福建省福州市八县一中高二数学上学期期末联考试题理

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2017-2018学年福建省福州市八县一中高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

无实数根，则 m≤0”
4．（5 分）设实数 x，y 满足约束条件
则 z＝2x+y 的最大值为（）
A．2
B．3
C．
D．6
5．（5 分）“m＝4”是“椭圆
焦距为 2”的（）
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5 分）在空间四边形 OABC 中，点 M 在线段 OA 上，且
（Ⅱ）已知两点 A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）在曲线 C 上，记
，
，若
，O 为坐标原点，试探求△OAB 的面积是否为定值？若是，求
出定值；若不是，请说明理由．
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2017-2018 学年福建省福州市八县一中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．【解答】解：抛物线的方程可变为 x2＝ y
心为 G，且满足 MG∥F1F2，则双曲线 C 的渐近线方程为（）
A．y＝±x
B．y＝±2x
C．
D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13．（5 分）命题“∃x∈R，x2+2ax﹣a≤0”是假命题，则实数 a 的取值范围为
．
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14．（5 分）已知双曲线
①DB1⊥面 ACD1； ②面 A1C1B∥面 ACD1；
③点 F 到面 ACD1 的距离为定值；
④线 AE 与面 BB1D1D 所成角的正弦值为定值．
三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

福建省八县一中高二数学上学期期末考试试题理

2015-2016学年度第一学期八县（市）一中期末联考高中二年数学（理）科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．命题：“若21x >，则1x <-或1x >”的逆否命题是（）A ．若21x >，则11x -≤≤B ．若11x -≤≤，则21x ≤ C ．若11x -<<，则21x < D ．若1x <-或1x >，则21x >2．双曲线2222154x y m m-=+-的焦距是（） A ．4 B.25 C. 6D.与m 有关3．以正方体1111ABCD ABC D -的顶点D 为坐标原点O ，如图建立空间直角坐标系，则与1DB u u u u r共线的向量的坐标可以是（）A ．()2,2,2-B ．()2,2,2--C ．()2,2,2-D ．()2,2,2---4．直线:220l x y -+=过椭圆左焦点F 1和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为（） A ．15 B ．25C ．55D ．2555．“点P 的轨迹方程为y x =”是“点P 到两条坐标轴距离相等”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件6．已知(0,0,0)O ，(2,1,1)A ，(1,1,1)B -，点(,1,3)P λ在平面OAB 内，则λ=（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩超过 2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p q ∨表示（） A ．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米 B ．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米 C ．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米 D ．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米8．双曲线221x y -=的两条渐近线与抛物线24y x =交于,,O A B 三点，O 为坐标原点，则AB 等于（）A ． 4B ．6C ．8D ．169．在空间直角坐标系O xyz -中，平面OAB 的法向量为()2,2,1n =-r,O 为坐标原点.已知()1,3,8P --，则P 到平面OAB 的距离等于（）A ．4B ．2C ．3D ．110．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF QF =u u u r u u u r，则QF =（）A ．34B ．32C ．3D ．611．如图，在正三棱柱ABC A B C '''-中，若2AA AB '=，则异面直线AB '与BC '所成角的余弦值为（） A ．0 B ． 38 C ．35 D ．71012．已知集合22(,)143x y D x y ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，有下面四个命题：221:(,),(1)3p x y D x y ∃∈-+≥ 222:(,),(1)1p x y D x y ∃∈-+< 223:(,),(1)4p x y D x y ∀∈-+< 224:(,),(1)2p x y D x y ∀∈-+≥ 其中的真命题是（）A ． 1,p 3pB ．1,p 4pC ．2,p 3pD ．2,p 4p二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．如图，在平行六面体1111ABCD ABC D -错误!未找到引用源。

福建省福州市八县一中2018-2019学年高二期末考《选修2-1》数学(理)答案

2018-2019学年上学期期末考高二数学（理科）试卷第 1页共4页2018---2019学年度第一学期八县（市）一中期末联考高中二年数学（理科）参考答案及评分参考一、选择题1． D 2． C 3． A 4． D 5． A 6． D 7． A 8． B 9． D 10． C 11． A 12． B 二、填空题13．-2 14．40≤≤a15. ±223 16．⎥⎦⎤ ⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡--13334,3223,13343 17．解：（I ）方程112222=--m y m x 可改写为112222=-+m y m x若命题p 为真命题，则0122>->m m ， 2分所以1-<m 或121<<m 4分（II ）若命题q 为真命题，则⎪⎩⎪⎨⎧>+>3550m m 5分∴10>m ，所以命题q 为真命题时10>m 6分q p ∨为真命题且p q∧为假命题∴假真q p 或真假q p ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≤<<-<101211m m m 或或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≤≤-101211m m m 或 9分∴1-<m 或121<<m 或10>m 10分18．解：（I ） a B c C b A 3)cos cos (sin 2=+∴由正弦定理得A B C C B A sin 3)cos sin cos (sin sin 2=+ 3分 ∴23)sin(=+C B 4分，即23sin =A 又),0(π∈A ，∴3π=A 或32π=A 6分(少一个扣1分) （II ）3π=A ，由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，即bc c b -+=2225∴bc c b 3)(252-+=， 8分，而ABC △的面积为235∴235sin 21=A bc ∴10=bc 10分553025)(2=+=+c b ∴55=+c b ∴ABC △的周长为5+55 12分 19．解：(1)233)1(1-=⨯-+=n n b n 2分2018-2019学年上学期期末考高二数学（理科）试卷第 2页共4页∴n a n -=1)2(log 2∴n na 21= 4分∴211=+n n a a (常数)，∴{}n a 是等比数列 6分(2)n nn c 21)23(⋅-= 7分n n n S )21()23()21(7)21(421132⨯-++⨯+⨯+⨯= 8分132)21()23()21()53()21(4)21(121+⨯-+⨯-++⨯+⨯=n n n n n S （1）-（2）得132)21()23()21(3)21(3)21(32121+⨯--⨯+⨯+⨯+=n n n n S 10分132)21()23(1))21()21()21(21(321+⨯---+++=∴n n n n S1)21()23(1211))21(1(21321+⨯-----⨯=∴n n n n S1)21()23(1)21(3321+⨯---⨯-=∴n n n n S n n n S )21()34(4⨯+-=∴ 12分20．解：（1）设抛物线C 的方程为)0(22>=p py x ， )2,0(p F3=AF 322=+∴p2=∴p 2分抛物线C 的方程为y x 42= 3分242⨯=m 22±=∴m)2,22(±∴A 5分（只有一个扣1分）（2）由于直线l 的斜率存在，所以可设直线l 的方程为1+=kx y 6分联立⎩⎨⎧=+=y x kx y 412消去y 得0442=--kx x 7分2018-2019学年上学期期末考高二数学（理科）试卷第 3页共4页1，设),(11y x M ，),(22y x N那么⎩⎨⎧-==+442121x x kx x 8分16)4(442222121-=⨯=∴x x y y 1= 9分12+=y NF ，11+=y MF ∴)1(3113112+++=+y y MF NF =343112++y y 10分0,021>>y y ∴34332343123112+=+⨯≥+y y MF NF ，当且仅当33,321==y y 时MF NF 31+取得最小值34332+ 12分（21））解：（Ⅰ）取AB 中点O ，由于底面ABC 与三角形1ABB 均为等边三角形，∴∴AB O B ⊥1，AB CO ⊥…………………………………………1分在三角形OC B 1中31==OC O B ,61=C B∴21221C B OC O B =+，∴0190=∠OC B ∴OC O B ⊥1………………3分又O OC AB =⋂∴ABC O B 平面⊥1,而111A ABB O B 平面⊂∴平面 ………………6分(通过二面角的平面角0190=∠OC B ，证明平面也可)（Ⅱ）由（Ⅰ）知两两垂直，取O 为原点，方向作为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.则，，，，，，，，，，∴ ． ··································································· 8分设平面1BCB 的法向量，由得令1z =，得．∴平面1BCB 的一个法向量为． ……………………9分 ∵ ，……………………………………………………………………………10分∴，….……………11分 ∴1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值为． ························································· 12分2018-2019学年上学期期末考高二数学（理科）试卷第 4页共4页（22）解：（I ）∵E 为线段PB 的垂直平分线上一点，∴EP EB = ∴4==+=+AP EA EP EA EB >2=AB 2分 ∴点E 的轨迹是以A,B 为焦点的椭圆，2a=4.c=1, ∴32=bE 的轨迹方程13422=+y x 4分（II ）由于直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，所以可设l 方程为1+=ty x 5分联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x ty x 消去x 得096)43(22=-++ty y t 6分，设),(11y x M ，),(22y x N 则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+439436221221t y y t t y y 7分令)0,(0x D ,若直线DM 与DN 的倾斜角互补，则0=+DN DM k k 8分0110111x ty y x x y k DM -+=-=,0220221x ty y x x y k DN -+=-= 9分∴+-+0111x ty y 01022=-+x ty y ∴0)1()1(012021=-++-+x ty y x ty y 10分即0))(1(221021=+-+y y x y ty ∴0)436)(1()439(2202=+--++-t tx t t∴0)624(0=+-x t ∴0不恒为t ∴40=x ，所以存在)0,4(D 使直线DM 与DN 的倾斜角互补 12分。

福建省八县一中高二上学期期末考试理科数学试卷

【最新】福建省八县一中高二上学期期末考试理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．命题：“，”的否定形式是（）A ．0x ∀≤，20x x ->B ．，C ．，D ．，2．抛物线:C 24x y =的焦点坐标为（） A.)1,0( B.)0,1( C.)161,0( D.)0,161( 3．若向量)1,0,1(-=→a ，向量),0,2(kb =→，且满足向量→a //→b ，则k 等于（） A.1 B.1- C.2 D.2-4．“21<<m ”是“方程13122=-+-my m x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．经过点P(2,−2)，且与双曲线x 22−y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是（）A ．B ．C ．D ．6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若，则（）A ．B ．C ．D ．7．中,，点在双曲线上，则=（）A ．B ．C ．D ．8．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CD 的中点，则→M A 1与→1DC 所成角的余弦值为（）A.62-B.62C. 1010-D.10109．已知抛物线:C )0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点P 作PM 垂直l 于M ，若060=∠PFM ,则PFM ∆的面积为（）A.2pB.23p C.22p D.232p10．已知命题“如果x ⊥y ，y ∥z ，则x ⊥z ”是假命题，那么字母x ，y ，z 在空间所表示的几何图形可能是( )A ．全是直线B ．全是平面C ．x ，z 是直线，y 是平面D ．x ，y 是平面，z 是直线 11．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有共同的焦点)0,(c -和)0)(0,(>c c ，且满足c 是a 与m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率为( ) A.33 B.22 C.41 D.21 12．在平面直角坐标系中，一条双曲线经过旋转或平移所产生的一系列双曲线都具有相同的离心率和焦距，称它们为一组“共性双曲线”；例如将等轴双曲线绕原点逆时针转动，就会得到它的一条“共性双曲线”；根据以上材料可推理得出双曲线的焦距为（） A ． B ． C ．D ．二、填空题13．命题“若，则是直角三角形”的否命题的真假性为___________ 14．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为____________ ． 15．已知是以为直角顶点的等腰直角三角形，其中,（）,则_____16．在平面直角坐标系中，已知其中,若直线上有且只有一点，使得，则称直线为“黄金直线”，点为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是_______________ ①当时，坐标平面内不存在黄金直线； ②当时，坐标平面内有无数条黄金直线； ③当时，黄金点的轨迹是个椭圆；④当时，坐标平面内有且只有一条黄金直线；三、解答题17．命题p ：a xx x >+>∀1,0 ；命题q ：012,0200≤+-∈∃ax x R x 。

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第一部分：预先梳理 1、本单元字词；《读本》最后四个名句。

2、复习《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》。

3、复习文言文《狼》。

第二部分：知识点梳理一、第六单元字词，抄写三遍，并在括号中给加点字注音。

和煦（）肺腑（）酬唱（）咫尺（）称职（）陛下（）爵士（）御聘（）纤细（）机杼（）顷刻（）干涸（）唾沫（）颤栗（）璧玉（）附和（）头衔（）滑稽（）缥缈（）（）骇人听闻：（）（使人听了非常吃惊。

）二、默写1、《天上的街市》 2、《读本》名句海内存知己，。

借问酒家何处有，。

沾衣欲湿杏花雨，。

有意栽花花不发，。

，天涯若比邻。

，牧童遥指杏花村。

，吹面不寒杨柳风。

，无心插柳柳成阴。

三、古诗赏析：《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》李白3.正面写诗人的愁绪，表达对友人的深切同情诗句是：。

第一句选取了杨花与子规两个意象，有什么作用？?5.第二用了什么手法，表达了诗人怎样的思想感情？ 6.作者为什么要把“愁心”寄与“明月”? 我寄愁心与明月，随直到夜郎西。

——杨花、子规，描绘了南国暮春的景象，烘托出一种悲伤哀愁的气氛，暗含漂泊之感（杨花漂泊不定）和离别之恨（子规悲哀的啼叫）。

5、第二把明月人格化，表达了诗人对朋友的思念与同情。

因为月照中天，千里可共，作者寄情于月，朋友见月如见作者。

选出对课文内容理解正确的一项A.文章主要告诉我们，对待狼一样的恶势力，我们先作让步，如果其得寸进尺，贪得无厌，就应该勇敢地进行斗争。

B.文章的基本情节依次是：遇狼——御狼——惧狼——杀狼。

C.“投以骨”和“复投之”表现了屠户对狼的怜悯和抱希望。

D.“狼不敢前，眈眈相向”和“一狼径去，其一犬坐于前”表现了狼的狡猾。

选出下列说法不正确的一项 A.《聊斋志异》是清代蒲松龄写的一部文言文短篇小说集，“志”是记的意思，“异”是指奇异的事，多为鬼狐的故事。

2021-2022学年福建省福州市八县(市)协作校高二上学期期末联考数学试题(解析版)

