a 如下：如果{}2012222,0,1kk i n x x x x x =++++∈ ，0,1,2,,i k = ，则2012kn k a x x q x q x q =++++ ．（1）求7a 和8a （用q 表示）；（2）令12n n b a -=，证明：211n nii b a-==∑；（3）若12q <<，证明：对于任意正整数n ，存在正整数m ，使得1n m n a a a <≤+．鹤壁市高中2023—2024学年（下）期末考试高二数学试题卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合2π4π6π2πsin sin sin sin ,Z,02023202320232023k A x x k k ⎧⎫==+++⋅⋅⋅+∈⎨⎬⎩⎭|>，则集合A 的元素个数为（）A.1011B.1012C.2022D.2023【答案】B 【解析】【分析】依题意由表达式中角的特征可知当01011,Z k k ≤∈<时，2πsin 2023k 的取值各不相同，当1012k ≥时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为1012.【详解】根据题意可知，当01011,Z k k ≤∈<时，()2π0,π2023k ∈，此时()2πsin 0,12023k ∈；又因为2023为奇数，2k 为偶数，且2π2023k 中的任意两组角都不关于π2对称，所以2πsin 2023k 的取值各不相同，因此当01011,Z k k ≤∈<时集合A 中x 的取值会随着k 的增大而增大，所以当1011k =时，集合A 中有1011个元素；当1012k =时，易知2π4π2022π2024πsin sin sin sin 2023202320232023x =++⋅⋅⋅++2π4π2022ππsin sin sin sin π2023202320232023⎛⎫=++⋅⋅⋅+++ ⎪⎝⎭2π4π2022ππsinsin sin sin 2023202320232023=++⋅⋅⋅+-又易知2022ππsin sin 20232023=，所以可得2π4π2022π2024π2π4π2020πsin sin sin sin sin sin sin 2023202320232023202320232023x =++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+，即1012k =时x 的取值与1010k =时的取值相同，根据集合元素的互异性可知，1012k =时并没有增加集合中的元素个数，当2022k =时，易知2π4π4042π4044πsinsin sin sin 2023202320232023x =++⋅⋅⋅++2π4π2022π2022π4π2πsin sin sin sin sin sin 202320232023202320232023=+⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅--0=，可得当1012k ≥时，集合A 中的元素个数只增加了一个0，所以可得集合A 的元素个数为1012个.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当1012k ≥时，集合A 中的元素个数的增加情况即可求得结果.2.已知实数2log 3a =，2cos36b = ，c =,,a b c 的大小关系是（）A.b c a >>B.b a c>> C.a b c>> D.a c b>>【答案】B 【解析】【分析】利用余弦函数的单调性可得到b c >，利用对数函数的单调性可得到a c >，假设在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，角B 的平分线交边AC 于点D ，利用长度关系和正弦定理可得到152cos362+︒=，然后利用作差法能得到b a >，即可求解【详解】由于cos36cos 45︒>︒可得2cos36︒>b c >，又由于2223log 3log log 2=>=>a c >，假设在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，角B 的平分线交边AC 于点D ，所以18036722C ABC ︒-︒∠=∠==︒，36CBD ABD ∠=∠=︒，180367272BDC ∠=︒-︒-︒=︒，所以BCD ABC △△,所以BC AB CD BC =即2BC CD AB =，所以2BC AD AC CD AB AB =-=-，所以2BC BC BD AD AB AB===-，所以22BC AB AB BC ⋅=-即21AB AB BC BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得12AB BC +=，在ABC 中，sin 72sin 36AB BC =︒︒即sin 722sin 36cos362cos36sin 36sin 36AB BC ︒︒︒===︒︒︒，所以12cos362+︒=，由于5832<即5ln 38ln 2<，所以ln 38ln 25<，所以28log 35a =<，因为85161101251010+=+--=>，所以b a >，所以b a c >>故选：B【点睛】关键点点睛：这道题的关键时计算出12cos362︒=，需假设在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，角B 的平分线交边AC 于点D ，然后利用相似三角形和正弦定理即可得到3.在四面体ABCD 中，点E 满足DE DC λ=，F 为BE 的中点，且111236AF AB AC AD =++ ，则实数λ=（）A.14B.13C.12D.23【答案】D 【解析】【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解.