河南省部分重点高中2019-2020年度高考适应性考试理数
2020届河南省高考适应性测试数学(理)试题解析
绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}2450A x x x =--≤，{}1B x x =<，则A B =（）A ．()1,1-B ．[)1,1-C ．51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(]1,1-答案：B先求出集合A ，然后求两集的交集即可. 解：解：因为{}2545014A x x x x x ⎧⎫=--≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}1B x x =< 所以{}11A B x x ⋂=-≤<． 故选：B 点评：本题考查集合的交集，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知复数201711i z i-=+，则z 的虚部是（）A ．1-B ．i -C ．1D ．i答案：C利用41i =化简后再由复数的除法法则计算出z 后可得z ，从而得z 的虚部． 解：由201711i z i-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===-++-，则z i =，其虚部为1． 故选：C ． 点评：本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力．3．顶点在坐标原点，准线为2y =-的抛物线的方程为（） A ．28x y =B ．24x y =C ．28y x =D ．24y x =答案：A根据抛物线的概念和性质，即可求出结果. 解：设抛物线方程为22x py =， 由题意可知，22p-=-，得4p =， 所以所求抛物线的方程为28x y =． 故选：A . 点评：本题考查抛物线的概念和性质，考查运算求解能力，属于基础题． 4．函数()cos xf x e x =-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：D先求出函数的导数()sin xf x e x '=+，可得当0x >时，则()0f x '>，从而函数()f x 在()0+∞，上单调递增，则排除选项A ，C ，再由22cos 022f e e ππππ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，排除除选项B ，得出答案. 解：由()cos xf x e x =-，则()sin xf x e x '=+当0x >时，e 1x >则()sin 0xf x e x '=+>，所以函数()f x 在()0+∞，上单调递增，则排除选项A ，C又22cos 022f e e ππππ--⎛⎫-=--=> ⎪⎝⎭（），排除除选项B 故选：D 点评：本题考查函数图像的识别，考查利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 5．执行如图所示的程序框图，则输出的k =（）A ．5B ．3C ．6D ．4答案：A执行程序框图，依此写出每次循环时的,k S 的值并判断，直到当0S <时，退出循环，输出k 的值. 解：第一次循环：615S =-=，112k =+=，0S >，不满足0S <执行循环； 第二次循环：523S =-=，213k =+=，0S >，不满足0S <执行循环； 第三次循环：330S =-=，314k =+=，0S =，不满足0S <执行循环； 第四次循环：044S =-=-，415k =+=，0S <，退出循环，此时输出5k =. 故选:A 点评：本题主要考查直到型循环结构的计算结构的输出，对于这类问题，通常是利用程序框图给出的算法计算出每一步的结果并判断即可，属于基础题.6．中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x （单位：克）与药物功效y （单位：药物单位）之间满足2152y x x =-．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量的平均值为5药的药物功效的平均值为（） A ．18药物单位 B ．15药物单位 C ．20药物单位 D ．10药物单位答案：B设这6个样本中成分甲的含量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，平均值为x ，根据方差概念计算出222126x x x ++⋅⋅⋅+，再计算出()()222126126126152y y y x x x x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+，可得y ．解：设这6个样本中成分甲的含量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，平均值为x ，则()()()()222222221261266630x x x x x x x x xx-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-=⨯=，所以222126180x x x ++⋅⋅⋅+=．于是()()22212612612615290y y y x x x x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，则126156y y y y ++⋅⋅⋅+==．故选：B ． 点评：本题考查均值和方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．本题还考查统计与数学文化，考查数据处理能力．7．函数f （x ）＝2sin 2（ωx ﹣6π）＞（ω＞0）的最小正周期为π．则f （x ）在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A ．B ．12C ．2D ．1 答案：D由函数的最小正周期得到ω的值，再根据x 的取值范围求出23x π-的取值范围，结合余弦函数的性质得到函数的最小值； 解：解：因为()22sin 1cos 263f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=解得1ω=，所以()1cos 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以72,366x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以cos 21,32x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦所以()min 12f x =- 故选：D 点评：本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题.8．连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x ，y ，z ，那么点(),,P x y z 到原点O 的A ．13108B ．427C ．1172D ．16答案：A根据题意可知点(),,P x y z 的情况共有216种，由点P 到原点O (),,P x y z 满足22221x y z ++<，列出满足条件的所有情况，再根据古典概型即可求出结果. 解：由题意可知，所有点(),,P x y z 的情况共有666216⨯⨯=种，点P 到原点O (),,P x y z 满足22221x y z ++<，所以满足条件的点P 有()1,1,1，()1,1,2，()1,1,3，()1,1,4，()1,2,1，()1,2,2，()1,2,3，()1,3,1，()1,3,2，()1,3,3，()1,4,1，()2,1,1，()2,1,2，()2,1,3，()2,2,1，()2,2,2，()2,2,3，()2,3,1，()2,3,2，()3,1,1，()3,1,2，()3,1,3，()3,2,1，()3,2,2，()3,3,1，()4,1,1共26个，故点P 到原点O 的概率为2613216108=．点评：本题考查古典概型，考查数据处理能力和应用意识，属于基础题． 9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知cos ,cos 2==-ABCB bS C a c且b，则a +c ＝（） A ．B ．CD ．答案：D利用余弦定理角化边可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理可得3B π=，根据三角形面积公式可得3ac =，再根据余弦定理可求得结果. 解：因为cos cos 2B b C a c=-，所以222222222a c b b ac a b c a c ab+-=+--，化简得222a c b ac +-=， 所以2221cos 22a cb B ac +-==，因为0B π<<，所以3B π=，所以1sin 2ABCSacB4，所以22ac =，所以3ac =， 又2222cos b a c ac B =+-，所以23()2a c ac ac =+--，所以2()3312a c ac +=+=，所以a c +=. 故选：D. 点评：本题考查了三角形的面积公式、余弦定理，属于基础题.10．设A 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线上一点，且A 在第四象限，O 为坐标原点，若向量m ＝（1，1），10,OA =且2OA m ⋅=-，则该双曲线的离心率为（） A ．BC．3D由已知可设,b A t t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中0t >，由10,OA =且OA 2m ⋅=-，可得22210a t c=，2at b a=-，建立关于,a b 的方程，解之，再由双曲线离心率的公式可得选项. 解：由已知可得A 为直线b y x a =-上一点，且A 在第四象限，故可设,b A t t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中0t >，2c OA t t a===，其中c =，22210a t c ∴=，22,b aOA m t t t a b a⋅=-=-∴=-，0,0t b a >∴>>，2222102a a t c b a ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，2222221042a a a b b ab a =+-+，2231030a ab b ∴-+=，即(3)(3)0a b a b --=，0b a >>，3b a ∴=.所以该双曲线的离心率为c a ==== 故选：A. 点评：本题考查求双曲线的离心率的问题，关键在于由已知条件得出关于,,a b c 的方程，属于中档题.11．三棱锥S ﹣ABC 的各顶点均在球O 的球面上，SC 为该球的直径，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为2，则球O 的半径为（）A B C ．52D ．3答案：A作出示意图，求得ABC 的面积，并计算出三棱锥S ABC -的高SD ，利用正弦定理计算圆E 的直径CD ，然后利用勾股定理求出SC ，即可求解球的直径，得到答案. 解：如图所示，因为2,120AC BC ACB ==∠=，可得ABC 的面积为11sin 22224ABC S AC BC ACB ∆=⋅∠=⨯⨯⨯=设ABC 的外接圆为圆E ，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ， 作圆E 的直径CD ，连接SD ，因为,O E 分别为,SC CD 的中点，则//SD OE ，所以SD ⊥平面ABC ，所以三棱锥S ABC -的体积为1323S ABC V SD -=⨯⨯=，解得23SD =， 由正弦定理，可得4sin sin 30AC ACCD ABC ===∠，2227SC CD SD =+=， 设球的半径为R ，则227R SC ==，解得7R =.故选：A.点评：本题主要考查了球的体积的计算公式及应用，其中解答中作出示意图，根据组合体的结构特征，找出线面垂直关系，求得三棱锥的高是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.12．已知函数()21,f x x ax x e e⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与()x g x e =的图象上存在两对关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（）A ．1,e e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1(1,]e e-C ．1[1,]e e-D ．1[1,]e e+答案：B根据函数()21,f x x ax x e e⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与()xg x e =的图象上存在两对关于直线y x=对称的点，则函数()21,f x x ax x e e⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与函数()ln h x x =的图象有两个交点，即方程2ln x ax x -=，1()x e e≤≤有两解，利用导数法，可得a 的取值范围. 