2017年初中大同杯数学竞赛-答案
2017年全国初中数学联合竞赛(初二年级)试题参考答案及
在 Rt △ EAD 中，有 422 (98 x)2 x2 ，解得 x 58 .
2017 年全国初中数学联合竞赛试题（初二年级）参考答案及评分标准 第 2 页（共 5 页）
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
1．使得等式 1 1 a 3 a 成立的实数 a 的值为_______． 【答】 8 . 由所给等式可得 (1 1 a)3 a2 .令 x 1 a ，则 x 0 ，且 a x2 1，于是有 (1 x)3 (x2 1)2 ，
4．已知正整数 a,b, c 满足 a2 6b 3c 9 0 ， 6a b2 c 0 ，则 a2 b2 c2 ＝ （ ）
A. 424． 【答】C.
B. 430．
C. 441．
D. 460．
由已知等式消去 c 整理得 (a 9)2 3(b 1)2 75 ，所以 3(b 1)2 75 ，又 b 为正整数，解得1 b 6 .
2
2
Байду номын сангаас
3
A
D
F
所以梯形的面积为 1 (1 4) 4 2 10 2 .
2
3
3
E
6．如图，梯形 ABCD 中， AD // BC , A 90 ，点 E 在 AB 上，若 AE 42 ，
BE 28， BC 70 ， DCE 45 ，则 DE ＝
（）
B
C
A. 56．
B. 58．
C.60．
D. 62．
为 A. 4． 【答】B.
B．3．
C．2．
D．1．
（）
若 (a,b, c) 为好数组，则 abc 2(a b c) 6c ，所以 ab 6 .显然， a 只能为 1 或 2.
2017年数学竞赛初中初赛答案
伊
1 006 1 007
伊…伊
2 004 2 005
伊
2 005 2 006
……………………………… 2 分
= 2 伊（1 + 2 + 3 + … + 2 005 + 2 006）
4分
= 2 006 伊 2 007
5分
= 4 026 042.
6分
14.（员）设爸爸追上乐乐用了 x 分钟援由题意列方程，得
5分
所以甲说的“801 班得第四”是对的；则丙说“803 班得第三”的对的；乙说“802 班得冠军”是对的.所以 804 班
是亚军.
9分
四、一鼓作气（本大题共 2 道小题，17 题 12 分，18 题 12 分，总计 24 分）
17. 当 a > 1 时，a >
1 a
；
1分
当 a = 1 时，a =
1 a
；当 a = 0 时，1a
不存在，没法比较；当 0 < a
< 1 或 a < -1 时，a <
1 a
.
12 分
18.（1）设年降水量为 x 万 m3，每人年平均用水量为 y m3.
1分
嗓 由题意，得
12 12
000 000
+ +
20x 15x
= 16 伊 20y， =（16 + 4）伊 15y.
9分
所以 a + b + c + d = 45，俞
11 分
将俞代入虞，愚，舆，余得
a = 3，b = 9，c = 12，d = 21，
13 分
所以 d - a = 21 - 3 = 18.
2017年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则详解
2017年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设7分和0分两档；解答题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、设实数a 、b 满足1-=-b a ，则ab b a 333+-的值为（ B ） A 、3-B 、1-C 、1D 、3解析：()()()13332222233-=--=+---=+++-=+-b a ab b ab a ab b ab a b a ab b a 2、若实数a 为常数，关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≤+722 x aa x 的整数解只有8个，则a 的值为（C ）A 、1-B 、0C 、1D 、2解析：()10122127722222=⇒≤-⇒+-≤⇒+--⇒⎩⎨⎧-≤+a a a a a a x x a a x 3、在菱形ABCD 中，4=AB ，︒=∠60A ，E 为AB 的中点，若在线段BD 上取一点P ，则PE PA +的最小值是（ D ）A 、32B 、4C 、52D 、72解析：如图，连结AC ，EC 交BD 于点P ，则点P 是所求的 菱形ABCD 中，4=AB ，︒=∠60A ，E 为AB 的中点 32=⇒DE281612222=+=+=⇒DC DE CE72=⇒CE4、对于任意实数a ，b ，c ，用{}c b a M ，，表示三个数的平均数，用{}c b a ，，min 表示这三个数中最小的数，若{}=-+++y x y x y x M 2222，，{}y x y x y x -+++2222min ，，，则=+y x （A ）A 、4-B 、2-C 、2D 、4解析：不妨设a 最小，则()()033=-+-⇒=++⇒=++⇒a c ab ac b a a cb a 00≥-≥-⇒ac a b ， c a b ==⇒故4132222-=+⇒-=-=⇒-=+=++y x y x y x y x y x ，5、如图，ABC Rt ∆的斜边AB 与⊙O 相切于点P ，直角顶点C 在⊙O 上，若22=AC ，4=BC ，BEACDP则⊙O 的半径是（ B ）A 、3B 、32C 、4D 、62解析：如图，由射影定理得： DC AC BC ⋅=⇒2 24=⇒CD48222=+=⇒BC CD BD34=⇒BD 32=⇒BO6、不超过()615+的最大整数是（ D ）A 、1142B 、1145C 、1148D 、1151解析：()()3652615+=+a =+⇒526，b =-5261612==+⇒ab b a ，b a ，⇒是016122=+-x x 的两根016122=+-⇒a a ，016122=+-b b a a a 161223-=⇒， b b b 161223-=()()()[]()115216212161222233=+--+=+-+=+⇒b a ab b a b a b a b a由10103 b b ⇒ 3a ⇒的最大整数不超过1151二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7、若012=-+x x ，则()()11124---+x x x x 的值为 ．答案：3解析：()()11124---+x x x x ()()()()()3221111122322=++=++=--+-++⇒x x xxx x x x x x x x 8、在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在线段BC 、CD 上，且︒=∠20BAE ，︒=∠25DAF ，则CEF ∠等于 ．答案：︒40解析： 如图所示，ABG ADF ∆≅∆AE AE AD AG DAF GAB ==︒=∠=∠⇒，，25 AFE AGE ∆≅∆⇒ ︒=∠=∠⇒70AEB AEF︒=∠⇒40CEF9、小丽与小明一起用A 、B 两个骰子玩游戏，以小丽掷的A 骰子朝上的数字为x ，小明掷的BBEAFGBDC骰子朝上的数字为y ，来确定点（x ，y ），那么，他们各掷一次所确定的点P （x ，y ）落在已知抛物线542+-=x x y 的概率为 ．答案：91解析：两个立方体都有6个数字，那么共有36种可能，可在抛物线上的有（1，2）、（2，1）、（3，2）、（4，5）共4种情况，故概率为9110、如图，设点P 在函数x y 6=的图像上，x PC ⊥轴于点C ，交函数xy 2=的图像于点A ，y PD ⊥轴于点D ，交函数xy 2=的图像于点B ，则四边形P AOB 的面积为 ．答案：4 解析：四边形P AOB 的面积=矩形ODPC AOC DBO S S ∆∆--=426=- 三、（本大题满分20分）11、已知关于x 的一元二次方程052=+-kx x 与052=-+k x x 只有一个公共的实根，求关于x 的方程k kx x =+2所有的实根之和。