【详解】由F 为BE 的中点，得1122AF AB AE =+，又111236AF AB AC AD =++ ，所以2133AE AC AD =+ ，由DE DC λ= ，得()AE AD AC AD λ-=- ，即()1AE AC AD λλ=+- ，所以2.3λ=故选：D4.在ABC 中，π3B =，D 是AB 的中点，3CD =，则2AB BC +的取值范围为（）A.(3,3 B.(3,6 C.(23,43 D.(0,43【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由正弦定理可得2sin ,2sin BD BCD BC BDC =∠=∠，即可得到π236AB BC BCD ⎛⎫+=∠+ ⎪⎝⎭，再由正弦型函数的值域，代入计算，即可求解.【详解】因为π3B =，3CD =，在BCD △中，由正弦定理可得32sin sin sin 32BD BC CDBCD BDC B===∠∠∠，则2sin ,2sin BD BCD BC BDC =∠=∠，且D 是AB 的中点，则2224sin 4sin AB BC BD BC BCD BDC +=+=∠+∠，又π3B =，则2π3BCD BDC ∠=-∠，则224sin π4sin 3AB BC BDC BDC ⎛⎫+=-∠+∠⎪⎝⎭14cos sin 22BCD BCD BCD ⎛⎫=∠+∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭34sin 22BCD BCD ⎛⎫=∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭π6BCD ⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭，又20π3BCD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，，则ππ5π666BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭，，所以π1sin 162BCD ⎛⎫⎛⎤∠+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，则(π6BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭，即2AB BC +的取值范围为(.故选：C5.已知tan()αβ+，tan()αβ-是函数2()64f x x x =-+的零点，则23πcos 224sin 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-（）A.25-B.35-C.710-D.45-【答案】B 【解析】【分析】利用韦达定理求出tan()tan()αβαβ++-，tan()tan()αβαβ+-，再由诱导公式变形()()()()23πcos 2sin sin 2124sin 22cos 22cos ααβαβαββαβαβ⎛⎫+ ⎪⎡⎤++-⎝⎭⎣⎦==-⨯--⎡⎤+--⎣⎦，最后由和（差）角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切.【详解】因为tan()αβ+，tan()αβ-是函数2()64f x x x =-+的零点，所以tan()tan()6αβαβ++-=，tan()tan()4αβαβ+-=，所以()()()()23πcos 2sin sin 2124sin 22cos 22cos ααβαβαββαβαβ⎛⎫+ ⎪⎡⎤++-⎝⎭⎣⎦==-⨯--⎡⎤+--⎣⎦()()()()()()()()sin cos cos sin 12cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβ+-++-=-⨯+-++-()()()()tan tan 116321tan tan 2145αβαβαβαβ++-=-⨯==-⨯=-++-+.故选：B 6.已知()()()()()()828901289321111x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ ，则8a =（）A.8B.10C.82D.92【答案】B 【解析】【分析】由()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，利用二项式定理求解指定项的系数.【详解】()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，其中()811x ⎡⎤++⎣⎦展开式的通项为()()88188C 11C 1rrr r rr T x x --+=+⋅=+，N r ∈且8r ≤，当0r =时，()()8818C 11T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的2，可得()821x +；当1r =时，()()77128C 181T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的()1x +，可得()881x +.所以82810a =+=.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把()()832x x ++表示成()()81211x x ⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦，利用即可二项式定理求解.7.