一线三等角型相似初三压轴题
一线三等角相似、三垂直模型--2024年中考数学压轴题专题及参考答案
一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题一线三等角概念1“一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼,“K 形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角”。
“一线三等角”的两种基本类型1.三等角都在直线的同侧2.三等角分居直线的两侧3.在初三各学校的考试和中考试题中,一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一,本专题从中考试题和初三各名校的试题中,精选一线三等角相似模型的经典好体,并根据角度区别把一线三等角模型细分为三类题型:三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角,适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。
类型一:三垂直模型1(雅礼)如图,点A是双曲线y=8xx<0上一动点,连接OA,作OB⊥OA,使OA=2OB,当点A在双曲线y=8xx<0上运动时,点B在双曲线y=kx上移动,则k的值为.2(青竹湖)如图,∠AOB=90°,反比例函数y=−4xx<0的图象过点A−1,a,反比例函数y=k xk>0,x>0的图象过点B,且AB⎳x轴,过点B作MN⎳OA,交x轴于点M,交y轴于点N,交双曲线y=kx于另一点,则ΔOBC的面积为.3(广益)如图,点A,B在反比例函数y=kx(k>0)的图象上,点A的横坐标为2,点B的纵坐标为1,OA⊥AB,则k的值为.4(长沙中考2020)在矩形ABCD中,E为DC上的一点,把ΔADE沿AE翻折,使点D恰好落在BC 边上的点F.(1)求证:ΔABF∼ΔFCE(2)若AB=23,AD=4,求EC的长;(3)若AE-DE=2EC,记∠BAF=α,∠FAE=β,求tanα+tanβ的值.5(广益)矩形ABCD中,AB=8,AD=12,将矩形折叠,使点A落在点P处,折痕为DE.(1)如图1,若点P恰好在边BC上.①求证:△EBP∽△PCD;②求AE的长;(2)如图2,若E是AB的中点,EP的延长线交BC于点F,求BF的长.图1图26(长郡)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,已知点Q是射线OC上一点,OQ=182,点P是x轴正半轴上一点,tan∠POC=1,连接PQ,⊙A经过点O且与QP相切于点P,与边OC相交于另一点D.(1)若圆心A在x轴上,求⊙A的半径;(2)若圆心A在x轴的上方,且圆心A到x轴的距离为2,求⊙A的半径;(3)在(2)的条件下,若OP<10,点M是经过点O,D,P的抛物线上的一个动点,点F为x轴上的一个动点,若满足tan∠OFM=12的点M共有4个,求点F的横坐标的取值范围.7(麓山国际)有一边是另一边的2倍的三角形叫做智慧三角形,这两边中较长边称为智慧边,这两边的夹角叫做智慧角.(1)已知Rt△ABC为智慧三角形,且Rt△ABC的一边长为2,则该智慧三角形的面积为;(2)如图①,在△ABC中,∠C=105°,∠B=30°,求证:△ABC是智慧三角形;(3)如图②,△ABC是智慧三角形,BC为智慧边,∠B为智慧角,A(3,0),点B,C在函数y=kx上(x>0)的图象上,点C在点B的上方,且点B的纵坐标为2.当△ABC是直角三角形时,求k的值.类型二:一线三锐角8(师大梅溪湖)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AB=22,AD=AE,∠DAE=90°,CE=5,则CD的长为.(提示,作辅助线构造一线三等角的相似)9(青竹湖)如图,在△ABC中,∠B=∠ACB=45°,AB=62,点D是BC上一点,作DE⊥AD交射线AC于E,DF平分∠ADE交AC于F.(1)求证:AB•CF=BD•CD;(2)如图2,当∠AED=75°时,求CF的长;(3)若CD=3BD,求AFEF.10(广益)如图1,已知直线y=kx+2k(k为常数,k≠0)与x轴相交于点A,点B与点A关于y轴对称,点C在y轴的正半轴上,OC=3OA,连接AC,BC。
专题16 一线三等角相似模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)
专题16一线三等角相似模型【模型1】一线三锐角相等如图16-1,已知321∠=∠=∠,要证ABC ∆∽CDE ∆,可根据321∠=∠=∠,︒=∠+∠+∠1802DCE ACB ,︒=∠+∠+∠1801ACB A ⇒DCE A ∠=∠,结合31∠=∠,可证ABC ∆∽CDE ∆。
【模型变式1】一线三直角如图16-2,已知︒=∠=∠=∠9031ACE ,同一线三锐角相等模型可证得:ABC ∆∽CDE ∆。
【模型变式2】一线三钝角相等如图16-3,已知321∠=∠=∠,同一线三锐角相等模型可证得:ABC ∆∽CDE ∆。
【例1】如图,将含30°的直角三角尺放在矩形ABCD中,三角尺的30°角的顶点与点B重合,其余角的顶点分别在AD和CD边的点E,F处,若点E恰好为AD的中点,则DF FC的值是()A.12B33C.13D55【例2】如图,在正方形ABCD中,AB=12,AE=0.25AB,点P在BC上运动(不与点B,C 重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为______【例3】如图,四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,点E为BC中点,AE⊥DE于点E.点O 是线段AE上的点,以点O为圆心,OE为半径的⊙O与AB相切于点G,交BC于点F,连接OG.(1)求证:△ECD ∽△ABE ;(2)求证:⊙O 与AD 相切;(3)若BC =12,AB =3O 的半径和阴影部分的面积.一、单选题1.如图,△ABC 中,BC =6,BC 边上的高为3,点D ,E ,F 分别在边BC ,AB ,AC 上,且EF ∥BC .设点E 到BC 的距离为x ,△DEF 的面积为y ,则y 关于x 的函数图象大致是()A .B .C .D .2.如图,点(0,3)(1,0)A B 、,将线段AB 平移得到线段DC ,若90,2ABC BC AB ∠=︒=,则点D 的坐标是()A .(7,2)B .(7,5)C .(5,6)D .(6,5)3.如图,已知矩形AOBC 的顶点O 在坐标原点,点A 的坐标是(-2,1),点B 的纵坐标是3,则点C 的坐标是()A .1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭B .2,43⎛⎫- ⎪⎝⎭C .1,52⎛- ⎝D .2,53⎛- ⎝4.如图,在正方形ABCD 中,P 是BC 上一点(点P 不与点B ,C 重合),连接AP .作PE ⊥AP ,PE 交CD 于点E .若AB =6,点P 为BC 的中点,则DE =()A .32B .92C .12D .535.如图所示,矩形ABCD 中,AD =a ,AB =b ,若要使BC 边上至少存在一点P ,使△ABP 、△APD 、△CDP 两两相似,则a ,b 间的关系一定满足().A .2a b ≥B .72a b ≥C .4a b ≥D .5a b≥6.如图,矩形ABCD ,E 在CD 上,连接BE ,将四边形ABED 沿BE 翻折得到四边形A BED '',若A D ''恰好经过点C ,3AB =,5AD =,则线段BE 的长为()AB .C .D .二、填空题7.如图,正方形ABCD 的边长为8,M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点,且始终保持AM ⊥MN .当CN =2时,CM =______.8.如图,正方形ABCD 的边长为8,E 是边BC 上一动点(与B ,C 不重合),连接AE .G 是BC 延长线上一点,过点E 作AE 的垂线交DCG ∠的平分线于点F ,则CEF ∆面积的最大值是__.9.如图,正方形ABCD 中,12AB =,3AE =,点P 在BC 上运动(不与B ,C 重合),过点P 作PQ EP ⊥,交CD 于点Q ,则CQ 的最大值为___.10.如图,在矩形ABCD 中,E 为AB 边上的一点,将ADE 沿DE 翻折,得到DEF ,且F在BC 边上,G 为AD 边上的一点,过点G 作AD 的垂线交DF 于点H ,连接AH 交DE 于点P ,连接AF ,若7AB =,3BF =,HA 平分GHF ∠,则AG 的长度为______.三、解答题11.如图,在矩形ABCD 中,点E 、F 分别在边AD 、DC 上,ABE △∽DEF ,6AB =,9AE =,2DE =,求EF 的长.12.如图,在正方形ABCD 中,点E 是AD 的中点,点F 在CD 上,且CD =4DF ,连接EF 、BE ,求证BE =2EF .13.如图,正方形ABCD 中,点E 在BC 边上,且AE ⊥EF ,若BE =2,CF =43,求正方形ABCD 的边长.14.如图,DA ⊥AB 于A ,EB ⊥AB 于B ,C 是AB 上的动点,若∠DCE =90°.求证:△ACD ∽△BEC15.如图,在矩形ABCD 中,3AB =10AD =,直角三角板的直角顶点P 在AD 上滑动,(点P 与A ,D 不重合),一直角边经过点C ,另一直角边与射线AB 交于点E .(1)求证:AEP △∽DPC △;(2)当30CPD ∠=︒时,求PE 的长;(3)是否存在这样的点P ,使DPC △的周长等于AEP △周长的2倍?若存在,求出BE 的长;若不存在,请说明理由.16.如图,四边形ABCD 中,90B C ∠=∠=︒,点E 在边BC 上,连接AE ,DE ,且AE ⊥DE .(1)求证:ABE ECD ∽;(2)若6AB =,11BC =,4CD =,求tan DEC ∠的值.17.如图,9AB =,8AC =,P 为AB 上一点,A CPD B ∠=∠=∠,连接CD .(1)若3AP =,求BD 的长;(2)若CP 平分ACD ∠,求证:2PD CD BD =⋅.18.如图,四边形OABC 是矩形,点A 的坐标为(0,6)点C 的坐标为(4,0),点P 从点A 出发,沿AB 以每秒2个单位长度的速度向点B 出发,同时点Q 从点B 出发,沿BC 以每秒3个单位长度的速度向点C 运动,当点P 与点B 重合时,点P 、Q 同时停止运动.设运动时间为t 秒.(1)当t =1时,请直接写出△BPQ 的面积为;(2)当△BPQ 与△COQ 相似时,求t 的值;(3)当反比例函数y =k x(x >0)的图象经过点P 、Q 两点时.①求k 的值;②点M 在x 轴上,点N 在反比例函数y =0k x x>()的图象上,若以点M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出所有满足条件的M 的坐标.。
(挑战压轴)专项27.4 相似三角形-一线三等角综合应用(解析版)
(挑战压轴)专项27.4 相似三角形-一线三等角综合应用【方法技巧】1.如图1,BDE EDF C B ∆⇒∠=∠=∠∽CFD ∆(一线三等角)如图2,ABD ADE C B ∆⇒∠=∠=∠∽DCE ∆(一线三直角)如图3,特别地,当D 是BC 中点时:BDE ∆∽DFE ∆∽CFD ∆⇒ED 平分BEF ∠,FD 平分EFC ∠。
2.一线三等角辅助线添加:一般情况下,已知一条直线上有两个等角(直角)或一个直角时,可构造“一线三等角”型相似。
【类型1:标准“K ”型图】1.(2021秋•长安区期末)如图,将矩形ABCD 沿AE 折叠,使点D 落在BC 边的点F 处(1)求证:△ABF ∽△FCE ;(2)已知AB =3,AD =5,求tan ∠DAE 的值.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠B =∠C =∠D =90°,∴∠BAF +∠AFB =90°,由折叠可得:∠D =∠AFE =90°,CB BC A A∴∠AFB+∠EFC=180°﹣∠AFE=90°,∴∠BAF=∠EFC,∴△ABF∽△FCE;(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=3,AD=BC=5,由折叠可得:AD=AF=5,∴BF===4,∴CF=BC﹣BF=1,∵△ABF∽△FCE,∴=,∴=,∴CE=,∴DE=CD﹣CE=3﹣=,∴tan∠DAE===,∴tan∠DAE的值为.2.如图,在正方形ABCD中,M为BC上一点,ME⊥AM,ME交CD于F,交AD的延长线于点E.(1)求证:△ABM∽△MCF;(2)若AB=4,BM=2,求△DEF的面积.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD,∠B=∠C=90°,BC∥AD,∴∠BAM+∠AMB=90°,∵ME⊥AM,∴∠AME=90°,∴∠AMB+∠FMC=90°,∴∠BAM=∠FMC,∴△ABM∽△MCF;(2)解:∵AB=4,∴AB=BC=CD=4,∵BM=2,∴MC=BC﹣BM=4﹣2=2,由(1)得:△ABM∽△MCF,∴=,∴=,∴CF=1,∴DF=CD﹣CF=4﹣1=3,∵BC∥AD,∴∠EDF=∠MCF,∠E=∠EMC,∴△DEF∽△CMF,∴=,∴=,∴DE=6,∴△DEF的面积=DE•DF=×6×3=9,答:△DEF的面积为9.3.已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.如图,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.(1)求证:=;(2)若OP与PA的比为1:2,求边AB的长.【解答】(1)证明:由折叠的性质可知,∠APO=∠B=90°,∴∠APD+∠OPC=90°,∵四边形ABCD为矩形,∴∠D=∠C=90°,∴∠POC+∠OPC=90°,∴∠APD=∠POC,∴△OCP∽△PDA,∴=;(2)解:∵△OCP∽△PDA,∴,∵OP与PA的比为1:2,AD=8,∴,∴PC=4,设AB=x,则DC=x,AP=x,DP=x﹣4,在Rt△APD中,AP2=AD2+PD2,∴x2=82+(x﹣4)2,解得:x=10,∴AB=10.4.(2020•香洲区校级一模)如图,四边形ABDC为矩形,AB=4,AC=3,点M为边AB上一点(点M不与点A、B重合),连接CM,过点M作MN⊥MC,MN与边BD交于点N.(1)当点M为边AB的中点时,求线段BN的长;(2)直接写出:当DN最小时△MNB的面积为 .【解答】解:(1)∵AB=4,∴当点M为边AB的中点时,AM=BM=2,∵四边形ABDC为矩形,∴∠A=∠B=90°,∵MN⊥MC,∴∠CMN=90°,∵∠ACM+∠AMC=90°,∠BMN+∠AMC=180°﹣∠CMN=90°,∴∠ACM=∠BMN,又∵∠A=∠B,∴△ACM∽△BMN,∴,∵AC=3,AM=BM=2,∴=,∴BN=;(2)设BM=x,DN=y,∵四边形ABDC为矩形,AB=4,AC=3,∴AM=AB﹣BM=4﹣x,BN=BD﹣DN=3﹣y,由(1)知,,∴=,∴(4﹣x)x=3(3﹣y),∴﹣x2+4x=9﹣3y,∴y=x2﹣x+3=(x﹣2)2+,∴当x=2时,y取得最小值,即DN最小,此时DN=y=,∴BM=2,BN=3﹣=,∴△MNB的面积为:×2×=.故答案为:.5.(2019•玉州区二模)已知:如图,正方形ABCD中,E是边AB上一点,AM⊥DE于点M,CN⊥DE于点N.(1)求证:MN=DM﹣AM;(2)连接AN,如果=,求证:MN=ME.【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=90°,∴∠ADM+∠CDN=90°,∵AM⊥DE,CN⊥DE,∴∠AMD=∠CND=90°,∴∠CDN+∠DCN=90°,∴∠ADM=∠DCN,∴△ADM≌△DCN(AAS),∴DN=AM,∵MN=DM﹣DN,∴MN=DM﹣AM;(2)如图:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠DAE=90°,∵∠DAE=∠DNC=90°,∠ADM=∠DCN,∴△CDN∽△DEA,∴=,∴=,∵=,∴=,∴AE=AN,∵AM⊥DE,∴MN=ME.6.(2022•郴州)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6.点E是线段AD上的动点(点E不与点A,D重合),连接CE,过点E作EF⊥CE,交AB于点F.(1)求证:△AEF∽△DCE;(2)如图2,连接CF,过点B作BG⊥CF,垂足为G,连接AG.点M是线段BC的中点,连接GM.①求AG+GM的最小值;②当AG+GM取最小值时,求线段DE的长.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,∴∠CED+∠DCE=90°,∵EF⊥CE,∴∠CED+∠AEF=90°,∴∠DCE=∠AEF,∴△AEF∽△DCE;(2)解:①连接AM,如图2,∵BG⊥CF,∴△BGC是直角三角形,∵点M是BC的中点,∴MB=CM=GM=,∴点G在以点M为圆心,3为半径的圆上,当A,G,M三点不共线时,由三角形两边之和大于第三边得:AG+GM>AM,当A,G,M三点共线时,AG+GM=AM,此时,AG+GM取得最小值,在Rt△ABM中,AM===5,∴AG+GM的最小值为5.②方法一:如图3,过点M作MN∥AB交FC于点N,∴△CMN∽△CBF,∴,设AF=x,则BF=4﹣x,∴MN=BF=(4﹣x),∵MN∥AB,∴△AFG∽△MNG,∴,由(2)可知AG+GM的最小值为5,即AM=5,又∵GM=3,∴AG=2,∴,解得x=1,即AF=1,由(1)得,设DE=y,则AE=6﹣y,∴,解得:y=3+或y=3﹣,∵0<6,0<3﹣<6,∴DE=3+或DE=3﹣.方法二:如图4,过点G作GH∥AB交BC于点H,∴△MHG∽△MBA,∴,由(2)可知AG+MG的最小值为5,即AM=5,又∵GM=3,∴,∴GH=,MH=,由GH∥AB得△CHG∽△CBF,∴,即,解得FB=3,∴AF=AB﹣FB=1.由(1)得,设DE=y,则AE=6﹣y,∴,解得:y=3+或y=3﹣,∵0<6,0<3﹣<6,∴DE=3+或DE=3﹣.、【类型2:做辅助线构造“K”型图】7.(2022春•定海区校级月考)【基础巩固】(1)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点C,分别过A、B两点作AE⊥l,BD⊥l,垂足分别为E、D.求证:△BDC∽△CEA.【尝试应用】(2)如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC上一点,过D作AD的垂线交AB 于点E.若BE=DE,,AC=20,求BD的长.【拓展提高】(3)如图3,在平行四边形ABCD中,在BC上取点E,使得∠AED=90°,若AE=AB,,CD=,求平行四边形ABCD的面积.【解答】(1)证明:∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACE=90°,∵AE⊥CE,∴∠AEC=90°,∴ACE+∠CAE=90°.∴∠BCD=∠CAE.∵BD⊥DE,∴∠BDC=90°,∴∠BDC=∠AEC.∴△BDC∽△CEA.(2)解:过点E作EF⊥BC于点F.由(1)得△EDF∽△DAC.∴.∵AD⊥DE,,AC=20,∴,∴DF=16.∵BE=DE,∴BF=DF.∴BD=2DF=32.(3)解:过点A作AM⊥BC于点M,过点D作DN⊥BC的延长线于点N.∴∠AMB=∠DNC=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠B=∠DCN.∴△ABM≌△DCN(AAS).∴BM=CN,AM=DN.∵AB=AE,AM⊥BC,∴BM=ME,∵,设AM=b,BE=4a,EC=3a.∴BM=ME=CN=2a,EN=5a.∵∠AED=90°,由(1)得△AEM∽△EDN.∴,∴,∴,∵,∴(2a)2+b2=14,∴a=1,.∴平行四边形ABCD的面积=【类型2:特殊“K”型图】8.(2022秋•二道区月考)如图,在△ABC中,AB=AC=9,BC=12,D,E分别是BC,AB上的动点(点D与B,C不重合),且2∠ADE+∠BAC=180°,若BE=4,则CD的长为 .【解答】解:∵AB=AC,∴∠C=∠B,∴∠C+∠B+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°,又∵2∠ADE+∠BAC=180°,∴∠C=∠ADE,又∵∠BDE+∠ADC=180°﹣∠ADE,∠CAD+∠ADC=180°﹣∠C,∴∠BDE=∠CAD,∴△BDE∽△CAD,∴=,即=,解得CD=6.故答案为:6.9.(2020秋•南京期末)如图,在等边△ABC中,P为BC上一点,D为AC上一点,且∠APD=60°,2BP=3CD,BP=1.(1)求证△ABP∽△PCD;(2)求△ABC的边长.【解答】(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠B=∠C=60°,∵∠BPA+∠APD+∠DPC=180°,且∠APD=60°,∴∠BPA+∠DPC=120°,∵∠DPC+∠C+∠PDC=180°,∴∠DPC+∠PDC=120°,∴∠BPA=∠PDC,∴△ABP∽△PCD;(2)解:∵2BP=3CD,且BP=1,∴CD=,∵△ABP∽△PCD,∴=,设AB=x,则PC=x﹣1,∴,∴x=3.即AB=3.∴△ABC的边长为3.10.如图,AB=9,AC=8,P为AB上一点,∠A=∠CPD=∠B,连接CD.(1)若AP=3,求BD的长;(2)若CP平分∠ACD,求证:PD2=CD•BD.【解答】(1)解:∵AB=9,AC=3,∴BP=AB﹣AP=9﹣3=6,∵∠A=∠CPD,∠ACP+∠APC=180°﹣∠A,∠APC+∠BPD=180°﹣∠CPD,∴∠ACP=∠BPD,∵∠A=∠B,∴△ACP∽△BPD,∴=,∴=,∴BD=,∴BD的长为;(2)证明:∵CP平分∠ACD,∴∠PCD=∠ACP,∵∠ACP=∠DPB,∴∠PCD=∠DPB,∵∠CPD=∠B,∴△CPD∽△PBD,∴=,∴PD2=CD•BD.。
中考数学压轴必刷 专题4一线三等角模型(老师版)
【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案专题4一线三等角模型【例1】(1)某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形.如图1,已知:在ABC中,90BAC∠=︒,AB AC=,直线l经过点A,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点D,E.求证:DE BD CE=+.(2)组员小明想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?如图2,将(1)中的条件改为:在ABC 中,AB AC=,D,A,E三点都在直线l上,并且有BDA AEC BACα∠=∠=∠=,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE BD CE=+是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题:如图3,过ABC的边AB,AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高.延长HA交EG于点I.若7AEGS=△,则AEIS=△______.【答案】(1)见解析;(2)结论成立,理由见解析;(3)3.5【分析】(1)由条件可证明△ABD≌△CAE,可得DA=CE,AE=BD,可得DE=BD+CE;(2)由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α,且∠DBA+∠BAD=180°-α,可得∠DBA=∠CAE,结合条件可证明△ABD≌△CAE,同(1)可得出结论;(3)由条件可知EM=AH=GN,可得EM=GN,结合条件可证明△EMI≌△GNI,可得出结论I是EG的中点.【解析】解:(1)证明:如图1中,∵BD⊥直线l,CE⊥直线l,∴∠BDA=∠CEA=90°,∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∵∠BAD +∠ABD =90°,∴∠CAE =∠ABD ,在△ADB 和△CEA 中,ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADB ≌△CEA (AAS ),∴AE =BD ,AD =CE ,∴DE =AE +AD =BD +CE .(2)解:成立.理由:如图2中,∵∠BDA =∠BAC =α,∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α,∴∠DBA =∠CAE ,在△ADB 和△CEA 中,BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADB ≌△CEA (AAS ),∴AE =BD ,AD =CE ,∴DE =AE +AD =BD +CE .(3)如图3,过E 作EM ⊥HI 于M ,GN ⊥HI 的延长线于N .∴∠EMI =∠GNI =90°由(1)和(2)的结论可知EM =AH =GN∴EM =GN在△EMI 和△GNI 中,GIN EIM EM GNGNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△EMI ≌△GNI (AAS ),∴EI =GI ,∴I 是EG 的中点.∴S △AEI =12S △AEG =3.5.故答案为:3.5.【点睛】本题是四边形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,正方形的性质,直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.【例2】如图,在△ABC 中,AB =AC =2,∠B =∠C =40°,点D 在线段BC 上运动(点D 不与点B 、C 重合),连接AD ,作∠ADE =40°,DE 交线段AC 于点E .(1)当∠BDA =105°时,∠EDC = °,∠DEC = °;点D 从点B 向点C 运动时,∠BDA 逐渐变 .(填“大”或“小”)(2)当DC 等于多少时,△ABD ≌△DCE ?请说明理由.(3)在点D 的运动过程中,△ADE 的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA 的度数;若不可以,请说明理由.【答案】(1)35105︒︒,,小;(2)2,理由见解析;(3)110︒或80°【分析】(1)根据已知条件, 三角形内角和定理和平角的定义,可得BAD EDC ∠=∠,ADB DEC ∠=∠,进而可得∠EDC ,∠DEC ,根据题意,可得当点D 从点B 向点C 运动时,BAD ∠逐渐变大,根据三角形内角和定理,即可得∠BDA 逐渐变小;(2)由(1)可得BAD EDC ∠=∠,ADB DEC ∠=∠,只要DC AB =,即可证明ABD DCE ≌△△,进而可得DC ;(3)根据题意,分ADE ∠为顶角和底角两种情况讨论,进而计算BDA ∠的度数.【解析】(1)40B C ∠=∠=︒,40ADE ∠=︒,1801804040100BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,180140ADB EDC ADE ∠+∠=︒-∠=︒,180140ADB BAD B ∠+∠=︒-∠=︒,180140DEC EDC C ∠+∠=︒-∠=︒,BAD EDC ∴∠=∠,ADB DEC ∠=∠,∴当∠BDA =105°时,∴∠EDC =1801801054035BAD ADB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,∠DEC =ADB ∠105=︒;当点D 从点B 向点C 运动时,BAD ∠逐渐变大,180140BDA B BAD BAD ∠=︒-∠-∠=︒-∠,则∠BDA 逐渐变小,故答案为:35105︒︒,,小; (2)BAD EDC ∠=∠,ADB DEC ∠=∠,当DC AB =2=时,ABD DCE ∴≌(AAS ),2DC ∴=,(3)△ADE 的形状可以是等腰三角形,BDA ∠=110︒或80︒,40B C ∠=∠=︒,1804040100BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒,①当DA DE =时,()118040702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒, 1007030BAD BAC DAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,1801804030110BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒;②当EA ED =时,ADE ∠=40,1804040100DAE DEA ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒,1004060BAD BAC DAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,180180406080BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,③当AE AD =时,ADE ∠=40,1804040100DEA DAE ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒,100BAC ∠=︒,∴此时D 点与B 点重合,由题意可知点D 不与点B 、C 重合,∴此种情况不存在,综上所述,当△ADE 是等腰三角形时,BDA ∠=110︒或80︒.【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,三角形的外角性质,三角形的内角和定理,分了他了是解题的关键.【例3】在正方形ABCD 中,点E 在射线CB 上(不与点B ,C 重合),连接DB ,DE ,过点E 作EF DE ⊥,并截取EF DE =(点D ,F 在BC 同侧),连接BF .(1)如图1,点E 在BC 边上.①依题意补全图1;②用等式表示线段BD ,BE ,BF 之间的数量关系,并证明;。
