追梦计划招生数学卷
河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2023-2024学年高一上学期阶段考试(三)数学试题
x2 16
9 x2 16 的最小值为 6
B．若函数 f x 1的定义域为1, 4，则函数 f x 的定义域为2,5
C．幂函数 f x m2 3m 3 x3m4 在 0, 上为减函数，则 m 的值为 2
D．若不等式 ax2 2x c 0 的解集为{x∣x 1或 x 2}，则 a c 2
B．若 a b 0, c R 则 ac2 bc2
C．若 a b 0,c d 0 ，则 ac bd
D．若 ab 0 且 a b ，则 1 1 ab
5．已知函数 f x log2 8 ax ，在区间1,2 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 4,
B． 0, 4
河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2023-2024 学年高 一上学期阶段考试（三）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A 1, 0,1, 2, 4, B x x 1 ，则 A B （ ）
0.1）（ ）
A．1.35
B．1.40
C．1.43
D．1.50
11．下列函数中满足“对任意 x1, x2 0, ，都有
f
x1
x1
f x2
x2
0 ”的是（
）
A． f x 2
x
B．
f
x
1 2
x
C． f (x) lg x
D． f x x
12．下列说法正确的是（ ）
A．函数 f x
1 月累计销量突破了 40 万件．现某企业计划引进新的生产设备和新的产品方案，通过
20 x2 17 , 0 x 2,
2016年福州一中追梦计划数学
EDCBA2016年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）学 校 姓 名 准考证号 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．）（1）如图所示，四边形ABCD 中，//AB DC ，过B 作//BE AD 交CD 于点E ，下列说法不正确的是（★★★） （A ）A BED ∠=∠ （B ）ABE BEC ∠=∠（C ）D BEC ∠=∠（D ）180A C ∠+∠=（2）下列等式正确的是（★★★）（A ）239-=-（B ）22532x y x y -=（C ）437()()a a a -⋅-=- （D ）22(23)(32)32x y y x y x +⋅-=- （3）某校九年级学生参加体育测试，一组10人的引体向上成绩如下表：这组同学完成引体向上的个数的众数和中位数依次是（★★★）（A ）9，10（B ）9.5，10（C ）10，9（D ）10，9.5（4）用半径为6cm 、圆心角为120︒的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（★★★）（A ）2cm（B ）3cm（C ）4cm（D ）6cm（5）从长度分别为1、3、5、7、9的五条线段中任取三条，这三条线段可构成三角形的概率是（★★★）（A ）15（B ）310（C ）25（D ）12（6）在ABC △中，BC BA >，BC CA >，F 、G 是BC 边上的两点，B ∠、C ∠的角平分线分别垂直AG 、AF ，垂足分别为D 、E ．若ABC △的周长为20，BC 的长为8，则DE 的长为（★★★） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4第（1）题图第（7）题图 （7）如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，//a b ，Rt GEF △从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到E 与B 重合．运动过程中Rt GEF △与矩形ABCD 重合部分的面积S 随时间t 变化的函数关系的图像大致是（★★★）（A ） （B ） （C ） （D ）（8）矩形ABCD 中，AB =1BC =，矩形内动点P 满足PA AD ≥，PB BC ≥，则动点P所在区域的面积为（★★★）（A 2π（B ）3π（C 23π （D 3π（9）符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[2.6]2=，[1]1-=-，[ 2.6]3-=-．若关于x 的方程[][3](0)x x kx k +=≠在01x <<内有解，则k 的取值范围是（★★★）（A ）332k <≤ （B ）23k <≤ （C ）23k ≤≤ （D ）322k <≤ （10）将正整数按如下规律排列：第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 …… 第一行 1第二行 2 4 第三行 3 5 7第四行 6 8 10 12第五行 9 11 13 15 17 …… ……设2016在第i 行第j 列，则i j +等于（★★★） （A ）79（B ）80（C ）81（D ）82abDBECAFG第（17）题图第（18）题图BCD AGHFEOP AOyxBTCR二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共 20分．）（11）已知||x y <，给出下列三个不等式：①0x y +>；②0x y ->；③220x y ->．其中正确的不等式的序号为★★★（填上你认为正确的所有不等式的序号）．（12）若方程组22251x y x y k +=⎧⎨-=+⎩的解满足条件14x y <+<，则k 的取值范围是★★★．（13）已知ABC △的三边长分别为13、13、10，则其内切圆半径为★★★． （14）数、学、好、玩这四个文字分别表示09之间的不同数字，且满足算式“数学×好玩＝1988”，则四位数“玩好数学”为★★★．（15）若函数223(03)y x ax x =-+<<的图像恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是★★★． 三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （16）（本小题满分12分）（Ⅰ）计算：01(1tan 35)(12cos 452-+︒-+︒-；（Ⅱ）先化简，再求值：2211(286)(1)9x x x x -+÷-⨯-，其中12x =-．（17）（本小题满分12分）如图，(40)A -，，P R 、是函数6(0)y x x=>图像上 的两点，PB x ⊥轴于点B ，RT x ⊥轴于点T （T 在B 右侧），APB △面积为9．（Ⅰ）求直线AP 的解析式；（Ⅱ）若方程2(2)20x m x m -++=的两根等于 线段BT TR 、的长，求m 的值． （18）（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别 是AB 、BC 、CD 、DA 边上的动点（不含端点）， 且EG 、FH 均过正方形的中心O ． （Ⅰ）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（Ⅱ）试探究：当线段CG 与CF 满足什么数量关系时， 四边形EFGH 为矩形．CBDA30°15°第（19）题图① 第（19）题图②（19）（本小题满分12分）（Ⅰ）试利用图①求tan15︒的值（结果用根式表示）； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果解答下面问题：如图②，一船以15千米/时的速度自西向东航行，在A 处看到灯塔C 在北偏东75︒方向．行驶4小时后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东45︒方向，求这时船与灯塔的距离．（20）（本小题满分14分）如图，AC 是四边形ABCD 外接圆O 的直径，E 是AC 、BD 的交点，且BA BD =．（Ⅰ）证明：2ACD BAC ∠=∠； （Ⅱ）若10AC =，2511OE =，求AB 的长． （21）（本小题满分14分）我们知道，若1x ，2x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根，则有212()()ax bx c a x x x x ++=--．即221212()ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，于是12()b a x x =-+，12c ax x =．由此可得一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）：12b x x a +=-，12cx x a⋅=． 参考上述推理过程，解答下列问题：若1x ，2x ，3x 是关于x 的方程2(3)x x t -=的三个实数根，且123x x x <<．（Ⅰ）求122331x x x x x x ++，222123x x x ++的值； （Ⅱ）试用只含2x 的代数式表示31x x -，并求31x x -的最大值． （22）（本小题满分14分）已知抛物线2y ax bx c =++过点(03)M ，，且关于x 的方程2219(21)(34)04x a x b a b ---+-+=有两个相等的实数根． （Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）过点(0)P t ，作y 轴的垂线交抛物线于点A 和点B （点A 在点B 的左侧）．（i ）若2BP PA =，试求t 的值；（ii ）设抛物线的顶点为E ，ABM △的外接圆'O 与抛物线交于另一点N ，若直线EN 与圆'O 相切，试求t 的值．北CBA。
2017福州一中追梦计划招生数学答案
2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．5210258+=⎧⎨+=⎩x yx y12．5<x13．333333212345621+++++=14．4+15．13<≤n三、解答题（本大题共7小题，满分90分）16. 本小题主要考查实数的运算、代数式的化简等基础知识，考查代数运算能力、化简能力，分类与整合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）原式=116+82-+⨯……………………5分=8……………………………………6分（Ⅱ）原式222241--=÷--x x xxx x……………………………………8分()()222122--=⋅-+-x x xx xx x…………………………9分1=.2-+x……………………………………11分当12=-x时，原式23=-.……………………………12分17. 本小题主要考查圆的几何性质、等腰三角形的判定及性质等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查演绎论证及度量计算的逻辑思想等．满分12分．证明：（Ⅰ）∵ 四边形ABED 为⊙O 的圆内接四边形∴ 180∠+∠=B ADE ……………………………………2分 又 ∵ 180∠+∠=CDE ADE∴ ∠=∠B CDE ……………………………………3分 ∵ =AB AC∴ ∠=∠B C ……………………………………4分 ∴ ∠=∠C CDE ……………………………………5分 ∴ ∆CDE 为等腰三角形……………………………………6分 （Ⅱ）法一：连接AE ，∵ ⊙O 的直径为AB∴ 90=∠AEB ∴BC AE ⊥...............................7分∵AC AB =∴421==BC CE .........................................8分 由(Ⅰ)知EDC C B ∠=∠=∠，C C ∠=∠ ∴ABC ∆∽EDC ∆ ∴ECACDC BC =...........................................10分 ∴332=⋅=DC CE BC AC .................................11分 ∵AC AB =∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 法二：连接AE ，过点E 作⊥EF CD ，垂足为F 由（Ⅰ）知∆CDE 是以CD 为底边的等腰三角形∴ 1322==CF CD ………………7分 ∵ ⊙O 的直径为AB90∴∠=AEB ……………………8分 ∵ =AB AC4∴==BE CE …………………9分 ∵ ，∠=∠∠=∠B C AEB EFC∴ ∆EFC ∽∆AEB ，……………………………10分 ∴=FC CE BE AB……………………………………11分∴ 4432332⋅⨯===CE BE AB FC∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 18.本题考察反比例函数图像及性质、一次函数解析式求解问题,及求平面四边形面积问题,涉及对称与割补思想方法.满分12分． 解：（Ⅰ）过点C 分别作CE AO ⊥于点E ， 设点(,)C m n ， ∵tan 2∠=COA 2,n m ∴=..................................1分 ∵//CB OA ,B y n ∴=∵D 为AE 的中点，,2D ny ∴=..............................................2分 又,C D 在反比例函数图象上，,D D mn x y k ∴=⋅=2,D x m ∴= ..............................................4分∵2,=B x 1,m ∴= 2,n ∴=.............................................5分2.k mn ∴==所以，反比例函数的解析式为2.=y x...........................................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(1,2),(2,1)C D ，法一：AOC ACD OCDA S S S ∆∆=+四边形......................9分 1152211222=⨯⨯+⨯⨯=..............12分法二： BCDOCDA OABC S S S ∆=-四边形四边形矩形∆∆=+-COE BCD ABCE S S S ...............9分115121211222=⨯⨯+⨯-⨯⨯=...........12分19. 本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分12分．（Ⅰ）法一：证明：过P 作⊥PM AB 于M ，⊥PN BC 于N ，……………………1分 ∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ 90∠=ABC ， ∴ 四边形BMPN 是矩形，又 ∵ BD 是∠ABC 的角平分线，∴ =PM PN ……………………………………2分 ∴ 四边形BMPN 是正方形， ∴ 90∠=MPN ， ∵ ⊥AP PE ， ∴ 90∠= APE ，∴ ∠-∠=∠-∠APE MPE MPN MPE∴ ∠=∠APM EPN ……………………………………4分 在∆APM 和∆EPN 中，∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AMP ENP PM PNAPM EPN ， ∴ ∆APM ≌∆EPN （ASA ），……………………………………5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，.....................2分∴ ∠=∠ABP AEP .....................3分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴45ABP ︒∠=，∴ 45∠=AEP ，∴45EAP ︒∠=∴∠=∠EAP AEP ......................5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分（Ⅱ）法一：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ 90∠=BAD ， 又∵90∠= PBM ， ∴ PM ∥AD ， ∴ ∆BPM ∽∆BDA ， ∴=PM BPAD BD ，……………………………………7分 同理，PN BPCD BD=，∴PM PNAD CD =， ∴63==42=PM AD PN CD ，……………………………………9分 ∵ 90∠=∠=AMP ENP ，∠=∠MPA EPN ， ∴ ∆APM ∽.∆EPN ……………………………………10分 ∴=AP PMPE PN……………………………………11分 ∴ :3:2.=AP PE 为定值.…………………………………12分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，..................8分∴ABP AEP ∠=∠，......................9分 tan tan ∴∠=∠ABP AEP∵ tan tan ，∠=∠=AP AD AEP ABP AE AB....................11分 ∴3.2==AP AD AE AB .....................12分 （或证明AEP ABD ∆∆∽）20. 本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分14分．解：在ΔABD 中作DA B C ⊥于点C .…………………2分 在ABC Rt ∆中， 1645AB BAC ︒=∠=，，28==∴AC BC ……………………………………3分2628214=-=-=∴AC AD CD ………………………………4分依题意，以点D 为圆心，12海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………5分∵ 12<所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.……………………………6分在BC 上取点E 使得12=ED ，连接AE ，ED . 在CED Rt ∆中，12=ED ，26=CD所以，222CD ED CE -=26=∴CE ……………………………8分在A C E Rt ∆中，222AC CE AE +=210=∴AE ……………………………9分所以，在A C E Rt ∆中，53sin ==∠AE CE EAC '3652EAC ︒∴∠= ……………………………11分因为该渔船到达点E 的时间224224===BE t 小时. 所以巡逻船速度2022210==≥t AE v 海里/小时. ………………………13分 所以，巡逻船要以北偏东''9036525308︒︒︒-=的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截. ………………………14分 （注：没有取“=”扣1分）21.本题考察学生的阅读理解能力，解一元二次方程及求解二次函数最值的能力，蕴含了数形结合的思想. 满分14分．解：（I ）由题意知，{}3,22max --=-，......................................2分 所以方程变为 2228x x -=-+，化简为 2410x x --=...................3分解得 12x =或 22x =所以方程{}23,228max x x --=-+的解为2+或2分 （II ）(1)当2236x x x x +-≥-即32x ≥时， {}22236,36,y max x x x x x x =+--=+-...................................7分∵ 236=+-y x x 的对称轴为3,2x =-而32x ≥在对称轴32x =-的右侧，y ∴随着x 的增大而增大，32x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2333()36224y =+⨯-=.................9分（2）当2236x x x x +-<-即32x <时，{}22236,,y m a x x x x x x x =+--=-.....................................11分∵ 2=-y x x 的对称轴为1,2x =而1322<， 12x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2111()224y =-=-..................13分由（I ）（II ）得 函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值为14-..........14分（注：若用数形结合作答的酌情给分.）22. 本题考查用待定系数法求函数解析式及一次函数和二次函数的性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了化归及数形结合的数学思想．满分14分．解：（I ）由已知设)0(2)1(:21≠--=a x a y C 过)0,3(B ，........................1分则024=-a ，21=a ..........................2分 23212)1(21:221--=--=∴x x x y C ..........................3分抛物线1C 的对称轴方程为1=x ，由对称性可得)0,1(-A ....................4分（II ）法一：设直线)0(≠+=k b kx y l ：由已知得⎩⎨⎧=+-=+032b k b k ，解得3,1-==b k 3:-=∴x y l ................5分设直线l 交y 轴于)3,0(-D∵ =OB OD ，45=∠∴ODB由平移的性质可知BC PQ = ∵=PF BC ，22==∴PF PQ ∵⊥PF l ，PQF ∆∴为等腰直角三角形.ODB FQP ∠==∠∴ 45，4=QFy FQ //∴轴 ....................7分设)3,(-t t Q ，则)2321,(2--t t t F ，4|)3(2321|2=----=t t t FQ 解得1-=t 或5，则)0,1(-F 或)6,5( ....................9分 法二：连接FQ 并延长交x 轴于H ，连接AF∵ 22==BC AC ，4=AB∴ABC ∆为等腰直角三角形...............5分90=∠ACB ， 45=∠=∠BAC ABC∵ l FP ⊥ ∴90=∠FPQ ∴PF AC //∵ BC PF =∴AC PF =∴四边形ACPF 为矩形 ∴AF PC // ∴ 45=∠FAH由平移的性质可知BC PQ =∴PFQ ∆为等腰直角三角形， 45=∠FQP∴ 45=∠AFH ∴AFH ∆为等腰直角三角形..........................7分设)2321,(2--m m m F ，则FH AH =即2321)1(2--=--m m m 解得1-=m 或5，即)0,1(-F 或)6,5( ..............................9分（Ⅲ）连接QR AR MQ NQ ,,,由（II ）可知 90=∠=∠FPQ ACB ，)2,5(QPF AC //∴∵=AC PF∴四边形ACPF 为矩形90=∠∴MAN RQ MN AR ==∴21R ∴在AQ 的垂直平分线上，即R 的路径是线段....11分当点M 在C 处时，R 在AQ 的中点1R 处，当点M 在A 处时，R 在AN 上的点2R 处 ∵122190,∠=∠=∠ AR R AQC R AR ∵121sin ∠==R R AC NAQ CQ AR∵===AC CQ AQ 21021=∴R R 即R 的路径长度为210......................................14分。
