本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分满分150分考试时间120

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(详细解析)1995年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

1995年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分．第Ⅰ卷（选择题共65分）一、选择题（本大题共15小题,第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知I 为全集，集合,M N I ⊂，若MN N =，则A ．N M ⊇B ．N M ⊆C ．N M ⊆D ．N M ⊇ 【答案】C 【解析】若M N N =，则N M ⊆，则C 正确．2．函数11y x =-+的图像是【答案】B【解析】显然1x =-，当1x >-时，函数为增函数；当1x <-时，函数为增函数．3．函数4sin(3)3cos(3)44y x x ππ=+++的最小正周期是 A ．6π B ．2π C ．32π D ．3π【答案】C【解析】4sin(3)3cos(3)5sin(3)444y x x x πππϕ=+++=++，其中3tan 4ϕ=，故最小正周期为32π，C 正确．4．正方体的全面积是2a ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是A ．23a πB ．22a π C ．22a π D ．23a π【答案】B【解析】设正方体的边长为x ，则226x a =，6a x =，所以球的直径为2232aR x ==，球的表面积为2242a R ππ=．5．若图中的直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则 A ．123k k k <成立的x 的取值范围是 A ．2(0]， B ．2(1]， C ．2[1)-， D ．[10)-，【答案】B【解析】不等式转化为arcsin arcsin 2x x π>-，则arcsin 4x π>，∴2(1]2x ∈，．8．双曲线2233x y -=的渐近线方程是A ．3y x =±B ．13y x =±C ．3y x =±D ．33y x =±【答案】C【解析】令2230x y -=得y =．9．已知θ是第三象限角，且445sin cos 9θθ+=，那么sin 2θ等于 A ．322 B ．322- C ．32 D ．32-【答案】A【解析】22244221511(sin cos )sin cos sin 2sin 2292θθθθθθ=+=++=+，所以2sin 2θ 89=，由于322,2k k k Z πππθπ+<<+∈，所以422(43),k k k Z ππθπ+<<+∈，即2θ为第一或第二象限角，所以sin 2θ=．10．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①//l m αβ⇒⊥ ②//l m αβ⊥⇒ ③//l m αβ⇒⊥ ④//l m αβ⊥⇒ 其中正确的两个命题是A ．①与②B ．③与④C ．②与④D ．①与③ 【答案】D 【解析】略．11．已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2,)+∞ 【答案】B【解析】若01a <<，则2y ax =-在[0,1]上是增函数，则0a <；若1a >，则2y ax =-在[0,1]上是减函数，且20ax ->，则min22a x ⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭，所以(1,2)a ∈．12．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为n S 与n T ，若132+=n n T S n n ，则nn n b a ∞→lim 等于A ．1B ．36C ．32D ．94 【答案】C 【解析】121211212122(21)2lim lim lim lim lim 23(21)13n n n n n n n n n n n n n a a a a S n b b b b T n --→∞→∞→∞→∞→∞--+-=====+-+．13．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 A ．24个 B ．30个 C ．40个 D ．60个【答案】A【解析】当个位数为2,4时，三位数为偶数，共有122424C A =．14．在极坐标系中，椭圆的两焦点分别在极点和点(2,0)c ，离心率为e ，则它的极坐标方程是A ．()θρcos 11e e c --= B ．()θρcos 112e e c --= C ．(1)(1cos )c e e e ρθ-=- D ．()()θρcos 112e e e c --=【答案】D【解析】由已知c a e =，从而22222(1)b a c c e p c c e --===，将p 代入方程1cos epe ρθ=-得椭圆极坐标方程为()θρcos 11e e c --=．【编者】此公式新课标不作要求．15．如图，111A B C ABC -是直三棱柱，90BCA ∠=︒，点11,D F 分别是1111,A B AC 的中点，若1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成的角的余弦值是A ．1030 B ．21C ．1530D ．1015 【答案】A【解析】取BC 的中点D ，连接111,D F DF ，∴11//BD DF ，∴1DF A ∠就是1BD 与1AF 所成角，设1BC CA CC a ===，则1156,a a AD AF DF ===，在1DF A∆中，130cos DF A ∠=，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题，共85分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）．16．不等式x x 283312-->⎪⎭⎫⎝⎛的解集是．【答案】{}24x x -<<|【解析】不等式x x 283312-->⎪⎭⎫ ⎝⎛变形为不等式28233x x -->，所以282x x ->-，解得不等式的解集为{}24x x -<<|．17．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为3π，则圆台的体积与球体积之比为．【答案】3237 【解析】设球的半径为2，由题意可得圆台上底面半径为1，圆台的高为3，所以圆台的体积是22173()3h R Rr r ππ++=，球的体积343233R ππ=，圆台的体积与球体积之比为3237．18．函数sin()cos 6y x x π=-的最小值是．【答案】43-【解析】1sin()cos (sin coscos sin )cos 2cos 26664y x x x x x x x πππ=-=-=- 111sin(2)4264x π-=--，当sin(2)16x π-=-时，函数有最小值43-．19．直线l 过抛物线2(1)(0)y a x a =+>的焦点，并且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a = ．【答案】4【解析】抛物线的焦点为(1,0)4a -+，将14a x =-+代入2(1)y a x =+解得2ay =±，所以 4a =．20．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）．【答案】144【解析】四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有不同的方法为2344144C A =（种）．三、解答题（本大题共6小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）．21．（本小题满分7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为123,,,Z Z Z O （其中O 是原点），已知2Z 对应复数i Z 312+=．求1Z 和3Z 对应的复数．【解】本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力．设13,Z Z 对应的复数分别为13,z z ，依题设得12[cos()sin()])()4422z z i i ππ=-+-=-=，32221313(cos sin )(13)()442222z z i i i i ππ-+=+=++=+．22．（本小题满分10分）求22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒︒的值．【解】本小题主要考查三角恒等式和运算能力．原式()()︒︒+︒++︒-=50cos 20sin 100cos 12140cos 121()()︒-︒+︒-︒+=30sin 70sin 2140cos 100cos 211313sin 70sin 30sin 70424=-︒︒+︒=．23．（本小题满分12分）如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面的圆周上，,AF DE F ⊥是垂足．（Ⅰ）求证：AF DB ⊥；（Ⅱ）如果圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABCD 所成的角．【解】本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．（Ⅰ）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ．∵EB ⊂平面ABE ，∴DA EB ⊥． ∵AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上， ∴AE EB ⊥，又AEAD A =，故得EB ⊥平面DAE ．∵AF ⊂平面DAE ，∴EB AF ⊥．又AF DE ⊥，且EBDE E =，故得AF ⊥平面DEB ．∵DB ⊂平面DEB ，∴AF DB ⊥．（Ⅱ）过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连结DH ．根据圆柱性质，平面ABCD ⊥平面ABE ，AB 是交线．且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABCD ．又DH ⊂平面ABCD ，所以DH 是ED 在平面ABCD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABCD 所成的角．设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，于是32V R π=圆柱，21233D ABEABE R V AD S EH -∆=⋅=⋅．由3D ABE V V π-=圆柱:，得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，AH R =，DH =，∴arccos DHEDH EH∠==24．（本小题满分12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克．根据市场调查，当814x ≤≤时，淡水鱼的市场日供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似地满足关系：1000(8)(8,0)P x t x t =+-≥≥，14)Q x =≤≤．当P Q =时市场价格称为市场平衡价格．（Ⅰ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（Ⅱ）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?【解】本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．（Ⅰ）依题设有1000(8)x t +-=化简得225(880)(464280)0x t x t t +-+-+=．当判别式2800160t ∆=-≥时，可得485x t =-±．由0,0,814t x ∆≥≥≤≤，得不等式组：048814;5t t ⎧≤≤⎪⎨≤-⎪⎩①048814.5t t ⎧≤≤⎪⎨≤-≤⎪⎩②解不等式组①，得0t ≤≤，不等式组②无解．故所求的函数关系式为25052548t t x -+-=，函数的定义域为．（Ⅱ）为使10x ≤，应有48105t -+≤，化简得2450t t +-≥．解得1t ≥或5t ≤-，由0t ≥知1t ≥．从而政府补贴至少为每千克1元．25．（本小题满分12分）设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是其前n 项和．（Ⅰ）证明12lg 2lg lg ++<+n n n S S S ；（Ⅱ）是否存在常数0c >，使得21lg()lg()lg()2n n n S c S c S c ++-+-=-成立？并证明你的结论．【解】本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．（Ⅰ）证明：设{}n a 的公比为q ，由题设10,0a q >>．（i ）当1q =时，1n S na =，从而2222211111(2)(1)0n n n S S S na n a n a a ++⋅-=⋅+-+=-<．（ⅱ）当1q ≠时，()qq a S nn --=111，从而()()()()()22221112212211111n n n n n n a q q a q S S S q q ++++---⋅-=---210n a q =-<．由（i ）和（ii ）得221n n n S S S ++⋅<．根据对数函数的单调性，知221lg()lg n n n S S S ++⋅<，即12lg 2lg lg ++<+n n n S S S ．（Ⅱ）不存在．证明一：要使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg 成立，则有221()()(),0.n n n n S c S c S c S c ++⎧--=-⎪⎨->⎪⎩分两种情况讨论：（i ）当1q =时，()()()221lg n n n S c S c S c ++----221111()[(2)][(1)]0na c n a c n a c a =-⋅+--+-=-<．可知，不满足条件①，即不存在常数0c >，使结论成立．（ii ）当1q ≠时，若条件①成立，因为()()21122111()()()11n n n n n a q a q S c S c S c c c q q +++⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥----=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()[]211111(1)1n n a q c a q a c q q +⎡⎤-⎢⎥--=----⎢⎥⎣⎦，且10n a q ≠，故只能有1(1)0a c q --=，即qa c -=11．此时，因为10,0c a >>，所以01q <<．但01q <<时，01111<--=--qq a q a S nn ，不满足条件②，即不存在常数0c >，使结论成立．综合（i ）、（ii ），同时满足条件①、②的常数0c >不存在，即不存在常数0c >，使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg ．证法二：用反证法，假设存在常数0c >，使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg ，则有1222100,0,()()().n n n nn n S c S c S c S c S c S c ++++->⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪--=-⎩,由④得22121(2)n n n n n n S S S c S S S ++++-=+-． ⑤根据平均值不等式及①、②、③、④知21212()()2()n n n n n n S S S S c S c S c +++++-=-+---()()2122()0n n n S c S c S c ++≥----=．因为0c >，故⑤式右端非负，而由（Ⅰ）知，⑤式左端小于零，矛盾．故不存在常数0c >，使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg ．【难度】本题是近几年最难的一道题．26．（本小题满分12分）已知椭圆1162422=+y x ，直线1812:=+yx l ．P 是l 上点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【解】本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．解法一：由题设知点Q 不在原点．设,,P R Q 的坐标分别为(,),(,),(,)P P R R x y x y x y ，其中,x y 不同时为零．当点P 不在y 轴上时，由于点R 在椭圆上及点,,O Q R 共线，得方程组221,2416.R RR R x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2222222248, 2348, 23R R x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩由于点P 在直线l 上及点,,O Q R 共线，得方程组1,128.p pp p x y y y x x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得24, 2324, 23p p x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩当点P 在y 轴上时，经验证①－④式也成立．由题设2OQ OP OR ⋅=，得()2222222RRPP yxy x y x +=+⋅+将①－④代入上式，化简整理得()()()22222222232483224y x y x y x y x ++=++，因x 与P x 同号或y 与P y 同号，以及③、④知230x y +>，故点Q 的轨迹方程为()()135125122=-+-y x （其中,x y 不同时为零）．所以点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，长、短半轴分别为210和315且长轴与x 轴平行的椭圆、去掉坐标原点．解法二：由题设知点Q 不在原点．设,,P R Q 的坐标分别为(,),(,),(,)P P R R x y x y x y ，其中,x y 不同时为零．设OP 与x 轴正方向的夹角为α，则有cos ,sin P P x OP y OP αα==； cos ,sin R R x OR y OR αα==； cos ,sin x OQ y OQ αα==；由上式及题设2OQ OP OR ⋅=，得, , P P OPx x OQOPy y OQ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2222, , R R OP x x OQOP y y OQ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由点P 在直线l 上，点R 在椭圆上，得方程组221,1281,2416P PR R x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩将①，②，③，④代入⑤，⑥，整理得点Q 的轨迹方程为()()135125122=-+-y x （其中,x y 不同时为零）．所以点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，长、短半轴分别为210和315且长轴与x 轴平行的椭圆、去掉坐标原点．。

