湖北省荆州市北门中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题文【含答案】
湖北省荆门市2019-2020学年数学高二下期末联考试题含解析
湖北省荆门市2019-2020学年数学高二下期末联考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法正确的是( )A ．若命题,p q ⌝均为真命题，则命题p q ∧为真命题B ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若1sin 62παα=≠，则” C ．在ABC ∆，“2C π=”是“sin cos A B =”的充要条件D ．命题:p “2000,50x R x x ∃∈-->”的否定为:p ⌝“2,50x R x x ∀∈--≤”【答案】D 【解析】 【分析】利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否定，充要条件判断选项的正误即可． 【详解】对于A ：若命题p ，￢q 均为真命题，则q 是假命题，所以命题p∧q 为假命题，所以A 不正确；对于B ：“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”，所以B 不正确；对于C ：在△ABC 中， “2C π=”⇔“A+B=2π”⇔“A=2π-B”⇒sinA=cosB ，反之sinA=cosB ，A+B=2π，或A=2π+B ，“C=2π”不一定成立，∴C=2π是sinA=cosB 成立的充分不必要条件，所以C 不正确；对于D ：命题p ：“∃x 0∈R，x 02-x 0-5＞0”的否定为￢p ：“∀x∈R ，x 2-x-5≤0”，所以D 正确． 故选D ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否定等知识，是基本知识的考查．2．在一次试验中，测得(),x y 的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的线性回归方程为( )A ．ˆ1yx =- B ．2y x =+ C ．21y x =+ D ．1y x =+【答案】D 【解析】 【分析】根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成【详解】123423452.5,3.5444x y ++++++=＝＝＝， ∴这组数据的样本中心点是2.53.5（，）把样本中心点代入四个选项中，只有ˆ1yx =+成立， 故选D ． 【点睛】本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法．3．设实数x ，y 满足不等式组2,23,0,0.x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩则3x y +的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线3z x y =+在x 轴上截距的变化，找到该直线在x 轴上的截距取得最小值时的最优解，再将最优解代入目标函数可得出答案． 【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线3z x y =+，当直线3z x y =+经过可行域的顶点()3,0A 时，此时该直线在x 轴上的截距最小，z 取得最小值，即min 3303z =+⨯=，故选B ．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的思想，利用其在坐标轴上截距最值的思想找出最优来处理，考查数形结合思想，属于中等题．A ．75%B ．96%C ．72%D ．78.125%【答案】C 【解析】 【分析】不妨设出产品是100件，求出次品数，合格品中一级品数值，然后求解概率. 【详解】解：设产品有100件，次品数为：4件，合格品数是96件，合格品中一级品率为75%. 则一级品数为：96×75%＝72，现从这批产品中任取一件，恰好取到一级品的概率为：720.72100=. 故选：C. 【点睛】本题考查概率的应用，设出产品数是解题的关键，注意转化思想的应用.5．已知点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24,4x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）上，则||PF 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】分析：欲求PF ，根据抛物线的定义，即求()3,P m 到准线1x =-的距离，从而求得PF 即可. 详解：抛物线24y x =，准线1x =-，∴PF 为()3,P m 到准线1x =-的距离，即为4，故选：D.点睛：抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化．6．211i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭的值等于（ ） A ．1 B ．－1C ．iD ．i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的计算方法，可得1i -的值，进而可得21i -⎛⎫ ⎪，可得答案．【详解】解：根据复数的计算方法，可得21(1)1(1)(1)i i i i i i --==-++-， 则()22111i i i -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭， 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方，属于基础题．7．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =，(20)P X =(30)P X <=，则p =（ ） A ．0.16 B ．0.2 C ．0.8 D ．0.84【答案】C 【解析】 【分析】由(20)(30)p X P X =<=求出的范围，再由方差公式求出值．【详解】∵(20)(30)p X P X =<=，∴2020303030205050(1)(1)C p p C p p -<-，化简得1p p -<，即12p >，又()850(1)D X p p ==-，解得0.2p =或0.8p =，∴0.8p =，故选C ．【点睛】本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题．8．如图，P 是正四面体V ABC -的面VBC 上一点，点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C 22的椭圆 D ．离心率为3的双曲线【答案】C 【解析】线BC 的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状．详解：∵正四面体V ﹣ABC ∴面VBC 不垂直面ABC ，过P 作PD ⊥面ABC 于D ，过D 作DH ⊥BC 于H ，连接PH ，可得BC ⊥面DPH ，所以BC ⊥PH ，故∠PHD 为二面角V ﹣BC ﹣A 的平面角令其为θ 则Rt △PGH 中，|PD|：|PH|=sinθ（θ为V ﹣BC ﹣A 的二面角的大小）． 又点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，即|PV|=|PD|∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC 中，点P 到定点V 的距离与定直线BC 的距离之比是一个常数sinθ，又在正四面体V ﹣ABC ，V ﹣BC ﹣A 的二面角的大小θ有：1， 由椭圆定义知P 点轨迹为椭圆在面SBC 内的一部分． 故答案为：C ．点睛：（1）本题主要考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．(2)解答本题的关键是联想到圆锥曲线的第二定义.9．=⎰（ ）A ．πB ．2πC ．2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据定积分2204x dx 表示直线0,2,0x x y ===与曲线y =即可求出结果. 【详解】因为定积分2204x dx 表示直线0,2,0x x y ===与曲线y =又y =表示圆224x y +=的一半，其中0y ≥；因此定积分2204x dx 表示圆224x y +=的14，其中0,02y x ≥≤≤，故20124ππ=⋅⋅=⎰.故选A 【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，熟记定积分几何意义即可，属于基础题型. 10．在ABC ∆中，120A =︒，14BC =，10AB =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．15B ．C ．40D ．【答案】B【分析】先利用余弦定理求得b ，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积. 【详解】由余弦定理得2221410210cos120b b =+-⨯⨯⨯，解得6b =，由三角形面积得1106sin120152S =⨯⨯⨯= B.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.11．已知()xae f x x =，[]1,3x ∈且()()12122f x f x x x-<-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．28(,]e-∞ B ．39[,)e+∞ C ．28[,)e+∞ D ．