河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2021-2022学年高一下学期期中考试数学(文科)试题
环际大联考“逐梦计划”2021-2022学年度第二学期期中考试高一数学（文科）试题一､选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．9sin 4π=（）A ．12B ．2C D ．22．在ABC 中，4a =，1b =，1cos 2C =，则ABC 的面积为（）A ．2B ．CD ．13．已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点﹐且0OA OB OC ++=，那么（）A ．AO OD= B ．2AO OD= C ．3AO OD= D ．2AO OD= 4．若()1sin 3πα+=，则()sin cos 2ππαα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭（）A ．23-B ．23C ．3D ．3-5．已知向量()1,2a =-，()3,1b =r ，则()a ab ⋅-= （）A ．2B ．4C ．6D ．-66．函数y =的定义域是（）A ．2,2(Z)33k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,2(Z)66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦C ．22,2(Z)33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．222,2(Z)33k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦7．要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，只需将cos2y x =的图像（）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度D ．向右平移23π个单位长度8．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b ,则角B 的值为A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π9．若函数()sin()f x x ωθ=+的图象（部分）如图所示，则ω和θ的取值是（）A ．1,3πωθ==B ．1,3πωθ==-C ．1,26πωθ==D ．1,26πωθ==-10．已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（）A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．35,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．35,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移12π个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，则下面对函数()y g x =的叙述正确的是（）A ．函数()2sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．函数()g x 的周期为πC ．函数()g x 图像的一个对称中心为点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增12．已知非零向量AB 和AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为()A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形二､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点(1,3),(4,1)A B -，O 为坐标原点，则与向量AB同方向的单位向量为_______．14．函数()tan2f x x =的图象的对称中心为______．15．()()cos585tan 585sin 570︒=-︒+-︒______．16．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒处；行驶4h后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15︒处.这时船与灯塔的距离为_______km .三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）17．设AB 两点在河的对岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是100m ，75BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒，求A ，B 两点的距离.18．已知O 是平面直角坐标系的原点，()1,2A -，()1,1B ，记OA a = ，OB b =.(1)求a 在b上的投影数量；(2)若四边形OABC 为平行四边形，求点C 的坐标；19．已知向量a 与向量b 的夹角为3π，2a = ，3b =r ，记向量34m a b =- ，2n a kb =+ .(1)若m n ⊥，求实数k 的值；(2)若m n u rr∥，求实数k 的值．20．已知函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈.(1)求()f x 的最小正周期及单调增区间；(2)求()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域.21．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA =(1)求角B 的大小；(2)若2b =，求BC BA ⋅的最大值．22．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图像如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)设02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.1．B 【分析】利用诱导公式即可求得答案.【详解】9sinsin 2sin 444ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭故选：B.2．C 【分析】利用三角形的面积公式求解.【详解】在ABC 中，因为1cos 2C =，所以sin 2C ==，所以11sin 4122ABC S ab C ==⨯⨯ 故选：C 3．B 【分析】根据平面向量运算，结合点D 是BC 的中点，化简运算.【详解】D 为BC 边中点，∴2OB OC OD += ，∵0OA OB OC ++= ，∴20OA OD +=u u u r u u u r r ，即2AO OD = .故选：B 4．A 【分析】利用诱导公式化简计算．【详解】()1sin sin 3παα+=-=，1sin 3α=-，()sin cos 2ππαα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭2sin sin 2sin 3ααα+==-．故选：A ．5．C 【分析】首先根据平面向量的坐标运算得到a b -，再根据平面向量数量积的运算进行计算即可得出答案.【详解】()=4,1a b --，()()14126a a b ⋅-=-⨯-+⨯= .故选：C.6．D 【解析】利用负数不能开偶次方根，再由三角不等式的解法求解．【详解】由2cos 10x +≥，得1cos 2x - ，解得2222,Z 33k x k k ππππ-+∈ ．所以函数的定义域是222,2(Z)33k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故选：D ．7．B 【分析】直接由三角函数图象的平移变换求解即可.【详解】将cos2y x =的图像向右平移3π个单位长度可得2cos2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.8．A 【详解】由余弦定理和及已知条件得2cos ac B =，所以cos B =0B π<<，所以6B π=，故选A.考点：1.余弦定理；2.同角三角基本关系.9．C 【分析】根据图象得出周期，进而得出12ω=，点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭在函数图象上结合五点作图法确定6πθ=.【详解】由函数图象可得：22T 433πππω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得12ω=，由于点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭在函数图象上且为五点作图法的第一个点，可得102,Z23k k πθπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭解得2,Z 6k k πθπ=+∈当0k =时，可得6πθ=故选：C.【点睛】本题主要考查了根据图象求正弦型函数的解析式，属于中档题.10．B 【分析】函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,周期23T ππω=≥,解得:6ω≤,令322,242k x k k Z ππππωπ+<+<+∈可得115(2)(2),44k x k k Z ππππωω+<<+∈，由于函数()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，可得15(2,4)2k πππω+≥1(234)k πππω+≤，分析即得解【详解】函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,0ω>∴周期22()233T ππππω=≥⨯-=,解得:6ω≤又 函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的减区间满足:322,242k x k k Zππππωπ+<+<+∈解得：115(2)(2),44k x k k Z ππππωω+<<+∈由于函数()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减故15(2,4)2k πππω+≥1(234)k πππω+≤即356,442k k ωω≥+≤+又06ω<≤，故0k =∴则ω的取值范围是:3425⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：B 11．C 【分析】先根据图象的平移伸缩变换求得()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎝⎭，再由正弦函数的周期、对称性及单调性依次判断即可.【详解】将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移12π个单位长度可得2sin 22sin 2663y x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭⎝⎭，再把所有点的横坐标缩短到原来的12可得2sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A错误；242T ππ==，B 错误；()2sin 4()012123g πππ⎡⎤-=⨯-+=⎢⎥⎣⎦，则()g x 图像的一个对称中心为点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 正确；,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，54,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，3523πππ<<，()g x 先减后增，D 错误.故选：C.12．A 【分析】根据向量加法和线性运算可知向量AB ACAB AC+ 与BAC ∠的平分线共线，根据0AB AC BC AB AC⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭可知BAC ∠的平分线与BAC ∠对边垂直，由此可知△ABC 是等腰三角形；再由12AB AC AB AC ⋅=和向量数量积的定义可求出BAC ∠的大小，从而可判断△ABC 的形状．【详解】AB AB 即AB 方向上的单位向量，AC AC即AC方向上的单位向量，∴向量AB ACAB AC + 与BAC ∠的平分线共线，又由0AB AC BC AB AC⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭可知BAC ∠的平分线与BAC ∠对边垂直，则△ABC 是等腰三角形，即AB AC =，111cos 2AB AC BAC AB AC ∠⋅=⋅⋅= ，∴1cos 2BAC ∠=，∵()0,πBAC ∠∈，∴π3BAC ∠=，∴△ABC 为等边三角形．故选：A ．13．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先求出向量AB 的坐标，再求出||ABAB的坐标即可得解.【详解】依题意，(4,1)(1,3)(3,4)AB OB OA =-=--=-，所以与AB 同方向的单位向量为34,55||AB AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：34(,)55-14．,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【分析】由正切函数图象的对称性可得答案.【详解】令()22k x k Z π=∈，解得()4k x k Z π=∈，所以函数()y f x =的对称中心为(),04k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭.故答案为：(),04k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.15##122【分析】根据诱导公式即可求得答案.【详解】由题意，原式=()()()cos 360225cos 225tan 360225sin 360210tan 225sin 210︒+︒︒-=-︒+︒+︒+︒︒+︒()()()cos 18045cos 4521tan 18045sin 18030tan 45sin 3012︒+︒-︒=-=-=︒+︒+︒+︒︒-︒-.16．.【分析】由题意画出示意图，求出各角的度数后，由正弦定理即可得解.【详解】解：由题意画出示意图，如图：可得30CAB ∠= ，105BCA ∠= ，60AC =，则1803010545B ∠=--= ，在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC ACCAB B=∠，即12CB =，解得CB =故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了转化化归思想，属于基础题.17．)m 【分析】根据题意得到180756045ABC ∠=︒-︒-︒=︒，在在ABC 中，利用正弦定理，即可求得,A B 的长度.【详解】由题意，因为75BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒，可得180756045ABC ∠=︒-︒-︒=︒，在ABC 中，根据正弦定理得sin sin AB AC ACB ABC =∠∠可得)sin 100sin 60m sin sin 45AC ACB AB ABC ⋅∠⋅︒===∠︒.故答案为：.18．(1)2(2)()2,1-【分析】（1）利用平面向量数量积的几何意义直接求解即可，（2）设点(),C x y ，则由OA CB = 可求出点C 的坐标(1)a 在b上的投影数量为cos ,2a b a b b⋅== .(2)设点(),C x y ，四边形OABC 为平行四边形，则有OA CB = ，()1,2OA =-uu r ，()1,1CB x y =-- ，所以1112x y -=-⎧⎨-=⎩解得2x =，1y =-，故()2,1C -.19．(1)0k =；(2)83k =-.【分析】（1）先根据平面向量数量积的运算公式将式子化简，进而求得答案；（2）根据平面向量基本定理即可求得答案.(1)因为m n →→⊥，所以()()()2232·26|342|0m n a b a kb a k a b k b ⋅=-+=+-⋅-= ，即()16438232902k k ⨯+-⨯⨯⨯-⨯=，解得：0k =.(2)m n →→∥，则存在实数λ，使m n λ→→=，即()()342324a b a k b a k b λλλ→→→→→→⎛⎫-=+⇒-=+ ⎪⎝⎭，因为a →与b →不共线，所以32040k λλ-=⎧⎨+=⎩，解得83k =-.20．(1)最小正周期为π，增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由周期公式可求出最小正周期，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，Z k ∈可求出函数的增区间，（2）由ππ44x -≤≤，得5πππ2636x -≤-≤，然后利用正弦函数的性质可求出其值域(1)∵()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ∴2ππ2T ==，即最小正周期π.由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得1212k x k π5ππ-≤≤π+，Z k ∈∴增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)∵ππ44x -≤≤，∴5πππ2636x -≤-≤，∴π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴π333sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴值域为33,2⎡⎤-⎢⎣⎦.21．(1)3B π=；(2)2.【分析】（1）先由正弦定理进行边化角，进而求出答案；（2）由（1）并结合余弦定理即可求出答案.(1)∵sin cos b A B =，由正弦定理可得sin sin cos B A A B =又sin 0A ≠，sin cos B B =，∴tan B =0B π<<，∴3B π=.(2)∵222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-2ac ac ac ≥-=，∴4ac ≤，∴1cos 422BC BA ac B →→⋅=≤⨯=，当且仅当a c =时取等号，∴BC BA →→⋅的最大值为2.22．(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()1,2【分析】（1）根据图像可知2A =，再通过图像求出周期，进而求出ω，再代入点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，求解即可；（2）令26t x π=+，则7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，作出函数2sin y t =的图像，数形结合即可求解.【详解】（1）显然2A =，又1121212T ππππω⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数过点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 06πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以()Z 6k k πϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6πϕ=，所以所求的函数的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，即()y f x =与y m =的图像在02x π<<内有两个不同的交点，令26t x π=+，则7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，作出函数2sin y t =的图像如下：由图像可知：2sin y t =与y m =的图像在7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的交点时，12m <<，故实数m 的取值范围为()1,2.。
2017福州一中追梦计划招生数学答案