已知正方体1111ABCD A B C D -，过点B 且以1DB 为法向量的平面为α，则α截该正方体所得截面的形状为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】A 【解析】【分析】作出辅助线，根据线面垂直的判定定理得到1B D ⊥平面11A C B ，故平面α即为平面11A C B ，得到截面的形状.【详解】连接111111,,,A C BA BC B D ，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，所以111BB AC ⊥，又四边形1111D C B A 为正方形，所以1111B D A C ⊥，又1111BB B D B ⋂=，111,BB B D ⊂平面11BB D D ，所以11A C ⊥平面11BB D D ，因为1DB ⊂平面11BB D D ，所以111A C DB ⊥，同理可证明11BC DB ⊥，因为1111BC A C C ⋂=，111,BC A C ⊂平面11A C B ，故1B D ⊥平面11A C B ，故平面α即为平面11A C B ，则α截该正方体所得截面的形状为三角形.故选：A.8.已知a ，b ∈R ，若2a b ≤<，b a a b =，则b 的可能值为（）A.2.5B.3.5C.4.5D.6【答案】B 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x =，求导确定其单调性，结合(2)(4)f f =可得答案.【详解】由b a a b =得ln ln a b a b=，设()ln xf x x =，则()()f a f b =，又21ln ()xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当e x >时，()0f x '<，()f x 单调递减．因为ln 22ln 2ln 4(2)(4)244f f ====，所以2e 4a b ≤<<≤．结合选项可知B 正确，ACD 错误.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．9.已知正实数,a b 满足221a ab b -+=，则（）A.a b +的最大值为2B.ab 的最小值为1C.22a b +的最大值为2D.22a b +的最小值为1【答案】AC 【解析】【分析】由题可得223(124b b a -+=，可令cos 2b a θ-=，sin 2θ=，即cos 3a θθ=+，sin 3b θ=，代入选项依次化简即可结果.【详解】由221a ab b -+=，可得223()124b b a -+=，令cos 2b a θ-=，3sin 2θ=，所以cos sin 3a θθ=+，sin 3b θ=，2π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对于A ，则πcos 2sin()6a b θθθ=++=，当π3θ=时，a b +取最大值为2，故A 正确对于B ，22112π1cos cos sin 2cos 2sin(2)333363ab θθθθθθθθθ⎛⎫=+=+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭当π3θ=时，ab 的最大值为1，故B 错误；对于C 、D ，由B 可得01ab <≤，由221a b ab +=+，则2221a b <≤+，故C 正确，D 错误.故选：AC10.随机变量X ，Y 分别服从正态分布和二项分布，即()~2,1X N ，14,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则（）A .()122P X ≤=B.()()E X E Y =C.()()D X D Y =D.()112P Y ==【答案】ABC【解析】【分析】A 选项，根据正态分布对称性得到A 正确；BC 选项，根据正态分布和二项分布求期望和方差公式求出答案；D 选项，利用二项分布求概率公式进行求解.【详解】A 选项，根据正态分布的定义得()12P X μ≤=，故A 正确；B 选项，()2E X μ==，()1422E Y =⨯=，故()()E X E Y =，故B 正确；C 选项，()21D X σ==，()114122D Y =⨯⨯=，故()()D X D Y =，故C 正确；D 选项，()3141111C ×1224P Y ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：ABC ．11.已知圆()221:31C x y -+=，()2222:0C x y aa +=>，则下列结论正确的有（）A.若圆1C 和圆2C 相交，则24a <<B.若圆1C 和圆2C 外切，则2a =C.当52a =时，圆1C 和圆2C 有且仅有一条公切线D.当3a =时，圆1C 和圆2C 相交弦长为【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意求圆心和半径.对于AB ：根据圆与圆的位置关系分析求解；对于C ：结合选项A 分析判断；对于D ：先两圆方程作差求公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求弦长.【详解】由题意可知：圆()221:31C x y -+=的圆心()13,0C ，半径11r =；圆()2222:0C x y a a +=>的圆心()20,0C ，半径2r a =；则123C C =，对于选项A ：若圆1C 和圆2C 相交，则121212r r C C r r -<<+，即131a a -<<+，解得24a <<，故A 正确；对于选项B ：若1C 和2C 外切，则1212C C r r =+，即31a =+，解得2a =，故B 正确；对于选项C ：当52a =时，由选项A 可知：圆1C 和圆2C 相交，所以圆1C 和圆2C 有且仅有2条公切线，故C 错误；对于选项D ：当3a =时，由选项A 可知：圆1C 和圆2C 相交，且圆221:680C x y x +-+=，222:9C x y +=，两圆方程作差得176x =，即公共弦所在直线的方程为176x =，圆心()20,0C 到直线176x =的距离176d =，所以公共弦长为3=，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()14f x -，()124x f x -+都为偶函数，则()651k f k ='=∑______．