2017年第31届大同中学杯详解
N 极向纸内偏转，这金属球金属杆上海市第三^一届初中物理竞赛（大同中学杯）初赛试卷（兼区县物理竞赛试卷）2017年2月 26日 上午 9： 00-10 : 30说明：1、 本试卷共分两部分，第一部分为单项选择题，每题3分，共30题，计90分：第二部 分为多项选择题，每题 5分，全对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分，共12题，计 60分。
全卷满分150分。
2、 考试时间为90分钟。
3、 考生使用答题纸（卡），把每题的正确选项填在答题纸 （卡）相应位置。
允许使用计算器，考试完毕后，请将试卷、答题纸（卡）一并交给监考人员。
4、 常数 g=10N/kg 。
第一部分：单项选择题1 •最先通过科学实验发现电流磁效应的物理学家是 （）（A ）法拉第 （B ）安培（C ）库仑（D ）奥斯特2 •夏天，把棒冰拿在手里，剥去纸后，棒冰周围冒出的白气”主要是（）（A ） 空气中的水蒸气遇冷凝结成的小水珠 （B ） 棒冰中的水蒸发后形成的水蒸气（C ） 棒冰中的冰升华为水蒸气，水蒸气再凝结成的雾（D ）人呼出的气体中的水蒸气，遇到低温棒冰而凝华成的小冰晶3 •如图所示，一束粒子沿水平方向飞过小磁针的下方，此时小磁针的 一束粒子可能是（）（A ）向右飞行的正离子束 （B ）向左飞行的负离子束 （C ）向右飞行的电子束（D ）向左飞行的电子束4•在如图所示的电路中，电阻 R 1和R 2并联，则三个电表中（）（A ） 表1、表2是电流表，表3是电压表 （B ） 表1、表2是电压表，表3是电流表 （C ） 表1、表2、表3都是电流表 （D ） 表1、表2、表3都是电压表5.如图所示，把一个带负电的物体， 靠近一个原来不带电的验电器的金属小球，然后用手去触摸金属小球 （人体是通大地的导体），再移开手，这时（）（A ） 金属小球和金属箔都不带电 （B ） 金属小球不带电，金属箔带负电 （C ） 金属小球带正电，金属箔带负电 （D ）金属小球带正电，金属箔不带电6•木块静止在水平桌面上，关于桌面对木块的弹力跟木块受到的重力之间关系的说法中，(B) 一对平衡力(D)作用在同一物体上的力(A) 7 (B)12 (C)16 (D)17错误的是()(A)—对作用力和反作用力(C) 一对大小相等、方向相反的力7•如图所示，底面积不同的柱状容器甲、乙分别盛有两种液体，液体对容器底部的压强P甲<P乙•若要使两容器中的液体对容器底部的压强相等，一定可行的方法是在()(A)甲中抽取、乙中倒入相同高度的原有液体(B)乙中抽取、甲中倒入相同高度的原有液体(C)甲、乙中同时抽取相同高度的原有液体(D)甲、乙中同时倒入相同高度的原有液体8.列车匀速进站，机车发出频率为f i的汽笛声，一站在站台上的旅客听到的汽笛声频率为f2, 则下列判断中正确的是()(A) f i < f2 (B) f i = f2 (C) f i > f2 (D)无法判断9.电阻R i=1 Q, R2=1 Q, R3=3 Q,禾U用这三个电阻可能获得的不同阻值的个数最多为()10.如图所示，在柱状容器内放入一块长方体实心铜块，然后缓慢注入水，并且使铜块与容器底紧贴(使水不进入铜块与容器底部之间接触处)，此时容器底部所承受的压力大小为F i，若略微抬起铜块，使水进入接触处，待铜块稳定后，容器底部所承受的压力大小为F2,则()(A)F i >F2 (B)F i <F2 (C)F i =F2 (D)无法判断ii .形状一样、质量相等的A , B两个契形物块放置在水平桌面上。
2017年大同杯初赛试卷及答案
上海市第三十一届初中物理竞赛(大同中学杯)初赛试卷(兼区县物理竞赛试卷)2017年2月26日上午9：00-10：30说明：1、本试卷共分两部分，第一部分为单项选择题，每题3分，共30题，计90分：第二部分为多项选择题，每题5分，全对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分，共12题，计60分。
全卷满分150分。
2、考试时间为90分钟。
3、考生使用答题纸(卡)，把每题的正确选项填在答题纸(卡)相应位置。
允许使用计算器，考试完毕后，请将试卷、答题纸(卡)一并交给监考人员。
4、常数g=10N/kg。
第一部分：单项选择题1．最先通过科学实验发现电流磁效应的物理学家是( )(A)法拉第(B)安培(C)库仑(D)奥斯特2．夏天，把棒冰拿在手里，剥去纸后，棒冰周围冒出的“白气”主要是( )(A)空气中的水蒸气遇冷凝结成的小水珠(B)棒冰中的水蒸发后形成的水蒸气(C)棒冰中的冰升华为水蒸气，水蒸气再凝结成的雾(D)人呼出的气体中的水蒸气，遇到低温棒冰而凝华成的小冰晶3．如图所示，一束粒子沿水平方向飞过小磁针的卞方，此时小磁针的N极向纸内偏转，这一束粒子可能是( )(A)向右飞行的正离子束(B)向左飞行的负离子束(C)向右飞行的电子束(D)向左飞行的电子束4．在如图所示的电路中，电阻R1和R2并联，则三个电表中( )(A)表1、表2是电流表，表3是电压表(B)表1、表2是电压表，表3是电流表(C)表1、表2、表3都是电流表(D)表1、表2、表3都是电压表5．如图所示，把一个带负电的物体，靠近一个原来不带电的验电器的金属小球，然后用手去触摸金属小球(人体是通大地的导体)，再移开手，这时( )(A)金属小球和金属箔都不带电(B)金属小球不带电，金属箔带负电(C)金属小球带正电，金属箔带负电(D)金属小球带正电，金属箔不带电6．木块静止在水平桌面上，关于桌面对木块的弹力跟木块受到的重力之间关系的说法中，错误的是( )(A)一对作用力和反作用力(B)一对平衡力(C)一对大小相等、方向相反的力(D)作用在同一物体上的力7．如图所示，底面积不同的柱状容器甲、乙分别盛有两种液体，液体对容器底部的压强P 甲<P乙.若要使两容器中的液体对容器底部的压强相等，一定可行的方法是在( )(A)甲中抽取、乙中倒入相同高度的原有液体(B)乙中抽取、甲中倒入相同高度的原有液体(C)甲、乙中同时抽取相同高度的原有液体(D)甲、乙中同时倒入相同高度的原有液体8．列车匀速进站，机车发出频率为f1的汽笛声，一站在站台上的旅客听到的汽笛声频率为f2，则下列判断中正确的是( )(A) f1 < f2 (B) f1 = f2(C) f1 > f2(D)无法判断9．电阻R1=1Ω，R2=1Ω，R3=3Ω，利用这三个电阻可能获得的不同阻值的个数最多为( ) (A)7 (B)12 (C)16 (D)1710．如图所示，在柱状容器内放入一块长方体实心铜块，然后缓慢注入水，并且使铜块与容器底紧贴(使水不进入铜块与容器底部之间接触处)，此时容器底部所承受的压力大小为F1，若略微抬起铜块，使水进入接触处，待铜块稳定后，容器底部所承受的压力大小为F2,则( ) (A)F1 >F2 (B)F1 <F2(C)F1 =F2(D)无法判断11．形状一样、质量相等的A，B两个契形物块放置在水平桌面上。
2017年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
2． 设 O是 锐 角 三 角 形 ABC的 外 心 ， D,E分 别 为 线 段 BC,OA的 中 点 ，
,
，则
_________.
3.题目与（A）卷第 3题相同. 4.题目与（A）卷第 4题相同
第二试 （A）
一、（本题满分 20分）已知实数 x,y满足 x+y=3，
，求
的值.
二、（本题满分25分）如图，△ABC中，AB AC， BAC 45，E是 BAC的 外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F在AB 上且EF AB.已知AF 1，BF
1．已知二次函数 y ax2 bx c(c 0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函
数
y a3x2 b3x c3 的图象与x轴的交点个数为 （ ）
A．0
B．1
C．2
D．不确定．
2．题目与（A）卷第1 题相同.
3.题目与（A）卷第3 题相同.
4．已知正整数a,b,c满足 a2 6b 3c 9 0， 6a b2 c 0，则a2 b2 c2
CB的延长线上， 满足
.已知BC=15，BF=6，BD=3，则AE＝ （ ）
A.
B.
C.
D.