2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．5210258+=⎧⎨+=⎩x yx y12．5<x13．333333212345621+++++=14．4+15．13<≤n三、解答题（本大题共7小题，满分90分）16. 本小题主要考查实数的运算、代数式的化简等基础知识，考查代数运算能力、化简能力，分类与整合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）原式=116-+……………………5分=8……………………………………6分（Ⅱ）原式222241--=÷--x x xxx x……………………………………8分()()222122--=⋅-+-x x xx xx x…………………………9分1=.2-+x……………………………………11分当12=-x时，原式23=-.……………………………12分17. 本小题主要考查圆的几何性质、等腰三角形的判定及性质等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查演绎论证及度量计算的逻辑思想等．满分12分．证明：（Ⅰ）∵ 四边形ABED 为⊙O 的圆内接四边形∴ 180∠+∠=oB ADE ……………………………………2分 又 ∵ 180∠+∠=oCDE ADE∴ ∠=∠B CDE ……………………………………3分 ∵ =AB AC∴ ∠=∠B C ……………………………………4分 ∴ ∠=∠C CDE ……………………………………5分 ∴ ∆CDE 为等腰三角形……………………………………6分 （Ⅱ）法一：连接AE ，∵ ⊙O 的直径为AB∴ο90=∠AEB ∴BC AE ⊥...............................7分∵AC AB =∴421==BC CE .........................................8分 由(Ⅰ)知EDC C B ∠=∠=∠，C C ∠=∠ ∴ABC ∆∽EDC ∆ ∴ECAC DC BC =...........................................10分 ∴332=⋅=DC CE BC AC .................................11分∵AC AB =∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 法二：连接AE ，过点E 作⊥EF CD ，垂足为F 由（Ⅰ）知∆CDE 是以CD 为底边的等腰三角形 ∴ 1322==CF CD ………………7分 ∵ ⊙O 的直径为AB90∴∠=oAEB ……………………8分 ∵ =AB AC4∴==BE CE …………………9分 ∵ ，∠=∠∠=∠B C AEB EFC∴ ∆EFC ∽∆AEB ，……………………………10分 ∴=FC CE BE AB……………………………………11分∴ 4432332⋅⨯===CE BE AB FC∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 18.本题考察反比例函数图像及性质、一次函数解析式求解问题,及求平面四边形面积问题,涉及对称与割补思想方法.满分12分． 解：（Ⅰ）过点C 分别作CE AO ⊥于点E ， 设点(,)C m n ， ∵tan 2∠=COA 2,n m ∴=..................................1分 ∵//CB OA ,B y n ∴= ∵D 为AE 的中点，,2D ny ∴=..............................................2分 又,C D 在反比例函数图象上，,D D mn x y k ∴=⋅=2,D x m ∴= ..............................................4分∵2,=B x 1,m ∴= 2,n ∴=.............................................5分 2.k mn ∴==所以，反比例函数的解析式为2.=y x...........................................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(1,2),(2,1)C D ，法一：AOC ACD OCDA S S S ∆∆=+四边形......................9分 1152211222=⨯⨯+⨯⨯=..............12分法二：BCDOCDA OABC S S S ∆=-四边形四边形矩形∆∆=+-COE BCD ABCE S S S ...............9分115121211222=⨯⨯+⨯-⨯⨯=...........12分 19. 本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分12分．（Ⅰ）法一：证明：过P 作⊥PM AB 于M ，⊥PN BC 于N ，……………………1分 ∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ 90∠=oABC ， ∴ 四边形BMPN 是矩形，又 ∵ BD 是∠ABC 的角平分线，∴ =PM PN ……………………………………2分 ∴ 四边形BMPN 是正方形， ∴ 90∠=oMPN ， ∵ ⊥AP PE ， ∴ 90∠=o APE ，∴ ∠-∠=∠-∠APE MPE MPN MPE∴ ∠=∠APM EPN ……………………………………4分 在∆APM 和∆EPN 中，∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AMP ENP PM PNAPM EPN ， ∴ ∆APM ≌∆EPN （ASA ），……………………………………5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，.....................2分∴ ∠=∠ABP AEP .....................3分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴45ABP ︒∠=，∴ 45∠=oAEP ，∴45EAP ︒∠=∴∠=∠EAP AEP ......................5分∴ .=AP PE ……………………………………6分 （Ⅱ）法一：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ 90∠=oBAD ， 又∵90∠=o PBM ， ∴ PM ∥AD ， ∴ ∆BPM ∽∆BDA ， ∴=PM BPAD BD ，……………………………………7分 同理，PN BPCD BD=，∴PM PNAD CD=， ∴ 63==42=PM AD PN CD ，……………………………………9分∵ 90∠=∠=oAMP ENP ，∠=∠MPA EPN ， ∴ ∆APM ∽.∆EPN ……………………………………10分 ∴=AP PMPE PN……………………………………11分 ∴ :3:2.=AP PE 为定值.…………………………………12分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，..................8分 ∴ABP AEP ∠=∠，......................9分tan tan ∴∠=∠ABP AEP∵ tan tan ，∠=∠=AP ADAEP ABP AE AB....................11分 ∴3.2==AP AD AE AB .....................12分 （或证明AEP ABD ∆∆∽）20. 本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分14分．解：在ΔABD 中作DA B C ⊥于点C .…………………2分 在ABC Rt ∆中， 1645AB BAC ︒=∠=，，28==∴AC BC ……………………………………3分2628214=-=-=∴AC AD CD ………………………………4分依题意，以点D 为圆心，12海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………5分 ∵ 6212<所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.……………………………6分 在BC 上取点E 使得12=ED ，连接AE ，ED . 在CED Rt ∆中，12=ED ，26=CD所以，222CD ED CE -=26=∴CE ……………………………8分在A C E Rt ∆中，222AC CE AE +=210=∴AE ……………………………9分所以，在A C E Rt ∆中，53sin ==∠AE CE EAC '3652EAC ︒∴∠= ……………………………11分因为该渔船到达点E 的时间224224===BE t 小时. 所以巡逻船速度2022210==≥t AE v 海里/小时. ………………………13分 所以，巡逻船要以北偏东''9036525308︒︒︒-=的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截. ………………………14分 （注：没有取“=”扣1分）21.本题考察学生的阅读理解能力，解一元二次方程及求解二次函数最值的能力，蕴含了数形结合的思想. 满分14分．解：（I ）由题意知，{}3,22max --=-，......................................2分 所以方程变为 2228x x -=-+，化简为 2410x x --=...................3分解得 12x =或 22x =所以方程{}23,228max x x --=-+的解为2 或2.................5分 （II ）(1)当2236x x x x +-≥-即32x ≥时， {}22236,36,y max x x x x x x =+--=+-...................................7分 ∵ 236=+-y x x 的对称轴为3,2x =-而32x ≥在对称轴32x =-的右侧， y ∴随着x 的增大而增大，32x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2333()36224y =+⨯-=.................9分 （2）当2236x x x x +-<-即32x <时，{}22236,,y max x x x x x x =+--=-.....................................11分∵ 2=-y x x 的对称轴为1,2x =而1322<， 12x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2111()224y =-=-..................13分由（I ）（II ）得 函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值为14-..........14分（注：若用数形结合作答的酌情给分.）22. 本题考查用待定系数法求函数解析式及一次函数和二次函数的性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了化归及数形结合的数学思想．满分14分．解：（I ）由已知设)0(2)1(:21≠--=a x a y C 过)0,3(B ，........................1分则024=-a ，21=a ..........................2分 23212)1(21:221--=--=∴x x x y C ..........................3分抛物线1C 的对称轴方程为1=x ，由对称性可得)0,1(-A ....................4分（II ）法一：设直线)0(≠+=k b kx y l ：由已知得⎩⎨⎧=+-=+032b k b k ，解得3,1-==b k 3:-=∴x y l ................5分 设直线l 交y 轴于)3,0(-D ∵ =OB OD ，ο45=∠∴ODB 由平移的性质可知BC PQ = ∵=PF BC ，22==∴PF PQ ∵⊥PF l ，PQF ∆∴为等腰直角三角形.ODB FQP ∠==∠∴ο45，4=QFy FQ //∴轴 ....................7分设)3,(-t t Q ，则)2321,(2--t t t F ，4|)3(2321|2=----=t t t FQ 解得1-=t 或5，则)0,1(-F 或)6,5( ....................9分 法二：连接FQ 并延长交x 轴于H ，连接AF ∵ 22==BC AC ，4=AB∴ABC ∆为等腰直角三角形...............5分ο90=∠ACB ，ο45=∠=∠BAC ABC∵ l FP ⊥ ∴ο90=∠FPQ ∴PF AC // ∵ BC PF =∴AC PF =∴四边形ACPF 为矩形 ∴AF PC // ∴ο45=∠FAH由平移的性质可知BC PQ =∴PFQ ∆为等腰直角三角形，ο45=∠FQP∴ο45=∠AFH ∴AFH ∆为等腰直角三角形..........................7分设)2321,(2--m m m F ，则FH AH =即2321)1(2--=--m m m 解得1-=m 或5，即)0,1(-F 或)6,5( ..............................9分 （Ⅲ）连接QR AR MQ NQ ,,,由（II ）可知ο90=∠=∠FPQ ACB ，)2,5(QPF AC //∴∵=AC PF∴四边形ACPF 为矩形ο90=∠∴MANRQ MN AR ==∴21R ∴在AQ 的垂直平分线上，即R 的路径是线段....11分当点M 在C 处时，R 在AQ 的中点1R 处，当点M 在A 处时，R 在AN 上的点2R 处∵122190,∠=∠=∠oAR R AQC R AR∵121sin ∠==R R AC NAQ CQ AR ∵22,42,210===AC CQ AQ21021=∴R R 即R 的路径长度为210......................................14分。
河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2023-2024学年高一下学期阶段考试(一)(3月)数学试题
河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2023-2024学年高一下学期阶段考试（一）（3月）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若角α的终边在直线y x =上，则角α的取值集合为（ ） A ．{}36045k k Z αα=⋅+∈o o ∣， B ．{}360135k k Z αα=⋅+∈o o ∣， C ．{}180135k k Z αα=⋅-∈o o ∣， D ．{}18045k k Z αα=⋅-∈o o ∣， 2．下列是函数()πtan 214f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称中心的是（ ）A ．π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．π,18⎛⎫⎪⎝⎭3．已知4π2π17πtansin cos 334a b c ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，，，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b c a >>D ．a c b >>4．函数cos y x =和sin y x =在下列哪个区间上都是单调递减的（ ） A ．π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦5．函数π32cos 23y x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．()2ππππ36k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，B ．()ππππ63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，C ．()π4π2π2π33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ， D ．()ππ2π2π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 6．已知π3sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πcos 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．35-B ．45C ．35-D ．45-7．把函数()y f x =的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标缩短到原来的12倍，再把纵坐标伸长到原来的32倍，所得图象的解析式是π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2cos f x x =-B ．()2sin f x x =C ．()2cos f x x =D ．()2sin f x x =-8．已知函数()()π2sin 02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，，其图象与直线y =的距离分别为π4和3π4，若π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 解析式为（ ）A ．()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭二、多选题9．下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有（ ） A ．πtan 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．πsin 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 2y x =D ．sin y x =10．已知函数()cos cos f x x x =-，则（ ）A ．函数为偶函数B ．最小正周期为πC ．单调递增区间为()π2π,2πZ 2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D ．()f x 的最小值为-211．已知函数()()π2sin 02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，的图象过点()0,1，且()f x 在区间ππ,84⎛⎫⎪⎝⎭上具有单调性，则ω的取值范围可以为（ ） A ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．160,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．816,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1620,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题12．函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期是.13．已知角(02π)αα≤<的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，ππsin cos 66P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为角α的终边上一点，则α=.14．已知函数()πsin 310f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若将()y f x =的图象向左平移(0)m m >个单位长度后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为.四、解答题15．已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若α是第三象限角，且()1sin π5α+=，求()f α的值.16．回答下列问题：(1)求函数32sin y x =-取得最大值､最小值时自变量x 的集合，并写出函数的最大值､最小值；(2)求函数()21π5π2sin 2sin ,266f x x x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦，的值域.17．某农户计划围建一块扇形的菜地，已知该农户围建菜地的篱笆的长度为24米. (1)若该扇形菜地的圆心角为4弧度，求该扇形菜地的面积；(2)当该扇形菜地的圆心角为何值时，菜地的面积最大，最大值是多少？18．某港口的水深y （单位：)m 是时间t (024,)t h ≤≤的函数，下面是该港口的水深数据：一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5m 时就是安全的．(1)若有以下几个函数模型：y at b =+，sin()y A t ωϕ=+，sin y A tK ω=+，你认为哪个模型可以更好地刻画y 与t 之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解析式； (2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？ 19．()()πsin 0002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭，，的部分图像如图所示，(1)求函数()f x 的解析式.(2)若()f x 在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-，求m 的取值范围.(3)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()2nf x n f x +≥恒成立，求实数n 的取值范围.。
2021年福建省福州一中(市外、追梦计划)自主招生数学试卷
2021年福建省福州一中（市外、追梦计划）自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．若﹣|x|＝1，则|x|的值是（）A．B．C．D．或12．现有5瓶溶液标签缺失，已知其分别为HCl，H2SO4，HNO3，NaOH，KOH，若从中任取2瓶混合，则会发生中和反应的概率为（）A．B．C．D．3．△ABC中，∠A和∠B均为锐角，且AC＝6，BC＝3，若sin A＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．4．“无体艺，不福一”，我校高二（1）到高二（4）的班级篮球代表队准备举行友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“（3）班得冠军，（4）班得第三”；乙说：“（1）班得第三，（3）班得亚军”；丙说：“（1）班得第四，（4）班得冠军”．赛后得知，三人的预测都只有一半正确，则得冠军的是（）A．（1）班B．（2）班C．（3）班D．（4）班5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，EO分别与AD，DC，CB三边相切于点E、F、G，若过点B 作EO的切线交AD于点Q，则BQ的长为（）A．2B．3C．D．6．“剪纸”是我国一项传统民间艺术，现有一张正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……，以此类推，为了得到了9个十三边形和一些多边形纸片，则至少要剪（）A．88刀B．89刀C．90刀D．91刀二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）7．若不等式组的解集为a＜x＜3，则实数a的取值范围为．8．化简+的值为．9．如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，且AB∥CD，△AOB与△COD的面积分别为4和9，若双曲线y＝恰好经过BC的中点E，则k的值为．10．若函数y＝﹣x（x﹣1）（x2+mx+n）图象的一条对称轴为x＝﹣1，则m+n的值是．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。
2015福州一中追梦计划招生数学答案