2024年天一名校高一数学期中复习卷

2024-2025学年度上学期高一数学期中复习卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}21A y y x ==+，集合(){}2,1B x y y x ==+，下列关系正确的是（）A ．AB =B ．0A ∈C ．(1,2)B ∈D ．(0,0)B∈2.函数3y =的定义域为（）A ．{}|33x x -≤≤B ．{|33x x -<<且}1x ≠C ．{}|33x x -<<D ．{|3x x <-或}3x >3.已知)1fx =-()f x 的解析式为（）A ．2()1f x x =-B ．2()1(1)f x x x =+≥-C ．2()1(1)f x x x =-≥-D ．2()1f x x =+4.学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形ABCD 为矩形，BCE 为等腰直角三角形，设AB )0BC b a =≥>，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（）A ．2a b+≥B ．2aba b≤+C ．22a b +≥D ．2a b +≤5.幂函数()()233mf x m m x =--在区间()0,∞+上单调递减，则下列说法正确的是（）A ．4m =B ．4m =或1m =-C ．是奇函数D ．是偶函数6.在上定义运算：()1x y x y *=-.若关于x 的不等式()10x x *-≥的解集是集合{}12x a x +≤≤的子集，则实数a 的取值范围（）A. B. C. D.7.已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3]-∞-B ．[3,)+∞C ．(,3][3,)-∞-+∞ D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞8.记号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若()270x f x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则()()()()()1236970f f f f f +++++ 的值为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知p ：260x x +-=；q ：10ax +=.若p 是q 的必要不充分条件，则实数的值可以是（）A ．B ．12-C ．13D ．13-10.下列说法正确的有（）A ．若()f x 的定义域为[]22-,，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．()2x f x x=和()g x x =表示同一个函数C．函数2y x =-17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．函数()f x 满足()()221f x f x x --=-，则()213f x x =+11.定义域为的函数()f x 满足：()()22,,22x y x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫∀∈=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，当0x >时，()0f x <，则下列结论正确的有（）A ．()01f =B ．()12y f x =+-的图象关于点()1,2--对称C ．()()()()()()202320252024202220242023f f f f f f +=+D ．()f x 在s +∞上单调递增()f x ()f x R 1a <-2a <-1a ≤-1a ≥-4898489949004901a 2-第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知不等式²0ax bx c ++≤的解集为{|3x x ≤-或}4x ≥,则不等式²230bx ax c b +--≤的解集是______.13.设()2f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数，则a b +的值是______；()f a =______.14.若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数()()2325,(0)f x x x g x x x=-=<，若函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线2y x b =-+，则实数b 的取值范围是______.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知关于x 的不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集为．（1）若()7,3M =-，求不等式()22237320x a x a a -----+≤的解集；（2）若中的一个元素是，求实数的取值范围．16.（本小题满分15分）设全集，集合，集合.（1）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.M M 0a U =R {}|15A x x =≤≤{}122|B x a x a =--≤≤-17.（本小题满分15分）已知函数21()x f x x-=．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（2）用函数单调性的定义证明：在(0,)+∞上为增函数；（3）求函数在区间[]2,4--上的最大值和最小值．18.（本小题满分17分）某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为万元，每生产x 台，需另投入生产成本()R x 万元.当年产量不足25台时，()23R x x kx =+；当年产量不小于25台时()3200202133010R x x x =+-+，且当年产量为台时需另投入成本万元；若每台设备售价万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.（1）求的值；（2）求该企业投资生产这批新型机器的年利润所()W x （万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；（3）这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.19.（本小题满分17分）若函数()f x 与()g x 满足：对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x g x m =成立，则称()f x 是()g x 在区间D 上的“m 阶伴随函数”；对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x f x m =成立，则称()f x 是区间D 上的“m 阶自伴函数”．（1）判断()21f x x =+是否为区间[]0,3上的“阶自伴函数”？并说明理由；（2）若函数()31f x x =-为区间上的“阶自伴函数”，求b 的值；（3）若()42f x x =+是()2221g x x ax a =-+-在区间[]0,2上的“2阶伴随函数”，求实数a的取值范围．()f x ()f x 1000101100200k x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡b ,211。

数学丨黑龙江省哈尔滨市第三中学2025届高三10月月考数学试卷及答案

哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.323.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.44.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A.B. C.D.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A.B.0C.1D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求.【详解】对集合：因为，所以，即；对集合：因为恒成立，所以.所以.故选：B2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另一个虚根为，所以，解得，所以.故选：D.3.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.4.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为，，所以，，，，，又，，，所以.故选：C.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点，所以；又.由.故选：C6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，又方程可化为，所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，因为函数为定义域为的偶函数，所以，函数的图象关于轴对称，因为，取可得，，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，又当时，，作出函数，的区间上的图象如下：观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，则，，，，所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.【详解】可设，，，则.可设：，则.故选：B【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为.所以，故A正确；函数对称中心的纵坐标必为，故B错误；由，得函数的对称轴方程为：，.令，得是函数的一条对称轴.故C正确；将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确.故选：ACD10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D.【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确；对于B，过作于，因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由题意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因为为线段的中点，所以到平面的距离为，又，所以，故B错误；对于C，取的中点，则，且，，所以，因为，所以是异面直线、所成的角，取的中点，连接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，易得是的垂直平分线，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.【详解】对A：当时，；当时，；时，，所以函数只有1个零点.A错误；对B：欲证，须证在上恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为，所以.故B正确；对C：.设，则，.由；由.所以在上单调递增，在单调递减.所以的最大值为：，又当时，.如图所示：所以有两个解时，.故C正确；对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.设，，所以.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.因为，，所以所以.且当且时，；时，.所以函数的图象如下：所以有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为，将条件关系转化为的方程，解方程求，由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，故答案为：.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论.【详解】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.故答案为：.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，结合已知可得平面，所以是直角三角形，从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，设内切球的球心为，半径为，由，根据已知可得，所以，所以，解得，内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，由上易知，所以，过作于，，从而，所以，所以两球心之间的距离，因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，所以线段的长度的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球半径和球心距离，再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可证结论；（2）以为坐标原点，所在直线为，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接，因为，为中点，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为，过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，，函数在上单调递增，当且时，即时，，函数在上单调递增，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，则，，由，知，，，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上单调递增，【小问2详解】因为，，所以，不等式可化为，因为在恒成立，所以设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，故，所以的取值范围为.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为为中点，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，，设内切圆半径为，则.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，即内切圆半径的取值范围是：.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【答案】（1），175（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值.（2）①建立空间直角坐标系，设点坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则，所以四棱锥体积，.所以：.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，所以，，.设平面的法向量为，则.令，则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.所以.因为，，所以.②易得，则，此时平面的法向量，所以点到平面的距离为：，设四棱锥的外接球半径为，则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为：.【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径.。

