奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三上部分,共)-46
初中数学奥林匹克竞赛题包括答案.docx
初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题 1 分，共 10 分）1．如果 a，b 都代表有理数，并且a＋b=0 ，那么 ( ) A．a，b 都是 0B．a，b 之一是 0C．a，b 互为相反数D． a，b 互为倒数答案： C解析：令 a=2 ， b= － 2，满足 2+( － 2)=0 ，由此 a、b 互为相反数。
2．下面的说法中正确的是( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案： D3都是单项式．两个单项式33A。
两个单项式解析： x2， x x ， x2之和为 x +x 2是多项式，排除x2， 2x2之和为3x2是单项式，排除 B。
两个多项式x3+x2 与 x3－x2之和为2x3 是个单项式，排除 C，因此选 D。
3．下面说法中不正确的是( )A.有最小的自然数B．没有最小的正有理数Word资料C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案： C解析：最大的负整数是-1 ，故 C 错误。
4．如果 a，b 代表有理数，并且a＋b 的值大于 a－ b 的值，那么( ) A．a，b 同号B．a，b 异号C．a＞0D． b＞ 0答案： D5．大于－π并且不是自然数的整数有( )A．2 个B．3 个C．4 个D．无数个答案： C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0 在）的整数只有－3，－ 2，－1 ，0 共 4 个．选 C。
6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
Word资料这四种说法中，不正确的说法的个数是( )A．0 个B．1 个C．2 个D． 3 个答案： B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故 C 错误。
7．a 代表有理数，那么， a 和－ a 的大小关系是( )A．a 大于－ aB．a 小于－ aC．a 大于－ a 或 a 小于－ aD． a 不一定大于－ a答案： D解析：令 a=0 ，马上可以排除A、 B、 C，应选 D。
初中数学竞赛奥数基础讲座反比例函数(含解答)
反比例函数内容讲解1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=kx（k•为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2．反比例函数的图象和性质．利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=kx具有如下的性质①当k>0时，函数的图象在第一、三象限，•在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增加是减小；②当k<0时，•函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而增大．3．反比例函数的确定方法：由于在反比例函数关系式y=kx中，•只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入y=kx中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式． 4．用待定系数法求与反比例函数关系式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为：y=kx（k ≠0）；•②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k 的方程；③由代入法解待定系数k 的值；④把k 值代入函数关系式y=kx中．例题剖析例1 如果函数y=k 222k k x +-的图象是双曲线，且在第二、四象限，•那么k 的值是多少？分析：若函数的图象是双曲线，则此函数为反比例函数y=kx，且k ≠0，若图象在第二、四象限，则k<0，故可求出k 的值．解：由反比例函数定义，得211221,200k k k k k k ⎧⎧=-=+-=-⎪⎨⎨<⎩⎪<⎩或所以k=-1，这时函数为y=-1x． 评注：函数y=k x m 反比例函数，则m=-1，k ≠0；若y=mkx 是反比例函数，则m=1，k ≠0．例2 函数y=kx 和y=kx（k<0）•在同一坐标系中的图象是（ ）分析：对于y=kx 来说，当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；对于y=kx来说，当k>0时，图象在一、三象限，当k<0时，图象在二、四象限，所以应选（C ）． 解：（C ）．评注：由于两个函数中的k 是相同的，所以可以把k 分为两类进行讨论，当k>•0时的图象是什么？当k<0时的图象是什么？例3 如图，正比例函数y=3x 的图象与反比例函数y=kx（k>0）的图象交于点A ，若取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，…，S 20，则S 1+S 2+…+S 20=_________．分析：因为过正比例函数与反比例函数的交点作x 轴的垂线，x 轴，•正比例函数与垂线所围成的Rt △AOB 的面积是k 的一半． 解：105．评注：若k 取大于0的自然数1，2，3，……n ，则对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，S 3……S n ，则S 1+S 2+S 3+……+S n =(1)4n n ． 例4 正比例函数y=-x 与反比例函数y=-1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D （如图）•，•则四边形ABCD•的面积为________．分析：易知四边形ABCD 是一平行四边形，故可知其面积为S 的4倍，为一常数． 解：函数y=x 与y=1x的图象交点A 、C 的坐标分别为（1，1），（-1，-1），所以△AOB•的面积等于12，根据反比例函数的图象是中心对称图形，得平行四边形ABCD 的面积为2．评注：理解反比例函数中的不变量k 的几何意义是解题的关键． 例5 两个反比例函数y=3x ，y=6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3，…，P 2005在反比例函数y=6x图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2005，纵坐标分别是1，3，•5，•…，•共2005个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2005分别作y 轴的平行线，与y=3x的图象交点依次是Q 1（•x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2005（x 2005，y 2005），则y 2005=________．分析：解题关键是抓住点P 1，P 2，P 3，…，P 2005与点P 1，P 2，P 3，…，P 2005的横坐标相同．解：当点P 1，P 2，P 3，…，P 2005在函数y=6x的图象上，它们的纵坐标分别取1，3，5，...，4009•时相应的横坐标分别为666,,135， (6)4009．Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2005（x 2005，y 2005）在函数y=3x的图象上，•且这些点的横坐标分别与点P 1，P 2，P 3，…，P 2005的横坐标相同，点Q 2005横坐标是64009．所以点Q 2005的纵坐标是y 2005=k x =34009624009． 评注：本题以能力立意，一方面通过“数”与“形”的转换考查了学生的数学表达能力，另一方面也考查了学生自主探索与合情推理等能力．此类题背景较新颖，有时规律较隐蔽，而成为填空题中的“把关题”．例6 设函数f （x ）对所有非零实数x ，有f （x ）+2f （1x）=3x ，求方程f （x ）=f （-x ）的解．分析：通过观察，发现x 与1x 互为倒数，把1x 换成x 后可得到关于f （x ）和f （1x）的两个方程，可以求解．解：由f （x ）+2f （1x ）=3x 得f （1x ）+2f （x ）=3x ， 联立两式，消去f （1x ），得3f （x ）=6x -3x ，所以f （x ）=2x-x ．从而方程f （x ）=f （-x ），可化为2x -x=-2x+x ，解得：x=经检验是方程的解．评注：本题由于方程比较特殊，抓住x 与1x互为倒数的特点是解题的关键．例7 反比例函数y=kx（k>0）在第一象限内的图像如图所示，P 为该图像上任意一点，PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ．设△POQ 的面积为S ，•那么S 的值与k 的值是否存在关系？若有关系，请写出S 与k 之间的关系式；若没有关系，请说明理由．分析：因为S △POQ =12·OQ ·PQ ，若设P 点坐标为P （x ，y ），则OQ=│x │，PQ=│y │，又因为P•点在第一象限，所以x>0，y>0，因此可以得到S △POQ =12xy ，而由y=kx可以得到xy=k ，•于是可以确定S 与k 的关系式． 解：S 与k 之间的关系式为S=12k ， 设P 点的坐标为P （x ，y ），则OQ=│x │，PQ=│y │． ∵点P 在第一象限内，∴x>0，y>0， ∴OQ=x ，PQ=y ．∴S△POQ=12·OQ·PQ=12xy．又∵xy=k，∴S△POQ =12k．评注：反比例函数的系数k与过双曲线上的点作x轴、y轴的垂线所围成的矩形的面积之间的关系在解题中作用很大，要熟练掌握．例8如图所示，已知反比例函数y=12x的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P、•Q两点，并且P点的纵坐标是6．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△POQ的面积．分析：由已知条件P点的纵坐标是6，而点P在反比例函数y=12x上，可以求得P•点的横坐标为x=2，即P点坐标为（2，6）．又P点也在一次函数y=kx+4上，把点（2，6）•代入即可求出一次函数的解析式，•△POQ的面积可以分成△PON与△QON两部分，这两部分的面积能通过P、Q两点的坐标得到．解：（1）∵点P在反比例函数y=12x的图像上，且其纵坐标为6．∴12x=6解得x=2，∴P（2，6）．又∵点P在函数y=kx+4的图像上，∴6=2k+4，解得k=1．∴所求一次函数的解析式为y=x+4．（2）解方程组12124,62122, 6.,y x x x y y y x =+⎧=-=⎧⎧⎪⎨⎨⎨=-==⎩⎩⎪⎩得 ∴点Q 的坐标为（-6，-2）． 令y=0，代入y=x+4，解得x=-4．∴函数y=x+4的图像与x 轴的交点是N （-4，0）．∴△PON 和△QON 的公共边ON=4，ON 边上的高分别为PA=6，QB=2． ∴S △POQ =S △PON +S △QON =12×4×6+12×4×2=16． 评注：本题涉及一次函数及反比例函数的图像，识别图形的形状位置及交点是挖掘此类题目隐含条件的关键．例9 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧后，y 与x 成反比例（如图）．观测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，•请根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）•药物燃烧时，•y•关于x•的函数关系式为________，•自变量x•的取值范围是__________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为________．（2）研究表明，当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克时，学生方可进教室，•那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室．（3）研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10•分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？分析：这是一道紧扣生活热点的应用题，应引起同学们的重视，•同时要学会看图形．解：由图知药物燃烧时，函数为正比例函数设y与x的解析式为y=kx（k≠0）∵点（8，6）在直线上，∴6=8k，∴k=34，∴y与x的解析式为y=34x（0<x≤8）．药物燃烧后函数为反比例函数设y与x的解析式为y=`kx（k′≠0），点（8，6）在曲线上，∴k′=8×6=48．∴y与x的解析式为y=48x（x>8）．（2）将x=1.6代入反比例函数解析式中y=481.6=30（分钟）答：从消毒开始，至少要经过30分钟后学生才能回教室．（3）把y=3分别代入两个函数解析式，解得x=4和x=16，而16-4=12>10．即空气中每立方米的含药量不低于3毫克的持续时间为12分钟，∴这次消毒有效．评注：本题通过具体问题情境，既考数学的应用，又考应用的数学．•解答这类问题要善于从图象中提取有效信息、从实际问题中构建出数学模型．例10 某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；（2）按照这种变化规律，若2005年已投入技改资金5万元．①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）？分析：观察表格发现“投入技改资金x ”与“产品成本y ”的积不变，•故表中数据满足反比例函数关系．解：（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b 当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6 7.2 2.5 2.46313.2k b k k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ∴一次函数解析式为y=-2.4x+13.2． 把x=4时，y=4.5代入此函数解析式 左边≠右边，∴其不是一次函数． 同理，其也不是二次函数． 设其为反比例函数，解析式为y=kx当x=2.5时，y=7.2可得7.2=2.5k，得k=18 ∴反比例函数为y=18x ． 验证：当x=3时，y=183=6，符合反比例函数．同理可验证：x=4时，y=4.5；x=4.5时，y=4成立．∴可用反比例函数y=18x表示其变化规律． （2）解：①当x=5万元时，y=185=3.6．∵4-3.6=0.4（万元），∴生产成本每件比2004年降低0.4万元．