39 ,e ⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】由题意可构造函数()2xae g x x x=-，由()0g x '≤在[]1,3x ∈上恒成立，分离参数并构造新的函数()h x ，利用导数判断其单调性并求得最小值，即可求出a 的取值范围. 【详解】 由[]1,3x ∈，()()12122f x f x x x -<-得()()112212022f x x f x x x x ---⎡⎤⎦-<⎣恒成立， 令()()2g x f x x =-，即()2xae g x x x=-，[]1,3x ∈，则()g x 在[]1,3x ∈上单调递减，所以()21()20x ae x g x x-'=-≤在[]1,3x ∈上恒成立， 当1x =时，(1)20g '=-≤成立，当13x <≤时，()2120x ae x x --≤等价于()221xx a e x ≤-， 令()()(]22,1,31xx h x x e x =∈-， 则()2211x x ⎡⎤---⎣⎦，所以()h x 在(]1,3x ∈上单调递减， ()()()233min 239331h x h e e⨯===⨯-，即39a e ≤故选：D 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，考查导数和构造函数的应用，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.12．设i 为虚数单位，复数2a ii+-为纯虚数，则a =（ ）． A ．2 B ．-2 C ．12-D ．12【答案】D 【解析】 【分析】 整理2a i i +-得：()()21225a a ia i i -+++=-，由复数2a i i +-为纯虚数列方程即可得解． 【详解】因为()()()()()()22122225a i i a a ia i i i i ++-+++==--+ 又它是纯虚数，所以2105a -=，解得：12a = 故选D 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，还考查了复数的相关概念，考查方程思想，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题13．把单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ，点C 在线段AB上，若12AC CB =，则OC BA ⋅的值为__________． 【答案】116-【解析】 【分析】由题意可得3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，先求得1(2)3OC OA AC OA OB =+=+，则1(2)()3OC BA OA OB OA OB ⋅=+⋅-，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ， 所以3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，因为12AC CB =，所以111()(2)333OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+， 所以()2211(2)()233OC BA OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅=+⋅-=--⋅ 11291332⎡⎤⎛⎫=--⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦116=-，故答案为116-. 【点睛】本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）． 14．已知函数()()()3211221032f x ax a x x a =+--+≠，若()f x 在3x =处取得极小值，则实数a 的值为______. 【答案】23. 【解析】 【分析】先求出导数，建立方程求出a 的值，并验证能否取得极小值 【详解】解：由题意知，2()(2)2f x ax a x '=+-- ，则()93(032)2f a a +--=='，解得23a =. 经检验，23a =时，函数3222()2193f x x x x =--+在3x =处取得极小值.故答案为:23. 【点睛】本题考查函数极小值的概念.要注意对求出值的验证．令导数为0，求出的方程的根不一定是极值点，还应满足在解的两边函数的单调性相反.15．已知抛物线22x py =上的点(2,2)A ，则A 到准线的距离为________ 【答案】52【解析】利用点的坐标满足抛物线方程，求出p ，然后求解准线方程，即可推出结果。
湖北省荆州市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
湖北省荆州市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直三棱柱ABC A B C '''-中，AC BC AA '==，90ACB ∠=︒，E 、D 分别为AB 、BB '的中点，则异面直线CE 与C D '所成角的余弦值为（ ） A ．10B ．10 C ．2 D ．15 【答案】B 【解析】 【分析】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE 与C D '所成角的余弦值. 【详解】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC BC AA '===,则()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()1,1,0E 、()0,0,2C '，()0,2,1D ，()1,1,0CE =、()0,2,1C D '=-，设异面直线CE 与C D '所成角为θ， 则10cos 25CE C D CE C Dθ'⋅===⋅'∴异面直线CE 与C D '10故选：B 【点睛】本题考查了空间向量法求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.2．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）A B ．2C ．D【答案】D 【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z = 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi3．已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则球O 的表面积为（ ） A ．53π B ．5π C ．253πD ．25π【答案】C 【解析】 【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积． 【详解】由题意可知，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为233r ==，设正三棱柱的高为h ，由1232⨯=，得h =∴外接球的半径为R ==∴外接球的表面积为：2252544123S R πππ==⨯=． 故选C ．【点睛】本题主要考查了正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．4．若实数满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1C．10D．12【答案】C【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.5．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】 D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算． 解：，∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=1． 故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．6．函数()y f x =的图象过原点且它的导函数()y f x '=的图象是如图所示的一条直线, 则()y f x =的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】设2()(0)f x ax bx a =+≠，则()'2f x ax b =+，由图可知0,0a b <>，从而可得顶点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第一象限. 【详解】因为函数()y f x =的图象过原点， 所以可设2()(0)f x ax bx a =+≠，()'2f x ax b =+，由图可知0,0a b <>,2240,0244b ac b b a a a--->=>， 则函数2()(0)f x ax bx a =+≠的顶点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第一象限，故选A. 【点睛】本题主要考查导数公式的应用，考查了直线与二次函数的图象与性质，属于中档题.7．某个命题与正整数有关，如果当()n k k N *=∈时命题成立，那么可推得当1()n k k N *=+∈ 时命题也成立。