2015年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．3212． 5213．()35y x x =+是非负整数 说明：不写范围不扣分14．1214a <≤ 15．48-三、解答题（本大题共7小题，满分90分）16．解：（120120152cos303-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭591=+- ……………………………………………5分 13= ……………………………………………7分 （2）249x x ÷-3()33x xx x --+ 2243(3)(3)99x x x x x x x +--=÷--………………………………………9分 222421299x x xx x +=÷--…………………………………………11分 26x =-+ …………………………………………12分∵6x =∴原式==…………………………………………14分17．解：（1）过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，在Rt AOD ∆中，4tan 3AD AOE OD ∠== ， 又∵5OA =，根据勾股定理得4AD =，3OD =．∴(34)A ，， ………………3分 把(34)A ，代入反比例函数my x=中，解得12m =， ∴反比例函数的解析式为12y x=． …………………………………………5分 （2）把点B 坐标(6,)n -代入12y x=中，解得2n =-， ∴(6,2)B --， …………………………………………7分 把(34)A ，和(6,2)B --分别代入一次函数y k x b =+得，3462k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴一次函数的解析式为223y x =+， …………………………………………9分 ∵点C 在x 轴上，令0y =，得3x =-，即3OC =， 法一∴113432922AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=． ……………………12分 法二∴11||||3|4(2)|922AOB A B S OC y y ∆=⨯⨯-=⨯⨯--=． …………………12分 18．（1）证法一：∵MR NQ 、为圆O 的切线，∴90OMR ONQ ∠=∠= ，∵MOR NOQ ∠=∠，∴R Q ∠=∠，———① ………………… 2分 ∵MN 为圆O 的直径，∴90MPN ∠=，即90PMN PNM ∠+∠=， ∵90PNM PNQ ONQ ∠+∠=∠=， ∴PMN PNQ ∠=∠， ∵OM OP =，P ORQNM∴PMN MPR ∠=∠，∴MPR PNQ ∠=∠，———② ……………………………5分 由①②得NPQ PMR △∽△． ……………………………6分 证法二：∵OP ON =，∴ONP OPN ∠=∠，∴QPN PON ONP OMP OPM OPN OMP MPN ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠， ∵RMP OMP OMR ∠=∠+∠，且90OMR MPN ∠=∠=， ∴RMP QPN ∠=∠，———③ 由①③得NPQ PMR △∽△．证法三：由②③得NPQ PMR △∽△．（注：其他证法对应给分） 解：（2）由（1）知NPQ PMR △∽△，∴2PMPN==， …………………………… 9分 设PN x =，则2PM x =， ∵90MPN ∠=，∴222MN PM PN =+，即(2224x x =+， ……………………………11分解得2x =，即2NP =． ……………………………12分19．解：（1）∵()2211412304a a a ⎛⎫∆=+-⨯+=-≥ ⎪⎝⎭，∴32a ≥， ………………………………2分 ∵121x x a +=+，212114x x a =+， ………………………………3分 ∴()()221212124x x x x x x -=+-，即523a =-，………………………………5分 解得4a =． ………………………………6分（2）记已知方程的两根为21x x 、，所求方程的两根为12x x ''、，∵12x x p +=-，12x x q =， ………………………………7分 ∴1212121211x x p x x x x x x q +''=+==-+， ………………………………9分1212111x x x x q''== ， ………………………………11分HABCDMN∴所求方程为210p x x q q ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， ………………………………12分整理为210qx px ++=．说明：通过求根公式求解写出方程并化简得到结果的同样给分．20．（1）证法一：连接BD ，如图所示， ……………………………1分∵四边形ABCD 为菱形，60A ∠=︒， ∴ABD ∆和CBD ∆是等边三角形， ∴DB DC =，又∵DMN ∆为正三角形， ∴DM DN =，又∵60MDB BDN BDN NDC ∠+∠=∠+∠=︒，∴MDB NDC ∠=∠， ……………………………2分 ∴在DBM ∆和DCN ∆中，DM DNMDB NDC DB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DBM ∆≌DCN ∆（SAS ） ……………………………4分 ∴BM CN = ……………………………5分 证法二：∵ABD ∆和CBD ∆是等边三角形， ∴DBM DCN ∠=∠， ∴在DBM ∆和DCN ∆中，MDB NDC DM DN DBM DCN ⎧⎪∠=∠=∠∠⎨=⎪⎩∴DBM ∆≌DCN ∆（AAS ） ∴BM CN =证法三：∴在DBM ∆和DCN ∆中，DB DCMDB ND DBM DC C N ⎧⎪=⎨⎪∠=∠∠∠⎩= ∴DBM ∆≌DCN ∆（ASA ） ∴BM CN =(注：其他解法对应给分．)（2）解：四边形DMBN 的面积不变，理由如下： 由（1）得DBM ∆≌DCN ∆，故DBM DN B DC N DN B D C B DM BN S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四边形是定值，……………7分 作DH BC ⊥于H 点，则DH =， ……………8分11422D C B D M B N S S BC DH ∆==⨯⨯=⨯⨯=四边形． ……………9分（3）由“垂线段最短”知：当正三角形DMN 的边DN 与BC 垂直时，边DN 最短． 故DMN ∆的面积会随着DN 的变化而变化，且当DN 最短时，正三角形DMN 的面积会最小， ……………11分 又∵BM N DM N DM BN S S S ∆∆=-四边形，则此时BMN ∆的面积就会最大， ……………12分∴12B M N D M N D M B N S S S ∆∆=-=⨯=四边形 ∴BMN ∆……………13分21．解：（1）对于3342y x =-，当0y =时，2x =；当8x =-时，152y =-． ∴A 点坐标为(20)，，B 点坐标为15(8)2--，，…………………………………2分 由抛物线214y x bx c =-++经过A 、B 两点，得120151682b c b c -++=⎧⎪⎨--+=-⎪⎩，解得3542b c =-=，．∴2135442y x x =--+． …………………………………4分 （2）设直线AB 与y 轴交于点M ，当0x =时，32y =-． ∴32OM =． ∵A 点坐标为(20)，，∴2OA =，∴52AM =． …………………………………6分∵::3:4:5OM OA AM =．由题意得，PDE OMA ∠=∠，90AOM PED ∠=∠=︒，∴AOM ∆∽PED ∆． …………………………………7分 ∴::3:4:5DE PE PD =． …………………………………8分 ∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点， ∴P D PD y y =-=221353313()()44424242x x x x x --+--=--+，……10分 ∴22121331848(4)542555l x x x x =--+=--+()82x -<<，……………11分 ∴23(3)155l x =-++，∴3x =-时15l =最大． …………………………………13分22．解：（1）36． …………………………………4分（2）∵(1)(2)(3)1k k k k ++++(3)(1)(2)1k k k k =++++ …………………………………6分 22(3)(32)1k k k k =++++ 222(3)2(3)1k k k k =++++ 22(31)k k =++∴(1)(2)(3)1k k k k ++++是完全平方数，即为正方形数．……………8分 （3）（ⅰ）(,3)N n (1)2n n +=， …………………………………9分 2(,4)N n n =． …………………………………10分（ⅱ）观察(,3)N n 2(1)22n n n n ++==，2220(,4)2n n N n n +⋅==， 23(,5)2n n N n -=，242(,6)2n nN n -=，… ，由其变化规律，推测2(2)(4)(,)2k n k nN n k -+-=，…………13分∴(10,24)1000N =． (14)分。
2017福州一中追梦计划招生数学卷
2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）学 校： 姓 名： 准考证号： 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置． 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．)1.下列运算正确的是（ ）A ．22423+=a a a B ．2242-=a a a C ．22422⋅=a a a D ．2222÷=a a a 2.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）清华大学 北京大学 浙江大学 中国人民大学3.代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．23(44)-+x x xB ．23(4)x x -C ．3(2)(2)x x x +-D ．23(2)x x -4．下列命题错误．．的个数是（ ） ① 经过三个点一定可以作一个圆；② 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；③ 对角线相等的四边形是矩形；④ 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.A ．1B ．2C ．3D ．4 5.无论x 取何值时，点)2,(2x x x P +-不可能．．．在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6.如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4:5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（ ）A ．288B ．144C ．216D ．120A . B. C. D.7.在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①2甲s ＞2乙s ；②2甲s ＜2乙s ；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8.2017年5月14日，福州一中将喜迎建校两百周年华诞，当天正好是星期日，以当天作为第1天开始算起，则第366天是（ ） A ．星期六 B ．星期日 C ．星期一 D ．星期二9.如图，A 、B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（ ）A .625 B .15C .425D .725 10．已知关于x 的不等式组0243(2)-⎧>⎪⎨⎪-<-⎩x m x x 的解集为1x >，且使关于x 的方程1322x m x x -+=--有非负整数解，则符合条件的实数m 的取值之和为（ ） A. 8- B ．7- C ．2- D ．0二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共 20分．请将正确答案填在答题卡相应位置)11. 《九章算术》是我国传统数学最重要的著作，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就． 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为 ．M BA 12.若函数=-y kx b 的图象如图所示，则关于x 的不等式(3)0k x b -->的解集为 ．13.观察下列等式：332123+=，33321236++=，333321+2+3+410=，…，根据上述规律，第五个等式为________________．14. 如图，AB 是⊙O 的直径，8=AB ，点M 在⊙O 上，45∠=MAB ，N 是劣弧MB 的三等分点（靠近点B ），P 是直径AB 上的一动点，则∆PMN 周长的最小值为______________．15.定义二次函数的图象与直线x y =交点的横坐标为二次函数的不动点.已知二次函数 ()21324=+-+-y x mn x mn 有唯一不动点，若3-≤m 且0<mn ，则n 的取值范围是 .三、解答题(本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．（本小题满分12分）（Ⅰ）计算：()()30201713.1416302π-⎛⎫--+⨯︒+ ⎪⎝⎭cos ； （Ⅱ）先化简，再求值：222311-⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭x x x x x x ，其中1.2=-x17. （本小题满分12分）如图，已知三角形ABC ，=AB AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于D 、E 两点，连接.ED（Ⅰ）求证：∆CDE 为等腰三角形；（Ⅱ）若3=CD ，8=BC ，求⊙O 的半径．18. （本小题满分12分）如图，四边形OABC ，顶点,B C 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上,//,CB OA BA x ⊥轴，点B 的横坐标为2，tan 2,COA ∠=D 为AB 的中点，反比例函数k y x=的图象经过,C D 两点.（Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求四边形OCDA 的面积.19.（本小题满分12分） 已知四边形ABCD ，点E 在边BC 上，P 为对角线BD 上的动点，满足⊥AP PE . （Ⅰ）当四边形ABCD 为正方形时（如图1），求证：=PA PE ；（Ⅱ）当四边形ABCD 为矩形，且6=AD ，4=CD 时（如图2），试探究:AP PE 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20. （本小题满分14分）如图，海中有一小岛D ，它周围12海里内有暗礁.一艘巡逻船在D 岛海域例行巡逻，某时刻航行至A 处时，测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一渔船，且D 岛位于巡逻船正东214海里处.观测中发现，此渔船正以每小时4海里的速度沿正南方向航行.如果渔船不改变航线继续前行，有没有触礁危险？请通过计算加以说明.如果有危险，巡逻船的速度至少为多少时，才能将该渔船拦截在暗礁区域之外，并确定此时巡逻船的航向.（参考数据：sin 3652'0.6︒≈，sin 5308'0.8︒≈）21.（本小题满分14分）对于两个实数,a b ，我们规定{},max a b 表示,a b 中的较大值，当a b ≥时，{},max ab a =；当a b <时，{},max a b b =，例如：{}1,33max =. （Ⅰ）求方程{}23,228max x x --=-+的实数解；（Ⅱ）求函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值.22.（本小题满分14分）如图，已知抛物线1C 的顶点坐标为)2,1(-C ，抛物线1C 与x 轴交于、A B 两点，其中()3,0B .直线l 经过、B C 两点，连接AC .（Ⅰ）求点A 的坐标及抛物线1C 的解析式；（Ⅱ）将抛物线1C 平移，并保持抛物线的顶点在直线l 上，当B 、C 两点分别平移到点P 、Q 处时，过点P 作直线l 的垂线交抛物线1C 于点F ，此时恰有BC PF =，求点F 的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，取在x 轴上方的点F ，连接AF ，设M 、N 分别为线段AC 、AF 上的动点，以MN 为直径的⊙R 经过点Q ，当点M 从C 运动到A 时，试求圆心R 经过的路径长.。
2023-2024学年河南省环际大联考“逐梦计划”高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省环际大联考“逐梦计划”高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．经过点P （1，﹣2），倾斜角为45°的直线方程为（ ） A ．x +y +1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣y +3＝0D ．x ﹣y ﹣3＝02．在空间直角坐标系中，点（1，﹣2，3）关于y 轴对称点的坐标是（ ） A ．（﹣1，2，3） B ．（﹣1，﹣2，﹣3）C ．（﹣1，2，﹣3）D ．（1，﹣2，﹣3）3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为√2，则它的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±xB ．y =±12xC ．y =±√22xD ．y =±√2x4．已知直线l 1：mx +2y ﹣1＝0与直线l 2：5x +（m +3）y ﹣5＝0，若l 1∥l 2，则m ＝（ ） A ．﹣5B ．2C ．2或﹣5D ．55．（多选）已知直线l 的一个方向向量为u →=(1，−√3)，且l 经过点（1，﹣2），则下列结论中正确的是（ ）A ．l 的倾斜角等于150°B ．l 在x 轴上的截距等于2√33C ．l 与直线√3x −3y +2=0垂直D ．l 与直线√3x +y +2=0平行6．设F 1和F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，若F 1，F 2，P （0，2b ）是等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）A ．√77B ．2√77C ．√33D ．2√337．已知动点P 在曲线2x 2﹣y ＝0上，则点A （0，2）与点P 连线的中点的轨迹方程是（ ） A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y ＝4x 2+1D ．y ＝8x 2+18．若直线y ﹣2＝k （x ﹣4）与曲线x =√4−y 2恰有交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[1，43)B ．[0，43]C ．[1，53)D ．[0，53)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．设直线l 1：x +y ﹣1＝0，l 2：x ﹣y +1＝0，则（ ） A ．l 1与l 2平行B ．l 1与l 2相交C ．l 1与l 2的交点在圆x 2+y 2＝1上D ．l 1与l 2的交点在圆x 2+y 2＝1外10．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣8＝0的交点为A ，B ，则（ ） A ．公共弦AB 所在直线的方程为x ﹣y +1＝0B ．两圆圆心距|O 1O 2|＝2√2C ．线段AB 中垂线的方程为x +y ＝0D ．公共弦AB 的长为2√211．0°≤α≤180°变化时，方程x 2+y 2cos α＝1表示的曲线的形状可以是（ ） A ．两条平行直线B ．圆C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的双曲线12．《白蛇传》中的“雨中送伞”故事在中国民间流传甚广，今年杭州亚运会期间游客打纸伞逛西湖受到热捧．油纸伞是中国传统工艺品，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（此时阳光照射方向与地面的夹角为60°），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）A ．该椭圆的长轴为3√2+√63B ．该椭圆的离心率为2−√3C ．该椭圆的焦距为3√2−√63D ．该椭圆的焦距为2√3−2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为2，则p ＝ ．14．过直线2x ﹣y +4＝0与3x ﹣2y +9＝0的交点，且垂直于直线x ﹣2y +3＝0的直线方程是 ． 15．椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a−y 22=1有相同的焦点，则双曲线方程是 ．16．已知A （2，1，3），B （2，﹣2，6），C （3，6，6），则AC →在AB →上的投影向量为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点P （2，4）． （1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）求以（1，﹣1）为中点的抛物线C 的弦所在直线的方程．18．（12分）已知△ABC 为等腰直角三角形，且∠C ＝90°，若A ，C 的坐标分别为（0，4），（3，3）． （1）求点B 的坐标；（2）求过点B 与AC 所在边平行的直线方程．19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体OABC ﹣O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤2，以O 为原点建立空间直角坐标系O ﹣xyz ． （1）求证：A 1F ⊥C 1E ；（2）若x ＝1，求cos〈EF →，EA 1→〉的值．20．（12分）已知圆E 经过点A （0，0），B （2，2），且与y 轴相切． （1）求圆E 的方程；（2）求过点P （4，3）的圆E 的切线方程． 21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的实轴长为2．（1）若双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，求双曲线方程；（2）设F 1、F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，且PF 1→⋅PF 2→=0，△PF 1F 2的面积为9求C 的标准方程．22．（12分）如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)两焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）且经过点A （0，﹣1）．（1）求椭圆E 的离心率e 与椭圆方程；（2）经过点（1，1），且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q （均异于点A ），求证：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．2023-2024学年河南省环际大联考“逐梦计划”高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．经过点P （1，﹣2），倾斜角为45°的直线方程为（ ） A ．x +y +1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣y +3＝0D ．x ﹣y ﹣3＝0解：倾斜角为45°的直线斜率为1，直线经过点P （1，﹣2）， 所以直线方程为y ﹣（﹣2）＝x ﹣1，即x ﹣y ﹣3＝0． 故选：D ．2．在空间直角坐标系中，点（1，﹣2，3）关于y 轴对称点的坐标是（ ） A ．（﹣1，2，3） B ．（﹣1，﹣2，﹣3）C ．（﹣1，2，﹣3）D ．（1，﹣2，﹣3）解：在空间直角坐标系中，点（1，﹣2，3）关于y 轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）． 故选：B ．3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为√2，则它的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±xB ．y =±12xC ．y =±√22x D ．y =±√2x解：设双曲线的标准方程为y 2a 2−x 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，则该双曲线的渐近线方程为y =±a bx ， 因为双曲线的离心率为e =ca =√2，则c =√2a ，则b =√c 2−a 2=√2a 2−a 2=a ， 因此，该双曲线的渐近线方程为y =±ab x =±x ． 故选：A ．4．已知直线l 1：mx +2y ﹣1＝0与直线l 2：5x +（m +3）y ﹣5＝0，若l 1∥l 2，则m ＝（ ） A ．﹣5B ．2C ．2或﹣5D ．5解：若l 1∥l 2，则m （m +3）＝2×5，且﹣5m ≠﹣5，解得m ＝2或m ＝﹣5． 故选：C ．5．