2023届呼市高三年级质量普查调研考试—段考(文科数学)试卷真题+参考答案+详细解析

2023届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|24}x A x =>，集合{1,2,3,4}B =，那么集合(A B = )A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,3,4}D ．{3,4}2．若(1)1i z -=，则下列说法正确的是( )A ．复数zB ．1z i =-C ．复数z 的虚部为i -D ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限 3．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(5,)P m -，且12sin 13α=-，则1cos2(sin 2αα-= )A ．512B ．512-C ．125D ．125-4．已知||2a =，||1b =，(2)()1a b a b +-=，则a 与b 的夹角为( ) A ．6π B ．4π C ．2π D ．34π 5．设123a -=，131()2b -=，21log 3c =，则( )A ．a c b <>的右焦点为F ，点A 是其渐近线上的一点，若||AF 的最小值为3a ，则该双曲线的离心率为( )A ．10B ．22C ．3D ．38．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C ，D 两观测点，且C ，D 与教学楼底部B 在同一水平面上，在C ，D 两观测点处测得教学楼顶部A 的仰角分别为45︒，30︒，并测得120BCD ∠=︒，则教学楼AB 的高度是( )A ．20米B ．202米C ．153米D ．25米9．已知函数[]y x =称为高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，如图，则输出的S 值为( )A ．42B ．43C ．44D ．4510．曲线sin 2cos y x x =+在点(,2)π-处的切线方程为( ) A ．20x y π---= B ．2220x y π---= C ．2220x y π+-+=D ．20x y π+-+=11．已知函数2()23f x x mx m =--，则“2m >”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．定义在R 上的函数()y f x =的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+，且(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2021)f f f f ++++的值为( )A ．2B ．1C ．1-D ．2-第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足10101x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪⎩，则2z x y =-的最大值是．14．已知圆C 与圆2210100x y x y +++=相切于原点，且过点(0,4)A -，则圆C 的标准方程为． 15．函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，则下列关于()f x 的结论正确的序号为．①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的图象关于直线6x π=对称；③若1x ，2(,)63x ππ∈-且12()()f x f x =，则12()3f x x +=；④()f x 的图象向左平移(0)θθ>个单位得到()g x 的图象，若()g x 图象的一个对称中心是(,0)6π，则θ的最小值为6π．16．如图，已知P 是半径为1圆心角为23π的一段圆弧AB 上的一点，若2AC CB =，则PA PC ⋅的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，34BCD π∠=，10BD =，2CD =．（1）求sin CBD ∠的值；（2）若ABD ∆的面积为4，求AD 的长．18．（12分）已知数列{}n a 满足112323(1)22(*)n n a a a na n n N ++++⋯+=-⋅+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)(1)n n n n a b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：13n S <．19．（12分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（1）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质（至少3条）；（3）设21()1f x x=+．现有(0)a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．20．（12分）已知函数()2x f x xe ax a =-+．（1）当12a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 是椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于点M ，N ，直线AM 与直线4x =交于点P ，记PA ，PF ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，1322k k k +是否为定值？并说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=．（1）求圆C 的参数方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，求弦长||AB 的长．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0m ，函数()2|1||2|f x x x m =--+的最大值为4．（1）求实数m 的值；（2）若实数a ，b ，c 满足2a b c m -+=，求222a b c ++的最小值．2023届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试文科数学参考答案及评分标准【选择题&填空题答案速查】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|24}x A x =>，集合{1,2,3,4}B =，那么集合(A B = )A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,3,4}D ．{3,4}【解析】{|24}{|2}x A x x x =>=>，{1,2,3,4}B =，{3,4}AB ∴=．故选：D ．【评注】本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算． 2．若(1)1i z -=，则下列说法正确的是( )A ．复数zB ．1z i =-C ．复数z 的虚部为i -D ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限【评注】本题考查的知识要点：复数的运算，复数的共轭运算，复数的模，复数表示的几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(5,)P m -，且12sin 13α=-，则1cos2(sin 2αα-= )A ．512B ．512-C ．125D ．125-【解析】因为角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(5,)P m -，且【评注】本题考查了任意角的三角函数的定义，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4．已知||2a =，||1b =，(2)()1a b a b +-=，则a 与b 的夹角为( ) A ．6π B ．4π C ．2π D ．34π (2)()1a b a b +-=，2221a a b b +-=，||2a =，||1b =，解1a b =，所2,2||||a b a b a b >==，又因为,[0,]a b π<>∈，故a 与b 的夹角为【评注】本题考查向量的数量积的求法，是基本知识的考查． 5．设123a -=，131()2b -=，21log 3c =，则( )A ．a c b <数列{}n a ，结合二次函数的性质可得前23项的和最大【评注】本题主要考查了等差数列的前n 项的和，解题的关键是判断出数列中正数的项．7．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的右焦点为F ，点A 是其渐近线上的一点，若||AF 的最小值为3a ，则该双曲线的离心率为( )A B ．C ．3D【解析】由题可知，双曲线渐近线为0bx ay ±=，则右焦点(,0)F c 到渐近线的距离为【评注】本题考查双曲线的简单性质的应用及焦渐距、离心率的求解，考查计算能力．8．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C ，D 两观测点，且C ，D 与教学楼底部B 在同一水平面上，在C ，D 两观测点处测得教学楼顶部A 的仰角分别为45︒，30︒，并测得120BCD ∠=︒，则教学楼AB 的高度是( )A ．20米B ．C ．米D ．25米【评注】本题考查了解三角形、余弦定理的应用问题，也考查了推理能力与计算能力，属中档题． 9．已知函数[]y x =称为高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，如图，则输出的S 值为( )A ．42B ．43C ．44D ．45【解析】当03i <<时，3log 0i =；39i <时，3log 1i =；927i <时，3log 2i =；27i =时，3log 3i =，所以61182345S =⨯+⨯+=．故选：D ．【评注】本题考查了程序框图的运行过程与累加求和问题，是基础题． 10．曲线sin 2cos y x x =+在点(,2)π-处的切线方程为( )A ．20x y π---=B ．2220x y π---=C ．2220x y π+-+=D ．20x y π+-+=【解析】sin 2cos y x x =+，cos 2sin y x x ∴'=-，∴曲线sin 2cos y x x =+在点(,2)π-处的切线的斜率1k =-， ∴曲线sin 2cos y x x =+在点(,2)π-处的切线的方程2()y x π+=--，即20x y π+-+=．故选：D ．【评注】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．11．已知函数2()23f x x mx m =--，则“2m >”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若()0f x <对[1,3]x ∈恒成立，则(1)240(3)1860f m f m =-<⎧⎨=-<⎩，解得3m >，2m >不能推出3m >，充分性不成立， 3m >能推出2m >，必要性成立，故“2m >”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的必要不充分条件．故选：C ．【评注】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．12．定义在R 上的函数()y f x =的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+，且(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2021)f f f f ++++的值为( )A ．2B ．1C ．1-D ．2-2(2021)f ++【评注】本题考查函数的周期性与对称性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足10101x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪⎩，则2z x y =-的最大值是 4 ．【解析】由约束条件作出可行域如图，联立110x x y =⎧⎨++=⎩，解得(1,2)A -，由2z x y =-，得2y x z =-，由图可知，当直线2y x z =-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为21(2)4⨯--=．故答案为：4．【评注】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．14．已知圆C 与圆2210100x y x y +++=相切于原点，且过点(0,4)A -，则圆C 的标准方程为22(2)(2)8x y +++= ．【解析】圆C 的标准方程为：222()()x a y b r -+-=，其圆心为(,)C a b ，半径为(0)r r >，【评注】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，两圆相切的性质，属于中档题．15．函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，则下列关于()f x 的结论正确的序号为①③④ ．①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的图象关于直线6x π=对称；③若1x ，2(,)63x ππ∈-且12()()f x f x =，则12()f x x +=④()f x 的图象向左平移(0)θθ>个单位得到()g x 的图象，若()g x 图象的一个对称中心是(,0)6π，则θ的最小值为6π．【评注】本题考查了三角函数的图象，重点考查了三角函数的性质，属基础题． 16．如图，已知P 是半径为1圆心角为23π的一段圆弧AB 上的一点，若2AC CB =，则PA PC ⋅的取值范围是 [1 ．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，203πθ，则1(2PA PC ⋅=-1(cos )(cos 226θ+203πθ，则，即PA PC ⋅的取值范围是，故答案为：【评注】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，34BCD π∠=，BD =CD =（1）求sin CBD ∠的值；（2）若ABD ∆的面积为4，求AD 的长．【评注】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18．（12分）已知数列{}n a 满足112323(1)22(*)n n a a a na n n N ++++⋯+=-⋅+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)(1)n n n n a b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：13n S <．）解：122a a ++2n 时，有223a a ++两式相减得：(1)2na n =-⋅2n ， 1n =时，有2=也适合上式，）证明：由（121n =-+11113<+．【评注】本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法在数列求和及不等式证明中的应用，属于中档题． 19．（12分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（1）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质（至少3条）；（3）设21()1f x x =+．现有(0)a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．)1x ．设仅清洗一次，222((1)(a a a =+洗方法具有相同的效果；当【评注】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题．考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力．20．（12分）已知函数()2x f x xe ax a =-+．（1）当12a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．上单调递增，)(1,)+∞．【评注】本题考查了函数的单调性、最值问题，隐零点的虚设与代换，考查导数的应用，属于难题．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的右焦点F与抛物线24y x =的焦点重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 是椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于点M ，N ，直线AM 与直线4x =交于点P ，记PA ，PF ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，1322k k k +是否为定值？并说明理由．【评注】本题考查求椭圆的方程及椭圆的性质的应用，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=．（1）求圆C的参数方程；（2）设圆C与直线l交于点A，B，求弦长||AB的长．【评注】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化方法，直线的参数方程的几何意义等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0m，函数()2|1||2|f x x x m=--+的最大值为4．（1）求实数m的值；（2）若实数a，b，c满足2a b c m-+=，求222a b c++的最小值．||(22)x-m，()|2|f x m∴+=()2maxf x m∴=，又(f x（2）根据柯西不等式得：](2a b-+，2a b-+223c，当121a b c==-，即13a=，时取等号，22a b∴+的最小值为【评注】本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

2024-2025年北师大版数学必修第一册第一章单元质量评估卷(带答案)