2019-2020年高二下学期期末考试 数学试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试 数学试题 含答案一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1．设，，，则下列结论正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若0.311321log 2,log 3,(),2a b c ===则（ ）A. B. C. D. 4. “”是“为真命题”的（ ）A. 充要条件B. 必要但不充分条件C. 充分但不必要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，下列结论正确的个数是( ) ①图象关于对称 ②函数在上的最大值为2 ③函数图象向左平移个单位后为奇函数 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 2B. 1C. D.7. 若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且）在R 上既是奇函数，又是减函数，则函数的图象是（ ）8. 设是抛物线的焦点，点是抛物线与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为 ( )A. 2B.C.D.9. 右图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ） A ． B ． C ． D ． 10. 若2*31(1)()()nx x x n N x+++∈的展开式中没有常数项，则n的可能取值是( ) A ．7 B. 8 C. 9 D. 1011. 在中，点是上一点，且Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M, 又, 则的值为（ ） A. B. C. D.12．已知函数，g (x )＝x 2－2bx ＋4，若对任意x 1∈(0，2)，存在x 2∈[1，2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数b 的取值范围是( )A ．B ．[1，＋∞]C ．D ．[2，＋∞] 二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0, 则＝ . 14. 已知二次函数的导函数为，，f (x )与x 轴恰有一个交点，则的最小值为_______ .15. 有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻（一前一后也视为不相邻），那么不同坐法的种数是 .16. 定义在R 上的函数是减函数，且函数的图象关于（1，0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17. (本小题满分12分) 中，所对的边分别为，E 为AC 边上的中点且2cos cos cos b B c A a C =+. （Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若的面积，求BE 的最小值.18.（本小题满分12分） 已知函数，，，，，，将它们分别写在六张卡片上，放在一个盒子中，（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得的函数是奇函数的概率；（Ⅱ）从盒子中任取两张卡片，已知其中一张卡片上的函数为奇函数，求另一张卡片上的函数也是奇函数的概率；（Ⅲ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．19. (本小题满分12分)如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求面与面所成角的大小．20. （本小题满分12分）已知椭圆：的右焦点，过原点和轴不重合的直线与椭圆 相交于，两点，且，最小值为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若圆:的切线与椭圆相交于，两点，当，两点横坐标不相等时，问：与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)若函数在上是增函数，求正实数的取值范围； (Ⅱ)若，且，设,求函数在上的最大值和最小值.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲如图，是△的外接圆，D 是AC⌒ 的中点，BD 交AC 于E ．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，O到AC的距离为1，求⊙O的半径．23. (本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足, P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程；(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数, 其中.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为，求a的值.高二理科期末考试数学试题答案1---12 DADCDD ABBCCC13---16 -11, 2, 58,17.18. 解：（Ⅰ）-----3分（Ⅱ）412326232623262623=-=-=C C C C C C C C P -------7分 （Ⅲ）可能取值１,２,３,４-----8分 ，，()2033141315121613=⋅⋅==C C C C C C P ξ，()2014141115121613=⋅⋅==C C C C C C P ξ-----------10分则420420310221=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ----------------------------12分 19.（Ⅰ）证明：设为的中点，连接，则∵，，，∴四边形为正方形， ∵为的中点， ∴为的交点， ∵， ∴， (2分) ∵， ∴，，在三角形中，，∴，（3分∵，∴平面 （ 4分）(Ⅱ)方法1：连接，∵为的中点，为中点， ∴，∵平面，平面，∴平面. （8分）A DOCPBEF方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得： ，， ，，， ， 则，，，. ∴ ∴∵平面，平面， ∴平面； (8分)(Ⅲ) 设平面的法向量为， 则，即， 解得，设平面的法向量为同理可得 则，面与面所成角的大小为（12分） 20．解：（Ⅰ）设AB()F(c,0)则2222=∴==+a a BF AF -----------------------------------------1分 ()()2202222202202021222a x c b b a x x y x AB +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=122min =∴==∴b b AB 所以有椭圆E 的方程为-----------------5分（Ⅱ）由题设条件可知直线的斜率存在，设直线L 的方程为y=kx+mL 与圆相切，∴∴-----------------7分 L 的方程为y=kx+m 代入中得：()()0128,022*******2>-+=∆=-+++m k m kmx xk 令，① ②()22222121221212k k m m x x km x x k y y +-=+++=③--------------------10分0212232122122222222222121=+--=+-++-=+=⋅kk m k k m k m y y x x ∴------------------------------------------------------12分 21.(Ⅰ)解:由题设可得 因为函数在上是增函数， 所以,当时，不等式即恒成立因为,当时，的最大值为，则实数的取值范围是-----4分 (Ⅱ) 解: ，11()ln (1)ln ln x xF x x k x k x x x--=++-=+ 所以,'''22(1)(1)1()x x x x k kx F x x x x----=+= …………6分 （1） 若,则，在上, 恒有，所以在上单调递减 ，…………7分 (2) 时（i ）若，在上,恒有 所以在上单调递减min 111()()ln 1e e F x F e k e k k e e e--==+=+=+- max 1()()1F x F e k e==--…………9分ii)时，因为，所以 ，所以所以在上单调递减min 111()()ln 1e e F x F e k e k k e e e--==+=+=+- max 1()()1F x F e k e==--…………11分综上所述：当时，，；当 且时，，.…………12分22、解：（I ）证明：∵，∴，又，∴△～△，∴，∴CD =DE ·DB ； ………………（5分）23、（I ）设P(x,y),则由条件知M().由于M 点在C 1上，所以⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=∂=sin 222,cos 22y x 即 从而的参数方程为（为参数）（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
湖北省荆州市2020年高二第二学期数学期末监测试题含解析