解：解：因为函数()21,f x x ax x e e ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与()x g x e = 的图象上存在两对关于直线y x =对称的点，所以函数()21,f x x ax x e e⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与函数()ln h x x =的图象有两个交点，即方程2ln x ax x -=，1()x e e≤≤有两解，即方程ln x a x x =-，1()x e e ≤≤有两解， 令ln x y x x =-，1()x e e≤≤，则221ln x xy x -+'=，当11x e≤<时，0y '<，函数y 为减函数； 当1x e <≤时，0y '>，函数y 为增函数. 故当1x =时，min 1|1x y y ===， 又111||x e x ey e y e e e ===+=-，， 所以当1=x e时，1max y e e =+，画出函数图象，如图：由图可知a 的取值范围1(1,]e e-. 故选：B. 点评：本题考查函数的对称性、导数与函数的应用，函数与方程的根的关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于综合题. 二、填空题13．函数f （x ）＝22,01,0x x x nx x ⎧+⎨>⎩，则f （f （1e ））＝_____．答案：﹣1先计算出11e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算()1f -得值，由此得出结果. 解：依题意得1(1)1e f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1- 点评：本题主要考查分段函数求值，考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 14．已知向量a (3,),b (6,8)==m 若a 与b 平行，则m ＝_____． 答案：4根据向量平行的坐标表示直接列式求解. 解：由题意可知若a 和b 平行， 则386m ⨯=，解得：4m = 故答案为：4 点评：本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题型.15．4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______． 答案：145先将4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭化简为()()444132x x x -+，由此可知4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()()44132x x -+的展开式中的4x 的系数，从而可求得结果.解：因为()()4444132231x x x x x =-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()()44132x x -+的展开式中的4x 的系数，故4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为()()2044133244444C C 2C 1C 32C 1⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⨯-⨯ ()322231340444444C 32C 1C 32C C 3145⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯=．故答案为：145 点评：本题考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题． 三、双空题16．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且120ABC ∠=，点E 在边BC 上，且满足3BE EC =，动点M 在该四棱柱的表面上运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹围成的图形的面积为______；当MC 与平面ABCD 所成角最大时，异面直线MC 与AC 所成角的余弦值为_______． 答案：15325117首先可证1BD AC ⊥，在AB 上取F ，使得3BF FA =，连接EF ，则//EF AC ，可得1⊥BD EF ．记AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，在1BB 上取一点G ，由10BD EG ⋅=，求出G 点的位置，从而得到动点M 轨迹，即可求出动点M 的轨迹围成的图形的面积，显然当M 与G 重合时，MC 与平面ABCD 所成角最大，利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值； 解： 解：如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为底面是菱形，侧棱垂直底面， 所以AC ⊥平面11BDD B ，所以1BD AC ⊥．在AB 上取F ，使得3BF FA =，连接EF ，则//EF AC ，所以1⊥BD EF ． 记AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则()4,0,0B ，()14,0,6D -，()E ．在1BB 上取一点G ，记为()4,0,G t ，于是()18,0,6BD =-，()3,EG t =-． 由12460BD EG t ⋅=-+=，得4t =，即12BG GB =， 所以EFG 的边为点M 的运动轨迹．由题意得FG =3344EF AC ==⨯=， 动点M的轨迹围成的图形的面积为12⨯=．显然当M 与G 重合时，MC与平面ABCD 所成角最大． 因为()4,0,4M，()1C ，所以()1MC =-，(1MC =-=因为直线AC 的一个方向向量为()0,1,0n =，所以11143cos ,17217MCn MC n MC n===，即异面直线1MC 与AC 所成角的余弦值为17． 故答案为：；17. 点评：本题考查空间中点、线、面的位置关系，利用空间向量法解决立体几何问题，考查直观想象与数学运算的核心素养，属于难题． 四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．答案：（1）13,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；（2）()2325nn T n =-⋅+.（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥可得出1n n n a S S -=-，然后对1a 的值是否满足n a 在2n ≥时的表达式进行验证，由此可得出数列{}n a 的通项公式； （2）求得数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法可求得n T . 解：（1）当1n =时，111213a S ==+=；当2n ≥时，()()11121212nn n n n n a S S ---=-=+-+=.13a =不适合12n na .综上所述，13,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；（2）由（1）可得()()13,121212,2n n n n b n a n n -=⎧=-=⎨-⋅≥⎩. 当1n =时，13=T ；当2n ≥时，()123133********n n T n -=+⋅+⋅+⋅++-⋅，得()()12312323252232212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅，上式-下式得()()()22318123222222212321212n n nnn T n n ----=+⋅+⋅++⋅--⋅=+--⋅-()5322n n =-+-⋅，()2325n n T n ∴=-⋅+，13=T 满足()2325n n T n =-⋅+，因此，()2325nn T n =-⋅+.点评：本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题. 18．在一次庙会上，有个“套圈游戏”，规则如下：每人3个竹环，向A ，B 两个目标投掷，先向目标A 掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标B 连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据最终得分发放奖品．已知小华每投掷一次，套中目标A 的概率为45，套中目标B 的概率为34，假设小华每次投掷的结果相互独立． （1）求小华恰好套中一次的概率；（2）求小华总分X 的分布列及数学期望． 答案：（1）18；（2）分布列见解析，()195E X =. （1）分为套中目标A 和套中目标B 两种情形，结合相互独立事件同时发生的概率计算公式即可得结果；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5求出相对应的概率，再计算期望即可. 解：（1）设“小华恰好套中一次”为事件A ， 则()411131125445448P A =⨯⨯+⨯⨯⨯=. （2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，()1111054480P X ==⨯⨯=；()4111154420P X ==⨯⨯=；()131********P X ==⨯⨯⨯=；()43133254410P X ==⨯⨯⨯=；()1339454480P X ==⨯⨯=；()4339554420P X ==⨯⨯=；∴X 的分布列为：()0123458020401080205E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 点评：本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．已知12(F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，当PF 1⊥F 1F 2时，|PF 2|＝2|PF 1|． （1）求椭圆C 的标准方程：（2）过点Q （﹣4，0）的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为点M ′，证明：直线NM ′过定点．答案：（1）22196x y +=；（2）直线NM '过定点9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）由椭圆的定义和已知条件得111222,3PF PF a PF a +==，又由112PF F F ⊥可得出点P 的坐标，代入椭圆的标准方程中可解出,a b ，从而得出椭圆的标准方程； （2）设出直线l 的方程，点M 、N 的坐标，直线l 的方程与椭圆的方程联立可得点M 、N 的坐标的关系，再表示出直线NM '的方程，将点M 、N 的坐标的关系代入可得直线NM ′所过的定点. 解：（1）由12(F F得c =，22223a b b ∴=+=+，由椭圆的定义得122PF PF a +=，212PF PF =，111222,3PF PF a PF a ∴+==， 112PF F F ⊥，所以点P 的坐标为23a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入椭圆的方程中有22222(31a ab ⎛⎫± ⎪⎝⎭+=， 又22223,3a b b a =+=-，222313a a ⎛⎫± ⎪⎝⎭+=-， 解得29a =或295a =， 当295a =，226305b a =-=-<，故舍去； 当29a =，223936b a =-=-=，所以椭圆的标准方程为：22196x y +=.（2）由题意可知，直线l 的斜率必然存在,故设直线l 的方程为(4)y k x =+，设()()1122,,,M x y N x y ，则()11,M x y '-，联立方程组22196(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222322448180k x k x k +++-=，()()()222222443248181681440kk k k ∆=-+-=-+>，解得267k <，21222432k x x k +=-+，2122481832k x x k -⋅=+， 又()22,N x y ，()11,M x y '-，设直线NM '的方程为()()()21212222121y y y y y y x x x x x x x x --+-=-=---，21212122122221222121212121y y y y y y y x y x y x y x y x x y x x x x x x x x x x x ++++-∴=-+=-+-----2112212121y y y x y x x x x x x ++=---()()()()21122121214444k x k x k x x k x x x x x x x ++++⋅++⋅=---()()1212122121824k x x kkx x k x x x x x x x ++++=---222222212124481824824323232k k k k k k k k k k x x x x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-++⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=--- ()()()()22212116363232k kx x x k x x k =+-+-+()()221169432k x x x k ⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭，当94x =-时，0y =，所以直线NM '过定点9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭. 