②当y=3.2时，3.2=18x，得x=5.625，∵5.625-5=0.625≈0.63（万元）．∴还需投入0.63万元．评注：这是一道渗透新课程理念的好题．它没有直接给出函数的解析式，而是让学生从表中获取信息，来索取与其变化规律相合拍的函数，并付诸于具体实际的应用问题之中．较好地考查了学生直觉思维能力和合情推理探索能力、建模能力和解决实际问题的能力．例11 已知，如图所示，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，•点C在y轴上，点B在函数y=kx（k>0，x>0）的图像上，点P（m，n）是函数y=kx上的任意一点，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分面积为S．（1）求B点的坐标和k的值；（2）当S=92时，求点P的坐标；（3）写出S关于m的函数关系式．分析：把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含n的代数式表示，解题的关键是双曲线关于y=x对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密．解：（1）依题意，设B点坐标为（x0，y0）．所以S正方形OABC=x0y0=9，x0=y0=3即B（3，3），所以x0y0=k，k=9；（2）①P （m ，n ）在y=9x上，S 正方形OEP1F =mn=9，所以S矩形OAGF =3n ，由已知可得S=9-3n=92，解得n=32，m=6，•所以P 1（6，32）． ②如图（a ）所示，同理可求得P 2（32，6）．（3）如图（b ）所示，当0<m<3时，因为点P 坐标为（m ，n ），所以S 矩形OEGC =3m ，S=S 矩形OEPF -S 矩形OEGC所以S=9-3m （0<m<3）如图（c ）所示，当m ≥3时，因为P 点坐标为（m ，n ） 所以S 矩形OAGF =3n ，mn=9，n=9m，所以S=9-3n=9-27m ． 评注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合某种条件的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程（组），解方程（组）便可求得有关点的坐标，对于几何问题，•还应注意图形的分类讨论．例12 三个反比例函数（1）y=1k x ；（2）y=2kx ；（3）y=3k x在x 轴上方的图象如图所示，•由此推出k 1，k 2，k 3的大小关系．分析：由图象所在的象限可知：k 1<0，k 2>0，k 3>0；在（2）（3）中，为了比较k 与k 的大小，可取x=a>0，作直线x=a ，与两图象相交，找到y=2k x 与y=3k x的对应函数值b 和c ，由于k 2=ab ，k 3=ac ，而c>b>0，因而k 3>k 2>k 1． 解：k 3>k 2>k 1．评注：比较反比例函数的系数k 的大小一般先从图象上去考虑，图象在一、•三象限的k 值比图象在二、四象限的k 值大，同一个象限内图象在外部的k•值比在内部的k 值大． 例13 已知点（1，3）在函数y=kx（k>0）的图象上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E•是对角线BD 的中点，函数y=kx（k>0）的图象．经过A 、E 两点，点E 的横坐标为m ．（1）求k 的值；（2）求点C 的横坐标（用m 表示）；（3）当∠ABD=45°时，求m 的值．分析：由点P 在反比例函数上，可以先求出k 值，利用对称性可以求出点C 的坐标． 解：（1）因为点（1，3）在函数y=kx（x>0）的图象上， 所以3=1k，所以k=3； （2）因为点E 在函数y=3x 的图象上，所以E 点的纵坐标为3m．所以点E 的坐标为（m ，3m ），•设B 点的坐标为（b ，0），所以A 点的坐标为（b ，6m）． 因为A 点在函数y=3x 的图象上，所以6m =3b ，所以b=2m．所以C 点的横坐标为OB+BC=b+2（m-b ）=2m +2（m-2m ）=2m +m=32m ；（3）当∠ABD=45°时，│AB │=│AD │，所以6m =32m -2m=m ．所以m 2=6，又因为m>0，所以评注：此题是函数和几何综合题，所以在解题中一定要先看图、读懂图，找出图形中的内在联系．例14 有一个Rt △ABC ，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，•将它放在直角坐标系中，使斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在反比例函数y=x的图象上，求点C 的坐标．分析：通过画图可发现：点A 的位置有两种情况（在第一象限的那支图象上或在第三象限的那支图象上），点B 、C 的位置也有两种情况（可能点靠近原点，也可能点不靠近原点），解题时要注意利用反比例函数图象的对称性． 解：本题共有4种情况．（1）如图①，过点A 做AD ⊥BC 于D ，∵AB=1，∠B=60°，∴BD=12，AD=2，∴点A 的纵坐标为2．将其代入y=x ，得x=2，即OD=2． 在Rt △ADC 中，DC=32，所以OC=72，即点C 1的坐标为（72，0）．（2）如图②，过点A 作AE ⊥BC 于E 则AE=2，OE=2，CE=32，所以OC=12．即点C 2的坐标为（12，0）．• 根据双曲线的对称性，得点C 3的坐标为（-72，0），点C 4的坐标为（-12，0）．所以点C 的坐标分别为：（72，0）、（12，0）、（-72，0）、（-12，0）．评注：根据题意，进行分类，是解决本题的突破口．此题涉及与反比例函数相关的综合性问题，能较好地展示学生的思维过程和思维个性，着重考查学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力，具有较好的选拨功能． 巩固练习一、填空题1．若一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则抛物线y=x 2+kx+b•的对称轴位于y•轴的_______侧；反比例函数y=kbx的图象在第_______象限，在每一个象限内，y 随x•的增大而________． 2．反比例函数y=kx的图象经过点A （m ，n ），其中m ，n 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，则A 点坐标为________． 3．如图：函数y=-kx （k ≠0）与y=-4x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，•垂足为点C ，则△BOC 的面积为________．4．已知，点P （n ，2n ）是第一象限的点，下面四个命题： （1）点P 关于y 轴对称的点P 1的坐标是（n ，-2n ）；（2）点P 到原点O ； （3）直线y=-nx+2n 不经过第三象限； （4）对于函数y=nx，当x<0时，y 随x 的增大而减小；其中真命题是_______．（填上所有真命题的序号） 二、选择题5．已知反比例函数y=1mx的图像上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1<0<x 2时，有y 1<y 2，则m 的取值范围是（ ） （A ）m<0 （B ）m>0 （C ）m<12 （D ）m>126．已知反比例函数y=kx的图象如图（a ）所示，则二次函数y=2k x 2-x+k 2的图象大致为（ ）7．函数y=-ax+a 与y=ax（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）8．如图，A 、B 是函数y=1x的图象上的点，且A 、B 关于原点O 对称，AC ⊥x 轴于C ，BD•⊥x 轴于D ，如果四边形ACBD 的面积为S ，那么（ ）（A ）S=1 （B ）1<S<2 （C ）S>2 （D ）S=29．如图，在直角坐标系中，直线y=6-x 与函数y=4x（x>0）的图象相交于点A 、B ，•设点A 的坐标为（x 1，y 1），那么长为x 1，宽为y 1的矩形面积和周长分别为（ ） （A ）4，12 （B ）8，12 （C ）4，6 （D ）8，6 三、解答题10．如图，已知一次函数y=kx+b （k≠0）的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，•且与反比例函数y=mx（m ≠0）的图像在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，若OA=OB=OD=1．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．11．如图，一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数y=kx的图象交于M 、N 两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．12．已知反比例函数y=2kx和一次函数y=2x-1，其中一次函数图像经过（a ，b ），（a+•1，b+k ）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A 点坐标； （3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．13．反比例函数y=kx的图象上有一点P（m，n），其中m、n是关于t•的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P到原点O，则该反比例函数的解析式为________．14．老师给出一个函数y=f（x），甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图像不经过第三象限；乙：函数图像经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时，y>0已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数：_______．15．已知反比例函数y=12x的图象和一次函数y=kx-7的图象都经过点P（m，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A、B的横坐标分别为a和a+2，求a 的值．16．通过市场调查，一段时间内某地区特种农产品的需求量y（千克）•与市场价格x（元/千克）存在下列函数关系式：y=100000x+6000（0<x<100）；又已知该地区农民的这种农产品的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正比例关系：z=400x（0<x<100），现不计其他因素影响，如果需求数量y等于生产数量z时，即供需平衡，•此时市场处于平衡状态．（1）根据以上市场调查，请你分析当市场处于平衡状态时，•该地区这种农产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？（2）受国家“三农”政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，减少产量，以大力提高产品质量．此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，•而需求函数关系未发生变化，当市场再次处于平衡状态时，市场价格已上涨了a（0<a<25）•元，问在此后的相同时间段内该地区农民的总销售收入是增加了还是减少了？变化多少？17．如图，直线经过A（1，0），B（0，1）两点，点P是双曲线y=12x（x>0）上任意一点，PM•⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．PM与直线AB交于点E，PN的延长线与直线AB交于点F．（1）求证：AF×BE=1；（2）若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．18．已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，设点A的坐标为（x，y），其中x>0，y>0．（1）求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：方法：∵a2+22ka=（a-ka）+2k（k为常数且k>0，a≠0），且（a-ka）2≥0，∴a2+22ka≥2k，∴当a-ka=0，•即a=a2+22ka取得最小值2k．问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小？并求出S的最小值；（3）如果直线y=mx+2（m<0）与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m，使得点P、Q与（2）中求出的点A构成△PAQ的面积是矩形ABCD面积的16？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．19．已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数y=12x的图象在第一象限内的一个分支，点P•是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（点M、N•为垂足）分别与直线AB相交于点E和点F．（1）设交点E和F都在线段AB上（如图所示），分别求点E、点F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出答案，不要求写出计算过程）．（2）求△OEF的面积（结果用a、b的代数式表示）．（3）△AOF与△BOE是否一定相似，如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由．（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，•大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论．答案:一、1．右，二、四、增大 2．（-2，-2） 3．2 4．②、③、④二、5～9．CDCDA三、10．（1）A （-1，0），B （0，1），D （1，0）；（2）y=2x，y=x+1． 11．（1）将N （-1，-4）代入y=k x 中得到k=4，反比例函数的解析式为y=4x， 将M （2，m ）•代入解析式y=4x 中得m=2， 将M （2，2），N （-1，-4）代入y=ax+b 中，224a b a b +=⎧⎨-+=-⎩解得a=2，b=-2，• 一次函数的解析式为y=2x-2．（2）由图象可知：当x<-1或0<x<2时反比例函数的值大于一次函数的值．12．