湖北省荆州市2020年高二第二学期数学期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若//,//m n αβ，且//αβ，则//m n B ．若,m αβα⊥⊥，则//m β C ．若,m n αβ⊥⊥，αβ⊥，则m n ⊥ D ．若//,m n αβ⊥，且αβ⊥，则//m n2．某地区一次联考的数学成绩X 近似地服从正态分布()285,N σ，已知()1220.96P X ≤=，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为（） A ．6B ．4C ．94D ．963．在等差数列{}n a 中0n a >，且122019...4038+++=a a a ，则12019⋅a a 的最大值等于( ） A ．3B ．4C ．6D ．94．已知点()()3,0,3,0,4A B AC BC --=，则点C 轨迹方程是（ ）A ．()221045x y x -=<B ．22145x y -=C ．()221045x y x -=>D ．()220045x y x -=<5．从不同品牌的4台“快译通”和不同品牌的5台录音机中任意抽取3台,其中至少有“快译通”和录音机各1台,则不同的取法共有( ) A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种6．使得()3nx n N x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．77．()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（） A ．112B ．48C ．-112D ．-488．设地球的半径为，地球上，两地都在北纬的纬度线上去，且其经度差为，则，两地的球面距离是（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知函数()y f x =的导数是()'y f x =，若()0,x ∀∈+∞，都有()()'2xf x f x <成立，则( )A ．()()2332f f >B ．()()212f f<C ．()()4332f f <D ．()()412f f >10．若复数()()1i i a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则1i a -+=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．211．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，313a b ==，15715a b ==，设11(1)n nn n n b c a a -+=-，则数列{}n c 的前2018项和为（ ） A ．20172018-B ．20172018C ．20182019-D ．2018201912．8(12)x -展开式中第5项的二项式系数为（ ） A ．56B ．70C ．1120D ．-1120二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于（ ）．14．已知某市A 社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是________人． 15．设集合{2,4}A =,{2,6,8}B =,则A B =____________.16．若随机变量()2~,X Nμσ，且()()510.2P X P X >=<-=，则()25P X <<=__________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知()11,A x y ，()22,B x y 为抛物线216y x =上的相异两点，且128x x +=.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为3，且过点22,⎛⎫ ⎪ ⎪⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点()4,2P ，点M 在x 轴上，过点M 的直线交椭圆C 交于A ，B 两点． ①若直线AB 的斜率为12-，且52AB =，求点M 的坐标；②设直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在定点M ，使得1232k k k +=恒成立？若存在，求出M 点坐标；若不存在，请说明理由．19．（6分）平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为131x t y t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos p θθ=-． （1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）已知与直线l 平行的直线'l 过点()20M ，，且与曲线C 交于A B ，两点，试求AB ． 20．（6分）（1）求关于x 的不等式125x x ++-<的解集；（2）若关于x 的不等式221x x m --≥在x ∈R 时恒成立，求实数m 的取值范围． 21．（6分）已知函数32111()2322f x x x x =---. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[2,4]x ∈-时，求函数()f x 的最大值.22．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求： （1）圆C 的直角坐标方程； （2）圆C 的极坐标方程．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】分析：对选项逐一分析即可.详解：对于A ，//,//m n αβ，且//αβ，则m 与n 位置关系不确定，可能相交、平行或者异面，故A 错误；对于B ，,m αβα⊥⊥，则有可能//m β，有可能m α⊂，故B 错误；对于C ，,m n αβ⊥⊥，αβ⊥，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线'n 与β垂直，又n β⊥，得到//n n '，又m α⊥，得到m n ⊥'，m n ∴⊥，故C 正确；对于D ，//,m n αβ⊥，且αβ⊥，则m 与n 位置关系不确定，可能相交、平行或者异面，故D 错误. 故选C.点睛：本题考查线线平行、线面平行、线面垂直以及面面垂直的判断，主要考查空间立体的感知能力以及组织相关知识进行判断证明的能力，要求熟练相应的判定定理和性质定理. 2．B 【解析】 【分析】由已知根据正态分布的特点，可得()1220.04P X >=，根据对称性，则()480.04P X <=，乘以样本个数得答案． 【详解】由题意，知()1220.96P X ≤=，可得()1220.04P X >=， 又由对称轴为85x =，所以()480.04P X <=， 所以成绩小于48分的样本个数为1000.044⨯=个． 故选：B ． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及考查正态分布中两个量μ和σ的应用，其中熟记正态分布的对称性是解答的关键，属于基础题． 3．B 【解析】先由等差数列的求和公式，得到120194+=a a ，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中122019...4038+++=a a a ， 所以120192019()40382+=a a ，即120194+=a a ，又0n a >， 所以2120191201942+⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭a a a a ，当且仅当120192==a a 时，12019⋅a a 的最大值为4. 故选B 。
湖北省荆州市2020年高二下数学期末监测试题含解析
湖北省荆州市2020年高二下数学期末监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知n *∈N ，用数学归纳法证明23()147(32)2n nf n n -=++++-=时．假设当n k =()k N ∈*时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立，需要用到的()1f k +与()f k 之间的关系式是（ ） A ．(1)()35f k f k k +=+- B ．(1)()32f k f k k +=+- C ．(1)()31f k f k k +=++ D ．(1)()34f k f k k +=++【答案】C 【解析】 【分析】分别根据已知列出()f k 和(1)f k +，即可得两者之间的关系式. 【详解】由题得，当n k =时，()147(32)f k k =+++⋅⋅⋅+-，当1n k =+时，(1)147(32)[3(1)2]f k k k +=+++⋅⋅⋅+-++-， 则有(1)()31f k f k k +=++，故选C . 【点睛】本题考查数学归纳法的步骤表示，属于基础题.2．某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812863y x x =-+-，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ） A ．300万元 B ．252万元 C ．200万元 D ．128万元【答案】C 【解析】 【分析】求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，函数31812863y x x =-+-，所以281y x '=-+，当09x <<时，0y '>，函数()f x 为单调递增函数； 当9x >时，0y '<，函数()f x 为单调递减函数，所以当9x =时，y 有最大值，此时最大值为200万元，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，若方程()f x m =有三个实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则312x x x -的取值范围为 （ ） A ．[)52ln 2,4- B ．)252ln 2,1e ⎡--⎣C ．)242ln 2,1e ⎡+-⎣ D ．[)3ln 2,52ln 2-+【答案】B 【解析】 【分析】先将方程()f x m =有三个实数根，转化为()y f x =与y m =的图象交点问题，得到m 的范围，再用m 表示()31232,0,2m x x x e m m -=+-∈，令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，利用导数法求()g m 的取值范围即可.