运筹学单纯形法专业知识讲座
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单纯形法专业知识讲座
转(2)
从环节(2)-(5)旳每一种循环，称为一次单纯形迭代.
24
单纯形表计算环节举例 给定线性规划问题
例1 Max z = 50x1 + 30x2 4x1+3x2 ≤ 120
s.t 2x1+ x2 ≤ 50 x1，x2 ≥ 0
Max z = 50x1 + 30x2
4x1+ 3x2 + x3
= 120
数
0 CN CB B1 N
16
单纯形表
相应于基B旳单纯形表: (2.15)-(2.17)旳表格形式
cj
c1
… cm
cm+1
…
cn
CB XB b
x1
… xm
xm+1
…
xn
I
c1 x1 b’1
1
…0
a’1,m+1
…
a’1n
1
c2 x2 b’2
0
…0
a’2,m+1
…
a’2n
2
…
…
…
…
cm xm b’m
5
B2 = ( P3 P4 P2 )
z= 0 + 40 x1 + 50 x2 ④ x3 + 2x2 = 30 - x1 ①
x4 + 2x2 = 60 – 3x1 ② 2x2 = 24 - x5 ③
Max z = 40 x1 +50 x2
x1 +2x2 +x3
=30
3x1 +2x2 +x4 =60
2x2
由最小θ比值法求：
θ= min
b’i
a'i,m+k
运筹学 单纯形法的迭代原理讲解
运筹学单纯形法的迭代原理讲解
单纯形法是一种用于解决线性规划问题的常用方法，其基本思想是通过迭代的方式逐步接近最优解。
下面是单纯形法的迭代原理的讲解：
1. 初始解的选择：首先需要选择一个初始解，通常选择的方法是构造一个基可行解，即使所有的约束条件都满足的解。
2. 判断最优性：在每一次迭代中，需要判断当前解是否为最优解。
首先，计算当前解对应的目标函数值。
然后，检查是否存在非基变量的系数大于等于0（对于最小化问题）或者小于等于0（对于最大化问题），如果存在这样的非基变量，则当前解不是最优解；如果不存在这样的非基变量，则当前解是最优解。
3. 生成新解：如果当前解不是最优解，则需要生成新的解。
首先，选择一个非基变量，使得目标函数的值可以通过增加（对于最小化问题）或减少（对于最大化问题）该变量的值来改善。
然后，需要计算这个非基变量能够增加或减少的最大量，称为变量的进步长度。
最后，通过调整基变量的值来生成新的解。
4. 更新目标函数和约束条件：在生成新解之后，需要更新目标函数和约束条件，以便于下一次迭代。
具体操作包括计算新解对应的目标函数值，计算新解对应的约束条件的值，调整目标函数和约束条件的系数。
5. 重复迭代：根据判断最优性的结果，进行下一次迭代。
如果当前解是最优解，
则算法结束；否则，继续进行下一次迭代。
通过不断重复这一迭代过程，直到找到最优解或者确定问题无解为止。
单纯形法的迭代过程一般会在有限次数内结束，并且能够得到最优解。
运筹学课件 单纯形法的迭代原理
因为p1,…,pm,是一个基，其他向量pj可以这个基 的线性组合表示：
pj
a
i 1
m
ij
pi
(pj
a
i 1
m
运筹学教程
ij
p i ) 0
pj
a
i 1
(0)
m
ij
p i 相减，然后乘上一个正数θ ,加上
i 1
m
pi xi
b
经过整理得到：
( p j a ij p i )
rL×(-al-1j) +rL-1
0 -(bL/aLj)+bL-1 L alj×(1/alj)=1
运筹学教程
所以，P1,P2,…,Pl-1,Pj,Pl+1,…,Pm,是一个基。
进行初等行变换，将第L行乘上1/alj,再分别乘以
-aij,(i=1,…,l-1,l+1,…,m)加到各行，增广矩阵
的左边变成一个单位矩阵，
cj
…
cn
CB
c1 c2 . cm cj-zj
基
x1 x2 . xm
b
b1 b2 . bm
x1
1 0 . 0
…
xm …
xj
a1j a2j . amj
…
xn
a1n a2n . amn
j c n c i a in
i 1 m
0
…
0
…
运筹学教程
第二步：最优性检验
计算检验数，检查：
所有检验数是否≤ 0？
运筹学教程