2021-2022学年福建省福州市八县（市）协作校高二上学期期末联考数学试题一、单选题1．设()ln f x x x =.若()02f x '=，则0x ＝（） A ．12B ．ln22C ．ln 2D ．e【答案】D【分析】由题可得()ln 1f x x ='+，将0x 代入解方程即可. 【详解】∵()ln f x x x =， ∴()ln 1f x x ='+, ∴()00ln 12f x x =+'=，解得0e x =. 故选：D.2．已知抛物线24x y =上一点M 与焦点间的距离是3，则点M 的纵坐标为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】利用抛物线的定义求解即可【详解】抛物线24x y =的焦点为(0,1)，准线方程为1y =-，因为抛物线24x y =上一点M 与焦点间的距离是3，所以13M y +=，得2M y =，即点M 的纵坐标为2，故选：B3．圆22680x y y +-+=与圆2280x y x +-=的位置关系为（） A ．内切 B ．相交C ．外切D ．外离【答案】C【分析】将圆的一般方程化为标准方程，根据圆心距和半径的关系，判断两圆的位置关系.【详解】圆22680x y y +-+=的标准方程为22(3)1x y +-= ，圆2280x y x +-=的标准方程为22(4)16x y -+=，两圆的圆心距为2243514+==+ ，即圆心距等于两圆半径之和，故两圆外切，故选：C.4．已知{n a }为等比数列.152,8==a a ，则3a ＝（） A ．—4 B ．4 C ．—4或4 D ．16【答案】B【分析】根据题意先求出公比，进而用等比数列通项公式求得答案.【详解】由题意，设公比为q ，则425142a q q a ==⇒=，则2314a a q ==. 故选：B.5．已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导函数()y f x '=的图象如图所示，则该函数的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即得.【详解】由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像自左至右是先减后增，可知函数y ＝f (x )图像的切线的斜率自左至右先减小后增大，且()00f '=，在0x =处的切线的斜率为0，故BCD 错误，A 正确. 故选：A.6．在正方体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M .设1,,AB a AD b AA c ===则下列向量与1B M 相等的向量是（） A ．1122a b c --- B ．1122a b c -++C ．1122a b c -+-D ．1122a b c +-【答案】C【分析】根据空间向量的运算法则，推出1B M 的向量表示，可得答案.【详解】11111111()()2222BM BB BA B B M C AA AB AD AA a b c =-=+-=-+-=-+-，故选：C.7．已知函数()()2f x x x c =-在2x =处有极小值，则c 的值为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．2或6【答案】A【分析】根据()20f '=求出c ，进而得到函数的单调性，然后根据极小值的定义判断答案.【详解】由题意，()()()()()2+23f x x c x x c x c x c '=--=--，则()()()2260f c c '=--=，所以2c =或6c =.若c =2，则()()()232f x x x '=--，2,3x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.函数()f x 在2x =处有极小值，满足题意；若c =6，则()()2320f x x '=-≥，函数()f x 在R 上单调递增，不合题意.综上：c =2. 故选：A.8．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，直线BF 与椭圆C 的另一个交点为D ，且2BF FD =，则C 的离心率为（）A B C ．3D 【答案】A【分析】设(),D m n ，根据2BF FD =得3,22c bm n =-=-，代入椭圆方程即可求得离心率. 【详解】设椭圆方程22222221,0,x y a b c a b a b+=>>=-，所以()()0,,,0B b F c -，设(),D m n ，2BF FD = 所以()(),2,c b m c n --=+，所以3,22c bm n =-=-， (),D m n 在椭圆上，所以22229144c b a b +=，221,3c e a ==3. 故选：A 二、多选题9．已知空间向量()()1,,2,2,1,2a k k b =+-=-，且a b ⊥，则（） A ．6k =- B ．6k =C ．3b =D ．9b =【答案】AC【分析】根据空间向量a b ⊥，可由0a b ⋅=，解得答案. 【详解】由a b ⊥可得：0a b ⋅=，即2(1)220k k -++-⨯= ，解得6k =- ，又，故选：AC.10．已知双曲线222(0)3x y m m -=≠，则不因m 的值改变而改变的是（）A ．焦距B ．离心率C ．顶点坐标D ．渐近线方程【答案】BD【分析】将双曲线方程整理为标准方程，写出焦距，离心率，顶点坐标和渐近线方程，即可得解.【详解】∵双曲线222(0)3x y m m -=≠，∴222213x y m m-=，22c m = 该双曲线焦距为：24m 222323m m =顶点坐标为)23,0m 和()203,m -，渐近线方程为y = 不因m 的值改变而改变的是离心率与渐近线方程. 故选：BD.11．已知数列{}n a ，{}n b 均为公差大于零的等差数列，则下列说法正确的有（） A ．数列{n n a b +}是递增数列 B ．数列{n n a b }是递增数列 C ．数列{}n n a b +是等差数列 D ．数列{}n n a b 不可能是等差数列【答案】ACD【分析】由题可设()111,0n a p n q p =+>，()2220n b p n q p =+>，利用等差数列的定义可判断ACD ，利用特例可判断B.【详解】∵数列{}n a ，{}n b 均为公差大于零的等差数列，∴可设()111,0n a p n q p =+>，()2220n b p n q p =+>，其中1122,,,p q p q 为常数， ∴()1212n n a b p p n q q +=+++， ∴()11120n n n n a b a b p p +++-+=+>，∴数列{}n n a b +是等差数列，且为递增数列，故AC 正确；设2,3n n a n b n =-=-，则1122332,0,0a b a b a b ===，数列{n n a b }不是递增数列，故B 错误；设()111,0n a p n q p =+>，()2220n b p n q p =+>，其中1122,,,p q p q 为常数，则()()()2112212122112n n a b p n q p n q p p n p q p q n q q =++=+++，∴()()()()2211121221121212211211n n n n a b a b p p n p q p q n q q p p n p q p q n q q ++⎡⎤-=+++++-+++⎣⎦()1212211p p n p q p q =+++，由题可知120p p >，故11n n n n a b a b ++-()1212211p p n p q p q =+++不可能为常数，故数列{}n n a b 不可能是等差数列，故D 正确. 故选：ACD.12．设函数f （x ）的定义域为R ，()000x x ≠是f （x ）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A ．()0,()x R f x f x ∀∈B ．0x -是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点【答案】BD【分析】根据极值的定义、极值的性质和图象变换逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对A. ()000x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点，故A 不正确；对B. ()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图象，故0x -应是()f x -的极大值点，故B 正确；对C. ()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图象，故0x 应是()f x -的极小值点，跟0x -没有关系，故C 不正确；对D. ()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对称，再关于x 轴的对称图象.故D 正确. 故选：BD. 三、填空题13．已知两平行直线1:340l x y -=与2:340l x y C -+=间的距离为3，则C 的值是________. 【答案】15±【分析】根据两条平行直线之间的距离公式即可得解.【详解】两平行直线1:340l x y -=与2:340l x y C -+=间的距离为3，3=，所以15C =± 故答案为：15±14．已知圆C 22:9x y +=，直线l ：y x b =+，若圆C 上恰有四个点到直线l 的距离都等于1.则b 的取值范围为___.【答案】b -<<【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】圆C ：22:9x y +=的半径为3，圆心坐标为：(0,0) 设圆心(0,0)到直线l ：y x b =+的距离为d ，要想圆C 上恰有四个点到直线l 的距离都等于1，只需31d <-，即()22211b<+-，所以2222b -<<. 故答案为：2222b -<<.15．已知函数()y f x =在R 上连续且可导，()1y f x =+为偶函数且()20f =，其导函数满足()()10x f x '->，则不等式()()131f x f x +>-的解集为___.【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由已知条件可得()y f x =的图象关于1x =对称，()y f x =在(1,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减，然后分四种情况讨论求解即可【详解】因为()1y f x =+为偶函数，所以()1y f x =+的图象关于y 轴对称，所以()y f x =的图象关于1x =对称，因为()()10x f x '->，所以当1x >时，'()0f x >，当1x <时，'()0f x <，所以()y f x =在(1,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减，由()()131f x f x +>-，得，或11311131x x x x +<⎧⎪-≤⎨⎪+<-⎩，或113111(1)311x x x x +<⎧⎪-≥⎨⎪-+>--⎩，或()()1131111131x x x x ⎧+≥⎪-<⎨⎪+->--⎩，解得213x ≤<，或x ∈∅，或x ∈∅，或1223x <<，综上，112x <<，所以等式的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭四、双空题16．如图，正方形ABCD 的边长为8，取正方形ABCD 各边的中点E ，F ，G ，H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点I ，J ，K ，L ，作第3个正方形IJKL . 依此方法一直继续下去.①从正方形ABCD 开始，第7个正方形的边长为___；②如果这个作图过程可以一直继续下去，那么作到第n 个正方形，这n 个正方形的面积之和为___. 【答案】 1 1128(1)2n ⋅-【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得2n n S a =，然后根据等比数列的通项公式及等比数列的前n 项和的公式即可求解.【详解】设第n 个正方形的边长为n a ，第n 个正方形的面积为2n n S a =，则第n 2n a ，所以第n +1个正方形的边长为12n n a +=， 12n n a a +∴∴数列{n a }是首项为18a =2的等比数列， 128()n n a -∴=⋅， ∴71728(1a -=⋅=，即第7个正方形的边长为1； ∴数列{n S }是首项为164S =，公比为12的等比数列，123164(1)12128(1)1212n n nS S S S -++++==⋅--∴故答案为：1；1128(1)2n ⋅-. 五、解答题17．已知等比数列{}n a 的首项116a =，公比116q =，在{}n a 中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{}n b .(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)记数列{}n b 前n 项的乘积为n T ，试问：n T 是否有最大值？如果是，请求出此时n 以及最大值；若不是，请说明理由.【答案】(1)52nn b -=(2)当4n =或5时，n T 有最大值1024.【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解即可；（2）求出数列{}n b 的前n 项的乘积为n T ，利用二次函数的性质求最值即可. (1)由已知得，数列{}n b 的首项116b =，52116116b a ==⨯= ，设数列{}n b 的公比为1q ，即()()44115111116b q b q b b === ∴112q =即()1151111622n n n n b b q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，(2) 435123222n n n T b b b b -=⋅⋅=⋅()43252n ++++-=()2219811194228222222n n n n n n ⎛⎫---+--+ ⎪⎝⎭===，即当4n =或5时，有最大值2198142282⎛⎫--+ ⎪⎝⎭10=21024=.18．给定函数()e x f x x =.(1)判断函数f （x ）的单调性，并求出f （x ）的极值；(2)画出函数f （x ）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）； (3)求出方程()()R f x a a =∈的解的个数.【答案】(1)函数的减区间为(),1-∞-，增区间为()1,-+∞，有极小值1e --，无极大值； (2)具体见解析； (3)具体见解析.【分析】（1）对函数求导，进而求出单调区间和极值；（2）结合（1），并代入几个特殊点，再结合函数的变化趋势作出图象；（3）结合（2），采用数形结合的方法求得答案. (1)()R,()1e x x f x x '∈=+，(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，故函数在x =-1处取得极小值为()11e f --=-，无极大值.(2)作图说明：由（1）可知函数先减后增，有极小值；描出极小值点，原点和点（1，e ）；当x →+∞时，函数增加得越来越快，当x →-∞时，函数越来越接近于0. (3)结合图象可知，若1e a -<-，则方程()()R f x a a =∈有0个解；若1e 0a --<<，则方程()()R f x a a =∈有2个解；若1e a -=-或0a ≥，则方程()()R f x a a =∈有1个解.19．如图，在四棱锥S －ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是梯形，其中1//,,2AD BC AD BC AD AB =⊥，且1,2AD SA AB ===.(1)求四棱锥S －ABCD 的侧面积；(2)求平面SCD 与平面SAB 的夹角的余弦值.【答案】(1)3226++ (2)6 【分析】（1）根据垂直关系依次求解每个侧面三角形边长和面积即可得解；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.(1)由题可得：//,AD BC AD AB ⊥，则BC AB ⊥，SA ⊥底面ABCD ，所以SA AB ⊥，SA ⊂平面SAB ，平面SAB ⊥底面ABCD ，交线AB ，所以BC ⊥平面SAB ，BC ⊥BS ，2,22,23,5,5SA AB SB SC SD CD ======，所以四棱锥的侧面积SAD SAB SBC SCD S S S S S =+++122222223222⨯⨯⨯⨯=+++ 3226=++(2)以A 为原点，建立空间直角坐标系如图所示：()()()0,0,2,1,0,0,2,2,0S D C()()1,2,0,1,0,2DC DS ==-设平面SCD 的法向量(),,n a b c =，2020DC n a b DS n a c ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，取1,2,1b a c ==-=- 所以()2,1,1n =--取()1,0,0AD =为平面SAB 的的法向量cos ,AD n ==所以平面SCD 与平面SAB . 20．已知抛物线C ：22(0)y px p =>焦点F 的横坐标等于椭圆2211615x y +=的离心率. (1)求抛物线C 的方程；(2)过(1，0)作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，判断原点与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】(1)2y x =；(2)原点在以线段AB 为直径的圆上，详见解析.【分析】（1）利用椭圆方程可得其离心率，进而可求抛物线的焦点，即求；（2）设直线l 的方程为1x my =+，联立抛物线方程，利用韦达定理法可得OA OB ⊥，即得.(1)由椭圆2211615x y +=，可得 14e =，故1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴抛物线C 的方程为2y x =.(2)由题可设直线l 的方程为1x my =+，由21x my y x=+⎧⎨=⎩，得210y my --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()212Δ401m y y ⎧=-+>⎪⎨=-⎪⎩，又221122,y x y x ==，故2212121x x y y ==，∴1212110OA OB x x y y ⋅=+=-+=，∴OA OB ⊥，即OA OB ⊥，故原点在以线段AB 为直径的圆上.21．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，0n a ≠，且11a =，1n n n S a a λ+=，其中λ为常数.(1)求证：数列{}2n n a a +-为等差数列；(2)是否存在λ，使得{}n a 是等差数列？并说明理由.【答案】(1)详见解析；(2)存在2λ=时{}n a 是等差数列，详见解析.【分析】（1）利用n S 与n a 的关系可得()112n n n n a a a a λ+++-=，再结合条件即证；（2）由题可得2a λ=，31a λ=+，若{}n a 是等差数列，可得2λ=，进而可求数列的通项公式，即证.(1)∵1n n n S a a λ+=，∴112n n n S a a λ+++=，∴()()1112n n n n n n S S a a a a λλ++++=-=-，又0n a ≠，∴2n n a a λ+-=，∴()()3120n n n n a a a a +++---=，∴数列{}2n n a a +-为等差数列；(2)∵11a =，1n n n S a a λ+=，∴2a λ=，又2n n a a λ+-=，∴31a λ=+，若{}n a 是等差数列，则1322a a a +=，即121λλ++=，解得2λ=，当2λ=时，由22n n a a λ+-==，∴数列{}n a 的奇数项构成的数列为首项为1，公差为2的等差数列，∴2121m a m -=-，即n a n =，n 为奇数，∴数列{}n a 的偶数项构成的数列为首项为2，公差为2的等差数列，∴22m a m =，即n a n =，n 为偶数，综上可得，当2λ=时，n a n =，11n n a a +-=，故存在2λ=时，使数列{}n a 是等差数列.22．设曲线()ln f x a x b =+在点（1，0）处的切线方程为10x y --=.(1)求a ，b 的值；(2)求证：()11f x x≥-； (3)当()()0,11x f x f x ax ≥+--≥，求a 的取值范围.【答案】(1)1,0a b ==(2)证明见解析(3)2a ≤【分析】（1）求导，根据导数的几何意义，令x =1处的切线的斜率等1，结合(1)0f =，即可求得a 和b 的值；（2）利用（1）的结论，构造函数，求求导数，判断单调性，求出最小值即可证明；（3）根据条件构造函数()ln(1)ln(1)g x x x ax =+---，求出其导数，分类讨论导数的值的情况，根据单调性，判断函数()ln(1)ln(1)g x x x ax =+---的最小值情况，即可求得答案.(1)由题意知：(),(0)a f x x x'=>，因为曲线()ln f x a x b =+在点（1，0）处的切线方程为10x y --=，故(1)1,(1)0f a f b '==== ，即1,0a b == ；(2)证明：由（1）知：()ln f x x =，令11()()1ln 1g x f x x x x=+-=+- ，则22111()x g x x x x-'=-=，当01x <<时，()0g x '< ，()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '> ，()g x 单调递增，所以当1x = 时，()g x 取得极小值，也即最小值，最小值为min ()(1)0g x g == ，故()0g x ≥ ，即()11f x x≥-成立； (3)当()()0,11x f x f x ax ≥+--≥，即ln(1)ln(1)0x x ax +---≥ ，（01x ≤< ），设()ln(1)ln(1)g x x x ax =+---，（01x ≤<），则2211(2)()111ax a g x a x x x --'=+-=+--，当0a <时，由()220ax a --= 得2211x a=-> ，此时()0g x '>，此时()ln(1)ln(1)g x x x ax =+---在01x ≤<时单调递增，()(0)0g x g ≥= ，适合题意；当0a =时，()0g x '>，此时()ln(1)ln(1)g x x x ax =+---在01x ≤<时单调递增，()(0)0g x g ≥= ，适合题意；当02a <≤时， ()220ax a -->，此时()0g x '≥，此时()ln(1)ln(1)g x x x ax =+---在01x ≤<时单调递增，()(0)0g x g ≥= ，适合题意；当2a >时，22011x a<=-< ，此时在内，()0g x '<，在内，()0g x '>，故min 2()ln g x g a ==-，显然2a >时，min 2()ln 0g x g a ==-<，不满足当()()0,11x f x f x ax ≥+--≥恒成立，综上述：2a ≤.。