【答案】520【解析】【分析】利用函数的奇偶性，推出函数()f x '的图象关于点(1,0)对称以及关于点1(2,4对称，即可依次求得(1),(2),f f '' 的值，根据等差数列的求和公式，即可求得答案.【详解】因为(14)f x -为偶函数，则(14)(14)f x f x +=-，即(1)(1)f x f x +=-，则(1)(1)f x f x ''+=--，即(1)(1)0f x f x ''++-=，故()f x '的图象关于点(1,0)对称，且()01f '=；又1(2)4x f x -+为偶函数，则11(2)(2)44x f x x f x ---+=-+，则11(2)(2)44f x f x ''-+-+=-+，即1(2)(2)2f x f x ''-+++=，故()f x '的图象关于点1(2,4对称，且1(2)4f '=，又将1x =代入(1)(1)0f x f x ''++-=得(2)(0)0f f ''+=，则1(0)4f '=-；令1x =，由1(2)(2)2f x f x ''-+++=可得1(3)(1)2f f ''+=，则1(3)2f '=；同理可得1(4)(0)2f f ''+=，则3(4)4f '=；因为1(5)(1)2f f ''+-=，(3)(1)0f f ''+-=，所以1(5)(3)2f f ''-=，则(5)1f '=；L ，由此可得(),N f n n *'∈组成了以0为首项，14为公差的等差数列，故16511365641()01665052042424k f k =⨯'=+++++=⨯+⨯=∑，故答案为：520【点睛】关键点睛：解答此类关于抽象函数的性质类问题，要能综合利用函数的性质进行求解，比如函数的奇偶性和对称性以及周期性等，解答本题的关键就在于要根据函数的奇偶性推出函数的对称性，从而采用赋值法求值，发现规律，进而求解.13.在ABC 中，若2225AC BC AB +=，则tan tan tan tan C CA B+=__________．【答案】12##0.5【解析】【分析】先将目标式切变弦变形整理，然后利用余弦定理计算将条件代入，结合目标式可得答案.【详解】2tan tan cos cos sin sin cos cos sin sin tan tan tan sin sin cos sin sin sin sin cos C C A B C A B A BC C A B A B C A B A B C +⎛⎫+=+=⋅= ⎪⎝⎭．由余弦定理得22224cos 22AC BC AB AB C AC BC AC BC+-==⋅⋅．由正弦定理得22sin cos sin sin CC A B=，从而2sin sin cos 2sin A B C C =．所以tan tan 1tan tan 2C C A B +=．故答案为：12.14.直线l 经过点()2,3P -，与圆22:22140C x y x y +++-=相交截得的弦长为，则直线l 的方程为________．【答案】512460x y --=或2x =【解析】【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离，分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出直线方程.【详解】圆22:22140C x y x y +++-=，即()()221116x y +++=，圆心为()1,1C --，半径4r =，因为直线与圆相交截得的弦长为所以圆心到直线的距离3d ==，若直线的斜率不存在，此时直线方程为2x =，满足圆心()1,1C --到直线2x =的距离为3，符合题意；若直线的斜率存在，设斜率为k ，则直线方程为()32y k x +=-，即230kx y k ---=，则3d =，解得512k =，所以直线方程为()53212y x +=-，即512460x y --=，综上可得直线方程为512460x y --=或2x =.故答案为：512460x y --=或2x =四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，某机械厂积极响应决定进行转型升级．经过市场调研，转型升级后生产的固定成本为300万元，每生产x 万件产品，每件产品需可变成本()p x 万元，当产量不足50万件时，()21160120p x x =+；当产量不小于50万件时，()264001460201p x x x=+-．每件产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完．（1）求利润函数的解析式；（2）求利润函数的最大值．【答案】（1）()3140300,050,12064001160,50x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩．（2）1000万元．【解析】【分析】（1）根据题意，分段表示销售利润，即得利润函数；（2）对利润函数分段讨论，利用求导、基本不等式等方法求函数的最大值即得.【小问1详解】由题意得，销售收入为200x 万元．当产量不足50万件时，()21160120p x x =+，利润为：()()2311200300200(160)30040300120120f x x x p x x x x x x =-⋅-=-⋅+-=-+-；当产量不小于50万件时，()264001460201p x x x=+-，利润为：()()2640014606400200300200(201)3001160f x x x p x x x x x x x=-⋅-=-+--=--+.