点评：本题考查椭圆的定义和简单的几何性质，求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系中直线过定点的问题，关键在于将目标条件转化到直线与椭圆的交点的坐标上去，属于较难题.20．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其底面边长为4，高为1的圆柱体的四分之一．（1）当圆弧E 2F 2（包括端点）上的点P 与B 1的最短距离为2时，证明：DB 1⊥平面D 2EF ．（2）若D 1D 2＝3．当点P 在圆弧E 2E 2（包括端点）上移动时，求二面角P ﹣A 1C 1﹣B 1的正切值的取值范围． 答案：（1）见解析，（2）3223[]27-- （1）以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，可得1120,0DB EF DB ED ⋅=⋅=，从而可证DB 1⊥平面D 2EF ；（2）设(,,4)P a b ，则222,0,0a b a b +=≥≥，所以[2,2]a b +∈，求出平面11PA C 的法向量4(1,1,)3a bn --=，而平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，则先求出cos θ，从而可得32tan 4a b θ=+-，再由[2,2]a b +∈可得tan θ的范围.解：（1）证明：作PH ⊥平面1111D C B A 于H ，则H 在圆弧EF 上， 因为2211PB PH HB =+1HB 取最小值时，1PB 最小，由圆的对称性可知，1HB 的最小值为42232= 所以221142PH PB HB =-=如图，以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则21(0,0,0),(0,0,142),(2,0,1),(0,2,1),(4,4,1)D D EF B +，12(4,4,1),(2,2,0),(2,0,42)DB EF ED ==-=-,因为112424200,420420DB EF DB ED ⋅=-++=⋅=-++=， 所以112,DB EF DB ED ⊥⊥,因为EF ⊂平面2D EF ，2ED ⊂平面2D EF ，2ED EF E =,所以DB 1⊥平面D 2EF ，（2）解：若D 1D 2＝3，由（1）知()()()1114,0,1,0,4,1,4,4,1A C B , 设(,,4)P a b ，因为222,0,0a b a b +=≥≥，设2,2,[0,]2a b πθθθ==∈所以2sin()[2,2]4a b πθ+=+∈，111(4,4,0),(4,,3)AC A P a b =-=-，设平面11PA C 的法向量为111(,,)n x y z =，则11111111440(4)30n AC x y n A P a x by z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令11x =，则4(1,1,)3a bn --=， 取平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，θ显然是钝角，则4cos cos ,2a b m nm nm nθ+-⋅=-=-=+， 0,sin 0,sinθπθθ≤≤∴>==则3tan []427a b θ=∈--+-，所以二面角111P AC B --的正切值的取值范围为3[]27--， 点评：此题考查了利用空间向量证明线面垂直，求二面角，考查了空间想象能力和推理计算能力，属于较难题.21．设函数f （x ）＝x ln x ，g （x ）＝ae x （a ∈R ）．（1）若曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线也与曲线y ＝g （x ）相切，求a 的值． （2）若函数G （x ）＝f （x ）﹣g （x ）存在两个极值点． ①求a 的取值范围；②当ae 2≥2时，证明：G （x ）＜0． 答案：（1）21a e =；（2）①10a e<<；②证明详见解析. （1）首先求切线方程，设切点()00,P x y ，利用导数的几何意义列式求解；（2）①由条件转化为y a =与ln 1xx y e +=有两个交点，利用函数的导数求解； ②首先由已知条件22a e≥，转化为()22ln ln xx G x x x ae x x e e =-≤-，再通过构造函数()22ln xx x e e F x x-=，利用导数证明()0F x <恒成立. 解：（1）()ln 1f x x '=+，()11f '=，()10f =，则切线方程为1y x =-设切线与()y g x =相切于点()00,P x y ，则0000011x xae y ae y x ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得：02x =，01y =，21a e =；（2）①()ln xG x x x ae =-，0x >，()ln 1x G x x ae '=+-，当()0G x '=时，ln 1e xx a +=， 若函数()G x 有两个极值点，即y a =与ln 1xx y e +=有两个交点， 设()()ln 10xx h x x e+=>， ()1ln 1x x x h x e --'=，设()1ln 1t x x x=--， ()2110t x x x'=--<，即函数()t x 在()0,∞+上单调递减，且()10t =，∴在区间()0,1()0h x '>，在区间()1,+∞()0h x '<，()h x ∴在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，并且()11h e=，当x →+∞时，()0h x →，当0x →时，()h x →-∞， 若y a =与()y h x =有两个交点时，10a e<<；②()()()ln x G x f x g x x x ae =-=-，当2222ae a e≥⇔≥，()22ln ln x x G x x x ae x x e e=-≤-，令()222ln 2ln xx x x e e e F x x x x e-==-⋅， ()()222211212xx x e x x e e F x x x e x x e-⋅-'=-⋅=-⋅， 显然01x <<时，()0F x '>,()F x ∴在()0,1上单调递增， 当()0,1x ∈时，()()210F x F e<=-<， 当1x >时，()()()2222111221xx e x x e x F x x x e x e x ---⎛⎫'=-⋅=- ⎪-⎝⎭，令()221x e x H x e x =--，1x >，()()222101x e H x e x '=+>-， ()H x ∴在()1,+∞上单调递增，又()20H =,()1,2x ∈时，()0H x <，当()2,x ∈+∞时，()0H x >,∴当()1,2x ∈时，()0F x '>，当()2,x ∈+∞时，()0F x '<，()F x ∴在()1,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，当1x >时，()()2ln 210F x F ≤=-<，综上所述，()()0G x F x ≤<，所以()0G x <.点评：本题考查导数的几何意义，根据极值点的个数求参数的取值范围，以及证明不等式，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的难点是第三问，需构造函数()222ln 2ln x x x x e e e F x x x x e -==-⋅，函数的变形求解.22．在直角坐标系xOy 中，P （0，1），曲线C 1的参数方程为122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，求||PM |﹣|PN ||．答案：（1）10x y +-=，2240x y x +-=，（2（1）把曲线C 1的参数方程消去参数t 可得普通方程，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=两边同乘以ρ，把互化公式代入可得直角坐标方程；（2）把曲线C 化成标准参数方程，代入曲线C 2的直角坐标方程，得到关于t 的二次方程，然后利用t 的几何意义求解||PM |﹣|PN ||解：解：（1）曲线C 1的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得普通方程为10x y +-=，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，两边同乘以ρ，得24cos ρρθ=，所以其直角坐标方程为2240x y x +-=（2）曲线C 1过点P （0，1），则其参数方程为212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，将其代入方程2240x y x +-=得，22()(1)4()0222-++-⨯-=，化简得(22104140t ++=∆=-=>，，设上式方程的根为12,t t，所以12121t t t t +=-=，所以12PM PN t t -=-===点评：本题考查了参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，参数的几何意义，考查了计算能力，属于中档题.23．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝3． （1）求11+2+a b的最小值； （2）证明：92+a b b a ab答案：（1）45；（2）证明见解析 （1）由所给等式得()215a b ++=，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用()2222a b a b ++≥即可逐步证明.解：（1）3a b +=，()215a b ++∴=，且200a b +>>，， ∴()1111112++2225252b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当2=2b a a b ++即1522a b ==，时等号成立， ∴11+2+a b 的最小值为45. （2）因为a ＞0，b ＞0，所以要证92+a b b a ab ，需证2292a b +≥， 因为()222239222a b a b ++≥==， 所以92+a b b a ab ，当且仅当32a b ==时等号成立. 点评：本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.。
【精准解析】河南省2020届高三适应性测试理科数学试题
f 0 f 1 f 2 f 2020
336[ f (0) f (1) f (2) f (3) f (4) f (5)] f (0) f (1) f (2) f (3) f (4) 3 .
故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的周期的判断和应用，考查函数的奇偶性的应用，意在考查学生 对这些知识的理解掌握水平.
3 2
时， f x x2 6x 8 ，则 f 0 f 1 f 2 f 2020 （ ）
A. 6 【答案】B 【解析】 【分析】
B. 3
C. 0
D. 3
-8-
先求出函数的周期为 6 ，求出 f (0), f (1), f (2), f (3), f (4), f (5) 的值即得解.
误； 对于选项 B ：该销售人员一年中工资超过 4000 元的月份有：1，6，7，8，9，11，12，有 7 个月工资超过 4000 元，所以选项 B 错误；
-2-
对于选项 C ：由此图可知，销售人员 2019 年 6，7，8 月的平均工资都超过了 8000 元，而近
几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员 2020 年 6，7，8 月
所以 A B 1, .
故选：B.
【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，考查对数复合函数定义域的求法，考查一元
二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
2.已知复数 z
1
i 12
（ i 为复数单位），则
z
（
）
i
A.
2
【答案】C 【解析】
B. 2 2
C. 1 2
1
D.
