复变函数习题答案第4章习题详解

第四章习题详解

1．下列数列a是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：

n

1)a n 1

1

ni

mi

；

2) a n

n

i

1；

2

3)a

i

n

n1；

n1

4)

ni

2 a n e；

1ni

a n e。

n

5)2

0,a1

2．证明：lim

n a

n

1

,

,

a

a1

1

不存在，a1,a1

3．判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：n

i

1)

；n

n1

n

i

2)

；ln n

n2

3)

65i

n

08

n；

4)

n

cos

02

n

in

。

4．下列说法是否正确？为什么？

1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；

1

2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；

3)每一个在z连续的函数一定可以在z

0的邻域内展开成泰勒级数。

5．幂级数

n

c能否在z0收敛而在z3发散？

n z2

n0

6．求下列幂级数的收敛半径：

1)

n1

n

z

p

n

（p为正整数）；

2

n!

n

2)z

；

n

nn1

3) 1

n

n iz；

n0

4)

i

n

ez；

n

n1

5)

n1

i

n chz1；

n

nz

6)

。ln in

n1

7．如果

n

c n z的收敛半径为R，证明

n

Re的收敛半径R。[提示：

c n z

n

n

Re c n zcz]

n

n0n0

8．证明：如果

c

n1

lim存在，下列三个幂级数有相同的收敛半径

nc

n

n

c n z；

c

n1z

n1

n1

；

n1 nc n z。

2

9．设级数c收敛，而

n c发散，证明

n

n

c n z的收敛半径为1。

n0n0n0

10．如果级数

n

c n z在它的收敛圆的圆周上一点z0处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收n0

敛。

11．把下列各函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径：

1)

11

3

z

；

2)

11

z

22

；

3)

2 cos z；

4)shz；

5)chz；

6)e

2

z sin；

2

z z

7)

z1 e；

8)

1 sin。

1z

12．求下列各函数在指定点z处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半

径：

1) z

z

1

1

，z1；

2)

z

z

1z2

，z2；

3

3) 1

2

z

，z1；

4)

1

43z

，z01i；

5)tgz；z；

4

6)arctgz；0

z。

13．为什么在区域zR内解析且在区间R,R取实数值的函数fz展开成z的幂级数时，展开式的系数都是实数？

14．证明在fz

1

cos以z的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为z

z

c

1

2

n cos2coscos nd，n0,1,2,。[提示：在公式4.4.8中，取C为z1，2

在此圆上设积分变量

i

e。然后证明c n的积分的虚部等于零。]

15．下列结论是否正确？

用长除法得

1z

z

zz

23

z z

4

z z111

1

23 1zzz

zz

因为0

1zz1

111234

所以21zzzz0

3

zzz

16．把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数：

1)

z 2

1

1z2

，1z2；