高一数学课件 平面向量小结与复习
平面向量全章小结.ppt
求点P和点M的坐标
P(－10，7) M(2，1)
19. 已知向量a=(1，5)，b=(－3，2)，求a在b 方向上的正射影的数量。
| a | cos a,b a b 7 13 | b | 13
20. 已知两点A，B的坐标为(5，0)，(0，5)， 直线OP垂直于直线AB于点P，求点P的坐标
P(5 , 5) 22
x=3, y=－2 7. 已知向量i⊥j，|i|=|j|=1，a=4i－j，b=i+2j， c=2i－3j，计算：a·a+3(a·b)－2(b·c)+1。
32
8. 已知向量r的模和它相对于x轴正方向的转 角θ ，求向量r的坐标。
(1) |r|=16，θ =60°； (8,8 3)
(2) |r|=26，θ =45°； (3) |r|=80，θ =120°；
< a，b >=90° |a+b|= 2 5 , |a－b|= 2 5 <(a+b)，a>=45 °
4. 已知△ABC，点O是△ABC的重心（三条
中线的交点），求证： OA OB OC 0
A
O
B
C
D
5. 在△ABC中，引中线AD、BE、CF，求证：
AD BE CF 0
A
F
E
B
C
D
6.给定一个基底{i，j}，且a=4i+j，b=3j， c=12i－3j，如果c=xa+yb，求x，y.
AB AD __D__B___.
(3) 如果向量a= 2 b，则向量a与b的关系
3
是 共线 。
(4) AB AC CB BA = 3AB .
高中数学知识复习与总结(平面向量)
平面向量1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±，但AB 的单位向量是||AB AB ，注意二者的区别。
)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是a -。
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
，则把向量AB 按向量a ＝（－1,3下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
平面向量复习基本知识点及经典结论总结
平面向量复习基本知识点及经典结论总结平面向量是数学中常见的概念，它是一种具有大小和方向的量。
本文将对平面向量的基本知识点及经典结论进行总结，以帮助读者复习和理解。
一、基本知识点1.定义：平面向量是具有大小和方向的量，可用有向线段来表示。
通常用字母a、b、c等表示向量，用小写字母表示有向线段的长度，用大写字母表示向量的大小。
2.向量的表示方法：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示一个向量。
设平面向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点A(x,y)，则向量a的表示为a=(x,y)。
3.向量的加法：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a+b可以表示为(a,b)=(x1+x2,y1+y2)。
4.向量的数量积：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a和b的数量积为a·b=x1×x2+y1×y25.向量的模长：向量a的模长表示为，a，可通过勾股定理求得，即，a，=√(x^2+y^2)。
二、经典结论1.平面向量共线：如果有两个向量a和b，且b与a同方向或反方向，那么向量a和b共线；如果b与a不同方向，那么向量a和b不共线。
2. 平面向量定比分点：如果有两个向量a = (x1,y1)和b = (x2,y2)，且存在一个实数k，使得x2 = kx1，y2 = ky1，则向量a和b的终点共线，并且b在a的延长线上（如k>1）或b在a的连线上（如0<k<1）。
3.向量共线定理：如果有三个向量a，b，c，且c=λa+μb，则向量c与向量a和b共线。
4.平面向量的线性运算：设有三个向量a，b，c，和两个实数λ、μ，那么有以下性质成立：(1)a+b=b+a（交换律）(2)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）(3)λ(μa)=(λμ)a=μ(λa)=λ(μa)（乘法结合律）(4)λ(a+b)=λa+λb（分配律）(5)(λ+μ)a=λa+μa（分配律）5.向量共线的判定方法：(1)数量积：如果两个向量a和b的数量积a·b=0，则向量a和b垂直；如果a·b>0，则向量a和b夹角小于90°；如果a·b<0，则向量a和b夹角大于90°。
高一数学《平面向量基本定理》(课件)
A
C
a
e1
e1
OB
A' e 2
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
C
B' a
e
2
A
e1
e1
OB
A' e 2
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
N
M
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
C
a
A
e1
a
O
C'
e2B
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
N
M
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
Cห้องสมุดไป่ตู้
a
A
e1
a
O
C'
e2B
N
平面向量基本定理:
平面向量基本定理:
N
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
高一数学平面向量知识点复习课件.ppt
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
1
x
x1
x2 2
中点公式
y
y1 y2 2
2、平移公式
如果点P（x1，y2）按向量 a (h, k)
平移至 P(x, y)，则
x x h
y
y
k
例5 设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线
P1P2上使
，求点P 的坐标。
例3 设 a (3,2),b (,7),c (2, )，若
a 2b c，求，的值。
解：由已知条件，得：
a 2b =（3，2）-2（λ，7）
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
一个向实量数λb，与使非得零向量 a 共线的充要条件是有且只有
（2）当 k a b 与 a 3b平行时，存在唯一实数λ， 使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
一、向量及其有关概念
有向线段
向量的几何表示 向量的模 零向量 单位向量 平行向量 向 共线向量 量 相等向量 相反向量
二、向量的运算
几 加法 何 减法 方 实数与向量的积
向法
量
的
运 算
坐 标
加法 减法 实数与向量的积
方 平面向量数量积
法
几何方法：
平面向量小结与复习