4
-1-
【分析】
河南省2020届高三(5月份)高考数学(理科)适应性试卷及答案解析
河南省2020届高三（5月份）高考数学（理科）适应性试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若2iz i+=，则z =（ ） A.12i -B.12i +C.2i +D.2i -2.设集合{}12A x x =-<，[]{}2,0,2xB y y x ==∈，则下列选项正确的是（ ）A.()1,3A B ⋂=B.[)1,4A B =C.(]1,4AB =- D.{}0,1,2,3,4AB =3.某科研型企业，每年都对应聘入围的大学生进行体检，其中一项重要指标就是身高与体重比，其中每年入围大学生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）基本都具有线性相关关系，根据今年的一组样本数据()()1,,2,,50i i x y i =，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8385.71yx =-，则下列结论中不正确的是（ ） A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(),x yC.若某应聘大学生身高增加1cm ，则其体重约增加0.83kgD.若某应聘大学生身高为170cm ，则可断定其体重必为55.39kg4.“0m =”是“直线0x y m +-=与圆()()22112x y -+-=相切”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 5.已知向量()3,1a =，()1,3b m =-，若向量a ，b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为（ ）A.()1+∞B.()1++∞C.(()1133,+++∞D.(()1133,+++∞6.设函数()sin f x x x =，[]0,2x π∈，若01a <<，则方程()f x a =的所有根之和为（ ）A.43π B.2πC.83π D.73π 7.若对任意正数x ，不等式22214a x x++恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.[0，)+∞B.1[,)4-+∞C.1[,)4+∞ D.1[,)2+∞8.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被分配到学校附近路口执勤，2人被分配到医院附近路口执勤，2人被分配到中心市场附近路口执勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（ ） A.15B.25C.35D.459.已知函数()[]22ln 33f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[]1.61=，[]2.13-=-），则函数()f x 的零点个数是（ ）A.1B.2C.3D.410.已知过双曲线22:184x y C -=的左焦点F 的直线l 与双曲线左支交于点A ，B ，过原点与弦AB 中点D 的直线交直线3x =-于点E ，若AEF 为等腰直角三角形，则直线l 的方程可以为（）A.(30x y +-+=B.(30x y -++=C.(30x y +--=D.(30x y +++=11.设n S ，n T 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且3245n n S n T n +=+.设点A 是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且143a a AP AB ACb λ+=⋅+⋅，则实数λ的取值为（ ） A.2825B.325-C.328D.1825-12.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：S=12×弦×矢+12×矢2.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式：V=12×圆面积×矢+12×矢3.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为18000m 2，建筑容积约为340000m 3，估计体育馆建筑高度(单位：m )所在区间为（ ） 参考数据: 323+18000×32=608768，343+18000×34=651304，363+18000×36=694656，383+18000×38=738872，403+18000×40=784000.A. (32,34)B. (34,36)C. (36,38)D. (38,40)第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.若x ，y 满足线性约束条件604400x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.14.过抛物线216x y =的焦点F 的直线AB 被F 分成长度为m ，n 的两段()m n >，请写出一个m ，n 满足的等量关系式______.15.习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.2020年1月8日，人力资源和杜会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.《意见》指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列{}n a （单位：万元），每年“创业技术培训”投入为第一年创业资金1a （万元）的3倍，已知2212200a a +=，则该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为_______万元.三、解答题（题型注释）满足AB AD ⊥，4AB =，AC =2BCD BCA ∠=∠，ABC 的面积为4.（1）求BC的长；（2）求ACD△的面积.17.人类非物质文化遗产是经联合国教科文组织评选确定而列入《人类非物质文化遗产代表作名录》的遗产项目.记录着人类社会生产生活方式、风俗人情、文化理念等，非物质文化遗产蕴藏着世界各民族的文化基因、精神特质、价值观念、心理结构、气质情感等核心因素，是全人类共同的宝贵财富.中国作为东方文明大国，有39个项目入选，总数位居世界第一.现已知某地市是非物质文化遗产项目大户，有7项人选，每年都有大批的游客前来参观学习，同时也带动了当地旅游经济的发展.某土特产超市对2019年春节期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：（1）根据以上数据完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.（2）为吸引游客，超市推出一种优惠方案，举行购买特产，抽奖赢取非物质文化遗产体验及返现的活动，凡是购买金额不少于60元可抽奖三次，每次中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），每中奖一次体验1次，同时减免5元；每中奖两次体验2次，减免10元，每中奖三次体验2次，减免15元，若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.附参考公式和数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.且2BC =，1BF EF CE AD ====，AB =ABF ⊥平面BCEF .（1）证明：AB CE ；（2）求二面角A DF C --的余弦值. 19.已知圆(22:16C x y -+=，点()G ，P 是圆C 上一动点，若线段PG 的垂直平分线和CP 相交于点M . （1）求点M 的轨迹方程E .（2）已知直线():0l y kx m m =+≠交曲线E 于A ，B 两点.①若射线BO 交椭圆221164x y +=于点Q ，求ABQ △面积的最大值；②若OA OB ⊥，OD 垂直AB 于点D ，求点D 的轨迹方程. 20.已知函数()()xf x xex R -=∈.（1）判断函数()f x 的单调性；（2）若方程()22310f x a a +-+=有两个不同的根，求实数a 的取值范围；（3）如果12x x ≠，且()()12f x f x =，求证：()12ln ln 2x x +>.21.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l的参数方程为1cos sin x t ay t α=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 和直线l 的一般方程；（2）已知点()1,0P ，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，若125PA PB ⋅=，求直线l 的一般方程.22.已知函数()2f x x x m =-++.（1）若1m =，求不等式()3f x x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.四、新添加的题型23.函数222ln x f x x e x ax =--，若0a =，则()f x 在[]1,2的最小值为_______；当0x >时，()1f x ≥恒成立，则a 的取值范围是_____.参考答案1.B【解析】1.根据复数的除法运算，可求12z i =-，再根据复数与共轭复数的关系，即可求出结果. 因为()22212i ii z i i i++===-，所以12z i =+. 故选：B. 2.C【解析】2.先化简集合,A B ，结合选项进行判断.因为{}{}1213A x x x x =-<=-<<，[]{}{}2,0,214xB y y x y y ==∈=≤≤，所以[)1,3A B ⋂=，(]1,4A B =-.故选：C 3.D【解析】3.根据线性回归方程分析，x 的系数为正则正相关；线性回归方程必过样本中心点；利用线性回归方程分析数据时只是估计值，与真实值存在误差.由于线性回归方程中x 的系数为0.83，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确； 线性回归方程必过样本中心点(),x y ，故B 正确；由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1cm ，其体重约增加0.83kg ，故C 正确； 当某大学生的身高为170cm 时，其体重估计值是55.39kg ，而不是具体值，故D 不正确. 故选：D 4.B【解析】4.试题分析：若0m =，则圆()()22112x y -+-=的圆心)1,1(到直线0=+y x 的距离为2，等于半径，此时圆与直线相切，充分性成立；若直线0x y m +-=与圆()()22112x y -+-=相切，则圆心到直线距离为22|11|=-+m ，解得0=m 或4，故必要性不成立. 5.C【解析】5.先由向量的夹角为锐角，由向量数量积，求出1m >-a ，b 共线时，求出133m =+，进而可求出结果.因为()3,1a =，()1,3b m =-，所以()313a b m ⋅=-+；因为向量a ，b)130m -+>，解得1m >-又当向量a ，b共线时，()10m -=，解得：1m =+ 所以实数m 的取值范围为(()1133,+++∞.故选：C. 6.D【解析】6.先进行化简函数()f x ，利用三角函数的对称性进行求解即可． ∵()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[]0,2x π∈， ∴()[]2,2f x ∈-，又01a <<，∴方程()f x a =有两根1x ，2x ，由对称性得1233322x x πππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，解得1273x x π+=.答案： D7.B【解析】7. 原不等式即2214a x x ++，再利用基本不等式求得24x x+的最大值，可得a 的范围．解：依题意得，当0x >时，2222144x a x x x+=++ 恒成立，又因为44x x+，当且仅当2x =时取等号， 所以，24x x+的最大值为12，所以1212a +，解得a 的取值范围为1[,)4-+∞． 故选：B ． 8.A【解析】8.结合排列、组合求得把6名同学平均分配到三个不同的路口分配种数，再求得甲、乙两人被分配到同一路口种数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.由题意，把6名同学平均分配到三个不同的路口，共有222364233390C C C A A =种分配方案， 其中甲、乙两人被分配到同一路口有123418C C =种可能，所以甲、乙两人被分配到同一路口的概率为181905=. 故选：A. 9.D【解析】9.构造函数()22ln g x x =与()[]33h x x =-，作出图象，结合图象得出两函数的交点个数，即可求解.设函数()22ln g x x =，()[]33h x x =-，则()()222ln()2ln g x x x g x -=-==，所以函数()g x 为定义域上的为偶函数，作出函数()22ln g x x =与()[]33h x x =-的图象，如图所示，当10x -<<时，()6h x =-，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点； 当01x <<时，()3h x =-，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点； 当1x =时，()()0g x h x ==，两函数有1个交点，即1个零点；当23x ≤<时，()3h x =，()4ln 24ln3g x ≤<，此时两函数有1个交点，即1个零点，综上可得函数()[]22ln 33f x x x =-+共4个零点.故选：D.10.A【解析】10.