6．对于正整数 n，设 an是最接近 的整数，则
A.191/7
B．192/7
C．193/7
（） D．194/7
二、填空题（本题满分 28分，每小题 7分） (本题共有 4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1．使得等式
2017 年全国初中数学联合竞赛试题
2017年3月26日（星期日）上午8：30－11：30
第一试(A)
一、选择题（本题满分 42分，每小题 7分） (本题共有 6个小题，每题均给出了代号为 A,B,C,D的四个答案，其中有且仅
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数,,abc满足213390abc，3972abc，则32bcab??＝（）A.2．B.1．C.0．D.1?．【答】B.已知等式可变形为2(2)3(3)90abbc，3(2)(3)72abbc，解得218ab??，318bc??，所以32bcab1.2．已知△ABC的三边长分别是,,abc，有以下三个结论：（1）以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以222,,abc为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1abbcca为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设abc??，则有bca??.（1）因为bca??，所以2bcbca，即22()bca??（），即bca??，故以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以2,3,4abc为边长可以构成三角形，但以2224,9,16abc为边长的三角形不存在；（3）因为abc??，所以||11,||11,||11ababbcbccaac，故三条边中||1ca??大于或等于其余两边，而||1||111abbcabbc（）（）（）（）111||1acacca=，故以||1ab??，||1bc??，||1ca??为边长的三角形一定存在.3．若正整数,,abc满足abc??且2()abcabc，则称(,,)abc为好数组.那么，好数组的个数为（）A.1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若(,,)abc为好数组，则2()6abcabcc，所以6ab?.显然，a只能为1或2.若a＝2，由6ab?可得2b?或3，2b?时可得4c?，3b?时可得52c?（不是整数）；若a＝1，则2(1)bcbc，于是可得(2)(2)6bc，可求得(,,)abc ＝（1，3，8）或（1，4，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共7页）5）.综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.109．B.87．C.65．D.43．【答】A.过B作//BEAD，交AC的延长线于点E，则180ABEBAD ACB??，所以△ABC∽△AEB，所以ACBCABEB?，所以631855ABBCEBAC.再由//BEAD，得4101895DOADOBBE.5．设A是以BC为直径的圆上的一点，ADBC?于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，满足BAFCAE.已知15BC?，6BF?，3BD?，则AE＝（）A.43．B.213．C.214．D.215．【答】B.如图，因为BAFCAE，所以BAFBAECAEBAE，即90FAEBAC.又因为ADBC?，故2ADDEDFDBDC.而639DFBFBD，15312DCBCBD，所以29312ADDE，所以6AD?，4DE?.从而222264213AEADDE.6．对于正整数n，设na是最接近n的整数，则1232001111aaaa（）A.1917．B.1927．C.1937．D.1947．【答】A.对于任意自然数k，2211()24kkk不是整数，所以，对于正整数n，12n?一定不是整数.设m是最接近n的整数，则1||2mn??，1m?.易知：当1m?时，1||2mn2211()()mnm??221144mmnmm.于是可知：对确定的正整数m，当正整数n满足221mmnmm时，m是最接近n的整数，即nam?.所以，使得na＝m的正整数n的个数为2m.注意到2213131822001414210，因此，12200,,,aaa?中，有：2个1，4个2，6个3，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共7页）EOCBADCBFDE8个4，……，26个13，18个14.所以123200111111111191246261812313147aaaa.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．使得等式311aa成立的实数a的值为_______．【答】8.由所给等式可得32(11)aa.令1xa??，则0x?，且21ax??，于是有322(1)(1)xx，整理后因式分解得2(3)(1)0xxx，解得10x?，23x?，31x??（舍去），所以1a??或8a?.验证可知：1a??是原方程的增根，8a?是原方程的根.所以，8a?.2．如图，平行四边形ABCD中，72ABC，AFBC?于点F，AF交BD于点E，若2DEAB?，则AED?＝_______．【答】66?.取DE的中点M，在Rt△ADE中，有12AMEMDEAB.设AED，则1802AME，18ABM.又ABMAMB，所以180218，解得66.3．设,mn是正整数，且mn?.若9m与9n的末两位数字相同，则mn?的最小值为．【答】10.由题意知，999(91)mnnmn是100的倍数，所以91mn??是100的倍数，所以9mn?的末两位数字是01，显然，mn?是偶数，设2mnt??（t是正整数），则29981mntt.计算可知：281的末两位数字是61，381的末两位数字是41，481的末两位数字是21，581的末两位数字是01.所以t的最小值为5，从而可得mn?的最小值为10.4．若实数,xy满足3331xyxy，则22xy?的最小值为．【答】12.因为333322031()(1)333xyxyxyxyxyxy22(1)[()()(1)(1)]3(1)xyxyxyxyxy2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共7页）MEFCBDA22(1)(1)xyxyxyxy2221(1)[()(1)(1)]2xyxyxy，所以1xy或1xy??.若1xy，则22xy?＝2.若1xy??，则22222111[()()][1()]222xyxyxyxy，当且仅当12xy??时等号成立.所以，22xy?的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数2(0)yaxbxcc的图象与x轴有唯一交点，则二次函数3233yaxbxc的图象与x轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数2yaxbxc的图象与x轴有唯一交点，所以2140bac，所以240bac??.故二次函数3233yaxbxc的判别式323363623211()4(4)()1616bacbacbb61516b?0?，所以，二次函数3233yaxbxc的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第1题相同.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4．已知正整数,,abc满足26390abc，260abc，则222abc??＝（）A.424．B.430．C.441．D.460．【答】C.由已知等式消去c整理得22(9)3(1)75ab，所以23(1)75b??，又b为正整数，所以16b??.若b＝1，则2(9)75a??，无正整数解；若b＝2，则2(9)72a??，无正整数解；若b＝3，则2(9)63a??，无正整数解；若b＝4，则2(9)48a??，无正整数解；若b＝5，则2(9)27a??，无正整数解；若b＝6，则2(9)0a??，解得9a?，此时18c?.2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）因此，9a?，b＝6，18c?，故222abc＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.43．B.65．C.87．D.109．【答】D.解答过程与（A）卷第4题相同.6．题目和解答与（A）卷第5题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．题目和解答与（A）卷第1题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，,DE分别为线段,BCOA的中点，7ACBOED，5ABCOED，则OED?＝_________.【答】10?.如图，设OEDx??，则5ABCx??，7ACBx??，DOC??18012BACx，10AOCx??，所以1802AODx，180(1802)ODExxx，所以1122ODOEOAOC，所以60DOC，从而可得10x??.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4.题目和解答与（A）卷第4题相同.第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数,xy满足3xy??，221112xyxy，求55xy?的值.解由221112xyxy可得2233222()xyxyxyxyxy.设xyt?，则222()292xyxyxyt，332()[()3]3(93)xyxyxyxyt，代入上式可得22(392)3(93)tttt，解得1t?或3t?.……………………10分当3t?时，3xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2330mm的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当1t?时，1xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2310mm的两实数根，符合题意.此时552233222()()()(92)[3(93)]3123xyxyxyxyxyttt.……………………20分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共7页）DEOBAC二、（本题满分25分）如图，△ABC中，ABAC?，45BAC，E 是BAC?的外角平分线与△ABC的外接圆的交点，点F在AB上且EFAB?.已知1AF?，5BF?，求△ABC的面积.解在FB上取点D，使FD＝AF，连接ED并延长，交△ABC的外接圆于点G.由EF⊥AD，AF＝FD知△AED是等腰三角形，所以∠AED＝1802??∠EAD＝∠BAC，……………………10分所以??AGBC?，所以??ACBG?，所以AC＝BG (15)分又∠BGE＝∠BAE＝∠ADE＝∠BDG，所以BG＝BD，所以AC＝BD ＝5－1＝4，……………………20分△ABC的AB边上的高sin4522hAC.所以，△ABC的面积116226222SABh (25)分三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)ab，使得34938ba.解显然，4938b??为奇数，所以a为奇数.又因为33493849385ba，所以5a?.……………………5分由34938ba可得38493ba，即22(2)(24)73baaa.……………………10分设2(2,24)aaad，则d为奇数.注意到224(2)(4)12aaaa，所以|12d，所以d＝1或3.……………………15分若d＝1，则有22 27, 243,b aaa或22 23, 247, ba aa均无正整数解.……………………20分若d＝3，则有221237,243,baaa?或12223,2437,baaa解得11a?，3b?.所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25分第二试（B）一、（本题满分20分）已知实数,,abc满足abc??，16abc，22211284abcabc，求c的值.解设abx??，aby?，依题意有2212(16)(16)1284xyxyx，整理得21(8)(8)8xyx，所以8x?或8(8)yx??.……………………10分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共7页）FEABCD（1）若8x?，则8ab??，此时c＝8.（2）若8(8)yx??，即8(8)abab，则(8)(8)0ab，所以8a?或8b?.当8a?时，结合abc??可得24abc，与16abc矛盾.当8b?时，结合abc??及16abc可得0a?，8c?.综合可知：8c?.……………………20分二、（本题满分25分）求所有的正整数m，使得21221mm 是完全平方数.解当m＝1时，212211mm是完全平方数.……………………5分当1m?时，设212221mmn（n为正整数）.注意到2112112122212(2)221(21)(2)mmmmmm，故可得12122(21)(2)mmn，……………………10分所以22212112(21)(21)(21)mmmmnnn.……………………15分设121mxn，121myn，则xy?，222mxy??，所以,xy均为2的方幂.……………………20分又22myx被4除余数为2，所以，只可能2x?，2my?，故22222mm，解得3m?.综上可知：满足条件的正整数m有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分25分）如图，O为四边形ABCD内一点，OADOCB，OAOD?，OBOC?.求证：2222ABCDADBC.证明由题设条件可知90AODBOC，又OADOCB，所以△AOD∽△COB，……………………5分所以ODAOOBCO?，从而OCAOOBOD?.……………………10分又AOCAOBBOCAOBAODDOB，所以△AOC∽△DOB，所以OACODB.……………………15分设AC和BD交于点P，则90APDAOD，所以ACDB?，……………………20分所以222222222222()()()()ABCDAPPBPDPCAPPDPBPCADBC .……………………25分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页（共7页）PDAO CB。
