中考数学轨迹问题精选
中考数学轨迹问题集锦
动点问题讲义1、如图1，已知线段 AB= 6, C D 是AB 上两点，且 AC = DB= 1, P 是线段CD 上一动点，在 AB 同侧 分别作等边三角形 APE 和等边三角形PBF G 为线段EF 的中点，点P 由点C 移动到点D 时，G 点移 动的路径长度为 .2、正△ ABC 的边长为3cm,边长为1cm 的正△ RPQ 的顶点R 与点A 重合，点P, Q 分别在AC, AB 上，将△ RPQ 沿着边AB BC, CA 逆时针连续翻转(如图所示)，直至点P 第一次回到原来位置，则点P 运动的路径长为3、如图，AB 为O O 的直径，AB=8,点C 为圆上任意一点，ODL AC 于D,当点C 在O 0上运动一周，点 D 运动 的路径长为 ______________4、如图，一块边长为 6cm 的等边三角形木板 ABC 在水平桌面上绕 C 点按顺时针方向旋转到厶 A B ' C'的 位置，则边AB 的中点D 运动的路径长是 ____________________5、如图所示，扇形 OAB 从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，/ 0=60°, OA=1.(1 )求O 点所运动的路径长；(2) O 点走过路径与直线 L 围成图形的面积.cm .(结果保留n)OA O图L图2C6、如图，0从0B,垂足为0, P、Q分别是射线OA 0B上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4则动点C运动形成的路径长是_______90°的扇形0AB的弧AB上有一运动的点P.从点P向半径0A引垂线PH交当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为.&如图，正方形ABC啲边长是2, M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止•连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交射线BC于点G连结EG FG(1 )设AE= x时，△ EGF的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2) P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长.9、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8.问题思考：如图1,点P为线段AB上的一个动点，分别以AP BP为边在同侧作正方形APDC BPEF(1)当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值.(2)分别连接AD DF、AF, AF交DP于点K,当点P运动时，在△ APK △ ADK △ DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展：(3)如图2,以AB为边作正方形ABCD动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8若点P从点A出发，沿A TB T O D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点0所经过的路径的长.(4)如图3，在“问题思考”中，若点M N是线段AB上的两点，且AM=BN=1点G H分别是边CD EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点0所经过的路径的长及0M+0的最小值.10、如图1,在Rt△ ABC中，/ C=90, AC=6 BC=8动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD// BC交AB于点D,连接PQ分别从点A C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t> 0).(1 )直接用含t的代数式分别表示：QB= ________ ,PD= ___(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.并探究如何改变Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；(3)如图2,在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长.A—S211、在直角坐标系中，0是坐标原点，点A坐标为（0, -1 ），点C是x轴上一个动点。
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实用文档【中考数学综合711、如图1,线段AB= 6, C D是AB上两点,且AC= DB= 1, P是线段CD上一动点,在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF G为线段EF的中点,点P由点C移动到点D时,G点移动的路径长度为.xA 4#…尸…A MCPQ ND图1 图22、正△ ABC的边长为3cm,边长为1cm的正△ RPQ勺顶点沿着边AB, BC, CA逆时针连续翻转〔如下图〕,直至点______ cm .〔结果保存兀〕3、如图,AB为..的直径,AB=8,点C为圆上任意一点, 的路径长为______________ R与点A重合,点巳Q分别在AC, AB上,将^ RPQ P第一次回到原来位置,那么点P运动的路径长为/⑶0 BODL AC于D,当点C在O O上运动一周,点D运动4、如图,一块边长为6cm的等边三角形木板ABC在水平桌面上绕位置,那么边AB的中点D运动的路径长是_________j B.AAR c〔c〕⑷5、如下图,扇形OABR图①无滑动旋转到图②,再由图②到图③,, 〔1〕求O点所运动的路径长；C点按顺时针方向旋转到△ A' B' C的4 O=60° , OA=1.〔2〕 O点走过路径与直线L围成图形的面积.标准文案0 A3, 0点C 运动形成的路径长是 90°的扇形OABW 弧AB 上有一运动的点 P.从点P 向半径OA 弓|垂线PH 交 当点P 在弧AB 上从点A 运动到点B 时,内心I 所经过的路径长为8.如图,正方形 ABCD 勺边长是2, M 是AD 的中点,点E 从点A 出发,沿AB 运动到点B 停止.连接EM 并延长交射线 CDT 点F,过M 作EF 的垂线交射线 BC 于点G 连结EG FG(1)设AE= x 时,△ EGF 勺面积为V ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围；(2) P 是MG 勺中点,请直接写出点 P 运动路线的长.6、如图, O4 OB,垂足为O, P 、Q 分别是射线OA OB 上两个动点,点 C 是线段PQ 的中点,且PQ=4那么动B7、如图,半径为2cm,圆心角为OA 于点H.设△ OPH 的内心为I ,9、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究, AB=8.问题思考：如图1,点P为线段AB上的一个动点,分别以AR BP为边在同侧作正方形APDC BPEF(1)当点P运动时,这两个正方形的面积之和是定值吗？假设是,请求出；假设不是,请求出这两个正方形面积之和的最小值.(2)分别连接AR DF、AF, AF交DP于点K,当点P运动时,在^ APK △ ADK 4DFK中,是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展:(3)如图2,以AB为边作正方形ABCD动点P、Q在正方形ABCD勺边上运动,且PQ=8假设点P从点A出发, 沿A- B-O D的线路,向点D运动,求点P从A到D的运动过程中,PQ的中点O所经过的路径的长.(4)如图3,在“问题思考〞中,假设点M N是线段AB上的两点,且AM=BN=1点G H分别是边CD EF的中点,请直接写出点P从M到N的运动过程中,GH的中点O所经过的路径的长及OM+O的最小值.Si肆图310、如图1,在Rt^ABC中,/ 0=90° , AC=6 BC=8动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD// BC交AB于点D,连接PQ分别从点A C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t >0).(1)直接用含t的代数式分别表示：QB=,PD=(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ^菱形？假设存在,求出t的值；假设不存在,说明理由.并探究如何改变Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQB某一时刻为菱形,求点Q的速度；(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ中点M所经过的路径长.11、在直角坐标系中, O是坐标原点,点A坐标为(0, -1 ),点C是x轴上一个动点.