高一数学课件 平面向量小结与复习

重要定理、公式（一）
▪ 平面向量基本定理
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么 对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、 λ2，使a=λ1e1+λ2e2
▪ 两个向量平行的充要条件
当b0时， a∥ba=λb
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a∥bx1y2-x2y1=0
重要定理、公式（二）
a-b=(x1-x2,y1-y2)
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
AB=(x2-x1,y2-y1).
实数与向量的积
▪ 定义 λa,其中λ0时,λa与a同向,|λa|=|λ||a|;
当λ0时,λa与a反方向,|λa|=|λ||a|.
▪ 运算率
λ(μa)=(λμ)a,
(λ+μ)a=λa+μa,
ka+b=λ(a-3b) 由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得
k 310 , 2k 24. 这是一个以为未知数的二元一次方程组。
例题
解这个方程组得k=-(1/3), λ=-(1/3),即当k=-(1/3)时， ka+b与a-3b平行，这时
ka+b=-a/3+b. 因为λ=-(1/3)<0,所以-a/3+b与a-3b反向。
注 在本例中，也可以根据向量平行充分条件的坐标 形式，从(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,先解出 k=-(1/3)，然后再求λ。
常见问题
➢向量具有大小和方向两个要素。 ➢共线向量与平面向量的两条基本定理。 ➢向量的数量积是一个数。 ➢根据向量的数量积，计算向量的长度、平
面内两点间的距离、两个向量的夹角等。 ➢数量积不满足结合率。
例题
已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时，ka+b与a-3b平 行？平行时它们是同向还是反向？ 解：当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数λ，使
▪ 两个非零向量垂直的充要条件
ab a b=0 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
ab x1x2+y1y2=0
▪ 平移公式
如果点P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P'(x',y')，则
x'xh, y ' yk.
重要定理、公式（三）
线段的定比分点坐标公式
设P(x,y), P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P=λPP2则
平面向量 小结与复习
内容提要 常见问题 例题
加法运算
▪ 加法法则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b b
a
a
▪ 运算性质
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c) a+0=0+a=a
▪ 坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法运算
减法法则
A
坐标运算
a
B
b
O
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
中点坐标公式
x x1 x2 , 1
y y1 y2 . 1
x x1 x2 2
y y1 y2 2
重要定理、公式（四）
▪ 正弦定理
a b c. sin A sin B sin C
❖ 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A, b2 c2 a2 2ac cos B, c2 a2 b2 2ab cos A.
λ(a+b)=λa+λb.
▪ 坐标运算
设a=(x,y),则
λa=λ(x,y)=(λx,λy)
平面向量的数量积
▪ 定义
ab=|a||b|cos(a0,b0,0180).
0a=0.
▪ 运算率 ab=ba,
(λa)b=a(λb)=λ(ab)
(a+b)c=ac+bc.
▪ 坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 ab=x1x2+y1y2