数值计算方法小程序

① 根据运动学物理规律有：
瞬时加速度： a = dv dt
② 为了研究运动规律，需要根据数据作出汽车的������ − ������图：
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数值计算方法建模实例—汽车动力性能分析
瞬时速度-m/s
35
30
25
20
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10
5
0
1
2ห้องสมุดไป่ตู้
3
4
5
6
时间/t-s
v − t 图示例
③ 设 v-t 的关系表达式为： vt = f (t) 则当 f ' (t0 ) = 0 时有速度的最值，取 vmax = max f (t0 ) ：即可求得最大速度
def getResult(x,y,m): n=np.size(x); # x 数组元素个数 x1= np.array(x).reshape((n,1)); # 把 Python 的 List 转为列向量（数
组） A = x1**0; for i in range(1,m): A=np.hstack((A,x1**i)); x,resid,rank,s=linalg.lstsq(A,y); return x;
plt.plot(x1,f(x1),"r"); plt.show(); #显示一阶导函数对应的图像
plt.plot(x1,g(x1),"g"); plt.show(); #显示二阶导函数对应的图像
def fun2(a,b,e): x=(a+b)/2 k=0 n=f(x); if(f(a)*f(b)<0): while(f(x)!=0): if(f(x)*f(a)<0): z=f(x) b=x k=k+1 if(math.fabs(b-a)<e): break; else: x=(a+b)/2; continue; else: a=x; y=f(x) k=k+1; if(math.fabs(b-a)<e): break; else: x=(a+b)/2; continue; print("\n"); else: print("方程无解"); return x;
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数值计算方法建模实例—汽车动力性能分析
采用 m 次多项式拟合 v − t 曲线，设拟合函数为：
m
f (t ) = ait j j=0
n
令 [ f (ti ) − vi ]2 取最小值： i =1
求得： a0 , a1, a2 , a3 am 可得到拟合函数：
f (t ) = a0 + a1t + a2t2 + a3t3 + + amtn
#定义 v-t 的二阶导函数表达式为 g(x)
def fun1(a,b): list1=[a]; k=a; for i in np.arange(a,b,0.2): j=i+0.3; if(f(k)*f(j)<0): list1.append(j); k=j; else: continue; return list1;
#定义 fun1(a,b)为确定 f(x)的有根区间函数
def fun3(a,b): list1=[a]; k=a; for i in np.arange(a,b,0.2): j=i+0.3; if(g(k)*g(j)<0): list1.append(j); k=j; else: continue; return list1;
#定义 f(x)对应的二分法求根函数
def fun4(a,b,e): x=(a+b)/2 k=0 n=g(x);
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数值计算方法建模实例—汽车动力性能分析
if(g(a)*g(b)<0): while(g(x)!=0): if(g(x)*g(a)<0): z=g(x) b=x k=k+1 if(math.fabs(b-a)<e): break; else: x=(a+b)/2; continue; else: a=x; y=g(x) k=k+1; if(math.fabs(b-a)<e): break; else: x=(a+b)/2; continue; print("\n");
3.1 数值方法 .................................................... 2
3.2 最小二乘法拟合 v −t 曲线 ......................................2
3.3 二分法求多项式方程的解 ......................................3 3.4 程序代码 .................................................... 4 3.5 结果分析 .................................................... 8 4、结束语.......................................................... 11 5、参考文献........................................................ 11
对 f (t) 求导得：
a(t) = f ' (t)=a1 + 2a2t + 3a3t2 + 4a4t3 + + mamtm−1
对 f (t) 求二阶导得：
a' (t) = f '' (t)=1 2a2 + 23a3t + 3 4a4t2 + 45a5t3 + (m −1)mamtm−2
3.3 二分法求多项式方程的解
3.2 最小二乘法拟合 v − t 曲线
设矩阵 T= [ ������1 ������2 ⋯ ������������−1 ������������ ]������ 是时间 t 的数值构成的矩阵、矩阵 V= [ ������1 ������2 ⋯ ������������−1 ������������ ]������ 是对应速度 v 的数值构成的矩阵；
建模实例作业
材料科学与工程学院
数值计算方法建模实例—汽车动力性能分析
目录
1.问题概述.......................................................... 1 2. 数学建模.........................................................1 3. 模型解答.........................................................2
#定义最小二乘法系数矩阵函数
x0=np.array([1,1.2,1.7,2.2,2.6,2.8,3.1,3.5,4.1,4.5,4.7]); y0=np.array([5,8,14,21,29,33,35,30,27,25,22]); #x0 表示时间 t 的值的数组 #y0 表示瞬时速度 v 的数组
原始数据表如下：
瞬时速度/������������
������1
������2
������3
…
������������
时刻/������������
������1
������2
������3
…
������������
因此：我们需要从通过该数据获取汽车在该时间段的最大速度，与最大加
速度等数据，以便于进行动力性能评估；
m=np.size(x0); result=getResult(x0,y0,m); def h(x):
y=result[0]*(x**0); for i in range(1,m):
y=y+result[i]*(x**i); return y; #定义 v-t 函数表达式为 h(x)
def f(x): y=0;
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数值计算方法建模实例—汽车动力性能分析
for i in range(1,m): y=y+i*result[i]*(x**(i-1));
return y; #定义 v-t 的一阶导函数表达式为 f(x)
def g(x): y=0; for i in range(2,m): y=y+i*(i-1)*result[i]*(x**(i-2)); return y;
[ak , bk ]
当 f '(a + b / 2) 0 迭代区间缩小为[a, a + b / 2] ，继续迭代，直到精度符合 要求即可得出解；
否则：迭代区间缩小为[a + b / 2,b] ，继续迭代，直到精度符合要求即可得 出解；
多次使用二分法即可得出所有区间的根： t0,t1,t2 tk
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数值计算方法建模实例—汽车动力性能分析
为了更加方便快速解决这些问题，现在我们对该问题建立一个数学模型， 使用数值计算方法来解决这个模型问题。
2. 数学建模
假设试车场在一段测试道路上使用了若干个传感器来检测汽车行驶时的瞬
时速度：
每个速度传感器对应测出的速度为������1, ������2, ������3 ⋯ ������������，对应的时刻为：������1, ������2 ������3, ⋯ ������������；
最高车速——是指汽车在平坦良好的路面上行驶时所能达到的最高速度。 数值越大，动力性就越好。
汽车的加速时间——表示汽车的加速能力也形象的称为反映速度能力，它 对汽车的平均行驶车速有很大的影响，特别是轿车，对加速时间更为重要。常 用原地起步加速时间以及超车加速时间来表示。