已知直线l 的一个方向向量为u →=(1，−√3)，且l 经过点（1，﹣2），则下列结论中正确的是（ ） A ．l 的倾斜角等于150°B ．l 在x 轴上的截距等于2√33C ．l 与直线√3x −3y +2=0垂直D ．l 与直线√3x +y +2=0平行解：∵直线l 的一个方向向量为u →=(1，−√3)， ∴直线l 的斜率为k =−√3， 又∵直线l 经过点（1，﹣2），∴直线l 的方程为y +2=−√3(x −1)，即√3x +y +2−√3=0 A ，设直线l 的倾斜角为θ，则tanθ=−√3， ∵0°≤θ＜180°，所以θ＝120°，因此A 错误， B ，当y ＝0时，2=−√3(x −1)，得x =1−2√33， ∴直线l 在x 轴上的截距等于1−2√33，因此B 错误， C ，∵直线√3x −3y +2=0的斜率为√33，且√33⋅(−√3)=−1， ∴直线l 与直线√3x −3y +2=0垂直，因此C 正确，D ，∵直线√3x +y +2=0的斜率为−√3，且在y 轴上的截距为﹣2， 而直线l 的斜率为−√3，且在y 轴上的截距为√3−2， ∴直线l 与直线√3x +y +2=0平行，因此D 正确． 故选：CD ． 6．设F 1和F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，若F 1，F 2，P （0，2b ）是等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ） A ．√77B ．2√77 C ．√33D ．2√33解：∵F 1和F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，若F 1，F 2，P （0，2b ）是等边三角形的三个顶点，∴|PO||F 1O|=tan60°，∴2b c=√3，∴4b 2＝3c 2，∴4（a 2﹣c 2）＝3c 2，∴7c 2＝4a 2，∴c 2a 2=47，∴e =2√77． 故选：B ．7．已知动点P 在曲线2x 2﹣y ＝0上，则点A （0，2）与点P 连线的中点的轨迹方程是（ ） A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y ＝4x 2+1D ．y ＝8x 2+1解：设AP 的中点为（x ，y ）， 因为A （0，2），则P （2x ，2y ﹣2）， 因为点P 在曲线2x 2﹣y ＝0上，所以将P （2x ，2y ﹣2）代入曲线2x 2﹣y ＝0，则2•（2x ）2﹣（2y ﹣2）＝0，即y ＝4x 2+1， 所以AP 的中点的轨迹方程是y ＝4x 2+1． 故选：C ．8．若直线y ﹣2＝k （x ﹣4）与曲线x =√4−y 2恰有交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[1，43)B ．[0，43]C ．[1，53)D ．[0，53)解：直线y ﹣2＝k （x ﹣4）过定点（4，2）， 曲线方程x =√4−y 2变形得x 2+y 2＝4（x ≥0），即曲线为以原点O （0，0）为圆心，2为半径的右半圆弧，过点A 与曲线相切的直线有两条，设切线斜率为k 1，则可设方程为y ﹣2＝k 1（x ﹣4），即k 1x ﹣y +2﹣4k 1＝0， 由直线与圆相切，则圆心O （0，0）到直线的距离d =1√k 12+1=2，解得k 1＝0或k 1=43，由图可知，要使直线与曲线恰有交点，由题意，直线y ﹣2＝k （x ﹣4）斜率为k ，则0≤k ≤43． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．设直线l 1：x +y ﹣1＝0，l 2：x ﹣y +1＝0，则（ ） A ．l 1与l 2平行B ．l 1与l 2相交C ．l 1与l 2的交点在圆x 2+y 2＝1上D ．l 1与l 2的交点在圆x 2+y 2＝1外解：由题意，直线l 1：y ＝﹣x +1，l 2：y ＝x +1， 两直线斜率分别为k 1＝﹣1，k 2＝1，k 1≠k 2， 故两直线相交，选项A 错误，B 正确；联立{x +y −1=0x −y +1=0，解得{x =0y =1，故两直线交点为（0，1），由02+12＝1，得交点在圆x2+y2＝1上．故C正确，D错误．故选：BC．10．圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣8＝0的交点为A，B，则（）A．公共弦AB所在直线的方程为x﹣y+1＝0B．两圆圆心距|O1O2|＝2√2C．线段AB中垂线的方程为x+y＝0D．公共弦AB的长为2√2解：对于A选项，将两圆方程作差可得4x﹣4y+4﹣0，即x﹣y+1＝0，所以公共弦AB所在直线的方程为x﹣y+1＝0，A对；对于B选项，圆C1的圆心为C1（0，0），半径为r1＝2，C2的标准方程为（x﹣2）2+（y+2）2＝16，圆心为C2（2，﹣2}，半径为r2＝4，两圆圆心距|C1C2|=√(2−0)2+(−2−0)2=2√2，B对；对于C选项，连接AC1，AC2，BC1，BC2，因为|AC1|＝|RC1|，|AC2|＝|BC2|，所以线段AB的垂直平分线即为两圆的连心线所在的直线方程，又过点（0，0），（2，﹣2）的直线方程为y＝﹣x，即x+y＝0，C对；对于D选项，圆心C1到直线AB的距离为d=1√2=√22，所以|AB|＝2√4−12=√14，D错误．故选：ABC．11．0°≤α≤180°变化时，方程x2+y2cosα＝1表示的曲线的形状可以是（）A．两条平行直线B．圆C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在x轴上的双曲线解：当α＝90°时，cos90°＝0，方程x2＝1，得x＝±1表示与y轴平行的两条直线，故A正确；当α＝0°时，cos0°＝1，方程x 2+y 2＝1表示圆心在原点的单位圆，故B 正确；当90°＞α＞0° 时，1＞cos α＞0，方程x 2+y 2cos α＝1表示中心在原点， 焦点在y 轴上的椭圆，故C 错误；当180°＞α＞90° 时，cos α＜0，方程x 2+y 2cos α＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，故D 正确； 当α＝180° 时，cos180°＝﹣1，方程x 2﹣y 2＝1表示焦点在x 轴上的等轴双曲线． 故选：ABD ．12．《白蛇传》中的“雨中送伞”故事在中国民间流传甚广，今年杭州亚运会期间游客打纸伞逛西湖受到热捧．油纸伞是中国传统工艺品，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（此时阳光照射方向与地面的夹角为60°），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）A ．该椭圆的长轴为3√2+√63B ．该椭圆的离心率为2−√3C ．该椭圆的焦距为3√2−√63D ．该椭圆的焦距为2√3−2解：由两角和的正弦公式可得sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=√6+√24，如图，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，F 1是椭圆的左焦点，BC 是圆的直径，D 为该圆的圆心． 因为|BD |＝|DF 1|＝1，DF 1⊥BC ，所以|BF 1|=√2， 设椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，则a +c =√2． 因为∠A ＝60°，∠B ＝45°，|BC |＝2，|AB |＝2a ， 由正弦定理得2sin60°=2a sin(60°+45°)，解得a =sin105°sin60°=√6+√243=3√2+√66，所以c =√2−a =3√2−√66， 所以ca =√2−√63√2+√6=2−√3，2c =3√2−√63． 所以椭圆的长轴长为2a =3√2+√63，离心率为2−√3，焦距为3√2−√63， 即选项A 、B 、C 正确，选项D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 13．抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为2，则p ＝ 4 ．解：抛物线y 2＝2px 的准线方程为x =−p 2，设Q （x 0，y 0），显然x 0=y 022p ≥0，当且仅当y 0＝0时取等号，则点Q 到焦点的距离d =x 0+p 2≥p2，当且仅当x 0＝0时取等号，因此p 2=2，所以p ＝4． 故答案为：4．14．过直线2x ﹣y +4＝0与3x ﹣2y +9＝0的交点，且垂直于直线x ﹣2y +3＝0的直线方程是 2x +y ﹣8＝0 ． 解：解方程组{2x −y +4=03x −2y +9=0，可得{x =1y =6，即交点为（1，6），由题意设所求的直线的方程为2x +y +a ＝0，将（1，6）点代入，可得2×1+6+a ＝0，解得a ＝﹣8， 所以直线的方程为：2x +y ﹣8＝0． 故答案为：2x +y ﹣8＝0． 15．椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a−y 22=1有相同的焦点，则双曲线方程是 x 2−y 22=1 ． 解：由方程x 2a−y 22=1表示双曲线可知a ＞0，则焦点在x 轴上，由椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a−y 22=1有相同的焦点，则椭圆焦点也在x 轴上，且焦距相同，设它们的半焦距为c ， 故c 2＝4﹣a 2＝a +2，解得a ＝﹣2（舍），或a ＝1，故双曲线方程为x 2−y 22=1．故答案为：x 2−y 22=1．16．已知A （2，1，3），B （2，﹣2，6），C （3，6，6），则AC →在AB →上的投影向量为 （0，1，﹣1） ． 解：因为A （2，1，3），B （2，﹣2，6），C （3，6，6）， 所以AC →=(1，5，3)，AB →=(0，−3，3)， 则|AB →|=√02+(−3)2+32=3√2，AC →⋅AB →=1×0+5×(−3)+3×3=−6，所以AC →⋅AB →|AB →|=3√2=−√2，则AC →在AB →上的投影向量为AC →⋅AB →|AB →|⋅AB →|AB →|=−13(0，−3，3)=（0，1，﹣1）．故答案为：（0，1，﹣1）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点P （2，4）． （1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）求以（1，﹣1）为中点的抛物线C 的弦所在直线的方程． 解：（1）根据抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点P （2，4）， 可得16＝4p ，解得p ＝4．从而抛物线C 的方程为y 2＝8x ，准线方程为x ＝﹣2； （2）设弦的两端点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则{y 12=8x 1，①y 22=8x 2，②，由②﹣①得，（y 2+y 1）（y 2﹣y 1）＝8（x 2﹣x 1）， ∴y 2−y 1x 2−x 1=8y 2+y 1．又∵y 1+y 2＝﹣2，∴k AB =y 2−y1x 2−x 1=8y 2+y 1=8−2=−4．∴弦所在直线的方程为y +1＝﹣4（x ﹣1），即4x +y ﹣3＝0．18．（12分）已知△ABC 为等腰直角三角形，且∠C ＝90°，若A ，C 的坐标分别为（0，4），（3，3）． （1）求点B 的坐标；（2）求过点B 与AC 所在边平行的直线方程． 解：（1）设B 点坐标为（x ，y ），根据题意可得{k AC k BC =−1，|BC|=|AC|，即{3−43−0⋅y−3x−3=−1，√(x −3)2+(y −3)2=√(0−3)2+(4−3)2，解得{x =2y =0或{x =4y =6，所以B （2，0）或B （4，6）； （2）由题知k AC =4−30−3=−13；当B （2，0）时，直线为：y =−13(x −2)，即x +3y ﹣2＝0． 当B （4，6）时，直线为：y −6=−13(x −4)，即x +3y ﹣22＝0．故所求直线为x +3y ﹣2＝0或x +3y ﹣22＝0．19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体OABC ﹣O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤2，以O 为原点建立空间直角坐标系O ﹣xyz ．（1）求证：A 1F ⊥C 1E ；（2）若x ＝1，求cos〈EF →，EA 1→〉的值．证明：（1）以O 为原点，以AO ，OC ，OO 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，A 1（2，0，2），F （2﹣x ，2，0），C 1（0，2，2），E （2，x ，0），则A 1F →=(−x ，2，−2)，C 1E →=(2，x −2，−2)，∴A 1F →⋅C 1E →=−2x +2(x −2)+4=0，∴A 1F →⊥C 1E →，即A 1F ⊥C 1E ．（2）解：当x ＝1时，E （2，1，0），F （1，2，0），A 1（2，0，2），则EF →=(−1，1，0)，EA 1→=(0，−1，2)，故cos〈EF →，EA 1→〉=EF →⋅EA 1→|EF →||EA 1→|=−1×0+1×(−1)+02×5=−√1010． 20．（12分）已知圆E 经过点A （0，0），B （2，2），且与y 轴相切．（1）求圆E 的方程；（2）求过点P （4，3）的圆E 的切线方程．解：（1）设圆E 的方程为：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，结合题意可得{|a|=r a 2+b 2=r 2(2−a)2+(2−b)2=r 2，解得{a =2b =0r =2，所以圆E 的方程为（x ﹣2）2+y 2＝4；（2）因为（4﹣2）2+32＝13＞4，所以点P 在圆E 外，①若过点P （4，3）的直线斜率不存在，直线方程为x ＝4，圆心E （2，0）到直线x ＝4的距离为2，等于圆的半径，符合题意；②若过点P （4，3）的直线斜率存在，则设切线方程为y ﹣3＝k （x ﹣4），即kx ﹣y ﹣4k +3＝0， 结合圆E 的方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，圆心E （2，0），半径r ＝2，可知圆心到切线的距离d =|2k−4k+3|√k +1=|−2k+3|√k +1=2，解得k =512，此时的切线方程为5x ﹣12y +16＝0．综上所述，过点P （4，3）的圆E 的切线方程为x ＝4或5x ﹣12y +16＝0．21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的实轴长为2．（1）若双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，求双曲线方程；（2）设F 1、F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，且PF 1→⋅PF 2→=0，△PF 1F 2的面积为9求C 的标准方程．解：（1）因为双曲线C 的实轴长为2，∴2a ＝2，∴a ＝1，又双曲线一条渐近线方程为y ＝2x ，即ba =2，∴b ＝2，则双曲线方程为：x 2−y 24=1． （2）双曲线定义可得：||PF 1|﹣|PF 2||＝2a ＝2，∵PF 1→⋅PF 2→=0，∴PF 1⊥PF 2，∵△PF 1F 2的面积为9，∴|PF 1||PF 2|＝18，且|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2，∴4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|−|PF 2|)2+2|PF 1||PF 2|=40，∴c 2＝10，∴b 2＝10﹣1＝9，∴b ＝3，故双曲线C 的标准方程为：x 2−y 29=1． 22．（12分）如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)两焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）且经过点A （0，﹣1）．（1）求椭圆E 的离心率e 与椭圆方程；（2）经过点（1，1），且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q （均异于点A ），求证：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．解：（1）因为椭圆E 的两焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）且经过点A （0，﹣1）， 所以c ＝1，b ＝1，又a 2＝b 2+c 2，解得a =√2，则椭圆E 的离心率e =c a =√22，椭圆的方程为x 22+y 2=1； （2）易知直线PQ 的方程为y ＝k （x ﹣1）+1（k ≠0且k ≠2），联立{y =k(x −1)+1x 22+y 2=1，消去y 并整理得（1+2k 2）x 2﹣4k （k ﹣1）x +2k （k ﹣2）＝0， 此时Δ＞0，不妨设P （x 1y 1），Q （x 2y 2），x 1x 2≠0． 由韦达定理得x 1+x 2=4k(k−1)1+2k 2，x 1x 2=2k(k−2)1+2k 2， 则直线AP 与AQ 的斜率之和k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+2−k x 1+kx 2+2−k x 2=2k +(2−k)(1x 1+1x 2)=2k +(2−k)x 1+x 2x 1x 2=2k +(2−k)4k(k−1)2k(k−2)=2k −(2k −2)=2． 故直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2．。
河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知直线l 的倾斜角α满足60135α︒<≤︒，则l 的斜率k 的取值范围是（）A ．[-B ．[C ．(,1])-∞-+∞D ．(,(1,)-∞-+∞2．已知双曲线22:1916x y C -=的左焦点为F ，点P 在双曲线C 的右支上，M 为线段FP 的中点，若M 到坐标原点的距离为6，则||PF =（）A ．6或18B ．18C ．8或20D ．223．设方程22128x y k k+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（）A ．(2,5)B ．(2,8)C ．(5,8)D ．(8,)+∞4．若椭圆22137x y +=的焦点与双曲线2212y x m-=的焦点重合，则m 的值为（）A ．4B ．4-C ．2-D ．25．若圆221:230O x y x ++-=与圆222:210O x y y +--=交于A ，B 两点，则弦||AB 长为（）AB ．C ．2D ．46．如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，点M 在OA 上，且为OA 上靠近A 点的三等分点，点N 为BC 中点，则MN 等于（）A ．211322a b c -++ B ．111222a b c +- C ．221332a b c +- D ．221332a b c -+-7．已知动点(,)P x y 满足|345|x y =+-，则动点P 轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线8．已知椭圆具有知下性质：若圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则椭圆上一点00(,)P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=.试运用该性质解决以下问题：若椭圆22:194x y C +=，点A 为椭圆C 在第一象限内的任意一点，过点A 作椭圆C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于M ，N 两点，则OMN 面积的最小值为（）A ．3B ．6C ．9D ．189．已知双曲线()222210x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为π3，则此双曲线的离心率为（）A ．2BCD 二、多选题10．设a 为实数，直线1:210l ax y ++=，2:(2)(1)30l a x a y --++=，则（）A ．1l 恒过点(2,1)-B ．若12l l //，则4a =-或1a =C ．若12l l ⊥，则4a =-或0D ．当1a ≤-时，2l 不经过第二象限11．过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与C 相交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，直线PQ 的倾斜角为θ，若||PQ 的最小值为4，则（）A ．F 的坐标为(1,0)B ．若||8PQ =，则π4θ=C ．若(2,1)A ，则||||PA PF +的最小值为3D ．OPQ △面积的最小值为2三、填空题12．已知向量()2,3,1a =- ，()1,2,2b = ，则a 在b 上的投影向量为.13．点A ，B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，M 是椭圆上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为59-，则椭圆C 的离心率为.14．已知圆22:680C x y y +-+=，M 是圆C 上的任意一点，P 为直线:10l x y --=上任意一点，点(2,1)Q -，则||||1PM PQ ++的最小值为.四、解答题15．已知空间中三点(2,1,1)A -，(1,1,0)B ，(4,3,3)C -.设a AB = ，b AC = .(1)求2a b - 和|2|a b + ；(2)若2ka b - 与k + a b 互相垂直，求实数k 的值.16．已知圆E 经过点(0,0)A ，(4,4)B ，且与y 轴相切，直线l 恒过(2,3)Q .(1)求圆E 的方程；(2)直线l 与圆E 相交于M ，N 两点，且||MN =时，求l 的方程.17．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>F 到渐近线的距离为1.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)直线:1l y kx =-与双曲线E 的左支交于不同两点，求实数k 的取值范围.18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()()004,0P y y >在抛物线C 上，且5PF =.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()1,4Q -的直线与抛物线C 交于A ，B 两点（均与点P 不重合），设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.19．动点M 与定点F 的距离和它到定直线:m x =2，(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)若直线l 过点(0,1)Q -，且与C 交于A ，B 两点，当||AB 最大时，求直线l 的方程.。
追梦名校2022河南省普通初中招生考试模拟试卷数学(四)
追梦名校2022河南省普通初中招生考试模拟试卷数
学(四)
1.已知集合A={1，2，3}，B={2,3,4},则AUB=（）
A {2,3}
B {1,4} C{1,2,3,4} D{1,3,4}
2.已知平面α∥平面β，直线m ?平面α，那么直线m 与平面β的关系是（）