福建省福州市2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题(答案版)

福州市八县（市）协作校2022-2023学年第一学期期末联考高二数学试卷【完卷时间：120分钟：满分150分】命题：福建师范大学附属福清德旺中学吴国宁林希雅一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过点()1,3-且平行于直线230x y -+=的直线方程为（）A .270x y -+= B.210x y +-= C.250x y --= D.250x y +-=【答案】A 【解析】【分析】首先根据平行关系设直线方程()203x y c c -+=≠，再代入点的坐标，求直线方程.【详解】设与直线230x y -+=平行的直线是()203x y c c -+=≠，代入点()13-，得160c --+=，得7c =，所以直线方程是270x y -+=.故选：A2.若圆221:430C x y x +-+=与圆222:(2)(3)C x y m +++=有且仅有一条公切线，则m =（）A.16B.25C.36D.16或36【答案】C 【解析】【分析】将圆化成标准方程，求出圆心和半径，由题可判断两圆内切，结合圆心距等于半径差可求m .【详解】根据题意，圆221:430C x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，其圆心为(2,0)，半径为1，圆222:(2)(3)C x y m +++=，圆心为(2,3)--，半径为，两圆的圆心距5d =，若两圆有且仅有一条公切线，则两圆内切，则有1|5-=，又由0m >，解可得36m =，故选：C ．3.已知点A (m ,n )在椭圆22142x y +=上，则222m n +的最大值是.（）A.6B.8C.3D.2【答案】B 【解析】【分析】由已知条件得出2242m n =-，利用椭圆的有界性得出202n ≤≤，由此可求得222m n +的取值范围，即可得解.【详解】由题意可得22142m n +=，则2242m n =-，故222283m n n +=-．因为n ≤≤，所以202n ≤≤，所以22838n ≤-≤，即22228m n ≤≤+．因此，22m n +的最大值8.故选：B.4.已知()0,4A ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线左支上一点，则2||PA PF +的最小值为（）A.5 B.7C.9D.11【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理2PA PF +，利用三角形三边关系，可得答案.【详解】由双曲线22145x y -=，则224,5a b ==，即2229c a b =+=，且()()12,,,0330F F -，由题意，212PF PF a-=2112249PA PF PA a PF AF a +=++≥+==，当且仅当1,,A P F 共线时，等号成立.故选：C.5.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（）A.该人第五天走的路程为14里B.该人第三天走的路程为42里C.该人前三天共走的路程为330里D.该人最后三天共走的路程为42里【答案】D 【解析】【分析】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为12q =的等比数列{}n a ,由题意求出首项，可得其通项公式，即可求出35,a a ，判断A,B;求出363,S S S -可判断C,D.【详解】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为12q =的等比数列{}n a ，设数列前n 项和为n S ，则6378S =，故1661(1)2378112a S -==-，解得1192a =，则111922n n a -=⨯，故541192122a =⨯=，该人第五天走的路程为12里，A 错误；321192482a =⨯=，该人第三天走的路程为48里，B 错误；331192(1)2336112S -==-，该人前三天共走的路程为336里，C 错误；由6337833642S S -=-=（里），可知该人最后三天共走的路程为42里，D 正确，故选：D6.已知两个等差数列{n a }和n b }的前n 项和分别为n S 和n T ，且231n n S n T n +=+，则56a b 的值为（）A.74B.136C.157D.2【答案】A 【解析】【分析】由题，可设()23n S kn n =+，()1n T kn n =+，则554665a S Sb T T -=-.【详解】因等差数列前n 项和为关于n 的不含常数项的二次函数，又231n n S n T n +=+，则可设()23n S kn n =+，()1n T kn n =+，则55466565442174230124a S S k k kb T T k k k --====--.故选：A7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若A 为线段1BF 的中点，且12BF BF ⊥，则C 的离心率为（）A.B.2C.1D.3【答案】B 【解析】【分析】由题意可得12BF F △为直角三角形，再结合A 为线段1BF 的中点，可得AO 垂直平分1BF ，可表示出直线12BF BF ，，再联立渐近线方程可以得到a ，b ，c 的关系，进而得到双曲线离心率【详解】由题意可知，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，A 为线段1BF 的中点，当交点在x 轴上方或x轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图.根据双曲线可得，1(,0)F c -，2(,0)F c ，两条渐近线方程by x a=±， 12BF BF ⊥，O 为12F F 的中点，∴12BO OF OF c ===，又 A 为线段BF 1的中点，∴OA 垂直平分1BF ，可设直线1BF 为()ay x c b =+①，直线2BF 为()b y x c a=--②，直线BO 为b y x a =③，由②③得，交点坐标(,)22c bc B a ，点B 还在直线1BF 上，∴()22bc a cc a b =+，可得223b a =，22224c a b a =+=，所以双曲线C 的离心率2ce a==，故选：B8.曲线C x =：上存在两点A ，B 到直线1y =-距离等于到()0,1F 的距离，则AF BF +=（）A.12B.13C.14D.15【答案】C 【解析】【分析】由题可知A ，B 为半圆C 与抛物线24x y =的交点，利用韦达定理及抛物线的定义即求.【详解】由曲线:C x =2216150x y y +-+=，即()22849,0x y x +-=≥，为圆心为()0,8C ，半径为7的半圆，又直线1y =-为抛物线24x y =的准线，点()0,1F 为抛物线24x y =的焦点，依题意可知A ，B 为半圆C 与抛物线22x y =的交点，由()222849,04x y x x y⎧+-=≥⎪⎨=⎪⎩，得212150y y -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2124115840∆=--⨯⨯=>，1212y y +=，∴121114AF BF y y +=+++=.故选:C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，,E F 分别为棱1,AB CC 的中点，则（）A.直线1AD 与直线EF 共面B.1A E AF⊥C.直线1A E 与直线BF 的所成角为60︒ D.三棱锥1C ADF -的体积为112【答案】BD 【解析】【分析】如图，以D 为原点，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，对于A ，利用面面平行性质结合平行公理分析判断，对于B ，通过计算1A E AF ⋅进行判断，对于C ，利用向量的夹角公式求解，对于D ，利用11C ADF A C DF V V --=求解.【详解】如图，以D 为原点，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)D A B C ，1111(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)D A B C ，111,,0,0,1,22E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ，假设直线1AD 与直线EF 共面，因为平面11ABB A ∥平面11DCC D ，平面1AEFD 平面11ABB A AE =，平面11DCC D 平面111ABB A D F =，所以AE ∥1D F ，因为AE ∥11C D ，所以11C D ∥1D F ，矛盾，所以直线1AD 与直线EF 不共面，所以A 错误；对于B ，因为11101,1,1,22A E AF ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，所以1110022A E AF ⋅=+-= ，所以1A E AF ⊥ ，所以1A E AF ⊥，所以B 正确，对于C ，设直线1A E 与直线BF 的所成角为θ，因为11101,1,0,22A E BF ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，，所以1111212cos cos ,52A E BF A E BF A E BFθ⋅===≠，所以60θ≠︒，所以C 错误，对于D ，因为AD ⊥平面11DCC D ，所以1111111111332212C ADF A C DF C DF V V S AD --==⋅=⨯⨯⨯⨯= ，所以D 正确，故选：BD.10.已知椭圆22142x y +=的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于12PF F △的说法正确的有（）A.12PF F △的周长为4+B.当1290PF F ∠=︒时，12PF F △的边12PF = C.当1260F PF ∠=︒时，12PF F △的面积为233D.椭圆上有且仅有6个点P ，使得12PF F △为直角三角形【答案】ACD 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求得2,a c ==124PF PF +=，12F F =1290PF F ∠=︒，可求得11PF =；根据余弦定理可求得1283PF PF ⋅=，进而求得面积；根据12PF F △为直角三角形分情况求得满足题意的点P 的个数即可．【详解】解：由22142x y +=易得2,a c ==∴12PF F △的周长为4+，故A 对；令x =1y =±，11PF ∴=，故B 错；设1122,PF r PF r ==，由余弦定理得(22212122cos 60r r r r =+-︒，()2121238r r r r ∴+-=，1283r r ∴=，∴121823sin 60233PF F S =⨯⋅︒=△，故C 对；当1290PF F ∠=︒，由选项B 的分析知满足题意的点P 有2个；同理当2190PF F ∠=︒，满足的点P 也有2个；当2190F PF ∠=︒，有12221248r r r r +=⎧⎨+=⎩，解得12r =，所以满足题意的点P 为椭圆的上下两顶点，综上满足的点P 共6个，故D 对．故选：ACD ．11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，L .该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n F 称为斐波那契数列，现将{}n F 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n M ，则下列结论中正确的是（）A.20221M =B.()*62646521,n n n M M M n n ---=+≥∈N C.2222123202*********F F F F F F ++++= D.123202120221F F F F F ++++=- 【答案】BC 【解析】【分析】写出{}n M 的前几项，通过观察可得数列的周期，进而结合数列{}n F 的性质以及{}n M 的定义，可判断A 、B 项；因为2112F F F =，可推得()2221212221223F F F F F F F F F F ++===+，逐项代入即可得到C 项；由21n n n F F F ++=+，可得21n n n F F F ++=-，逐项代入即可得到12320212023220231F F F F F F F =++++-=- ，从而得到D 项错误.【详解】因为11M =，21M =，32M =，43M =，51M =，60M =，根据数列{}n F 的性质以及{}n M 的定义可得，71M =，81M =，92M =，103M =，111M =，120M =.同理可推得，当*k ∈N 时，有651k M -=，641k M -=，632k M -=，623k M -=，611k M -=，60k M =，所以{}n M 是以6为周期的周期数列，所以2022633760M M M ⨯===，所以A 项错误；由周期性可知623n M -=，641n M -=，652212n M -=⨯=，故B 正确；因为2112F F F =，可推得()2221212221223F F F F F F F F F F ++===+，逐项代入，可得2222222123202112232021F F F F F F F F F ++++=++++ ()2221232021F F F F F =++++ 222332021F F F F =+++= ()20212020202120212022F F F F F =+=，所以C 正确；因为1232021F F F F ++++ ()()()()()()324354202120202022202120232022F F F F F F F F F F F F =-+-+-++-+-+- 2023220231F F F =-=-，所以D 错误.故选：BC ．12.抛物线的光学性质为：从焦点F 发出的光线经过抛物线上的点P 反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，且法线垂直于抛物线在点P 处的切线．已知抛物线()220y px p =>上任意一点()00,P x y 处的切线为()00y y p x x =+，直线l 交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y ，抛物线在A ，B 两点处的切线相交于点Q ．下列说法正确的是（）A.直线l 方程为()121220px y y y y y -+-=B.记弦AB 中点为M ，则QM 平行x 轴或与x 轴重合C.切线QA 与y 轴的交点恰在以FQ 为直径的圆上D.AFQ QFB ∠=∠【答案】BCD 【解析】【分析】设l 为x my b =+，与抛物线联立，根据韦达定理用12,y y 表示出,m b ，即可判断A 项；根据已知可推出()11,A x y ，()22,B x y 是一元二次方程()Q Q yy p x x =+的两组解，又直线l 方程为()121220px y y y y y -++=，两式比较可得122Q M y y y y +==，122Q y y x b p ==-，即可判断B 项；通过求出C 、D 点坐标，推导FC QA ⊥以及FD QB ⊥，即可判断C 项；根据抛物线的光学性质，结合已知条件，可推出AFQ △∽QFB △，进而推得AFQ QFB ∠=∠.【详解】设l 为x my b =+，0b >，与抛物线联立得2220y pmy pb --=，必有0∆>，122y y pm +=，122y y pb =-，∴122y y m p +=，122y y b p=-，代回l 方程整理得：()121220px y y y y y -++=，A 项错误；由已知，抛物线在A 点处的切线切线QA l ：()11y y p x x =+，在B 两点处的切线()22:QB y y p x x l =+，设点(),Q Q Q x y ，则满足方程组()()1122Q Q Q Q y y p x x y y p x x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，则可知()11,A x y ，()22,B x y 是一元二次方程()Q Q yy p x x =+的两组解，由经过两点A ，B 的直线l 有且仅有一条，故l 方程为()Q Q yy p x x =+，变形为0Q Q px y y px -+=，又直线l 方程为()121220px y y y y y -++=，两式对应系数得122Q M y y y y +==，122Q y y x b p ==-，所以QM 平行x 轴或与x 轴重合，B 项正确；如图，记切线()11:x Q y y p x A =+与y 轴的交点110,px C y ⎛⎫⎪⎝⎭，112FC x k y =-，1QA p k y =，∴12121FC QA px k k y ⋅==--，∴FC QA ⊥，同理切线QB 与y 轴的交点D ，亦有FD QB ⊥，故180FCQ FDQ ∠+∠=o ，所以F ，C ，Q ，D 四点共圆，且FQ 为直径，C 项正确；如图，记切线QA 与x 轴的交点为S ，过A 作x 轴平行线AN ，由抛物线光学性质，FSA FAS ∠=∠，由等腰SFA 、直角SCF △、F ，C ，Q ，D 四点共圆（对同弦圆周角相等），可得如图五个角α相等；同理，五个角β相等．则AFQ △∽QFB △，∴AFQ QFB ∠=∠，D 项正确．故选：BCD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知空间向量()1,2,3a = ，(),1,b m n =- ，若a b ∥，则m n +=______．【答案】2-【解析】【分析】利用向量平行可知b a λ=，然后计算即可.【详解】由题可知b a λ=，所以有123m n λλλ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得123212m n λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以2m n +=-故答案为：2-14.过点()1,4A -作圆()()22231x y -+-=的切线l ，则切线l 的方程为_________．【答案】4y =或34130x y +-=【解析】【分析】讨论切线l 的斜率是否存在.当斜率存在时，设斜率为k ，得到直线方程40kx y k -++=，根据圆心到直线的距离d r =，得到2430k k +=，解出k ，代入直线方程即可.【详解】由已知圆心()2,3，半径1r =.又()()221243101--+-=>，所以，点()1,4A -在圆外.当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -.此时，圆心到直线l 的距离2(1)3d r =--=>，所以直线=1x -不是圆的切线；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为()41y k x -=+，整理可得，40kx y k -++=.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离1d r ==，1=，整理得，2430k k +=，解得，0k =或34k =-.当0k =时，直线方程为4y =；当34k =-时，直线方程为()3414y x -=-+，化为一般式方程为34130x y +-=.所以切线l 的方程为4y =或34130x y +-=.故答案为：4y =或34130x y +-=.15.已知1F 、2F 分别是双曲线22:14x C y -=的左、右焦点，动点P 在双曲线的左支上，点Q 为圆22:(2)1G x y ++=上一动点，则2||||PQ PF +的最小值为________.【答案】6【解析】【分析】结合双曲线的定义以及圆的几何性质求得正确答案.【详解】双曲线22:14x C y -=，2,1,a b c ===())12,F F ，圆22:(2)1G xy ++=的圆心为()0,2G -，半径1r =，P 在双曲线的左支上，212124,4PF PF a PF PF -===+，所以214PQ PF PQ PF +=++，根据圆的几何性质可知，1PQ PF +的最小值是112GF r -==，所以2PQ PF +的最小值是246+=.故答案为：616.已知数列{n a }的前n 项和为n S ，满足3n n S k a =⋅-（k 是常数.101214k a >=），，且23420222048a a a a ++++= ，则23420221111a a a a ++++= ___________.【答案】128【解析】【分析】先由n S 与n a 的关系式得到数列{}n a 为等比数列，并设数列{}n a 的公比为q ，同时可证数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等比数列，并且公比为1q，再把10124a =，23420222048a a a a ++++= ，23420221111a a a a ++++ 三个式子全部表示为1,a q 的形式，进一步运算得到答案.【详解】因为3n n S k a =⋅-（k 是常数，1k >），所以当2n ≥时有113n n S k a --=⋅-，两式相减得()12n n n a k a k a n -=⋅-⋅≥，即()1121n n a kn a k -=>≥-，所以数列{}n a 为等比数列，设数列{}n a 的公比为()1q q ≠，11n n a a q -=⋅.数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为1q 的等比数列.又因为10124a =，则101114a q⋅=①；因为23420222048a a a a ++++= ，则()20211120481a q q q-=-，即()20211204811q qa q--=②.202120211123420221111111111111a q q q a q a a a a q⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++++==-- ()20212021111q a q q =--，，把①②分别代入上式，得()2202121011234202211111112048204820481284a a a a a q a q a q ++++====⋅ .故答案为：128.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知从圆外一点P (4，6)作圆O ：221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）求以OP 为直径的圆的方程；（2）求直线AB 的方程．【答案】（1）()()222313x y -+-=；（2）4610x y +-=．【解析】【分析】（1）由已知求得圆心和半径可得所求的圆的方程；（2）联立两圆的方程即得直线AB 的方程．【小问1详解】∵所求圆的圆心为线段OP 的中点()2,3，半径为1||2OP ==，∴以OP 为直径的圆的方程为()()222313x y -+-=；【小问2详解】∵PA 、PB 是圆22:1O x y +=的两条切线，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上，由()()222223131x y x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩，可得直线AB 的方程为4610x y +-=.18.已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，且3654070a a S +==，.（1）求n S ；（2）若1n n b S =，数列{n b }的前n 项和n T .求证：38n T <.【答案】（1）224n S n n =+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用基本量列方程求解即可；（2）由裂项相消法求和得出n T ,再证明即可.【小问1详解】{}n a 为等差数列，则364540a a a a +=+=，53357014S a a ==⇒=，()42123525370403010a a a a a a S a -+=++==-=⇒=.∴32124,6d a a a a d =-==-=，故()61442n a n n =+-⋅=+，故()2642242n n nS n n ++==+.【小问2详解】()111112242n n b S n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，∴1111111114324352n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭13111334212428n n ⎛⎫=--<⨯= ⎪++⎝⎭19.如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 为等腰直角三角形，2PA PD AB ===，PO =，O 、Q 分别为AD 、PB 的中点．（1）证明：AB PD ⊥；（2）求直线AQ 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）由平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥可得AB ⊥平面PAD ，再由线面垂直的性质定理可得答案；（2）由已知可得PO ⊥平面平面ABCD ，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 且平行于AB 的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，求出AQ、平面PBC 的法向量，由线面角的向量求法可得答案.【小问1详解】∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ∴AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥；【小问2详解】因为PA PD =，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面平面ABCD ，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 且平行于AB 的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(P，)2,0B，()2,0C，)A，,1,22Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴2,PB =，()BC =- ，22,1,22AQ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200y +-=-=⎪⎩，取1y =，可得(n = ，设直线AQ 与平面PBC 所成的角为θ，则6sin cos ,3θ⋅===n AQ AQ n n AQ．20.在数列{}n a 中，16a =，且113n n n n a a a a +++=.（1）证明：112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.（2）求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析（2）13931(1)44234n n n n ++⎛⎫-++⋅+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）利用分组求和和错位相减求解即可.【小问1详解】由题意可得1(1)3n n n a a a ++=，因为16a =，所以0n a >，所以1131n n a a ++=，所以11111322n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即111111=232n n a a +⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又1111023a -=-≠，所以112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13-为首项，13为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）得1111112333n nn a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以132nn n n n a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，设数列13nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭前n 项和为n T ，数列2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n U ，则211112333n n T n ⎛⎫=-⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪⎝⎭①，2311111112(1)33333n n n T n n +⎡⎤=-⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯⎢⎥⎣⎦②，①-②得211112111113()3333323n n n n n T n n ++-=-++⋅⋅⋅++⋅=-+⋅，所以139314423n n T n +⎛⎫=-++⋅ ⎪⎝⎭，又12(1)24n n n n U ++⋅⋅⋅++==，所以13931(1)44234n n n n n n S T U n ++⎛⎫=+=-++⋅+ ⎪⎝⎭.21.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为()3,4M .（1）求双曲线C 的方程：（2）若直线l 不经过M 点，与双曲线C 交于A 、B 两点，且直线MA ，MB 的斜率之和为1，求证：直线l 恒过定点.【答案】（1）2212y x -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先由双曲线的焦距求得c =223a b =-，再将点()3,4M 代入双曲线方程C 即可得到关于2b 的方程，解之即可得解；（2）先假设直线l 斜率存在，联立直线l 与双曲线C 的方程，利用直线MA ，MB 的斜率之和为1求得34m k =-+或58m k =+，从而得到直线l 经过定点()5,8-，再检验得直线l 斜率不存在时，也经过点()5,8-，由此得证.【小问1详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为，所以2c =c =2223a b c +==，即223a b =-，又双曲线2222:1x y C a b-=经过点()3,4M ，所以229161a b -=，则2291613b b-=-，解得22b =或224b =-（舍去），则21a =，所以双曲线C 的方程为2212y x -=.【小问2详解】依题意，可知直线MA ，MB 的斜率12,k k 必然存在，且121k k +=，当直线l （即直线AB ）斜率存在时，设直线l 方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立2212y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y ，得()2222220k x kmx m ----=，由题意可知()()()2222224422820k m kmm k ∆=+-+=-+>，则212122222,22km m x x x x k k ++=-=--，而1212121212444413333y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+=----，所以()()()()()()122112434333kx m x kx m x x x +--++--=--，整理得()()()121221316150k x x m k x x m -+--+-+=，所以()()222222131615022m kmk m k m k k +-⨯---⨯-+=--，整理得22421512320m k km k m -++++-=，即()()53412320k m k m k m -+++-=，所以()()58340k m k m -++-=，解得34m k =-+或58m k =+，当34m k =-+时，直线l 方程为()34y k x =-+，则直线l 经过点()3,4M ，矛盾，舍去；当58m k =+时，直线l 方程为()58y k x =++，则直线l 经过定点()5,8-，此时由()22820m k ∆=-+>，得()225820k k +-+>，即22480660k k ++>，显然有解，满足题意；当直线l （即直线AB ）斜率不存在时，不妨设直线l 为5x =-，联立22512x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得5x y =-⎧⎪⎨=±⎪⎩，则1243443415353k k --+=+=----，满足题意，此时直线:5l x =-经过点()5,8-；综上：直线l 恒过定点()5,8-.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.22.已知O 是平面直角坐标系的原点，F 是抛物线C ：()220x py p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且OAB 的重心为G 在曲线23123x y =+上.（1）求抛物线C 的方程；（2）记曲线23123x y =+与y 轴的交点为D ，且直线AB 与x 轴相交于点E ，弦AB 的中点为M ，求四边形DEMG 的面积最小值.【答案】（1）22x y =（2）3036【解析】【分析】（1）根据直线与抛物线的位置关系，求解交点坐标关系，根据三角形重心坐标公式，即可得重心坐标，再代入曲线23123x y =+上，即可得确定抛物线方程；（2）根据坐标关系可证得DG ME ∥，则可按梯形面积公式求解即可得面积表达式，结合基本不等式求解最值即可.【小问1详解】解：焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，显然直线AB 的斜率存在，设AB ：2py kx =+，联立22x py =，消去y 得，2220x kpx p --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,G x y ，则122x x kp +=，212x x p =-，所以()212122y y k x x p pk p +=++=+，所以0202323kp x pk p y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，且2003123x y =+，故2222223412132933pk p p k p k ++=⋅+=，即222221pk p p k +=+，整理得()2211k p p p -=-对任意的k 恒成立，故1p =，所求抛物线C 的方程为22x y =.【小问2详解】解：由（1）知，10,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,02E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0k ≠，M x k =，23G k x =，则23OD OF=，又弦AB 的中点为M ，OAB 的重心为G ，则23OG OM =，故23ODOG OF OM ==，所以DG ME ∥，D 点到直线AB的距离16d ==DG =，1122ME k k k ⎫⎛⎫=--=+ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以四边形DEMG的面积211511303212321236k S k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=+≥⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当5132k k =，即3010k =±时取等号，此时四边形DEMG 的面积最小值为3036.。

