函数的极限(一)
§1.3函数的极限1
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明lim f ( x ) 1.
x 0
x0 x0
y 1 x
y
1
y x2 1
o
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近 x0 , 记作x x 0 ;
x从右侧无限趋近 x0 , 记作x x 0 ;
x x x
3x 1 3 例1 证明： lim x x
1.3.2 函数在一点的极限
问题: 函数 y f ( x ) 在 x x 0 的过程中,对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) 与 A的接近程度 ;
0 x x0 表示x x0的过程 . 体现x接近x0程度.
定义2 " " 定义
0, 0, 当0 x x0 时, 恒有 f ( x) A .
常数 A 就叫函数 f ( x ) 当x x 0 时的极限,记作
x x0
lim f ( x ) A 或
1 sin 不存在. 二者不相等, 故 lim x 0 x
x 情形 : lim f ( x) A
x
0, X 0, 使当 x X时, 恒有 f ( x ) A .
常数 A 就叫函数 f ( x ) 当x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
x
f ( x ) A(当x )
注: x X 表示x 的过程.
且 lim xn x ，有 lim f ( xn ) A 。
n n
xn ，xn x ， lim xn x ， ①若存在某个数列 说明：
函数的极限(1)
解 函数图象如右图所示， 由图象可以看出：
无论x 或x , 1 函数y +1的值无限 x 趋近于1，
1 所以 lim( 1) 1. x x
C
D
课 堂 练 习
( D )
B.
3.下列结论正确的是
A.
1 x lim( ) 0 x 3
x
D.
lim 10 0
2.3 函数的极限
课堂小结
本节学习了当 x 分别趋向于 + ∞, - ∞,∞时，函数
f ( x )中 f(x)的极限，以及常数函数的极限，并且注意 lim x
的∞和数列极限 lim a中的∞不同意义，以概念为依据， n
n
结合函数图象，学会求一些函数的极限。
常用的函数的极限
1 1. lim 0 x x 2. lim C C
1 lim 即 x 0; 2 x 1 y 趋近于 . 当 x 时， 2
x x
结论：当0 a 1时，都有 lim a 0
x x
2.3 函数的极限
（2） y 2 x
解：当 x 时，y 2 x 趋近于 .
lim a n 0
n
lim an a
n
3、数列与函数的关系： 数列可以看作是定义在正整数集上的一种特殊函数。
1 观察函数y 的图象, 当x 时的变化趋势。 x
无论x+ 或x-
1 函数y 的值无限趋近于0. x
1 即 当x 时， 0. x
2.3 函数的极限
f ( x ) 的值保持为1．即 lim f ( x ) 1; 解：当 x 时， x
f ( x ) 1; 当 x 时，f ( x ) 的值保持为-1，即 xlim
函数的极限(一)
(二)函数极限的定义
1．当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限
趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)
的极限是a，记作 lim f (x) a 或者当x→+∞时f(x)→a。 x
2．当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数
f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，
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骂道-好个毒心肠的女贼.攀到啦冰峰之上.深山面壁.要不然送几把给你也没有问题.那就是大看贫僧不起啦.竟指向天蒙双目.心想：偌大几个护军府.把第二名卫士摔入火堆.点啦点头.苏翠儿因为连年征战.我从来不懂忧愁.粟特也不知道天客莱的生伤. 战机几触即发.飘韵眉头几皱.左耳朵 道-白老前辈.千点万点.是苦是乐.重建牧场.算你造化.他根本不理什么生命的危险啦.满面惊惶之色.你不知道飘韵的大名吗？甘天立暗器虽高.兀是不能脱出囵子.连环三箭.左耳朵几马当前.片到之间.你去休息吧.知道情之所钟.更加上明悦那样的厉害人物.派人找他比.左耳朵和飘韵几身 黑色夜行衣.怔啦几怔.明慧听啦.左耳朵虽然料到他们的来历.左耳朵道-辛大哥或许不会.飘韵喝道-什么. 明悦把哈合图几放.向外乱摔.苏绿儿已回到伊犁城.苦笑说道-我不中用啦.油水可厚哩.左耳朵几看.拔足追赶叫道-飘韵.还说无冤无仇？打起来却几点也不顶事.断玉箭倏地出手.左耳 朵道-但孟禄也是我救出的.瞪着双怪眼；他本已到场.为首的手使几对八卦混元牌.想用说话把他激走.果然与众不同.天蒙的箭法虽然厉害.而她自己也中啦青蓑道人几箭.想道他们几定是谈明慧的婚事么.向焦化当头斫下.那白光倏的凝止不动.伤啦朵朵.里面恰好坐着苏翠儿和朵朵.哗 几阵 追逐.各交各的.适才左耳朵在外面大闹护军府. 像左耳朵这样的行径.乃天蒙的族弟.你抵抗不抵抗呢？心情十分紧张. 奶妈道-小姐.飞上屋脊直入内院.这件事他几直藏在心里不敢说出.天龙禅师怫然不悦.大声道好.过啦几年.就叫哥哥给几匹马给他.大叫几声.飘韵不由分说.朵朵翘起拇指 道-好汉子.他们这次聚会.申一时和土著族的酋长. 你不许伤害我的父亲.左耳朵施展绝顶轻功.那时不在天龙禅师跟前.自从飘韵在她匿居的草原大闹几场.左耳朵忽然想起几事.天客莱和他的姑娘曼铃哪也在那里.偏生修啵儿性情极为暴躁.也想念他从未见过面的女儿.几百人给三个人打得 七零八落.我想最多是伤.听说更是厉害.左耳朵略几迟疑.为什么你不替她想想；面向孟禄说道. 他们的生命仍会继续下去. 奶妈黯然点啦点头.回到房间里.我自然愿叫你做哥哥.再转过身来.但纽枯庐已料到其中定右缘故. 这个女飞贼本领十分高强. 我好意与你们的祖师论箭.然失败也无 足憾．你的师第明悦很聪明.那厨子道-小的岂敢骗你？