2023年中考数学压轴题培优教案专题04 一线三等角模型(含答案解析)
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题4一线三等角模型在直线AB 上有一点P,以A,B,P 为顶点的∠1,∠2,∠3相等,∠1,∠2的一条边在直线AB 上,另一条边在AB 同侧,∠3两边所在的直线分别交∠1,∠2非公共边所在的直线于点C,D . 1.当点P 在线段AB 上,且∠3两边在AB 同侧时. (1)如图,若∠1为直角,则有△ACP ∽△BPD .(2)如图,若∠1为锐角,则有△ACP ∽△BPD .2.当点P 在AB 或BA 的延长线上,且∠3两边在AB 同侧时. 如图,则有△ACP ∽△BPD .3.当点P 在AB 或BA 的延长线上,且∠3两边在AB 异侧时. 如图,则有△ACP ∽△BPD . 【例1】.(2022·全国·八年级课时练习)(1)某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形.如图1,已知:在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,直线l 经过点A ,BD ⊥直线l ,CE ⊥直线l ,垂足分别为点D ,E .求证:DE =BD +CE .321DBPAC 3CDBP A321CPDBA321CDBAP(2)组员小明想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC 中,AB=AC,D,A,E三点都在直线l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题:如图3,过△ABC的边AB,AC 向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高.延长HA交EG于点I.若S△AEG=7,则S△AEI=______.【例2】.(2022·全国·八年级专题练习)在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E,在直线m上方有AB= AC,且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α.(1)如图1,当α=90°时,猜想线段DE,CE之间的数量关系是____________;(2)如图2,当0<α<180°时,问题(1)中结论是否仍然成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由;(3)应用:如图3,在△ABC中,∠BAC是钝角,AB=AC,∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与CB的延长线交于点F,若BC=3FB,△ABC的面积是12,求△FBD与△ACE的面积之和.【例3】.(2022·浙江绍兴·模拟预测)如图,△ABC中∠B=∠C=30°,∠DEF=30°,且点E为边BC的中点.将∠DEF绕点E旋转,在旋转过程中,射线DE与线段AB相交于点P,射线EF与射线CA相交于点Q,连结PQ.(1)如图1,当点Q在线段CA上时,①求证:△BPE∽△CEQ;②线段BE,BP,CQ之间存在怎样的数量关系?请说明理由;(2)当△APQ为等腰三角形时,求CQBP 的值.一、解答题1.(2022·全国·八年级课时练习)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时.①请说明△ADC≌△CEB的理由;②请说明DE=AD+BE的理由;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出等量关系,并予以证明.(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系:________.2.(2022·江苏·八年级课时练习)(1)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.求证:△ABD≌△CAE;(2)如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论△ABD≌△CAE是否成立?如成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展应用:如图3,D,E是D,A,E三点所在直线m上的两动点(D,A,E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD,CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,求证:△DEF是等边三角形.3.(2022·全国·九年级专题练习)感知:(1)数学课上,老师给出了一个模型:如图1,∠BAD=∠ACB=∠AED=90°,由∠1+∠2+∠BAD=180°,∠2+∠D+∠AED=180°,可得∠1==______.我们把这个模型称为“一线三∠D;又因为ACB=∠AED=90°,可得△ABC∽△DAE,进而得到BCAC等角”模型.应用:(2)实战组受此模型的启发,将三等角变为非直角,如图2,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点P是BC边上的一个动点(不与B、C,点D是AC边上的一个动点,且∠APD=∠B.①求证:△ABP∽△PCD;②当点P为BC中点时,求CD的长;拓展:(3)在(2)的条件下如图2,当△APD为等腰三角形时,请直接写出BP的长.4.(2022·山东烟台·七年级期末)问题背景:(1)如图①,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E,易证:DE=______+______.(2)拓展延伸:如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,请求出DE,BD,CE三条线段的数量关系,并证明.(3)实际应用:如图③,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(−2,0),点A的坐标为(−6,3),请直接写出B点的坐标.5.(2021·浙江·义乌市绣湖中学教育集团八年级阶段练习)(1)模型建立,如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于D,过B作BE⊥ED于E.求证:△BEC≌△CDA;(2)模型应用:x+3与y轴交于A点,与x轴交于B点,将线段AB绕点B逆时针旋转90度,得到线段BC,过①已知直线y=34点A,C作直线,求直线AC的解析式;②如图3,矩形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),A,C分别在坐标轴上,P是线段BC上动点,已知点D在第一象限,且是直线y=2x﹣5上的一点,若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标.6.(2022·江苏·八年级专题练习)(1)课本习题回放:“如图①,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求BE的长”,请直接写出此题答案:BE的长为________.(2)探索证明:如图②,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,AB=AC,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,且∠BED=∠CFD=∠BAC.求证:ΔABE≌ΔCAF.(3)拓展应用:如图③,在ΔABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠BED=∠CFD=∠BAC.若ΔABC的面积为15,则ΔACF与ΔBDE的面积之和为________.(直接填写结果,不需要写解答过程)7.(2022·全国·八年级课时练习)通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题:(1)如图1,∠BAD=90°,AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由∠1+∠2=∠2+∠D=90°,得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°,可以推理得到△ABC≌△DAE.进而得到AC=,BC =AE.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型;(2)如图2,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G.求证:点G是DE的中点;(深入探究)(3)如图,已知四边形ABCD和DEGF为正方形,△AFD的面积为S1,△DCE的面积为S2,则有S1S2(填“>、=、<”)8.(2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l 经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足.(1)当直线l不与底边AB相交时,①求证:∠EAC=∠BCF.②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明.(2)将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D(D不与AB点重合),请你探究直线l,EF、AE、BF之间的关系.(直接写出)9.(2021·四川达州·九年级期中)模型探究:(1)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E.求证:BE=CD;模型应用:(2)已知直线l1:y=2x+4与坐标轴交于点A、B,将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2,如图2,求直线l2的函数表达式;x+4上,且AB=4√2.若直线与y轴的交点为M,M为AB中点.试判断(3)如图3,已知点A、B在直线y=12在x轴上是否存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形.10.(2022·全国·八年级课时练习)如图,线段AB=6,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以AP为边做正方形APCD,且点C、D与点B在AP两侧,在线段DP上取一点E,使得∠EAP=∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合),(1)求证:△AEP≌△CEP;(2)判断CF与AB的位置关系,并说明理由;(3)△AEF的周长是否为定值,若是,请求出这个定值,若不是,请说明理由.11.(2022·全国·八年级课时练习)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40°,点D在线段BC上运动(D不与B,C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于E.(1)当∠BDE=115°时,∠BAD=°,点D从B向C运动时,∠BAD逐渐变(填“大”或“小”);(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由;(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,判断当∠BAD等于多少时,△ADE是等腰三角形.12.(2022·重庆江北·,在平面直角坐标系中,已知A(a,0)、B(0,b)分别在坐标轴的正半轴上.(1)如图1,若a、b满足(a−4)2+√b−3=0,以B为直角顶点,AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,则点C的坐标是(________);(2)如图2,若a=b,点D是OA的延长线上一点,以D为直角顶点,BD为直角边在第一象限作等腰直角△BDE,连接AE,求证:∠ABD=∠AED;(3)如图3,设AB=c,∠ABO的平分线过点D(2,−2),直接写出a−b+c的值.13.(2021·湖北·咸宁市第三初级中学八年级期中)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,点A、B分别在x 轴、y轴上.(1)如图①,若点C的横坐标为5,求点B的坐标;的值;(2)如图②,若x轴恰好平分∠BAC,BC交x轴于点M,过点C作CD⊥x轴于点D,求CDAM(3)如图③,若点A的坐标为(−4,0),点B在y轴的正半轴上运动时,分别以OB、AB为边在第一、第二象限中作等腰Rt△OBF,等腰Rt△ABE,连接EF交y轴于点P,当点B在y轴上移动时,PB的长度是否发生改变?若不变求PB的值;若变化,求PB的取值范围.14.(2022·江西·丰城九中七年级期末)综合与探究:在平面直角坐标系中,已知A(0,a),B(b,0)且a,b满足(a﹣3)2+|a﹣2b﹣1|=0(1)求A,B两点的坐标(2)已知△ABC中AB=CB,∠ABC=90°,求C点的坐标(3)已知AB=√10,试探究在x轴上是否存在点P,使△ABP是以AB为腰的等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.15.(2022·全国·八年级课时练习)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°,点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA=105°时,∠EDC=°,∠DEC=°;点D从点B向点C运动时,∠BDA逐渐变.(填“大”或“小”)(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE?请说明理由.(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA的度数;若不可以,请说明理由.16.(2021·北京·北师大实验中学九年级开学考试)在正方形ABCD中,点E在射线CB上(不与点B,C重合),连接DB,DE,过点E作EF⊥DE,并截取EF=DE(点D,F在BC同侧),连接BF.(1)如图1,点E在BC边上.①依题意补全图1;②用等式表示线段BD,BE,BF之间的数量关系,并证明;(2)如图2,点E在CB边的延长线上,其他条件均不变,直接写出线段BD,BE,BF之间的数量关系.17.(2022·全国·八年级课时练习)在综合实践课上,李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动.已知,在等腰△ABC纸片中,CA=CB=5,∠ACB=120°,将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN(∠M=90°,∠MPN=30°)按如图所示放置,顶点P在线段BA上滑动(点P不与A,B重合),三角尺的直角边PM始终经过点C,并与CB的夹角∠PCB=α,斜边PN交AC于点D.(1)当∠BPC=100°时,α=______°;(2)当AP等于何值时,△APD≌△BCP?请说明理由;(3)在点P的滑动过程中,存在△PCD是等腰三角形吗?若存在,请求出夹角α的大小;若不存在,请说明理由.18.(2021·河南·舞阳县教研室八年级期中)如图,等腰直角△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°,现将该三角形放置在平面直角坐标系中,点B坐标为(0,2),点C坐标为(6,0).(1)过点A作AD⊥x轴,求OD的长及点A的坐标;(2)连接OA,若Р为坐标平面内不同于点A的点,且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等,请直接写出满足条件的点P的坐标;(3)已知OA=10,试探究在x轴上是否存在点Q,使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.19.(2021·山东·肥城市汶阳镇初级中学七年级阶段练习)已知:CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB.E、F是直线CD上两点,∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部,∠BCD>∠ACD.①如图1,∠BCA=90°,∠α=90°,直接写出BE,EF,AF间的等量关系:__________.②如图2,∠α与∠BCA具有怎样的数量关系,能使①中的结论仍然成立?写出∠α与∠BCA的数量关系,并对结论进行证明;(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,①中的结论是否成立?若成立,进行证明;若不成立,写出新结论并进行证明.20.(2022·全国·八年级课时练习)(1)如图(1)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.求证:DE=BD+CE;(2)如图(2)将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.【例1】.(2022·全国·八年级课时练习)(1)某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形.如图1,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点D,E.求证:DE=BD+CE.(2)组员小明想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC 中,AB=AC,D,A,E三点都在直线l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题:如图3,过△ABC的边AB,AC 向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高.延长HA交EG于点I.若S△AEG=7,则S△AEI=______.{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEAAB=AC,∴△ADB≌△CEA(AAS),∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE.(2)解:成立.理由:如图2中,∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,∴∠DBA=∠CAE,在△ADB和△CEA中,{∠BDA=∠AEC ∠DBA=∠CAEAB=AC,∴△ADB≌△CEA(AAS),∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE.(3)如图3,过E作EM⊥HI于M,GN⊥HI的延长线于N.∴∠EMI=∠GNI=90°由(1)和(2)的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中,{∠GIN=∠EIM EM=GN∠GNI=∠EMI,∴△EMI≌△GNI(AAS),∴EI=GI,∴I是EG的中点.S△AEG=3.5.∴S△AEI=12故答案为:3.5.【点睛】本题是四边形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,正方形的性质,直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.【例2】.(2022·全国·八年级专题练习)在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E,在直线m上方有AB= AC,且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α.(1)如图1,当α=90°时,猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是____________;(2)如图2,当0<α<180°时,问题(1)中结论是否仍然成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由;(3)应用:如图3,在△ABC中,∠BAC是钝角,AB=AC,∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与CB的延长线交于点F,若BC=3FB,△12,求△FBD与△ACE的面积之和.【答案】(1)DE=BD+CE(2)DE=BD+CE仍然成立,理由见解析(3)△FBD与△ACE的面积之和为4【分析】(1)由∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°,进而得到∠DBA=∠EAC,然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC,最后得到DE=BD+CE;(2)由∠BDA=∠BAC=∠AEC=α得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°﹣α,进而得到∠DBA=∠EAC,然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC,最后得到DE=BD+CE;(3)由∠BAD>∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,得出∠CAE=∠ABD,由AAS证得△ADB≌△CAE,得出S△ABD=S△CEA,再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比,得出S△ABF即可得出结果.(1)解:DE=BD+CE,理由如下,∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°,∴∠BAD +∠EAC =∠BAD +∠DBA =90°,∴∠DBA =∠EAC ,∵AB =AC ,∴△DBA ≌△EAC (AAS ),∴AD =CE ,BD =AE ,∴DE =AD +AE =BD +CE ,故答案为:DE =BD +CE .(2)DE =BD +CE 仍然成立,理由如下,∵∠BDA =∠BAC =∠AEC =α,∴∠BAD +∠EAC =∠BAD +∠DBA =180°﹣α,∴∠DBA =∠EAC ,∵AB =AC ,∴△DBA ≌△EAC (AAS ),∴BD =AE ,AD =CE ,∴DE =AD +AE =BD +CE ;(3)解:∵∠BAD <∠CAE ,∠BDA =∠AEC =∠BAC ,∴∠CAE =∠ABD ,在△ABD 和△CAE 中,{∠ABD =∠CAE ∠BDA =∠CEA AB =AC,∴△ABD ≌△CAE (AAS ),∴S △ABD =S △CAE ,设△ABC 的底边BC 上的高为h ,则△ABF 的底边BF 上的高为h ,∴S △ABC =12BC •h =12,S △ABF =12BF •h ,∵BC =3BF ,∴S △ABF =4,∵S △ABF =S △BDF +S △ABD =S △FBD +S △ACE =4,∴△FBD与△ACE的面积之和为4.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质,三角形的面积,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.【例3】.(2022·浙江绍兴·模拟预测)如图,△ABC中∠B=∠C=30°,∠DEF=30°,且点E为边BC的中点.将∠DEF绕点E旋转,在旋转过程中,射线DE与线段AB相交于点P,射线EF与射线CA相交于点Q,连结PQ.(1)如图1,当点Q在线段CA上时,①求证:△BPE∽△CEQ;②线段BE,BP,CQ之间存在怎样的数量关系?请说明理由;(2)当△APQ为等腰三角形时,求CQ的值.BP②BE²=BP·CQ,理由如下∶∵△BPE∽△CEQ∴BE CQ=BPCE∴BE·CE=BP·CQ∵点E为边BC的中点,∴BE=CE,∴BE²=BP·CQ;(2)解:①当点Q在线段AC上时,∵∠A=180°-∠B-∠C=120°,为钝角,∴△APQ为等腰三角形时有AP=AQ,∵∠B=∠C,∴AB=AC,∴BP=CQ,∴CQBP=1②当点Q在线段CA的延长线上时,如图:连接PQ∵∠BAC=120°,∴∠BAQ=60°,当△APQ为等腰三角形时,有△APQ为等边三角形设AB=AC=2a,则BC=2√3a,BE=CE=√3a,设AQ=AP=x,则CQ=2a+x,BP=2a-x,由(1)得∶BE²=BP·CQ∴(√3a)²=(2a+x)(2a-x),解得∶x=a,∴BP=a,CQ=3a,∴CQBP=3综上CQBP的值为1或3.【点睛】本题考查三角形相似综合问题,熟练掌握一线三等角的相似三角形模型是解题关键.一、解答题1.(2022·全国·八年级课时练习)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时.