（1）k=2，y=1x； （2）解方程组121,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得x 1=1，x 2=-12（舍去）， 从而y=1，点A 的坐标为（1，1）；（3）符合条件的点P 存在，有下列情况：①若OA 为底，则∠AOP 1=45°，OP 1=P 1A •得P 1（1，0）；②若OA 为腰，AP 为底，则由P 2（0），P 30）； ③若OA 为腰，OP 为底，则由OP=2，P 4（2，0）．13．y=2x-． 14．可填入的答案为：y=1x （x>0）或y=-x+2或y=（x-2）2或y=│x-2│等均可． 15．（1）y=32x-7；（2）A （32a ，a-7），B （a+2，32a-4），C （a+2，122a +），D （a ，12a）． 由AB=CD ，得22+32=22+（122a +-12a）2， 即（122a +-12a）=±3，解方程得a=-4，a=2均为所求的值． 16．（1）由已知市场处于平衡，此时y=z 得100000x +6000=400x （x-25）（x+10）=0， ∴x 1=25，x 2=-10（•舍去），把x=25代入z=400x 中，得z=10000（千克）．• 一段时间内该地区农民的总销售收入=25×10000=250000（元）．（2）∵需求函数关系未变，∴平衡点仍在需求函数图象上．由已知此时价格为（a+25）元/千克，代入y=100000x +6000中得： 此时的需求数量y 1=10000025a ++6000（千克）． 又∵此时市场处于平衡，生产数量z 1=需求数量y 1， ∴此时的总销售收入为：（a+25）·（10000025a ++6000）=250000+6000a （•0<a<25）． ∴农民总销售收入增加了（250000+6000a ）-250000=6000a （元）．17．（1）过点E ，F 分别作y 轴，x 轴垂线，垂足分别为D 、C ，则△AOB ，△FCA ，△DBE•为等腰直角三角形．设P （x 0，y 0），则FC=y 0，DE=x 0，0，∴AF·0=2x 0y 0， 又y 0=012x ，即2x 0y 0=1，∴AF ·BE=1； （2）平行于AB 的直线L 的解析式为y=-x+b ，设L 与双曲线的惟一公共点Q 的坐标为（x ，y ）．联立12y x b y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩， 得2x 2-2bx+1=0，由△=4b 2-8=0，得所以x=2，y=2，即Q 点的坐标为（2，2）． 18．（1）y=9x ，x>0； （2）S=π（x 2+y 2）=π [x 2+（9x ）2]≥18π， 当且仅当x=9x ，即x=3，S 最小=18π，此时，y=9x=3， 所以当点A 的坐标为（3，3）时，矩形的外接圆面积S 最小，S 的最小值为18π．（3）存在，如图，设AB 与y 轴相交于点E ，由已知得A （3，3），Q （0，2），P （-2m，0）， ∴S △PAQ =S 梯形APOE -S △AEQ -S △OPQ =12 [（-2m +3）×3-1×3-2×（-2m ）]=3-1m． ∴3-1m =16×36，解得m=-13．19．（1）E （a ，1-a ），F （1-b ，b ）（2）当PM 、PN 和线段AB 相交时，S △EOF =S △AOB -S △AOE -S △BOF =12×1×1-12×1×（1-a ）-12×1×（-b ）=12a b +-．• 当PM 、PN 中一条与线段AB 相交，另一条与线段AB 的延长线相交时，也可求得S △EOF =12a b +-． （3）△AOF 一定和△BOE 相似，∵OA=OB=1，∴∠OAF=∠EBO ，，，∴点P在函数y=12x图象上，∴b=12a，即：2ab=1．∴AF OAOB BE=，∴△AOF∽△BEO．（4）当点P在曲线上移动时，△OEF中，∠EOF=45°，∵△AOF和△BOE一定相似，•∴∠AFO=∠BOE而∠AFO=∠B+∠BOF，∠BOE=∠BOF+∠EOF，∴∠EOF=45°．。
奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三上部分,共)-58-60
初三上参考答案（6）练习58一.1. 90 2. 712+n 3. 1，3＋3 4. －1 5. －26. a 2－2b,当a 2－2b ＜0时无解7. 2，－28.②3（a+b ）(b+c)(c+a)9. a,b, 2b a + 10. x=y=z=w=±17 二.①B ②C ③C ④A ⑤C 三.① －3，1，2153±－ ②－41，－1，－5 ③2（增根－1） 四.（仿例4）五.已知两边乘以x-1得x 5=1, 原式=x 1985(x 4+x 3+x 2+x)=1×(-1)=-1练习591. ①-1或3 ②3且-3 ③ x ≥1且 x ≠3 ④1或-1或3或-3 ⑤x=1且y=1；…… 2 ①x>0或x<0 ②a<-3或-3<a<3或a>3… 3只有④假命题 4①2或-3③3<x<6 5有4个解 6.2<x<5 7.0<a -1<1 8.a+b>0 9. 40 ≤∠B ≤75 10.(C)11. a=3且b=1 12.大于或等于1.练习601①60 ②北偏西25 ③3 ④大于221；小于221；大于1；小于1 ⑤21<CosA<23, 33<tanA<3. 1. 由余弦定理得∠ADC=120度，再由正弦定理得AB=265. 2. 3. CD=(3-1)a 4. 152 5. 53 6.2)33(m + 7. 用公式S △=))()(-S(S c S b S a --，其中S=2c b a ++或先求最大边的高为8， S △=21×21×8=84 . 8. 由正弦定理得a ∶b ∶c=3∶5∶7 ，CosC=-21,∠C=120度 9. 应沿方位角141度48分的方向， 1小时可到达10. 左边==⋅=⋅=FGh h FC BF h FC h BF h 22…11.可由余弦定理求AC=3+1，∠C=120或60度……或AC=3-1，∠B=15或75度……4. 由正弦定理PN=① MA MR MNP S MP in ， NR=② MBMP MNP S MR in ，①÷②即可 5. 由正弦定理1<2R 2B S 1≤=in ， 21≤SinB<1 ， 30 ≤B<90 0<CoOSB ≤23， 由余弦定理1-a 2-c 2+3ac ≥0①，a 2+c 2-1>0②……。
奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三上部分,共)-55
初中数学竞赛辅导资料(55)未知数比方程个数多的方程组解法甲内容提要在一般情况下，解方程或方程组，未知数的个数总是与方程的个数相同的，但也有一些方程或方程组，所含的未知数的个数多于方程的个数，包括在列方程解应用题时，引入的辅助未知数.解这类方程或方程组，一般有两种情况：一是依题意只求其特殊解，如整数解，或几个未知数的和(积)等，无需求出所有的解； 二是在实数范围内，可运用其性质，增加方程或不等式的个数. 例如，利用取值范围，非负数的性质等.乙例题例1. 在实数范围内，解下列方程或方程组： ①0211122=++--+-y x x x ； ②x 2+xy+y 2－3x －3y+3=0； ③⎩⎨⎧=-=++4222z xy z y x 解：① 根据在实数范围内，二次根式被开方数是非负数，分母不等于零.得不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧≠-≥-≥-01010122x x x解得x 2=1而x ≠1, ∴⎩⎨⎧-=-=21y x ② 整理为关于x 的二次方程，利用方程有实数根，则判别式 △≥0.x 2+(y －3)x+(y 2－3y+3)=0.∵x 是实数， ∴△≥0.即( y －3)2－4(y 2－3y+3)≥0 .解得 (y －1)2≤0 .而(y －1)2≥0. ∴y=1.∴⎩⎨⎧==11y x 是原方程的解.③消去一元后，利用实数平方是非负数性质.由①得z=2－x －y .代入②得2xy －(2－x －y)2－4=0.整理配方，得(x －2)2+(y －2)2=0.∵相加得0的两个数，只有是互为相反数.而 x, y 是实数，∴(x －2)2≥0，(y －2)2≥0.∴满足等式的条件只能是：⎩⎨⎧=-=-0202y x . ∴方程组的解是 ⎪⎩⎪⎨⎧-===222z y x本题在消去z 后，也可以仿②，写成关于 x 的二次方程，用判别式求解.例2. 一个自然数除以4余1，除以5余2，除以11余4，求适合条件的最小自然数.分析：本题有多种解法：①交集法， ②设三元，消去一元，用二元一次方程求整数解，③设二元，求二元一次方程的整数解.解法一：除以4余1的自然数集合：{1，5，9，13，17，21，…37…}；除以5余2的自然数集合：{2，7，12，17，…37…}；除以11余4的自然数集合：{4，15，26，37，…}.三个集合的公共元素中最小的自然数是37.解法二：设所求的自然数 为4a+1或5b+2 或11c+4 (a,b,c 都是自然数).得方程组 ⎩⎨⎧+=++=+)2(41114)1(2514c a b a 由(1)得 a=41415++=+b b b . 设k b =+41 (k 为正整数)， 那么 b=4k －1， a=5k －1. 由(2)得 c=117911720113)15(41134-+=-=--=-k k k k a . 要使1179-k 为整数，k 取最小正整数2. 这时c=3 (也可求得b=7, a=9), 所求自然数 是37.解法三：设所求的自然数为x, 则41-x ，52-x ， 114-x 都是自然数. ∵41-x >52-x >114-x . ∴41-x +114-x －52-x 也是自然数. 设y=41-x +114-x －52-x . 去分母，得 200y=31x －47. x=31163173147200+++=+y y y . y 取最小正整数5，能使31163+y 为整数. ∴x=37, 即最小的自然数是37.例3. 有甲，乙，丙三种货物.若购买甲3件，乙7件，丙1件共需3.15元；若购买甲4件，乙10件，丙1件共需4.20元.问购买甲、乙、 丙各1件共需几元？(1985年全国初中数学联赛题)解：设甲，乙，丙每件分别为x, y, z 元.根据题意，得⎩⎨⎧=++=++)2(20.4104)1(15.373z y x z y x ( 依题意只要求出x+y+z 的值) (1)×3－(2)×2：x+y+z=1.05（元）.答：买甲、乙、 丙各1件共需1.05元.例4. 甲、乙两车分别从A 、B 两站同时出发，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车距A 站24公里；当乙车走完全程的一半时，甲车距B 站15公里.求A 、B 两站的距离. 解：设A 、B 两站的距离为x 公里，并引入辅助未知数V 甲，V 乙分别表示甲、乙两车的速度. 根据题意，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=)2(215)1(242乙甲乙甲V x V x V x V x ( 这方程组可同时消去两个辅助未知数.) ∵ 方程(2)左、右不等于零 ∴(1)÷(2)得224152x x x x-=-. 解得， x=40；或 x=12 (不合题意 舍去).答：A 、B 两站的距离为40公里.丙练习551. 甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需7.5小时，甲，丙戊合作需5小时，甲，丙，丁合作需6小时，乙，丁，戊合作需4小时.问五人合作需几小时？2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布，共付42.9元，售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了，退给厂方1.6元，厂方把这1.6元又买 了甲、乙两种布各1尺.问服装厂共买布几尺？3. 两只船分别从河的两岸同时对开，速度保持不变，第一次相遇时，距河的一岸700米，继续前进到达对岸后立即返回，第二次相遇时，距河的另一岸400米，求河的宽.4. 游泳运动员自闽江逆流而上，在解放大桥把水壶丢失，继续前游20分钟才发现，于是返回追寻，在闽江大桥处追到，已知两桥相距1000米，求水流的速度.5. 已知长方形的长和宽均为整数，且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少？6. 有一队士兵，若排成3列纵队，则最后一行只有1人；若排成5列纵队，则最后一行只有7. 人；排成7列纵队，则最后一行只有6人.问这队士兵最少是几人？7. 求下列方程的实数解：① 0311221=++-+-y x x② 5x 2+6xy+2y 2－14x －8y+10=0③ (x 2+1)(y 2+4)=8xy④ 052312=+-+-+y x y x8. 一件工程，如果甲单独完成所需的时间是乙，丙合做，完成这件工程所需时间的a 倍；如果乙单独完成所需的时间是甲，丙合做，完成这件工程所需时间的b 倍.(其中b>a>1),那么丙单独完成所需的时间是甲，乙合做，完成这件工程所需时间的多少倍？(1990年泉州市初二数学双基赛题 )9. 甲，乙两车从东站，丙，丁两车从西站，同时相向而行.甲车行120公里遇丙车，再行20公里遇丁车；乙车在离西站126公里处遇丙车，在中途遇丁车.求东西两站的距离.10. 三辆车A ，B ，C 从甲到乙.B 比C 迟开5分钟，出发后20分钟追上C ；A 比B 迟开10分钟，出发后50分钟追上C.求A 出发后追上B 的时间.11. 学生若干人住宿，如果每间4人，有20人没房住；如果每间8人，则有一间不满也不空.求学生人数.12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5小时，由乙码头逆水航行到甲码头需7小时。
初中数学奥林匹克竞赛题及答案
初中数学奥林匹克竞赛题及答案初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：互为相反数。
b，由此a、－2，满足2+(－2)=0令a=2，b=2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D33222解析：3是多项式，排除A+x之和为xx，x。
两个单项都是单项式．两个单项式x，x22223之和为2x3x是个单－之和为3xx是单项式，排除B。
两个多项式x3+x2式x2x，与。
，因此选D项式，排除C3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：错误。
C最大的负整数是-1，故4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，13/ 1初中数学奥林匹克竞赛题及答案。
个．选C0共4－1，6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。
7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：。
，应选D、B、C，马上可以排除令a=0A8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。
初三数学竞赛及答案(K12教育文档)
