运筹学 (单纯形法原理)课件

max z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12
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4
x
1
16 5 x 2 15
x 1 0 、 x 2 0
运筹学 (单纯形法原理)
求解步骤
（1）化为标准型
m ax z 2 x1 3 x2
2 x1 2 x2 x3
12
4
x1
x4 16
5 x2
x5 15
运筹学 (单纯形法原理)
单纯形法的计算步骤 • 单纯形法的思路
如何改善？ 如何判断没有有限最优解？
找出一个初始可行解
是否最优
是
循
环
否
转移到另一个基本可行解 （找出更大的目标函数值）
核心是：变量迭代
运筹学 (单纯形法原理)
最优解 结束
线性规划问题的代数运算形式
例：用单纯形法的代数运算形式求解下列线性规划问题
x1
+ 1/2 x3
– 1/5x5 = 3
– 2 x3 + x4 + 4/5x5 = 4
x2
+ 1/5 x5 = 3
移项后得到：
x1 = 3 – 1/2 x3 + 1/5x5
x4 = 4 + 2 x3 – 4/5x5
x2 = 3
–1/5 x5
将上式代入目标函数，得目标函数用非基变量x3 、 x5表示的表达式
可见，从原来的基变量x2 、 x3 、 x4中选出x3作为非基变量，得第二次 迭代后的基本可行解：
X （2） =（3，3，0，4，0） T
其对应的目标函数值：
z1=2×3+3×3=15
（7）检验X （2） 是否为最优解
运筹学 (单纯形法原理)
将约束方程组改为用非基变量x3 、 x5来表示基变量x1、 x2 、 x4的表达 式。可用高斯消去法得到：
x3 = 6 – 2x1 + 2/5x5
x4 = 16 – 4x1
x2 = 3
–1/5 x5
x3 = 6 – 2 θ ≥0
x4 = 16 – 4 θ ≥0
x2 = 3
≥0
运筹学 (单纯形法原理)
即：
x1 = θ =min{6/2，16 /4 ，~}=3
相应地有：
x3 = 6 – 2 × 3 =0 x4 = 16 – 4 × 3=4 x2 = 3
复习 由图解法得到的启示：
1.求解线性规划问题时，解的情况有：唯一解；无穷多最优 解；无界解；无可行解。 2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集。 3.若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一 （有无穷多最优解）一定是可行域的凸集的某个顶点。
4.解题思路是，先找出凸集的任一顶点，计算在顶点处的目标 函数值。比较周围相邻顶点的目标函数值是否比这个值大， 如果为否，则该顶点就是最优解的点或最优解的点之一，否 则转到比这个点的目标函数值更大的另一顶点，重复上述过 程，一直到找出使目标函数值达到最大的顶点为止。
即：
x3 = 12 – 2 θ ≥0
x4 = 16
≥0
x5 = 15 – 5 θ ≥0
x2 = θ =min{12/2，~，15 /5}=3
相应地有：
x3 = 12 – 2 × 3=6 x4 = 16 x5 = 15 – 5 × 3=0
可见，从原来的基变量x3 、 x4 、 x5中选出x5作为非基变量，得第一次 迭代后的基本可行解：
X （1） =（0，3，6，16，0） T
运筹学 (单纯形法原理)
其对应的目标函数值：
z1=2×0+3×3=9
（5）检验X （1） 是否为最优解
将约束方程组改为用非基变量x1 、 x5来表示基变量x2、 x3 、 x4的表达 式。可用高斯消去法得到：
2x1
+ x3
– 2 /5x5 = 6
4x1
+ x4
会使目标函数的值增加。可见X （1）不是最优解。
（6）第二次迭代
和第一次迭代同样的道理，应选取非基变量x1使它成为基变量，而且 让它取尽可能大的值，同时， x5仍作为非基变量取值为零。从原来的基 变量x2 、 x3 、 x4中选出一个作为非基变量。 x1的取值也按同样的方法确 定：
将x1 = θ ， x5 = 0代入：
2x1 +2x2 + x3
= 12
4x1
+ x4 = 16
5x2
+ x5 = 15
x3 = 12 –2x1 – 2x2
x4= 16 – 4x1
x5 = 15
– 5x2
运筹学 (单纯形法原理)
将x1 = 0， x2 = θ代入上面约束方程，为了让θ取尽可能大的值，同时 又要考虑到x3 、 x4 、 x5必须满足非负约束，从而θ的值应满足：
（4）第一次迭代。 每一次迭代，得到一个新的基本可行解。因此，哪些变量作为
基变量，哪些非基变量，就要发生变化。
由于目标函数中x2的系数大于x1的系数，因此，可以选择x2使它 作为基变量，而且让它取尽可能大的值，同时， x1仍作为非基变量 取值为零。从原来的基变量x3 、 x4 、 x5中选出一个作为非基变量。 x2的取值不能任意地增加，它要受到约束方程的限制：
z =15 – x3 – 1/5x5
这时,目标函数中非基变量的系数都不大于零，可见目标函数的值不 可能再继续增大,目标函数已经取得最大值15 ，故为X （2）最优解。
x j 0 j 1, 2 , ，5
（2）找一个初始基本可行解X（0）
2 2 1 0 0 A 4 0 0 1 0
0 5 0 0 1
1
P3
0
0
0
P4
1
0
0
P5
0
1
运筹学 (单纯形法原理)
1 0 0
B0 P3 P4 P50 1 0
0 0 1
x量可B2 为0x行为1 关=解一x于：2个=可0可。行行从基基而B，0有的xx非33、=基1x2变4，、量xx，45为=为1关6求，于初可x始5 =行基1基5本，B可0于的行是基解得变，到量令初，非始x基基1 、变本
X （0） =（0，0，12，16，15） T
其对应的目标函数值 z0=2×0+3×0=0
（3）检验X（0）是否为最优解。由目标函数的表达式：
z =2x1 +3x2
可知，非基变量x1 和 x2 的系数为正，如果把非基变量x1 或x2转换
为基变量，则会使目标函数的值增加。可见 X（0）不是最优解 运筹学 (单纯形法原理)
= 16
x2
+ 1 /5 x5 = 3
移项后得到：
x3 = 6 – 2x1 + 2/5x5
x4 = 16 – 4x1
x2 = 3
–1/5 x5
运筹学 (单纯形法原理)
将上式代入目标函数，得目标函数用非基变量x1 、 x5表示的表达式
z =9+2x1 – 3/5x5
由于非基变量x1的系数是正数，如果把非基变量转换为基变量，则