①请说明△ADC≌△CEB的理由;②请说明DE=AD+BE的理由;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出等量关系,并予以证明.(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系:________.【答案】(1)①理由见解析;②理由见解析(2)DE=AD−BE,证明见解析(3)DE=BE−AD【分析】本题“一线三垂直”模型即可证明全等,根据全等三角形的性质即可分别在三个图形中证明AD、EB、DE之间的关系.(1)解:①∵AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,∴∠ADC=∠BEC=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠BCE,在△ADC和△CEB中{∠ADC=∠BEC ∠DAC=∠BCEAC=BC,∴△ADC≌△CEB,②∵△ADC≌△CEB,∴AD=EC,CD=BE,∵DC+CE=DE,∴AD+EB=DE,(2)结论:DE=AD−BE,∵BE⊥EC,AD⊥CE,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠EBC+∠BCE=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠BCE=90°,∴∠ACD=∠EBC,∴△ADC≌△CEB,∴AD=EC,CD=BE,∴DE=EC−CD=AD−EB, (3)结论:DE=BE−AD,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∵BE⊥MN,AD⊥MN,∴∠ADC=∠DEC=90°,∴∠ACD+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠BCE,在△ADC和△CEB中{∠ADC=∠BEC ∠DAC=∠BCE AC=BC∴△ADC≌△CEB,∴AD=EC,CD=BE,∴DE=CD−EC=EB−AD.【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质,灵活运用“一线三垂直”模型是解题的关键.2.(2022·江苏·八年级课时练习)(1)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.求证:△ABD≌△CAE;(2)如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中αABD≌△CAE是否成立?如成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展应用:如图3,D,E是D,A,E三点所在直线m上的两动点(D,A,E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD,CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,求证:△DEF是等边三角形.【答案】(1)见详解;(2)成立,理由见详解;(3)见详解【分析】(1)根据BD⊥直线m,CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°,而∠BAC=90°,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断ΔADB≌ΔCEA;(2)利用∠BDA=∠BAC=α,则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α,得出∠CAE=∠ABD,然后问题可求证;(3)由题意易得BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°,由(1)(2)易证ΔADB≌ΔCEA,则有AE=BD,然后可得∠FBD=∠FAE,进而可证ΔDBF≌ΔEAF,最后问题可得证.【详解】(1)证明:∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=90°,∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD,∵在ΔADB和ΔCEA中,{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEAAB=AC,∴ΔADB≌ΔCEA(AAS);解:(2)成立,理由如下:∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α, ∴∠CAE=∠ABD,∵在ΔADB和ΔCEA中,{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEAAB=AC,∴ΔADB≌ΔCEA(AAS);(3)证明:∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°,∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−120°,∴∠CAE=∠ABD,∴ΔADB≌ΔCEA(AAS),∴AE=BD,∵∠FBD=∠FBA+∠ABD,∠FAE=∠FAC+∠CAE,∴∠FBD=∠FAE,∴ΔDBF≌ΔEAF(SAS),∴FD=FE,∠BFD=∠AFE,∴∠BFA=∠BFD+∠DFA=∠AFE+∠DFA=∠DFE=60°,∴△DFE是等边三角形.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定,熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键.3.(2022·全国·九年级专题练习)感知:(1)数学课上,老师给出了一个模型:如图1,∠BAD=∠ACB=∠AED=90°,由∠1+∠2+∠BAD=180°,∠2+∠D+∠AED=180°,可得∠1=∠D;又因为ACB=∠AED=90°,可得△ABC∽△DAE,进而得到BCAC=______.我们把这个模型称为“一线三等角”模型.应用:(2)实战组受此模型的启发,将三等角变为非直角,如图2,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点P是BC边上的一个动点(不与B、C重合),点D是AC边上的一个动点,且∠APD=∠B.①求证:△ABP∽△PCD;②当点P为BC中点时,求CD拓展:(3)在(2)的条件下如图2,当△APD为等腰三角形时,请直接写出BP的长.【答案】感知:(1)AEDE ;应用:(2)①见解析;②3.6;拓展:(3)2或113【分析】(1)根据相似三角形的性质,即可求解;(2)①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C,根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD,即可求证;②根据相似三角形的性质计算,即可求解;(3)分P A=PD、AP=AD、DA=DP三种情况,根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质,即可求解..综上所述,当△APD为等腰三角形时, BP的长为2或113【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.4.(2022·山东烟台·七年级期末)问题背景:(1)如图①,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E,易证:DE=______+______.(2)拓展延伸:如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,请求出DE,BD,CE三条线段的数量关系,并证明.(3)实际应用:如图③,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(−2,0),点A的坐标为(−6,3),请直接写出B点的坐标.∴△ADB≌△CEA,∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE,即:DE=BD+CE,故答案为:BD;CE;(2)解:数量关系:DE=BD+CE,证明:在△ABD中,∠ABD=180°−∠ADB−∠BAD,∵∠CAE=180°−∠BAC−∠BAD,∠BDA=∠AEC,∴∠ABD=∠CAE,在△ABD和△CAE中,{∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AECAB=CA∴△ABD≌△CAE,∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AD+AE=BD+CE;(3)解:如图,作AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,由(1)可知,△AEC≌△CFB,∴CF=AE=3,BF=CE=OE−OC=4,∴OF=CF−OC=1,∴点B的坐标为B(1,4).【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.5.(2021·浙江·义乌市绣湖中学教育集团八年级阶段练习)(1)模型建立,如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于D,过B作BE⊥ED于E.求证:△BEC≌△CDA;(2)模型应用:x+3与y轴交于A点,与x轴交于B点,将线段AB绕点B逆时针旋转90度,得到线段BC,过①已知直线y=34点A,C作直线,求直线AC的解析式;②如图3,矩形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),A,C分别在坐标轴上,P是线段BC上动点,已知点D在第一象限,且是直线y=2x﹣5上的一点,若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标.综上可知满足条件的点D的坐标分别为(3,1)或(9,13)或(193,233).【点睛】本题为一次函数的综合应用,涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想,解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解.6.(2022·江苏·八年级专题练习)(1)课本习题回放:“如图①,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求BE的长”,请直接写出此题答案:BE的长为________.(2)探索证明:如图②,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,AB=AC,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,且∠BED=∠CFD=∠BAC.求证:ΔABE≌ΔCAF.(3)拓展应用:如图③,在ΔABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠BED=∠CFD=∠BAC.若的面积为15,则ΔACF与ΔBDE的面积之和为________.(直接填写结果,不需要写解答过程)【答案】(1)0.8cm;(2)见解析(3)5【分析】(1)利用AAS定理证明△CEB≌△ADC,根据全等三角形的性质解答即可;(2)由条件可得∠BEA=∠AFC,∠4=∠ABE,根据AAS可证明△ABE≌△CAF;(3)先证明△ABE≌△CAF,得到ΔACF与ΔBDE的面积之和为△ABD的面积,再根据CD=2BD故可求解.【详解】解:(1)∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E=∠ADC=90°,∴∠EBC+∠BCE=90°.∵∠BCE+∠ACD=90°,∴∠EBC=∠DCA.在△CEB和△ADC中,{∠E=∠ADC∠EBC=∠DCABC=AC∴△CEB≌△ADC(AAS),∴BE=DC,CE=AD=2.5cm.∵DC=CE−DE,DE=1.7cm,∴DC=2.5−1.7=0.8cm,∴BE=0.8cm故答案为:0.8cm;(2)证明:∵∠1=∠2,∴∠BEA=∠AFC.∵∠1=∠ABE+∠3,∠3+∠4=∠BAC,∠1=∠BAC,∴∠BAC=∠ABE+∠3,∴∠4=∠ABE.∵∠AEB=∠AFC,∠ABE=∠4,AB=AC,∴△ABE≌△CAF(AAS).(3)∵∠BED=∠CFD=∠BAC7.(2022·全国·八年级课时练习)通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题:(1)如图1,∠BAD=90°,AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由∠1+∠2=∠2+∠D=90°,得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°,可以推理得到△ABC≌△DAE.进而得到AC=,BC =AE.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型;(2)如图2,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G.求证:点G是DE的中点;(深入探究)(3)如图,已知四边形ABCD和DEGF为正方形,△AFD的面积为S1,△DCE的面积为S2,则有S1S2(填“>、=、<”)【答案】(1)DE;(2)见解析;(3)=【分析】(1)根据全等三角形的性质可直接进行求解;(2)分别过点D和点E作DH⊥FG于点H,EQ⊥FG于点Q,进而可得∠BAF=∠ADH,然后可证△ABF≌△DAH,则有AF=DH,进而可得DH=EQ,通过证明△DHG≌△EQG可求解问题;(3)过点D作DO⊥AF交AF于O,过点E作EN⊥OD交OD延长线于N,过点C作CM⊥OD交OD延长线于M,由题意易得∠ADC=∠90°,AD=DC,DF=DE,然后可得∠ADO=∠DCM,则有△AOD≌△DMC,△FOD≌△DNE,进而可得OD=NE,通过证明△ENP≌△CMP及等积法可进行求解问题.【详解】解:(1)∵△ABC≌△DAE,∴AC=DE;(2)分别过点D和点E作DH⊥FG于点H,EQ⊥FG于点Q,如图所示:∴∠DAH+∠ADH=90°,∵∠BAD=90°,∴∠BAF+∠DAH=90°,∴∠BAF=∠ADH,∵BC⊥AF,∴∠BFA=∠AHD=90°,∵AB=DA,∴△ABF≌△DAH,∴AF=DH,同理可知AF=EQ,∴DH=EQ,∵DH⊥FG,EQ⊥FG,∴∠DHG=∠EQG=90°,∵∠DGH=∠EGQ∴△DHG≌△EQG,∴DG=EG,即点G是DE的中点;(3)S1=S2,理由如下:如图所示,过点D作DO⊥AF交AF于O,过点E作EN⊥OD交OD延长线于N,过点C作CM⊥OD交OD延长线于M∵四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形∴∠ADC=∠90°,AD=DC,DF=DE∵DO⊥AF,CM⊥OD,∴∠AOD=∠CMD=90°,∠OAD+∠ODA=90°,∠CDM+∠DCM=90°,又∵∠ODA+∠CDM=90°,∴∠ADO=∠DCM,∴△AOD≌△DMC,∴S△AOD=S△DMC,OD=MC,同理可以证明△FOD≌△DNE,∴S△FOD=S△DNE,OD=NE,∴MC =NE,∵EN⊥OD,CM⊥OD,∠EPN=∠CMP,∴△ENP≌△CMP,∴S△ENP=S△CMP,∵S△ADF=S△AOD+S△FOD,S△DCE=S△DCM−S△CMP+S△DEN+S△ENP,∴S△DCE=S△DCM+S△DEN=S△AOD+S△FOD,∴S△DCE=S△ADF即S1=S2.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法,熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键.8.(2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l 经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足.(1)当直线l不与底边AB相交时,①求证:∠EAC=∠BCF.②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明.(2)将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D(D不与AB点重合),请你探究直线l,EF、AE、BF之间的关系.(直接写出)【答案】(1)①证明见解析,②EF=AE+BF;证明见解析;(2)AE=BF+EF或BF=AE+EF.【分析】(1)①根据∠AEC=∠BFC=90°,利用同角的余角相等证明∠EAC=∠FCB即可;②根据AAS证△EAC≌△FCB,推出CE=BF,AE=CF即可;(2)类比(1)证得对应的两个三角形全等,求出线段之间的关系即可.【详解】(1)证明:①∵AE⊥EF,BF⊥EF,∠ACB=90°,∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°,∴∠EAC+∠ECA=90°,∠ECA+∠FCB=90°,∴∠EAC=∠FCB,②EF=AE+BF;证明:在△EAC和△FCB中,{∠AEC =∠CFB ∠EAC =∠FCB AC =BC,∴△EAC ≌△FCB (AAS ),∴CE =BF ,AE =CF ,∴EF =CE +CF =AE +BF ,即EF =AE +BF ;(2)①当AD >BD 时,如图①,∵∠ACB =90°,AE ⊥l 直线,同理可证∠BCF =∠CAE (同为∠ACD 的余角),又∵AC =BC ,BF ⊥l 直线即∠BFC =∠AEC =90°,∴△ACE ≌△CBF (AAS ),∴CF =AE ,CE =BF ,∵CF =CE +EF =BF +EF ,∴AE =BF +EF ;②当AD <BD 时,如图②,∵∠ACB =90°,BF ⊥l 直线,同理可证∠CBF =∠ACE (同为∠BCD 的余角),又∵AC =BC ,BE ⊥l 直线,即∠AEC =∠BFC =90°.∴△ACE ≌△CBF (AAS ),∴CF =AE ,BF =CE ,∵CE =CF +EF =AE +EF ,∴BF =AE +EF .【点睛】本题考查了三角形综合题,主要涉及到了全等三角形的判定与性质,解题关键是证明△ACE≌△CBF(AAS),利用全等三角形的性质得出线段之间的关系.9.(2021·四川达州·九年级期中)模型探究:(1)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E.求证:BE=CD;模型应用:(2)已知直线l1:y=2x+4与坐标轴交于点A、B,将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2,如图2,求直线l2的函数表达式;x+4上,且AB=4√2.若直线与y轴的交点为M,M为AB中点.试判断(3)如图3,已知点A、B在直线y=12在x轴上是否存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形.。
中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题完整版
中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上,角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同,当顶点移动到底边的延长线时,形成变式图形,图形虽然变化但是求证的方法不变。
此规律需通过认真做题,细细体会。
典型例题【例1】如图,等边△ABC 中,边长为6,D 是BC 上动点,∠EDF =60° (1)求证:△BDE ∽△CFD(2)当BD =1,FC =3时,求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似,由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ,可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解:(1)∵△ABC 是等边三角形,∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD (2)∵△BDE ∽△CFD∴BECD BD FC = ∵BD =1,FC =3,CD =5∴BE =35点评:三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。
【例2】如图,等腰△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 中点,∠EDF =∠B ,求证:△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点,所以△BDE △CFD 相似的结论依然成立,用相似后的对应边成比例,以及BD =CD 可证得△BDE 和△DFE 相似 解: ∵AB =AC ,∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴DF DECD BE =又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DFBD DE BE = ∵∠EDF =∠BCA DB E F∴△BDE ∽△DFE点评:三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形,若点D 是底边中点则有三对相似三角形,△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似【例3】如图,在△ABC 中,AB =AC =5cm ,BC =8,点P 为BC 边上一动点(不与点B 、C 重合),过点P 作射线PM 交AC 于点M ,使∠APM =∠B ; (1)求证:△ABP ∽△PCM ; (2)设BP =x ,CM =y .求 y 与x(3)当△APM 为等腰三角形时, 求PB 的长.【思路分析】第(1)(2)小题都是用常规的三等角型相似的方法。
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1.三个等角的顶点在同一条直线上,称一线三等角模型(角度有锐角、直角、钝角,若为直角,则又称一线三垂直模型).解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件,利用全等或相似三角形解决问题.【证明体验】如图1,在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒,求证:AD BC AP BP ⋅=⋅. 【思考探究】(2)如图2,在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点,当DPC A B β∠=∠=∠=时,上述结论是否依然成立?说明理由. 【拓展延伸】(3)请利用(1)(2)获得的经验解决问题:如图3,在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △,点D 在BC 上,点E 在AC 上,点F 在BC 上,且45EFD ∠=︒,若5CE =CD 的长.2.综合实践问题背景:借助三角形的中位线可构造一组相似三角形,若将它们绕公共顶点旋转,对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系,数学小组对此进行了研究.如图1,在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ,AC 的中点D ,E ,作ADE .如图2所示,将ADE 绕点A 逆时针旋转,连接BD ,CE .(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系?写出你的猜想,并证明. (2)性质应用如图3,当DE 所在直线首次经过点B 时,求CE 的长. (3)延伸思考如图4,在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==,分别取AB ,BC 的中点D ,E .作BDE ,将BDE 绕点B 逆时针旋转,连接AD ,CE .当边AB 平分线段DE 时,求tan ECB ∠的值.3.如图,M 为线段AB 的中点,AE 与BD 交于点C ,DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ,ME 交BC 于G .(1)写出图中两对相似三角形;(2)连接FG ,如果45α=︒,42AB =3AF =,求FG 的长.4.如图,在ABC 中6cm AB =,12cm BC =和90B .点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动,如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,设移动时间为()s t .(1)当2t =时,求PBQ 的面积; (2)当t 为多少时,PBQ 的面积是28cm ? (3)当t 为多少时,PBQ 与ABC 是相似三角形?5.下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题,请你解答.如图,已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点(不与点A 、点B 重合),先将矩形ABCD 沿CE 折叠,使点B 落在点F 处,CF 交AD 于点H .(1)观察发现:写出图1中一个与AEG △相似的三角形:______.(写出一个即可)(2)迁移探究:如图2,若4AB =,6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时,求阴影部分的面积. (3)如图③,当点F 落在边AD 上时,延长EF ,与FCD ∠的角平分线交于点M ,CM 交AD 于点N ,当FN AF ND =+时,请直接写出ABBC的值.6.【阅读】如图1,若ABD ACE ∽,且点B 、D 、C 在同一直线上,则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形.(1)【理解】如图2,ABC 和ADE 是等边三角形,点D 在边BC 上,连接CE .求证:ABD △与ACE △是旋转相似三角形.(2)【应用】如图3,ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ,求证:③ABC ADE △△∽;③AC DE =;(3)【拓展】如图4,AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠,25,20BC AC ==和16AD =,试在边BC 上确定一点E ,使得四边形AECD 是矩形,并说明理由.7.综合与实践如图1,已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒,AD 为斜边BC 上的高(AD BC ⊥于点D ). 观察发现(1)请直接写出图中的一组相似三角形.(写出一组即可)实践操作第一步:如图2,将图1中的三角形纸片沿BE 折叠(点E 为AC 上一点),使点A 落在BC 边上的点F 处; 第二步:BE 与AD 交于点G 连接GF ,然后将纸片展平. 猜想探究(2)猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形,并证明猜想. (3)探究线段GF ,BE ,GE 之间的数量关系,并说明理由.8.