没多久，村上街道干部和民警打来电话，要我们去驻点量体温。非常时期，尽管我们一切正常，但由于已是外省人员，我们成了不受欢迎的人，当晚还是被送去“隔离”，有关负责人表示，次日若 无亲人派车来接，将继续“隔离”。次日，我四处求亲友找同学帮忙，但都被各种理由搪塞了。好在关健时刻堂侄子王勇还念及亲情，把我们从“隔离”接回送到安顺高铁站，我和儿子才得以回到长 沙……呆在自已家里，感觉特别轻松。
接到弟弟打来的电话后，儿子与我第二天乘高铁赶回。下午5点11分到安顺西站时，由于特殊时期，我们被要求遣返。后来，经我再三说明，并由弟弟从微信发来相关证明，才得已放行。此时已经 晚上9点过了。侄儿用车接我们刚到镇宁收费站时，车又被叫停。后又经多方交涉，喊来了街道、村组干部，我们才获得进村。此时，已经是深夜11点过了。我深信，这祸乱世间的病毒终有尽头；这绵 亘传承的人间温暖，一直在这里。bbin最新网址
村里已经封路了，每家每户都闭门不出，连野狗都不见了踪影。我和儿子一进门，便去看望妈妈。
“妈妈，我们回来了。”我说。
“奶奶，我们回来看您老人家。”我儿子说。
见到自己的长子长孙回来，妈妈精神状态很好。我知道，妈妈已灯枯油尽，这是回光返照。
“你们回来就好。我这鬼病……”妈妈还高兴叫着我儿子的名字。
5.5平面向量小结与复习
平面向量基本定理-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
什么发现？
M
A
a
e1
C
a
e2
O
N
B
思考：平面内的两个不共线的向量e1 、e2与该平面内的
任一向量a 之间有什么关系？
M
A
a
e1
C
a
e2
如图 OC = OM + ON
OM = λ1 OA = λ1e1
OC = λ1e1 + λ2 e2
⑵向量的加法：
B
b
b
a
C
a b
A
a
O
平行四边形法则
B
a b
b
O
A
a
三角形法则
上节我们学习了向量的运算，知道位于同
一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个
非零向量表示.
b = λa
a
b
类似地，平面内任一向量是否可以由同一平
面内的两个不共线向量表示呢？
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合
力；反过来，一个力可以分解为两个力.
一、复习回顾:
⑴向量共线充要条件
向量b与非零向量a共线的充要条件是
有且只有一个实数，使得b a.
当 0时， b 与 a 同向， 且 | b | = | a | ;
当 0 时，b 与 a 反向，且 | b | =|||a | ;
当 0 时，b 0 ，且 | b | 0 。
思考：改变不共线的向量e1 、e2与任一向量a ，
A
是否有类似的结论？
B
e1
e1
e2
a
e2
N
a
O
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λ(a+b)=λa+λb.
▪ 坐标运算
设a=(x,y),则
λa=λ(x,y)=(λx,λy)
平面向量的数量积
▪ 定义
ab=|a||b|cos(a0,b0,0180).
0a=0.
▪ 运算率 ab=ba,
(λa)b=a(λb)=λ(ab)
(a+b)c=ac+bc.
▪ 坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 ab=x1x2+y1y2
平面向量 小结与复习
内容提要 常见问题 例题
加法运算
▪ 加法法则
b b
a
a
▪ 运算性质
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c) a+0=0+a=a
▪ 坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法运算减法法则A Nhomakorabea坐标运算
a
B
b
O
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
常见问题
➢向量具有大小和方向两个要素。 ➢共线向量与平面向量的两条基本定理。 ➢向量的数量积是一个数。 ➢根据向量的数量积，计算向量的长度、平
面内两点间的距离、两个向量的夹角等。 ➢数量积不满足结合率。
例题
已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时，ka+b与a-3b平 行？平行时它们是同向还是反向？ 解：当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数λ，使
中点坐标公式
x x1 x2 , 1
y y1 y2 . 1
x x1 x2 2
y y1 y2 2
重要定理、公式（四）
▪ 正弦定理
a b c. sin A sin B sin C
❖ 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A, b2 c2 a2 2ac cos B, c2 a2 b2 2ab cos A.
a-b=(x1-x2,y1-y2)
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
AB=(x2-x1,y2-y1).
实数与向量的积
▪ 定义 λa,其中λ0时,λa与a同向,|λa|=|λ||a|;
当λ0时,λa与a反方向,|λa|=|λ||a|.
▪ 运算率
λ(μa)=(λμ)a,
(λ+μ)a=λa+μa,
注 在本例中，也可以根据向量平行充分条件的坐标 形式，从(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,先解出 k=-(1/3)，然后再求λ。
▪ 两个非零向量垂直的充要条件
ab a b=0 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
ab x1x2+y1y2=0
▪ 平移公式
如果点P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P'(x',y')，则
x'xh, y ' yk.
重要定理、公式（三）
线段的定比分点坐标公式
设P(x,y), P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P=λPP2则
ka+b=λ(a-3b) 由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得
k 310 , 2k 24. 这是一个以为未知数的二元一次方程组。
例题
解这个方程组得k=-(1/3), λ=-(1/3),即当k=-(1/3)时， ka+b与a-3b平行，这时
ka+b=-a/3+b. 因为λ=-(1/3)<0,所以-a/3+b与a-3b反向。
重要定理、公式（一）
▪ 平面向量基本定理
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么 对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、 λ2，使a=λ1e1+λ2e2
▪ 两个向量平行的充要条件
当b0时， a∥ba=λb
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a∥bx1y2-x2y1=0
重要定理、公式（二）