福建省福州市第八高二数学上学期期末考试试题理.docx

X
,b= 72,
c= 5
的大小关系为
・（按
X
14.已知点A（x ,a ” （徉ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数〈a （a的图象上任哲同两点，依据图象
可知，线段AB总是吋A、B两点之I可函数图象的上遥甲此有结论
XX
+ Jr
用类比思想方法可知，若'A Xi,lnX2,ln X2是函数
2
y In尸的图象上任煮不同两点,
则类似地有
15.
1.
2.
3.
福建省福州市第八中学高二上学期期末考试数学（理）试题
、选题：（共10小题，每小题5分，共50分）
2i
在复平面内，复数=_2i
对应的点伍
A.
A.
C.
1 i
第一象限B.第二象限
甲闯甲去证明命题：如臬b0训糾a］ b”时，假设的内徑是門斗|Bf|>^|||=||
ab=_
> > c.第三部吟〉
D. 8
（a>b>0）的左、右焦点分别为Fi,F2,以F2为圆心，OF?（O
1
F ,若它与椭圆的一个交点为
2
M ,且MFi恰好为圆F2的一条切线,
c.2
2
9.='在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形,
Ft
A. 3 1
B.
E为PD中点，若PA a,PB b,
C,曲BE
A.11b
4 2*2
b.
42 •
(1)求证：DE|| 平面ACQ A1；
(2)求直线BG与平面DBiC所成角的正弦值・
(3)
忆(木小题40分)设函数f(x)2x33(a(1)/6ax 8,其中a R.①若f(x)