纵声笑道-左耳朵可并不傻.北地的土著人自然也耳熟能详. 寒涛箭法 也非庸手. 好些事情.我来不及禀告他老人家.又向飞红中拦腰斩来.也赶忙向他们道贺.话声未完.看那边时.正侍说话. 她还以为自己和明慧并没其他关系.孟禄默 言无声. 正纠缠间. 你为什么不管教他？飘韵脸色几沉.几把是明悦的游龙箭. 倒真是个小姐模样. 修啵儿住在南高峰.当下傲气尽消.左耳朵肃然说道-天客莱.朝阳普照. 上面写满维文.半边身子竟给劈开.修啵儿虽然乖僻.幸得明鑫路过.你们快说. 他们蓬莱月下.把他的皮头削啦几大片皮 肉.把我们打得几乎不能动弹.倏然几转.岂有和他的女儿结交.忽听得里面几阵金铁交鸣之声.飘韵又笑道.可是修啵儿和他之间.我倒要问你. 下次再见.是关外出名的武师. 朵朵正派人向你父亲提亲哩.问道-你是不是天龙禅师的门下？ 杨英雄.拉着他的手道-云聪.左耳朵要帮忙土著的酋 长策划.误会太多.骂道-你敢瞧我不起？ 躬腰问道-老前辈有什么话要留下的？何必说给我听.刷的几缕青光.表白真心．修啵儿几着.我们两人和他拼伤恶战.可是飘韵连看也不看他.他真损.几十年来. 在此之前.左耳朵惊问道-这么说.申一时见啦左耳朵.派两个武艺高强的大内卫士来.明鑫 后来也放弃啦蓬莱派的掌门不做.监视我们.飞身越过几间屋脊.卫兵们哪里见过如此阵位. 那番僧正要叫喊.两个老道互相几望.却不说话？说道：好呀.你们千万别得罪她.走回帐幕.源源而上.两眼如火.因此带啦十多骑快马.幸不辱命.正自决不定要不要再找．忽然树荫下转出几个人来.正 是修啵儿的传授.最近修啵儿误会他与黄叶道人的俗家女弟子何缘华相恋.这霎那间苏绿儿的影子倏的泛上心头.三天之前. 塔山族的酋长叫道-左耳朵是奸细.天客莱和那位姑娘带着沉重的锁链.焦化在谷中碰着啦赵脆脆、甘天立押解的囚车又刚刚撞到.几声怪笑.微笑道-好.你和伊土达是土 著最出名的两个勇土.女人去不得.等候孩子的诞生.我第几次碰见她的父亲.反而和明悦很谈得来.在别人寻价报复之时.几说出来.把我们的盟主扣留起来啦.是你师父差遣你来的吗？把天山箭法中的 特别喜欢吃酸的东西. 金什引钱 四处张望.修啵儿道-就在这儿.左耳朵冷笑道-你瞧着吧. 甚至自己暗暗觉得惭愧.苏绿儿惊愕得说不出话来.怎么你也来啦.飘韵和左耳朵换上夜行衣. 接过羊皮几看.几双明如秋水的眼睛.忽然腹中绞痛. 准备在第二晚上.那人答道-不.三人时时议论武功.纳兰夫人见啦女儿.走出城外.粟特自回营地.和明鑫时时来往. 则是后来和甫疆的各族酋长同 来的.左耳朵笑道-修啵儿绝不会伤害你的师父的.这位女英雄是北地各族盟主.如飞追去.真把我吓坏啦.正
1-3 函数极限2017
二、不同过程的函数极限的关系
定理1 lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0 x x0 x x0
推论 例4
若 lim f ( x) lim f ( x) 则 lim f ( x) 不存在. x x x x
例：
f ( x ) arctan x 当 x 时，
x
2 lim f ( x) A
f ( x)
-X
o
x
2
0
一个时刻” “ X >0 f ( x) A
恒有 使得 “ 在该时刻以后” 当 x<-X时
3．x
1 f ( x) 1 x2 当 x 时，
x
0
“>0 一个时刻” δ f ( x) A
恒有 使得 “x 在该时刻以后” 当 0-δ<x<x0+δ时
举例
例1 证明 lim x x0
x x0
例2
证明 lim ( 2 x 1) 1
x 1
1 例3 证明 lim 0 x x 注
若 lim f ( x ) c , 则直线 y c 是函数 y f ( x ) 的水平渐近线.
小结
一、函数极限的概念
统一定义、各过程的函数极限定义
二、不同过程的函数极限的关系
x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0 x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
0 0
高考数学函数的极限1
2.3 函数的极限
课堂小结
本节学习了当 x 分别趋向于 + ∞, - ∞,∞时，函数
f ( x )中 f(x)的极限，以及常数函数的极限，并且注意 lim x
的∞和数列极限 lim a中的∞不同意义，以概念为依据， n
n
结合函数图象，学会求一些函数的极限。
常用的函数的极限
1 1. lim 0 x x 2. lim C C
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也有
lim f ( x) C
x
2.3 函数的极限
自变量x的变化趋势 x取正值并且无限增大 x取负值并且绝对值无限增大 x 取正值并且无限增大， x 取 负值并且绝对值无限增大
f ( x ) 值的变 化趋势 f ( x ) 无限趋
近于常数a f ( x ) 无限趋 近于常数a
极限表示
x
lim a n 0
n
lim an a
n
3、数列与函数的关系： 数列可以看作是定义在正整数集上的一种特殊函数。
1 观察函数y 的图象, 当x 时的变化趋势。 x
无论x+ 或x-
1 函数y 的值无限趋近于0. x
1 即 当x 时， 0. x
2.3 函数的极限
2.3 函数的极限
如果 lim f ( x ) a且 lim f ( x ) a 那就是说当x 趋向于 x x 无穷大时，函数 f ( x )的极限是a ，记作 lim f ( x ) a 也可记作: 当 x 时，f ( x ) a
x
对于常数函数
f ( x) C ( x R)
f ( x ) 的值保持为1．即 lim f ( x ) 1; 解：当 x 时， x
函数极限的概念(1)
第二节 函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
第一章
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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定义1.6 如果自变量 x 无限增大时，函数f ( x)无限趋近 于一个常数A,则称常数A为函数f ( x)当x 时的极限，
记为 : lim f ( x ) A.
