数理方程8-11章习题精选计算题)

6．求解球形区域内部的定解问题： ，A为常数。
§11－2
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
提示：
8．
提示：
9． ；提示：在柱坐标系中，若 与 、 无关， ，则 ；
10． ，求本征振动。提示： 与 无关，亥姆霍兹方程分离变数：
11．
提示：在柱坐标系中，若 与 、 无关， ，则 。
§11－4
1．
2．
3．
部分习试题解答
其中 都是常数，试将方程分离为三个常微分方程。
6．平面极坐标中二维波动方程为：
其中， ，试将方程分离为三个常微分方程。
7．平面极坐标中二维输运方程为：
其中， ，试将方程分离为三个常微分方程。
§10－1
1．求解球形区域内部的定解问题：
2．求解球形区域内部的定解问题：
3．求解球形区域外部的定解问题：
4．求解球形区域内部的定解问题： ，A为常数。
5．写出勒让德多项式的母函数，利用母函数证明递推公式：
6．计算
§10－3
1．求解球形区域内部的定解问题：
[提示： . ]
2．求解球形区域外部的定解问题：
[提示： . ]
3．求解球形区域内部的定解问题：
[提示： . ]
4．求解球形区域外部的定解问题：
[提示： . ]
5．求解球形区域内部的定解问题：
[提示： . ]
3．类似于§11－2例题4，柱面上有第二类齐次边界条件，因此有通解
4．类似于题3，柱面上有第二类齐次边界条件，因此有通解
5．（§11－2例题6的变形）解：1) 与 无关；2)上下底齐次边界条件， ，（即：本征值 ）；3）圆柱面上的齐次边界条件和轴上的自然边界条件， ，本征值 ；4)
， 。
一般解为：
，
分离变量得： （1）
（2）
加上边界条件，构成本征值问题，本征函数为： ， 本征值
，
10．§11－2习题8， ， ，
与z无关，
本征值问题1 ，
本征值问题2 ，
本征振动为：
11．§11－2习题12， 与 、 无关，令
的方程是非齐次方程， 是其一个特解，令 ，代入上式，得
，即
是零阶贝塞尔方程
，
§11－4
1．（§11－4习题4）
§9－1
1．在球坐标系中，拉普拉斯方程为
试将方程分离为三个常微分方程。
2．在柱坐标系中，拉普拉斯方程为：
试将方程分离为三个常微分方程。
3．在球坐标系中，亥姆霍兹方程为：
试将方程分离为三个常微分方程。
4．在柱坐标系中，亥姆霍兹方程为：
试将方程分离为三个常微分方程。
5．在球坐标系中，氢原子的定态问题薛定谔方程为
6．解：1) 与 无关；2)上下底有第二类齐次边界条件， ；3）圆柱面上有齐次边界条件， ，本征值 ；4) ， 。
的一般解为：
7．§11－2习题4， 是第一类齐次边界条件， ，原定解问题的一般解为
8．（类似于§11－2习题5）， 与 无关，柱面上有第二类齐次边界条件。
，
9.（类似于§11－2习题7），令
上下底的非齐次边界条件可转化为齐次边界条件，即令
，
2．（§11－4习题2）
上下底的非齐次边界条件可转化为齐次边界条件，即令
3．（§11－4例题1）令
§8－3
3．
4．解：
代入泛定方程,得
分为两个定解问题
，
求解 ：
5．解：
代入泛定方程,得
，
，
§10－1
5．解：用§8－4的特殊处理法找特解，因为 ，简单的特解是
。
令
§10－3
6．
解：找特解，因为 ，简单的特解是
，
§11－2
1．类似于§11－2习题4， 是第一类齐次边界条件，原定解问题的一般解为
2．原定解问题的一般解为
数学物理方法8－11章3、求解定解问题：
4、求解定解问题：
5、在半径为a的圆域内求解定解问题：
6．在圆域内求解定解问题：
7、在半径为a的圆域外求解定解问题：
§8－3
1．
2．
3．
4．
5．
§8－4
1．在圆域 上求解：
2．在圆域 上求解： 。
3．在圆域 上求解：
4．在半径为a的圆域内求解定解问题：