式中p1,„,pm 为基变量,同其所对应的 x1,x2,„..,xm为基变量；其它变量 xm+1,xm+2，„„,xn为非基变量。令所有的非基变量 等于零。
运筹学课件1-3单纯形法原理
§1.3 单纯形法原理
理论方法 算法步骤 单纯形表
算例
第1页
一、基本概念
考虑线性规划标准形式 max z CX s .t . AX b X 0 ：
其中A为m×n阶矩阵
可行解：满足AX=b,且X≥0的解称为可行解。 可行域：全部可行解的集合称为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解称为最 优解。 基：设B是系数矩阵A的一个m×n阶的满秩子矩阵， 称B是(LP)的一个基。
－5 0 0
2.5 0 4 4 0 3
1.5 17.5 22 19
－3 0 0 0
问：基解中零的个数至少有多少个？ 至少n-m个
例3
x1=0, x3=0 x2=3, x4=-2 是基解，但不 是可行解
D
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
第12页
三、几个基本定理
引理 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件 是它的正分量所对应的系数列向量线性无关。
证： （2）充分性
若向量 P1 , P2 , , Pk 线性无关，
则必有 k m
T
当 k m 时， P1 , P2 , , Pm 构成基
从而 X ( x1 , , x m , 0 , , 0 ) 为相应的基可行解
若X
(X
(0)
(0)
证。
(0)
不是基可行解
(0)
,由定理 2 知 X
到通过 X
) CX ) CX
理论方法 算法步骤 单纯形表
算例
第1页
一、基本概念
考虑线性规划标准形式 max z CX s .t . AX b X 0 ：
其中A为m×n阶矩阵
可行解：满足AX=b,且X≥0的解称为可行解。 可行域：全部可行解的集合称为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解称为最 优解。 基：设B是系数矩阵A的一个m×n阶的满秩子矩阵， 称B是(LP)的一个基。
－5 0 0
2.5 0 4 4 0 3
1.5 17.5 22 19
－3 0 0 0
问：基解中零的个数至少有多少个？ 至少n-m个
例3
x1=0, x3=0 x2=3, x4=-2 是基解，但不 是可行解
D
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
第12页
三、几个基本定理
引理 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件 是它的正分量所对应的系数列向量线性无关。
证： （2）充分性
若向量 P1 , P2 , , Pk 线性无关，
则必有 k m
T
当 k m 时， P1 , P2 , , Pm 构成基
从而 X ( x1 , , x m , 0 , , 0 ) 为相应的基可行解
若X
(X
(0)
(0)
证。
(0)
不是基可行解
(0)
,由定理 2 知 X
到通过 X
) CX ) CX
单纯形法原理讲解ppt课件
第4步 基变换
换入基变量：
z 0 2 x 1 3 x 2 0 1 x 1 2 x 2
1,2 0, x1, x2 均可换入。
一般选取 max对1, (应2)的变量
（即选最大非负检验数对应的变量）
换入变量 x 2
换出变量
x3 使换入的变量越大越x好4 同时，新的解要可行。
x5
本节通过一个引例，可以了解利用 单纯形法求解线性规划问题的思路，并 将每一次的结果与图解法作一对比，其 几何意义更为清楚。
引例（上一章例）
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3
8
4x1
x4
16
4 x2
x5 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
x 2 min( 8 / 2 x 2 为换入变量，应换出 x 5变为量换。 出变量
因此，基由 B(P3 P4 P5) 变为 B(P 3 P 4 P 2)
转第2步：基变量用非基变量表示。
第3步：最优性判断