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2010年广州市白云区初三数学竞赛试卷（完成时间:120分钟，满分100分）学校 姓名 得分一、选择题(下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．共8个小题，每小题3分，共24分）1．在平面直角坐标系中,点A （x ，2y -）在第四象限，那么点B(2y -，x -）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 计算(-2)2005+（-2）2006所得结果是( )A. 2B. －2C. 1 D 。
220053．在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干,要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量,于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗?这些箱子的个数是( ）A ．9B ．8C ． 7D ．64．已知2110 x x x x-<<，则，，的大小关系是（ ）（A ）21x x x << （B ）21x x x <<（C ）21x x x << （D)21x x x<<5． 13个小朋友围成一圈做游戏，规则是从某一个小朋友开始 按顺时针方向数数，数到第13,该小朋友离开；这样继续 下去。
，直到最后剩下一个小朋友. 小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从几号小朋友开始数起？(A ）7号 （B)8号 （C ）13号 （D)2号 （第4题)6．已知22204(2) a b x a b y b a x y =++=-、是实数，，，则、的大小关系是（ ） (A)x y < （B ） x y > （C ） x y ≤ （D)x y ≥7．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有 ( ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种8。
初三数学竞赛辅导练习题及答案
数学竞赛辅导练习题2006、10、22一、 选择题：1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）184、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个6、计算的值是（ ）。
（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－2。
7、△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（ ）。
（A ）12；（B ）16；（C ）24；（D ）30。
8、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）。
9、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝998，DC ＝1001，AD ＝1999，点P 在线段AD 上，则满足条件∠BPC＝90°的点P 的个数为（ ）。
（A ）0；（B ）1；（C ）2；（D ）不小于3的整数。
10、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。
奥数-2007年金山中学九年级(上)数学竞赛试题(3)(含答案)
2007年第一学期金山中学九年级数学竞赛试题（3）一、选择题： 1、函数||1x y -=图象的大致形状是（ ）2、抛物线2y x x p =++（p ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标是P ，那么该抛物线的顶点坐标是（ ）(A)（0,2-） (B)（19,24-） (C)（19,24-）(D) （19,24--）3、直线:l y px =（P 是不等于0的整数）与直线10y x =+的交点恰好是格点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l 有（ ） (A) 6条(B) 7条(C) 8条(D) 无数条4． 把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□x 2+□x +□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a ，b ，c （ ） (A) 不存在(B) 有一组(C) 有两组(D) 多于两组5． 六个面上分别标有1，1，2，3，3，5六个数字的均匀立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内一个点的坐标．已知小明前两次掷得的两个点能确定一条直线l ，且这条直线l 经过点P(4，7)，那么他第三次掷得的点也在直线l 上的概率是（ ） A ．23B ．12 C ．13D ．166、设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x b a y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ）（A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形.xyO (A)xy O (B)xy O (C)xyO (D)1 13 3 2 5 (第5题)二、填空题：1．如图1, 点A ，C 都在函数33(0)y x x=>的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 ．图1 图2 图32、如图2，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD ，已知AD=3，AO=8，OC=5，若点P 在梯形内，且PAD POC S S ∆∆=，PAO PCD S S ∆∆=，那么点P 的坐标是 ． 三、解答题：1、如图3,已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线214y x =上的一个动点．（1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-的位置关系； （2）设直线PM 与抛物线214y x =的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ 求证：PNM QNM ∠=∠．A O C D358x y2、已知抛物线l 1：22221y ax amx am m =-+++（a ＞0，m ＞0）的顶点为A ，抛物线l 2的顶点B 在y 轴上，且抛物线l 1和抛物线l 2关于点P(1，3)成中心对称． (1)当1a =时，求l 2的解析式和m 的值；(2)设l 2与x 轴正半轴的交点是C ，当△ABC 为等腰三角形时，求a 的值．3、已知二次函数2y ax bx c =++的图象G 和x 轴有且只有一个交点A ，与y 轴的交点为B （0，4），且ac b =．（1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数y=3-x 的图象作适当平移，使它经过点A ，记所得的图象为L ，图象L 与G 的另一个交点为C ，求△ABC 的面积．O1 xy1参考答案一、 1、答案：D解：当x ＞0时，x y 1-=，图象在第四象限；当x ＜0时，xy 1=，图象在第三象限． 所以原函数的图象在第三、四象限 2、所以tan ∠DAC=33． 2． 答案：D解：由题意得，20p p p ++=，解得122,0p p =-=（舍去） 当22p =-时，抛物线是22y x x =+-，求得顶点坐标是（19,24--）3、答案：B解：解方程组,10.y px y x =⎧⎨=+⎩，得101x p =-，因为x 和p 都是整数，所以110,5,2,1p -=±±±±，即11,9,6,4,3,1,2,0p =---共8个值，0p =舍去． 4、 答案：C解：设三个连续的正整数分别为n －1，n ，n ＋1（n 为大于1的整数），当一次项系数是n －1或n 时，方程的判别式△均小于零，方程无实数根；当一次项系数是n ＋1时，方程的判别式△=()22141314n n n n +--=--+（）（），要使△≥0，由于n 为大于1的整数，所以n 只能取2．当n=2时，方程2320x x ++=，22310x x ++=均有整数根，所以满足要求的a ，b ，c 只有两组：（1，3，2）、（2，3，1） 5、答案：A解：每掷一次可能得到6个点的坐标是(其中有两个点是重合的)：(1，1)，(1，1)， (2，3)，(3，2)，(3，5)，(5，3)，通过描点和计算可以发现，经过(1，1)，(2，3)， (3，5)三点中的任意两点所确定的直线都经过点P(4，7)，所以小明第三次掷得的点也在直线l 上的概率是3264=． 6、D.45º45º45º 45º5 555解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ） 二、1、答：（26，0）．解：如图，分别过点A ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，F ． 设OE ＝a ，BF ＝b ， 则AE ＝3a ，CF ＝3b ，所以，点A ，C 的坐标为（a ，3a ），（2a ＋b ，3b ），所以 2333,3(2)33,a b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得3,63,a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩因此，点D 的坐标为（26，0）． 三、1、解：（1）设点P 的坐标为2001(,)4x x ，则 PM ＝2222220000111(1)(1)1444x x x x +-=+=+; 又因为点P 到直线1y =-的距离为220011(1)144x x --=+， 所以，以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-相切． （2）如图，分别过点P ，Q 作直线1y =-的垂线，垂足分别为H ，R ．由（1）知，PH ＝PM ，同理可得，QM ＝QR ．因为PH ，MN ，QR 都垂直于直线1y =-，所以，PH ∥MN ∥QR ， 于是QM MPRN NH=，所以QR PHRN HN=， 因此，Rt △PHN ∽Rt △QRN ．于是HNP RNQ ∠=∠，从而PNM QNM ∠=∠．2、(1) 当a=1时，因为22221y ax amx am m =-+++=()221x m m -++．所以顶点A(m ，2m+1)，又P(1，3)，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把点A ，P 的坐标代入，得①—②，得2m -2=（m -1）k ，因为m ≠1（若m=1，则A ，B ，P 三点重合，不合题意），所以k=2，b=1，所以直线AB 的解析式是y=2x+1，得l 2的顶点B(0，1)， 因为l 2与l 1关于点P 成中心对称，所以抛物线的开口大小相同，方向相反，得 l 2的解析式是21y x =-+．因为点A ，B 关于点(1,3)P 成中心对称（如图1），作PE ⊥y 轴于点E ，作AF ⊥y 轴于点F ，则△BPE ∽△BAF ，所以AF=2PE ，即m=2．(2) 在Rt △ABF 中，因为222425AB =+=＜5，所以当△ABC 为等腰三角形时，只有以下两种情况：i) 如图2，若25BC AB ==，则2219OC BC OB =-=， 得(19,0)C 因为(19,0)C 在12+-=ax y 上， 所以119a =．21,m km b +=+…①3.k b =+…②(图2)AO1 xyPB CAO 1 xyPB(图3)DCii) 如图3，若AC BC =，设C （x ，0），作AD ⊥x 轴于点D ，在Rt △OBC 中，221BC x =+， 在Rt △ADC 中，()22225AC x =-+，由()221225x x +=-+，解得7x =． 因为C(7，0)在12+-=ax y 上，所以149a =． 综上可得，满足使△ABC 是等腰三角形的a 值有两个，1211,1949a a ==． 3、解：（1）由B （0，4）得，c=4．G 与x 轴的交点A （2ba-，0）， 由条件ac b =，得b c a =，所以2b a -=22c-=-，即A （2-，0）． 所以4,4240.b a a b =⎧⎨-+=⎩解得1,4.a b =⎧⎨=⎩所求二次函数的解析式为244y x x =++．（2）设图象L 的函数解析式为y=3-x+b ，因图象L 过点A （2-，0），所以6b =-，即平移后所得一次函数的解析式为 y=36x --．令36x --=244x x ++， 解得12x =-，25x =-． 将它们分别代入y=36x --， 得10y =，29y =．所以图象L 与G 的另一个交点为C （5-，9）． 如图，过C 作CD ⊥x 轴于D ，则 S △ABC =S 梯形BCDO -S △ACD -S △ABO =111(49)53924222+⨯-⨯⨯-⨯⨯=15．A BDCOxy。
初三全国奥数竞赛试题及答案
初三奥赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．（第1（甲）题）（A）2c a（B）2a2b（C a（D）a1（乙）．如果，那么的值为（）．（A）（B）（C）2 （D）2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1 （B）（C）（D）3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（）．（第3（乙）题）（A）（B）4 （C）（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．（A）（B）（C）（D）5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .（第6（甲）题）6（乙）. 如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为．7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .（第7（甲）题）第7（乙）题） 7（乙）．如图，的半径为20，是上一点.以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于．8（甲）．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么的值为．8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为 .9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是 .10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为 .（第10（甲）题）10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．11（乙）．如图，在平面直角坐标系xOy中，AO = 8，AB = AC，sin∠ABC=．CD与y轴交于点E，且S= S△ADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，△COE求这条抛物线对应的二次函数的解析式.（第11（乙）题）12（甲）．如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点，且．点在上，且，BE 的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．（第12（甲）题）12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD= 2BD.（第12（乙）题）13（甲）．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.14（乙）．将（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值．。
奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三下部分,共)-61
初中数学竞赛辅导资料（61）函数的图象甲内容提要1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象.例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线l.① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y 0=kx 0+b ；② 若y 1=kx 1+b ，则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上.2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元一次方程kx －y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a ≠0,b ≠0) 叫做 直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的 点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如：二元二次方程y=ax 2+bx+c(a ≠0) (即二次函数)的图象是抛物线； 二元分式方程y=xk(k ≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如：① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值；② 由图象的上升，下降反映函数 y 是随x 的增大而增大(或减小)；③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解.④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公共解.等等4. 画函数图象一般是：①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界.②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式. 乙例题例1. 右图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)，试决定a, b, c 及b 2－4ac 的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a<0.∵对称轴在原点右边，∴x=－ab2>0且a<0, ∴b>0. ∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上， ∴截距c>0. ∵抛物线与横轴有两个交点， ∴b 2－4ac>0.例2. 已知：抛物线f ：y=－(x －2)2+5.试写出把f 向左平行移动2个单位后，所得的曲线f 1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f 2 的方程. 画出f 1和f 2的略图，并求：P(x,y)l o x y（1） x 的值什么范围，曲线f 1和f 2都是下降的；（2） x 的值在什么范围，曲线f 1和f 2围成一个封闭图形；（3） 求在f 1和f 2围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值.（1980年福建省中招试题）解：f 1 ：y=－x 2+5 (由顶点横坐标变化确定的)， f 2 ：y=(x －2)2－5 (由开口方向相反确定的). （1）当x ≥0时，f 1下降，当x ≤2时，f 2下降，∴当0≤x ≤2时，曲线f 1和f 2都是下降的.（2）求两曲线的交点横坐标，即解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=.5)2(522x y x y ，x 2－2x －3=0 . ∴x=－1；或x=3.∴当－1≤x ≤3时，曲线f 1和f 2围成一个封闭图形.(3)封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度， 就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点 的纵坐标的差.在区间 –1≤x ≤3内，设f 1 上的点P 1(x,y 1), f 2 上的点P 2(x,y 2)， 求y 1－y 2的最大值，可用配方法： y 1－y 2 ＝ (－x 2+5)－[ (x －2)2－5]＝－2x 2+4x+6 ＝－2(x －1)2+8.∵－2<0， ∴y 1－y 2有最大值.当x=1 时，y 1－y 2的值最大是8. 即线段长度的最大值是8. 例3. 画函数y=21-++x x 的图象.解： 自变量x 的取值范围是全体实数，下面分区讨论： 当x<－1 时， y=－(x+1)－(x －2)=－2x+1； 当－1 ≤x<2时， y=x+1－(x －2)=3 ； 当x ≥2时， y=x+1+x －2=2x －1.即y=21-++x x =⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-).2(12)21(3)1(12x x x x x ；；x … －2 －1 2 3 …y=－2x+1(x<－1) (5)3y=3(－1≤x<2) 3 3y=2x －1(x ≥2)3 5 …∴ 画函数y=21-++x x 的图象如下图：例4. 画方程[x]2+[y]2=1 的图象， [m] 表示不超过m 的最大整数.(1985年徐州市初中数学竞赛题).解：∵[x]2≥0， 且 [y]2=1－[x]2≥0，∴[x]2≤1 . ∴ 0≤[x]2≤1.∵[m] 表示不超过m 的最大整数， ∴当[x]2=0⇔[x]=0⇔0≤x ≤1 .当[x]2=1⇔[x]=⎩⎨⎧<≤<≤--).21(1)01(1x x ，自变量x 的取值范围是：－1≤x<2.如图阴影部分的四个正方形， 就是所求方程的图象.只包括各正方形左、下边界， 不包括各正方形右、上边界.x－1≤x<0 0 ≤x<1 1≤x<2 [x] －1 0 1 [x]21 0 1 [y]2=1－[x]2 010 [y] 0 －1 1y0≤y<1－1≤y<0 1≤y<2 0≤y<1例5. 直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限相交点A ，S Rt △AOB =3. ① 求m的值；②设直线与x 轴交于点C ，求点C 的坐标； ③求S △ABC .解： ①设A 坐标为 (x, x+m).∵ S △AOB =21OB ×BA. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=x m m x m x x )(213整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+mmx x mx x 226∴m=6② ∵直线与x 轴交于点C.把y=0 代入y=x+6 得x=－6, ∴点C 的坐标是(－6，0) ③∵直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限相交点A ， 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 66 得⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=153153y x 即点A 的坐标是 (－3+15，3+15).∴BC=1536+-+-=3+15 ∴S △ABC =21(3+15)(3+15)=12+315. 例6.选择题(只有一个正大确的答案).①函数y=kx+k 与y=xk在同一坐标系中的图象的大体位置是 ( )② 函数 y=1－2x x - 的图象是( )解：①常数k 是同一个值，.双曲线y=xk在一、三象限，k>0, 那么y=kx+k 中， 当k>0时，直线上升且在y 轴上的截距为正. 所以应选 (D)；②注意到y=1－2x x -中， 当x=0和x=1时 y 有最大值1，故选 (A). 丙练习61 1. 填空：① 横坐标为－2的点的集合，记作直线＿＿＿＿＿，纵轴记作直线＿＿＿＿＿＿， 横轴记作直线＿＿＿＿＿，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线＿＿＿＿＿＿， 经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程＿＿＿＿＿＿＿.② 点P （x, y ）关于横轴的对称点P 1的坐标是（ ），点P 关于原点的对称 点P 2的坐标是（ ）.③ f ：y=3(x －2)2+5,关于横轴对称的抛物线f 1记作＿＿＿＿＿＿＿ f 关于原点对称的抛物线f 2记作＿＿＿＿＿＿＿.④ A （1，3）关于直线y=x 的对称点A ，的坐标是（ ）.点B （－2，3）关于直线y=－x 的对称点B ，的坐标是（ ）. 2. 根据图象位置判断指定的常数的符号① 直线y=kx+b 经过二、一、四象限，则k,b 的符号是＿＿＿＿＿＿ ② 抛物线y=ax 2+bx+c 的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号a__, －ab2______,b______,c_______, b 2－4ac______,ab ac 442-______ aacb b 242---_____3. 选择题（只有一个正确的答案）（1）下图（1）是一次函数px+qy+r=0的图象，下列条件正确的是（ ）. （A ）p=q, r=0 . (B) p=－q, r=0. (C)p=q, r=1. (D) p=－q, r=1. （2）下图（2）是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，如下答案哪个正确？（ ） （A ）a+b+c=0. （B ）a+b+c<0. （C ）a+b+c>0. （D ）a+b+c 值不定.(1)（3）二次函数y=a(x+m)2+n 中，a>0 , m>0, n>0 它的图象（ ）(4)两个一次函数y=mx+n y=nx+m 且mn<0, 那么它们在同一坐标系内的图象大致为（ ）（D ）（5）在同一坐标系内，y=ax+b 与y=ax 2+b 的图象大体位置是（ ）(6)已知函数y+ax+b和y=ax2+bx+c那么它们的图象是（）（1983年福建省初中数学竞赛题）4.画下列函数的图象①y=xx2；②y=2x；③y=(x)2；④y=－x.5.有m部同样的机器，同时开始工作，需要m小时完成某项任务.设由x部机器完成某一任务，求所需的时间y(小时)与机器台数x(x为小于m的整数)的函数关系，并画出当m=5时函数的图象.6.画如下方程、函数的图象. ①2=+yx；②y=x2－2|x|－3.7.这是一张追及图看图回答：①谁追及谁？②谁早出发，早几小时？③甲、乙在这段路程速度各多少？④追的人从出发到追上，用了几小时？走多少路程？⑤分别列出甲、乙两人的路程y甲，y乙和时间x的函数关系的解析式.-55105201510152025234甲乙S公里t小时8. 如图，抛物线L 1：y=ax 2+2bx+c 和抛物线L 2：y=(a+1)x 2+2(b+2)x+c+3 的位置如图所示.①.判断哪条抛物线经过A 、B 、C 三点，说明理由； ②.求出点B 和点C 的横坐标；③.若AB ＝BC ，OC ＝OD ，求a, b, c 的值 .9. 坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点)， 试在二次函数 y=5910102+-x x的图象上找出满足y x ≤的所有整点(x,y), 并说明理由.(1995年全国初中数学联赛题)（8）-1C BDA1。
数学竞赛资料-数学奥林匹克初中训练题（含答案）