第一章单元质量评估卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x|x 2－1＝0}，则下列结论错误．．的是( ) A ．1∈A B ．{－1} A C ．∅⊇A D ．{－1，1}＝A2．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”(人在阵地在，人不在阵地在不在不知道)，由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的什么条件？( )A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3．已知集合M ＝{x|x(x －2)<0}，N ＝{x|x －1<0}，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{x|1≤x<2}的是( )4．已知命题p ：∃x ，y ∈Z ，2x ＋4y ＝3，则( ) A.p 是假命题，p 否定是∀x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3 B.p 是假命题，p 否定是∃x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3 C.p 是真命题，p 否定是∀x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3 D.p 是真命题，p 否定是∃x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3 5．已知a ＜0，－1＜b ＜0，则( ) A.－a ＜ab ＜0 B ．－a ＞ab ＞0C.a ＞ab ＞ab 2 D ．ab ＞a ＞ab 26．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0 ，则A ∩(∁R B )＝( ) A.(－1，2) B ．(－1，1) C.(－1，2] D ．(－1，1]7．“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ”的一个必要不充分条件是( )A.0＜a ＜1 B ．0＜a ＜13C.0≤a ≤1 D．a ＜0或a ＞138．若正数a ，b 满足2a ＋1b ＝1，则2a＋b 的最小值为( )A.42 B ．82 C.8 D ．9二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．有下列命题中，真命题有( )A.∃x ∈N *，使x 为29的约数B.∀x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0C.存在锐角α，sin α＝1.5D.已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3m }，则对于任意的n ，m ∈N *，都有A ∩B ＝∅10．已知1a ＜1b＜0，下列结论中正确的是( )A.a ＜b B ．a ＋b ＜ab C.|a |＞|b | D ．ab ＜b 211．若对任意x ∈A ，1x∈A ，则称A 为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是( )A.{－1，1} B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2 C.{}x |x 2>1 D ．{x |x >0}12．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 坐标为(－1，0)，则下面结论中正确的是( )A.2a ＋b ＝0B.4a －2b ＋c ＜0C.b 2－4ac ＞0D.当y ＜0时，x ＜－1或x ＞4第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为________．14．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为________．15．若1a ＋1b ＝12(a ＞0，b ＞0)，则4a ＋b ＋1的最小值为________.16．已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B ＝{1，2，3，4，5，6，7}； ②A ∩B ＝∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素．(1)若集合A 中只有1个元素，则A ＝________；(2)若两个集合A 和B 按顺序组成的集合对(A ，B )叫作有序集合对，则有序集合对(A ，B )的个数是________.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |m －2<x <2m }． (1)当m ＝2时，求A ∩B ；(2)若________，求实数m 的取值范围．请从①∀x ∈A 且x ∉B ；②“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件；这两个条件中选择一个填入(2)中横线处，并完成第(2)问的解答．(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)18．(本小题满分12分)已知p ：x 2－3x －4≤0；q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分条件，求m 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，a ∈(0，1).(1)若f (1)＝2，求1a ＋4b的最小值；(2)若f (1)＝－1，求关于x 的不等式f (x )＋1>0的解集．20．(本小题满分12分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y (单位：万元)与处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝x 2－40x ＋1 600，x ∈[30，50]，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．(1)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？21．(本小题满分12分)若集合A ＝{x |x 2＋2x －8＜0}，B ＝{x ||x ＋2|＞3}，C ＝{x |x2－2mx ＋m 2－1＜0，m ∈R }．(1)若A ∩C ＝∅，求实数m 的取值范围． (2)若(A ∩B )⊆C ，求实数m 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知x >0，y >0，2xy ＝x ＋4y ＋a . (1)当a ＝16时，求xy 的最小值；(2)当a ＝0时，求x ＋y ＋2x ＋12y的最小值．第一章单元质量评估卷1．答案：C解析：因为A ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1，1}，所以选项A ，B ，D 均正确，C 不正确． 2．答案：A解析：因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分条件，结合选项，可得A 正确．3．答案：B解析：x (x －2)<0⇒0<x <2，x －1<0⇒x <1，选项A 中Venn 图中阴影部分表示M ∩N ＝(0，1)，不符合题意；选项B 中Venn 图中阴影部分表示∁M (M ∩N )＝[1，2)，符合题意；选项C 中Venn 图中阴影部分表示∁N (M ∩N )＝(－∞，0]，不符合题意；选项D 中Venn 图中阴影部分表示M ∪N ＝(－∞，2)，不符合题意．故选B.4．答案：A解析：由于x ，y 是整数，2x ＋4y 是偶数，所以p 是假命题．原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以p 的否定是“∀x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3”．故选A.5．答案：B解析：∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴ab ＞0，a ＜ab 2＜0，故A ，C ，D 都不正确，正确答案为B.6．答案：D解析：由x 2＋x －2≤0，得－2≤x ≤1，∴A ＝[－2，1].由x ＋1x －2≥0，得x ≤－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1]∪(2，＋∞).则∁R B ＝(－1，2]，∴A ∩(∁R B )＝(－1，1].故选D.7．答案：C解析：因为关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ，所以函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的图象始终落在x 轴的上方，即Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，因为要找其必要不充分条件，从而得到(0，1)是对应集合的真子集，故选C.8．答案：D解析：∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋1b ＝1，则2a＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2ab＋2ab ≥5＋4＝9，当且仅当2ab ＝2ab 即a ＝13，b ＝3时取等号，故选D.9．答案：AB解析：A 中命题为真命题．当x ＝1时，x 为29的约数成立；B 中命题是真命题．x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2＋74 ＞0恒成立；C 中命题为假命题．根据锐角三角函数的定义可知，对于锐角α，总有0＜sin α＜1；D 中命题为假命题．易知6∈A ，6∈B ，故A ∩B ≠∅.10．答案：BD解析：因为1a ＜1b＜0，所以b ＜a ＜0，故A 错误；因为b ＜a ＜0，所以a ＋b ＜0，ab ＞0，所以a ＋b ＜ab ，故B 正确；因为b ＜a ＜0，所以|a |＞|b |不成立，故C 错误；ab －b 2＝b (a －b )，因为b ＜a ＜0，所以a －b ＞0，即ab －b 2＝b (a －b )＜0，所以ab ＜b 2成立，故D正确．故选BD.11．答案：ABD解析：根据“影子关系”集合的定义，可知{－1，1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2 ，{x |x >0}为“影子关系”集合，由{x |x 2>1}，得{x |x <－1或x >1}，当x ＝2时，12 ∉{x |x 2>1}，故不是“影子关系”集合．故选ABD.12．答案：ABC解析：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的对称轴为x ＝1，∴－b2a ＝1，得2a ＋b＝0，故A 正确；当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ＜0，故B 正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则b 2－4ac ＞0，故C 正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的对称轴为x ＝1，点B 的坐标为(－1，0)，∴点A 的坐标为(3，0)，∴当y ＜0时，x ＜－1或x ＞3，故D 错误．故选ABC.13．答案：(2，4)(或写成{x |2＜x ＜4}) 解析：原不等式等价于x 2－6x ＋8＜0，即(x －2)(x －4)＜0，得2＜x ＜4. 14．答案：20解析：把一月份至十月份的销售额相加求和，列出不等式，求解．七月份：500(1＋x %)，八月份：500(1＋x %)2. 所以一月份至十月份的销售总额为：3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－2.2(舍)或1＋x %≥1.2，所以x min ＝20. 15．答案：19解析：由1a ＋1b ＝12 ，得2a ＋2b＝1，4a ＋b ＋1＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋1＝8＋2＋8a b ＋2b a＋1≥11＋28a b ·2ba＝19.当且仅当8a b ＝2ba，即a ＝3，b ＝6时，4a ＋b ＋1取得最小值19.16．答案：(1){6} (2)32解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，所以6∉B ，故A ＝{6}． (2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1，2，3，4，5，7}，此时有序集合对(A ，B )有1个；当集合A 中有2个元素时，5∉B ，2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A中有3个元素时，4∉B ，3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有4个元素时，3∉B ，4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有5个元素时，2∉B ，5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有6个元素时，A ＝{1，2，3，4，5，7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个．综上，可知有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.17．解析：(1)当m ＝2时，B ＝{x |0<x <4}, 所以A ∩B ＝{x |1<x <2}． (2)若选择条件①，由∀x ∈A 且x ∉B 得：A ∩B ＝∅，当B ＝∅时，m －2≥2m ，即m ≤－2；当B ≠∅时，m －2<2m ，即m >－2m －2≥2或2m ≤1，即m ≥4或m ≤12 ，所以m ≥4或－2<m ≤12，综上所述：m 的取值范围为：m ≥4或m ≤12.若选择条件②，由“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件得：A ⊆B,即⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤12m ≥2 ，所以1≤m ≤3. 18．解析：由x 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4，由x 2－6x ＋9－m 2≤0，可得[x －(3＋m )][x －(3－m )]≤0，① 当m ＝0时，①式的解集为{x |x ＝3}；当m ＜0时，①式的解集为{x |3＋m ≤x ≤3－m }；当m ＞0时，①式的解集为{x |3－m ≤x ≤3＋m }；若p 是q 的充分条件，则集合{x |－1≤x ≤4}是①式解集的子集．可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，3＋m ≤－1，3－m ≥4 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，3－m ≤－1，3＋m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.故m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞). 19．解析：(1)由f (1)＝2可得：a ＋b ＝2，因为a ∈(0，1)，所以2－b ∈(0，1)⇒10化为：ax 2－(a ＋1)x ＋1＝(ax －1)(x －1)>0，因为0<a <1，所以1a>1，则解不等式可得x >1a或x <1，则不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1a或x <1 .20．解析：(1)当x ∈[30，50]时，设该工厂获利为S 万元，则S ＝20x －(x 2－40x ＋1 600)＝－(x －30)2－700，所以当x ∈[30，50]时，S 的最大值为－700，因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损．(2)由题知，二氧化碳的平均处理成本P ＝y x＝x ＋1 600x－40，x ∈[30，50]，当x ∈[30，50]时，P ＝x ＋1 600x－40≥2x ·1 600x－40＝40，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时等号成立，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．21．解析：(1)由已知可得A ＝{x |－4＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜－5或x ＞1}，C ＝{x |m －1＜x ＜m ＋1}．若A ∩C ＝∅，则m －1≥2或m ＋1≤－4，解得m ≥3或m ≤－5.所以实数m 的取值范围为{m |m ≤－5或m ≥3}． (2)结合(1)可得A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．若(A ∩B )⊆C ，即{x |1＜x ＜2}⊆{x |m －1＜x ＜m ＋1}，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，解得1≤m ≤2.所以实数m 的取值范围为{m |1≤m ≤2}．22．解析：(1)当a ＝16时，2xy ＝x ＋4y ＋16≥2x ·4y ＋16＝4xy ＋16，即2xy ≥4xy ＋16，即(xy ＋2)(xy －4)≥0，所以xy ≥4，即xy ≥16，当且仅当x ＝4y ＝8时等号成立，所以xy 的最小值为16.(2)当a ＝0时，2xy ＝x ＋4y ，即12y ＋2x＝1，所以x＋y＋2x＋12y＝x＋y＋1＝(x＋y)⎝⎛⎭⎪⎫2x＋12y＋1＝72＋2yx＋x2y≥72＋22yx·x2y＝112，当且仅当2yx＝x2y，即x＝3，y＝32时等号成立，所以x＋y＋2x＋12y的最小值为112.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标I卷,解析版1)

2020年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=∅ B 、A ∪B=R C 、B ⊆A D 、A ⊆B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B.2、若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( ) A 、－4（B ）－45（C ）4（D ）45【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【解析】由题知z =|43|34i i +-=4)(34)(34)i i i +-+=3455i +，故z 的虚部为45，故选D.3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( )A 、简单随机抽样B 、按性别分层抽样C 、按学段分层抽样D 、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.4、已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>C 的渐近线方程为A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =± D .y x =±【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.【解析】由题知，2c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C . 5、运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5]【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【解析】有题意知，当[1,1)t ∈-时，3s t =[3,3)∈-，当[1,3]t ∈时，24s t t =-[3,4]∈， ∴输出s 属于[-3,4]，故选A .6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A 、500π3cm 3B 、866π3cm 3C 、1372π3cm 3D 、2048π3cm 3【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则222(2)4R R =-+，解得R=5，∴球的体积为3453π⨯=500π33cm ，故选A. 7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6【命题意图】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题. 【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222π⨯⨯+⨯⨯ =168π+，故选A . 9、设m 为正整数，2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题. 【解析】由题知a =2mm C ，b =121m m C ++，∴132mm C =7121m m C ++，即13(2)!!!m m m ⨯=7(21)!(1)!!m m m ⨯++，解得m =6，故选B.10、已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