【详解】已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，其图象如图所示：因为方程()f x m =有三个实数根， 所以02m <<， 令2122x x m -+=， 得122x x m =， 令()ln 3x m -=，所以33mx e =+，所以()31232,0,2mx x x e m m -=+-∈，令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，所以()2mg m e '=-，令()20mg m e '=-=，得ln 2m =，当0ln 2m <<时，()0g m '<，当n 22l m <<时，()0g m '>， 所以当ln 2m =时，()g m 取得极小值52ln 2-. 又()()204,21g g e ==-，所以()g m 的取值范围是：2[52ln 2,1)e --.即312x x x -的取值范围为2[52ln 2,1)e --. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程，导数与函数的单调性、极值最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.4．设非零向量a ，b ，c 满足a b c ==，a b c +=，则a 与b 的夹角θ为（ ） A ．150︒ B ．120︒C ．60︒D ．30︒【答案】B 【解析】 【分析】由a b c ==，且a b c +=，可得()22a b b +=，展开并结合向量的数量积公式，可求出cos θ的值，进而求出夹角θ. 【详解】由a b c ==，且a b c +=，得a b b +=， 则()22a bb +=，即2222a b a b b ++⋅=，故22a b a ⋅=-，则22cos a b a θ⋅⋅=-，故21cos 22aa bθ-==-⋅.又[]0,πθ∈，所以120θ︒=.故选：B【点睛】本题考查向量夹角的求法，考查向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 5．《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（）(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体水平优于甲【答案】D【解析】【分析】根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A错误根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B错误根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确故答案选D【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.6．点是双曲线在第一象限的某点，、为双曲线的焦点.若在以为直径的圆上且满足，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】试题分析：根据题画图，可知P 为圆与双曲线的交点，根据双曲线定义可知：122PF PF a -=，所以2PF a =，12PF a =又2221212PF PF F F +=，即()()22222a a c +=，所以2254a c =，2254c a =，双曲线离心率1e >，所以10c e a ==。
湖北荆门高二下学期期末考试数学试题含答案
荆门市2019—2020学年度下学期期末高二年级学业水平阶段性检测数 学本试卷共 2 页，共 22 题。
满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效. 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上.）1．若直线0=++a y x 平分圆222410x y x y ++-+=的面积，则a 的值为A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．为了研究高一阶段男、女生对物理学习能力的差异性，在全年级学生中进行抽样调查，根据数据，求得2K 的观测值0 5.604k ≈，则至少有（ ）的把握认为对物理学习能力与性别有关． 参考数据：3．已知抛物线2ax y =的焦点到准线的距离为12，则实数a 等于 A ．±1 B ．2± C ．14±D ．12± 4．在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB yBC zCC ''=++，则x y z ++=A ．52 B ．2 C ．32D ．1165．在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩ξ服从2(80,)N σ(σ>0)，若ξ在(70，90)内的概率为0.7，则落在[90，100]内的概率为A ．0.2B ．0.15C ．0.1D ．0.056．已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）与椭圆2212516x y +=有共同焦点，且双曲线的渐近线方程为0x ±=，则该双曲线的方程为A ．221612x y -= B ．221126x y -= C ．22136x y -= D ．22163x y -= 7．法国的数学家费马（PierredeFermat ）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想：当整数2n >时，找不到满足n n nx y z +=的正整数解．该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定理．现任取{},,,1,2,3,4,5x y z n ∈，则等式nnnx y z +=成立的概率为A ．112 B ．12625 C ．14625 D ．76258．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问相逢时驽马行几里？ A ．540 B ．785 C ．855 D ．9509．设随机变量()~2,B p ξ，()~4,B p η，若()819P ξ≥=，则()1P η≥= A ．8081 B ．6581 C ．5581 D ．408110．函数()1cos 1xxe f x x e +=-的图象大致形状是11．设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，点A 为双曲线右支上一点, 线段1AF 交左支于点B ，若2ABF ∆为正三角形，且12AB BF =，则该双曲线的离心率为A B C D ．12．设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<与椭圆交于,A B 两点，现给出下述结论：①AF BF +为定值； ①ABF ∆的周长的取值范围是[]6,12；①当m ABF ∆为直角三角形； ①当1m =时，ABF ∆ 其中所有正确结论的序号是A ．①①①B ．①①C ．①①D ．①①①二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数()sin x f x e x =+在点()0,1处的切线方程为 ▲ ．14．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援. 若将5名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 ▲ 种分配方案．（用数字作答）15．已知数列{}n a ：2223333333441123123456712,,,,,,,,,,,,2222222222222的前n 项和为n S ，则120S = ▲ ．16．()f x '是奇函数()f x 的导函数，()23f -=-，且对任意的x R ∈都有()2f x '<，则(2)f =▲ ，使得()21xxf e e<-成立的x 的取值范围是 ▲ ．（第一空2分，第二空3分）三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知4530n n A C =，设()3nf x x x ⎛=- ⎝． （①）求n 的值；（①）求()x f 的展开式中的常数项．18．（本小题满分12分）在①353516,42a a S S +=+=；①171,56n n a n S a n++==这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列， ，11212,b a b a a ==+． 求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//,90B AB C AD D ︒∠=，点E 为PB 的中点，且224CD AD AB ===，点F 在CD 上，且13DF FC =． （①）求证：EF //平面PAD ；（①）若平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =且PA PD ⊥，求直线PC 与平面PBF 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线2:4C y x =，直线:2l x my =+（0m ＞）与C 交于,A B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点．（①）求直线OM 斜率的最大值；（①）若点P 在直线2x =-上，且△P AB 为等边三角形，求点P 的坐标．21．（本小题满分12分）已知函数()()ln 1ln f x mx x m x =-+，0m >．