二次函数练习题附答案
完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)
完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)1.抛物线$y=-3x^2+2x-1$与坐标轴的交点情况是(A)没有交点。
(C)有且只有两个交点。
(D)有且只有三个交点。
2.已知直线$y=x$与二次函数$y=ax^2-2x-1$的一个交点的横坐标为1,则$a$的值为(C)3.3.二次函数$y=x^2-4x+3$的图象交$x$轴于$A$、$B$两点,交$y$轴于点$C$,则$\triangle ABC$的面积为(B)4.4.函数$y=ax^2+bx+c$中,若$a>0$,$b<0$,$c<0$,则这个函数图象与$x$轴的交点情况是(D)一个在$x$轴的正半轴,另一个在$x$轴的负半轴。
5.已知$(2,5)$、$(4,5)$是抛物线$y=ax^2+bx+c$上的两点,则这个抛物线的对称轴方程是(B)$x=3$。
6.无法正确反映函数$y=ax+b$图象的选项已删除。
7.二次函数$y=2x^2-4x+5$的最小值是$4.5$。
8.某二次函数的图象与$x$轴交于点$(-1,0)$,$(4,0)$,且它的形状与$y=-x$形状相同。
则这个二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{25}(x-1)(x-4)$。
9.若函数$y=-x+4$的函数值$y>0$,则自变量$x$的取值范围是$(-\infty,4)$。
10.某品牌电饭锅成本价为70元,销售商对其销量与定价的关系进行了调查,结果如下:定价(元) 100 110 120 130 140 150 销量(个) 80 100 110 100 80 60.为获得最大利润,销售商应将该品牌电饭锅定价为120元。
11.函数$y=ax^2-(a-3)x+1$的图象与$x$轴只有一个交点,那么$a$的值和交点坐标分别为$(a,0)$和$(\frac{a-3}{2},0)$。
12.某涵洞是一抛物线形,它的截面如图3所示,现测得水面宽$AB=1.6m$,涵洞顶点$O$到水面的距离为$2.4m$,在图中的直角坐标系内,涵洞所在抛物线的解析式为$y=-\frac{5}{6}(x-2)^2+2.4$。
(完整word版)二次函数精选练习题及答案
二次函数练习题及答案一、选择题1. 将抛物线23y x =先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是 ( )A 23(2)1y x =++B 。
23(2)1y x =+-C 。
23(2)1y x =-+ D.23(2)1y x =-- 2.将抛物线22+=x y 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是………………( ) A.32+=x y ; B.12+=x y ;C.2)1(2++=x y ; D.2)1(2+-=x y .3.将抛物线y= (x —1)2+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( )A .y=(x —2)2B .y=(x —2)2+6C .y=x 2+6D .y=x 24.由二次函数1)3(22+-=x y ,可知( )A .其图象的开口向下B .其图象的对称轴为直线3x =-C .其最小值为1D .当x<3时,y 随x 的增大而增大5.如图,抛物线的顶点P 的坐标是(1,﹣3),则此抛物线对应的二次函数有( )A .最大值1B .最小值﹣3C .最大值﹣3D .最小值16.把函数()y f x ==246x x -+的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,所得图象对应的函数的解析式是( )A .2(3)3y x =-+B .2(3)1y x =-+C .2(1)3y x =-+D .2(1)1y x =-+7.抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为322--=x x y ,则b 、c 的值为A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C 。
b= -2,c=-1 D 。
b= -3, c=2二、填空题8.二次函数y=-2(x -5)2+3的顶点坐标是 .9.已知二次函数2y x bx c =-++中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示,点11(,)A x y 、22(,)B x y 在函数图象上,当1201,23x x <<<<时,则1y 2y (填“>”或“<”).x 0 1 2 3 y1- 2 3 210.在平面直角坐标系中,将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°,所得抛物线的解析式为 .11.求二次函数2245y x x =--的顶点坐标(___)对称轴____。
二次函数测试题及答案
二次函数测试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是二次函数的一般形式?A. y = x + 2B. y = x^2 + 3x + 1C. y = 2x^3D. y = 1/x答案:B2. 二次函数y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)的顶点坐标是:A. (-b, a)B. (-b/a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2/4a)D. (-b/2a, 4ac + b^2/4a)答案:C3. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴有两个交点,那么a、b、c之间的关系是:A. b^2 - 4ac > 0B. b^2 - 4ac < 0C. b^2 - 4ac = 0D. b^2 - 4ac ≠ 0答案:A二、填空题4. 二次函数y = -3x^2 + 6x - 5的顶点坐标是______。
答案:(1, -2)5. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上,那么a的值是______。
答案:> 0三、解答题6. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3,求其图像与x轴的交点。
解:令y = 0,得到方程2x^2 - 4x + 3 = 0。
通过求解这个方程,我们可以得到x的值。
首先计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 2 * 3 = 16 - 24 = -8。
因为Δ < 0,所以这个二次方程没有实数解,即二次函数的图像与x轴没有交点。
7. 已知二次函数y = 3x^2 + 6x - 5,求其图像的对称轴。
解:二次函数y = ax^2 + bx + c的对称轴是x = -b/(2a)。
将a= 3, b = 6代入公式,得到对称轴为x = -6 / (2 * 3) = -1。
四、应用题8. 某工厂生产一种产品,其成本函数为C(x) = 0.5x^2 - 100x + 1000,其中x表示产品的数量。
二次函数练习题及答案
二次函数练习题(1)1.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示,下列五个代数式ab 、ac 、a-b+c 、b 2- 4ac 、2a+b 中,值大于0的个数为( )A.5B.4C.3D.22.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,下列结论:①0<c ;②0>b ;③024>++c b a ;④042>-ac b .其中正确的有 ( )(A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D ) 4个3.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点(-2,0),(x 1,0)且1<x 1<2,与y·轴正半轴的交点在点(0,2)的下方,下列结论:①a <b <0;②2a+c >0;③4a+c< 0,④2a -b+l >0.其中的有正确的结论是(填写序号)__________.4.把抛物线y=12x 2 向左平移三个单位, 再向下平移两个单位所得的关系式为________.5.将抛物线y=ax 2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为__________.6.抛物线c bx ax y ++=2如右图所示,则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是__________.7.已知二次函数y=2x 2-mx-4的图象与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和为2,则m=_________.8.如图,四边形ABCD 是矩形,A 、B 两点在x 轴的正半轴上,C 、D 两点在抛物线y =-x 2+6x 上.设OA =m (0<m <3),矩形ABCD 的周长为l ,则l 与m 的函数解析式为 .9.已知抛物线22b x x y ++=经过点1()4a -,和1()a y -,,则1y 的值是 .10、若二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点在第一象限,且经过点(0,1),(-1,0),则S=a+b+c 的变化范围是 ( )图1(A) 0<S<2 (B) S>1 (C) 1<S<2 (D)-1<S<111、已知二次函数y =ax 2(a ≥1)的图像上两点A 、B 的横坐标分别是-1、2,点O 是坐标原点,如果△AOB 是直角三角形,则△OAB 的周长为 。
《二次函数》练习题及答案
《二次函数》练习一.选择题(共8小题)1.已知函数y=ax2﹣2ax﹣1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是()A.当a=1时,函数图象过点(﹣1,1)B.当a=﹣2时,函数图象与x轴没有交点C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大2.对于二次函数y=﹣+x﹣4,下列说法正确的是()A.当x>0时,y随x的增大而增大B.当x=2时,y有最大值﹣3C.图象的顶点坐标为(﹣2,﹣7) D.图象与x轴有两个交点 3 43.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc>0 ②4a+2b+c>0 ③4ac﹣b2<8a ④<a<⑤b>c.其中含所有正确结论的选项是()A.①③B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤4.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论:①a﹣b+c>0;②3a+b=0;③b2=4a(c﹣n);④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.45.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根,下列结论:①b2﹣4ac<0;②abc>0;③a﹣b+c<0;④m>﹣2,其中,正确的个数有()A.1 B.2 C.3 D.46.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=﹣1,有以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b=0;④a﹣b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.47.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣),()是抛物线上两点,则y1<y2其中结论正确的是()A.①②B.②③C.②④D.①③④8.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a+b+c>0;④若点B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2,其中正确结论是()A.②④B.①④C.①③D.②③5 6 7 8二.填空题(共4小题)9.若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点,则m的取值范围是.10.若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则+的值为.11.二次函数y=x2+mx+n的图象经过点(1,﹣2),则代数式(m+n﹣1)(1﹣m﹣n)的值为.12.若二次函数y=mx2+(m﹣2)x+的图象与x轴有交点,那么m的取值范围为.三.解答题(共8小题)13.2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办,王大伯决定销售一批风筝,经市场调研:蝙蝠型风筝进价每个为10元,当售价每个为12元时,销售量为180个,若售价每提高1元,销售量就会减少10个,请回答以下问题:(1)用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30);(2)王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元利润,售价应定为多少?(3)当售价定为多少时,王大伯获得利润最大,最大利润是多少?14.天水市某企业接到一批粽子生产任务,按要求在19天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只4元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足如下关系:y=(1)李红第几天生产的粽子数量为260只?(2)如图,设第x天生产的每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画,若李红第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大利润是多少元?(利润=出厂价﹣成本)15.某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克),增种果树x(棵),它们之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克?(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大?最大产量是多少?16.如图,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C 是线段AB的中点.(1)求这条抛物线对应的函数解析式;(2)求直线AB对应的函数解析式.17.如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.(1)求抛物线的函数表达式;(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.18.如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C,经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P,且对称轴为直线x=2.(1)求该抛物线的解析式;(2)连接PB、PC,求△PBC的面积;(3)连接AC,在x轴上是否存在一点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.19.如图,抛物线y=ax2+bx﹣5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)若点E为x轴下方抛物线上的一动点,当S△ABE=S△ABC时,求点E的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使∠BAP=∠CAE?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.20.在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)请直接写出点A,C,D的坐标;(2)如图(1),在x轴上找一点E,使得△CDE的周长最小,求点E的坐标;(3)如图(2),F为直线AC上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.初中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)1.(2016•宁波)已知函数y=ax2﹣2ax﹣1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是()A.当a=1时,函数图象过点(﹣1,1)B.当a=﹣2时,函数图象与x轴没有交点C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大【解答】解:A、∵当a=1,x=﹣1时,y=1+2﹣1=2,∴函数图象不经过点(﹣1,1),故错误;B、当a=﹣2时,∵△=42﹣4×(﹣2)×(﹣1)=8>0,∴函数图象与x轴有两个交点,故错误;C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大,故错误;D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大,故正确;故选D.2.(2016•广州)对于二次函数y=﹣+x﹣4,下列说法正确的是()A.当x>0时,y随x的增大而增大B.当x=2时,y有最大值﹣3C.图象的顶点坐标为(﹣2,﹣7) D.图象与x轴有两个交点【解答】解:∵二次函数y=﹣+x﹣4可化为y=﹣(x﹣2)2﹣3,又∵a=﹣<0∴当x=2时,二次函数y=﹣x2+x﹣4的最大值为﹣3.故选B.3.(2016•达州)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc>0②4a+2b+c>0③4ac﹣b2<8a④<a<⑤b>c.其中含所有正确结论的选项是()A.①③B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤【解答】解:①∵函数开口方向向上,∴a>0;∵对称轴在y轴右侧∴ab异号,∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴,∴c<0,∴abc>0,故①正确;②∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴为直线x=1,∴图象与x轴的另一个交点为(3,0),∴当x=2时,y<0,∴4a+2b+c<0,故②错误;③∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),∴当x=﹣1时,y=(﹣1)2a+b×(﹣1)+c=0,∴a﹣b+c=0,即a=b﹣c,c=b﹣a,∵对称轴为直线x=1∴=1,即b=﹣2a,∴c=b﹣a=(﹣2a)﹣a=﹣3a,∴4ac﹣b2=4•a•(﹣3a)﹣(﹣2a)2=﹣16a2<0∵8a>0∴4ac﹣b2<8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间,∴﹣2<c<﹣1∴﹣2<﹣3a<﹣1,∴>a>;故④正确⑤∵a>0,∴b﹣c>0,即b>c;故⑤正确;故选:D.4.(2016•孝感)如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论:①a﹣b+c>0;②3a+b=0;③b2=4a(c﹣n);④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点在点(﹣2,0)和(﹣1,0)之间.∴当x=﹣1时,y>0,即a﹣b+c>0,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,即b=﹣2a,∴3a+b=3a﹣2a=a,所以②错误;∵抛物线的顶点坐标为(1,n),∴=n,∴b2=4ac﹣4an=4a(c﹣n),所以③正确;∵抛物线与直线y=n有一个公共点,∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点,∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根,所以④正确.故选C.5.(2016•广安)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根,下列结论:①b2﹣4ac<0;②abc>0;③a﹣b+c<0;④m>﹣2,其中,正确的个数有()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:如图所示:图象与x轴有两个交点,则b2﹣4ac>0,故①错误;∵图象开口向上,∴a>0,∵对称轴在y轴右侧,∴a,b异号,∴b<0,∵图象与y轴交于x轴下方,∴c<0,∴abc>0,故②正确;当x=﹣1时,a﹣b+c>0,故此选项错误;∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为:﹣2,∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根,则m>﹣2,故④正确.故选:B.6.