决策理论与方法之多属性决策

i 1
n
j 1


受约束于：

i 1
i
1
i 0i 1,2,, n
二、常用的确定各属性权的方法 ——最小二乘法

用拉格朗日乘法解这一有约束纯量优化问题，则拉格朗日函数为
L
n
a
n n ij i 1 j 1
n i il j 1
j
i
2
L 对l l 1,2,, n求偏导数，并令其为0，得 n 个代数方程：

如果令
则
（ 9.18） bij y j xi , ik 1 xi , k y j z j
k 1 i


b , i 1,, s
ij k j j 1
r
（9.19）
即
1k 1 b11 b12 k 1 b 2 21 b22 k 1 i bi1 bi 2 k 1 bs1 bs 2 s
即
1 1 2 2 n n n n n n n 1 2 A nI w 0
式中 I 是单位矩阵，如果目标重要性判断矩阵A中的值估计准确， 上式严格等于 0( n维 0 向量)，如果A的估计不够准确，则A中元素 的小的摄动意味着本征值的小的摄动，从而有 Aw maxw （9.14） max 是矩阵 A 的最大本征值。由（9.14）式可以求得本征向量即 权向量w 1 , 2 ,, n T 这种方法称为本征向量法。
j 1, j l
a
n lj n il
j
l
2
2
i l , j l时，L2 alll l i l , j l时，L3
l i 1,i l
a
i
2
Ll L1 L2 L3 2 l
j l , j 1
b1 j b2 j bij bsj
b1r 1k k b2 r 2 bir k j k bsr r
（9.20）
可以记作：
二、常用的确定各属性权的方法 ——本征向量法

由 CR=0.1 和表 9.10 中的 RI值,用式(9.15)和式(9.16) 可以求得与 n 相应的临界本征值：
' max CI n 1 n CR RI n 1 n 0.1 RI n 1 n
二、常用的确定各属性权的方法 ——本征向量法

与最小二乘法类似，使用这种方法同样需要求得矩阵 A，为了便于比较第 i 个目标对第 j 个目标的相对重要 性，即给出 aij的值，Saaty根据一般人的认知习惯和 判断能力给出了属性间相对重要性等级表，见表 9.9， 利用该表取 aij 的值，方法虽粗略，但有一定的实用价 值。
1, 2 ,, n
T
二、常用的确定各属性权的方法 ——最小二乘法

式9.13的推导：
L
a
n n ij i 1 j 1
j
i
2
2

i
i 1 对l l 1,2,, n 求偏导
找出含 的项：
l
i l , j l时，L1

三、最底层目标权重计算—网状结构

xi y xi z y j , i 1,, s
r j 1
j
（9.17）

显然，这就是用 y j 对z的总要性 z y xi 去衡量 xi 对于z的优先性。
j

y 乘以 xi对 y j 的重要性
j
三、最底层目标权重计算—网状结构

为什么要引入权？
多目标决策问题的特点也是求解的难点在于目 标间的矛盾性和各目标的属性值不可公度，求 解多属性决策问题同样需要解决这两个难点。 其中不可公度性可通过属性矩阵的规范化得到 部分解决, 但这些规范化方法无法反映目标的 重要性。因此，引入权的概念，以衡量目标的 重要性。 属性矩阵的规范化：就是对决策数据进行预处 理。主要有6种方法，即线性变换、标准0-1变 换、最优值为给定区间时的变换、向量规范法、 原始数据的统计处理、专家打分数据的预处理。
j
（9.11）
ij
1时
i i 1
j
1
a
i 1
二、常用的确定各属性权的方法 ——最小二乘法

若决策人对 aij 的估计不准确，则上列各式中 的等号应为近似号。这时可用最小二乘法求w 即解： n n 2 min aij j i （9.12）

a
n lj n j l , j 1
j l alll l 2 2
i l ,i 1
2 a il l i 2 l
n
L'l
n
2a
lj lj j
j
l 1 2alll l all 1
二、常用的确定各属性权的方法 ——本征向量法