（①）()f x '为函数()f x 的导数，讨论函数()f x '的单调性； （①）若函数()f x 与()3g x x e=-的图象有两个交点()11,A x y 、()22,B x y ()12x x <， 求证：211x x e e+<+． 22．（本小题满分12分）足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．（①）为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率．为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立， 他在测试中所踢的点球次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（①中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n 次触球者是甲的概率记为n P ，即11P =．(i)求23,P P(直接写出结果即可)；(ii)证明：数列13nP⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大．荆门市2019—2020学年度下学期期末高二年级学业水平阶段性检测数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）：1-4 BCAA 5-8 BDBC 9-12 ADCD 二、填空题（每小题5分，共20分）：13.21y x =+ 14. 30 15. 60 16. 3, ()ln 2,+∞ 三、解答题：17.解：（Ⅰ）由已知4530n n A C =得：!!304!5!5!n n n n……………………………3分解得:8n． …………………………………………………………………5分（Ⅱ）8x ⎛ ⎝展开式的通项为488318831kkk k k k k T C x C x x…………8分 由4803k 得6k ，即()x f 的展开式中的常数项为728T ．………………10分18．解：选① 设公差为d ，由1353512616,16,4281342,a d a a S S a d +=⎧+=+=⎨+=⎩，得………2分解得12,2,a d =⎧⎨=⎩所以22,n n a n S n n ==+ ………………………………………………5分设{}n b 的公比为q ，又因为12112122,4,,a a b a b a a ====+由，得12,3b q ==，所以123n n b -=⨯.………………………………………………………7分由数列{}n b 的前n 项和为()2133113n n -=--， …………………………………………8分可知()21111111n S n n n n n n ===-+++，………………………………………………9分 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++，…………………11分 故11311311n n n T n n =-+-=-++.……………………………………………………12分 选① 由1111111n n n n n n a n a a a aa a n a n n n n +++====+，得，所以，即， ………………2分 7411728562S a a a ====，所以， 所以22,n n a n S n n ==+……………………5分设{}n b 的公比为q ，又因为12112122,4,,a a b a b a a ====+由，得12,3b q ==，所以123n n b -=⨯.………………………………………………………7分由数列{}n b 的前n 项和为()2133113nn -=--，……………………………………………8分可知()21111111n S n n n n n n ===-+++，………………………………………………9分 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++，…………………11分 故11311311n n n T n n =-+-=-++……………………………………………………12分 19．解：（①）如图所示，取PA 的中点M ，连结DM 、EM ，因为点E 为PB 的中点，且224CD AD AB ===，所以//EM AB 且112EM AB ==，……………………2分因为13DF FC =，所以411==DF DC ，所以1==EM DF ，又因为AB ①DC ，所以EM ①DF ，所以四边形EMDF 为平行四边形， ………………………4分 所以EF ①DM ，又DM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ①平面PAD ；……………………………………………………………………6分 （①）取AD 中点N ，BC 中点H ，连结PN 、NH ，因为PA PD =，所以PN AD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PN 平面ABCD ，又AB ①DC ①NH ，∠BAD =90°，所以AD NH ⊥，以N 为原点，NA 方向为x 轴，NH 方向为y 轴，NP 方向为z 轴，建立空间坐标系， ……………………………………………………………………………7分 所以()0,0,1P ，()1,2,0B ，()1,1,0F -，()1,4,0C -在平面PBF 中()1,2,1=--BP ，()2,1,0=--BF ，()=1,4,1PC --,设在平面PBF 的法向量为(),,n x y z =，所以00BP n BF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，2020x y z x y --+=⎧⎨--=⎩，令1x =，则法向量()1,2,3n =--，………………………10分又()=1,4,1PC --，设直线PC 与平面PBF 所成角为α， 所以||7sin |cos ,|||||3214PC n PC n PC n α⋅=<>===⋅⋅，即直线PC 与平面PBF 所成角的正弦值为77．………12分 20.解：（①）设1122(,),(,)A x y B x y ，由22,4x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得，2480y my --=，216320,m ∆=+>且12124,8y y m y y +==-． .….….….….….…………………………2分所以21212()44 4.x x m y y m +=++=+因为M 为AB 的中点，所以M 的坐标为1212(,)22x x y y ++，即2(22,2)m m +，…………………………………3分又因为0m >，所以222111221212OM m m k m m m m m m====+++⋅≤，……………………5分H（当且仅当1m m=，即1m =等号成立），所以OM 的斜率的最大值为12． …………6分（①）由（①）知，12|AB y y =-=……………………………………………7分由PM AB ⊥得22||22(2)|2(PM m m +--=+，因为PAB △为等边三角形，所以|||PM AB ，……………………………………9分所以22(m +21m =，解得1,m =±又0m ＞，所以1m =，………………10分 则(4,2)M ，直线MP 的方程为2(4)y x -=--，即6y x =-+，所以2x =-时，8y =，所以所求的点P 的坐标为(2,8)-．……………………………12分 21．解：（①）x m x m x f 1)ln 1()(+-+='..............................................................................1分 22)1(1])([xm mx x m x m x f ++=++=''..................................................................................3分 010>++∴>m mx m ,0])([>''∴x f ,)(x f '∴在),0(+∞上为单调递增．..............5分（①）设()()()()3ln 1ln F x f x g x mx x m x x e=-=-++-，()1ln 1m F x m x m x+'=+-+，………………….…………………………………………6分 由于0m >，0x >()210m m F x x x+''=+>恒成立 知函数()F x '在()0,+∞上为增函数且()10F '=………………………….……………7分 故当()0,1x ∈时，()0F x '<，当()1,x ∈+∞时，()0F x '>，则()F x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增． ……………………………………8分()33110e F e e -=-=<1120e e F m e e e --⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，()()()1310e e F e m e e --=-+>．….…10分 知()F x 在区间1,1e⎛⎫⎪⎝⎭以及()1,e 内各有一个零点，即为11,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21,x e ∈， 知211x x e e -<-，即211x x e e+<+．…………………………………………………12分 22．解：（①）这150个点球中的进球频率为1017201613140.6150+++++=，.