(2016•兰州)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=﹣1,有以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b=0;④a﹣b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1,∴b=2a<0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc>0,所以①正确;∵抛物线与x轴有2个交点,∴△=b2﹣4ac>0,所以②正确;∵b=2a,∴2a﹣b=0,所以③错误;∵抛物线开口向下,x=﹣1是对称轴,所以x=﹣1对应的y值是最大值,∴a﹣b+c>2,所以④正确.故选C.7.(2016•日照)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c <0;④若(﹣),()是抛物线上两点,则y1<y2其中结论正确的是()A.①②B.②③C.②④D.①③④【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴b=﹣2a>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,所以①错误;∵b=﹣2a,∴2a+b=0,所以②正确;∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),∴当x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0,所以③错误;∵点(﹣)到对称轴的距离比点()对称轴的距离远,∴y1<y2,所以④正确.故选C.8.(2015•恩施州)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a+b+c>0;④若点B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2,其中正确结论是()A.②④B.①④C.①③D.②③【解答】解:∵抛物线的开口方向向下,∴a<0;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,即b2>4ac,故①正确由图象可知:对称轴x=﹣=﹣1,∴2a﹣b=0,故②错误;∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴c>0由图象可知:当x=1时y=0,∴a+b+c=0;故③错误;由图象可知:若点B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2,故④正确.故选B二.填空题(共4小题)9.(2016•徐州)若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点,则m的取值范围是m>1.【解答】解:∵二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点,∴方程x2+2x+m=0没有实数根,∴判别式△=22﹣4×1×m<0,解得:m>1;故答案为:m>1.10.(2016•泸州)若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则+的值为﹣4.【解答】解:设y=0,则2x2﹣4x﹣1=0,∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标,即x1,x2,∴x1+x2=﹣=2,x1,•x2=﹣,∴+==﹣4,故答案为:﹣4.11.(2016•无锡二模)二次函数y=x2+mx+n的图象经过点(1,﹣2),则代数式(m+n﹣1)(1﹣m﹣n)的值为﹣16.【解答】解:∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点(1,﹣2),∴1+m+n=﹣2,∴m+n=﹣3,∴(m+n﹣1)(1﹣m﹣n)=(﹣3﹣1)(1+3)=﹣16.故答案为:﹣16.12.(2016•微山县一模)若二次函数y=mx2+(m﹣2)x+的图象与x轴有交点,那么m的取值范围为m且m≠0.【解答】解:由题意知:,解得m且m≠0,故答案为m且m≠0.三.解答题(共8小题)13.(2016•铜仁市)2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办,王大伯决定销售一批风筝,经市场调研:蝙蝠型风筝进价每个为10元,当售价每个为12元时,销售量为180个,若售价每提高1元,销售量就会减少10个,请回答以下问题:(1)用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30);(2)王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元利润,售价应定为多少?(3)当售价定为多少时,王大伯获得利润最大,最大利润是多少?【解答】解:(1)设蝙蝠型风筝售价为x元时,销售量为y个,根据题意可知:y=180﹣10(x﹣12)=﹣10x+300(12≤x≤30).(2)设王大伯获得的利润为W,则W=(x﹣10)y=﹣10x2+400x﹣3000,令W=840,则﹣10x2+400x﹣3000=840,解得:x1=16,x2=24,答:王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元利润,售价应定为16元.(3)∵W=﹣10x2+400x﹣3000=﹣10(x﹣20)2+1000,∵a=﹣10<0,∴当x=20时,W取最大值,最大值为1000.答:当售价定为20元时,王大伯获得利润最大,最大利润是1000元.14.(2016•天水)天水市某企业接到一批粽子生产任务,按要求在19天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只4元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足如下关系:y=(1)李红第几天生产的粽子数量为260只?(2)如图,设第x天生产的每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画,若李红第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大利润是多少元?(利润=出厂价﹣成本)【解答】解:(1)设李红第x天生产的粽子数量为260只,根据题意得20x+60=260,解得x=10,答:李红第10天生产的粽子数量为260只;(2)根据图象得当0≤x≤9时,p=2;当9<x≤19时,设解析式为y=kx+b,把(9,2),(19,3)代入得,解得,所以p=x+,①当0≤x≤5时,w=(4﹣2)•32x=64x,x=5时,此时w的最大值为320(元);②当5<x≤9时,w=(4﹣2)•(20x+60)=40x+120,x=9时,此时w的最大值为480(元);③当9<x≤19时,w=[4﹣(x+)]•(20x+60)=﹣2x2+52x+174=﹣2(x﹣13)2+512,x=13时,此时w的最大值为512(元);综上所述,第13天的利润最大,最大利润是512元.15.(2016•丹东)某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克),增种果树x(棵),它们之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克?(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大?最大产量是多少?【解答】解:(1)设函数的表达式为y=kx+b,该一次函数过点(12,74),(28,66),得,解得,∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80,(2)根据题意,得,(﹣0.5x+80)(80+x)=6750,解得,x1=10,x2=70∵投入成本最低.∴x2=70不满足题意,舍去.∴增种果树10棵时,果园可以收获果实6750千克.(3)根据题意,得w=(﹣0.5x+80)(80+x)=﹣0.5 x2+40 x+6400=﹣0.5(x﹣40)2+7200∵a=﹣0.5<0,则抛物线开口向下,函数有最大值∴当x=40时,w最大值为7200千克.∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克.16.(2016•淄博)如图,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点.(1)求这条抛物线对应的函数解析式;(2)求直线AB对应的函数解析式.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,∴△=4a2﹣4a=0,解得a1=0(舍去),a2=1,∴抛物线解析式为y=x2+2x+1;(2)∵y=(x+1)2,∴顶点A的坐标为(﹣1,0),∵点C是线段AB的中点,即点A与点B关于C点对称,∴B点的横坐标为1,当x=1时,y=x2+2x+1=1+2+1=4,则B(1,4),设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(﹣1,0),B(1,4)代入得,解得,∴直线AB的解析式为y=2x+2.17.(2016•威海)如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.(1)求抛物线的函数表达式;(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),∴设抛物线解析式为y=a(x+2)(x﹣4),∴﹣8a=4,∴a=﹣,∴抛物线解析式为y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+4;(2)如图1,①点E在直线CD上方的抛物线上,记E′,连接CE′,过E′作E′F′⊥CD,垂足为F′,由(1)知,OC=4,∵∠ACO=∠E′CF′,∴tan∠ACO=tan∠E′CF′,∴=,设线段E′F′=h,则CF′=2h,∴点E′(2h,h+4)∵点E′在抛物线上,∴﹣(2h)2+2h+4=h+4,∴h=0(舍)h=∴E′(1,),②点E在直线CD下方的抛物线上,记E,同①的方法得,E(3,),点E的坐标为(1,),(3,)(3)①CM为菱形的边,如图2,在第一象限内取点P′,过点P′作P′N′∥y轴,交BC于N′,过点P′作P′M′∥BC,交y轴于M′,∴四边形CM′P′N′是平行四边形,∵四边形CM′P′N′是菱形,∴P′M′=P′N′,过点P′作P′Q′⊥y轴,垂足为Q′,∵OC=OB,∠BOC=90°,∴∠OCB=45°,∴∠P′M′C=45°,设点P′(m,﹣m2+m+4),在Rt△P′M′Q′中,P′Q′=m,P′M′=m,∵B(4,0),C(0,4),∴直线BC的解析式为y=﹣x+4,∵P′N′∥y轴,∴N′(m,﹣m+4),∴P′N′=﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m,∴m=﹣m2+2m,∴m=0(舍)或m=4﹣2,菱形CM′P′N′的边长为(4﹣2)=4﹣4.②CM为菱形的对角线,如图3,在第一象限内抛物线上取点P,过点P作PM∥BC,交y轴于点M,连接CP,过点M作MN∥CP,交BC于N,∴四边形CPMN是平行四边形,连接PN交CM于点Q,∵四边形CPMN是菱形,∴PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ,∵∠OCB=45°,∴∠NCQ=45°,∴∠PCQ=45°,∴∠CPQ=∠PCQ=45°,∴PQ=CQ,设点P(n,﹣n2+n+4),∴CQ=n,OQ=n+2,∴n+4=﹣n2+n+4,∴n=0(舍),∴此种情况不存在.∴菱形的边长为4﹣4.18.(2016•黔东南州)如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C,经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P,且对称轴为直线x=2.(1)求该抛物线的解析式;(2)连接PB、PC,求△PBC的面积;(3)连接AC,在x轴上是否存在一点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)∵直线y=﹣x+3与x轴相交于点B,∴当y=0时,x=3,∴点B的坐标为(3,0),∵y=﹣x+3过点C,易知C(0,3),∴c=3.又∵抛物线过x轴上的A,B两点,且对称轴为x=2,根据抛物线的对称性,∴点A的坐标为(1,0).又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(1,0),B(3,0),∴解得:∴该抛物线的解析式为:y=x2﹣4x+3;(2)如图1,∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,又∵B(3,0),C(0,3),∴PC===2,PB==,∴BC===3,又∵PB2+BC2=2+18=20,PC2=20,∴PB2+BC2=PC2,∴△PBC是直角三角形,∠PBC=90°,∴S△PBC=PB•BC=××3=3;(3)如图2,由y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,得P(2,﹣1),设抛物线的对称轴交x轴于点M,∵在Rt△PBM中,PM=MB=1,∴∠PBM=45°,PB=.由点B(3,0),C(0,3)易得OB=OC=3,在等腰直角三角形OBC中,∠ABC=45°,由勾股定理,得BC=3.假设在x轴上存在点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似.①当=,∠PBQ=∠ABC=45°时,△PBQ∽△ABC.即=,解得:BQ=3,又∵BO=3,∴点Q与点O重合,∴Q1的坐标是(0,0).②当=,∠QBP=∠ABC=45°时,△QBP∽△ABC.即=,解得:QB=.∵OB=3,∴OQ=OB﹣QB=3﹣,∴Q2的坐标是(,0).③当Q在B点右侧,则∠PBQ=180°﹣45°=135°,∠BAC<135°,故∠PBQ≠∠BAC.则点Q不可能在B点右侧的x轴上,综上所述,在x轴上存在两点Q1(0,0),Q2(,0),能使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似.19.(2016•贵港)如图,抛物线y=ax2+bx﹣5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)若点E为x轴下方抛物线上的一动点,当S△ABE=S△ABC时,求点E的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使∠BAP=∠CAE?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)把A、B两点坐标代入解析式可得,解得,∴抛物线解析式为y=x2+x﹣5;(2)在y=x2+x﹣5中,令x=0可得y=﹣5,∴C(0,﹣5),∵S△ABE=S△ABC,且E点在x轴下方,∴E点纵坐标和C点纵坐标相同,当y=﹣5时,代入可得x2+x=﹣5,解得x=﹣2或x=0(舍去),∴E点坐标为(﹣2,﹣5);(3)假设存在满足条件的P点,其坐标为(m,m2+m﹣5),如图,连接AP、CE、AE,过E作ED⊥AC于点D,过P作PQ⊥x轴于点Q,则AQ=AO+OQ=5+m,PQ=|m2+m﹣5|,在Rt△AOC中,OA=OC=5,则AC=5,∠ACO=∠DCE=45°,由(2)可得EC=2,在Rt△EDC中,可得DE=DC=,∴AD=AC﹣DC=5﹣=4,当∠BAP=∠CAE时,则△EDA∽△PQA,∴=,即=,∴m2+m﹣5=(5+m)或m2+m﹣5=﹣(5+m),当m2+m﹣5=(5+m)时,整理可得4m2+5m﹣75=0,解得m=或m=﹣5(与A点重合,舍去),当m2+m﹣5=﹣(5+m)时,整理可得4m2+11m﹣45=0,解得m=或m=﹣5(与A点重合,舍去),∴存在满足条件的点P,其横坐标为或.20.(2016•河池)在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)请直接写出点A,C,D的坐标;(2)如图(1),在x轴上找一点E,使得△CDE的周长最小,求点E的坐标;(3)如图(2),F为直线AC上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)当y=﹣x2﹣2x+3中y=0时,有﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1,∵A在B的左侧,∴A(﹣3,0),B(1,0).当y=﹣x2﹣2x+3中x=0时,则y=3,∴C(0,3).∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,∴顶点D(﹣1,4).(2)作点C关于x轴对称的点C′,连接C′D交x轴于点E,此时△CDE的周长最小,如图1所示.∵C(0,3),∴C′(0,﹣3).设直线C′D的解析式为y=kx+b,则有,解得:,∴直线C′D的解析式为y=﹣7x﹣3,当y=﹣7x﹣3中y=0时,x=﹣,∴当△CDE的周长最小,点E的坐标为(﹣,0).(3)设直线AC的解析式为y=ax+c,则有,解得:,∴直线AC的解析式为y=x+3.假设存在,设点F(m,m+3),△AFP为等腰直角三角形分三种情况(如图2所示):①当∠PAF=90°时,P(m,﹣m﹣3),∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上,∴﹣m﹣3=﹣m2﹣2m+3,解得:m1=﹣3(舍去),m2=2,此时点P的坐标为(2,﹣5);②当∠AFP=90°时,P(2m+3,0)∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上,∴0=﹣(2m+3)2﹣2×(2m+3)+3,解得:m3=﹣3(舍去),m4=﹣1,此时点P的坐标为(1,0);③当∠APF=90°时,P(m,0),∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上,∴0=﹣m2﹣2m+3,解得:m5=﹣3(舍去),m6=1,此时点P的坐标为(1,0).综上可知:在抛物线上存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形,点P的坐标为(2,﹣5)或(1,0).。
二次函数经典测试题附答案
二次函数经典测试题附答案二次函数经典测试题附答案一、选择题1.小明从如图所示的二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像中,观察得出了下面五条信息:①$c0$,③$a-b+c>0$,④$b^2>4ac$,⑤$2a=-2b$,其中正确结论是().A。
①②④B。
②③④C。
③④⑤D。
①③⑤解析】本题考查了二次函数图像与系数关系,观察图像判断图像开口方向、对称轴所在位置、与 $x$ 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件。
由抛物线的开口方向判断 $a$ 的符号,由抛物线与 $y$ 轴的交点判断 $c$ 的符号,然后根据对称轴及抛物线与 $x$ 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断。
详解】①由抛物线交 $y$ 轴于负半轴,则 $c0$;由对称轴在 $y$ 轴右侧,对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$,又 $a>0$,故$b0$,故②错误;③结合图像得出 $x=-1$ 时,对应 $y$ 的值在 $x$ 轴上方,故 $y>0$,即 $a-b+c>0$,故③正确;④由抛物线与 $x$ 轴有两个交点可以推出 $b^2-4ac>0$,故④正确;⑤由图像可知:对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$,则 $2a=-2b$,故⑤正确;故正确的有:③④⑤。
故选:C。
点睛】本题考查了二次函数图像与系数关系,观察图像判断图像开口方向、对称轴所在位置、与 $x$ 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件。
2.二次函数 $y=ax^2+bx+c$($a\neq0$)图像如图所示,下列结论:①$abc>0$;②$2a+b^2=2$;③当 $m\neq1$ 时,$a+b>am^2+bm$;④$a-b+c>0$;⑤若$ax_1+bx_1=ax_2+bx_2$,且 $x_1\neq x_2$,则 $x_1+x_2=2$。
其中正确的有()A。
①②③B。
②④C。
②⑤D。
二次函数数学试题及答案
二次函数数学试题及答案一、选择题1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上,则a的取值范围是()。
A. a>0B. a<0C. a=0D. a≠0答案:A2. 二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(h, k),则该函数的顶点式为()。
A. y=a(x-h)^2+kB. y=a(x+h)^2+kC. y=a(x-h)^2-kD. y=a(x+h)^2-k答案:A3. 对于二次函数y=ax^2+bx+c,若b^2-4ac>0,则该函数的图象与x 轴的交点个数为()。
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案:C二、填空题1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的对称轴为直线x=2,且图象经过点(1,3),则a+b+c=______。
答案:32. 若二次函数y=-2x^2+4x+1的顶点坐标为(h,k),则h=______,k=______。
答案:1,3三、解答题1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(-1,0)和(3,0),且图象开口向下,求a的取值范围。