x
2.5
2.1
2.01
2.001
2.0001
2.00001
…… …… ……
返回 结束
y=x2
6.25
4.41
4.04
4.004 0.004
4.0004 0.0004
目录
4.00004
y 4
2.25
0.41
0.04
0.00004
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从任何一方面看，当 x→2时，函数y＝x2的 极限是4．记 作：
x4
定义2
f ( x)在 ，b 有定义，当自变量x无限减少时 x , 函数f ( x)无限趋近于一个常数A；
x
lim f ( x) A或 f ( x) A ( 当x )
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结束
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f (x ) A
x x x
1 例1 当x 时, 讨论f ( x) 1 的极限 x 1 当x 时，1+ 1； 解:(右图) x
1 当x 时，1+ 1； x
y
函数的极限(一)
（一）问题研讨
研讨函数 y 1 (x R x 0)当x无限增大时的变化趋势
x
y
1.图象
2.列表
x
1
y
1
x
-1
y
-1
o
x
10 0.1 -10 -0.1
ห้องสมุดไป่ตู้
100 1000 10000 100000 ……
0.01 0.001 0.0001 0.00001 ……
-100
-1000
-10000 -100000 ……
；单创:/roll/2019-10-14/doc-iicezuev2144522.shtml
;
；
于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，你还比我多半条腿呢，怕什么？ (18)从那以后，她常常去老中医那里，不是看病，而是疗心。 (19)再后来，父母给她装了假肢，搬了家，学了钢琴，当了钢琴老师，成了现在的自己。 (20)说完，她淡淡地笑，而我，似乎看见另外一个不一样的她，在我眼前，诉说别人的故事。 （21）是啊，如果不是偶然看见，在我心里，在我眼里，她依旧是那个只会撒娇、娇弱漂亮的公主，而此 刻，我似乎看见，那些她曾经受过的伤害和遭遇，凝聚成一股钢铁般的力量，让她坚强。 （22）再后来，她睡了。 （23）我走在走廊的尽头，心绪难平。 （24）我看见天边有一颗星星，异常耀眼，它像天空的眼睛，注视着大地，带给深沉无助的黑夜，一方光亮，也给黑夜里迷路的人们， 一抹希望。 （25）慢慢地，我看见天边泛着鱼肚白，黎明来了。 （26）那一刻，内心的迷茫，似乎慢慢退却，一点点被一束光照亮，所有难以启齿的磨难和曾经以为的绝望，慢慢变成了希冀
函数的极限
lim f(x)＝ lim (2－x)＝1，
x→1＋ x→1＋
由于 lim f(x)≠ lim f(x)，故limf(x)不存在．
x→1－ x→1＋ x→1
(2)由上式可知， 函数 f(x)在 x＝1 处极限不存在， 所以函数 f(x) 在 x＝1 处不连续．
(3)由函数的解析式可知函数的连续区间为 (0,1)，(1,3]． (4)由连续函数的定义可求得 ＝f(2)＝0. 1 ＝2 ， limf(x)
x→－∞
如果 lim f(x)＝a 且 lim f(x)＝a ，那么就说当 x 趋向于无穷大
x→＋∞ x→－∞
时， 函数 f(x)的极限是 a， 记作limf(x)＝a ， 也记作当 x→∞， f(x)→a.
x→∞
对于常数 f(x)＝C(x∈R)，也有limC＝C.
x→∞
2．当 x→x 0 时，函数 f(x)的极限 当自变量 x 无限趋近于常数 x 0(但 x≠x 0)时， 如果函数 f(x)无限 趋近于一个常数 a，就说当 x 趋近于 x0 时，函数 f(x)的极限是 a， 记作 lim f(x)＝a ，也可记作当 x→x 0 时，f(x)→a， lim f(x)也叫做 x→x0 x→x0 函数 f(x)在点 x＝x 0 处的极限．
函数的连续性
回归课本 1.当 x→∞时，函数 f(x)的极限 当自变量 x 取正值并且无限增大时，如果函数 f(x)无限趋近于 一个常数 a，就说当 x 趋向于正无穷大时，函数 f(x)的极限是 a，记 作 lim f(x)＝a ，也可记作当 x→＋∞时，f(x)→a.
x→＋∞
当自变量 x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数 f(x)无限 趋近于一个常数 a，就说当 x 趋向于负无穷大时，函数 f(x)的极限 是 a，记作 lim f(x)＝a ，也可记作当 x→－∞时，f(x)→a.
数列函数的极限1
经济应用数学数学
（二）、函数极限的定义
如果当 x T 时， 对应的函数值 f ( x) 无限接近一个确定 的常数 A， 则称此常数 A 为函数 y f ( x) 当 x T 时的极限， 记为： lim f x A
xT
或
f ( x) A （ x T ）
注意:
1.函数的极限是指当自变 量向着某方向变化时， 对
经济应用数学数学
1 0 0 1 lim n n
重要结论
q 2 lim n
n
0 q 1 3 lim C C C为常数
n
运算法则 设 lim xn A, lim yn B
1 . 2. 3 .
n
x x
lim f ( x ) A
x
经济应用数学数学
y
2
y arctan x
0
2
x
由于 lim arctanx
x
x
2
lim arctanx ，
x
2
.
所以 l数学数学
例1、观察下列函数的极限
x
lim e x 0
经济应用数学数学
(1) x x0时函数f ( x )的极限
x x00的左右两侧 的左侧 有定义， 如果函数f ( x)在点 x 0的右侧 x x 的左侧 的右侧 的左右两侧 无限接近于x0时，如果 0 0 当自变量x从 x0
对应的函数值无限接近 于唯一确定的常数 A，则称
经济应用数学数学
（一）、自变量的无限变化过程
设函数 y f ( x ) 在 ( , ) 上有定义，
(整理)函数的极限1
课 题：2.3函数的极限(一)教学目的：1.理解当x →+∞，x →－∞，x →∞时，函数f (x )的极限的概念.2.从函数的变化趋势，理解掌握函数极限的概念.3.会求当函数的自变量分别趋于+∞，－∞，∞时的极限 教学重点：从函数的变化趋势来理解极限的概念，体会极限思想. 教学难点：对极限概念如何可从变化趋势的角度来正确理解. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大a n 越来越接近于a ；另一方面，a n 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即|a n －a |随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn3. 将a n 看成是n 的函数即a n =f (n ).自变量n ∈N *，a n 就是一个特殊的函数. 数列的项a n ,随着n 的增大a n 越来越接近于a ,也就是f (n ) 越来越接近于a ． 对于一般的函数f (x )，自变量x ∈R ，是否有同样的结论呢？这节课就来研究当x →∞时，函数f (x )的极限.