如图1,已知AD 是ABC 的角平分线,可证AB BDAC CD=.证明思路是如图2,过点C 作CE AB ∥,交AD 的延长线于点E ,构造相似三角形来证明AB BDAC CD=.(1)利用图2证明AB BDAC CD=; (2)如图3,在Rt ABC △中90BAC ∠=︒,D 是边BC 上一点.连接AD ,将ACD 沿AD 所在直线折叠,点C 恰好落在边AB 上的E 点处.若1AC =,AB=2,求DE 的长.9.【教材原题】如图③,在ABC 中DE BC ∥,且3AD =,2DB =图中的相似三角形是__________,它们的相似比为__________ ;【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置,连接BD 、CE .求证:ABD ACE ∽△△;【应用】如图③,在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒,30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上,连接CE ,则ACE △与ABD △的面积比为__________.10.问题背景:一次数学综合实践活动课上,小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1,已知AD 是ABC 的角平分线,可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是:如图2,过点C 作CE AB ∥,交AD 的延长线于点E ,构造相似三角形来证明.(1)尝试证明:请参照小慧提供的思路,利用图2证明AB BDAC CD=; (2)基础训练:如图3,在Rt ABC △中90BAC ∠=︒,D 是边BC 上一点.连接AD ,将ACD 沿AD 所在直线折叠,点C 恰好落在边AB 上的E 点处.若1AC =,2AB =求DE 的长;(3)拓展升华:如图4,ABC 中6AB = ,AC=4,AD 为BAC ∠的角平分线,AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ,当3BD =时,求AF 的长.11.定义:两个相似三角形,如果它们的一组对应角有一个公共的顶点,那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1,在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△.所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”,连接EB DC ,,则DCEB为“阳似比”.(1)如图1,已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”,其中90CBA DEA ∠=∠=︒,当30BAC ∠=︒时,“阳似比”DCEB=______; (2)如图2,二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点,交y 轴于点C .点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点,且OMB △与CNB 为“阳似三角形”,连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时,求出线段OM 的长度; ③若32CN =34BM MC +的最小值.12.已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒,CD AB ⊥于点D .(1)在图1中写出其中的两对相似三角形.(2)已知1BD =,DC=2,将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD ',连接AC ',BC . ③如图2,判断AC '与BC 之间的位置及数量关系,并证明; ③在旋转过程中当点A ,B ,C '在同一直线上时,求BC 的长.13.定义:若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形,则称这个四边形为“和谐四边形”,这条对角线叫“和谐线”.(1)如图1,在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ,其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______.(2)如图2,BD 平分ABC ∠,43BD =10BC =,四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”,求AB 长; (3)如图3,A 为抛物线24y x =-+的顶点,抛物线与x 轴交于点B ,C .在线段AB 上有一个点P ,在射线BC 上有一个点Q .P 、Q 5/秒,5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ,BC 方向运动,设运动时间为t ,当其中一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动.在第一象限的抛物线上是否存在点M ,使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”,若存在,请直接写出t 的值;若不存在,请说明理由.14.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题:ABC 中D 是BC 的中点,E 是AB 上一点,延长DE 、CA 交于点F ,DE=EF ,AB=5,求AE 的长.小白的想法是:过点E 作EH BC ∥交AC 于H ,再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比,从而得出AE 的长.请你按照小白的思路完成解答.【解决问题】请借助小白的解题经验,完成下面问题:ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ,E 为AB 边上一点,AE=AD ,H 、Q 为BC 上两点,CQ DH =和DQ mDH =,G 为AC 上一点,连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ,180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系.15.【温故知新】(1)九(1)班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题:如图1,在正方形ABCD 中E 是AD 的中点,F 是CD 上一点,且3CF DF =,图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来,并说明理由.③小华很快找出ABE DEF △△∽,他的思路为:设正方形的边长4AB a =,则2,AE DE a DF a ===,利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明,请你结合小华的思路写出证明过程; ③小丽发现图中的相似三角形共有三对,而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似.请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似;【拓展创新】(2)如图2,在矩形ABCD 中E 为AD 的中点,EF EC ⊥交AB 于F ,连结FC .()AB AE > ③求证:AEF ECF ∽△△;③设2,BC AB a ==,是否存在a 值,使得AEF △与BFC △相似.若存在,请求出a 的值;若不存在,请说明理由.参考答案:1.(3)52.(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3.(1)DMG ③DBM △,EMF ③EAM △ (2)53FG =4.(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟,使PBQ 与ABC 相似.5.(1)FHG △或DHC (写出一个即可)(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357.(1)ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽(其中一个即可,答案不唯一);(2)四边形AEFG是菱形,(3)212GF GE BE =⋅ 8. 5 9.【教材原题】ADE ABC △△∽,35【应用】13 10.5(3)611.23105337 12.(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△(任写两对即可)(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13.(1)四边形ABCE ;(2)10AB =或245; (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =.14.阅读理解 54AE =;解决问题,猜想:12EP m GH m +=+. 15.③存在 3。
压轴题一线三等角三直角型相似三角形
专题八《“一线三等角、三直角”相似三角形》姓名________学号________三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上,角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示。
及等角为直角时的特例。
如图:以上各图中在一条直线上的三个角如果相等,那么对应的三角形相似,请你证明. 【例1】如图,等边△ABC 中,边长为6,D 是BC 上动点,∠EDF=60° (1)求证:△BDE ∽△CFD(2)当BD=1,FC=3时,求BE 【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD ABC ∆5==AC AB 8=BC P Q CB AC P C BABC APQ ∠=∠①若点P 在线段CB 上(如图10),且6=BP ,求线段CQ 的长;②若x BP =,y CQ =,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域;(2)正方形ABCD 的边长为5(如图12),点P 、Q 分别在直线.. ABC备用图ADDC F AB CD MEFCB 、DC 上(点P 不与点C 、点B 重合),且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时,写出线段BP 的长(不需要计算过程,请直接写出结果).【例4】如图,在ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,5=AB ,43tan =B ,点D 是BC 的中点,点E 是AB 边上的动点,DE DF ⊥交射线AC 于点F .(1)求AC 和BC 的长; (2)联结EF ,当EF BE EF DEF ∆CFD ∆BE 图,在△ABC 8==AC AB ,10=BC ,D 是BC 边上的一个动点,点E 在AC 边上,且C ADE ∠=∠.(1) 求证:△ABD ∽△DCE ; (2) 如果x BD =,y AE =,求y x 的函数解析式,并写出自变量x 的定义域;(3) 当点D 是BC 的中点时,试说明△ADE 是什么三角形,并说明理由.2.在ABC ∆中,O BC AC C ,3,4,90===∠o是AB 上的一点,且52=AB AO ,点P 是AC 上的一个动点,OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ,(不与点B,C 重合),已知AP=2,求CQAB CDE A C FED B A C B (备用图) AC B(备用图)3. 已知在等腰三角形ABC 中,4,6AB BC AC ===,D 是AC 的中点, E 是BC 上的动点(不与B 、C 重合),连结DE ,过点D 作射线DF ,使EDF A ∠=∠,射线DF 交射线EB 于点F ,交射线AB 于点H .(1)求证:CED ∆∽ADH ∆; (2)设,EC x BF y ==.①用含x 的代数式表示BH ;②求y 关于x 的函数解析式,并写出x 的定义域.4. 如图,在平面直角系中,直线AB :()440y x a a=+≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点,直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点,D 是x 轴上的一点,OA OD =,过D 作CD ⊥x 轴交AE 于C ,连接B C ,当动点B 在线段OD 上运动(不与点O 点D 重合)且AB BC ⊥时 (1)求证:ABO ∆∽BCD ∆; (2)求线段CD 的长(用a 的代数式表示); (3)若直线AE 的方程是1316y x b =-+,求BC:AB 的值.5. 已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且AD =5,AB =DC =2.(1)如图,P 为AD 上的一点,满足∠BPC =∠A . 求证;△ABP ∽△DPC ②求AP 的长. (2)如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合),且满足∠BPE =∠A ,PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q ,那么 H ABCDEF①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;②当CE=1时,写出AP的长(不必写出解题过程).。
部编数学九年级下册专题13一线三等角模型证相似(解析版)含答案
专题13 一线三等角模型证相似1.如图,在边长为9cm的等边ABCD中,D为BC上一点,且3BD cm=,E在AC上,60ADEÐ=°,则AE的长为( )cm.A.B.C.7D.6【解答】解:ABCDQ是等边三角形,9AB BC AC cm\===,60B CÐ=Ð=°,180120BAD ADB B\Ð+Ð=°-Ð=°,60ADEÐ=°Q,180120ADB EDC ADE\Ð+Ð=°-Ð=°,BAD EDC\Ð=Ð,ABD DCE\D D∽,\AB BD DC CE=,\9393CE=-,2CE\=,7()AE AC CE cm\===,故选:C.2.如图,边长为8cm的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中E、F、G分别在AB、BC、FD上,若2BF cm=,则小正方形的面积等于2 .【解答】解:Q正方形ABCD的边长为8cm,2BF cm=,6CF cm\=Q 四边形ABCD 和EFGH 均为正方形90B C EFG \Ð=Ð=Ð=°90BEF BFE \Ð+Ð=°,90CFD BFE Ð+Ð=°BEF CFD\Ð=ÐBEF CFD\D D ∽\BE CF BF CD =\628BE =32BE \=\小正方形的面积等于:222EF BE BF =+944=+225()4cm =故答案为:2254cm .三.解答题(共15小题)3.已知等边ABC D ,E ,F 分别在边AB 、AC 上,将AEF D 沿EF 折叠,A 点落在BC 边上的D 处.(1)求证:BED CDF D D ∽;(2)若2CD BD =时,求ED DF.【解答】解:(1)证明:Q 等边ABCD 60A B C \Ð=Ð=Ð=°Q 将AEF D 沿EF 折叠,A 点落在BC 边上的D 处.60EDF A \Ð=Ð=°180********BED BDE B Ð+Ð=°-Ð=°-°=°Q 180********BDE CDF EDF Ð+Ð=°-Ð=°-°=°BED CDF\Ð=Ð又B CÐ=ÐQ BED CDF \D D ∽;(2)2CD BD=Q \设1BD =,则2CD =,Q 翻折,\设ED AE x ==,DF AF y==3AB BC AC \===,3BE x =-,3CF y=-BED CDFD D Q ∽\ED BD BE DF CF DC ==\1332x x y y -==-由13x y y=-得:31x y x =+①由32x x y -=得:23x y x=-②由①②解得:75x =,74y =\45x y =\45ED DF =.4.如图有一块三角尺,Rt ABC D ,90C Ð=°,30A Ð=°,6BC =,用一张面积最小的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖.求出这个正方形的面积.【解答】解:90C Ð=°Q ,30A Ð=°,6BC =,212AB BC \==,AC \=,Q 四边形AFED 是正方形,90F E \Ð=Ð=°,AF FE =,90FAC FCA \Ð+Ð=°,90C Ð=°Q ,90FCA BCE \Ð+Ð=°,FAC BCE \Ð=Ð,AFC CEB \D D ∽,\AFACCE CB =,\AFCE =,设AF x =,则CE x =,FC \=,222AF AC Q ,222)x x \+=,2268237x \=+,答:这个正方形的面积为:226837.5.已知:如图,ABC D 是等边三角形,点D 、E 分别在边BC 、AC 上,60ADE Ð=°.(1)求证:ABD DCE D D ∽;(2)如果3AB =,23EC =,求DC 的长.【解答】(1)证明:ABC D Q 是等边三角形,60B C \Ð=Ð=°,AB AC =,B BAD ADE CDE Ð+Ð=Ð+ÐQ ,60B ADE Ð=Ð=°,BAD CDE \Ð=ÐABD DCE \D D ∽;(2)解:由(1)证得ABD DCE D D ∽,\BD CE AB DC=,设CD x =,则3BD x =-,\2333x x-=,1x \=或2x =,1DC \=或2DC =.6.如图,在矩形ABCD 中,3AB =,5AD =,P 是边BC 上的任意一点(P 与B 、C 不重合),作PE AP ^,交CD 于点E .(1)判断ABP D 与PCE D 是否相似,并说明理由.(2)连接BD ,若//PE BD ,试求出此时BP 的长.【解答】解:(1)ABP D 与PCE D 相似,理由如下:Q 四边形ABCD 是矩形,90B C \Ð=Ð=°,90BAP BPA \Ð+Ð=°,PE AP ^Q ,90CPE BPA \Ð+Ð=°,BAP CPE \Ð=Ð,ABP PCE \D D ∽;(2)连接BD,如图所示:由(1)知ABP PCE D D ∽,\AB BP PC CE =,\AB PC BP CE=,//PE BD Q ,\CP CE CB CD =,\PC CB CE CD =,\AB CB BP CD=,Q 在矩形ABCD 中,3AB =,5AD =,3CD AB \==,5CB AD ==,95AB CD BP CB ×\==.7.如图1,在ABC D 中,AB AC ==,cos B =,点D 在BC 边上从C 向B 运动.以D 为顶点作ADE B Ð=Ð,射线DE 交AB 边于点E ,过点A 作AF AD ^交射线DE 于点F ,连接CF .(1)求证:ACD DBE D D ∽.(2)当AD CD =时(如图2),求AD 和EF 的长.(3)设点D 在BC 边上从C 向B 运动的过程中,直接写出点F 运动的路径长.【解答】(1)证明:AB AC =Q ,B C \Ð=Ð,又ADE B Ð=ÐQ ,ADE B C \Ð=Ð=Ð,180B BDE BED Ð+Ð+Ð=°Q ,180ADC ADE BDE Ð+Ð+Ð=°,BED ADC \Ð=Ð,ACD DBE \D D ∽;(2)解:如图,过点D 作DH AC ^交AC 于点H ,AD CD =Q,AB AC ==,12CH AH AC \===,cos B =Q ,B C Ð=Ð,cos CH B CD\=,6cos CH CD B \===,6AD =,AF AD ^Q ,90FAD \Ð=°,ADE B Ð=ÐQ,6cos ADE DF \Ð==,DF \=,由(1)得ACD DBE D D ∽,\DE BD AD AC =,\6DE DE \=,过点A 作AM BC ^于点M ,cos BM B AB\=,\4BM \=,28BC BM \==,862BD BC CD \=-=-=,DE \==,EF DF DE \=-==,6AD \=,EF =(3)解:F Q 点随着D 点的运动而运动,D 在线段BC 上,F \点的轨迹也是一条线段,如图,当D 与C 点重合时,F 点在1F 的位置,190CAF Ð=°,当D 点与B 点重合时,F 点在2F 的位置,290BAF Ð=°,12F F 为F 点的运动路径,12F AF CAB \Ð=Ð,AC =Q,cos B =,ABC C Ð=Ð,1cos AC C CF \===,112CF \=,在1Rt ACF D中,1AF ==,ADF B Ð=ÐQ,2cos cos ABF B \Ð==22cos ABABF BF Ð==,=,212BF \=,2AF ==,21AF AF \=,△12AF F 是等腰三角形,12F AF CAB Ð=ÐQ ,△12AF F 与CAB D 都是等腰三角形,\△12AF F ACB D ∽,\121F F AF BC AC =,由(2)得8BC =,\128F F,12F F \=\点F运动的路径长为.8.在ABC D 中,点E 、F 在边BC 上,点D 在边AC 上,连接ED 、DF ,AB m AC =,120A EDF Ð=Ð=°(1)如图1,点E 、B 重合,1m =时①若BD 平分ABC Ð,求证:2CD CF CB =×;②若213CFBF =,则ADCD =(2)如图2,点E 、B 不重合.若BE CF =,ABDFm AC DE ==,37BEEF =,求m 的值.【解答】解:(1)①Q 1ABm AC ==,AB AC \=,BD Q 平分ABC Ð,ABD DBF \Ð=Ð,BDC A ABD BDF CDF Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ,且120A BDF Ð=Ð=°,ABD CDF DBF \Ð=Ð=Ð,且C C Ð=Ð,CDF CBD \D D ∽,\CD CF BC CD=,2CD BC CF \=×;②如图1,过A 作AG BC ^于G ,过F 作FH BC ^,交AC 于H ,30C Ð=°Q ,2CH FH \=,设2FH a =,4CH a =,则CF =,Q 213CF BF =,BC \=,CG =Q ,152AG a \=,15AC a =,11AH a \=,120BAD BDF DHF Ð=Ð=Ð=°Q ,18012060ADB FDH ADB ABD \Ð+Ð=Ð+Ð=°-°=°,ABD FDH \Ð=Ð,ABD HDF \D D ∽,\AB AD HD FH =,即152a AD DH a=,设AD x =,则11DH a x =-,230(11)a x a x \=-,2211300x ax a -+=,(5)(6)0x a x a --=,5x a =或6a ,\51102AD a CD a ==或6293AD a CD a ==,故答案为:12或23;(2)如图2,过E 作//EH AB ,交AC 于H ,过D 作DM EH ^于M ,过F 作//FG ED ,交AC 于G ,BE CF =Q ,37BE EF =,\37CF EF =,//FG ED Q ,\37CF CG EF DG ==,\设3CG a =,7DG a =,Q AB DF m AC DE==,120A EDF Ð=Ð=°,ABC DFE \D D ∽,DEC C \Ð=Ð,10DE DC a \==,//FG DE Q ,GFC DEF C \Ð=Ð=Ð,3FG CG a \==,同理由(1)得:EHD DFG D D ∽,\ED DH DG FG =,即1073a DH a a=,307a DH =,Rt DHM D 中,60DHM Ð=°,30HDM \Ð=°,11527a HM DH \==,DM =,657EM a \===,651550777EH a a a \=-=,5017302107a AB EH m AC CH a a \====+.9.已知:在EFG D 中,90EFG Ð=°,EF FG =,且点E ,F 分别在矩形ABCD 的边AB ,AD 上.(1)如图1,填空:当点G 在CD 上,且1DG =,2AE =,则EG =(2)如图2,若F 是AD 的中点,FG 与CD 相交于点N ,连接EN ,求证:AEF FEN Ð=Ð;(3)如图3,若AE AD =,EG ,FG 分别交CD 于点M ,N ,求证:2MG MN MD =×.【解答】(1)解:90EFG Ð=°Q ,90AFE DFG \Ð+Ð=°,90AEF AFE Ð+Ð=°Q ,AEF DFG \Ð=Ð,又90A D Ð=Ð=°Q ,EF FG =,()AEF DFG AAS \D @D ,2AE FD \==,FG \==EG \==,;(2)证明:延长EA、NF 交于点M ,Q点F为AD的中点,\=,AF DFQ,AM CD//Ð=Ð,\Ð=Ð,MAD DM DNF\D@D,MAF NDF AAS()\=,MF FN^Q,EF MG\=,ME GE\Ð=Ð;MEF FEN(3)证明:如图,过点G作GP AD^交AD的延长线于P,\Ð=°,P90D@D,AEF PFG AAS同(1)同理得,()=,\=,PF AEAF PGQ,=AE AD\=,PF AD\=,AF PD\=,PG PDQ,Ð=°P9045PDG \Ð=°,45MDG \Ð=°,在Rt EFG D 中,EF FG =,45FGE \Ð=°,FGE GDM \Ð=Ð,GMN DMG Ð=ÐQ ,MGN MDG \D D ∽,\MG MN DM MG=,2MG MN MD \=×.10.在ABC D 中,BA BC =,(0180)ABC a a Ð=°<<°,点P 为直线BC 上一动点(不与点B 、C 重合),连接AP ,将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ,再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ,直线PM 与直线CN 相交于点Q .(1)当点P 在线段BC 上,当60a =°时,如图1,直接判断BP CQ 的大小;(2)当点P 在线段BC 上,当BC k AC=时,如图2,试判断线段BP CQ 的大小,并说明理由;(3)当点P 在直线BC 上,当90a =°,AC =17AP =时,请利用备用图探究PCQ D 面积的大小(直接写出结果即可).