先由题意，得()F -，设:l x my m =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 的方程代入双曲线C 的方程，消去x ，根据韦达定理，以及题中条件，得到22,22D m m ⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭，求得直线OD 的方程为2m y x =，求出33E m ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，推出EF l ⊥，得到EF AF =，根据题意，求出(3m =±-，即可得出结果.由22:184x y C -=得其左焦点为()F -，则由题意可设:l x my m =-≠，代入双曲线C 的方程，消去x ，整理得()22240m y --+=.设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系，得1222y y m +=-，∴122y y +=()121222m y y x x ++=-=D ⎝⎭∴直线OD 的方程为2my x =.令x =，得y =，即,33E m ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴直线EF0m m --=-，∴EF l ⊥， 则必有EF AF ===解得13y =±. 又2211184x y -=，∴13x=-，∴(3m =±-，从而直线l的方程为(30x y +-+=或(30x y --+=. 故选：A. 11.B【解析】11.由3245n n S n T n +=+，结合数列的n a 与n S 的关系，分别求得{}n a ，{}n b 的通项公式，进而得到143a ab +的值，再结合向量的共线定理，即可求解. 由题意，n S ，n T 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且3245n n S n T n +=+， 不妨取232n S n n =+，245n T n n =+，当1n =时，115a S ==，当2n ≥时，161n n n a S S n -=-=-，验证得当1n =时上式成立，综上数列{}n a 的通项公式为61n a n =-， 同理可得，数列{}n b 的通项公式为81n b n =+，则1432825a ab +=， 又由点P 在直线BC 上，设BP k BC =，()()1AP AB BP AB kBC AB k AC AB k AB k AC =+=+=+-=-+2825AB AC λ=+⋅，即28125k -=，325k λ==-.故选：B. 12.B【解析】12.分析：根据所给近似体积公式分别计算ℎ=32,32,36,38,40时的体积近似值.详解：设体育馆建筑高度为ℎ(m)，则V =12×18000ℎ+12ℎ3，若ℎ=32，则V =304383；若ℎ=34，则V =325652，若ℎ=36，则V =347328，325652<340000<347328，∴34<ℎ<36，故选B. 13.12【解析】13.由线性约束条件，作出可行域， z 的几何意义为直线的截距，移动直线可得经过A 点，z 取最大值.由线性约束条件，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，22z x y y x z =+⇒=-+，z 的几何意义为直线的截距，作直线2y x =-，平移该直线，当直线经过点()6,0A 时，2z x y =+取得最大值，即maxz 26012=⨯+=. 故答案为：1214.()4mn m n =+【解析】14.先由题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为：4y kx =+，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，得到212168y y k +=+，再由题意，得到128y y m n +=+-，121212y y m n kx x x x ，求得2216m nk mn，从而得到()288m n m n m n-+=+-+，求解，即可得出结果. 由题意，()0,4F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为：4y kx =+，由2416y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y ，得到216640x kx --=，所以12121664x x k x x +=⎧⎨=-⎩， 所以()212128168y y k x x k +=++=+，又过抛物线216x y =的焦点F 的直线AB 被F 分成长度为m ，n 的两段()m n >，所以14y m =-，24y n =-，128y y m n +=+-， 所以121212y y m n kx x x x ， 因此222222221212121221612816m n m nm n mnkx x x x y y mnx x ，所以()221216888m n y y k m n m n-+=+=+=+-+，即()()()2216m n m n m n -=+-+，整理得：()4mn m n =+. 故答案为：()4mn m n =+. 15.200【解析】15.设等差数列{}n a 的公差为d ，且满足2212200a a +=.则该镇政府帮扶5年累计总投入：()111254553102a d a a a ⨯+⨯+⨯=+，再利用基本不等式求最值即可. 设等差数列{}n a 的公差为d ，且满足2212200a a +=.则该镇政府帮扶5年累计总投入：()()111125455310210102002a d a a d a a ⨯+⨯+⨯=+=+≤==，当且仅当1210a a ==时等号成立. 故该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为200万元. 故答案为：20016.（1）2BC =；（2）10.【解析】16.（1）由ABC 的面积求得sin BAC ∠的值，进而求得cos BAC ∠，然后在ABC 中利用余弦定理可求得BC 的长；（2）利用勾股定理得出AB BC ⊥，进而推导出DCA BCA CAD ∠=∠=∠，可得出AD CD =，过顶点D 作AC 的垂线，垂足为E ，在Rt ADE △中，利用正弦定理可求得DE 的长，然后利用三角形的面积公式可求得ACD △的面积.（1）由已知11sin 4sin 422ABC S AB AC BAC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯∠=△，可得sin BAC ∠=，又AB AD ⊥，所以0,2BAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5BAC ∠==. 在ABC 中，由余弦定理2222cos 4BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=，2BC ∴=； （2）由（1）可得：222AC AB BC =+，所以AB BC ⊥，故2BAC BCA π∠+∠=.由AB AD ⊥，得2BAC CAD π∠+∠=，所以∠=∠BCA CAD ，.又2BCD BCA ∠=∠，所以DCA BCA CAD ∠=∠=∠， 所以ACD △为等腰三角形，即AD CD =.在ACD △中，过顶点D 作AC 的垂线，垂足为E ，且2ADE CAD π∠+∠=，ADE BAC ∴∠=∠，sin sin cos 2CAD ADE ADE π⎛⎫∴∠=-∠=∠ ⎪⎝⎭，在Rt ADE △中，由正弦定理sin sin DE AECAD ADE=∠∠，可得sin cossin sin AE CAD AE ADEDE ADE ADE∠∠===∠∠所以111022ACD S AC DE =⋅=⨯=△. 17.（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关；（2）分布列见解析，75.【解析】17.（1）根据题中数据可得22⨯列联表，再利用2K 计算公式得出，即可判断出结论． （2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903P +==．利用二项分布列的计算公式即可得出X 的分布列及其数学期望． 解：（1）2×2列联表如下：()2901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，.因此能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关. （2）X 的可能取值为65，70，75，80，且10201903P +==.()3331165327P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭， ()22312270339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.()21312475C 339P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()3032880327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. X 的分布列为所以()6570758075279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.18.（1）证明见解析；（2.【解析】18.（1）取BC 中点M ，连接CF ，MF ，先由题中条件，得到CF BF ⊥，再由面面垂直的性质，以及线面垂直的判定定理，证明AB ⊥平面BCEF ，进而可得出ABCE ；（2）先由题意建立空间直角坐标系，分别求出平面ADF 和平面DFC 的法向量，根据向量夹角公式，求出法向量夹角的余弦值，进而可得出结果. （1）证明：取BC 中点M ，连接CF ，MF ，因为四边形BCEF 为等腰梯形，2BC =，1BF EF CE AD ====， 所以//CM EF ，1CM EF ==，所以四边形EFMC 为平行四边形， 所以EC MF =，三角形BMF 为等边三角形，所以60CBF ∠=︒，30BCF ∠=︒，90BFC ∠=︒，即CF BF ⊥， 又因为CF ⊂平面BCEF ，平面ABF ⊥平面BCEF ，平面ABF 平面BCEF BF =，所以CF ⊥平面ABF ， 因为AB平面ABF ，所以CF AB ⊥，又因为AB BC ⊥，BC CF C =，BC ⊂平面BCEF ，CF ⊂平面BCEF ，所以AB ⊥平面BCEF ，又因为CE ⊂平面BCEF ，所以ABCE .（2）据（1）可建立如图所示的空间直角坐标系，所以可求得(A，(D，1,022F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0C .则31,2DF ⎛=-⎝，()0,1,0AD =，(0,1,DC =. 设向量()111,,a x y z =为平面ADF 的一个法向量，则00a DF a AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111110220x y y -=⎪⎨⎪=⎩，所以令2z =，则43,0,3a ⎛= ⎝；设向量()222,,b x y z =为平面DFC 的法向量，则00b DF bDC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222221022x y y -=⎨⎪-=⎩，令z =(23,b =，所以533cos ,a b a b a b⋅<>==，又二面角A DF C --的平面角为钝角， 所以二面角A DF C --的余弦值为33-. 19.（1）2214x y +=；（2）①ABQ ∆面积的最大值为3；②22455x y x ⎛⎫+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】19.（1）根据题意，化简得4GM MC PM MC GC +=+=>，再结合椭圆的定义即可取得点M 的轨迹方程；（2）①当BO 所在直线斜率存在时，设BO 的方程为y nx =，得到Q 到直线l 的距离是点O 到直线l 距离的3倍，联立方程组2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用根与系数的关系和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得OABS的表示，利用基本不等式，求得OABS面积的最大值；当BO 所在直线斜率不存在时，设l 的方程为1y kx =+，联立方程组，结合面积公式和基本不等式，求得OABS的最大值，即可得到结论；②由①和OA OB ⊥，化简得到()22415k m +=，进而得到OD =.（1）由圆(22:16C x y -+=，可得圆心C ，半径4r =，因为4GC =<，所以点G 在圆C 内，又由点M 在线段PG 的垂直平分线上，所以GM PM =， 所以4GM MC PM MC GC +=+=>，由椭圆的定义知，点M 的轨迹是以G ，C 为焦点的椭圆， 其中2a =，c =2431b =-=，所以点M 的轨迹方程为2214x y +=.（2）①当BO 所在直线斜率存在时，设BO 所在直线方程为y nx =，由2214y nxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22414B x n =+，同理221614Q x n =+，21Q B x x =，所以2OQ OB =， 即Q 到直线l 的距离是点O 到直线l 距离的3倍， 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222418410k x kmx m +++-=. 由>0∆得22410k m +->，且122841kmx x k +=-+，()21224141m x x k -=+，则241AB k ==+， 又由O 到直线l的距离d =∴222214141212OAB m m k k S ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭==≤=△.