2023-2024学年福建省福州市八县市一中高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年福建省福州市八县市一中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在正项等比数列{a n }中，4a 1=√a 2a 4，则数列{a n }的公比为（） A ．﹣2B ．4C ．12D ．22．抛物线y ＝4x 2的准线方程为（） A ．x ＝﹣1B ．y ＝﹣1C ．x =−116D ．y =−1163．已知两条直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，倾斜角分别为α，β．若α＜π2＜β，则下列关系正确的是（）A ．0＜k 1＜k 2B ．k 1＜k 2＜0C ．k 1＜0＜k 2D ．k 2＜0＜k 14．直线l ：kx ﹣y ﹣2k +2＝0（k ∈R ）过定点Q ，若P 为圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4上任意一点，则|PQ |的最大值为（） A ．1B ．3C ．4D ．25．在等差数列{a n }中，若S 3＝3，S 6＝24，则S 12＝（） A ．100B ．120C ．57D ．186．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率分别为e 1，e 2，其中a ＞b ＞0，且双曲线渐近线的斜率绝对值小于√22，则下列关系不正确的是（） A ．e 12+e 22=2B ．1＜e 2＜√62C ．√22＜e 1＜1 D ．√22＜e 1e 2＜√627．已知首项为1的数列{a n }，且（n +2）a n +1＝2na n 对任意正整数n 恒成立，则数列{a n2n }的前n 项和S n 为（） A ．n+1n+2B ．2n+1n+2C ．nn+1D ．2n n+18．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，M 是BB 1的中点，点P 满足BP →=λBC →+μBA 1→，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，且MP ∥平面AB 1D 1，则动点P 的轨迹所形成的轨迹长度是（） A ．3B ．√5C ．2√2D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得9．若方程x 25−t +y 2t−3=1所表示的曲线为C ，则下面四个说法中正确的是（）A ．若3＜t ＜5，则C 为椭圆B ．若C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则4＜t ＜5 C ．曲线C 可能是圆D ．若C 为双曲线，则t ＜310．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数m ＝8，根据上述运算法则得出8→4→2→1→4→2→1．猜想的递推关系如下：已知数列{a n }满足a 1＝5，a n+1={a n2，a n 为偶数3a n +1，a n 为奇数，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是（） A ．a 3＝8B ．a 5＝2C ．S 10＝49D ．S 300＝72211．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项积为T n ，并且满足条件0＜a 1＜1，a 8a 9＞1，a 8a 9+1＜a 8+a 9，则下列结论正确的是（） A ．q ＞1 B ．a 8a 10＜1C ．T 17＞1D ．T n 的最小值为T 912．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆O ：x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则下列说法中正确的是（） A ．若直线l 的斜率为√3，则|MN |＝8 B ．|MF |+4|NF |的最小值为9C ．若以MF 为直径的圆与y 轴的公共点为（0，1），则点M 的横坐标为1D ．若点G （3，2），则△GFM 的周长最小值为4+2√2 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列{a n }的前n 项和S n =2n −1，则数列{a n }的通项公式a n ＝．14．已知双曲线方程为：x 2−y 2m=1（m ＞0），若直线x ﹣y ﹣2＝0与双曲线左右两支各交一点，则实数m的取值范围为．15．如图，四棱锥D 1﹣ABCD 中，D 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为6的正方形，且四棱锥D 1﹣ABCD 的外接球的表面积为81π，点E 在线段AD 1上，且2D 1E ＝EA ，M 为线段BE 的中点，则点M 到直线DC 上任意点的距离的最小值为．16．瑞典数学家科赫在1904年构造能描述雪花形状的图案，就是数学中一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形P1（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线P2（图2），如此继续下去形成雪花曲线P3（图3），直到无穷，形成雪花曲线P4，P5，…，P n，…．设雪花曲线P n的边数为b n，面积为S n，若正三角形P1的边长为1，则b n＝；S n＝．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（共6大题，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S10＝190，S19＝190．（1）求等差数列{a n}的前n项和S n及S n的最大值；（2）求数列{|a n|}的前16项和T16．18．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x＝0，直线l过点P（0，4）．（1）若直线l与圆C相交，求直线l的斜率k的取值范围；（2）以线段PC为直径的圆D与圆C相交于A、B两点，求直线AB的方程及△ABC的面积．19．（12分）已知标准双曲线C的焦点在x轴上，且虚轴长2b＝4，过双曲线C的右焦点F2且垂直x轴的直线l交双曲线C于A、B两点，△ABF1的面积为8√2．（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点P（4，2）的直线l1交双曲线C于S、T两点，且点P是线段ST的中点，求直线l1的方程．20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面P AB⊥底面ABCD，PA= PB=5，AD=12BC=2，且E，F分别为PC，CD的中点．（1）证明：DE∥平面P AB；（2）若直线PF与平面P AB所成的角为45°，求平面P AB与平面PCD的夹角的余弦值．21．（12分）已知数列{a n}的首项a1＝a，且满足S n+1−S n=3a n2a n+1(n∈N∗)．（1）判断数列{1a n−1}是否为等比数列；（2）若a1=34，记数列{na n}的前n项和为T n，求T n．22．（12分）已知点S（﹣1，0），T是圆F：（x﹣1）2+y2＝16上的任意一点，线段ST的垂直平分线交FT 于点N，设动点N的轨迹曲线为W；（1）求曲线W的方程；（2）过点F作斜率不为0的直线l交曲线W于A、B两点，交直线x＝4于P．过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C点，直线BQ交x轴于D点，求线段CD中点M的坐标．2023-2024学年福建省福州市八县市一中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在正项等比数列{a n }中，4a 1=√a 2a 4，则数列{a n }的公比为（） A ．﹣2B ．4C ．12D ．2解：在正项等比数列{a n }中，4a 1=√a 2a 4，∴{q ＞0q 2=4，则数列{a n }的公比为q ＝2．故选：D ．2．抛物线y ＝4x 2的准线方程为（） A ．x ＝﹣1B ．y ＝﹣1C ．x =−116D ．y =−116解：因为抛物线y ＝4x 2，可化为：x 2=14y ，则抛物线的准线方程为y =−116．故选：D ．3．已知两条直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，倾斜角分别为α，β．若α＜π2＜β，则下列关系正确的是（）A ．0＜k 1＜k 2B ．k 1＜k 2＜0C ．k 1＜0＜k 2D ．k 2＜0＜k 1解：∵直线l 1、l 2的倾斜角分别为α、β，α＜π2，β＞π2，∴tan α＞0，tan β＜0．又∵直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，∴k 1＝tan α，k 2＝tan β，可知k 2＜0＜k 1．故选：D ．4．直线l ：kx ﹣y ﹣2k +2＝0（k ∈R ）过定点Q ，若P 为圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4上任意一点，则|PQ |的最大值为（） A ．1B ．3C ．4D ．2解：l ：kx ﹣y ﹣2k +2＝0（k ∈R ）过定点Q （2，2），由圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4，可知圆心C （2，3），半径r ＝2，所以|CQ |＝1，所以|PQ |的最大值为1+r ＝1+2＝3．故选：B ．5．在等差数列{a n }中，若S 3＝3，S 6＝24，则S 12＝（） A ．100B ．120C ．57D ．18解：等差数列{a n }中，S 3＝3a 1+3d ＝3，S 6＝6a 1+15d ＝24，解得d ＝2，a 1＝﹣1，则S 12＝12×（﹣1）+12×112×2=120．故选：B ．6．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率分别为e 1，e 2，其中a ＞b ＞0，且双曲线渐近线的斜率绝对值小于√22，则下列关系不正确的是（） A ．e 12+e 22=2B ．1＜e 2＜√62C ．√22＜e 1＜1 D ．√22＜e 1e 2＜√62 解：由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为ba ，则ba ＜√22，所以e 1=c a =√1−b2a 2＞√22，所以e 1∈（√22，1），所以C 正确；e 2=√1+b 2a 2＜√1+12=√62，所以e 2∈（1，√62），所以B 正确；e 12+e 22=1−b 2a 2+1+b2a2=2，所以A 正确；e 1e 2=√(1−b 2a 2)(1+b 2a2)=√1−b 4a 4＞√1−14=√32，所以D 不正确．故选：D ．7．已知首项为1的数列{a n }，且（n +2）a n +1＝2na n 对任意正整数n 恒成立，则数列{a n2n }的前n 项和S n 为（）A ．n+1n+2 B ．2n+1n+2C ．nn+1D ．2n n+1解：（n +2）a n +1＝2na n ，即a n+1a n =2nn+2，则a n ＝a 1•a 2a 1•a 3a 2•...•a n−1a n−2•a n a n−1=1•23•2×24•2×35•2×46•...•2(n−2)n •2(n−1)n+1=2nn(n+1)（对n ＝1也成立），可得a n 2n=1n(n+1)=1n−1n+1，则S n ＝1−12+12−13+...+1n −1n+1=1−1n+1=nn+1．故选：C ．8．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，M 是BB 1的中点，点P 满足BP →=λBC →+μBA 1→，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，且MP ∥平面AB 1D 1，则动点P 的轨迹所形成的轨迹长度是（） A ．3B ．√5C ．2√2D ．2解：根据题意，作出示意图形，连接A 1B ，D 1C ，∵点P 满足BP →=λBC →+μBA 1→，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]， ∴向量BP →，BA 1→，BC →是共面向量，可知点P 在截面A 1BCD 1内部，又∵MP ∥平面AB 1D 1，∴点P 在过M 且平行于平面AB 1D 1的平面内，连接AB 1，交A 1B 于点O ，取OB 中点N ，连接MN ，在CD 1上取点Q ，使D 1Q =14CD 1，连接MQ ，NQ ，OD 1，由ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体，可知对角面A 1BCD 1是矩形，A 1B ∥D 1C 且A 1B ＝D 1C ， ∵D 1Q =14CD 1，ON =12OB =14A 1B ，∴D 1Q ∥ON 且D 1Q ＝ON ，四边形D 1QNO 为平行四边形，可得D 1O ∥QN ， ∵D 1O ⊂平面AB 1D 1，QN ⊄平面AB 1D 1，∴QN ∥平面AB 1D 1，同理可得MN ∥平面AB 1D 1， ∵QN ，MN 是平面MNQ 内的相交直线，∴平面MNQ ∥平面AB 1D 1，即平面MNQ 是过M 且平行于平面AB 1D 1的平面， ∴点P 的轨迹是四边形截面A 1BCD 1与平面MNQ 的交线，即线段NQ ． ∵矩形AA 1B 1B 中，AB ＝2，AA 1＝4，可知A 1B =√22+42=2√5，∴A 1O =12A 1B =√5，可得Rt △A 1OD 1中，D 1O =√A 1D 12+A 1O 2=√22+(√5)2=3，∴NQ ＝D 1Q ＝3，即动点P 的轨迹所形成的轨迹长度是3．故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得9．若方程x 25−t +y 2t−3=1所表示的曲线为C ，则下面四个说法中正确的是（）A．若3＜t＜5，则C为椭圆B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则4＜t＜5 C．曲线C可能是圆D．若C为双曲线，则t＜3解：方程x25−t+y2t−3=1所表示的曲线为C，当5﹣t＝t﹣3＞0，即t＝4时，方程x25−t+y2t−3=1为x2+y2＝1，表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项C正确，选项A错误；若C为椭圆，且焦点在y轴上，则t﹣3＞5﹣t＞0，解得4＜t＜5，故选项B正确．若C为双曲线，则（5﹣t）（t﹣3）＜0，解得t＜3或t＞5，故选项D错误．故选：BC．10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数m＝8，根据上述运算法则得出8→4→2→1→4→2→1．猜想的递推关系如下：已知数列{a n}满足a1＝5，a n+1={a n2，a n为偶数3a n+1，a n为奇数，设数列{a n}的前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A．a3＝8B．a5＝2C．S10＝49D．S300＝722解：由a1＝5，a n+1={a n2，a n为偶数3a n+1，a n为奇数，可得a2＝3×5+1＝16，a3＝8，a4＝4，a5＝2，a6＝1，a7＝4，a8＝2，a9＝1，a10＝4，则S10＝5+16+8+4+2+1+4+2+1+4＝47，故AB正确，C错误；由于数列{a n}中除去5，16，8后的项以4，2，1循环，而（300﹣3）÷3＝99，所以S300＝（5+16+8）+7×99＝722，故D正确．故选：ABD．11．设等比数列{a n}的公比为q，前n项积为T n，并且满足条件0＜a1＜1，a8a9＞1，a8a9+1＜a8+a9，则下列结论正确的是（）A．q＞1B．a8a10＜1C．T17＞1D．T n的最小值为T9解：根据题意，等比数列{a n}的公比为q，若a8a9＞1，必有q＞0，若a8a9+1＜a8+a9，即a8a9+1﹣a8﹣a9＜0，变形可得：（a8﹣1）（a9﹣1）＜0，又由q＞0且0＜a1＜1，则a8＜1＜a9，故q=a9a8＞1，A正确；由于q＞0且0＜a1＜1，等比数列{a n}为递增数列，而a8＜1＜a9，则T n的最小值为T8，D错误；a8a10＝（a9）2＞1，B错误；T17＝a1a2a3a4……a16a17＝a1a17a2a16……a8a10a9＝（a9）17＞1，C正确．