所以利润函数为()3140300,050,12064001160,50x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩．【小问2详解】当050x <<时，()()()1404040f x x x +'=--，所以当040x <<时，()()0,f x f x '>在()0,40上单调递增；当4050x <<时，()()0,f x f x '<在()40,50单调递减，所以当40x =时，()f x 取得最大值()2300403f =；当50x ≥时，()6400116011601000f x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭当且仅当6400x x =，即80x =时，等号成立又230010003>，故当80x =时，所获利润最大，最大值为1000万元．16.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos a C c A b A +=.（1）求角A ；（2）若a =2b =，求边c 及ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，求()sin 2B A -的值.【答案】（1）π3（2）3c =，ABC S =△（3）14【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出cos A ，即可得角A ；（2）根据余弦定理求得边长c ，再利用面积公式求解即可.（3）利用正弦定理求出sin 7B =，再求出cos 7B =，再利用二倍角公式求出sin 2,cos 2B B ，最后再利用两角和与差的正弦公式即可.【小问1详解】因为cos cos 2cos a C c A b A +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=，即()sin 2sin cos A C B A +=，即sin 2sin cos B B A =，又()0,πB ∈，所以sin 0B >，则1cos 2A =，又()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】由余弦定理得2222471cos 242b c a c A bc c +-+-===，整理得2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以ABC 的面积11sin 232222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△.【小问3详解】由正弦定理得sin sin a b A B =，即2πsin sin 3B =，解得sin 7B =，因为c a b >>，故角B 为锐角，故cos 7B ==，所以212743sin 22sin cos 2777B B B ==⨯=，221cos 212sin 1277B B ⎛=-=-⨯= ⎝⎭，所以sin(2)sin 2cos cos 2sin B A B A B A-=-11727214=⨯-⨯=.17.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，平面PAB ⊥平面,,1ABCD PA AB PA AB ⊥==，M 为棱PD 的中点．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面ACM 与平面PAB 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）63【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】因为平面PAB ⊥平面ABCD ，PA AB ⊥，且平面PAB ⋂平面,ABCD AB PA =⊂平面PAB ，所以PA ⊥平面ABCD ．【小问2详解】由题意和（1）知，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x ，y ，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,0P A B D C ．可得11110,,,(1,1,0),0,,2222M AC AM ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．易知平面PAB 的一个法向量为(0,1,0)AD =．设平面ACM 的法向量为(,,)n x y z = ，则·011·022n AC x y n AM y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，令1y =-，则1,1x z ==，可得(1,1,1)n =-．设平面ACM 与平面PAB 的夹角为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos cos ,3·n AD n AD n ADθ⋅====，可得6sin 3θ==所以平面ACM 与平面PAB的夹角的正弦值为3．18.已知双曲线2222;1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点3,2⎛ ⎝⎭，右焦点为(),0F c ，且222,,c a b 成等差数列.