2023年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题(2023年word版)

2023年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项:1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己地姓名、考生号、座位号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上,同时将才生号条形码粘贴在答题卡"条形码粘贴处"。

2．每小题选出解析后,用铅笑把答题卡上对应题目地解析标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析,不能答在试卷卷上。

3．考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式:三角函数地积化和差公式)]cos()[cos(21sin sin )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαφαβα--+-=--+=-++=正棱台、圆台地侧面积公式l S )c c (21+'=台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长台体地体积公式h S S S V )S (31+'+=台体其中S '、S 分别表示上、下底面积,h 表示高。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。

（1）已知集合],43,2,1[=A ,那么A 地真子集地个数是: （A ）15 （B ）16 （C ）3 （D ）4（2）在复平面内,把复数i 33-对应地向量按顺时钟方向旋转3π,所得向量对应地复数是:（A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3（3）一个长方体共一顶点地三个面地面积分别是2,3,6,这个长方体对角线地长是:（A ）23 （B ）32 （C ）6 （D ）6 （4）已知sin α＞sin β,那么下列命题成立地是（A ）若α、β是第一象限角,则cos α＞cos β （B ）若α、β是第二象限角,则tg α＞tg β （C ）若α、β是第三象限角,则cos α＞cos β （D ）若α、β是第四象限角,则tg α＞tg β （5）函数x x y cos -=地部分图象是（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过800元地部分不必纳税,超过:全月应纳税所得额税率不超过500元地部分 5% 超过500元至2000元地部分 10% 超过2000元至5000元地部分 15%… …某人一月份应交纳此项税款26.78元,则他地当月工资、薪金所得介于（A ）800~900元（B ）900~1200元（C ）1200~1500元（D ）1500~2800元（7）若a ＞b ＞1,⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⋅=2lg ),lg (lg 21,lg lg b a R b a Q b a P ,则（A ）R ＜P ＜Q （B ）P ＜Q ＜R （C ）Q ＜P ＜R （D ）P ＜R ＜Q（8）以极坐标系中地点（1,1）为圆心,1为半径地圆地方程是（A ）⎪⎭⎫⎝⎛-=4cos 2πθρ （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρ （C ）()1cos 2-=θρ （C ）()1sin 2-=θρ（9）一个圆柱地侧面展开图是一个正方形,这个圆柱地全面积与侧面积地比是（A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ241+ （10）过原点地直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线地方程是（A ）x y 3= （B ）x y 3-= （C ）x y 33=（D ）x y 33-= （11）过抛物线)0(2a ax y =地焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 与FQ 地长分别是p 、q,则p 1+q1等于（A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a4 （12）如图,OA 是圆雏底面中心O 互母线地垂线,OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等地两部分,则母线与轴地夹角地余弦值为（A ）321（B ）21（C ）21 （D ）n212023年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项:1．第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试卷卷中。

2024年山东省泰安市中考语文真题(解析版)

山东省泰安市2024年中考语文试题（时间：120分钟满分：120分）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（表述题）两部分，第I卷1至5页，第Ⅱ卷5至8页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答。

2.考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。

第I卷（选择题共48分）一、（18分，每小题3分）1.下列各句中加点字的字音完全正确的一项是（）A. 大自然雕．（diāo）刻的奇峰、怪石、瀑布，豢．（juàn）养的飞禽、走兽、小虫和几千年来农人为后代种植的大树，于他无用，都等于没有看见。

B. 鸟儿将窠巢安在繁花嫩．（nèi）叶当中，高兴起来了，呼朋引伴地卖弄清脆的喉咙，唱出宛转的曲子，与轻风流水应和．（hè）着。

C. 这是某种令人惊骇．（hài）而不知名的杰作，在不可名状的晨曦中依稀可见，宛如在欧洲文明的地平线上瞥．（piē）见的亚洲文明的剪影。

D. 那朵红莲，被那繁密的雨点，打得左右攲．（jī）斜。

在无遮蔽．（bì）的天空之下，我不敢下阶去，也无法可想。

.2. 下列各句中没有错别字的一项是（）A.读书费时过多易惰，文采藻饰太盛则娇，全凭条文断事乃学究故态。

B.国家公祭日之长鸣震聋发聩，那些装睡梦游的罪恶灵魂无处遁形。

C.这三种感情就像飓风一样，在深深的苦海上，肆意地把我吹来吹去，吹到频临绝望的边缘。

D.小城镇的文庙十有八九坍塌破败，只剩下断壁残垣，埋没于蓬蒿荆棘之中，成为鸟兽栖聚之地。

3.下列各句中加的成语运用不正确的一项是（）A.假使语言文字能够完全传达情意，假使笔之于书的和存之于心的半斤八两．．．．，丝毫不爽，这是不是文学上所应希求的一件事？B.他们怏怏不乐地在阿蒙森的胜利旗帜旁边插上英国国旗——一面姗姗来迟．．．．的“联合王国的国旗”。

C.对于叔叔回国这桩十拿九稳．．．．的事，大家还拟定了上千种计划，甚至计划到要用这位叔叔的钱置一所别墅。

辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

辽宁省名校联盟2024-2025学年高一第一次月考—数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．给出下列关系式，其中正确的是（）。

A 、∅∈0B 、}|{}0{2x x x =⊆C 、+⊆N }0{D 、}1352|){(}21{ =−=+⊆y x y x y x ，，【答案】B【解析】A 选项，∅是没有任何元素的集合，错，B 选项，∵}10{}|{2，==x x x ，∴}|{}0{2x x x =⊆，对，C 选项，+N 是正整数集合，错，D 选项，)}21{(}1352|){(，，= =−=+y x y x y x ，元素是点坐标，错，故选B 。

2．已知命题p ：)0[∞+∈∀，x ，112≥+x ，则命题p 的否定为（）。

A 、)0[∞+∉∃，x ，112<+xB 、)0[∞+∈∃，x ，112<+xC 、)0[∞+∉∀，x ，112<+xD 、)0[∞+∈∀，x ，112≤+x【答案】B【解析】命题p ：)0[∞+∈∀，x ，112≥+x 否定为)0[∞+∈∃，x ，112<+x ，故选B 。

3．已知R c b a ∈、、，则下列命题正确的是（）。

A 、若0≠ab 且b a <，则b a 11> B 、若10<<a ，则a a <3C 、若0<，错，B 选项，10<<a ，∴12<a ，∴0)1(2<−⋅a a ，即03<−a a ，即a a <3，对，C 选项，当01<<−a 时，0)1(<+a a ，若a ba b <++11成立，则需)]1([11)]1([+⋅⋅>++⋅+⋅a a a ba b a a ，∴b ab a ab +>+，∴b a >与0<<b a 矛盾，错，D 选项，当0=b 时，若a b c <<且0<ac ，则22ab cb =不能得出22ab cb <，错，故选B 。

辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学答案及答案

辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高一第一次月考—数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集}5|{*≤∈=x N x U ，集合}31{，=A 、集合}421{，，=B ，则=)(B C A U （）。

A 、}4210{，，，B 、}5310{，，，C 、}5421{，，，D 、}531{，，【答案】D【解析】由题意可知}54321{，，，，=U ，又}421{，，=B ，则}53{，=B C U ，∴}531{)(，，=B C A U ，故选D 。

2．已知命题p ：R x ∈∀，01>−x x，则p ¬为（）。

A 、R x ∈∀，01≤−x x B 、R x ∈∃，01≤−x x C 、R x ∈∀，01≤−x x 或01=−x D 、R x ∈∃，01≤−x x或01=−x 【答案】D【解析】由全称命题的否定是特称命题知：原命题的否定为R x ∈∃，01≤−x x或01=−x ，故选D 。

3．若0<x ，则xx 1+（）。

A 、有最小值2− B 、有最大值2− C 、有最小值2 D 、有最大值2 【答案】B【解析】∵0<x ，∴0>−x ，∴2)(1)(2)(1)(=−⋅−≥−+−x x x x ，当且仅当x x −=−1，即1−=x 时取等号， ∴21−≤+xx ，当且仅当1−=x 时取等号，故选B 。

4．若不等式02>−−c x ax 的解集为}211|{<<−x x ，则函数a x cx y −−=2的图像可以为（）。

A 、B 、C 、D 、【答案】C【解析】由题可得1−和21是方程02=−−c x ax 的两个根，且0<a ，由韦达定理得a 1211=+−且a c −=×−211，解得2−=a 、1−=c ，则)1)(2(49)21(2222−+−=++−=+−−=−−=x x x x x a x cx y ，则函数图像开口向下，对称轴为21−=x ，与x 轴交于)02(，−、)01(，，故选C 。