2017年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则详解
2017年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则详解2017年全国初中数学联赛（初三组）初赛试卷试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题和填空题只设7分和分两档；解答题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、设实数a、b满足a-b=-1，则a³-b³+3ab的值为（B）A、-3B、-1C、1D、3解析：a³-b³+3ab=(a-b)(a²+ab+b²)+3ab=-(a-b)=-12、若实数a为常数，关于x的不等式组{x+a²≤2a x≤-7}的整数解只有8个，则a的值为（C）A、-1B、0C、1D、2解析：{x+a²≤2a x≤-7}⇒-7≤x≤-a²+2a⇒1≤-a²+2a⇒(a-1)≤0⇒a≤1因为a是常数，所以a=13、在菱形ABCD中，AB=4，E为AB的中点，若在线段BD上取一点P，则PA+PE∠A=60°，的最小值是（D）A、23B、4C、25D、27解析：如图，连结AC，EC交BD于点P，则点P是所求的菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，E为AB的中点DE=√3×AB/2=2√3CE=DE+DC=2√3+4AE=√(CE²+AC²)=√(28²+16)=4√10PA+PE∠A=AE×sin(∠APE)=4√10×sin(60°+∠BPD)令∠BPD=θ，则∠APE=60°+θPA+PE∠A=4√10×(cosθ+√3sinθ)=4√10×(sinθ+√3cosθ+2)/24√10×(sin(θ-60°)+2)/2=2√10×(√3cosθ+sinθ+1)≥2√10所以最小值为2√10，即274、对于任意实数a，b，c，用M{a,b,c}表示三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数，若M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y}，则x+y=（A）A、-4B、-2C、2D、4解析：不妨设a最小，则M{a,b,c}=aa+b+c=3ab-a)+(c-a)=ab-a≥0，c-a≥0b=a，c=a2x+y+2=x+2y=2x-yx=-3，y=-1x+y=-45、如图，RtΔABC的斜边AB与⊙O相切于点P，直角顶点C在⊙O上，若AC=22，BC=4，则⊙O的半径是（B）A、3B、23C、4D、26解析：如图，由射影定理得：BC²=AC×DCCD=4²/22BD²=CD²+BC²=48BO=BD/2=√48/2=2√3OP=OB-√AB²-AP²=2√3-√22²-4²=2√3-2r=OP=2√3-2=2(√3-1)=2∙236、不超过1142无明显问题的段落，不需修改）即有：x2kx5x 2x25x k x 2将两式相减，得：10x52x化XXX：2x210x50由于方程只有一个公共实根，所以判别式为0，即：24250解得：2或 5又因为x2kx k的实根为0或k，所以：当2时，实根为0，k，所以实根之和为k；当5时，实根为0，k，所以实根之和为k；综上所述，关于x的方程x2kx k所有的实根之和为k k0.题目一：已知方程组 $\begin{cases}\alpha^2-k\alpha+5=0 \\\alpha^2+5\alpha-k=0\end{cases}$，求所有实数根的和。
2017年全国初中数学联赛初二试题及参考答案(详解版)
2017年全国初中数学联合竞赛试题（初二）第一试一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b ca b++的值为（ ） A .2 B . 1 C . 0 D .1- 2.已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1110135a b c ++=+++，则()()()222135a b c +++++的值为（ ）A . 125B . 120C . 100D . 813.若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(),,a b c 为好数组.那么好数组的个数为（ ）A . 4B . 3C . 2D . 14.已知正整数,,a b c 满足26390a b c --+=，260a b c -++=，则222a b c ++的值为（ ） A .424 B . 430 C . 441 D . 4605.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AB =，4BC =，2CD =，1AD =，则梯形的面积为（ ） ABC. D.6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，点E 在AB 上，若42AE =，28BE =，70BC =，45DCE ∠=︒，则DE 的值为（ ）A . 56B . 58C . 60D . 62二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.=a 的值为________.8.已知ABC 的三个内角满足100A B C <<<︒.用θ表示100,,C C B B A ︒---中的最小者，则θ的最大值为________.9.设,a b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分 20 分）设,A B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果22A B -是完全平方数，求A 的值.二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分ADB ∠，DF 平分ADC ∠，BE DE ⊥，CF DF ⊥，P 为AD 与EF 的交点.证明：2EF PD =.三、（本题满分 25 分）已知,,a b c 是不全相等的正整数，求222a b c a b c ++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷参考答案第一试一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b ca b++的值为（ ） A .2 B . 1 C . 0 D .1- 【答案】B【思路】因为所求分式的特点可以想到把2a b +，3b c +看成一个整体变量求解方程. 【解析】已知等式可变形为()()223390a b b c +++=，()()32372a b b c +++=，解得218a b +=，318b c +=，所以312b ca b+=+. 2.已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1110135a b c ++=+++，则()()()222135a b c +++++的值为（ ）A . 125B . 120C . 100D . 81 【答案】C 【思路】换元法【解析】设1x a =+，3y b =+，5z c =+，则10x y z ++=，1110x y z++=， 0xy xz yz ∴++=，由()()22222100x y z x y z xy xz yz ++=++-++=.则()()()222135100a b c +++++=.3.若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(),,a b c 为好数组.那么好数组的个数为（ ）A . 4B . 3C . 2D . 1 【答案】B【思路】先通过a b c ≤≤且()2abc a b c =++的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证.【解析】若(),,a b c 为好数组，则()26abc a b c c =++≤，即6ab ≤，显然1a =或2. 若1a =，则()21bc b c =++，即()()226b c --=，可得()(),,1,3,8a b c =或()1,4,5，共2个好数组.若2a =，则2b =或3，可得2,4b c ==；53,2b c ==，不是整数舍去，共1个好数组. 共3个好数组()()()(),,1,3,8,1,4,5,2,2,4a b c =.4.已知正整数,,a b c 满足26390a b c --+=，260a b c -++=，则222a b c ++的值为（ ） A .424 B . 430 C . 441 D . 460 【答案】C【思路】由已知等式消去c 整理后，通过,a b 是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.【解析】联立方程可得()()2293175a b -+-=，则()23175b -≤，即16b ≤≤. 当1,2,3,4,5b =时，均无与之对应的正整数a ；当6b =时，9a =，符合要求，此时18c =，代入验证满足原方程. 因此，9a =，6b =，18c =，则222441a b c ++=.5.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AB =，4BC =，2CD =，1AD =，则梯形的面积为（ ） ABC. D.【答案】A【思路】通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.【解析】作AE ∥DC ，AH ⊥BC ，则ADCE 是平行四边形，则3BE BC CE BC AD AB =-=-==， 则ABE 是等腰三角形，3BE AB ==，2AE =，经计算可得AH =. 所以梯形ABCD 的面积为()1142⨯+. 6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，点E 在AB 上，若42AE =，28BE =，70BC =，45DCE ∠=︒，则DE 的值为（ ）A . 56B . 58C . 60D . 62【答案】B【思路】补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.【解析】作CF △AD ，交AD 的延长线于点F ，将CDF 绕点C 逆时针旋转90︒至CGB ，则ABCF 为正方形，可得ECG △ECD ，EG ED ∴=. 设DE x =，则28DF BG x ==-，98AD x =-. 在RtEAD 中，有()2224298x x +-=，解得58x =.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 7.=a 的值为________. 【答案】8【思路】通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.【解析】易得(321a =.令x ，则0x ≥，代入整理可得()()2310x x x -+=，解得1230,3,1x x x ===-，舍负，即1a =-或8，验证可得8a =.8.已知△ABC 的三个内角满足100A B C <<<︒.用θ表示100,,C C B B A ︒---中的最小者，则θ的最大值为________. 【答案】20︒【思路】一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况.【解析】100C θ≤︒-，C B θ≤-，B A θ≤-()()()131002206C C B B A θ∴≤︒-+-+-=︒⎡⎤⎣⎦ 又当40,60,80A B C =︒=︒=︒时，20θ=︒可以取到. 则θ的最大值为20︒.9.设,a b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.【答案】7【思路】因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a b +、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.【解析】因为,a b 互质，所以a b +、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得1a b ==，4p =，不是质数舍； 381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得7a =，1b =，7p =，符合题意. 则7p =.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 【答案】34【思路】考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.【解析】设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34. 由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设,A B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果22A B -是完全平方数，求A 的值.【思路】对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a b +，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果.【解析】设()101,9,,A a b a b a b N =+≤≤∈，则10B b a =+，由,A B 不同得a b ≠，()()()()22221010911A B a b b a a b a b -=+-+=⨯⨯+-.由22A B -是完全平方数，则a b >，()()11|a b a b +-，可得11a b +=，a b -也是完全平方数，所以1a b -=或4.若1a b -=，则6a =，5b =； 若4a b -=，则没有正整数解. 因此6a =，5b =，65A =.二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分ADB ∠，DF 平分ADC ∠，BE DE ⊥，CF DF ⊥，P 为AD 与EF 的交点.证明：2EF PD =.【思路】因为EF 、PD 都在DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出90EDF ∠=︒，此时若能得出EP PD =，则自然可以得到结论.【解析】由DE 平分ADB ∠，DF 平分ADC ∠，可得90EDF ∠=︒. 由BE DE ⊥得BE △DF ，则EBD FDC ∠=∠.又BD DC =，90BED DFC ∠=∠=︒，则BED △DFC ，BE DF =. 得四边形BDFE 是平行四边形，PED EDB EDP ∠=∠=∠，EP PD =. 又△EDF 是直角三角形，2EF PD ∴=.三、（本题满分 25 分）已知,,a b c 是不全相等的正整数，求222a b c a b c ++++的最小值.【思路】通过,,a b c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用,,a b c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b c b c +--+-==--可得2b ac =.()()22222a c ba b c a c b a b c a c b+-++==+-++++.不妨设a c <，若1a =，2c b =，因为a b ≠，则()113a c b b b +-=+-≥，取等号当且仅当2b =时.若2a ≥，因为1c b ≠≠，则()1243a c b a b b a +-=+-≥+≥>.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当1a =，2b =，4c =时.。