检验数
存在正，按第4步换基继续迭代
均非正，停止
（这时的解即是最优解）
x x
3
3
转
2
第x 4 x22 4步x 24
0 4 0 0 1
显然 ，P3, P4, P5 可构成初等可行基B 。
1 0 0
令： B(P3,
P4,P5)
0
1
0
x3, x4, x5 为基变量
0 0 1
第2步 求出基可行解
基变量用非基
x3
是否是 最优x4解？x5
8 x1 164x1 12
2变令x2量 非表 基示 变， 量并 为
运筹学单纯形法讲解
运筹学单纯形法讲解一、单纯形法基本概念在运筹学中，单纯形法是一种在给定点搜索可行解集合的一种技术。
设有m个点x、 y、 z分布在两点P、 Q，它们是相互独立的，这样的点组成了单纯形。
单纯形是可以用于求解最优化问题的一种简单的对象，因而又称为对象或对象群。
由单纯形求出的最优解就叫做单纯形的最优解。
在实际应用中，一般用来求最优解的都是单纯形。
二、单纯形法适用条件和范围在运筹学中，单纯形法常用于求解线性规划、非线性规划和整数规划等，还可以求解网络的流量、质量等。
但当运输问题用单纯形法求解时，解不存在，无最优解，也无单纯形。
非线性规划只能得到对象最优解。
三、单纯形法具体步骤和算法介绍1、明确问题的目标。
2、计算出所有解，按确定的先后顺序排列。
3、计算出各解在横坐标上的相对位置，即计算每个解在左右方向上的距离，再根据此距离大小，取其中的最小值作为该点的最优解。
四、单纯形法的误差和精度1、明确问题的目标。
一般在最优化问题中，用最小值对准目标是最理想的，但是在实际工程应用中，人们往往要求越多越好，甚至有时只要求几个较小的值。
但要注意所得结果的可靠性和正确性，也要尽可能减少计算过程中的误差。
2、计算出所有解，按确定的先后顺序排列。
首先，找出最优解，再在这个最优解附近寻找另外的比最优解更好的最优解，直到所有点都达到满意的精度。
这种方法称为“穷举法”。
穷举法通常用于没有更好的方法时，常用于工程实际中。
3、计算出各解在横坐标上的相对位置，即计算每个解在左右方向上的距离，再根据此距离大小，取其中的最小值作为该点的最优解。
4、单纯形法的误差：由于人们认识上的错误或操作不当造成的，如排除法的计算次数与数据采集次数之比，以及采样值的平均数与真值之比，与取值的个数有关，与取值的精度也有关，必须合理确定取值范围。
5、单纯形法的精度：根据问题的规模，计算数据量和计算次数，反复调整取值点，改进计算方法，从而得到尽可能高的精度。
单纯形法的精度可达0．01或0．05。
管理运筹学--单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题讲课讲稿
2. 初始单纯表中的基变量Xs=b，迭代后的单 纯形表中为XB= B-1b
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
运筹学第2讲：图解法及单纯形法基本概念
z = x1 + x2
3
可行域
x1 - 3x2 = 3 x1
1 1 3 6
运筹学
第2讲：图解法及单纯形法基本概念
无 可 行 解
例5： max z = x1 + x2 s.t. x1 + x2 ≤ 2，2x1 + 2x2 ≥ 6 x1 , x2 ≥ 0
x2 3 x1 + x2 =2 2 2x1 + 2x2 =6
rA=m
与P3, P4, P5相对应的三个变量x3, x4, x5是基变量 XB = [x3, x4, x5]T是基变矢 x1, x2是非基变量 , XN = [x1, x2]T是非基变矢 令XN = [x1, x2]T = [0, 0]T , 得到XB = [x3, x4, x5]T = [8, 12, 36]T
XB ' T 则 X ' 0, 6,8, 0,12 为基解 , 也是基可行解 X N '
对应的可行基为P’ = (P2, P3, P5),
此时，z = 30
运筹学
P5，则
P’’ = (P1, P2, P3) = 1 0 1
则模型的系数矩阵为
1 0 1 0 0 0 2 0 1 0 3 4 0 0 1
A
n=5, m=3, rA=3
运筹学
第2讲：图解法及单纯形法基本概念
(1) 令P = (P3, P4, P5) = 1