安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

请在答题卡上作答。

第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的.1.在空间直角坐标系中，已知点，点，则（）A.点A 和点B 关于x 轴对称 B.点A 和点B 关于平面对称C.点A 和点B 关于y 轴对称D.点A 和点B 关于平面对称2.已知空间向量，，，若，，共面，则实数m 的值为（）A.1B.0C.-1D.-23.已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y 轴交于点（0，2），则经y 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（）4.若点（-2，1）在圆的外部，则实数a 的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A.B. C. D.6.已知椭圆C：（且），直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若（1，1）是线段的中点，则椭圆的焦距为（）A.2B.4C.7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上，且满足，当且时，点P 的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，Oxyz ()2,1,4A --()2,1,4B ---Oyz Oxz ()2,1,3a =- ()1,2,2b =- ()1,,2c m =- a b cπ320y +-=20y ++=20y --=20y -+=220x y x y a ++-+=()2,-+∞(),2-∞-12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭()2a = 12b ⎛= ⎝a b )()(14⎛ ⎝2216x y m+=0m >6m ≠340x y +-=AB PA PB λ=0λ>1λ≠ABC △，且，当面积取得最大值时，（）C.D.8.已知点P 在椭圆C ：上（点P 不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C 的左、右焦点，交y 轴于点G ，且，则线段的长为（）A.B.C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，：，则下列说法正确的是（）A.若，则或B.若，则C.若直线不经过第四象限，则D.若直线与x 轴负半轴和y 轴正半轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点，则面积的最小值是2010.已知椭圆C ：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A ，B ，M 是椭圆C 上的一个动点（不与A ，B 重合），则（）A.离心率 B.的周长与点M 的位置无关C. D.直线与直线的斜率之积为定值11.如图，正方体的棱长为2，P 为上底面内部一点（包括边界），M ，N 分别是棱和的中点，则下列说法正确的是（）2AB =2CA CB =ABC △cos C =354522143x y +=1F 2F 2PF 112PF G GF F ∠=∠1PF 3253851l ()1230m x y m +++-=2l 220x my m ++-=12l l ∥1m =2m =-12l l ⊥23m =-1l 1m <-1l AOB △2214x y +=1F 2F 1e 2=12MF F △122MF -<<+MA MB 1111ABCD A B C D -1111A B C D AB BCA.当直线和直线所成的角是30°时，点PB.若平面，则C.若，则直线和底面所成的最大角是45°D.平面被正方体所截的截面形状是六边形第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知圆C 过，两点，且圆心C 在直线上，则该圆的半径为_________.13.已知实数x ，y 满足，则的取值范围为_________.14.已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程.（1）与直线：垂直；（2）两坐标轴上截距相反.16.（15分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，M ，N 分别为，的中点，，.（1）求证：异面直线和垂直；（2）求点A 到平面的距离17.（15分）1AA AP AP ∥1B MN 1B P ()111111A P mA D m A B =+-AP ABCD 1D MN ()1,3A ()4,2B 30x y +-=1y =+14y x ++C ()222210x y a b a b+=>>1F 2F C 122F F c =P 12111PF PF c+=C l ()2,1A -l m 50x y +-=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PB BC 2AF AE PGFD EB GC===3AB PA ==EF MN MFG已知过点的直线与圆O ：相交于A ，B 两点.（1）若弦的方程；（2）在x 轴正半轴上是否存在定点Q ，无论直线如何运动，x 轴都平分?若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（17分）如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，.（1）求证：平面平面；（2）若点M 是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值.19.（17分）已知椭圆E ：的左、右焦点分别为，，离心率4.（1）求E 的标准方程；（2）过点的直线交E 于P ，Q 两点，若以为直径的圆过E 的右焦点，求直线的方程；（3）两条不同的直线，的交点为E 的左焦点，直线，分别交E 于点A ，B 和点C ，D ，点G ，H 分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O 为坐标原点）()1,0P l 224x y +=AB l l AQB ∠ABCD 2AB =BC =AC DAC △AC PAC △PB =PAC ⊥ABC PA MBC PAB ()222210x y a b a b+=>>1F 2F e =()2,0T PQ 2F PQ 1l 2l 1F 1l 2l AB CD 1l 2l 1k 2k 1240k k +=OGH △2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.题号12345678答案BDACABDC1.B 已知点A 和点B 的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点A 和点B 关于平面对称.故选B.2.D 由题意得，，即，所以，解得.故选D.3.A 由题意得，所求直线的斜率为y 轴交于点（0，2），则所求直线的方程为.故选A.4.C 由点（-2，1）在圆的外部，得，解得，故选C.5.A 向量在向量上的投影向量为.故选A.6.B 设，，则，将A ，B 的坐标代入椭圆方程得：，，两式相减，得：，变形为，又直线的斜率为，所以，即，因此椭圆的焦距为，故选B.Oyz c xa yb =+ ()()()1,,22,1,31,2,2m x y -=-+-122232x ym x y x y =-⎧⎪=+⎨⎪-=-+⎩012x y m =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩πtan 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭2y =+20y +-=220x y x y a ++-+=()()2222114021210a a ⎧+-->⎪⎨-+--+>⎪⎩122a -<<ab )212a bb a b b bb b⎛⋅⋅⋅=⋅== ⎝()11,A x y ()22,B x y 12122x x y y +=+=221116x y m +=222216x y m +=2222121206x x y y m--+=()()121212126m x x y y x x y y +-=--+AB 121213y y x x -=--12362m ⨯-=-⨯2m =4=7.D 由题意设，，，由化简得.∵，∴当时，面积最大，此时不妨设，则，.∴.故选D.8.C 根据对称，不妨设，.由题意得，，，则离心率，左准线方程为，所以，因为，所以由角平分线定理得，即，解得，所以.故选C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

沈阳市2023年高中一年级教学质量监测数学试题(含答案)

2023年沈阳市高中一年级教学质量监测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用2B 铅笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色水性笔在答题卡指定位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效。

3.考试结束后，考生将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{|12}A x x =-<<，{0,1,2,3,4}B =，则A B =A ．{1}B ．{0,1}C ．{1,0,1,2}-D ．{0,1,2,3,4}2．设x ∈R ，则“21x <”是“21x<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知(2,1)=a ，(,1)x =b ，且+a b 与2-a b 平行，则x 等于A ．10B ．10-C ．2D ．2-4．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是A ．16 B ．14 C ．13D ．125．已知函数(1)y f x =+的定义域为[1,2]，则函数(21)y f x =-的定义域为A ．1[,1]2B ．3[,2]2C ．[1,1]-D ．[3,5]6．设P 是ABC 所在平面内的一点，23BC BA BP +=，则A ．2PA PC +=0B ．2PA PC +=0C ．2PA PC -=0D ．2PA PC -=07．已知幂函数()f x x α=（α∈R ）的图象经过点1(,4)2，若(1)(3)f t f +<，则t 的取值范围是 A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,4)(2,)-∞-+∞D ．(4,2)-8．设函数1()f x x=，2()g x ax bx =+(,,0)a b a ∈<R ，若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有三个不同的公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，123x x x <<，则下列判断正确的是A ．120x x +<B ．230x x +<C ．120y y +<D ．230y y +<二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

甘肃省平凉市灵台县第一中学2024—2025学年第一学期9月月考高一英语试题(含答案)

灵台一中2024——2025学年第一学期9月考试高一英语本套试卷满分150分，考试时间120分钟。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共12页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题部分，共95 分）第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1．What is the problem with the manA．He may catch a cold. B．He is very tired. C．He has a toothache. 2．What color does the man preferA．Blue. B．Gray. C．Dark green.3．How does Emily’s moth er stay healthyA．By eating well. B．By jogging outdoors. C．By exercising at a gym. 4．What does the woman suggest doing nextA．Writing their reports. B．Changing a restaurant. C．Going to the karaoke bar.5．What are the speakers mainly talking aboutA．When to brush their teeth.B．How to brush their teeth.C．Why to brush their teeth.第二节听下面5段对话或独白。

直线和圆的方程综合能力测试及答案

直线和圆的方程综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．(2009·湖北荆州质检二)过点P (1,2)，且方向向量v ＝(－1,1)的直线的方程为( )A ．x －y －3＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0 答案：C解析：方向向量为v ＝(－1,1)，则直线的斜率为－1，直线方程为y －2＝－(x －1)即x ＋y －3＝0，故选C.2．(2009·重庆市高三联合诊断性考试)将直线l 1：y ＝2x 绕原点逆时针旋转60°得直线l 2，则直线l 2到直线l 3：x ＋2y －3＝0的角为 ( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A解析：记直线l 1的斜率为k 1，直线l 3的斜率为k 3，注意到k 1k 3＝－1，l 1⊥l 3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l 2到直线l 3的角是30°，选A.3．(2009·东城3月)设A 、B 为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为 ( )A ．2x ＋y －7＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －5＝0 答案：D解析：因k P A ＝1，则k PB ＝－1，又A (－1,0)，点P 的横坐标为2，则B (5,0)，直线PB 的方程为x ＋y －5＝0，故选D.4．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为 ( )A ．－32 B.32 C ．3 D ．－3答案：A解析：由两点式，得y －31－3＝x －0－1－0，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0，得x ＝－32，即在x 轴上的截距为－32.5．直线x ＋a 2y ＋6＝0和(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0无公共点，则a 的值是 ( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．0或－1 答案：D解析：当a ＝0时，两直线方程分别为x ＋6＝0和x ＝0，显然无公共点；当a ≠0时，－1a 2＝－a －23a，∴a ＝－1或a ＝3.而当a ＝3时，两直线重合，∴a ＝0或－1.6．两直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限，则m 的取值范围是( )A ．－32≤m ≤2B ．－32＜m ＜2C ．－32≤m ＜2D ．－32＜m ≤2答案：B解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －my ＋4＝0，2mx ＋3y －6＝0，解得两直线的交点坐标为(3m －6m 2＋3，4m ＋6m 2＋3)，由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故3m －6m 2＋3＜0且4m ＋6m 2＋3＞0⇒－32＜m ＜2.7．(2009·福建，9)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( ) A ．－5 B ．1C ．2D ．3答案：D解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0所围成的区域如图所示．∵其面积为2，∴|AC |＝4，∴C 的坐标为(1,4)，代入ax －y ＋1＝0，得a ＝3.故选D. 8．(2009·陕西，4)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 3 答案：D解析：∵直线的方程为y ＝3x ，圆心为(0,2)，半径r ＝2.由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于222－12＝2 3.故选D. 9．(2009·西城4月，6)与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是 ( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)＝4 答案：C解析：圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0的圆心为(－1,1)，半径为2，过圆心(－1,1)与直线x －y －4＝0垂直的直线方程为x ＋y ＝0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A 、B ，圆心(－1,1)到直线x －y －4＝0的距离为62＝32，则所求的圆的半径为2，故选C.10．(2009·安阳，6)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为原点，则实数a 的值为 ( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6 答案：C解析：由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得|OA →＋OB →|2＝|OA →－OB →|2，OA →·OB →＝0，OA →⊥OB →，三角形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a |2＝2，a ＝±2，故选C.11．(2009·河南实验中学3月)若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是 ( )A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定答案：C解析：直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则1a 2＋b 2＜1，a 2＋b 2＞1，点P (a ，b )在圆C 外部，故选C.12．(2010·保定市高三摸底考试)从原点向圆x 2＋(y －6)2＝4作两条切线，则这两条切线夹角的大小为 ( )A.π6B.π2 C ．arccos 79 D ．arcsin 229 答案：C解析：如图，sin ∠AOB ＝26＝13，cos ∠BOC ＝cos2∠AOB ＝1－2sin 2∠AOB ＝1－29＝79，∴∠BOC ＝arccos 79，故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。

2024年四川省自贡市中考英语真题(含答案)

自贡市2024年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试英语注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共12页，试卷满分150分，考试时间为120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡上。

答卷时，选择题部分必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

非选择题部分，须用0.5毫米黑色签字笔书写。

在本试题卷、草稿纸上答题无效。

3.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共100分）第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，可将答案划在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.Where may the speakers be?A. B. C.2.What can Kate play?A. B. C.3.What will the woman give her mom as a birthday gift?A. B. C.4.When will they leave?A. B. C.5.How will the man relax?A. B. C.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面几段对话或独白。

每段对话或独白后有一个或几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟。

听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听下面一段材料，回答第6小题。

6.What is the relationship between the speakers?A.Mother and son.B.Teacher and student.C.Doctor and patient.听下面一段材料，回答第7小题。