2017年全国初中数学联合竞赛试题含答案
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3b+c＝（）a +2bA. 2．B. 1．C. 0．D.-1．【答】B.已知等式可变形为 2( a+ 2b) + 3(3b+c ) = 90 ， 3( a+ 2b) + (3b+c ) = 72 ，解得a+2b=18，3b+c=18 ，所以3b+c=1.a +2b2．已知△ABC的三边长分别是a,b,c，有以下三个结论：（1）以a,b,c为边长的三角形一定存在；（2）以 a 2, b 2, c2为边长的三角形一定存在；（3）以 | a-b | +1,| b-c | +1,| c-a | +1 为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设 a ≥ b ≥ c ，则有 b + c > a .（1）因为 b + c > a ，所以 b + c +222b +c > a ，故以a,b,c为bc > a ，即( b + c ) >（ a），即边长的三角形一定存在；（2）以 a =2, b =3, c =4为边长可以构成三角形，但以 a 2= 4, b2= 9, c2=16 为边长的三角形不存在；（3）因为 a ≥ b ≥ c ，所以| a - b |+1= a - b +1,| b - c |+1= b - c +1,| c - a |+1= a - c +1，故三条边中| c - a |+1大于或等于其余两边，而（| a-b | +1）+（| b-c | +1）=（a-b+ 1）+（b-c+1）=a-c+ 1 + 1 >a -c+ 1 =| c-a | +1 ，故以 | a-b | +1 ， | b-c | +1 ， | c-a | +1 为边长的三角形一定存在.3．若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么，好数组的个数为（）A. 1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若( a, b, c) 为好数组，则abc= 2( a+b+c ) ≤ 6c，所以ab≤6.显然，a只能为1或2.若a ＝2，由ab≤6可得b=2或3，b=2时可得c=4，b=3时可得c=52（不是整数）；若a ＝1，则bc=2(1+b+c)，于是可得(b-2)(c-2)=6，可求得(a,b,c)＝（1，3，8）或（1，4，5）.综合可知：共有 3 个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点，若 ∠BAD + ∠ACB = 180︒，且 BC = 3，AD = 4 ，AC = 5 ， AB = 6 ，则 DO ＝ （ ）OB10 8 64A.．B.．C.．D.．D9 7 5 3E【答】A.C过 B 作 BE // AD ，交 AC 的延长线于点 E ，则 ∠ABE = 180︒ - ∠BAD= ∠ACB ，所以△ ABC ∽△ AEB ，所以AC = BC ，所以4O3AB EBAB ⋅ BC6 ⨯318BEB = = = .A6AC 5 5再由 BE // AD ，得 DO = AD = 4 = 10 .BEOB 18 955．设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥ BC 于点 D ，点 E 在线段 DC 上，点 F 在 CB 的延长线上，满足 ∠BAF = ∠CAE .已知 BC =15 ， BF = 6 ， BD = 3 ，则 AE ＝ （ ）AA. 4 3 ．B. 2 13 ．C. 2 14 ．D. 2 15 ．【答】B.FBDEC如图，因为 ∠BAF = ∠CAE ，所以 ∠BAF + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE ，即 6 3∠FAE = ∠BAC = 90︒ .又因为 AD ⊥ BC ，故 AD 2 = DE ⋅ DF = DB ⋅ DC .而 DF = BF + BD = 6 + 3 = 9 ，DC = BC - BD = 15 - 3 =12 ，所以 AD 2 = DE ⋅ 9 = 3 ⋅ 12 ，所以 AD = 6 ，DE= 4 . 从而 AE = AD 2 + DE 2 = 62 + 42 = 213 .6．对于正整数 n ，设 a 是最接近的整数，则 1 + 1 + 1 + +1 = （ n）na 1 a 2 a 3a200A. 191 ．B. 192 ．C. 193 ．D. 194 ．777 7 【答】A.对于任意自然数 k ， ( k +1 )2 = k 2 + k + 1不是整数，所以，对于正整数 n ，- 1 一定不是整数.n24 2的整数，则| m - |< 1 ， m ≥1.设 m 是最接近 nn2易知：当 m ≥1时，| m - |< 1 ⇔ ( m - 1 ) 2 < n < ( m + 1 )2⇔ m 2 - m + 1 < n < m 2 + m + 1 .n 2 2 24 4 于是可知：对确定的正整数 m ，当正整数 n 满足 m 2 - m + 1 ≤ n ≤ m 2+ m 时，m 是最接近的整数，n 即 a n = m .所以，使得 a n ＝ m 的正整数 n 的个数为 2m .注意到132 + 13 = 182 < 200 < 14 2 + 14 = 210 ，因此， a , a , ,8 个 4，……，26 个 13，18 个 14.所以1+1+1+ +1= 2 ⨯1+ 4 ⨯1+ 6 ⨯1+ + 26 ⨯1+ 18⨯1=191.a a a a12313147 123200二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1．使得等式 1 + 1+a=3a 成立的实数 a 的值为_______．【答】 8 .由所给等式可得 (1 + 1 +a )3=a2.令 x =1+a，则 x ≥0，且a=x2-1，于是有(1+ x )3=( x2-1)2，整理后因式分解得x ( x -3)( x +1)2=0，解得 x= 0 ，x= 3 ，x= -1 （舍去），所以a= -1或a=8.123验证可知： a = -1是原方程的增根， a =8是原方程的根.所以， a =8.2．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=72︒，AF⊥BC于点F， AFM交 BD 于点 E ，若 DE =2AB ，则∠AED ＝_______．【答】 66︒.BE 取 DE 的中点 M ，在Rt△ ADE中，有 AM = EM =1DE = AB .2设∠AED =α，则∠AME =180︒ -2α，∠ABM =α-18︒.又∠ABM = ∠AMB ，所以180︒ -2α=α-18︒，解得α=66︒.3．设m,n是正整数，且m>n.若9m与9n的末两位数字相同，则m-n的最小值为．【答】10.由题意知，9m- 9n= 9n⋅ (9m-n-1) 是100的倍数，所以9m-n-1是100的倍数，所以9m-n的末两位数字是 01，显然，m-n是偶数，设m-n=2t（t是正整数），则9m-n=92t=81t .计算可知： 812的末两位数字是61， 813的末两位数字是41， 814的末两位数字是21， 815的末两位数字是 01.所以 t 的最小值为5，从而可得 m - n 的最小值为10.4．若实数 x, y 满足 x 3+ y 3+3 xy =1，则 x 2+ y2的最小值为．1【答】2 .因为0= x 3+ y 3+3 xy -1=( x + y )3+(-1)3-3 x 2 y -3 xy 2+3xy=( x+y- 1)( x2+y2-xy+x+y+1) =12(x+y-1)[(x-y)2+(x+1)2+(y+1)2]，所以 x = y = -1或x+y=1.若x = y = -1，则 x 2+ y2＝2.若x + y =1，则x2+y2=12[(x+y)2+(x-y)2]=12[1+(x-y)2]≥12，当且仅当x=y=12时等号成立.所以， x 2+ y2的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知二次函数y=ax2+bx+c(c≠0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函数y=a3x2+b3x+c3的图象与 x 轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图象与 x 轴有唯一交点，所以∆1=b2-4ac=0，所以b2=4ac≠0.故二次函数 y = a 3 x 2+ b3 x + c3的判别式∆2=(b3)2-4a3c3=b6-161(4ac)3=b6-161(b2)3=1615b6>0 ，所以，二次函数y=a3x2+b3x+c3的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第 1 题相同.3.题目和解答与（A）卷第 3 题相同.4．已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2＝（）A. 424．B. 430．C. 441．D. 460．【答】C.由已知等式消去 c 整理得( a -9)2+3(b -1)2=75，所以3(b -1)2≤75，又b为正整数，所以1≤b≤6.若b ＝1，则( a -9)2=75，无正整数解；若b ＝2，则( a -9)2=72，无正整数解；若b ＝3，则( a -9)2=63，无正整数解；若b ＝4，则( a -9)2=48，无正整数解；若b ＝5，则( a -9)2=27，无正整数解；若b ＝6，则( a -9)2=0，解得a=9，此时c=18.因此， a =9，b＝6， c =18，故a2+b2+c2=＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若∠BAD+ ∠ACB=180︒，且BC=3，AD=4，AC =5， AB =6，则DO＝（）OBA.4．B.6．C.8．D.10．3579【答】D.解答过程与（A）卷第 4 题相同.6．题目和解答与（A）卷第 5 题相同.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1．题目和解答与（A）卷第 1 题相同.2 ．设O是锐角三角形ABC的外心，D,E分别为线段BC,OA的中点，∠ACB=7∠OED，∠ABC =5∠OED ，则∠OED ＝_________.A 【答】10︒.如图，设∠OED = x ，则∠A B =C5，x ∠ACB =7x ，∠DOC= ∠BAC =180︒ -12x ，∠AOC =10x ，所以∠AOD =180︒ -2x ，∠ODE =180︒ - x -(180︒ -2 x)= x ，所以OD=OE=1OA =1OC ，所22B 以∠DOC =60︒，从而可得 x =10︒.3.题目和解答与（A）卷第 3 题相同.4.题目和解答与（A）卷第 4 题相同.EODC第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数 x, y 满足x+y=3，1+1=1，求 x 5+ y5的值. x+ y 2x 2+ y2解由1+1=1可得 2( x+y+x2+ y 2)= x 3+ y 3+ x 2 y 2+ xy . x + y 2x 2+ y2设xy = t ，则 x 2+ y 2=( x + y )2-2xy =9-2t ， x 3+ y 3=( x + y )[( x + y )2-3 xy ]=3(9-3t )，代入上式可得 2(3 + 9 - 2t ) = 3(9 - 3t ) +t2+t，解得t=1或t=3.……………………10分当 t =3时，xy=3，又x+y=3，故x,y是一元二次方程m2-3m+3=0的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当 t =1时，xy=1，又x+y=3，故x,y是一元二次方程m2-3m+1=0的两实数根，符合题意.此时x 5+ y 5=( x 2+ y 2)( x 3+ y 3)-( x + y ) x 2 y 2=(9-2t )⋅[3(9-3t )]-3t 2=123.……………………20分二（、本题满分 25 分）如图，△ ABC 中，AB > AC ，∠BAC = 45︒ ，E 是 ∠BAC的外角平分线与 △ ABC 的外接圆的交点，点 F 在 AB 上且 EF ⊥ AB . 已知 AF =1， BF = 5，求△ ABC 的面积.解 在 FB 上取点 D ，使 FD ＝AF ，连接 ED 并延长，交△ ABC 的外接圆于点 G.