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的右支交于,P Q 两点（P 在Q 的上方），PQ 的中点为,M M 在直线:2l x =上的射影为,N O 为坐标原点，设POQ △的面积为S ，直线,PN QN 的斜率分别为12,k k ，试问12k k S-是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.【答案】（1）22163x y -=（2）是定值，定值为23【解析】【分析】（1）根据题意和222c a b =+可得222a b =，然后根据点3,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在双曲线上即可求解；（2）依题意可设PQ ：3x my =+，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到()222630m y my -++=，利用韦达定理和已知条件求出12k k -的表达式，然后求出12k k S-的表达式，化简即可求证.【小问1详解】因为2c ，2a ，2b 成等差数列，所以2222a c b =+，又222c a b =+，所以222a b =.将点63,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的坐标代入C 的方程得2269412b b -=，解得23b =，所以26a =，所以C 的方程为22163x y -=.【小问2详解】依题意可设PQ ：3x my =+，由223163x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()222630m y my -++=,设()11,P x y ，()22,Q x y ，12y y >，则1221226232m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩.1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，122,2y y N +⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1221122112121222222211PN QN y y y y y y y y k k k k x x my my -----=-=-=--++()()()121221212221y y m y y m y y m y y ⎡⎤-++⎣⎦=⎡⎤+++⎣⎦，而()()12121322S OF y y y y =⋅-=-，所以()()121221212231m y y k k S m y y m y y ++-=⎡⎤+++⎣⎦22222222624422663363122m m m m m m m m -+---===--⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭，所以12k k S -是定值，定值为23.【点睛】关键点点睛：（1）本题的关键是根据题目条件得到等式，解方程组；（2）本题的关键是把目标转化成两根之和以及两根之积的形式，然后代入韦达定理化简.19.已知实数0q ≠，定义数列{}n a 如下：如果{}2012222,0,1kk i n x x x x x =++++∈ ，0,1,2,,i k = ，则2012k n k a x x q x q x q =++++ ．（1）求7a 和8a （用q 表示）；（2）令12n n b a -=，证明：211n n i i b a-==∑；（3）若12q <<，证明：对于任意正整数n ，存在正整数m ，使得1n m n a a a <≤+．【答案】（1）23781,a q q a q=++=（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）观察题目条件等式中的系数可得答案；（2）112n n n b a q --==，分别计算1ni i b =∑和21n a -可证明结论；（3）先根据112n n a q--=无上界说明存在正整数m ，使得n m a a <，分1m -是偶数和1m -是奇数分别说明.【小问1详解】因为27122=++，所以271a q q =++；因为382=，所以38a q =；【小问2详解】由数列{}n a 定义得：112n n n b a q--==；所以2111n n i i b q q q -==++++∑ ．而21211222n n --=++++ ，所以121211n n n i i a q q qb --==++++=∑ ；【小问3详解】当12q <<，由（2）可知，112n n a q --=无上界，故对任意n a ，存在m a ，使得m n a a >．设m 是满足m n a a >的最小正整数．下面证明1m n a a ≤+．①若1m -是偶数，设{}2121222,0,1,1,2,,k k i m x x x x i k -=+++∈= ，则2121222k k m x x x =++++ ，于是212111k m k m a x q x q x q a -=++++=+ ．因为1n m a a -≥，所以111m m n a a a -=+≤+．②若1m -是奇数，设2221122222l l k l k m x x ++-=+++++++ ，则()()()()12221111111l l l l m m a a q q q q q q q q q q q +--=-++++=-++++-+++++< ．所以111m m n a a a -<+≤+．综上所述，对于任意正整数n ，存在正整数m ，使得1n m n a a a <≤+．。
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高二年级期末考试
数学试题
一、选择题：(本大题共15小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.)