(1)如图1, 4AO*口△BCD^B是等边三角形,当点C在x轴上运动时,请探究点D的运动轨迹；(2)如图2, 4ABO和^ACD^B是等腰直角三角形,当点C在x轴上运动时,请探究点D的运动轨迹;(3)如图3,四边形OABE^正方形,请你画出正方形BCDF( BCDF根据逆时针顺序),并探究当点C 上运动时,点D的运动轨迹.12、如图,在直角坐标系中, A点坐标为(0, 6), B点坐标为(8, 0),点P沿射线BO以每秒2个单位的速度匀速运动,同时点Q从A到O以每秒1个单位的速度匀速运动,当点Q运动到点O时两点同时停止运动.(1)设P点运动时间为t秒,M为PQ的中点,请用t表示出M点的坐标为(2)设^ BPM勺面积为S,当t为何值时,S有最大值,最大值为多少？(3)请画出M点的运动路径,并说明理由;(4)假设以A为圆心,AQ为半径画圆,t为何值时.A与点M的运动路径只有一个交点?13、如图,抛物线y=ax2+bx+3过点A (1, 0), B (3, 0),与y轴相交于点C. (1)求抛物线的解析式；(2)假设点E为抛物线对称轴上的一点,请探索抛物线上是否存在点F,使以A, B, E, F为顶点的四边形为平行四边形？假设存在,请求出所有点F的坐标；假设不存在,请说明理由；J | ,(3)假设点P为线段OC上的动点,连接BP,过点C作CN垂直于直线BP,i : 1垂足为N,当点P从点O运动到点C时,求点N运动路径的长.14、如图,在直角坐标系中,点 A 的坐标是〔0.3〕,点C 是x 轴上的一个动点,点 C 在x 轴上移动时,始终 保持△ AC 幅等边三角形.当点 C 移动到点O 时,得到等边三角形 AOB 〔此时点P 与点B 重合〕.〔1〕点C 在移动的过程中,当等边三角形 ACP 的顶点P 在第三象限时〔如图〕,求证：△ AOC2△ ABFP 由此 你发现什么结论？〔2〕求点C 在x 轴上移动时,点 P 所在函数图象的解析式.15、如图,边长为4的等边三角形 AOB 勺顶点O 在坐标原点,点 A 在x 轴正半轴上,点 B 在第一象限.一动 点P 沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点 A 匀速运动,当点 P 到达点A 时停止运动,设点 P 运动的时间是t 秒.将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转 60.得点C,点C 随点P 的运动而运动,连接 CP CA 过点 P 作PDL O 时点D.,用含t 的代数式表示〕；〔2〕求点C 的坐标〔用含t 的代数式表示〕； 在点P 从O 向A 运动的过程中,△ PCAf 归否成为直角三角形？求 t 的值.假设不能,说理由; 填空：在点 P 从O 向A 运动的过程中,点 C 运动路线的长为 —. 16、等边三角形 ABC 勺边长为6,在AG BC 边上各取一点 E, F,连结AF, BE 相交于点P. (1)假设AE=CF ①求证：AF =BE 并求/ APB 勺度数.②假设AE=2,试求AP ,AF 的值.(1)(3)(4) 填空：PD 的长为(2)假设AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长.s F C17、如图,E, F是正方形ABCM边AD上两个动点,满足AE=DF连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.假设正方形的边长为2,那么线段DH长度的最小值是 .20、在平面直角坐标系中, O为原点,点A (- 2, 0),点B (0, 2),点E,点F分别为OA OB的中点.假设正方形OED嗓点O顺时针旋转,得正方形OE D' F',记旋转角为a .F(I)如图①,当“二90°时,求AE' , BF'的长；(II)如图②,当a =135°时,求证AE'=BF',且AE',BF';(出)假设直线AE'与直线BF'相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可)18、如图,矩形ABCD的边AB=3cn^ AD=4^ 点E从点A出发,沿射线AD移动,以CE为直径作.O,点F为.O与射线BD的公共点,连接EF、CF,过点E作EG!EF, EG与..相交于点G,连接CG(1) 试说明四边形EFC比矩形；(2) 当.O与射线BD相切时,点E停止移动.在点E移动的过程中,①矩形EFCG勺面积是否存在最大值或最小值？假设存在,求出这个最大值或最小值；假设不存在,说明理由；②求点G移动路线的长.19 .如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC勺两边OA OC分别在x轴、y轴的正半轴上,O44,OG= 2 .点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90.得点D,点D随点P的运动而运动,连接DR DA 标准文案实用文档(1)请用含t的代数式表示出点D的坐标；(2)求t为何值时,△ DPA勺面积最大,最大为多少？(3)在点P从O向A运动的过程中,△ DP厢归否成为直角三角形？假设能,求t的值；假设不能,请说明理由；(4)请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长20 .如图,直角坐标系中,点A (2, 4) , B (5, 0),动点P从B点出发沿BO向终点O运动, 动点Q从A点出发沿AB向终点B运动.两点同时出发,速度均为每秒1个单位,设从出发起运动了x秒.(1) Q点的坐标为( ) (用含x的代数式表示)；(2)当x为何值时,△ APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？(3)记PQ的中点为G请你直接写出点G随点P, Q运动所经过的路线的长度.21、问题探究：(1)请在图①的正方形ABCXJ,画出使/ APB=90的一个点,并说明理由.(2)请在图②的正方形ABCXJ (含边),画出使/ APB=60°的所有的点P,并说明理由.问题解决：(3)如图③,现在一块矩形钢板ABCD AB=4, BC=3工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的4APB和^CP D钢板,且/ APB=Z CP'D=60度.请你在图③中画出符合要求的点和, 并求出△ APB 22.：矩形纸片2BCD中,2B=26厘米,BC=18.5厘米,点E在2D上,且2E=6厘米,点P是2B 边上一动点.按如下操作：的面积(结果保存根号)步骤一,折叠纸片,使点P与点E重合,展开纸片得折痕MN〔如了1所示〕；步骤二,过点P作PT± AB,交MN^在的直线于点Q,连接QE 〔手图9所示〕〔1〕无论点P在AB边上任何位置,都有PQ QE 〔填“>〞、"="、“<〞号〕；〔2〕如图3所示,将纸片ABCD^在直角坐标系中,按上述步骤一、二进行操作：①当点P在A点时,P3与MN交于点55, Q点的坐标是〔 , 〕;②当PA=6厘米日PT与MN^于点r2, Q点的坐标是〔 , 〕;③当PA=d2厘米时,在图3中画出MN PT 〔不要求写画法〕,并求出MN与PT的交点Q的坐标；〔3〕点P在运动过程,PT与MN^成一系列着交点Q, Q, Q,…观察、猜测：众的的交点形成的图象是什么并直接写出该图象的函数表达式.C图1 图2 图3。
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动点问题讲义1 、如图 1 ，已知线段AB ＝ 6 ， C、 D 是 AB 上两点，且AC ＝ DB ＝ 1 ， P 是线段 CD 上一动点，在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF， G 为线段 EF 的中点，点P 由点 C 移动到点 D 时， G 点移动的路径长度为_______．2 、正△ABC 的边长为3cm ，边长为1cm 的正△RPQ 的顶点 R 与点 A 重合，点 P， Q 分别在 AC ，AB 上，将△RPQ 沿着边 AB ，BC，CA 逆时针连续翻转（如图所示），直至点P 第一次回到原来位置，则点P 运动的路径长为_______ cm．（结果保留π）3 、如图， AB 为⊙ O 的直径， AB=8 ，点 C 为圆上任意一点，OD ⊥ AC 于 D ，当点 C 在⊙ O 上运动一周，点D 运动的路径长为 _______4 、如图，一块边长为6cm 的等边三角形木板ABC ，在水平桌面上绕 C 点按顺时针方向旋转到△ A ′B′C′的位置，则边AB 的中点 D 运动的路径长是_______5 、如图所示，扇形OAB 从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60 °，OA=1 ．（1 ）求 O 点所运动的路径长；（2 ）O 点走过路径与直线 L 围成图形的面积．6 、如图， OA ⊥OB ，垂足为O ， P、 Q 分别是射线OA 、 OB 上两个动点，点 C 是线段 PQ 的中点，且PQ=4 ．则动点 C 运动形成的路径长是______7 、如图，半径为2cm ，圆心角为90 °的扇形 OAB 的弧 AB 上有一运动的点P．从点 P 向半径 OA 引垂线PH 交 OA 于点 H ．设△OPH 的内心为I，当点 P 在弧 AB 上从点 A 运动到点 B 时，内心 I 所经过的路径长为______ ．8 ．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点 B 停止．连接EM 并延长交射线CD于点，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结、．