数学奥林匹克初中训练题第一试一、选择题(每小题7分，共42分) 1.设z y x ++=+++6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz =(). (A)3／4 (B)5／6 (C)7／12(D)13／18 2.设二次函数f (x )=ax 2+ax +1的图像开口向下，且满足f (f (1))=f (3).则2a 的值为( ). (A)－3 (B)－5 (C)－7 (D)－9 3.方程|xy |+|x +y |=1的整数解的组数为(). (A)2 (B)4 (C)6(D)8 **、b 是方程x2+(m －5)x+7=0的两个根.则(a2+ma+7)(b2+mb+7)=( ). (A)365 (B)245 (C)210(D)175 5.如图，Rt △ABC 的斜边BC =4，∠ABC =30°，以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( ) (A)2332+π (B) 33265-π (C) 365-π(D) 332-π 6.从1，2，…，13中取出k 个不同的数，使这k 个数中任两个数之差既不等于5，也不等于8.则k 的最大值为(). (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 二、填空题(每小题7分，共28分)1.若整系数一元二次方程x 2+(a +3)x +2a +3=0有一正根x 1和一负根x 2，且|x 1|<|x 2|，则a = .2.当x =2329-时，代数式x 4+5x 3－3x 2－8x +9的值是的值是. 3.给定两组数，A 组为:1，2，…，100;B 组为:12，22，…，1002.对于A 组中的数x ，若有B组中的数y ，使x +y 也是B 组中的数，则称x 为“关联数”.那么，A 组中这样的关联数有组中这样的关联数有个.4.已知△ABC 的三边长分别为的三边长分别为AB =2576a 2+，BC =62514a a 2++，AC =62514a -a 2+，其中a >7.则△ABC 的面积为面积为 .第二试一、(20分)解方程:(12x +5)2(6x －1)(x +1)=255.二、(25分)如图，四边形ABCD 中，∠ACB =∠ADB =90°，自对角线AC 、BD 的交点N 作NM ⊥AB 于点M ，线段AC 、MD 交于点E ，BD 、MC 交于点F ，P 是线段EF 上的任意一点证明:点P 到线段CD 的距离等于点P 到线段MC 、MD 的距离之和.三、(25分)矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，每块碎片都是凸多边形，每块碎片都是凸多边形，将其重新粘合成原将其重新粘合成原矩形后，有交结点30个，其中20个点在原矩形的周界上(包括原矩形的四个顶点)，其余10个点在矩形内部.在矩形的内部有45条粘缝(两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示).试求该矩形台板所碎裂成的各种类型(指三角形、四边形、五边形等)的块数. 说明:若凸多边形的周界上有n 个点，就将其看成n 边形,例如,图中的多边形ABCDE 要看成五边形.数学奥林匹克初中训练题1参考答案参考答案第一试第一试1.A .两边平方得3+2 +3+6=x +y +z +2xy +2yz +2xz .根据有理数x 、y 、z 的对称性,可考虑方程组可考虑方程组 x +y +z =3,2xy =2,2yz =3,2xz = 6.解得x =1,y =1／2,z =3／2.此时,xyz =3/4.**.注意到f(1)=2a+1,f(3)=12a+1,f(f(1))=a(2a+1)2+a(2a+1)+1.由f(f(1))=f(3),得(2a +1)2+(2a +1)=12.所以,2a +1=3或－4.因a <0,故2a =－5. **.因x 、y 为整数,则|xy |、|x +y |为非负整数.于是,|xy |、|x +y |中一个为0,一个为1.分情形考虑得6组解. **.由ab =7,a 2+ma +7=5a ,b 2+mb +7=5b ,所以,(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=25ab =175. **.记两圆公共部分的面积为S .如图,易知S =S 扇形EAD +S 扇形F AD －S 四边形AEDF =5π／6－3 . **.将这13个数按照相邻两数的差为5或8排列于一个圆周上(如图5).若取出的数多于6个,则必有2个数在圆周上相邻.另一方面,可以取出适合条件的6个数(任取圆周上不相邻的6个数即可),因此,k 的最大值为6. 二、1.－2.因方程的两根不等,故Δ>0,即(a +3)2>4(2a +3).解得a >3或a <－1.又由题设条件知,方程的两根和与积皆负,即－(a +3)<0,2a +3<0.从而,a >－3,a <－3/2,即－3<a <－3/2.而a 为整数,则a =－2. 2. 32297-. x =2329-是方程x 2+3x －5=0的根, **.记x +y =a 2,y =b 2,则1≤b <a ≤100.而x =a 2－b 2=(a +b )(a －b )≤100,因a +b 、a －b 同奇偶,故a +b ≥(a －b )+2.(1)若a －b =1,则a +b 为奇数,且3≤a +b ≤99.于是,a +b 可取3,5,7,…,99,共49个值,这时,相应的x 也可取这49个值.(2)若a －b =2,则a +b 为偶数,且4≤a +b ≤50.于是,a +b 可取4,6,8,…,50,共24个值,这时,相应的x 可取8,12,16,…,100这24个值. 其他情况下所得的x 值均属于以上情形.若a －b =奇数,则a +b =奇数.而x =a 2－b 2≥a +b ≥3,归入(1).若a －b =偶数,则a +b =偶数.而x =(a －b )(a +b )为4的倍数,且a －b ≥2,a +b ≥4,故x ≥8,归入(2). 因此,这种x 共有49+24=73个. **.注意到AB 2=(2a )2+482,BC 2=(a +7)2+242,AC 2=(a －7)2+242.如图,以AB 为斜边,向△ABC 一侧作直角△ABD ,使BD =2a ,AD =48,∠ADB =90°=90°. . 在BD 上取点E ,使BE =a +7,ED =a －7,又取AD 的中点F ,作矩形EDFC 1.因BC 21=BE 2+EC 21=(a +7)2+242=BC 2,AC 21=C 1F 2+AF 2=(a －7)2+242=AC 2,故点C 与点C 1重合.而S △ABD =48a ,S △CBD =24a ,S △ACD =24(a －7),则S △ABC =S △ABD －S △CBD －S △ACD =168. 第二试第二试一、将原方程变形得(12x +5)2(12x －2)(12x +12)=660.令12x +5=t ,则t 2(t －7)(t +7)=660,即t 4－49t 2=660.解得t 2=60或t 2=－11(舍去). 由此得t =±=±2 15,2 15,即有12x +5=±+5=±2215.因此,原方程的根为x 1,2=1215 25- .二、如图,易知A 、B 、C 、D 四点共圆,B 、C 、N 、M 四点共圆,因此,∠ACD =∠ABD =∠MCN .故AC 平分∠DCM .同理,BD 平分∠CDM .如图,设PH ⊥MC 于点H ,PG ⊥MD 于点G ,PT ⊥CD 于点T ;过点P 作XY ∥MC ,交MD 于点X ,交AC 于点Y ;过点Y 作YZ ∥CD ,交MD 于点Z ,交PT 于点R ;再作YH 1⊥MC 于点H 1,YT 1⊥CD 于点T 1由平行线及角平分线的性质得PH =YH 1=YT 1=RT 为证PT =PG +PH ,只须证PR =PG 由平行线的比例性质得EP ／EF =EY ／EC =EZ ／ED .因此,ZP ∥DF .由于△XYZ 与△MCD 的对应边分别平行,且DF 平分∠MDC ,故ZP 是∠XZY 的平分线.从而,PR =PG .因此,所证结论成立.三、设全部碎片中,共有三角形a 3个,四边形a 4个,……,k 边形a k 个(a 3,a 4,…,a k 为非负整数).记这些多边形的内角和为S 角,于是,S 角=a 3×π+a 4×2π+…+a k (k －2)π.另一方面,矩形内部有10个结点,对于每个点,围绕它的多边形顶角和为2π,10个内结点共获得10×10×22π弧度;矩形边界上(不含4个顶点)共有16个结点,在每个这种结点处,各多边形的顶角在此汇合成一个平角,16个这种结点共获得16π弧度;而原矩形的4个顶点处,共获得多边形碎片的2π弧度.因此,S 角=20π+16π+2π=38π. 于是,a 3+2a 4+…+(k －2)a k =38.①记这些多边形的边数和为S 边.由于每个n 边形有n 条边,则S 边=3a 3+4a 4+…+ka k .另一方面,在矩形内部的45条粘缝,每条都是两个多边形的公共边,故都计算了两次;矩形周界上的20条线段各被计算了一次,因此,S 边=2×=2×45+20=110. 45+20=110. 于是,3a 3+4a 4+…+ka k =110.② ②－①得2(a 3+a 4+…+a k )=72.故a 3+a 4+…+a k =36.③ ①－③得a 4+2a 5+3a 6+…+(k －3)a k =2.因所有a i ∈N ,故a 6=a 7=…=a k =0,a 4+2a 5=2.所以,或者a 4=2,a 5=0;或者a 4=0,a 5=1.综上,本题的解共有两种情况,即全部碎片共36块,其中,或含有34个三角形,2个四边形;或含有35个三角形，1个五边形.。
初三奥数竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分。
）1、如图，有一块矩形纸片ABCD， AB＝8，AD＝6。
将纸片折叠，使得AB边上，折痕为 AE，再将△ AED沿 DE向右翻折， AE与 BC的交点为的面积为（）A、2B、4C、6D、8AD 边落在F，则△ CEFA B A D D B ABFD CE C E C答： A解：由折叠过程知， DE＝ AD＝6，∠ DAE＝∠ CEF＝ 45°，所以△ CEF 是等腰直角三角形，且 EC＝ 8－ 6＝ 2，所以， S△CEF＝22、若 M＝3x28xy9y 24x 6 y13（，是实数），则M 的值一定是（）x yA、正数B、负数C、零D、整数解：因为 M＝3x28x y9 y24x 6 y 13 ＝ 2( x2y) 2( x2) 2( y3)2≥0且 x 2y ， x 2 ， y3这三个数不能同时为0，所以 M≥0BA 13、已知点 I 是锐角三角形 ABC的内心， A ， B ，C 分别是C1D111点 I 关于边 BC， CA，AB的对称点。
若点 B 在△ A1B1C1的外接I圆上，则∠ ABC等于（）AC A、30°B、45°C、60°D、 90°答： C B 1解：因为 IA 1＝IB 1＝ IC1＝ 2r （r 为△ ABC的内切圆半径），所以点 I 同时是△ A1B1C1的外接圆的圆心，设 IA 1与 BC的交点为 D，则 IB ＝IA 1＝2ID，所以∠ IBD＝ 30°，同理，∠ IBA＝30°，于是，∠ ABC＝60°4、设 A＝48(111) ，则与A最接近的正整数为（）32442410024A、18B、20C、24D、25答： D解：对于正整数 mn ≥ 3 ，有n 21 1 (1 1 )，所以 A ＝4 4 n2n2481(1 11)(111) 12 (1 1 1 1111 1 )42985610223499100101102＝25 12(1111)99100101102因为12 (11 11)＜12 4 ＜ 1 ，所以与 A 最接近的正整数为 25。
初三奥数竞赛试题及解答
ABCD 全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。
请将正确答案的代号填在题后的括号里）1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ）A 、P M =B 、P MC 、P MD 、不确定答案：B解析：∵3c b a M ++=，2b a N +=，222c b a c N P ++=+=，122cb a P M -+=- ∵c b a ∴0122122=-+-+=-cc c c b a P M ，即0 P M -，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）答案：C解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A解析：由题意知3×（甲－乙）151025=-= ∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个答案：B解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41+-=，N y 525+-=，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N +-，且0525≤+-N ，∴541≤≤N ，即1=N ，2，3，4，55、设a ，b ，c 分别是ABC ∆的三边的长，且cb a ba ba+++=，则它的内角A ∠、B ∠的关系是（ ）A 、AB ∠∠2 B 、A B ∠=∠2C 、A B ∠∠2D 、不确定答案：B解析：由c b a b a ba +++=得c a bb a +=，延长CB 至D ，使AB BD =，于是c a CD +=在ABC ∆与DAC ∆中，C C ∠=∠，且DCACAC BC =∴ABC ∆∽DAC ∆，D BAC ∠=∠ ∵D BAD ∠=∠∴BAC D BAD D ABC ∠=∠=∠+∠=∠226、已知ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，111C B A ∆的三边长分别为1a ，1b ，1c ，面积为1S ，且1a a ，1b b ，1c c ，则S 与1S 的大小关系一定是（ ）A 、1S SB 、1S SC 、1S S =D 、不确定答案：D解析：分别构造ABC ∆与111C B A ∆如下：①作ABC ∆∽111C B A ∆，显然1211 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a S S ，即1S S ；②设101==b a ，20=c ，则1=c h ，10=S ，10111===c b a ，则10100431 ⨯=S ，即1S S ；③设101==b a ，20=c ，则1=c h ，10=S ，2911==b a ，101=c ，则2=c h ，101=S ，即1S S =；因此，S 与1S 的大小关系不确定。
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第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。
问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：①(x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9，④|x|=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？① x =k4②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？7. 己知方程221463+=+-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？8. m 取什么整数值时，方程m m x 321)13(-=-的解是整数?9. 己知方程ax x b 231)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。
初三(上)数学竞赛辅导