…………1分则该同学踢一次点球命中的概率0.6p =，………………………………………………2分由题意，ξ可能取1,2,3，则()10.6P ξ==，()20.40.60.24P ξ==⨯=，()30.40.40.16P ξ==⨯=………3分 ξ的分布列为即()10.620.2430.16 1.56E ξ=⨯+⨯+⨯=．…………………………………………5分（①）（i ）由题意20P =，312P =． ……………………………………………………7分 （ii ）第n 次触球者是甲的概率记为n P ，则当2n ≥时，第1n -次触球者是甲的概率为1n P -，第1n -次触球者不是甲的概率为11n P --，则()()1111101122n n n n P P P P ---=⋅+-⋅=-， ………………………………………………9分从而1111323n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又11233P -=，13n P ⎧⎫∴-⎨⎬⎩⎭是以23为首项，公比为12-的等比数列．…………………………………11分则1211323n n P -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，181921113233P ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，192021113233P ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭， 1920P P >，故第19次触球者是甲的概率大．…………………………………………12分。
2019-2020年高二下学期期末考试 数学文 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试 数学文 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合,,则,则A ．B ．C ．D ．2．已知为虚数单位，复数z=，则复数的虚部是A ．B ．C ．D ．3. 如右图所示的程序框图的输出值，则输入值的取值范围为A ．B ．C ．D ．4.下列有关命题的说法中错误的是．．．．A ．若“”为假命题，则、均为假命题B ．“”是“”的充分不必要条件C ．“”的必要不充分条件是“”D ．若命题：“实数，使”，则命题为“对于都有”5. 已知点是边长为1的等边的中心，则等于A ．B ．C ．D ．6. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为A ．B ．C ．D ．7. 等差数列的公差，且，则该数列的前项和取得最大值时，A ．B ．C ．或D ．或8．已知函数22cos sin sin 21cos 21)(22+--=x x x x x f ，则A. 在时取得最小值，其图像关于点对称B. 在时取得最小值，其图像关于点对称C.在单调递减，其图像关于直线对称D .在单调递增，其图像关于直线对称9．函数的图象是A ．B ．C ．D ．10．已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面则该球的表面积为A．B．C．D．11. 过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为A．B．C．D．12．已知函数的两个极值点分别为且记分别以为横、纵坐标的点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为A．B．C．D．试卷Ⅱ（共90 分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13．某市有A、B、C三所学校共有高二学生1500人，且A、B、C三所学校的高二学生人数成等差数列，在进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高二学生中抽取容量为120的样本进行成绩分析，则应从B校学生中抽取_____人.14．已知，，且，，成等比数列，则的最小值是_______.15.如图，是边长为的正方形，动点在以为直径的圆弧上，则的取值范围是 . 16．已知函数，给出如下四个命题：①在上是减函数；②的最大值是2；③函数有两个零点；④在上恒成立.其中正确的序号是.三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17. （本题满分12分）设的内角A、B、C所对的边长分别为、、，已知，（Ⅰ）求边长的值；（Ⅱ）若的面积，求的周长.18.（本小题满分12分）以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆学习的次数. 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示. （Ⅰ）如果，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（Ⅱ）如果，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．19. (本小题满分12分）如图所示,和是边长为2的正三角形,且平面平面,平面,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求三棱锥的体积.EDC A20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为，点A 是椭圆上任一点，△AF 1F 2的周长为.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点任作一动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记，若在线段MN 上取一点R ，使得，则当直线l 转动时，点R 在某一定直线上运动，求该定直线的方程.x 8 2 9 乙组 第18题图21．（本小题满分12分）已知函数，（其中实数,是自然对数的底数）．（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最小值；( Ⅲ) 若存在．．，使方程成立，求实数的取值范围. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线过圆心，交⊙于，直线交⊙于,(不与重合)，直线与⊙相切于,交于,且与垂直，垂足为,连结.求证：（Ⅰ） ; (Ⅱ).23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为 (为参数)，曲线的极坐标方程（Ⅰ）求曲线的普通方程；(Ⅱ)求直线被曲线截得的弦长.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数.(Ⅰ）解不等式；(Ⅱ）对于实数，若，求证．答案选择题1-16DBDCD DCDBC AB13.40 14. 15. 16.①③④17．解：（Ⅰ）, ……………3分……………5分……………6分（Ⅱ） ……………8分由余弦定理可得：， ……………10分 ……………12分18. 解：（Ⅰ）当x =7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：7，8，9，12，所 以平均数为 ……………3分 方差为.27])912()99()98()97[(4122222=-+-+-+-=s ……………6分（Ⅱ）记甲组3名同学为A 1，A 2，A 3，他们去图书馆学习次数依次为9，12，11；乙组4名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们去图书馆学习次数依次为9，8，9，12；从学习次数大于8的学生中人选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 3，A 1B 4，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 3，A 2B 4，A 3B 1，A 3B 3，A 3B 4，B 1 B 3，B 1B 4， B 3B 4. ……………9分 用C 表示：“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则C 中的结果有5个，它们是：A 1B 4，A 2B 4，A 2B 3，A 2B 1，A 3B 4， ……………11分 选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20概率为……………12分19.(Ⅰ)证明:取的中点为,连结AF,EF,BD∵△BCE 正三角形,∴EFBC, ……………1分 又平面ABC 平面BCE,且交线为BC,∴EF⊥平面ABC , ……………2分 又AD⊥平面ABC∴AD∥EF,∴共面, ……………3分又易知在正三角形ABC 中,AF⊥BC, ……………4分 ∴平面, ……………5分又平面 故; ……………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF//AD 所以有 ……………9分所以,所以 ……………11分即 ……………12分20.解（Ⅰ）∵△AF 1F 2的周长为，∴即. ……………………（1分）又解得………………（3分）∴椭圆C 的方程为………………………………（4分）（Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在，设其方程为由得则……………………………………（6分）由，得∴∴.……………………………………（8分）设点R的坐标为（），由，得∴解得112122121211224424().41()814xx xx x x x x x xxx x xxλλ++⋅-+++===+-++++………………（10分）而22121222264432824()24,141414k kx x x xk k k--++=⨯+⨯=-+++∴故点R在定直线上. ………………………………………………（12分）21．解：（Ⅰ）当时，…………1分故切线的斜率为…………2分所以切线方程为：，即…………3分（Ⅱ），令，得………… 4分①当时，在区间上，，为增函数，所以……………5分②当时，在区间上，为减函数在区间上，为增函数……………6分所以……………7分(Ⅲ) 由可得……………8分令，1单调递减极小值（最小值）单调递增…………… 10分，，……………11分实数的取值范围为 ……………12分22．解析 （Ⅰ）连结BC,∵AB 是直径，∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°. ∵GC 切⊙O 于C,∴∠GCA=∠ABC.∴∠BAC=∠CAG. ………………5分 (Ⅱ)连结CF,∵EC 切⊙O 于C, ∴∠ACE=∠AFC.又∠BAC=∠CAG,∴△ACF ∽△AEC.∴,∴AC 2=AE ·AF. ………………10分23.解析：(Ⅰ）由曲线，得，化成普通方程为.① ………………5分 (Ⅱ）方法一：吧直线参数方程化为标准参数方程为（为参数）②， 把②代人①得：，整理，得.设其两根为，则从而弦长为12t t -====.…………10分 方法二：把直线的参数方程化为普通方程为， 代人，得.设直线与曲线交于，，则，，AB ===10分 24.解：(Ⅰ）令，则作出函数的图象，它与直线的交点为和．所以的解集为． ………………5分(Ⅱ）因为 ()()()()2112112211221x y x y x y x y -+=---≤-+-+≤-+-+ ，所以 . ………………10分。