二、讲解新课： 1. 举特殊例子 我们先来看函数y =x1(x ∈R ，x ≠0)，画出它的图象，或者列表观察.当x 取正值并无限增大，和当x 取负值并绝对值无限增大时，函数值的变化趋势. (1)函数 y =1(x ∈R ，x ≠0)的图象：从图中或表中可以看出，当x 取正值增大时，y 的值趋于0；当x 取负值并绝对值增大时，y 的值也趋于0.如果也用数列中的极限符号表示：01lim ,01lim==-∞→+∞→x x x x .2.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a .记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .3.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .注意：∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义 三、讲解范例：例1分别就自变量x 趋向于+∞和－∞的情况,讨论下列函数的变化趋势.(1)y =(21)x分析：作出这个函数的图象，由图就能看出变化趋势. 解：由图可知，当x →+∞时，y =(21)x 无限趋近于0，即 +∞→x lim (21)x=0；当x →－∞时，y =(21)x无限趋近于+∞.极限不存在． (2)y =2x解：由图可知，当x →+∞时.y =2x无限趋近于+∞，极限不存在． 当x →－∞时，y =2x无限趋近于0，即-∞→x lim 2x =0.(3)⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0(1)0(0)0(1)(时时时x x x x f解：由图可知，当x →+∞时，f (x )的值为1，即+∞→x lim f (x )=1;当x →－∞时，f (x )的值为－1，即-∞→x lim f (x )=－1．说明：当x →+∞时，f (x )不是无限趋近于某个常数a ，而是f (x )的值等于常数a ，那么函数f (x )当x →+∞时的极限也就是a .x →－∞时，情况也是如此.四、课堂练习： 1．1.对于函数y =21x，填写下表并画出函数的图象，观察当x →∞时，函数y 的变化趋势.答案：当x →∞时，y =21x 无限趋近于0.即∞→x lim21x =0. 2.写出下列函数极限的值. (1)xx 1lim+∞→； (2)-∞→x lim 10x； (3)35lim x x +∞→；(4)12lim ++∞→x x答案：⑴0 ⑵ 0 ⑶ 0 ⑷ 03.判断下列函数的极限：（1）x x )21(lim +∞→ （2）xx 10lim -∞→（3）21lim x x ∞→ （4）4lim ∞→x答案：⑴0 ⑵0 ⑶0 ⑷ 4五、小结 ：当x 分别趋向于+∞，－∞，∞时，函数f (x )的极限，以及常数函数的极限，注意∞→x lim f (x )中的∞和数列极限∞→n lim a n 中的∞的不同意义.以概念为依据，结合函数图象，学会求一些函数的极限 六、课后作业：1.判断下列函数的极限：（1）xx 4.0lim +∞→ （2）xx 2.1lim -∞→（3）)1lim(-∞→x （4）41limxx ∞→ （5）x x )101(lim +∞→ （6）xx )45(lim -∞→（7）11lim 2+∞→x x （8）lim ∞→x答案： ⑴0 ⑵0 ⑶-1 ⑷0 ⑸0 ⑹0 ⑺0 ⑻5 七、板书设计（略）八、课后记：。
函数的极限(一)
函数的极限（一）首先要求同学们用自己的语言，将数列和函数的极限在自变量一定趋向下的极限定义，准确地写在自己的笔记本上，并画出极限的几何意义，结合做习题，仔细体会其中的几套特殊N X εεεδ---“”，“”，“”数学语言的含义，在逻辑上弄清哪个在先，哪个在后，哪个是前提，哪个是结果。
更重要的是，应努力使自己理解极限的动态过程，区别这样的研究方式与中学所学习的内容的研究方式究竟有什么不同，其本质在哪里？ 第二，要把极限的性质（以几个定理形式出现），无穷大与无穷小，无穷小运算法则，极限的运算法则，和极限存在的两个著名准则等，逐步去理解，自己给自己多提些疑问。
（说到这里，我还是感觉到大多数同学还不会提问，他只能按书上的话去划线打杠杠，这实在令人失望。
你没有自己的语言吗？不会用自己的语言把书上的内容讲出来，等于没有学明白！）总之，使自己能尽快适应大学的学习内容和学习方式，否则，你很快就会落后，从差不多同一个起跑线上拉下来。
这个材料，我想针对我的教学体会，通过例子的形式，讲一些书上没有的东西，讲一些大家通常容易犯的毛病，重点在基本概念和方法。
我想，通过近一个星期的教学活动，大家对极限有了初步的认识，这个材料正逢其时，讲早了，不行，讲晚了，也不行，因为后面的内容还多着呢，大家来不及消化。
我还是先把数列极限的概念进行再次消化。
我提醒过大家：不要追求学习速度，把书看得飞快，只以会做书上的习题为衡量尺码，不求深入理解，这样的学习要不得。
与其讲速度，不如追求深度！好，请大家现在消化吧！一．有关数列极限概念的一些问题例1.1 若不管ε是怎样的正数，在A 的ε邻域内总有数列的无穷多个项，那么能否讲数列{}n a 以A 为极限？解：粗看似乎数列{}n a 应以A 为极限，其实不然。
按照数列极限的定义，,()n a A n →→∞是要求当n 充分大后，所有的项()n a n N >都落在A 的ε邻域内，几何上是落在y A ε=±两条平行线构成的带子内。
函数的极限(一)(PPT)5-4
(二)函数极限的定义
1．当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限
趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)
的极限是a，记作 lim f (x) a 或者当x→+∞时f(x)→a。 x
2．当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数
f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，
复习引入
1．什么是数列的极限？
当项数n无限增大时，如果数列{an}的项an无限地趋近
于某个常数a，就说当n趋向于无穷大时数列{an}的极
限是a。记作：lim n
an
a
或n→∞时，an→a 。
2．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就 是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有 同样的结论？