当且仅当222214141m m k k =-++，即22241m k =+时等号成立. 故ABQ △面积的最大值为33OAB S =△. 当BO 所在直线斜率不存在时，假设()0,1B ，则()0,2Q -，l 的方程为1y kx =+（其中0k >）.联立22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224180k x kx ++=，则2841A k x k -=+. ∴2112121231241224ABQ A k S BQ x k k k=⋅==≤=+⨯+△， 综上可得，ABQ ∆面积的最大值为3.②由①知122841kmx x k +=-+，()21224141m x x k -=+，又因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，即()()2212121212(1)()0x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=，代入解得()22415k m +=，又OD ==所以点D 的轨迹是以O 的圆（去掉x 轴上的两个点），故点D 的轨迹方程为2245x y x ⎛+=≠ ⎝⎭. 20.（1）在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.；（2）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【解析】20.（1）先求解导数()f x '，通过求解不等式，判断函数单调性；（2）利用单调性求解函数的值域，结合图象变化趋势可得212310,a a e ⎛⎫-+-∈ ⎪⎝⎭，然后求解不等式可得结果；（3）构造函数()()()11F x f x f x =+--，判断单调性得出()()11f x f x +>-，结合函数()f x 的单调性可得122x x +>，从而可证结论.（1）因为()x f x xe -=，所以()()1xf x x e -'=-，令()0f x '>可得1x <；令()0f x '<可得1x >；所以函数()xf x xe -=在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.（2）由（1）可得函数()xf x xe -=在1x =处取得最大值，()()max 11f x f e==， 所以函数()xf x xe -=的值域为1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，且x →+∞时，()0f x →；因为方程()22310f x a a +-+=有两个不同的根，所以212310,a a e ⎛⎫-+-∈ ⎪⎝⎭，即22310a a -+->，21231a a e -+-<，解得112a <<. 即实数a 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.（3）证明：由()()12f x f x =，12x x ≠，不妨设12x x <，构造函数()()()11F x f x f x =+--，(]0,1x ∈，则()()()()211110x x xF x f x f x e e +'''=++-=->，所以()F x 在(]0,1x ∈上单调递增，()()00F x F >=，也即()()11f x f x +>-对(]0,1x ∈恒成立.由1201x x <<<，则(]110,1x -∈，所以()()()()()()()1111211211f x f x f x f x f x +-=->--==，.即()()122f x f x ->，又因为12x -，()21,x ∈+∞，且()f x 在()1,+∞上单调递减，所以122x x -<，即证122x x +>.即()12ln ln 2x x +>. 21.（1）22143x y +=；1x =或()tan 1y x α=⋅-；（20y -=或0y +-.【解析】21.（1）由曲线C 和直线l 的参数方程，消去参数，即可求得曲线C 和直线l 的一般方程； （2）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，结合直线参数方程中参数的几何意义，即可求解.（1）由题意，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），即cos 2sin x αα⎧=⎪⎪⎨=（α为参数），平方相加，可得曲线C 的一般方程为22143x y +=， 由直线l 的参数方程为1cos sin x t a y t α=+⎧⎨=⎩（t 为参数） 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为()tan 1y x α=⋅-.当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =.（2）将l 的参数方程1cos sin x t a y t α=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入22143x y +=，整理得()2224sin 3cos 6cos 90t t ααα++⋅-=，设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，则122294sin 3cos t t αα⋅=-+， ∴229124sin 3cos 5PA PB αα⋅==+，解得2tan 3α=，即tan α=tan α=， 所以直线l0y --=0y +=.22.（1）{}1x x ≤；（2）(][),31,-∞--+∞.【解析】22.（1）求出函数的两个零点，再利用零点分段法解不等式，即可得到答案；（2）利用绝对值不等式，将()1f x ≥恒成立等价于21m +≥恒成立，再解绝对值不等式，即可得到答案； 解：（1）当1m =时，()12,13,1221,2x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩.当1x ≤-时，由()3f x x ≥，得51x ≤，解得15x ≤，所以1x ≤-； 当12x -<<时，由()3f x x ≥，得33x ≤，解得1x ≤，所以11x -<≤；当2x ≥时，()3f x x ≥，解得1x ≤-，所以无解.综上()3f x x ≥的解集为{}1x x ≤（2）()222x x m x x m m -+≥--+=++，当且仅当()()20x x m -+≤时等号成立，故()1f x ≥恒成立等价于21m +≥恒成立， 由21m +≥，可得3m ≤-或1m ≥-，所以m 的取值范围是(][),31,-∞--+∞.23.e (],1-∞【解析】23.将0a =代入，求出函数的导数得出()0f x '>恒成立，得到单调性进而得最小值；结合性1x e x >+可得()2111a x -+≥，进而可得结果.当0a =时，∵()222ln x f x x e x =-，∴()222222x x f x xe x x e x'=+⋅-. 当1x >时，()0f x '>恒成立，∴()f x 在[]1,2上单调递增.∴()f x 在[]1,2上最小值为()1f e =.又0x >时，()1f x ≥恒成立，令 ()1x g x e x =--,()()100x g x e g ''=->=, 所以()g x 在()0,∞+ 递增，()()00g x g >= 所以1x e x >+ ∴()22222ln 22ln 2ln x x x f x x e x ax e x ax +=--=--()2222ln 12ln 111x x x ax a x ≥++--=-+≥恒成立， ∴1a ≤.故答案为e ；(],1-∞.。
2019年河南省高考适应性考试数学试题(理)及答案
河南省普通高中2019年新课程高考适应性考试（一）数学（理）试题本试题卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）。
考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R ，集合A={1，2，3，4，5}，B={|2x x ≥}，下图中阴影部分所表示的集合为A ．{0，1，2}B ．{1，2}C ．{1} C ．{0，1} 2．复数321iz i i=-+，在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第二象限D ．第四象限3．若13sin cos ,(0,)αααπ-+=∈，则tan α= A ．3 B ．3- C ．3 D ．3-4．已知命题:,p x R ∃∈使得12,x x+<命题2:,10q x R x x ∀∈++>，下列命题为真的是A ．p ∧ qB ．（)p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝5．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．43B ．83C ．123D ．2436．已知△ABC 中，C=45°，则sin 2A=sin 2B 2A ．14B ．12 C 2D ．34 7．如图是计算函数ln(),2,0,23,2,3x x x y x x ⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪>⎩的值的程序框图，在①、②、③处分别应填入的是A ．y=ln （一x ），y=0，y=2xB ．y=0，y=2x，y=In （一x ）C ．y=ln （一x ），y=2z，y=0D ．y=0，y=ln （一x ），y=2x8．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足 （a-c ）·（b 一c ）=0，则|c|的最大值是A ．1BC ．2D 9．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的表面积为A ．16πB ．24πC ．π D ．48π103)nx+的展开式中，各项系数之和为M ，各项二项式系数之和为N ，且M+N=72，则展开式中常数项的值为 A ．18 B ．12 C ．9 D ．611．已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有11()()(2012)f x f x f x ≤≤+成立，则ω的最小值为A ．12012 B ．2012π C ．14024 D ．4024π 12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为一1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若A，B ，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为 ABCD第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第2l 题为必考题，每个试题考生都必须做答。
河南省2020年高考适应性测试有答案 数学理
河南省2020年普通高中毕业班高考适应性测试 数 学 试 题（理）本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{|3},{1,0,1}x M y R y N =∈==-，则下列结论正确的是（ ） A ．{0,1}M N =IB ．(0,)M N =+∞UC ．()(,0)R C M N =-∞UD ．(){1,0}R C M N =-I 2．i 是虚数单位，复数31z i =+的虚部是 （ ） A ．0B ．-1C ．1D ．-i3．261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为m ，则函数2y x y mx =-=与的图象所围成的封闭图形的面积为 （ ） A ．6256 B ．2506 C ．3756 D ．12564．函数(01)||xxa y a x =<<的图象大致形状是 （ ）5．已知函数(),(0,)mf x x x x=+∈+∞，若不等式()4f x <的解集是空集，则 （ ） A ．4m ≥ B ．2m ≥ C ．4m ≤ D ．2m ≤6．设实数x ，y 满足221x y +≤，则点(,)x y 不在区域11,11x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩内的概率是（ ）A ．14B ．21π-C ．2πD ．187．若点(cos ,sin )P θθ在直线20x y +=上，则cos2sin 2θθ+= （ ）A ．15-B ．12-C ．15D ．128．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，2()x f x e ex a -=-+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（ ） A ．0x y += B ．10ex y e -+-= C ．10ex y e +--=D ．0x y -= 9．ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量(1,3),(cos ,sin ),//p q B B p q ==且cos cos 2sin ,b C c B a A C +=∠则= （ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒10．函数()sin()(0)f x M x ωϕω=+>，在区间[a ，b]上是增函数，且(),(),f a M f b M =-=则函数()cos()g x M x ωϕ=+在[a ，b]上（ ） A ．是增函数 B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值-M11．已知F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若1290F PF ∠=︒，且22F PF ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．512．已知函数731,,1,222()111,[0,],362x x x f x x x ⎧-⎛⎤∈ ⎪⎥⎪+⎝⎦=⎨⎪-+∈⎪⎩函数()sin()22(0)6g x a x a a π=-+>，若存在12,[0,1]x x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．14[,]23B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24[,]33D ．1[,1]2第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019年河南省高考数学理科适应性试卷(1)含答案解析