由 EF ⊥AD ，AF ＝FD 知△AED 是等腰三角形，所以∠AED ＝180︒ - 2 ∠EAD ＝∠BAC ， ……………………10 分EAFDCGB……………………15 分 所以 AG = BC ，所以 AC = BG ，所以 AC ＝BG. 又∠BGE ＝∠BAE ＝∠ADE ＝∠BDG ，所以 BG ＝BD ，所以 AC ＝BD ＝5－1＝4， ……………………20 分△ ABC 的 AB 边上的高 h = AC sin 45︒ = 2 2 .所以，△ ABC 的面积 S = 1 ⋅ AB ⋅ h = 1 ⨯ 6 ⨯ 2 = 6 .2 2 ……………………25 分22三、（本题满分 25 分）求所有的正整数数对 ( a , b ) ，使得 a 3 = 49 ⨯ 3b +8 . 解 显然， 49 ⨯ 3b +8 为奇数，所以 a 为奇数.又因为 a 3 = 49 ⨯ 3b + 8 ≥ 49 ⨯ 3 + 8 > 53 ，所以 a > 5 .……………………5 分由 a 3 = 49 ⨯ 3b +8 可得 a 3 - 8 = 49 ⨯3b ，即 ( a - 2)( a 2 + 2a + 4) = 7 2 ⨯3b . ……………………10 分设 ( a - 2, a 2 + 2a + 4) = d ，则 d 为奇数.注意到 a 2 + 2a + 4 = ( a - 2)( a + 4) +12 ，所以 d | 12 ，所以 d＝1 或 3. ……………………15 分⎧a - 2 = 7 2,⎧a - 2 = 3b,均无正整数解.……………………20 分若 d ＝1，则有 ⎨a 2 + 2 a + 4 或 ⎨a 2 + 2 a + 4 = 7 2 ⎪ = 3b ,⎪ , ⎩⎩⎧a - 2 = 3 ⨯7 2, ⎧a - 2 = 3b -1,解得 a =11， b = 3 . 若 d ＝3，则有 ⎨ 2 + 2 a + 4 b -1或 ⎨ 2 + 2 a + 4 = 3 ⨯7 2 ⎪ a = 3 , ⎪ a ,⎩⎩所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25 分第二试 （B ）一、（本题满分 20 分）已知实数 a , b , c 满足 a ≤ b ≤ c ， a + b + c =16 ， a 2 + b 2 + c 2 +14 abc =128 ，求 c 的值.解 设 a + b = x ， ab = y ，依题意有 x 2 - 2 y + (16 - x ) 2 +14 y (16 - x ) =128 ，整理得( x - 8) 2 = 1y ( x -8) ，8所以 x = 8 或 y = 8( x -8) .……………………10 分（1）若 x =8，则 a + b =8，此时 c ＝8.（2）若 y =8( x -8)，即 ab =8( a + b -8)，则( a -8)(b -8)=0，所以a=8或b=8.当a =8时，结合 a ≤ b ≤ c 可得 a + b + c ≥24，与 a + b + c =16矛盾.当b =8时，结合 a ≤ b ≤ c 及 a + b + c =16可得 a =0， c =8.综合可知： c =8.……………………20分二、（本题满分 25 分）求所有的正整数m，使得22m-1-2m+1是完全平方数.解当 m ＝1时，22m-1-2m+1=1是完全平方数.……………………5分当 m >1时，设22m-1-2m+1=n2（ n 为正整数）.注意到 22m-1- 2m+ 1 = 2 ⋅ (2m-1 ) 2- 2 ⋅ 2 m-1+ 1 = (2 m-1- 1) 2+ (2 m-1 )2，故可得(2 m-1- 1) 2+ (2 m-1 )2=n2，……………………10分所以 22m-2=n2- (2m-1- 1) 2= ( n+ 2 m-1- 1)( n- 2 m-1+1) .……………………15分设 x = n -2m-1+1， y = n +2m-1-1，则x<y， xy =22m-2，所以x,y均为2的方幂.……………………20分又 y - x =2m-2被4除余数为2，所以，只可能x=2， y =2m，故2⨯2m=22m-2，解得m=3.综上可知：满足条件的正整数 m 有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分 25 分）如图，O为四边形ABCD内一点，∠OAD= ∠OCB，DOA ⊥ OD ， OB ⊥ OC .求证：AB2+CD2=AD2+BC2.AOP 证明由题设条件可知∠AOD = ∠BOC =90︒，又∠OAD =∠OCB，所以△ AOD ∽△ COB ，……………………5分OD AO OC AOB所以OB=CO，从而OB=OD .……………………10分C 又∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = ∠AOB + ∠AOD = ∠DOB ，所以△ AOC ∽ △ DOB ，所以∠OAC = ∠ODB .……………………15分设AC 和BD交于点P，则∠APD = ∠AOD =90︒，所以 AC ⊥ DB ，……………………20分所以 AB 2+ CD 2=( AP 2+ PB 2)+( PD 2+ PC 2)=( AP 2+ PD 2)+( PB 2+ PC 2)= AD 2+ BC2.……………………25分。
2017全国初中数学联赛初一试题及答案
省市县（区）学校姓名考号（密封装订线内不要答题）得分 评卷人得分评卷人）题答要不内线订装封密（）题答要不内线订装封密（90745154100,,=∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+x y x y x y x 则道做错道设做对10.已知： a =1×2+2×3+3×4+!+99×100， b =2×4+3×5+4×6+!+100×102则b a −=_________.【解析】： −15147a −b =−3×2−3×3−3×4−!−3×100=−3×(2+3+!+100) −3×99×51=−1514711.小华为了备战2017年全国初中数学联赛，做了100道模拟选择题，估分时把对的20%估为错的,把错的20%估为对的,这样得到74道是正确的,那么小华真正做对道.【解析】： 12.若 a ,b ,c ,d 都是自然数，满足 a 3=b 2,c 4=d 3，且 a −d =33，则 b −c =______.【解析】4849或335设 a 3=b 2=p 6,c 4=d 3=q 12，所以 a =p 2,d =q 4.所以 33=p 2−q 4=(p −q 2)(p +q 2)，得 p +q 2=33,p −q 2=1或 p +q 2=11,p −q 2=3所以 p =17,q =4或 p =7,q =2,所以 b −c =p 3−q 3=4849或 335.三、解答题（本题满分20分）如图，一个九宫格内有八个正方形滑块，分别标有数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 现在滑动九宫格中的滑块，例如：依次将滑块 2下移一格，滑块 1右移一格，滑块 8上移 1格，滑块 2左移一格，可以得到图2.图1 图2图3 图4（1）是否可以经过若干次滑动，使得图1变为图3的情形？若可以，请指出操作方法；若不能，说明理由.（2）是否可以经过若干次滑动，使得图1变为图4的情形？若可以，请指出操作方法；若不能，说明理由.【解析】：（1）可以，先将滑块8移至空白处，其它滑块从7至1依次顺时针滑动一格，再重复一次该操作得到下图.再将8上移一格.即可得到图2.……………………（10分）（2）不能将某个滑块移入中间空格处，然后移动外围的7个滑块，再将中间的滑块移至外围。
大同市初中数学竞赛试卷
大同市初中数学竞赛试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共40题；共80分)1. （2分）下列图形中，不能由图形M经过一次平移或旋转得到的是（）A .B .C .D .2. （2分）如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山的位置，用（1，5）表示隆回花瑶的位置，那么城市南山的位置可以表示为（）A . （2，1）B . （0，1）C . （﹣2，﹣1）D . （﹣2，1）3. （2分）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为（）A . （3，4）或（2，4）B . （2，4）或（8，4）C . （3，4）或（8，4）D . （3，4）或（2，4）或（8，4）4. （2分）将点A（1，﹣2）向右平移2个单位，再向上平移3个单位得B点，则B的坐标为（）A . （﹣1，1）B . （﹣1，﹣5）C . （3，1）D . （3，﹣5）5. （2分） (2019八上·和平月考) 如图，平面直角坐标系中有点 .连接AB.以A为圆心，以AB为半径画弧，交y轴于点，连接，以B为圆心，以为半径画弧，交x轴于点连接，以为圆心，以为半径画弧，交轴于点；按照这样的方式不断在坐标轴上确定点的位置，那么点的坐标是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019七下·番禺期中) 在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（-2，1）的对应点为A′（1，-2），点B的对应点为B′（2，0）．则B点的坐标为（）A .B .C .D .7. （2分）如果，那么点P（x，y）在（）A . 第二象限B . 第四象限C . 第四象限或第二象限D . 第一象限或第三象限8. （2分）若2a3xby+5与5a2-4yb2x是同类项，则（）A .B .C .D .9. （2分） (2016七上·长兴期末) 关于x的方程3x=4x+5的解是（）A . x=5B . x=﹣3C . x=﹣5D . x=310. （2分）在平面直角坐标系中，将点A (－2，1)向左平移2个单位到点Q ，则点Q的坐标为（）A . (－2，3)B . (0，1)C . (－4，1)D . (－4，－1)11. （2分）(2020·河池模拟) 已知点（－2，y1），（－1，y2），（1，y3）都在反比例函数y= 的图象上，那么y1 ， y2与y3的大小关系是（）A . y3＜y1＜y2B . y3＜y2＜y1C . y1＜y2＜y3D . y1＜y3＜y212. （2分） (2017八上·林甸期末) 在直角三角形中，两边长分别为3和4，则最长边的长度为（）A . 5B . 4C . 5或D . 5或413. （2分）如图，这是一块农家菜地的平面图，其中BD=4m，CD=3m，AB=13m，AC=12m，∠BDC=90°，则这块地的面积为（）A . 24m2B . 30m2C . 36m2D . 42m214. （2分）若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）A .B . 4C . 或4D . 4或15. （2分）已知关于x的不等式组的解集是1≤x＜3，则a=（）A . 1B . 2C . 0D . -116. （2分）已知两圆的半径分别为1和2，圆心距为5，那么这两个圆的位置关系是（）A . 内切B . 相交C . 外离D . 外切17. （2分）将抛物线y=2（x+1）2﹣2向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得新抛物线的表达式是（）A . y=2（x+3）2B . y=（x+3）2C . y=（x﹣1）2D . y=2（x﹣1）218. （2分） (2016九上·温州期末) 某路口交通信号灯的时间设置为：红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒．当人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的概率为（）A .B .C .D .19. （2分）下列说法：①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的内心到三条边的距离相等。
2000-2017年(大同杯原新知杯)历年上海市初中数学竞赛试卷和参考答案
上海市大同杯（原新知杯、宇振杯）初中数学竞赛试题和参考答案目录2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题 3 2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案 6 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题11 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案14 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题18 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题详解22 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题29 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案31 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题35 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题参考答案38 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题43 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题详解46 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷50 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解53 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷59 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解61 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷68 