解:由题意可知,二次函数的两个根为-1和3,因此可以设二次函数为y=a(x+1)(x-3)。
由于图象开口向下,所以a<0。
因此,a的取值范围为a<0。
2. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(2,1),且图象经过点(0,5),求该二次函数的解析式。
解:根据顶点式,二次函数可以表示为y=a(x-2)^2+1。
将点(0,5)代入,得到5=a(0-2)^2+1,解得a=2。
因此,该二次函数的解析式为y=2(x-2)^2+1。
结束语:通过以上题目的练习,可以加深对二次函数性质的理解,提高解题能力。
九年级数学二次函数专项训练含答案-精选5篇
九年级数学二次函数专题精练含答案一、单选题1.关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值,下列说法正确的是( ) A .有最大值4 B .有最小值4 C .有最大值6 D .有最小值6 2.已知抛物线24y x x c =-++经过点(4,3),那么下列各点中,该抛物线必经过的点是( )A .(0,2)B .(0,3)C .(0,4)D .(0,5) 3.在平面直角坐标系中,已知抛物线245y x x =-+,将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为( )A .245y x x =--+B .245y x x =++C .245y x x =-+-D .245y x x =--- 4.正方形的边长为4,若边长增加x ,那么面积增加y ,则y 关于x 的函数表达式为( ) A .216y x =+ B .2(4)y x =+ C .28y x x =+ D .2164y x =- 5.把抛物线22y x =向右平移2个单位,然后向下平移1个单位,则平移后得到的抛物线解析式是( )A .22(2)1y x =-+-B .22(2)1y x =--+C .22(2)1y x =++D .22(2)1y x =--6.如图,二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称,与x 轴交于1(,0)A x ,2(,0)B x 两点,若121x -<<-,则下列四个结论:①234x <<,①320a b +>,①24b a c ac >++,①a c b >>.正确结论的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个7.对于抛物线23(1)2y x =-+-,下列说法正确的是( )A .抛物线开口向上B .当1x >-时,y 随x 增大而减小C .函数最小值为﹣2D .顶点坐标为(1,﹣2)8.关于二次函数()215y x =-+,下列说法正确的是( )A .函数图象的开口向下B .函数图象的顶点坐标是()1,5-C .该函数有最大值,是大值是5D .当1x >时,y 随x 的增大而增大 9.已知A (−3,−2) ,B (1,−2),抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)顶点在线段AB 上运动,形状保持不变,与x 轴交于C ,D 两点(C 在D 的右侧),下列结论:①c ≥−2 ;①当x >0时,一定有y 随x 的增大而增大;①若点D 横坐标的最小值为−5,点C 横坐标的最大值为3;①当四边形ABCD 为平行四边形时,a =12. 其中正确的是( )A .①①B .①①C .①①D .①①① 10.已知二次函数2243y mx m x =--(m 为常数,0m ≠),点(),p p P x y 是该函数图象上一点,当04p x ≤≤时,3p y ≤-,则m 的取值范围是( )A .m 1≥或0m <B .m 1≥C .1m ≤-或0m >D .1m ≤-11.已知函数()211y ax a x =-++,则下列说法不正确的个数是( )①若该函数图像与x 轴只有一个交点,则1a =①方程()2110ax a x -++=至少有一个整数根①若11x a<<,则()211y ax a x =-++的函数值都是负数 ①不存在实数a ,使得()2110ax a x -++≤对任意实数x 都成立A .0B .1C .2D .312.如图,在正方形ABCD 中,4AB =,点P 从点A 出发沿路径A B C →→向终点C 运动,连接DP ,作DP 的垂直平分线MN 与正方形ABCD 的边交于M ,N 两点,设点P 的运动路程为x ,PMN 的面积为y ,则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是( )A .B .C .D .二、填空题13.已知点(3,a )在抛物线y =-2x 2+2x 上,则=a ______.14.如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2=kx +t 的图象,当y 1≥y 2时,x 的取值范围是_____.15.小亮同学在探究一元二次方程2ax bx c 0++=的近似解时,填好了下面的表格:根据以上信息请你确定方程2ax bx c 0++=的一个解的范围是________.16.已知二次函数223y x x =--+,当12a x时,函数值y 的最小值为1,则a 的值为_______.17.已知抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点.(1)若(1,0)A -,则b =______.(2)若(1,0)M -,(1,0)N ,抛物线2122y x bx =+-与线段MN 没有交点,则b 的取值范围为______.三、解答题18.已知抛物线经过点()1,0A -,()5,0B ,()0,5C ,求该抛物线的函数关系式 19.如图,抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上,且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -.(1)求抛物线的解析式(2)在抛物线对称轴l 上找一点M ,使MBC ∆的周长最小,请求出这个周长的最小值.20.如图,一次函数y A 、B ,二次函数2y bx c ++图象过A 、B 两点.(1)求二次函数解析式;(2)点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ,点P 是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q ,使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由.21.如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣2,0)和点B (8,0),与y 轴交于点C (0,﹣8),连接AC ,D 是抛物线对称轴上一动点,连接AD ,CD ,得到①ACD .(1)求该抛物线的函数解析式.(2)①ACD 周长能否取得最小值,如果能,请求出D 点的坐标;如果不能,请说明理由.(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点E ,使得①ACE 与①ACD 面积相等,如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.参考答案1--10DBCCD BBDDA 11--12CA13.-1214.﹣1≤x ≤215.3.24x 3.25<<16.1-17. 32- 3322b -<< 18.解:①抛物线经过点()1,0A -,()5,0B ,()0,5C ,①设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-,将点()0,5C 代入得:55a =-,解得:1a =-,①()()21545y x x x x =-+-=-++.①该抛物线的函数关系式为245y x x =-++.19..解:(1)抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A , 令0,x = 则3,y = ∴ 点()0,3A把()0,3A ,()3,0C -代入212y x bx c =++得: 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩, 解得:523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩, ∴抛物线的解析式是215322y x x =++; (2)将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组: 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得:0x =或4x =-,04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ,()4,1B ∴-BC ∴==如图,要使MBC △的周长最小,则MB MC +最小,设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ,抛物线的对称轴为:552,1222x=-=-⨯()3,0C-∴点()2,0D-,连接,BD交对称轴于,MMD MC∴=,此时,MB MC MB MD BD+=+=最小,此时:BD=MBC∴20.解:(1)对于y x=x=0时,y=当y=0时,03x-=,妥得,x=3①A(3,0),B(0,把A(3,0),B(0,2y bx c++得:+=0b cc⎧⎪⎨=⎪⎩解得,bc⎧=⎪⎨⎪=⎩①抛物线的解析式为:2y x x=-(2)抛物线的对称轴为直线12bxa=-==故设P(1,p),Q(m,n)①当BC为菱形对角线时,如图,①B ,C 关于对称没对称,且对称轴与x 轴垂直,①①BC 与对称轴垂直,且BC //x 轴①在菱形BQCP 中,BC ①PQ①PQ ①x 轴①点P 在x =1上,①点Q 也在x =1上,当x =1时,211y①Q (1,); ①当BC 为菱形一边时,若点Q 在点P 右侧时,如图,①BC //PQ ,且BC =PQ①BC //x 轴,①令y =2y 解得,120,2x x ==①(2,C①PQ=BC=22①PB=BC=2①迠P在x轴上,①P(1,0)①Q(3,0);若点Q在点P的左侧,如图,同理可得,Q(-1,0)综上所述,Q点坐标为(1,)或(3,0)或(-1,0)21.解:(1)由题意可得:0=4206488a b ca b cc-+⎧⎪=++⎨⎪=-⎩,解得:1238abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩,①抛物线的解析式为:y=12x2﹣3x﹣8;(2)△ACD周长能取得最小值,①点A(﹣2,0),点B(8,0),①对称轴为直线x=3,①①ACD周长=AD+AC+CD,AC是定值,①当AD+CD取最小值时,△ACD周长能取得最小值,①点A,点B关于对称轴直线x=3对称,①连接BC交对称轴直线x=3于点D,此时AD+CD有最小值,设直线BC 解析式为:y =kx ﹣8,①0=8k ﹣8,①k =1,①直线BC 解析式为:y =x ﹣8,当x =3,y =﹣5,①点D (3,﹣5);(3)存在,①点A (﹣2,0),点C (0,﹣8),①直线AC 解析式为y =﹣4x ﹣8,如图,①①ACE 与①ACD 面积相等,①DE ①AC ,①设DE 解析式为:y =﹣4x +n ,①﹣5=﹣4×3+n ,①n =7,①DE 解析式为:y =﹣4x +7, 联立方程组可得:2471382y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩,解得:12111x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,22111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩, ①点E1,﹣1,).九年级上册数学二次函数同步练习一、单选题1.下列函数中,是二次函数的是( ) A .y =(2x ﹣1)2 B .y =(x +1)2﹣x 2 C .y =ax 2D .y =2x +32.若抛物线258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数,那么m 的值是( )A .3B .2-C .2D .2或33.若抛物线y =x 2-x -2经过点A (3,a ),则a 的值是( ) A .2B .4C .6D .84.已知二次函数2135y x x =-+,则其二次项系数a ,一次项系数b ,常数项c 分别是( ) A .1,3,5a b c ==-= B .1,3,5a b c ===C .5,3,1a b c ===D .5,3,1a b c ==-=5.如果函数2(2)25y a x x =-+-是二次函数,则a 的取值范围是( ) A .2a ≠ B .a≥0C .a=2D .a>06.下列函数中①31y x ;①243y x x =-;①1y x=;①225=-+y x ,是二次函数的有() A .①①B .①①C .①①D .①①7.若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-,则247c b --的值是( ) A .6B .7C .8D .208.函数y=ax2+bx+c(a ,b ,c 是常数)是二次函数的条件是( ) A .a≠0,b≠0,c≠0 B .a<0,b≠0,c≠0 C .a>0,b≠0,c≠0 D .a≠0二、填空题 9.若()2321m m y m x --=+是二次函数,则m 的值为______.10.若22ay x -=是二次函数,则=a ________.11.在二次函数21y x =-+中,二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____. 12.下列函数一定是二次函数的是__________.①2y ax bx c =++;①3y x =-;①2431y x x =-+;①2(1)y m x bx c =-++;①y =(x -3)2-x 213.当常数m ≠______时,函数y =(m 2﹣2m ﹣8)x 2+(m +2)x +2是二次函数;当常数m =___时,这个函数是一次函数. 14.已知函数2135m y x -=-① 当m = _________时,y 是关于x 的一次函数; ① 当m =_________时,y 是关于x 的二次函数 .15.二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点,则m =__________.16.已知二次函数2y x bx 3=-++,当x 2=时,y 3=.则这个二次函数的表达式是________. 三、解答题17.下列函数中(x ,t 是自变量),哪些是二次函数? 22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++.18.已知函数y =(m 2-2)x 2+(m x +8. (1)若这个函数是一次函数,求m 的值; (2)若这个函数是二次函数,求m 的取值范围.19.若函数y=(a -1)x b+1+x 2+1是二次函数,试讨论a 、b 的取值范围.20.篱笆墙长30m ,靠墙围成一个矩形花坛,写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.参考答案:1.A 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.B 8.D 9.4 10.2± 11.0 12.①13. 4,-2 4 14. 1 3215.316.2y x 2x 3=-++17.2132y x =-+和215s t t =++是二次函数18.(1)m (2)m ≠m ≠19.①a≠0;①b=0或-1,a 取全体实数①当a=1,b 为全体实数时,y=x 2+1是二次函数 20.y= 21152x x -+, x 的取值范围为0<x<30.九年级数学上册二次函数的图象与性质练习题(附答案)一.选择题1.如果在二次函数的表达式y =ax 2+bx +c 中,a >0,b <0,c <0,那么这个二次函数的图象可能是( )A.B.C.D.2.已知y=(m+2)x|m|+2是关于x的二次函数,那么m的值为()A.﹣2B.2C.±2D.03.已知A(,y1),B(2,y2),C(﹣,y3)是二次函数y=3(x﹣1)2+k图象上三点,则y1、y2、y3的大小关系为()A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y3>y2>y1D.y2>y3>y14.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是直线x=﹣1,则这个二次函数的表达式为()A.y=﹣x2+2x+3B.y=x2+2x+3C.y=﹣x2+2x﹣3D.y=﹣x2﹣2x+3 5.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为()A.B.C.D.6.关于抛物线y=﹣x2+2x﹣3的判断,下列说法正确的是()A.抛物线的开口方向向上B.抛物线的对称轴是直线x=﹣1C.抛物线对称轴左侧部分是下降的D.抛物线顶点到x轴的距离是27.已知二次函数y=x2﹣4x+5(0≤x≤3),则它的最大值是()A.1B.2C.3D.58.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,给出下列说法:①ab<0;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1,x2=3;③a+b+c>0;④当x<1时,y随x值的增大而增大;⑤当y>0时,x<﹣1或x>3.其中,正确的说法有()A.①②④B.①②⑤C.①③⑤D.②④⑤9.已知函数y=2(x+1)2+1,则()A.当x<1 时,y随x的增大而增大B.当x<1 时,y随x的增大而减小C.当x<﹣1 时,y随x的增大而增大D.当x<﹣1 时,y随x的增大而减小10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中不正确的有()个.①abc>0;②2a+b=0;③9a+3b+c<0;④4ac﹣b2<0;⑤a+b≥m(am+b)(m为任意实数).A.3B.2C.1D.0二.填空题11.已知四个二次函数的图象如图所示,那么a1,a2,a3,a4的大小关系是.(请用“>”连接排序)12.抛物线y=3x2+6x+11的顶点坐标为.13.二次函数y=3(x﹣1)2+5的最小值为.14.已知二次函数y=2x2+bx+4顶点在x轴上,则b=.15.二次函数y=x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为.16.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①2a+b=0;②a+c>b;③抛物线与x轴的另一个交点为(3,0);④abc>0.其中正确的结论是(填写序号).三.解答题17.已知二次函数的顶点坐标为A(1,﹣4),且经过点B(3,0).(1)求该二次函数的解析式;(2)判断点C(2,﹣3)是否在该函数图象上,并说明理由.18.如图,已知直线l过点A(4,0),B(0,4)两点,它与二次函数y=ax2的图象在第一象限内交于点P,若S△AOP=4,试求二次函数的表达式.19.如图,直线L1:y=bx+c与抛物线L2:y=ax2的两个交点坐标分别为A(m,4),B(1,1).(1)求m的值;(2)过动点P(n,0)且垂直于x轴的直线与L1,L2的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时,请直接写出n的取值范围.20.已知二次函数y=a(x+a)(x+a﹣1).(1)当a=2时,求该二次函数图象的对称轴.(2)当a<0时,判断该二次函数图象的顶点所在的象限,并说明理由.(3)当0<x<3时,y随着x增大而增大,求a的取值范围.21.已知二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点,如图所示,其中A(﹣1,﹣1),求△OAB的面积.22.抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3,0)和点B(0,3),且这个抛物线的对称轴为直线l,顶点为C.(1)求抛物线的解析式;(2)连接AB、AC、BC,求△ABC的面积.23.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A(﹣1,0)和B(2,3)两点,抛物线与y轴交于点C.(1)求一次函数和二次函数的解析式;(2)求△ABC的面积.参考答案一.选择题1.解:∵a>0,b<0,c<0,∴﹣>0,∴抛物线的图象开口向上,对称轴在y轴的右边,交y轴于负半轴,故选:C.2.解:∵y=(m+2)x|m|+2是y关于x的二次函数,∴|m|=2且m+2≠0.解得m=2.故选:B.3.解:∵二次函数y=3(x﹣1)2+k图象的对称轴为直线x=1,而A(,y1)到直线x=1的距离最近,C(﹣,y3)到直线x=1的距离最远,∴y3>y2>y1.故选:C.4.解:由图象知抛物线的对称轴为直线x=﹣1,设抛物线解析式为y=a(x+1)2+k,将(﹣3,0)、(0,3)代入,得:,解得:,则抛物线解析式为y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3,故选:D.5.解:A、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;B、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故本选项错误;C、由抛物线可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;D、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故本选项错误.故选:A.6.