湖北省部分重点中学2024_2025学年高二数学上学期期中试题含解析

湖北省部分重点中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分,考试时间120分钟. 留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号精确地写在答题卡上。

2．全部试题的答案均写在答题卡上。

对于选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3．答第Ⅱ卷时，必需用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。

在试题卷上作答无效。

第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知点(-3,2)A ，(0,1)B -，则直线AB 的倾斜角为（） A ．030B ．045C ．0135D ．01202.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列起先，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 A ．36B ．16C ．11D ．143．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3A π=,4c =，26a =，则角C =( )A ．34π B ．4π C ．4π或34π D ．3π或23π4．已知αβ、是平面,l m 、是直线,αβ⊥且=l αβ，m α⊂，则“m β⊥”是“m l ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x －m )2＋y 2＝20()m R ∈相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线相互垂直，则线段AB 的长度是( )A ．2B ．4C ．5D ．106．已知直线l ：2(0,0)x ya b a b+=>>经过定点(1,1)M ，则32a b +的最小值是（） A ．3222+ B ．526+C ．562+ D ．37．某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育熬炼的时间（单位：min ），依据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( )第7题图A ．B ．C ．D ．8．棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 上(点P 异于A 、D 两点)，线段DD 1的中点为点Q ，若平面BPQ 截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP 长度的取值范围为（） A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．112⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．1[,1)3D ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分 9．下列说法正确的是（） A ．命题“x R∀∈，21x >-”的否定是“0x ∃∈R ，201x <-”B ．命题“0(3,)x ∃∈-+∞，209x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充分不必要条件D ．“5a >”是命题“2,0x R x ax a ∀∈++≥”为假命题的充分不必要条件10．抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事务A ,“向上的点数是1,2”为事务B ,“向上的点数是1,2,3”为事务C ,“向上的点数是1,2,3,4”为事务D ,则下列关于事务A ，B ，C ，D 推断正确的是（） A ．A 与B 是互斥事务但不是对立事务 B ．A 与C 是互斥事务也是对立事务 C ．A 与D 是互斥事务 D ．C 与D 不是对立事务也不是互斥事务 11．以下四个命题为真命题的是（）A ．过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+ B ．直线3y ＋2＝0的倾斜角的范围是50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=恰有一条公切线，则4m =D ．设P 是直线20x y --=上的动点，过P 点作圆O :221x y +=的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则经过A ，P ，O 三点的圆必过两个定点。