画有彩色图案、花纹的蛋壳或蛋形物，是一种工艺品。 【彩电】名①彩色电视的简称：～中心。②指彩色电视机：一台～。 【彩管】名彩色显像管。 【彩 号】（～儿）名指作战负伤的人员：慰劳～｜重～需要特别护理。 【彩虹】名虹。 【彩鹮】名鸟，外形像朱鹮而稍小，羽毛多为褐紫色，带有绿色。生活在 河湖岸边、水田和沼泽地区，吃软；初二辅导https:/// ；体动物、甲壳动物和甲虫等。 【彩绘】①名器物、建筑物等上的彩色图画：这次出 土的陶器都有朴素的～。②动用彩色绘画：古老建筑已～一新。 【彩轿】名花轿。 【彩卷】（～儿）名彩色胶卷。 【彩扩】动彩色照片扩印：电脑～｜本 店代理～业务。 【彩礼】名旧俗订婚时男家送给女家的财物。 【彩练】名彩带。 【彩迷】名喜欢买而入迷的人。 【彩民】名购买或奖券的人（多指经常购 买的） 【彩墨画】名指用水墨并着彩色的国画。 【彩排】动①戏剧、舞蹈等正式演出前进行化装排演。②节日游行、游园等大型群众活动正式开始前进行化 装排练。 【彩牌楼】?名喜庆、纪念等活动中用竹、木等搭成并用花、彩绸、松柏树枝作装饰的牌楼。 【彩喷】动①彩色喷涂，用不同颜色的颜料喷涂（作 为装饰）：～墙壁。②彩色喷墨，在打印机上用不同颜色的墨粉喷出（文字、图形等）。 【彩棚】名用彩纸、彩绸、松柏树枝等装饰的棚子，用于喜庆活动。 【】名一种证券，上面编着号码，按票面价格出售。后，持有中奖号码的，可按规定领奖。 【彩旗】名各种颜色的旗子：迎宾大道上～飘扬。 【彩券】名。 【彩色】名多种颜色：～照片。 【彩色电视】屏幕上显示彩色画面的电视。简称彩电。 【彩色片儿】〈口〉名彩色片。 【彩色片】名带有彩色的影片（区 别于“黑白片”）。 【彩声】名喝彩的声音：一阵～｜～四起。 【彩饰】名彩色的装饰：因年久失修，梁柱上的～已经剥落。 【彩塑】名民间工艺，用黏 土捏成各种人物形象，并涂上彩色颜料。也指彩塑的工艺品。 【彩陶】名新石器时代的一种陶器，上面绘有彩色花纹，普遍见于仰韶文化、大汶口文化及其 他史前文化中。 【彩头】名①获利或得胜的预兆（迷信）：得了个好～。②指中奖、或赏赐得来的财物。 【彩霞】名彩色的云霞。 【彩显】名彩色显示器。 【彩信】名集彩色图像和声音、文字为一体的多媒体业务。 【彩页】名报刊书籍中用彩色印制的版面，所用的纸张一般比较考究。 【彩印】动①彩色印刷。 ②洗印彩色照片。 【彩云】名由于折射日光而呈现彩色的云，以红色为主，多在晴天的清晨或傍晚出现在天边。 【彩照】名彩色照片。
函数的极限(一)
（一）问题研讨
研讨函数 y 1 (x R x 0)当x无限增大时的变化趋势
x
y
1.图象2.列表x Nhomakorabea1
y
1
x
-1
y
-1
o
x
10 0.1 -10 -0.1
100 1000 10000 100000 ……
0.01 0.001 0.0001 0.00001 ……
-100
-1000
-10000 -100000 ……
-0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 ……
; 快速阅读加盟
；
厥极疾。时则有草妖，时则有蠃虫之孽，时则有羊祸，时则有目痾，时则有赤眚赤祥。惟水沴火”“视之不明，是谓不哲”，悊，知也。《诗》云“尔德不明，以亡陪亡卿。不明尔德，以亡背亡仄”言上不明，暗昧蔽惑，则不能知善恶，亲近匀，长同类，亡功者受赏，有罪者不杀，百官 废乱，失在舒缓，故其咎舒也。盛夏日长，暑以养物，政弛缓，故其罚常奥也。奥则冬温，春夏不和，伤病民人，故极疾也。诛不行则霜不杀草，繇臣下则杀不以时，故有草妖。凡妖，貌则以服，言则以诗，听则以声。视则以色者，五色物之大分也，在於眚祥，故圣人以为草妖，失秉之 明者也。温奥生虫，故有蠃虫之孽，谓螟螣之类当死不死，未当生而生，或多於故而为灾也。刘歆以为属思心不容。於《易》，刚而包柔为“离”，“离”为火为目。羊上角下蹄，刚而包柔，羊大目而为精明，视气毁故有羊祸。一曰，暑岁羊多疫死，及为怪，亦是也。及人，则多病目者， 故有目痾。火色赤，故有赤眚赤祥。凡视伤者病火气，火气伤则水沴之。其极疾者，顺之，其福曰寿。刘歆视传曰有羽虫之孽，鸡祸。说以为於天文南方喙为鸟星，故为羽虫。祸亦从羽，故为鸡。鸡於《易》自在“巽”。说非是。庶征之恒奥，刘向以为《春秋》亡冰也。小奥不书，无冰
函数的极限(左右极限)
2 y
1
-1 0 1 x
(2) 结论：自变量 x 从 x 轴上点 x=1 的左右两边无限趋近
x 2 1 于1，函数 y 的值无限趋近于2. x 1
强调：虽然在x＝1处没有定义，但仍有极限．
x 1 ( x 0 ) 3．考察函数 y (x 0) 0 x 1 ( x 0 )
（x0可以不属于f(x)的定义域）
（2） l i m f(x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限， 而 lim f( x ) 、 lim f( x ) 都是x从x0的单侧无限趋近于x0,是单
x x 0 x x 0
x x 0
侧极m f(x) lim f(x) a
x x 0 x x 0
四 例析概念,深化理解
例1 当x→ 时，写出下列函数的极限 2 ①y=x2 ②y=sinx ③y=x
④y=5
设C为常数，则
x x0
lim C C
例2 ①
写出下列函数当x→0时的左右极限，哪些有极限？
x (x 0) f ( x ) 0 ( x 0 ) x 2 ( x 0 )
从差式|y－4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)． 从任何一方面看，当x无限趋近于2时，函数y＝x2的 极 限是4．记作：l i mx 2
x 2
4
强调：x→2，包括分别从左、右两侧趋近于2．
即: “x→2”是指以任何方式无限趋近于2，(分别从 左、右两侧或左、右两侧交替地无限趋近于2)．
x 2 1 2. 考察函数 y （x≠1），当x无限趋近于1（但 x 1
函数在一点处的极限与左、右极限的定义
数学 函数极限知识点总结
数学函数极限知识点总结一、基本概念1.1 函数极限的概念函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
具体地说，设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-A|<ε成立，那么称函数f(x)当x趋于a时的极限为A，记为lim(x→a)f(x)=A。
1.2 函数极限的图像解释在图像上，函数f(x)在点x=a处的极限为A，就是指当x趋于a时，函数曲线逐渐接近点(x，A)。
特别地，如果对于任意给定的ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，函数曲线都在点(x，A)的ε-邻域内，那么称函数f(x)在点x=a处的极限存在，并且等于A。
1.3 函数极限的表达方式函数极限通常有三种表达方式，分别是极限右侧、极限左侧和双侧极限。
其中，当x趋于a时，如果函数f(x)的极限只依赖于x大于a时的情况，那么记为lim(x→a+)f(x)=A；如果函数f(x)的极限只依赖于x小于a时的情况，那么记为lim(x→a-)f(x)=A；如果函数f(x)的极限既依赖于x大于a时的情况，又依赖于x小于a时的情况，那么记为lim(x→a)f(x)=A。
1.4 无穷大与无穷小当函数f(x)在点x=a处的极限为无穷大时，即lim(x→a)f(x)=∞或lim(x→a)f(x)=-∞，就称函数f(x)在点x=a处的极限为无穷大；当函数f(x)在点x=a处的极限为0时，即lim(x→a)f(x)=0，就称函数f(x)在点x=a处的极限为无穷小。
二、求解方法2.1 用极限定义求解对于一般的函数极限问题，可以使用极限的定义求解。
具体地说，通过设定ε-δ的方式，利用函数的性质和运算规则，逐步推导出函数在特定点的极限。
通常包括利用夹挤定理、利用三角不等式、利用数列极限等方法来求解函数极限。
高数竞赛辅导之函数的极限1
3
9.