解:∵y=﹣x2+2x﹣3=﹣(x﹣1)2﹣2,∴抛物线开口向下,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,﹣2),在对称轴左侧,y随x的增大而增大,∴A、B、C不正确;∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|=2,∴D正确,故选:D.7.解:y=x2﹣4x+5=(x﹣2)2+1,由于0≤x≤3,所以当x=2时,y有最小值1,当x=0时,y有最大值5.故选:D.8.解:根据图象可知:①对称轴﹣>0,故ab<0,正确;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1,x2=3,正确;③x=1时,y=a+b+c<0,错误;④当x<1时,y随x值的增大而减小,错误;⑤当y>0时,x<﹣1或x>3,正确.正确的有①②⑤.故选:B.9.解:∵y=2(x+1)2+1,∴当x>﹣1时,y随x的增大而增大,故选项A错误,当x<﹣1时,y随x的增大而减小,故选项B错误、选项C错误、选项D正确;故选:D.10.解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴b=﹣2a>0,∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,所以①错误;∵b=﹣2a,∴2a+b=0,所以②正确;∵x=3时,y<0,∴9a+3b+c<0,所以③正确.∵抛物线与x轴有2个交点,∴Δ=b2﹣4ac>0,即4ac﹣b2<0,所以④正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴函数的最大值为a+b+c,∴a+b+c≥am2+bm+c(m为任意实数),即a+b≥m(am+b),所以⑤正确.故选:C.二.填空题11.解:如图所示:①y=a1x2的开口小于②y=a2x2的开口,则a1>a2>0,③y=a3x2的开口大于④y=a4x2的开口,开口向下,则a4<a3<0,故a1>a2>a3>a4.故答案为:a1>a2>a3>a412.解:∵y=3x2+6x+11=3(x+1)2+8,∴抛物线y=3x2+6x+11的顶点坐标为(﹣1,8),故答案为(﹣1,8).13.解:由于二次函数y=3(x﹣1)2+5中,a=3>0,所以当x=1时,函数取得最小值为5,故答案为5.14.解:∵二次函数y=2x2+bx+4顶点在x轴上,∴=0,解得b=,故答案为:±4.15.解:∵二次函数y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,∴当x>1时,y随x的增大而增大,∴在2≤x≤5范围内,当x=2时,y取得最小值,此时y=(2﹣1)2=1,故答案为:1.16.解:∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴2a+b=0,所以①正确;∵x=﹣1时,y<0,∴a﹣b+c<0,即a+c<b,所以②错误;∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣2,0)而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(4,0),所以③错误;∵抛物线开口向上,∴a>0,∴b=﹣2a<0,∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∴abc>0,所以④正确.故答案为①④.三.解答题17.解:(1)设二次函数的解析式是y=a(x﹣h)2+k,∵二次函数的顶点坐标为A(1,﹣4),∴y=a(x﹣1)2﹣4,∵经过点B(3,0),∴代入得:0=a(3﹣1)2﹣4,解得:a=1,∴y=(x﹣1)2﹣4,即二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3;(2)点C(2,﹣3)在该函数图象上,理由是:把C(2,﹣3)代入y=x2﹣2x﹣3得:左边=﹣3,右边=4﹣4﹣3=﹣3,即左边=右边,所以点C在该函数的图象上.18.解:设直线l的解析式为y=kx+b,把A(4,0),B(0,4)分别代入得,解得,∴直线l的关系式为y=﹣x+4,设P(t,﹣t+4),∵S△AOP=4,∴×4×(﹣t+4)=4,解得t=2,∴P(2,2),把P(2,2)代入y=ax2得4a=2,解得a=,∴二次函数的表达式为y=x2.19.解:(1)把B(1,1)代入y=ax2得:a=1,∴抛物线解析式为y=x2.把A(m,4)代入y=x2得:4=m2,∴m=±2.∵点A在二象限,∴m=﹣2.(2)观察函数图象可知:当﹣2<x<1时,直线在抛物线的上方,∴n的取值范围为:﹣2<n<1.20.解:(1)当a=2时,y=2(x+2)(x+1),∴二次函数的对称轴为x=.(2)由题知二次函数与x轴的交点坐标为(﹣a,0),(1﹣a,0);∵a<0,∴二次函数的开口方向向下;又﹣a>0,1﹣a>0,所以对称轴所在直线为x==>0,当x=时,y=﹣>0,所以顶点坐标(,﹣)在第一象限.(3)由(2)知,二次函数的对称轴为直线x=,∵当0<x<3时,y随着x增大而增大,∴当a>0时,≤0,解得a≥;当a<0,≥3,解得a≤﹣.∴a的取值范围为a≥或a≤﹣.21.解:∵一次函数y=kx﹣2的图象相过点A(﹣1,﹣1),∴﹣1=﹣k﹣2,解得k=﹣1,∴一次函数表达式为y=﹣x﹣2,∴令x=0,得y=﹣2,∴G(0,﹣2),∵y=ax2过点A(﹣1,﹣1),∴﹣1=a×1,解得a=﹣1,∴二次函数表达式为y=﹣x2,由一次函数与二次函数联立可得,解得,,∴S△OAB=OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标=×2×1+×2×2=1+2=3.22.解:(1)∵抛物线经过A、B(0,3)∴由上两式解得∴抛物线的解析式为:;(2)由(1)抛物线对称轴为直线x=把x=代入,得y=4则点C坐标为(,4)设线段AB所在直线为:y=kx+b,则有,解得∴AB解析式为:∵线段AB所在直线经过点A、B(0,3)抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入,解得m=2∴点D坐标为,∴CD=CE﹣DE=2过点B作BF⊥l于点F∴BF=OE=∵BF+AE=OE+AE=OA=∴S△ABC=S△BCD+S△ACD=CD•BF+CD•AE∴S△ABC=CD(BF+AE)=×2×=23.解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c交于A(﹣1,0)和B(2,3)两点∴,解得:,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3,设直线AB的解析式为y=mx+n(m≠0),则,解得,∴直线AB的解析式为y=x+1;(2)令x=0,则y=﹣x2+2x+3=3,∴C(0,3),则OC=3,BC=2,BC∥x轴,∴S△ABC=×BC×OC==3.九年级数学上册二次函数单元综合测试卷一.选择题(共10小题)1.下列各式中,是y关于x的二次函数的是()A.y=4x B.y=3x﹣5C.y=D.y=2x2+12.已知:a>b>c,且a+b+c=0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的()A.B.C.D.3.二次函数y=(x﹣2)(x﹣4)+6的顶点坐标是()A.(2,6)B.(4,6)C.(3,﹣5)D.(3,5)4.将二次函数y=x2+2x﹣1转化为y=a(x﹣h)2+k的形式,结果为()A.y=(x﹣1)2B.y=(x+1)2C.y=(x+1)2﹣1D.y=(x+1)2﹣2 5.已知0≤x≤,则函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是()A.﹣10.5B.2C.﹣2.5D.﹣66.顶点坐标为(3,1),形状与函数y=的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为()A.y=+1B.y=+1C.y=﹣+1D.y=﹣+17.已知点A(﹣1,y1),B(1,y2),C(2,y3)都在二次函数y=(x﹣1)2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系正确的是()A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y2<y3<y1D.y3<y2<y1 8.抛物线y=ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表:x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是()①方程ax2+bx+c=0,有两根为x1=﹣2,x2=3;②抛物线与y轴的交点为(0,6);③抛物线的对称轴是直线x=1;④抛物线开口向上.A.1B.2C.3D.49.如图,在正方形ABCD中,AB=4,AC与BD交于点O,E,F分别为边BC,CD上的点(点E,F不与线段BC,CD的端点重合),BE=CF,连接OE,OF,EF.关于以下三个结论,下列判断正确的是()结论Ⅰ:∠BOF始终是90°;结论Ⅱ:△OEF面积的最小值是2;结论Ⅲ:四边形OECF的面积始终是8.A.结论Ⅰ和Ⅱ都对,结论Ⅲ错B.结论Ⅰ和Ⅱ都对,结论Ⅱ错C.结论Ⅱ和Ⅲ都对,结论Ⅰ错D.三个结论都对10.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位:m3)与旋钮的旋转角度x(单位:度)(0<x≤90)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()A.37.5°B.40°C.42.5°D.45°二.填空题(共6小题)11.函数是二次函数,则m的值为.12.已知抛物线y=x2﹣4x+c.与直线y=m相交于A,B两点,若点A的横坐标;x A=﹣1,则点B的横坐标.x B的值为.13.已知二次函数y=ax2开口向上,且|2﹣a|=3,则a=.14.已知抛物线y=x2﹣3x+1的图象上有一点A(m,n),则m﹣n的最大值是.15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴,交抛物线于另一点D,若AB+CD=3,则c的值为.16.如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=16,点E、F分别是边AB、BC上的动点,且EF=10,点G是EF的中点,AG、CG,则四边形AGCD面积的最小值为.三.解答题(共7小题)17.看图回答.(1)当y=0时,求x的值;(2)当y>5时,求x的范围;(3)y随x的增大而增大时,求x的范围.18.已知二次函数y=x2﹣6x+8.(1)将解析式化成顶点式;(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标;(3)x取什么值时,y随x的增大而增大;x取什么值时,y随x增大而减小.19.如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=﹣5r2+20t,求小球飞行高度达到最高时的飞行时间.20.“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种,在云南省广泛种植.长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动,经过调查往年的统计数据发现,云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售,平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元,那么平均每天的销售量会增加10斤,为了尽快减少库存,该水果商决定降价销售.(1)若降价2元,则每天的销售利润是多少元(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元,那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元?(其它成本忽略不计)(3)将商品的销售单价定为多少元时,商场每天销售该商品获得的利润w最大?最大利润是多少元?21.如图,抛物线与x轴交于A(﹣1,0)、B(4,0),与y轴交于C.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,已知线段DE与线段BC关于平面内某点成中心对称,其中DE的两端点刚好一个落在抛物线上,一个落在对称轴上,求落在对称轴上的点的坐标;(3)如图2,点M为第二象限抛物线上,作MN∥BC交抛物线于点N,直线NB、MC 交于点P,求P点的横坐标.22.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y'),给出如下定义:若y'=,则称点Q为点P的“可控变点”.例如:点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(﹣1,3)的“可控变点”为点(﹣1,﹣3).(1)点(﹣5,﹣2)的“可控变点”坐标为;(2)若点P在函数y=﹣x2+16的图象上,其“可控变点”Q的纵坐标y′是7,求“可控变点”Q的横坐标;(3)若点P在函数y=﹣x2+16(﹣5≤x≤a)的图象上,其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16,求实数a的取值范围.23.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣4,0),点M为抛物线的顶点,点B在y轴上,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图①.(1)求抛物线解析式;(2)直线AB的函数解析式为,点M的坐标为.(3)在y轴上找一点Q,使得△AMQ的周长最小,具体作法如图②,作点A关于y轴的对称点A',连接MA′交y轴于点Q,连接AM,AQ,此时△AMQ的周长最小,请求出点Q的坐标;(4)在坐标平面内是否存在点N,使以点A,O,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案一.选择题(共10小题)1.下列各式中,是y关于x的二次函数的是()A.y=4x B.y=3x﹣5C.y=D.y=2x2+1解:A.根据二次函数的定义,y=4x是一次函数,不是二次函数,故A不符合题意.B.根据二次函数的定义,y=3x﹣5不是二次函数,是一次函数,故B不符合题意.C.根据二次函数的定义,y=是反比例函数,不是二次函数,故C不符合题意.D.根据二次函数的定义,y=2x2+1是二次函数,故D符合题意.故选:D.2.已知:a>b>c,且a+b+c=0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的()A.B.C.D.解:A、由图知a>0,﹣=1,c>0,即b<0,∵已知a>b>c,故本选项错误;B、由图知a<0,而已知a>b>c,且a+b+c=0,必须a>0,故本选项错误;C、图C中条件满足a>b>c,且a+b+c=0,故本选项正确;D、∵a+b+c=0,即当x=1时a+b+c=0,与图中与x轴的交点不符,故本选项错误.故选:C.3.二次函数y=(x﹣2)(x﹣4)+6的顶点坐标是()A.(2,6)B.(4,6)C.(3,﹣5)D.(3,5)解:∵二次函数可化为y=(x﹣3)2+5,∴二次函数y=(x﹣2)(x﹣4)+6的顶点坐标是(3,5),故选:D.4.将二次函数y=x2+2x﹣1转化为y=a(x﹣h)2+k的形式,结果为()A.y=(x﹣1)2B.y=(x+1)2C.y=(x+1)2﹣1D.y=(x+1)2﹣2解:y=x2+2x﹣1=(x2+2x+1)﹣2=(x+1)2﹣2,即y=(x+1)2﹣2.故选:D.5.已知0≤x≤,则函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是()A.﹣10.5B.2C.﹣2.5D.﹣6解:y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2(x﹣2)2+2,∴当x<2时,y随着x增大而增大,∴当x=时有最大值y=﹣2(﹣2)2+2=﹣2.5,故选:C.6.顶点坐标为(3,1),形状与函数y=的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为()A.y=+1B.y=+1C.y=﹣+1D.y=﹣+1解:设所求的抛物线解析式为y=a(x﹣3)2+1,∵所求抛物线与函数y=的图象相同且开口方向相反,∴a=﹣,∴所求的抛物线解析式为y=﹣(x﹣3)2+1.故选:D.7.已知点A(﹣1,y1),B(1,y2),C(2,y3)都在二次函数y=(x﹣1)2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系正确的是()A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y2<y3<y1D.y3<y2<y1解:当x=﹣1时,y1=(x﹣1)2=(﹣1﹣1)2=4;当x=1时,y2=(x﹣1)2=(1﹣1)2=0;当x=2时,y3=(x﹣1)2=(2﹣1)2=1,所以y2<y3<y1.故选:C.8.抛物线y=ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表:x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是()①方程ax2+bx+c=0,有两根为x1=﹣2,x2=3;②抛物线与y轴的交点为(0,6);③抛物线的对称轴是直线x=1;④抛物线开口向上.A.1B.2C.3D.4解:根据表格数据可知:抛物线的对称轴是直线x==,∴③错误;∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣2,0),∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),∴方程ax2+bx+c=0有两根为x1=﹣2,x2=3;故①正确;从表格可知当x=0时,y=6,∴抛物线与y轴的交点为(0,6);∴②正确;从表格可知:当x<时,y随x的增大而增大,当x>时,y随x的增大而减小,∴抛物线开口向下,故④错误.故选:B.9.如图,在正方形ABCD中,AB=4,AC与BD交于点O,E,F分别为边BC,CD上的点(点E,F不与线段BC,CD的端点重合),BE=CF,连接OE,OF,EF.关于以下三个结论,下列判断正确的是()结论Ⅰ:∠BOF始终是90°;结论Ⅱ:△OEF面积的最小值是2;结论Ⅲ:四边形OECF的面积始终是8.A.结论Ⅰ和Ⅱ都对,结论Ⅲ错B.结论Ⅰ和Ⅱ都对,结论Ⅱ错C.结论Ⅱ和Ⅲ都对,结论Ⅰ错D.三个结论都对解:∵四边形ABCD是正方形,∴OB=OC,∠BOC=90°,∴∠OBE=∠OCF=45°,∵BE=CF,∴△BOE≌△COF,∴OE=OF,∠BOE=∠COF,∴∠BOE+∠COE=∠COF+∠COE,即∠EOF=∠BOC=90°,且S△COE+S△COF=S△COE+S△BOE,即S四边形OECF=S△BOC=S正方形ABCD=×4×4=4,由垂线段最短可得,当OE⊥BC时,OE=BC=×4=2,△OEF面积取最小值为×2×2=2,∴结论Ⅰ和Ⅱ都对,结论Ⅲ错,故选:A.10.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位:m3)与旋钮的旋转角度x(单位:度)(0<x≤90)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()A.37.5°B.40°C.42.5°D.45°解:把(25,0.725),(50,0.06),(60,0.09)代入y=ax2+bx+c得:,解得,∴y=0.0001x2﹣0.008x+0.21=0.0001(x﹣40)2+0.05,∵0.0001>0,∴x=40时,y最小为0.05,∴燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°,故选:B.二.填空题(共6小题)11.函数是二次函数,则m的值为3.解:∵函数是二次函数,∴m2﹣7=2且m+3≠0,解得:m=3.则m的值为3.故答案为:3.12.已知抛物线y=x2﹣4x+c.与直线y=m相交于A,B两点,若点A的横坐标;x A=﹣1,则点B的横坐标.x B的值为5.解:∵y=x2﹣4x+c,∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=﹣=2,∴点A,B关于直线x=2对称,∵点A横坐标为﹣1,∴点B横坐标为5,故答案为:5.13.已知二次函数y=ax2开口向上,且|2﹣a|=3,则a=5.解:∵|2﹣a|=3,∴2﹣a=±3,解得:a=﹣1或5,又二次函数y=ax2开口向上,则a>0,故a=5.故答案为:5.14.已知抛物线y=x2﹣3x+1的图象上有一点A(m,n),则m﹣n的最大值是3.解:∵点A(m,n)在抛物线y=x2﹣3x+1上,∴n=m2﹣3m+1,∴m﹣n=﹣m2+4m﹣1=﹣(m﹣2)2+3,∴当m=2时,m﹣n有最大值为3,故答案为:3.15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴,交抛物线于另一点D,若AB+CD=3,则c的值为﹣.解:设A(x1,0),B(x2,0),令y=0,则y=﹣x2+2x+c=0,由根与系数的关系得:x1+x2=2,x1•x2=﹣c,则AB=|x1﹣x2|===2,令x=0,则y=c,∴C(0,c),∵CD∥x轴,∴点D纵坐标为c,当y=c时,则﹣x2+2x+c=c,解得:x=2,或x=0,∴D(2,c),∴CD=2,∵AB+CD=3,∴2+2=3,解得:c=﹣,故答案为:﹣.16.如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=16,点E、F分别是边AB、BC上的动点,且EF=10,点G是EF的中点,AG、CG,则四边形AGCD面积的最小值为142.