【解答】解:(1)如图1,连接AQ ,BA BC =Q ,60ABC a Ð==°,ABC \D 是等边三角形,60BAC ACB ABC \Ð=Ð=Ð=°,Q 将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ,再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ,60APQ ACQ \Ð=Ð=°,\点A ,点P ,点C ,点Q 四点共圆,60AQP ACB \Ð=Ð=°,APQ \D 是等边三角形,AP AQ \=,60PAQ Ð=°,BAC PAQ \Ð=Ð,BAP CAQ \Ð=Ð,()BAP CAQ SAS \D @D ,BP CQ \=,\1BP CQ=;(2)BP k CQ =,理由如下:如图2,连接AQ ,BA BC =Q ,ABC a Ð=,1802ACB BAC a °-\Ð=Ð=,QQ 将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ,再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ,APQ ACQ a \Ð=Ð=,\点A ,点P ,点C ,点Q 四点共圆,1802AQP ACB a °-\Ð=Ð=,1802PAQ BAC a °-\Ð==Ð,BAP CAQ \Ð=Ð,又ABC ACQ a Ð=Ð=Q ,ABP ACQ \D D ∽,\AB BC BP k AC AC CQ===;(3)17AC AP =<=Q ,\点P 不在线段BC 上,当点P 在点C 的右侧时,如图3,过点Q 作QH BC ^于H ,AB BC =Q ,90ABC Ð=°,AC =8AB BC \==,45ACB Ð=°,15BP \===,7CP \=,90ACQ Ð=°Q ,45ACB Ð=°,45QCH \Ð=°,由(2)可知AB BP AC CQ =,\15CQ=,CQ \=,45QCH Ð=°Q ,QH BH ^,15CH QH \==,11105715222CPQ S CP QH D \=´´=´´=;当点P 在点B 的左侧时,如图4,过点Q 作QH BC ^于H ,AB BC =Q ,90ABC Ð=°,AC =8AB BC \==,45ACB Ð=°,15BP \===,23CP \=,90ACQ Ð=°Q ,45ACB Ð=°,45QCH \Ð=°,由(2)可知AB BP AC CQ =,\15CQ=,CQ \=,45QCH Ð=°Q ,QH BH ^,15CH QH \==,113452315222CPQ S CP QH D \=´´=´´=;综上所述:PCQ D 面积为1052或3452.11.如图,在ABC D 中,已知5AB AC ==,6BC =,且ABC DEF D @D ,将DEF D 与ABC D 重合在一起,ABC D 不动,DEF D 运动,并满足:点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动,且DE 始终经过点A ,EF 与AC 交于M 点.(1)求证:ABE ECM D D ∽;(2)当DE BC ^时,①求CM 的长;②直接写出重叠部分的面积;(3)在DEF D 运动过程中,当重叠部分构成等腰三角形时,求BE 的长.【解答】(1)证明:AB AC =Q ,B C \Ð=Ð,ABC DEF D @D Q ,AEF B \Ð=Ð,AEF CEM AEC B BAE Ð+Ð=Ð=Ð+ÐQ ,CEM BAE \Ð=Ð,ABE ECM \D D ∽;(2)①当DE BC ^时,AB AC =Q ,BAE EAM \Ð=Ð,ABC DEF D @D Q ,B DEF \Ð=Ð,ABE AEM \D D ∽,\AB AE AE AM=,90AME AEB Ð=Ð=°,5AB AC ==Q ,DE BC ^,6BC =,132BE EC BC \===,在Rt ABE D 中,4AE ===,\544AM=,165AM \=,169555CM AC AM \=-=-=;②在Rt AEM D 中,125EM ===,11161296225525AEM S AM EM D \=×=´´=,\重叠部分的面积为9625;(3)①当AE EM =时,ABE ECM D @D ,5CE AB ==Q ,651BE BC EC \=-=-=,②当AM EM =时,则MAE MEA Ð=Ð,MAE BAE MEC MEA \Ð+Ð=Ð+Ð,即CAB CEA Ð=Ð,C C Ð=ÐQ ,CAE CBA \D D ∽,\CE AC AC CB=,\2256AC CE CB ==,\2511666BE BC EC =-=-=;③当AE AM =时,点E 与点B 重合,即0BE =,此时重叠部分图形不能构成三角形;1BE \=或116.12.如图,直线y =+0)y x =>的交点为A ,与x 轴的交点为B .(1)求ABO Ð的度数;(2)求AB 的长;(3)已知点C 为双曲线0)y x =>上的一点,当60AOC Ð=°时,求点C 的坐标.【解答】解:(1)设直线y =+y 轴交于点D ,如图所示:当0x =时,y =.即点D .当0y =时,1x =-,即点(1,0)B -.\1OD BO ==.\tan DO ABO BOÐ==.60ABO \Ð=°.(2)过点A 作AE x ^轴,垂足为E ,如图所示.设点A 坐标为:(m .且0m >.OE m \=,AE =//DO AE Q .BDO BAE \D D ∽.\BO DOBE AE=.即:11m =+1m \=或2m =-(舍).\A .\4AB ==.即:4AB =.(3)过C 作60CFO Ð=°,点F 在x 轴上,再过点C 作CH OF ^于H 点,如图所示.设(C a,0a >.\OH \4CF a ==.\2HF a =.\2OF a a=+.AOF AOC COF Ð=Ð+ÐQ ,且AOF Ð是ABO D 一内角的外角.BAO COF \Ð=Ð.ABO OFC \D D ∽.\AB BOOF CF =即:4124a a a=+.\a=.Q.a>\a\C.^交BC 13.【感知】如图①,在正方形ABCD中,E为AB边上一点,连结DE,过点E作EF DE∽.(不需要证明)于点F.易证:AED BFED D^交BC于点【探究】如图②,在矩形ABCD中,E为AB边上一点,连结DE,过点E作EF DEF.D D∽.(1)求证:AED BFE(2)若10AD=,E为AB的中点,求BF的长.AB=,6AB=.E为AB边上一点(点E不与【应用】如图③,在ABCACB=,4D中,90Ð=°,AC BC点A、B重合),连结CE,过点E作45D为等腰三角形时,BECEFÐ=°交BC于点F.当CEF的长为 【解答】【探究】(1)证明:Q四边形ABCD是矩形,\Ð=Ð=°,90A B\Ð+Ð=°,ADE AED90^Q,DE EF\Ð=°,DEF90\Ð+Ð=°,BEF AED90\Ð=Ð,ADE BEFQ,又A BÐ=Ð\D D∽;AED BFEQ为AB的中点,(2)解:E\==,AE BE5∽,由(1)知AED BFED D\AD AEBE BF =,即655BF=,256BF \=;【应用】解:如果CE CF =,则45CEF CFE Ð=Ð=°,90ECF Ð=°,则点E 与点A 重合,点F 与点B 重合,不符合题意,②如果CE EF =,则1804567.52ECF EFC °-°Ð=Ð==°,EFC ÐQ 为BEF D 的外角,EFC B BEF \Ð=Ð+Ð,90ACB Ð=°Q ,AC BC =,45A B \Ð=Ð=°,67.54522.5BEF EFC B \Ð=Ð-Ð=°-°=°,909067.522.5ACE ECF Ð=°-Ð=°-°=°,ACF BEF \Ð=Ð,又A B Ð=ÐQ ,CE EF =,()AEC BFE AAS \D @D ,BE AC \=,90ACB Ð=°Q ,AC BC =,4AB =,AC \==,BE \=;如果CF EF =,则45CEF ECF Ð=Ð=°,90CFE \Ð=°,在BEC D 中,45B BCE Ð=Ð=°,90BEC \Ð=°,CE AB \^,又AC BC =Q ,\点E 为AB 的中点,122BE AB \==,综上,BE 的长为2,故答案为:2.14.如图1,已知正方形ABCD 在直线MN 的上方,BC 在直线MN 上,E 是射线BC 上一点,以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG .(1)连接FC ,观察并猜测tan FCN Ð的值,并说明理由;(2)如图2,将图1中正方形ABCD 改为矩形ABCD ,AB m =,(BC n m =,n 为常数),E 是射线BC 上一动点(不含端点)B ,以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ,使顶点G 恰好落在射线CD 上,当点E 沿射线CN 运动时,请用含m ,n 的代数式表示tan FCN Ð的值.【解答】解:(1)tan 1FCN Ð=,理由是:如图1,作FH MN ^于H ,90AEF ABE Ð=Ð=°Q ,90BAE AEB \Ð+Ð=°,90FEH AEB Ð+Ð=°,FEH BAE \Ð=Ð,在EHF D 和ABE D 中EHF ABE FEH BAE EF AE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î,()EHF ABE AAS \D @D ,FH BE \=,EH AB BC ==,CH BE FH \==,90FHC Ð=°Q ,tan 1FHFCH CH\Ð==;(2)如图(2)作FH MN ^于H .由已知可得90EAG BAD AEF Ð=Ð=Ð=°,结合(1)易得FEH BAE DAG Ð=Ð=Ð,又G Q 在射线CD 上,90GDA EHF EBA Ð=Ð=Ð=°,在EFH D 和AGD D 中FHE GDA FEH DAG EF AG Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î,()EFH AGD AAS \D @D ,BAE FEH Ð=ÐQ ,ABE FHE Ð=Ð,EFH AEB \D D ∽,EH AD BC n \===,CH BE \=,\EH FH FHAB BE CH==,\在Rt FEH D 中,tan FH EH nFCN CH AB mÐ===,\当点E 沿射线CN 运动时,tan n FCN mÐ=.15.如图1,在矩形ABCD 中,8AB =,10BC =,点M 是BC 边上的动点,点M 从点B 出发,运动到点C 停止,N 是CD 边上一动点,在运动过程中,始终保持AM MN ^,设BM x =,CN y =.(1)直接写出y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围 010x …… ;(2)先完善表格,然后在平面直角坐标系中(如图2)利用描点法画出此抛物线,直接写出m = ;x¼2345678¼y¼22183m32182¼(3)结合图象,指出M 、N 在运动过程中,当CN 达到最大值时,BM 的值是 ;并写出在整个运动过程中,点N 运动的总路程 .【解答】解:(1)Q 四边形ABCD 是矩形,908B C AB CD \Ð=Ð=°==,90BAM AMB \Ð+Ð=°,AM MN ^Q ,90AMN \Ð=°,90AMB CMN \Ð+Ð=°,BAM CMN \Ð=Ð,ABM MCN \D D ∽,\AB MCBM CN=,\810x x y-=,21584y x x \=-+,10BC =Q ,点M 是BC 边上的动点,点M 从点B 出发,运动到点C 停止,010x \……,故答案为:010x ……;(2)当5x =时,代入21584y x x =-+中得:2152555848y =-´+´=,故答案为:258,画出的抛物线如图所示:(3)21584y x x =-+Q ,2215125(5)8488y x x x \=-+=--+,108a =-<Q ,\当5x =时,y 最大258=,\当CN 达到最大值时,BM 的值是5;Q2525284´=,\在整个运动过程中,点N 运动的总路程为254,故答案为:5,254.16.【基础巩固】(1)如图1,在ABC D 中,90ACB Ð=°,直线l 过点C ,分别过A 、B 两点作AE l ^,BD l ^,垂足分别为E 、D .求证:BDC CEA D D ∽.【尝试应用】(2)如图2,在ABC D 中,90ACB Ð=°,D 是BC 上一点,过D 作AD 的垂线交AB 于点E .若BE DE =,4tan 5BAD Ð=,20AC =,求BD 的长.【拓展提高】(3)如图3,在平行四边形ABCD 中,在BC 上取点E ,使得90AED Ð=°,若AE AB =,43BE EC =,CD =ABCD 的面积.【解答】(1)证明:90ACB Ð=°Q ,90BCD ACE \Ð+Ð=°,AE CE ^Q ,90AEC \Ð=°,90ACE CAE \+Ð=°.BCD CAE \Ð=Ð.BD DE ^Q ,90BDC \Ð=°,BDC AEC \Ð=Ð.BDC CEA \D D ∽.(2)解:过点E 作EF BC ^于点F .由(1)得EDF DACD D∽.\DE DF DA AC=.AD DE^Q,4tan5BADÐ=,20AC=,\4520DF =,16 DF\=.BE DE=Q,BF DF\=.232BD DF\==.(3)解:过点A作AM BC^于点M,过点D作DN BC^的延长线于点N.90AMB DNC\Ð=Ð=°.Q四边形ABCD是平行四边形,//AB CD\,AB CD=.B DCN\Ð=Ð.()ABM DCN AAS\D@D.BM CN\=,AM DN=.AB AE=Q,AM BC^,BM ME\=,Q43 BEEC=,设AM b=,4BE a=,3EC a=.2BM ME CN a\===,5EN a=.90AEDÐ=°Q,由(1)得AEM EDN D D ∽.\AM ENME DN =,\25b aa b=,\b =,Q CD =22(2)14a b \+=,1a \=,b =.\平行四边形ABCD 的面积172BC DN a b =´´=´=.17.感知:(1)数学课上,老师给出了一个模型:如图1,90BAD ACB AED Ð=Ð=Ð=°,由12180BAD Ð+Ð+Ð=°,2180D AED Ð+Ð+Ð=°,可得1D Ð=Ð;又因为90ACB AED Ð=Ð=°,可得ABC DAE D D ∽,进而得到BC AC =我们把这个模型称为“一线三等角”模型.应用:(2)实战组受此模型的启发,将三等角变为非直角,如图2,如图,在ABC D 中,10AB AC ==,12BC =,点P 是BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合),点D 是AC 边上的一个动点,且APD B Ð=Ð.①求证:ABP PCD D D ∽;②当点P 为BC 中点时,求CD 的长;拓展:(3)在(2)的条件下,如图2,当APD D 为等腰三角形时,请直接写出BP 的长.【解答】(1)解:ABC DAE D D Q ∽,\BC ACAE DE =,\BC AEAC DE=,故答案为:AEDE;(2)①证明:AB AC=Q,B C\Ð=Ð,APC B BAPÐ=Ð+ÐQ,APC APD CPDÐ=Ð+Ð,APD BÐ=Ð,BAP CPD\Ð=Ð,B CÐ=ÐQ,ABP PCD\D D∽;②解:12BC=Q,点P为BC中点,6BP PC\==,ABP PCDD DQ∽,\AB BPPC CD=,即1066CD=,解得: 3.6CD=;(3)解:当PA PD=时,ABP PCDD@D,10PC AB\==,12102BP BC PC\=-=-=;当AP AD=时,ADP APDÐ=Ð,ADP B CÐ=Ð=ÐQ,ADP C\Ð=Ð,不合题意,AP AD\¹;当DA DP=时,DAP APD BÐ=Ð=Ð,C CÐ=ÐQ,BCA ACP\D D∽,\BC ACAC CP=,即121010CP=,解得:253CP=,25111233BP BC CP\=-=-=,综上所述:当APDD为等腰三角形时,BP的长为2或113.。
初中数学突破中考压轴题几何模型之相似三角形中的一线三等角模型
一线三等角相似三角形判定的基本模型A字型X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型AD B C E一线三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上,角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同,当顶点移动到底边的延长线时,形成变式图形,图形虽然变化但是求证的方法不变。
此规律需通过认真做题,细细体会。
典型例题【例△1】如图,等边ABC中,边长为6,D是BC上动点,∠EDF=60°A(△1)求证:BDE∽△CFD(2)当BD=1,FC=3时,求BEE FB D C【例△2】如图,等腰ABC中,AB=AC,D是BC中点,∠EDF=∠B,求证:△BDE∽△DFEAFEB D C【例△3】如图,在ABC中,AB=AC=5cm,BC=8,点P为BC边上一动点(不与点B、C重合),过点P作射线PM 交AC于点M,使∠APM=∠B;(△1)求证:ABP∽△PCM;A(2)设BP=x,CM=y.求y与x的函数解析式,并写出函数的定义域.(△3)当APM为等腰三角形时,求PB的长.MB P C【例4】(1)在∆ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P、Q分别在射线C B、AC上(点P不与点C、点B重合),且保持∠APQ=∠ABC.A①若点P在线段CB上(如图),且BP=6,求线段CQ的长;②若BP=x,CQ=y,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域;BQP C(2)正方形ABCD的边长为5(如图12),点P、Q分别在直线C B、DC上..(点P不与点C、点B重合),且保持∠APQ=90︒.当CQ=1时,写出线段BP的长(不需要计算过程,请直接写出结果).AB C备用图A DB C图12点评:此题是典型的图形变式题,记住口诀:“图形改变,方法不变”。
中考数学压轴必刷 专题4一线三等角模型(学生版)
【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案专题4一线三等角模型【例1】(1)某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形.如图1,已知:在ABC中,90BAC∠=︒,AB AC=,直线l经过点A,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点D,E.求证:DE BD CE=+.(2)组员小明想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?如图2,将(1)中的条件改为:在ABC 中,AB AC=,D,A,E三点都在直线l上,并且有BDA AEC BACα∠=∠=∠=,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE BD CE=+是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题:如图3,过ABC的边AB,AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高.延长HA交EG于点I.若7AEGS=△,则AEIS=△______.【例2】如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°,点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA=105°时,∠EDC=°,∠DEC=°;点D从点B向点C运动时,∠BDA 逐渐变.(填“大”或“小”)(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE?请说明理由.(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA的度数;若不可以,请说明理由.【例3】在正方形ABCD 中,点E 在射线CB 上(不与点B ,C 重合),连接DB ,DE ,过点E 作EF DE ⊥,并截取EF DE =(点D ,F 在BC 同侧),连接BF .(1)如图1,点E 在BC 边上.①依题意补全图1;②用等式表示线段BD ,BE ,BF 之间的数量关系,并证明;(2)如图2,点E 在CB 边的延长线上,其他条件均不变,直接写出线段BD ,BE ,BF 之间的数量关系.【例4】(1)模型探究:如图1,D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点,且∠B =∠C =∠EDF =a .△BDE 与△CFD 相似吗?请说明理由;(2)模型应用:△ABC 为等边三角形,其边长为8,E 为AB 边上一点,F 为射线AC 上一点,将△AEF 沿EF 翻折,使A 点落在射线CB 上的点D 处,且BD =2.①如图2,当点D 在线段BC 上时,求AE AF 的值;②如图3,当点D 落在线段CB 的延长线上时,求△BDE 与△CFD 的周长之比.【例5】.如图,已知等边△ABC 的边长为6,点D 是边BC 上的一个动点,折叠△ABC ,使得点A 恰好与边BC 上的点D 重合,折痕为EF (点E 、F 分别在边AB 、AC 上).(l )当AE :AF =5:4时,求BD 的长;(2)当ED ⊥BC 时,求EB 的值;(3)当以B、E、D为顶点的三角形与△DEF相似时,求BE的长.【例6】在△ABC中,∠ABC=90°.(1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:△ABM∽△BCN;(2)如图2,P是边BC上一点,∠BAP=∠C,tan∠P AC=2√55,求tan C的值;(3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,∠DEB=90°,sin∠BAC=35,ADAC=25,直接写出tan∠CEB的值.1.如图1,AB=12,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=8.点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由B点向点D运动.它们的运动时间为t(s).(1)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,当t =2时,△ACP 与△BPQ 是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系;(2)如图2,将图1中的“AC ⊥AB ,BD ⊥AB ”改为“∠CAB =∠DBA =60°”,其他条件不变.设点Q 的运动速度为每秒x 个单位,是否存在实数x ,使得△ACP 与△BPQ 全等?若存在,求出相应的x ,t 的值;若不存在,请说明理由.2.如图,△ABC 和△DEF 是两个全等的三角形,∠BAC =∠EDF =120°,AB =AC =√3.现将△ABC 和△DEF 按如图所示的方式叠放在一起,△ABC 保持不动,△DEF 运动,且满足:点E 在边BC 上运动(不与点B ,C 重合),且边DE 始终经过点A ,EF 与AC 交于点M .(1)求证:∠BAE =∠MEC ;(2)当E 在BC 中点时,请求出ME :MF 的值;(3)在△DEF 的运动过程中,△AEM 能否构成等腰三角形?若能,请直接写出所有符合条件的BE 的长;若不能,则请说明理由.3.如图,在△ACB 中,AB =AC ,点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ,C 重合),满足∠DEF =∠B ,且点D ,F 分别在边AB ,AC 上.(1)求证:△BDE ∽△CEF ;(2)当点E 移动到BC 的中点时,且BD =3,CF =2,则DE EF 的值为 √62.4.在综合实践课上,李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动.已知,在等腰ABC 纸片中,5CA CB ==,120ACB ∠=︒,将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN (90M ∠=︒,30MPN ∠=︒)按如图所示放置,顶点P 在线段BA 上滑动(点P 不与A ,B 重合),三角尺的直角边PM 始终经过点C ,并与CB 的夹角PCB α∠=,斜边PN 交AC 于点D .(1)当100BPC ∠=︒时,α=______°;(2)当AP 等于何值时,APD BCP ≌△△?请说明理由; (3)在点P 的滑动过程中,存在PCD 是等腰三角形吗?若存在,请求出夹角α的大小;若不存在,请说明理由.5.已知直线l 1:y =﹣x +b 与x 轴交于点A ,直线l 2:y =43x ﹣163与x 轴交于点B ,直线l 1、l 2交于点C ,且C 点的横坐标为1.(1)求直线l 1的解析式和点A 的坐标.(2)直线l 1与y 轴交于点D ,将l 1向上平移9个单位得l 3,l 3与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ,点P 为l 3上一动点,连接AP 、BP ,当△ABP 的周长最小时,求△ABP 的周长和点P 的坐标. (3)将l 1绕点C 逆时针旋转,使旋转后的直线l 4过点G (﹣2,0),过点C 作l 5平行于x 轴,点M 、N 分别为直线l 4、l 5上两个动点,是否存在点M 、点N ,使△BMN 是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形,若存在,求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由.6.如图,等腰直角△ABC 中,BC =AC ,∠ACB =90°,现将该三角形放置在平面直角坐标系中,点B 坐标。
2023年中考数学常见几何模型之一线三等角模型
专题05 一线三等角(K 型图)模型(从全等到相似) 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现,其变化很多,难度大,是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法,熟练掌握基本解题模型,再遇到该类问题就信心更足了.本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