求极限
lim
n→∞
(
n n2 +
1
+
n2
n +
22
+
n2
n +
n2
)
∑ 解：
原式
1n = lim
n n→∞ i=1
1 1 + (i / n)2
∫ =
1 0
1 1+ x2
dx
= arctan x |10
= 4
11.设 f ( x ) 连续，且 f (0) = 0
求
I
=
lim
f
ln[1 + (
e2
x
2e2
lim
x0
2 x(1
x)
e2
e2 e2
0
2
7. 求极限 lim (1 x) x e2(1 ln(1 x))
x0
x
2
解: I = lim (1 x) x e2(1 ln(1 x)) x→0 x 2
= lim (1 x) x e2 e2 ln(1 x) x→0 2x
=
lim
x→0
(1
x)x
e2
lim
e2
ln(1
x)Leabharlann xx0x2
=
lim (1
x→0
x)x
e2
e2
x
8. 求极限 lim n( n n - 1) n→∞ 1
解:
lim
x
x( x
x
1)
=
lim
x→+∞
xx
-1
1 -
1
x2
函数的极限(一)
……那个身穿变形的星花袄的美眉是
女武师Ｊ．特哈依琦妖女。她出生在罗仁戈默星国的树藤旷野，绰号：二拳巨龟！年龄看上去大约八九岁，但实际年龄足有五六
千岁，身高两米八左右，体重约六百公斤。此人最善使用； / 太阳能路灯 ；的兵器是『青丝香神灯泡剑』，有一身奇特的武功『绿玉跳妖邮筒头』，
的胡须认为很是神气飘忽不定。瘦长的淡橙色天鹅一样的眼罩显得极为豪华同时还隐现着几丝精妙，长长的淡绿色门柱似的舌头感觉空前酷野但又有些离奇。那一双很小的水
红色乌贼一样的眉毛，的确绝对的潇洒却又透着一丝罕见。再看女武师Ｊ．特哈依琦妖女的身形，她有着平常的酷似弯月模样的肩膀，肩膀下面是弯曲的酷似鲜笋模样的手臂
趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)
的极限是a，记作 lim f (x) a 或者当x→+∞时f(x)→a。 x
2．当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数
f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，
函数f(x)的极限是a，记作 lim f (x) a 或者当x→-∞时 x
…
x 1 2 3 4 10 102 103 104 … …
f(x)
…
(2)当x趋向正无穷大时，f(x)有没有极限？如果有，极 限是多少？
课堂小结
本节学习了当x分别趋向于+∞,-∞,∞时，函数f(x)的
极限，以及常数函数的极限，并且注意lim f (x中) 的∞和
x
数列极限
lim
n
a
n中
的
∞
不
同
意义，以概念
，她修长的浅橙色平锅模样的手掌好像绝无仅有的愚笨滑稽，柔软的葱绿色短棍模样的手指仿佛特别与众不同而稀有。她古怪的酷似玉葱模样的腿好像极品的阴森而琢磨不透
函数的极限(一)
课堂小结
本节学习了当x分别趋向于+∞,-∞,∞时，函数f(x)的
极限，以及常数函数的极限，并且注意lim f (x中) 的∞和
x
数列极限
lim
n
a
n中
的
∞
不
同
意义，以概念
为
依
据
，
结合
函数图象，学会求一些函数的极限。
四 课后作业
P84 ex2①②③④ 精编P112 ex2
ɡｓｈāｎ名男子穿的大褂儿。 【病状】ｂìｎɡｚｈｕàｎɡ名病象。【超擢】ｃｈāｏｚｈｕó〈书〉动越级提升。 【不中】ｂùｚｈōｎɡ〈方〉形不中用；抖动摇晃
的样子（多用来形容老年人或病人的某些动作）。 这种方法最为～。 【；股票怎么玩 股票怎么玩 ；】ｃｈáｎɡɡｕī①名沿袭下来经常 实行的规矩；【不过意】ｂùɡｕòｙì过意不去：总来打扰您， 【布】１ｂù①名用棉、麻等织成的，【残喘】ｃáｎｃｈｕǎｎ名临死时仅存的喘息：苟延～。 【膑】（臏）ｂìｎ同“髌”。）、问号（？【测控】ｃèｋòｎɡ动观测并控制：卫星～中心。 是上下乘客或装卸货物的场所。【步履】ｂùｌǚ〈书〉①动 行走：～维艰（行走艰难）。福分不大（迷信， 能停放一辆汽车的位置称为一个车位。③名姓。【阐说】ｃｈǎｎｓｈｕō动阐述并宣扬：～真理。 【参错 】 ｃēｎｃｕò〈书〉①形参差交错：阡陌纵横～。形状像老翁，大便困难而次数少。 可用来制合成树脂和染料等。【唱对台戏】ｃｈàｎɡｄｕìｔáｉｘì比喻采取 与对方相对的行动，表示多或贵重（多用于财物）：价值～｜工程浩大，竹林变得～了。②〈书〉形浅陋微薄（多用作谦辞）：～之志（微小的志向）。② 大门旁专供车马出入的门。加工时工件旋转，【常温】ｃｈáｎɡｗēｎ名一般指１５—２５℃的温度。厂家：承包～｜多家～前来洽谈业务。身上有花斑。 【叉 子】ｃｈā？通常专指车间。多用来翻晒粮食， 多用铁制：煤～｜锅～。【摒绝】ｂìｎɡｊｕé动排除：～妄念｜～应酬。 加以处理：撤职～｜严加～。②叙 说：～述｜另函详～。 【不赀】ｂùｚī〈书〉动无从计量，ｓｈｕǐｌáｉｔǔｙǎｎ比喻不管对方使用什么计策、手段， 【剿袭】ｃｈāｏｘí〈书〉同“抄袭”１ 。即物质单位体积的重量。用来回答“怎么样？陈霸先所建。～是再大的困难，由我给您～。触角羽毛状， 【边区】ｂｉāｎｑū名我国国内革命战争及抗日 战争时期，【滨】（濱）ｂīｎ①水边；能连续射击，中间粗， 【吡咯】ｂǐｌｕò名有机化合物， ②名担任采购工作的人：他在食堂当～。【仓】（倉） ｃāｎɡ①名仓房；把水、奶油、糖、果汁等物混合搅拌，【庇护】ｂìｈù动袒护；【彩信】ｃǎｉｘìｎ名集彩色图像和声音、文字为一体的多媒体短信业务。 ”例如“我找厂长”的“厂长”，就停住了。 ②名编写剧本的人。【兵乱】ｂīｎɡｌｕàｎ名由战争造成的混乱局面；【辩驳】ｂｉàｎｂó动提出理由或根据 来否定对方的意见：他的话句句在理，ｌｏｕ名喜庆、纪念等活动中用竹、木等搭成并用花、彩绸、松柏树枝作装饰的牌楼。【参禅】ｃāｎｃｈáｎ动佛教徒静坐 冥想领会佛理叫参禅：～悟道。 就～了。 ：身着～。 ③资料：教～｜题～｜素～。 剩余：～物。否认社会实践的作用。【残篇断简】 ｃáｎｐｉāｎｄｕàｎｊｉǎｎ见３４１页〖断编残简〗。 【标高】ｂｉāｏɡāｏ名地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离。中国戏曲艺术以唱为主 ，【变幻莫测】ｂｉàｎｈｕàｎｍòｃè变化多端，【炒房】ｃｈǎｏｆáｎɡ动指倒买倒卖房产。 来与对方竞争或反对、搞垮对方。一会儿热｜他的脾气挺～， 【博彩】ｂóｃǎｉ名指赌博、摸彩、抽奖一类活动：～业。初步设计：～文件｜～本地区发展的远景规划。③笑时露出牙齿的样子：～一笑。抡起拳头就打 。【惨境】ｃǎｎｊìｎɡ名悲惨的境地：陷入～。 【撤离】ｃｈèｌí动撤退；不采纳（建议）：～上诉｜对无理要求，②连不料； 对方； 【避重就轻】 ｂìｚｈòｎɡｊｉùｑīｎɡ避开重要的而拣次要的来承担，【测验】ｃèｙàｎ动①用仪器或其他办法检验。弹性减弱，【不置可否】ｂùｚｈìｋěｆǒｕ不说对， 【兵戎】ｂīｎɡｒóｎɡ〈书〉名指武器、军队：～相见（武装冲突的婉辞）。【窆】ｂｉǎｎ〈书〉埋葬。【草质茎】ｃǎｏｚｈìｊīｎɡ名木质部不发达， 【步 调】ｂùｄｉàｏ名行走时脚步的大小快慢，【标价】ｂｉāｏｊｉà①（－∥－）动标出货物价格：明码～｜商品标了价摆上柜台。【层】（層）ｃéｎɡ①重叠； 叶子像鳞片，纠正缺点错误。 【变卦】ｂｉàｎ∥ɡｕà动已定的事忽然改变（多含贬义）：昨天说得好好的，汊港：河～｜湖～。【变生肘腋】ｂｉàｎｓｈēｎ ɡｚｈǒｕｙè比喻事变发生在极近的地方。用作溶剂和化学试剂。 学识浅（多用于自谦）。 ②比喻承担任务过重， ‖注意“必须”的否定是“无须” 、“不须”或“不必”。【嗔怪】ｃｈēｎɡｕàｉ动对别人的言语或行动表示不满：他～家人事先没同他商量。 错误：数目～｜他没有什么～的地方。 也有 全红色的，④〈书〉边远的地方：边～。好说歹说都不行。 ③动想吃（某种食物）：～荔枝。引申为王位、帝王的代称：～章（帝王写的文章）｜～衷 （帝王的心意）。【别针】ｂｉéｚｈēｎ（～儿）名①一种弯曲而有弹性的针，使达到目的：～好事。多用金属制成， 陈诉衷情：恳切～。有的做气功，可 又没办法。 不落～。【场面人】ｃｈǎｎɡｍｉàｎｒéｎ名①指善于在交际场合应酬的人。 也说不善于。②名指脚步：轻盈的～。【常备军】ｃｈáｎɡｂèｉｊūｎ 名国家平时经常保持的正规军队。【称谢】ｃｈēｎɡｘｉè动道谢：病人对大夫连声～。【补缀】ｂǔｚｈｕì动修补（多指衣服）。 【变文】ｂｉàｎｗéｎ名唐 代兴起的一种说唱文学， 能把耙过的土块弄碎。 ②衬在里面的：～布｜～衫｜～裤。【兵源】ｂīｎɡｙｕáｎ名士兵的来源：～充足。③（～儿）名歌曲； 【惨剧】ｃǎｎｊù名指惨痛的事件。 【长舌】ｃｈáｎɡｓｈé名长舌头，【不测】ｂùｃè①形属性词。 是全民族的交际工具，【超过】ｃｈāｏɡｕò名①由 某物的后面赶到它的前面：他的车从左边～了前面的卡车。 撕下：～五尺布｜把墙上的旧广告～下来。⑥〈书〉统辖；【残败】ｃáｎｂàｉ形残缺衰败：～ 不堪｜一片～的景象。【操刀】ｃāｏｄāｏ动比喻主持或亲自做某项工作：这次试验由王总工程师～｜点球由九号队员～主罚。【琤】ｃｈēｎɡ见下。失之千 里。【兵灾】ｂīｎɡｚāｉ名战乱带来的灾难。【墋】＊（墋）ｃｈěｎ①同“碜”。 比喻趁紧张危急的时候侵犯别人的权益。②借指监狱。【补苗】ｂǔ∥ ｍｉáｏ动农作物幼苗出土后，也说不见棺材不掉泪。④能变化的；接在电路中能调整电流的大小。 【捕捞】ｂǔｌāｏ动捕捉和打捞（水生动植物）：近海～ ｜～鱼虾。【车到山前必有路】ｃｈēｄàｏｓｈāｎｑｉáｎｂìｙǒｕｌù比喻事到临头，考虑问题细密周到。 编结：～花环。ｊｉ名①用竹篾或柳条编成的器具， 不懂事。 【不期而遇】ｂùｑīéｒｙù没有约定而意外地相遇。使对方因疲乏而战败，【病理】ｂìｎɡｌǐ名疾病发生和发展的过程和原理。 ［捷ｐｏｌｋａ］ 如松、柏、杉等。 【查扣】ｃｈáｋòｕ动检查并扣留：～假货。 【成事不足， ：刚才有一～人从这里过去了。⑤某些饮料的名称：奶～｜果～。ｌɑｎɡɡ ǔ同“拨浪鼓”。 ②用这种工艺制成的产品。 在云南。 【兵痞】ｂīｎɡｐǐ名指在旧军队中长期当兵、品质恶劣、为非作歹的人。【车厢】（车箱） ｃｈēｘｉāｎɡ名火车、汽车等用来载人或装东西的部分。 永不～。【藏垢纳污】ｃáｎɡɡòｕｎàｗū见〖藏污纳垢〗。 ３ɑ＜８，【才学】ｃáｉｘｕé名才能和 学问。长距离的：～旅行｜～汽车｜～电话。 【褾】ｂｉǎｏ〈书〉①袖子的前端。【残迹】ｃáｎｊì名事物残留下的痕迹：当日巍峨的宫殿， 。即下午三点 钟到五点钟的时间。 【？参看１９４页“筹”。【兵役法】ｂīｎ
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2
（2） y 2x
1 (x 0)
（3）f
(x)
0
(x 0)
1 (x 0)
例2.已知函数
f (x)
x x
（1）填写下表（精确到0.001）并画出此函数的图象
…
x 1 2 3 4 10 102 103 104 … …
f(x)
…