九年级数学竞赛辅导材料（上）45、一元二次方程的根46、完全平方数和完全平方式47、配方法48、非负数49、对称式50、基本对称式51、待定系数法52、换元法53、条件等式的证明54、整数解55、未知数比方程个数多的方程组解法56、列表法57、逆推法58、观察法59、“或者”与“并且”60、解三角形初中数学竞赛辅导资料（45）一元二次方程的根一、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题）解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42- 依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习451. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11 ＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1986年全国初中数学联赛题）6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.（1987年泉州市初二数学双基赛题）7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定 （1989年全国初中数学联赛题）8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 （1990年泉州市初二数学双基赛题）10. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围. （1997年泉州市初二数学双基赛题）13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛题）17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m 的取值范围是（ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1（1995年全国初中数学联赛题）18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解（1990年全国初中数学联赛题）返回目录 参考答案练习451. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1, m>1）15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C初中数学竞赛辅导资料为（46）完全平方数和完全平方式一、内容提要一定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数.例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.二、例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根三、练习461. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解.(1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题)练习461. 1，2，5，6，7，02. 0，3，33. 04. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除5. 5。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。
世界青少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛九年级数学试题(含答案)
2017春季省级初赛考生须知：本卷考试时间60分钟,共100分。
考试期间,不得使用计算工具或手机。
九年级试题(A 卷)一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．（30分）1．若反比例函数ky x=的图象经过点（-1 , 2 )，则这个函数的图象一定经过点（ ）. (A)(2,-1) (B)(12-,2) (C)(-2,-1) (D)(12,2) 2．钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是( ). (A)103cm π (B) 203cm π (C) 253cm π (D) 503cm π3．已知方程组42ax by ax by -=⎧⎨+=⎩的解为21x y =⎧⎨=⎩，则2a-3b 的值为（ ）.(A)4 (B)6 (C)-6 (D)-4 4．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是（ ）.(A) 37.2分钟 (B) 48分钟 (C ) 30分钟 ( D )33分钟 5．如图，路灯距地面 8 米，身高 1 . 6 米的小 明从距离灯的底部（点O ) 20米的点A 处，沿AO 所在的直线行走14米到点B 时，人影长度（ ）(A ）变长3.5 米 (B ）变长2.5米 (C ）变短3.5米 (D ）变短2.5米6．如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成600的角，在直线l 上取一点P ，使∠APB ＝300，则满足条件的点P 的个数是（ ） (A) 3个 (B) 2个 (C) l 个 (D ）不存在7．若方程3x 2-10x + m = 0有两个同号不等的实数根，则m 的取值范围是（ ）(A) m ≥0 (B) m >0 (C)0<m<253 (D) 0<m ≤2538．在△ABC 中，BM ＝6，点A, C, D 分别在MB ，BN ，NM 上，四边形ABCD 为平行四边形，∠NDC ＝∠MDA ，Y ABCD 的周长是（ ）(A)24 (B)18 (C)16 (D)129．在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）10．已知点A(3，1) , B (0 , 0) ,C (3,0) , AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，则直线AE 对应的函数表达式是（ ）(A)233y x =-(B)y=x-2 (C)31y x =- (D)32y x =- 二、填空题：本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．随着中国综合国力的提升，近年来全球学习汉语的人数不断增加． 据报道，2005年海外学习汉语的学生人数已达38 200 000人），用科学记数法表示为 人（保留 3 个有效数字）.14．已知⊙O 1，和⊙O 2的半径分别为3cm 和5cm ，两圆的圆心距 O 1O 2=6cm ，则两圆的位置关系是 . 15．计算24111a aa a++--的结果是 . 16．要在一个矩形纸片上画出半径分别是4cm 和1cm 的两个外切圆， 该矩形纸片面积的最小值．．．是 .17．在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为（1, 0 )，将点P 0绕着原点O 按逆时针方向旋转600得点P 1，延长OP 1到点P 2，使OP 2=2OP 1，再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转600得点P 3，则点P 3的坐标是 .18．右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a ， 则六边形的周长是 .姓名 学校_ 赛区 选送单位 家长手机----------------------------装------------------------订---------------------线--------------------世界青少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛三、解答题：本大题共7小题，共52分,解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本题满分6分）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来：33213(1)8x x x x-⎧+≥⎪⎨⎪--<-⎩20.（本题满分6分）某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如上图所示，每得一票记作1分．(l ）请算出三人的民主评议得分；(2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用（精确到 0.01 )?(3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按 4 : 3 : 3 的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？21.（本题满分6分）近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．22.（本题满分 6 分）两个全等的含300, 600角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E,A,C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．23.（本题满分8分）已知关于x的二次函数2212m y x mx +=-+与2222m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A, B 两个不同的点．(l ）试判断哪个二次函数的图象经过A, B 两点； (2）若A 点坐标为（-1, 0)，试求B 点坐标；(3）在（2）的条件下，对于经过A, B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小？24.（本题满分8分）如图，在△ABC 中，AB=AC=1，点D,E 在直线BC 上运动．设BD=x , CE=y(l ）如果∠BAC=300，∠DAE=l050，试确定y 与x 之间的函数关系式；(2）如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α, β满足怎样的关系时，(l ）中y 与x 之间的函数关系式还成立？试说明理由．25.（本题满分12分）半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已知BC ：CA ＝4 : 3，点P 在»AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点O(l ）当点P 与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；(2）当点P 运动»AB 到的中点时，求CQ 的长；(3）当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A B B A C B C D D D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 3.82×10714.相交l5.11aa--+(或11aa-+) 16. 72cm217.（-l，3）18. 3oa三、解答题（本大题共7小题，共46分）19.（本小题满分6分）解：解不等式33,2xx-+≥得x≥3；…………………………………………………2 分解不等式1-3 (x-1) < 8-x，得x＞-2．…………………………………………………4 分所以，原不等式组的解集是-2 < x≤3．………………………………………………5 分在数轴上表示为20.（本小题满分6分）解：(l)甲、乙、丙的民主评议得分分别为：50 分，80 分，70 分．………………3 分(2）甲的平均成绩为75935021872.6733++=≈（分）,乙的平均成绩为：80708023076.6733++=≈（分）,丙的平均成绩90687022876.0033++=≈（分）由于76.67>76>72.67，所以候选人乙将被录用. ………………………………6分(3）如果将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4 : 3 : 3的比例确定个人成绩，那么甲的个人成绩为：475393350433⨯+⨯+⨯=++72.9（分）,乙的个人成绩为：480370380433⨯+⨯+⨯=++77（分）丙的个人成绩为：490368370433⨯+⨯+⨯=++77.4（分）由于丙的个人成绩最高，所以候选人丙将被录用．……………………………10分21.（本题满分6分）解：设今年5月份汽油价格为x元／升，则去年5月份的汽油价格为（x-1.8）元／升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-………………………………………………………………5分整理，得x2- l.8x - 14.4 =0 …………………………………………………………………7分解这个方程，得x1=4.8，x2=-3 ………………………………………………………………10分经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3 不符合实际意义，故舍去．……………………11分答：今年5月份的汽油价格为 4.8元／升．………………………………………………12分22.（本题满分6分）解：△EMC是等腰直角三角形．…………………………………………………2分证明：由题意，得DE=AC，∠DAE＋∠BAC900.∠DAB=900. …………………………………………………………………………3分连接AM．∵DM=MB∴MA=12DB=DM,∠MDA=∠MAB=450.∴∠MDE=∠MAC=1050∴△EDM≌△CAM∴EM=MC,∠DME=∠AMC………………………………………………………8分又∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=900∴CM⊥EM……………………………………………………………………………11分所以△EMC是等腰直角三角形……………………………………………………12分23.（本题满分8分）解：(l）对于关于x的二次函数y =221,2mx mx+-+由于△＝(-m ) 2-4×l×212m+=-m2-2<0,所以此函数的图象与x轴没有交点………………………………………………1分对于关于x的二次函数y =2222mx mx+--.由于△＝(-m ) 2-4×l×21()2m+=-m2-2<0,所以此函数的图象与x轴没有交点对于关于x的二次函数222,2my x mx+=--由于2222()41()340,2mm m+∆=--⨯⨯-=+>所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点.故图象经过A、B两点的二次函数为222,2my x mx+=--…………………3分(2 )将A(-1,0)代入2222my x mx+=--，得2212mm++-=0.整理，得m2-2m = 0 .解之，得m=0，或m =2．…………………………………………………………5分当m =0时，y＝x2-1．令y = 0，得x2-1 = 0.解这个方程，得x1=-1，x2=1此时，B点的坐标是 B (l,0)．………………………………………………………6分当m=2时，y=x2-2x-3.令y=0，得x2-2x-3=0.