2019年河南省普通高中高考数学适应性试卷（理科）（1）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．已知集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∪B中的元素个数为（）A．6 B．5 C．4 D．32．如果复数（b∈R，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则b的值为（）A．1 B．﹣6 C．3 D．﹣93．已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2D．﹣24．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．25．给出下列四个结论：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.6，则P（ξ＞2）=0.2；②若命题P：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．10 B．11 C．12 D．137．等差数列{a n}的前n项和为S n，若=，则下列结论中正确的是（）A．=2 B．=C．=D．=8．六个人站成一排照相，则甲、乙两人之间恰好站两人的概率为（）A．B．C．D．9．已知正数x，y满足x+4y=4，则的最小值为（）A．B．24 C．20 D．1810．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．9 B．C．18 D．2711．已知函数f（x）=ln（2x+）﹣，若f（a）=1，则f（﹣a）=（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣312．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知不等式组表示的平面区域的面积为25，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为______．14．（2x+﹣4）9的展开式中，不含x的各项系数之和为______．15．四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA⊥平面ABCD，PA=5，则该球的表面积为______．16．已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+1=a n+，a1=，S n为数列{a n}的前n项和，若对于任意的n∈N*，不等式≥2n﹣3恒成立，则实数k的取值范围为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（cosB，2cos2﹣1），=（c，b﹣2a），且•=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若点D为边AB上一点，且满足=，||=，c=2，求△ABC的面积．18．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=•x+；（Ⅱ）若周六同一时间段车流量200万辆，试根据（Ⅰ）求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？（参考公式：=，=﹣•；参考数据：x i=540，y i=420）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=4．（Ⅰ）若点P为AA1的中点，求证：平面B1CP⊥平面B1C1P；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得二面角B1﹣CP﹣C1的大小为60°？若存在，求出|AP|的值；若不存在，说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标的值．21．已知函数f（x）=a﹣﹣lnx，其中a为常数．（Ⅰ）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（Ⅱ）（i）若函数g（x）=a﹣﹣﹣f（x）﹣lnp，其中p为常数，试判断函数g（x）的单调性；（ii）若f（x）恰有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：x1+x2＜3e a﹣1﹣1．四、请考在第22、23、24三题中任选一题作答：注意：只能做所选定的题目：如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC、CD．（Ⅰ）求证：直线AB是圆O的切线；（Ⅱ）若tan∠CED=，圆O的半径为2，求OA的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．24．已知函数f（x）=|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+5）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：f（ab+3）＞f（a+b+2）．2019年河南省普通高中高考数学适应性试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．已知集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∪B中的元素个数为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】并集及其运算．【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可．【解答】解：∵集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}，∴B={0，2，4}；∴A∪B={0，1，2，4}；∴A∪B中的元素个数为4．故选：C．2．如果复数（b∈R，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则b的值为（）A．1 B．﹣6 C．3 D．﹣9【考点】复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部和虚部相等求得b的值．【解答】解：∵=的实部和虚部相等，∴6﹣b=﹣（2b+3），解得：b=﹣9．故选：D．3．已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2D．﹣2【考点】三角函数的化简求值．【分析】由tan（α﹣）=，求出tanα，然后对表达式的分子、分母同除以cosα，然后代入即可求出表达式的值．【解答】解：由tan（α﹣）==，得tanα=3．则=．故选：B．4．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与（x﹣2）2+y2=3相切，可得圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：取双曲线的渐近线y=x，即bx﹣ay=0．∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与（x﹣2）2+y2=1相切，∴圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，∴=，化为2b=c，两边平方得3c2=4b2=4（c2﹣a2），化为c2=4a2．∴e==2．故选：C．5．给出下列四个结论：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.6，则P（ξ＞2）=0.2；②若命题P：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据正态分布的性质进行判断，②根据含有量词的命题的否定进行判断．③根据直线垂直的等价条件进行判断．④根据回归直线的性质进行判断．【解答】解：①若ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.6，则P（ξ＞2）===0.2，故①正确，②若命题p：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈[1，+∞），x2﹣x﹣1≥0；故②错误③当b≠0时，两直线的斜率分别为，，由•（）==﹣1，即a=﹣3b，当b=0，a=0时，两直线分别为l1：3y﹣1=0，l2：x+1=0，满足l1⊥l2，故l1⊥l2的充要条件是错误，故③错误，④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均减少2.5个单位．故④错误，故正确是①，故选：A．6．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】绘制结构图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，S=2，k=2，不满足退出循环的条件，第2次执行循环体后，S=6，k=3，不满足退出循环的条件，第3次执行循环体后，S=14，k=4，不满足退出循环的条件，第4次执行循环体后，S=30，k=5，不满足退出循环的条件，第5次执行循环体后，S=62，k=6，不满足退出循环的条件，第6次执行循环体后，S=126，k=7，不满足退出循环的条件，第7次执行循环体后，S=510，k=8，不满足退出循环的条件，第8次执行循环体后，S=1022，k=9，不满足退出循环的条件，第9次执行循环体后，S=2046，k=10，满足退出循环的条件，故输出的k值为10，故选：A7．等差数列{a n}的前n项和为S n，若=，则下列结论中正确的是（）A ． =2B ． =C ． =D ． =【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列的求和公式和性质可得=3•=2，解方程可得．【解答】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且=，∴==2，由等差数列的求和公式和性质可得：===3•=2，∴ =故选：C8．六个人站成一排照相，则甲、乙两人之间恰好站两人的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】六个人站成一排照相，先求出基本事件总数，再求出甲、乙两人之间恰好站两人包含基本事件个数，由此能求出甲、乙两人之间恰好站两人的概率．【解答】解：六个人站成一排照相，基本事件总数n==720，甲、乙两人之间恰好站两人包含基本事件个数m==144，∴甲、乙两人之间恰好站两人的概率p===． 故选：B ．9．已知正数x ，y 满足x +4y=4，则的最小值为（ ）A ．B ．24C ．20D ．18 【考点】基本不等式．【分析】根据已知可将，化为，利用基本不等式可得≥2=8xy ，从而原式：≥=18．【解答】解：∵x+4y=4，可得：=1，∴====，∵≥2=8xy，∴≥=18．故选：D．10．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．9 B．C．18 D．27【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图和正方体可得该几何体一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥A﹣BCD，三棱锥的外面是长、宽、高为6、3、3的长方体，∴几何体的体积V==9，故选：A．11．已知函数f（x）=ln（2x+）﹣，若f（a）=1，则f（﹣a）=（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【考点】函数的值．【分析】易知f（a）=ln（2a+）﹣=1，化简f（﹣a）=ln（﹣2a+）﹣=ln（）﹣，从而求得．【解答】解：由题意知，f（a）=ln（2a+）﹣=1，故f（﹣a）=ln（﹣2a+）﹣=ln（）﹣=﹣ln（2a+）﹣2+=﹣（ln（2a+）﹣）﹣2=﹣3，故选：D．12．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据min{m，n}的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图，两个图象的下面部分图象，由g（x）=﹣x2+2x+3=0，得x=﹣1，或x=3，由f（x）=|lnx|﹣1=0，得x=e或x=，∵g（e）＞0，∴当x＞0时，函数h（x）的零点个数为3个，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知不等式组表示的平面区域的面积为25，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为17．