解:连接AC,过B作BH⊥AC于H,以B为圆心,BG为半径作圆,交BH于G',如图:∵四边形ABCD是矩形,∴∠EBF=90°,∵EF=10,点G是EF的中点,∴BG=EF=10=5,∴G在以B为圆心,5为半径的弧上,当G运动到G'时,S△ACG最小,此时四边形AGCD 面积的最小值,最小值即为四边形AG'CD的面积,∵AB=12=CD,BC=16=AD,∴AC=20,S△ACD=×12×16=96,∴BH==,∴G'H=BH﹣5=﹣5=,∴S△ACG'=AC•G'H=×20×=46,∴S四边形AG'CD=S△ACD+S△ACG'=46+96=142,即四边形AGCD面积的最小值是142.故答案为:142.三.解答题(共7小题)17.看图回答.(1)当y=0时,求x的值;(2)当y>5时,求x的范围;(3)y随x的增大而增大时,求x的范围.解:(1)由图象可知,抛物线经过点(﹣1,0),对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),∴当y=0时,x的值为﹣1和3;(2)∵抛物线经过点(﹣1,0),(3,0),(0,﹣3),∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),代入(0,﹣3)得,﹣3=﹣3a,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x﹣3),令y=5得5=(x+1)(x﹣3),解得x1=4,x2=﹣2,∴当y>5时,求x的范围是x>4或x<﹣2;(3)∵y=(x+1)(x﹣3)=(x﹣1)2+4,∴抛物线开口向上,顶点为(1,4),对称轴为直线x=1,∴y随x的增大而增大时,x的范围是x>1.18.已知二次函数y=x2﹣6x+8.(1)将解析式化成顶点式;(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标;(3)x取什么值时,y随x的增大而增大;x取什么值时,y随x增大而减小.解:(1)y=x2﹣6x+8=x2﹣6x+9﹣1=(x﹣3)2﹣1;(2)开口向上,对称轴是直线x=3,顶点坐标是(3,﹣1);(3)x>3时,y随x的增大而增大;x<3时,y随x增大而减小.19.如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=﹣5r2+20t,求小球飞行高度达到最高时的飞行时间.解:∵h=﹣5t2+20t=﹣5(t﹣2)2+20,且﹣5<0,∴当t=2时,h取最大值20,答:小球飞行高度达到最高时的飞行时间为2s.20.“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种,在云南省广泛种植.长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动,经过调查往年的统计数据发现,云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售,平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元,那么平均每天的销售量会增加10斤,为了尽快减少库存,该水果商决定降价销售.(1)若降价2元,则每天的销售利润是多少元(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元,那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元?(其它成本忽略不计)(3)将商品的销售单价定为多少元时,商场每天销售该商品获得的利润w最大?最大利润是多少元?解:(1)根据题意,降价2元则销售量为60+2×10=80(斤),销售利润为:(30﹣15﹣2)×80=1040(元),。
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)第一套:1. 将函数 $y = 2x^2 - 3x - 2$ 化简为标准形式,并求出它的顶点坐标。
答案:将函数化简为标准形式得到 $y = 2(x-\frac{3}{4})^2 -\frac{33}{8}$,顶点坐标为 $(\frac{3}{4}, -\frac{33}{8})$。
2. 求函数 $y = -x^2 + 4x + 1$ 的零点。
答案:将函数化简为标准形式得到 $y = -(x-2)^2 + 5$,令 $y = 0$,解得 $x = 2 \pm \sqrt{5}$,即零点为 $x_1 = 2 + \sqrt{5}$ 和 $x_2 = 2 -\sqrt{5}$。
3. 给定函数 $y = x^2 - 6x + 5$,求其对称轴的方程式。
答案:对称轴的方程式为 $x = \frac{-b}{2a}$,代入 $a = 1$ 和 $b = -6$ 得到 $x = \frac{6}{2} = 3$。
4. 若函数 $y = ax^2 + bx - 9$ 与 $y = -x^2 + 7x$ 有相同的图像,求$a$ 和 $b$ 的值。
答案:由于两个函数有相同的图像,所以它们的系数相等。
比较两个函数的对应系数得到 $a = -1$ 和 $b = 7$。
5. 已知函数 $y = x^2 - 4x + 5$ 的图像上存在一点 $(h, k)$,使得 $x= h - 3$ 时,$y = 2k + 12$,求点 $(h, k)$ 的坐标。
答案:将 $x = h - 3$ 代入函数得到 $y = (h-3)^2 - 4(h-3) + 5$。
代入$y = 2k + 12$ 得到 $(h-3)^2 - 4(h-3) + 5 = 2k + 12$。
整理得到 $(h-3)^2 -4(h-3) - 2k - 7 = 0$。
由于该方程为二次方程,必然存在实数解。
二次函数练习题及答案
二次函数练习题及答案1. 已知二次函数的顶点为(2, 3),且经过点(1, 5),求该二次函数的解析式。
2. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于点A(-1, 0)和B(3, 0),求抛物线的对称轴方程。
3. 函数f(x)=2x^2-4x+m在区间[0, 2]上的最大值为8,求m的值。
4. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(-1, 2)和(2, 2),且在x=1处取得最小值,求a、b、c的值。
5. 抛物线y=ax^2+bx+c的图象开口向上,且经过点(0, 1)和(2, 5),求a的取值范围。
6. 函数y=x^2-2x+3的图象与x轴的交点坐标为多少?7. 抛物线y=-2x^2+4x+1的顶点坐标是什么?8. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴交于点(0, 2),且在x=-1处取得最大值,求a、b、c的值。
9. 函数f(x)=x^2-6x+8在区间[1, 4]上的最大值和最小值分别是多少?10. 抛物线y=3x^2-6x+2与x轴的交点坐标是什么?11. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1, 0)和(-2, 0),且在x=0处取得最小值,求a、b、c的值。
12. 函数y=2x^2-4x+1在区间[0, 3]上的最大值和最小值分别是多少?13. 抛物线y=-x^2+2x+3的图象开口向下,求抛物线的顶点坐标。
14. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(-3, -2)和(1, -2),求a、b、c的值。
15. 函数y=x^2-4x+5的图象与x轴的交点坐标为多少?16. 抛物线y=4x^2-12x+9的顶点坐标是什么?17. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴交于点(0, -1),且在x=2处取得最大值,求a、b、c的值。
18. 函数f(x)=-2x^2+8x-8在区间[0, 4]上的最大值和最小值分别是多少?19. 抛物线y=x^2-4x+5的图象开口向上,求抛物线的对称轴方程。
中考数学《二次函数》专项练习(附答案解析)
中考数学《二次函数》专项练习(附答案解析)一、综合题1.如图,是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽度为10m时,桥洞与水面的最大距离是5m.(1)经过讨论,同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案(如图),你选择的方案是()(填方案一,方案二,或方案三),则B点坐标是(),求出你所选方案中的抛物线的表达式;(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为6m,求水面上涨的高度.2.如图,抛物线 y =-x2+3x +4 与x轴负半轴相交于A点,正半轴相交于B点,与 y 轴相交于C 点.(1)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线 BC 对称的点的坐标;(2)在(1)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.3.如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当△CEF与△COD相似时,点P的坐标;②是否存在一点P,使△PCD的面积最大?若存在,求出△PCD的面积的最大值;若不存在,请说明理由.4.已知抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b(a≠0,b>0)的顶点为M,经过原点O且与x轴另一交点为A.(1)求点A的坐标;(2)若△AMO为等腰直角三角形,求抛物线C1的解析式;(3)现将抛物线C1绕着点P(m,0)旋转180°后得到抛物线C2,若抛物线C2的顶点为N,当b=1,且顶点N在抛物线C1上时,求m的值.5.如图,抛物线G:y=−x2+2mx−m2+m+3的顶点为P(x P,y P),抛物线G与直线l:x=3交于点Q.(1)x P=,y P=(分别用含m的式子表示);y P与x P的函数关系式为;(2)求点Q的纵坐标y Q(用含m的式子表示),并求y Q的最大值;(3)随m的变化,抛物线G会在直角坐标系中移动,求顶点P在y轴与l之间移动(含y轴与l)的路径的长.6.如图,抛物线的顶点D的坐标为(﹣1,4),抛物线与x轴相交于A.B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,已知点E(0,﹣3),在抛物线的对称轴上是否存在一点F,使得△CEF的周长最小,如果存在,求出点F的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)如图2,连接AD,若点P是线段OC上的一动点,过点P作线段AD的垂线,在第二象限分别与抛物线、线段AD相交于点M、N,当MN最大时,求△POM的面积.7.已知:如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点A(4,0),点B(0,4),ΔABO的中线AC与y轴交于点C,且⊙M经过O,A,C三点.(1)求圆心M的坐标;(2)若直线AD与⊙M相切于点A,交y轴于点D,求直线AD的函数表达式;(3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作PE∥y轴,交直线AD于点E.若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F.当EF=4√5时,求点P的坐标.9.如图1所示,已知抛物线y=−x2+4x+5的顶点为D,与x轴交于A、B两点(A左B右),与y轴交于C点,E为抛物线上一点,且C、E关于抛物线的对称轴对称,作直线AE.(1)求直线AE的解析式;(2)在图2中,若将直线AE沿x轴翻折后交抛物线于点F,则点F的坐标为(直接填空);(3)点P为抛物线上一动点,过点P作直线PG与y轴平行,交直线AE于点G,设点P的横坐标为m,当S△PGE∶S△BGE=2∶3时,直接写出所有符合条件的m值,不必说明理由.10.综合与探究如图,直线y=−23x+4与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线y=ax2+43x+c经过B,C两点,与x轴的另一个交点为A(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为点D.抛物线的对称轴与x轴交于点E.(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;(2)点M是线段BC上一动点,连接DM并延长交x轴交于点F,当FM:FD=1:4时,求点M的坐标;(3)点P是该抛物线上的一动点,设点P的横坐标为m,试判断是否存在这样的点P,使∠PAB+∠BCO=90°,若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.11.如图,点A,B在函数y=14x2的图像上.已知A,B的横坐标分别为-2、4,直线AB与y轴交于点C,连接OA,OB.(1)求直线AB的函数表达式;(2)求ΔAOB的面积;(3)若函数y=14x2的图像上存在点P,使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半,则这样的点P共有个.12.如图,已知二次函数y=ax2﹣2ax+c(a<0)的图象与x轴负半轴交于点A(﹣1,0),与y 轴正半轴交于点B,顶点为P,且OB=3OA,一次函数y=kx+b的图象经过A、B.(1)求一次函数解析式;(2)求顶点P的坐标;,求点M (3)平移直线AB使其过点P,如果点M在平移后的直线上,且tan∠OAM=32坐标;(4)设抛物线的对称轴交x轴于点E,连接AP交y轴于点D,若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点,连接QD、QN,请直接写出QD+QN的最小值.13.如图,抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C,点D是拋物线在x轴上方,对称轴右侧上的一个动点,设点D的横坐标为m.连接AC,BC,DB,DC.(1)求抛物线的解析式;(2)当△BCD的面积与△AOC的面积和为7时,求m的值;2(3)在(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(x+m)(x−3m)图象的顶点为M,图象交x轴于A、14.如图,y关于x的二次函数y=−√33mB两点,交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆,圆心为C.定点E的坐标为(−3,0),连接ED.(m>0)(1)写出A、B、D三点的坐标;(2)当m为何值时M点在直线ED上?判定此时直线与圆的位置关系;(3)当m变化时,用m表示△AED的面积S,并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.15.在图1中,抛物线y=ax2+2ax﹣8(a≠0)与x轴交于点A、B(点A在B左侧),与y轴负半轴交于点C,OC=4OB,连接AC,抛物线的对称轴交x轴于点E,交AC于点F.(1)AB的长为,a的值为;(2)图2中,直线ON分别交EF、抛物线于点M、N,OM=√17,连接NC.①求直线ON的解析式;②证明:NC∥AB;③第四象限存在点P使△BFP与△AOC相似,且BF为△BFP的直角边,请直接写出点P坐标.16.如图,直线AB的解析式为y=−43x+4,抛物线y=−13x2+bx+c与y轴交于点A,与x轴交于点C(6,0),点P是抛物线上一动点,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)如图(1),当点P在第一象限内的抛物线上时,求△ABP面积的最大值,并求此时点P的坐标;(3)过点A作直线l//x轴,过点P作PH⊥l于点H,将△APH绕点A顺时针旋转,使点H的对应点恰好落在直线AB上,同时恰好落在坐标轴上,请直接写出点P的坐标.参考答案与解析1.【答案】(1)解:方案一:点B的坐标为(5,0),设抛物线的解析式为:y=a(x+5)(x−5).由题意可以得到抛物线的顶点为(0,5),代入解析式可得:a=−15,∴抛物线的解析式为:y=−15(x+5)(x−5)方案2:点B的坐标为(10,0).设抛物线的解析式为:y=ax(x−10).由题意可以得到抛物线的顶点为(5,5),代入解析式可得:a=−15,∴抛物线的解析式为:y=−15x(x−10);方案3:点B的坐标为(5,−5),由题意可以得到抛物线的顶点为(0,0).设抛物线的解析式为:y=ax2,把点B的坐标(5,−5),代入解析式可得:a=−15,∴抛物线的解析式为:y=−15x2;(2)解:方案一:由题意:把x=3代入y=−15(x+5)(x−5),解得:y=165=3.2,∴水面上涨的高度为3.2m方案二:由题意:把x=2代入y=−15x(x−10)解得:y=165=3.2,∴水面上涨的高度为3.2m.方案三:由题意:把x=3代入y=−15x2解得:y=−95= −1.8,∴水面上涨的高度为5−1.8= 3.2m.2.【答案】(1)解: 将点D( m,m+1 )代入y=−x2+3x+4中,得:m+1=−m2+3m+4,解得:m=−1或3,∵点D在第一象限,∴m=3,∴点D的坐标为(3,4);令y=0,则−x2+3x+4=0,解得:x1=−1,x2=4,令x=0,则y=4,由题意得A(-1,0),B(4,0),C(0,4),∴OC=OB=4,BC= 4√2,CD=3,∵点C、点D的纵坐标相等,∴CD∥AB,∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°,∴点D关于直线BC的对称点E在y轴上.根据对称的性质知:CD=CE=3 ,∴OE=OC−CE=4−3=1,∴点D关于直线BC对称的点E的坐标为(0,1);(2)解: 作PF⊥AB于F,DG⊥BC于G,由(1)知OB=OC=4,∠OBC=45°.∵∠DBP=45°,∴∠CBD=∠PBF.∵CD=3,∠DCB=45°,∴CG=DG= 3√22,∵BC= 4√2,∴BG= 4√2−3√22=5√22∴tan∠PBF=tan∠CBD=DGBG =35.设PF=3t,则BF=5t,OF=5t−4.∴P(−5t+4,3t),∵P点在抛物线上,∴3t=−(−5t+4)2+3(−5t+4)+4解得:t=2225或t=0(舍去).∴点P的坐标为( −25,6625).3.【答案】(1)解:在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO= OBOA=3,∴OB=3OA=3.∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的,∴△DOC≌△AOB,∴OC=OB=3,OD=OA=1,∴A、B、C的坐标分别为(1,0),(0,3)(﹣3,0).代入解析式为{a+b+c=09a−3b+c=0c=3,解得: {a =−1b =−2c =3.∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3(2)解:①∵抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3,∴对称轴l=﹣ b2a =﹣1,∴E 点的坐标为(﹣1,0).如图, 当∠CEF=90°时,△CEF ∽△COD .此时点P 在对称轴上,即点P 为抛物线的顶点,P (﹣1,4);当∠CFE=90°时,△CFE ∽△COD ,过点P 作PM ⊥x 轴于点M ,则△EFC ∽△EMP . ∴EMMP =EFFC =DO OC=13 ,∴MP=3EM .∵P 的横坐标为t ,∴P (t ,﹣t 2﹣2t+3).∵P 在第二象限,∴PM=﹣t 2﹣2t+3,EM=﹣1﹣t ,∴﹣t 2﹣2t+3=﹣(t ﹣1)(t+3),解得:t 1=﹣2,t 2=﹣3(因为P 与C 重合,所以舍去),∴t=﹣2时,y=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+3=3.∴P (﹣2,3).∴当△CEF 与△COD 相似时,P 点的坐标为:(﹣1,4)或(﹣2,3); ②设直线CD 的解析式为y=kx+b ,由题意,得{−3k +b =0b =1 ,解得: {k =13b =1,∴直线CD 的解析式为:y= 13 x+1.设PM 与CD 的交点为N ,则点N 的坐标为(t , 13 t+1),∴NM= 13 t+1.∴PN=PM ﹣NM=﹣t 2﹣2t+3﹣( 13 t+1)=﹣t 2﹣ 73t +2. ∵S △PCD =S △PCN +S △PDN ,∴S △PCD = 12 PN •CM+ 12 PN •OM= 12 PN (CM+OM )= 12 PN •OC= 12 ×3(﹣t 2﹣ 73t +2)=﹣ 32 (t+76)2+ 12124 ,∴当t=﹣ 76 时,S △PCD 的最大值为 12124 . 4.【答案】(1)解:∵抛物线C 1:y=ax 2+4ax+4a+b (a ≠0,b >0)经过原点O , ∴0=4a+b ,∴当ax 2+4ax+4a+b=0时,则ax 2+4ax=0, 解得:x=0或﹣4,∴抛物线与x 轴另一交点A 坐标是(﹣4,0)(2)解:∵抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b(a≠0,b>0),(如图1)∴顶点M坐标为(﹣2,b),∵△AMO为等腰直角三角形,∴b=2,∵抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b过原点,∴a(0+2)2+2=0,解得:a=﹣12,∴抛物线C1:y=﹣12x2﹣2x(3)解:∵b=1,抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b过原点,(如图2)∴a=﹣14,∴y=﹣14(x+2)2+1=﹣14x2﹣x,设N(n,﹣1),又因为点P(m,0),∴n﹣m=m+2,∴n=2m+2即点N的坐标是(2m+2,﹣1),∵顶点N在抛物线C1上,∴﹣1=﹣14(2m+2+2)2+1,解得:m=﹣2+ √2或﹣2﹣√2 5.