1.已知直线经过点P(2,3),且倾斜角为3π
,则这条直线的方程是( )
A.23)y x -=-
B.32)y x -=-
C.3(2)3y x -=-
D.2(3)3y x -=-
2.已知直线3(1)50x k y +-+=与直线0x y -=平行,则k 的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3.直线2x =与直线3y =的夹角为( )
A.30o
B.60o
C.90o
D.一直线的斜率不存在,无法求
4.直线130kx y k -+-=,当k 变动时,所有的直线都经过定点( )
A.(0,0)
B.(3,1)
C.(-3,-1)
D.(3,-1)
5.直线y =与圆22(2)4x y -+=( )
A.相交且过圆心
B.相交不过圆心
C.相切
D.相离
6.如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是(
) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
7.双曲线2
2
1124y x -=的渐近线方程为( )
A.3y x =±
B.2y x =±
C.y =
D.3y x =±
8.抛物线22y px =的焦点与椭圆22
1164x
y
+=的右焦点重合,则p 的值为( )
A. B. C. D.4
9.在空间,两条直线为异面直线是指( )
A.它们不相交
B.它们分别在两个平面内
C.它们不同在任何一个平面内
D.它们不平行
10.如图,在正方体ABCD A B C D ''''-中,直线DA ' 与AC 所在直线的夹角为( )
A.30o
B.45o
C.60o
D.90o
11.如果直线l ∥平面α,直线a α⊂,那么,下列结论正确的是( )
A.l ∥a
B.l 与a 可相交
C.l 与a 异面
D.l 与a 没有公共点
12.设a 、b 是空间两条直线,α是一个平面,则下列命题中,真命题是( )
A.若,,a a b α⊥⊥则b ∥α
B.若a ∥,,a b α⊥则b α⊥
C.若a α⊥,b ∥α,则a b ⊥
D.若a ∥α,b ∥α,则a ∥b
13.设a 、b 是空间两条直线,αβ、是两个平面,则下列命题中,
①若,,a a αβ⊥⊥则α∥β; ②若,a b αα⊂⊂,且a ∥,b β∥β,则α∥β;
③若a α⊥,a β⊂,则αβ⊥; ④若a α⊥,b β⊥,α∥β,则a ∥b .
真命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
14.已知P 是ABC ∆所在平面外的一点,O 是P 在该平面内的射影,如果PA =PB=PC,那么O 是ABC ∆的( )
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
15.已知等腰直角ABC ∆中,AB=AC,AD 为斜边上的高,以AD 为折痕使BDC ∠成直角,则
BAC ∠的度数是( )
A.30o
B.45o
C.60o
D.90o
二、填空题：(本大题共5小题,每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上.)
16.过点(1,2),且与直线2100x y +-=垂直的直线方程是 .
17.经过点A(3,-1),并且对称轴都在坐标轴上,对称中心在坐标原点的等轴双曲线的方程
是 .
18.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.若定点F 到定直
线l 的距离是1,取经过定点F 且垂直于定直线l 的直线为x 轴, x 轴与直线l 相交于点K,以
线段KF 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则抛物线的方程是 .
19.已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角为60o ,这条直线与斜线在平面内的射影的夹角为45o ,则平面的斜线与平面所成角的度数是 .
20.下列命题中,
(1)在空间一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形;
(2)对任意两条异面直线a 、b ,存在平面αβ、,使,a b αβ⊂⊂且α∥β;
(3)过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,并且这些直线都在同一平面内;
(4)过已知平面的一条斜线的平面一定不会与已知平面垂直.
真命题有 (只填序号).
三、解答题：(本大题共5小题,每小题10分,共50分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
21.已知两定点A(-2,0),B(2,0),且动点P 使PA ⊥PB,求点P 的轨迹方程.
22.过抛物线2
2y px =的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为12y y 、,
求证:212y y p =-.
23. :已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面,M 、N 分别是AB 、PC 的中点.
(1) 求证:MN ∥平面PAD;
(2) 求证:MN ⊥CD;
24.平面α与β相交于直线CD,EA 垂直于α于点A,EB 垂直于β于点B,
(1)求证:CD ⊥AB;
(2)若135AEB ∠=o
,求二面角α-l -β的度数.
25.当α从0º到180º变化时,判定方程x 2+y 2cos α=1表示怎样的曲线?
2004年秋季高二年级期末考试数学试题(参考答案)
一、 选择题：
1.B
2.D
3.C
4.B
5.B
6.A
7.C 8.A 9.C 10.C 11.D 12.C 13.C 14.B 15.C
二、 填空题:
16.x-2y+3=0 17.228x y -= 18.22y x = 19.45o 20.①②③
三、 解答题:
21.224(0)x y y +=≠ 22~25略。