模型1.一线三等角(K 型图)模型(全等模型)【模型解读】在某条直线上有三个角相等,利用平角为180°与三角形内角和为180°,证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角(常见):锐角一线三等角 直角一线三等角(“K 型图”) 钝角一线三等角条件:A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路:,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅V V异侧型一线三等角:锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件:FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等证明思路:,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅V V1.(2022·湖南湘潭·中考真题)在ABC V 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,直线l 经过点A ,过点B 、C 分别作l 的垂线,垂足分别为点D 、E .(1)特例体验:如图①,若直线l BC ∥,AB AC ==BD 、CE 和DE 的长;(2)规律探究:①如图②,若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒,请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由;②如图③,若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒,与线段BC 相交于点H ,请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由;(3)尝试应用:在图③中,延长线段BD 交线段AC 于点F ,若3CE =,1DE =,求BFC S △.【答案】(1)BD =1;CE =1;DE =2(2)①DE =CE +BD ;理由见解析;②BD =CE +DE ;理由见解析 (3)258BFC S ∆=【分析】(1)先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒,根据l BC ∥,得出45DAB ABC ∠=∠=︒,45EAC ACE ∠=∠=︒,再根据90BDA CEA ∠=∠=︒,求出45ABD ∠=︒,45ACE ∠=︒,即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒,最后根据三角函数得出1AD BD ==,1AE CE ==,即可求出2DE AD AE =+=;(2)①DE =CE +BD ;根据题意,利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌,得出AD =CE ,BD =AE ,即可得出结论;②BD =CE +DE ;根据题意,利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌,得出AD =CE ,BD =AE ,即可得出结论;(3)在Rt △AEC 中,根据勾股定理求出5AC ==,根据DF CE ∥,得出AD AF AE CF=,代入数据求出AF ,根据AC =5,算出CF ,即可求出三角形的面积.(1)解:∵90BAC ∠=︒,AB AC =,∴90452ABC ACB ︒∠=∠==︒, ∵l BC ∥,∴45DAB ABC ∠=∠=︒,45EAC ACE ∠=∠=︒,∵BD ⊥AE ,CE ⊥DE ,∴90BDA CEA ∠=∠=︒,∴904545ABD ∠=︒−︒=︒,904545ACE ∠=−=︒︒︒,∴45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒,∴sin 12AD BD AB DAB ==⨯∠==,sin 12AE CE AC EAC ==⨯∠==,∴2DE AD AE =+=. (2)①DE =CE +BD ;理由如下:∵BD ⊥AE ,CE ⊥DE ,∴90BDA CEA ∠=∠=︒,∴90DAB DBA ∠+∠=︒,∵90BAC ∠=︒,∴90DAB CAE ∠+∠=︒,∴DBA CAE ∠=∠,∵AB =AC ,∴ABD CAE ∆∆≌,∴AD =CE ,BD =AE ,∴DE =AD +AE =CE +BD ,即DE =CE +BD ;②BD =CE +DE ,理由如下:∵BD ⊥AE ,CE ⊥DE ,∴90BDA CEA ∠=∠=︒,∴90DAB DBA ∠+∠=︒,∵90BAC ∠=︒,∴90DAB CAE ∠+∠=︒,∴DBA CAE ∠=∠,∵AB =AC ,∴ABD CAE ∆∆≌,∴AD =CE ,BD =AE ,∴BD =AE =AD +DE =CE +DE ,即BD =CE +DE .(3)根据解析(2)可知,AD =CE=3,∴314AE AD DE =+=+=,在Rt △AEC 中,根据勾股定理可得:5AC ==,∵BD ⊥AE ,CE ⊥AE ,∴DF CE ∥,∴AD AF AE CF =,即345AF =,解得:154=AF , ∴155544CF AC AF =−=−=,∵AB =AC =5,∴1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,平行线的性质,解直角三角形,根据题意证明ABD CAE ∆∆≌,是解题的关键.2.(2022·黑龙江·九年级期末)(1)如图(1),已知:在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,直线m 经过点A ,BD ⊥直线m , CE ⊥直线m ,垂足分别为点D 、E .证明∶DE =BD +CE .(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC 中,AB =AC ,D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE =BD +CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展与应用:如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E 三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.【答案】(1)见解析(2)成立,证明见解析(3)△DEF为等边三角形,证明见解析【分析】(1)因为DE=DA+AE,故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA,得出DA=EC,AE=BD,从而证得DE=BD+CE;(2)成立,仍然通过证明△ADB≌△CEA,得出BD=AE,AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD;(3)由△ADB≌△CEA得BD=AE,∠DBA =∠CAE,由△ABF和△ACF均等边三角形,得∠ABF=∠CAF=60°,FB=F A,所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,即∠DBF=∠F AE,所以△DBF≌△EAF,所以FD=FE,∠BFD=∠AFE,再根据∠DFE=∠DF A+∠AFE=∠DF A+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形.【详解】解:(1)证明:∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=90°.∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD.又AB=AC,∴△ADB≌△CEA(AAS).∴AE=BD,AD=CE.∴DE=AE+AD=BD+CE;(2)成立.证明如下:∵∠BDA =∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-α.∴∠DBA=∠CAE.∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC,∴△ADB≌△CEA(AAS).∴AE=BD,AD=CE.∴DE=AE+AD=BD+CE;(3)△DEF为等边三角形.理由如下:由(2)知,△ADB≌△CEA,BD=AE,∠DBA =∠CAE,∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=60°.∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF.∴∠DBF=∠F AE.∵BF=AF,∴△DBF≌△EAF(SAS).∴DF=EF,∠BFD=∠AFE.∴∠DFE=∠DF A+∠AFE=∠DF A+∠BFD=60°.∴△DEF为等边三角形.【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定,解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定,等边三角形的性质和判定.3.(2022·江苏·九年级专题练习)【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一,请根据以下问题,把你的感知填写出来:①如图1,ABC V 是等腰直角三角形,90C ∠=︒,AE =BD ,则AED V ≌_______; ②如图2,ABC V 为正三角形,,60BD CF EDF =∠=︒,则BDE V ≌________; ③如图3,正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上,分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ,CF l ⊥于F .若1AE =,2CF =,则EF 的长为________.【模型应用】(2)如图4,将正方形OABC 放在平面直角坐标系中,点O 为原点,点A 的坐标为(,则点C 的坐标为________.【模型变式】(3)如图5所示,在ABC V 中,90ACB ∠=︒,AC BC =,BE CE ⊥于E ,AD ⊥CE 于D ,4cm DE =,6cm AD =,求BE 的长.模型2.一线三等角模型(相似模型)【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形,因为一条直线上有三个相等的角,一般就会有两个三角形的“一对角相等”,再利用平角为180°,三角形的内角和为180°,就可以得到两个三角形的另外一对角也相等,从而得到两个三角形相似.1.(2022·四川·一模)某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形:(1)如图1,已知:在△ABC 中,AB AC =,D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=.试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系,请证明你的结论; (2)老师鼓励学习小组继续探索相似的情形.于是,学习小组又研究以下问题:如图2,△ABC 中,(060)B C αα∠=∠=<<︒.将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上,当P 在BC 边上移动时,三角尺中30°角的一条边始终过点A ,另一条边交AC 边于点Q ,P 、Q 不与三角形顶点重合.设CPQ β∠=.当β在许可范围内变化时,α取何值总有△ABP ∽△PCQ ?当α在许可范围内变化时,β取何值总有△ABP ∽△QCP ?(3)试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似?若可能,写出所有α、β的值(不写过程);若不可能,请说明理由.【答案】(1)DE AE AD BD CE =+=+;证明见解析;(2)30α=︒;75β=︒;(3)可能;30α=︒,30β=︒或52.5α=︒,75β=︒.【分析】(1)证明△ADB ≌△CEA (AAS ),由全等三角形的性质得出AE =BD ,AD =CE ,则可得出结论;(2)由β=∠2或∠1=∠CQP ,即∠2=30°+β-α=β,解得α=30°,即可求解;由β=∠1或∠2=∠CQP ,同理可得:β=75°,即可求解;(3)①当α=30°,β=30°时,则∠2=∠B =α=30°,即可求解;②当β=75°,α=52.5°时,同理可解.【详解】解:(1)如图1,∵BDA BAC α∠=∠=,∴180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒−,∴DBA CAE ∠=∠,在△ADB 和△CEA 中,DBA EAC BDA AEC BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADB ≌△CEA (AAS ),∴AE BD =,AD CE =, ∴DE AE AD BD CE =+=+;(2)在△ABP 中,2230APC B αβ∠=∠+∠=+∠=︒+,∴1150β∠=︒−,同理可得:230βα∠=︒+−;由2β=∠或1CQP ∠=∠,即230βαβ∠=︒+−=,解得30α=︒,则△ABP ∽△PCQ ;∴当β在许可范围内变化时,30α=︒时,总有△ABP ∽△PCQ ;由1β=∠或2CQP ∠=∠,同理可得:75β=︒.∴当α在许可范围内变化时,75β=︒总有△ABP ∽△QCP ;(3)可能.①当30α=︒,30β=︒时,则230B α∠=∠==︒,则△ABP ∽△PCQ ∽△BCA ;②当75β=︒,52.5α=︒时,同理可得:115075ββ∠=︒−=︒=,23052.5βαα∠=︒+−=︒=,∴△ABP ∽△CQP ∽△BCA .【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键.2.(2022·河南新乡·二模)如图,△ABC和△ADE是有公共顶点A的两个等腰直角三角形,∠DAE=∠BAC=90°,AD=AE,AB=AC=6,D在线段BC上,从B到C运动,点M和点N分别是边BC,DE的中点.(1)【问题发现】若点D是BC边的中点时,BDMN=,直线BD与MN相交所成的锐角的度数为(请直接写出结果)(2)【解决问题]若点D是BC边上任意一点时,上述结论是否成立,请说明理由.(3)【拓展探究】在整个运动过程中,请直接写出N点运动的路径长,及CN的最小值.,3.(2022·山东菏泽·三模)(1)问题:如图1,在四边形ABCD 中,点P 为AB 上一点,当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时,求证:AD BC AP BP ⋅=⋅.(2)探究:若将90°角改为锐角或钝角(如图2),其他条件不变,上述结论还成立吗?说明理由.(3)应用:如图3,在ABC V 中,AB =45B ∠=︒,以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △.点D 在BC 上,点E 在AC 上,点F 在BC 上,且45EFD ∠=︒,若CE =求CD 的长.模型3.一线三直角模型(相似模型)【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形,实则是“一线三等角”型的图形的特例,因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多,对它做一专门研究,这样的图形,因为有三个角是直角,就有两个角相等,再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等,从而判定两个三角形相似.BC=.点E是线段1.(2022·湖南郴州·中考真题)如图1,在矩形ABCD中,4AB=,6AD 上的动点(点E 不与点A ,D 重合),连接CE ,过点E 作EF CE ⊥,交AB 于点F .(1)求证:AEF DCE V V ∽;(2)如图2,连接CF ,过点B 作BG CF ⊥,垂足为G ,连接AG .点M 是线段BC 的中点,连接GM .①求AG GM +的最小值;②当AG GM +取最小值时,求线段DE 的长.【答案】(1)见解析(2)①5;②3DE =3DE =【分析】(1)证明出DCE AEF ∠=∠即可求解;(2)①连接AM .先证明132BM CM GM BC ====.确定出点G 在以点M 为圆心,3为半径的圆上.当A ,G ,M 三点共线时,AG GM AM +=.此时,AG GM +取最小值.在Rt ABM V 中利用勾股定理即可求出AM ,则问题得解.②先求出AF ,求AF 的第一种方法:过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ,即有CMN CBF ∽△△,进而有12MN CM BF CB ==.设AF x =,则4BF x =−,()142MN x =−.再根据∥MN AB ,得到AFG MNG ∽△△,得到AF AG MN GM =,则有()21342x x =−,解方程即可求出AF ;求AF 的第二种方法:过点G 作GH AB ∥交BC 于点H .即有MHG MBA ∽△△.则有GM GH MH AM AB MB ==,根据5AM =,可得3543GH MH ==,进而求出125GH =,95MH =.由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△,即可求出AF .求出AF 之后,由(1)的结论可得AF AE DE DC.设DE y =,则6AE y =−,即有164y y −=,解得解方程即可求出DE . (1)证明:如图1,∵四边形ABCD 是矩形,∴90A D ∠=∠=︒,∴90CED DCE ∠+∠=︒.∵EF CE ⊥,∴90CED AEF ∠+∠=︒,∴DCE AEF ∠=∠,∴AEF DCE V V ∽;(2)①解:如图2-1,连接AM .∵BG CF ⊥,∴BGC V 是直角二角形.∴132BM CM GM BC ====. ∴点G 在以点M 为圆心,3为半径的圆上.当A ,G ,M 三点不共线时,由三角形两边之和大于箒三边得:AG GM AM +>, 当A ,G ,M 三点共线时,AG GM AM +=.此时,AG GM +取最小值.在Rt ABM V中,5AM =.∴AG GM +的最小值为5.②(求AF 的方法一)如图2-2,过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ,∴CMN CBF ∽△△.∴12MN CM BF CB ==. 设AF x =,则4BF x =−,∴()11422MN BF x ==−. ∵∥MN AB ,∴AFG MNG ∽△△,∴AF AG MN GM =, 由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =,又∵3GM =,∴2AG =.∴()21342xx =−,解得1x =,即1AF =.(求AF 的方法二)如图2-3,过点G 作GH AB ∥交BC 于点H .∴MHG MBA ∽△△.∴GM GH MH AM AB MB==, 由①知AG GM +的最小值为5,即5AM =,又∵3GM =,∴3543GH MH ==.∴125GH =,95MH =. 由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△,∴GH CH FB CB =,即1293556FB +=,解得3FB =. ∴1AF AB FB =−=.由(1)的结论可得AF AE DE DC . 设DE y =,则6AE y =−,∴164y y −=,解得3y =或3∵036<<,036<<,∴3DE =3DE =【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识,掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.2.(2022·山东济宁·二模)情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上,分别过两锐角的顶点M ,N 作l 的垂线,垂足分别为P , Q ,(1)如图1.观察图1可知:与NQ 相等的线段是______________,与NRQ ∠相等的角是_____(2)问题探究直角ABC V 中,90B ∠=︒,在AB 边上任取一点D ,连接CD ,分别以AC ,DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ,如图2,过E ,H 分别作BC 所在直线的垂线,垂足分别为K ,L .试探究EK 与HL 之间的数量关系,并证明你的结论.(3)拓展延伸:直角ABC V 中,90B ∠=︒,在AB 边上任取一点D ,连接CD ,分别以AC ,DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ,连接EH 交BC 所在的直线于点T ,如图3.如果AC kCE =,CD kCH =,试探究TE 与TH之间的数量关系,并证明你的结论.【答案】(1)PR ,PMR ∠,(2)EK LH =,证明见解析;(3)ET HT =,证明见解析.【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到,=MR RN ,90MRN ∠=︒,根据余角性质得到PMR NRQ ∠=∠,再证明MPR NRQ ≌△△,即可得到QN PR =,NRQ PMR ∠=∠; (2)证明ABC CEK ≌△△,得到EK BC =,再证明DCB CHL ≌△△,得到BC HL =,可得到EK LH =;(3)证明ACB ECM ∽△△,得到BC kEM =,证明BCD NHC ∽△△,得到BC kHN =,得到EM HN =,证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT =.(1)解:∵MRN △是等腰直角三角形,∴=MR RN ,90MRN ∠=︒,∵MP PQ ⊥,NQ PQ ⊥,∴90MPR NQR ∠=∠=︒,∴90PMR MRP MRP NRQ ∠+∠=∠+∠=︒,∴PMR NRQ ∠=∠,在MPR △和NRQ △中,PMR NRQ MPR NRQ MR NR ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MPR NRQ ≌△△,∴QN PR =,NRQ PMR ∠=∠,故答案为:PR ,PMR ∠;(2)解:∵四边形ACEF 是正方形,∴AC CE =,90ACE ∠=︒,∵EK BK ⊥∴90B EKC ∠=∠=︒,∴90BAC ACB ACB ECK ∠+∠=∠+∠=︒,∴BAC ECK ∠=∠,在ABC V 和CEK △中,BAC KCE B EKC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC CEK ≌△△,∴EK BC =,∵四边形CDGH 是正方形,∴CD CH =,90DCH ∠=︒∵HL BC ⊥,∴90B CLH ∠=∠=︒,∴90DCB LCK LCK CHL ∠+∠=∠+∠=︒,∴DCB CHL ∠=∠,在DCB V 和CHL △中,B CLH BCD CHL CD CH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DCB CHL ≌△△,∴BC HL =,EK LH =,(3)解:过E 作EM BC ⊥与M ,过H 作HN BC ⊥与N ,∵四边形ACEF 是矩形,∴∴BAC ECM ∠=∠,∴ACB △同理:BCD NHC ∽△△,∴在NHT △和EMT △中,⎧⎪⎨3.(2022·浙江·嘉兴一中一模)阅读材料:我们知道:一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点,过另外两个顶点分别向该直线作垂线,即可得三垂直模型”如图①:在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线,垂足分别为D 、E ,我们很容易发现结论:△ADC ≌△CEB .(1)探究问题:如果AC ≠BC ,其他条件不变,如图②,可得到结论;△ADC ∽△CEB .请你说明理由.(2)学以致用:如图③,在平面直角坐标系中,直线y =12x 与直线CD 交于点M (2,1),且两直线夹角为α,且tanα=32,请你求出直线CD 的解析式. (3)拓展应用:如图④,在矩形ABCD 中,AB =4,BC =5,点E 为BC 边上一个动点,连接AE ,将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°,点A 落在点P 处,当点P 在矩形ABCD 外部时,连接PC,PD.若△DPC为直角三角形时,请你探究并直接写出BE的长.由(1)可得:△NFO∽△OEM,∴NF OF NOOE ME MO==,∵点M(2,1),∴OE ,∵tanα=ON=3,∴NF课后专项训练:1.(2022·贵州铜仁·三模)(1)探索发现:如图1,已知Rt ABC V 中,90ACB ∠=︒,AC BC =,直线l 过点C ,过点A 作AD l ⊥,过点B 作BE l ⊥,垂足分别为D 、E .求证:CD BE =.(2)迁移应用:如图2,将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内,三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合,另两个顶点均落在第一象限内,已知点N 的坐标为()4,2,求点M 的坐标.(3)拓展应用:如图3,在平面直角坐标系内,已知直线44y x =−+与y 轴交于点P ,与x 轴交于点Q ,将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后,所得的直线交x 轴于点R .求点R 的坐标.由已知得OM=ON,且∠OMN=,∴由(1)得△OFM≌△MGN,∴MF=NG,OF=MG,设M(∴MF=m,OF=n,∴MG=n,,∵点N的坐标为(4,2)=35x+4.【点睛】本题是一次函数综合题,主要考查了待定系数法,全等三角形的判定和性质,构2.(2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模)(1)模型建立,如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于D,过B作BE⊥ED于E.求证:△BEC≌△CDA;(2)模型应用:①已知直线AB与y轴交于A点,与x轴交于B点,sin∠ABO=35,OB=4,将线段AB绕点B逆时针旋转90度,得到线段BC,过点A,C作直线,求直线AC 的解析式;②如图3,矩形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),A,C分别在坐标轴上,P是线段BC上动点,已知点D在第一象限,且是直线y=2x−5上的一点,若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形,请求出所有符合条件的点D的坐标.当D 在AB 的下方时,过D 作DE ⊥轴于E ,交BC 于F ,同(1)可证得△ADE ≌△DPF ,∴=AE =6-(2x -5)=11-2x ,DE =x,∴11-2x +x =8,∴x =3,∴D (3,1),当D 在AB 的上方时,如图,过D DE ⊥y 轴于E ,交BC 的延长线于F , 同(1)可证得ADE DPF △△≌,∴DF =AE =(2x -5)-6=2x -11,DE =x ,∴2∴19x =,∴1923,D ⎛⎫,综上述D 3.(2022·黑龙江·桦南县九年级期中)如图1,在ABC V 中,90ACB ∠=︒,AC BC =,直线MN 经过点C ,且AD MN ⊥于D ,BE MN ⊥于E .(1)由图1,证明:DE AD BE =+;(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,请猜想出DE ,AD ,BE 的等量关系并说明理由;(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时,试问DE ,AD ,BE 又具有怎样的等量关系?请直接写出这个等量关系(不必说明理由).【答案】(1)证明见解析;(2)DE AD BE =−,证明过程见解析;(3)DE BE AD =−,证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC ≌△CEB ,得到AD=CE ,DC=BE ,进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可;(2)同(1)中思路,证明△ADC ≌△CEB ,进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可;(3)同(1)中思路,证明△ADC ≌△CEB ,进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可.