故选：AC．12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（）A．若直线l的斜率为√3，则|MN|＝8B．|MF|+4|NF|的最小值为9C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为（0，1），则点M的横坐标为1D．若点G（3，2），则△GFM的周长最小值为4+2√2解：由抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，得到第一象限交点（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，所以22＝2p，解得p＝2，所以C：y2＝4x，则F（1，0），对于A选项，设直线l：x＝my+1，与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以|MN|=√1+m2|y1﹣y2|=√1+m2•√(y1+y2)2−4y1y2=4（1+m2），当直线l的斜率为√3时，则m=√33，所以|MN|＝4（1+13）=163，故A项不正确；对于B选项，由抛物线的定义，1 |MF|+1|NF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=m(y1+y2)(y1y2)216+m(y1+y2)+3=4m2+44m2+4=1，所以|MF|+4|NF|＝（|MF|+4|NF|）•（1|MF|+1|NF|）＝1+4+|MF||NF|+4|NF||MF|≥5+2√4=9，当且仅当|MF|＝2|NF|＝3时等号成立，故B项正确；对于C选项，如图，过点M作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，取MF 的中点为D ，过点D 作y 轴的垂线，垂足为D 1，则MM 1∥OF ，DD 1是梯形OFMM 1的中位线，由抛物线的定义可得|MM 1|＝|MM ′|﹣|M 1M ′|＝|MF |﹣1，所以|DD 1|=|OF|+|MM 1|2=1+|MF|−12=|MF|2，所以以MF 为直径的圆与y 轴相切，所以（0，1）为圆与y 轴的切点，所以点D 的纵坐标为1，又因为D 为MF 的中点，所以点M 的纵坐标为2，又点M 在抛物线上，所以点M 的横坐标为1，故C 项正确；对于D 选项，过G 作GH 垂直于准线，垂足为H ，所以△GFM 的周长为|MG |+|MF |+|GF |＝|MG |+|MN |+2√2≥|GH |+2√2=4+2√2，当且仅当点M 的坐标为（1，2）时取等号，故D 项正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列{a n }的前n 项和S n =2n −1，则数列{a n }的通项公式a n ＝ 2n ﹣1 ．解：∵数列{a n }的前n 项和S n =2n −1， ∴n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n ﹣2n ﹣1＝2n ﹣1，a 1＝1也适合上式．故数列{a n }的通项公式a n ＝2n ﹣1．故答案为：2n ﹣1．14．已知双曲线方程为：x 2−y 2m=1（m ＞0），若直线x ﹣y ﹣2＝0与双曲线左右两支各交一点，则实数m 的取值范围为（1，+∞）．解：因为双曲线方程为：x 2−y 2m=1（m ＞0），故渐近线方程为y ＝±√m x ，又直线x ﹣y ﹣2＝0与双曲线左右两支各交一点，且斜率为1，可得−√m ＜1＜√m ，解得m ＞1．故答案为：（1，+∞）．15．如图，四棱锥D 1﹣ABCD 中，D 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为6的正方形，且四棱锥D 1﹣ABCD 的外接球的表面积为81π，点E 在线段AD 1上，且2D 1E ＝EA ，M 为线段BE 的中点，则点M 到直线DC 上任意点的距离的最小值为 √17 ．解：∵DD 1⊥底面ABCD ，∴DD 1⊥AD ，DD 1⊥DC ，DA ⊥AC ，以D 为坐标原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，DD 1为z 轴正方向建立坐标系，∵外接球表面积为81π，所以4πr 2＝81π， ∴r =92，∴BD =2r =√36+36+|DD 1|2=9， ∴|DD 1|＝3∴A （6，0，0），D 1（0，0，3），又∵2D 1E ＝EA ，∴E （2，0，2），B （6，6，0）， ∴M （4，3，1），设DC 上一点Q （0，t ，0），|MQ|=√16+(t −3)2+1=√17+(t −3)2，所以当t ＝3时M 到直线DC 上任意点的距离最小值为√17．故答案为：√17．16．瑞典数学家科赫在1904年构造能描述雪花形状的图案，就是数学中一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形P 1（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线P 2（图2），如此继续下去形成雪花曲线P 3（图3），直到无穷，形成雪花曲线P 4，P 5，…，P n ，…．设雪花曲线P n 的边数为b n ，面积为S n ，若正三角形P 1的边长为1，则b n ＝ 3×4n ﹣1 ；S n ＝2√35−27√380(49)n．解：设曲线P n 的边长为a n ，由题意可知，a 1＝1，b 1＝3，a 2=13，b 1＝3×4，a 3=(13)2，b 3＝3×42，∴a n =a 1×(13)n−1=（13）n ﹣1，b n ＝3×4n ﹣1，∵S 1=12×1×1×√32=√34，当n ≥2时，S n ﹣S n ﹣1=b n−1⋅(√34a n 2)=3×4n ﹣2×√34×(19)n−1=3√316×(49)n−1， ∴S n ＝（S n ﹣S n ﹣1）+（S n ﹣1﹣S n ﹣2）+…+（S 3﹣S 2）+（S 2﹣S 1）+S 1 =3√316×(49)n−1+3√316×(49)n−2+⋯+3√316×(49)2+3√316×(49)1+√34 =√34+3√316[49+(49)2+⋯+(49)n−1] =√34+3√316×49[1−(49)n−1]1−49=2√35−27√380(49)n．故答案为：3×4n ﹣1；2√35−27√380(49)n ．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（共6大题，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝190，S 19＝190．（1）求等差数列{a n }的前n 项和S n 及S n 的最大值；（2）求数列{|a n |}的前16项和T 16．解：（1）S 10＝190，a 1+a 10＝38． S 19＝190，a 1+a 19＝20，a 10＝10， a 1＝28， d =a 10−a 19=−2， S n =28n +n(n−1)2×(−2)=−n 2+29n ，当n ＝14或n ＝15时，（S n ）max ＝210；（2）由（1）可得|a n|＝|28+（n﹣1）×（﹣2）|＝|30﹣2n|，T16＝|a1|+|a2|+⋯+|a16|＝a1+a2+⋯+a15﹣a16=S15−a16=−152+29×15+2=212．18．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x＝0，直线l过点P（0，4）．（1）若直线l与圆C相交，求直线l的斜率k的取值范围；（2）以线段PC为直径的圆D与圆C相交于A、B两点，求直线AB的方程及△ABC的面积．解：（1）由已知可得圆C：（x﹣2）2+y2＝4，直线l：y＝kx+4即kx﹣y+4＝0，∵直线l与圆C相交，∴圆心C（2，0）到直线l的距离小于半径r＝2，即d=|2k+4|√k+12，解得k＜−34．故直线l的斜率k的取值范围k＜−3 4；（2）以PC为直径的圆D（1，2），且半径r′=12|PC|=√5，圆D的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，A、B在圆C：x2+y2﹣4x＝0上又A、B在圆D：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5上，∴A、B所在直线即两圆公共弦直线，将两圆方程作差得x﹣2y＝0，∴直线AB的方程为x﹣2y＝0，因为圆心C（2，0）到直线AB的距离即d=√2+1=2√55，|AB|=2√4−(2√55)2=8√55，S△ABC=12|AB|d=12×8√55×2√55=85，所以△ABC的面积8 5．19．（12分）已知标准双曲线C的焦点在x轴上，且虚轴长2b＝4，过双曲线C的右焦点F2且垂直x轴的直线l交双曲线C于A、B两点，△ABF1的面积为8√2．（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点P（4，2）的直线l1交双曲线C于S、T两点，且点P是线段ST的中点，求直线l1的方程．解：（1）因为标准双曲线C的焦点在x轴上，且虚轴长2b＝4，不妨设双曲线C：x2a2−y2b2=1，因为过双曲线C的右焦点F2且垂直x轴的直线l交双曲线C于A、B两点，此时直线l的方程为x＝c，联立{x=cx2a2−y2b2=1，解得y=±b2a，所以|AB|=2b2a，因为2b＝4，所以b＝2，则|AB|=8 a ，因为△ABF1的面积为8√2，所以12×2c×8a=8√2，解得c=√2a，则a2＝4，b2＝4，故双曲线C的标准方程为x24−y24=1；（2）因为过点P（4，2）的直线l1与双曲线x24−y24=1相交于S、T两点，所以直线l1的方程不是x＝2，不妨设直线l1的方程为y﹣2＝k（x﹣4）（k≠1），即y＝kx﹣4k+2，联立{y=kx−4k+2x24−y24=1，消去y并整理得（1﹣k2）x2+2（4k﹣2）kx﹣（4k﹣2）2﹣4＝0（1﹣k2≠0），①因为点P是线段ST的中点，所以2k(4k−2)k2−1=8，k(2k−1)k2−1=2，解得k＝2，②联立①②，可得3x2﹣24x+40＝0，此时Δ＝242﹣4×3×40＝12×8＝96＞0满足条件．故直线l1的方程为y＝2x﹣6．20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面P AB⊥底面ABCD，PA= PB=5，AD=12BC=2，且E，F分别为PC，CD的中点．（1）证明：DE∥平面P AB；（2）若直线PF与平面P AB所成的角为45°，求平面P AB与平面PCD的夹角的余弦值．（1）证明：如图，取PB 中点M ，连接AM ，EM ， ∵E 为PC 的中点，∴ME ∥BC ，ME =12BC ，又AD ∥BC ，AD =12BC ，∴ME ∥AD ，ME ＝AD ， ∴四边形ADEM 为平行四边形，则DE ∥AM ，又DE ⊄平面P AB ，AM ⊂平面P AB ， ∴DE ∥平面P AB ；（2）解：平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ， BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面P AB ，取AB 中点G ，连接FG ，则FG ∥BC ，∴FG ⊥平面P AB ， P A ＝PB ，PG ⊥AB ，如图以G 为坐标原点，GB 为x 轴，GF 为y 轴，GP 为z 轴建立空间直角坐标系，∠GPF =45°，GF =12(AD +BC)=3，∴tan45°=3PG，∴PG ＝3，又P A ＝PB ＝5，∴AG =GB =√52−32=4，AB =8， ∴P （0，0，3），C （4，4，0），D （﹣4，2，0）， ∴PC →=(4，4−3)，DC →=(8，2，0)，设平面PCD 的一个法向量，n 1→=(x ，y ，z)，则{n 1→⋅PC →=4x +4y −3z =0n 1→⋅CD →=8x +2y =0，取x ＝1，则n 1→=(1，−4，−4)，平面P AB 的一个法向量可取n 2→=(0，1，0)，设平面P AB与平面PCD所成的夹角为θ，∴cosθ=|cos＜n1→，n2→＞|=|n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→||=433=4√3333，故平面P AB与平面PCD所成的夹角的余弦为4√33 33．21．（12分）已知数列{a n}的首项a1＝a，且满足S n+1−S n=3a n2a n+1(n∈N∗)．（1）判断数列{1a n−1}是否为等比数列；（2）若a1=34，记数列{na n}的前n项和为T n，求T n．解：（1）1a1−1=1a−1=0，解得a＝1，则数列{1a n−1}不是等比数列；1 a1−1=1a−1≠0，即a≠1，S n+1−S n=3a n2a n+1，a n+1=3a n2a n+1，∴1a n+1−11a n−1(n∈N∗)=2a n+13a n−11−a na n=2a n+1−3a n3−3a n=13，所以，当a＝1时，数列{1a n−1}不是等比数列；当a≠1时，数列{1a n−1}是以1−aa为首项，13为公比的等比数列．（2）由（1）知，1a n−1=13×(13)n−1=(13)n，1a n=(13)n+1，则na n=n(13)n+n．则T n=1×13+2×(13)2+⋯+n(13)n+1+2+⋯+n，令Q n=1+2+⋯+n=n(n+1)2，令S n=1×13+2×(13)2+⋯+n(13)n①，所以13S n=1×(13)2+2×(13)3+⋯+(n−1)(13)n+n(13)n+1②，①﹣②得：23S n=13+(13)2+(13)3+⋯+(13)n−n(13)n+1=13⋅1−(13)n1−13−n(13)n+1=12−(12+n3)⋅(13)n，得S n=34−(2n+34)(13)n．T n=34−(2n+34)(13)n+(1+n)n2．22．（12分）已知点S（﹣1，0），T是圆F：（x﹣1）2+y2＝16上的任意一点，线段ST的垂直平分线交FT 于点N，设动点N的轨迹曲线为W；（1）求曲线W的方程；（2）过点F作斜率不为0的直线l交曲线W于A、B两点，交直线x＝4于P．过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C点，直线BQ交x轴于D点，求线段CD中点M的坐标．解：（1）不妨设动点N（x，y），因为线段ST的垂直平分线交FT于点N，所以|NS|＝|NT|，此时|NS|+|NF|＝|NT|+|NF|＝|FT|＝4，因为|SF|＝2＜4，由椭圆定义可知点N的轨迹为以S、F为左右焦点，长轴长为4的椭圆，不妨设动点N的轨迹曲线W的方程x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），此时c＝1，2a＝4，解得a＝2，则b2＝4﹣1＝3，故动点N的轨迹曲线W的方程为x24+y23=1；（2）易知直线l的斜率存在且不为0，不妨设直线l方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立{x24+y23=1y=k(x−1)，消去y并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，由韦达定理得x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，因为直线l交直线x＝4于P（4，3k），所以Q（0，3k），此时直线AQ的方程为y=y1−3kx1x+3k，x1≠0，令y＝0，解得x=3kx13k−y1，即C(3kx13k−y1，0)，所以直线BQ的方程为y=y2−3kx2x+3k，x2≠0，令y＝0，解得x=3kx23k−y2，即D(3kx23k−y2，0)，则3kx13k−y1+3kx23k−y2=−3k[x1(y2−3k)+x2(y1−3k)](y1−3k)(y2−3k)=−3k[x1k(x2−4)+x2k(x1−4)]k2(x1−4)(x2−4)=12(x1+x2)−6x1x2(x1−4)(x2−4)=62(x1+x2)−x1x2x1x2−4(x1+x2)+16=616k23+4k2−4k2−123+4k24k2−123+4k2−32k23+4k2+16=612k2+1236k2+36=2，故线段CD中点M的坐标为（1，0）．。