0 ，r =3= P 0 1 0 0 0 1 P是一个基 , P3, P4, P5是三个基向量 0
三、单纯形法的几个基本概念
可行解、可行域、最优解、最优值 （P11） 基(阵)（P14） 基向量、基变量、基变矢、非基变量、非基变矢（P14）
运筹学之单纯型法
无界例子
max z = . 3x3 − x4 x2 − 8x3 + 4x4 = 4 因为c3 > 0，x3 应进基（即x3 取某一特定值t > 0），x4 仍为0，则 有： x1 = 6 + 3t, x2 = 4 + 8t, z = 20 + 3t 当t → ∞，有z → ∞。 该问题无界！
. . . . . .
每次确定一个进基变量； 每次确定一个离基变量。
迭代直至不存在可能的改善为止。
.
.
.
.
.
.
曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院)
运筹学（2011春）
4 / 22
标准形式
. .
线性规划的一般形式
max z = s.t. 500x1 + 450x2 6x1 + 5x2 ≤ 60 10x1 + 20x2 ≤ 150 x1 ≤ 8 . x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 全部决策变量均为非负；
{ } 进基变量：最速上升方向cs = max cj , ∀j = 1, · · · , n ； {¯ } bi ¯ 离基变量：最小系数检验R = min ¯is : i满足ais > 0 ，如果至少有 a ¯ 一个ais > 0，对于所有i = 1, · · · , m； ars 为枢轴元素（pivot element）。
.
16
.
18
. . . .
曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院)
运筹学（2011春）
3 / 22
单纯形法的迭代本质
14 12 10 8 6 4 2 . 0 2 4 6 8 10 12 14
.
16
.
(最新整理)05第五章单纯形法管理运筹学课件
4. 线性规划问题就是求一个线性目标函数在一 组线性约束条件下的极值问题.
5. 求解线性规划问题的有效方法是单纯形法；
2021/7/26
2
知识点的回顾
6. 满足所有约束条件的点的集合称为线性规划 问题的可行域；
7. 可行域中的每一点称为线性规划问题的可行 解；
8. 使目标函数达到最优的可行解称为线性规划 问题的最优解；
2021/7/26
5
第五章 单纯形法
2021/7/26
6
这可是
线性规划问题的标准形式
个重点 哦！
为了使线性规划问题的解法标准，就要把一般形
式化为标准形式 n max(minZ) cjxj j1
s.t.
n j1
aijxj
(,)bi ,
i 1,2,,m
xj 0(0,不限), j 1,2,,n
s.t. AX=b X 0
（ b） （c）
X(x1,x2, ,xn)T
a11 a12 …. a1n
b1
A= a21 a22 …. a2n
……………………………
am1 am2 …. amn
b = b2
…………
bm
2021/7/26
14
• 假若标准型有 n 个变量， m 个约束行且m<=n
• “基”的概念
基解
x4, x5 x1 =1 x2 =7 x3 =1 B 基可行解
x1 =2, x2 =2, x3 =4, x4 =4, x5 =3 K
可行解
2021/7/26
22
知识点总结
• n个变量，m 个约束条件的标准形的线性规划问题（秩 为m）中最多有（ Cnm ）个基矩阵
• n个变量，m 个约束条件的标准形的线性规划问题（秩 为m）中最多有（ Cnm ）个基解
5. 求解线性规划问题的有效方法是单纯形法；
2021/7/26
2
知识点的回顾
6. 满足所有约束条件的点的集合称为线性规划 问题的可行域；
7. 可行域中的每一点称为线性规划问题的可行 解；
8. 使目标函数达到最优的可行解称为线性规划 问题的最优解；
2021/7/26
5
第五章 单纯形法
2021/7/26
6
这可是
线性规划问题的标准形式
个重点 哦！
为了使线性规划问题的解法标准，就要把一般形
式化为标准形式 n max(minZ) cjxj j1
s.t.