【答案】(1)m;m+3;y P=x P+3(2)解:∵抛物线 G :y =−x 2+2mx −m 2+m +3 与直线 l :x =3 交于点 Q , ∴把 x =3 代入 y =−x 2+2mx −m 2+m +3 , 得 y Q =−m 2+7m −6 .∵y Q =−m 2+7m −6=−(m −72)2+254,∴当 m =72 时, y Q 的最大值为 254 .(3)解:∵点 P 在 y 轴与 l 之间沿直线 l 1:y =x +3 运动, 如图,设直线 l 1:y =x +3 与 y 轴和直线 l 分别交于点 B 和点 P 1 ,线段 BP 1 的长即为点 P 路径长.把 x B =0 , x P 1=3 代入 y =x +3 得点 B(0,3) ,点 P 1(3,6) , 过点 P 1 作 P 1M ⊥y 轴,垂足为M , 则 P 1M =3,BM =3 , 在 Rt △BMP 1 中, BP 1=√BM 2+MP 12=√32+32=3√2 ,∴点 P 路径长为 3√2 .6.【答案】(1)解:设抛物线的表达式为:y =a (x+1)2+4, 把x =0,y =3代入得:3=a (0+1)2+4,解得:a =﹣1 ∴抛物线的表达式为y =﹣(x+1)2+4=﹣x 2﹣2x+3(2)解:存在.如图1,作C 关于对称轴的对称点C ′,连接EC ′交对称轴于F ,此时CF+EF的值最小,则△CEF的周长最小.∵C(0,3),∴C′(﹣2,3),易得C′E的解析式为:y=﹣3x﹣3,当x=﹣1时,y=﹣3×(﹣1)﹣3=0,∴F(﹣1,0)(3)解:如图2,∵A(﹣3,0),D(﹣1,4),易得AD的解析式为:y=2x+6,过点D作DH⊥x轴于H,过点M作MG⊥x轴交AD于G,AH=﹣1﹣(﹣3)=2,DH=4,∴AD=√AH2+DH2=√22+42=2√5,设M(m,﹣m2﹣2m+3),则G(m,2m+6),(﹣3≤m≤﹣1),∴MG=(﹣m2﹣2m+3)﹣(2m+6)=﹣m2﹣4m﹣3,由题易知△MNG∽△AHD,∴MGMN =ADAH即MN=AH×MGAD =22√5=−√55(m+2)2+√55∵√55<0∴当m =﹣2时,MN 有最大值;此时M (﹣2,3),又∵C (0,3),连接MC ∴MC ⊥y 轴∵∠CPM =∠HAD ,∠MCP =∠DHA =90°, ∴△MCP ∽△DHA , ∴PCAH =MCDH 即 PC2=24 ∴PC =1∴OP =OC ﹣PG =3﹣1=2, ∴S △POM = 12×2×2 =2,7.【答案】(1)解:由题意,得 {0=16a −8a +c 4=c解得 {a =−12c =4∴所求抛物线的解析式为:y=﹣ 12 x 2+x+4(2)解:设点Q 的坐标为(m ,0),过点E 作EG ⊥x 轴于点G .由﹣ 12 x 2+x+4=0, 得x 1=﹣2,x 2=4∴点B 的坐标为(﹣2,0) ∴AB=6,BQ=m+2 ∵QE ∥AC ∴△BQE ∽△BAC∴EG CO =BQBA 即 EG4=m+26 ∴EG =2m+43∴S △CQE =S △CBQ ﹣S △EBQ = 12 BQ •CO ﹣ 12 BQ •EG = 12 (m+2)(4﹣2m+43)= −13m 2+23m +83 =﹣ 13 (m ﹣1)2+3 又∵﹣2≤m ≤4∴当m=1时,S △CQE 有最大值3,此时Q (1,0) (3)解:存在.在△ODF 中. (ⅰ)若DO=DF ∵A (4,0),D (2,0) ∴AD=OD=DF=2又在Rt △AOC 中,OA=OC=4 ∴∠OAC=45度 ∴∠DFA=∠OAC=45度∴∠ADF=90度.此时,点F 的坐标为(2,2) 由﹣ 12 x 2+x+4=2, 得x 1=1+ √5 ,x 2=1﹣ √5此时,点P 的坐标为:P (1+ √5 ,2)或P (1﹣ √5 ,2). (ⅱ)若FO=FD ,过点F 作FM ⊥x 轴于点M由等腰三角形的性质得:OM= 12OD=1∴AM=3∴在等腰直角△AMF中,MF=AM=3∴F(1,3)由﹣12x2+x+4=3,得x1=1+ √3,x2=1﹣√3此时,点P的坐标为:P(1+ √3,3)或P(1﹣√3,3).(ⅲ)若OD=OF∵OA=OC=4,且∠AOC=90°∴AC= 4√2∴点O到AC的距离为2√2,而OF=OD=2 <2√2,与OF≥2 √2矛盾,所以AC上不存在点使得OF=OD=2,此时,不存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形综上所述,存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形所求点P的坐标为:P(1+ √5,2)或P(1﹣√5,2)或P(1+ √3,3)或P(1﹣√3,3)8.【答案】(1)解:∵C为OB的中点,点B(0,4),∴点C(0,2),又∵M为AC中点,点A(4,0),0+4 2=2,2+02=1,∴点M(2,1)(2)解:∵⊙P与直线AD,则∠CAD=90°,设:∠CAO=α,则∠CAO=∠ODA=∠PEH=α,tan∠CAO=OCOA =12=tanα,则sinα=√5,cosα=√5,AC=√10,则CD=ACsin∠CDA =√10sinα=10,则点D(0,−8),设直线AD的解析式为:y=mx+n,将点A、D的坐标分别代入得:{0=4m+n−8=n,解得:{m=2n=−8,所以直线AD的表达式为:y=2x−8(3)解:设抛物线的表达式为:y=a(x−2)2+1,将点B坐标代入得:4=a(0-2)2+1,解得:a=34,故抛物线的表达式为:y=34x2−3x+4,过点P作PH⊥EF,则EH=12EF=2√5,cos∠PEH=EHPE =2√5PE=cosα=√5,解得:PE=5,设点P(x,34x2−3x+4),则点E(x,2x−8),则PE=34x2−3x+4−2x+8=5,解得x=143或2(舍去2),则点P(143,193) .9.【答案】(1)解:∵抛物线的解析式为y=−x2+4x+5,∴该抛物线的对称轴为:x=−42×(−1)=2,令y=−x2+4x+5中x=0,则y=5,∴点C的坐标为(0,5),∵C、E关于抛物线的对称轴对称,∴点E的坐标为(2×2−0,5),即(4,5),令y =−x 2+4x +5中y =0,则−x 2+4x +5=0, 解得:x 1=−1,x 2=5,∴点A 的坐标为(−1,0)、点B 的坐标为(5,0), 设直线AE 的解析式为y =kx +b ,将点A(−1,0)、E(4,5)代入y =kx +b 中, 得:{0=−k +b 5=4k +b ,解得:{k =1b =1,∴直线AE 的解析式为y =x +1; (2)(6,-7)(3)解:符合条件的m 值为0、3、3−√412和3+√412.10.【答案】(1)解:当x =0时,得y =4, ∴点C 的坐标为(0,4),当y =0时,得−23x +4=0,解得:x =6, ∴点B 的坐标为(6,0), 将B ,C 两点坐标代入,得{36a +43×6+c =0,c =4. 解,得{a =−13,c =4.∴抛物线线的表达式为y =−13x 2+43x +4.∵y =−13x 2+43x +4=−13(x 2−4x +4−4)+4=−13(x −2)2+163.∴顶点D 坐标为(2,163). (2)解:作MG ⊥x 轴于点G ,∵∠MFG =∠DFE ,∠MGF =∠DEF =90°, ∴ΔMGF ∽ΔDEF .∴FM FD =MG DE.∴14=MG163.∴MG =43当y =43时,43=−23x +4 ∴x =4.∴点M 的坐标为(4,43).(3)解:∵∠PAB +∠BCO =90°,∠CBO +∠BCO =90°, ∴∠PAB =∠CBO ,∵点B 的坐标为(6,0),点C 的坐标为(0,4), ∴tan ∠CBO =46=23, ∴tan ∠PAB =23, 过点P 作PQ ⊥AB , 当点P 在x 轴上方时,−13m 2+4m +12m +2=23解得m=4符合题意, 当点P 在x 轴下方时,13m 2−4m −12m +2=23解得m=8符合题意, ∴存在,m 的值为4或8.11.【答案】(1)解:∵A ,B 是抛物线 y =14x 2 上的两点,∴当 x =−2 时, y =14×(−2)2=1 ;当 x =4 时, y =14×42=4 ∴点A 的坐标为(-2,1),点B 的坐标为(4,4) 设直线AB 的解析式为 y =kx +b , 把A ,B 点坐标代入得 {−2k +b =14k +b =4解得, {k =12b =2所以,直线AB 的解析式为: y =12x +2 ; (2)解:对于直线AB : y =12x +2 当 x =0 时, y =2 ∴OC =2∴S ΔAOB =S ΔAOC +S ΔBOC = 12×2×2+12×2×4 =6 (3)412.【答案】(1)解:∵A (﹣1,0), ∴OA=1 ∵OB=3OA , ∴B (0,3)∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为:y=3x+3(2)解:∵二次函数y=ax 2﹣2ax+c (a <0)的图象与x 轴负半轴交于点A (﹣1,0),与y 轴正半轴交于点B (0,3), ∴c=3,a=﹣1,∴二次函数的解析式为:y=﹣x 2+2x+3 ∴抛物线y=﹣x 2+2x+3的顶点P (1,4) (3)解:设平移后的直线的解析式为:y=3x+m ∵直线y=3x+m 过P (1,4), ∴m=1,∴平移后的直线为y=3x+1 ∵M 在直线y=3x+1,且 设M (x ,3x+1)①当点M 在x 轴上方时,有 3x+1x+1=32 ,∴x =13 , ∴M 1(13,2)②当点M 在x 轴下方时,有 −3x+1x+1=32 ,∴x =−59 , ∴M 2(−59 , −23)(4)解:作点D 关于直线x=1的对称点D ′,过点D ′作D ′N ⊥PD 于点N , 当﹣x 2+2x+3=0时,解得,x=﹣1或x=3, ∴A (﹣1,0), P 点坐标为(1,4),则可得PD 解析式为:y=2x+2, 根据ND ′⊥PD ,设ND ′解析式为y=kx+b , 则k=﹣ 12 ,将D ′(2,2)代入即可求出b 的值, 可得函数解析式为y=﹣ 12 x+3,将两函数解析式组成方程组得: {y =−12x +3y =2x +2 ,解得 {x =25y =145 ,故N ( 25 , 145 ),由两点间的距离公式:d= √(2−25)2+(2−145)2 = 4√55, ∴所求最小值为4√5513.【答案】(1)解:把A (-1,0),B (2,0)代入抛物线解析式得: {a −b +4=04a +2b +4=0,解得: {a =−2b =2∴抛物线的解析式为: y =−2x 2+2x +4 (2)解:如图,连接OD ,由 y =−2x 2+2x +4 可得: 对称轴为 x =−22×(−2)=12 ,C (0,4)∵D(m,−2m 2+2m +4)(12<m <2) ,A (-1,0),B (2,0) ∴∴S △BCD =S △OCD +S △BCD −S △OBC=12×4m +12×2·(−2m 2+4m +2)−12×2×4=−2m 2+4m S △AOC =12×1×4=2又∵S △BCD +S △AOC =72 ∴−2m 2+4m +2=72 ,∴4m 2−8m +3=0解得: m 1=12 , m 2=32 ,当 m 1=12 时,点在对称轴上,不合题意,舍去,所以取 m 2=32 , 综上, m =32(3)解: M 1(0,0) , M 2(4,0) , M 3(√142,0) , M 4(−√142,0)14.【答案】(1)解:令y =0,则−√33m (x +m)(x −3m)=0,解得x 1=−m ,x 2=3m ;令x =0,则y =−√33m (0+m)(0−3m)=√3m .故A(−m ,0),B(3m ,0),D(0,√3m).(2)解:设直线ED 的解析式为y =kx +b ,将E(−3,0),D(0,√3m)代入得:{−3k +b =0b =√3m解得,k =√33m ,b =√3m .∴直线ED 的解析式为y =√33mx +√3m .将y =−√33m (x +m)(x −3m)化为顶点式:y =−√33m (x −m)2+4√33m . ∴顶点M 的坐标为(m ,4√33m).代入y =√33mx +√3m 得:m 2=m∵m >0,∴m =1.所以,当m =1时,M 点在直线DE 上. 连接CD ,C 为AB 中点,C 点坐标为C(m ,0). ∵OD =√3,OC =1, ∴CD =2,D 点在圆上又∵OE =3,DE 2=OD 2+OE 2=12, EC 2=16,CD 2=4, ∴CD 2+DE 2=EC 2.∴∠EDC =90°∴直线ED 与⊙C 相切.(3)解:当0<m <3时,S △AED =12AE ⋅OD =√32m(3−m)S =−√32m 2+3√32m . 当m >3时,S ΔAED =12AE ⋅OD =√32m(m −3).即S =√32m 2_3√32m . S 关于m 的函数图象的示意图如右:15.【答案】(1)6;1(2)解:①由抛物线的表达式知,抛物线的对称轴为x=﹣1,故设点M的坐标为(﹣1,m),则OM=12+m2=(√17)2,解得m=4(舍去)或﹣4,故点M的坐标为(﹣1,﹣4),由点O、M的坐标得,直线OM(即ON)的表达式为y=4x②,故答案为y=4x;②联立①②并解得{x=−2y=−8,故点N(﹣2,﹣8),∵点C、N的纵坐标相同,故NC∥x轴,即NC∥AB;③当∠BFP为直角时,由A(﹣4,0),C(0,-8)可求AC解析式为y=-2x﹣8,把x=-1,代入y=-2x﹣8得,y=-6,点F的坐标为:(-1,-6),由点F、B的坐标得,直线BF的表达式为y=2x﹣4,当x=﹣2时,y=2x﹣4=﹣8,故点N在直线BF上,连接FN,过点F作FP⊥BF交NC的延长线于点K,由直线BF 的表达式知,tan ∠BNK =2,则tan ∠FKN = 12 , 故设直线PF 的表达式为y =﹣ 12 x+t , 将点F 的坐标代入上式并解得t =﹣ 132 ,则直线PF 的表达式为y =﹣ 12 x ﹣ 132 ,故设点P 的坐标为(m ,﹣ 12 m ﹣ 132 ), 在Rt △AOC 中,tan ∠ACO = AOCO = 12 ,则tan ∠OCA =2, ∵△BFP 与△AOC 相似, 故∠FBP =∠ACO 或∠OAC ,则tan ∠FBP =tan ∠ACO 或tan ∠OAC ,即tan ∠FBP = 12 或2, 由点B 、F 的坐标得:BF = √32+62=3√5 , 则PF =BFtan ∠FBP =3√52或6 √5 ,由点P 、F 的坐标得:PF 2=(m+1)2+(﹣ 12 m ﹣ 132 +6)2=( 3√52)2或(6 √5 )2, 解得m =2或﹣4(舍去)或11或﹣13(舍去), 故点P 的坐标为(11,﹣12)或(2,﹣ 152 ); 当∠PBF 为直角时,过点B 作BP ⊥BF ,同理可求直线PF 的表达式为y =﹣ 12 x+1,故设点P 的坐标为(m ,﹣ 12 m ﹣1),同理可得,PB =BFtan ∠FBP =3√52或6 √5 ,由点P 、B 的坐标得:PB 2=(m-2)2+(﹣ 12 m+1)2=(3√52)2或(6 √5 )2,解得m=-1(舍去)或5或14或﹣10(舍去),点P的坐标为(5,﹣32)或(14,-6);综上,点P的坐标为(11,﹣12)或(2,﹣152)或(5,﹣32)或(14,-6);16.【答案】(1)解:当x=0时,y=−43x+4=4,则A(0,4),把A(0,4),C(6,0)代入y=−13x2+bx+c得{−12+6b+c=0c=4,解得{b=43c=4,∴抛物线解析式为y=−13x2+43x+4;(2)连接OP,设P(m,−13m2+43m+4),当y=0时,−43x+4=0,解得x=3,则B(3,0),S△ABP=S△AOP+S△POB−S△AOB=12⋅4⋅m+12⋅3⋅(−13m2+43m+4)−12⋅3⋅4=−12m2+4m,=−12(m−4)2+8,当m=4时,△ABP面积有最大值,最大值为8,此时P点坐标为(4,4);(3)在Rt△OAB中,AB=√32+42=5,当点P′落在x轴上,如图2,∵△APH绕点A顺时针旋转,使点H的对应点恰好落在直线AB上,同时恰好落在x 轴上∴P′H′=PH=4−(−13m2+43m+4)=13m2−43m,AH′=AH=m,∠P′H′A=∠PHA=90∘,∵∠P′BH′=∠ABO,∴△BP ′H ′ ∽ △BAO ,∴P ′H ′ : OA =BH ′ :OB ,即 (13m 2−43m) : 4=BH ′ :3, ∴BH ′=14m 2−m , ∵AH ′+BH ′=AB ,∴m +14m 2−m =5 ,解得 m 1=2√5 , m 2=−2√5( 舍去 ) ,此时P 点坐标为 (2√5,−8+8√53) ; 当点 P ′ 落在y 轴上,如图3,同理可得 P ′H ′=PH =13m 2−43m , AH ′=AH =m , ∠P ′H ′A =∠PHA =90∘ , ∵∠P ′AH ′=∠BAO , ∴△AH ′P ′′ ∽ △AOB ,∴P ′H ′ : OB =AH ′ :AO ,即 (13m 2−43m) : 3=m :4, 整理得 4m 2−25m =0 ,解得 m 1=254, m 2=0( 舍去 ) ,此时P 点坐标为 (254,−4348) ; 综上所述,P 点坐标为 (2√5,−8+8√53) 或 (254,−4348) ;。
二次函数的练习题及答案
二次函数的练习题及答案一、选择题:1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上,且与x轴有交点,则a 和b应满足的条件是()。
A. a>0, b>0B. a<0, b<0C. a>0, b^2>4acD. a<0, b^2>4ac2. 二次函数y=-x^2+4x-1的顶点坐标是()。
A. (1,4)B. (2,3)C. (-2,3)D. (2,-3)3. 对于二次函数y=ax^2+bx+c,当x=-1时,函数值最大,那么a的取值范围是()。
A. a>0B. a<0C. a=0D. 无法确定二、填空题:1. 已知二次函数y=2x^2-8x+3,当x=______时,函数值最小。
2. 若二次函数y=-3x^2-6x+5的图像与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0),则x1+x2=______。
三、解答题:1. 已知二次函数y=-2x^2+4x+1,求出当x取何值时,函数值y最大,并求出最大值。
2. 已知二次函数y=3x^2-6x+2,求出函数与x轴的交点坐标。
四、应用题:1. 某工厂生产一种产品,其生产成本与产品数量的关系可以近似为二次函数:C(x)=0.5x^2-100x+3000,其中x代表产品数量,C(x)代表成本。
求出当生产多少件产品时,成本最低,并求出最低成本。
2. 某公司计划在一块长为60米的空地上建一个矩形花园,花园的长和宽之和为30米。
设花园的长为x米,求出花园的面积最大时的长和宽,并求出最大面积。
答案:一、选择题:1. C2. B3. B二、填空题:1. 22. -2三、解答题:1. 当x=1时,函数值y最大,最大值为3。
2. 函数与x轴的交点坐标为(1,0)和(2,0)。
四、应用题:1. 当生产200件产品时,成本最低,最低成本为2000元。
2. 花园的长为15米,宽为15米时,面积最大,最大面积为225平方米。
《二次函数》练习题及答案