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案71 2008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷752008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案79 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷81 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解83 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷87 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解90 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷94 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案97 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷99 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案101 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷104 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案106 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷107 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案108 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题110 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题参考答案1112017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试卷一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知抛物线c bx ax y ++=2过点（0，0），（22.5，2020.5），（62.5，1812.5），则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标为 （精确到0.001）。
2017年全国初中数学联赛初二卷和详解
2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-12.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.813.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.14.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.4605.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.C. D.6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7.=a的值为________.8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b是两个互质的正整数，且38abpa b=+为质数.则p的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c为有理数，求222a b ca b c++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以312b ca b+=+.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111x y z++=，∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=52，不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.5. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.C. D.答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，则△ABE 是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得AH =所以梯形ABCD 的面积为()1142⨯+=.6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.A.56B.58C.60D.62 答案：B 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，∴EG=ED. 设DE=x ，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt △EAD 中，有422+(98-x)2=x 2，解得x=58.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.=a 的值为________.答案：8 对应讲次： 所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得(321a =.令x ，则x ≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x 1=0, x 2=3, x 3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次： 所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C ，θ≤C-B ，θ≤B-A ∴θ≤16［3（100°-C ）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°.9. 设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.答案：7 对应讲次： 所属知识点：数论思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a+b 、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b 互质，所以a+b 、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=b=1，p=4，不是质数舍；381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次： 所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果A 2-B 2是完全平方数，求A 的值. 答案：65 对应讲次： 所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a+b ，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b ≤9,a,b ∈N)，则B=10b+a ，由A,B 不同得a ≠b ，A 2-B 2=（10a+b ）2-(10b+a)2=9×11×（a+b ）(a-b).………5分由A 2-B 2是完全平方数，则a ＞b ，()()11|a b a b +-，可得a+b=11， ………10分 a-b 也是完全平方数，所以a-b=1或4.………15分若a-b=1，则a=6，b=5； 若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.………20分二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ，P 为AD 与EF 的交点.证明：EF=2PD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD ，则自然可以得到结论.解析：由DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，可得∠EDF=90°.………5分由BE ⊥DE 得BE ∥DF ，则∠EBD=∠FDC. ………10分又BD=DC ，∠BED=∠DFC=90°，则△BED ≌△DFC ，BE=DF . ………15分 得四边形BDFE 是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP ，EP=PD. ………20分 又△EDF 是直角三角形，∴EF=2PD.………25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c 为有理数，求222a b c a b c ++++的最小值.答案：3 对应讲次： 所属知识点：数论思路：通过a,b,c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b cb c +--+-==--b 2=ac. …10分()()22222a c ba b c a c b a b c a c b +-++==+-++++.………15分不妨设a ＜c ，若a=1，c=b 2，因为a ≠b ，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分 若a ≥2，因为c ≠b ≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时.………25分。
2017年度大同杯初赛试卷及规范标准答案
上海市第三十一届初中物理竞赛(大同中学杯)初赛试卷(兼区县物理竞赛试卷)2017年2月26日上午9：00-10：30说明：1、本试卷共分两部分，第一部分为单项选择题，每题3分，共30题，计90分：第二部分为多项选择题，每题5分，全对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分，共12题，计60分。
全卷满分150分。
2、考试时间为90分钟。
3、考生使用答题纸(卡)，把每题的正确选项填在答题纸(卡)相应位置。
允许使用计算器，考试完毕后，请将试卷、答题纸(卡)一并交给监考人员。
4、常数g=10N/kg。
第一部分：单项选择题1．最先通过科学实验发现电流磁效应的物理学家是( )(A)法拉第(B)安培(C)库仑(D)奥斯特2．夏天，把棒冰拿在手里，剥去纸后，棒冰周围冒出的“白气”主要是( )(A)空气中的水蒸气遇冷凝结成的小水珠(B)棒冰中的水蒸发后形成的水蒸气(C)棒冰中的冰升华为水蒸气，水蒸气再凝结成的雾(D)人呼出的气体中的水蒸气，遇到低温棒冰而凝华成的小冰晶3．如图所示，一束粒子沿水平方向飞过小磁针的卞方，此时小磁针的N极向纸内偏转，这一束粒子可能是( )(A)向右飞行的正离子束(B)向左飞行的负离子束(C)向右飞行的电子束(D)向左飞行的电子束4．在如图所示的电路中，电阻R1和R2并联，则三个电表中( )(A)表1、表2是电流表，表3是电压表(B)表1、表2是电压表，表3是电流表(C)表1、表2、表3都是电流表(D)表1、表2、表3都是电压表5．如图所示，把一个带负电的物体，靠近一个原来不带电的验电器的金属小球，然后用手去触摸金属小球(人体是通大地的导体)，再移开手，这时( )(A)金属小球和金属箔都不带电(B)金属小球不带电，金属箔带负电(C)金属小球带正电，金属箔带负电(D)金属小球带正电，金属箔不带电6．木块静止在水平桌面上，关于桌面对木块的弹力跟木块受到的重力之间关系的说法中，错误的是( )(A)一对作用力和反作用力(B)一对平衡力(C)一对大小相等、方向相反的力(D)作用在同一物体上的力7．如图所示，底面积不同的柱状容器甲、乙分别盛有两种液体，液体对容器底部的压强P<P乙.若要使两容器中的液体对容器底部的压强相等，一定可行的方法是在( )甲(A)甲中抽取、乙中倒入相同高度的原有液体(B)乙中抽取、甲中倒入相同高度的原有液体(C)甲、乙中同时抽取相同高度的原有液体(D)甲、乙中同时倒入相同高度的原有液体8．列车匀速进站，机车发出频率为f1的汽笛声，一站在站台上的旅客听到的汽笛声频率为f2，则下列判断中正确的是( )(A) f1 < f2 (B) f1 = f2(C) f1 > f2(D)无法判断9．电阻R1=1Ω，R2=1Ω，R3=3Ω，利用这三个电阻可能获得的不同阻值的个数最多为( ) (A)7 (B)12 (C)16 (D)1710．如图所示，在柱状容器内放入一块长方体实心铜块，然后缓慢注入水，并且使铜块与容器底紧贴(使水不进入铜块与容器底部之间接触处)，此时容器底部所承受的压力大小为F1，若略微抬起铜块，使水进入接触处，待铜块稳定后，容器底部所承受的压力大小为F2,则( )(A)F1 >F2 (B)F1 <F2(C)F1 =F2(D)无法判断11．形状一样、质量相等的A，B两个契形物块放置在水平桌面上。
2017年初中数学竞赛试题及答案