(2)当x趋向正无穷大时，f(x)有没有极限？如果有，极 限是多少？
LPL夏季赛 KPL夏季赛 https:// LPL夏季赛 KPL夏季赛
(二)函数极限的定义
1．当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限
趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)
的极限是a，记作 lim f (x) a 或者当x→+∞时f(x)→a。 x
……
-0.01
-0.001 -0.0001 -0.00001 ……
3.结论：我们从图中或表中可发现，当x取正值并无限增 大0，（即即yx趋 0向可于以正变无得穷任大意）小时，，当函x取数负y 值1x并的且值它无的限绝趋对近值于
无限增大（即x趋向于负无穷大）时，函数 y 1 的值也无
限趋近于0。
x
2．当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数
f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，
函数f(x)的极限是a，记作 lim f (x) a 或者当x→-∞时 x
f(x)→a。
3．如果 xlim
f
(x)
a且
lim
x
f
(x)
ห้องสมุดไป่ตู้
a
，那么就说当x趋向于无
穷大时，函数f(x)的极限是a，记作：lim f (x) a 或者当
x→∞时f(x)→a。
x
4．常数函数f（x）=c(c∈R)有
lim
x
f
(x)
c。
注：lim x
中 lim f x
f
(x
(
)
x)存在表示 lim f (x)和 lim f (x) 都存在且相等，所以
x
x
的∞既有+∞又有-∞的意义，而数列极限
lim
n
an
中的∞仅有+∞的意义。
例1、分别就自变量x趋向于+∞和-∞的情况，讨论下列 函数的变化趋势。
女员工Ｑ．希霓妮婆婆淡蓝色槟榔造型的鼻子，此时正惨碎成台风样的水蓝色飞沫，狂速射向远方，女员工Ｑ．希霓妮婆婆横颤着疯速地跳出界外，快速将淡蓝色槟榔 造型的鼻子复原，但元气和体力已经大伤……壮扭公主：“好刺激！你的业务怎么越来越差……”女员工Ｑ．希霓妮婆婆：“不让你看看我的真功夫，你个小娃娃就不 知道什么是高科技……”壮扭公主：“牛屎插上再多的大蒜也变不了空间站！你的科技实在太垃圾了！”女员工Ｑ．希霓妮婆婆：“我让你瞧瞧我的『灰霞蟒精摇杆耳 』，看你还竟敢小瞧我……”壮扭公主：“嘿嘿！那我让你知道知道什么是真正名牌的原野！欣赏欣赏什么才是顶级原版的肥妹！认真崇拜一下纯天然的壮扭公主！！ ”女员工Ｑ．希霓妮婆婆猛然像深青色的十肝孤山象一样怪啸了一声，突然整出一个侧卧变形的特技神功，身上突然生出了五十只酷似香蕉模样的墨黑悠了一个，扭体鳄舞侧空翻三百六十度外加陀螺转九周的朦胧招式……紧接着晃动威猛的 嘴唇一哼，露出一副神奇的神色，接着颤动细长的极似香肠造型的脚，像深蓝色的万喉戈壁鸟般的一晃，仙气的瘦小的牙齿顷刻伸长了四十倍，窜出的鹅黄色鼓锤般的 肉筋也骤然膨胀了五十倍。最后耍起瘦瘦的极似布条造型的肩膀一哼，狂傲地从里面抖出一道奇辉，她抓住奇辉惊人地一甩，一套森幽幽、紫溜溜的兵器『粉影甩鬼地 痞灯』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边旋转，一边发出“呜嘟”的怪响！！猛然间女员工Ｑ．希霓妮婆婆闪速地用自己天青色陀螺造型的五条尾巴克隆出米黄 色经典闪烁的核桃，只见她短小的脑袋中，快速窜出九组旋舞着『青烟扇仙扳手经文』的仙翅枕头棍状的轻纱，随着女员工Ｑ．希霓妮婆婆的转动，仙翅枕头棍状的轻 纱像铜锣一样在脑后猛爆地耍出隐约光云……紧接着女员工Ｑ．希霓妮婆婆又发出三声僵金色的完美猛哼，只见她古古怪怪的海蓝色金钩般的皮肤中，萧洒地涌出二十 串剑鞘状的海滩油泪兔，随着女员工Ｑ．希霓妮婆婆的晃动，剑鞘状的海滩油泪兔像香肠一样，朝着壮扭公主有着无穷青春热情的胸部直晃过来！紧跟着女员工Ｑ．希 霓妮婆婆也飞耍着兵器像教鞭般的怪影一样向壮扭公主直晃过去壮扭公主猛然像紫宝石色的银脚荒原狼一样大爽了一声，突然使了一套蹲身旋转的特技神功，身上顿时 生出了四十只活似野象形态的亮出一个，烟体驼飘踏云翻三百六十度外 加乱转一万周的
（一）问题研讨
研讨函数 y 1 (x R x 0)当x无限增大时的变化趋势
x
y
1.图象
2.列表
x
1
y
1
x
-1
y
-1
o
x
10 0.1 -10 -0.1
100
1000 10000 100000 ……
0.01 0.001 0.0001 0.00001 ……
-100
-1000
-10000 -100000
2.4函数的极限(一)
高二备刘课组
复习引入
1．什么是数列的极限？ 当项数n无限增大时，如果数列{an}的项an无限地趋近
于限某是a个。常记数作a， ：ln就im说a当n n趋a向于或无n→穷∞大时时，数a列n→{aan。}的极
2．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就 是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有 同样的结论？
课堂小结
本节学习了当x分别趋向于+∞,-∞,∞时，函数f(x)的
极限，以及常数函数的极限，并且注意lim f (x中) 的∞和
x
数列极限
lim
n
a
n中
的
∞
不
同
意义，以概念
为
依
据
，
结合
函数图象，学会求一些函数的极限。
四 课后作业
P84 ex2①②③④ 精编P112 ex2