n j1
aijxj
(,)bi ,
i 1,2,,m
xj 0(0,不限), j 1,2,,n
s.t. AX=b X 0
（ b） （c）
X(x1,x2, ,xn)T
a11 a12 …. a1n
b1
A= a21 a22 …. a2n
……………………………
am1 am2 …. amn
b = b2
…………
bm
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14
• 假若标准型有 n 个变量， m 个约束行且m<=n
• “基”的概念
基解
x4, x5 x1 =1 x2 =7 x3 =1 B 基可行解
x1 =2, x2 =2, x3 =4, x4 =4, x5 =3 K
可行解
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22
知识点总结
• n个变量，m 个约束条件的标准形的线性规划问题（秩 为m）中最多有（ Cnm ）个基矩阵
• n个变量，m 个约束条件的标准形的线性规划问题（秩 为m）中最多有（ Cnm ）个基解
大学运筹学经典课件第五章——单纯形法
j 1, 2,, n
x j j m 1, m 2,, n
以下用 xi i 1,2,, m 表示基变量，用 表示非基变量。
管
理
运
筹
学
14
§2 单纯形法的表格形式
把第i个约束方程移项，就可以用非基变量来表示基变量xi， xi bi ai ,m1 xm1 ai ,m2 xm2 ai ,n xn
x1 x2 s1 300, 2 x1 x2 s2 400, x2 s3 250.
在第二步中已经知道x2为入基变量，我们把各约束方程中x2的为正的系数除 对应的常量，得
b1 300 300, a12 1
b2 400 400, a22 1
管 理 运 筹 学
管
理
运
筹
学
2
§1 单纯形法的基本思路和原理
1 1 1 0 0 A ( p1 , p 2 , 它的系数矩阵p3 ,,p 4 , p5 ) 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
量的个数n，为了找到一个初始基本可行解，先介绍以下几个线性规划的
第五章 单 纯 形 法
• §1 单纯形法的基本思路和原理 • §2 单纯形法的表格形式 • §3 求目标函数值最小的线性规划的问题的 单纯形表解法 • §4 几种特殊情况
管
理
运
筹
学
1
单纯形法的基本思路：从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优
解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此 点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的
相关主题
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MaxZ=-3x1+x3
MaxZ=-3x1+x3-Mx6-Mx7
x1+ x2+ x3≤4
x1+ x2+ x3+x4
=4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
标准化 及变形
xi ≥0,j=1,2,3
-2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1
3x2+x3
+x7=9
xi ≥0,j=1,…,7
增加人工变量后，线性规划问题中就存在一个B为单位矩阵， 后面可以根据我们前面所讲的单纯形法来进行求解。
0
0 无解
B8 P1P2P5 4 2 0 0 4 14 √
Q2
A
B9 P1P2P4 2 3 0 8 0 13 √
Q3
4
B1 P1P2P3 4 3 -2 0 0 17 ╳
B
Q4
Q3
B
0
3
max z 2x1 3x2
2
Q2
1
2020/1/20
O
1
2
3 4 Q1
C x1
x1 2x 2 x3
第5节 单纯当形之处法，请的联系进本人一或网步站删讨除。论
一、人工变量法（大M法）
约束条件：
“≤” →加一个松弛变量 “≥” →减一个剩余变量后，再加一个人工变
量
“＝” →加一个人工变量
目标函数： 人工变量的系数为“－M”，即罚因子
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若线性规划问题有最优解则人工变量必为0。
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回顾：单纯当形之法处，求请解联系步本人骤或：网站删除。
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第5节 单当纯之处形，请法联系的本进人或一网站步删除讨。论