在用该法确定权时，可以用max n来度量 A 中各元素 aij 的估计的一致性。为此引入一致性指标CI： max n （9.15）
CI
n 1
CI与与表 9.10 所给同阶矩阵的随机指标 RI之比称为一致 性比率 CR，即 CR=CI/RI （9.16） 比率 CR可用来判定矩阵 A 能否被接受。 若 CR>0.1， 说明 A 中各元素的估计一致性太差,应重新估计。若 CR<0.1，则可认为 A 中各元素的估计基本一致,这时可以 用(9.14)式求得w ,作为 n 个目标的权。
二、常用的确定各属性权的方法 ——最小二乘法

首先由决策人把目标的重要性作成对比较，设有 n 2 1 n 个目标，则需比较Cn n 1 次。把第 i 个目标对第
2

j 个目标的相对重要性记为 aij ，并认为，这就是属性
n i 的权 i 和属性 j 的权 j 之比的近似值 aij i j ，
2n 2 1 2 2 2 A 21 22 （9.8） a ann n n n n a 1 n2 1 2 n
个目标成对比较的结果为矩阵A。 a a a 11 12 1n 1 1 1 2 1 2 a a n a

三、最底层目标权重计算—网状结构
对网状结构目标体系，可用下述递推方法求最 低层次各目标的权。 设多目标决策问题的目标共有 k+1 级，其中 第 k-1、 k 和 k+1 级如图 9.3 所示， 我们构 xi 对 k-1 级的 造一个 “第k+1 级的某个元素 某个元素 z 的优先函数” （优先函数表示第 x1 , x2 ,, xi ,, xs k+1 级中各元素 对第 k1 级中的元素 z 的相对的重要即优先性），我 们将此函数记作 ，则
a
j 1
l
a 0
il l i i 1
n
二、常用的确定各属性权的方法 ——本征向量法

由式（9.8），得
1 1 1 2 1 2 Aw 2 1 2 2 2 n


为什么要引入权？
一、权的概念
权是目标重要性的度量, 即衡量目标重要性的 手段。 权这一概念包含并反映下列几重因素： ①决策人对目标的重视程度 ②各目标属性值的差异程度 ③各目标属性值的可靠程度 权应当综合反映三种因素的作用，而且通过权， 可以通过各种方法将多目标决策问题化为单目 标问题求解。
2

i
i 1
a a a
il l lj i 1
j
l 0, l 1,2,, n
（9.13）
由式（9.13）及

i 1
n
i
1 共n 1 个方程，其中有1, 2 ,, n
及 共 n 1个变量，因此可以求得 w

比较复杂的多属性决策问题的目标往往具有层次结构。 根据不同层次的目标间的关系，可以把多层次的目标 体系分成两类。一种是树状结构，如图 9.2(a)所示， 另一种是网状结构，如图 9.2(b)所示。
下面分别介绍这两种结构的最低层权重的设定方法。
三、最底层目标权重计算—树状结构
对于树状结构的目标体系，只要自上而下，即由树干 向树梢，求树杈各枝相对于树杈的权，如图 9.2(a)所示 的系统，首先用第二分节介绍的方法确定第二层中的三 个目标 B 、C 、D 相对总目标 A 的权1, 2 , 3 且使 1 2 3 1；其次确定与第二层各目标相关联的第三层 目标的权，共三组，使 j ij 1i 1,2,3 直到最低层目标 相对上一层次目标的各组权全部设定为止。 在求出上述各组权后，只要将上一层次目标的权与该 目标相关的下一层目标的权相乘即得下一层目标关于总 目标的权。例如目标 H 关于总目标的权 H 2 21 ， 这样依次进行即可获得最低层各目标相对于总目标的权。
第九章 多属性决策
《决策理论与方法》
第九章 多属性决策
第二节 确定权的常用方法 第三节 加权和法 第五节 TOPSIS法

第二节 确定权的常用方法
一、权的概念 二、常用的确定各属性权的方法 （一）最小二乘法 （二）本征向量法 三、最底层目标权重的计算

简单回顾
目标间不可公度：各目标没有统一的衡量标准 或计量单位，因而难以进行比较。 目标间的矛盾性：如果采用一种方案去改进某 一目标的值，很可能会使另一目标的值变坏。