F EG FG（ 1 ）设AE＝x时，△EGF的面积为y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（ 2 ）P是MG的中点，请直接写出点P 运动路线的长．FFAM DA M DEEP PB C GB C G9 、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8 ．问题思考：如图 1，点 P 为线段 AB 上的一个动点，分别以AP 、BP 为边在同侧作正方形APDC 、 BPEF．（1）当点 P 运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接 AD 、 DF、 AF ，AF 交 DP 于点 K，当点 P 运动时，在△ APK 、△ADK 、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3 ）如图 2，以 AB 为边作正方形ABCD ，动点 P、 Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ=8 ．若点 P 从点A 出发，沿 A → B→ C→D 的线路，向点 D 运动，求点 P 从 A 到 D 的运动过程中， PQ 的中点 O 所经过的路径的长．（4）如图 3，在“问题思考”中，若点M 、 N 是线段 AB 上的两点，且 AM=BN=1 ，点 G、H 分别是边CD 、EF 的中点，请直接写出点P 从 M 到 N 的运动过程中， GH 的中点 O 所经过的路径的长及OM+OB的最小值．10 、如图 1 ，在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，AC=6 ， BC=8 ，动点 P 从点 A 开始沿边AC 向点 C 以 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边CB 向点 B 以每秒 2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB 于点 D，连接 PQ 分别从点 A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒（ t ≥0）．（1 ）直接用含 t 的代数式分别表示： QB=____ ,PD=____（2 ）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变 Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；（ 3 ）如图 2 ，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点 M 所经过的路径长．11 、在直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 坐标为（ 0 ， -1 ），点 C 是 x 轴上一个动点。
中考数学轨迹问题集锦
【中考数学综合7】1、如图1，线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE与等边三角形PBF，G为线段EF中点，点P由点C移动到点D时，G点移动路径长度为_______．2、正△ABC边长为3cm，边长为1cm正△RPQ顶点R与点A重合，点P，Q 分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA逆时针连续翻转〔如下图〕，直至点P第一次回到原来位置，那么点P运动路径长为_______ cm．〔结果保存π〕3、如图，AB为⊙O直径，AB=8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，当点C 在⊙O上运动一周，点D运动路径长为_______4、如图，一块边长为6cm等边三角形木板ABC，在水平桌面上绕C点按顺时针方向旋转到△A′B′C′位置，那么边AB中点D运动路径长是_______5、如下图，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．〔1〕求O点所运动路径长；〔2〕O点走过路径与直线L围成图形面积．6、如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，点C是线段PQ中点，且PQ=4．那么动点C运动形成路径长是______7、如图，半径为2cm，圆心角为90°扇形OAB弧AB上有一运动点P ．从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ．设△OPH 内心为I ，当点P 在弧AB 上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过路径长为______ ．8．如图，正方形ABCD 边长是2，M 是AD 中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停顿．连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 垂线交射线BC 于点G ，连结EG 、FG ．〔1〕设AE ＝x 时，△EGF 面积为y ，求y 关于x 函数关系式，并写出自变量x 取值范围；〔2〕P 是MG 中点，请直接写出点P 运动路线长．9问题思考： 如图1，点P 为线段AB APDC 、BPEF ． 〔1〕当点P 运动时，这两个正方形面积之与是定值吗？假设是，请求出；假设不是，请求出这两个正方形面积之与最小值．〔2〕分别连接AD 、DF 、AF ，AF 交DP 于点K ，当点P 运动时，在△APK 、△ADK 、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等三角形？请说明理由． 问题拓展：〔3〕如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 边上运动，且PQ=8．假设点P 从点A 出发，沿A →B →C →D 线路，向点D 运动，求点P 从A 到D 运动过程中，PQ 中点O 所经过路径长．C B G C B G〔4〕如图3，在“问题思考〞中，假设点M、N是线段AB上两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF中点，请直接写出点P从M到N运动过程中，GH中点O所经过路径长及OM+OB最小值．10、如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开场沿边AC向点C以1个单位长度速度运动，动点Q从点C开场沿边CB向点B以每秒2个单位长度速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停顿运动，设运动时间为t秒〔t≥0〕．〔1〕直接用含t代数式分别表示：QB=____ ,PD=____（2）是否存在t值，使四边形PDBQ为菱形？假设存在，求出t值；假设不存在，说明理由．并探究如何改变Q速度〔匀速运动〕，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q速度；〔3〕如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过路径长．11、在直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为〔0，-1〕，点C是x轴上一个动点。
中考数学轨迹专题练习(含解析)
．4D．专题一：轨迹1.如图，已知△ABC ，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，动点D 在边AC 上，以BD 为边作等边△BDE （点E 、A 在BD 的同侧），在点D从点A 移动至点C 的过程中，点E 移动的路线为（）A ．B ．22.如图，把直角△ABC 的斜边AC 放在直线l 上，按顺时针的方向在直线l 上转动两次，使它转到△A 2B 1C 2的位置，设AB ＝，∠BAC ＝30°，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线为（）A ．（+）πB ．（+）πC ．2πD ．π3.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝20°，AC ＝6，将△ABC 绕直角顶点C 按顺时针方向旋转得到△A ′B ′C ，当点B ′第一次落在AB 边上时，点A 经过的路径长（即的长）为（）A．B ．C ．2πD ．4.如图，Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝3，点D 是AB 上一点，以CD 为边作等边△CDE ，使A 、E 位于BC 异侧．当D 点从A 点运动到B 点，E 点运动的路径长为（）A ．3B ．2C ．3D ．35.如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝8，点C 在半圆上，OC ⊥AB ，垂足为点O ，PBC 上任意一点，过P 点作PE ⊥OC 于点E ，M 是△OPE的内心，连接OM 、PM ，当点P 在弧BC 上从点B 运动到点C 时，求内心M 所经过的路径长（）A ．B ．