《二次函数》练习题与答案一、 选择题1,下列函数中,是二次函数の是( ) A,12-=x y B,x x y +=3C,312++=x x y D,2==x y 2,(2012广州)将二次函数y=x 2の图象向下平移一个单位,则平移以后の二次函数の解析式为( ) A .y=x 2﹣1 B .y=x 2+1 C .y=(x ﹣1)2 D .y=(x+1)2 3,(2012兰州)抛物线y=-2x 2+1の对称轴是( ) A.直线12x =B. 直线12x =- C. y 轴 D. 直线x=2 4,(2012北海)已知二次函数y =x 2-4x +5の顶点坐标为( )A .(-2,-1)B .(2,1)C .(2,-1)D .(-2,1)5,(2011XX 台北,6)若下列有一图形为二次函数y =2x 2-8x +6の图形,则此图为何?( )6,(2012滨州)抛物线234y x x =--+ 与坐标轴の交点个数是( ) A .3 B .2 C .1 D .07, ( 2012巴中)对于二次函数y =2(x +1)(x -3)下列说法正确の是( ) A. 图象开口向下 B. 当x >1时,y 随x の增大而减小 C. x <1时,y 随x の增大而减小 D. 图象の对称轴是直线x= - 1 8,(2011XX 威海,7,3分)二次函数223y x x =--の图象如图所示. 当y <0时,自变量x の取值范围是( ). A .-1<x <3B .x <-1C . x >3D .x <-1或x >39,(2012泰安)设A 1(2)y -,,B 2(1)y ,,C 3(2)y ,是抛物线2(1)y x a =-++上の三点,则1y ,2y ,3y の大小关系为( )A .213y y y >>B .312y y y >>C .321y y y >>D .312y y y >>10,(2012菏泽)已知二次函数2y ax bx c =++の图像如图所示,那么一次函数y bx c =+和反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中の图像大致是( )xy(第3题)O11(1,-2)cbx x y ++=2-1 A . B .C .D .,11,(2012泰安)二次函数2()y a x m n =++の图象如图,则一次函数y mx n =+の图象经过( )A .第一、二、三象限B .第一、二、四象限C .第二、三、四象限D .第一、三、四象限12,(2012•资阳)如图是二次函数y=ax 2+bx+c の部分图象,由图象可知 不等式ax 2+bx+c <0の解集是( )A .﹣1<x <5B .x >5C .x <﹣1且x >5D .x <﹣1或x >5二、填空题1.(2011江津,18,4)将抛物线y=x 2-2x 向上平移3个单位,再向右平移4 个单位等到の抛物线是_ _ ___.2.(2012XX )二次函数622+-=x x y の最小值是.3. (2011XX 舟山,15,4)如图,已知二次函数c bx x y ++=2の图象经过 点(-1,0),(1,-2),当y 随x の增大而增大时,x の取值范围是. 4.(2012无锡)若抛物线y=ax 2+bx+c の顶点是A (2,1),且经过点B (1,0), 则抛物线の函数关系式为.5. 若抛物线y=x 2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点,则AB の长为____ ___.6.(2011XX 日照,17,4)如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)の图象の一 部分,给出下列命题 :①a+b+c=0;②b >2a ;③ax 2+bx +c =0の两根分别为-3和1; ④a -2b +c >0.其中正确の命题是 .(只要求填写正确命题の序号) 7. (2012广安)如图,把抛物线y=21x 2平移得到抛物线m ,抛物线m 经过点 A (-6,0)和原点O (0,0),它の顶点为P ,它の对称轴与抛物线y=21x 2交于点Q ,则图中阴影部分の面积为________________.三、解答题1.(2011广东东莞,15,6分)已知抛物线212y x x c =++与x 轴没有交点. (1)求c の取值范围;(2)试确定直线y =cx +1经过の象限,并说明理由.2.(2012•佳木斯)如图,抛物线y=x 2+bx+c 经过坐标原点,并与x 轴交于点A (2,0). (1)求此抛物线の解析式;(2)写出顶点坐标与对称轴; (3)若抛物线上有一点B ,且S △OAB =3,求点B の坐标.3.(2012•嘉兴)某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当每辆车の日租金为400元时,可全部租出;当每 辆车の日租金每增加50元,未租出の车将增加1辆;公司平均每日の各项支出共4800元.设公司每日租出工辆车时,日收益为y 元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出)(1)公司每日租出x 辆车时,每辆车の日租金为 _________ 元(用含x の代数式表示); (2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多少元? (3)当每日租出多少辆时,租赁公司の日收益不盈也不亏?4.(2012•鸡西)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.(1)求抛物线の解析式.(2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线の对称轴上,是否存在一点P,使得△BDPの周长最小?若存在,请求出点Pの坐标;若不存在,请说明理由.5.(2012•XX)如图,已知二次函数L1:y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点),与y轴交于点C.(1)写出A、B两点の坐标;(2)二次函数L2:y=kx2﹣4kx+3k(k≠0),顶点为P.①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象の两条相同の性质;②是否存在实数k,使△ABP为等边三角形?如果存在,请求出kの值;如不存在,请说明理由;③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EFの长度是否会发生变化?如果不会,请求出EFの长度;如果会,请说明理由.答 案一,选择题.1,解:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数の一般式。
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【最新整理,下载后即可编辑】二次函数基础练习题练习一 二次函数1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据如下表:写出用t 表示s 的函数关系式:2、 下列函数:① 23y x ;② 21y x x x ;③ 224y x x x;④ 21yx x ; ⑤ 1y x x ,其中是二次函数的是 ,其中a ,b ,c3、当m 时,函数2235y m x x (m 为常数)是关于x 的二次函数4、当____m 时,函数2221m m y m m x 是关于x 的二次函数5、当____m 时,函数2564m m y m x +3x 是关于x 的二次函数6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上,则 A 点的坐标是____.7、在圆的面积公式 S =πr 2 中,s 与 r 的关系是( )A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ,在四个角上各剪去一个边长为x (cm )的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子.(1)求盒子的表面积S (cm 2)与小正方形边长x (cm )之间的函数关系式;(2)当小正方形边长为3cm 时,求盒子的表面积.9、如图,矩形的长是 4cm ,宽是 3cm ,如果将长和宽都增加 x cm , 那么面积增加 ycm 2, ① 求 y 与 x 之间的函数关系式.② 求当边长增加多少时,面积增加 8cm 2.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时,y= -1;当x=2时,y=2,求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料,建造猪舍三间,如图,它们的平面图是一排大小相等的长方形.(1) 如果设猪舍的宽AB 为x 米,则猪舍的总面积S(米2)与x 有怎样的函数关系?(2) 请你帮富根老伯计算一下,如果猪舍的总面积为32米2,应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度?旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响?怎样影响?练习二 函数2ax y =的图像与性质1、填空:(1)抛物线221x y =的对称轴是(或 ),顶点坐标是 ,当x时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小,当x= 时,该函数有最 值是 ;(2)抛物线221x y -=的对称轴是 (或 ),顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小,当x= 时,该函数有最 值是 ;2、对于函数22x y =下列说法:①当x 取任何实数时,y 的值总是正的;②x 的值增大,y 的值也增大;③y 随x 的增大而减小;④图像关于y 轴对称.其中正确的是 .3、抛物线 y =-x 2 不具有的性质是( )A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了,从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S =12gt 2(g =9.8),则 s 与 t 的函数图像大致是( )B C D5、函数2ax y =与b ax y +-=的图像可能是( )A .B .C .D .6、已知函数24m m y mx 的图像是开口向下的抛物线,求m 的值.7、二次函数12-=m mx y 在其图像对称轴的左侧,y 随x 的增大而增大,求m 的值. 8、二次函数223x y -=,当x 1>x 2>0时,求y 1与y 2的大小关系.9、已知函数()422-++=m m x m y 是关于x 的二次函数,求:(1) 满足条件的m 的值;(2) m 为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时x 为何值时,y 随x 的增大而增大; st O st O s t O s t O(3) m 为何值时,抛物线有最大值?最大值是多少?当x 为何值时,y 随x 的增大而减小?10、如果抛物线2y ax 与直线1y x 交于点,2b ,求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.练习三 函数c ax y +=2的图象与性质1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .3、任给一些不同的实数k ,得到不同的抛物线k x y +=2,当k 取0,1±时,关于这些抛物线有以下判断:①开口方向都相同;②对称轴都相同;③形状相同;④都有最底点.其中判断正确的是 .4、将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后,所得的抛物线是 ,当x= 时,该抛物线有最 (填大或小)值,是 .5、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称,则m =________;6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中,若当x 取x 1、x 2(x 1≠x 2)时,函数值相等,则当x 取x 1+x 2时,函数值等于 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ,顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小, 函数有最 值 .2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.(1)右移2个单位;(2)左移32个单位;(3)先左移1个单位,再右移4个单位.3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质(至少2个).4、二次函数()2h x a y -=的图象如图:已知21=a ,OA=OC ,试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ,与y 轴交点为B ,求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.6、二次函数2)4(-=x a y ,当自变量x 由0增加到2时,函数值增加6.(1)求出此函数关系式.(2)说明函数值y 随x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上,求k 的值.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质1、请写出一个二次函数以(2, 3)为顶点,且开口向上.____________.2、二次函数 y =(x -1)2+2,当 x =____时,y 有最小值.3、函数 y =12 (x -1)2+3,当 x ____时,函数值 y 随 x 的增大而增大.4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位,再向 平移2个单位得到.5、 已知抛物线的顶点坐标为2,1,且抛物线过点3,0,则抛物线的关系式是6、 如图所示,抛物线顶点坐标是P (1,3),则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是( )A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<17、已知函数()9232+--=x y .(1) 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)当x= 时,抛物线有最值,是.(3)当x 时,y随x的增大而增大;当x 时,y随x 的增大而减小.(4)求出该抛物线与x轴的交点坐标及两交点间距离;(5)求出该抛物线与y轴的交点坐标;(6)该函数图象可由23x=的图象经过怎样的平移得到的?y-8、已知函数()412-y.=x+(1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)若图象与x轴的交点为A、B和与y轴的交点C,求△ABC的面积;(3)指出该函数的最值和增减性;(4)若将该抛物线先向右平移2个单位,在向上平移4个单位,求得到的抛物线的解析式;(5)该抛物线经过怎样的平移能经过原点.(6)画出该函数图象,并根据图象回答:当x取何值时,函数值大于0;当x取何值时,函数值小于0.练习六c=2的图象和性质y++bxax1、抛物线942+y的对称轴是.x+=x2、抛物线2522+12y的开口方向是,顶点坐标x=x-是 .3、试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x=-2,且与y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式 .4、将 y =x 2-2x +3 化成 y =a (x -h)2+k 的形式,则 y =____.5、把二次函数215322y x x 的图象向上平移3个单位,再向右平移4个单位,则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________;7、函数x x y +-=22有最____值,最值为_______;8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位,再沿y 轴向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ,则b 与c 分别等于( )A 、6,4B 、-8,14C 、-6,6D 、-8,-149、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为( )A 、22B 、23C 、32D 、3310、通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:(1)12212+-=x x y ; (2)2832-+-=x x y ; (3)4412-+-=x x y 11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,问所得的抛物线有没有最大值,若有,求出该最大值;若没有,说明理由.12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标 13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x 的顶点和坐标原点1) 求一次函数的关系式;2) 判断点2,5是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元,可卖出400台,以每100元为一个价格单位,若将每台提高一个单位价格,则会少卖出50台,那么每台定价为多少元即可获得最大利润?最大利润是多少元? 练习七 c bx ax y ++=2的性质1、函数2y x px q 的图象是以3,2为顶点的一条抛物线,这个二次函数的表达式为2、二次函数2224y mx x m m 的图象经过原点,则此抛物线的顶点坐标是3、如果抛物线2y ax bx c 与y 轴交于点A (0,2),它的对称轴是1x ,那么ac b4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点,与y 轴交于点C ,且线段AB 的长为1,△ABC 的面积为1,则b 的值为______.5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则a___0,b___0,c___0,ac b 42-____0;6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图,则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限.7、已知二次函数2y ax bx c (0≠a )的图象如图所示,则下列结论: 1),a b 同号;2)当1x 和3x 时,函数值相同;3)40a b ;4)当2y 时,x 的值只能为0;其中正确的是(第5题) (第6题) (第7题) (第10题)8、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数xm y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2,则m=9、二次函数2y x ax b 中,若0a b ,则它的图象必经过点( )A1,1 B 1,1 C 1,1 D 1,110、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如上图所示,则下列选项中正确的是( )A 、0,0>>c abB 、0,0><c abC 、0,0<>c abD 、0,0<<c ab11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则函数b ax y +=的图象是( )12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图,那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中,值为正数的有( )A .4个B .3个C .2个D .1个13、抛物线的图角如图,则下列结论:①>0;②;③>;④<1.其中正确的结论是( ).(A )①② (B )②③ (C )②④ (D )③④14、二次函数2y ax bx c 的最大值是3a ,且它的图象经过1,2,1,6两点,求a 、b 、c 的值。
二次函数练习题(含答案)
二次函数练习题 (一)1.抛物线y=x 2+3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.抛物线y=-3x 2+2x-1的图象与x 轴、y 轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点3.已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图1所示,则有( ) A.a>0,b>0 B.a>0,c>0 C.b>0,c>0 D.a 、b 、c 都小于0(1) (2) 4.若抛物线y=ax 2-6x 经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5.如图2所示,二次函数y=x 2-4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点, 交y 轴于点C, 则△ABC 的面积为( )A.6B.4C.3D.16.(2010年北京崇文区) 函数y=x 2-2x-2的图象如右图所示,根据其中提供的信息,可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A .31≤≤-xB .31<<-xC .31>-<x x 或D .31≥-≤x x 或7.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,反比例函数y =ax与正比例函数y =(b +c )x 在同一坐标系中的大致图象可能是( )A .B .C .D .8.(2010江苏泰州,5,3分)下列函数中,y 随x 增大而增大的是( )A.x y 3-= B. 5+-=x y C. 12y x = D. )0(212<=x x y 9.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图3所示,那么abc,b 2-4ac,2a+b,a+b+c 这四个代数式中,值为正数的有( )xy OxBACy OA.4个B.3个C.2个D.1个10.如图所示,当b<0时,函数y=ax+b 与y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是( )11.二次函数y=2x 2- 4x+ 3 通过配方化为顶点式为y= _________, 其对称轴是______,顶点坐标为_______,抛物线开口________,当x_______时,y 随x 的增大而增大;当x____时,y 随x 的增大而减小;当x=______时,y 最值=________.12.已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)图象的顶点为P(-2,3),且过A(-3,0), 则抛物线的关系式为___________.13.若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点(0,-1),(5,-1), 则它的对称轴方程是________. 14.在同一坐标系内,抛物线y=ax 2与直线y=2x+b 相交于A 、B 两点,若点A 的坐标是(2,4),则点B 的坐标是_________.15.将抛物线y=ax 2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为__________.16.若抛物线y=ax 2+bx+c 经过(0,1)和(2,-3)两点,且开口向下,对称轴在y 轴左侧,则a 的取值范围是_________.17.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_______________.18.函数y =2x 2 – 4x – 1写成y = a (x –h)2 +k 的形式是________,抛物线y =2x 2– 4x – 1的顶点坐标是_______,对称轴是__________.19.已知函数①y =x 2+1,②y =-2x 2+x .函数____(填序号)有最小值,当x =____时,该函数的最小值是_______20.当m=_________时,函数y = (m 2-4))3(42-+--m x m mx + 3是二次函数,其解析式是__________________,图象的对称轴是_______________,顶点是________,当x =______时, y 有最____值_______.21.已知二次函数的图象开口向下,且与y 轴的正半轴相交.请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:___________22.抛物线c bx ax y ++=2如右图所示,则它关于y析式是__________.23、(2010年宁波市)如图,已知二次函数bx x y +-=221的图象经过A (2,0)、B (0,-6)两点。