解这个方程，得x1=-1，x2=3此时，B点的坐标是B（3，0）. ……………………………………………………8分(3) 当m =0时，二次函数为y＝x2-1，此函数的图象开口向上，对称轴为x=0，所以当x<0时，函数值y 随：的增大而减小．…………………………………………10分当m=2时，二次函数为y = x2-2 x-3 = (x-1)2-4, 此函数的图象开口向上，对称轴为x = l，所以当x < l 时，函数值y随x的增大而减小.…………………………12分24 .（本题满分8分）解：(l）在△ABC中，AB=AC =1，∠BAC=300,∴∠ABC＝∠ACB=750,∴∠ABD＝∠ACE=1050, …………1分∵∠DAE=1050.∴∠DAB＝∠CAE=750,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=750,∴∠CAE＝∠ADB…………………………………………………………3分∴△ADB∽△EAC…………………………………………………………4分∴AB BDEC AC=即11,y=1xxy=所以……………………………………………………6分(2）当α、β满足关系式0902αβ-=时，函数关系式1y=x成立．………8分理由如下：要使1y=x ，即AB BD EC AC=成立，须且只须△ADB ∽△EAC.由于∠ABD ＝∠ECA ，故只须∠ADB ＝∠EAC. …………………………9分又∠ADB+∠BAD=∠ABC=0902α-,∠EAC+∠BAD=β-α, ……………………………………………………11分所以只0902α-=β-α,须即0902αβ-=.………………………………12分25.（本题满分12分）解：( l ）当点P 与点C 关于AB 对称时，CP ⊥AB ，设垂足为D.∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=900.∴AB=5,AC:CA=4:3, ∴BC=4, AC=3.又∵AC ·BC=A B ·CD∴1224,.55CD PC ==……………………………………………2分 在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中，∠ACB ＝∠PCQ=900, ∠CAB ＝∠CPQ ， Rt △ACB ∽Rt △PCQ ∴432,.35AC BC BC PC CQ PC PC CQ AC ====g ……4分(2）当点P 运动到弧AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E （如图）.∵P 是弧AB 的中点， ∴0245,222PCB CE BE BC ∠====…6分 又∠CPB=∠CAB ∴∠CPB= tan ∠CAB=43∴332,tan 42BE PE BE CPB ===∠而从722PC PE EC =+=……8分 由（l）得，4142.3CQ PC ==………………………………………9分 (3）点P 在弧AB 上运动时，恒有4.3BC PC CQ PC AC ==g 故PC 最大时，CQ 取到最大值．………………………………………11分当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为203……………12分。
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初中数学竞赛辅导资料为（46）
完全平方数和完全平方式
甲内容提要
一定义
1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.
例如0，1，0.36，25
4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.
2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.
如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.
例如：
在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.
在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.
二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定
1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.
2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..
若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.
例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.
又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.
三. 完全平方式的性质和判定
在实数范围内
如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；
如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.
在有理数范围内
当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.
四. 完全平方式和完全平方数的关系
1. 完全平方式（ax+b ）2 中
当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；
当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.
2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.
所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.
五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系
1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中
① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；
② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.
2. 在整系数方程x 2+px+q=0中
① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；
② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.
乙例题
例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.
证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.
那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2
＝5（m 2+2）.
∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9
∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1
∴m 2+2不能被5整除.
而5（m 2+2）能被5整除，
即S 能被5整除，但不能被25整除.
∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.
例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？
解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得
当且仅当⎩⎨⎧>-0
10m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.
解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.
解不等式 m －1>0 ， 得m>1.
即⎩
⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.
答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.
例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.
求证： a=b=c.
证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得
原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc
∵它是完全平方式，
∴△＝0.
即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.
∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,
(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.
要使等式成立，必须且只需：
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a
解这个方程组，得a=b=c.
例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.
解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.
可设△= m 2 (m 为整数)，
即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，
解得，k=4
252
m -. ∵ k 是非负整数，
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数
是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；
由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.
以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4
252
m -. 求得k= 6, 4, 0.
答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解
例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.
证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.
∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.
设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).
由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，
下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.
当k 为偶数，m 为奇数时，
左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；
右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.
∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，
左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3
右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1
∴等式也不能成立.
综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.
∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.
∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根
丙练习46
1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.
2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4
的余数是＿＿.
3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.
4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？
5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.
（1990年全国初中数学联赛题）
6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？
7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？
8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？
9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：
① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.
10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.
11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.
12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.
13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.
14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+2
1(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)
15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )
(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36
(1990年全国初中数学联赛题)。