2C ．πD ．π6.如图，将边长为cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O 经过的路线长是（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π7.如图，在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别是（0，4），（0，﹣4），点C 是x 轴上一个动点，过点B 作直线BH ⊥AC 于点H ，过点C 作CD ∥y 轴，交BH 于点D ，点C 在x 轴上运动的过程中，点D 不可能经过的点是（）A ．（2，﹣3）B ．（1，﹣3）C ．（4，0）D ．（0，﹣4）8.如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝6cm ，将△ABC 绕着点B 顺时针旋转至△A ′BC ′的位置，且A 、B 、C ′三点在同一条直线上，则点C 经过的路线的长度是（）A ．12cm B ．C ．D ．9.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，AB ＝2，点E 是AB 边上的动点，过点B 作直线CE 的垂线，垂足为F ，当点E 从点A 运动到点B 时，点F 的运动路径长为（）A ．πB ．πC ．πD ．π10.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边AB 、BC 上，AE ＝BF ＝1，动点P 从点E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，经过若干次反弹，当动点P 第一次回到点E 时，动点P 所经过的路程长为（）A ．4B ．8C ．8D ．811.正方形ABCD 的边长为4，P 为BC 边上的动点，连接AP ，作PQ ⊥PA 交CD 边于点Q ．当点P 从B 运动到C 时，线段AQ 的中点M所经过的路径长（）A ．2B ．1C 12.如图，矩形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝12，将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A ．πB ．13πC ．πD ．14π13.如图，抛物线y ＝﹣x 2+x +4分别交x 轴于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，动点P 从D （0，2）出发，先到达x 轴上的某点E ，再到达抛物线对称轴上的某点F ，最后运动到点C ，求点P 运动的最短路径长为（）A ．B ．8C ．7D ．9C ．D ．14.如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（）15.如图，在▱ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝10，AD ＝6．⊙O 分别切边AB ，AD 于点E ，F ，且圆心O 恰好落在DE 上．现将⊙O 沿AB方向滚动到与边BC 相切（点O 在□AB CD 的内部），则圆心O 移动的路径长为（）A ．4B ．6C ．7﹣D ．10﹣216.如图，⊙O 的半径为2，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是⊙O 上任意一点，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥CD 于点N ，点Q 是MN 的中点，当点P 从点A 运动到点D 时，点Q 所经过的路径长为（）A ．B ．C ．D ．π17．如图，已知点A 是第一象限内横坐标为的一个，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y ＝﹣x 于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，以AP 为边向AP 右侧作等边三角形APB ，取线段AB 的中点H ，当点P 从点O 运动到点N 时，点H 运动的路径长是（）A ．2B ．1C ．D ．18．如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，BC ＝24，∠A ＝60°，点D 为弧BC 上一动点，CE 垂直直线OD 于点E ，当点D 由B 点沿弧BC 运动到点C 时，点E 经过的路径长为（）A ．8πB ．18C ．πD ．3620.如图，四边形ABCD 是正方形，动点E 、F 分别从D 、C 两点同时出发，以相同的速度分别在边DC 、CB 上移动，当点E 运动到点C 时都停止运动，DF 与AE 相交于点P ，若AD ＝8，则点P 运动的路径长为（）A ．8B ．4C ．4πD ．2π21.如图，矩形ABCD 的边AB ＝3cm ，AD ＝4cm ，点E 从点A 出发，沿射线AD 移动，以CE 为直径作⊙O ，点F 为⊙O 与射线BD 的公共点，连接EF ，过点E 作EG ⊥EF ，交⊙O 于点G ，当⊙O 与射线BD 相切时，点E 停止移动，则在运动过程中点G 移动路程的长为（）A ．4cmB ．cm C．cm D ．cm22.如图，水平地面上有一面积为30πcm 2的灰色扇形OAB ，其中OA ＝6cm ，且OA 垂直于地面，将这个扇形向右滚动（无滑动）至点B 刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O 移动的距离是（）A ．10πcm B ．20πcm C ．24πcm D ．30πcm23.如图，已知扇形AOB 中，OA ＝3，∠AOB ＝120°，C 是在上的动点．以BC 为边作正方形BCDE ，当点C 从点A 移动至点B 时，点D 经过的路径长是．25.如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC ＝DB ＝1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，（1）正方形AMNP 和正方形BRQP 的面积之和的最大值是；（2）E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为．26.如图，边长为20厘米的正方形木块在水平桌面上，距离C 点40厘米的E 处有一与水平方向成30°角的斜置木板，木板长度为1米．现将正方形木块水平向右无滑动翻滚，若使正方形木块AB 边完全落在木板上，则正方形的中心点O 经过的路径长为．27.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，点G 为边BC 的中点，点D 从点C 出发沿CA 向点A 运动，到点A 停止，以GD 为边作正方形DEFG ，则点E 运动的路程为．28.正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则点F 运动的路径长为．A ．B ．C ．1D ．229.如图，正方形ABCD 的边长为4，将长为4的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为．30.如图，⊙O 的半径为1，⊙O 沿着边长为4的正方形ABCD 的外边缘滚动一圈，则圆心O 的运动路径长为．31.已知正方形ABCD 的边长是2，点P 从点D 出发沿DB 向点B 运动，至点B 停止运动，连结AP ，过点B 作BH ⊥AP 于点H ，在点P 运动过程中，点H 所走过的路径长是．32.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是边AD 上一点，且ED ＝AD ，点F 在AB 上且从点B 向点A 运动，连接EF 并延长交CD的延长线于点G ，过点E 作EH ⊥FG ，交BC 的延长线于点H ，点O 是EH 的中点，则点O 的运动路径长为．33.如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 为BC 边上的动点，连接AP ，作PQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，连接AQ ，当点P 从B 点运动到C 点时，线段AQ 的中点所经过的路径长为．35.如图，正方形ABCD 边长为a ，正方形BEFG 边长为b ，A 、B 、E 在同一直线上，两个正方形在同侧，连AG 与DF 交于P ．（1）如a ＝2，b ＝1，则DF ＝；（2）如a ＝2，b 是一个变量，在b 的变化过程中，动点P 运动的路径为．36.如图是一个边长为4的正方形，长为4的线段PQ 的两端在正方形相邻的两边上滑动，且点P 沿A →B →C →D 滑动到点D 终止，在整个滑动过程中，PQ 的中点R 所经过的路线长为．37.如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝4，点C 在半圆上，OC ⊥AB ，垂足为点O ，P 为半圆上任意一点，过P 点作PE ⊥OC 于点E ，设△OPE 的内心为M ，连接OM 、PM ．当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，内心M 所经过的路径长为．38.