A.直线m 在平面β内
B.直线m 与平面β相交但不垂直
C.直线m 与平面β垂直
D.直线m 与平面β平行
3.设函数的图象过点（1，2），则反函数的图象过点（）。
A.（1，2）
B.（-1，-2）
C.（-2，-1）
D.（2，1）
4.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个相交平面的位置关系是（）。
A.异面
B.相交
C.平行
D.平行或相交
5.建造一个容积为8，深为2的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为
A.1700元
B.1720元
C.1740元
D.1760元
6.已知命题：①过与平面α平行的直线a 有且仅有一个平面与α平行；
②过与平面α垂直的直线a 有且仅有一个平面与α垂直．则上述命题中正确的是（）。
A.①正确，②不正确
B.①不正确，②正确
C.①②都正确
D.①②都不正确
7.已知三个平面两两互相垂直并且交于一点O ,点P 到这三个平面的距离分别为1、2、3,则点O 与点P 之间的距离是（）。
A.14
B.2
C.6
D.32。
河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2022-2023学年高一下学期期中数学试题
D．横坐标伸长到原来的
2
倍，再向左平移
π 8
个单位
8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图 1 是一张由
卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图 2 中正六边形 ABCDEF 的边长为 4，圆 O 的
圆心为该正六边形的中心，圆 O 的半径为 2，圆 O 的直径 MN ∥ CD ，点 P 在正六边形
上有且仅有两个零点，则
的取值范围
是
．
四、解答题
17．（1）在
ABC
中，点
D
在
BC
边上且
BD
2CD
0
，以向量
AB
，
AC
为基底，表示
向量 AD ．
（2）已知空间向量
a,
b
，且
AB
a
2b
， BC
5a
6b
，CD
7a
2b
，求证：A、B、
D 三点共线．
18．已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P(1, 2) ．
A．2 3 km/h
B．2 km/h
C． 3 km/h
D．3 km/h
7．为了得到 y sin x 的图象，则需将 f (x) sin(2x π ）的图象（ ） 4
A．横坐标缩短到原来的
1 2
，再向右平移
π 4
个单位
B．横坐标缩短到原来的
1 2
，再向左平移
π 8
个单位
C．横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 π 个单位 4
D． 3 ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角
2023-2024学年河南省逐梦计划高二数学(下)期中考试卷附答案解析
2023-2024学年河南省逐梦计划高二数学（下）期中考试卷（试卷总分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．对两个变量y 与x 进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r 如下，其中拟合效果最好的模型是（）A ．模型Ⅰ：相关系数r 为0.96-B ．模型Ⅱ：相关系数r 为0.81C ．模型Ⅲ：相关系数r 为0.53-D ．模型Ⅳ：相关系数r 为0.532．已知数列{}n a 满足15a =，15n n a a +=+，若20n a =，则n 等于（）A ．3B ．4C ．5D ．63．设函数()sin f x x =，则0ππ33lim x f f x x→⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．1B ．12CD4．已知x 与y 之间的一组数据：x 0123y2356则y 与x 的线性回归方程 Y bXa =+ 必过（）A ．()2,2B ．()1.5,3.5C ．()1,2D ．()1.5,45．我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是（）A ．145B ．165C ．185D ．1956．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”如()21101表示二进制数，将它转换成十进制的形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，那么将二进制数1511111位转换成十进制的形式是（）A ．1622-B ．1522-C ．1521-D ．1422-7．过点()1,3P -且与曲线2342y x x =-+在点()1,1M 处的切线平行的直线方程为（）A ．250x y ++=B ．250x y --=C ．250x y -+=D ．250x y +-=8．某医院购买一台大型医疗机器价格为a 万元，实行分期付款，每期付款b 万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a ，b 满足（）A ．12b a =B ．()121215b a =+‰C ．()1215b a =+‰D ．()121215a b a <<+‰二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列求导正确的是（）A ．()1ln1010'=B ．()22ln 2x x '=C ．()e e x x'=D ．()cos sin x x'=10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法正确的是（）A ．若221n S n =+，则{}n a 是等差数列B ．若71nn S =-，则{}n a 是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则13713S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10a >，0q >，则2132S S S ⋅>11．已知某物体的运动方程为()284s t t =+（05t ≤≤），则（）A ．该物体在13t ≤≤时的平均速度是32B ．该物体在4t =时的瞬时速度是64C ．该物体位移的最大值为34D ．该物体在5t =时的瞬时速度是80三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程为13．在等比数列{}n a 中，41S =，83S =，则17181920a a a a +++=.14．由下列数阵可以看出，第n 行最右边的数是2n ，那么第20行所有数的和是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15．随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：物理方向历史方向总计男生13a 23女生72027总计bc50(1)计算a ，b ，c 的值；(2)问是否有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？附：()()()()()22n ad bc x a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()20P k χ≥0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816．已知曲线()23y f x x x ==-，求：(1)()y f x =的导数；(2)曲线在点()()1,1P f 处的切线方程.17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +=+（*n ∈N ）.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列1n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18．习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x 天的高度为ycm ，测得一些数据图如下表所示：第x 天14916253649高度y /cm479111213作出这组数的散点图如下(1)请根据散点图判断，y ax b =+与y d =中哪一个更适宜作为幼苗高度y 关于时间x 的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测第144天这株幼苗的高度(结果保留1位小数).附：1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-参考数据：19．已知数列{}n a 中，10a =，12n n a a n +=+，（*n ∈N ）.(1)求证：数列{}11n n a a +-+是等比数列.(2)求数列{}n a 的通项.(3)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较1n a +与n S 的大小.1．A【分析】根据相关系数与拟合效果的关系即可求解.【详解】相关系数||r 越大，拟合效果越好.故选：A.2．B【分析】根据等差数列的定义求得通项公式，即可求得n 的值.【详解】由15n n a a +=+可得，15n n a a +=-，数列{}n a 为等差数列，且公差d 为5.所以1(1)5n a a n d n =+-=，令520n a n ==，所以4n =.故选：B.3．B【分析】根据导数的定义，结合基本初等函数的导数，求解即可.【详解】()sin f x x =，故可得()f x 'cos x =，又0ππ33lim x f f x x→⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=π(3f 'π1cos 32==.故选：B.4．D【分析】利用线性回归方程 Y bXa =+ 必过样本中心点即可判断.【详解】因为0123 1.54x +++==，235644y +++==，所以y 与x 的线性回归方程 y bxa =+ 必过()1.5,4.故选：D 5．D【分析】构造等差数列，结合等差数列前n 项和以及通项公式基本量的计算，根据已知条件，求解即可.【详解】设n a 表示给第n 个人给的钱，由题可知，数列{}n a 为首项3，公差为1的等差数列；又123100n a a a a n ++++= ，故()1311002n n n n -+⨯=，即131002n -+=，解得195n =.故选：D.6．C【分析】结合题意，运用等比数列求和公式计算即可得.【详解】14151413015121212121221112⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯+⨯++⨯==-- .故选：C.7．C【分析】根据导数几何意义，求得所求直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求得结果.【详解】因为2342y x x =-+，故y '64x =-，则y '12x ==，即所求直线斜率为2，则过点()1,3P -，斜率为2的直线方程为：()321y x -=+，即250x y -+=.故选：C.8．D【分析】由题意可得()()122111 1.005 1.005 1.00510.005b a ++++=+ ，结合放缩即可得解.【详解】()()122111 1.005 1.005 1.00510.005b a ++++=+ ，由2111 1.005 1.005 1.00512++++> ，故()121215b a <+‰，()()21121112121 1.005 1.005 1.0051 1.005 1.005 1.0051.00510.005b a b ++++⎛⎫++++== ⎪+⎝⎭，由2111212121 1.005 1.005 1.005121.005121.005 1.005++++⨯<= ，故12a b <，即有()121215a b a <<+‰.故选：D.9．BC【分析】根据导数运算法则，对每个选项进行逐一求解，即可判断和选择.【详解】对A ：()ln100'=，故A 错误；对B ：()22ln 2x x '=，故B 正确；对C ：()e e x x '=，故C 正确；对D ：()cos sin x x '=-，故D 错误.故选：BC.10．BC【分析】根据等差数列，等比数列的定义，以及其性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：221n S n =+，当2n ≥时，()21211n S n -=-+，两式作差可得：当2n ≥时，42n a n =-；又113a S ==，不满足上式，故42,23,1n n n a n -≥⎧=⎨=⎩，故数列{}n a 不为等差数列，A 错误；对B ：71n n S =-，当2n ≥时，1171n n S --=-，两式作差可得：当2n ≥时，167n n a -=⋅；又116a S ==满足167n n a -=⋅，故1670n n a -=⋅>，且17n na a +=，故数列{}n a 为等比数列，B 正确；对C ：{}n a 是等差数列，故()11313713132a a S a +==，故C 正确；对D ：{}n a 是等比数列，且10a >，0q >，不妨取11a q ==，故2221312134S S a S a ⋅=<=，故D 错误.故选：BC.11．ABD【分析】由平均速度的定义sv t∆=∆代数计算可得A 正确；由导数的意义计算可得BD 正确；求导后判断单调性，再求最值可得C 错误.【详解】A ：该物体在13t ≤≤时的平均速度是()()()228348143132312s s ´+-´+-==-，故A 正确；B ：()16s t t ¢=，所以该物体在4t =时的瞬时速度是16464⨯=，故B 正确；C ：因为()16s t t ¢=，05t ≤≤，所以()0s t ¢³恒成立，故()s t 在[]0,5上为增函数，所以()()2max 5854204s t s ==´+=，故C 错误；D ：()16s t t ¢=，所以该物体在5t =时的瞬时速度是()516580s ¢=´=，故D 正确；故选：ABD.12．【详解】设回归直线方程为y ∧=1.23x+a ．所以5 1.2340.08a a =⨯+⇒=，所以回归直线方程为13．16【分析】利用等比数列{}n a 中性质48412816122016S S S S S S S S S ----，，，，成等比数列得解【详解】41S = ，83S =48412816122016S S S S S S S S S ---- ，，，，成等比数列448420164431=()1()161S S S S S S --∴-⨯=⨯=故答案为：16【点睛】本题考查等比数列和的性质．当1q ≠-或q ＝1且k 为奇数时k k k k k S S S S S ⋯--232，，，是等比数列，其公比为.k q 14．14859【分析】根据数阵排列与等差数列求和即可求解.【详解】因为第n 行最右边的数是2n ，所以第19行的最后一个数为219361=，第20行的第一个数为362，又因为第20行的最后一个数为220400=，由数阵的排列可得，第20行共有400362139-+=个数，所以第20行所有数字之和为(362400)39148592+⨯=.故答案为：1485915．(1)10a =，20b =，30c =(2)有95%的把握认为选修物理方向和历史方向是否与性别有关【分析】（1）借助列联表数据计算即可得；（2）计算卡方，与3.841比较大小即可得.【详解】（1）由1323a +=，得10a =，由24a c +=，得102030c =+=，由50b c +=，得503020b =-=；（2）()22501320107 4.844 3.84123272030x ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因为()23841.0.05P x ≥=，故有95%的把握认为选修物理方向和历史方向是否与性别有关．16．(1)()61f x x '=-；(2)530x y --=.【分析】（1）利用导数的定义，结合()f x 解析式，求解即可；（2）根据（1）中所求导数，结合导数的几何意义以及直线的点斜式方程，直接求解即可.【详解】（1）()()y f x x f x ∆=+∆-()()()2233x x x x x x =+∆-+∆--()236x x x x =∆+∆-∆；故()236361x x x xy x x x x∆+∆-∆∆==∆+-∆∆；则()()()()00limlim 36161x x f x x f x f x x x x x∆→∆→+∆-'==∆+-=-∆．故()61f x x '=-．（2）切线的斜率为函数()23y f x x x ==-在1x =处的导数，又()16115f =⨯-='，()12f =所以曲线在点()1,2的切线方程为()251y x -=-，即530x y --=.17．(1)12n n a -=；(2)1362n n n T -+=-.【分析】（1）根据递推公式，判定{}n a 为等比数列，结合等比数列的通项公式，直接写出即可；（2）根据（1）中所求n a ，利用错位相减法，结合等比数列的前n 项和公式，求解即可.【详解】（1）因为121n n S S +=+（*n ∈N ）所以，当2n ≥时，121n n S S -=+（*n ∈N ），两式相减得，12n n a a +=，即，当2n ≥时12n na a +=，又当1n =时，211a a =+，而11a =，则212a a =，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=.（2）由（1）得12n n a -=，则1112n n n n a -++=.则012123412222n n n T -+=++++ ，123112*********n n n n n T -+=+++++ ，两式相减得12311111112222222n n n n T -+=+++++- ，即11113213122212n nn n n n T -++=+-=--，所以，1362n n n T -+=-.18．(1)y d =更适宜作为幼苗高度y 关于时间x 的回归方程类型；(2)3ˆ7y=；预测第144天幼苗的高度大约为24.9cm.【分析】（1）根据散点图，可直接判断出结果；（2）先令μ=y 与μ的数据对，根据新的数据对，求出4μ=，8y =，再由最小二乘法求出ˆˆ,c d，即可得出回归方程，从而可求出预测值.【详解】解：(1)根据散点图，y d =更适宜作为幼苗高度y 关于时间x 的回归方程类型；(2)令μ=y d =构造新的成对数据，如下表所示：y 0479111213容易计算，4μ=，8y =.通过上表计算可得：因此12128374859ˆ14071628μμμμ==--⨯⨯===-⨯-∑∑n i i i n i i yn y c n ∵回归直线ˆyc d μ=+过点(μ，y )，∴3ˆˆ7dy c μ=-=-，故y 关于μ的回归直线方程为3ˆ7y =从而可得：y 关于x 的回归方程为3ˆ7y=-令x =144，则174ˆ24.97y =≈，所以预测第144天幼苗的高度大约为24.9cm.【点睛】本题主要考查非线性回归方程，先将问题转化为线性回归方程，根据最小二乘法求出参数的估计值，即可得出结果，属于常考题型.19．(1)证明见解析.(2)21n n a n =--（*n ∈N ）.(3)1n n S a +<.【详解】（1）∵10a =，12n n a a n +=+（*n ∈N ），∴2121011a a =+=+=，由10a =，令11n n n b a a +=-+，此时121120b a a =-+=≠，则当2n ≥时，11111n n n n n n b a a b a a +---+=-+()1111211211111n n n n n n n n n n n n a a a a n a a n a a a a a a ----+-+++-+++===-+-+-+()112121n n n n a a a a ---+==-+,又因为12112b a a =-+=，故数列{}11n n a a +--是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）得1222n n n b -=⨯=，即112n n n a a +-+=则121nn n a a +-=-,12121a a -=-，23221a a -=-，……1121n n n a a ---=-.累加法得：()12112221n n a a n --=+++-- ()()1212112n n -⋅-=---.则21n n a n =--.故数列{}n a 的通项公式为21n n a n =--（*n ∈N ）.（3）因为21n n a n =--.所以()()21221122n n n n S -++=--213222n n n++=--.()2111322222n n n n n nS a n ++++-=-----202n n+=-<.当1n ≥时，1n n S a +<.。
2022年 追梦计划数学配套精选
2021年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区〔“追梦方案〞〕招生考试数学与逻辑试卷〔试卷总分值：150分考试时间：12021〕学校姓名准考证号注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置．一、选择题本大题共10小题，每题4分，共 40分；在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．以下说法错误的选项是．．．．．．〔★★★〕A．三个小球装入两个盒子，那么必有一个盒子所装球的个数不小于B．某班的第一组有个同学，那么必有两个同学的生日月份相同C．天气预报中预报“明天降水概率为80%〞，是指明天该地区有80%的地方降水，有2021地方不降水D．如果，那么2．关于函数，以下说法不．正确的选项是．．．．．．〔★★★〕A．随的增大而减少 B．函数的图象位于第一、三象限C．假设，那么 D．点在此函数的图象上3．为了了解某班学生每天使用零花钱的情况，小红随机调查了15名同学，结果如下表：那么这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是〔★★★〕A．3，3 B．2，3 C．2，2 D．3，54．以下结论正确的选项是〔★★★〕A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形5．设，，，，那么这四个数按从小到大的顺序排列正确的是〔★★★〕A． B． C． D．6．二次函数，当时，函数的最大值是〔★★★〕A． B． C． D．7．满足,那么的值是〔★★★〕A． B． C． D．8．把一枚六个面编号分别为，，，，，的质地均匀的正方体骰子先后投掷次，第一次正面朝上的编号记为，第二次正面朝上的编号记为，那么二次函数的图象与轴有两个不同交点的概率是〔★★★〕A． B． C． D．9．如图，将沿方向平移得到．如果，，，那么图中阴影局部面积为〔★★★〕A． B．C． D．10．如图,动点从原点出发，沿如下的路径运动：，我们称为第一次运动后的位置，为第二次运动后的位置，…，那么该动点第次运动后的位置是〔★★★〕A． B．C． D．二、填空题本大题共5小题，每题4分，共 2021请将正确答案填在答题卡相应位置11．菱形中，对角线那么菱形的周长为★★★．12．假设关于的方程无解，那么实数的值为★★★．13．甲、乙、丙三位老师，其中一位是语文老师，一位是数学老师，一位是外语老师．根据以下信息：1 甲不是外语老师；2 外语老师是一个学生的哥哥；3 丙是一个女的，比数学老师年轻．可以断定乙是★★★老师．14．如图，在中，，，那么★★★．15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在双曲线上，连接，过点作的平行线交双曲线于，那么点的横坐标为★★★．三、解答题本大题共7小题，共90分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤16．〔本小题总分值14分〕⑴计算：⑵先化简后求值：当时，求代数式的值．17．〔本小题总分值12分〕如图，在中，,是的直径，⑴求的长；⑵求劣弧的长．18．〔本小题总分值12分〕某公司销售一款新款服装，假设出口销往国外，每件服装的利润为元；假设在国内销售，销售价格〔元/件〕与月销量〔件〕的函数关系式为:，每件服装的本钱为元．设在国内销售月利润为〔元〕〔利润=销售额－本钱〕．⑴当时，= 元/件，= 元；⑵求出与之间的函数关系式〔不必写的取值范围〕；⑶如果某月公司要将件服装全部销售完〔可以出口，也可以内销〕，请你通过分析帮公司决策，应将多少件服装出口外销，多少件服装放在国内销售可以获得最大的利润？最大利润是多少？19．〔本小题总分值12分〕对于三个数，我们用表示这三个数的平均数，表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数．例如：，，．⑴假设，求的取值范围；⑵是否存在实数，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．2021本小题总分值14分〕如图①，和都是等腰直角三角形，，是线段的中点，点在线段上．⑴求证：≌；⑵假设是线段的中点，是线段的中点，求证：是等腰直角三角形；⑶将绕点逆时针旋转〔〕后，记为〔如图②〕，假设是线段的中点，是线段的中点，试猜想的形状．〔要求直接写出结论，不要求证明〕图①图②21．〔本小题总分值17分〕在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，连接，．⑴求抛物线的解析式；⑵如图①，是线段上一点，设、的面积分别为、，假设此时以为圆心的圆与轴相切，求该圆的半径；⑶如图②，点是抛物线上的一动点，且在第一象限内，是否存在点，使四边形的面积是面积的4倍？假设存在，请求出点的坐标；假设不存在，请说明理由．⑷如图③，为线段上一动点，为抛物线对称轴上一动点，连接，，，试求的最小值，并求出此时点的坐标．图①图②图③22 〔本小题总分值9分〕数学科普名著选读——摘自?漫话数学? 张景中院士、任宏硕教授献给中学生的礼物连续函数的介值定理多数人认为，自己感到极为困难的数学问题，到了数学家手里，简直不费吹灰之力．可是很少人知道，自己看来显而易见的事，在一些数学家眼中，却蕴含了深刻的困难．用笔在纸上画一个圈，这个圈把纸平面分成了两局部——圈内与圈外．放一只小蚂蚁在圈内，它如果不经过圈上的某个点，就不能爬出去。