2023-2024学年福建省福州八中高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等差数列{a n}中，若a1＝1，a2+a4＝10，则a20＝（）A．38B．39C．40D．412．为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆x29+y25=1的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝﹣23．若圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+m＝0内切，则m＝（）A．25B．9C．﹣9D．﹣114．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3＝0平行，则（）A．a＝﹣1，b＝2B．a＝1，b＝2C．a＝﹣1，b＝﹣2D．a＝1，b＝﹣25．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|＝3|MF2|，则双曲线C的离心率为（）A．√2B．√3C．√5D．36．已知函数f（x）＝（2﹣x）e x﹣ax在（0，5）上为减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，5e）B．[5e，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）7．如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小正三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小正三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基三角形．设A n是第n次挖去的小正三角形面积之和（如A1是第1次挖去的中间小正三角形面积，A2是第2次挖去的三个小正三角形面积之和），则（）A．A2=√364B．A n是等差数列C．A n=√316(3 4 )nD．前n次挖去的所有小正三角形面积之和为√34[1−(34)n]8．已知函数f(x)=lnxx，直线l ：y ＝a （2x ﹣1），若有且仅有一个整数x 0，使得点P （x 0，f （x 0））在直线l 上方，则实数a 的取值范围是（） A ．[ln 2，ln 3） B ．（ln 2，ln 3] C ．[ln315，ln26)D ．(ln315，ln26] 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知C ：x 2+y 2﹣6x ＝0，则下述正确的是（） A ．圆C 的半径r ＝3B ．点（1，2√2）在圆C 的内部 C ．直线l ：x +√3y +3＝0与圆C 相切D ．圆C ′：（x +1）2+y 2＝4与圆C 相交10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的是（） A ．若S n =2n 2+1，则{a n }是等差数列B ．若S n =(12)n −1，则{a n }是等比数列C ．若{a n }是等差数列，则S 199＝199a 100D ．若{a n }是等比数列，则S 99⋅S 101＞S 100211．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)和双曲线E ：x 2a 02−y 2b 02=1(a 0＞0，b 0＞0)的公共左，右焦点，P （在第一象限）为它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝60°，直线PF 2与双曲线交于另一点Q ，若|PF 2|＝2|F 2Q |，则下列说法正确的是（） A ．△PF 1Q 的周长为16a 5B ．双曲线E 的离心率为√133C ．椭圆C 的离心率为√135D ．|PF 1|＝4|PF 2|12．已知a ＞0，b ＞0且e a +lnb ＞a +b ，则下列结论一定正确的是（） A ．a ＞bB ．e a ＞bC ．e a +b ＞2D ．a +lnb ＞0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线l 1：2x +my +1＝0与直线l 2：m 2x ﹣y +12=0垂直，则实数m 的值为．14．设函数f （x ）的导数为f ′（x ），且f(x)=f ′(π3)sinx +cosx ，则f ′(5π6)= ．15．已知双曲线C 2：y 22−x 2=1的上、下焦点分别为F 1，F 2．点P 在x 轴上，线段PF 1交C 于Q 点，△PQF 2的内切圆与直线QF 2相切于点M ，则线段MQ 的长为． 16．若数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =S nn，则称数列{b n }是数列{a n }的“均值数列”．已知数列{b n }是数列{a n }的“均值数列”且b n ＝n ，设数列{√a +a }的前n 项和为T n ，若12(m 2−m +√3−3)＜T n 对n ∈N *恒成立，则实数m 的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f(x)=x 3+32x 2−4ax +2．（1）若函数g （x ）＝6lnx ﹣x 3+（4a ﹣9）x +f （x ），求g （x ）的单调区间；（2）若f （x ）有两个都小于0的极值点，求实数a 的取值范围．18．（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足（c +2b ）cos A +a cos C ＝0．（1）求角A 的值；（2）若a ＝14，c ＝6，求△ABC 的面积．19．（12分）如图，AE ⊥平面ABCD ，BF ∥平面ADE ，CF ∥AE ，AD ⊥AB ，AB ＝AD ＝2，AE ＝BC ＝4．（1）求证：AD ∥BC ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点F(√3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为椭圆C 的上顶点，直线l ：y ＝x +m （m ≠1）与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若BM ⊥BN ，求直线l 的方程． 21．（12分）已知数列{a n }满足a n a n +2=12a n+1（n ∈N *），a 1＝1．（1）证明：数列{1a n}为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）若记b n 为满足不等式(12)n ＜a k ≤(12)n−1，n ∈N ∗的正整数k 的个数，数列{bn a n}的前n 项和为S n ，求关于n 的不等式S n ＜2024的最大正整数解． 22．（12分）已知函数f(x)=x 2+ax+ae x．（1）当a ＝2时，求f （x ）在（﹣1，f （﹣1））处的切线方程；（2）当x ≥0时，不等式f （x ）≤2恒成立，求a 的取值范围．2023-2024学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等差数列{a n}中，若a1＝1，a2+a4＝10，则a20＝（）A．38B．39C．40D．41解：等差数列{a n}中，a1＝1，a2+a4＝2+4d＝10，所以d＝2，则a20＝a1+19d＝1+38＝39．故选：B．2．为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆x29+y25=1的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝﹣2解：∵椭圆x29+y25=1的右焦点坐标为（2，0），∴抛物线的焦点坐标为（2，0），∴抛物线的准线方程为x＝﹣2．故选：D．3．若圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+m＝0内切，则m＝（）A．25B．9C．﹣9D．﹣11解：由圆C1：x2+y2＝1的方程可得圆心C1（0，0），半径r1＝1，由圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+m＝0的方程可得圆心C2（4，3），半径r2=√25−m，所以圆心距|C1C2|=√32+42=5，因为两圆内切，所以r2﹣r1＝|C1C2|，即√25−m−1＝5，解得m＝﹣11，故选：D．4．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3＝0平行，则（）A．a＝﹣1，b＝2B．a＝1，b＝2C．a＝﹣1，b＝﹣2D．a＝1，b＝﹣2解：∵函数y=ax2+bx的导数为y′=2ax−bx2，∴曲线在点P（2，﹣5）处的切线斜率为k=4a−b 4，由两直线平行可得4a−b4=−72①．又∵点P（2，﹣5）在曲线y=ax2+bx 上，∴4a+b2=−5②，由①②解得a＝﹣1，b＝﹣2．故选：C．5．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|＝3|MF2|，则双曲线C的离心率为（）A．√2B．√3C．√5D．3解：根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为y=ba x，因此直线MF2的倾斜角α的正切值为ba，即tanα=ba=sinαcosα⇒sinα=bk，cosα=ak(k＞0)，所以有(bk)2+(ak)2=1⇒ck=1⇒k=1c⇒cosα=ac，设|MF2|＝m，|MF1|＝3m，由双曲线定义可知：|MF1|﹣|MF2|＝2a＝2m⇒a＝m⇒|MF2|＝a，|MF1|＝3a，由余弦定理可知：(3a)2=a2+(2c)2−2a⋅2c⋅ac⇒c2=3a2⇒e=√3．故选：B．6．已知函数f（x）＝（2﹣x）e x﹣ax在（0，5）上为减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，5e）B．[5e，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）解：因为函数f（x）＝（2﹣x）e x﹣ax在（0，5）上为减函数，所以f′（x）＝﹣e x+（2﹣x）e x﹣a≤0在（0，5）上恒成立，所以a≥（1﹣x）e x在（0，5）上恒成立，令g（x）＝（1﹣x）e x，所以g′（x）＝﹣e x+（1﹣x）e x＝﹣xe x＜0，所以g（x）在（0，5）上单调递减，所以﹣4e5＝g（5）＜g（x）＜g（0）＝1，故a≥1，所以a的取值范围是[1，+∞）．故选：D．7．如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小正三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小正三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基三角形．设A n是第n次挖去的小正三角形面积之和（如A1是第1次挖去的中间小正三角形面积，A2是第2次挖去的三个小正三角形面积之和），则（）A．A2=√364B ．A n 是等差数列C ．A n =√316(34)nD ．前n 次挖去的所有小正三角形面积之和为√34[1−(34)n ]解：由题意知，原等边三角形的面积为A =12×1×1×sin60°=√34，所以A 1=14A =14×√34=√316，A 2＝3×14A 1=34×√316=3√364，选项A 错误；由题意，可知：每次都是在前一次的基础上挖去几个相同大小的三角形，第一次挖去的三角形是原等边三角形的14，第一次挖去1个三角形；第二次挖去的三角形是原等边三角形的(14)2，第二次挖去3个三角形；第三次挖去的三角形是原等边三角形的(14)3，第三次挖去32个三角形；..．所以第n 次挖去的三角形是原等边三角形的（14）n ，第n 次只挖去3n ﹣1个三角形；所以A n ＝3n ﹣1•（14）n •A ＝3n ﹣1•（14）n •√34=√316×(34)n−1，（n ≥2，且n ∈N *）．所以{A n }是等比数列，且A n =√316•(34)n−1，n ∈N *；选项B 、C 错误；等比数列{A n }的前n 项和为S n =√316×[1−(34)n]1−34=√34[1−(34)n ]，选项D 正确．故选：D ． 8．已知函数f(x)=lnxx，直线l ：y ＝a （2x ﹣1），若有且仅有一个整数x 0，使得点P （x 0，f （x 0））在直线l 上方，则实数a 的取值范围是（） A ．[ln 2，ln 3） B ．（ln 2，ln 3] C ．[ln315，ln26)D ．(ln315，ln26] 解：点P （x 0，f （x 0））在直线l 上方，即lnx 0x 0＞a(2x 0−1)，因为x ＞0，所以lnx x＞a(2x −1)有且仅有一个正整数解．f(x)=lnx x ，f′(x)=1−lnxx 2，则x ∈（0，e ），f '（x ）＞0，f （x ）单调递增； x ∈（e ，+∞），f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f(x)≤f(e)=1e．又0＜x ＜1，f （x ）＜0；x ＝1，f （x ）＝0；x ＞1，f （x ）＞0，故可得f （x ）图象如下图，直线l ：y ＝a （2x ﹣1）过定点M(12，0)，当a ≤0，lnxx＞a(2x −1)有无数个正整数解，不合题意，故a ＞0，又lnxx ＞a(2x −1)有且仅有一个正整数解，故2是唯一的正整数解，即{ln22＞a(4−1)ln33≤a(6−1)⇒ln315≤a ＜ln26．故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知C ：x 2+y 2﹣6x ＝0，则下述正确的是（） A ．圆C 的半径r ＝3B ．点（1，2√2）在圆C 的内部 C ．直线l ：x +√3y +3＝0与圆C 相切D ．圆C ′：（x +1）2+y 2＝4与圆C 相交解：圆C 的方程即（x ﹣3）2+y 2＝9，则圆的半径为3，选项A 正确； (1−3)2+(2√2)2＞9，则点(1，2√2)在圆的外部，选项B 错误；圆心到直线x +√3y +3=0的距离d =|3+0+3|1+3=3，则直线与圆相切，选项C 正确；C 与C '的圆心距d =√(−1−3)2+02=4，由于1＜4＜5，故两圆相交，选项D 正确．故选：ACD ．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的是（） A ．若S n =2n 2+1，则{a n }是等差数列B ．若S n =(12)n −1，则{a n }是等比数列C ．若{a n }是等差数列，则S 199＝199a 100D ．若{a n }是等比数列，则S 99⋅S 101＞S 1002解：选项A ，n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n 2+1−2(n −1)2−1=4n −2， a 1＝S 1＝3，a 2＝6，a 3＝10，a 3﹣a 2≠a 2﹣a 1，{a n }不是等差数列，故A 错；选项B ，a 1=S 1=−12，n ≥2时，a n =S n −S n−1=(12)n −1−(12)n−1+1=(−12)n ，a2=14，a3=−18，a2a1=−12=a3a2，{a n}是等比数列，故B正确；选项C，若{a n}是等差数列，则S199=199(a1+a199)2=199×2a1002=199a100，故C正确；选项D，若a n＝1，则S n＝n，S99•S101＝99×101＝9999，而S1002=1002=10000＞9999，故D错误．故选：BC．11．已知F1，F2分别为椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)和双曲线E：x2a02−y2b02=1(a0＞0，b0＞0)的公共左，右焦点，P（在第一象限）为它们的一个交点，且∠F1PF2＝60°，直线PF2与双曲线交于另一点Q，若|PF2|＝2|F2Q|，则下列说法正确的是（）A．△PF1Q的周长为16a5B．双曲线E的离心率为√133C．椭圆C的离心率为√135D．|PF1|＝4|PF2|解：设|QF2|＝t，则|PF2|＝2t，|PF1|＝2t+2a0，|QF1|＝t+2a0，在△PF1Q中，由余弦定理|QF1|2=|PF1|2+|PQ|2−2|PF1||PQ|cos∠F1PQ，得(t+2a0)2=(2t+2a0)2+9t2−2(2a0+2t)⋅3t⋅cos60°，化简得a0＝3t，|PF1|＝2t+2a0＝8t＝4|PF2|，D正确；又2a＝|PF1|+|PF2|＝10t，所以a＝5t，又|QF1|＝t+2a0＝7t，则△PF1Q的周长为8t+3t+7t=18t=185a，A错误；△PF1F2中，|F1F2|＝2c，由余弦定理得4c2＝（8t）2+（2t）2﹣2×8t×2t×cos60°，所以c=√13t，因此双曲线的离心率为e1=ca0=√13t3t=√133，B正确；椭圆的离心率为e2=ca=√13t5t=√135，C正确，故选：BCD．12．已知a＞0，b＞0且e a+lnb＞a+b，则下列结论一定正确的是（）A．a＞b B．e a＞b C．e a+b＞2D．a+lnb＞0解：取a＝1，b＝1，e1+ln1＝e，a+b＝2，满足a ＞0，b ＞0且e a +lnb ＞a +b ，故A 不一定成立，取a ＝1，b =1e ，e 1+ln 1e=e ﹣1，a +b ＝1+1e ，满足a ＞0，b ＞0且e a +lnb ＞a +b ，但a +lnb ＝1+ln 1e=0，故D 不一定成立，令f （x ）＝e x ﹣x ，则f ′（x ）＝e x ﹣1，当x ＞0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当x ＜0时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减， ∴f （x ）极小值＝f （x ）最小值＝f （0）＝1， ∵a ＞0，b ＞0且e a +lnb ＞a +b ，∴e a ﹣a ＞b ﹣lnb ⇔e a ﹣a ＞e lnb ﹣lnb ⇔f （a ）＞f （lnb ），当a ＞lnb ＞0，∴e a ＞e lnb ＝b ＞e 0＝1，∴e a ＞b ，当a ＞0＞lnb ，此时0＜b ＜1，则e a ＞b ，故B 选项正确，先证明对任意的x 1，x 2∈R + 且x 1≠x 2，x 1−x 2lnx 1−lnx 2＜x 1+x 22，不妨设x 2＜x 1，即证ln x 1x 2＞2(x 1−x 2)x 1+x 2=2(x1x 2−1)x 1x2+1，令t =x 1x 2＞1，即证lnt −2(t−1)t+1＞0，设M （t ）=lnt −2(t−1)t+1＞0，M '（t ）=(t−1)2t(t+1)2＞0，故函数M （t ）在（1，+∞）上为增函数，当t ＞1时，M （t ）＞M （1）＝0， ∴对任意的x 1，x 2∈R + 且x 1≠x 2，x 1−x 2lnx 1−lnx 2＜x 1+x 22，∵e a +lnb ＞a +b ， ∴e a ﹣b ＞lne a ﹣lnb ， ∴e a +b 2＞e a −b lne a −lnb＞1，∴e a +b ＞2，故C 选项正确．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线l 1：2x +my +1＝0与直线l 2：m 2x ﹣y +12=0垂直，则实数m 的值为 0或12．解：由两条直线垂直可得2m 2﹣m ＝0，解得m ＝0或12．故答案为：0或12．14．设函数f （x ）的导数为f ′（x ），且f(x)=f ′(π3)sinx +cosx ，则f ′(5π6)= 1 ．解：因为f(x)=f ′(π3)sinx +cosx ，所以f ′(x)=f ′(π3)cosx −sinx ，令x =π3，则f ′(π3)=f′(π3)cos π3−sin π3，即f ′(π3)=12f′(π3)−√32，解得f ′(π3)=−√3，所以f ′(x)=−√3cosx −sinx ，所以f ′(56π)=−√3cos 56π−sin 56π=−√3×(−√32)−12=1．故答案为：1． 15．已知双曲线C 2：y 22−x 2=1的上、下焦点分别为F 1，F 2．点P 在x 轴上，线段PF 1交C 于Q 点，△PQF 2的内切圆与直线QF 2相切于点M ，则线段MQ 的长为 √2 ．解：设|QM |＝x ，|F 2M |＝y ，则|QN |＝x ，|F 2H |＝y ，因为|PF 1|＝|PF 2|，∴|NF 1|＝|HF 2|，故x +|QF 1|＝y ，由双曲线的定义可知|QF 2|﹣|QF 1|＝2a ＝2√2，即x +y ﹣|QF 1|＝2a ，解得：x ＝a =√2．故答案为：√2．16．若数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =S nn，则称数列{b n }是数列{a n }的“均值数列”．已知数列{b n }是数列{a n }的“均值数列”且b n ＝n ，设数列{1√a +a }的前n 项和为T n ，若12(m 2−m +√3−3)＜T n 对n ∈N *恒成立，则实数m 的取值范围为（﹣1，2）．解：由题意，可知b n =S nn=n ，即S n ＝n 2，n ∈N *，则当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2﹣（n ﹣1）2＝2n ﹣1， ∵当n ＝1时，a 1＝1也符合上式， ∴a n ＝2n ﹣1，n ∈N *， ∴√a n +a n+1=√2n−1+√2n+1=√2n−1−√2n+1(√2n−1+√2n+1)(√2n−1−√2n+1)=√2n+1−√2n−12，∴T n=1√a+√a1√a+√a+⋯1√a n+√a=√3−12+√5−√32+⋯+√2n+1−√2n−12=√2n+1−12，故不等式12(m2−m+√3−3)＜T n即为12（m2﹣m+√3−3）＜√2n+1−12，化简整理，可得m2﹣m＜√2n+1+2−√3，∵n∈N*，∴√2n+1≥√2×1+1=√3，∴√2n+1+2−√3≥√3+2−√3=2，∵不等式12(m2−m+√3−3)＜T n对n∈N*恒成立，∴m2﹣m＜2对n∈N*恒成立，即m2﹣m﹣2＜0恒成立，解得﹣1＜m＜2，∴满足不等式12(m2−m+√3−3)＜T n对n∈N*恒成立的实数m的取值范围为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=x3+32x2−4ax+2．（1）若函数g（x）＝6lnx﹣x3+（4a﹣9）x+f（x），求g（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个都小于0的极值点，求实数a的取值范围．解：（1）g（x）＝6lnx﹣x3+（4a﹣9）x+f（x）＝6lnx﹣9x+32x2+2，x＞0，g′（x）=6x −9+3x=6−9x+3x2x=3(x2−3x+2)x=3(x−2)(x−1)x，所以在（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，在（1，2）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在（2，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．（2）因为f（x）有2个极值点且都小于0，所以f′（x）＝3x2+3x﹣4a＝0有2个不相等的负实数根，所以{Δ=9+48a＞0x1+x2=−1＜0x1x2=−4a3＞0，解得−316＜a＜0，所以实数a的取值范围为（−316，0）．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（c+2b）cos A+a cos C＝0．（1）求角A的值；（2）若a＝14，c＝6，求△ABC的面积．解：（1）由（2b+c）cos A+a cos C＝0，根据正弦定理有（2sin B+sin C）cos A+sin A cos C＝0，所以2sin B cos A+sin C cos A+sin A cos C＝0，所以2sin B cos A+sin（C+A）＝0，即2sin B cos A+sin B＝0，因为0＜B＜π，所以sin B≠0，所以cosA=−1 2，因为0＜A＜π，所以A=2π3．（2）∵cos A=b2+c2−a22bc，∴−12=b2+62−1422×b×6，∴b＝10或﹣16（舍），∴S△ABC=12bc sin A=12×10×6×√32=15√3．19．（12分）如图，AE⊥平面ABCD，BF∥平面ADE，CF∥AE，AD⊥AB，AB＝AD＝2，AE＝BC＝4．（1）求证：AD∥BC；（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．解：（1）证明：∵CF//AE，CF⊄面AED，AE⊂面AED，∴CF∥面AED，又∵BF∥面AED，BF∩CF＝F，BF、CF⊂面BCF，∴面BCF∥面AED，又∵面BCF∩面ABCD＝BC，面ADE∩面ABCD＝AD，∴AD∥BC．（2）以A为原点，分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，4，0），D （0，2，0），E （0，0，4），∴BD →=(−2，2，0)，BE →=(−2，0，4)，CE →=(−2，−4，4)，设平面BDE 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BD →=−2x +2y =0n →⋅BE →=−2x +4z =0，取z ＝1，则x ＝2，y ＝2，则n →=(2，2，1)，设直线CE 与平面BDE 所成角为φ，则sinφ=|cos ＜CE →，n →＞|=86×3=49．所以直线CE 与平面BDE 所成角为49． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点F(√3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为椭圆C 的上顶点，直线l ：y ＝x +m （m ≠1）与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若BM ⊥BN ，求直线l 的方程．解：（1）由题意得，c =√3，a b=2，a 2＝b 2+c 2，∴a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）依题意，知B （0，1），设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．联立{y =x +m x 2+4y 2=4，消去y ，可得5x 2+8mx +4m 2﹣4＝0， ∴Δ＝16（5﹣m 2）＞0，即−√5＜m ＜√5，m ≠1，且x 1+x 2=−8m 5，x 1x 2=4m 2−45． ∵BM ⊥BN ，∴BM →⋅BN →=0．∵BM →⋅BN →=(x 1，x 1+m −1)⋅(x 2，x 2+m −1)=2x 1x 2+(m −1)(x 1+x 2)+(m −1)2=0，∴2×4m 2−45+(m −1)−8m 5+(m −1)2=0，整理得5m 2﹣2m ﹣3＝0，解得m =−35或m ＝1（舍去）． ∴直线l 的方程为y =x −35． 21．（12分）已知数列{a n }满足a n a n +2=12a n+1（n ∈N *），a 1＝1．（1）证明：数列{1a n}为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）若记b n 为满足不等式(12)n ＜a k ≤(12)n−1，n ∈N ∗的正整数k 的个数，数列{b n a n}的前n 项和为S n ，求关于n的不等式S n＜2024的最大正整数解．解：（1）由a na n+2=12a n+1取倒数得a n+2a n=2a n+1，故1a n+1−1a n=12，又1a1=1，所以数列{1a n}是首项为1，公差为12的等差数列，则1a n=1+12(n−1)=n+12，所以a n=2n+1；（2）当(12)n＜a k≤(12)n−1，n∈N∗时，(12)n＜2k+1≤(12)n−1，故2n−1≤k+12＜2n，解得2n﹣1≤k＜2n+1﹣1，所以满足条件的整数k的个数为2n+1﹣1﹣（2n﹣1）＝2n，即b n=2n，所以b na n=2n2n+1=(n+1)⋅2n−1＞0，故数列{S n}递增，所以S n=2×20+3×21+4×22+⋯+(n+1)×2n−1，则2S n=2×21+3×22+4×23+⋯+n×2n−1+(n+1)×2n，两式相减可得−S n=2+2+22+⋯+2n−1−(n+1)⋅2n=2+2−2n1−2−(n+1)⋅2n=−n⋅2n，所以S n=n⋅2n，.因为S7=7×27=896，S8=8×28=2048，所以S7＜2024＜S8，因此，满足S n＜2024的最大正整数n的值为7．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+ax+a e x．（1）当a＝2时，求f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；（2）当x≥0时，不等式f（x）≤2恒成立，求a的取值范围．解：（1）当a＝2时，f(x)=x2+2x+2e x，∴f′(x)=−x2e x，故切线的斜率k＝f'（﹣1）＝﹣e，又f（﹣1）＝e，∴切点为（﹣1，e），∴切线方程为y﹣e＝﹣e（x+1），化简得ex+y＝0．（2）法1：当x≥0时，f（x）≤2恒成立，故x2+ax+ae x≤2，也就是x2+ax+a≤2e x，即a（x+1）≤2e x﹣x2，由x+1＞0得a≤2e x−x2x+1，令ℎ(x)=2e x−x2x+1(x≥0)，则ℎ′(x)=(2e x−2x)(x+1)−(2e x−x2)(x+1)2=x(2e x−x−2)(x+1)2，令t（x）＝2e x﹣x﹣2，则t'（x）＝2e x﹣1，可知t′（x）在[0，+∞）单调递增，则t'（x）≥t'（0）＝1，即t'（x）＞0在（0，+∞）恒成立，故t（x）在[0，+∞）单调递增，所以t（x）≥t（0）＝0，故h'（x）≥0在[0，+∞）恒成立，所以h（x）在[0，+∞）单调递增，而h（0）＝2，所以h（x）≥2，故a≤2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2]．法2：因为当x≥0时，f（x）≤2恒成立，故f（x）max≤2，由f′(x)=−x2+(2−a)xe x=−x[x−(2−a)]e x(x≥0)，令f'（x）＝0，得x＝0或x＝2﹣a，①当2﹣a≤0，即a≥2时，f'（x）≤0在x∈[0，+∞）上恒成立，∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴f(x)max=f(0)=ae0=a≥2，∴a＞2不合题意，a＝2合题意．②当2﹣a＞0，即a＜2时，当x∈[0，2﹣a）时f'（x）＞0，当x∈（2﹣a，+∞）时f'（x）＜0，故f（x）在[0，2﹣a）上单调递增，在（2﹣a，+∞）上单调递减，∴f(x)max=f(2−a)=4−ae2−a，设2−a=t＞0，y=t+2e t，则y′=−1−te t＜0恒成立，∴y=t+2e t在（0，+∞）上单调递减，故t+2e t＜0+21=2，即f（x）max＜2，合题意．综上，a≤2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2]．法3：因为当x≥0时，f（x）≤2恒成立，也就是x2+ax+a≤2e x，即2e x﹣x2﹣ax﹣a≥0恒成立，令h（x）＝2e x﹣x2﹣ax﹣a，x∈[0，+∞），令S（x）＝h'（x）＝2e x﹣2x﹣a，S'（x）＝2e x﹣2，∵x≥0，∴e x≥1，∴S'（x）≥0恒成立，∴h'（x）在[0，+∞）上单调递增．∴h'（x）min＝h'（0）＝2﹣a．①当2﹣a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）min＝h（0）＝2﹣a≥0，合题意；②当2﹣a＜0，即a＞2时，ln a2＞0，因为h'（0）＝2﹣a＜0，ℎ′(ln a2)=−2lna2＜0，存在x0∈（0，+∞），使得h'（x0）＝0，即2e x0=2x0+a，∴h（x）在[0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴ℎ(x)min=ℎ(x0)=2e x0−x02−ax0−a=(2x0+a)−x02−ax0−a=−x02+(2−a)x0＜0，不合题意．综上，a≤2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2]．。