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，结合可行域的面积求得a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（4，4），联立，解得A（a，a），联立，解得B（8﹣a，a），∴，即a=﹣1，∴B（9，﹣1），化目标函数z=2x +y 为y=﹣2x +z ，由图可知，当直线y=﹣2x +z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为17． 故答案为：17．14．（2x +﹣4）9的展开式中，不含x 的各项系数之和为 ﹣1 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】先将问题转化为二项展开式的各项系数和问题，再利用赋值法求出各项系数和．【解答】解：（2x +﹣4）9的展开式中，不含x 的各项系数之和，即（﹣4）9的各项系数之和．令y=1，可得（﹣4）9的各项系数之和为（﹣1）9=﹣1，故答案为：﹣1．15．四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD 是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA ⊥平面ABCD ，PA=5，则该球的表面积为 50π ．【考点】球的体积和表面积．【分析】把四棱锥补成长方体，根据长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算．【解答】解：把四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球是长方体的外接球，∵长方体的对角线长等于球的直径，∴2R==5，∴R=，外接球的表面积S=4πR 2=50π．故答案为：50π．16．已知各项均为正数的数列{a n }满足a n +1=a n +，a 1=，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式≥2n ﹣3恒成立，则实数k 的取值范围为 ． 【考点】数列递推式．【分析】各项均为正数的数列{a n }满足a n +1=a n +，a 1=，变形为：a n +1﹣=（a n ﹣），a 1﹣=3，利用等比数列的通项公式可得：a n =3×+，可得S n ．不等式≥2n ﹣3化为：k ≥．再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n }满足a n +1=a n +，a 1=，∴a n﹣=（a n﹣），a1﹣=3，+1∴数列是等比数列，首项为3，公比为．∴a n﹣=3×，即a n=3×+，∴S n=+=+．不等式≥2n﹣3化为：k≥．令f（n）=，则f（n+1）﹣f（n）=﹣=．则n≤2，a1＜a2＜a3．n≥3，a3＞a4＞a5＞…．∴f（3）最大为．对于任意的n∈N*，不等式≥2n﹣3恒成立，∴k≥．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（cosB，2cos2﹣1），=（c，b﹣2a），且•=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若点D为边AB上一点，且满足=，||=，c=2，求△ABC的面积．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则计算列出关系式，根据二倍角的余弦函数公式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosC的值，（Ⅱ）利用向量的几何意义和向量的模的计算以及余弦定理和三角形的面积公式即可求出．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（cosB，2cos2﹣1），=（c，b﹣2a），且•=0，∴c•cosB+（b﹣2a）cosC=0，由正弦定理可得，sinCcosB+（sinB﹣2sinA）cosC=0，∴sinA﹣2sinAcosC=0，∵sinA ≠0，∴cosC ﹣，∵C ∈（0，π），∴C=，（Ⅱ）=，||=，c=2，∴=﹣，∴2=+，两边平方得4||2=b 2+a 2+2accosC=b 2+a 2+ac=28，（1），∵c 2=b 2+a 2﹣2accosC=b 2+a 2﹣ac=12，（2），由（1），（2）可得ab=8，∴S △ABC =absinC=2．18．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法，求出y 关于x 的线性回归方程=•x +； （Ⅱ）若周六同一时间段车流量200万辆，试根据（Ⅰ）求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？（参考公式： =， =﹣•；参考数据： x i =540， y i =420）【考点】线性回归方程．【分析】（I ）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II ）将x=200代入回归方程计算．【解答】解：（Ⅰ）×=108，（78+80+84+88+90）=84．=（﹣8）×（﹣6）+（﹣6）×（﹣4）+0+6×4+8×6=144，=（﹣8）2+（﹣6）2+0+62+82=200．∴=，=84﹣0.72×108=6.24．∴y关于x的线性回归方程为=0.72x+6.24．（II）当x=200时，=0.72×200+6.24=150.24．∴此时PM2.5的浓度为150.24微克/立方米．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=4．（Ⅰ）若点P为AA1的中点，求证：平面B1CP⊥平面B1C1P；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得二面角B1﹣CP﹣C1的大小为60°？若存在，求出|AP|的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1，从而B1C1⊥平面ACC1A1，进而B1C1⊥CP，再求出CP⊥C1P，从而CP⊥平面B1C1P，由此能证明平面B1CP⊥平面B1C1P．（Ⅱ）以C为原点，CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在棱AA1上存在一点P，使得二面角B1﹣CP﹣C1的大小为60°，且|AP|=2【解答】证明：（Ⅰ）∵∠A1C1B1=∠ACB=90°，∴B1C1⊥A1C1，由直三棱锥性质得B1C1⊥CC1，且A1C1∩CC1=C1，∴B1C1⊥平面ACC1A1，∵CP⊂平面ACC1A1，∴B1C1⊥CP，由A1A=BC=2AC=4，P为A1A中点，知CP=C1P=2，∴=，即CP⊥C1P，B1C1∩C1P=C1，∴CP⊥平面B1C1P，∵CP⊂平面B1CP，∴平面B1CP⊥平面B1C1P．解：（Ⅱ）如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设|AP|=a，P（2，0，a），C（0，0，0），B1（0，4，4），B（0，4，0），=（2，0，a），=（0，4，4），设平面B1CP的法向量为=（x，y，z），则，取z=﹣1，得=（），平面C1CP的一个法向量=（0，4，0），∵二面角B1﹣CP﹣C1的大小为60°，∴cos60°===，解得a=2，∴在棱AA1上存在一点P，使得二面角B1﹣CP﹣C1的大小为60°，且|AP|=220．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由圆O的方程为x2+y2=4，设点Q的纵坐标为t，则Q（2，t），当MP⊥x轴时，求出t=﹣2；当PM不垂直于x轴时，设直线OP：y=kx（k＞0，x＞0），则直线OQ：y=﹣，由|OP|•|OQ|=|PQ|•|OM|，能求出点Q的纵坐标的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），∴，解得a2=8，b2=4，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆O的方程为x2+y2=4，①设点Q的纵坐标为t，则Q（2，t），当MP⊥x轴时，∵点P在椭圆C上，且在第一象限内，∴P（2，），∵，解得t=﹣2．②当PM不垂直于x轴时，设直线OP：y=kx（k＞0，x＞0），∴直线OQ：y=﹣，则P（x0，kx0），Q（﹣tx，t），在△OPQ中，|OP|•|OQ|=|PQ|•|OM|，∴=2，即=4[（x0+kt）2+（kx0﹣t）2]，，∴，∴，又由，∴，又由，∴，∴，∴=0，∴t2=8，解得t=．∴点Q的纵坐标的值为．21．已知函数f（x）=a﹣﹣lnx，其中a为常数．（Ⅰ）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（Ⅱ）（i）若函数g（x）=a﹣﹣﹣f（x）﹣lnp，其中p为常数，试判断函数g（x）的单调性；（ii）若f（x）恰有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：x1+x2＜3e a﹣1﹣1．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得单调区间，由单调性，即可判断函数的零点个数；（Ⅱ）（i）求出g（x）的导数，从而判断出g（x）的单调性，（ii）要证x1+x2＜3e a﹣1﹣1，可知知，p是h（x）的唯一最大值点，故有，作函数m（x）=lnx﹣﹣lnp，通过导数判断单调性，整理，变形，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）递减，f（x）max=f（1）=a﹣1，①当f（x）max=0，解得：a=1，此时最大值点唯一，符合题意，②当f（x）max＜0，即a＜1时，f（x）＜0恒成立，不符合题意，③当f（x）max＞0，即a＞1时，e a＞1，f（e a）=﹣＜0，e﹣a＜1，∴f（e﹣a）=2a﹣e a≤2a﹣ea＜0，（易证e x≥ex），∴f（x）有2个零点，不符合题意，综上：a=1；（Ⅱ）（i）由g（x）=a﹣﹣﹣f（x）﹣lnp，得：g（x）=lnx﹣﹣lnp，函数g（x）的定义域是（0，+∞），且p＞0，∵g′（x）=≥0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增；（ii）f（x）=0⇔h（x）=ax﹣1﹣xlnx=0，故x1，x2也是h（x）=0的两个零点．由h′（x）=a﹣1﹣ln x=0，得x=e a﹣1（记p=e a﹣1）．可知，p是h（x）的唯一最大值点，故有，作函数m（x）=lnx﹣﹣lnp，则m′（x）=≥0，故m（x）单调递增．当x＞p时，h（x）＞h（p）=0；当0＜x＜p时，h（x）＜0．于是，ax1﹣1=x1ln x1＜+x1lnp．整理，得（2+lnp﹣a）x12﹣（2p+ap﹣plnp﹣1）x1+p＞0，即x12﹣（3e a﹣1﹣1）x1+e a﹣1＞0．同理x22﹣（3e a﹣1﹣1）x2+e a﹣1＜0．故x22﹣（3e a﹣1﹣1）x2+e a﹣1＜x12﹣（3e a﹣1﹣1）x1+e a﹣1，即（x2+x1）（x2﹣x1）＜（3e a﹣1﹣1）（x2﹣x1），于是x1+x2＜3e a﹣1﹣1．四、请考在第22、23、24三题中任选一题作答：注意：只能做所选定的题目：如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC、CD．（Ⅰ）求证：直线AB是圆O的切线；（Ⅱ）若tan∠CED=，圆O的半径为2，求OA的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（I）利用等腰三角形的性质和切线的定义即可证明；（II）利用圆的性质可得=．再利用切线的性质可得△CBD∽△EBC，于是==．设BD=x，BC=3x，利用切割线定理可得BC2=BD•BE，代入解出即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线．（Ⅱ）解：∵ED是直径，∴∠ECD=90°，在Rt△BCD中，∵tan∠CED=，∴=．∵AB是⊙O的切线，∴∠BCD=∠E．又∵∠CBD=∠EBC，∴△CBD∽△EBC，∴==．设BD=x，BC=3x，又BC2=BD•BE，∴（3x）2=x•（x+4）．解得：x1=0，x2=，∵BD=x＞0，∴BD=．∴OA=OB=BD+OD=．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l方程与圆C的方程联立方程组，求得A、B两点的坐标，可得|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得3x+y﹣3=0．圆C的方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，即x2+=3．（Ⅱ）由求得，或，故可得A（，﹣）、B（﹣， +）．∵点P（1，0），∴|PA|+|PB|=+=（2﹣）+（2+）=4．24．已知函数f（x）=|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+5）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：f（ab+3）＞f（a+b+2）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的复合函数形式，通过讨论x的范围，求出各个阶段上的x的范围，从而求出不等式的解集；（Ⅱ）问题转化为：|ab+1|＞|a+b|，通过作差法证明即可．【解答】（Ⅰ）解：f（x）+f（x+5）=|x﹣2|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣1≥9，解得：x＜﹣5，当﹣3≤x≤2时，f（x）≥9不成立，当x＞2时，由2x+1≥9，解得：x≥4，∴不等式的解集是{x|x≤﹣5或x≥4}；（Ⅱ）证明：f（ab+3）＞f（a+b+2）即|ab+1|＞|a+b|，∵|a|＜1，|b|＜1，∴（ab+1）2﹣（a+b）2=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，∴|ab+1|＞|a+b|，故所证不等式成立．2019年10月4日。