2022年 追梦计划数学答案配套精选46
2021年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区〔“追梦方案〞〕招生考试数学与逻辑参考答案一、选择题〔本大题共10小题，每题4分，共40分〕二、填空题〔本大题共5小题，每题4分，共202111． 12． 13．14． 15．三、解答题〔本大题共7小题，总分值90分〕16 〔1〕解：原式……………………………………4分………………………………………………………6分〔2〕解：原式…………4分………………………………………………………6分当时，原式………………………………………8分17．证明：〔1〕矩形的对角线交于点为中点为中点…………………………………………………2分中，为边上的中位线∴∥，……………………………………4分又∥四边形为平行四边形…………………………………6分〔2〕矩形中，∥………………………………………8分中，矩形中，即∴…………………………………………………10分在和中∽……………………………………………12分18．解：1∵该一次函数为正比例函数∴∴………………………………………………………………2分2 过作轴，垂足为∵∴∵∴在中，，即∴，点的坐标为………………………………………4分∵点在反比例函数图像上∴∴反比例函数的解析式为，……………………………………6分∵在反比例函数图像上∴∴，点的坐标为…………………………………7分把代入一次函数解析式得解得∴一次函数的解析式为………………………………………10分∴一次函数的特征数为，反比例函数的特征数为………12分19．1证明：中，同理中，……2分中，…………………………………3分…………………………………4分即……………………………5分2解：证明如下：……………………6分在和中，≌…………………………8分………………………………………9分假设，那么、又∵是等边三角形………………………………………10分∴又∵∴………………………………12分2021：过点作于点，……………………1分由题意知，点在一条直线上………2分中，……6分∥中，中，……………………10分在中，旗杆的高度为米………………………12分21．解：；；；………………………………………………5分将以上各式分别相加得：……7分移项整理得：……9分………………………………………11分………………………………………………………12分22．解：1依题意得解得……………………………………………………………3分∴该二次函数的解析式为……………………………4分2依题意得，设…………………5分∵过三点，交轴于另一点∴∴在的垂直平分线上∴……………………………………………………………………6分∵∴由勾股定理得解得∴………………………………………………………………8分同样设，由根据勾股定理可得∴………………………………………………………………10分3过作轴，垂足为，作轴，垂足为∵∴∵轴，轴∴在和中∴≌∴又∵∴∴∵∴在和中∴≌∴………………………………………………………………13分假设为等腰三角形，那么有①当，即时，∵∴∴②当，即时，∵∴∴③当时，设，那么，由，得此时∴∴综上所述，点的坐标为或或…………16分。
2021-2022学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题 1．复数3i1iz -=-等于（ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -【答案】A【分析】由复数的除法法则计算．【详解】23i (3i)(1+i)33i i i 2i 1i (1i)(1+i)2z --+--====+--． 故选：A ．2．用三段论推理命题：“任何实数的平方都大于，因为是实数，所以”你认为这个推理． A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确【答案】A【详解】：任何实数的平方大于0，这句话是错误的，所以导致后面的结论是错误的，因此大前提错误．3．已知x 与y 之间的一组数据如下表： x 1 2 3 4 y 3 5 7 9则y 与x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+必过点（ ）A ．(1,2) B ．(1.5,4)C ．(2,2)D ．(2.5,6)【答案】D【分析】由线性回归方程经过样本中心点，即可判断. 【详解】进行数据分析，可得：()11234 2.54x =+++=，()1357964y =+++=. 所以y 与x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+必过点(2.5,6). 故选：D4．经过极点倾斜角为α的直线的极坐标方程是（ ） A ．θα=B ．θαπ=+C ．θα=或θαπ=+D ．2πθα=+【答案】C【分析】根据极坐标系的概念即可得到. 【详解】因为直线经过极点且倾斜角为α， 所以直线的极坐标方程为θα=或θαπ=+ 故选：C【点睛】本题考查了极坐标方程的概念，属于容易题.5．运行如下程序框图，如果输入的,3[]2t ∈-，则输出S 的取值范围是（ ）A ．[12,3]-B ．[6,3]-C ．[12,4]-D ．[6,4]-【答案】D【分析】将区间根据t 是否小于1，进行分类讨论，分段代入求解函数取值范围即可. 【详解】①当21t -≤<时，=3S t ，所以S 取值范围是[)6,3-； ②当13t ≤≤时，22=4=+4S t t t t --， 当4=222(1)b t a -=-=⨯-时，S 取得最大值为22+42=4-⨯； 当=1t 或=3t 时，S 取得最小值为21+41=3-⨯； 所以S 取值范围是[]3,4； 综上所述，S 取值范围是[]6,4-， 故选：D.6．用反证法证明命题：“已知90++>a b c ，求证a ，b ，c 中至少有一个大于30”时，要做的假设是（ ） A ．a ，b ，c 都大于30 B ．a ，b ，c 至多有一个大于30 C ．a ，b ，c 不都大于30 D ．a ，b ，c 都不大于30【答案】D【分析】根据反证法的定义，进行判断即可.【详解】反证法：首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证；所以，该题要做的假设是：a ，b ，c 都不大于30. 故选：D7．观察下列各式：223344551,3,4,7,11,a b a b a b a b a b +=+=+=+=+=则8899+++=a b a b （ ）A ．47B ．76C ．123D ．199【答案】C【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，……，其规律为从第三项开始,后一项分别等于前两项的和，即可求得.【详解】由223344551,3,4,7,11,a b a b a b a b a b +=+=+=+=+=,可知从第三项开始,后一项分别等于前两项的和, 所以6677889971118111829,182947,294776a b a b a b a b +=+=+=+=+=+=+=+=，，所以8899+++=a b a b 123. 故选：C.8．2022年普通高中招生体育考试满分确定为100分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到满分的概率分别是0.7，0.8，0.75，则三人中至少有一人满分的概率为（ ） A ．0.015 B ．0.985 C ．0.995 D ．0.42【答案】B【分析】设出每一个每一个考生达标的事件，并求其对立事件的概率，根据相互独立事件的概率的和事件求解出答案.【详解】设 “甲考生满分” 为事件A ， “乙考生满分” 为事件B ， “丙考生满分” 为事件C ，则()0.7P A =，()0.8P B =，()0.75P C =，()10.70.3P A =-=，()10.80.2P B =-=，()10.750.25P C =-=，设 “三人中至少有一人满分” 为事件D ，则()()110.30.20.2510.0150.985P D P ABC =-=-⨯⨯=-=. 故选：B.9．已知两圆的极坐标方程分别是6sin ρθ=和8cos ρθ=，两个圆的圆心距离是（ ）A ．2BC ．5D 【答案】C【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心坐标即可计算作答.【详解】在直角坐标系中，极点与坐标原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合，并且单位长度一致，圆6sin ρθ=的直角坐标方程为：2260x y y +-=，其圆心1(0,3)O ， 圆8cos ρθ=的直角坐标方程为：2280x y x +-=，其圆心2(4,0)O ，则12||5O O =， 所以两个圆的圆心距离是5. 故选：C10．若直线l 的参数方程为2334x ty t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角的余弦值为（ ）A ．45-B ．35 C ．35D ．45【答案】B【分析】先将直线l 的参数方程化为一般方程，可得出斜率4tan 3k α==-，则直线l 的倾斜角的余弦值可求.【详解】解：设直线l 的倾斜角为α，由题意23431034x tx y y t =-+⎧⇒+-=⎨=-⎩， ∴4tan 3k α==-，(,)2πθπ∈，∴3cos 5α=-．故选：B ．【点睛】考查直线的参数方程化一般方程，以及直线的倾斜角α.题目较为简单. 11．我们知道：在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为d ，通过类比的方法，则：在空间中，点(2,4,5)到平面2210+++=x y z 的距离为（ ）A ．7B ．5C ．3D ．【答案】A【分析】类比平面内点到直线的距离公式，计算空间中点到直线2210+++=x y z 的距离．【详解】平面内点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式d ，类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(2,4,5)到直线2210+++=x y z 的距离为：7213d ===. 故选：A12．对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的“上确界”，若a ，b 均大于0，且1a b +=，则133--a b的“上确界”为（ ） A ．169-B ．14-C ．4-D ．163-【答案】D【分析】利用基本不等式求出131633a b +≥，得到131633a b --≤-，即可求解. 【详解】因为a ，b 均大于0，且1a b +=，所以()13131311633333333a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪⎝⎭（当且仅当33a b b a =，即13,44a b ==时取“=”）， 所以131633a b --≤-. 所以133--a b 的“上确界”为163-. 故选：D 二、填空题13．已知i 为虚数单位，复数12,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，且132i z =-，则2z =_______．【答案】32i --【分析】根据132i z =-找到其在复平面内对应点坐标，再根据复数12,z z 在复平面内对应的点关于原点对称确定2z 在复平面内对应的点为(3,2)-，从而求出2z 的复数表达形式，根据共轭复数的特点求出2z =32i --.【详解】132i z =-在复平面内对应的点坐标为(3,2)-， 复数12,z z 在复平面内对应的点关于原点对称， 所以2z 在复平面内对应的点为(3,2)-， 所以23+2i z =-，所以2z =32i --， 故答案为：32i --.14．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”则乙的卡片上的数字是______. 【答案】2和3【分析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2． 【详解】由题意可知丙不拿2和3．若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意； 若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意． 故乙的卡片上的数字是2和3． 故答案为：2和3【点睛】本题主要考查推理，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．15．在极坐标系中，圆:2sin ρθ=-C 上的动点P 到直线:(cos sin )2l ρθθ+=的最短距离为__________．【分析】先把圆C 和直线l 化为直角坐标方程，利用几何法求出最小值.【详解】圆:2sin ρθ=-C 化为直角坐标方程为：()2211x y ++=，圆心()0,1C -,半径r =1.直线:(cos sin )2l ρθθ+=化为直角坐标方程为：20x y +-=.由几何法，动点P 到直线l 的最短距离为11d =-=.1 16．已知F 是曲线4sin cos 21x y θθ=⎧⎨=-⎩（θ为参数）的焦点，则定点(2,1)A 与点F 之间的距离||AF =______．【分析】结合余弦倍角公式，将参数方程化为直角坐标方程，根据抛物线标准方程结合两点之间的距离公式计算结果即可.【详解】因为4sin cos 21x y θθ=⎧⎨=-⎩，所以sin 4cos 21x yθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩ ， 又因为2cos 2=12sin θθ-，所以21=12()4x y +-⨯，所以22188x y x =-=-，所以28x y ，所以曲线是抛物线，且焦点为(0,2)-，定点(2,1)A 与焦点F三、解答题17．实数a 取什么值时，复数()()22z 21i =--+-a a a （i 是虚数单位）分别是：(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数；(4)表示复数z 的点在复平面的第二象限． 【答案】(1)1a =或1a =- (2)1a ≠且1a ≠- (3)2a = (4)12a <<【分析】根据复数的概念，对（1）（2）（3）分别列方程，求出对应的a 的取值范围； 根据复数的几何意义，列方程，求出a 的取值范围.【详解】(1)要使复数()()22z 21i =--+-a a a 为实数，只需210a -=，解得：1a =或1a =-， 即1a =或1a =-时复数z 是实数；(2)要使复数()()22z 21i =--+-a a a 为虚数，只需210a -≠，解得：1a ≠且1a ≠-， 即1a ≠且1a ≠-时，复数z 是虚数；(3)要使复数()()22z 21i =--+-a a a 为纯虚数，只需220a a --=且210a -≠，解得：2a =， 即2a =时，复数z 是纯虚数；(4)要使复数()()22z 21i =--+-a a a 对应的点在复平面的第二象限，只需220a a --<且210a ->，解得：12a <<， 即12a <<时，复数z 的点在复平面的第二象限． 18< 【答案】证明见解析.【分析】根据给定条件，利用分析法证明命题的步骤、方法推理作答. 【详解】即证22<，即证1313++<显然成立. 所以原不等式成立．19．在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为πcos 34ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求点B 到直线l 的距离． 【答案】(2)2.【分析】（1）在极坐标系下，利用余弦定理进行求解即可；（2）根据直角坐标方程与极坐标方程互化公式，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】(1)设极点为O ，在AOB 中，由余弦定理 得222||||||2||cos =+-∠AB OA OB OA OB AOB ，所以||AB ；(2)由πcos 34ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得ππcos cos sin sin 344ρθρθ+=，则直线l30-=x y，又B ， 则B 到直线l的距离2==d .20．某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的统计数据如下表：(1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()iii=12i i=1nnt t y y b t t --=-∑∑，ˆa y bt=-． 【答案】(1)ˆ0.5 2.3yt =+ (2)人均纯收入与年份呈正相关趋势，6.8千元【分析】（1）先求出平均数t ，y ，套公式求出ˆb和ˆa ，即可求出线性回归方程； （2）由线性回归方程判断出收入与年份呈正相关趋势，代入9t =，即可进行估计. 【详解】(1)由所给数据计算得1(1234567)47t =++++++=，1(2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9) 4.37y =++++++=，()721941014928ii tt=-=++++++=∑，()()71(3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)=--=-⨯-+-⨯-+-⨯-∑i ii t t yy 00.110.520.93 1.614+⨯+⨯+⨯+⨯=()()()7172114ˆ0.528ii i i i tty y bt t ==--===-∑∑，ˆˆ 4.30.54 2.3a y bt=-=-⨯=， 所求线性回归方程为ˆ0.5 2.3yt =+； (2)由线性回归方程知，2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入与年份呈正相关趋势依题意，2022年的年份代号9t =，将9t =代入到线性回归方程ˆ0.5 2.3yt =+中得ˆ 6.8y =千元21．我市连续两年举行了全民健身中短跑赛，为此某机构对人们参加中短跑运动的情况进行了统计调查，从参与运动的人中随机抽取200人，对其每周参与中短跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：若某人平均每周进行中短跑训练天数不少于5，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．(1)经调查，该市约有2万人参与中短跑运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；(2)根据上表的数据，填写下面的22⨯列联表，并通过计算判断能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“热烈参与者”与性别有关？附公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++（n为样本容量）【答案】(1)4000(2)列联表见解析，能【分析】（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，再乘以20000可得答案；（2）根据已知数据完成22⨯列联表，计算出2K，与参考值比较可得答案.【详解】(1)以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市“热烈参与者”的人数约为40 200004000200⨯=．(2)22⨯列联表为22200(35451155)4.17 3.8414016015050⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯K，故能在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“热烈参与者”与性别有关．22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为11x tty tt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数），以坐标原点极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin cos0θρθ-．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程：(2)若直线与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为(0,1)，求11||||PA PB+的值．【答案】(1)224x y-=，0x+=【分析】（1）消去参数t可得曲线C的方程，利用公式法转化得到直线l的直角坐标方程；（2）利用直线l的参数方程中t的几何意义求解.【详解】(1)∵11x tty tt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数），∴22222222112112x t tt ty ttt t⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+-⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y-=，所以曲线C的方程为224x y-=又∵cos xρθ=，sin yρθ=，0x--=所以直线l的直角坐标方程为0x=；(2)∵()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∵1||PA t =，2||PB t = ∴1212121111||||-+=+====t t PA PB t t t t， 所以11||||+=PA PB。