2017年初中数学竞赛试题（含答案）一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分)1、设N＝，其中a、b为相邻的两个整数，c＝a.b，则N( )(A) 必为偶数(B) 必为奇数(C) 必为无理数(D) 以上三种都可能2、等腰△ABC中，AB＝AC＝6，P为BC上一点，且PA＝4，则PB·PC的值等于( )(A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 253、若x－1＝2 (y＋1)＝3 (z＋2)，则x2＋y2＋z2可取得的最小值为( )(A) 6 (B) (C) (D)4、已知正方形ABCD的边长为2，E、F分别是AB，BC的中点，AF分别交DE，DB于G，H两点，则四边形BEGH的面积是( )(A)(B) (C) (D)15、如图所示，边长为12的正三角形ABC内接于圆，弦DE∥BC分别交AB，AC于F，G，若AF长x，DF长y都是正整数，则y的值为( )(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6二、填空题(共5小题，每小题6分，满分30分)6、己知方程x2－x－1＝0的根是方程x６－px２＋q＝0的根，则p＝________，q＝________.7、已知：如图所示，凸五边形ABCDE中，S△ABC＝S△BCD＝S△CDE＝S△DEA＝S△EAB＝1，则S五边形ABCDE＝__________.8、如图，把10个两两互不相等的正整数，a1a2…a10写成下列图表的形式，其中两个箭头所指的数等于这两个箭头始点两个数的和，例如表示a2＝a1＋a5，那么，满足该图表的a4的最小可能值为___________.9、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与一次函数y＝mx＋n的图象交点为(-1，2)，(2,5)，且二次函数的最小值为1，则这个二次函数的解析式为_________________________.10、将四十个自然数1，2……，40任意排成一排，总可以找到连续排列的八个数，它们的和不小于A，则A的最大值等于_____________.三、解答题(共4题，每小题15分，满分60分)11、已知正实数a、b、c满足方程组a＋b2＋2ac＝29b＋c2＋2ab＝18c＋a2＋2bc＝25求a＋b＋c的值12、设计一套邮票，设计要求如下：该套邮票由四种不同面值的邮票组成，面值数为正整数，并且对于连续整数1，2…，R中的任一面值数，都能够通过适当选取面值互相不同且不超过三枚的邮票实现。
2017年第10届全国中学数理化竞赛7年级数学答案(初赛)
第十届全国中学生数理化学科能力展示活动七年级数学答案一、选择题（每题6分，共48分）1. C.解析 由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；7月的平均温差约为10 ℃，而1月的平均温差约为5℃，故B 正确；3月和11月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，D 正确；故C 错误．2. D.解析 四人所知只有自己看到、老师所说及最后小明说的话．小明不知道自己的考场，则小红、小刚中必有一个在校内、一个在校外（若两个都在校内，小明会知道自己的考场；两个都在校外亦然）.小红看了小刚的考场，知道自己的考场。
小丽看小明，小明、小丽中也为一个校内，一个校外，小丽能知道自己的考场．3. B.解析 因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．4.B.解析 译：某个计算器，只有二个按键[+1]和[2⨯]，当你按下一个键后，计算器自动显示结果，例如，如果计算器最初显示9，当你按下[+1]，屏幕将显示为10；你再按下[2⨯]，显示为20.从最初显示1开始，如果你要得到200，那最少的按键次数为（ ）要得到最少次数，则20025222=÷÷÷，1222)111(25+⨯⨯⨯++=或1222)121(25+⨯⨯⨯+⨯=，均为6次，所以一共要用6+3=9次。
5.C ．6.D.解析 ①80＋60×2＝200<230，80＋80＝160<180，①符合；②64＋60×2＝184<230，100＋80＝180，②符合；③45×2＋60×2＝210<230，45×2＋80＝170<180，③符合；④餐桌长为60＋2×30＝120，120＋80＝200<230，60＋60×2＝180，④符合．所以四种规格的餐桌都符合要求．7.A.解析 由题意知，被截去部分纸环的个数为5n ＋3.8. A.解析 由前4行特点，归纳可得：若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，所以a nm ＝(m ，n －m ＋1)．二、填空题（每题8分，共32分） 9..23解析 23100log 1000log 1000log 1010100==10. 110．11. 1.23⨯101612.)0,2(解析 由()()()0,5q p,☉2,1=得，所以⎩⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒=+=-210252q p q p q p ()()()()()0,22-1⊕2,1q p,⊕2,1==，. 三解答题（共40分）13．（13分）解 设运输路程为S （km ），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为y 1(元)、y 2(元)、y 3(元). 则由题意,)2(,)(21S v m b y S v m a m v S aS y +=+=+=S vm c y 10(3+=,………3分 S vm b a y y ]2)[(21+-=-，由a >b ,各字母均为正值，所以y 1–y 2>0，即y 2<y 1. ………3分 由y 3–y 2=［(c –b )–v m 52］S .令y 3–y 2>0,由c >b 及每字母都是正值，得c >b +vm 52. ………3分 所以，当c >b +vm 52时y 2<y 3,由y 2<y 1即y 2最小，………2分 当b <a <c <b +v m 52时，y 3<y 2<y 1,y 3最小. ………2分14.（13分）解；，一个数是大于中至少有一个数是小于说明00,,a 0c b c b a =++;;;a ,0a c b b c a c b c b a -=+-=+-=+=++可知：由 ………3分 ;1c -a 00b 0a =-+--+-=cb b a xc 则＜，＜，＞若………3分 ;1c a 00b 0a -=-+--+-=cb b a xc 则＞，＜，＞若………3分 1±=x 综上所述：；时，当120172017119=+-=x x x ………2分 ………2分 ；时，当403320172017119=+--=x x x15.（14分）解 从A 城出发到达B 城的路线分成两类：1）经过O 城。
2017全国初中数学联赛初二卷及详解
2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-12.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.813.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.14.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.4605.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.C. D.6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7.=a的值为________.8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b是两个互质的正整数，且38abpa b=+为质数.则p的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c为有理数，求222a b ca b c++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以312b ca b+=+.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111x y z++=，∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过a ≤b ≤c 且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c ，即ab ≤6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组. 若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=52，不是整数舍去，共1个好数组. 共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c 满足a 2-6b-3c+9=0，-6a+b 2+c=0，则a 2+b 2+c 2的值为（ ）. A.424 B.430 C.441 D.460 答案：C 对应讲次： 所属知识点：方程思路：由已知等式消去c 整理后，通过a,b 是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b ≤6. 当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a ；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程. 因此，a=9，b=6，c=18，则a 2+b 2+c 2=441.5. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（ ）.C. D.答案：A 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE ∥DC ，AH ⊥BC ，则ADCE 是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB ，则△ABE 是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得AH =所以梯形ABCD 的面积为()114233⨯+⨯=.6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.A.56B.58C.60D.62 答案：B 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，∴EG=ED. 设DE=x ，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt △EAD 中，有422+(98-x)2=x 2，解得x=58. 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.=a 的值为________.答案：8 对应讲次： 所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得(321a =.令x ，则x ≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x 1=0, x 2=3, x 3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次： 所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C ，θ≤C-B ，θ≤B-A ∴θ≤16［3（100°-C ）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°.9. 设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.答案：7 对应讲次： 所属知识点：数论思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a+b 、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b 互质，所以a+b 、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=b=1，p=4，不是质数舍；381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次： 所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果A 2-B 2是完全平方数，求A 的值. 答案：65对应讲次： 所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a+b ，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b ≤9,a,b ∈N)，则B=10b+a ，由A,B 不同得a ≠b ，A 2-B 2=（10a+b ）2-(10b+a)2=9×11×（a+b ）(a-b).………5分由A 2-B 2是完全平方数，则a ＞b ，()()11|a b a b +-，可得a+b=11， ………10分 a-b 也是完全平方数，所以a-b=1或4.………15分若a-b=1，则a=6，b=5； 若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.………20分二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ，P 为AD 与EF 的交点.证明：EF=2PD. 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD ，则自然可以得到结论.解析：由DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，可得∠EDF=90°. ………5分 由BE ⊥DE 得BE ∥DF ，则∠EBD=∠FDC.………10分又BD=DC ，∠BED=∠DFC=90°，则△BED ≌△DFC ，BE=DF . ………15分 得四边形BDFE 是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP ，EP=PD. ………20分 又△EDF 是直角三角形，∴EF=2PD.………25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c 为有理数，求222a b c a b c ++++的最小值.答案：3 对应讲次： 所属知识点：数论思路：通过a,b,c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b c b c +--+-==--b 2=ac. …10分()()22222a c ba b c a c b a b c a c b+-++==+-++++.………15分不妨设a ＜c ，若a=1，c=b 2，因为a ≠b ，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分 若a ≥2，因为c ≠b ≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时.………25分。