如图，线段AB 上有C 、D 两点，AB ＝6，AC ＝BD ＝1，点P 是线段CD 上的一个动点，分别以PA 、PB 为斜边在线段AB 的同侧作等腰直角三角形MAP 和等腰直角三角形NBP ，连接MN ，当点P 从点C 运动到点D 的过程中，△PMN 的外接圆圆心经过的路程是．39.如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为．40.已知一个半圆形工件，未搬动前如图中阴影部分所示，其直径平行于地面l ，现将其按图示方法翻滚一周，使其直径依然平行于地面l ，已知半圆的直径为2m ，则圆心O 所终过的路线长是．参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2017•沭阳县校级模拟）如图，已知△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，动点D在边AC上，以BD为边作等边△BDE（点E、A在BD的同侧），在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线为（）A.B．2C．D．【分析】作EF⊥AB垂足为F，连接CF，由△EBF≌△DBC，推出点E在AB的垂直平分线上，在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，由此即可解决问题．【解答】解：如图，作EF⊥AB垂足为F，连接CF．∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵△EBD是等边三角形，∴BE＝BD，∠EBD＝60°，∴∠EBD＝∠ABC，∴∠EBF＝∠DBC，在△EBF和△DBC中，，∴△EBF≌△DBC，∴BF＝BC，EF＝CD，∵∠FBC＝60°，∴△BFC是等边三角形，∴CF＝BF＝BC，∵BC＝AB，∴BF＝AB，∴AF＝FB，∴点E在AB的垂直平分线上，∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线为2故选：B．【点评】本题考查轨迹、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，正确找到点E的运动路线，属于中考常考题型．2．（2018秋•辽源期末）如图，把直角△ABC的斜边AC放在直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B1C2的位置，设AB＝，∠BAC＝30°，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为（）A．（+）πB．（+）πC．2πD．π【分析】A点所经过的弧长有两段，①以C为圆心，CA长为半径，∠ACA1为圆心角的弧长；②以B1为圆心，AB长为半径，∠A1B1A2为圆心角的弧长．分别求出两段弧长，然后相加即可得到所求的结论．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，AC＝2；由分析知：点A经过的路程是由两段弧长所构成的：①A～A1段的弧长：L1＝＝，②A1～A2段的弧长：L2＝＝，∴点A所经过的路线为（+）π，故选：A．【点评】本题考查的是弧长的计算，30度角直角三角形的性质，旋转的性质，难点在于与动点知识相结合，但是只要将运动的过程分解清楚，就能顺利作答．3．（2017秋•温州期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝20°，AC＝6，将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，当点B′第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即的长）为（）A．B．C．2πD．【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝70°，根据旋转的性质得到BC＝B′C，根据等腰三角形的性质得到∠BB′C ＝∠B＝70°，求得∠ACA′＝40°，根据弧长的公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，∴∠B＝70°，∵将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，∴BC＝B′C，∴∠BB′C＝∠B＝70°，∴∠BCB′＝40°，∴∠ACA′＝40°，∴点A经过的路径长＝＝π，故选：B．【点评】本题考查了轨迹：符合一定条件的动点所形成的图形为点运动的轨迹．也考查了旋转的性质和弧长公式．4．（2018秋•江汉区校级月考）如图，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，点D是AB上一点，以CD为边作等边△CDE，使A、E位于BC异侧．当D点从A点运动到B点，E点运动的路径长为（）A．3B．2C．3D．3【分析】如图，作等边三角形△BCH，连接EH．由△DCB≌△ECH（SAS），推出BD＝EH，可得点E的运动轨迹＝线段AB的长＝3；【解答】解：如图，作等边三角形△BCH，连接EH．∵△CDE，△BCH都是等边三角形，∴∠DCE＝∠BCH，∴∠DCB＝∠ECH，∵CD＝CE，CB＝CH，∴△DCB≌△ECH（SAS），∴BD＝EH，∴点E的运动轨迹＝线段AB的长＝3，故选：A．【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹，属于中考常考题型．5．（2018秋•梁溪区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝8，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，PBC上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，M是△OPE的内心，连接OM、PM，当点P在弧BC上从点B运动到点C 时，求内心M所经过的路径长（）A．B．2C．πD．π【分析】首先证明∠CMO＝∠PMO＝135°，推出当点P在弧BC上从点B运动到点C时，点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的劣弧上（），利用弧长公式计算即可解决问题；【解答】解：∵△OPE的内心为M，∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°﹣（∠EOP+∠OPE），∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，∴∠PMO＝180°﹣（∠EOP+∠OPE）＝180°﹣（180°﹣90°）＝135°，∵OP＝OC，OM＝OM，而∠MOP＝∠MOC，∴△OPM≌△OCM，∴∠CMO＝∠PMO＝135°，所以当点P在弧BC上从点B运动到点C时，点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的劣弧上（），点M在扇形BOC内时，过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O在优弧CO取点D，连DA，DO，∵∠CMO＝135°，∴∠CDO＝180°﹣135°＝45°，∴∠CO′O＝90°，而OA＝2cm，∴O′O＝OC＝×4＝2，∴弧OMC的长＝＝π（cm），故选：D．【点评】本题考查了弧长的计算公式：l＝，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．6．（2018•红花岗区校级二模）如图，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O经过的路线长是（）A．2πB．3πC．4πD．5π【分析】根据题意，画出正方形ABCD“滚动”时中心O所经过的轨迹，然后根据弧长的计算公式求得中心O所经过的路程．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为cm，∴正方形的对角线长是2cm，翻动一次中心经过的路线的半径是以对角线的一半为半径，圆心角是90度的弧．则中心经过的路线长是：×6＝3πcm；故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算、正方形的性质以及旋转的性质．在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C＝2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l＝n°πR÷180°．7．（2017秋•长兴县期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（0，4），（0，﹣4），点C是x轴上一个动点，过点B作直线BH⊥AC于点H，过点C作CD∥y轴，交BH于点D，点C在x轴上运动的过程中，点D不可能经过的点是（）A．（2，﹣3）B．（1，﹣3）C．（4，0）D．（0，﹣4）【分析】利用特殊值法解决问题即可；【解答】解：当点C坐标为（2，0）时，直线AC的解析式为y＝﹣2x+4，直线BC的解析式为y＝x﹣4，∵CD∥y轴，∴D（2，﹣3），当点C的坐标为（4，0）时，点D与点C重合，D（4，0），当点C的坐标为（0，0）时，点D与点B重合中，D（0，﹣4），∴点D的坐标可以为（2，﹣3），（4，0）（0，﹣4），故选：B．