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本St文e档p所1提供化的为信标息仅准当供型之参，处考找，之出请用联，初系不始能本可作人行为或基科网学站，依删并据除列，。出请初勿模始仿单。纯文形档表如有不
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• 上述初始单纯形表中，最后一行称为检验数σj
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8
4 x1
x4 16
4 x2
x5 12
x j 0, j 1,,5
2
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• Step2：检查非基当变之量处所，对请应联系的本检人验或数网σ站j，删除若。所有的σj≤0，则当 前的基可行解就是最优解，当前的目标函数值就是最优值，停 止计算。
当之处，请联系本人或网站删除。
cj
-3 0 1 0 0 -M -M
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 θ
0 x4 4
1
1
1
1
0 0 04
-M x6 1
-2 [ 1 ] -1 0 -1
1
01
-M x7 9
0
3
1
0
0
0
13
σj 0 x4
0 x2
-M x7
-3-2M [4M] 1 33 0 2 1 -2 1 -1 6 [ 6] 0 4
• 例7 用单当纯之形处，法请求联系解本人例或6网。站删除。
•
max z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 +x3
=8
s.t.x2
+x5 =12
xj≥0，j=1,2,…,5
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练习： 当之处，请联系本人或网站删除。
• 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问 题，并指出单纯形法迭代的每一步相当于图形 上哪一个顶点。
Max Z = 10x1+ 5x2
3x1+ 4x2≤9 5x1+ 2x2 ≤8 x1 ，x2≥0
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本文解档：所提供的信息仅当供之参处考，之请用联，系不能本作人为或科网学站依删据除，。请勿模仿。文档如有不
0 -M 0 0 x2入，x6出 1 1 -1 0 1 0 -1 1 0 0 3 -3 1 1
σj
0 x4
[6M-3] 0 4M+1 0 3M -4M 0 x1入，x7出 0 0 0 0 1 -1/2 1/2 -1/2 -
0 x2 -3 x1
σj
B1 P3P4P5 0 0 8 16 12 0 √
O
B2 P2P4P5 0 4 0 16 -4 12 ╳
A
B3 P2P3P5 0
0
无解
B4 P2P3P4 0 3 2 16 0 9 √
Q4
B5 P1P4P5 8 0 0 -16 12 16 ╳
C
x2
B6 P1P3P5 4 0 4 0 12 8 √
Q1
B7 P1P3P4
• 否则，转入下一步。
• SP算tke≤。p03(即：P若k中存每在一一个个分σk>量0a，ikσ≤k0所)，对则应该的L变P无量有xk限的最系优数解列，向停量止计 • 否则，转入下一步。
• Step4：进行可行基的迭代。
• 重复以上步骤
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练习：列出初始单纯形表，并求解第2
小题的最优解 1. P55，2.2（1） 2.
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cj
CB 0 0
XB x3 x4
对 应 0
bi 9 8
0 10
σσXxjj 31对应A
21/5 8/5
5 10
σXxj 21对 应B
3/2 1
10 5 0 0
x1 x2 x3 x4 θ
3 4 1 03 [ 5 ] 2 0 1 8/5
[10] 5
0
0 x1入,x4出
0 [14/5] 1 -3/5 3/2
1 2/5 0 [1]
0 0
1/5 4
x2
-2 x2入,x3出
0 1 5/14 -3/14
C: (0,9/4)
1 0 -1/7 2/7
0
0 -5/14 -25/14
B:(1,3/2)
所以：X*=(x1,x2)T=(1,3/2)T Z*=35/2
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0: (0,0)
x1 A: (86/5,0)