2021-2022学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高一下学期期中考试数学试题(理)(解析版)
河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（理）1．660(-︒= ) A ．133rad π-B ．256rad π- C ．113rad π- D ．236rad π-〖解 析〗116601803rad ππ-⨯=-． 〖答 案〗C2．在ABC ∆中，4a =，1b =，1cos 2C =，则ABC ∆的面积为( )A B ． C D ．1〖解 析〗1cos 2C =，∴sin C ==∴111sin sin 41222ABC S ab C ab C ∆=⋅=⋅=⨯⨯= 〖答 案〗C3．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，且0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是( ) A ．AO OD =B ．2AO OD =C ．3AO OD =D ．2AO OD =〖解 析〗D 为BC 边中点，∴2OB OC OD +=，0OA OB OC ++=，∴20OA OD +=，即2AO OD =．〖答 案〗B4．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,)a -，若120α=︒，则a 的值为( )A ．-B ．±C ．D 〖解 析〗角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边经过点(2,)a -，若120α=︒，则tan1202a︒==-a = 〖答 案〗C5．函数y =( ) A ．[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ B ．[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈ C ．2[2,2]()33k k k Z ππππ++∈D ．22[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ 〖解 析〗由2cos 10x +得1cos 2x -，∴222233k x k ππππ-+，k Z ∈． 〖答 案〗D6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222a c b +-=，则角B 的值为( ) A ．6πB ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π〖解 析〗222a c b +-=，∴根据余弦定理得222()cos 2a c b B ac +-==，即cos B∴cos B =，又在△中所以B 为6π． 〖答 案〗A7．若函数()sin()f x x ωϕ=+的图象（部分）如图所示，则ω和ϕ的取值是( )A ．1ω=，3πϕ= B ．1ω=，3πϕ=-C ．12ω=，6πϕ=D ．12ω=，6πϕ=- 〖解 析〗由图象知，224()433T ππππω=+==，12ω∴=． 又当23x π=时，1y =， 12sin()123πϕ∴⨯+=，232k ππϕπ+=+，k Z ∈，当0k =时，6πϕ=．〖答 案〗C8．将函数sin(2)6y x π=-的图象上各点沿x 轴向右平移6π个单位长度，所得函数图象〖解 析〗式可以是( ) A ．sin 2y x =B ．sin(2)3y x π=-C ．cos2y x =-D ．cos2y x =〖解 析〗将函数sin(2)6y x π=-的图象上各点沿x 轴向右平移6π个单位长度，所得函数图象〖解 析〗式可以sin(2)cos236y x x ππ=--=-．〖答 案〗C9．已知向量(7,6)AB =，(3,)BC m =-，(1,2)AD m =-，若A ，C ，D 三点共线，则(m =) A ．32B ．23C ．32-D ．23-〖解 析〗(4,6)AC AB BC m =+=+，(1,2)AD m =-，A ，C ，D 三点共线，42(1)(6)0m m ∴⨯--+=，解得23m =-．〖答 案〗D10．在ABC ∆中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) A ．7a =，14b =，30A =︒B ．30a =，25b =，150A =︒C ．72a =，50b =，135A =︒D ．30a =，40b =，26A =︒〖解 析〗A ，7a =，14b =，30A =︒，∴由正弦定理sin sin a bA B=得：114sin 2sin 17b A B a ⨯===，又B 为三角形的内角，90B ∴=︒，故只有一解，本选项不合题意； B ，30a =，25b =，150A =︒，∴由正弦定理sin sin a b A B =得：sin 25sin1505sin 3012b A B a ⨯︒===，又A 为钝角，B ∴为锐角，故B 的度数只有一解，本选项不合题意； C ，72a =，50b =，135A =︒，∴由正弦定理sin sin a bA B=得：sin 50sin135sin 72b A B a ⨯︒==， 又A 为钝角，B ∴为锐角，故B 的度数只有一解，本选项不合题意； D ，30a =，40b =，26A =︒，∴由正弦定理sin sin a b A B =得：sin 40sin 264sin 26sin 303b A B a ︒︒===， a b <，A B ∴<，即26180B ︒<<︒，则满足题意的B 有两解，本选项符合题意． 〖答 案〗D11．已知非零向量AB ，AC 满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且1||||2AB AC AB AC ⋅=，则ABC ∆的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形〖解 析〗()0||||AB AC BC AB AC +⋅=，||AB AB ，||ACAC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直，AB AC ∴=，1cos ||||2AB AC A AB AC =⋅=，3A π∴∠=，3B C A π∴∠=∠=∠=， ∴三角形为等边三角形．〖答 案〗D12．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3-，2]-上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且αβ<，则下列不等式关系中正确的是( ) A ．(sin )(cos )f f αβ> B ．(cos )(cos )f f αβ<C ．(cos )(cos )f f αβ>D ．(sin )(cos )f f αβ<〖解 析〗偶函数()f x 在[3-，2]-上是减函数，()f x ∴在[2，3]上是增函数， 又偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，()(2)f x f x ∴=-，即(2)()f x f x +=，函数的周期2T =，()f x ∴在[0，1]上是增函数， α，β是钝角三角形的两个锐角，且αβ<，∴根据余弦函数在(0,)π上递减得，0cos cos 1βα<<<，则(cos )(cos )f f αβ>． 〖答 案〗C二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数()tan 2f x x =的图像的对称中心为 ．〖解 析〗函数()tan f x x =的图像的对称中心为(,0)k π或(2k ππ+，0)，k Z ∈．所以函数()tan 2f x x =的图像的对称中心为1(2k π，0)或1(24k ππ+，0)，k Z ∈．〖答 案〗1(2k π，0)或1(24k ππ+，0)，k Z ∈14．cos585tan(585)sin(570)︒=-︒+-︒ ．〖解 析〗原式cos(36018045)tan(36018045)sin(36018030)︒+︒+︒=-︒-︒-︒+-︒-︒-︒cos4521tan 45sin3012-︒===-︒+︒-+． 〖答15．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒处；行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15︒处．这时船与灯塔的距离为 km ． 〖解 析〗根据题意画出图形，如图所示，可得出753045B ∠=︒-︒=︒， 在ABC ∆中，根据正弦定理得：sin sin AC BCB BAC =∠12BC =，BC ∴=，则这时船与灯塔的距离为．〖答案〗16．设函数()sin()(f x A x A ωϕ=+，ω，ϕ是常数，0A >，0)ω>若()f x 在区间[6π，]2π上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 ．〖解 析〗由2()()23f f ππ=，可知函数()f x 的一条对称轴为2723212x πππ+==，则2x π=离最近对称轴距离为712212πππ-=． 又()()26f f ππ=-，则()f x 有对称中心(3π，0)，由于()f x 在区间[6π，]2π上具有单调性，则122623T T πππ-⇒，从而71234TT πππ-=⇒=．〖答 案〗π三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量a 与向量b 的夹角为3π，||2a =，||3b =，记向量34m a b =-，2n a kb =+．（1）若m n ⊥，求实数k 的值； （2）若//m n ，求实数k 的值．解：（1）根据题意，向量a 与向量b 的夹角为3π，||2a =，||3b =， 则12332a b ⋅=⨯⨯=， 若m n ⊥，则22(34)(2)6(38)4243(38)360m n a b a kb a k a b kb k k ⋅=-⋅+=+-⋅-=+--=， 解可得0k =；（2）根据题意，若//m n ，设m n λ=，则有34(2)2a b a kb a k b λλλ-=+=+，故有324k λλ=⎧⎨-=⎩，解可得：83k =-．18．（12分）（1）求值：sin(1560)cos930cos(1380)sin(1050)-︒︒+-︒-︒；（2）已知4sin()35πα+=，求cos()6πα-的值．解：（1）sin(1560)cos930cos(1380)sin(1050)-︒︒+-︒-︒sin(1201440)cos(1501080)cos(601440)sin(301080)=-︒-︒-︒+︒+︒-︒︒-︒ sin(120)cos150cos60sin30=-︒︒+︒︒11(22=+⨯1=； （2）4cos()sin()sin()66235ππππααα-=-+=+=．19．（12分）O 是平面直角坐标系的原点，(1,2)A -，(1,1)B ，记OA a =，OB b =． （1）求a 在b 上的投影数量；（2）若向量(1,)c λ=，满足,c a <>与,a b <>互补，求λ． 解：（1）(1,2)A -，(1,1)B ，∴(1,2)a OA ==-，(1,1)b OB ==，∴a 在b 上的投影数量21||1a b b ⋅-+=+（2）10cos ,10||||a b a b a b ⋅<>==⋅， 又,c a <>与,a b <>互补，∴10cos ,cos ,10a c ab <>=-<>=-，∴2cos ,||||5a c c a a c λλ⋅<>===，化简整理可得，27810λλ-+=，解得17λ=或1λ=， 显然1λ=时，(1,1)c b ==，不符合题意，故17λ=． 20．（12分）()2sin(2)16f x x π=++的图象向左平移12π个单位长度，再把所有点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象． （1）求()y g x =的〖解 析〗式；（2）求()y g x =的对称中心和单调减区间．解：（1）()2sin(2)16f x x π=++的图象向左平移12π个单位长度，可得2sin(2())12sin(2)11263y x x πππ=+++=++，再把所有点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得()2sin(4)13g x x π=++． （2）令sin(4)03x π+=得4,3x k k Z ππ+=∈，即412k x ππ=-，k Z ∈，故对称中心为(,1)412k ππ-，k Z ∈； 由3242,232k x k k Z πππππ+++∈，解得7242242k k xππππ++，k Z ∈， 故()y g x =的单调递减期间为[242k ππ+，7]242k ππ+，k Z ∈．21．（12分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B ． （1）求角B 的大小；（2）若2b =，求BC BA ⋅的最大值．解：（1）sin cos b A B =，由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，又sin 0A ≠，∴sin B B ，∴tan B ， 0B π<<，∴3B π=．（2）222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-2ac ac ac -=，4ac ∴，∴1cos 422BC BA ac B ⋅=⨯=，当且仅当a c =时取等号，∴BC BA ⋅的最大值为2．22．（12分）已知点1(A x ，1())f x ，2(B x ，2())f x 是函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)2πϕ-<<图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，且12|()()|4f x f x -=时，12||x x -的最小值为3π． （1）求函数()f x 的〖解 析〗式；（2）()y f x m =-在(0,)3x π∈内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．解：（1）角ϕ的终边经过点(1,P ，∴tan ϕ=02πϕ-<<，∴3πϕ=-，由12|()()|4f x f x -=时，12||x x -的最小值为3π， 得23T π=，即223ππω=，3ω∴=，∴()2sin(3)3f x x π=-． （2）()y f x m =-在(0,)3x π∈内有两个不同的零点，即()y f x =与y m =的图象在(0,)3x π∈内有两个不同的交点，令33t x π=-，由(0,)3x π∈，则2(,)33t ππ-，即2sin y t =与y m =在2(,)33t ππ-上有两个交点，由正弦函数的图象可知2m <<，所以实数m 的取值范围是2)．。
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E
D
C
B
A
2016年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇
和农村地区（“追梦计划”）招生考试
数学与逻辑试卷
（满分：150分 考试时间：120分钟）
学 校 姓 名 准考证号 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．
的相应位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的．）
（1）如图所示，四边形ABCD 中，//AB DC ，过B 作//BE AD 交CD 于点E ，下列说法不正确
的是（★★★） （A ）A BED ∠=∠ （B ）ABE BEC ∠=∠
（C ）D BEC ∠=∠
（D ）180A C ∠+∠=
（2）下列等式正确的是（★★★）
（A ）239-=-
（B ）22532x y x y -=
（C ）437()()a a a -⋅-=- （D ）22(23)(32)32x y y x y x +⋅-=- （3）某校九年级学生参加体育测试，一组10人的引体向上成绩如下表：
这组同学完成引体向上的个数的众数和中位数依次是（★★★）
（A ）9，10
（B ）9.5，10
（C ）10，9
（D ）10，9.5
（4）用半径为6cm 、圆心角为120︒的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径
是（★★★）
（A ）2cm
（B ）3cm
（C ）4cm
（D ）6cm
（5）从长度分别为1、3、5、7、9的五条线段中任取三条，这三条线段可构成三角形的概率
是（★★★）
（A ）1
5
（B ）
310
（C ）
25
（D ）
12
（6）在ABC △中，BC BA >，BC CA >，F 、G 是BC 边上的两点，B ∠、C ∠的角平分线
分别垂直AG 、AF ，垂足分别为D 、E ．若ABC △的周长为20，BC 的长为8，则DE 的长为（★★★） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
第（1）题图
第（7）题图 （7）如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，//a b ，Rt GEF △从
如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到E 与B 重合．运动过程中Rt GEF △与矩形ABCD 重合部分的面积S 随时间t 变化的函数关系的图像大致是（★★★）
（A ） （B ） （C ） （D ）
（8）矩形ABCD 中，AB =1BC =，矩形内动点P 满足PA AD ≥，PB BC ≥，则动点P
所在区域的面积为（★★★）
（A 2
π
（B ）3
π
（C ）
243π- （D ）43
π
- （9）符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[2.6]2=，[1]1-=-，[ 2.6]3-=-．若关于x 的
方程[][3](0)x x kx k +=≠在01x <<内有解，则k 的取值范围是（★★★）
（A ）
3
32
k <≤ （B ）23k <≤ （C ）23k ≤≤ （D ）
3
22
k <≤ （10）将正整数按如下规律排列：
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 …… 第一行 1
第二行 2 4 第三行 3 5 7
第四行 6 8 10 12
第五行 9 11 13 15 17 …… ……
设2016在第i 行第j 列，则i j +等于（★★★） （A ）79 （B ）80 （C ）81 （D ）82
a
b
D
E
C
G
第（17）题图
第（18）题图
B
C
D A
G
H
F
E
O
P A
O
y
x
B
T
C
R
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共 20分．）
（11）已知||x y <，给出下列三个不等式：①0x y +>；②0x y ->；③220x y ->．
其中正确的不等式的序号为★★★（填上你认为正确的所有不等式的序号）．
（12）若方程组22251x y x y k +=⎧⎨-=+⎩的解满足条件14x y <+<，则k 的取值范围是★★★．
（13）已知ABC △的三边长分别为13、13、10，则其内切圆半径为★★★． （14）数、学、好、玩这四个文字分别表示09之间的不同数字，且满足算式
“数学×好玩＝1988”，则四位数“玩好数学”为★★★．
（15）若函数2
23(03)y x ax x =-+<<的图像恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是★★★． 三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （16）（本小题满分12分）
（Ⅰ）计算：01(1tan35)(12cos452-+︒-︒-；
（Ⅱ）先化简，再求值：2211(286)(1)9x x x x -+÷-⨯-，其中1
2
x =-．
（17）（本小题满分12分）
如图，(40)A -，，P R 、是函数6
(0)y x x
=
>图像上 的两点，PB x ⊥轴于点B ，RT x ⊥轴于点T （T 在 B 右侧）
，APB △面积为9． （Ⅰ）求直线AP 的解析式；
（Ⅱ）若方程2(2)20x m x m -++=的两根等于 线段BT TR 、的长，求m 的值． （18）（本小题满分12分）
如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别 是AB 、BC 、CD 、DA 边上的动点（不含端点）， 且EG 、FH 均过正方形的中心O ． （Ⅰ）求证：四边形EFGH 是平行四边形；
（Ⅱ）试探究：当线段CG 与CF 满足什么数量关系时， 四边形EFGH 为矩形．
C
B
A
30°
15°
第（19）题图① 第（19）题图②
（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）试利用图①求tan15︒的值（结果用根式表示）； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果解答下面问题：
如图②，一船以15千米/时的速度自西向东航行，在A 处看到灯塔C 在北偏东75︒方向．行驶4小时后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东45︒方向，求这时船与灯塔的距离．
（20）（本小题满分14分）
如图，AC 是四边形ABCD 外接圆O 的直径，
E 是AC 、BD 的交点，且BA BD =． （Ⅰ）证明：2ACD BAC ∠=∠； （Ⅱ）若10AC =，25
11
OE =，求AB 的长． （21）（本小题满分14分）
我们知道，若1x ，2x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根，则有
212()()ax bx c a x x x x ++=--．即221212()ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，于是12()b a x x =-+，
12c ax x =．由此可得一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）：12b x x a +=-
，12c
x x a
⋅=． 参考上述推理过程，解答下列问题：
若1x ，2x ，3x 是关于x 的方程2(3)x x t -=的三个实数根，且123x x x <<．
（Ⅰ）求122331x x x x x x ++，222
123x x x ++的值；
（Ⅱ）试用只含2x 的代数式表示31x x -，并求31x x -的最大值． （22）（本小题满分14分）
已知抛物线2y ax bx c =++过点(03)M ，，且关于x 的方程
2219
(21)(34)04
x a x b a b ---+-+
=有两个相等的实数根． （Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）过点(0)P t ，作y 轴的垂线交抛物线于点A 和点B （点A 在点B 的左侧）． （i ）若2BP PA =，试求t 的值；
（ii ）设抛物线的顶点为E ，ABM △的外接圆'O 与抛物线交于另一点N ，若直线EN 与圆'O 相切，试求t 的值．
北
C
B
A。