【点评】本题考查轨迹、坐标与图形性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用特殊值法解决问题，属于中考常考题型．8．（2017秋•白云区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6cm，将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上，则点C经过的路线的长度是（）A．12cm B．C．D．【分析】由题意可得BC的长度，∠CBC'的度数，由弧长公式可求点C经过的路线的长度．【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6cm∴AC＝3，BC＝AC＝3∵将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上∴∠CBC'＝150°∴则点C经过的路线的长度为＝故选：C．【点评】本题考查了点的轨迹，旋转的性质，利用弧长公式求轨迹是本题的关键．9．（2018•港南区二模）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2，点E是AB边上的动点，过点B作直线C的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（）A．πB．πC．πD．π【分析】因为∠AFB＝90°，推出点F的运动轨迹是以BC为直径的，圆弧BM，求出圆心角∠BOM即可解决问题；【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OF．∵∠AFB＝90°，∴点F的运动轨迹是以BC为直径的，圆弧BM，当点E与A重合时，点F与AC中点M重合，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠BCM＝60°，∵OM＝OC＝OB＝1，∴△OMC是等边三角形，∴∠MOC＝60°，∴∠BOM＝120°，∴的长＝＝π．故选：B．【点评】本题考查轨迹、菱形的性质、弧长公式、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹，所以中考常考题型．10．（2018•梁溪区二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB、BC上，AE＝BF＝1，动点P从点E 出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，经过若干次反弹，当动点P第一次回到点E时，动点P所经过的路程长为（）A．4B．8C．8D．8【分析】根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数．再由勾股定理就可以求出小球经过的路径的总长度．【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得，第二次碰撞点为G，在DA上，且DG＝DA，第三次碰撞点为H，在DC上，且DH＝DC，第四次碰撞点为M，在CB上，且CM＝BC，第五次碰撞点为N，在DA上，且AN＝AD，第六次回到E点，AE＝AB．由勾股定理可以得出EF＝，FG＝，GH＝，HM＝，MN＝，NE＝，故小球经过的路程为：+++++＝8，故选：C．【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形的性质来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，由勾股定理来确定小球经过的路程，是一道数学物理学科综合试题，难度较大．11．（2018•江阴市二模）正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）A．2B．1C．4D．【分析】由题意知：PQ⊥AP，即：∠APB+∠QPC＝90°，∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B＝90°，所以∠QPC＝∠BAP，又∠B＝∠C，即：△ABP∽△PCQ，由相似三角形的性质可得：＝，CQ＝×BP，又BP＝x，PC＝BC﹣BP＝4﹣x，AB＝4，将其代入该式求出CQ的值即可，利用“配方法”求该函数的最大值．易知点M的运动轨迹是M→O→M，CQ最大时，OM＝CQ＝．【解答】解：如图，连接AC，设AC的中点为O′．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC＝90°∠APB+∠BAP＝90°∴∠BAP＝∠QPC∴△ABP∽△PCQ∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1（0＜x＜4）；∴当x＝2时，y有最大值1cm．易知点M的运动轨迹是M→O→M，CQ最大时，MO＝CQ＝，∴点M的运动轨迹的路径的长为2OM＝1，故选：B．【点评】本题主要考查正方形的性质、二次函数的应用、三角形的中位线定理等知识，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系，学会探究点M的运动轨迹．12．（2018•鱼台县三模）如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A．πB．13πC．πD．14π【分析】如答图所示，第一次旋转：以点D为旋转中心，旋转角＝∠ADA′＝90°，第二次旋转：以点C′为旋转中心，旋转角＝∠B′C′B″＝90°，然后依据扇形的弧长公式求解即可．【解答】解：如图所示：∵AB＝9，AD＝12，∴BD＝＝15．第一次旋转：以点D为旋转中心，旋转角＝∠ADA′＝90°，第二次旋转：以点C′为旋转中心，旋转角＝∠B′C′B″＝90°，点B在两次旋转过程中经过的路径的长＝+＝．故选：C．【点评】本题主要考查的是旋转的性质，扇形的弧长公式的应用，确定出旋转中心、旋转角的大小以及旋转半径的大小是解题的关键．13．（2018•兰州模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4分别交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，动点P从D（0，2）出发，先到达x轴上的某点E，再到达抛物线对称轴上的某点F，最后运动到点C，求点P运动的最短路径长为（）A．B．8C．7D．9【分析】根据两点之间线段最短和轴对称的性质来求解．可做C点关于直线x＝的对称点C′，做D点关于x轴的对称点D′，连接C′D′．那么E、F就是直线C′D′与x轴和抛物线对称轴的交点，求出长度即可．【解答】解：作C点关于直线x＝的对称点C′，做D点关于x轴的对称点D′，连接C′D′．则E、F就是直线C′D′与x轴和抛物线对称轴的交点，此时C'D'即为点P运动的最短路径长，则有C′（5，4），D′（0，﹣2）；故点P运动的最短路径长＝C'D'＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了轨迹，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，以及利用对称求最小值问题等知识，得出C′、D′点的坐标是解题关键．14．（2018•荆门）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC 于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A．B．C．1D．2【分析】连接OC，OM、CM，如图，利用斜边上的中线性质得到OM＝PQ，CM＝PQ，则OM＝CM，于是可判断点M在OC的垂直平分线上，则点M运动的轨迹为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．【解答】解：连接OC，OM、CM，如图，∵M为PQ的中点，∴OM＝PQ，CM＝PQ，∴OM＝CM，∴点M在OC的垂直平分线上，∴点M运动的轨迹为△ABC的中位线，∴点M所经过的路线长＝AB＝1．故选：C．【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．15．（2018•鹿城区模拟）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝10，AD＝6．⊙O分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O恰好落在DE上．现将⊙O沿AB方向滚动到与边BC相切（点O在□ABCD的内部），则圆心O移动的路径长为（）A．4B．6C．7﹣D．10﹣2【分析】图所示，⊙O滚过的路程即线段EN的长度．EN＝AB﹣AE﹣BN，所以只需求AE、BN的长度即可．分别根据AE和BN所在的直角三角形利用三角函数进行计算即可【解答】解：连接OE，OA、BO．∵AB，AD分别与⊙O相切于点E、F，∴OE⊥AB，OF⊥AD，∴∠OAE＝∠OAD＝30°，在Rt△ADE中，AD＝6，∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝3，∴OE＝AE＝∵AD∥BC，∠DAB＝60°，∴∠ABC＝120°．设当运动停止时，⊙O与BC，AB分别相切于点M，N，连接ON，OM．