湖北省荆州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学真题试题(含答案)
荆州市2020年高中二年级学年质量检查数学参考答案一、选择题1～5：CADBA6～10：BCDAB 11～12：CA 二、填空题13.x+y+1=014.1315.31/1616.（1）1（2）20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦（注：第（1）问2分，第（2）问3分）三、解答题17.解(1)将圆C 化为标准方程：(x+2)2+(y-6)2=16，则圆心C(-2,6)半径R=4，若直线L 的斜率存在，设其斜率为k ，则圆心C 到L 的距离，又=2...................2'L 的方程为y=kx+5，得k=直线L 的方程为：3x-4y+20=0...................3'若直线L 的斜率不存在，则L 的方程为x=0，与圆C 方程联立，得...................4'y 2-12y+24=0,得｜y 1-y 2｜=，符合题意L 的方程为:3x-4y+20=0或x=0...................5'(2)设过点P 的圆C 弦的中点为E(x,y)，则CE ⊥PE.即·，得(x+2,y-6)·(x,y-5)=0化简得所求轨迹方程为：x 2+y 2+2x-11y+30=0...................8'当点P 与点E 重合时也满足，...................9'故过P 点的圆C 弦的中点的轨迹方程为：x 2+y 2+2x-11y+30=0...................10'18.解：（1）12n n S a ++= ①-12n n S a ∴+=)2(≥n ②②①-得n n n n n a a a S S -==-+-11，即)2(21≥=+n a a n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2'⋅⋅⋅⋅⋅⋅当1=n 时：111==a S ，3221==+a S ，此时212≠a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅⋅⋅⋅3∴{}n a 从第2项开始为首项是3，公比为2的等比数列，3121==a a ，∴⎩⎨⎧≥⋅==-)2(23)1(12n n a n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅⋅⋅⋅6（2）{}n a 为等比数列，212a a ∴=，且21122a a S =+=+，则21=a ...................8'∴n n a 2=，n n n n n b )21(2⋅==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅⋅⋅⋅9nn n T )21(...)21(22112⋅++⨯+⨯=12)21()21()1(...)21(121+⋅+⋅-++⨯=n n n n n T ∴1112)21()2(1)21(211])21(1[21)21()21(...)21(2121+++⋅+-=⋅---⋅=⋅-+++=n n n n n n n n n T nn n T )21()2(2⋅+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅⋅⋅⋅1219.(1)证明：四边形ABCD 为正方形，BD AC ⊥∴,设O BD AC =⋂,则O 是AC 的中点，CE AE = ，EOAC ⊥∴又⊂=⋂EO BD O EO BD ,, 平面BDFE ，⊥∴AC 平面BDFE⊂AC 平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BDFE...................5'（2）解：222,1,2BE AB AE BE AB AE +==== AB BE ⊥∴，同理BC BE ⊥,⊥∴BE 平面ABCD又DF BE //⊥∴DF 平面ABCD...................6'以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则)1,0,0(),1,1,1(),0,1,0(),0,0,1(F E C A 求得平面AFC 的一个法向量为)1,1,1(=u ...................8'平面EFC 的一个法向量为)1,1,1(--=v...................10'31||||,cos -=⋅⋅>=<v u v u v u ...................11'又所求二面角为锐角，故所求余弦值为31．...................12'20.解：（1）(1.25×0.2+1.75×0.3+2.25×0.4+2.75×0.6+3.25×0.4+3.75×0.1)×0.5=2.5∴这100名学生双休日两天家务劳动的平均时间为2.5小时...................3'（2）“双休日两天家务劳动的时间不少于3小时”的概率为(0.4+0.1)×0.5=141341127(14464P C ∴=⋅⋅-=...................6'（3）用分层抽样的方法从这100人抽取8人，其中“双休日两天家务劳动的时间不少于3小时”占8124⨯=人...................7'Y 可取0，1，2...................8'(0)P Y ==022*******C C C =112628123(1)287C C P Y C ====2026281(2)28C C P Y C ===∴Y 的分布列为Y012P 152837128...................11'153()01228711282E Y ∴=⨯⨯+⨯=+...................12'21.解：（1）当点M 在短轴端点时，21F MF ∆的面积取最大，由平面几何知识知，b c 3=，又32)(max 21==∆bc S F MF 所以22,2,6===a b c 故椭圆C 的方程为：12822=+y x ...................4'（2）将2:=x l 与椭圆联立得)1,2(N ...................5'由图形直观可得，直线AB 斜率存在，故设其方程为m kx y +=令),(11y x A ，),(22y x B ，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 12822得012281222=-+++m kmx x k （，28112,2812221221k m x x k km x x +-=⋅+-=+...................6'由题0=+NB NA k k 则021212211=--+--x y x y ...................8'即0)2)(1()2)(1(1221=--+--x y x y 044))(12(22121=-++--+⇒m x x k m x kx 044281)12(281)12(2222=-+++-++-∴m k m k km k m k 0)12)(12(014422=-+-⇒=+-+-∴m k k k k m km ...................10'直线AB 必不过点)1,2(N ,故21,012,012=∴=-∴≠-+k k m k ，而21=ON k 所以ON AB k k =,ABON ∥∴...................12'22.解：（1）,∴...................1'讨论：①当时，在上单调递增；...................2'②当时，由得，且∴方程有两根，分别为.当时，,∴在上单调递增；当时，,∴在上单调递减....................3'综上，当时，的单调递增区间为；12(0,),(0,)x x =+∞=+∞当时，的单调递增区间为,单调递减区间为...................4'（2）要证明，只需证明在上成立即可.令则...................5'∵,再令,显然在上为减函数，且,.∴),使得,即...................7'当时，∴,此时为增函数；当时，∴,此时为减函数....................9'∴...................10'又∵两边同时取对数，得.∴...................11'∴即.故....................12'22、（2）另法：指、对函数数同构法。