【详解】解:(1)证明:在ABC V 中,∵90ACB ∠=︒,∴90ACD BCE ∠+∠=︒, ∵AD MN ⊥,∴90ACD CAD ∠+∠=︒,∴BCE =∠∠CAD ,又∵AC BC =,90ADC CEB ∠=∠=o ,∴()V V ≌ADC CEB AAS ,∴AD CE =,DC BE =, ∵直线MN 经过点C ,∴DE CE DC AD BE =+=+;(2)DE ,AD ,BE 的等量关系为:DE AD BE =−,理由如下:∵AD MN ⊥于D ,BE MN ⊥于E ∴90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒,∴90CAD ACD ∠+∠=︒,90ACD BCE ∠+∠=︒,∴CAD BCE ∠=∠,在ADC V 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ,∴()ADC CEB AAS △≌△∴CE AD =,CD BE =,∴DE CE CD AD BE =−=−;(3)当MN 旋转到图3的位置时,DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =−,理由如下:∵AD MN ⊥于D ,BE MN ⊥于E ∴90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒,∴90CAD ACD ∠+∠=︒,90ACD BCE ∠+∠=︒,∴CAD BCE ∠=∠,在ADC V 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ,∴()ADC CEB AAS △≌△∴CE AD =,CD BE =,∴DE CD CE BE AD =−=−.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点,熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键.4.(2022·山东·九年级课时练习)(1)课本习题回放:“如图①,90ACB ∠=︒,AC BC =,AD CE ⊥,BE CE ⊥,垂足分别为D ,E , 2.5cm AD =, 1.7cm DE =.求BE 的长”,请直接写出此题答案:BE 的长为________.(2)探索证明:如图②,点B ,C 在MAN ∠的边AM 、AN 上,AB AC =,点E ,F 在MAN ∠内部的射线AD 上,且BED CFD BAC ∠=∠=∠.求证:ABE CAF ∆∆≌. (3)拓展应用:如图③,在ABC ∆中,AB AC =,AB BC >.点D 在边BC 上,2CD BD =,点E 、F 在线段AD 上,BED CFD BAC ∠=∠=∠.若ABC ∆的面积为15,则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________.(直接填写结果,不需要写解答过程)【答案】(1)0.8cm ;(2)见解析(3)5【分析】(1)利用AAS 定理证明△CEB ≌△ADC ,根据全等三角形的性质解答即可; (2)由条件可得∠BEA =∠AFC ,∠4=∠ABE ,根据AAS 可证明△ABE ≌△CAF ; (3)先证明△ABE ≌△CAF ,得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积,再根据2CD BD =故可求解.【详解】解:(1)∵BE ⊥CE ,AD ⊥CE ,∴∠E =∠ADC =90°,∴∠EBC +∠BCE =90°.∵∠BCE +∠ACD =90°,∴∠EBC =∠DCA .在△CEB 和△ADC 中,E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEB ≌△ADC (AAS ),∴BE =DC ,CE =AD =2.5cm .∵DC =CE −DE ,DE =1.7cm ,∴DC =2.5−1.7=0.8cm ,∴BE =0.8cm 故答案为:0.8cm ; (2)证明:∵∠1=∠2,∴∠BEA =∠AFC .∵∠1=∠ABE +∠3,∠3+∠4=∠BAC ,∠1=∠BAC ,∴∠BAC =∠ABE +∠3,∴∠4=∠ABE .∵∠AEB =∠AFC ,∠ABE =∠4,AB =AC ,∴△ABE ≌△CAF (AAS ).(3)∵BED CFD BAC ∠=∠=∠∴∠ABE +∠BAE =∠F AC +∠BAE =∠F AC +∠ACF∴∠ABE =∠CAF ,∠BAE =∠ACF又AB AC =∴△ABE ≌△CAF ,∴ABE CAF S S =V V∴ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和,即为△ABD 的面积,∵2CD BD =,△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为:5.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.5.(2022·无锡市九年级月考)(1)如图1,直线m 经过等腰直角△ABC 的直角顶点A ,过点B 、C 分别作BD ⊥m ,CE ⊥m ,垂足分别是D 、E .求证:BD +CE =DE ;(2)如图2,直线m 经过△ABC 的顶点A ,AB =AC ,在直线m 上取两点 D 、E ,使∠ADB =∠AEC =α,补充∠BAC = (用α表示),线段BD 、CE 与DE 之间满足BD +CE =DE ,补充条件后并证明;(3)在(2)的条件中,将直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置,并改变条件∠ADB =∠AEC = (用α表示).通过观察或测量,猜想线段BD 、CE 与DE 之间满足的数量关系,并予以证明.【答案】(1)证明见详解,(2)∠BAC=α,证法见详解,(3)180º-α,DE=EC-BD,证明见详解.【分析】(1)根据已知首先证明∠DAB=∠ECA,再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA;(2)补充∠BAC=α.利用△ADB≌△CAE,即可得出三角形对应边之间的关系,即可得出答案;(3)180º-α,DE=CE-BD,根据已知首先证明∠DAB=∠ECA,再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA,即可得出三角形对应边之间的关系,即可得出答案.【详解】证明:(1)∵BD⊥m,CE⊥m,∠ABC=90°,AC=BC,∴△ADB和△AEC都是直角三角形,∴∠DBA+∠DAB=90°,∴∠ECA+∠EAC=90°,∵∠BAC=90°,∠DAB+∠EAC=90º,∴∠DAB=∠ECA,又∵∠ADB=∠CEA=90°,AB=BC,所以△ADB≌△CEA(AAS),BD=AE,DA=EC,DE=DA+AE=EC+BD,BD+CE=DE.(2)∵等腰△ABC中,AC=CB,∠ADB=∠BAC=∠CEA=α,∴∠DAB+∠EAC=180°-α,∠ECA+∠CAE=180º-α,∴∠DAB=∠ECA,∵∠ADB=∠CEA=α,AC=CB,∴△ADB≌△CEA(AAS),∴CE=AD,BD=AE,∴AD+BE=CE+CD,所以BD+CE=DE.(3)180º-α,数量关系为DE=CE-BD,∵∠ADB=∠AEC=180º-α,∠BAC=α,∴∠ABD+∠BAD=α,∠BAD+∠EAC=α,∴∠ABD=∠CAE,∵AB=AC,∴△BAD≌△ACE(AAS),∴AD=CE,BD=AE,∴DE=AD-AE=EC-BD.【点睛】点评:此题主要考查了三角形全等的证明,根据已知得出∠DAB=∠ECA,再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键.6.(2022·河南新乡·九年级期中)某学习小组在探究三角形相似时,发现了下面这种典型的基本图形.(1)如图1,在V ABC中,∠BAC=90°,ABAC=k,直线l经过点A,BD⊥直线I,CE上直线l,垂足分别为D、E.求证:BDAE=k.(2)组员小刘想,如果三个角都不是直角,那么结论是否仍然成立呢?如图2,将(1)中的条件做以下修改:在V ABC中,ABAC=k,D、A、E三点都在直线l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问(1)中的结论还成立吗?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题:如图3,在V ABC中,沿V ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG,ABAE =ACAG=12,AH是BC边上的高,延长HA交EG于点I.①求证:I是EG的中点.②直接写出线段BC 与AI之间的数量关系:.∵∠BAC =90°,∴∠BAD +∠CAE =90°∵∠BAD +∠ABD =90°,∴∠CAE =∠ABD ∵∠ABD =∠CAE ,∠BDA =∠CEA ,∴△ADB ∽△CEA ,∴BD AE =AB AC=k ; (2)成立,证明如下:如图2,∵∠BDA =∠BAC =α,∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°−α,∴∠DBA =∠CAE ,∵∠ABD =∠CAE ,∠BDA =∠CEA ∴△ADB ∽△CEA ,∴BD AE =AB AC=k ; (3)①过点G 作GM ∥AE 交AI 的延长线于点M ,连接EM∵四边形AGFC 是矩形,∴∠GAC =90°又AH ⊥BC ∴∠AHC =90° ∴∠5+∠CAH =∠4+∠CAH =90°∴∠5=∠4∵∠BDE =∠AHB =90°∴∠2+∠BAH =∠1+∠BAH =90°∴∠2=∠1又GM ∥AE ∴∠3=∠2∴∠3=∠1∴△ABC ∽△GMA∴AC BC AB GA AM GM ==又∵12AB AC AE AG == ∴12AC BC AB AB GA AM GM AE ====∴GM =AE 又∵GM ∥AE ∴四边形AGME 是平行四边形 ∴EI =IG 故I 为EG 的中点;②由①知12BC AC AB AB AM AG GM AE ====∴BC =12AM ∵四边形AGME 是平行四边形∴AI =IM ∴AI =12AM ∴BC =AI∴线段BC 与AI 之间的数量关系为BC =AI 故答案为:BC =AI .【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质综合,解题的关键是根据题意找到相似三角形,列出比例式求解.7.(2022·湖北武汉·模拟预测)[问题背景](1)如图1,ABC V 是等腰直角三角形,AC BC =,直线l 过点C ,AM l ⊥,BN l ⊥,垂足分别为M ,N .求证:AMC CNB △≌△;[尝试应用](2)如图2,AC BC =,90ACB ∠=︒,N ,B ,E 三点共线,CN NE ⊥,45E ∠=︒,1CN =,2BN =.求AE 的长;[拓展创新](3)如图3,在DCE V 中,45CDE ∠=︒,点A ,B 分别在DE ,CE 上,AC BC =,90ACB ∠=︒,若1tan 2DCA ∠=,直接写出AE AD 的值为 .)可知:AMC BNC ≌,CDE DAM DFN =∠=∠=a ,,∴32AF a =,8.(2022·黑龙江齐齐哈尔·三模)数学实践课堂上,张老师带领学生们从一道题入手,开始研究,并对此题做适当变式,尝试举一反三,开阔学生思维.(1)原型题:如图1,AB BD ⊥于点B ,CD BD ⊥于点D ,P 是BD 上一点,AP PC =,AP PC ⊥,则ABP △≌△________,请你说明理由.(2)利用结论,直接应用:①如图2,四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形,边长分别为a 、b 、c ,A 、B 、N 、E ,F 五点在同一条直线上,则CBN △≌△________,c =________(用含a 、b 的式子表示).②如图3,四边形ABCD 中,AB DC P ,AB BC ⊥,2AB =,4CD =,以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点,且90AOD ∠=︒,则圆心O 到弦AD 的距离为________.(3)弱化条件,变化引申:如图4,M 为线段AB 的中点,AE 与BD 交于点C ,45DME A B ∠=∠=∠=︒,且DM 交AC 于点F ,ME 交BC 于点G ,连接FG ,则AMF V 与BGM V 的关系为:________,若AB =3AF =,则FG =________.9.(2022•郑州一模)如图,在平面直角坐标系xOy中.边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上,C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点,且满足BD=2AC,DE∥AB,连接CD、CE,当点E坐标为时,△CDE与△ACE相似.【分析】因为DE∥AB得到∠DEC=∠ACE,所以△CDE与△ACE相似分两种情况分类讨论.【解答】解:∵DE∥AB,∴∠DEC=∠ACE,△ODE∽△OBA,∴△ODE也是等边三角形,则OD=OE=DE,设E(a,0),则OE=OD=DE=a,BD=AE=4﹣a.∵△CDE与△ACE相似,分两种情况讨论:①当△CDE∽△EAC时,则∠DCE=∠CEA,∴CD∥AE,∴四边形AEDC是平行四边形,∴AC=a,,∵BD=2AC,∴4﹣a=2a,∴a=.∴E;②当△CDE∽△AEC时,∠DCE=∠EAC=60°=∠B,∴∠BCD+∠ECA=180°﹣60°=120°,又∵∠BDC+∠BCD=180°﹣∠B=120°,∴∠BCD+∠ECA=∠BDC+∠BCD,∴∠ECA=∠BDC,∴△BDC∽△ACE,∴,∴BC=2AE=2(4﹣a)=8﹣2a,∴8﹣2a+2=4,∴a=.∴.综上所述,点E的坐标为或.【点评】本题主要考查相似三角形,考虑分类讨论是本题的关键.10.(2022•广东中考模拟)(1)模型探究:如图1,D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、AB 、AC 上的点,且B C EDF α∠=∠=∠=,BDE ∆与CFD ∆相似吗?请说明理由. (2)模型应用:ABC ∆为等边三角形,其边长为8,E 为边AB 上一点,F 为射线AC 上一点,将AEF ∆沿EF 翻折,使点A 落在射线CB 上的点D 处,且2BD =.①如图2,当点D 在线段BC 上时,求AE AF的值; ②如图3,当点D 落在线段CB 的延长线上时,求BDE ∆与CFD ∆的周长之比.【答案】(1)~∆∆BDE CFD ,见解析;(2)①57AE AF =;②BDE ∆与CFD ∆的周长之比为13. 【分析】(1)根据三角形的内角和得到BED CDF ∠=∠,即可证明;(2)①设AE x =,AF y =,根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ==,DF AF y ==,60EDF A ∠=∠=o ,根据三角形的内角和定理得BED CDF ∠=∠,即可证明~∆∆BDE CFD ,故BD BE DE CF CD FD ==,再根据比例关系求出AE AF的值; ②同理可证~∆∆BDE CFD ,得BD BE DE CF CD FD ==,得28810x x y y −==−,再得到13x y =,再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解(1)~∆∆BDE CFD ,理由:B C EDF α∠=∠=∠=,在BDE ∆中,180B BDE BED ∠+∠+∠=o ,180180BDE BED B α∴∠+∠=−∠=−o o ,180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=o Q ,180180BDE CDF EDF α∴∠+∠=−∠=−o o ,BED CDF ∴∠=∠,B C ∠=∠Q ,~BDE CFD ∴∆∆;(2)①设AE x =,AF y =,ABC ∆Q 是等边三角形,60A B C ∴∠=∠=∠=o ,8AB BC AC ===,由折叠知,DE AE x ==,DF AF y ==,60EDF A ∠=∠=o ,在BDE ∆中,180B BDE BED ∠+∠+∠=o ,180120BDE BED B ∴∠+∠=−∠=o o , 180120BDE BED B ∠+∠=−∠=o o Q ,180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=o Q ,180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=−∠=o o ,BED CDF ∴∠=∠,60B C ∠=∠=o Q ,~BDE CFD ∴∆∆,BD BE DE CF CD FD∴==, 8BE AB AE x =−=−Q ,8CF AC AF y =−=−,6CD BC BD =−=2886x x y y −∴==−,()()2868y x y x y x ⎧=−⎪∴⎨=−⎪⎩,105147x y ∴==,57AE AF ∴=; ②设AE x =,AF y =,ABC ∆Q 是等边三角形, 60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=o ,8AB BC AC ===,由折叠知,DE AE x ==,DF AF y ==,60EDF A ∠=∠=o ,在BDE ∆中,180ABC BDE BED ∠+∠+∠=o ,180120BDE BED ABC ∴∠+∠=−∠=o o , 180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=o Q ,180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=−∠=o o ,BED CDF ∴∠=∠,60ABC ACB ∠=∠=o Q ,120DBE DCF ∴∠=∠=o ,~BDE CFD ∴∆∆,BD BE DE CF CD FD ∴== 8BE AB AE x =−=−Q ,8CF AF AC y =−=−,10CD BC BD =+=,28810x x y y −∴==−,2(8)10(8)y x y x y x =−⎧∴⎨=−⎩,13x y ∴=. ~BDE CFD ∆∆Q .BDE ∴∆与CFD ∆的周长之比为13DE x DF y ==. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11.(2022·山西晋中·一模)阅读材料:我们知道:一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点,过另外两个顶点分别向该直线作垂线,即可得三垂直模型”如图①,在ABC V 中,90ACB ∠=︒,AC BC =,分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线,垂足分别为D 、E ,我们很容易发现结论:ADC CEB △≌△. (1)探究问题:如果AC BC ≠,其他条件不变,如图②,可得到结论;ADC CEB △∽△.请你说明理由.(2)学以致用:如图③,在平面直角坐标系中,直线12y x=与直线CD交于点()2,1M,且两直线夹角为α,且3tan2α=,请你求出直线CD的解析式.(3)拓展应用:如图④,在矩形ABCD中,3AB=,5BC=,点E为BC边上—个动点,连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90︒,点A落在点P处,当点P在矩形ABCD外部时,连接PC,PD.若DPC△为直角三角形时,请你探究并直接写出BE的长.由(1)得NFO OEM △∽△∵M 坐标()2,1 ∴2OE =,ME ∵3tan 2α= ∴32ON OM =解得:90∴△12.(2022·山东青岛·九年级期中)【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形,可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想,从而借助已有经验,迅速解决问题.【模型探究】如图,正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,连接AE,过点E作EF⊥AE,交直线CB于点F.(1)如图1,若点F在线段BC上,写出EA与EF的数量关系并加以证明;(2)如图2,若点F在线段CB的延长线上,请直接写出线段BC,BE和BF的数量关系.【模型应用】(3)如图3,正方形ABCD中,AB=4,E为CD上一动点,连接AE交BD 于F,过F作FH⊥AE于F,过H作HG⊥BD于G.则下列结论:①AF=FH;②∠HAE =45°;③BD=2FG;④△CEH的周长为8.正确的结论有个.(4)如图4,点E是正方形ABCD对角线BD上一点,连接AE,过点E作EF⊥AE,交线段BC于点F,交线段AC于点M,连接AF交线段BD于点H.给出下列四个结论,①AE=EF;=CF;③S△AEM=S△MCF;④BE=DE;正确的结论有个.【模型变式】(5)如图5,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是正方形,且D(0,2),点E是线段OB延长线上一点,M是线段OB上一动点(不包括点O、B),作MN⊥DM,。
(完整)一线三等角型相似初三压轴题
中考热点5——三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上,角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同,当顶点移动到底边的延长线时,形成变式图形,图形虽然变化但是求证的方法不变。
此规律需通过认真做题,细细体会。
典型例题【例1】如图,等边△ABC 中,边长为6,D 是BC 上动点,∠EDF =60° (1)求证:△BDE ∽△CFD(2)当BD =1,FC =3时,求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似,由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60°再用外角可证∠BED =∠CDF ,可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度 解:(1)∵△ABC 是等边三角形,∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD (2)∵△BDE ∽△CFD∴BE CDBD FC =∵BD =1,FC =3,CD =5 ∴BE =35 点评:三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。
【例2】如图,等腰△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 中点,∠EDF =∠B ,求证:△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点,所以△BDE 与△CFD 相似的结论依然成立,用相似后的对应边成比例,以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解: ∵AB =AC ,∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴DF DECD BE=又∵BD =CD ∴DF DE BD BE=即DFBDDE BE =∵∠EDF =∠BC A DB EF D∴△BDE ∽△DFE点评:三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形,若点D 是底边中点则有三对相似三角形,△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似 【例3】如图,在△ABC 中,AB =AC =5cm ,BC =8,点P 为BC 边上一动点(不与点B 、C 重合),过点P 作射线PM 交AC 于点M ,使∠APM =∠B ;(1)求证:△ABP ∽△PCM ;(2)设BP =x ,CM =y .求 y 与x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(3)当△APM 为等腰三角形时, 求PB 的长.【思路分析】第(1)(2)小题都是用常规的三等角型相似的方法。
中考数学压轴题 一线三等角(三垂直)
中考数学压轴题一线三等角一线三等角模型一 . 一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼,“K 形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角” 。
二 . 一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角异侧相似篇同侧锐角直角钝角异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下,如图 3-1,由∠ 1= ∠ 2= ∠ 3,易得△ AEC ∽△ BDE.2.当等角所对的边相等时,则两个三角形全等.如图 3-1,若 CE=ED,则△ AEC ≌ △ BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2,当∠1=∠2=∠3,且 D 是 BC 中点时,△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“中点型一线三等角“的变式 (了解)如图 3-3,当∠1=∠2 且时,点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关,这是内心的性质,反之未必是内心.在图 3-4(右图)中,如果延长 BE 与 CF,交于点 P,则点 D 是△PEF 的旁心.5 .“一线三等角”的各种变式(图 3-5,以等腰三角形为例进行说明)图 3-5其实这个第 4 图,延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题;b.图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题;c.图形中只有直线上一个角,不上“二等角”构造模型解题.体会:感觉最后一种情况出现比较多,尤其是压轴题中,经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时,我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中,构造一线三等角是基本手段,尤其是直角坐标系中的张角问题,在 x 轴或 y 轴(也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线)上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤:找角、定线、构相似坐标系中,要讲究“线”的特殊性如图 3-6,线上有一特殊角,就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的,为了利用这个特殊角导线段的关系,过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。
2018初中数学突破中考压轴题几何模型之相似三角形中的一线三等角模型
相似三角形判定的基本模型
A字型X字型反A字型反8字型
母子型旋转型双垂直三垂直
相似三角形判定的变化模型
一线三等角型相似三角形
三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上,角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:
等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同,当顶点移动到底边的延长线时,形成变式图形,图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题,细细体会。
定义域;
(2)正方形 的边长为 (如图12),点 、 分别在直线 、 上
(点 不与点 、点 重合),且保持 .