同理可得，∠BON为30°，且ON为，∴BN＝ON•tan30°＝1cm，EN＝AB﹣AE﹣BN＝10﹣3﹣1＝6．∴⊙O滚过的路程为6．故选：B．【点评】此题考查了切线的性质、平行四边形的性质及解直角三角形等知识点，关键时计算出AE和BN的长度．16．（2018•荆门二模）如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（）A．B．C．D．π【分析】OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ＝1，再由走过的角度代入弧长公式即可．【解答】解：如图所示：∵PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，∴四边形ONPM是矩形，又∵点Q为MN的中点，∴点Q为OP的中点，则OQ＝1，点Q走过的路径长＝＝．故选：C．【点评】本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点Q运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式．17．（2018•句容市一模）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB，取线段AB的中点H，当点P从点O 运动到点N时，点H运动的路径长是（）A．2B．1C．D．【分析】根据已知条件得到B1B2的运动轨迹也为直线，根据等边三角形的性质得到∠1＝∠3，根据全等三角形的性质得到B1B2＝ON，求得M（，0），N（，﹣），求得ON＝2＝B1B2，根据三角形的中位线的性质得到结论．【解答】解：由上图可知，当P在O点时，△AOB1为正三角形，当P在N点时，△ANB2为正三角形，H1，H2分别为AB1与AB2的中点，∵P在直线ON上运动，∠AB2N＝60°为定值，∴B1B2的运动轨迹也为直线，∵△OAB1为正三角形，∴∠OAB1＝∠1+∠2＝60°，同理∠NAB2＝∠2+∠3＝60°，∴∠1＝∠3，在△OAN与△B1AB2中，，∴△OAN≌△B1AB2，∴B1B2＝ON，∴点A横坐标为，∵AN⊥x轴，∴M（，0），∵直线ON的解析式为：y＝﹣x，∴∠MON＝45°，∴N（，﹣），∴ON＝2＝B1B2，∵H1，H2分别为AB1与AB2的中点，∴H1H2＝B1B2＝1，故选：B．【点评】本题考查了轨迹，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，正确的作出图形是解题的关键．18．（2018•惠山区一模）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC＝24，∠A＝60°，点D为弧BC上一动点，CE垂直直线OD于点E，当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为（）A．8πB．18C．πD．36【分析】如图，作OH⊥BC于H，设OC的中点为K．∴当E的运动轨迹是以OC为直径的园弧，圆心角为240°，根据弧长公式计算即可；【解答】解：如图，作OH⊥BC于H，设OC的中点为K．∵OH⊥BC，∴BH＝CH＝12，∵∠A＝60°，∴∠COH＝60°，∴∠OCH＝30°，∴OC＝＝8，∵∠CEO＝90°，∴当E的运动轨迹是以OC为直径的园弧，圆心角为240°，∴点E经过的路径长＝＝π，故选：C．【点评】本题考查三角形的外心与外接圆、轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹，属于中考常考题型．19．（2017秋•宜阳县期末）如图，☉O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是☉O上任意一点（点P 与点A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过90时，点Q走过的路径长为（）A．B．C．D．【分析】由于OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ＝1，再由走过的角度代入弧长公式求得点Q走过的路径长；【解答】解：如图连接OP．∵PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，∴四边形ONPM是矩形，又∵点Q为MN的中点，∴点Q也是OP的中点，则OQ＝1，点Q走过的路径长＝＝．故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算，矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点Q运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式．20．（2017秋•南宁期末）如图，四边形ABCD是正方形，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度分别在边DC、CB上移动，当点E运动到点C时都停止运动，DF与AE相交于点P，若AD＝8，则点P运动的路径长为（）A．8B．4C．4πD．2π【分析】如图，连接AC、BD交于点O．首先证明∠DPE＝∠APD＝90°，即可推出点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上的弧，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接AC、BD交于点O．∵DE＝CF，AD＝DC，∠ADE＝∠DCF，∴△ADE≌△DCF，∴∠DAE＝∠CDF，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CDF+∠DEP＝90°，∴∠DPE＝∠APD＝90°，∴点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上的弧，∴点P运动的路径长为•2π•4＝2π，故选：D．【点评】本题考查正方形的性质、弧长公式、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，判断出∠APD＝90°这个突破点，属于中考常考题型．21．（2018•宜兴市模拟）如图，矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作⊙O，点F为⊙O与射线BD的公共点，连接EF，过点E作EG⊥EF，交⊙O于点G，当⊙O与射线BD相切时，点E停止移动，则在运动过程中点G移动路程的长为（）A．4cm B．cm C．cm D．cm【分析】利用图1，证明点G的在射线BG上，∠CBG是定值，∠DBG＝90°，如图2中，当⊙O与BD相切时，F与B重合，由△BCG∽△BAD时，可得＝，列出方程即可解决问题．【解答】解：如图1中，连接CF、CG、FG．易知四边形EFCG是矩形，∴EF＝CG，∴＝，∴∠CBG＝∠ABD，∴点G的在射线BG上，∠CBG是定值，∠DBG＝90°如图2中，当⊙O与BD相切时，F与B重合，由△BCG∽△BAD时，可得＝，∴＝，∴BG＝cm，∴点G的运动路径的长为cm，故选：B．【点评】本题考查轨迹、矩形的性质和判定、切线的性质．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，探究运动轨迹是关键，属于中考选择题中的压轴题．22．（2017秋•苍溪县期末）如图，水平地面上有一面积为30πcm2的灰色扇形OAB，其中OA＝6cm，且OA垂直于地面，将这个扇形向右滚动（无滑动）至点B刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O移动的距离是（）A．10πcm B．20πcm C．24πcm D．30πcm【分析】根据题意可知点O移动的距离正好是灰色扇形的弧长，所以先根据扇形的面积求得扇形的圆心角的度数，再根据弧长公式求得弧长，即点O移动的距离．【解答】解：设扇形的圆心角为n度，则＝30π∴n＝300．。
中考数学轨迹问题集锦