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(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·山东重点中学联考]定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若集合M ＝{1,2,3,4,5}，集合N ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，则集合M －N 的子集个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个2．[2017·河南平顶山检测]设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝2－i ，则z 1·z 2＝( )A ．－4＋3iB ．4＋3iC ．－3－4iD ．－3＋4i3．[2016·湖北七校联考]已知命题“已知a ，b ，c 为实数，若abc ＝0，则a ，b ，c 中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．34．[2017·沈阳模拟]已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则tanθ的可能取值是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－135．[2016·吉大附中一模]“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )6．[2016·重庆测试]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋6≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)7．[2016·洛阳第一次联考]已知(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5则2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝( )A ．10B ．5C ．1D ．08．[2017·四川联考]已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．[2017·兰州诊断]若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是( )A ．－12B ．－32 C.22 D.1210．[2017·桂林联考]已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ，过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FB |＝2|FA |，则AB 的长度为( )A.32 B ．2 C.172D.17 11．[2017·南昌调研] 18世纪法国数学家蒲丰(George －Louis Leclerc de Buffon)做了一个著名的求圆周率的实验，如图，在桌面内均匀画出相距为a 的一簇平行直线，细针长度为l ⎝ ⎛⎭⎪⎫l ≤a 2，随机向桌面抛掷针的次数是n ，其中针与平行线相交的次数是m ，则圆周率π的估计值为( )A.nl maB.2nl maC.ma nlD.2ma nl12．[2016·天津高考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ 4a －3 x ＋3a ，x <0，log a x ＋1 ＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 第Ⅱ卷(非选择题满分90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·山东高考]执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________．14．[2016·北京高考]双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.15．[2017·太原质检]已知向量AB →与AC →的夹角为120°，|CB →－CA →|＝2，|BC →－BA →|＝3，若向量AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．16．[2017·杭州模拟]已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2sin B ＋(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝0，tan A ＝2sin B ＋12cos B ＋1，则角A 等于________．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2017·湖北联考](本小题满分12分)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，a 1a 3＝4，且a 3＋1是a 2和a 4的等差中项，若b n ＝log 2a n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }满足c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1，求数列{c n }的前n 项和．18．[2016·武汉调研](本小题满分12分)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下：(1)如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程；(2)根据(1)所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间．附：b ＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑ni ＝1x 2i －n x2，y －＝b x －＋a .19．[2016·山东高考](本小题满分12分)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；(2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值．20．[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝12及点A (－2，0)，动点P 到圆M 的距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W .(1)求曲线W 的方程；(2)过原点的直线l (l 不与坐标轴重合)与曲线W 交于不同的两点C ，D ，点E 在曲线W 上，且CE ⊥CD ，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线DE ，CF 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2.21．[2016·河南六市联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln 2x x.(1)求f (x )在[1，a ](a >1)上的最小值；(2)若关于x 的不等式f 2(x )＋mf (x )>0只有两个整数解，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2016·黄冈质检](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为ρ＝sin θcos 2θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点P (0,2)作斜率为1的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试求1|PA |＋1|PB |的值．23．[2016·广州综合测试](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥12的解集；(2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集为空集，求实数b 的取值范围．参考答案一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·山东重点中学联考]定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若集合M ＝{1,2,3,4,5}，集合N ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，则集合M －N 的子集个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个答案 C解析 1,3,5∈N ，M －N ＝{2,4}，所以集合M －N 的子集个数为22＝4个，故选C. 2．[2017·河南平顶山检测]设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝2－i ，则z 1·z 2＝( )A ．－4＋3iB ．4＋3iC ．－3－4iD ．－3＋4i 答案 D解析因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝2－i ，所以z 2＝－2－i ，z 2＝－2＋i ，z 1·z 2＝(2－i)·(－2＋i)＝－3＋4i ，故选D.3．[2016·湖北七校联考]已知命题“已知a ，b ，c 为实数，若abc ＝0，则a ，b ，c 中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析原命题为真命题，逆命题为“已知a ，b ，c 为实数，若a ，b ，c 中至少有一个等于0，则abc ＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.4．[2017·沈阳模拟]已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则tanθ的可能取值是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13答案 C解析解法一：由sin θ＋cos θ＝a 可得2sin θ·cos θ＝a 2－1，由a ∈(0,1)及θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，得sin θ·cos θ<0且|sin θ|<|cos θ|，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，从而tan θ∈(－1,0)，故选C.解法二：用单位圆中三角函数线的知识可知θ∈( －π4，0 )，从而tan θ∈(－1,0)，故选C.5．[2016·吉大附中一模]“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )答案 B解析俯视图是正方形，曲线在其上面的投影恰为正方形的对角线且为实线，选B.6．[2016·重庆测试]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋6≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 C解析依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线ax ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(3,9)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大；当平移到经过该平面区域内的点(3，－3)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，相应直线ax ＋y ＝0的斜率的取值范围是[－1,1]，即－a ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]，选C.7．[2016·洛阳第一次联考]已知(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5则2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝( )A ．10B ．5C ．1D ．0 答案 D解析看似二项式展开，实则是导数题目．求导得10(2x －1)4＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令x ＝0，得a 1＝10，令x ＝1，得2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝0，故选D.8．[2017·四川联考]已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案 A解析取AC 的中点O ，连接OM 、ON ，则OM 綊12BC ，ON 綊12PA ，∴∠ONM 就是异面直线PA与MN 所成的角．由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝2，ON ＝23，∴cos ∠ONM ＝ON 2＋MN 2－OM 22ON ·MN＝12＋16－42×23×4＝32，∴∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 所成角的大小为30°.故选A.9．[2017·兰州诊断]若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是( )A ．－12B ．－32 C.22 D.12答案 D解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ( 2x ＋φ＋π3 )，∴将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ＋π3＝2cos ( 2x ＋φ＋π3 )的图象．∵该图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，对称中心在函数图象上，∴2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2＋φ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋φ＋π3＝0，解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π6，k ∈Z .∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是12.故选D.10．[2017·桂林联考]已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ，过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FB |＝2|FA |，则AB 的长度为( )A.32 B ．2 C.172 D.17 答案 C解析依题意知P (－1,0)，F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|FB |＝2|FA |，得x 2＋1＝2(x 1＋1)，即x 2＝2x 1＋1 ①，∵P (－1,0)，则AB 的方程为y ＝kx ＋k ，与y 2＝4x 联立，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，则Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0，即k 2<1，x 1x 2＝1 ②，由①②得x 1＝12，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，∴k ＝2－012－－1 ＝223，∴x 1＋x 2＝52， |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋89[] x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝172，选C. 11．[2017·南昌调研] 18世纪法国数学家蒲丰(George －Louis Leclerc de Buffon)做了一个著名的求圆周率的实验，如图，在桌面内均匀画出相距为a 的一簇平行直线，细针长度为l ⎝ ⎛⎭⎪⎫l ≤a 2，随机向桌面抛掷针的次数是n ，其中针与平行线相交的次数是m ，则圆周率π的估计值为( )A.nl maB.2nl maC.ma nlD.2ma nl答案 B解析设事件A 为“针与平行直线相交”，如图，设针的中心到平行线的最小距离为Y ，与平行线所成角为α，则所有事件构成的集合Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，Y ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0≤α≤π2，0≤Y ≤a 2，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ a ，Y ∈Ω|0≤Y ≤l2sin α，则在平面直角坐标系内，集合Ω对应的区域面积S Ω＝a π4，集合A 对应的区域面积S A ＝⎠⎜⎛0π2l 2sin αd α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－l 2cos α⎪⎪⎪⎪π2＝l 2，所以P (A )＝S AS Ω＝2l a π＝m n ，则π＝2nlma. 12．[2016·天津高考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ 4a －3 x ＋3a ，x <0，log a x ＋1 ＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 答案 C解析当x <0时，f (x )单调递减，必须满足－4a －32≥0，故0<a ≤34，此时函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x )在R 上单调递减，还需3a ≥1，即a ≥13，所以13≤a ≤34.结合函数图象，当x ≥0时，函数y ＝|f (x )|的图象和直线y ＝2－x 有且只有一个公共点，即当x ≥0时，方程|f (x )|＝2－x 只有一个实数解．因此，只需当x <0时，方程|f (x )|＝2－x 恰有一个实数解．根据已知条件可得，当x <0时，f (x )>0，即只需方程f (x )＝2－x 恰有一个实数解，即x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x ，即x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0在(－∞，0)上恰有唯一的实数解．判别式Δ＝4(2a －1)2－4(3a －2)＝4(4a 2－7a ＋3)＝4(a －1)(4a －3)，因为13≤a ≤34，所以Δ≥0.当3a －2<0，即a <23时，方程x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0有一个正实根、一个负实根，满足要求；当3a －2＝0，即a ＝23时，方程x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0的一个根为0，一个根为－23，满足要求；当3a －2>0，即23<a <34时，因为－(2a －1)<0，此时方程x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0有两个负实根，不满足要求；当a ＝34时，方程x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0有两个相等的负实根，满足要求．综上可知，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·山东高考]执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________．答案 3解析输入a ＝0，b ＝9，第一次循环：a ＝0＋1＝1，b ＝9－1＝8，i ＝1＋1＝2；第二次循环：a ＝1＋2＝3，b ＝8－2＝6，i ＝2＋1＝3；第三次循环：a ＝3＋3＝6，b ＝6－3＝3，a >b 成立，所以输出i 的值为3.14．[2016·北京高考]双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.答案 2解析由OA 、OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2－y 2＝a 2.OB 是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2＝2a 2可得a ＝2.15．[2017·太原质检]已知向量AB →与AC →的夹角为120°，|CB →－CA →|＝2，|BC →－BA →|＝3，若向量AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．答案127解析由条件可知|AB →|＝2，|AC →|＝3，于是AB →·AC →＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3.由AP →⊥BC →，得AP →·BC→＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，所以|AC →|2＋(λ－1)AB →·AC →－λ|AB →|2＝0，即9＋(λ－1)×(－3)－4λ＝0，解得λ＝127.16．[2017·杭州模拟]已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2sin B ＋(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝0，tan A ＝2sin B ＋12cos B ＋1，则角A 等于________．答案7π36解析在△ABC 中，a 2sin B ＋(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝0，∴a 2sin B ＋2ab cos C sin A ＝0，a sin B ＋2b cos C sin A ＝0，sin A sin B ＋2sin B cos C sin A ＝0，又sin A ≠0，sin B ≠0，∴cos C ＝－12，且0<C <π，C ＝2π3，则A ＝π3－B ，又tan A ＝2sin B ＋12cos B ＋1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ·2cos B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ·2sin B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ， ∴2[ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B cos B －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B sin B ]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π3＋B ，∴π3－2B ＝B －π12或π3－2B －π12＋B ＝π，解得B ＝5π36或B ＝－3π4(舍去)，故A ＝π3－5π36＝7π36. 三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2017·湖北联考](本小题满分12分)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，a 1a 3＝4，且a 3＋1是a 2和a 4的等差中项，若b n ＝log 2a n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }满足c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1，求数列{c n }的前n 项和．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0，在等比数列{a n }中，由a n >0，a 1a 3＝4，得a 2＝2，① (2分)又a 3＋1是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋1)＝a 2＋a 4，②把①代入②，得2(2q ＋1)＝2＋2q 2，解得q ＝2或q ＝0(舍去)，(4分) 所以a n ＝a 2qn －2＝2n －1，则b n ＝log 2a n ＋1＝log 22n＝n .(6分) (2)由(1)得，c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1＝2n＋1 2n －1 2n ＋1 ＝2n＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，(8分)所以数列{c n }的前n 项和S n ＝2＋22＋ (2)＋12[ ( 1－13 )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ]＝2 1－2n1－2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝2n ＋1－2＋n 2n ＋1.(12分) 18．[2016·武汉调研](本小题满分12分)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下：(1)如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程；(2)根据(1)所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间．附：b ＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑ni ＝1x 2i －n x2，y －＝b x －＋a .解 (1)设所求的回归直线方程为y ^＝bx ＋a . 列表：∴x －＝30，y －＝75，∑5i ＝1x 2i ＝5500，∑5i ＝1x i y i ＝11920,5x －y －＝11250.(4分) ∴b ＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝11920－112505500－5×302＝0.67，a ＝y －－b x －＝75－0.67×30＝54.9， ∴回归直线方程为y ^＝0.67x ＋54.9.(8分) (2)由(1)所求回归直线方程知，x ＝70时， y ^＝0.67×70＋54.9＝101.8(分钟)．∴预测此车间加工这种零件70个时，所需要加工时间为101.8分钟．(12分)19．[2016·山东高考](本小题满分12分)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；(2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值．解 (1)证明：设FC 的中点为I ，连接GI ，HI ，在△CEF 中，因为点G 是CE 的中点，所以GI ∥EF .(2分)又EF ∥OB ，所以GI ∥OB .因为OB ⊄平面GHI .所以OB ∥平面GHI .(3分) 在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC .同理BC ∥平面GHI .(4分) 又OB ∩BC ＝B ，所以平面GHI ∥平面ABC .(5分) 因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .(6分)(2)解法一：连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC . 又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC .以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .(7分) 由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)．过点F 作FM 垂直OB 于点M ，所以FM ＝FB 2－BM 2＝3，可得F (0，3，3)．(9分)故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)．设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量，由⎩⎨⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，可得⎩⎨⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，33.(10分) 因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝77.(11分)所以二面角F －BC －A 的余弦值为77.(12分)解法二：连接OO ′.过点F 作FM 垂直OB 于点M ，则有FM ∥OO ′.(7分) 又OO ′⊥平面ABC ，所以FM ⊥平面ABC .(8分) 可得FM ＝FB 2－BM 2＝3.过点M 作MN 垂直BC 于点N ，连接FN . 可得FN ⊥BC ，从而∠FNM 为二面角F －BC －A 的平面角．又AB ＝BC ，AC 是圆O 的直径，所以MN ＝BM sin45°＝62，(9分) 从而FN ＝422，可得cos ∠FNM ＝77.(10分) 所以二面角F －BC －A 的余弦值为77.(12分) 20．[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝12及点A (－2，0)，动点P 到圆M 的距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W .(1)求曲线W 的方程；(2)过原点的直线l (l 不与坐标轴重合)与曲线W 交于不同的两点C ，D ，点E 在曲线W 上，且CE ⊥CD ，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线DE ，CF 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2.解 (1)由题意知：点P 在圆内且不为圆心，故|PA |＋|PM |＝23>22＝|AM |，(2分) 所以P 点的轨迹为以A 、M 为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧2a ＝23，2c ＝22⇒⎩⎨⎧a ＝3，c ＝2，所以b 2＝1，故曲线W 的方程为x 23＋y 2＝1.(4分)(2)设C (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，E (x 2，y 2)，则D (－x 1，－y 1)，则直线CD 的斜率为k CD ＝y 1x 1，又CE ⊥CD ，所以直线CE 的斜率是k CE ＝－x 1y 1，记－x 1y 1＝k ，设直线CE 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6mk 1＋3k2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋3k2，(8分)由题意知，x 1≠x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－13k ＝y 13x 1，所以直线DE 的方程为y ＋y 1＝y 13x 1(x ＋x 1)，令y ＝0，得x ＝2x 1，即F (2x 1,0)．可得k 2＝－y 1x 1，所以k 1＝－13k 2，即k 1k 2＝－13.(12分)21．[2016·河南六市联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln 2xx.(1)求f (x )在[1，a ](a >1)上的最小值；(2)若关于x 的不等式f 2(x )＋mf (x )>0只有两个整数解，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝1－ln 2x x2(x >0)，令f ′(x )>0，得f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2；令f ′(x )<0，得f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞.(1分) ∵x ∈[1，a ]，∴当1<a ≤e2时，f (x )在[1，a ]上为增函数，f (x )的最小值为f (1)＝ln 2；(3分)当a >e 2时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，e 2上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤e 2，a 上为减函数．又f (2)＝ln 42＝ln 2＝f (1)，∴若e2<a ≤2，f (x )的最小值为f (1)＝ln 2，若a >2，f (x )的最小值为f (a )＝ln 2aa，(5分)综上，当1<a ≤2时，f (x )的最小值为f (1)＝ln 2；当a >2时，f (x )的最小值为f (a )＝ln 2aa.(6分)(2)由(1)知，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞上，ln 2x >ln e ＝1>0，又x >0，则f (x )>0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴当m >0时，由不等式f 2(x )＋mf (x )>0，得f (x )>0或f (x )<－m ，而f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，整数解有无数多个，不合题意，f (x )<－m 无整数解；(8分)当m ＝0时，由不等式f 2(x )＋mf (x )>0，得f (x )≠0，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，整数解有无数多个，不合题意；(9分)当m <0时，由不等式f 2(x )＋mf (x )>0，得f (x )>－m 或f (x )<0，f (x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，无整数解，(10分)若不等式f 2(x )＋mf (x )>0有两个整数解，则f (3)≤－m <f (2)＝f (1)， ∴－ln 2<m ≤－13ln 6.综上m 范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－ln 2，－13ln 6.(12分) 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2016·黄冈质检](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为ρ＝sin θcos 2θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点P (0,2)作斜率为1的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试求1|PA |＋1|PB |的值．解 (1)令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入C 的极坐标方程，得y ＝x 2.(5分) (2)设A ，B 两点对应参数为t 1，t 2，直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，代入y ＝x 2，得t 2－2t －4＝0，则t 1t 2＝－4，t 1＋t 2＝2，(8分)1|PA |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝ t 1＋t 2 2－4t 1t 2|t 1t 2|＝324.(10分) 23．[2016·广州综合测试](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥12的解集；(2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )≥12等价于|x ＋1|－|x |≥12.①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解；(2分)②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12，解得－14≤x <0；(3分)③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12，解得x ≥0.(4分)综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.(5分) (2)因为不等式f (x )≥b 的解集为空集，所以b >[f (x )]max .因为f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a |＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，当且仅当x ≥1－a 时取等号，所以[f (x )]max ＝a ＋1－a .因为对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集为空集，所以b >[]a ＋1－a max .(8分) 以下给出两种思路求g (a )＝a ＋1－a 的最大值．思路1：令g (a )＝a ＋1－a ，所以g 2(a )＝1＋2a 1－a ≤1＋(a )2＋(1－a )2＝2. 当且仅当a ＝1－a ，即a ＝12时等号成立．所以[g (a )]max ＝2，所以b 的取值范围为(2，＋∞)．(10分)思路2：令g (a )＝a ＋1－a ，因为0≤a ≤1，所以可设a ＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则g (a )＝a ＋1－a ＝cos θ＋sin θ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤2，当且仅当θ＝π4时等号成立，所以b 的取值范围为(2，＋∞)．(10分)。