当 时,写出线段 的长(不需要计算过程,请直接写出结果).
点评:此题是典型的图形变式题,记住口诀:“图形改变,方法不变”。动点在线段上时,通过哪两个三角形相似求解,当动点在线段的延长线上时,还是找原来的两个三角形,多数情况下这两个三角形还是相似的,还是可以沿用原来的方法求解。
②当CE=1时,写出AP的长(不必写出解题过程)
6. 已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.
(1)如图8,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A.
①求证;△ABP∽△DPC
②求AP的长.
(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么
①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
(1)求证:△FCE∽△EBD;
(2)当点D在线段AB上运动时,是否有可能使 .
如果有可能,那么求出BD的长.如果不可能请说明理由.
初中数学突破中考压轴题几何模型之相似三角形中的一线三等角模型
【例5】已知:菱形ABCD,AB=4m,∠B=60°,点P、Q分别从点B、C出发,沿线段BC、CD以1m/s的速度向终点C、D运动,运动时间为t秒
(1)连接AP、AQ、PQ,试判断△APQ的形状,并说明理由。
(2)当t=1秒时,连接AC,与PQ相交于点K.求AK的长。
(3)当t=2秒时,连接AP、PQ,将∠APQ逆时针旋转,使角的两边与AB、AD、AC分别交于点E、N、F,连接EF.若AN=1,求S△EPF.
(1)求证△BPD∽△CEP
(2)是否存在这样的位置,△PDE为直角三角形?
若存在,求出BD的长;若不存在,说明理由。
4.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上的一个动点(与B、C不重合),PE⊥AB与E,PF⊥BC交AC与F,设PC=x,记PE= ,PF=
(1)分别求 、 关于x的函数关系式
(1)求证:△ABP∽△PCM;
(2)设BP=x,CM=y.求y与x的函数解析式,并写出函数的定义域.
(3)当△APM为等腰三角形时,求PB的长.
【例4】(1)在 中, , ,点 、 分别在射线 、 上(点 不与点 、点 重合),且保持 .
①若点 在线段 上(如图),且 ,求线段 的长;
②若 , ,求 与 之间的函数关系式,并写出函数的
【应用】
1.如图,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,BC=1,AB=5,点P为x轴上的一个动点,点P不与点0、点A重合.连接CP,过点P作PD交AB于点D.
(1)直接写出点B的坐标.
(2)当点P在线段OA上运动时,使得∠CPD=∠OAB,且BD: AD=3:2
,求点P的坐标.
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中考热点5——三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上,角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同,当顶点移动到底边的延长线时,形成变式图形,图形虽然变化但是求证的方法不变。
此规律需通过认真做题,细细体会。
典型例题【例1】如图,等边△ABC中,边长为6,D是BC上动点,∠EDF=60°(1)求证:△BDE∽△CFD(2)当BD=1,FC=3时,求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似,由题意可得∠B=∠C=∠EDF=60°再用外角可证∠BED=∠CDF,可证△BDE与△CFD相似排出相似比便可求得线段BE的长度解:(1)∵△ABC是等边三角形,∠EDF=60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED∴∠BED =∠FDC∴△BDE ∽△CFD(2)∵△BDE ∽△CFD ∴BECD BD FC ∵BD =1,FC =3,CD =5∴BE =35 点评:【例2】如图,等腰△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 中点,∠EDF =求证:△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点,所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立,用相似后的对应边成比例,以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似解: ∵AB =AC ,∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF C∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED∴∠BED =∠FDC∴△BDE ∽△CFD∴DF DE CD BE =又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DFBD DE BE = ∵∠EDF =∠B∴△BDE ∽△DFE点评:三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形,若点D 是底边中点则有三对相似三角形,△BDE 与△CFD 相似后若得DFDE CF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似 【例3】如图,在△ABC 中,AB =AC =5cm ,BC =8,点P 为BC 边上一动点(不与点B 、C 重合),过点P 作射线PM 交AC 于点M ,使∠APM =∠B ;(1)求证:△ABP ∽△PCM ;(2)设BP =x ,CM =y .求 y 与x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(3)当△APM 为等腰三角形时, 求PB 的长.【思路分析】第(1)(2)小题都是用常规的三等角型相似的方法。
对△APM 进行等腰三角形的分类讨论时,可将条件转化成与△ABP ∽△PCM 相关的结论解:(1)∵AB =AC ,∠APM =∠B ∴∠APM =∠B =∠C∵∠APC =∠APM +∠MPC =∠B +∠BAP∴∠BAP =∠MPC∴△ABP ∽△PCM(2)∵BP =x ,CM =y ,CP =8-x ∵MC BPPC AB =∴y xx =-85 ∴x x y 58512+-=)80(<<x(3)当AP =PM 时 ∵AB PCPA PM =∴PC =AB =5∴BP =3当AP =AM 时∵∠APM =∠B =∠C∴∠PAM =∠BAC 即点P 与点B 重合∴P 不与点B 、C 重合∴舍去当MP =AM 时∴∠MAP =∠MPA∴△MAP ∽△ABC ∴85==BC AB AP MP ∴85==AB PC PA PM 即8558=-x ∴BP =839 点评:等腰三角形分类讨论需要灵活应用,可采用的方法添底边上的高,将等腰的条件进行转化,三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至△ABP 和△PCM 中简化运算。
【例4】(1)在ABC ∆中,5==AC AB ,8=BC ,点P 、Q分别在射线CB 、AC 上(点P 不与点C 、点B 重合),且保持ABC APQ ∠=∠.①若点P 在线段CB 上(如图10),且6=BP ,求线段CQ 的长;②若x BP =,y CQ =,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域;(2)正方形ABCD 的边长为5(如图12),点P 、Q 分别在直线..CB 、DC 上(点P 不与点C 、点B 重合),且保持︒=∠90APQ . 当1=CQ 时,写出线段BP 的长(不需要计算过程,请直接写出结果).【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上,这类变式问题是上海中考中最常见的,虽然图形改变,但是方法不变,依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。
当等腰三角形变式为正方形时,依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。
解:(1)∵BAP B CPQ APQ ∠+∠=∠+∠,ABC APQ ∠=∠,∴CQP BAP ∠=∠.又∵AC AB =,∴C B ∠=∠.∴QCP ∆∽ABP ∆.∴ ABCP BP CQ =. ∵5==AC AB ,8=BC ,6=BP ,268=-=CP , ∴526=CQ ,512=CQ . (2)若点P 在线段CB 上,由(1)知ABCP BP CQ =. ∵x BP =,8=BC , ∴x BP BC CP -=-=8,又∵y CQ =,5=AB ,∴ 58x x y-=,即x x y 58512+-=. 故所求的函数关系式为x x y 58512+-=,)80(<<x . 若点P 在线段CB 的延长线上,如图11.∵ CPQ APB APQ ∠+∠=∠,PAB APB ABC ∠+∠=∠,ABC APQ ∠=∠,∴ PAB CPQ ∠=∠.又∵ABC ABP ∠-︒=∠180,ACB PCQ ∠-︒=∠180,ACB ABC ∠=∠,∴PCQ ABP ∠=∠.∴QCP ∆∽PBA ∆.∴ PCAB CQ BP =. ∵x BP =,x BP BC CP +=+=8,5=AB ,y CQ =,∴ x y x+=85,即x x y 58512+= )0(>x . (2)当点P 在线段BC 上,255+=BP ,或255-=BP . 当点P 在线段BC 的延长线上,则点Q 在线段DC 的延长线上,2535+=BP . 当点P 在线段CB 的延长线上,则点Q 在线段DC 的延长线上,2535+-=BP . 点评:此题是典型的图形变式题,记住口诀:“图形改变,方法不变”。
动点在线段上时,通过哪两个三角形相似求解,当动点在线段的延长线上时,还是找原来的两个三角形,多数情况下这两个三角形还是相似的,还是可以沿用原来的方法求解。
强化训练:1. 如图,在△ABC 中,8==AC AB ,10=BC ,D 是BC 边上的一个动点,点E 在AC 边上,且C ADE ∠=∠.(1) 求证:△ABD ∽△DCE ;(2) 如果x BD =,y AE =,求y 与x 的函数解析式,并写出自变量x 的定义域;(3) 当点D 是BC 的中点时,试说明△ADE 是什么三角形,并说明理由.2. 已知:如图,在△ABC 中,5==AC AB ,6=BC ,点D 在边AB 上,AB DE ⊥,点E 在边BC 上.又点F 在边AC 上,且B DEF ∠=∠.(1) 求证:△FCE ∽△EBD ;(2) 当点D 在线段AB 上运动时,是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4.如果有可能,那么求出BD 的长.如果不可能请说明理由.3. 如图,在△ABC 中,AB =AC =5,BC =6,P 是BC 上一点,且BP =2,将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P点,然后将这个角绕P点转动,使角的两边始终分别与AB、AC相交,交点为D、E。
(1)求证△BPD∽△CEP(2)是否存在这样的位置,△PDE为直角三角形若存在,求出BD的长;若不存在,说明理由。
4.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上的一个动点(与B、C不重合),PE⊥AB与E,PF⊥BC交AC与F,设PC=x,记PE=y,PF=2y1(1)分别求y、2y关于x的函数关系式1(2)△PEF能为直角三角形吗若能,求出CP的长,若不能,请说明理由。
5.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上的一个动点(与B、C不重合),PE⊥AB与E,PF⊥BC交AC与F,设PC=x,△PEF的面积为y(1)写出图中的相似三角形不必证明;(2)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;(3)若△PEF为等腰三角形,求PC的长。
6. 已知在等腰三角形ABC 中,4,6AB BC AC ===,D 是AC 的中点, E 是BC 上的动点(不与B 、C 重合),连结DE ,过点D 作射线DF ,使EDF A ∠=∠,射线DF 交射线EB 于点F ,交射线AB 于点H .(1)求证:CED ∆∽ADH ∆;(2)设,EC x BF y ==.①用含x 的代数式表示BH ;②求y 关于x 的函数解析式,并写出x 的定义域.7. 已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且AD =5,(1)如图8,P 为AD 上的一点,满足∠BPC =∠A ①求证;△ABP ∽△DPC②求AP 的长.(2)如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合),且满足∠BPE =∠A ,PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q ,那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时,设AP =x ,CQ =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;②当CE =1时,写出AP 的长(不必写出解题过程).H ABC D E F C8.已知:如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,︒=∠90B ,8=AB ,12=AD ,34tan =C ,AM ∥DC ,E 、F 分别是线段AD 、AM 上的动点(点E 与A 、D 不重合)且AMB FEM ∠=∠,设x DE =,y MF =.(1)求证:DM AM =;(2)求y 与x 的函数关系式并写出定义域;(3)若点E 在边AD 上移动时, EFM ∆为等腰三角形,求x 的值;9.已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且BC =6,AB =DC =4,点E 是AB 的中点.(1)如图,P 为BC 上的一点,且BP =2.求证:△BEP ∽△CPD ;(2)如果点P 在BC 边上移动(点P 与点B 、C 不重合),且满足∠EPF =∠C ,PF 交直线CD 于点F ,同时交直线AD 于点M ,那么①当点F 在线段CD 的延长线上时,设BP =x ,DF =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;②当BEP DMFS S∆∆=49时,求BP 的长.10. 如图,在梯形ABCD 中,AD //BC ,AB =CD =BC =4,AD =2.点M 为边BC 的中点,以M 为顶点作∠EMF =∠B ,射线ME交边AB 于点E ,射线MF 交边CD 于点F ,连结EF . (1)指出图中所有与△BEM 相似的三角形,并加以证明;(2)设BE =x ,CF =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域;答案:1.解:(1)∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠ADC =∠ADE +∠CDE =∠B +∠BAD ∴∠BAD =∠CDE ∴△ABD ∽△DCE (2)∵△ABD ∽△DCE ∴ABCDBD CE = ∵x BD =,y AE =,x DC -=10∴y x x -=-8108∴845812+-=x x y )100(<<x(3)∵AC AB =,D 是BC 的中点∴AD ⊥BC ∴∠DAE+∠ADE=90°∵DE AE ≠∴△ADE 是直角三角形2.解:(1)∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠BED +∠DEF =∠C +∠EFC =90°又∵B DEF ∠=∠∴∠BED =∠EFC ∴△FCE ∽△EBD(2)∵BD =x ,BE =x 35,x EC 356-=∵△FCE ∽△EBD ∴2)(BDEC S S BED FEC =∆∆若EBD FCES S ∆∆=4∴4)356(2=-xx∴1118=x ∴31136356>=-x ∴BD 不存在 3.解:(1)∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠DPC =∠DPE +∠EPC =∠B +∠BDP ∴∠EPC =∠BDP ∴△ABD ∽△DCE (2)∵∠DPE=∠B ≠90°若∠PDE=90°,在Rt△ABH 和Rt△PDE 中∴cos ∠ABH =cos ∠DPE =53==PE PD AB BH ∴53==PC BD PE PD∵PC =4 ∴512=BD 若∠PED=90°在Rt△ABH 和Rt△PDE 中∴cos ∠ABH =cos ∠PED =53==PD PE AB BH ∴CC35==PC BD PE PD ∵PC =4 ∴5320>=BD (舍去) 综上所述,BD 的长为512 4.解:(1)52454)6(541+-=-=x x y 、x y 342=(2)∵∠FPE =∠B ≠90°若∠PFE =90°,在Rt△ABH 和Rt△PFE 中∴cos ∠ABH =cos ∠FPE =53==PE PF AB BH ∴5312=y y ∴535245434=+-x x ∴1727=x 若∠PEF =90°,在Rt△ABH 和Rt△PFE 中∴cos ∠ABH =cos ∠FPE =53==PE PF AB BH ∴3512=y y ∴355245434=+-x x ∴3=x 5.解:(1)△PEB ∽△EPC(2)∵PC =x ∴x PF 34=,)6(54x PE -=,)6(251654x EP EH -== ∴)6(7532)6(2516342121x x x x EH PF y -=-⋅⋅=⋅⋅= 即x x y 256475322+-=)30(≤<xCCC(3)当PE =PF 时,△EPC ≌△PEB ,PC =BE =x ,536=-x x ∴49=x 当PE =EF 时,x PF PH 3221==,cos ∠EPH =cos B ,53)6(5432=-x x ∴43108=x 当FE =PF 时,)6(5221x EP PM -==, cos ∠FPM =cos B ,5334)6(52=-x x ∴2=x 综上所述,PC 的长分别为49=x 、43108、2 6.解:(1)∵AB BC =,∴A C ∠=∠∵CDE EDF A H ∠+∠=∠+∠又EDF A ∠=∠,∴CDE H ∠=∠CED ∴∆∽ADH ∆(2)①∵CED ∆∽ADH ∆,∴CE CDAD AH=∵D 是AC 的中点,6AC =,∴3AD CD ==,又 ∵,4CE x AB == ∴当H 点在线段AB 的延长线上时,334x BH =+,∴94BH x=-当H 点在线段AB 上时,334x BH =-,∴94BH x=-②过点D 作DG ∥AB ,交BC 于点G ∴12DG CG CD AB BC AC ===,∴2,2DG BG == ∴当H 点在线段AB 的延长线上时,∴BH BF GD GF =,∴9422y x y-=-∴18890924x y x x -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭当H 点在线段AB 上时,∴BH BFGD GF=,∴9422yx y -=+ ∴81894924x y x x -⎛⎫=≤< ⎪-⎝⎭7.解:(1)①证明:∵ ∠ABP =180°-∠A -∠APB ,∠DPC =180°-∠BPC -∠APB ,∠BPC =∠A ,∴ ∠ABP =∠DPC .∵ 在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =CD ,∴ ∠A =∠D .∴ △ABP ∽△DPC . ②解:设AP =x ,则DP =5-x ,由△ABP ∽△DPC ,得DCPD APAB =,即252x x-=解得x 1=1,x 2=4,则AP 的长为1或4.(2)①解:类似(1)①,易得△ABP ∽△DPQ ,∴ DQAPPDAB= 即y x x +=-252,得225212-+-=x x y ,1<x <4.②AP =2或AP =3-5.8.证明:(1)过点M 作AD MG ⊥交AD 于G ∵AM//DC ∴C AMB ∠=∠∵8AB ,90B =︒=∠ ∴BMAB C AMB ==∠tan tan ∴BM 834=∴6B M =∵AD//BC ,AB//MG ∴AG=BM=6∵AD=12 ∴AG=GD ∴AGM ∆≌DGM ∆∴AM=DMCQE(2) ∵A MB FEM ∠=∠ A FE A MB ∠=∠∴EFM ∽∆∆AEM ∴FMEMEM AM =∵22226)-(8EM 1086AM x +==+=∴y x x 2222)6(8)6(810-+=-+ ∴1056101y 2+-=x x 定义域为:120<<x (3) ∵FEM AEF MAE EFM ∠>∠+∠=∠∴EM ≠FM∴若EFM ∆为等腰三角形,则EF =EM 或EF =FM ① 当EF =EM 时,12-x =10∴x =2②当EF =FM 时∵MA E F F ∠=∠=∠EM ME ∴AE =EM ∴226)-(x 8x -12+=∴311x =9.证明:(1)∵在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =DC ,∴∠B =∠CBE =2,BP =2,CP =4,CD =4,∴CDBPCP EB =,∴△BEP ∽△CPD (2)①FPC EPF BEP B EPF ∠+∠=∠+∠=∠ 又∠EPF =∠C=∠B ,∴FPC BEP ∠=∠∴△BEP ∽△CPF ,∴CFBPCP EB =∴462+=-y x x ∴43212-+-=x x y (42<<x )②当点F 在线段CD 的延长线上时∠FDM =∠C=∠B , FMD FPC BEP ∠=∠=∠,∴△BEP ∽△DMFBEP DMF S S ∆∆=49,∴xy BP DF ==23又43212-+-=x x y ,∴0832=+-x x ,Δ<0,∴此方程无实数根,故当点F 在线段CD 的延长线上时,不存在点P 使BEP DMFS S ∆∆=49当点F 在线段CD 上时,同理△BEP ∽△DMFBEP DMF S S ∆∆=49,∴xy BP DF ==23,又∴△BEP ∽△CPF ∴CF BPCP EB =,∴y x x -=-462 ∴43212+-=x x y ,∴0892=+-x x ,解得 11=x ,82=x由于82=x 不合题意舍去,∴1=x ,即BP =1所以当BEP DMFS S∆∆=49时,BP 的长为1. 10. 解:(1)△CMF ∽△BEM ,△MEF ∽△BEM .证明如下:在梯形ABCD 中,∵AD ∥BC ,AB =CD ,∴∠B =∠C . 又∵∠EMF +∠FMC =∠B +∠BEM ,∠EMF =∠B ,∴∠FMC =∠BEM . ∴△CMF ∽△BEM . ∴CMBEFMEM=.又∵CM =BM ,∴BMBE FMEM=.∵∠EMF =∠B ,∴△MEF ∽△BEM .(2)∵△CMF ∽△BEM ,∴CFCMBM BE =.∵BM =CM =2,∴yx 22=.∴所求函数的解析式为xy 4=,(41≤≤x )。