【中考数学综合7】1、如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．2、正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ 沿着边AB，BC，CA逆时针连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来位置，则点P运动的路径长为_______ cm．（结果保留π）3、如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，当点C在⊙O上运动一周，点D运动的路径长为_______4、如图，一块边长为6cm的等边三角形木板ABC，在水平桌面上绕C点按顺时针方向旋转到△A′B′C′的位置，则边AB的中点D运动的路径长是_______5、如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．（1）求O点所运动的路径长；（2）O点走过路径与直线L围成图形的面积．6、如图，OA ⊥OB ，垂足为O ，P 、Q 分别是射线OA 、OB 上两个动点，点C 是线段PQ 的中点，且PQ=4．则动点C 运动形成的路径长是______7、如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上有一运动的点P ．从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ．设△OPH 的内心为I ，当点P 在弧AB 上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为______ ．8．如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连结EG 、FG ．（1）设AE ＝x 时，△EGF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）P 是MG 的中点，请直接写出点P运动路线的长．9、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．10、如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t ≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=____ ,PD=____（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．11、在直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为（0，-1），点C是x轴上一个动点。
中考数学压轴题轨迹问题
与路径有关的问题姓名1．如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，⊥x轴于点M，交直线﹣x于点N．若点P是线段上的一个动点，∠30°，⊥，则点P在线段上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径是．2.如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是．3．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y 轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF AE⊥于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．32πB．33π C．34πD．36πyxGFOEDCBA5．如图，正方形的边长是2，M 是的中点，点E 从点A 出发，沿运动到点B 停止．连接并延长交射线于点F ，过M 作的垂线交射线于点G ，连结、．（1）设＝x 时，△的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）P 是的中点，请直接写出点P 运动路线的长．6x上，＝4，＝2．点P 从点O A 匀速运动，当点P到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段的中点绕点P 按顺时针方向旋转90°得点D ，点D 随点P 的运动而运动，连接、．（1）请用含t 的代数式表示出点D 的坐标； （2）求t 为何值时，△的面积最大，最大为多少？（3）在点P 从O 向A 运动的过程中，△能否成为直角三角形？若能，求t 的值；若不能，请说明理由； （4）请直接写出随着点P 的运动，点D 运动路线的长.7.如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿向终点O运动，动点Q从A点出发沿向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了x秒．（1）Q点的坐标为( , )（用含x的代数式表示）；（2）当x为何值时，△是一个以为腰的等腰三角形？（3）记的中点为G．请你直接写出点G随点P，Q运动所经过的路线的长度．G G9.如图1，已知正方形的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是的中点．P(0，m)是线段上一个动点(点C除外)，直线交的延长线于点D．(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；(2)当△是等腰三角形时，求m的值；(3)设过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E，过点O作直线图1图2备用图1备用图2的垂线，垂足为H (如图2)．当点P 从原点O 向点C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路径长(不写解答过程)．10、问题探究：（1）请在图①的正方形内，画出使∠90°的一个点，并说明理由．（2）请在图②的正方形内（含边），画出使∠60°的所有的点P，并说明理由．问题解决：（3）如图③，现在一块矩形钢板，4，3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△和△′D钢板，且∠∠'60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△的面积（结果保留根号）．。
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运动轨迹
1、如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角
形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．
2、正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将
△RPQ沿着边AB，BC，CA逆时针连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来位置，则点P运动的路径
长为_______ cm．（结果保留π）
3、如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，
当点C在⊙O上运动一周，点D运动的路径长为_______
4、如图，一块边长为6cm的等边三角形木板ABC，在水平桌面上绕C点按顺
时针方向旋转到△A′B′C′的位置，则边AB的中点D运动的路径长是_______
5、如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．
（1）求O点所运动的路径长；
（2）O点走过路径与直线L围成图形的面积．
6、如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C运动形成的路径长是______
7、如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，心I所经过的路径长为______ ．
8、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．
问题思考：
如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．
（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．
（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．
问题拓展：
（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C →D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．
（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．
9、如图，抛物线y=ax2+bx+3过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E为抛物线对称轴上的一点，请探索抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P为线段OC上的动点，连接BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，求点N运动路径的长．
10、等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P.
的值.
（1）若AE=CF.①求证：AF=BE，并求∠APB的度数.②若AE=2，试求AP AF
（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.
11、如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作⊙O，点F为⊙O与射线BD 的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与⊙O相交于点G，连接CG．
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当⊙O与射线BD相切时，点E停止移动．在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长．。