福建省福州八县(市)一中高二数学上学期期末联考试题理.doc

福建省福州八县（市）一中-高二数学上学期期末联考试题理完卷时间：1 满分：150分一、选择题（每小题各5分, 共60分）1．命题2x R,x x 0∀∈-≥的否定（）A.2x R,x x 0∀∈-≥B. 2x R,x x 0∃∈-<C.2x R,x x 0∀∈-<D. 2x R,x x 0∃∈-≥2．抛物线214y x =的准线方程是（）A ．116y =B ．116y =- C ．1y = D ．1y =-3．已知命题p 、q,“非p 为真命题”是“p 或q 是假命题”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知平面α的法向量是()2,3,1-，平面β的法向量是()4,,2λ-，若βα//，则实数λ的值是（）A ．103-B ．6-C ．6D ．1035.已知,a b R ∈，命题“若1a b +=，则2212a b +≥”的否命题是（）A ．若2211,2a b a b +≠+<则B ．若2211,2a b a b +=+<则C ．若221,12a b a b +<+≠则D ．若221,12a b a b +≥+=则6.设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是043=+y x ， 21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，若101=PF ，则2PF 等于（）A ．2B ．18C ．2或18D ．16 7.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线 BE 与1CD 所成的角的余弦值为( )A ．10 B ． 15 C ． 10 D ． 358. 已知(4,1,3)A 、(2,3,1)B 、(3,7,5)C -，点(,1,3)P x -在平面ABC 内，则实数x 的值为（） A ．4- B ．1 C ．10 D ．119．经过点P （4，2-）的抛物线的标准方程为（）A ．x y 82-=B ．y x 82-=C ．x y =2或y x 82-= D ．x y =2或x y 82=10. 已知A 、B 、C 三点不共线，点O 为平面ABC 外的一点，则下列条件中，能得到∈M 平面ABC 的充分条件是（）A ．1133OM OA OB OC =-+； B ．111222OM OA OB OC =++；C ．OM OA OB OC =++；D ．2OM OA OB OC =-- 11. 已知抛物线22y px =与直线40ax y +-=相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标是(1，2)。

福建省福州八中高二数学上学期期末考试试题理新人教A版

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1. 命题“∀x R ∈，2210x x -+<”的否定是 A ．∀x R ∈，2210x x -+≥ B ．∃x R ∈，2210x x -+≥ C ．∃x R ∈，2210x x -+≤ D ． ∃x R ∈，2210x x -+< 2．抛物线22y x =的焦点坐标是A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．1(0,)8D ．1(0,)43. 如图，四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则1()2AB BD BC ++化简的结果是A ．DMB ．BMC ． CMD ． AM 4. 有下列四个命题： ①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为 A ．①② B ．①③ C ．②③D ．③④5. 设集合{}2|40A x x x =-<，集合{}|03B x x =<<，则""m A ∈是""m B ∈ 的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知双曲线的渐近线为3y x =±，且双曲线的焦点与椭圆192522=+y x 的焦点相同，则双曲线方程为A ．221824x y -= B ．221124x y -=C ．221248x y -= D ．221412x y -= 7. 直线l : x －2y+2=0过椭圆的左焦点F 和一个顶点B, 则该椭圆的离心率为A.15B.25C.5D.58. 已知平面α过点(3,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,3)C ，则原点O 到平面α的距离为A ．3B ．6CD．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）9. 顺次连接椭圆2212516x y +=的四个顶点，得到的四边形面积等于_________。

福建省福州八县(市)高二数学上学期期末联考试题理新人教A版

高二年级数学（理科）试卷完卷时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 命题“若ab ＝0，则a=0或b=0”的否命题是( )A ．若ab=0，则a ≠0或b ≠0B ．若ab=0，则a ≠0且b ≠0C ．若ab ≠0，则a ≠0或b ≠0D ．若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0 2．已知△ABC 的顶点A (1，－1，1)，B (5，6，2)，C (1，m ，－1)，若∠ACB =900，则m 等于( )A ．0B ．5C ．0或5D ．不存在3．已知方程13522=-+-k y k x ，该方程表示椭圆的充要条件是( ) A ．53<<k B ．3<k C ．5>k D ．453≠<<k k 且4．若平面α的一个法向量n ＝(2,2,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,－1,－4)，则l 与α所成角的正弦值为( )A ．629B ．229C ．－229D ．±2295．过双曲线13422=-y x 左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN +-的值为( )A ．4B ．8C ．16D ．126．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，c ＝(1，4，4)，且a 、b 、c 共面，则λ＝( )A ．1B ．－1C ．1或2D ．±17．已知命题p ：x ²∈{x |11+x>0}，则⌝p 是( )A ．x ∈{x |11+x ≤0}B ．x ²∈{x |11+x ≤0}C ．x ² ∉{x|11+x ≤0|}D ．x ² ∉{x |11+x >0}8．下列有关双曲线13222=-y x 的命题中，叙述正确的是( ) A ．渐近线方程y=±63xB ．离心率e =102C ．顶点（0，±2）D ．焦点（±5，0）9．已知经过点M （4，0）的直线交抛物线x y 42=于A 、B 两点，则以线段AB 为直径的圆与原点的位置关系是( )A ．原点在圆内B ．原点在圆上C ．原点在圆外D ．不能确定 10．设R b a ∈,，下列给出b a ,三个命题:①“存在0>a ，使得对任意的b ，都有1≥b a ；②“任意0>a ，存在b 使得001.0<ba ”；③存在两个无理数b a ,，使得ba 为有理数．其中真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。