二次函数的定义专项练习30题(有答案过程)ok
二次函数的定义专项练习30题(有答案)1.下列函数中,是二次函数的有()①y=1﹣x2②y=③y=x(1﹣x)④y=(1﹣2x)(1+2x)A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列结论正确的是()A.y=ax2是二次函数B.二次函数自变量的取值范围是所有实数C.二次方程是二次函数的特例D.二次函数自变量的取值范围是非零实数3.下列具有二次函数关系的是()A.正方形的周长y与边长xB.速度一定时,路程s与时间tC.三角形的高一定时,面积y与底边长xD.正方形的面积y与边长x4.若y=(2﹣m)是二次函数,则m等于()A.±2 B.2C.﹣2 D.不能确定5.若y=(m2+m)是二次函数,则m的值是()A.m=1±2B.m=2 C.m=﹣1或m=3 D.m=36.下列函数,y=3x2,,y=x(x﹣2),y=(x﹣1)2﹣x2中,二次函数的个数为() A.2个B.3个C.4个D.5个7.下列结论正确的是()A.二次函数中两个变量的值是非零实数B.二次函数中变量x的值是所有实数C.形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数D.二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的值均不能为零8.下列说法中一定正确的是()A.函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数)一定是二次函数B.圆的面积是关于圆的半径的二次函数C.路程一定时,速度是关于时间的二次函数D.圆的周长是关于圆的半径的二次函数9.函数y=(m﹣n)x2+mx+n是二次函数的条件是()A.m、n是常数,且m≠0 B.m、n是常数,且m≠nC.m、n是常数,且n≠0 D.m、n可以为任何常数10.下列两个量之间的关系不属于二次函数的是()A.速度一定时,汽车行使的路程与时间的关系B.质量一定时,物体具有的动能和速度的关系C.质量一定时,运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系D.从高空自由降落的物体,下降的高度与下降的时间的关系11.下列函数中,y是x二次函数的是()A.y=x﹣1 B.C.y=x2+2x D.y2=x﹣1y=x2+﹣1012.下面给出了6个函数:①y=3x2﹣1;②y=﹣x2﹣3x;③y=;④y=x(x2+x+1);⑤y=;⑥y=.其中是二次函数的有()A.1个B.2个C.3个D.4个13.自由落体公式h=gt2(g为常量),h与t之间的关系是()A.正比例函数B.一次函数C.二次函数D.以上答案都不对14.如果函数y=(k﹣3)+kx+1是二次函数,那么k的值一定是_________.15.二次函数y=(x﹣2)2﹣3中,二次项系数为_________,一次项系数为_________,常数项为_________.16.已知函数y=(k+2)是关于x的二次函数,则k=_________.17.已知二次函数的图象是开口向下的抛物线,m=_________.18.当m_________时,关于x的函数y=(m2﹣1)x2+(m﹣1)x+3是二次函数.19.y=(m2﹣2m﹣3)x2+(m﹣1)x+m2是关于x的二次函数要满足的条件是_________.20.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当b=0,c≠0时,函数表达式为_________;当b≠0,c=0时,函数表达式为_________.21.函数y=2x2+3x+7中自变量的取值范围为_________.22.如果函数是关于x的二次函数,则k=_________.23.如图所示,长方体的底面是边长为xcm的正方形,高为6cm,请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S=_________,长方体的体积为V=_________,各边长的和L=_________,在上面的三个函数中,_________是关于x的二次函数.24.函数y=x m﹣1+3,当m=_________时,它的图象是抛物线.25.已知二次函数,当x>0时,y随x的增大而增大,则m=_________.26.已知是x的二次函数,求m的值和二次函数的解析式.27.已知是x的二次函数,求出它的解析式.28.用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框,若宽为x cm,写出它的面积y与x之间的函数关系式,并判断y 是x的二次函数吗?29.已知函数y=(m2﹣m)x2+(m﹣1)x+m+1.(1)若这个函数是一次函数,求m的值;(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?30.已知,当m为何值时,是二次函数?参考答案:1.①y=1﹣x2=﹣x2+1,是二次函数;②y=,分母中含有自变量,不是二次函数;③y=x(1﹣x)=﹣x2+x,是二次函数;④y=(1﹣2x)(1+2x)=﹣4x2+1,是二次函数.二次函数共三个,故选C2.A、应强调a是常数,a≠0,错误;B、二次函数解析式是整式,自变量可以取全体实数,正确;C、二次方程不是二次函数,更不是二次函数的特例,错误;D、二次函数的自变量取值有可能是零,如y=x2,当x=0时,y=0,错误.故选B.3.A、y=4x,是一次函数,错误;B、s=vt,v一定,是一次函数,错误;C、y=hx,h一定,是一次函数,错误D、y=x2,是二次函数,正确.故选D.4.根据二次函数的定义,得:m2﹣2=2解得m=2或m=﹣2又∵2﹣m≠0∴m≠2∴当m=﹣2时,这个函数是二次函数.故选C5.根据题意的得:,解得:,∴m=3,故选D.6.y=3x2,,y=x(x﹣2)都符合二次函数定义的条件,是二次函数;,y=(x﹣1)2﹣x2整理后,都是一次函数.二次函数有三个.故选B.7.A、例如y=x2,自变量取0,函数值是0,所以不对;B、二次函数中变量x的值可以取所有实数,正确;C、应强调当a≠0时,是二次函数,错误;D、要求a≠0,b、c可以为0.故选B8.A、只有当a≠0才是二次函数,错误;B、由已知得S=πR2,S是R的二次函数,正确;C、由已知得v=,s一定,是反比例函数,错误;D、由已知得C=2πR,是一次函数,错误.故选B.9.根据二次函数的定义可得:m﹣n≠0,即m≠n.故选B.10.A、s=vt,v一定,是一次函数,错误;B、E=mv2,m一定,是二次函数,正确;C、f=mv2,v一定,是二次函数,正确;D、H=gt2,g一定,是二次函数,正确.故选A.11.A、一次函数,不是二次函数;B、不是关于x的整式,不符合二次函数的定义;C、符合二次函数的定义;D、y的指数为2,不符合二次函数的定义;故选C.12. ①符合二次函数的定义;②符合二次函数的定义;③不是整式,不符合二次函数的定义;④整理后x的最高次数为3,不符合二次函数的定义;⑤不是整式,不符合二次函数的定义;⑥不是整式,不符合二次函数的定义;所以是二次函数的共有2个,故选B.13.因为等号的右边是关于t的二次式,所以h是t的二次函数.14.根据二次函数的定义,得:k2﹣3k+2=2,解得k=0或k=3;又∵k﹣3≠0,∴k≠3.∴当k=0时,这个函数是二次函数.15.∵y=(x﹣2)2﹣3=x2﹣2x﹣1,∴二次项系数为,一次项系数为﹣2,常数项为﹣1.16.∵函数y=(k+2)是关于x的二次函数,∴k2+k﹣4=2,解得k=2或﹣3,且k+2≠0,k≠﹣2.故k=2或﹣317.∵二次函数的图象是开口向下的抛物线,∴,解得m=﹣2.故答案为:﹣218.∵y是x的二次函数,∴m2﹣1≠0,∴m≠±1,故满足的条件是m≠±1.故答案为:≠±1 19.由题意得:m2﹣2m﹣3≠0,(m﹣3)(m+1)≠0,解得m≠﹣1且m≠3.20.当b=0,c≠0时,二次函数表达式为y=ax2+c;当b≠0,c=0时,二次函数表达式为y=ax2+bx.故答案为:y=ax2+c;y=ax2+bx.21.函数y=2x2+3x+7中,自变量x的取值范围是全体实数.故答案为:全体实数.22. ∵函数是关于x的二次函数,∴k﹣1≠0且k2﹣k+2=2,解得k=0或k=1,∴k=0.故答案为0.23.长方体的侧面展开图的面积S=4x×6=24x;长方体的体积为V=x2×6=6x2;各边长的和L=4x×2+6×4=8x+24;其中,V=6x2是关于x的二次函数24.∵二次函数的图象是抛物线,∴m﹣1=2,解得m=3.25.根据题意得m≠0且m2﹣2m﹣6=2,解得m1=4,m2=﹣2,∵二次函数的对称轴为y轴,当x>0时,y随x的增大而增大,∴二次函数的图象的开口向上,即m>0,∴m=4.故答案为426.∵是x的二次函数,∴,解得m=3或m=﹣1,∴此二次函数的解析式为:y=6x2+9或y=2x2﹣4x+127.由二次函数的定义,可知m2+m≠0,即m≠0,m≠﹣1 又因为m2﹣2m﹣1=2,m2﹣2m﹣3=0 解得m=3或m=﹣1(不合题意,舍去)所以m=3故y=12x2+928.设宽为xcm,由题意得,矩形的周长为800cm,∴矩形的长为cm,∴y=x×=﹣x2+400x(0<x<40).y是x的二次函数.29.(1)根据一次函数的定义,得:m2﹣m=0解得m=0或m=1又∵m﹣1≠0即m≠1;∴当m=0时,这个函数是一次函数;(2)根据二次函数的定义,得:m2﹣m≠0解得m1≠0,m2≠1∴当m1≠0,m2≠1时,这个函数是二次函数.30.根据题意得:原函数为二次函数,则有解得:m=3.。
(完整版)二次函数练习题及答案
(1)求证:以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y=-1的相切;
(2)设直线PM与抛物线y= x2的另一个交点为点Q,连接NP,NQ,求证:∠PNM=∠QNM.
24.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:第一年的年产量为x(吨)时,所需的全部费用y(万元)与x满足关系式y= x2+5x+90,
12.已知(-2,y1),(-1,y2),(2,y3)是二次函数y=x2-4x+m上的点,
则y1,y2,y3从小到大用 “<”排列是__________.
13.(2011•攀枝花)在同一平面内下列4个函数;①y=2(x+1)2﹣1;②y=2x2+3;③y=﹣2x2﹣1;④ 的图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换得到
17.若二次函数y=(x-m)2-1,当x<1时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是______
三、解答题
18.已知二次函数 .
(1)求二次函数 的图象与两个坐标轴的交点坐标;
(2)在坐标平面上,横坐标与纵坐标都是整数的点 称为整点. 直接写出二次函数 的图象与 轴所围成的封闭图形内部及边界上的整点的个数.
19.(8分)张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米.
(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当x为何值时,S有最大值?并求出最大值.
20.如图,矩形ABCD中,AB=16cm,AD=4cm,点P、Q分别从A、B同时出发,点P在边AB上沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动,点Q在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为x秒,△PBQ的面积为y(cm2).
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(3)点M是线段AB上一动点(不包括点A和点B),过点M作MN∥BC交AC于点N,连接MC,是否存在点M使∠AMN=∠ACM?若存在,求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式;若不存在,请说明理由.
26.如图,抛物线 (a≠0)经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),交y轴于点M.
(1)求抛物线的表达式;
(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;
(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
28.求a的值
29.当m≠3时,求S与m的函数关系式.
30.如图②,设直线PE交射线OC于点R,交抛物线于点Q.以RQ为一边,在RQ的右侧作矩形RQMN,其中RN= .直接写出矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围.
参考答案
【答案】B
【解析】分析:根据函数图象平移的法则“左加右减,上加下减”的原则进行解答即可.
23.已知点M,N的坐标分别为(0,1),(0,-1),点P是抛物线y= x2上的一个动点.
(1)求证:以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y=-1的相切;
(2)设直线PM与抛物线y= x2的另一个交点为点Q,连接NP,NQ,求证:∠PNM=∠QNM.
24.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:第一年的年产量为x(吨)时,所需的全部费用y(万元)与x满足关系式y= x2+5x+90,
6.把函数 = 的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,所得图象对应的函数的解析式是( )
A. B. C. D.
7.抛物线 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为 ,则b、c的值为
A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2
考点:二次函数解析式
点评:本题属于对二次函数的解析式的顶点式的求法和递增、递减规律的考查
10. (顶点式为 ).
【解析】
试题分析:∵ ,∴顶点坐标为(﹣1,2),当x=0时,y=3,∴与y轴的交点坐标为(0,3),∴旋转180°后的对应顶点的坐标为(1,4),∴旋转后的抛物线解析式为 ,即 .
考点:二次函数图象与几何变换.
17.若二次函数y=(x-m)2-1,当x<1时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是______
三、解答题
18.已知二次函数 .
(1)求二次函数 的图象与两个坐标轴的交点坐标;
(2)在坐标平面上,横坐标与纵坐标都是整数的点 称为整点. 直接写出二次函数 的图象与 轴所围成的封闭图形内部及边界上的整点的个数.
12.y3< y2<y1
【解析】由于点的坐标符合函数解析式,将点的坐标代入直接计算即可.
解:将(-2,y1),(-1,y2),(2,y3)分别代入二次函数y=x2-4x+m得,
y1=(-2)2-4×(-2)+m=12+m,
y2=(-1)2-4×(-1)+m=5+m,
y3=22-4×2+m=-4+m,
二、填空题
8.二次函数y=-2(x-5)2+3的顶点坐标是.
9.已知二次函数 中函数 与自变量 之间的部分对应值如下表所示,点 、 在函数图象上,当 时,则 (填“ ”或“ ”).
0
1
2
3
2
3
2
10.在平面直角坐标系中,将抛物线 绕着它与y轴的交点旋转180°,所得抛物线的解析式为.
11.求二次函数 的顶点坐标(___)对称轴____。
故选B.
考点:二次函数的性质
6.C.
【解析】
试题分析:抛物线 的顶点坐标为(2,2),把点(2,2)向左平移1个单位,向上平移1个单位得到对应点的坐标为(1,3),所以平移后的新图象的函数表达式为 .故选C.
考点:二次函数图象与几何变换.
7.
B
【解析】 方法1, 由平移的可逆性可知将 ,的图像向左平移2个单位再向上平移3个单位, 所得图像为抛物线 的图像,又 的顶点坐标(1,-4)向左平移2个单位再向上平移3个单位,得到(-1,-1),∴ ,即b=2,c=0;方法2, 的顶点(- , )向右平移2个单位再向下平移3个单位,得 的顶点(1,-4)即- +2=1∴b=2, =-4,∴c=0,故选B
12.已知(-2,y1),(-1,y2),(2,y3)是二次函数y=x2-4x+m上的点,
则y1,y2,y3从小到大用 “<”排列是__________.
13.(2011•攀枝花)在同一平面内下列4个函数;①y=2(x+1)2﹣1;②y=2x2+3;③y=﹣2x2﹣1;④ 的图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换得到
A.∵a>0,其图象的开口向上,故此选项错误;
B.∵其图象的对称轴为直线x=3,故此选项错误;
C.其最小值为1,故此选项正确;
D.当x<3时,y随x的增大而减小,故此选项错误.
故选C.
考点:二次函数的性质.
5.B
【解析】
试题分析:因为抛物线开口向上,顶点P的坐标是(1,﹣3),所以二次函数有最小值是﹣3.
二次函数练习题及答案
一、选择题
1.将抛物线 先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是()
A. B.
C. D.
2.将抛物线 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是………………( )
A. ;B. ;
C. ;D. .
3.将抛物线y=(x-1)2+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( )
考点:二次函数的性质
17.m≥1.
【解析】
试题分析:根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标,从而知该二次函数的自变量的取值范围.
解答:解:由“左加右减”的原则可知,将抛物线y=3x2先向左平移2个单位可得到抛物线y=3(x+2)2;
由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=3(x+2)2先向下平移1个单位可得到抛物线y=3(x+2)2-1.
故选B.
点评:本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.
投入市场后当年能全部售出,且在甲、乙两地每吨的售价p甲、p乙(万元)均与x满足一次函数关系.(注:年利润=年销售额-全部费用)
(1)成果表明,在甲地生产并销售x吨时,p甲=- x+14,请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额,并求年利润W甲(万元)与x之间的函数关系式;
(2)成果表明,在乙地生产并销售x吨时,p乙=- x+n(n为常数),且在乙地当年的最大年利润为35万元.试确定n的值;
的函数是.(把你认为正确的序号都填写在横线上)
14.已知抛物线 ,它的图像在对称轴 ▲ (填“左侧”或“右侧”)的部分是下降的
15.x人去旅游共需支出y元,若x,y之间满足关系式y=2x2 - 20x + 1050,则当人数为_____时总支出最少。
16.若抛物线y=x2﹣4x+k的顶点的纵坐标为n,则k﹣n的值为_________.
2.D
【解析】此题考查抛物线的上下左右平移问题; ;
所以将抛物线 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是 ,选D
3.D.
【解析】
试题分析:将y=(x-1)2+3向左平移1个单位所得直线解析式为:y=x2+3;
再向下平移3个单位为:y=x2.
故选D.
考点:二次函数图象与几何变换.
4.C.
【解析】
试题分析:由二次函数 ,可知:
A.y=(x-2)2B.y=(x-2)2+6C.y=x2+6D.y=x2
4.由二次函数 ,可知( )
A.其图象的开口向下
B.其图象的对称轴为直线
C.其最小值为1
D.当x<3时,y随x的增大而增大
5.如图,抛物线的顶点P的坐标是(1,﹣3),则此抛物线对应的二次函数有( )
A.最大值1 B.最小值﹣3 C.最大值﹣3 D.最小值1
如图①,在平面直角坐标系中,等腰直角△AOB的斜边OB在x轴上,顶点A的坐标为(3,3),AD为斜边上的高.抛物线y=ax2+2x与直线y= x交于点O、C,点C的横坐标为6.点P在x轴的正半轴上,过点P作PE∥y轴,交射线OA于点E.设点P的横坐标为m,以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S.
27.求OA所在直线的解析式
14.右侧
【解析】本题实际上是判断抛物线的增减性,根据解析式判断开口方向,结43;1中,a=-1<0,抛物线开口向下,
∴抛物线图象在对称轴右侧,y随x的增大而减小(下降).
填:右侧.
15.5
【解析】
考点:二次函数的应用.
分析:将y=2x2-20x+1050变形可得:y=2(x-5)2+1000,根据二次函数的最值关系,问题可求.
11.
【解析】先把y=2x2-4x-5进行配方得到抛物线的顶点式y=2(x-1)2-7,根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标和对称轴.
解:∵y=2x2-4x-5
=2(x2-2x+1)-5
=2(x-1)2-7,
∴二次函数y=2x2-4x-5的顶点坐标为(1,-7),对称轴为x=1,